2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας"

Transcript

1 . Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μονάδα της κβαντικής πληροφορίας που είναι το κβαντικό t (utum t). Θα περιγραφούν φυσικά συστήματα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως κβαντικά ts. Θα δοθεί η μαθηματική περιγραφή του κβαντικού t ως διανύσματος του χώρου Hlrt και η παράστασή του με χρήση της σφαίρας Bloh. Στη συνέχεια θα περιγραφεί ο τρόπος με τον οποίο πολλά κβαντικά ts μπορούν να αποτελέσουν έναν κβαντικό καταχωρητή, όπου αποθηκεύεται η κβαντική πληροφορία. Θα δοθεί η μαθηματική περιγραφή των κβαντικών καταχωρητών ως διανυσμάτων στον χώρο Hlrt. Προαπαιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα και το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού.. Το κβαντικό t (ut) Στους κλασικούς υπολογιστές μονάδα πληροφορίας είναι το t. Ένα t πληροφορίας μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές την και την. Στους κβαντικούς υπολογιστές μονάδα πληροφορίας είναι το κβαντικό t (utum t) το οποίο για συντομία γράφεται ως ut. Το ut είναι ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων, όπως το κβαντικό κέρμα που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Όπως θα θυμάστε, συμβολίσαμε τις δύο βασικές καταστάσεις του κβαντικού κέρματος με H και T. Οι δύο βασικές καταστάσεις του ut συμβολίζονται με και Σχήμα. Αναπαράσταση ενός ut από δύο διακριτά ενεργειακά επίπεδα E και E σε ένα άτομο(επάνω) και σε μία κβαντική στιγμή (κάτω). Υπάρχουν αρκετά κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως uts (l & Polk, 4). Για παράδειγμα, η κατάσταση του sp ενός σωματιδίου με sp ½, μπορεί να θεωρηθεί ως ut, όπου η κατάσταση sp ½ αντιστοιχεί στην βασική κατάσταση και η κατάσταση sp -½ στη βασική κατάσταση : και (.) 8

2 Επίσης, η διεύθυνση πόλωσης ενός φωτονίου μπορεί να αναπαραστήσει ένα ut, όπου η οριζόντια πόλωση αντιστοιχεί στην κατάσταση και η κάθετη στην. Όπως φαίνεται στο Σχήμα -, ένα ut μπορεί να αναπαρασταθεί και από δύο διακριτά ενεργειακά επίπεδα, E και E, σε ένα άτομο ή σε μία κβαντική στιγμή. Η παρουσία ενός ηλεκτρονίου με ενέργεια ίση με E αντιστοιχεί στην κατάσταση και η παρουσία ενός ηλεκτρονίου με ενέργεια ίση με E αντιστοιχεί στην κατάσταση. Το ut μπορεί ακόμα να παρασταθεί και από τον τρόπο ταλάντωσης δύο ιόντων που βρίσκονται μέσα σε μία παγίδα ιόντων. Η τεχνολογία κατασκευής των κβαντικών υπολογιστών θα καθορίσει ποιο φυσικό κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων θα επιλεγεί για να αναπαραστήσει το ut (Wllms & Clrwtr, ). Εμείς θέλουμε να περιγράψουμε τα βασικά χαρακτηριστικά και τη λειτουργία των κβαντικών υπολογιστών ανεξάρτητα από την τεχνολογία κατασκευής, οπότε δε χρειάζεται να προσδιορίσουμε ποιο φυσικό κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων χρησιμοποιούμε ως ut. Όπως το κβαντικό κέρμα, το ut μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε υπέρθεση των δύο βασικών καταστάσεων: όπου (.) Οι δύο βασικές καταστάσεις του ut μπορούν να γραφούν ως πίνακες, όπως και οι βασικές καταστάσεις του κβαντικού κέρματος: και (.) Το ίδιο και η υπέρθεση καταστάσεων: (.4) Όπως και στο κβαντικό κέρμα, οι βασικές καταστάσεις ενός ut είναι ορθογώνιες μεταξύ τους: (.5) Οι αριθμοί και των εξισώσεων (.) και (.4), που όπως θα θυμάστε ονομάζονται πλάτη πιθανότητας, είναι μιγαδικοί αριθμοί και το διάνυσμα κατάστασης του ut είναι ένα διάνυσμα στον χώρο Hlrt που έχει δύο διαστάσεις. Στο κεφάλαιο.5 περιγράφονται τα κύρια χαρακτηριστικά του χώρου Hlrt.. Η σφαίρα Bloh Στο προηγούμενο κεφάλαιο παραστήσαμε το διάνυσμα κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος δύο καταστάσεων, όπως το ut, με τα Σχήματα - και -. Όμως, μία τέτοια αναπαράσταση είναι χρήσιμη μόνο όταν τα και είναι πραγματικοί αριθμοί. Όταν τα πλάτη πιθανότητας είναι, όπως συνήθως, μιγαδικοί αριθμοί, τότε χρειαζόμαστε έναν χώρο Hlt δύο διαστάσεων ή έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο τεσσάρων διαστάσεων για να αναπαραστήσουμε το διάνυσμα κατάστασης του ut (Brooks, 999). Αφού λοιπόν τα πλάτη πιθανότητας και είναι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (.) με μια πιο γενική μορφή: 9

3 γ θ δ θ os s (.6) όπου, οι γωνίες γ και δ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αφού θυμηθούμε ότι ω για κάθε ω, έχουμε: γ δ θ θ θ θ os s os s (.7) Η εξίσωση (.6) μπορεί να γραφεί και ως εξής: ( ) γ θ os δ γ θ s (.8) Αν δεν λάβουμε υπόψη τον γενικό όρο φάσης xp(γ), και ονομάσουμε φ τη διαφορά των γωνιών δ και γ, (φδγ), η κατάσταση του ut γράφεται: θ ϕ θ os s (.9) Τo διάνυσμα κατάστασης του ut, όπως περιγράφεται από την εξίσωση (.9) μπορεί να αναπαρασταθεί σε τρεις διαστάσεις με τη χρήση μίας σφαίρας που ονομάζεται σφαίρα Bloh. Σχήμα - Το διάνυσμα στη σφαίρα Bloh Η σφαίρα Bloh έχει ακτίνα ίση με τη μονάδα και το διάνυσμα κατάστασης του ut, έχει την αρχή του στο κέντρο της σφαίρας και το τέλος του στο σημείο της επιφάνειας της σφαίρας που καθορίζεται από τις γωνίες θ και φ. Φυσικά, το μήκος του είναι ίσο με τη μονάδα (D Espgt, 999). Στο Σχήμα - φαίνονται τρία διαφορετικά διανύσματα κατάστασης. Όταν το ut βρίσκεται στη βασική κατάσταση, το διάνυσμά του είναι κατακόρυφο με φορά προς τα επάνω και, όταν βρίσκεται στη βασική κατάσταση, το διάνυσμά του είναι κατακόρυφο με φορά προς τα κάτω. Προσέξτε ότι, ενώ οι καταστάσεις και είναι ορθογώνιες μεταξύ τους, στη σφαίρα Bloh εμφανίζονται στην ίδια γραμμή. Η σφαίρα Bloh απεικονίζει σχεδόν όλα τα χαρακτηριστικά του ut (Kyl, ). Η γωνία θ καθορίζει τις τιμές των πλατών πιθανότητας. Η γωνία φ ονομάζεται γωνία φάσης. Στο Σχήμα - φαίνονται τρία διαφορετικά διανύσματα κατάστασης σε σφαίρες Bloh.

4 Σχήμα - Τρία διανύσματα κατάστασης σε σφαίρες Bloh. Στο Σχήμα -4 φαίνονται δύο uts, τα και τα οποία έχουν την ίδια γωνία θ, αλλά το πρώτο έχει γωνία φάσης φ και το δεύτερο μηδενική γωνία φάσης. Οι καταστάσεις τους δίνονται από: θ os ϕ θ s (.) θ os θ s Σχήμα -4 Δύο uts και τα οποία έχουν την ίδια γωνία θ, αλλά το πρώτο έχει γωνία φάσης φ και το δεύτερο μηδενική γωνία φάσης. Αν μετρήσουμε, η πιθανότητα να βρούμε το καθένα από τα δύο αυτά uts στην κατάσταση είναι ίση με ( ) os θ / και η πιθανότητα να βρούμε το καθένα από τα δύο αυτά uts στην κατάσταση είναι

5 ίση με ( ) s θ /. Δηλαδή, είναι αδύνατο να ξεχωρίσουμε με μία μέτρηση δύο uts που διαφέρουν μόνο κατά τη γωνία φάσης. Παρά το γεγονός ότι η γωνία φάσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της μέτρησης παίζει, όπως θα δούμε, σημαντικό ρόλο κατά την εκτέλεση των κβαντικών υπολογισμών, διότι προκαλεί αλληλεπίδραση μεταξύ των uts. Παράδειγμα. Δίνονται τα παρακάτω uts. Μπορείτε να τα ξεχωρίσετε μετρώντας την κατάστασή τους; Η πιθανότητα να βρούμε τα uts και στην κατάσταση είναι και για τα δύο ίση με /.5. Η πιθανότητα να βρούμε το στην κατάσταση είναι επίσης.5. Η πιθανότητα να βρούμε το στην κατάσταση είναι: δηλαδή ίση με την πιθανότητα να βρούμε το στην κατάσταση.επομένως τα δύο uts διαφέρουν μόνο κατά τη γωνία φάσης και δεν μπορούμε να τα ξεχωρίσουμε. Ας συνοψίσουμε: Η μονάδα πληροφορίας στους κβαντικούς υπολογιστές είναι το ut. Το ut είναι ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων. Οι βασικές του καταστάσεις συμβολίζονται με και. Το ut είναι ένα διάνυσμα στον χώρο Hlrt που έχει δύο διαστάσεις και απεικονίζεται ως διάνυσμα στη σφαίρα Bloh. Είναι αδύνατο να ξεχωρίσουμε δύο uts που διαφέρουν μόνο κατά τη γωνία φάσης μετρώντας την κατάστασή τους.. Ο κβαντικός καταχωρητής Στους κλασικούς υπολογιστές ένα σύνολο ts αποτελεί έναν καταχωρητή. Στους καταχωρητές αποθηκεύονται συνήθως οι τιμές κάποιων μεταβλητών. Αντίστοιχα, στους κβαντικούς υπολογιστές ένα σύνολο uts (τα οποία είναι συνήθως διατεταγμένα σε σειρά) αποτελεί έναν κβαντικό καταχωρητή. Στο Σχήμα -5 φαίνονται σχηματικά ένας κλασικός και ένας κβαντικός καταχωρητής. Προσέξτε ότι η αρίθμηση των uts γίνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά (Lw, ). Σε έναν κβαντικό καταχωρητή μπορούμε να αποθηκεύσουμε πολύ περισσότερη πληροφορία από όση στον κλασικό καταχωρητή. Ας το δούμε αυτό αρχίζοντας από την απλούστερη περίπτωση του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο μόνο uts, τα και.

6 Σχήμα -5 Στο πάνω μέρος του σχήματος φαίνεται ένας κλασικός και στο κάτω ένας κβαντικός καταχωρητής. Στην περίπτωση αυτή, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή γινόμενο των καταστάσεων των uts που τον αποτελούν και γράφεται ως εξής: δίνεται από το τανυστικό (.) όπου το συμβολίζει το τανυστικό γινόμενο. Τα, και συμβολίζουν το ίδιο πράγμα. Τι είναι όμως το τανυστικό γινόμενο; Επειδή οι κβαντικοί υπολογιστές εκτελούν υπολογισμούς, μας ενδιαφέρει η έκφραση του τανυστικού γινομένου με μορφή πινάκων. Αν λοιπόν έχουμε δύο πίνακες με μία στήλη, τον Α και τον Β: A B (.) τότε, το τανυστικό γινόμενο των δύο αυτών πινάκων είναι ένας πίνακας με μία στήλη, ο C που δίνεται από: C A B (.) Δηλαδή, ο C έχει αριθμό στοιχείων ίσο με το άθροισμα του αριθμού των στοιχείων του Α και του Β. Το πρώτο του στοιχείο είναι το γινόμενο του πρώτου στοιχείου του Α επί το πρώτο στοιχείο του Β. Το δεύτερο στοιχείο του C είναι το γινόμενο του πρώτου στοιχείου του Α επί το δεύτερο στοιχείο του Β. Το τρίτο και τέταρτο στοιχείο του C είναι το γινόμενο του δεύτερου στοιχείου του Α επί το πρώτο και το δεύτερο στοιχείο του Β αντίστοιχα (Lloy, 99). Δηλαδή, αν οι καταστάσεις των δύο uts δίνονται από:

7 4 (.4) η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή δίνεται από: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) Στην (.5) αντικαταστήσαμε τα,, και με τα,, και αντίστοιχα. Δηλαδή, ο κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από δύο uts είναι ένα σύστημα τεσσάρων βασικών καταστάσεων. Η κάθε μία από τις βασικές του καταστάσεις προκύπτει ως τανυστικό γινόμενο των βασικών καταστάσεων των uts. Οι βασικές καταστάσεις σε μορφή πινάκων δίνονται από: (.6) και είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Ας γράψουμε τη (.5) με πίνακες λαμβάνοντας υπόψη τη (.6):

8 5 (.7) Στις (.5) και (.7) τα,, και είναι τα πλάτη πιθανότητας των αντίστοιχων βασικών καταστάσεων και είναι μιγαδικοί αριθμοί. Αν ο κβαντικός καταχωρητής των δύο uts βρίσκεται σε υπέρθεση των τεσσάρων βασικών καταστάσεων, μία μέτρηση της κατάστασης του θα δώσει μία από τις τέσσερις βασικές καταστάσεις με πιθανότητα ίση με το τετράγωνο του μέτρου των,, και. Δηλαδή, μία μέτρηση της κατάστασής του θα δώσει ως αποτέλεσμα το με πιθανότητα ίση με, το με πιθανότητα ίση με, το με πιθανότητα ίση με και το με πιθανότητα ίση με. Αφού αυτά είναι τα μόνα δυνατά αποτελέσματα, το άθροισμα των τεσσάρων προηγούμενων πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα:, (.8) Το διάνυσμα κατάστασης αυτού του κβαντικού καταχωρητή υπάρχει σε έναν χώρο Hlrt τεσσάρων διαστάσεων και το μήκος του είναι ίσο με τη μονάδα. Σε έναν κλασικό καταχωρητή των δύο ts μπορούμε να αποθηκεύσουμε ή το δυαδικό αριθμό, ή τον, ή τον ή τον. Όμως, σε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uts που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων μπορούμε να αποθηκεύσουμε και το δυαδικό αριθμό και τον και τον και τον, δηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής των δύο uts μπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα τέσσερις αριθμούς (Nls & Chug, ). Μπορούμε να γράψουμε τη (.8) και με τον εξής τρόπο: (.9) όπου οι δυαδικοί αριθμοί που συμβολίζουν τις βασικές καταστάσεις αντικαταστάθηκαν με τους αντίστοιχους δεκαδικούς. Δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια αλλαγή συμβολισμού. Η δυνατότητα να κρατηθούν ταυτόχρονα και οι τέσσερις βασικές καταστάσεις, δηλαδή τέσσερις αριθμοί, από ένα κβαντικό καταχωρητή αποτελεί τη βάση της κβαντικής παραλληλίας. Υποθέστε ότι έχουμε μία συνάρτηση F(x) με τη μεταβλητή x να παίρνει τις τιμές,, και. Για να γίνει με έναν κλασικό υπολογιστή παράλληλος υπολογισμός των τιμών της F(x), για x,,,, χρειάζονται τέσσερις καταχωρητές των δύο ts και τέσσερις υπολογισμοί της τιμής της F(x). Για να γίνει σειριακός υπολογισμός, ένας καταχωρητής των δύο ts φορτώνεται τέσσερις φορές με τους αριθμούς,, και και κάθε φορά εκτελείται υπολογισμός της τιμής της F(x). Αντίθετα, σε έναν κβαντικό υπολογιστή χρειάζεται μόνο ένας κβαντικός καταχωρητής των δύο uts και ένας μόνο υπολογισμός της συνάρτησης που μας δίνει και τις τέσσερις τιμές: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F F F (.)

9 6 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δούμε και τον κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από τρία uts τα, και : (.) Η κάθε μία από τις βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή προκύπτει ως τανυστικό γινόμενο των βασικών καταστάσεων των uts. Το τανυστικό γινόμενο τριών πινάκων με μία στήλη είναι: (.) Θα υπολογίσουμε ως παράδειγμα τον πίνακα που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση : (.) Όμοια υπολογίζονται και οι άλλοι πίνακες. Ας γράψουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή με πίνακες, όπως κάναμε και με τη (.7):

10 (.4) Στη (.4) αντικαταστήσαμε τα,,, με τα,,, 7 αντίστοιχα. Μπορούμε να γράψουμε τη (.4) και με τον εξής τρόπο: (.5) Και εδώ το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι ίσο με τη μονάδα: (.6) Το διάνυσμα κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από τρία uts υπάρχει σε έναν χώρο Hlrt οκτώ διαστάσεων και το μήκος του είναι ίσο με τη μονάδα. Ο κβαντικός αυτός καταχωρητής είναι ένα κβαντικό σύστημα με οκτώ βασικές καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες μεταξύ τους. Όταν βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων, μπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα οκτώ αριθμούς. Γενικά, η κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από uts δίνεται από: (.7) Το διάνυσμα κατάστασής του υπάρχει σε ένα χώρο Hlrt με διαστάσεις και έχει βασικές καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες μεταξύ τους. Αν θεωρήσουμε τη δεκαδική αναπαράσταση των καταστάσεων μπορούμε αυτό να το γράψουμε ως εξής:

11 k m {,,,, } δ k m, k, m (.8) Όταν ο καταχωρητής αυτός τεθεί σε υπέρθεση κρατά ταυτόχρονα αριθμούς: (.9) δηλαδή όλους τους αριθμούς από έως -. Ένας κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από,, 4, uts μπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα 4, 8, 6, αριθμούς. Αν σε έναν κβαντικό καταχωρητή των uts που μπορεί να κρατήσει αριθμούς προστεθεί ένα ακόμη ut, τότε ο κβαντικός καταχωρητής κρατά διπλάσιους αριθμούς, δηλαδή αριθμούς. Στην ιδιότητα αυτή των κβαντικών καταχωρητών βασίζεται η δυνατότητα των κβαντικών υπολογιστών να επεξεργάζονται ποσότητες δεδομένων τις οποίες είναι αδύνατον να επεξεργαστούν οι κλασικοί υπολογιστές, να ψάχνουν σε πολύ μεγάλες βάσεις δεδομένων και να αντιμετωπίζουν πολύπλοκα υπολογιστικά προβλήματα..4 Μερική μέτρηση ενός κβαντικού καταχωρητή Γνωρίζουμε ότι το αποτέλεσμα της μέτρησης ενός κβαντικού καταχωρητή θα είναι μία από τις βασικές του καταστάσεις. Τι γίνεται όμως αν αντί να μετρήσουμε όλα τα uts ενός κβαντικού καταχωρητή μετρήσουμε κάποιο ή κάποια από αυτά; Αυτή η μέτρηση ονομάζεται μερική και θα δούμε πώς επηρεάζει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή. Θα περιγράψουμε την μερική μέτρηση σε έναν καταχωρητή των δύο uts. Η έννοια της μερικής μέτρησης εύκολα επεκτείνεται και σε καταχωρητές με περισσότερα uts. Έστω ότι έχουμε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uts ο οποίος βρίσκεται στην παρακάτω υπέρθεση βασικών καταστάσεων: (.) και μετράμε μόνο το δεύτερο (αριστερό) ut. Η πιθανότητα να μετρήσουμε την κατάσταση είναι: P() (.) και η πιθανότητα να μετρήσουμε την κατάσταση είναι: P() (.) Θέλουμε να δούμε ποια θα είναι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά την μέτρηση αυτού του ut. Θα δούμε και τις δύο περιπτώσεις. Αν μετρήσουμε και βρούμε την κατάσταση, τότε η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μερική μέτρηση θα είναι: ( ) (.) Τα νέα πλάτη πιθανότητας α και πρέπει να εξαρτώνται από τα πλάτη πιθανότητας της κατάστασης πριν την μέτρηση και επίσης, το άθροισμα των μέτρων τους πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα. Για να ικανοποιηθούν και οι δύο αυτές απαιτήσεις, τα νέα πλάτη πιθανότητας είναι: 8

12 α (.4) Για το άθροισμα των μέτρων ισχύει: α (.5) Δηλαδή η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μέτρηση του δεύτερου (αριστερού) ut που έδωσε ως αποτέλεσμα είναι: (.6) Όμοια, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μέτρηση του δεύτερου (αριστερού) ut που έδωσε ως αποτέλεσμα είναι: (.7) Παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uts ο οποίος βρίσκεται στην παρακάτω υπέρθεση βασικών καταστάσεων: 4 και μετράμε μόνο το δεύτερο (αριστερό) ut. Αν η μέτρηση δώσει ως αποτέλεσμα το, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά την μέτρηση θα είναι: θα είναι: Αν η μέτρηση δώσει ως αποτέλεσμα το, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μέτρηση 9

13 Βασικά στοιχεία του χώρου Hlrt H κατάσταση κάθε κβαντικού συστήματος αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα στον χώρο Hlrt. Ο χώρος Hlrt είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών. Δηλαδή, είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος (omplx vtor sp). Τα στοιχεία που αποτελούν τον χώρο αυτό είναι ένα σύνολο διανυσμάτων {,,, } τα οποία έχουν τις παρακάτω ιδιότητες (l & Polk, 4): Για κάθε ζεύγος διανυσμάτων και υπάρχει ένα διάνυσμα το οποίο ονομάζεται άθροισμα των και : (.8) (.9) ( ) ( ) (.4) Υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα με ιδιότητα: (.4) Για κάθε διάνυσμα του χώρου Hlrt υπάρχει το αντίστροφο, και για τα δύο αυτά διανύσματα ισχύει: (.4) Αν μ και ν είναι δύο τυχαίοι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: μ ( ) μ μ (.4) ( μ ν ) μ ν (.44) μ ν μ (ν ) (.45) (.46) Στο χώρο Hlrt ορίζεται εσωτερικό γινόμενο το οποίο συμβολίζεται ως εξής: (, ) (.47) 4

14 Το αποτέλεσμα του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων στον χώρο Hlrt είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Το εσωτερικό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες: (, λ ) λ (, ), όπου λ είναι ένας τυχαίος μιγαδικός αριθμός (.48) (λ, ) λ * (, ) (.49) (, ) (, ) (, ) (.5) (, ) (, ) (, ) (.5) (, ) (, ) * ή * (.5) Το μέτρο ενός διανύσματος ορίζεται ως: Ένα σύνολο διανυσμάτων { } στον χώρο Hlrt αποτελεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αν: m δ m (.5) Ένα ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων στον χώρο Hlrt, { } διάνυσμα του χώρου, ψ, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα των διανυσμάτων αυτών:, είναι πλήρες, όταν κάθε τυχαίο ψ (.54) όπου α είναι μιγαδικοί αριθμοί. Γενικά, αν α και α m είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: m m m δ m ψ m m (.55) Επομένως η (.54) μπορεί να γραφεί ως εξής: ψ ψ (.56) Ένα ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων { } Hlrt διαστάσεων., μπορεί να αποτελέσει τη βάση ενός χώρου 4

15 Για τους τελεστές στον χώρο Hlrt ισχύουν οι εξής ιδιότητες: ( ψ φ ) Aψ A φ A (.57) Γενικά ισχύει: B ψ A ψ B ψ A (.58) A B ψ AB ψ (.59) A B B A (.6) Υπάρχει ο τελεστής μονάδας ο οποίος, όταν δρα σε ένα διάνυσμα το αφήνει αναλλοίωτο: φ φ (.6) Υπάρχει ο μηδενικός τελεστής για τον οποίο ισχύει: φ (.6) τελεστών είναι: Αν στο διάνυσμα ψ δρα πρώτα ο τελεστής A, μετά ο B και μετά ο C, η σειρά αναγραφής των C B A ψ (.6) Αν η δράση ενός τελεστή διανύσματος με έναν αριθμό : A στο διάνυσμα ψ έχει ως αποτέλεσμα τον πολλαπλασιασμό του A ψ ψ (.64) τότε το διάνυσμα ονομάζεται ιδιοάνυσμα και ο αριθμός ιδιοτιμή του τελεστή A. Γενικά ο αριθμός είναι μιγαδικός. Αν ο τελεστής A είναι Ερμιτιανός, τότε ο αριθμός είναι πραγματικός. 4

16 4 Βιβλιογραφία Brooks M. (E.), Qutum omputg ommutos, Srgr-Vrlg, 999. D Espgt B., Coptul outos o utum mhs, Prsus Books, 999. Kyl M., Fumtls o utum ormto thory, Physs ports, vol. 69, pp ,. Lw D. I., Srhg or th lusv ut, IEEE Computrs, July/August ssu, pp. 4-7,. Lloy S., vw o Qutum Computto, Vsts Astroomy, vol. 7, pp. 9-95, 99. Nls M. A. & Chug I. L., Qutum omputto utum ormto, Cmrg Uvrsty Prss,. l E. G., & Polk W. H., Qutum omputg: gtl trouto, Th MIT Prss, 4. Wllms C. P. & Clrwtr S. H., Ultmt zro o. Computg t th utum rotr, Coprus, Spgr-Vrlg,. Ασκήσεις Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω uts. Μπορείτε να τα ξεχωρίσετε μετρώντας την κατάστασή τους; Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω uts. Μπορείτε να τα ξεχωρίσετε μετρώντας την κατάστασή τους; Άσκηση. Δίνονται τα παρακάτω uts. Μπορείτε να τα ξεχωρίσετε μετρώντας την κατάστασή τους;

17 Άσκηση.4 Να δείξετε ότι οι βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο uts είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Άσκηση.5 Ποια από τα παρακάτω διανύσματα είναι διανύσματα κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο uts; α. β. 6 4 γ. Άσκηση.6 Να υπολογίσετε τους πίνακες που αντιστοιχούν στις βασικές καταστάσεις, και. Άσκηση.7 Να ελέγξετε αν τα παρακάτω ζεύγη καταστάσεων είναι ορθογώνια μεταξύ τους. α., β., Άσκηση.8 Να γράψετε την κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από 4 uts ως υπέρθεση όλων των βασικών του καταστάσεων, δηλαδή με τη μορφή της εξίσωσης (.7). Άσκηση.9 Έστω ότι έχουμε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uts ο οποίος βρίσκεται στην παρακάτω υπέρθεση βασικών καταστάσεων: 4 και μετράμε μόνο το πρώτο (δεξιό) ut. Αν η μέτρηση δώσει ως αποτέλεσμα το, να βρείτε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μέτρηση. 44

18 Άσκηση. Έστω ότι έχουμε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο uts ο οποίος βρίσκεται στην παρακάτω υπέρθεση βασικών καταστάσεων: και μετράμε μόνο το δεύτερο (αριστερό) ut. Αν η μέτρηση δώσει ως αποτέλεσμα το να βρείτε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή μετά τη μέτρηση. 45

4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch

4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch 4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών και δίνεται ένα αναλυτικό παράδειγμα κβαντικού

Διαβάστε περισσότερα

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover 5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Grover για τη διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων. Περιγράφονται οι τελεστές και το

Διαβάστε περισσότερα

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες

3. Τελεστές και κβαντικές πύλες 3. Τελεστές και κβαντικές πύλες Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι κβαντικές πύλες ως τελεστές του χώρου Hlber. Περιγράφονται οι κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qub. Παρουσιάζονται επίσης οι κβαντικές

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή... 11 Δύο λόγια για το Διδάσκοντα... 1 Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Κεφάλαιο 1: Κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων...17 1.1 Το κβαντικό κέρμα... 17

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική

ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΦΥΛΛΙΔΗΣ Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Δ.Π.Θ. Κβαντική Υπολογιστική Κβαντική Υπολογιστική Συγγραφή Ιωάννης Καραφυλλίδης Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Σούντρης

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor

7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor 7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor Σύνοψη Ο κβαντικός αλγόριθμος του Shor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιόδου περιοδικών συναρτήσεων και για την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2015-2016 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Ημερομηνία: Δευτέρα, 6 Ιουνίου 2016 Χρόνος: 2 ώρες Βαθμός:.. Υπογραφή καθηγητή/

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

CoveX: Quantum Circuit Simulator

CoveX: Quantum Circuit Simulator Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Μάρτιος 2015 Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Περιεχόμενα 1 Κβαντική Πληροφορία 2

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα