ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1

2 Συστήµατα εξισώσεων: Βασικές έννοιες Μέχρι τώρα υποθέταµε ότι το υπόδειγµα περιέχει µία εξίσωση και η αιτιακή σχέση (causal relationship) είναι προς µία κατεύθυνση, οι ερµηνευτικές µεταβλητές προσδιορίζουν την εξαρτηµένη µεταβλητή και η εξαρτηµένη µεταβλητή δεν προσδιορίζει τις ερµηνευτικές µεταβλητές. Συχνά οικονοµικά φαινόµενα µπορούν να περιγραφούν µε υποδείγµατα που περιλαµβάνουν πάνω από µία εξίσωση και είναι συστήµατα εξισώσεων (system of equations). To σύστηµα εξισώσεων περιγράφει την διάρθρωση (structure) του φαινοµένου µε τις διαρθρωτικές εξισώσεις (structural equations) και είναι σε διαρθρωτική µορφή (structural form). 2

3 Οι διαρθρωτικές εξισώσεις χωρίζονται σε Εξισώσεις συµπεριφοράς (behavioral equations) Ταυτότητες (identities) Οι µεταβλητές του συστήµατος εξισώσεων χωρίζονται σε Ενδογενείς (endogenous), όταν οι τιµές τους καθορίζονται µέσα από το σύστηµα εξισώσεων. Εξωγενείς (exogenous), όταν οι τιµές τους καθορίζονται εκτός του συστή- µατος εξισώσεων. Προκαθορισµένες (predetermined) µεταβλητές του συστήµατος εξισώσεων είναι οι εξωγενείς µεταβλητές και οι υστερήσεις των ενδογενών µεταβλητών. Το σύστηµα εξισώσεων είναι στατικό (static) όταν βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και δυναµικό (dynamic) όταν περιγράφει τη δυναµική εξέλιξη των µεταβλητών. 3

4 Το σύστηµα εξισώσεων είναι στοχαστικό (stochastic), αν τουλάχιστον µία εξίσωση συµπεριφοράς περιέχει διαταρακτικό όρο. Το σύστηµα εξισώσεων είναι πλήρες (complete) όταν ο αριθµός των εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των ενδογενών µεταβλητών. Όταν το σύστηµα εξισώσεων λύνεται ως προς τις προκαθορισµένες µεταβλητές είναι σε ανηγµένη µορφή (reduced form). Όταν το σύστηµα εξισώσεων λύνεται ως προς τις εξωγενείς µεταβλητές είναι σε τελική µορφή (final form). Στην εκτίµηση των συστηµάτων εξισώσεων σε διαρθρωτική µορφή εµφανίζονται δύο επιπλέον προβλήµατα: Σφάλµα αλληλεξάρτησης (simultaneity) Ταυτοποιήση (identification) 4

5 Παράδειγµα C =κατανάλωση, W =εισόδηµα, I =επένδυση Διαρθρωτική µορφή συστήµατος εξισώσεων: C t = α 0 + α 1 W t + α 2 C t 1 + u t (1) W t = C t + I t (2) Οι εξισώσεις (1) και (2) είναι οι διαρθρωτικές εξισώσεις. Η εξίσωση (1) είναι εξίσωση συµπεριφοράς. Η εξίσωση (2) είναι ταυτότητα. Οι µεταβλητές C t και W t είναι ενδογενείς. Οι µεταβλητές 1 t = 1 και I t είναι εξωγενείς µεταβλητές. Οι µεταβλητές 1 t = 1, I t και C t 1 είναι προκαθορισµένες µεταβλητές. Το σύστηµα εξισώσεων (1) και (2) είναι δυναµικό, στοχαστικό και πλήρες. 5

6 Ανηγµένη µορφή συστήµατος εξισώσεων: C t = α 0 1 α 1 + α 1 1 α 1 I t + α 2 1 α 1 C t 1 + = π 11 + π 12 I t + π 13 C t 1 + v 1t W t = α 0 1 α α 1 I t + α 2 1 α 1 C t 1 + = π 21 + π 22 I t + π 23 C t 1 + v 2t Τελική µορφή συστήµατος εξισώσεων: C t = π 11 1 π 13 + π 12 I t + π 12 π 13 I t 1 + π 12 π 2 13I t v 1t + π 13 v 1,t 1 + π 2 13v 1,t W t = π 21 1 π 23 + π 22 I t + π 22 π 23 I t 1 + π 22 π 2 23I t v 2t + π 23 v 2,t 1 + π 2 23v 2,t α 1 u t (3) 1 1 α 1 u t (4) 6

7 Συστήµατα εξισώσεων Διαρθρωτική µορφή ενός πλήρους συστήµατος γραµµικών εξισώσεων β 11 Y t β 1G Y tg + γ 11 X t γ 1K X tk = u t1..., t = 1,..., T β G1 Y t β GG Y tg + γ G1 X t γ GK X tk = u tg Συµβολισµός µε πίνακες: BY + ΓX = u ( ) όπου Y = Y Y T 1.. Y 1G... Y T G, X = X X T 1.. X 1K... X T K 7

8 B = β β 1G.. β G1... β GG, Γ = γ γ 1K.. γ G1... γ GK, u = u u T 1.. u 1G... u T G Y 1,..., Y G είναι οι ενδογενείς µεταβλητές και X 1,..., X K είναι οι προκαθορισµένες µεταβλητές. Κάποιοι από τους συντελεστές β gg, γ gk µπορεί να είναι γνωστοί. Αν υπάρχει σταθερός όρος, θέτουµε X t1 = 1, t = 1,..., T. Αν η g εξίσωση είναι ταυτότητα, θέτουµε u tg = 0, t = 1,..., T. Σε κάθε g εξίσωση, o συντελεστής β gg µπορεί να γίνει ίσος µε µονάδα και τότε η ενδογενής µεταβλητή Y g γίνεται η εξαρτηµένη µεταβλητή. Όταν εφαρµοστεί ο κανόνας της τυποποιήσεως σε όλες τις εξισώσεις, το υπόδειγµα είναι το σύστηµα ταυτόχρονων γραµµικών διαρθρωτικών εξισώσεων. 8

9 Ανηγµένη µορφή ενός πλήρους συστήµατος γραµµικών εξισώσεων Y t1 = π 11 X t π 1K X tk + v t1... Y tg = π G1 X t π GK X tk + v tg, t = 1,..., T Συµβολισµός µε πίνακες: Y = ΠX + v ( ) όπου Π = π π 1K.. π G1... π GK, v = v v T 1.. v 1G... v T G. 9

10 Παράδειγµα (συνέχεια) Συµβολισµός µε πίνακες της διαρθρωτική µορφής συστήµατος εξισώσεων: BY + ΓX = u Y = C 1... C T W 1... W T, X = I 1 I T C 0... C T 1 B = 1 α 1 1 1, Γ = α 0 0 α , u = u 1... u T Συµβολισµός µε πίνακες της ανηγµένης µορφής συστήµατος εξισώσεων: Y = ΠX + v Π = π 11 π 12 π 13 π 21 π 22 π 23, v = v v T 1 v v T 2 10

11 Συστήµατα εξισώσεων: Είδη 1. Περιοδικό (recursive) σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι τριγωνικός B = β β G β GG 2. Κατά οµάδες περιοδικό (block recursive) σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι οµαδικά τριγωνικός B = B B r B rr όπου B ij, i, j = 1,..., r, είναι πίνακες. 11

12 3. Σύστηµα φαινοµενικά µη συνδεόµεων (seemingly unrelated) εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι διαγώνιος B = β β GG 4. Οµάδες (blocks) συστηµάτων εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι οµαδικά διαγώνιος B = B B rr 5. Γενικό σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B δεν είναι της µορφής

13 Συστήµατα εξισώσεων: Ταυτοποιήση Από τη διαρθρωτική και την ανηγµένη µορφή του συστήµατος εξισώσεων ( ) και ( ) ισχύει ότι Π = B 1 Γ ( ) Αν το σύστηµα εξισώσεων ( ) δεν µπορεί να λυθεί ως προς τους B και Γ, τότε δεν µπορεί να βρεθεί η διαρθρωτική µορφή του συστήµατος ( ) και το σύστηµα εξισώσεων ( ) δεν ταυτοποιείται (not identified). Αν το σύστηµα εξισώσεων ( ) µπορεί να λυθεί ως προς τους B και Γ, τότε µπορεί να βρεθεί η διαρθρωτική µορφή του συστήµατος ( ) και το σύστηµα εξισώσεων ( ) ταυτοποιείται (identified). Η ταυτοποιήση (identification) του συστήµατος γίνεται εξίσωση προς εξίσωση. Οι ταυτότητες δεν έχουν πρόβληµα ταυτοποίησης. 13

14 Συνθήκες ταυτοποίησης της διαρθρωτικής εξίσωσης συµπεριφοράς: 1. Συνθήκη τάξης (order condition) K G 1 K είναι ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταβλητών που δεν περιλαµβάνονται στη διαρθρωτική εξίσωση. G είναι ο αριθµός των ενδογενών µεταβλητών που περιλαµβάνονται στη διαρθρωτική εξίσωση. 2. Συνθήκη βαθµού (rank condition) r( ) = G 1 είναι ο πίνακας των συντελεστών όλων των µεταβλητών που δεν περιλαµβάνονται στη διαρθρωτική εξίσωση. G είναι ο αριθµός των εξισώσεων του συστήµατος. 14

15 Αν η συνθήκη τάξης ή η συνθήκη βαθµού δεν ισχύει, τότε η διαρθρωτική εξίσωση δεν ταυτοποιείται (not identified). Αν η συνθήκη τάξης και η συνθήκη βαθµού ισχύουν, τότε η διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται: Αν η συνθήκη τάξης ισχύει µε = και η συνθήκη βαθµού ισχύει, τότε η διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ακριβώς (exactly identified). Αν η συνθήκη τάξης ισχύει µε > και η συνθήκη βαθµού ισχύει, τότε η διαρθρωτική εξίσωση υπερταυτοποιείται (overidentified). 15

16 Συστήµατα εξισώσεων: Εκτίµηση Σε κάθε εξίσωση της ανηγµένης µορφής του συστήµατος ( ) γίνονται οι βασικές υποθέσεις Α.1-Α.5. Για τα σφάλµατα διαφορετικών διαρθρωτικών εξισώσεων γίνεται η υπόθεση ότι για κάθε g, g = 1,..., G, ισχύει ότι Cov(u tg, u tg ) = σ gg και Cov(u tg, u sg ) = 0, για κάθε t s. Κάθε εξίσωση της ανηγµένης µορφής του συστήµατος ( ) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. Σφάλµα αλληλεξάρτησης: Αν η διαρθρωτική εξισώση συµπεριφοράς περιέχει πάνω από δύο ενδογενείς µεταβλητές, τότε η υπόθεση Α.3/Α.3 δεν ισχυεί και υπάρχει το πρόβληµα της ενδογένειας. Όταν υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης, η διαρθρωτική εξίσωση ( ) πρέπει να ταυτοποιείται για να εκτιµηθεί. 16

17 Μέθοδοι εκτίµησης µίας διαρθρωτικής εξίσωσης (single equation methods): 1. Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS (indirect least squares) 2. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS (two-stages least squares) 3. Μέθοδος µεγίστης πιθανοφάνειας µε περιορισµένες πληροφορίες LIML (limited-information maximum likelihood) Μέθοδοι ταυτόχρονης εκτίµησης όλων των διαρθρωτικών εξισώσεων (systems methods): 1. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS (three-stages least squares) 2. Μέθοδος µεγίστης πιθανοφάνειας µε όλες τις πληροφορίες FIML (fullinformation maximum likelihood) 17

18 Όλες οι µέθοδοι δίνουν συνεπείς εκτιµητές των συντελεστών των διαρθρωτικών εξισώσεων. Αν υπάρχει ταυτόχρονη συσχέτιση ανάµεσα στα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων, Cov(u tg, u tg ) = σ gg 0 για κάποια g, g = 1,..., G, τότε µόνο οι µέθοδοι ταυτόχρονης εκτίµησης δίνουν ασυµπτωτικά αποτελεσµατικούς εκτι- µητές των συντελεστών. 18

19 Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS Για την εκτίµηση διαρθρωτικής εξίσωσης που ταυτοποιείται ακριβώς. Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS: 1. Οι συντελεστές κάθε ανηγµένης εξίσωσης ( ) εκτιµούνται µε τη µέθοδο ΟLS. 2. Από τη σχέση ( ), βρίσκουµε τις εκτιµήσεις των συντελεστών των διαρθρωτικών εξισώσεων. Η µέθοδος ΙLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο IV στη διαρθρωτική εξίσωση µε βοηθητικές µεταβλητές τις προκαθορισµένες µεταβλητές που δεν περιλαµβάνονται στην εξίσωση. 19

20 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS Για την εκτίµηση διαρθρωτικής εξίσωσης που υπερταυτοποιείται. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS: 1. Οι συντελεστές κάθε ανηγµένης εξίσωσης ( ) εκτιµούνται µε ΟLS και υπολογίζονται οι υπολογισµένες τιµές των ενδογενών µεταβλητών. 2. Σε κάθε υπερταυτοποιηµένη διαρθρωτική εξίσωση, αντικαθιστούµε κάθε ενδογενή µεταβλητή (που είναι ερµηνευτική µεταβλητή) από την υπολογισµένη τιµή της από το πρώτο στάδιο και εκτιµάµε µε τη µέθοδο ΟLS. Η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο GIVE στη διαρθρωτική εξίσωση µε βοηθητικές µεταβλητές τις προκαθορισµένες µεταβλητές που δεν περιλαµβάνονται στην εξίσωση. Αν η διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ακριβώς, η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο ΙLS. 20

21 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS Για την ταυτόχρονη εκτίµηση διαρθρωτικών εξισώσεων που ταυτοποιούνται όταν υπάρχει ταυτόχρονη συσχέτιση ανάµεσα στα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS: Ακολουθούνται τα δύο στάδια της µέθοδου 2SLS. 3. Χρησιµοποιούνται τα κατάλοιπα από το δεύτερο στάδιο και εφαρµόζεται η µέθοδος φαινοµενικά µη συνδεόµενων παλινδροµήσεων SURE (seemingly unrelated regression equations). Αν τα σφάλµατα µεταξύ των διαφορετικών διαρθρωτικών εξισώσεων είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα, Cov(u tgt, u tg ) = 0 για όλα g g και t, η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο 3SLS. 21

22 Παράδειγµα (συνέχεια) Η διαρθρωτική εξίσωση συµπεριφοράς (1) περιέχει 2 ενδογενείς µεταβλητές. Από την ανηγµένη εξίσωση (4) έχουµε ότι η ενδογενής µεταβλητή W t συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα v 2t = 1 1 α 1 u t. Άρα στη διαρθρωτική εξίσωση (1), η ερµηνευτική µεταβλητή W t συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα u t και εποµένως η υπόθεση Α.3/Α.3 δεν ισχυεί. Στη διαρθρωτική εξίσωση (1) υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης. Αφού υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης στη διαρθρωτική εξίσωση (1), η διαρθρωτική εξίσωση (1) δεν µπορεί να εκτιµηθεί µε OLS. Άρα εξετάζουµε την ταυτοποίηση του συστήµατος εξισώσεων (1) και (2). Γράφουµε C t α 1 W t α 0 α 2 C t 1 = u t (1) C t + W t I t = 0 (2) 22

23 Ταυτοποίηση της διαρθρωτικής εξίσωσης (1): 1. Συνθήκη τάξης K = 1, G = 2 = K = G 1 2. Συνθήκη βαθµού = [ 1], G = 2 = r( ) = G 1 Αφού η συνθήκη τάξης ισχύει µε = και η συνθήκη βαθµού ισχύει, η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς. Η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν έχει πρόβληµα ταυτοποίησης αφού είναι ταυτότητα. 23

24 Βρήκαµε ότι η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς και η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν έχει πρόβληµα ταυτοποίησης. Τα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων (1) και (2) είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα, αφού η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν περιέχει σφάλµα. Κατάλληλη µέθοδος εκτίµησης της διαρθρωτικής εξίσωσης (1) είναι η ILS, αφού η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς και τα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα. Οι ILS εκτιµητές των συντελεστών της διαρθρωτικής εξίσωσης (1) είναι συνεπείς και ασυµπτωτικά αποτελεσµατικοί. Η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν χρειάζεται εκτίµηση αφού είναι ταυτότητα. 24