Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y x y = a) b) c) 9y = x 5x 6y = 9 x 6y = 9 5x 8y = a) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: x + 9y = O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 5 8 Ab = 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει: r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο: 5x 8y = y = 5 5 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε αρχικά y = και έπειτα 5x 8y = 5x8 = x= Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την x = 5x y = b) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: 5x 6y = 9 O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 5 Ab = 5 6 9

2 Η απαλοιφή Gauss δίνει: 5 r 5 r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με την ακόλουθη εξίσωση: 5x y = H y είναι ελεύθερη μεταβλητή, επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις οι οποίες δίνονται σε παραμετρική μορφή ως + t x = 5, t t x y = c) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: x 6y = 9 O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο Ab = 6 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει: r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x y = = 7 Από την τελευταία εξίσωση γίνεται προφανές ότι το σύστημα δεν έχει λύση.. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: x y = z 4x+ y z = y = z 5x z = a) x + y + z = b) x= y+ 4z c) x + y z = x z y x z = + = x+ y z = a)

3 4 4 r r r 4 5 r r r 4 Ab = r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: 4x+ y z = 5 y+ z = z = 5 5 Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος: 9 8 x = 8 4 y z = b) Γράφουμε το σύστημα ως: x y 4z = x z = 4 r r r r r Ab = 4 4 r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα:

4 x y 4z = y z = 5 z = 4 Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος: 9 5 x = x y z = 5x z = c) Γράφουμε το σύστημα ως: x y + z = x+ y z = r r r r rr Ab = 5 5 r4 r4+ r r 4 r4+ r 5 Λόγω της τελευταίας γραμμής, το σύστημα είναι αδύνατο. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: x+ y z+ w= x+ y z+ w= 4x+ y z+ w= 4 y + w = z a) b) x + y + w z = 4x+ y z = 6 x+ y z+ w= x+ y = w

5 x+ y z+ w= 4x+ y z+ w= 4 a) Γράφουμε το σύστημα ως: x + y z + w = x+ y z+ w= 4 4 r r4 r 7 r r+ r Ab = 7 r4 r4 r 7 5 r r+ r r4 r4 r r4 r4+ r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x+ y z+ w= 7y + z w = 6 z+ w= w = 6 4 Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος:

6 x 9 4 = x+ y z+ w= y z + w = b) Γράφουμε το σύστημα ως: 4x+ y z = 6 x+ y+ w= 4 r r r r4 r4+ r Ab = r 4 4 r r r 4 r4 r r4 r4r 4 4 Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x+ y z+ w= y z + w = 4 y z = 4 w = Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος:

7 x 4 = 4. Να διερευνηθούν οι λύσεις του ακόλουθου συστήματος ως προς την παράμετρο k : x+ y z = k kx+ y+ z= x + y kz = k k r r kr r rr Ab = k k k k + k k k k r r r r( k) r k k k k k + k k k + k k k k k k + 7k k + k Από την τελευταία γραμμή προκύπτει πως i) αν k + k k ± τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία μπορούμε να πάρουμε με προς τα πίσω αντικατάσταση: 7 ( 7 4) 6 4 k k 7 +, k, k + k x = 7k+ k 7k+ k 7k+ k ii) αν k + k = k = ± τότε για k = ( 7 + 4) k + k = ( 7 + 4) + ( 7 + 4) 4 ή για k = ( 7 4) k + k = ( 7 4) + ( 7 4) 4 η τελευταία γραμμή αντιστοιχεί στην εξίσωση = c με c 7 ( 7 4)

8 Επομένως και στις δύο περιπτώσεις το σύστημα είναι αδύνατο. 5. Να λύσετε το ακόλουθο σύστημα a) με απαλοιφή Gauss και b) με απαλοιφή Gauss Jordan: 4x+ y z = x + y + z = x + y z = α) r r + r r r r 4 4 Ab = r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x= ( y+ z) 4x+ y z = 4 5 y+ z = y = z z = z = 9 Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος: x = 9 9 b) Θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε από εκεί που σταματήσαμε με την απαλοιφή Gauss, ώστε να φέρουμε τον επαυξημένο πίνακα σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή, αλλά θα για καλύτερη κατανόηση της διαδικασίας εκτελούμε τα απαραίτητα βήματα από την αρχή:

9 4 4 4 r r 4 r r+ r Ab = r r r rr r r r r r r r r r r r r r+ r r r r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x = y = 9 z = 9

10 Έτσι προκύπτει άμεσα η λύση του συστήματος. 6. Βρείτε τη γενική λύση των ακόλουθων συστημάτων και δείξτε πως αυτή προκύπτει από τη λύση των αντίστοιχων ομογενών συστημάτων x+ y 6z = x+ y+ z+ w+ s = a) x+ y 5z =8 b) x + y z s = 6x y+ z = x+ z+ 6s = a) r r r r r r Ab = r r r 4 r r+ 5r Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x+ y 6z = x = ( y + 6z) 4 y z = y = 4+ z με ελεύθερη μεταβλητή την z. Οι άπειρες λύσεις του συστήματος μπορούν να βρεθούν με προς τα πίσω αντικατάσταση και να γραφούν ως + t x = 4 t +, t t Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα όπως προκύπτει μετά την απαλοιφή Gauss θα είναι το x+ y 6z = x = ( y + 6z) y z = y = z Επειδή υπάρχει μία ελεύθερη μεταβλητή, το ομογενές σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες μπορούν να δοθούν ως γραμμικός συνδυασμός ενός διανύσματος. Για τον υπολογισμό του διανύσματος αυτού θέτουμε z = και παίρνουμε:

11 x=, y = Επομένως όλες οι λύσεις του ομογενούς συστήματος μπορούν να γραφούν ως xo = t, t Μπορούμε να βρούμε μία ειδική λύση του μη ομογενούς συστήματος θέτοντας t = στη λύση: + t x = 4 t +, t t απ' όπου παίρνουμε: x p = 4 Επομένως όπως είναι αναμενόμενο επαληθεύεται η σχέση: x = x + x o P b) x+ y+ z+ w+ s = x + y z s = x + z + 6s = Ab r r r rr r r r = Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x= yzws x+ y+ z+ w+ s = y+ z 4w+ 4s =5 y = ( 5 z+ 4w4s) 4z w s 4 = z = ( 4 + w + s) 4 με ελεύθερες μεταβλητές τις ws., Οι άπειρες λύσεις του συστήματος μπορούν να βρεθούν με προς τα πίσω αντικατάσταση και να γραφούν ως

12 ( 8 + 6t5t) 8 ( 4 8 t+ t) 8 x =, t, t ( 4 t t) 4 t t Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα όπως προκύπτει μετά την απαλοιφή Gauss θα είναι το x=yzws x+ y+ z+ w+ s = y+ z 4w+ 4s = y = ( z+ 4w4s) 4z w s = z = ( w + s) 4 Επειδή υπάρχουν δύο ελεύθερες μεταβλητές, το ομογενές σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες μπορούν να δοθούν ως γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων. Για τον υπολογισμό των διανυσμάτων αυτών θέτουμε εκ περιτροπής κάθε ελεύθερη μεταβλητή ίση με και την άλλη ίση με και παίρνουμε: 9 Για w=, s = θα είναι x=, y =, z = ενώ για w=, s = θα είναι x=, y =, z = Επομένως όλες οι λύσεις του ομογενούς συστήματος μπορούν να γραφούν ως xo = t t, t, t + 4 Μπορούμε να βρούμε μία ειδική λύση του μη ομογενούς συστήματος θέτοντας t =, t = στη λύση:

13 ( 8 + 6t5t) 8 ( 4 8 t+ t) 8 x =, t, t ( 4 t t) 4 t t απ' όπου παίρνουμε: x P = Επομένως επαληθεύεται η σχέση: x = x + x o P 7. Ελέγξτε αν το διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός 5 των διανυσμάτων, και Θα πρέπει να έχει λύση το σύστημα: 5 x y z + + = ή αλλιώς το x y+ 5z = x + y + z = x z = 5 5 Ab r r 6 6 r r+ r r r r =

14 Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: x= + y5z x y+ 5z = y z = y = ( + z) z 6 = 6 z = Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος: 9 8 x = 6 Άρα το διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των 5 διανυσμάτων, και ως = 8. Δείξτε πως γράφεται η απαλοιφή Gauss ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων, στο ακόλουθο σύστημα: x+ y z = 8 x+ y 4z = 5 5x+ 4y z = Η απαλοιφή Gauss δίνει:

15 8 8 5 r r r r r r Ab = r r r Η ανωτέρω απαλοιφή Gauss με τη χρήση στοιχειωδών πινάκων μπορεί να γραφεί ως: EEE( A b ) όπου E = E = E = 5 9. Αναλύστε τον πίνακα των συντελεστών του συστήματος της προηγούμενης άσκησης ως γινόμενο A = LU και A = LDU α) Στην παραγοντοποίηση A = LU ο άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από την διαδικασία απαλοιφής του Gauss, επομένως είναι ο U = 7 Η διαγώνιός του αποτελείται από τους οδηγούς κάθε γραμμής του μετασχηματισμένου πίνακα συντελεστών. Ο κάτω τριγωνικός πίνακας L περιέχει τους πολλαπλασιαστές του κάθε βήματος της απαλοιφής Gauss και μονάδες στη διαγώνιό του: L = 5 β) Ο πίνακας L είναι ο ίδιος με τον αντίστοιχο της παραγοντοποίησης LU:

16 L = 5 Ο πίνακας D είναι διαγώνιος και περιέχει την διαγώνιο του πίνακα U της παραγοντοποίησης LU (στοιχεία οδηγών): D = 7 Ο νέος άνω τριγωνικός πίνακας U προκύπτει από τον πίνακα U της παραγοντοποίησης LU διαιρώντας κάθε στοιχείο του με το στοιχείο της διαγωνίου (δηλ. τον οδηγό) της ίδιας γραμμής: U =. Υπολογίστε, αν υπάρχουν, τους αντίστροφους πίνακες των A = B = C = D = Θα εφαρμόσουμε την μέθοδο με την απαλοιφή Gauss-Jordan GaussJordan ( An n Ιn) ( Ι n A ) α) r r r r+ r r r/( ) A Ι = r r+ r Επομένως

17 A = β) B r r 6r Από την τελευταία γραμμή προκύπτει ότι ο πίνακας Β δεν έχει αντίστροφο. γ) r r7r r rr C Ι = r r4 r r r7 r Ι = r r/( ) r r r r 7 r r Επομένως 5 7 C = /( ) r r r r r

18 δ) r r r 5 5 r r5 r D Ι 4 = r4 r4 r 5 5 r r/( 5) r r r r r+ 9r r r r r + r r r r r + r

19 r r r r r r r4 r4/ r rr r r+ 5r Επομένως D = Για ποιες τιμές της παραμέτρου k υπάρχει ο αντίστροφος του: k 4 A= k k

20 Για να έχει ο πίνακας A αντίστροφο θα πρέπει η απαλοιφή Gauss-Jordan πάνω στον Α να δώσει τελικά τον ταυτοτικό πίνακα (Επειδή δεν ζητείται να υπολογιστεί ο αντίστροφος δεν χρειάζεται να κάνουμε Gauss-Jordan πάνω στον επαυξημένο πίνακα). Έτσι έχουμε k 4 k 4 A k k k 8 k k k 4 k k 8 + k k+ 8 r r r r r+ r = Για να έχουμε οδηγό στη δεύτερη γραμμή θα πρέπει είτε k k οπότε διατηρούμε τη δεύτερη γραμμή ως έχει, είτε + k k οπότε εναλλάσσουμε τη δεύτερη με την τρίτη γραμμή. α) Έστω k, τότε συνεχίζοντας την απαλοιφή έχουμε: k 4 k 4 4 k k k 8 k 8 k k 8 k k + k k+ 8 k k k k+ 8 k 4 k 4 k k k k 8 r r, 64k k k k k 6 4k k r r /(k ) r r kr r r (+ k) r Επομένως ο περιορισμός είναι ο 6 4k k 4 k ± Δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε την απαλοιφή καθώς δεν θα προκύψουν νέοι περιορισμοί. β) Έστω k, τότε συνεχίζοντας την απαλοιφή έχουμε:

21 4 k 4 4 k k k + k 8 k k 8 k k k + k k+ 8 k k8 k k 8 r r r r/(+ k) r r( k) r + 4 k 4 k + k k + k + k + 8 r r, 4 k 6 k + 8 k 6 + k + k 4k 6 + k Επομένως ο περιορισμός είναι ο 4k 6 k 4 k ± όπως και στην περίπτωση (α) k, Έτσι τελικά ο πίνακας Α έχει αντίστροφο { }