ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [α, β], τότε να δείξετε ότι β (t) dt G(β) G(α) Μονάδες α Β Έστω η συνάρτηση () = ημ Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ΙR και ισχύει () = συν Μονάδες 8 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμήμονάδα β Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονημονάδα γ Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο και lim () Μονάδα δ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ΙR, τότε ε Αν lim (), lim ()d () ()d Μονάδα τότε () > κοντά στο Μονάδα (), τότε ΘΕΜΑ ο Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και (ν) = i ν, ν IN* α Να δείξετε ότι () + (8) + () + (8) = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το ΙR Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης og είναι - α Να δείξετε ότι η g είναι - Μονάδες 7 β Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(() + - ) = g(() + -) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα Μονάδες 8 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

3 ΘΕΜΑ 4ο α Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β] Να αποδείξετε ότι αν h() > g() για κάθε [α, β], τότε και β β h()d g()d Μονάδες α α β Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ΙR συνάρτηση, που ικανοποιεί τις σχέσεις: () () e, ΙR και () = ι) Να εκφραστεί η ως συνάρτηση της Μονάδες 5 ιι) Να δείξετε ότι () (), για κάθε > Μονάδες ιιι) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι 4 E () Μονάδες 6 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

4 ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτόμονάδες 8 Β Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Μονάδες 7 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν ένας μιγαδικός αριθμός και Μονάδες _ ο συζυγής του, τότε ισχύει β Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν ()> για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι κυρτή στο ΔΜονάδες γ Για κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει, c IR ()d () c Μονάδες δ Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράστασημονάδες ε Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και ( )=, τότε η παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =α+βi, όπου α,βir και w= συζυγής του _ i +4, όπου _ είναι ο α Να αποδείξετε ότι Re(w)=α β+4 και Ιm(w)=β α Μονάδες 6 β Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y= Μονάδες 9 γ Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=, έχει το ελάχιστο μέτρο Μονάδες ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 4

5 ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση () = α Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη συνάρτηση Μονάδες 6 β Να αποδείξετε ότι (e ) (+) για κάθε IR Μονάδες 6 γ Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο (,) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της Μονάδες 5 δ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση = Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β) Αν ισχύει (α) = (β) = και υπάρχουν αριθμοί γ(α,β), δ(α,β), έτσι ώστε (γ) (δ)<, να αποδείξετε ότι: α Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ()= στο διάστημα (α,β) β Υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε (ξ )< και (ξ )> γ Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 5

6 ΜΑΪΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι ( )= Μονάδες Β Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθοςδίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Μονάδες β lim ( ) l, αν και μόνο αν lim ( ) lim ( ) l Μονάδες γ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) = ( ) g ( ) Μονάδες δ Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Μονάδες ε Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β] Αν G είναι μια παράγουσα της στο β [α,β], τότε (t) dt G( ) G( ) Μονάδες ΘΕΜΑ ο α Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο ()= ln α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα Μονάδες β Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής Μονάδες 8 γ Να βρείτε το σύνολο τιμών της Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση g()=e (), όπου συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR και ()=( ) = α Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε (ξ)= (ξ) Μονάδες 8 β Εάν ()=, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι(α) = α g() d, α IR Μονάδες 8 γ Να βρείτε το όριο lim ( ) Μονάδες 9 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 6

7 ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνεχής συνάρτηση : IR IR τέτοια ώστε ()= Αν για κάθε IR, ισχύει όπου =α+βi C, µε α, β IR *, τότε: g ( ) ( t) dt ( ) α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο IR και να βρείτε τη g Μονάδες 5 β Nα αποδείξετε ότι Μονάδες 8 γ Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι Re( ) = Μονάδες 6 δ Aν επιπλέον ()=α>, ()=β και α>β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( )= Μονάδες 6 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 7

8 ΜΑΪΟΥ 5 ΘΕΜΑ ο Α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Αν η είναι συνεχής στο [α, β] και (α) (β) δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των (α) και (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιος, ώστε ( ) = η Μονάδες 9 Α Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο + ; Μονάδες 4 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η είναι συνεχής στο [α, β] με (α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε (ξ) =, τότε κατ ανάγκη (β) > Μονάδες β Αν υπάρχει το lim () g() τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim () lim g() Μονάδες γ Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση - και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της - Μονάδες δ Αν lim () lim () = και () > κοντά στο, τότε Μονάδες ε Αν η είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει (t) dt () (α) για κάθε Δ Μονάδες α στ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μονάδες και ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 9 α Δείξτε ότι: Μονάδες 7 β Δείξτε ότι ο αριθμός με είναι πραγματικός Μονάδες 9 γ Δείξτε ότι: Μονάδες9 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 8

9 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = e λχ, λ > α Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες β Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ Μονάδες 7 γ Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, είναι Ε(λ) = λ e Μονάδες 8 δ Υπολογίστε το lim λ λ Ε(λ) ημλ Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση () = e () για κάθε IR και () = e α Να δειχθεί ότι: () = ln β Να βρεθεί το: lim γ Δίδονται οι συναρτήσεις: h() = ( t)dt ημχ Μονάδες 6 t 5 7 (t) dt και g() = 7 Δείξτε ότι h() = g() για κάθε IR Μονάδες 7 Μονάδες 6 δ Δείξτε ότι η εξίσωση t 5 (t) dt = 8 Μονάδες 6 έχει ακριβώς μία λύση στο (, ) ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 9

10 ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ 6 A Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι: Αν ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν ()< σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Μονάδες Α Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; Μονάδες 5 B Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει Μονάδες ο ΘΕΜΑ β Αν υπάρχει το lim ( ) τότε ( ) κοντά στο Μονάδες γ H εικόνα (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα Μονάδες δ Ισχύει ο τύπος, για κάθε IR Μονάδες ε Ισχύει η σχέση ) g( ) d ( ) g( ), g ( ) g( ) d είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες Θεωρούμε τη συνάρτηση () =+(-) με α Να αποδείξετε ότι η είναι - Μονάδες 6 (, όπου β Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση - της και να βρείτε τον τύπο της Μονάδες 8 γ i Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και - με την ευθεία y= Μονάδες 4 ii Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και - Μονάδες 7 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

11 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, α Να αποδείξετε ότι: i Μονάδες 9 με και ii 4 και Re( ) Μονάδες 8 β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν Μονάδες 8 ο ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η συνάρτηση () ln - α Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης Μονάδες 8 β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της Μονάδες 5 γ Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g()=ln στο σημείο Α(α,lnα) με α> και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h()=e στο σημείο Β(β,e β ) με β IR ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης ()= Μονάδες 9 δ Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες Μονάδες ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

12 ΘΕΜΑ ο ΜΑΪΟΥ 7 A Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: = Μονάδες 8 Α Πότε δύο συναρτήσεις, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α Πότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ; Μονάδες B Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε ε [ α, β] ισχύει () β τότε ()d Μονάδες α β Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο τότε () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Μονάδες γ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο Μονάδες δ Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα σημείο του, g() τότε (t)dt= g() g ( ) με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα α σύμβολα έχουν νόημα Μονάδες ε Αν α > τότε lim α Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i i με α ε IR α Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ = Μονάδες 9 β Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο αντίστοιχα i Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και Μονάδες 8 i για α = και α = i ii Να αποδειχθεί ότι ισχύει: για κάθε φυσικό αριθμό ν Μονάδες 8 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

13 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση: () = ημ θ όπου θ ε IR μια σταθερά με π θ κπ+, κ ε Z α Να αποδειχθεί ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής Μονάδες 7 β Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση () = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες Μονάδες 8 γ Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και η θέση του σημείου καμπής της, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, ( )), B(, ( )) και Γ(, ( )) βρίσκονται στην ευθεία y = ημ θ Μονάδες δ Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y = ημ θ Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει () > Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει g() > για κάθε ε [, ] Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F() = (t)g(t)dt, ε [, ], G() = g(t)dt, ε [, ] α Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστημα (, ] Μονάδες 8 β Να αποδειχθεί ότι: () G() > F() για κάθε στο διάστημα (, ]Μονάδες6 γ Να αποδειχθεί ότι ισχύει: F() G() F() G() για κάθε στο διάστημα (, ] Μονάδες 4 δ Να βρεθεί το όριο: lim (t)g(t)dt 5 g(t)dt ημt dt Μονάδες 7 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

14 ΜΑΪΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln, IR* είναι παραγωγίσιμη στο IR* και ισχύει: ln Μονάδες A Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν μια συνάρτηση :A IR είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση - ισχύει: (()), A και ( (y)) y, y (A) Μονάδες β Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Μονάδες γ Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης α +β+γ= με α,β,γ IR και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών Μονάδες δ Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει ( ) > για κάθε πραγματικό αριθμό Μονάδες ε Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει β ()d α γ β ()d ()d Μονάδες α γ ΘΕΜΑ ο Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν ( i ) 6 και w ( i) w ( i ) τότε να βρείτε: α το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών Μονάδες 6 β το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w Μονάδες 7 γ την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6 δ την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 4

15 ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση () ln,, α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο Μονάδες β Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της Μονάδες 9 γ Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης πραγματικές τιμές του α Μονάδες 6 α e για όλες τις δ Να αποδείξετε ότι ισχύει (+)>(+) (), για κάθε > Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει () ( ) (t) dt 45 α Να αποδείξετε ότι ()= Μονάδες 8 β Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR Να αποδείξετε ότι g () g ( h) g () lim Μονάδες 4 h h γ Αν για τη συνάρτηση του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (β) ισχύει g( h) g() g( h) h ότι lim () 45 h και g()=g ()=, τότε i να αποδείξετε ότι g()= Μονάδες ii να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι Μονάδες ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 5

16 ΜΑΪΟΥ 9 ΘΕΜΑ o Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει (), να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Μονάδες Β Πότε μία συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει Μονάδες β Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, όταν () ( ) για κάθε A Μονάδες συν - γ lim Μονάδες δ Κάθε συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Μονάδες ε Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει ()< για κάθε [α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες =α, =β και τον άξονα είναι : Ε(Ω) β ()d Μονάδες α ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ+)+(λ )i, λr Αα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λr Μονάδες 9 β Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός =-i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Μονάδες 8 Β Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w w όπου προηγούμενο ερώτημα Μονάδες 8 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 6

17 ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση () α ln( ) όπου α και α, - A Αν ισχύει () για κάθε -, να αποδείξετε ότι α=e Μονάδες 8 Β Για α=e, α να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή Μονάδες 5 β να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Μονάδες 6 γ αν β, γ,, β - γ - -, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ) Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει t - (t)dt Ορίζουμε τις συναρτήσεις H() t(t)dt, [, ], G() H() 6lim t (t)dt t t,, (,] α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστημα [, ] Μονάδες 5 β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) και ότι ισχύει H() G (), Μονάδες 6 γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός α(, ) τέτοιος ώστε να ισχύει Η(α)= Μονάδες 7 δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός ξ(, α) τέτοιος ώστε να ισχύει α ξ t(t)dt ξ α (t)dt Μονάδες 7 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 7

18 ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ o Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι : όλες οι συναρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c, c είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G( ) F( ) c, c Μονάδες 6 Α Πότε η ευθεία, λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ;Μονάδες 4 Α Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγισιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Μονάδες 5 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών τους ακτίνων β Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγισιμη στο εσωτερικό του Δ Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ γ Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β) όπου lim ( ) και lim ( ) δ, ε Αν lim ( ), τότε ( ) κοντά στο Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση, όπου C με α Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης Μονάδες 7 β Να αποδείξετε ότι : Μονάδες 6 γ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει : w 4 i τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο Μονάδες 7 δ Για τους μιγαδικούς w του προηγούμενου ερωτήματος να δείξετε ότι : w 7 Μονάδες 5 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 8

19 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( ) R α να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση Μονάδες 5 ( ) β να λύσετε την εξίσωση : 4 ln Μονάδες 7 γ να αποδείξετε ότι η έχει δυο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα σημεία καμπής τέμνονται σε σημείο του άξονα y y Μονάδες 6 δ να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) d Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις : t ( ) και ( ) dt ( t) t ( ) Δ Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγισιμη στο R με παράγωγο ( ), ( ) Μονάδες 5 Δ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) ( ) ( ) Μονάδες 7 Δ Να αποδείξετε ότι ( ) 9, Μονάδες 6 Δ4 Να αποδείξετε ότι : ( t) dt,, είναι σταθερή ( t) dt για κάθε ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 9

20 ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγισιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι : ( ) Μονάδες Α Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο R Πότε η ευθεία y=λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ; Μονάδες 5 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Για κάθε μιγαδικό ορίζουμε β Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, ισχύει η συνεπαγωγή αν τότε ( ) ( ) γ Για κάθε / ισχύει ότι δ Ισχύει ότι lim ε Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,w με w i i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : i i και i Β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών Β Να αποδείξετε ότι i i Β Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w Β4 Να αποδείξετε ότι w ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

21 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση :, δυο φορές παραγωγισιμη στο, με ( ) (), η οποία e ( ) ( ) ( ) ( για κάθε ικανοποιεί τη σχέση : ) Γ Να αποδείξετε ότι ) lne (, Μονάδες 8 Γ Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες Γ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δυο σημεία καμπής Μονάδες 7 Γ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e Μονάδες 7 ln έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα, ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g :, οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i ( ) και g ( ) ii t ( ) e dt e g( t) iii t g( ) e dt e ( t) Δ Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγισιμες στο R και ότι ( ) g( ) για κάθε Μονάδες 9 Δ Να αποδείξετε ότι ( ) e, Μονάδες 4 Δ Να υπολογίσετε το όριο : ln ( ) lim Μονάδες 5 Δ4 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F( ) ( t ) dt τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση = Μονάδες 7 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

22 ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Μονάδες 7 Α Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 Α Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δυο συζύγων μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχειό y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) y έχει ακριβώς μια λύση ως προς γ Αν lim ( ), τότε ( ) κοντά στο δ Για κάθε / ισχύει ότι ε ) g( ) d ( ) g( ) ( ( ) g( ) d, όπου, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [ΑΒ] Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : 4 και w 5w Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ= Μονάδες 6 Β Αν, είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει, να βρείτε το Μονάδες 7 Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση y και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 9 4 w Μονάδες 6 Β4 Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς,w να αποδείξετε ότι w 4 Μονάδες 6 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

23 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )ln, Γ Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της Μονάδες 6 Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e, έχει ακριβώς δυο θετικές ρίζες Μονάδες 6 Γ Αν, με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει, ) τέτοιο, ώστε ) ( ) Μονάδες 6 ( ( Γ4 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) ( ) με, τον άξονα και την ευθεία =e Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση ( ) : (,), η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις : ( t) dt e ln t t ln dt e ( ) ( t) Δ Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγισιμη και να βρείτε τον τύπο της Μονάδες Αν είναι ( ) e (ln ),, τότε : Δ Να υπολογίσετε το όριο lim ( ) ( ) Μονάδες 5 ( ) Δ Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F ( ) ( t) dt,, όπου α>, είναι κυρτή (Μονάδες ) Στη συνέχεια να a αποδείξετε ότι : F( ) F() F(), για κάθε (Μονάδες 4) Δ4 Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β> Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο ώστε: F( ) F( ) F( ) Μονάδες 4 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

24 ΜΑΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] Αν G είναι μια παράγουσα της στο [α, β β], τότε να αποδείξετε ότι: =G (β) G(α) Μονάδες 7 α (t)dt A Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού(ΘΜΤ) Μονάδες 4 A Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη ρ, ρ > παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K ( o ) και ακτίνα ρ, α) Η εξίσωση o όπου, o μιγαδικοί αριθμοί β) Αν lim () <, τότε () < κοντά στο o o γ) Ισχύει ότι: ημ για κάθε R συν δ) Ισχύει ότι: lim ε) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: ( )( ) + = B Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, είναι κύκλος με κέντρο K(,) και ακτίνα ρ = (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι (μονάδες ) Μονάδες 8 B Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της Im( ) Im( ) εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ R, και τότε να αποδείξετε ότι: β = 4 και γ = 5 Μονάδες 9 B Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α o, α, α οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: V + α v + α v + α = τότε να αποδείξετε ότι: v 4 Μονάδες 8 ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 4

25 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συναρτήσεις,g :R R, με παραγωγίσιμη τέτοιες ώστε: ( () + ) ( () + ) =, για κάθε R () = και g () = + Γ Να αποδείξετε ότι: () =, R Μονάδες 9 Γ Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης (g()) = Μονάδες 8 Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, π 4 π o 4 (t)dt π = ( 4 ) εφ Μονάδες 8 ) τέτοιο, ώστε: ΘΕΜΑ Δ Έστω : (, + ) R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) () = ( 5h) ( h) lim h h Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g () = Να αποδείξετε ότι: (t) dt, (, + ) και α > α t Δ () = (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες ) Μονάδες 6 Δ η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες ), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο R g(u)du g(u)du (μονάδες 6) Μονάδες Δ η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση (t) ( α ) dt = (( α) ) ( α), > έχει ακριβώς μια λύση Μονάδες α t ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 5

26 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ : ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w τέτοιοι ώστε α να βρείτε το μέτρο του i w Αν i w i β αν w, να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα γ αν =+yi με, y να αποδείξετε ότι : ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i Αν yi i και 4i y y Re( w ) και Im( w ),, y, να αποδείξετε ότι =- και y= ii Αν μια ρίζα της εξίσωσης, όπου, είναι η, να βρείτε τις τιμές των β και γ iii Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει ΘΕΜΑ ( ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 5) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και i i Να αποδείξετε ότι i και 6 6 i ii Να αποδείξετε ότι : iii Θωρούμε το μιγαδικό αριθμό ΘΕΜΑ 4 ( ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 6) Έστω ότι για το μιγαδικό αριθμό ισχύει : i Να δείξετε ότι 5 5 ii Να δείξετε ότι : w k i k, ( 5 k Να αποδείξετε ότι ισχύει Im( ) 5 5 ) ( 5) iii Αν w 5, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο ΘΕΜΑ 5 ( ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ 7) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, i Να δείξετε ότι :, i ii Αν για το μιγαδικό ισχύει :, τότε να αποδείξετε ότι : a Re()=Im() b Για, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης w ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 6

27 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνάρτηση με i ( ), όπου μιγαδικός αριθμός με ( ) (, να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός i Αν ) ii Αν ( ), να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο iii Αν Re ( ), να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ΘΕΜΑ 7 Α Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: 6 8i 5 (α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών καθώς και η καρτεσιανή εξίσωσή του (β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του (γ) Από τους παραπάνω μιγαδικούς να βρεθούν αυτοί που έχουν το ελάχιστο μέτρο και το μέγιστο μέτρο, Β Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με 6 4 (α) Να αποδείξετε ότι = 4 (β)να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του όταν: 4 4 ΘΕΜΑ 8 Έστω η εξίσωση (α) να λυθεί η εξίσωση (β) αν i να δείξετε ότι : ο w I (γ) αν v=(λ+)+(λ+)w i να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του v ii την ελάχιστη απόσταση της εικόνας του v από την αρχή των είναι ο μιγαδικός με την ελάχιστη απόσταση αξόνων καθώς και ποιος ΘΕΜΑ 9 (4 Ο 4 ΕΣΠΕΡΙΝΑ) Θεωρούµε τους μιγαδικούς αριθμούς = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει α IR ώστε να ισχύει: i i α ( α)i Να αποδείξετε ότι: α αν Im() =, τότε α = β αν α =, τότε + = γ για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει: α δ οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί και w i (i ) i με i Να αποδείξετε ότι : ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 7

28 α (y ) - - y (y ) w i, β αν ο w είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(,) και ακτίνας ρ = γ αν ο είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(, ) και ακτίνας ρ = ΘΕΜΑ (99) Αν w ai i a, * a και ai, να αποδειχθεί ότι : i Ο w είναι φανταστικός αριθμός, αν-ν, ο είναι φανταστικός αριθμός ii Ισχύει : w, αν-ν, ο είναι πραγματικός ΘΕΜΑ Αν Α, Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών, αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο και // i I ii ΘΕΜΑ (θα μπορούσε να λέει αν Ο, Α, Β είναι συνευθειακά) Θεωρούμε τους μιγαδικούς, w και w, για τους οποίους ισχύουν : a * Να αποδείξετε ότι αν το α μεταβάλετε στο υπερβολή ΘΕΜΑ 4 Αν, * και ισχύει : Να δείξετε ότι : w i και w ai a w w όπου, τότε η εικόνα του ανήκει σε δυο μιγαδικοί οι οποίοι ανήκουν στον ίδιο κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 9 w είναι πραγματικός ΘΕΜΑ 5 ( Ο 5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ) α Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =4+4i και - = 5+5i, να βρείτε τους, β Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν i και w -i : i να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι, ώστε = w και ii να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 8

29 ΘΕΜΑ 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : i i () και w 4 w 4 6 () i Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών τους ii Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του καθώς και τους αντιστοίχους μιγαδικούς iii Αν δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την () να βρείτε τη μέγιστη τιμή iv, Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w v Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς W που έχουν το ελάχιστο μέτρο w δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την () w w vi Έστω, w ΘΕΜΑ 5 ( Ο 9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: -i + +i -8 = α Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση β Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση γ Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι 4 = ΘΕΜΑ 6 ( ο ΕΣΠΕΡΙΝΑ) Έστω ο μιγαδικός αριθμός yi με, y R i Αν ισχύει ότι i, τότε να βρείτε τον μιγαδικό ii Αν =+i, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει ότι : w iii Αν =+i και i u, τότε να αποδείξετε ότι : u ΘΕΜΑ 7 ( ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν : και 5 i Να βρείτε τους μιγαδικούς, ii Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση : w w να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με εξίσωση ( ) y 4 iii Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος ii), να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : Re( w ) Im( w) iv Αν w, w είναι δυο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος ii) με την ιδιότητα w w 4 αποδείξετε ότι w w ΘΕΜΑ 8 ( ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει : i i Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση y ii Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο, να ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 9

30 iii Έστω i και i οι μιγαδικοί που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να 4 4 αποδείξετε ότι : 8 ΘΕΜΑ 9 ( ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις : i Im( ) w w i i w i () () και i Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή: ii iii iv ΘΕΜΑ y 4 Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι κύκλος κέντρου Κ(,) και ακτίνας Να βρείτε τα σημεία Α,Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,w με =w Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, και στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr, καθώς και ο 4 w i Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του ii Να εξετάσετε αν υπάρχουν μιγαδικοί για τους οποίους να ισχύει =w iii Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του w ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(,) και ακτίνα ρ= ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση i Να βρείτε το ( i 7) ( ) Re( ) i ii Αν η εικόνα του () βρίσκεται στη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι iii Αν ισχύει Re( ( )) Re( ), να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών iv Αν οι μιγαδικοί αριθμοί ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του iii), να βρείτε τη μέγιστη τιμή του, ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : ( i ) 4i 8 και w 5i Να βρείτε : i Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του και του w ii Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του iii Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w ΘΕΜΑ (4 Ο 7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και, όπου, με Δίνεται επίσης ότι i Να αποδείξετε ότι ii Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο iii Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και, να υπολογίσετε τον και να αποδείξετε ότι : ( i) ( i)

31 ΘΕΜΑ 4 ( Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με, για τους οποίους ο αριθμός φανταστικός Να αποδείξετε ότι : i 4 ii Ο αριθμός είναι πραγματικός iii 4, όπου, δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς iv i Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει : u ui w, w w στην υπερβολή y ΘΕΜΑ 5 ( Ο 8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) w είναι, ανήκουν Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός i είναι ρίζα της εξίσωσης +β+γ=, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί α Να αποδείξετε ότι β= και γ= β Να αποδείξετε ότι γ Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο w ισχύει: ΘΕΜΑ 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν : i 6 i και w 5( w w) 8 i Να βρείτε : i Τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων του και του w ii Την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του και του w ΘΕΜΑ 7 Δίνονται οι μιγαδικοί,w με να βρείτε : w 9i Αν η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(,-) και ακτίνα, i Το γεωμετρικό τόπο του ii Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 8 Αν μιγαδικός με Re, τότε : 4 ), να βρείτε το Re( ) i Αν Im( ii Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού iii Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του iv Αν, μιγαδικοί με Re Re 4, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

32 ΘΕΜΑ 9 ( Ο ΟΕΦΕ) Οι μιγαδικοί αριθμοί,w συνδέονται με τη σχέση w w και η εικόνα του w ανήκει στον κύκλο με κέντρο Κ(-,) και ακτίνα ρ= i Να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ= Αν () και,, οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι : ii Ο αριθμός είναι πραγματικός iii Αν επιπλέον τότε να αποδείξετε ότι : Re iv Δίνεται η ευθεία ( ) : 4y Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του μιγαδικού w από την ευθεία (ε) ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί,w με να βρείτε : w 9i Αν η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(,-) και ακτίνα, i Το γεωμετρικό τόπο του ii Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ ( Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,w για τους οποίους η εξίσωση : w 4 i, έχει μια διπλή ρίζα, την Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,) και ακτίνα 4 Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δυο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους Β Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς,w του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι : w και w Β4 Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει : 5 ΘΕΜΑ ( Ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει : i i Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ(,-) και ακτίνα ρ= (9Μ) ii Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να δείξετε ότι (8Μ) iii Αν, είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με και Α, Β οι εικόνες των αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(,-), είναι, ορθογώνιο (8Μ) ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

33 ΘΕΜΑ ( Ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει : Re i Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος με κέντρο Κ(,) και ακτίνα ρ=, εκτός από ένα σημείο του (7Μ) Στη συνέχεια να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού (Μ), είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να αποδείξετε ότι : 4 ii Αν (8Μ) iii Από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος i να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύει : 5 (8Μ) ΘΕΜΑ 4 ( Ο ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Έστω 4 w=, όπου μιγαδικός αριθμός με Β Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς και για τους οποίους ισχύει w= Β Αν = i και αποδείξετε ότι 8 = i είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β, τότε να Β Αν και είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου Β4 Αν 4, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός ΘΕΜΑ 5 ( Ο ΕΣΠΕΡΙΝΑ) Θ εωρούμ ε τους μιγ α δικ ο ύς αριθμ ούς κ αι w γ ια τ ους οποίους ισχύουν ο ι ε πόμενε ς σχέσεις: 6 () w w () Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Β Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με, τότε να βρείτε το Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr

34 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΝΑΛΥΣΗ: ΘΕΜΑ (ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 995 ΔΕΣΜΕΣ) Α Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς Ισχύει : Re Β Έστω μια συνάρτηση :[, ] w ( ) i με τουλαχιστον ρίζα στο (α,β), συνεχής στο [α,β] και οι μιγαδικοί αριθμοί a i ( a) Αν ΘΕΜΑ ( Ο 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση w,, w, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει μια :[, ], με ( ), για κάθε [, ] Re( ), Im( ) και Re( ) Im( ) Αν ( a) και ( ) με αποδείξετε ότι : i ii ( ) ( ) iii η εξίσωση ( ) ( ), έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-,) και μιγαδικός αριθμός, να ΘΕΜΑ ( Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β με α < β και αβ Έστω μια συνάρτηση : [α, β] συνεχής στο [α, β] και οι μιγαδικοί αριθμοί = α + i(α), w = (β) + iβ α Αν w w να αποδείξετε: i Re( w) ii Η εξίσωση (χ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α, β] β Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και ο αριθμός w + i είναι φανταστικός να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο (ξ, (ξ)),με ξε(α,β),της γραφικής παράστασης της στο οποίο εφάπτεται ευθεία παράλληλη στον χ χ ΘΕΜΑ 4 ( Ο 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Δίνεται μια συνάρτηση : [α, β] IR συνεχής στο διάστημα [α, β] µε () για κάθε [α, β] και μιγαδικός αριθμός µε Re(), Ιm() και Re() > Im() Αν ( ) και ( ), να αποδείξετε ότι: α = β (β) < (α) γ η εξίσωση (α) + (β) = έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ 5 (ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ) Δίνεται η συνάρτηση ( ), i,,, i Να βρείτε τα όρια lim ( ) και lim ( ) ii Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης, αν iii Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος ριζών της ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 4

35 ΘΕΜΑ 6 ( Ο 6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, που ικανοποιούν την ισότητα (4 ) = και η συνάρτηση με τύπο () = ++α, α IR α Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στην ευθεία = β Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο τομής της με την ευθεία = τέμνει τον άξονα y y στο y ο =, τότε i να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) iiνα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, της εφαπτομένης (ε), του άξονα και της ευθείας ΘΕΜΑ 7 ( Ο ΟΕΦΕ) Δίνεται συνάρτηση παραγωγισιμη στο [α,β] με w ( ) ( ) i με ( ) Α Να αποδείξετε ότι : i Ο αριθμός i ( ) iw 5 και οι μιγαδικοί αριθμοί i είναι πραγματικός αν και μόνο αν ( ) και ii Αν iw τότε οι εικόνες των,w στο μιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων Ο, είναι κορυφές ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου Β Έστω ότι ισχύει iw iw Να αποδείξετε ότι : iii ( ) ( ) iv Οι εικόνες των,w και η αρχή Ο είναι συνευθειακα σημεία v Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, ( )) ( να διέρχεται από το σημείο (,) ΘΕΜΑ 8 ( Ο 5 ΟΕΦΕ) Δίνεται ο μιγαδικός e ( ) i, i Να αποδείξετε ότι Re( ) Im( ) για κάθε ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ) iii είναι πραγματικός Να βρείτε το μιγαδικό του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο ΘΕΜΑ 9 ( Ο 6 ΟΕΦΕ) Δίνονται οι μιγαδικοί και i w i w i w i i Να δείξετε ότι : (, τέτοιο ώστε, ο αριθμός w i να ii Αν και Μ η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον άξονα iii Να αποδείξετε την ισοδυναμία : w φανταστικός φανταστικός iv Θεωρούμε τη συνάρτηση συνεχή στο [α,β] με (α)> και έστω δείξετε ότι η εξίσωση () έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α,β) ( a) i και w ) i ( να ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 5

36 ΘΕΜΑ ( Ο 7 ΟΕΦΕ) Δίνονται οι μιγαδικοί, wc με w για τους οποίους ισχύει : w w i Να αποδείξετε ότι Re( w) ii Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w είναι φανταστικός iii Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των, w στο μιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο Ο iv Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγισιμη στο [α,β] με και ( ) i, w ( ) i τότε η εξίσωση ( ) ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) ΘΕΜΑ ( Ο 9 ΟΕΦΕ) Δίνεται η εξίσωση i 9 9, C και, και οι ρίζες της Να αποδείξετε ότι : ii ( ) 8 iii iv Αν () παραγωγισιμη συνάρτηση στο [,] με () () τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ), ώστε ( ) και v Αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού w και Α, Β οι εικόνες των, αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ΘΕΜΑ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση i ( t) dt i για κάθε i Να βρείτε το () ii Να αποδείξετε ότι i i iii Να βρείτε το : για την οποία ισχύει : y t ) lim ye dt iv Να αποδείξετε ότι v Να αποδείξετε ότι αν i, τότε ο w i i είναι φανταστικός ( και : y ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 6

37 ΘΕΜΑ ( Ο 4 ΟΕΦΕ) ορίζουμε την συνάρτηση g( ) dt, a και τον μιγαδικό g ) i t a e i Για κάθε i Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται ii Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ανήκουν στη γραφική παράσταση της iii Να αποδείξετε ότι Re( ) Im( ) για κάθε iv Να αποδείξετε ότι α= v Να αποδείξετε ότι dt dt t t e a e a e e ΘΕΜΑ 4 (4 Ο ΟΕΦΕ) Α Να αποδείξετε ότι e, για κάθε Πότε ισχύει το = ; Β Έστω μια συνεχής συνάρτηση :[, ) [, ) ( t) e dt i e ( t ) i ( ) e i Να αποδείξετε ότι Re( ) Im( ) dt Για κάθε και t [ ( t) e ] dt ( a) για κάθε ii Να αποδείξετε ότι ( ) e για κάθε iii Να αποδείξετε η είναι γνησίως αύξουσα iv Να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφη της v Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγισιμη στο διάστημα, ) (, a) τέτοιο ώστε ( ) g ( με θεωρούμε το μιγαδικό, με :, όπου α> ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός e ei, με i Να αποδείξετε ότι Re( ) Im( ) για κάθε ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός, ώστε ο μιγαδικός αριθμός : ei u να είναι φανταστικός w i (, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον iii Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό i Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός iv Να βρείτε για ποια τιμή του, ο αριθμός w γίνεται ελάχιστος ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση με τύπο : i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Αν lim ( ), να βρείτε το μιγαδικό iii Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο της εικόνας Μ του μιγαδικού () 4, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 8 9 iv Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) (Τα υποερωτήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους) έχει μια ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 7

38 ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση μιγαδικού ώστε η να είναι συνεχής - ( ) i -,, Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ΘΕΜΑ 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, w ( ) ( ) i τέτοιοι ώστε, με ( ) και οι μιγαδικοί i iw w w να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) i Να δείξετε ότι και ( ) ( ) ii Αν ΘΕΜΑ Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [,] και οι μιγαδικοί w w Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ΘΕΜΑ Δίνεται συνεχής συνάρτηση για τους οποίους ισχύει ) ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ώστε ο μιγαδικός w ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β) ( ) i και w () i έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [,] και τέτοιοι ώστε :[, ] και οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) i και w () i Re( w) Im( w Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) e i, με Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) να είναι φανταστικός ii Η εξίσωση για τον οποίο ισχύει: Να αποδείξετε ότι : 8 5 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα,, ΘΕΜΑ 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση πραγματικός Να αποδείξετε ότι : i ( ) ( ), :[, ] με ii Υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοια ώστε ο αριθμός :, ώστε ( ) i ( ) i ( ) να είναι ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς : i, με i i Να αποδείξετε ότι από τους μιγαδικούς της παραπάνω μορφής υπάρχει μόνο ένας, ο οποίος είναι φανταστικός lim Im( ) ii Να βρείτε το ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 8

39 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει : i 4 i 5 i Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ii Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του iii Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό που βρίσκεται στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [, ], ώστε : 4 7 ( ) ΘΕΜΑ 7 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,] ( ) ( ) lim ( 4), i Να βρείτε την τιμή () 9 για την οποία ισχύει ( ) και Θεωρούμε επίσης και τους μιγαδικούς αριθμούς : ( ) i, με ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον μιγαδικός, ώστε ο μιγαδικός w ( i) να είναι φανταστικός ΘΕΜΑ 8 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, με ( ) για κάθε ( ) () i για τον οποίο ισχύει ότι : Re( ) i ( ) () ii Υπάρχει τουλάχιστον ένα Να αποδείξετε ότι :,, ώστε ( ) ( ), και ο μιγαδικός αριθμός ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[,] και οι μιγαδικοί αριθμοί : ( ) i και w ) i ( Αν ο αριθμός w είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι : i Re( w) ii η εξίσωση ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση w :[, ] και οι μιγαδικοί αριθμοί : ( ) i για τους οποίους ισχύει η σχέση : w w i Re( w ) iii η εξίσωση ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι : Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό και τη συνάρτηση : με τύπο : η γνησίως αύξουσα i Να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (, ) iii Αν lim, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του ( ) ( ) i και ( ) και ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 9

40 ΤΟ Ο ΘΕΜΑ : ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο που τέμνει τον άξονα y y Μονάδες 6 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln, (, ) 4 i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ii Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση : ( ) ln α να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της Μονάδες 4 β να αποδείξετε ότι C στο σημείο, () έχει ακριβώς ρίζες στο (, ) e ln, για κάθε χ> Μονάδες 4 γ να βρείτε το εμβαδόν του χωριού που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα των και τις ευθείες = και =e ΘΕΜΑ 4 ( ο 6 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 5) α να βρείτε το πεδίο ορισμού της β να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα γ να βρείτε το σύνολο τιμών της δ να αποδείξετε ότι η ()=9 έχει μοναδική λύση στο πεδίο ορισμού της ΘΕΜΑ 5 ( ο 5 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) e, ( ) όπου ln, i Να βρείτε το ώστε η να είναι συνεχής στο Δίνεται η συνάρτηση ii Αν α= - τότε : Α Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = Β Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της Γ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες = και =e ΘΕΜΑ 6 ( ο 8 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln, χ> i Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii Να υπολογίσετε το όριο lim ( ) e iii Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ( ) d ΕΠΙ ΜΕΛΕ ΙΑ :ΠΑ ΛΑ ΙΟ ΛΟΓ Ο Υ ΠΑ ΥΛΟ Σ wwwpitetr agono gr 4