C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E

Transcript

1 של הלמה של צורן י י י י שומים של צורן הל מה תזכרת יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה Ω 1 הג הג a< Rb ( arb bra), a Rb ( arb a= א לכל, ab Ωנגדיר (b R >סדר R קדם-סדר קהה מעל Ω (=טרנזיטיבי ורפלקסיבי מעל Ω) ו לא קשה להוכיח ש חלקי חד מעל Ω (=טרנזיטיבי ואירפלקסיבי מעל Ω) ודאי אם R קדם-סדר קהה מעל Ω אז R= R ( Ω Ω) שרשרת- Rאם לכל a Rb b Ra ab, C CC Ωשרשרת ב תהי Eחסומה E אם לכל x Rb x E של סם מלעיל- R bח ג יהיו E Ω, b Ω מלעיל- Rאם ק יּ ם לה חסם מלעיל- R ב Ω ח יּ ב להיות אבר של E! שלEאינו לב: חסם מלעיל- R שימו E אם a Eולכל b E של ר ר ר ר בּבּבּבּי- R מ אבר ד יהיו a E Ω, a Ω E ז"א אבר מ רבּי- Rשל >a Rb b E a Eולכל תנאי שקול הוא: a Rb b Ra 1 הוא אבר של Eשאין ב E אבר הגדול ממש ממנו x,,(( xry yrx) x= y אז התנאי אם R גם אנטי סימטרי מעל Ω (ז"א אם לכל y Ω =a a Rb לכן, במקרה זה, a אבר מ רבּי- RשלEאו"א b לתנאי a Rb b Raשקול =a a Rb מקרה פרטי חשוב הוא המקרה בו R סדר חלקי קהה b b E a Eולכל מעל Ω (ז"א R טרנזיטיבי, אנטי סימטרי ורפלקסיבי מעל Ω) R, שרשרת במקום שרשרת- R, חסם מלעיל אם R ברור מההקשר נרשם במקום במקום חסם מלעיל- R, אבר מ ר בּ י במקום אבר מ ר בּ י- R בפרק זה נתענין בעקר באברים מרבּיים- R של Ω ככל שהמתמטיקה הוסיפה להתפתח ב תח לת המאה העשרים נתוספו טענות שהוכחותיהן התבססו על עקרון הסדר הטוב, ובדרך כלל הן כללו גם י שום של הגדרות ברקורסיה מעל קבוצות סדורות היטב היו מתמטיקאים שמשקולים שונים המשיכו לא להכיר בחקיות עקרון הסדר הטוב גם לאחר הוכחתו ע"י צ רמ לו כמו כן, כדי שצבור הסטודנטים והמתמטיקאים יקבל את תקפות ההוכחות הנ"ל, היה עליהם לשלט בכלים החדשים: הגדרה רקורסיבית מעל קבוצות סדורות היטב, מספרים סודרים וכו' לכן היו שחפשו עקרונות אחרים שיהיו קליטים וקלים לנסוח ויאפשרו להוכיח את הטענות המתמטיות החדשות הוכחת עקרון כזה תסתמך למשל על אקסיומת הבחירה או על עקרון הסדר הטוב (השקול לאקסיומת הבחירה), אך הוא יהיה אינטואיטיבי (משהו עמום למדי) ומכאן ואילך נשתמש בו ולא בעקרון הסדר הטוב 2 מספר מתמטיקאים נסחו (לעתים קרובות באפן בלתי תלוי זה בזה) עקרונות מ ר בּ יוּת שענו למשאלות הללו אלה עקרונות לא בנ י תיים, שבמבט ראשון רחוקים מאד מאקסיומת הבחירה התגלה שכלם שקולים לאקסיומת הבחירה כפי הנראה היה פ' האוסדורף הי"ד הראשון שנסח עקרונות מ ר בּ יות והוכיח אותם (על סמך עקרון הסדר הטוב או על סמך אקסיומת הבחירה), וזאת בשנים , 1907, ב 1910 הוכיחו יניש בסקי, מזוּרקי ביץ, ו זור טי (באפן בלתי תלוי זה בזה) מקרה פרטי של עקרון מ ר בּ יות מעין זה כמשפט בטופולוגיה ב 1911 הוכיח בראוא ר על סמך עקרון הסדר הטוב משפט 1 זהירות: אבר מ ר בּ י בקבוצה אינו חי ב להיות אבר גדול ביותר בקבוצה זו! לדגמות לכך ע ינו בפרק קדם- סדרים וסדרים חלקיים 2 זהירות: אין להחליף בין עקרון מ ר בּ יות כמובנו בפרק זה לבין תנאי המ ר בּ יות (תנאי הנ ת ריות) השקול לתנאי השרשרת העולה בו דנו בפרק קודם! כמו כן אין להחליף בין עקרון מזעריות כמובנו בפרק זה לבין תנאי המזעריות (תנאי הארטיניות, תנאי הב סוס הטוב) השקול לתנאי השרשרת היורדת בו דנו באותו הפרק!

2 2 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן טופולוגי כללי יותר ב 1922 הוכיח הטופולוג המהולל קורטובסקי מספר עקרונות מ ר בּ יות על סמך עקרון הסדר הטוב (ליתר דיוק הוא הוכיח עקרונות מזעריות) והשתמש באחד מהם להוכחת משפט באנליזה בין ה י תר הוא הסתמך על ה ס נבּ רג (1909) ב 1932 הסיק ר' ל' מוּר עקרון מזעריות על סמך עקרון הסדר הטוב 3 ב 1935 פרסם מקס צורן Zon) (Max מאמר ובו לראשונה י שׂוּם עקרון מ ר בּ יות באלגברה צורן טען שעקרון המ ר בּ יות שלו שקול לאקסיומת הבחירה ושיוכיח זאת במאמר עתידי מאמר עתידי זה לא התפרסם לפי דברי צורן, היה זה אמיל ארטין ששם לב לכך ש נ תּן להוכיח את אקסיומת הבחירה על סמך עקרון המ ר בּ יות שנסח צורן א' ט יכמילר (1939) וג'ון ו' ט ק י Tukey) J) W (1940) נסחו באפן בלתי תלוי עקרון מ ר בּ יות אחר (הידוע היום כ ל מה של ט ק י ) והוכיחו שהוא שקול לאקסיומת הבחירה ט קי היה הראשון שנתן עקרון מ ר בּ יות נוסף המכליל את זה של צורן דוקא עקרון נוסף זה הוא הנסח המק בל היום כ ל מה של צורן (הנסוח שיופיע בהמשך כ למה של צורן שקול לו אך מחליש קצת את 4 ההנחות) כמו כן ט קי היה הראשון שדבר על הל מה של צורן נ' בורבקי ( 1939 )גם נ סח עקרונות מ ר בּ יות, מהם שכבר הופיעו קדם נסח נוסף הופיע ב 1950 במאמרו של קנ ס ר ובמאמרו של Szele נהוג לדבר על הל מה של צורן במקום על משפט צורן או אקסיומת צורן (Max Zon) של צורן הל מה 2 לכל שרשרת- Rלא ריקה אם ריקה ויהי R יחס טרנזיטיבי מעל Ω לא תהי Ω קבוצה ב Ω חסם מלעיל- R אזזזז יש ב Ωאבר מ ר בּ י- R הערה בדרך כלל קוראים כ למה של צורן את הנסח הבא: 3 לכל שרשרת- Rלא ריקה אם ריקה ויהי R יחס סדר חלקי מעל Ω לא תהי Ω קבוצה ב Ω חסם מלעיל- R אזזזז יש ב Ωאבר מ ר בּ י- R זה מקרה פרטי של הנסח דלעיל אך לא קשה להוכיח שהוא שקול לו הוכחה תרגיל C Ωיש C Ωיש הערה להלן שני נסוחים נוספים של הלמה של צורן: 4 לכל שרשרת- R אם ריקה ויהי R יחס טרנזיטיבי מעל Ω לא א תהי Ω קבוצה מ ר בּ י- R יש ב Ωאבר אזזזז חסם מלעיל- R Ω ב C Ωיש לכל שרשרת- R C Ωיש ב אם ב תהי Ωקבוצה ויהי R יחס טרנזיטיבי מעל Ω מ ר בּ י- R יש ב Ωאבר אזזזז חסם מלעיל- R Ω נסוחים אלה שקולים לל מה של צורן (לפי נסוחנו) הוכחה הל מה של צורן א' מ יּ די,R מקימים את הנחות תנאי ב' = : Cשרשרת- Rלכן, לפי הנחות א' ב ' יהיו Ω תנאי ב' יש לה חסם מלעיל- R ב, Ω בפרט Ω לכן, Rמקימים Ω את הנחות תנאי א' ולכן, לפי תנאי א', ק יּ ם ב Ωאבר מ ר בּ י- R ב' הל מה של צורן יהיו Ωקבוצה לא ריקה, R יחס טרנזיטיבי מעל, Ω כך שלכל שרשרת- Rלא ריקה C Ωיש ב Ωחסם מלעיל- R נע ין ב שרשרת- Rהריקה = : C יהי b Ω (יש כזה כי Ω), אז b חסם מלעיל- Rשל C! לכן, Rמקימים Ω את הנחות תנאי ב', ולפי תנאי ב' יש ב Ωאבר מ ר בּ י- R 3 מקס אוגוסט צורן (1906 גרמניה 1993 ארה"ב) אחד מתלמידיו של אמיל ארטין הגר לארה"ב ב 1933 בגלל המדיניות הנ צית הגם שלא היה יהודי 4 זה כנוי-עט לקבוצת מתמטיקאים חשובה, רובם מצרפת, שתרמה רבות למתמטיקה המודרנית במשך השנים חלו שנויים בהרכב הקבוצה

3 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 3 לדעתי מבין שלשת התנאים השקולים האחרונים, תנאי ב' מנוסח באפן הנאה ביותר מדוע לא קבעתי אותו כנסח הרשמי של הל מה של צורן? מש קולים של כתיבה נכונה של הוכחות המסתמכות על הל מה של צורן! ממילא כדי להוכיח שלשרשרת הריקה יש חסם מלעיל בקבוצת האם, Ω יש להוכיח ש Ω, ולכן עדיף לדרש זאת במפורש בהנחות כדי שנזכר לבדק זאת בהוכחות המסתמכות על הל מה של צורן יתר מכ ן, בדרך כלל כשבהוכחה המסתמכת על הל מה של צורן מוכיחים שלשרשרת נתונה יש חסם מלעיל, הרי בהוכחה שהאבר אותו מגדירים אכן ש יּ ך ל, Ω חשוב מאד שהשרשרת אינה ריקה (אם כי ספרים רבים מתעלמים מכך, ומכך שעבור השרשרת הריקה ההוכחה שונה) הערה אקסיומת הבחירה, עקרון הסדר הטוב, הל מה של צורן שקולים זה לזה 5 לא אוכיח זאת בסעיף זה קיום אבר מ ר בּ י בתנאים מסוימים) אךךךך (בדבר ק יומית טענה של צורן היא הל מה כי נדגיש אינה נותנת שיטה לבנית אבר מ ר בּ י י היא בנ י תית טענה אינה אולי תטענו: נקח חסם מלעיל של שרשרת מ ר בּ ית לגבי ההכלה ודאי הוא אבר מ ר בּ י בקבוצת האם אך מה (פרט לישום של הל מה של צורן או עקרון מ ר בּ יות אחר השקול לה) מבטיח שיש שרשרת מ ר בּ ית בקבוצת האם? תטענו: נסדר את Ω בסדר טוב כלשהו יהי a האבר הראשון לגבי סדר טוב זה אם הוא אינו מ ר בּ י- Rיהי b האבר הראשון (לגבי הסדר הטוב הנתון) מבין אלה הגדולים ממש- Rמ a אם b אינו מ ר בּ י- Rיהי c האבר הראשון (לגבי הסדר הטוב הנתון) מבין אלה הגדולים ממש- Rמ b נמשיך בתהליך ברור שהתהליך חי ב להסתים ודאי השלב האחרון נותן אבר מ ר בּ י- R אך מה מבטיח שק יּ ם סדר טוב מעל Ω (פרט לעקרון הסדר הטוב השקול לאקסיומת הבחירה ולל מה של צורן)? נעיר כי דוקא הנאמר "ברור שהתהליך חי ב להסתים נתן להצדקה כשידוע שק יּ ם סדר טוב מעל Ω לא אפרט זאת נביא שלושה ישומים לל מה של צורן שני הראשונים יתנו מידע חשוב על ע צמות, ואילו השלישי הוא מתחום האלגברה הלינ אָרית: הוכחה שלכל מרחב לינ אָרי מעל שדה יש בסיס 6 הערה בדרך כלל הוכחה המי שמת את הל מה של צורן כוללת שני שלבים: בשלב הראשון, על סמך נתוני הבעיה המקורית, מנחשים, Rהמקימים Ω את הנחות הל מה של צורן, ומסיקים (לפי הל מה של צורן) שק יּ ם ב Ωאבר מ ר בּ י- R מן הסתם אינכם אוהבים את המלה מנחשים בהקשר של הוכחה מתמטית (המלה מגדירים נשמעת אחרת), אך זה R, בדיוק מה שעושים הנחוש נעשה בתקוה שהוא יסיע לפתר את הבעיה המקורית (ז"א Ω מוגדרים על סמך מחשבה מסוימת ולא סתם כך ) בשלב השני מנצלים אבר מ ר בּ י- R ב Ωכדי לפתר את הבעיה המקורית לפעמים שלב זה פשוט מאד במקרים אחרים או לא כל כך ברור שאבר מ ר בּ י- Rזה עונה לבעיה המקורית או אפילו אין הוא עונה לה ועלינו ל עדנו כדי לקבל פתרון לבעיה המקורית, או להסיק מקיומו על קיום פתרון לבעיה המקורית לפעמים דוקא שלב זה הוא החלק הקשה של ההוכחה (ראו למשל את הוכחת משפט 13 להלן) בשני הי שומים הראשונים שנביא לל מה של צורן תפקיד נכבד ליחס ההרחבה של פונקציות, לפיכך נרכז תכונות שלו שבהן נשתמש במהלך הוכחות הישומים הללו תזכ רת יהיו, φψפונקציות אז 7 הג φ ψ dom( φ) dom( ψ) dom( φ) φ( ) = ψ( ) ( ) x x x {( ) ( )} ( φ) = xφ( x) x כידוע ψ) φ ψ G( φ) G( באשר φ φ של הרחבה ψ וּ ψהיא של צמצום φ אז φהיא אם ψ G :, : dom φ הגרף של

4 ז( ז( 4 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן הרחבה f אז φ היא אם C קבוצת פונקציות, φ פונקציה, ולכל φ C במקרה זה אם fn} Cנאמר : = { f1,, גם ש לב: אם C קבוצת פונקציות ו שימו φהרחבה של משותפת) שלללל (משותפת f C f,, 1 fn קבוצת פונקציות באשר לכל f C { } D : = f : f C ( f ) = G( f), G וּ, φψ פונקציות כך ש ψ) G( φ) = G( אז: C משותפת של ψהרחבה D הרחבה משותפת של φ C משותפת של φהרחבה נישם זאת בהמשך במקרים בהם נעבר מפונקציה אחת לשניה ע"י הרחבה או הקטנה של המול- תחום ללא שנוי התחום וללא שנוי פעולת הפונקציה φ :A C B D f : A B, g : C D f לא קשה לבנות φ, g "א: φ משותפת הרחבה חח"ע ובעלות חח"ע ( כך ש φאינה יש מקרים בהם מובטחת חד חד ערכיות הרחבה משותפת נסתפק במקרה ש די בו לישומים בסעיף זה: 5 B ותהי A: = { dom ( f) : f {C פונקציות תח חחחח""""עעעע הי של משפטון תהי C שרשרת- 8 im( f) B f C ז"א לכל, { im ( f) : f C} קבוצה כך ש B אז ק יּ מ ת φהרחבה :A B משותפת של Cוהיא חח"ע הוכחה נוכיח שיש הרחבה משותפת ל C על סמך משפט ההרחבה: fולכן g בלי הגבלת הכלליות g f fאו g לכן או יהיו C f, g C שרשרת- f ( x) = g( x) x dom( f) dom( g) = dom( f) ולכל dom( f) dom( g) ז"א מתקימות הנחות משפט ההרחבה לכן, לפי משפט ההרחבה, ק יּ מ ת φהרחבה :A B משותפת של C עכשיו נוכיח ש φחח"ע: יהיו, x1 כך x2 A ש x2) φ( x1) = φ( לפי הגדרת A קימות fכך, g C ש f ( x1) = φ( x1) = φ( x2) = g( x2) fלכן φ, g φ x1 dom ( f), x2 dom( g), לכן (כמ ק דם), בלי הגבלת הכלליות, f g לכן g) dom( f) dom( ולכל C שרשרת- f ( x1) = g( x1) בפרט f ( x) = g( x) x dom( f) x1 = x2 לכן x2) ) gובגלל x1) = g( חח"ע g לפיכך φחח"ע כדרוש : הנה הי שום הראשון שלנו לל מה של צורן: (The Tichotomy Pinciple השׁ ו את הע צמות (עקרון משפט 9 יהיו Y,X קבוצות אז: א Xאו Y Yז"א: X או ק יּ מ ת h : X Y חח"ע או ק יּ מ ת משלש האפשרויות מת ק יּיּיּיּמתתתת) אחת (ורק ב Xאו < Y Xאו = Y Y < X g Y X חח"ע ( ) X Y X = Y X < Y הוכחה ודאי ב א א ב כי ( f g g f "א קבוצת פונקציות כך שלכל f, g C 5

5 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 5 כמו כן אם ) Y Xאו < Y < X )אז, X Y ואם ) Y Xוגם < ( Y < X אז Xוגם Y ( Y X ולפי משפט קנטור-שר ד ר-ברנשט ין X = Y בסתירה לאי השויונות ) החדים לכן רק אחת משלש האפשרויות מתקימת להוכיח את א א נותר סמך על ונוכיח, ע g : Y X חחחח""""ח א פוא שלא ק יּ מ ת נניח אם ק יּ מ ת gחח"ע : Y X גמרנו h : X Y חחחח""""עעעעח יּ מ ת שק של צורן, הל מה של צורן, הל מה לפי את הנחות הל מה של צורן ונסיק, Rהמקימים, Ω ננחש א א שלב מ ר בּ י י- R Ωאבר יּ ם ב ב שק Ω : = { f : Z ( Z X fחח"ע : Z Y תהי {( ודאי Ωקבוצה תהי f : Y (יש פונקציה יחידה כזו הגרף שלה הוא ) אז f חח"ע לפיכך f Ω (כמובן ( Z : = X ו Ωאינה ריקה קדם-סדר קהה מעל Ω (ואפילו סדר חלקי קהה מעל Ωכי לכל אברי Ωאותו מול- ודאי תחום Y) ב Ω (לאו דוקא ב C) ודאי לא ריקה נוכיח שיש לה חסם מלעיל- תהי C Ωשרשרת- מועמד טבעי לתפקיד זה הוא הרחבה משותפת של C (f im( לכן, לפי משפטון Y = B f C לכל A: = { dom ( f) : f C} יהיו, B : = Y =B φהרחבה A: משותפת של C וּ φחח"ע 8, ק יּ מ ת Y ( f Ω (כי dom( f) X f C לכל A Xכי לכן φ Ω C) משותפת של φהרחבה (כי f φ f C כי לכל C של φחסם מלעיל- מתקימות הנחות הל מה של צורן לפיכך Ω ב ר בּ ית- h Ωמ תהי מ ר בּ י י- Ωאבר יּ ם ב ב ק הל מה של צורן, לפי לכן, של h Ωב Ωפ רושה: אם h אז g Ω g h (אצלנו ר בּ יות- המ כרו: ז ז ז ז כרו ( h= מעל Ωולכן אפילו g א להוכחת הנדרש אתhמשלב ננצל ב ב שלב לפנינו מקרה בו שלב ב' פשוט יחסית: מתברר שכבר בסיום שלב א' קבלנו פתרון לבעיה המקורית Z : = dom( h) X חח"ע באשר h : Z Y יס ים את ההוכחה! וזה Z = X ש ש נוכיח u X \ Z נקבע X \ Z אחרת j h 1 : Y X הפיכה ו hהיתה : Z Y (אחרת Y \ im( h) לב: שימו גם אנטי סימטרי היתה בסתירה (( j( x) חח"ע (באשר j : Z X הש כון הטבעי (העתקת ההכלה: לכל = x x Z g : Y X חחחח""""עעעע!!!!ח ( שאין להנחה נקבע h) v Y \ im( h משרה ע"י צמצום המול-תחום שלה h) h1 הפיכה : Z im( תהי v} ψ :{ u} { (יש (u )ψ) ודאי ψהפיכה (מדוע?) פונקציה יחידה כזו הגדרתה: = v v} Z { u} = = im( h) { לכן, לפי משפטון הפ רוקים ההדדיים (משפטון 5 בפרק מבוא v} g1 הפיכה : X1 : = Z { u} im ( h) { כך ש לע צמות ), נ תּ ן לבנות : Y1 = y) ( j1( היא חח"ע : = y הש כון הטבעי (לכל y Y1 j1 : Y1 Y תהי h1 g1, ψ g1 הפונקציה gחח"ע : = j g : X Y כהרכבת פונקציות חח"ע לכן g Ω X1 X 1 1 1

6 6 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן h1 הרי לכן, כ יו ן ש g1 h 1, g 1 והגרף של h הוא הגרף של הגרף של g הוא הגרף של לכך בסתירה dom( g) dom( h) בפרט, g h Ωלכן ב h g אבל g Ω ו h מ ר בּ ית- ש ש ש ש g1) uאבל dom( g) = dom( h) u Z = dom( כדרוש! Z = X מוכיח ש ש זה הערה ב 1915 הוכיח פרידריך ה רטוֹגס הי"ד שעקרון השו את הע צמות שקול לעקרון הסדר 10 הטוב לפיכך הוא שקול לאקסיומת הבחירה ולל מה של צורן עד הוכחתו של הרטוגס היו שי שמו את עקרון השו את הע צמות ולא טרחו כלל להוכיחו ני שם את עקרון השו את הע צמות להוכחת טענה שהוכחנוה בעבר על סמך אקסיומת הבחירה הסבה לכך היא: נסתמך על טענה זו בהוכחת הישום השני לל מה של צורן, וכל עוד לא הבאנו הוכחה של אקסיומת הבחירה על סמך הל מה של צורן (או על סמך משפט שהוכח בעזרתה), הרי יש פגם מה בישום אקסיומת הבחירה בהוכחות על סמך הל מה של צורן 6 טענה תהי X קבוצה אינסופית אז ℵ0 X (ז"א X אינסופית-דדקינד ) 11 על סמך עקרון השו את הע צמות הוכחה לפי עקרון השו את הע צמות ωאו X X ω אם ωודאי X ℵ0 X אם, g f = id X בפרט Xאז ω ק יּ מ ת fחח"ע : X ω Xלכן, ק יּ מ ת gכך : ω X ש X, ולכן, לפי משפט המחיקות, X בת מנ יה האינסופית g היא על X לכן g היא מנ יה של הקבוצה ולכן ℵ0 X נפנה עכשיו לישום השני שלנו לל מה של צורן כאן הוכחת השלב השני קשה יותר מאשר בהוכחת עקרון השו את הע צמות נישם הן את הל מה של צורן, הן את עקרון השו את הע צמות שהוכח זה עתה בנוסף למשפטון 8, כדאי יהיה להעזר במשפטון הבא: A B ( ) משפטון תהי Γקבוצה ותהי Y : = Γ 12 :A } A ואם Γשרשרת הכלה (ז"א אם לכל A Γ} Y א Y ( B A אז ק יּ ם ש ויון של פונקציות כך שלכל f C ק יּ מ ת קבוצה A כך ש ב תהי C שרשרת- f) Γ : = A: f C dom( אז Γשרשרת הכלה = A תהי A AB Γ, או dom f = A A { ( )} הוכחה A x לכן קימים uvכך, A ש A ש ק יּ ם A Γכך x { A A: א לכל A Γ} { A A: A Γ} Y Y לפיכך x Y Y uvלכן, Y והלא x= ( uv, ) Y xקימים נניח עכשיו ש Γשרשרת הכלה ונוכיח את ההכלה ההפוכה לכל Y =x לפי הגדרת Y קימים, AB Γכך ש Γשרשרת u Av, B הכלה לכן ש ), uv ( B x אם B Aאז uv, A ו B uvו, B אם A Bאז B A A Bאו A: Yכדרוש Y { A A Γ} לפיכך x { A A: לכן בכל מקרה A Γ} dom ( f) = A A, dom( g) = B ב לכל, AB Γקימים fכך, g C ש B כך uv, Y x A A 6 כזכור ק צרנו את אינסופית-ד ד ק ינד ל אינסופית- D לא השתמשתי כאן בק צור זה כי יש ספרים בהם הגדרת אינסופית- D אינה שקולה ל אינסופית-ד ד ק ינד"!

7 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 7 לכן או C שרשרת- אם fאז g ) ( ) (,x )לכן x) A A B לכל B x A באפן דומה אם g אז f B A לפיכך Γשרשרת הכלה A B g f f g A A= dom f dom g = B B x B לכן X X = X קבוצה אינסופית אז X תהי (G Hessenbeg 1906) משפט 13 (( X X : = X (או בלשון הע צמות: תהי κע צמה אינסופית אז, κ κ = κ (ש כן X על סמך הל מה של צורן הוכחה הל מה של צורן, לפי את הנחות הל מה של צורן ונסיק, Rהמקימים, Ω ננחש א א שלב מ ר בּ י י- R Ωאבר יּ ם ב ב שק תהי Y)} fהפיכה, : Y Y Yאינסופית X( Ω : = { f : Y ודאי Ω קבוצה נוכיח שהיא אינה ריקה X אינסופית לכן, לפי טענה 11, X אינסופית-ד ד ק ינד, ולכן ק יּ מ ת Yבת X מנ יה (בפרט Y ש וות ע צמה וק יּ מ ת fהפיכה : Y Y Y לפיכך f Ω ו אינסופית) Y בת מנ יה לכן Y, Y Ω קדם-סדר קהה מעל Ω (אפשר להוכיח שהוא סדר חלקי קהה מעל Ω אך אין בכך ודאי צרך) ב Ω (לאו דוקא ב C) ודאי לא ריקה נוכיח שיש לה חסם מלעיל- תהי C Ωשרשרת- מועמד טבעי לתפקיד זה הוא הרחבה משותפת של C f) φ : { dom ( הרחבה משותפת : f C} Y : = { im ( f) לפי משפטון 8, ק יּ מ ת {C : f של C וּ φהפיכה dom ( f) = A A, im( f) לכל f C ק יּ מ ת A Xאינסופית כך ש = A Y = Γ אז Γ : = { A: f C( dom( f) = A A) תהי } לכן, לפי חלק ב' של משפטון 12, Γשרשרת הכלה לכן, לפי חלק א' של C שרשרת- dom( φ ) = { dom ( f) : f C} = Y Y ז"א, { A A: A Γ } = Y משפטון,12 Y לפיכך φהפיכה :Y Y Y אינסופית ש ש Y נוכיח ( im( f) ודאי Y X (כי לכל X f C ריקה לכן ק יּ מ ת f Ω f C לכן fבאשר : A A A A X לא C שרשרת- אינסופית A Γלכן, A Y = Γ לכן Y אינסופית f φ וּ φחסם מלעיל- לפיכך φ Ω והלא φהרחבה משותפת של C לכן לכל f C של C מתקימות הנחות הל מה של צורן לפיכך מ ר בּ י י- Ωאבר יּ ם ב ב ק הל מה של צורן, לפי לכן, Ωפ רושה: אם ר בּ יות- המ ז כרו: של h Ωב ר בּ ית- Ω ב h Ωמ תהי g h hאז g Ω א להוכחת הנדרש אתhמשלב ננצל ב ב שלב h Ωלכן h : Y Y Y הפיכה באשר Yאינסופית X הסבוך בשלב זה נובע מכך שבהחלט יתכן מצב בו Y X (ואפילו מצב בו }, ab Xבאשר \ Y = { ( a b

8 8 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן Y = X ש ש נוכיח, Y = X לנסות לש וא להוכיח ש ש במקום לכן, ( 1) Y Y = Y די בכך ש כן h הפיכה ולכן X Y Y = לכן מהש ויון Yינבע = X השויון המבוקש והלא אם Yאז = X X X X = X ( 2 ) X \ Y < Y להוכיח די (למעשה די באי הש ויון הקהה) ואכן, בהנחת אי הש ויון (2 ), ( 3 ) Y X = Y ( X \ Y) = Y + X \ Y Y + Y = (*) 2 Y ( **) Y Y = ( 1) Y לפי הש ויון (* )הוא לפי ח ק י הפ לוג עבור ע צמות אי הש ויון (** )נובע מכך ש Y 2 (כשבאגף שמאל 2 זו הע צמה המתאימה) כי Y אינסופית ומכך ש ( 4 ) µ ν µ λ ν λ עבור כל שלש ע צמות µν,, λ מהשורה (3 ( ומ(תוצאה של) משפט קנטור-שר ד ר-ברנשט ין (הערה 16 בפרק מבוא לע צמות ) נובע הש ויון Yהמבוקש = X ( 2) אי הש ויון הוכחת, Y X \ Y ולכן ק יּ מ ת D Xכך \ Y ש D = Y (ש כן אחרת, לפי עקרון השו את הע צמות, ( D = αחח"ע : Y X \ Y תהי α ק יּ מ ת : im( ) המשך שבבבבהמשך בשרטוט ינו ע לב שהמאוחדים אכן זרים הדדית שימו W : = ( Y D) ( D Y) ( D תהי (D זרים ימין באגף כאן המאוחדים אף ( Y D) ( Y D) = ( Y Y) W נרחיב את h לפונקציה הפיכה מ Y D) Y (D ( )על Y D כדלקמן: המאוחדים בהגדרת W זרים הדדית לכן Y D D D Y Y D Y Y = Y Y = D D W = Y D + D Y + D D = Y D + D Y + D D = ( ) D D W לפי 1 Y כי 3 Y = Y Y+ Y Y+ Y Y= Y+ Y+ Y= 3 Y Y Y= Y Y= Y (**) לפי 1) ( (**) (*) לפי ) 1 ( גם כאן הש ויון (* )הוא לפי ח קי הפ לוג עבור ע צמות אי הש ויון אינסופית, ומהנסחה (4 ( לע יל נובע מכך ש

9 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 9 לפיכך, לפי (תוצאה של) משפט קנטור-שר ד ר-ברנשט ין, W = Y = D ולכן ק יּ מ ת fהפיכה : W D כזכור hהפיכה : Y Y Y כמו כן ( Y D) ( Y D) = ( Y Y) W, Y D= לכן, לפי משפטון הפ רוקים ההדדיים (משפטון 5 בפרק מבוא לע צמות ), ק יּ מ ת Y D) g :( Y D) ( הרחבה משותפת של h ושל, f ו g הפיכה Y D ודאי Y Y Y D X אינסופית לכן Y Dאינסופית ב Ω לכן, g h בפרט לפיכך g Ω אבל g הרחבה של h, ז"א, h g ו h אבר מ ר בּ י- ריקה לכן ההכלה אינה ל ל Yואינ זרה D אך ( Y D) ( Y D) = dom( g) dom( h) = Y Y סתירה מתקימת, אינה האחרונה זה מוכיח את אי הש ויון (2 ), וכבר הוכחנו ש די בכך לסיום הוכחת המשפט κ λ { κ λ} { κ λ} κ+ λ= max, = max, טענה יהיו κע, λ צמות 14 טענה 7 אם לפחות אחת מהן אינסופית אז λ κ 0, ולפחות אחת מהן אינסופית אז אם 0 κ 0, λ λ= κ+ נניח כי 0 max { κ, λ} κודאי = 0 λ= הוכחה אם 0 בלי הגבלת הכלליות λ κ (ולכן κאינסופית, λ 1 ) לכן κ κ+ λ κ+ κ = 2 κ κ κ = κ κ = κ 1 κ λ κ κ = κ λ= κ כיאות κ ו κ+ λ= ולפי (תוצאה מ)משפט קנטור-שר ד ר-ברנשט ין κ אז κ λ = 2 κ P( X ) = 2 X תוצאה יהיו κע, λ צמות כך ש κאינסופית ו 2 λ κ 15 הוכחה κ 2 κ (ואפילו κ < 2 κ לפי משפט קנטור והש ויון (ע ינו בפרק מבוא לע צמות משפט 8 וטענה κ κ κ κ κ κκ κ 2 λ κ לכן = 2 2 = 2 7)) בגלל אינסופיות κומשפט הנכון לכל קבוצה X κ κ = κ 13 κ λ = 2 κ ( ) לכן, לפי (תוצאה של) משפט קנטור-שר ד ר-ברנשט ין, הערה 16 8 ( κ+ λ= κ κ+ λ= λ) א הטענה לכל ע צמה אינסופית κולכל ע צמה λ 0 גוררת את אקסיומת הבחירה (ולכן שקולה לה) זאת הוכיח M S Leśniewski, κ κ = κ κ אינסופית ב כל אחת מהטענות לכל ע צמה 9 ; ( κ λ= κ κ λ= λ) λ κ ולכל ע צמה 0 אינסופית לכל ע צמה 7 κ, max { מוגדרת היטב לפי עקרון השו את הע צמות, κ λ או, λ κ בפרט {λ κ,, κ+ λ = max { כי ללא עקרון השו את העצמות אולי 8 השתמשתי ב פ סוק או ולא רשמתי במקומו {λ, κאינם λ בני השו אה κ,, κ λ = max { כי ללא עקרון השו את העצמות אולי 9 השתמשתי בפסוק או ולא רשמתי במקומו {λ, κאינם λ בני השו אה

10 10 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן גוררת את אקסיומת הבחירה (ולכן שקולה לה) זאת הוכיח A Taski ב 1924 גוררת את אקסיומת אינה κ+ κ = κ κ אינסופית ג לע מת זאת הטענה לכל ע צמה הבחירה טרסקי עורר שאלה זו ב 1924 התשובה השלילית נ תנה באפן בלתי תלוי ע"י גרשון שגיב Sageev) G פרסום התוצאה ללא הוכחה ב 1973 פרסום ההוכחה ב 1975), וע"י J Halpen וּ P Howad (פרסום התוצאה ללא הוכחה ב 1974 פרסום ההוכחה ב 1976 במאמרם מ 1976 הם טענו שהשלימו את הוכחתם בסוף 1972 וה רצו עליה כבר בתח לת 1973) הטענה הבאה מכלילה במובן מה טענה שהוכחנו בעבר: אם Yו X ו X \ Y אינסופית-ד ד ק ינד אז D X \ Y = X Y < X Y ℵ 0 טענה אם Yבאשר X X אינסופית ו 17 הוכחה לכן אז X \ Y = X X = Y ( X \ Y) { Y X Y} : max, \ אינסופית ואילו אחוד של שתי קבוצות סופיות הוא קבוצה סופית = κע צמה אינסופית לכן המאוחדים זרים ) \ ( \ κ κ (*) κ באשר הש ויון (*) נובע מטענה 14 ומאינסופיות κ לכן, לפי (תוצאה של) משפט קנטור-שר דר-ברנשט ין, X = κ אבל X \ Y = X ולכן X \ Y = κ,κ X = Y X Y = Y + X Y + = X Y < X לכן, מהגדרת 10 נפנה עתה לי שום של הל מה של צורן באלגברה לינ אָרית: הוכחה שלכל מרחב לינ אָרי (מעל שדה) יש בסיס נפתח במספר הגדרות דוקא סופית) Sלאו ) S V הגדרה יהיו V מרחב לינ אָרי מעל שדה F, 18 F אם לכל v V ק יּ מ ת משפחת סקלרים ב F, מעל ע ע"יייי S נפרש F ו V מעל את V Sפורשת ( 10) v= x וּ סופית { x S : a x ax) ( כך ש 0} x ax S x S לב: בסכום הנ"ל רק מספר סופי של מחוברים שונה מאפס, ולכן הבטוי באגף שמאל שימו x S : a x }רשאית להיות מוגדר היטב כאבר של V הגדרתו היא ax נעיר כי {0 x S ax 0 x תלויה ב v כמובן זה שקול לכך שלכל v Vקימים xוסקלרים x S aכך a F ש 1,, n v V ב 1,, n n = i = ax 1 i i v רשאי להיות תלוי ב n v אם M תת קבוצה של V ובהגדרות הקודמות נחליף את לכל את M Sפורשת את הגדרת מעל F אם לכל משפחת סקלרים לינ אָרית תלויה Sבלתי סופית, אםםםם = 0 אזזזז לכל a = 0 x S לכל v M נקבל ( ax) x S F כך ש ב { : 0} x S a x x ax x S x n אםםםם ax 0, a,,, 1 ולכל, an F שונים תנאי שקול הוא: לכל n N ולכל x1 xn S i= 1 i i = a1 = = a n אזזזז = 0 1 למעשה =1x 1xאעפ"י שבש דה 0, 1, xיהיו שונים ש כן 0 ח י בים לדרש ש xn S דרישה דומה מופיעה גם בהגדרת אי התלות בה רשמנו ax) ): ש ם האינדקסים x S היו x S ללא חזרות 10 המונחים מרחב לינ אָרי מעל שדה וּ,,מרחב ו קטורי מעל שדה הם ה ינו הך (לפי גישתי)

11 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 11 F אם S מ ר בּ ית- בקבוצה מעל תלויה לינ אָרית מ ר בּ ית- Sבלתי { T V : F בלתי תלויה לינ אָרית מעל T V} לינ אָרית מעל F Sתלויה אם S אינה בלתי תלויה לינ אָרית מעל F נאמר ש לב: {0 }תלויה לינ אָרית מעל, F בלתי תלויה לינ אָרית מעל F שימו ( ax) x S S V הגדרה יהיוVמרחב לינ אָרי מעל שדה F, 19 יּ מ ת משפחת סקלרים ק F אם לכל v V מעל לינ אָרי) Vל שללל (לינ אָרי סיס בS ו v ax סופית { : 0} = x S x x S a x ב F כך ש יחידה לא קשה להוכיח ש S בסיס של V מעל Sפורשת F את V מעל F ו S בלתי תלויה לינ אָרית מעל S F בלתי תלויה לינ אָרית מ ר בּ ית- מעל F עד כה, כשבדקנו שמועמד מסוים להיות חסם מלעיל של שרשרת לא ריקה המוכלת ב Ωהוא אכן אבר של, Ω הסתמכנו רק על השו את שני אברים בשרשרת יש י שומים בהם צריך להשוות אברים בתת קבוצה סופית לא ריקה של השרשרת ננסח הערה כללית בהקשר זה, ולא רק עבור יחס ההכלה הערה יהיו R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה C Ωשרשרת- R,, Ω E C 20 אבר גדול ביותר- R E ז"א ק יּ ם ב, t אז ק יּ ם s Eכך שלכל s t E R ולא ריקה, סופית הוכחה באינדוקציה על n : = E לפי הנתון 1 n עבור = 1 : n = Eלכן { a} sעונה : = a לדרישה נניח נכונות עבור כל Fסופית C כך ש F = n באשר n 1 תהי E Cסופית כך ש Fסופית, C F = n לכן, על סמך הנחת F : = E \{ a}, a E יהיו E = n+ 1 שרשרת- R C sו, 0 s0 E ודאי t Rs0 האינדוקציה, ק יּ ם s0 Fכל שלכל t F או, s0 Ra ובמקרה זה sאבר : = a גדול ביותר- R ב E; או, a Rs0 ובמקרה זה sאבר : = s0 גדול ביותר- R ב E לכן זה מס ים את ההוכחה האינדוקטיבית נשוב ליחס ההכלה כידוע, אם (X ) E Pאז E הוא ח סם העליון (ז"א חסם מלעיל קטן P X ביותר)- של E ב )) ( ), X ( P( אם קבוצת האם Ω תהיה תת קבוצה אמ תית של X), P( ו E Ωחסומה מלעיל- ב, Ω לא תמיד E יהיה חסם מלעיל- של E, כי לא תמיד אינו E Ω למשל האחוד של שני תת מרחבים לינ אָריים של מרחב לינ אָרי V בדרך כלל לא ריקה של אברי Ωאף הוא אבר שרשרת תת מרחב לינ אָרי של V במקרים רבים האחוד של של Ω בכל מקרה כזה כדאי לנצלו כחסם מלעיל- של השרשרת בבדיקת קיום ההנחות של הל מה של צורן אך יש לזכר ל ודא לפני כן שאכן הא חוד ש י ך ל Ω אם מרחב לינ אָרי מעל שדה F ו {0 }\ x Vאז {x {x }, }בלתי תלויות לינ אָרית מעל F אך {x {x } }תלויה לינ אָרית מעל F שונה המצב עבור שרשרת הכלה של תת קבוצות בלתי תלויות לינ אָרית מעל F: משפטון יהיו V מרחב לינ אָרי מעל שדה C F, שרשרת- של תת קבוצות של V שהן בלתי 21 תלויות לינ אָרית מעל F אז C בלתי תלויה לינ אָרית מעל F

12 12 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן הוכחה יהיו n שלם 1, a,, 1 שונים, an F x1,, xn C כך ש n (*) ax 0 i= 1 i i = Sבלתי i תלויה לינ אָרית מעל 1 nלכן F,,1 { i ק יּ מ ת Si Cכך ש, xi Si בפרט לכל {n Sn} Eתת : = {,S1, קבוצה סופית ולא ריקה של C C שרשרת- לכן, לפי הערה 20, ק יּ ם Sבלתי,, j תלויה Si לפיכך x1 xn Sj אבל Sj i { 1,, n} כך שלכל j { 1,, n} F בלתי תלויה לינ אָרית מעל C לפיכך a1 = = a n לינ אָרית, לכן, לפי,(*) 0 = בהנחות המשפטון ובהוכחה שהבאתי אין צרך לדרש ש C אינה ריקה עבור = : C F בלתי תלויה לינ אָרית מעל = C הנה המשפט המבטיח, בעזרת הל מה של צורן, שלכל מרחב לינ אָרי יש בסיס (לינ אָרי): משפט יהי V מרחב לינ אָרי מעל שדה F 22 א תהי S0 Vבלתי תלויה לינ אָרית מעל F אז ק יּ מ ת S Vבלתי תלויה לינ אָרית S 0 מרבית- כך ש, S0 S דה ינו ק יּ ם בסיס (לינ אָרי) ל V מעל F המכיל את ב ק יּ ם בסיס (לינ אָרי) ל V מעל F הוכחה נ י שם את הל מה של צורן א תהי S} בלתי תלויה לינ אָרית מעל Ω : = { S V : S0 S F ודאי Ω קבוצה Ωכי S0 Ω ודאי קדם סדר קהה (ואפילו סדר חלקי קהה) מעל Ω ריקה נוכיח שיש לה ב Ω חסם מלעיל- המועמד שלנו לתפקיד C Ωשרשרת- לא תהי זה הוא C לכן ק יּ מ ת S1 Ωלכן S1 C S0 S1 והלא S1 Cלכן ר ריקה Cאינה ודאי C V S0 C C שרשרת הכלה של תת קבוצות של V שהן בלתי תלויות לינ אָרית מעל F, לכן, לפי משפטון 11 F בלתי תלויה לינ אָרית מעל C 21, לכן C Ω והלא לכל, S C S C לפיכך C חסם מלעיל- של C ב Ω את הנחות הל מה של צורן קימים מק מ, Ω ש ש הוכחנו ר בּ ית- ב ב ב ב Ω ז"א: S, S0 S V בלתי תלויה תSמ יּ מ ת ק סמך הל מה של צורן, על לפיכך, 12 לינ אָרית מעל, F ואם S T Ωאז T S עדי ן נותר להוכיח ש S בלתי תלויה לינ אָרית מ ר בּ ית- תהי S T V כך ש T בלתי תלויה לינ אָרית מעל S0 S Tלכן F S0 Tולכן T Ω לכן, בגלל מ ר בּ יות- של S ב, Ω הרי T S לפיכך S בלתי תלויה לינ אָרית מרבית- לכן, לפי השקילויות שלאחר הגדרה 19, S בסיס (לינ אָרי) של V מעל F זה מס י ם את הוכחת א' 11 תכופות אין מבודדים ש קול מעין זה של משפטון 21 כמשפטון בפני עצמו, אלא מוכיחים אותו במהלך הוכחת שלב זה ב הוכחה המ י שמת את הל מה של צורן 12 במקרה שלנו במקום אז, T S יכלתי לכתב אז T = S כי יחס ההכלה אנטי סימטרי

13 ז( הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 13 S 0 = : S Sבלתי תלויה לינ אָרית מעל F, לכן לפי חלק א' ק יּ ם S בסיס 0 V 0 א ב: תהי (לינ אָרי) של V מעל F (המכיל את ) משפט יהי V מרחב לינ אָרי מעל שדה F תהי 23 של V מעל F כך ש B G B אז ק יּ ם בסיס F מעל V את G Vפורשת הוכחה תרגיל לקוראים רמז: ישמו את הל מה של צורן, תוך ח קוי של הוכחת משפט 22 א', ע "י הגדרה מוצלחת של Ω בחלק השני של ההוכחה תצטרכו להוכיח שאבר מ ר בּ י- ב Ω הוא אכן תת קבוצה פורשת של F מעל V זהירות: אל תנסו להוכיח בעזרת הל מה של צורן ויחס ההכלה ההפוכה, קיום תת קבוצה פורשת מזערית- של G לא קשה להגדיר במרחב הלינארי [X ] Qמעל Qשרשרת- "א פורש את [X ] Qמעל אינו שרשרת- )של תת קבוצות פורשות של [X ] Qמעל Q שח תוכהּ Q הערה יהי F שדה תהי (F AL20( הטענה: לכל מרחב לינ אָרי V מעל F, לכל S0 Vבלתי תלויה לינ אָרית מעל F ק יּ ם S בסיס (לינ אָרי) של V כך ש S0 S תהי (F AL19( הטענה: לכל מרחב לינ אָרי V מעל F, לכל G V הפורשת את V מעל F ק יּ ם S G כך ש F מעל V בסיס (לינ אָרי) של S תהי (F VSB( הטענה: לכל מרחב לינ אָרי V מעל F יש בסיס מההוכחות של המשפטים נובע שהל מה של צורן (השקולה לאקסיומת הבחירה) גוררת את F), AL20( את F) AL19( ואת F) VSB( (1964) Bleiche M N הוכיח ש (F AL20( גוררת את אקסיומת הבחירה (ולכן הן שקולות) (F AL19( גוררת את אקסיומת הבחירה F הוכיח שהטענה לכל שדה J D Halpen (1966) (ולכן הן שקולות) (F VSB( אינה גוררת את אקסיומת הבחירה אבל: הוא ש ער שהטענה לכל שדה F (F VSB( גוררת את אקסיומת F הוכיח שהטענה לכל שדה Andeas Blass (1984) הבחירה (ולכן שקולה לה) למעשה הוא הוכיח שאם K שדה אז הטענה: לכל הרחבת שדות (F VSB( גוררת את אקסיומת הבחירה K F (1996) Keemedis K הוכיח ש ) 2 AL19( F גוררת את אקסיומת הבחירה (ולכן הן שקולות) Fהוא 2 השדה {0,1 }בעל שני אברים כשהח בור והכפל הם מודולו 2 כאן (1998) Keemedis K הוכיח ש ) ( AL19Q גוררת את אקסיומת הבחירה (ולכן הן שקולות) כל ההוכחות האלה הן על סמך האקסיומות של צרמלו-פרנקל אחד המרחבים הלינ אָריים ה"טבעיים ביותר הוא Rמעל השדה 22 נובעת: Q כתוצאה ממשפט H Rubin and J E Rubin, Equivalents of הם לפי שיטת הסימון בספר AL20 13 הסימונים F) ( F), AL19( the Axiom of Choice, II

14 14 הל מה של צורן י שומים של הל מה של צורן 14 של סיס ה מ ל ב והגדרה ק יּ ם בסיס (לינ אָרי) של Rמעל Q כל בסיס כזה נקרא טענה 25 Q Rמעל כבר הדגשתי שהל מה של צורן, כמוה כאקסיומת הבחירה, אינה בעלת אפי בנ י תי ואכן עד היום לא ידועה בניה מפורשת של בסיס של R מעל Q 14 לעתים קרובות קוראים בסיס ה מל גם לכל בסיס (לינ אָרי) של מרחב לינ אָרי שאינו בעל ממד סופי