Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3"

Transcript

1 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ, τότε φ(α)χ=φ(λ)χ Ορισμός και πρώτες ιδιότητες χαρακτηριστικού πολυωνύμου Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σχέση ιδιοτιμών με ίχνος και ορίζουσα Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Συνιστώμενες ασκήσεις: -4, 7a,b -9, -6, 9, -4 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου a Αληθεύει ότι το είναι ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης 4 4 f :, f ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ; Αληθεύει ότι το (, 0,, ) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης f :, f ( x, y, z) ( x y,x y z, x y z) c Έστω f : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από f ( e ) e, f ( e ) e, ή όπου e { e, e} είναι η συνήθης βάση του Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της f όταν i) και ii) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο i ) a Έστω και X 5 5 Είναι το X ιδιοδιάνυσμα του ; Είναι το 6 ιδιοτιμή του ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Να βρεθούν οι πιθανές ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης f : V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις a f, b c f f V f, 0 4 Έστω με ( x ) x x x a Είναι ο αντιστρέψιμος; b Είναι ο ( I)( 4 I) αντιστρέψιμος; c Υπολογίστε την ορίζουσα του 5I d Να βρεθεί το ( x) e Αληθεύει ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε k B B για κάποιο θετικό ακέραιο k ;

2 Ασκήσεις 9 k t t f Αληθεύει ότι υπάρχει ακέραιος k με, όπου είναι ο ανάστροφος του ; 5 Έστω, B, όπου ο είναι αντιστρέψιμος Δείξτε ότι B( x) B( x) (Σημείωση: Ισχύει το συμπέρασμα και χωρίς την υπόθεση ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 7) 6 Έστω αντιστρέψιμος και ( x ) ( ) x x x 0, οπότε 0 0 Δείξτε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x Έστω και ( x) [ x] a Δείξτε ότι αν το είναι ιδιοτιμή του με αντίστοιχο ιδιοδιάνυμσα X, τότε το ( ) είναι ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο διάνυσμα το X b Έστω Βρείτε (χωρίς να γίνουν πράξεις) μια ιδιοτιμή και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του B 8 45 I 8 c Έστω ότι Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή του ( ) υπάρχει ιδιοτιμή i του τέτοια ώστε ( i ) a Για ποια a το (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f :, f ( x, y) ( x ay, x y) ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων i f :, f ( x, y, z) (4 x,y 5 z, y z), ii g :, f ( x, y, z) (4 x,y 5 z, y z) 9 Δίνεται η γραμμική απεικόνιση f : [ x] [ x], με f x x x x ( ), f ( x ) x, f () x a Βρείτε τα ιδιοδιανύσματα της f και μια βάση για κάθε ιδιόχωρο της f b Αληθεύει ότι η f είναι ισομορφισμός; 4 c Αληθεύει ότι η f 6 f 4 V είναι ισομορφισμός; 4 d Βρείτε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της f 6 f 4 V 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων g : [ x] [ x], g( ( x)) x () h : [ x] [ x], h( ( x)) ( x), όπου ( x) είναι η παράγωγος του ( x) Έστω ( a ij ) τέτοιος ώστε για κάθε j,,, ισχύει Έστω a Υπάρχει μη μηδενικό b Αν ο είναι αντιστρέψιμος και X τέτοιο ώστε X X b ij i a ij Δείξτε τα εξής ( ), τότε για κάθε j,,, ισχύει bij i

3 Ασκήσεις a a 0 0 a 0 0 a a Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι το ( ) ( x a x a0) b Δείξτε ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε το t είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Έστω f, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις a Έστω ότι f g g f και v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f με v ker g Τότε το g( v ) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f b Έστω v ένα ιδιοδιάνυσμα και της f και της g Τότε για κάθε ( x), ( x) [ x] το v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της ( f ) ( g) 5 Έστω δυο ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης f : V V με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v Τότε a τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και b για κάθε a, b {0}, το au bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της f 6 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του C Έστω Αποδείξτε ότι οι ακόλουθες ιδιότητες είναι ισοδύναμες a Ο είναι αντιστρέψιμος b O σταθερός όρος του ( x ) είναι μη μηδενικός c Το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 8 Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του b Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον και περιττός Δείξτε ότι το ή το είναι ιδιοτιμή του 44 9 Έστω τέτοιο ώστε ( x ) [ x ], det, Tr ( ) 4 και μια ιδιοτιμή του είναι το i Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του

4 Ασκήσεις 0 Ξέρουμε ότι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Αληθεύει ότι όμοιοι πίνακες έχουν τα ίδια ιδοδιανύσματα; Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ( x )( x ), j t Βρείτε τους ιδιόχωρους της γραμμικής απεικόνισης f :,, όπου Θεωρούμε δυο διαγώνιους πίνακες a b, B a b Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Οι, B είναι όμοιοι b Υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε bi a ( i) για κάθε i,, c ( x) B( x) 4 a Έστω Δείξτε ότι ( x ) ( ) x αν και μόνο αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 b Να βρεθούν όλοι οι τέτοιοι ώστε ( x ) x 5 Βρείτε το χαρακτηριστικό πoλυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του a b b b b a b b b b a b b b b a 6 Έστω a, b με a b Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του 0 a a a b 0 a a b b 0 a b b b 0 ( ) είναι το a( x b) b( x a) ab 7 Έστω και B Δείξτε ότι ( ) x ( x) ( ) x ( x) (Συνεπώς αν, τότε B ( x) ( x) ) B 8 Έστω a,, a, b,, b και C aib j B B Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση ή αλλιώς βρείτε το C ( x ) και τις ιδιοτιμές του C 9 Έστω και Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Για κάθε ιδιοτιμή του, βρείτε τη διάσταση του -διανυσματικού χώρου X X X

5 Ασκήσεις 0 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και f : V V μια γραμμική απεικόνιση Έστω ότι, είναι δυο ιδιοτιμές της f τέτοιες ώστε Θέτουμε V ( ) Ker( f ) και V ( ) Ker( f ) V a Δείξτε ότι V ( ) V ( ) {0 V } b Έστω x V ( ) V ( ) Δείξτε ότι αν το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f, τότε x V ( ) ή x V ( ) B B Έστω, B, C και D Τότε B B a ( x) ( x) ( x) C B B b ( x) ( x) ( x) D ib ib, B είναι όμοιοι, όπου c Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, τότε οι ιδιοτιμές του Έστω a, b Δίνεται ότι οι πίνακες Να βρεθούν οι a, b a a b, B 0 0 b 0 0 Να βρεθεί τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης είναι οι,,, 0,,0 f f f, όπου f :, f ( x, y, z) (0, x, y) 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B b Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B c Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή d Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή e Αν το είναι ιδιοτιμή του τότε το είναι ιδιοτιμή του f Αν το είναι ιδιοτιμή του, όπου, τότε το είναι ιδιοτιμή του g Αν ( x) ( x), όπου, B, τότε οι, B είναι όμοιοι B h Έστω ότι οι Α, Β είναι όμοιοι Τότε οι ( ), ( B) είναι όμοιοι για κάθε ( x) [ x] i Υπάρχει με ιδιοτιμές τις 0,,, j Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης f : V V και v ker f, τότε το 0 είναι ιδιοτιμή της f k Έστω με ( x ) ( x )( x 5) Τότε υπάρχει γραμμική απεικόνιση f : και διατεταγμένη βάση του με f (,0,0) (,0,0) και ( f :, ) l Έστω Αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε υπάρχει μη μηδενικό X I με X V X

6 Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση a Σύμφωνα με τον ορισμό της ιδιοτιμής, το είναι ιδιοτιμή της f αν και μόνο αν υπάρχει μη μηδενικό 4 ( x, y, z, w) με f ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) Παρατηρούμε ότι f ( x, y, z, w) ( x, y, z, w) ( x w, y z, z w, x w) ( x, y, z, w) x w x y z y z w z x w w x w 0 z 0 z w 0 x w 0 x z w 0, y 4 Άρα το είναι ιδιοτιμη της f (και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (0, y,0,0), όπου y 0 ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε f (, 0,, ) (,,,) Από τη σχέση αυτή είναι σαφές ότι δεν υπάρχει με f (,0,, ) (,0,,) Άρα το (,0,, ) δεν είναι ιδιοδιανυσμα της f b Έστω και ( z, y, z) Έχουμε ( ) x y 0 f ( x, y, z) ( x, y, z) x ( ) y z 0 x y ( ) z 0 Το σύστημα () έχει μη τετριμμένη λύση ως προς x, y, z αν και μόνο αν 0 det 0 ( ) det ( ) det 0 ( )(( )( ) ) ( ) 0 ( )(( )( ) ) 0 ( )( )( ) 0,, Άρα οι ιδιοτιμές είναι,, Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : y 0 y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις του x z 0 x y z 0 τελευταίου είναι x(, 0, ), x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη είναι τα x(,0, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : ()

7 Ασκήσεις 4 x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις x y z 0 x y 0 αυτού είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις αυτού x z 0 x y z 0 είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} c Για (, ) f ( x, y) xf ( e ) yf ( e ) xe ye ( y, x) Έστω Τότε x y έχουμε x y 0 f ( x, y) ( x, y) Ζητάμε μη μηδενικές λύσεις του συστήματος ως προς x, y Έχουμε x y 0 det ( ) i) Έστω Τότε ( ) 0 για κάθε και άρα το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση Άρα δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα της f ii) Έστω Τότε το σύστημα έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν ( ) 0, δηλαδή αν και x y 0 μόνο αν i, i Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι i, i Λύνοντας το σύστημα για τις τιμές x y 0 αυτές βρίσκουμε αντίστοιχα τα ιδιοδιανύσματα x( i,), x {0} και x( i,), x {0} Γεωμετρική ερμηνεία του i) Η f παριστάνει στροφή κατά 90 ο στη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού Άρα δεν υπάρχει ευθεία U που διέρχεται από το (0,0) τέτοια ώστε f ( U ) U Συνεπώς η f δεν έχει ιδιοδιάνυσμα U f(u) Η ευθεία U δεν απεικονίζεται στον εαυτό της Λύση a Έχουμε Επειδή, το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Έχουμε 0 0

8 Ασκήσεις det( 6 I4) det 0, γιατί στον τελευταίο πίνακα δυο γραμμές είναι ίσες Άρα το 6 είναι μια ιδιοτιμή του Α b Έχουμε x ( x) det( xi) det 0 x 4 0 x x 4 ( x)det ( x ) ( x ) x και άρα οι ιδιοτιμές είναι, Ιδιoδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : Έχουμε x 0 x x 0 ( I) X x 0 4x 4x 0 0 x 0 x x 0 και το τελευταίο σύστημα ισοδυναμεί με το x x 0 που έχει λύσεις τις x 0 x x 0 x, x, x x 0 x 0 Άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα x x 0 x, x, x, όπου τουλάχιστον ένα από x 0 τα x, x δεν είναι 0 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x 0 x x x 0 ( I) X x 0 x 4x 0 0 x 0 x 4x 0 x x x 0 x x 0 Οι λύσεις του τελευταίου συστήματος είναι x x x, x x x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα x x, x {0} x Λύση: Έστω ότι υπάρχει μια ιδιοτιμή λ της f με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v Τότε f ( v) v, v 0 Επομένως a f v f f v f v f v v ( ) ( ( )) ( ) ( ) Οι πιθανές ιδιοτιμές έχουν ως εξής f f ( v) v v v Αφού v 0, έχουμε V, οπότε

9 Ασκήσεις 6 b f f f ( v) f ( v) v v v Αφού v 0, έχουμε, οπότε 0, c 0 ( ) 0 0 Αφού v 0, παίρνουμε 0 f f v v 4 Λύση a Όχι, γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του είναι 0 (βλ Πρόταση 5 ) b Έχουμε ( x ) x ( x )( x ) και άρα οι ιδιοτιμές του είναι 0,, Αφού το δεν είναι ιδιοτιμή του, έχουμε det( I) 0 Όμοια det( 4 I) 0 Άρα det(( I )( 4 I )) det( I )det( 4 I )) 0 και ο ( I)( 4 I) είναι αντιστρέψιμος c Έχουμε det( 5 I ) det(( 5 I )( I )) det( 5 I ) det( I ) (5) ( ) 600 d Επειδή 0,, είναι ιδιοτιμές του, οι 0,, είναι ιδιοτιμές του (Παράδειγμα 0 ) και επειδή ο είναι πίνακας αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του Άρα ( x) x( x )( x 4) k k k k e Υπόδειξη: Θεωρήστε ίχνη στη σχέση B B για να λάβετε 0 0, που είναι άτοπο k f Όπως στο d βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι 0,, k και επομένως το δεν είναι ιδιοτιμή του k Όμως το είναι ιδιοτιμή του t 5 Λύση: Από τη σχέση ( B) B έπεται ότι οι B, B είναι όμοιοι και άρα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (βλ Πρόταση 8) 6 Λύση: Ξέρουμε ότι 0 det (Πρόταση 5) Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε det 0 Εργαζόμενοι με ρητές συναρτήσεις και χρησιμοποιώντας ιδιότητες οριζουσών έχουμε ( x) det xi det xi det I x det ( ) det x I det ( ) x det I 0 ( ) 0 x ( ) x x ( ) 0 x ( ) 0 x x x ( ) ( ) x x x 7 a Βλ Παράδειγμα 0 b Λύση: Λόγω της δεύτερης στήλης του Α (που είναι της μορφής E ), μια ιδιοτιμή αυτού είναι το και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 X E Από το a έπεται ότι μια ιδιοτιμή του B είναι το ( ) ( ) και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το X c Λύση: Είναι σαφές ότι ισχύει το ζητούμενο αν το ( x) c είναι σταθερό πολυώνυμο, γιατί τότε ( ) ci και κάθε ιδιοτιμή του ci είναι ίση με το c Ξέρουμε ότι ο έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή Αν i είναι οποιαδήποτε ιδιοτιμή του, τότε ( i ) Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN:

10 Ασκήσεις 7 Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι deg ( x) Έστω μια ιδιοτιμή του ( ) με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (βλ Θεώρημα 5) υπάρχουν c,,, k, c 0, τέτοια ώστε ( x) c( x )( x ) Άρα έχουμε ( ) I c( I )( k I ) και από ( ( ) I ) X 0 παίρνουμε c( I )( I ) X 0 Επειδή X 0 και c 0, συμπεραίνουμε ότι κάποιος πίνακας i I έχει ορίζουσα ίση με 0 Άρα το i είναι ιδιοτιμή του Έχουμε ( i ) Σημείωση: Βλ Θεώρημα 6 για ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα a 8 a Λύση Έστω Έχουμε f (,) (,) Παρατηρούμε ότι το τελευταίο σύστημα έχει λύση ως προς αν και μόνο αν a bαπάντηση Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή 4 και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων είναι {( x,0,0) x 0} Οι ιδιοτιμές είναι 4, i, i με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { x(,0,0) x 0},{ x(0, i,) x 0}, k { x(0, i,) x 0} k 9 Λύση a Εύκολα επαληθεύεται ότι τα σύνολο { v, v, v } είναι βάση του [ x] (πώς;) όπου v x x, v x, v Επειδή f ( v ) x x v 0v 0 v, f ( v ) x ( x ) 0v v v, f ( v) x ( x ) 0v v v, ο πίνακας της f ως προς την προηγούμενη διατεταγμένη βάση είναι To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι x 0 0 det 0 x ( x)(( x) ) ( x)( x)( x) 0 x και επομένως οι ιδιοτιμές της f είναι οι,, Ενδεικτικά υπολογίζουμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή Είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω βάση για παραστάσεις πολυωνύμων Έστω λοιπόν ( x) av bv cv [ x] με f ( ( x)) ( x) Έχουμε f ( ( x)) f ( av bv cv ) af ( v ) bf ( v ) cf ( v ) a( v ) b( v v ) c( v v ) ( a) v ( b c) v ( b c) v Άρα από την ισότητα f ( ( x)) ( x) παίρνουμε a a b c b b c c

11 Ασκήσεις 8 και επομένως a 0, b c υτό σημαίνει ότι τα ιδιοδιανύσματα της f που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv bv b( x ) b bx b, b {0} και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v v}, Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχουν στην ιδιοτιμή είναι τα av, b {0}, και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v }, και τα ιδιοδιανύματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα bv, {0}, bv b και μια βάση του ιδιόχωρου V f () είναι το { v v} b Επειδή το 0 δεν είναι ιδιοτιμή της f, η f είναι ισομορφισμός c Επειδή οι,, είναι ιδιοτιμες της f, καθεμιά από τις (), (), () είναι ιδιοτιμή της ( f ) Για ( x) x 6x 4, το () 0 είναι ιδιοτιμή της f 6 f 4 V Άρα η f 6 f 4 V δεν είναι ισομορφισμός d Ξέρουμε ότι κάθε ιδιοδιάνυσμα της f είναι ιδιοδιάνυσμα της ( f ), για κάθε ( x) [ x] Συνεπώς κάθε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα της f παραμένουν γραμμικά ανεξάρτητα 4 ιδιοδιανύσματα της f 6 f 4 V Μια επιλογή τέτοιων είναι, για παράδειγμα, τα v v, v όπως είδαμε στο υποερώτημα a Ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα έπεται από το ότι αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές της f Φυσικά και με άμεσο υπολογισμό επαληθεύεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 a Οι ιδιοτιμές είναι 0, με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { ax bx c [ x] a b c 0, ( a, b, c) (0,0,0)}, { bx [ x] b 0} b Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, και το σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων είναι { ax bx c [ x] a b 0, c 0} a Λύση: Αρκεί να δειχτεί ότι το είναι ιδιοτιμή του Παρατηρούμε ότι το είναι ιδιοτιμή του καθότι από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε a i i t a i i Από την Πρόταση έπεται ότι το είναι ιδιοτιμή του b Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση, δείξτε ότι Υπόδειξη: a Χρησιμοποιείστε επαγωγή και το ανάπτυγμα ορίζουσας του det( xi ) b a a 0 a a 0 0 Υπόδειξη: Ένας τρόπος λύσης είναι να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας της άσκησης είναι ο ανάστροφος ενός πίνακα της προηγούμενης άσκησης και να εφαρμόσουμε την Πρόταση Απάντηση: ( ) ( x ) 4 Υπόδειξη για το b: Με τρόπο όπως στο Παράδειγμα 0, αποδεικνύεται ότι ( f )( v) ( ) v, όπου v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή t 5 Λύση: a Έστω ότι au bv 0, ()

12 Ασκήσεις 9 όπου a, b Τότε επειδή η f είναι γραμμική έχουμε 0 f (0) f ( au bv) af ( u) bf ( b) au bv δηλαδή, au bv 0 () Από την () παίρνουμε au bv 0 οπότε αφαιρώντας τη () παίρνουμε b( ) v 0 Επειδή v 0 (το v είναι ιδιοδιάνυσμα), έχουμε b( ) 0 και επειδή παίρνουμε b 0 Τότε από την () έχουμε au 0, οπότε a 0 αφού u 0 b: Έστω ότι υπάρχουν a, b, με f ( au bv) ( au bv) Έχουμε f ( au bv) af ( u) bf ( v) au bv και άρα au bv au bv Από το προηγούμενο ερώτημα τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως παίρνουμε a a, b b Αν ήταν a 0 και b 0, τότε θα είχαμε, άτοπο από την υπόθεση Δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής au bv, όπου a, b {0}, που είναι ιδιοδιάνυσμα της f B 6 Υπόδειξη : Ο D είναι της μορφής D, όπου, B, 0 C ( x) ( x) ( x) (βλ Πρόταση 4) Με πράξεις βρίσκουμε D C ( x) x x 4, C ( x) ( x )( x 5 x) C και ξέρουμε ότι 7 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ο σταθερός όρος του ( x ) είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του (Πρόταση 5 και Πρόταση 6) 8 Υπόδειξη για το b: Στη λύση της άσκησης 6 είδαμε ότι ( ) ( ) (det ) ( ) x Δείξτε ότι από την προηγούμενη σχέση έπεται ότι αν ( x ) ( x )( x ), i, τότε ( x) ( x)( x) Άρα αν,, είναι οι ιδιοτιμές του, τότε,, είναι πάλι οι n ιδιοτιμές του (με ενδεχομένως άλλη σειρά) Χρησιμοποιήστε την εξής παρατήρηση: Αν X είναι ένα πεπερασμένο σύνολο με περιττό πλήθος στοιχείων και f : X X μια απεικόνιση τέτοια ώστε f X, τότε υπάρχει x X με f ( x) x 9 Βλ Παράδειγμα μετά το Πόρισμα 7 x x 0 0 Απάντηση: Όχι γενικά Για παράδειγμα, οι πίνακες, είναι όμοιοι, το 0 0 ιδιοδιάνυσμα του πρώτου και όχι του δεύτερου (Αποδείξτε τους ισχυρισμούς αυτούς) είναι Λύση: Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε det det( ) Αλλά det( ) ( ) det, οπότε det ( ) det Επειδή det 0, έχουμε ( ), δηλαδή ο είναι άρτιος, Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε ( x) ( x) σύμφωνα με την Πρόταση 8, δηλαδή ( x ) det( xi ) Αλλά

13 Ασκήσεις 0 det( xi ) det( ( xi )) ( ) det( xi ) det( xi ) ( x) Άρα ( x) ( x) Από την τελευταία σχέση έπεται ότι αν ( x ) x a x a x a 0, τότε ai 0 για κάθε περιττό i Άρα υπάρχει μονικό πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού, τέτοιο ώστε ( x ) ( x ) Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας υπάρχουν,,, τέτοια ώστε ( x) ( x )( x ) Επίσης υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( x ) ( x ) ( x )( x ) Σημείωση: Μια άλλη λύση θα δούμε στις Ασκήσεις4,, Άρα Απάντηση: Οι ιδιόχωροι είναι οι () t t V, V ( ), δηλαδή το σύνολο των συμμετρικών πινάκων και το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα Υπόδειξη: Οι συνεπαγωγές a b, b c είναι άμεσες Για τη c a, έστω ότι ( x) B ( x) Τότε οι, B έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Οι ιδιοτιμές του είναι οι a, a,, a και οι ιδιοτιμές του B είναι οι b, b,, γιατί οι, B είναι διαγώνιοι πίνακες Άρα υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε b για κάθε i,, i b a ( i) O πίνακας είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f : f ( e ) a e, i,,, i i i όπου { e, e,, e } είναι μια διατεταγμένη βάση του Έχουμε ( i) ( i) ( i) i ( i) f ( e ) a e b e Άρα ο πίνακας B είναι ο πίνακας της ίδιας γραμμικής απεικόνισης f : διατεταγμένη βάση { e, e, e } του Συνεπώς οι, B είναι όμοιοι a b 4 Απάντηση για το b: c a, όπου () (), ( ) a bc που ορίζεται από ως προς τη 5 Υπόδειξη: Το ( x ) μπορεί να υπολογιστεί με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών και στηλών του πίνακα xi (Για παράδειγμα, ξεκινήστε προσθέτοντας στην πρώτη στήλη του xi κάθε άλλη στήλη Στη συνέχεια μετατρέψτε τον πίνακα σε άνω τριγωνικό αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή) Απάντηση: Το χαρακτηριαστικό πολυώνυμο είναι ( x ) ( ) ( x a ( ) b )( x a b ), οι ιδιοτιμές είναι a ( ) b (με πολλαπλότητα ) και a b (με πολλαπλότητα ), και οι ιδιόχωροι είναι V ( ) E E και

14 Ασκήσεις V ( ) E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του 6 Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόστε στον xi την ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών,,, και δείξτε αναπτύσσοντας την ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα ότι det( xi ) ( x a)det( xi ) ( ) a( x b), Στη συνέχεια, εργαζόμενοι με στήλες δείξτε ότι det( xi ) ( x b)det( xi ) ( ) b( x a), Από τις δυο σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο Σημείωση: Η δεύτερη σχέση προκύπτει άμεσα εφαρμόζοντας την πρώτη σχέση στον ανάστροφο του xi 7 Υπόδειξη: Δείξτε την εξής ισότητα ( ) ( ) πινάκων B xi I 0 I 0 xi 0 xi B I B I 0 B xi 8 Λύση a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( a b a b ) Από την προηγούμενη άσκηση παίρνουμε x ( ) ( ) x ( x) B B B( ) ( ) x B( x) ( ) x ( x Tr( C)) ( ) x ( x Tr( C)), δηλαδή ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) Άρα: Αν Tr( C) 0, τότε υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0 (με πολλαπλότητα ) Αν Tr( C) 0, τότε οι ιδιοτιμές είναι 0 (με πολλαπλότητα ) και Tr( C) ab a b (με πολλαπλότητα ) a ος τρόπος Έστω και B b b a Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας ( Tr( C)) ( a b a b ) Επίσης C ( B) B ( TrC) C Θεωρούμε ότι C Από C ( TrC) C έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του C, τότε 0 ή TrC Επειδή το άθροισμα των ιδιοτιμών του C είναι ίσο με TrC (Πρόταση 7), συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του C είναι οι 0,,0,TrC Άρα ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του ( x ) ( ) x C ( x Tr ( C )) προκύπτει με βάση την άσκηση 6 ii) του βιβλίου 9 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του

15 Ασκήσεις x x 0 xi 0 x x ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 x det( xi ) x det ( ) det x 0 0 x 0 0 x 0 0 Αναπτύσσουμε τις δυο ορίζουσες στο δεξιό μέλος ως προς την τελευταία γραμμή και έχουμε det( xi ) x det( xi ) det( xi ) ( ) ( ) ( ) ( ) Με βάση την προηγούμενη σχέση, μια εύκολη επαγωγή στο δίνει det( xi ) ( x ) ( x ) για κάθε, δηλαδή ( x) ( x) ( x ) Άρα οι ιδιοτιμές είναι, και η καθεμιά έχει πολλαπλότητα Λύνοντας το σύστημα ( I ) X 0 για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το σύνολο E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Όμοια, για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το E E, E E,, E E Αν τότε a ( E E ) a( E E ) a ( E E ) 0, ai, a E a E a E a E a E a E 0 και επειδή τα E,, E είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε a a a 0 Δηλαδή το E E, E E,, E E είναι γραμμικά ανεξάρτητο Επομένως είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στο Όμοια, το σύνολο E E, E E,, E E είναι μια βάση του ιδόχωρου που αντιστοιχεί στο Άρα καθένας από τους ιδιόχωρους έχει διάσταση Σημείωση: Μπορεί να δοθεί άλλη λύση που βασίζεται στην παρατήρηση ότι I (άσκηση) 0 Λύση a v V ( ) V ( ) f ( v) v v ( ) v 0 v 0 καθώς b Έστω x u v, u V ( ), v V ( ) Έστω ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της f, δηλαδή x 0 V και f ( x) x για κάποιο Επειδή f ( x) f ( u v) f ( u) f ( v) u v έχουμε x u v u v u v ( ) u ( ) v V ( ) V ( ) οπότε από το προηγούμενο υποερώτημα παίρνουμε ( ) u ( ) v 0 V Αν ήταν u 0 V και v 0 V, τότε θα είχαμε 0, άτοπο Άρα u 0 V ή v, οπότε αντίστοιχα ισχύει x v V ( ) ή x u V ( ) 0 V

16 Ασκήσεις a Λύση: Με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα C xi (αφαιρούμε τις γραμμές,,,v από τις γραμμές v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B det( C xi ) det det B xi B ( xi ) xi B xi B det B xi B xi Με στοιχειώδεις πράξεις στηλών στον τελευταίο πίνακα (προσθέτουμε στις στήλες,,,v τις στήλες v, v,, v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B B det det B xi B xi B xi ( B xi ) B xi B xi B det det( B xi )det( B xi ) 0 B xi ( x) ( x) B B b Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του a c Προκύπτει άμεσα από το a για B Υπόδειξη: Από την Πρόταση 8 έχουμε ( x) ( x) Απάντηση: a b 0 Απάντηση: ( x) x f 4 Απάντηση a Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του b Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του c Λ Παράδειγμα: Ο δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) αφού το χαρακτηριστικό 0 πολυώνυμό του είναι το x d Σ Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα e Σ Έπεται από το Παράδειγμα 0 για και ( x) x Έχουμε () f Λ Παράδειγμα: 0 0 B

17 Ασκήσεις 4 0 g Λ Παράδειγμα: I και 0 B Τότε ( x) B ( x) ( x ), αλλά οι 0, B δεν είναι όμοιοι γιατί αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με B P P, τότε B P IP I, άτοπο h Σ Απόδειξη: Από την υπόθεση υπάρχει αντιστρέψιμος P με B P P Με μια άμεση επαγωγή αποδεικνύεται ότι k k B P P για κάθε θετικό ακέραιο k (πως;) Έστω ότι ( x) a n nx ax a0 Τότε n n ( B) a B a B a I a P P a P P a P P n n n 0 0 n 0 P ( a a a I ) P P ( ) P, δηλαδή ( B) P ( ) P και άρα οι ( ), ( B) είναι όμοιοι i Λ Πράγματι, το πολυώνυμο ( x ) έχει βαθμό και άρα δεν μπορεί να έχει περισσότερες από ρίζες στο j Σ Πράγματι, έχουμε v 0 και f ( v) 0 0v k Λ Έστω ότι υπάρχουν f και με τις δοσμένες ιδιότητες Από f (,0,0) (,0,0) έχουμε ότι το είναι μια ιδιοτιμή της f και άρα είναι μια ιδιοτιμή του ( f :, ) σύμφωνα με την Πρόταση 6 Αλλά το δεν είναι ρίζα του ( x ) ( x )( x 5) l Σ Αφού το είναι ιδιοτιμή του, το ( ) είναι ιδιοτιμή του Άρα υπάρχει μη μηδενικό X με X X

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα