Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας δεν σημαίνει απόλυτη τιμή! b) ( ) a + a b + c) ( b ). Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Sarrus: 4 + a a) 4 b) 4a a a) () ()46 5()() b) a + a 4a 4a 5 a a + + a 4a a 5 4 a ( ) a + a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 6a 8a 45 a 0a 6a a 6 5a a 5

2 . Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες, αφού πρώτα τις απλοποιήσετε κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων τους: + a b c d b c + b c d a) bac c b) b + c d b cab b c + d b c 0 a+ b+ c 0 bac c r r r bac c a) b cab b cab Αναπτύσσουμε ως προς την πρώτη γραμμή c 0 a+ b+ c a+ b+ c r rr a+ b+ c a+ b+ c cab cab ( ) ( ) ( ) 4. Δείξτε ότι ισχύει η ακόλουθη ισότητα: ( )( )( ) a b c ba ca c b a b c 0 0 ( ) ( ) ( b a)( c a)( c b) ( )( ) ( ) a b c c c c a b a c a b a c ba a c a b c a b a c a b a b+ a c a b+ a c c c c ba a c a ba a c a ( )( ) a b a c a a b a c a c a 0 0 ( ba)( c a) a ( ba)( c a) ( ba)( c a)[ c+ a ( b+ a) ] b+ a c+ a + + a b a c a Δείξτε ότι η εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο, που διέρχεται από τα σημεία (x,y ) και (x,y ) γράφεται σε μορφή ορίζουσας ως: x y x y 0, x x x y

3 Είναι γνωστό από πως η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (x,y ) και (x,y ) γράφεται ως y y y y, x x xx x x Αναπτύσσουμε την ορίζουσα του αριστερού μέλους της δοθείσας σχέσης και παίρνουμε διαδοχικά x y xx y y 0 xx y y 0 xx y y x y r rr x y r r r xx y y 0 xx y y x y x y x y ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) Θέτουμε την ορίζουσα ίση με το 0 και παίρνουμε ( xx)( y y) ( xx)( y y) 0 ( xx)( y y) ( xx)( y y) y y y y, x x xx xx Άρα καταλήξαμε στην εξίσωση της ευθείας. 6. Βρείτε τις λύσεις της ακόλουθης εξίσωσης ως προς x. To α είναι μια πραγματική παράμετρος: x x x x x a x x x x a a x x x 0 a a a x x a a a a x Υπολογίζουμε την ορίζουσα στο αριστερό μέρος της εξίσωσης

4 x x x x x 0 x x x x a x x x x a x x x x x a a x x x c c c 0 a x x x a a a x x 0 a a x x a a a a x 0 a a a x x x x x 0 x x x a x x x a x x x x ( ax) c cc( x a) a a x x 0 a x x a a a x 0 a a x x x x 0 x x ( )( ) ( ) xa ax a x x c c c xa a x x x a a x 0 a x x x 0 x a x a x x ( x a) ( a x) c c c ( x a) ( x a) x( a x) x( x a) 4 Θέτουμε την ορίζουσα ίση με το μηδέν και επιλύουμε την εξίσωση ( ) 4 x 0 x x a 0 x a ( τετραπλήρίζα ) 7. Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου k έτσι ώστε το ακόλουθο 4x+ y z 6 σύστημα να έχει μοναδική λύση. 6x+ 5y+ 7z k x+ y+ kz Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος είναι ο k Επειδή το σύστημα είναι nxn για να έχει μοναδική λύση πρέπει o πίνακας να έχει αντίστροφο, δηλ. 0 Έχουμε ( ) k k k ( ) ( ) ( ) 4 5k 4 6k 7 + ( ) 5 4k 6 Επομένως για να έχει μοναδική λύση το σύστημα θα πρέπει να είναι 4

5 6 9 4k 6 0 k ± k ± k ± 4 8. Να δοθεί το ανάπτυγμα Laplace της ορίζουσας του ακόλουθου πίνακα 8 a b a b c + c b 0 a+ b c 4 ac 5 b a. Ως προς την τρίτη γραμμή b. Ως προς την τέταρτη στήλη a. 8 a b 8 a b a b a+ b c a+ b c b c c b ( c ) + a+ b c 0 a+ b c 0 a+ b c ac 5 b 4 5 b 4 ac 5 b 8 b 8 a 8 a b a+ c a+ b a+ b c b + 0 a+ b c 0 c 0 a+ b 4 ac b 4 ac 5 b 4 ac 5 b. 8 a b a+ b 8 a a+ b c c b c b c b b + c 0 c 0 c 0 a + b c 4 ac 5 b 4 ac 5 b 4 a c 5 b 8 a 8 a 8 a a+ b a+ b a+ b + ( a+ b) ( ) 0 c c b c b 4 ac 5 b 4 ac 5 b 0 c 5

6 9. Να υπολογίσετε τις ακόλουθες ορίζουσες χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss a) b) a) Εφαρμόζουμε την απαλοιφή Gauss στον πίνακα Έχουμε διαδοχικά: r r r r r r + r4 r4 + r r4 r4 + r r4 r4 r Επειδή κατά την διαδικασία της απαλοιφής δεν έγινε καμία ανταλλαγή γραμμών η ορίζουσα του τελικού πίνακα ταυτίζεται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Επιπλέον ο τελικός πίνακας είναι άνω τριγωνικός επομένως η ορίζουσά του ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του. Έτσι ()( )( )(0) b) Εφαρμόζουμε την απαλοιφή Gauss στον πίνακα 0 Έχουμε διαδοχικά: 6

7 0 r r 0 r r r 0 + r r+ r 0 0 r4 r4 + r Επειδή κατά την διαδικασία της απαλοιφής έγινε μία ανταλλαγή γραμμών (περιττό πλήθος) η ορίζουσα του τελικού πίνακα είναι αντίθετη από αυτή του αρχικού πίνακα. Έτσι 0 0 ()()( ) Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα με τη μέθοδο Cramer x+ y 4z x+ y z 5 5x y+ z 4 Ο πίνακας συντελεστών είναι ο 4. 5 Οι πίνακες i, i,, προκύπτουν αν στον πίνακα αντικαταστήσουμε την i στήλη με τη στήλη των σταθερών όρων: 5 4 Έτσι θα είναι 4 4 5, 5, Υπολογίζουμε τις ορίζουσες των τεσσάρων πινάκων με Sarrus. Για τον πίνακα Α έχουμε: 4 ()()()+()(-)(5)+(-4)()(-)-(5)()(-4)-(-)(-)()-()()() 5 5 7

8 Επομένως 0 και το σύστημα έχει μοναδική λύση. Άρα μπορεί να επιλυθεί με τη μέθοδο Cramer. Με όμοιο τρόπο παίρνουμε 6, 08, 9 Έτσι τελικά θα η λύση του συστήματος θα είναι 6 7 x y z 8 M. Να υπολογισθούν οι ελάσσονες ορίζουσες M, M, M, M4 της ορίζουσας: M M,, M Να δειχθεί ότι αν ο nxn πίνακας Α είναι ορθογώνιος δηλ. αν τότε ± T T I Είναι γνωστό πως ισχύει: T Επίσης: I Έχουμε λοιπόν T T και από το γεγονός ότι ο Α είναι ορθογώνιος παίρνουμε τελικά: T I ± 8

9 . Αν ο είναι ένας 7x7 πίνακας με 7 να υπολογίσετε την τιμή της Είναι: 7 Επειδή ο είναι και αυτός ένας 7x7 πίνακας θα έχουμε: Να υπολογισθούν οι αντίστροφοι των ακόλουθων πινάκων (αν υπάρχουν) χρησιμοποιώντας τον τύπο του προσαρτημένου πίνακα a) b) c) d) a) Είναι Επειδή 0 o αντίστροφος υπάρχει και θα δίνεται από τη σχέση: adj adj 0 Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τον προσαρτημένο πίνακα του Α. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε τα ακόλουθα αλγεβρικά συμπληρώματα: 4 ( ) 5, ( ) 0, ( ) ( ), ( ) 8, ( ) ( ), ( ), ( ) 9 Θα είναι: T 5 adj Επομένως

10 b) Είναι Επειδή 0 o αντίστροφος δεν υπάρχει. c) Είναι / 7 55 / 7 9 / 7 r r + r r r + r / 7 55 / 7 9 / / 7 55 / 7 9 / 7 r4 r4 r 0 7 / 7 5 / 7 4 / / 7 5 / 7 4 / /7 5/7 9/7 Αναπτύσσουμε ως προς την πρώτη στήλη και έχουμε: 6 / 7 55 / 7 9 / / 7 5 / 7 4 / / 7 5 / 7 9 / Την τελευταία ορίζουσα μπορούμε να την υπολογίσουμε με τη μέθοδο Sarrus. Τελικά θα είναι: 75 Επειδή 0 o αντίστροφος υπάρχει και θα δίνεται από τη σχέση: adj adj 75 Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τον προσαρτημένο πίνακα του Α. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε τα ακόλουθα αλγεβρικά συμπληρώματα: ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) 4..., ( ) , ( ) , ( )

11 4 7 4 ( ) 5..., ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) Θα είναι: 4 T adj Επομένως d. Είναι / / 4 r r r r rr / / / / 4 r4 r4 + r / 7 / 0 Αναπτύσσουμε ως προς την πρώτη στήλη και έχουμε: 4/ / / 7 / 0 Την τελευταία ορίζουσα μπορούμε να την υπολογίσουμε με τη μέθοδο Sarrus. Τελικά θα είναι: 0

12 Επειδή 0 o αντίστροφος δεν υπάρχει. 5. Δείξτε ότι α... α... n ( )( ) n n α + n a, n> 0 α α... α... n n α Προσθέτουμε όλες τις γραμμές στην πρώτη και παίρνουμε: α + (n ) α + (n ) α + (n )... α + (n) α... n n α Βγάζουμε κοινό παράγοντα το α + n και παίρνουμε:... α... n n ( α + n ) α Στη συνέχεια αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από όλες τις άλλες και παίρνουμε:... 0 α n n ( α + n) α Στη συνέχεια αναπτύσσουμε κατά την πρώτη στήλη και παίρνουμε: α n n ( α + n) α Η ορίζουσα που προκύπτει είναι τάξης n- και άνω τριγωνική, επομένως ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων της. Έτσι έχουμε τελικά: ( n )( ) n n n α + α

13 6. Δίνεται ένας πίνακας 6 6. Μπορούν τα γινόμενα a) aa56aa64a 4 και b) aa56aa64a5a4 να αποτελούν όρους του αναπτύγματος της ορίζουσας ; c) Δίνεται ότι ένας όρος του αναπτύγματος της ορίζουσας είναι ο: aa56aa64a5a 4. Προσδιορίστε το πρόσημό του. a) Όχι, γιατί αποτελείται από 5 στοιχεία του πίνακα. Θα έπρεπε να αποτελείται από 6, όσες οι γραμμές (ή οι στήλες) του πίνακα b) Όχι, γιατί παρόλο που αποτελείται από 6 στοιχεία του πίνακα υπάρχει επανάληψη δεικτών: Της γραμμής στα στοιχεία α και α 5 c) Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα ) Γράφουμε ξανά τα στοιχεία του γινομένου με αύξουσα σειρά ως προς τον δείκτη της στήλης: aa4aa64a5a 56 ) Προσδιορίζουμε τη μετάθεση των δεικτών της γραμμής. Πρόκειται για τη μετάθεση (, 4,,6,,5 ) ) Για κάθε έναν αριθμό στη λίστα της μετάθεσης προσδιορίζουμε το πλήθος των μικρότερών του αριθμών που βρίσκονται δεξιότερά του. Για το δεν υπάρχει κανένας Για το 4 υπάρχουν δύο (το και το ) Για το υπάρχει ένας (το ) Για το 6 υπάρχουν δύο (το και το 5) Για το δεν υπάρχει κανένας Για το 5 δεν υπάρχει κανένας Το σύνολο των μικρότερων αριθμών είναι επομένως ίσο με 5. 4) Αν το σύνολο είναι άρτιος αριθμός το πρόσημο του γινομένου είναι θετικό, διαφορετικά αρνητικό. Στην περίπτωσή μας είναι αρνητικό.