ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Το διάνσμα θέσης ενός σώματος μάζας δίνεται από τη σχέση: (t 6t)xˆ t ŷ (t )ẑ Υπολογίστε: α) τη στροφορμή το ς προς την αρχή το σστήματος σντεταγμένν και β) τη ροπή τν δνάμεν πο ασκούνται στο σώμα ς προς το ίδιο σημείο. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Η ταχύτητα το σώματος είναι: d (6t 6)xˆ t dt Άρα η στροφορμή το είναι: t xˆ ŷ 6t 6t 6 t t ŷ ẑ ẑ t [( t 6t t )xˆ (9t 8t 8t t 8t ) ŷ [(t ( 6t 7t t t )ẑ] t )xˆ (9t t )ŷ ( t β) Η ροπή τν δνάμεν πο ασκούνται στο σώμα είναι: 8t )ẑ] d τ dt (7t 8t)xˆ (8t )ŷ ( 8t t )ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Σώμα μάζας κινείται σε τροχιά πο δίνεται από τις σχέσεις: x αsin t, y αsin t, z 5αcοst, όπο t ο χρόνος και, α σταθερές. α) Να βρεθούν τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχνσης. β) Να δειχθεί ότι η δύναμη πο δρα στο σώμα είναι κεντρική. γ) Να δειχθεί ότι η στροφορμή το σώματος ς προς την αρχή τν αξόνν παραμένει σταθερή. (Τμήμα Αγρονόμν Τοπογράφν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Το διάνσμα θέσης είναι: xxˆ yŷ zẑ αsin txˆ αsin tŷ 5αcοstẑ () Η ταχύτητα είναι: d dt α cstxˆ α cstŷ 5α sin tẑ () Και η επιτάχνση είναι: d α dt α sin txˆ α sin tŷ 5α cs tẑ () β) Η δύναμη πο δρα στο σώμα, σύμφνα με το ο νόμο το Newtn, είναι: F α () ( α sin txˆ α sin tŷ 5α cs tẑ) () (α sin txˆ αsin tŷ 5α cstẑ) F ˆ Δηλαδή η δύναμη είναι κεντρική και μάλιστα ελκτική. γ) Η ροπή τν δνάμεν ς προς την αρχή τν αξόνν Ο είναι: τ F ( ) 0 d d Αλλά επειδή τ 0 δηλαδή η στροφορμή είναι σταθερή και ισούται dt dt με:... α ( 0xˆ 5ŷ) Επιβεβαιώστε!! ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Σώμα μάζας κινείται γύρ από τον άξονα z ενός ορθογνίο σστήματος σντεταγμένν Οxyz με σταθερή γνιακή ταχύτητα ẑ. Αν η ταχύτητα το σματιδίο δίνεται από τη σχέση, όπο xxˆ yŷ zẑ το διάνσμα θέσης το σματιδίο, να πολογιστούν οι αναλτικές εκφράσεις τν διανσμάτν της ταχύτητας και της στροφορμής, καθώς και τν προβολών το διανύσματος της στροφορμής στος άξονες x, y και z. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Η ταχύτητα το σματιδίο δίνεται από τη σχέση: ẑ (xxˆ yŷ zẑ) xẑ xˆ yẑ ŷ zẑ ẑ xŷ Η στροφορμή το σματιδίο είναι: y( xˆ) z0 yxˆ xŷ (xxˆ yŷ zẑ) ( yxˆ xŷ) xyxˆ xˆ x xˆ ŷ y ŷ xˆ xyŷ ŷ zyẑ xˆ xzẑ ŷ x ẑ y ( ẑ) zyŷ xz( xˆ ) xzxˆ zyŷ (x Στο παραπάν πολογισμό θμηθείτε ότι xˆ xˆ ŷ ŷ 0. y )ẑ Οι προβολές το διανύσματος της στροφορμής στος άξονες x, y και z είναι οι σνιστώσες, xz, zy και (x y ) αντίστοιχα. x y z ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Η στροφορμή ενός σματιδίο ς προς ένα σημείο Ο δίνεται από τη σχέση α bt, όπο α και b είναι σταθερά διανύσματα κάθετα μεταξύ τος. Να πολογιστεί η ροπή της δύναμης πο ασκείται στο σματίδιο ς προς το ίδιο σημείο Ο, τη στιγμή πο τα διανύσματα και σχηματίζον γνία 5 ο. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Η ροπή της δύναμης πο ασκείται στο σματίδιο είναι: d τ bt () dt Η χρονική στιγμή t όπο τα διανύσματα και σχηματίζον γνία 5 ο πολογίζεται μέσ το εστερικού γινομένο (γεμετρικού και αλγεβρικού ορισμού) τν και. Δηλαδή: τ τ cs 5 (bt) (α bt ) b t α b t α bt Άρα: Αλλά επίσης: τ τ bt α bt b τ bt (α bt t α b t ) tb α b bt, αφού α b 0 επειδή τ b t α b. () () Οπότε οι () και () δίνον: b t bt α b t bt α b t b t (α b t ) b t α t α b Επομένς τη χρονική ατή στιγμή η ροπή, σύμφνα με την () είναι: τ α b b t α b ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 5 Μια μικρή σφαίρα μάζας είναι αναρτημένη μέσ αβαρούς νήματος μήκος με την οροφή και περιστρέφεται σε οριζόντια κκλική τροχιά με σταθερή γνιακή ταχύτητα. Υπολογίστε το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας ς προς το σημείο ανάρτησης Κ σναρτήσει τν παραμέτρν πο δίνονται. Σχεδιάστε το διάνσμα της στροφορμής της σφαίρας ς προς το σημείο Κ για δύο αντιδιαμετρικά σημεία της τροχιάς και σχολιάστε αν η διεύθνση το διανύσματος παραμένει σταθερή. (Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθηματικών & Φσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) Η στροφορμή της μάζας ς προς το σημείο Κ δίνεται από τη σχέση μέτρο της είναι: Το μέτρο της ταχύτητας είναι: K π sin K (όπο = Κ φ ) K και το O Αλλά: sin φ οπότε: sin φ Άρα: K sin φ όπο φ accs g. Τα διανύσματα της στροφορμής και της σφαίρας ς προς το Κ για δο αντιδιαμετρικά σημεία της τροχιάς προσδιορίζονται σύμφνα με τον κανόνα το δεξιού χεριού (λόγ το εξτερικού γινομένο ) και φαίνονται στο σχήμα. Όπς παρατηρείτε η διεύθνση το διανύσματος δεν παραμένει σταθερή επειδή είναι πάντα κάθετη στο επίπεδο το ορίζον τα και, αλλά ατό μεταβάλλεται λόγ της κίνησης της σφαίρας. Παρατήρηση : Η στροφορμή της σφαίρας ς προς το κέντρο Ο της κκλικής της τροχιάς π έχει μέτρο : ο sin ο sin φ και την διεύθνση το κάθετο άξονα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 6 Σματίδιο μάζας κινείται πό την επίδραση της ελκτικής δύναμης σταθερά) σε κκλική τροχιά ακτίνας. Να πολογιστούν: α) Η ταχύτητα το σματιδίο. β) Η ολική ενέργεια το σματιδίο. γ) Η στροφορμή το σματιδίο ς προς το κέντρο της τροχιάς το. (Κατατακτήριες εξετάσεις για Τμήμα Χημείας Ε.Κ.Π.Α.) F k / (k O F α) Η ελκτική δύναμη πο ασκείται στο σματίδιο παίζει το ρόλο της κεντρομόλο κι επομένς ισχύει: k k F α κ () β) Η κινητική ενέργεια το σματιδίο είναι: K () K Επειδή η δύναμη πο ασκείται στο σματίδιο είναι κεντρική, είναι και σντηρητική, οπότε η σχέση πο τη σνδέει με τη δναμική της ενέργεια είναι: k dv F dv Fd d V 0 dv k d V k d V k Άρα η ολική ενέργεια το σματιδίο είναι: E K V k k E k γ) Η στροφορμή το σματιδίο ς προς κέντρο Ο δίνεται από τη σχέση: () π sin ẑ k ẑ k ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 7 Δύο σμπαγείς κκλικοί δίσκοι με ίσες μάζας Μ και ακτίνες, αντίστοιχα, οι οποίες έχον τη σχέση /, περιστρέφονται με γνιακές ταχύτητες και, στροφορμές γύρ από κοινό άξονα πο περνά από τα κέντρα τος. Οι δίσκοι θα ολισθήσον μεταξύ τος μέχρι να έρθον σε επαφή και αποκτήσον κοινή γνιακή ταχύτητα και στροφορμή. α) Να βρεθεί η κοινή γνιακή τος ταχύτητα. β) Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας το σστήματος. Δίνεται: I M / δισκο (Τμήμα Μηχανολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.), ΑΡΧΙΚΑ ΤΕΛΙΚΑ α) Επειδή η σνισταμένη τν εξτερικών ροπών πο ασκούνται στο σύστημα ς προς τον άξονα περιστροφής είναι μηδέν, η στροφορμή το σστήματος παραμένει σταθερή κι επομένς ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής σύμφνα με την οποία: αρχ τελ I I I I I I I I (/ )M (/ )M (/ )M (/ )M () 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ β) Η απώλεια της κινητικής ενέργειας το σστήματος τν δίσκν οφείλεται στη δύναμη της τριβής πο αναπτύσσεται μεταξύ το άξονα περιστροφής και τν δίσκν και είναι: () τελ αρχ ) I (I I I K K M M M M ) ( M ) ( M = 5 ) (

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 8 Η πκνότητα μάζας ρ ενός σμπαγούς κλίνδρο μήκος και ακτίνας σε απόσταση από τον άξονα το κλίνδρο, δίνεται από τη σχέση: ρ() ρ ( / ), 0 όπο ρο σταθερά. α) Να πολογίσετε τη ροπή αδράνειας το κλίνδρο ς προς τον άξονά το. β) Σταδιακά και πό την επίδραση εστερικών δνάμεν η μάζα το κλίνδρο ανακατανέμεται, με αποτέλεσμα σε όλον τον κύλινδρο να έχομε την ίδια πκνότητα ρ. Υποθέτομε ότι το μήκος και η ακτίνα το κλίνδρο δεν μεταβάλλονται. Αν αρχικά ο κύλινδρος περιστρεφόταν γύρ από τον άξονα σμμετρίας το με γνιακή ταχύτητα, να πολογίσετε τη γνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται μετά την ανακατανομή της μάζας το. Δίνεται: Ιομογενούς δίσκο =. M / (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) d α) Έστ στοιχειώδης κλινδρικός φλοιός μάζας d, ακτίνας και πλάτος d. Είναι d = ρdv, όπο dv ο όγκος της στοιχειώδος μάζας, ο οποίος προσδιορίζεται εύκολα διαφορίζοντας τον όγκο κλίνδρο μήκος και ακτίνας. Δηλαδή: V dv d Οπότε: d ρ()πd d πρ d () Άρα η ροπή αδράνειας το κλίνδρο ατού ς προς τον άξονά το είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ I () d πρ 0 d πρ 0 d 5 6 πρ πρ πρ I πρ 0 β) Επειδή κατά τη διαδικασία της ανακατανομής της μάζας το κλίνδρο ασκούνται μόνο εστερικές δνάμεις, οι εξτερικές ροπές είναι μηδέν ( τext 0) κι επειδή τ ext d/ dt 0 προκύπτει ότι η στροφορμή το κλίνδρο παραμένει σταθερή. Οπότε: αρχ τελ I I πρ M () 0 όπο Μ η μάζα το κλίνδρο, η οποία πολογίζεται με ολοκλήρση της (). Δηλαδή: M 0 d πρ d M πρ 0 6 πρ M () Σνεπώς η () λόγ της () δίνει: πρ πρ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 9 Ένα σώμα μάζας βρίσκεται προσκολλημένο στην περιφέρεια ενός οριζόντιο ομογενούς δίσκο μάζας Μ και ακτίνας. Το σύστημα δίσκο σώματος περιστρέφεται γύρ από τον κατακόρφο άξονα σμμετρίας το δίσκο χρίς τριβές με σταθερή γνιακή ταχύτητα και φορά αντίστροφη τν δεικτών το ρολογίο. α) Να δοθούν σχηματικά τα διανύσματα της στροφορμής το δίσκο και το σώματος και να πολογιστούν τα μέτρα ατών τν στροφορμών. β) Αν κάποια χρονική στιγμή το σώμα αποκολληθεί από το δίσκο, θα μεταβληθεί η γνιακή ταχύτητα περιστροφής το δίσκο; Δικαιολογήστε. Υπόδειξη: Θερείστε το σώμα ς σημειακή μάζα. Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκο ς προς άξονα σμμετρίας το κάθετο στο δίσκο: I M. (Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Η στροφορμή το δίσκο έχει μέτρο I (/ )M και είναι ομόρροπη της γνιακής ταχύτητας, όπς φαίνεται στο σχήμα. Η στροφορμή το σώματος δίνεται από τη σχέση: Δηλαδή το μέτρο της είναι: sin π/, όπο = η γραμμική ταχύτητα το σώματος. Άρα: και η κατεύθνσή της, σύμφνα με τον κανόνα το δεξιού χεριού φαίνεται στο σχήμα. β) Στο σύστημα δεν ασκούνται εξτερικές ροπές, οπότε η στροφορμή το παραμένει σταθερή. Για να σμβαίνει ατό θα πρέπει μετά την αποκόλληση το σώματος από το δίσκο να μεταβληθεί η γνιακή ταχύτητα περιστροφής το. Αν είναι η νέα γνιακή ταχύτητα το δίσκο τότε ισχύει: αρχ τελ M M ( / M) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 0 Δύο ίσες σημειακές μάζες είναι κολλημένες στα άκρα μιας εθύγραμμης ομογενούς ράβδο με μάζα Μ = και μήκος α. Το αντικείμενο ατό βρίσκεται επάν σε ένα οριζόντιο τραπέζι και μπορεί να περιστρέφεται χρίς τριβές περί κατακόρφο άξονα πο περνά από το μέσο της ράβδο Ο. Αρχικά είναι ακίνητο. Ένα σώμα με σημειακή μάζα κινείται, επάν στο τραπέζι και κάθετα στη ράβδο, χρίς τριβές με ταχύτητα, όπς στο σχήμα. Κατά την κρούση τα δύο σώματα κολλούν. α) Να βρείτε τη γνιακή ταχύτητα το σσσματώματος. β) Να βρείτε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας πο αποκτά το κέντρο μάζας το σστήματος μετά την κρούση. (Τμήμα Μηχανολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α/ O α/ ΠΡΙΝ O α/ C u ΜΕΤΑ u α) Επειδή μετά την πλαστική κρούση τν δύο σμάτν το σύστημα εκτελεί περιστροφική κίνηση ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής ς προς το Ο. Δηλαδή: αρχ τελ α sin π α π I u sin () όπο αρχικά στροφορμή ς προς το Ο έχει μόνο η κινούμενη μάζα και το μέτρο της δίνεται από την σχέση sin θ και u η γραμμική ταχύτητα τν σημειακών μαζών μετά την κρούση για την οποία ισχύει: u = α/ Λαμβάνοντας πόψη ότι : I Mα α I α η () δίνει : α α α α α α α () α β) Το κέντρο μάζας το σστήματος μετά την κρούση είναι ς προς τη θέση της πάν σημειακής μάζας: x c α α 0 α α x c 5 α 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα η απόσταση το κέντρο μάζας C από τον άξονα περιστροφής Ο είναι επομένς η γραμμική ταχύτητα το κέντρο μάζας είναι: α α 6 α κι α () α α α 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Ένας κκλικός δίσκος ακτίνας και μάζας Μο περιστρέφεται περί άξονα κάθετο στο κέντρο το με σταθερή γνιακή ταχύτητα ο. Η μάζα το δίσκο αρχίζει να αξάνει τη χρονική στιγμή t = 0 γραμμικά με το χρόνο d / dt α 0, π.χ. λόγ βροχής πο πέφτει κάθετα και ομοιόμορφα με αμελητέα ταχύτητα. Να βρεθεί η γνιακή ταχύτητα = (t). Δίνεται: Ιδίσκο = Μ / (Τμήμα Αγρονόμν Τοπογράφν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Η μόνη δύναμη πο ασκείται στο σύστημα είναι το βάρος το δίσκο, πο είναι παράλληλο στον άξονα περιστροφής κι οπότε δεν προκαλεί ροπή. Άρα αφού οι εξτερικές ροπές στο σύστημα είναι μηδέν, διατηρείται η στροφορμή ς προς τον άξονα περιστροφής. Έτσι, εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής τη χρονική στιγμή t = 0 και μια τχαία μεταγενέστερη χρονική στιγμή t προκύπτει: αρχ τελ I I M M(t) M M(t) () Η μάζα το σώματος Μ(t) πολογίζεται από το χρονικό ρθμό μεταβολής της μάζας το δίσκο. Δηλαδή: dm dt α M t dm α dt M(t) M αt () M 0 Άρα η () λόγ της () δίνει: M (M M αt) (t) M αt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Μια ομογενής ράβδος μήκος και μάζας Μ βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο και περιστρέφεται οριζοντίς, χρίς τριβές, γύρ από κατακόρφο άξονα ΑΑ πο περνά από το κέντρο μάζας της, με γνιακή ταχύτητα ο. Στα δύο άκρα της ράβδο είναι κρεμασμένα δύο μικρά δοχεία γεμάτα με άμμο, με μάζα το καθένα. Τη χρονική στιγμή t = 0 τρπούν και τα δύο δοχεία και αρχίζον να χάνον άμμο με σταθερό ρθμό k (kg/sec). Θερείστε τα δύο δοχεία ότι είναι σημειακές μάζες. α) Να πολογίσετε τη ροπή αδρανείας το σστήματος ς προς τον κατακόρφο άξονα ΑΑ. β) Να βρείτε τη νέα γνιακή ταχύτητα (t), πο θα αποκτήσει το σύστημα. γ) Να πολογίσετε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σστήματος. (Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθηματικών & Φσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) Α α) Η ροπή αδράνειας κάθε δοχείο ς προς τον άξονα ΑΑ, εφόσον λαμβάνονται ς σημειακές μάζες είναι: / I ί (t) (t) Α Αλλά: d dt k d k t 0 dt (t) kt Οπότε: I ί ( kt) Η ροπή αδράνειας της ομογενούς ράβδο είναι: I ράβδο M Άρα η ροπή αδρανείας το σστήματος ς προς τον άξονα ΑΑ είναι: I Iρ άβδο δοχείο M ( kt) M I kt () 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ β) Επειδή στο σύστημα δεν ασκούνται εξτερικές ροπές, ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. Άρα με εφαρμογή ατής μεταξύ τν χρονικών στιγμών t = 0 και μιας τχαίας t προκύπτει: kt 6 M M I I τελ αρχ () kt 6 / 6 / (t) kt 6 M 6 M () γ) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σστήματος είναι: ()() αρχ τελ I I K K ο M kt M 6 M 6 kt 6 M ο ο ο 6 M kt 6 / ) 6 / ( kt M 6 )kt (M 6

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Σώμα μάζας κινείται σε πεδίο δνάμεν και η θέση το δίνεται από το διάνσμα θέσης αcstxˆ βsint ŷ όπο α, β και είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος. α) Ποια είναι η εξίσση της τροχιάς πο διαγράφει το σώμα; β) Να πολογίσετε την ορμή το σώματος p και τη στροφορμή το ς προς την αρχή τν αξόνν. γ) Να βρείτε τη δύναμη F πο ασκείται πάν στο σώμα και να αποδείξετε ότι ατή είναι μια κεντρική δύναμη. Επιβεβαιώστε ότι είναι F 0, πολογίζοντας το εξτερικό γινόμενο. Είναι ατό το αποτέλεσμα σμβατό με την τιμή το πο βρέθηκε στο ερώτημα (β); (Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθηματικών & Φσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) α) Από το διάνσμα θέσης είναι: x α cst και y βsin t, οπότε με απαλοιφή το χρόνο προκύπτει η εξίσση τροχιάς. Δηλαδή: x α y β x cst α y sin t β cs t ( ) x α sin t y β, η οποία παριστάνει έλλειψη. β) Η ταχύτητα το σώματος είναι: d α sin txˆ β cstŷ dt Άρα η ορμή το είναι: p ( αsin txˆ βcstŷ) και η στροφορμή το ς προς την αρχή τν αξόνν είναι: xˆ α cst α sin t ŷ βsin t β cst ẑ 0 0 (αβ cs t αβ sin t)ẑ αβẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) Η δύναμη πο ασκείται στο σώμα είναι: d F α ( α cs txˆ β sin tŷ) dt (α cstxˆ βsin tŷ) F Δηλαδή η δύναμη F είναι κεντρική. Είναι: τ F ( ) 0 επειδή Επειδή τ d dt και όπς πολογίστηκε η είναι μηδέν, δηλαδή. τ 0 0 αφού //. είναι σταθερή προκύπτει επίσης ότι η ροπή ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Μια ομογενής λεπτή ράβδος έχει μήκος και μάζα Μ. Η ράβδος μπορεί να περιστραφεί γύρ από οριζόντιο άξονα πο περνά από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε ατήν. Η ροπή αδράνειας της ράβδο γύρ από ατόν τον άξονα είναι I M /. Η ράβδος είναι αρχικά ακίνητη και οριζόντια. Μια σημειακή μάζα = M/ βρίσκεται αρχικά ακίνητη πάν από το ένα άκρο της ράβδο και σε ύψος πάν από ατό. Η μάζα αφήνεται ελεύθερη, με μηδενική αρχική ταχύτητα, να πέσει και να σγκροστεί με το άκρο της ράβδο, στο οποίο και σφηνώνεται. Δείξετε ότι: α) Η γνιακή ταχύτητα της ράβδο μετά από την κρούση είναι g /. β) Κατά την κρούση, η μισή κινητική ενέργεια της μετατρέπεται σε θερμότητα. γ) Η μέγιστη γνιακή ταχύτητα το σστήματος της ράβδο και της σημειακής μάζας στην κίνηση πο θα επακολοθήσει είναι. (Σχολή Εφαρμοσμένν Μαθηματικών & Φσικών Επιστημών Ε.Μ.Π.) ax Ο ο (Α) V=0 α) Κατά την κρούση της μάζας στη ράβδο επειδή ακολοθείται περιστροφική κίνηση το σστήματος ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. Οπότε: αρχ τελ u (Γ) sin π I sin π, M M ο () όπο η ταχύτητα της μάζας ακριβώς πριν και μετά την κρούση αντίστοιχα. Επειδή η πριν την κρούση εκτελεί ελεύθερη πτώση χρίς αρχική ταχύτητα είναι: α g d dt g d dy dy dt d g dy d g dy g g () 0 0 και μετά την κρούση είναι: () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα η () γίνεται: g g g g () β) Η κινητική ενέργεια της πριν την κρούση είναι: K αρχ () g g ενώ μετά την κρούση η κινητική ενέργεια το σσσματώματος είναι: K τελ I () M () g g g g K τελ g K αρχ () Σνεπώς η μισή αρχική κινητική ενέργεια της μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση. γ) Το σύστημα αποκτά μέγιστη γνιακή ταχύτητα στην κατώτερη θέση (Γ). Έτσι εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ τν θέσεν (Α) και (Γ), θερώντας το οριζόντιο επίπεδο ς επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας προκύπτει: K A V A K V (5) g 0 I u g g g g g g g () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 5 Σώμα κινείται σε κλειστή επίπεδη τροχιά πό την επίδραση κεντρικής δύναμης πο το δίνει δναμική ενέργεια V = λ, όπο η απόστασή το από το κέντρο Ο της δύναμης και λ θετική σταθερά. Αν η ταχύτητά το στο σημείο μέγιστης απόστασης από το Ο είναι u και η ελάχιστη απόστασή το από το Ο είναι, βρείτε τη μάζα το σώματος. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Αφού στο σώμα ασκείται κεντρική δύναμη, η οποία είναι σντηρητική ισχύει για την κίνησή το η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Με εφαρμογή ατής στα σημεία μέγιστης και ελάχιστης απόστασης το σώματος από το Ο προκύπτει: K () V K V u λ u λ Επίσης, επειδή η δύναμη είναι κεντρική, η ροπή της ς προς το Ο είναι μηδέν κι επομένς η στροφορμή το σώματος παραμένει σταθερή. Άρα εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής στα σημεία μέγιστης και ελάχιστης απόστασης προκύπτει: π π u u sin u sin () u Σνεπώς αντικαθιστώντας την () στην () προκύπτει: u u λ u u λ (u u ) λ u λ u λ u λ u u (u u λ ) u (u u λ ) u ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 6 Λεπτή ράβδος μάζας Μ και μήκος βρίσκεται σε ηρεμία και είναι τοποθετημένη πάν σε οριζόντια επιφάνεια στην οποία μπορεί να ολισθήσει χρίς τριβές. Μια μπάλα από πηλό μάζας προσκρούει κάθετα στη ράβδο σε απόσταση από το κέντρο της με ταχύτητα. Ο πηλός μετά την κρούση μένει προσκολλημένος στη ράβδο. Μελετείστε τη μεταφορική και περιστροφική κίνηση της ράβδο και πολογίστε τις αντίστοιχες ταχύτητες c και. (Ροπή αδράνειας λεπτής ράβδο μάζας Μ και μήκος περί άξονα κάθετο σε ατήν διερχόμενο από το μέσο της: Ιc = M ) (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) / / C / C c Επειδή μετά την κρούση το σύστημα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση θα ισχύει τόσο η αρχή διατήρησης της ορμής όσο και η αρχή διατήρησης της στροφορμής ς προς το C. Δηλαδή: ΑΡΧΙΚΑ ΤΕΛΙΚΑ Α.Δ.Ο.: p αρχ p τελ 0 Mc () Α.Δ.Σ.: αρχ π τελ sin 0 I σστ. () όπο σστ. cράβδο cπηλού () 6 Οπότε η () λόγ της () δίνει: M ( M ) () ( M ) Επειδή όμς η ράβδος εκτελεί τατόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση είναι : c () c M (5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρα η () λόγ της (5) δίνει : M c c ( M ) c M ( M ) c c M ( )(M ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 7 Μια τετράγνη πόρτα μάζας Μ και πλεράς α είναι ανοιχτή σχηματίζοντας γνία 90 ο. Η ροπή αδρανείας της πόρτας ς προς άξονα κάθετο σε ατή πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι Iz Mα / 6. Μια σημειακή μάζα προσκρούει κάθετα στο μέσο της έξ πλεράς της με ταχύτητα και κολλάει σε ατή. Να πολογιστούν: α) Η ροπή αδρανείας το σστήματος πόρτας μάζας ς προς τον άξονα περιστροφής ΑΒ. β) Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας πο χάθηκε κατά την κρούση. γ) Ο χρόνος tολ πο απαιτείται μέχρι να κλείσει η πόρτα. (Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) A α B C α α) Σύμφνα με το θεώρημα τν κάθετν αξόνν, η ροπή αδράνειας της πόρτας ς προς τον άξονα y πο διέρχεται από το κέντρο C και είναι παράλληλος το ΑΒ, είναι: I z I x I (αφού Ιx=Iy λόγ σμμετρίας) y I y Δηλαδή: I y I z I y Mα Οπότε σύμφνα με το θεώρημα Steine η ροπή αδράνειας της πόρτας ς προς τον άξονα ΑΒ είναι: I AB I y α M Mα Mα I AB Mα Επίσης η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας ς προς τον άξονα ΑΒ είναι: I μάζας α Άρα η ροπή αδράνειας το σστήματος ς προς τον άξονα ΑΒ είναι: I σστ. Mα α () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Κατά την κρούση της μάζας με την πόρτα ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής οπότε: αρχ τελ αsin π I σστ. () α α α () M (M )α α Επομένς η ταχύτητα της σημειακής μάζας μετά την κρούση είναι: () α M () Άρα το ποσοστό της απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση είναι: K αρχ K αρχ τελ K τελ αρχ I / AB (),() M Mα / (M )α M 6 M / M 9 6 (M ) M M M γ) Επειδή η στροφορμή κατά την κίνηση της πόρτας παραμένει σταθερή, αφού δεν ασκούνται εξτερικές ροπές, θα είναι ίση με την αρχική στροφορμή αρχ α. Επίσης, η στροφορμή το σστήματος κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση οπότε: σστ. I, ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ α I σστ. () α Mα α dθ dt t ολ 0 (M )α dt π / 0 dθ t ολ πα(m ) 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

28 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 8 Σματίδιο κινείται σε πεδίο κεντρικής δύναμης με σταθερό μέτρο ταχύτητας. Με δεδομένο ότι στην περίπτση κεντρικών δνάμεν, η στροφορμή διατηρείται, δείξτε ότι το σματίδιο είτε (α) εκτελεί εθύγραμμη ομαλή κίνηση, είτε (β) κινείται σε κκλική τροχιά. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε διανσματικά μεγέθη. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Επειδή στο σματίδιο ασκείται κεντρική δύναμη η στροφορμή το παραμένει σταθερή ( σταθ.) κι επειδή προκύπτει ότι η ροπή της δύναμης ατής είναι μηδέν. Άρα από τον ορισμό της ροπής δύναμης προκύπτει: τ d/ dt τ 0 F 0 Και από το ο νόμο το Newtn είναι F α, οπότε η παραπάν γίνεται: α 0 α 0 Η παραπάν εξίσση ισχύει όταν το εξτερικό γινόμενο α μηδενίζεται, δηλαδή όταν: α) Είναι α 0 d/dt 0 δηλαδή σταθερή. Άρα όταν το διάνσμα της ταχύτητας είναι σταθερό, σημαίνει ότι η ταχύτητα είναι σταθερή κατά μέτρο και κατεύθνση, κι επομένς το σματίδιο εκτελεί εθύγραμμη ομαλή κίνηση. // α β) Είναι κι επειδή το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό, η περίπτση ατή αντιστοιχεί στην κίνηση το σματιδίο σε κκλική τροχιά. Σγκεκριμένα η επιτάχνση είναι κεντρομόλος και προφανώς η κίνηση είναι ομαλή κκλική. α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

29 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 9 Ένα σματίδιο μάζας κινείται σε πεδίο, στο οποίο η δναμική ενέργεια δίνεται από τη σχέση: V () V όπο V και είναι θετικές σταθερές και > 0 είναι η απόσταση το σματιδίο από ένα ακίνητο κέντρο Ο. Δείξτε ότι η στροφορμή το σματιδίο ς προς το κέντρο Ο παραμένει σταθερή ς προς το χρόνο t. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π., Τμήμα Μηχανικών Μεταλλείν Μεταλλοργών Ε.Μ.Π.) Η δύναμη πο ασκείται στο σματίδιο είναι: dv F ˆ V d ˆ Δηλαδή η δύναμη είναι κεντρική ( F F()ˆ ) και η ροπή της ς προς το κέντρο Ο είναι: τ F ˆ Fˆ Fˆ ˆ τ 0, επειδή ˆ ˆ 0. Άρα από τη σχέση τ d/ dt κι επειδή όπς πολογίστηκε τ 0 είναι d/ dt 0, δηλαδή η στροφορμή το σματιδίο ς προς το Ο είναι σταθερή (ανεξάρτητη το χρόνο). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

30 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 0 Σματίδιο κινείται σε πεδίο κεντρικών δνάμεν με κέντρο το Ο. Στο σχήμα παριστάνεται τμήμα της τροχιάς το σματιδίο. Αν θερηθούν τα και φ γνστά, να πολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας στη θέση Β.,, (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) B φ Α Ο Εφόσον το σματίδιο κινείται πό την επίδραση μόνο κεντρικών δνάμεν, η στροφορμή το ς προς το Ο διατηρείται σταθερή. Άρα εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής στις θέσεις Α και Β της τροχιάς το σματιδίο προκύπτει: A B sin π sin φ sin φ sin φ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

31 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Δορφόρος κινείται σε κκλική τροχιά γύρ από τη Γη. α) Ποια ποσότητα το δορφόρο πρέπει να μεταβάλλομε για να διπλασιαστεί η ακτίνα της τροχιάς; β) Πόσο θα μεταβληθεί η στροφορμή το δορφόρο όταν διπλασιαστεί η ακτίνα της τροχιάς το; (Τμήμα Ναπηγών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) α) Η βαρτική ελκτική δύναμη της Γης αποτελεί την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη της κκλικής τροχιάς το δορφόρο, μάζας. Δηλαδή ισχύει: F κ α κ M G M G όπο η ταχύτητα το δορφόρο, η ακτίνα της τροχιάς το, MΓ η μάζα της Γης και G η σταθερά παγκόσμιας έλξης. Παρατηρείται ότι αν διπλασιαστεί η ακτίνα της τροχιάς το δορφόρο, δηλαδή για η ταχύτητά το γίνεται: M G M G () Άρα αν ελαττθεί η ταχύτητα το δορφόρο κατά τον παράγοντα / η ακτίνα το θα διπλασιαστεί. β) Η στροφορμή το δορφόρο αρχικά είναι: π sin () Ενώ όταν διπλασιαστεί η ακτίνα της τροχιάς το, η στροφορμή το γίνεται: sin π () () Δηλαδή η στροφορμή το αξάνει κατά τον παράγοντα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

32 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Δύο πίθηκοι Α και Β βρίσκονται στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκος, πο περνά από μια αβαρή τροχαλία ακτίνας. Οι πίθηκοι έχον ίσες μάζες και αρχικά είναι ακίνητοι. Τη χρονική στιγμή t = 0 οι πίθηκοι αρχίζον τατόχρονα να ανεβαίνον με ταχύτητες και ς προς το σχοινί. Σε πόσο χρόνο θα φτάσει ο κάθε πίθηκος στην κορφή; (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Ο Υποθέτοντας ότι u είναι η ταχύτητα το νήματος, η ταχύτητα το πιθήκο Α ς προς το έδαφος, σύμφνα με τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο, είναι: u u / u () ενώ το πίθηκο Β είναι: A B u () Επειδή οι τάσεις πο ασκούνται στα δύο σκέλη το νήματος είναι ίσες (αφού οι πίθηκοι έχον ίσα βάρη), η σνισταμένη ροπή ς προς το κέντρο της τροχαλίας είναι μηδέν κι επομένς η στροφορμή ς προς το σημείο ατό διατηρείται. Δηλαδή: αρχ τελ 0 (),() u u u u / () Άρα οι () και () λόγ της () δίνον για τις ταχύτητες και : / / και / / Σνεπώς οι ταχύτητες τν δύο πιθήκν είναι ίσες χρειάζονται για να φτάσον την τροχαλία είναι: και ο χρόνος πο ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

33 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα / / t t / / t Σμάτιο μάζας κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος το άξονα x. Να πολογιστούν: α) Η στροφορμή το ς προς την αρχή τν αξόνν Ο. β) Η στροφορμή το ς προς το σημείο Α (0,α,0). (Κατατακτήριες για Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) y x. ˆ α) Η ταχύτητα το σματίο είναι: Αλλά επειδή η ταχύτητα είναι σταθερή είναι: A O ο Α x dx/dt 0 dx t 0 dt txˆ Άρα η στροφορμή το σματίο ς προς την αρχή τν αξόνν Ο είναι: txˆ xˆ t(xˆ xˆ ) 0 (επειδή xˆ xˆ 0). β) Από διανσματική άθροιση προκύπτει: ο txˆ - αyˆ ο Άρα η στροφορμή ς προς το σημείο Α είναι: Α ( txˆ - αy) ˆ xˆ ( txˆ xˆ - αyˆ x) ˆ αzˆ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

34 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Σώμα μάζας βάλλεται από σημείο Ο πό γνία φ με αρχική ταχύτητα ο. Υπολογίστε τη στροφορμή το ς προς το Ο σαν σνάρτηση το χρόνο. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) y (t) Το σώμα προφανώς εκτελεί πλάγια βολή. Σε μια τχαία χρονική στιγμή η θέση το καθορίζεται από το διάνσμα θέσης: O ο φ (t) x ˆ ˆ cs ˆ sin gt (t) xx yy ο φtx ο φt - ŷ ενώ η ταχύτητά το είναι: d οcsφxˆ ( οsinφ - gt)yˆ dt Άρα η στροφορμή το σώματος ς προς το σημείο Ο είναι: xˆ csφt ο ο csφ yˆ οsinφt - gt sinφ - gt ο zˆ 0 0 (t) οgcsφt ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

35 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 5 Μια σημειακή μάζα κινείται σε κκλική τροχιά πάν σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η μάζα είναι δεμένη από νήμα, το οποίο περνά από μια κεντρική οπή χρίς τριβή. Αρχικά η ταχύτητα της μάζας είναι ο και η ακτίνα της κκλικής τροχιάς. Τραβώντας το νήμα αργά η ακτίνα της τροχιάς γίνεται. Να πολογιστούν: α) Η νέα ταχύτητα της μάζας. β) Το έργο της δύναμης F με την οποία τραβιέται το νήμα. γ) Η τάση το νήματος στις δύο περιπτώσεις. (Κατατακτήριες για Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) διατηρείται η στροφορμή ς προς το Ο. Δηλαδή: O Τ F ο Τ ο α) Οι δνάμεις πο ασκούνται στη μάζα είναι η τάση το νήματος, η οποία είναι κεντρική δύναμη αφού περνά από το κέντρο Ο της οπής, το βάρος και η κάθετη αντίδραση. Η σνισταμένη ροπή τν δνάμεν ατών ς προς το κέντρο Ο είναι μηδενική αφού τ 0 και τg τ κι επομένς αρχ τελ οο ο () β) Σύμφνα με το θεώρημα έργο κινητικής ενέργειας το έργο της δύναμης F είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της μάζας, οπότε: W F τελ αρχ ο W F ο () ο ο γ) Η τάση το νήματος παρέχει σε κάθε μια από τις δύο περιπτώσεις την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη της κκλικής κίνησης. Άρα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

36 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 6 ο () και ο Ένας στερεός κύβος ακμής α και μάζας Μ γλιστράει σε μια λεία επιφάνεια τραπεζιού με σταθερή ταχύτητα ο. Στη σνέχεια χτπά σ ένα μικρό εμπόδιο στην άκρη το τραπεζιού, πο κάνει τον κύβο να γείρει. α) Βρείτε τη γνιακή ταχύτητα το κύβο ακριβώς μετά την κρούση το με το εμπόδιο, έτσι ώστε ο κύβος ν ανατραπεί. β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της ο έτσι ώστε ο κύβος ν ανατραπεί. Δίνεται η ροπή αδράνειας το κύβο ς προς μια ακμή το Ι=8Μα /. Υπόδειξη : Ο κύβος φίσταται μια μη ελαστική κρούση στο άκρο το τραπεζιού και στη σνέχεια κάνει περιστροφή καθώς ανατρέπεται. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) α C ο ο C V=0 C =0 ΑΡΧΙΚΑ α ΤΕΛΙΚΑ g α) Αμέσς μετά την κρούση με το εμπόδιο ο κύβος εκτελεί περιστροφική κίνηση με αρχική γνιακή ταχύτητα ο. Στη σνέχεια ο κύβος θα ανατραπεί (δηλαδή θα σταματήσει να περιστρέφεται) αν φτάσει σε τέτοια θέση, περιστρεφόμενος ς προς μια ακμή το, ώστε ο φορέας το βάρος να τέμνει την ακμή ατή. Επομένς εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ τν θέσεν ατών προκύπτει : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

37 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ αρχ V αρχ τελ V τελ ο gα 0 Μg α ο 8α g gα( ) ο Μgα( ) ο ( ) α () β) Κατά τη διάρκεια της κρούσης οι δνάμεις πο αναπτύσσονται είναι εστερικές κι επομένς ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. πριν () 8α g μετά οα ο οα ( ) α 6 ο gα( ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

38 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 7 Ένας δακτύλιος με μάζα και ακτίνα βρίσκεται ακίνητος πάν σ ένα λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα μικρό βλήμα με μάζα μ, πο κινείται οριζόντια με ταχύτητα, κτπά το δακτύλιο στην διεύθνση μιας εθείας πο απέχει από το κέντρο / και σφηνώνεται στην περιφέρεια το δακτλίο. α) Υπολογίστε το κέντρο μάζας το σστήματος τη στιγμή της κρούσης. β) Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας το σστήματος ς προς το κέντρο μάζας. γ) Υπολογίστε τις διατηρούμενες ποσότητες πριν και μετά την κρούση. δ) Υπολογίστε την γραμμική και την γνιακή ταχύτητα το σσσματώματος. (Τμήμα Ηλεκτρολόγν Μηχανικών Ε.Μ.Π.) / O C c φ Σ μ α) Το κέντρο μάζας το δακτλίο, λόγ σμμετρίας, βρίσκεται στο κέντρο το Ο. Επομένς ο προσδιορισμός το κέντρο μάζας το σστήματος τη στιγμή της κρούσης, όταν το βλήμα σφηνώνεται στην περιφέρεια το δακτλίο ανάγεται στην εύρεση το κέντρο μάζας δο σημειακών μαζών και μ πο βρίσκονται στα σημεία Ο και Σ αντίστοιχα. Άρα το κέντρο μάζας το σστήματος ς προς το Ο είναι : C(Ο) i i i 0 μ μ C(Ο) μ μ () Ενώ ς προς το σημείο Σ είναι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

39 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ C(Σ) i i i μ 0 μ C(Σ) μ () όπο προφανώς το κέντρο μάζας C το σστήματος βρίσκεται πάν στην εθεία ΟΣ πο ενώνει τις μάζες και μ και ισχύει C(Ο) + C(Σ) =. β) Η ροπή αδράνειας το σστήματος ς προς το κέντρο μάζας C θα ισούται με τη ροπή αδράνειας το δακτλίο ς προς το C και το βλήματος ς προς το C, δηλαδή : I I () σστ.( C) δακτ.( C) βλημ.( C) Η ροπή αδράνειας το δακτλίο ς προς το κέντρο το Ο εύκολα πολογίζεται ς : Ιδακτ.(Ο) = () Έτσι από το θεώρημα Steine είναι : σστ.( C) I δακτ.( O) (),() C(O) μ ( μ) I μ ( μ) δακτ.( C) (5) Επίσης η ροπή αδράνειας το βλήματος ς προς το C είναι : βλημ.( C) () μ μ C(Σ) βλημ.(c) (6) ( μ) Άρα τελικά η () λόγ τν (5) και (6) δίνει : I σστ.( C) μ ( μ) μ ( μ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

40 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ μ ( μ) μ ( μ) μ μ σστ.( C) (7) ( μ) γ) Επειδή μετά την πλαστική κρούση το βλήματος με το δακτύλιο, το σσσμάτμα θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση (μια μεταφορική κίνηση το κέντρο μάζας C με γραμμική ταχύτητα c και μια περιστροφική κίνηση το σστήματος περί άξονα πο διέρχεται από το C με γνιακή ταχύτητα ) θα ισχύον η αρχή διατήρησης της ορμής και η αρχή διατήρησης της στοφορμής. δ) Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής κατά την κρούση προκύπτει : p πριν p μετά μ 0 ( μ) c c μ μ (8) Ενώ εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής κατά την κρούση προκύπτει : μ sinφ Ι (9) πριν μετά C(Σ) σστ.(c) όπο / sinφ sin φ και λόγ τν () και (7) η (9) τελικά δίνει : μ μ μ μ μ( μ) ( μ) ( μ μ) (0) Οι σχέσεις (8) και (0) παρέχον τη γραμμική και τη γνιακή ταχύτητα το σσσματώματος ακριβώς μετά την κρούση. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ