Glava 8 VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI

Transcript

1 Glava 8 VIŠEDIMEZIOALI KOTIUALI SIGALI Višedimenzionani signali opisuju fizičke pojave koje zavise od dvije ili više nezavisnih varijabli. -dimenzionalni signal je matematička funkcija nezavisnih varijabli. ezavisne varijable se zapisuju u obliku uređenih -torki ( t t t ) ili vektora [,,, ] 1, 2,, t = t1 t2 t, gdje T označava operaciju transponovanja. Shodno usvojenom stilu označavanja nezavisnih varijabli, -dimenzionalni signal zapisujemo sa x( t1, t2,, t ) ili x( t ). -dimenzionalni signal je kontinualan ako su sve njegove nezavisne varijable kontinualne. Ako su sve nezavisne varijeble diskretne i -dimenzionalni signal je diskretan. Ukoliko su neke nezavisne varijable kontinualne a druge diskretne, kažemo da se radi o mješovitom -dimenzionalnom signalu. Radi lakšeg pisanja u nastavku ćemo koristiti skraćenicu D za -dimenzionalni. T

2 GLAVA 8 U praksi su od posebnog značaja i 3D signali. Slike su signali koji opisuju promjenu svjetline u prostoru. Umjesto oznake ( t1, t 2) za nezavisne varijable češće se kod signala koji opisuju prostornu zavisnot neke fizičke, x, y za nezavisne varijable, a sam signal veličine koriste oznake ( x1 x 2) ili ( ) označava sa f ( x, x ) ili (, ) 1 2 f x y. Kao primjere 3D signala možemo navesti 3D holografske slike i video signale. Za razliku od 3D slika koje su funkcije tri prostorne nezavisne varijable i najčešće označene sa f ( xyz,, ), video signal je funkcija dvije prostorne i jedne vremenske nezavisne varijable, pa je pogodan f x, y, t. način označavanja ( ) 8.1 Osnovni višedimenzionalni signali U analizi i obradi višedimenzionalnih signala značajnu ulogu imaju D jedinični odskočni signal, D pravougaoni impuls, D Dirakov impuls, te D eksponencijalni i sinusni signali. Posebnu klasu čine separabilni višedimenzionalni signali koji se formiraju u obliku proizvoda više 1D signala D jedinični odskočni signal D jedinični odskočni signal se definiše sa: u ( t) 1, = 0, t t, (8.1) + gdje je + skup vektora čije su sve komponente pozitivne, dok je skup vektora čije su sve komponente negativne. Vrijednosti signala za vektore čija je bar jedna komponenta jednaka nuli nisu definisane. jedinični odskočni signal je definisan sa: 282

3 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8. 1 jediničn odskočni signal. ( u x, y) ) 1, = 0, x > 0 y > 0 x < 0 y < 0 (8.2) i prikazan na Slicii 8..1.Vrijednosti signalaa za x = 0 y 0 definisane. i x 0 y =00 nisu D pravougaonii impuls D pravougaoni impuls se definiše sa: s ( t) = p t 1, 0, t t T+ T, (8.3) gdje je T+ skup vektora čije su sve komponente ograničene tako da je 283

4 GLAVAA pravougaoni impuls. t i < T i 2, i = =1, 2,,, T > 0, i a T skup vekv ktora čijee su sve komponente ograničene tako da je t i > T i, i =1,,2,,, T i > 0. Vrijednosti signala za vektore 2 čija je bar jedna komponenta t i = 0 ili t i = ± T i nisu definisane. 2 Kao primjer D pravougaonog impulsa posmatrajmo kauzalni pravougaoni impuls definisan sa: ( p x, y ) 1, = 0, x x < > X 2 X 2 y y Y < 2. Y > 2 (8.4) Ovaj pravougaoni impuls je prikazan na Slici 8.2. Vrij jednosti signala za x =0 0 y Y, x= X 0 y YY, 0 x X y = =0 definisane. i 0 x X y = Y nisu 284

5 Višedimenzionalni kontinualni siste emi D Dirakov impuls D Dirakov imp puls je D signal koji za t = 0 ima beskonačno veliku vrijednost, dok je za sve ostale vrijednostii vektora t jednak nuli: sa osobinom da je: δ ( t) =, = 0, t = 0, (8.5) t 0 δ (tt 1, t, 2 t )dtt 1dt 2 dt = ( 1 δ t, t, t 2 t ) dt1dt 2 dt =1. (8.6) Dirakov impuls definisan sa: : δ ( x, y), = 0, x = 0 y = 0 x 0 y 0, (8.7) je prikazan na Slici 8.3. δ ( x, y) dxdyy = δ ( x, y) dxdy = 1, (8.8) 8.3 Dirakov impuls. 285

6 GLAVA D kompleksni eksponencijalni i sinusni signali Kako bismo opisali D kompleksne eksponencijalne signale, definišimo D vektor kompleksnih učestanosti sa: [,,, ] s = s1 s2 s, (8.9) gdje je s = σ + jω, i= 1,2,,. Vektor ugaonih učestanosti je definisan sa: i i i [,,, ] Ω = Ω1 Ω2 Ω. (8.10) D kompleksni eksponencijalni signal se definiše sa: x () st t = Cα, (8.11) gdje su C i α u opštem slučaju kompleksne konstante. Za C, α signal dat sa (8.11) postaje D realni eksponencijalni signal. Primjer realnog eksponencijalnog signala je dat sa: f ( x, y) D eksponencijalni signal: x y 2, x> 0 y > 0 x+ y 2, x> 0 y< 0 =, (8.12) x y 2, x< 0 y > 0 x+ y 2, x< 0 y< 0 x j ( ) Ce Ω0t t = (8.13) je periodičan po svakoj nezavisnoj varijabli sa osnovnim periodom T0 Uz C j = C e θ (8.12) možemo zapisati u obliku: ( ) ( Ω t+ θ ) j ( θ) sin ( θ) i 2π =. Ω x t = C e 0 = C cos Ω t + + j C Ω t +. (8.14) Opšti oblik D sinusnih signala je dat sa: ( ) = cos( + ) 0 0 x t C Ω t θ. (8.15) 0 0i 286

7 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8.4 ekspe ponencijalni signal (8.15) Primjer sinusnog signala. Signal dat sa (8. 12) prikazan jee naa Slici 8.4, dok je na Slici 8.5 prikazan primjer sinusnog signala. apomenimo da su prilikom generisanjaa slika u ovoj knjizi korišćenee numeričke metode, te signale prikazane na slikama treba posmatrati kao aproksimacije stvarnih kontinualnih signala koje predp dstavljaju. 287

8 GLAVA Separabilni D signali Ako se višedimenzionalni signal može napisati u obliku proizvoda jednodimenzionalnih signala, takve višedimenzionalne signale nazivamo separabilnim signalima. U obradi višedimenzionalnih signala posebno su interesantni separabilni sinusni signali definisani sa: (,,, ) = sin( Ω ) sin( Ω ) sin( Ω ) x t t t t t t. (8.16) Realni i imaginarni dijelovi D kompleksnih signala definisanih sa (8.13) sačinjeni su od separabilnih sinusnih signala. Pokazaćemo to na primjeru signala: j( Ω xx+ωyy) jω j x x Ω y y f x y = e = e e = (, ) ( xx) j ( xx) ( yy) j ( yy) = cos sin cos sin Ω + Ω Ω + Ω. Realni i imaginarni dijelovi ovog signala su dati sa: { f ( xy) } ( xx) ( yy) ( xx) ( yy) (8.17) Re, = cos Ω cos Ω sin Ω sin Ω, (8.18) { f ( xy) } ( xx) ( yy) ( xx) ( yy) Im, = sin Ω cos Ω + cos Ω sin Ω. (8.19) Oblik separabilnog sinusnog signala f ( x, y) sin( x) sin( y) = prikazan je na Slici 8.6. a sličan način se definiše separabilni sinc signal: (, ) sinc( ) sinc( ) f x y = x y. (8.20) Oblik separabilnog sinc signala prikazan je na Slici

9 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8.6 Separabilni sinusni sign nal. Slik ka 8.7 Separabilni sinc signal. 289

10 GLAVA Obrada višedimenzionalnih signala u vremenskom domenu Višedimenzionalni kontinualni sistem transformiše višedimenzionalni kontinualni ulazni signal u višedimenzionalni kontinualni izlazni signal. Za D sistem tu transformaciju zapisujemo sa: ili kraće sa: odnosno: { } (,, ) = (,, ) y t t t T x t t t, (8.21) y y { } ( t) = x( t) T, (8.22) { } ( t) = x( t) T, (8.23) Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom prikazan je na Slici 8.8. x( t ) T { } y( t) 8.8 Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom. 290 Višedimenzionalni sistem je linearan ako vrijedi da je: { ( ) ( )} ( ) { } { ( )} T ax1 t + bx2 t = at x1 t + bt bx2 t, a, b. (8.24) Ako pomak ulaznog signala za vektor t 0 uzrokuje samo pomak izlaznog signala za isti vektor, bez promjene oblika signala, kažemo da je višedimenzionalni sistem invarijantan na pomak. To formalno zapisujemo sa: ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t t y t t, (8.25) 0 0 a takve sisteme kratko zovemo LSI (Linear shift-invariant) sistemi.

11 Višedimenzionalni kontinualni sistemi Višedimenzionalni sistemi se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Uz poznatu pobudu, odziv sistema je moguće odrediti njihovim rješavanjem. Osim rješavanjem parcijalnih diferencijalnih jednačina, odziv LSI D sistema sa impulsnim odzivom ht ( 1, t2, t ) na pobudni signal x( t1, t2, t ) se može odrediti koristeći višedimenzionalnu konvoluciju: (,, t ) yt t 1 2 (,, ) (,, ) = x τ τ τ h t τ t τ t τ dτ dτ dτ = ( ) ( ) = h τ, τ, τ x t τ, t τ, t τ dτ dτ dτ. Kratko pišemo: = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) (8.26) y t h t x t x t h t. (8.27) Primjer konvolucije signala prikazan je na Slici 8.9, pri čemu je rezultat konvolucije normalizovan po amplitudi. 8.3 Višedimenzionalni Furijeov red Višedimenzionalni periodični signali mogu se razviti u višedimenzionalni Furijeov red, koji za D signale ima oblik: 0i 2π T0 i j 0 ( t) = k1, k2, k kω t x C e, (8.28) k1= k2= k = Ω =, = [ kω k Ω k Ω ] kω0 1 01, 2 02,, 0, sa koeficijentima: 1 j 0 Ck = x( ) e dtdt 1 2 dt, TT T t kω t k. (8.29) T01 T02 T0 291

12 GLAVAA 8 (a) (b) (c)) 8. 9 Primjer konvolucije signala: (a,b) signali; (c) rezultatt konvolucije Višedimenzionalna Furijeovaa transformacija Za analizu višedimenzionalnih neperiodičnih signala koristimo višedimenzionalnu Furijeovu transformaciju. D direktna i inverzna Furijeova transformacija se definiše sa: ( Ω) = X Ω = x( ( t)e j e Ω Ωt dt dt 1 2 dt, (8.30) 292

13 Višedimenzionalni kontinualni sistemi 1 x = X e dω dω dω. (8.31) ( t) ( 2π ) jωt ( Ω) 1 2 D Furijeova transformacija ima slične osobine kao 1D Furijeova transformacija. jihovo razmatranje izlazi van okvira ove knjige. aglasićemo samo da je prilikom odmjeravanja višedimenzionalnih sistema neophodno zadovoljiti ikvistov kriterij tako da učestanost odmjeravanja signala po svakoj nezavisnoj varijabli t i bude bar dva puta veća od odgovarajuće gornje granične učestanosti Ωgi spektra signalu. Ispunjenje ovog uslova garantuje idealnu 2π rekonstrukciju signala. Ako učestanost odmjeravanja označimo sa Ω =, Δ pri čemu je Δ t i korak odmjeravanja po nezavisnoj varijabli t i, ikvistov kriterij se može zapisati sa: Ω 2Ω. (8.32) si D Furijeova transformacija omogućava obradu signala u D frekvencijskom domenu. Označimo sa DF D Furijeovu transformaciju, 1 a sa DF inverznu D Furijeovu transformaciju. eka je sistem za obradu D signala sa impulsnim odzivom h( t ) pobuđen signalom x( t ). Slično kao kod 1D signala, obrada D signala u frekvencijskom domenu se provodi kroz sljedeći niz koraka: H X gi { } { x t } ( Ω) = h( t) DF, (8.33) ( Ω) = ( ) ( ) = ( ) ( ) y( t) = Y( Ω) DF, (8.34) Y Ω H Ω X Ω, (8.35) DF. (8.36) 1 { } Frekvencijska karakteristika D sistema se može izraziti kao: H ( Ω) ( Ω) ( Ω) = Y { h( )} X = DF t. (8.37) Primjeri neperiodičnih signala i njihovih amplitudnih spektara prikazani su na slikama si t i 293

14 GLAVAA sign nal pravougaonog oblika Amp plitudni spektar signalaa sa Slike

15 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8.12 signal piramidalnog oblika Amplitudni spektar signalaa sa Slike

16 GLAVAA signal valjkastog oblika Amp plitudni spektarr signala sa Slike

17 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8.16 signal kupastog oblika Amplitudni spektar signalaa sa Slike

18 GLAVAA Gau usova funkcija Am mplitudni spektar 2 Gausove funkcije. 298

19 Višedimenzionalni kontinualni siste emi 8.20 signal formf miran od Gausovih funkcija Amplitudni spektar signalaa sa Slike

20 GLAVAA signal eksponencijalnog obli ika Amp plitudni spektarr signala sa Slike

21 Višedimenzionalni kontinualni sistemi 8.5 Višedimenzionalna Laplasova transformacija Za višedimenzionalne kontinualne signale definiše se direktna i inverzna višedimenzionalna Laplasova transformacija sa: st ( s) = ( t) 1 2 X x e dtdt dt, (8.38) 1 x X e dsds ds. (8.39) ( t) = ( 2π ) st ( s) Označimo sa DL D Laplasovu transformaciju, a sa DL inverznu D Laplasovu transformaciju i posmatrajmo sistem za obradu D signala sa impulsnim odzivom h( t ) na čiji ulaz je doveden signal x() t. Prelaskom u domen D Laplasove transformacije, umjesto rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina, traženje odziva ovog sistema se svodi na sljedeći niz koraka: H { } { x t } ( s) = h( t) DL, (8.40) ( s) = ( ) Y( ) = H( ) X( ) () t = Y() s X y DL, (8.41) s s s, (8.42) DL. (8.43) 1 { } Funkcija prenosa D sistema se može izraziti kao: H ( s) ( s) ( s) = Y { h( )} X = DL t. (8.43) 301