Stagiraninova aitiologija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Stagiraninova aitiologija"

Transcript

1 Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu, Filozofski fakultet - Odsjek za filozofiju Rezime Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir prije svega Stagiraninove kapitalne uvide iz Metafizike i Fizike, ali i iz ostatka Aristotelis Opere. Utvrđeno je da je Aristotel, tragajući za niti vodiljom čitavog prethodnog mišljenja, jedinstveni ključ za razumijevanje misaonih dometa vlastitih preteča postulirao u osobenom učenju o uzrocima. Ustvari, doktrina o materijalnom, formalnom, eficijentnom i finalnom uzroku predstavlja modus pomoću kojega je Aristotel izvršio problemsku sistematizaciju prethodnika na način prikazan u prvoj knjizi Metafizike, i pritom sebe u isti mah razotkrio, makar i uz izvjesne rezerve, kao prvog historičara metafizike, pa i filozofije uopće. Autor zatim obrađuje svaki od četiriju uzroka pojedinačno, dodatno tematizirajući njihove međusobne veze i relacije. Zaključak koji se izvodi jeste da materijalni uzrok ne može biti sveden ni na jedan drugi uzrok, te da on mora biti tretiran relativno zasebno, ali i da, s druge strane, postoji značajna srodnost preostalih triju uzroka. Naime, iako se svi oni mogu izučavati odvojeno, što je postupak koji je bio primijenjen i u ovom radu, i premda se eficijentni i finalni uzrok mogu analizirati odvojeno od formalnog uzroka (i od materijalnog), kao vanjski od unutrašnjih uvjeta promjene, konstatira se da su ova tri uzroka gotovo podudarna i da je u Aristotelovim djelima evidentno prepoznavanje formalno-finalnog uzroka impliciranog u eficijentnoj kauzalnosti. Ključne riječi: Aristotel, uzroci, načela, aitiologija, materijalan, formalan, eficijentan, finalan, teleologija. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 73

2 Željko Kaluđerović Treće poglavlje prve knjige Metafizike (983a24 32) otvara Aristotelovo izlaganje o uzrocima: 1 Pošto je jasno da treba doći do nauke o prvim uzrocima /τῶν ἐξ ἀρχῆς αἰτίων/ (jer kažemo da nešto znamo onda kad smatramo da smo spoznali prvi njegov uzrok), a o uzrocima se govori na četiri načina jednim uzrokom nazivamo bivstvo i suštinu (jer, to-zašto se svodi na poslednju odredbu, a to prvo zašto je uzrok i načelo), drugim tvar i podmet, trećim ono odakle započinje kretanje, a četvrtim uzrok ovom protivstavljen, to radi-čega, tj. Dobro (jer to je svrha svakog postajanja i kretanja).* Ἐπεὶ δὲ φανερὸν ὅτι τῶν ἐξ ἀρχῆς αἰτίων δεῖ λαβεῖν ἐπιστήμην (τότε γὰρ εἰδέναι φαμὲν ἕκαστον, ὅταν τὴν πρώτην αἰτίαν οἰώμεθα γνωρίζειν), τὰ δ αἴτια λέγεται τετραχῶς, ὧν μίαν μὲν αἰτίαν φαμὲν εἶαι τὴν οὐσίαν καὶ τὸ τί ἦν εἶναι (ἀνάγεται γὰρ τὸ διὰ τί εἰς τὸν λόγον ἔσχατον, αἴτιον δὲ καὶ ἀρχὴ τὸ διὰ τί πρῶτον), ἑτέραν δὲ τὴν ὕλην καὶ τὸ ὑποκείμενον, τρίτην δὲ ὅθεν ἡ ἀρχὴ τῆς κινήσεως, τετάρτην δὲ τὴν αντικειμένην αἰτίαν ταύτῃ, τὸ οὗ ἕνεκα καὶ τἀγαθόν τέλος γὰρ γενέσεως καὶ κινήσεως πάσης τοῦτ ἐστίν. Mnogi filozofi pokušali su dokučiti odakle vodi porijeklo Aristotelovo učenje o četirima uzrocima. Jeger (W. Jaeger) kaže da Stagiranin uopće ne iznosi argumente na osnovu kojih izlaže spomenutu klasifikaciju. 2 Ovaj autor dodaje da teleološka doktrina o uzrocima na kojoj Aristotel 1 Imenica ženskog roda αἰτία, kao i njen pandan u srednjem rodu αἴτιον, imaju najmanje dvije grupe značenja. Osnovno je ono koje referira na uzrok, povod, razlog, početak, izvor, osnov. U drugom smislu riječ je o krivici zbog prekršaja nekog reda stvari i tužbi, prigovoru. Ros (W. D. Ross) kaže da od četiriju Aristotelovih uzroka samo dva, eficijentni i finalni, odgovaraju uobičajenom značenju uzroka u engleskom jeziku. W. D. Ross, Aristotel, London 1966, str. 73. * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 9, 983a O Aristotelovu učenju o uzrocima konsultirati i: Met.1013a b3, An. Post. 94a 20 23; GA 715a 3 7; Phys. 194b23 35; 198a Šire vidjeti kod Bonica (H. Bonitz) u njegovu Indexu (22b12 23a42). 2 W. Jaeger, Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann, 1985, str ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 74

3 Stagiraninova aitiologija bazira sopstvenu metafiziku leži u osnovi cijele prve knjige Metafizike, te da bi čitava koncepcija ove knjige kolapsirala ako aitiologija Fizike ne bi bila u pozadini svakog napisanog reda. Nešto ranije u svojoj knjizi Jeger, istina, nudi odgovor na spomenutu dilemu o porijeklu Aristotelove doktrine. On kaže da je svojevrsna novina to što Aristotel svoje učenje o uzrocima genetički razvija iz historije ranije filozofije. Ros, još jedan veliki autoritet za Aristotela, tvrdi da nije poznato kako je Aristotel dosegao do učenja o uzrocima. 3 Ono se prosto zatiče u Aristotelovim spisima kao nešto poznato i samorazumljivo. On je do tog učenja mogao stići, smatra Ros, reflektiranjem čina umjetničkog proizvođenja, kao i praćenjem toka prirodnih procesa. Ako se to desilo na taj način, onda su na Aristotelov rad morala ostaviti traga i razmatranja koja su vršili njegovi prethodnici. Činjenica je da ni na citiranome mjestu niti bilo gdje drugo u svom bogatom opusu Aristotel ne pokušava deducirati uzroke, čak ne nagovještava ni neke međukorake postupka zasnivanja vlastitog učenja. Naprosto, on uvodi spomenuta četiri uzroka ne podrazumijevajući neke druge. Podsjećanje na dijelove Druge analitike vjerovatno će pojasniti zašto je tako. Na jednome mjestu (An. Post. 72b18 25) Aristotel napominje da nisu sve znanosti apodiktičke i da postoji i tzv. ne-apodiktička znanost. Mada na dotičnome mjestu Stagiranin ne kazuje ništa pobliže o datoj znanosti, na šta je mislio naslućuje se kada se konsultira poslednji pasus Druge analitike (100b5 17). Iz ovog pasusa najprije se saznaje kako nema (ili doslovno neće biti ) znanosti o načelima, da bi se potom saznalo i kako to ne znači da isti neće biti i shvatljivi, već da će načela biti dosegnuta duhovnim zrenjem, intuicijom, neposrednim dodirom uma. Aristotel će sve to potkrijepiti tvrdnjom kako načelo dokaza nije dokaz, kao što ni znanost nije načelo znanosti. On će, zatim, staviti um, noetičko mišljenje, da bude načelo znanosti, koji time popunjava mjesto ranije neobjašnjene ne-apodiktičke znanosti. U posljednjem dijelu Druge analitike Aristotel kaže kako ne samo da je um načelo znanosti, nego je on, što je važnije, i načelo načela, te dodaje, kako se znanost kao cjelina odnosi prema cjelini stvari jednako onako kako se i um odnosi prema načelu. Načela su aksiomatska, samoizvjesna i nisu predmet silogističkog dokazivanja. Bez takvih osnovnih i nedokazivih istina postojao bi ili 3 W. D. Ross, Aristotle s Physics, Oxford, 1998, str. 37. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 75

4 Željko Kaluđerović regres u beskonačnost ili hrđavi krug, a napredovanje u samim znanostima bilo bi nemoguće. Nakon ovoga već je izvjesnije zašto Aristotel ne istražuje, recimo, ideju uzroka 4 iz koje bi potom a priori deducirao njenu podjelu na odgovarajuće vrste. Normalno je, stoga, što se Aristotel u nastavku A knjige Metafizike usmjerio na ispitivanje učenja svojih prethodnika, želeći utvrditi da li se kod njih može pronaći neka druga vrsta uzroka. Ako se ne pronađe nijedna druga, smatrao je Stagiranin, plodnost istraživanja ogledat će se u tome što će se posjedovati veća pouzdanost i povjerenje u rezultate vlastitog rada izloženog najprije u Fizici. Još jedno pitanje bilo je predmet istraživanja potonjih komentatora Aristotelovih djela, a to je da li postoji dublji smisao u redoslijedu kojim on navodi svoje uzroke. Na spomenutome mjestu u Metafizici (983a24 32) redoslijed je sljedeći: formalni, materijalni, eficijentni i finalni uzrok. U Fizici (194b23 35, 198a22 24) postoji jedna izmjena u nabrajanju. Na prvo mjesto stavljen je materijalni uzrok, a potom slijede formalni, eficijentni i finalni. 5 Da li je ova razlika puka koincidencija ili u sebi nosi neku skrivenu poruku koju treba odgonetnuti? Da li zaista navođenje formalnog uzroka kao prvog u Metafizici smjera da istakne njegovu vodeću ulogu u Aristotelovu razumijevanju metafizike? Da li je ta njegova naglašena uloga još pojačana umetnutom opaskom koja ide neposredno nakon spominjanja bivstva i onoga što bijaše 4 Grčku riječ αἴτιον kod Aristotela teško je razlučiti od riječi ἀρχή (imenica ženskog roda ἀρχή najprije označava neki početak, ali se može prevesti i kao kraj, svršetak. Ona, potom, obilježava iskon, izvor, povod i uzrok ; u filozofskoj recepciji, zatim, veoma je važno značenje arche-a u smislu načela i elementa. Tu je i govor o nečemu što je odavnina, odvajkada. Arche je, također, i vođenje, zapovjedništvo, vlada, vlast ). On sam ih vrlo često upotrebljava u paru, prva načela i uzroci, pa zato i kaže na jednome mjestu da su načelo i uzrok jedna priroda (μιὰ φύσις) (Met. 1003b23), i da ovo dvoje slijede jedno drugo bez obzira na to da li su ili nisu objašnjeni istim pojmom. U Δ knjizi Metafizike na samom kraju kazivanja o načelu Aristotel još eksplicitnije poručuje da se u isto toliko značenja govori o uzrocima koliko je govoreno o načelima, zaključujući Jer svi su uzroci načela (πάντα γὰρ τὰ αἴτια ἀρχαί) (Met. 1013a17). 5 Razlika u redoslijedu navođenja formalnog i materijalnog uzroka u Metafizici i Fizici od strane Ovensa (J. Owens) okarakterizirana je kao, vjerovatno, hotimična, ne bi li se i na taj način istaklo dominantno mjesto koje formalni uzrok zauzima u Aristotelovoj prvoj filozofiji. J. Owens, The Doctrine of Being in the Aristotelian Metaphysics, Toronto, 1951, str ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 76

5 Stagiraninova aitiologija biti? Da li je, s druge strane, redoslijed u Fizici takav zbog toga što je prilikom klasificiranja znanosti fizici pripala uloga discipline koja se, iako teorijska, bavi onim što je pokretno i neodvojivo od tvari, pa tu činjenicu treba istaći i prilikom nabrajanja uzroka? Ili jednostavno zato što će se onaj drugi, formalni, uzrok izučavati negdje drugo podrobnije, pa mu drugo mjesto u Fizici sasvim i pristaje? Mišljenje autora ovog rada jeste da je premalo objašnjenja i uputa na osnovu kojih bi se, makar i implicitno, zaključilo da ima nečeg sudbonosnog u ovom Aristotelovom okretanju redoslijeda formalnog i materijalnog uzroka na navedenim mjestima u Metafizici i Fizici. Da slijed uzroka ne predstavlja nikakav misteriozni ključ za neko novo čitanje problema kauzalnosti bit će pokazano navođenjem nekih mjesta iz Aristotelovih spisa koji obrađuju spomenutu problematiku. U Met. 1013a b3 redoslijed izgleda ovako: materijalni, formalni, eficijentni i finalni uzrok, a u Met.1044a b1 on je sljedeći: materijalni, eficijentni, formalni i finalni. I u Fizici postoji mjesto gdje je redoslijed neočekivan, naravno za one koji vjeruju u viši smisao ređanja uzroka. To je pasus 198a16 21, a uzroci su navedeni ovim redom: formalni, eficijentni, finalni i materijalni. U spisu Usnulo i budno stanje (Περὶ ὕπνου καὶ ἐγρηγόρσεως) 455b14 16, redoslijed uzroka jeste: finalni, eficijentni, materijalni i formalni uzrok. Za kraj ovog nabrajanja evo kako redoslijed uzroka izgleda u djelu O rađanju životinja (Περὶ ζῴων γενέσεως) 715a4 7. Prvo je naveden finalni, za njim formalni, a potom materijalni i na kraju eficijentni uzrok. Na osnovu ovih navođenja iz Aristotelovih spisa može se lahko uočiti da ne postoji nikakva zakonitost u ređanju nijednog od uzroka, te da se na osnovu redoslijeda uzroka ne mogu povlačiti nikakve dalje implikacije o većoj ili manjoj važnosti pojedinih uzroka u cjelini Aristotelova filozofskog stvaralaštva. Osim podjele na spomenute četiri vrste (εἴδη) uzroka, 6 Aristotel u Metafizici i Fizici uvodi i njihovu dodatnu diferencijaciju, govoreći da se uzroci mogu razlikovati i u načinu (τρόπος), pri čemu se u svakom od ovih razlikuju po dva smisla (Met. 1013b a25; Phys. 195a27 195b21). Sumarno prikazana ova dva mjesta izgledala bi ovako: Postoji šest 6 Za koje Lojd (G. E. R. Lloyd) kaže da su uvijek razlučivi u logičkom smislu, ali ne i u stvarnosti. On piše da je tvar često kontrastirana s ostalim trima uzrocima uzeta u cjelini. G. E. R. Lloyd, Aristotel: the Growth & Structure of his Thought, Cambridge, 1977, str. 60. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 77

6 Željko Kaluđerović načina uzroka: 1) pojedinačni uzrok, 2) rodni, 3) pridolazeći, 4) rodno- -pridolazeći, 5) spoj pojedinačnog i pridolazećeg, i 6) spoj rodnog i rodno-pridolazećeg. Pored toga, uzroci mogu biti prikazani svojstveno (οἰκείως) i prema pridolazećem (κατὰ συμβεβηκός). Konačno, svaki od šest navedenih načina može biti razmatran u dvama smislovima, bilo kao udejstven (ἐνεργοῦντα), bilo kao moguć (δυνάμενα). I na ovome mjestu pokazuje se koliko se obazrivo moraju razmatrati ključni Aristotelovi pojmovi, kao što je pojam uzroka. 7 Ne smije se povoditi za pukom istovjetnošću jezičkog izraza i pritom prenebregnuti višeznačnost grčkog αἴτιον. Sam Stagiranin eksplicitno kaže da je uzrok pojam koji se mnogostruko iskazuje (πολλαχῶς λεγομένων). Zato jeste, između ostalog, i predmet istraživanja u Δ knjizi Metafizike, koja razmatra mnogoznačno iskazane tj. jednakoimene stvari. U devetom poglavlju 1. knjige Metafizike Aristotel, štaviše, zaključuje da je opća pogreška njegovih prethodnika bila upravo u tome što su htjeli istražiti elemente bića, ne razlikujući pritom osnovna značenja odgovarajućih filozofskih pojmova. Ovo ne znači da Stagiranin težište filozofskog istraživanja s ontologije prebacuje na semantiku, kako bi se moglo, eventualno, zaključiti. Sve vrijeme mora se imati na umu da iza ove jezičke višeznačnosti i podjela leži jedinstvo pojma i stvari, pri čemu je sama stvar i dalje u prvom planu. * * * Aristotel je, kao i ostali grčki filozofi, do nekih svojih filozofskih pojmova došao na najprirodniji mogući način, iz prethodno date upotrebe riječi. Tako je i imenica ženskog roda ὕλη od prvobitnog značenja drvo, šuma, šumska građa dodatnom tematizacijom, uzimajući u obzir i viđenja presokratovaca, postala kod Stagiranina pojam tvar. 8 Tvar je za njega nešto što po sebi nije ni neko određeno biće, ni nekakav kvantitet, niti ijedna druga od kategorija koje određuju biće. Dok se tvar ne pririče ničemu, bivstvo se pririče tvari a ostale kategorije pririču se bivstvu. Tvar, tek kao građa, materijal, postaje neko određeno biće, neko 7 Aristotel je bio prvi koji je posvetio posebnu pažnju samom pojmu uzroka, premda kod njega nema formalne definicije uzroka uopće. Umjesto toga, kao što je navedeno, pokazano je da pojam uzroka može imati četiri vrste, šest načina, dva pripisivanja i dva smisla. 8 Uobičajeni grčki termini koji se upotrebljavaju za obilježavanje materijalnog uzroka jesu: ἡ ὕλη, ἡ ὕλη καὶ τὸ ὑποκείμενον, ἐξ οὗ γίγνεται, τὸ ὑλικὸν αἴτιον. 78 ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 78

7 Stagiraninova aitiologija određeno bivstvo. Kao takva, tvar je kod Aristotela najčešće tretirana kao pasivni materijal kojem je neophodan nekakav spoljašnji, pokretački uzrok, koji će je potom oblikovati ili kao sredstvo upotrebljavati. U Met. 1070a1 2 Aristotel piše: Ono usljed čega /se mijenja/ jest to prvo pokretačko; ono što /se mijenja/ je tvar, a to u-šta je oblik.* ὑφ οὗ μέν, τοῦ πρώτου κινοῦντος ὃ δέ, ἡ ὕλη εἰς ὃ δέ, τὸ εἶδος. Tvar se može odrediti kao nosilac promjene i kao uvjet promjene, bez obzira da li se shvata u apsolutnom smislu kao prva tvar ili u relativnom smislu kao nekakav materijal koji se transformira iz manje savršenog oblika u savršeniji oblik. U drugom slučaju riječ je o tzv. drugoj tvari. Tvar u relativnom smislu, odnosno druga tvar, često se može razmatrati dvojako: isklesani kamen, npr., udjelovljen je u odnosu na prirodni kamen naravno u pogledu mogućnosti ovog drugog da bude istesan. Istovremeno, on je u mogućnosti spram zida u koji treba biti ugrađen, odnosno s obzirom na ulogu koju će imati u zidu koji tek treba biti sagrađen. I u jednom i u drugom smislu tvar se uzima kao nešto što je nenastalo i neuništivo. Postavljanje prve tvari uklapa se u logički zahtjev Aristotelova mišljenja da je nužno negdje stati, što znači da nema beskonačne serije ontičkog uzmicanja tipa: B je potencijalno A, C je potencijalno B i tako ad infinitum. Na kraju niza (ili još bolje, na početku) mora postojati čista mogućnost koja je tvar. 9 Prva tvar ne postoji nikada baš kao takva, već uvijek spojena s oblikom koji je formalan ili karakterizirajući činilac. U smislu u kojem prva tvar ne može postojati po sebi, odvojeno od svakog oblika, ona je samo logički razlučiva od oblika. U smislu u kojem je ona stvaran element u nekom tvarnom predmetu i krajnji temelj stvarnih promjena koje ovaj trpi, ona je i zbiljski razlučiva od oblika. Tvar je za Stagiranina i uzrok uzgrednog (αἰτία... συμβεβηκότος), jer ona može biti i drugačija. S tvari zaista ono uzgredno ulazi u svijet, što 9 Na prvu tvar Aristotel misli u Met. 1044a15 17; Meteor. 390a4 5. Vjerovatno najbolji prikaz prve tvari dat je u djelu O postajanju i propadanju 329a24 329b1. * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 420, 1070a1 2. Potcrtao: Ž. K. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 79

8 Željko Kaluđerović sve omogućava greške u prirodi pa i produkciju nakaza. Shodno tome, Aristotel je u tvari vidio i načelo individualizacije. Budući da je oblik specifično isti kod svih članova jedne vrste, specifična priroda ili bit čovjeka ista je kod Sokrata i kod Kalije, onda uposebljavajuće načelo mora biti tvar, jer su Sokrat i Kalija, premda isti po ljudskom obliku ili prirodi, različiti s obzirom na različitu tvar koja je uobličena u njima. Na različitim mjestima u Stagiraninovim spisima govori se o raznim aspektima razmatranja tvari, a jedna od njenih najpotpunijih definicija data je u Fizici 192a31 32: Jer tvar je taj prvobitni podmet svega pojedinačnog iz koga kao upostojećeg i uprisutnog /ἐνυπάρχοντος/ neprilučeno nešto postaje.* λέγω γὰρ ὕλην τὸ πρῶτον ὑποκείμενον ἑκάστῳ, ἐξ οὗ γίνεταί τι ἐνυπάρχοντος μὴ κατὰ συμβεβηκός. U često korištenom primjeru bronzane kugle, Aristotel kaže da je bronza tvar a kugla oblik utisnut na nju. U Metafizici on će još dodati da je bronza ne samo tvar nego i uzrok. Formulacija kojom se Aristotel koristi u Met. 983b9 i dalje je, kao što inače čini, veoma brižljivo odabrana. Bivstvo je opisano kao nešto što samo ostaje trajno, dok se mijenja u svojstvima (πάθος). 10 Striktno govoreći, Stagiranin ne kaže da se mijenjaju svojstva, već da se bivstvo mijenja posredstvom njih, ostajući pritom samo nepromijenjeno. Ista priroda očuvana je čak i dok trpi preinačenja. Ili, iz nje sve ostalo postaje dok se ona održava. Trajnost ili stalnost u svojoj sopstvenoj prirodi, dok se podvrgava promjenama, karakteristika je bivstva koja se naglašava u ovom citatu iz Metafizike. 11 Bivstvo je, ustvari, u Met. 983b6 18 razumljeno kao ono podležeće (ὑποκείμενον) svekolikih promjena. 12 * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd, 2006, str. 37, 192a Samo četvorostruko određenje pathosa nalazi se u Δ knjizi Metafizike, u paragrafu 1022b Spekulativno rečeno, radi se o tome da ono što stupa u razliku sa sobom izvorno ostaje jednako sebi. 12 Bivstvo je zasigurno u jednom važnom smislu podležeće a tvar je vjerovatno osnovni vid podležećeg. O tome Aristotel piše u 3. glavi VII knjige, kao i u 1. glavi VIII knjige Metafizike. 80 ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 80

9 Stagiraninova aitiologija * * * Posljednje poglavlje Z knjige Metafizike pokušava odgovoriti na pitanje: Šta valja tvrditi o tome kakvo je bivstvo uopće. 13 Bivstvo se u ovom novom početku misli na stari način tj. kao načelo i uzrok. Tražiti uzrok, smatra Aristotel, nije istraživati zašto je neka stvar ona sama, nego zašto nešto pridolazi nečemu drugom. Govoreći da treba istraživati zašto tvar jeste nešto, Stagiranin se u Met. 1041b5 9 pita: Naprimjer, zašto je ovo kuća? Zato što prisustvuje ono što je bit kuće. Ili, čovjek je to i to, ili tijelo je to zato što ima ovo. Dakle, traži se uzrok tvari usled koga ona jest nešto, a taj /uzrok/ je bivstvo.* οἷον οἰκία ταδὶ διὰ τί; ὅτι ὑπάρχει ταδί, ὃ ἦν οἰκίᾳ εἶναι. καὶ ἄνθρωπος ὁδί, ἢ τὸ σῶμα τοῦτο τοδὶ ἔχον. ὥστε τὸ αἴτιον ζητεῖται τῆς ὕλης τοῦτο δ ἐστὶ τὸ εἶδος ᾧ τί ἐστιν τοῦτο δ ἡ οὐσία. Pitanja su šta je kuća tj. zašto ova tvar - cigle i kamenje - pridolazi obliku kuće? Ili, šta je čovjek tj. zašto pridolazi neka tvar, kao tijelo, onome biti-čovjek? Ova pitanja smjeraju ka materijalnom uzroku koji je pripadan formalnom uzroku. Formalni uzrok, bivstvo, ovde se imenuje kao ono što bijaše biti Met. 1041a6. O ovoj temi Aristotel raspravlja i u B knjizi Metafizike. Formalni uzrok, o kojem je ovdje riječ, u grčkom jeziku najčešće se detektira pomoću sljedećih riječi i kovanica: τὸ εἶδος, τί ἐστι, τὸ τί ἦν εἶναι, ἡ οὐσία καὶ τὸ τί ἦν εἶναι, ὁ λόγος ὁ τοῦ τί ἦν εἶναι, εἶδος καὶ λόγος, ὁ λόγος. * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 277, 1041b5 9. Potcrtao: Ž. K. 14 Met. 1041b6 (i Met. 1041a28). Aristotel u Met. 1041b8 formalni uzrok zove oblik (εἶδος), mada se kod njega ono što bijaše biti (τὸ τί ἦν εἶναι) i oblik, iako srodni pojmovi, mogu razlikovati. Žunjićevo objašnjenje glasi: Bivstvenost ( ono što bijaše biti, prim. Ž. K.) je po svom statusu noetički aspekt onoga što oblik izražava na eidetskom planu, samo što se bivstvenost još neposrednije tiče štastvenog sadržaja bivstva. S. Žunjić, Aristotel i henologija, Prosveta, Beograd, 1988, str Stagiranin je smatrao da kao što nije bilo dovoljno odrediti bivstvo (οὐσία) (samo) kao ono podležeće, tako se i ono što bijaše biti poklapa s bivstvom samo u nekim slučajevima, i to riječju kod najviših pojmova i samoopstojećih stvari koje nisu podređene drugim bivstvima. Pretendenata na status bivstva, uostalom, navodi Aristotel u Met. 1028b33 36, ima ukupno četiri. Osim navedenih podležećeg (ὑποκείμενον) i onog što bijaše biti (τὸ τί ἦν εἶναι), to su još općost (καθόλου) i rod (γένος). ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 81

10 Željko Kaluđerović Stagiranin ono što bijaše biti određuje na sljedeći način (Met.1029b12-14): Recimo o tome najpre ponešto na dijalektički način /λογικῶς/: suština pojedinačnog je ono što se po sebi pridaje /ὃ λέγεται καθ αὑτό/.* καὶ πρῶτον εἴπωμεν ἔνια περὶ αὐτοῦ λογικῶς, ὅτι ἔστι τὸ τί ἦν εἶναι ἕκαστον ὃ λέγεται καθ αὑτό. Ono što bijaše biti govori šta je neka stvar po sebi, ali ono, osim toga, to iskazuje pre i nezavisno od onog što toj stvari slučajno pridolazi. Čovjek može biti ono što jeste po svojoj prirodi a da pri tom ne bude muzikalan. Njegovo ono što bijaše biti je nezavisno od svih tako dodatih karakteristika. To je ono što on ne može izgubiti a da ne prestane da bude on sam. Drugačije rečeno, biti muzikalan nije suštinsko određenje čoveka i nije identično sa pojmom čovjeka, to jest sa onim biti čovek. Ovo istraživanje u Z knjizi vjerovatno se oslanja na stavove iz 18. glave Δ knjige Metafizike, u kojoj se analiziraju pojmovi po čemu (τὸ καθ ὅ) i po sebi (τὸ καθ αὑτό). Stagiranin na jednom mjestu u Δ knjizi (Met.1022a19-20) kaže za ono po čemu da se, generalno gledano, može razmatrati u isto toliko značenja u koliko se može razmatrati i pojam uzroka. Iako se i jedan i drugi pojam mogu iskazati mnogostruko, prvo značenje onoga po čemu, koje se navodi, jeste oblik i bivstvo (τὸ εἶδος καὶ ἡ οὐσία, Met. 1022a14 15), a onoga po sebi jeste ono što bijaše biti (τὸ τί ἦν εἶναι, Met. 1022a26). U obama slučajevima riječ je o formalnom uzroku kao prvom određenju ovih pojmova. I na drugim mjestima u Aristotelovu korpusu govori se o njegovu viđenju formalnog uzroka. U Met. 996b20 on poručuje da se misli kako se zna neka stvar onda kada se zna njeno štastvo (τί ἐστι, to jest šta jeste ). Formalni uzrok omogućava i da se sazna šta svaka pojedina stvar jeste, ne ostajući pritom kod njene pojedinačnosti. Oblik je vječan i nepropadljiv uzrok bivstvovanja pojedinačnih pripadnika neke vrste i njemu pripada ontološki primat, kako u odnosu na tvar (ὕλη), tako i u odnosu na konkretni spoj (σύνολον). Po onome što on jeste, oblik se * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str , 1029b ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 82

11 Stagiraninova aitiologija poklapa s općošću, ali se njegova manifestacija događa u onom čulnom. Za Aristotela oblik nije izvan stvari, kao što je to za Platona ideja, već u stvarima i on može biti samo pojmom odvojiv (λόγῳ χωριστόν). Znanstveno spoznavanje utemeljeno je na εἶδος-u 15 (obliku), koji je nužan i nepromjenjiv element u pojedinačnim stvarima. Uzrok (formalni) koji čini da stvari budu ono što jesu a ne nešto drugo, istovremeno je i uzrok ograničenosti i određenosti. Ako se zna da je za Aristotela materijalni uzrok načelo razlike i neodređenosti, odmah se uočava da opreka, s jedne strane, između ograničenog i određenog i, s druge strane, neograničenog i neodređenog, označava i razliku između formalnog i materijalnog uzroka. 16 Možda najvažnija stvar koju treba zabilježiti kada je oblik u pitanju jeste njegova veza i bliskost s pojmom udejstvenost (ἐνέργεια), veza koja će potom kulminirati, u nešto širem kontekstu, kao odnos formalnog i finalnog uzroka. Aristotel direktno kaže da je tvar mogućnost (δύναμις) a oblik usvrhovljenost (ἐντελέχεια) (De an. 412a9 10), naglašavajući još jednom paralelizam koji postoji između parova tvar-oblik i mogućnost-udejstvenost (usvrhovljenost). Kada govori o tvari i obliku kao oprekama, Aristotel se koristi riječju ἕξις ne bi li razlikovao neuređenu ( hrpu, σωρός) od oblikovane tvari. Kada je neka kuća dovršena, on će reći da je ona dostigla ustaljenost (hexis) prema kojoj se kretala, što se razlikuje od gomile cigala, tj. od onoga s čim je graditelj počeo. Gomila cigala predstavlja, ustvari, kuću u mogućnosti. Strogo govoreći, ni dovršena u građevinskom smislu, kuća ne predstavlja najviši stadij koji kuća može dosegnuti. Kuća nije u potpunosti ispunila svoj oblik sve dok nije ostvarila svoj finalni uzrok, a finalni uzrok ostvarit će bivajući sklonište za stvari i ljude i tek na taj način kuća će realizirati sopstvenu udejstvenost. 17 * 15 Između srodnih pojmova εἶδος i μορφή mogu se uspostaviti suptilne razlike. Dok prvi pojam (εἶδος) upućuje na odgovarajuću inteligibilnu strukturu, dotle drugi (μορφή) ukazuje više na čulni aspekt (ob)lika. 16 Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 396, 1063a Da je pod kvalitetom mišljen oblik a pod kvantitetom tvar može se utvrditi iz Met. 989b 18 19, 1010a 22 25, 1037a27; Phys. 209b9, 210a Aristotel u Met. 1043a20, 1043a30 31, 1043b1 2 izjednačava εἴδος i ἐνέργεια, govoreći o njima u paru oblik i udejstvenost. Preciznije, u Met. 1043a30 31 koristi se riječ μορφή u paru s ἐνέργεια. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 83

12 Željko Kaluđerović U Met. 984a19 27 Aristotel, obrazlažući zašto ne može postojati samo uzrok tvarne vrste, postavlja pitanje: Naime, ako u potpunosti svako postajanje ili propadanje jest iz nečega jednog ili iz više toga, zašto se to događa, tj. šta je uzrok tome? Podmet sigurno ne prouzročuje vlastitu promjenu. Mislim na primer na to da ni drvo a ni bronza nisu uzrok vlastite promene, i da drvo ne stvara postelju a bronza statuu već je nešto drugo uzrok te promjene. Tražiti to znači tražiti neko drugo načelo, kako bismo mi to rekli, to odakle kretanje započinje.* εἰ γὰρ ὅτι μάλιστα πᾶσα φθορὰ καὶ γένεσις ἔκ τινος ἑνὸς ἢ καὶ πλειόνων ἐστίν, διὰ τί τοῦτο συμβαίνει καὶ τί τὸ αἴτιον; οὐ γὰρ δὴ τό γε ὑποκείμενον αὐτὸ ποιεῖ μεταβάλλειν ἑαυτό λέγω δ οἷον οὔτε τὸ ξύλον οὔτε ὁ χαλκὸς ἀίτιος τοῦ μεταβάλλειν ἑκάτερον αὐτῶν, οὐδὲ ποιεῖ τὸ μὲν ξύλον κλίνην ὁ δὲ χαλκὸς ἀνδριάντα, ἀλλ ἕτερόν τι τῆς μεταβολῆς αἴτιον. τὸ δὲ τοῦτο ζητεῖν ἐστὶ τὸ τὴν ἑτέραν ἀρχὴν ζητεῖν, ὡς ἂν ἡμεῖς φαίημεν, ὅθεν ἡ ἀρχὴ τῆς κινήσεως. U navedenom pasusu implicitno se podrazumijeva Aristotelovo priznavanje postojanja promjene i kretanja. On čak smatra da govoriti kako sve stvari uvijek miruju i nuditi izvjesne argumente za ovakvo stanovište, zapostavivši pritom čulno opažanje, jeste neka slaboumnost (Phys. 253a33 34) (aluzija je usmjerena na elejce), te dodaje da bi takva tvrdnja bila kako protiv fizičara tako i protiv svake znanosti, pa čak i protiv svih mnijenja. Nakon Parmenida nije se više moglo, kao što su to činili njegovi prethodnici, kretanje prihvatiti kao samorazumljiva kategorija pa je i sam Stagiranin tragao za njegovim uzrocima i načelima. Na početku 7. glave Z knjige Metafizike, govoreći uopćeno o uzrocima nastajanja svega, Aristotel osim materijalnog, i ovaj put formalnog, spominje još i eficijentni uzrok 18 (Met. 1032a13 14): * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 13, 984a Potcrtao: Ž. K. 18 Sljedeće riječi obilježavaju tzv. tvorni uzrok: τὸ κινοῦν, τὸ κινῆσαν, τί πρῶτον ἐκίνησε, ὅθεν ἡ κίνησις, ὅθεν ἡ ἀρχὴ τῆς κινήσεως, τῆς μεταβολῆς, τὸ ὑφ οὗ. 84 ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 84

13 Stagiraninova aitiologija No, sve što postaje postaje usljed nečega, iz nečega i postaje nešto.* πάντα δὲ τὰ γιγνόμενα ὑπό τέ τινος γίγνεται καὶ ἔκ τινος καὶ τί. Osim izučavanja propadljivih stvari koje nastaju po prirodi, po umijeću i bez povoda, Aristotel govori o istraživanju nepropadljivih stvari koje su pokrenute, i o onim stvarima koje su vječne i koje, nemajući u sebi kretanja, pa ni načela kretanja, same, ipak, pokreću. Ako se zbog intencije ovog rada odustane od detaljnije analize astronomskog istraživanja, može se konstatirati da je niz nastajanja i propadanja, mada je Helenima bilo potpuno nepoznato apsolutno nastajanje u smislu stvaranja iz ničega, kao i apsolutno propadanje u smislu prelaženja nekog bića u ništa, zahtijevao nešto što će biti na početku svega i činiti sveobuhvatno načelo, nešto što će imati moć da svemu drugom da impuls kretanja a da samo istovremeno ostane nepokretno. To je nešto Aristotelov nepokretni pokretač. Među potonjim komentatorima Stagiraninovih spisa postojale su značajne nesuglasice oko toga da li je njegov bog bio samo finalni uzrok, ili je bio i eficijentni uzrok promjene. Čini se da nema mnogo dvoumljenja oko odgovora na spomenutu dilemu, s obzirom na činjenicu da je termin eficijentni uzrok, tj. causa efficiens, prijevod koji su formulirali sholastički komentatori za Aristotelov izraz ἀρχὴ τῆς κινήσεως (doslovno načelo kretanja ), što je njegov bog i bio. Istina je i da opozicija οὗ ἕνεκα ( zbog čega ) i ἀρχὴ κινήσεως nije najsretnije odabrana, jer je οὗ ἕνεκα jedna vrsta ἀρχὴ κινήσεως-a. Uzrok kretanja može biti trostruk: 1. cilj (svrha) ka kojem se teži; 2. nešto što djeluje ili a) kao fizikalna sila, ili b) kao mentalna snaga, tj. činom volje. Iz svega dosad rečenog jasno je da kod Stagiranina ne može biti govora o božijoj uzročnosti posljednjih dvaju tipova. To što Aristotel opisuje boga kao nešto što ima neograničenu moć (δύναμιν ἄπειρον, Phys. 267b22 23; Met. 1073a7 8), ne znači da on o njemu misli kao o eficijentnom uzroku koji svojom voljom čini sve što hoće (vid. 2b). Pokazat će se na drugome mjestu da Stagiraninov bog pokreće jedino kao ono što je žuđeno i voljeno (Met. 1072a26 27, 1072b3 4). * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, 2007, str. 253, 1032a ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 85

14 Željko Kaluđerović Aristotelov bog izvjesno je bio eficijentni uzrok. On je, preciznije rečeno, bio eficijentni uzrok samo bivajući finalni uzrok, i nikako drugačije. * * * Finalni uzrok 19 Aristotel imenuje kao ono zbog čega i dobro (τὸ οὗ ἕνεκα καὶ τἀγαθόν), čemu se još dodaje da je on svrha svega nastajanja i kretanja. Osim toga, evidentno je da kod Aristotela nema mnogo kolebanja ni kad je u pitanju definiranje ontološkog ranga ovog uzroka. On će jasno reći da ono zbog čega treba biti najbolje i svrha svim ostalim stvarima. Mjesto iz Fizike 194b32 35 karakteristično je pošto dobro reprezentira način na koji Aristotel određuje vlastiti finalni uzrok: Zatim, kao svrha: to je ono radi-čega. U tom smislu zdravlje je uzrok šetanja. Zašto neko šeta? Velimo zato da bi bio zdrav, i kad tako kažemo, vjerujemo da da smo naveli uzrok.* ἔτι ὡς τὸ τέλος τοῦτο δ ἐστὶ τὸ οὗ ἕνεκα, οἷον τοῦ περιπατεῖν ἡ ὑγίεια διὰ τί γὰρ περιπατεῖ; φαμὲν ἵνα ὑγιαίνη, καὶ εἰπόντες οὕτως οἰόμεθα ἀποδεδωκέναι τὸ αἴτιον. U Stagiraninovim spisima ne pojavljuju se samo pojedinačni slučajevi u kojima se potvrđuje prisustvo causa finalisa, već se u njima govori i da svako zbivanje, događanje ili promjena, i to ne samo vezano za čoveka već uopće, ima svoj cilj. Relativno često pojavljuje se i konstatacija da priroda ne čini ništa nasumice ili bez svrhe, ali i obrnuta tvrdnja, da svi 19 Finalni uzrok u Aristotelovoj recepciji uglavnom ima sljedeće oznake: τὸ τέλος, τίνος ἕνεκα, τὸ οὗ ἕνεκα, τὸ οὗ ἕνεκα καὶ τἀγαθόν. Kao ni prilikom govora o ostalim trima uzrocima, ni ovom prilikom ne mogu se analizirati sva mjesta gdje se ozbiljnije spominje finalni uzrok. Neka od njih jesu: An. Post. 95a6 9; Phys. 194a28 32 (sa 199a8 9, 199b15 17; PA639b27 30, 641b24 25); Phys. 196b21 22; 199a17 20; De An. 415b1 2 (sa 415b20 21; Phys. 194a35 36; Met. 1072b2 3; EE1249b15); Met. 994b9 10; Met. 1022a4; 1022a6 8; Protr. fr. 11. Među značajnijim u Aristotelovom korpusu jesu: Met. 983a31 32, kao i Met. A7; Phys. II8 i PA I 1. * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd, 2006, str. 57, 194b Potcrtao: Ž. K. U navedenom citatu Aristotel ukazuje na status onoga zbog čega kao vrste uzroka. Preciznije rečeno, on obrazlaže uključivanje svrhe (τὸ τέλος) na listu uzroka, po principu, ono zbog čega jeste uzrok, svrha je ono zbog čega, dakle, svrha je uzrok. 86 ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 86

15 Stagiraninova aitiologija njeni procesi streme ka nekom cilju. 20 Osmo poglavlje druge knjige Fizike čitavo je posvećeno odbrani teleologičnosti prirodnih procesa. Aristotel, počevši najprije od svojih oponenata, kaže da se objašnjavanje prirodnih pojava obavlja uz pomoć onoga što oni zovu nužni uzroci. Toplo, hladno i slične stvari ostaju to što jesu po nužnosti svoje prirode. Oni kažu da i kiša pada po nužnosti, a ne da bi npr. žito raslo. I sve ostale stvari, po Stagiraninovim oponentima, dešavaju se zbog slučajnosti. Najbolju ilustraciju ovakve teorije nudi prva poznata teorija descendencije koja se može detektirati u sačuvanim fragmentima Empedokla (DK 31B57-62). 21 Za Aristotela ono što se dešava u prirodi tj. po prirodi jeste nešto postojano, jer ono što se zbiva uvijek ili najčešće ne može biti rezultat nečeg uzgrednog (συμβεβηκός). Ne može biti ni puka slučajnost da kiša u Grčkoj često pada zimi, a da je u julu mjesecu vrijeme veoma lijepo i bez padavina. Jednako tako, funkcija koju u vilici vrše sjekutići i kutnjaci ne može biti proizvod stjecaja okolnosti. Pošto je, smatra Stagiranin, jedini mogući izbor između događaja koji se dešavaju slučajno i onih koji se dešavaju zbog čega, prirodni procesi moraju biti svrhoviti. 22 Aristotel u Phys. 199a8 i d. povlači analogiju između djelovanja po prirodi i ljudskog djelovanja, kazujući da i jedno i drugo djelovanje napreduju progresivno ka nekom poretku i savršenstvu. 23 Drugačije rečeno, i umijeće i priroda na sličan način izlažu podređenost sredstava ciljevima, a na pojavi uređenog napredovanja utemeljuje se obrazlože- 20 Npr. u: Cael. 290a31, 291b13 14; De An. 415b16 17, 432b21 22; PA641b12, 658a8 9, 661b23 24; GA741b4 5, 744a36 37; Pol. 1253a9. 21 U Phys. II.8. ekspliciraju se dva temeljna viđenja prirode. Po jednom se priroda razumijeva kao proces nužnosti (causa efficiens), gdje slijedu uzroka i posljedica tj. događanja u prirodi pripada mehanička nužnost, čiji je ovdje reprezent Empedokle. Drugo viđenje prirodu shvata kao proces svrhovitosti (causa finalis), kojim Aristotel brani vlastito stanovište. Stagiraninova teleologija, čija je glavna karakteristika njeno određenje kao unutrašnje svrhovitosti, po Hegelu (G. W. F. Hegel), superiornija je od pojma moderne teleologije, koja je imala pred sobom samo konačnu tzv. vanjsku svrhovitost. G. V. F. Hegel, Enciklopedija filozofijskih znanosti, V. Masleša Svjetlost, Sarajevo, 1987, str Da je svrha prisutna u onome što je po prirodi, vidi se i iz Met. 1050a4 6, gdje piše da stvari koje su nastankom kasnije, oblikom, a oblik je svrha, i bivstvom su ranije, kao što je to odrastao čovjek prema dječaku. Slično piše u: PA646a25 28, 646a35 646b2. 23 U PA639b19 21 Stagiranin komparira ovo dvoje, pa govori da se svrha (τὸ οὗ ἕνεκα) može jasnije očitovati u djelima prirode nego u onima koja nastaju po umijeću. ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 87

16 Željko Kaluđerović nje za prisustvo svrhe kako u ljudskim tvorevinama tako i u prirodi. Kada bi kuća mogla nastajati po prirodi, ona bi onda nastajala u istim onim etapama i na isti način kao što se dešava prilikom nastajanja po umijeću. Važi i obrnuto. Kada bi stvari koje nastaju po prirodi mogle nastajati i po umijeću, one bi nastajale jednako onako kao što su nastajale po prirodi. Zaključak koji Aristotel izvodi jeste da ako su stvari koje su prema umijeću svrhovite, a one to jesu, onda su i svrhovite stvari koje su po prirodi. Iako je danas sasvim moguće da se zamisli ideja uređenog napredovanja bez pretpostavljanja aktualnog postojanja najvišeg stupnja ka kojem je napredak usmjeren, u Stagiraninovoj koncepciji to nije bilo moguće. Nije bilo moguće govoriti o napredovanju, ukoliko to nije bilo napredovanje ka nečemu što već postoji. Telos ili svrha, za Aristotela, nije nikakav teško dostižni ideal koji eventualno treba dosegnuti u nekoj dalekoj budućnosti, već je on(a) kao udejstvenost nešto što (od)uvijek jeste, nešto što jeste i kao uzrok onoga što treba nastati. Sve ovo ne znači da Aristotel u potpunosti odbacuje pojam nužnosti (ἀνάγκη). Ovaj pojam zbog svojevrsnog dvostrukog statusa prirode nešto je bez čega se ne može. Priroda je, kako to Aristotel izlaže u spisu O dijelovima životinja (641a25 27), nešto što se razmatra na dva načina i što jeste dvostruko: jednom je to priroda kao tvar a drugi put priroda kao bivstvo. 24 Jasno je i da Aristotel eksplicitno identificira tvar i nužnost, a već je rečeno da to isto čini i kad je riječ o obliku i svrhi. 25 Za samog Aristotela nema dileme kada treba odlučiti koji je princip viši. Ilustrirajući to na primjeru kreveta, on kaže da je priroda prema obliku važnija od tvarne prirode. Ili kako sam piše u Phys. 200a32 34: 24 U datom kontekstu bivstvo se treba razumjeti kao oblik. U nastavku istog teksta (PA641a27) kaže se da je priroda kao bivstvo također i priroda kao eficijentni uzrok i kao svrha. 25 U PA642a1 3 Aristotel kaže da postoje sljedeća dva uzroka: onaj iz nužnosti i onaj zbog čega jeste nešto, dodajući da mnoge stvari nastaju zbog nužnosti. 88 ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 88

17 Stagiraninova aitiologija Fizičar treba da govori o oba uzroka, ali više o onom radi-čega. Jer to je uzrok tvari, a ona nije uzrok svrhe.* καὶ ἄμφω μὲν τῷ φυσικῷ λεκτέαι αἱ αἰτίαι, μᾶλλον δὲ ἡ τινὸς ἕνεκα αἴτιον γὰρ τοῦτο τῆς ὕλης, ἀλλ οὐχ αὕτη τοῦ τέλους Teleologičnost se kod Stagiranina ne ograničava ni samo na prirodu, ni na, još pridodato, područje umijeća, već ona prožima cjelinu univerzuma, o čemu dobro svjedoči i završna rečenica četvrte glave prve knjige djela O nebu (271a33), u kojoj se kaže da Bog i priroda ne stvaraju ništa uzalud. Aristotelov bog, spomenuto je već, pokreće sve stvari na taj način što mu one teže voleći ga. Rečeno je, također, i da tu nije riječ o klasičnom eficijentnom uzrokovanju u smislu stvaranja nečega, već da je riječ o nekoj vrsti privlačenja kroz čistu udejstvenost. Njegov bog pokreće kao svrha jer, kao što Aristotel i navodi u Met. 1071a36, ono što je prvo usvrhovljenošću, to je i uzrok svim stvarima (ἔτι τὸ πρῶτον ἐντελεχείᾳ). Da ovakvo određenje svrhe predstavlja istinski novum u dotadašnjoj misaonoj produkciji, bilo je jasno i samom Stagiraninu, koji zato i kaže da finalni uzrok u njegovoj istinskoj prirodi nije bio prepoznat ni od jednog od njegovih prethodnika. * * * Većina historičara filozofije slaže se u konstataciji kako, posmatrano iz cjeline Stagiraninovih spisa, materijalni uzrok ne može biti sveden ni na jedan drugi uzrok, odnosno da on mora biti tretiran relativno zasebno, 26 kao i da postoji srodnost preostalih triju uzroka. Iako se svi oni mogu izučavati odvojeno, što je u ovom radu činjeno, i premda se eficijentni i finalni uzrok mogu izučavati odvojeno od formalnog uzroka (i od materijalnog), kao vanjski od unutrašnjih uvjeta promjene, Aristotel kazuje da su ova tri uzroka često podudarna. 27 Većina istraživača * Prev. S. U. Blagojević; Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd, 2006, str. 77, 200a Izuzetak čini Ovens, koji je pokušao da materijalni, i sve druge uzroke, svede na formalni uzrok. J. Owens, The Doctrine of Being in the Aristotelian Metaphysics, Toronto, 1951, str U Fizici 198a24 25 Stagiranin doslovno kaže da se ova tri uzroka: Često svode na jedan. Slična tvrdnja izriče se i u spisu O dijelovima životinja (Περὶ ζώων μορίων) 641a O podudarnosti formalnog, eficijentnog i finalnog uzroka piše i Černis (H. Cherniss). ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 89

18 Željko Kaluđerović prirode, nastavlja Stagiranin, ne uzimaju u obzir ovo podrazumijevanje formalne i finalne u eficijentnoj uzročnosti. Oni počinju s nekakvim događajem u prirodi i pitaju se šta je njegov neposredni eficijentni uzrok (τί πρῶτον ἐποίησεν), ili šta je njegov neposredni materijalni uzrok (ἢ τί ἔπαθε), da bi se potom pitali šta je eficijentni uzrok eficijentnog uzroka i šta je materijalni uzrok materijalnog uzroka (καὶ οὕτως ἀεὶ τὸ ἐφεξῆς). Da bi se razumio slijed događaja, ne smije se zadovoljiti prostim pitanjem šta nakon čega nastaje (τί μετὰ τί γίνεται), nego se moraju spoznati vječni uzroci koji stoje izvan ovog niza. U protivnom, dospjet će se na slijepi kolosjek i tražiti stalno novi i novi uzroci. 28 Ono što je glavna pouka sedme glave druge knjige Fizike, i ne samo nje, naravno, i što Stagiranin posebno želi naglasiti važnost je prepoznavanja prvog pokretača, kao i prepoznavanje formalno-finalnog uzroka impliciranog u eficijentnoj kauzalnosti. 29 * * * Na kraju, tragajući za niti vodiljom ljubavi prema mudrosti kod svojih prethodnika, Aristotel je ključ za razumijevanje misaonih poduhvata vlastitih preteča pronašao u osobenom učenju o uzrocima. Doktrina o materijalnom, formalnom, eficijentnom i finalnom uzroku omogućila je Aristotelu problemsku sistematizaciju prethodnika na način prikazan u prvoj knjizi Metafizike, i istovremeno ga kvalificirala, makar i uz izvjesne rezerve, kao prvog historičara metafizike pa i filozofije uopće. Posredstvom ogromne sintetičke moći sopstvenog mišljenja, Stagiranin je, kao svojevrsni Aufhebung, sve dotadašnje filozofije, u sačuvanim spisima, eksplicirao zahtjev za uspostavljanjem kohezionog faktora divergentnosti i mnogolike raspršenosti misli prearistotelovaca. Traženi kohezioni faktor Aristotel je pronašao u svojoj prvoj filozofiji i u njenim načelima tj. uzrocimah H. Cherniss, Aristotle s Criticism of Plato and the Academy, Baltimore, 1944, str O čemu Stagiranin piše i u Met. 1075b Razmatrajući istu problematiku, Stejs (W. T. Stace) konstatira da se tri navedena uzroka stapaju u jedinstveni pojam koji Aristotel zove oblikom stvari. Pošto je materijalni uzrok nesvodiv na bilo koji od preostalih triju uzroka, Stejs zaključuje da se treba suočiti s jednom jedinom antitezom, onom tvari i oblika. W. T. Stace, A Critical History of Greek Philosophy, London, 1950, str ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 90

19 Stagiraninova aitiologija Stagirites Aitiologia Željko Kaluđerović Faculty of Philosophy, Novi Sad, Department of philosophy Summary The author considers Aristotle s aitiologia in light of, firsts and foremost, the Staigirian s capital works such as Metaphysics and Physics, but also the remainder of Aristotelis Opera. It has been confirmed that looing for the guiding line of all the previous thinking, Aristotle postulated his unique key to understanding of philosophical antecedents in his own learning about causes. In fact, the doctrine of material, formal, efficient and final cause is the model that Aristotle used to systematize the problems considered by his antecedents as presented in the first volume of Metaphysics, and to present himself at the same time, however reservedly, as the first historian of metaphysics and philosophy in general. The author then considers each of the four causes, with additional considerations regarding their mutual links and connections. The conclusion is that the material cause cannot be reduced to any other cause and needs to be treated relatively separately, whereas a considerable connectedness exists among the other three causes. Namely, although they can all be examined separately, which is the procedure applied in this paper, and although the efficient and the final cause can be analysed separate from the formal (and the material) one, as external vs. internal conditions for change, all the three causes are almost identical and Aristotle s work evidently recognise the formal-final cause implicit in efficient causality. Key words: Aristotle, causes, principles, aitiologia, material, formal, efficient, final, teleology Literatura: Allan, D. J., The philosophy of Aristotle, Oxford, Aristotel, Analitika I II. Kategorije. O izrazu, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, Fizika, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, Metafizika, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, O delovima životinja. O kretanju životinja. O hodu životinja, PAIDEIA, Beograd, ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 91

20 Željko Kaluđerović Aristotel, O duši. Parva naturalia, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, O nebu. O postajanju i propadanju, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, O rađanju životinja, PAIDEIA, Beograd, Aristotel, Politika, Liber, Zagreb, Aristotelis Opera, ex. rec. Immanuelis Bekkeri, ed. Acad. Regia Borrusica, I V, Berlin Novo izdanje pripremio je O. Gigon, Berlin, Svi Aristotelovi navodi sravnjivani su prema ovom izdanju. Bonitz, H., Seidl, H., Aristotles Metaphysik, I II, Hamburg, Cherniss, H., Aristotle s Criticism of Plato and the Academy, Baltimore, Diels, H., Kranz, W., Die Fragmente der Vorsokratiker, I III, Weidmann, Dils, H., Predsokratovci fragmenti, I II, Naprijed, Zagreb, Guthrie, W. K. C., Aristotle as Historian, u: D. J. Furley, R. E. Allen, Studies in Presocratic Philosophy I, New York, Hegel, G. V. F., Enciklopedija filozofijskih znanosti, V. Masleša - Svjetlost, Sarajevo, Jaeger, W., Aristoteles Grundlegung einer Geschichte seiner Entwicklung, Weidmann, Kaluđerović, Ž., Prvi teolozi i učenje o uzrocima, u: ARHE, god. I, br. 2, Novi Sad, Lloyd, G. E. R., Aristotle: the Growth & Structure of his Thought, Cambridge, McDiarmid, J. B., Theophrastus on the Presocratic Causes, u: D. J. Furley, R. E. Allen, Studies in Presocratic Philosophy I, New York, Owens, J., The Doctrine of Being in the Aristotelian Metaphysics, Toronto, Ross, W. D., Aristotle, London, Ross, W. D., Aristotle s Physics, Oxford, Stace, W. T., A Critical History of Greek Philosophy, London, Žunjić, S., Aristotel i henologija, Prosveta, Beograd, ZNAKOVI VREMENA Sarajevo PROLJEĆE 2013 GODINA XVI BROJ 59 ZNAKOVI_VREMENA 59 finalno.indd 92

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Stagiraninova aitiologija

Stagiraninova aitiologija Željko Kaluđerović Univerzitet u Novom Sadu Filozofski fakultet, Novi Sad Odsek za filozofiju Stagiraninova aitiologija Sažetak: Autor u radu razmatra Aristotelovu aitiologiju, uzimajući u obzir pre svega

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI

STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Arhe XIV, 27/2017 UDK 1 Aristoteles 111 Originalni naučni rad Original Scientific Article ŽELJKO KALUĐEROVIĆ 1 Filozofski fakultet, Univerzitet u Novom Sadu STAGIRANINOVO ODREĐENJE MUDROSTI Sažetak: Autor

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Mr. Željko Kaluđerović UDK: 2-549.3:27-144 Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: 16.09.2005. BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα: Αριστοτέλης Ι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα