12. SHEME I PROCESI POSTROJE JA PLI SKIH TURBI A

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12. SHEME I PROCESI POSTROJE JA PLI SKIH TURBI A"

Transcript

1 65. SHEME I PROCESI POSROJE JA PLI SKIH URBI A. Uvod Radn medj u lnskm turbnama je smjesa lnovth rodukata zgaranja gorva u zraku l je to nek ogodn ln (kao na rmjer vodk, helj, zrak l nek drug). Prn rada lnske turbne u velkom djelu slč onome u arnoj turbn. Kao kod arnh turbna, radn medj (ln) eksandra duž uta strujanja, tako da se tolna retvara u knetčku energju lna, a ona se nakon toga u rotoru retvara u mehančk rad. Obzrom da se radna svojstva lnova razlkuju od sth za aru, ostoje određene razlke u konstrukj zmeđu lnskh arnh turbna, tako da se, oćento gledano, sheme lnsko turbnskh ostrojenja njhova orema značajno razlkuju od onh za arnoturbnska ostrojenja. Postrojenja lnskh turbna maju određene rednost u usoredb s arnoturbnskm ostrojenjma, rje svega:. Ona su mnogo komaktnja, obzrom da gorvo zgara zravno u maloj komor zgaranja uz samu lnsku turbnu, a ne u ogromnom generatoru are. Osm toga, lnska turbna nema kondenzatora.. Plnske turbne možemo vrlo brzo startat oterett u roku od s do mnuta.. Plnske turbne su jednostavnje konstrukje lakše za održavanje.. Za njhovu konstrukju zvedbu troš se manje materjala za stu snagu stroja. 5. Njhova jena je manja nego za arnoturbnsko ostrojenje. 6. Za razlku od arnh turbna, one nemaju otrebu za rashladnom vodom. S druge strane, lnske turbne maju nedostatke u usoredb s arnm turbnama:. Njhova sefčna snaga je manja,. Njhov stuanj djelovanja je manj, ako se mnogo rad na njegovu ovećanju-. Imaju češću otrebu za servsranjem održavanjem.. Mnogo su osjetljvje na kvaltetu gorva. One na rmjer nsu osjetljve na korštenje ugljena tu se rad na znalaženju novh tehnologja. S druge strane one su vrlo osjetljve na korštenje teškh gorva, r čemu se susrećemo s teškm nerješvm roblemma. Ideje o zrad lnske turbne su vrlo stare, a nsu ble moguće jer nje blo adekvatnh materjala nt rozvodnh tehnologja. Do rvh realzaja je došlo tek r kraju 9. stoljeća. Među onrma su oznat njemačk nženjer Stolze Holzart. Iako su već davno zrađene stane rve lnske turbne, dugo vrjeme nje blo odgovarajućh raktčnh rmjena. ek u zadnjh et desetljeća svjedo smo brzoga razvoja rozvodnh tehnologja novh materjala, koj se zajedno s ljanm stražvanjma korste u zrad lnskh turbna. o je sve omogućlo zradu lnskh turbna relatvno vsokog stunja djelovanja ouzdanost uz dovoljno dug žvotn vjek. U razvoju lnskh turbna, osebna uloga rada turboroelernm motorma mlaznm motorma, koj su unjel nov žvot u zrakolovstvu nekolko uta ovećal brzne leta. Iskustva stečena u zrakolovstvu, kao najnarednjem odručju nženjerstva, usvojena su skorštena u rozvodnj lnskh turbna za otrebe energetke. Plnske turbne nalaze sve šru rmjenu u energet. Zbog njhovh ovoljnh startnh karakterstka, elektrane s lnskm turbnama se često korste za okrvanje vršnh l gornjh oterećenja kao jedne za naajanje u nužd. U nekm slučajevma se smatra djelotvornm korstt lnske turbne kao bazne jedne u malm elektranama, s tme da se otadna tolna sušnh lnova korst za otrebe naajanja tolnom. Obzrom na svoju malu masu, male dmenzje, vsoku moblnost lako održavanje, lnske turbne se korste u zvedb okretnh elektrana koje revoze teretna vozla l željezna.

2 66 Gorvo Zrak Slka. Prnjelna shema najjednostavnjeg ostrojenja lnskom turbnom zgaranjem r konstantnom tlakom - komresor, - elektrčn generator, - uma gorva, - komora zgaranja, 5 - rasrskač, 6 - aktvna komora zgaranja, 7 - starter, 8 - turbna Slka. -s djagram za roes lnske turbne s zgaranjem r konstantnom tlaku Daljnj rad u razvoju lnskh turbna je usmjeren na ovećanje njhove sefčne snage, stunja djelovanja, ouzdanost žvotnog vjeka, što je sve ovezano s naretkom u rozvodnj materjala otornh na vsoke temerature razvoj ogodnh načna hlađenja lnskh turbna. Velke mogućnost rmjene lnskh turbna otvaraju se u nuklearnm elektranama, u kojma se korst ln kao rashladn medj. Postoje određen razloz zašto b takve elektrane ble djelotvornje, komaktnje jednostavnje zvedbe u usoredb s nuklearnm elektranama s vodom hlađenm reaktorom.. Sheme roes ostrojenja s lnskom turbnom Shema najjednostavnjeg ostrojenja s lnskom turbnom rkazana je na sl.. Komresor uzma očšćen zrak komrmra ga na određen tlak. Zrak se dalje dovod u komoru zgaranja. Puma gorva dobavlja gorvo na rasrskač 5 koj rasršuje gorvo, koje se zagrjava, sarava mješa sa zrakom u gorvu smjesu koja nastavlja zgarat održavat lamen. Produkt zgaranja dovode se u turbnu 8. reba naomenut da se samo -% dovedenoga zraka korst za zgaranje gorva ulaz u rmarnu zonu zgaranja. aj zrak nazvamo rmarn zrak. Ostatak od 6-8% zraka oblaz tu zonu mješa se s roduktma zgaranja zvan zone rmarnog zgaranja. Pr mješanju s roduktma zgaranja, taj zrak vrš hlađenje smjese rje nego je dovedemo do turbne. aj zrak nazvamo sekundarn l rashladn zrak. U odručju rmarne zone zgaranja temerature zgaranja znose 8- K, što je otrebno za ntenzvno otuno zgaranje. Douštena temeratura dovoda

3 lnova na rve loate turbne je svega -5 K, ovsno o gorvu, koje određuje čvrstoću trajnost loata današnjh lnskh turbna. Snaga koju razvja turbna 8 djelom se troš za ogon komresora ostalh omoćnh sustava ostrojenja, a reostala snaga se redaje otrošačma, na rmjer generatoru za rozvodnju elektrčne energje. Postrojenje lnske turbne starta se omoću elektromotora 7, a gorva smjesa se za vrjeme startanja ualjuje u komor zgaranja omoću svjeća s elektrčnom skrom. -s djagram za dealn stvarn roes lnskoturbnskog ostrojenja s zgaranjem r konstantnom tlaku rkazan je na sl.. ermodnamčk roes je konstruran uz sljedeće glavne retostavke:. Proes je zatvoren masa radnoga medja u njemu je konstantna sta. Radn medj je dealn ln konstantnoga sastava konstantnh sefčnh tolna.. Sve romjene u roesu su ovratve, tj. odvjaju se bez termčkh, mehančkh l hdraulčkh gubtaka.. Komresja u komresoru eksanzja u turbn odvjaju se adjabatsk. Obzrom da nema gubtaka, ov se roes odvjaju r konstantnoj entroj. Lnja -' na taj načn rkazuje zentrosku komresju zraka u komresoru, koja obuhvaća ovećanje temerature tlaka od očetnog stanja na '. U stvarnom roesu komresja je vezana uz unutarnje gubtke u komresoru, tako da je lnja roesa omaknuta u smjeru ovećanja entroje (lnja -). 67 olna se radnom medju dovod u komor zgaranja o zobar -, r čemu temeratura raste od na. Lnja -' rkazuje zentrosku eksanzju radnog medja u turbn. U stvarnom roesu s unutarnjm gubma u turbn, eksanzja se odvja duž lnje -, tako da se tlak smanjuje na, a temeratura se sušta na. Odvođenje tolne z termodnamčkog roesa rkazano je zobarom '-. U ovome roesu se temeratura radnoga medja smanjuje na svoju očetnu vrjednost. U stvarnome roesu, lnja - rkazuje klasčno zatvaranje roesa s hlađenjem sušnh lnova na njhovom zlazu u atmosferu. ermčk stuanj djelovanja termodnamčkog roesa može se zračunat o jednadžb: q q t (. ) q q gdje su q sefčna kolčna dovedene tolne o jedn mase radnoga medja, a q je sefčno odvedena tolna z roesa (kj/kg). S je označene sefčn rad dobven z roesa, koj je jednak razl sefčno dovedene odvedene tolne, a koj je oet jednak razl zentroskh radova turbne komresora: t (. ) Rad zentroske komresje kg lna u komresoru,, može se rkazat kao razlka entalja na očetku na kraju komresje: ( ) h' h (. ) gdje su h h' sefčne entalje, kj/kg, lna na očetku na kraju komresje, ' su asolutne temerature, K, lna u točkama ' termodnamčkog roesa, a je sefčna tolna, kj/kgk, lna r konstantnom tlaku. Jednadžbe koje su rkazane gore, zvedene su uz retostavku da je sefčna tolna lna konstantna u roesu lnske turbne.

4 68 Rad zentroske eksanzje kg lna u turbn može se sto tako rkazat kao razlka sefčnh entalja na očetku na kraju eksanzje: ( ) h h t (. ) gdje su h h' sefčne entalje, kj/kg, lna na očetku na kraju eksanzje, ' su asolutne temerature, K, lna u točkama ' termodnamčkog roesa. Sefčna tolna q dovedena u roes, redstavljena je u -s djagramu ovršnom -'--d: ( ) q (.5 ) Uvrštavanjem zamjenskh jednadžb za q t u jednadžbu (.), dobvamo: ( ) ( ) ( ) t (.6 ) Kako je oznato z termodnamke, za zentroske roese vrjed: (.7 ) (.8 ) gdje su: τ v Uvrštavanjem jednadžb (.7) (.8) u jednadžbu (.6) dobvamo nakon sređvanja stunja djelovanja roesa lnske turbne: τ τ t (.9 ) Kako sljed z ove jednadžbe, termčk stuanj djelovanja roesa lnske turbne r konstantnom tlaku se kontnurano ovećava s ovećanjem omjera tlakova. o vrjed samo za dealn termodnamčk roes u kojemu smo zanemarl unutarnje gubtke gdje se dovod tolne radnom medju vrš zvana reko zmjenjvača tolne, a odvod sto tako oduzmanjem tolne. Rad komresje zraka eksanzje lna u turbn u realnom roesu rkazuje se na st načn kao za dealn termodnamčk roes, tj. utem razlka entalja:

5 69 ( ) (. ) ( ) t (. ) Unutarnj gub koj se javljaju tjekom komresje zraka u komresoru uzet su u obzr u ndranom stunju djelovanja komresora: (. ) gdje je rad zentroske komresje kg zraka u termodnamčkom roesu, a je stvarn rad komresje kg zraka u stvarnome roesu. Na st načn, unutarnj gub u turbn su uzet u obzr u ndranom stunju djelovanja turbne: t t r (. ) gdje je t rad eksanzje kg lna u stvarnoj turbn, a t je rad zentroske eksanzje u dealnom roesu. Prema jednadžbama (.) (.) stvarn radov komresje u komresoru eksanzje u turbn su: (. ) ( ) r t t +µ (.5 ) gdje je µ masa zgorenog gorva o kg zraka dovedenog u komoru zgaranja. a je vrjednost občno unutar.-.8 kg/kg može se zanemart. Korštenjem jednadžb (.) (.5) moguće je odredt korsn ndran rad lnskoturbnskog ostrojenja o kg ussanoga zraka u komresor, kao razlka ndranh radova turbne komresora: ( ) ( ) r r r t t (.6 ) Uvrštavanjem jednadžb (.7) (.8) u (.6) dobvamo: r τ (.7 ) gdje je stuanj orasta temerature u roesu: τ

6 . Glavne karakterstke lnskoturbnskog ostrojenja načn ovećanja stunja djelovanja 7 Proes u lnskoturbnskom ostrojenju obuhvaća određene gubtke koj se mogu odjelt na unutarnje vanjske. Unutarnj gub su usko ovezan s romjenama stanja radnoga medja. On obuhvaćaju:. Unutarnj gub u komresoru obuhvaćen su u ndranom stunju djelovanja komresora.. Unutarnj gub lnske turbne obuhvaćen su u ndranom stunju djelovanja turbne r.. olnsk gub u komor zgaranja obuhvaćen su u termčkom stunju djelovanja komore zgaranja th.. Gub zbog otora strujanja na stran zraka (do komore zgaranja) koj obuhvaćaju gubtke u vodovma zraka, regeneratoru hladnjaku zraka. 5. Gub zbog otora strujanja na stran lnova zgaranja, koj obuhvaćaju gubtke u komor zgaranja, regeneratoru sušnm kanalma. 6. Gub vezan uz otrošnju zraka za hlađenje djelova turbne (loata, dskova td.). Unutarnj gub u lnskoturbnskom ostrojenju se ojenjuju na oć načn omoću ndranog stunja djelovanja ostrojenja: (.8 ) q gdje je sefčn ndran rad ostrojenja, kj/kg, a q je sefčno utrošena tolna dovedena u komor zgaranja za zagrjavanje kg zraka s temerature na, kj/kg (slka.): q th ( ) (.9 ) u je th stuanj djelovanja komore zgaranja. Nakon uvrštavanja jednadžb (.7) (.9) za q u jednadžbu (.8), dobvamo: th r τ ( ) r τ ( ) th (. ) Korsteć dodatne matematčke transformaje, jednadžba (.) se svod na nov oblk: τ τ r th (. ) Prema tome, ndran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja ovs o brojnm arametrma:

7 7 Slka. Indran stuanj djelovanja najjednostavnjeg lnskoturbnskog ostrojenja u ovsnost o omjeru tlakova na komresoru omjeru temeratura τ th ( τ,,, ), f r reba bt jasno da je ndran stuanj djelovanja već, kada su već sv ostal ndran stunjev djelovanja na ostrojenju, odnosno kada su manj gub na komresoru, turbn l komor zgaranja. Kako se može vdjet z jednadžbe (.), je lnearno rooronalan s th. Stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja još jače ovs o stunjevma djelovanja komresora turbne, što nas uućuje u otrebu za njhovm oboljšanjem. Indran stunjev djelovanja su danas: za aksjaln komresor.8-.9 za lnsku turbnu r Na sl. rkazane su krvulje f() za razlčte vrjednost za τ / r r.87,.88, th.97 konstantnoj temeratur ussanog zraka 88 K (5 o C). Kako možemo vdjet, stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja kontnurano se ovećava s ovećanjem τ. U sto vrjeme, ovećana je radna sosobnost kg zraka, tako da je tada za stu snagu otreban manj rotok zraka. Povećanje τ se može ostć s ovećanjem l smanjenjem. Pošto se temeratura atmosferskog zraka može mjenjat u šrokom rasonu, njezna romjena može značajno utjeat na stuanj djelovanja snagu lnskoturbnskog ostrojenja. S ovećanjem, ovećava se sefčn volumen zraka, čme se ujedno ovećava rad komresora. ada se ujedno smanjuje masen rotok zraka snaga lnske turbne. Najdjelotvornja metoda za ovećanje stunja djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja je u ovećanju temerature lna sred turbne. Kako se vd z slke., ndran stuanj djelovanja je već r všoj temeratur. Ovo vrjed za blo koje lnskoturbnsko ostrojenje obzrom da je najvša temeratura u roesu njeno ovšenje ujedno ovećava stuanj djelovanja. Kod staonarnh turbna velke snage, douštene maksmalne temerature za dug rad ostrojenja su - K. Daljnje ovećanje temerature je ogrančeno mneralnm termčkm zolajama čvrstoćom metala na vsokm temeraturama koj se korste za zradu rotora rotorskh loata. Kod lnskh turbna s kratkm erodma rada, maksmalna temeratura može doseć 6 K. U oćem slučaju, odabr očetne temerature ovs o brojnm faktorma, rje svega o namjen lnskoturbnskog ostrojenja, redvđenom žvotnom vjeku vrst gorva koje se korst. Na rmjer, očetna temeratura u lnskoj turbn koja korst tekuće gorvo, osebno s vsokm sadržajem vanadja je smanjena na najvše 9 K kako b se smanjo utjeaj vsokotemeraturne korozje. me je snžen stuanj djelovanja ostrojenja.

8 Jednadžba f() ma mnogo složenju ovsnost, kako se kože vdjet na sl., obzrom da stuanj djelovanja lnske turbne ma maksmalnu vrjednost za nek otmaln omjer tlakova ot. Vrjednost za ot ovs o zvedb ostrojenja o temeraturama. Stuanj djelovanja se ovećava s ovećanjem smanjenjem. Nek od dodatnh faktora koj maju utjeaj su r l ot. Zbog toga je otrebno osebno zračunat ot za određenu zvedbu turbne njene glavne karakterstke. Omjer korsnog rada lnske turbne rada same turbne označava se kao koefjent korsnoga rada: t δ (. ) t t t 7 Jasno je da je δ već kada je rad komresje manj l kada je rad turbne već, tj. kada je rad redan otrošaču već. Uvrštavanjem jednadžb (.) (7) za radove t u jednadžbu (.), nakon sređvanja dobvamo: δ (. ) τ r Iz ove jednadžbe je vdljvo koj arametr dornose ovećanju koefjenta korsnog rada δ. Pored toga, uz retostavku određenh vrjednost za r uzmanjem δ moguće je odredt vrjednost za r razlčtm vrjednostma τ kada se z ostrojenja ne dobva nkakav korsn rad. Indrana snaga lnskoturbnskog ostrojenja može se rkazat jednadžbom: P m& (. ) a gdje je m& a masen rotok zraka u ostrojenju, kg/s, a je ndran korsn rad ostrojenja, kj/kg, koj zračunavamo o jednadžb (.6) l (.7). Rad se može rkazat kao razlka tolnskh adova turbne komresora: H H tr (.5 ) gdje su H t zentrosk tolnsk ad u komresoru, kj/kg, a H zentrosk tolnsk ad u turbn kj/kg: H ( ) t h h (.6 ) H ( ) h (.7 ) h olnske adove H t H mogu se očtat u h-s djagramu za rodukte zgaranja za ln. Važne karakterstke lnskoturbnskog ostrojenja su sefčne otrošnje zraka d, tolne q gorva g. Sefčna otrošnja zraka je omjer masenog rotoka zraka u jednom satu m& a korsne snage. Ona u određenom smslu redstavlja dmenzje ostrojenja. Za određenu snagu ostale jednake uvjete, dmenzje ostrojenja su drektno rooronalne sefčnoj otrošnj zraka: d kg/kj

9 7 d m& P a 6 6 kg/kwh (.8 ) gdje je m& a rotok zraka u komresoru, kg/s, a P je ndrana snaga ostrojenja, kw. Sefčna otrošnja tolne, kj/kwh, određuje stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja: q 6 kj/kwh (.9 ) gdje je ndran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja. Kada usoređujemo stunjeve djelovanja razlčth lnskoturbnskh ostrojenja, relatvnu uštedu u otrošnj tolne možemo rkazat jednadžbom: q q q (. ) q gdje su q sefčna otrošnja tolne ndran stuanj djelovanja ostrojenja kojega usoređujemo, a q' ' su to sto za djelotvornje ostrojenje. Uz oznatu donju ogrjevnu moć H d za gorvo koje korst turbna, moguće je zračunat sefčnu otrošnju gorva, kg/kwh: g q H d 6 m& 6 H H d g d (. ) gdje je m& g masen rotok gorva, kg/s. Vanjsk gub lnskoturbnskog ostrojenja nemaju zravn utjeaj na stanje radnoga medja. On obuhvaćaju gubtke zbog trenja u ležajevma turbne komresora u reduktoru (ako se korst), gubtke zbog rouštanja lna na brtvama gubtke za ogon omoćne oreme (uma ulja, regulator td.). Sv vanjsk gub obuhvaćen su mehančkm stunjem djelovanja ostrojenja: e m (. ) gdje je e sefčn efektvn rad lnskoturbnskog ostrojenja, kj/kg: e (. ) m gdje je m sefčn rad mehančkh gubtaka, kj/kg. Nakon nekolko transformaja dobvamo: ( ) + ( ) + t tm t r tm m m m (. ) gdje su tm m mehančk stunjev djelovanja turbne komresor.

10 Unutarnj vanjsk gub lnskoturbnskog ostrojenja obuhvaćen su efektvnm stunjem djelovanja, koj je omjer efektvnog redanoga rada sefčno dovedene tolne u roes o kg zraka u komor zgaranja. e e (.5 ) q (.6 ) e m Sefčna tolna dovedena u komor zgaranja q može se nać o jednadžb (.9) o jednadžb: 7 q m& g d (.7 ) m& H a Efektvna snaga lnskoturbnskog ostrojenja, kw, je: P e m& (.8 ) e a P (.9 ) e P m Sefčna efektvna otrošnja gorva, kg/kwh, je: g e m& g g 6 6 P e m& P m g m 6 H m d 6 H e d (. ) Osm ovećanja temerature lna red ulazom u turbnu, ostoje druge metode za ovećanje stunja djelovanja ostrojenja:. Regeneraja tolne sušnh lnova,. Komresja zraka u vše serjsk ovezanh stunjeva s hlađenjem zraka u hladnjama zmeđu stunjeva,. Prmjenom zgaranja (l grjanja lna) u vše stunjeva,. Korštenjem turbna s vše vratla, što daje vš stuanj djelovanja n smanjenm oterećenjma, 5. Prmjenom kombnranog ostrojenja arne lnske turbne, 6. Korštenjem tolne sušnh lnova za rozvodnju are l vrele vode. Ove metode sadrže često vrlo složene sustave, sheme oremu.. Jednoosovnsko lnskoturbnsko ostrojenje s regenerajom Jedna od mogućh metoda za ovećanje stunja djelovanja je utlzaja tolne sušnh lnova za zagrjavanje komrmranog zraka koj se dovod u komoru zgaranja. Za tu namjenu se zrak za komresor (slka.a) dovod u regenerator koj je u bt ovršnsk zmjenjvač tolne. u se do tolne sušnh lnova za turbne redaje zraku, a ohlađen sušn lnov se odvode u dmnjak u atmosferu. Zagrjan zrak se dovod u komoru zgaranja. Pogledajmo -s djagram roesa lnske turbne s regenerajom (slka.b). Glavne lnje koje okazuju odvjanje roesa u lnskoj turbn su sljedeće: -, je komresja zraka u komresoru, - 5, je zagrjavanje zraka u regeneratoru r konstantnom tlaku, 5 -, je dovod tolne u komor zgaranja r konstantnom tlaku, -, je eksanzja lnova u turbn, - 6, je odvod tolne od sušnh lnova u regeneratoru r konstantnom tlaku, 6 -, je zobarn odvod tolne od lnova r suhu u atmosferu.

11 75 Slka. Regeneratvno lnskoturbnsko ostrojenje a - glavna shema regeneratvnog ostrojenja s jednm vratlom, b - -s djagram roesa turbne Šrafrana ovršna a--5-b redstavlja tolnu q a dovedenu kg zraka u regeneratoru, a ovršna d-6- -e kolčnu tolne odvedenu od sušnh lnova redanu kg zraka. Ove dvje ovršne su uzajamno jednake ako retostavmo da nemamo nkakve gubtke u okolš. olna sušnh lnova turbne b bla otuno skorštena ako b zrak u regeneratoru zagrjal na temeraturu 5', tj. na temeraturu s kojom sušn lnov zlaze z turbne. Ova je kolčna tolne u -s djagramu rkazana ovršnom a--5'-. Omjer: q a ovršna a b R q ovršna a - - 5'- max (. ) je omjer stvarno renesene kolčne u regeneratoru rema dealno mogućoj, koj nazvamo omjer regeneraje. Pretostavmo da q a q max možemo zrazt arametrma roesa: q a ( ) 5 (. ) max ( ) q (. ) gdje je temeratura sušnh lnova na zlazu z turbne, je temeratura zraka rje regeneratora, a 5 za regeneratora. Sada možemo nasat jednadžbu za omjer regeneraje: R 5 (. ) Zanemarujuć ad tlaka r strujanju lna l zraka kroz regenerator, mogl b retostavt da regenerator nema nkakvog utjeaja na korsn rad lnskoturbnskog ostrojenja, koj zračunavamo o jednadžb (.7). S druge strane, kolčna tolne q r koju dovodmo u komor zgaranja u roesu s regenerajom je manja za q a od kolčne tolne q koju dovodmo u roesu bez regeneraje, tj.: q r q q (.5 ) a Susttujom jednadžb (.9) (.) za q q a u jednadžbu (.5) uzmajuć u obzr gubtke za q a u komor zgaranja omoću th, dobvamo:

12 76 ( ) ( ) ( ) 5 5 q th th th th r (.6 ) Dakle, ndran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja s regenerajom je: th r r r q τ 5 (.7 ) Izrazmo sada 5 omoću R o jednadžb (.): ( ) 5 R + Uvrštavanjem ove jednadžbe u jednadžbu (.7) dobvamo: ( ) [ ] th r r R R τ + (.8 ) Nakon određenh transformaja, jednadžbu (.8) možemo zasat u bezdmenzjskom oblku: th r r r R τ τ τ + + (.9 ) Krvulje ( ) f r za razlčte vrjednost od R su rkazane na sl.5. One su srtane za temeraturu lna sred turbne K, temeraturu zraka sred komresora 88 K stunjeve djelovanja r.87 th.97. Sve krvulje se sjeku u točk A koja odgovara omjeru tlakova r kojemu temeratura za komresora ostaje jednaka temeratur lna za turbne, tj.. U tom slučaju je regeneraja nemoguća. Regeneraja smanjuje otmaln omjer tlakova ot na komresoru, koj je manj r všoj vrjednost R. Iz tog razloga, regeneraja uzrokuje orast koefjenta korsnog rada δ, koj zračunavamo o jednadžb (.). Pr R <.5, utjeaj regeneraje na stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja ostaje zanemarv. Vrjednost od R se aktualno zračunava o ogrjevnoj ovršn regeneratora. U najmodernjm lnskoturbnskm ostrojenjma s regenerajom je R U tom je slučaju ušteda na gorvu zbog regeneraje na razn od -8%. Pr R >.8, regenerator ma jako velku ogrjevnu ovršnu rema tome velke dmenzje. Iz toga razloga, najbolje vrjednost od R nalazmo ovsno o shem rmjen lnskoturbnskog na temelju tehnčko-ekonomskh roračuna koj uzmaju u obzr, r,, masu velčnu, troškove zvedbu ostrojenja. Osm toga, ugradnja regeneratora stvara dodatne hdraulčke otore na utu zraka lna, a rema tome odgovarajuće smanjenje stunja djelovanja ostrojenja. Pr velkm otorma strujanja može doć do onštavanja efekta regeneraje.

13 77 Slka.5 Indran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja u ovsnost o omjeru tlakova na komresoru r razlčtm vrjednostma stunja regeneraje R Možemo naomenut u zaključku da regeneraja omogućuje oboljšanje stunja djelovanja ostrojenja ne samo za uvjete nazvnog oterećenja, već r djelomčnm oterećenjma, obzrom da se stuanj djelovanja ostrojenja s regenerajom smanjuje r smanjenju oterećenja sorje nego stuanj djelovanja ostrojenja bez regeneraje. Osm kod lnskoturbnskh ostrojenja s jednm vratlom rotora, koja smo ovdje osal, regeneraja se korst kod razvjenh ostrojenja s vše vratla u svm slučajevma gdje je njena rmjena ekonomsk slatva..5 Plnskoturbnsko ostrojenje s komresjom zgaranjem u vše stunjeva Kao što nam je oznato z termodnamke, rad komresje lna je najmanj ako se on odvja zotermno. Ovakav se roes ne može ostvart u komresoru. Kako b stvarn roes u komresoru rblžl zotermnom roesu na taj načn smanjl rad komresje, korstmo komresju u vše stunjeva s hlađenjem zraka među stunjevma. Hlađenje se odvja u međuhladnjama. Jasno je da će roes bt sve blž zotermnom roesu, što vše stunjeva komresje korstmo. Već broj stunjeva zskuje složenje skulje ostrojenje uz veće gubtke strujanja na utu zraka. Iz th razloga se občno korste dva stunja komresje, a mnogo rjeđe tr l vše stunjeva komresje. Ponekada se za zadnjeg stunja komresje, rje komore zgaranja, stavlja regenerator. Shema roesa lnske turbne s dva stunja komresje zraka regenerajom rkazana je na sl.6. Prv stuanj komresje C sše zrak komrmra ga na tlak. Njegova temeratura orasla je s na (lnja -). Zrak se tada vod u hladnjak zraka AC kako b ga ohladl o lnj konstantnoga tlaka na temeraturu (lnja -), nakon čega ga ussava drug stuanj komresora C komrmra ga na tlak. Njegova temeratura ovećala se komresjom na (lnja -). Nakon toga zrak rolaz kroz regenerator R, u kojemu se grje s na 5 ulaz u komoru zgaranja CC. Produkt zgaranja na temeratur tlaku dolaze u turbnu, u kojoj eksandraju na tlak temeraturu, nakon čega ulaze u regenerator R u kojemu se hlade na konačnu temeraturu suha 6. Indran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja s regenerajom s komresjom zraka u dva stunja rkazan je jednadžbom:

14 78 Slka.6 Plnskoturbnsko ostrojenje s komresjom u dva stunja međuhladnjakom zraka a - rnjelna shema, b - -s djagram roesa turbne + r t r q q (.5 ) gdje je ndran rad lnskoturbnskog ostrojenja, koj je jednak razl rada turbne rada za komresju u komresorma C C. Velčna q je sefčna tolna dovedena kg zraka u komor zgaranja. Sefčn radov su radov zentroske komresje u komresorma C C, a su stunjev djelovanja ovh komresja. t r su sefčn zentrosk rad ndran stuanj djelovanja za eksanzju u turbn. Sukladno -s djagramu na sl.6b, radov zentroske komresje u komresorma C C su: ( ) (.5 ) ( ) (.5 ) Neka su omjer tlakova na rvom drugom komresoru: (.5 ) gdje je tlak sred komresora C, je tlak zmeđu komresora u međuhladnjaku, a je tlak za komresora C. Za točke ' te za ' koje leže na zentroskm lnjama komresje možemo zasat jednadžbe: (.5 ) Nakon uvrštavanja jednadžb (.5) u jednadžbe (.5) (.5), dobvamo: (.55 )

15 79 (.56 ) Rad zentroske eksanzje u turbn, t sefčno dovedena tolna u komor zgaranja mogu se zračunat o jednadžbama: ( ) t (.57 ) ( ) 5 5 q th th (.58 ) gdje je ukun omjer tlakova u roesu: Susttujom vrjednost z jednadžbe (.55) uvrštavanjem (.58) u (.5), dobvamo jednadžbu za ndran stuanj djelovanja: th r r τ τ 5 + (.59 ) gdje su: τ τ, a možemo dobt: ( ) th r r r R R τ τ τ + + (.6 ) gdje je R omjer regeneraje. Kako sljed z analze jednadžbe (.6), stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja se ovećava r ovećanju τ τ', tj. r ovećanju očetne temerature lna smanjenju temerature zraka rje komresora. Stuanj djelovanja roesa se ovećava s ovećanjem omjera regeneraje stunja djelovanja turbostrojeva (turbne svakoga komresora) r,. Stuanj djelovanja ostrojenja r ma maksmum na određenm vrjednostma za. Utjeaj omjera tlakova na komresoru r su rkazan u oblku krvulja r f( ) na sl.7, koje su rkazane za razlčte omjere regeneraje R o jednadžb (.6).

16 8 Slka.7 Indran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja s dva stunja komresje međuhlađenjem ovsno o omjeru tlakova omjeru regeneraje R Krvulje su srtane uz retostavku da su:, τ τ'.55, r Za usoredbu, rtkane lnje na sl rkazuju ste krvulje za ste vrjednost od R,τ, τ', r, za lnskoturbnsko ostrojenje bez međuhladnjaka. Usoredbom krvulja, možemo vdjet da međuhlađenje ovećava stuanj djelovanja ostrojenja, s tme da je dobtak to već što je već omjer regeneraje R. Pored toga, za određen omjer regeneraje R, međuhlađenje donos ovećanje otmalnog omjera tlakova ot rema tome smanjenje sefčne otrošnje lna ovećanje sefčne snage ostrojenja. Moguće je također ovećat stuanj djelovanja sefčnu snagu, te smanjt sefčnu otrošnju lna rmjenom zgaranja u vše stunjeva u nekolko komora zgaranja koje su smještene duž uta lna među lnskm turbnama. U tom slučaju, roes eksanzje lna se vše rblžava zotermnom roesu, čme se ovećava stuanj djelovanja roesa korsn rad ostrojenja. Shema ostrojenja s regenerajom zgaranjem u dva stunja uz međuregrjanje lna rkazana je na sl.8a. Zrak z komresora C rolaz kroz regenerator R r tlaku temeratur 5 te ulaz u rvu komoru zgaranja CC. Produkt zgaranja z ove komore, r temeratur tlaku dovode se u rvu turbnu u kojoj eksandraju na tlak rtom se ohlade na. Isušn lnov z turbne ulaze u drugu komoru zgaranja CC gdje njhova temeratura naraste na zbog dodatnog zgaranja gorva. Obzrom na vsok retčak zraka za zgaranje u komor CC, dodatno gorvo može zgarat u komor CC bez dovoda dodatnog zraka. Produkt zgaranja z te druge komore odvode se na drugu turbnu u njoj eksandraju na tlak temeraturu, nakon čega se kroz regenerator R odvode u suh u atmosferu. Slka.8 Plnskoturbnsko ostrojenje s zgaranjem u vše stunjeva a - rnjelna shema, b - -s djagram roesa

17 8 -s djagram ovoga roesa rkazan je na sl.8b. Lnje u djagramu rkazuju sljedeće roese: - je komresja u komresoru C, - 5 je zagrjavanje zraka u regeneratoru R, 5 - je dovod tolne u rvoj komor zgaranja CC, - je eksanzja u rvoj lnskoj turbn, - je dovod tolne u drugoj komor zgaranja CC, - je eksanzja lna u drugoj turbn, - 6 je odvod tolne u regeneratoru R, 6 - je odvod tolne suhom sušnh lnova u atmosferu. Indran stuanj djelovanja ostrojenja s lnskom turbnom s regenerajom dovodom tolne u dva stunja je: h h t r t r h h hr q q q q (.6 ) gdje su sefčn ndran rad radnoga medja u lnskoturbnskom ostrojenju, q h q h su sefčne dovedene tolne u komorama zgaranja CC CC, t t su sefčn radov zentroske eksanzje na turbnama, ndran stunjev djelovanja za eksanzje na turbnama su r r, a su sefčn zentrosk rad ndran stuanj djelovanja za komresju u komresoru C. Sukladno sl.8b, možemo sastavt jednadžbu u sljedećem oblku: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 r r hr + + (.6 ) l nakon sređvanja: ( ) σ σ τ τ τ τ σ τ σ r r r r hr R R (.6 ) gdje je R omjer regeneraje; τ je stuanj ovećanja temerature u roesu, τ je omjer asolutnh temeratura sred rve druge turbne, ; σ / je stuanj eksanzje are u rvoj turbn; σ / je stuanj eksanzje are u drugoj turbn; σ σ σ je ukun stuanj eksanzje, koj je jednak omjeru tlakova na komresoru σ /. Kako sljed z analze o jednadžb (.6), ndran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja sa stunjevtm zgaranjem se ovećava kada se ovećavaju,, R, r, r, kada se smanjuje. Pr fksnm vrjednostma ovh arametara, hr orma maksmalnu vrjednost r otmalnom omjeru tlakova na komresoru ot stunju eksanzje u rvoj l drugoj turbn, σ ot l σ ot.

18 8 Slka.9 Indran stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja r zgaranju u dva stunja ovsno o omjeru tlakova na komresoru omjeru regeneraje R Utjeaj omjera tlakova na komresoru na stuanj djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja s zgaranjem u dva stunja rkazan je na sl.9. Pr rtanju djagrama uzete su sljedeće retostavke: τ.55, τ, r r.87,.86, σ σ, σ σ. Usoredba ovh krvulja s krvuljama za stuanj djelovanja najjednostavnje lnske turbne (rtkane lnje na sl.9) za ste zadane arametre ukazuju na utjeaj zgaranja u dva stunja na ovećanje stunja djelovanja, osobt kod velkh omjera regeneraje R. Pored svega, za stu vrjednost od R, zgaranje u vše stunjeva ovećava otmaln omjer tlakova ot smanjuje sefčnu otrošnju lna. Iz analze je jasno da se r ovećanju broja stunjeva zgaranja rblžavamo zotermnom dovodu tolne u roes. Kao kod uvođenja većeg broja stunjeva komresje s međuhlađenjem, vdjel smo da nje slatvo ć na velk broj stunjeva da je najogodnje ako komresju vršmo u dva stunja s međuhlađenjem zraka među stunjevma komresje. Slčno ćemo se kod zgaranja ogrančt na dva stunja zgaranja, jer su orema za ubrzgavanje gorva same komore vrlo sku element turbne. Velk broj komora ujedno ovećava gubtke strujanja u lnskoj turbn smanjuje joj stuanj djelovanja. Kod lnskh turbna u raks se često korste turbne s odjelom komresje u dva stunja s međuhlađenjem na zgaranje u dva stunja s dva stunja eksanzje na turbn. Iako ovakva zvedba turbne komlra njenu konstrukju oskuljuje ju, vrlo se često korst u suvremenm turbnama. o sve zajedno, u kombnaj s otmalno odabranm arametrma, kao što su otmaln omjer tlakova omjer regeneraje, omogućuju ovećanje stunja djelovanja lnskoturbnskog ostrojenja..6 Plnska turbna s vše vratla Među rozvođačma lnskh turbna je velk trend u ovećanju snage turbna, kako b smanjl troškove nvestja troškove održavanja. Snaga jedne arne turbne je ovećana do MW, al se snage lnskh turbna vrlo rjetko enju na vrjednost veće od MW. Vezano uz to, analzrat ćemo koje su krajnje mogućnost ostzanja snage za lnsku turbnu nać velčne koje ogrančavaju tu snagu. Ako uzmemo jednadžbe (.), (.5), (.5) (.9), korsnu snagu lnske turbne možemo rkazat ne sljedećom jednadžbom: P ef H m& g Htrtm (.6 ) m

19 gdje je m& g rotok lna na turbn, kg/s, H t H su zentrosk adov entalje na turbn komresoru, kj/kg, r su ndran stunjev djelovanja za turbnu komresor, a tm m su mehančk stunjev djelovanja turbne komresora. Iz jednadžbe (.6) vdmo da se do rada dobvenog eksanzjom lna na turbn troš za ogon komresora. U najjednostavnjm shemama ostrojenja lnske turbne ovaj do čn 7 do 75%, tako da se samo 5 do % dobvenog rada na turbn korst za ogon otrošača. Pošto smjesa rodukata zgaranja gorva na baz ugljkovodka ma sefčnu tolnu nžu od one za vodenu aru (skoro uta) obzrom da sušn lnov z turbne zlaze s vsokom temeraturom, rasoložv (zentrosk) tolnsk ad za stu razlku temeratura je jednak / do /6 onoga za vodenu aru. Da b dobl dovoljno vsoku snagu na lnskoj turbn je otrebno značajno ovećat masen rotok lnova. Ovaj jel roblem možemo rješt mnogo lakše na ostrojenjma s lnskom turbnom u zatvorenom roesu (vd oglavlje.7) gdje se masen rotok lna može ovećat rmjenom všh tlakova lna u rkulaj u zatvorenom sustavu. U ostrojenju lnske turbne s otvorenm roesom, tlak na ulazu u turbnu određen je tlakom za komresora, čju smo otmalnu vrjednost ot odredl za određeno ostrojenje ovsno o shem sustava temeraturama na ulazu u turbnu ulazu u komresor, stunjevma djelovanja turbne komresora te nekm drugm faktorma (vd oglavlje.). U najjednostavnjm zvedbama lnskh turbna s jednm vratlom, otmaln omjer tlakova občno nje vš od ot Zbog toga je masen rotok kroz turbnu možemo ovećat samo ovećanjem volumnog rotoka, tako da je onda otrebno značajno ovećat romjer turbne vsnu loata. S druge strane, narezanja u loatama rotora se ovećavaju s ovećanjem vsne loata brzne vrtnje. Prema tome, vsna loata brzna vrtnje su dodatn faktor koj ogrančavaju snagu turbne. Za razlku od arnh turbna, gdje je snaga turbne ogrančena vsnom loata na zadnjm stunjevma, snaga lnske turbne je ogrančena vsnom loata rvoga stunja, obzrom da uravo te loate rade na najvšm temeraturama nalaze se u najtežm radnm uvjetma, tako da su douštena narezanja na njma mnogo manja nego na loatama drugoga stunja. reba naomenut da je obrađen ad entalje na akjskom stunju dvaut već od onoga za čst reakjsk stuanj. Kod lnskh turbna velke snage s loatama velke vsne, za razlku, reakjsk stunjev omogućuju vš stuanj djelovanja, obzrom da reakjske loate maju bolj aerodnamčk rofl. Za ovećanje snage stunja djelovanja, ostrojenja s lnskom turbnom s otvorenm roesom se zvode s vše konentrčnh vratla s komresjom zraka u vše stunjeva, s zgaranjem u vše stunjeva, regenerajom td. Snaga ovakvh turbna može bt ogrančena s maksmalnm masenm rotokom komresora, l kod komresje u vše stunjeva, s maksmalnm rotokom na nskotlačnom komresoru. Odabr zvedbe s vše vratla može bt dktran drugm okolnostma od osebnog značaja, name s mogućnost da ovećamo stuanj djelovanja ostrojenja u radu na smanjenm oterećenjma. o se jasno može vdjet na sl., koja rkazuje krvulje relatvnoga stunja djelovanja ovsno o oterećenju P el za tr vrste lnskh turbna; na sl je stuanj djelovanja r smanjenom oterećenju, a f je sto za uno oterećenje. Može se zaazt da je smanjenje stunja djelovanja r smanjenom oterećenju najmanje kod lnske turbne sa zatvorenm roesom (krvulja ), čja se snaga regulra s romjenom masenog rotoka lna r konstantnoj temeratur red turbnom. Surotno tome je velko smanjenje stunja djelovanja na smanjenom oterećenju kod najjednostavnje turbne s otvorenm roesom jednm vratlom rotora (krvulja ), obzrom da se ovdje snaga regulra samo romjenom tolnskog ada H t u turbn. Da b to učnl na smanjenom oterećenju, smanjujemo očetnu temeraturu lna sred turbne, čme značajno smanjujemo stuanj djelovanja roesa. Smanjenje stunja djelovanja je mnogo manje u lnskoj turbn s otvorenm roesom s dva vratla rotora (krvulja ). o nam sugerra da ostrojenja lnskh turbna s vše vratla reoručujemo u slučajevma gdje turbna mora radt u šrokom odručju oterećenja l uglavnom na smanjenm oterećenjma. 8

20 8 Slka. Relatvn stuanj djelovanja lnske turbne na razlčtm oterećenjma - najjednostavnja lnska turbna s otvorenm roesom jednm vratlom rotora, - lnska turbna otvorenog roesa s dva vratla rotora, - lnska turbna sa zatvorenm roesom Slka. Prnjelna shema lnske turbne s dva vratla rotora Slka. Prnjelna shema lnske turbne s dva vratla rotora (G--75-) Najjednostavnja zvedba lnske turbne s vše vratla je zvedba s odjeljenm vratlom (slka.). urbna je odjeljena na dva djela koj su uzajamno ovezan omoću jev. Vsokotlačn do turbne okreće komresor može radt na rozvoljnoj brzn vrtnje. Nskotlačn do turbne 5 vrt se na konstantnoj brzn vrtnje rad ogona elektrčnog generatora. Snaga za ogon generatora 6 regulra se uglavnom romjenom masenog rotoka kroz nskotlačnu turbnu 5, tako da mjenjamo rotok zraka z komresora u komoru zgaranja. Protok kroz komresor ovs o brzn vrtnje vsokotlačne turbne, koju regulramo romjenom kolčne gorva koje dovodmo u komoru zgaranja. urbnu z mrovanja okrećemo elektromotorom. U tom slučaju se očetna temeratura lna sred turbne 5, koja okreće elektrčn generator 6, smanjuje manje nego kod lnske turbne s jednm vratlom, tako da se stuanj djelovanja ostrojenja može održavat na vsokoj razn. S druge strane, obzrom da je turbna odjeljena na dva djela, ostrojenje onekada ma manj stuanj djelovanja na unom oterećenju. čn romjer složenog lnskoturbnskog ostrojenja s vše vratla je lnska turbna G o je lnska turbna s dva vratla za ogon elektrčnog generatora snage MW (slka.). Nskotlačn komresor 7 ma ogon s vratla nskotlačne turbne 6, koja stovremeno okreće elektrčn generator 8. Zrak se u komresoru 7 tlač na. MPa. Kaatet komresora je 5 kg/s, a

21 njegov stuanj djelovanja je.88. Zrak se za komresora 7 hlad u hladnjaku 5 vod dalje u vsokotlačn komresor u kojemu se zrak tlač na.55 MPa. Zrak se vod u vsokotlačnu komoru zgaranja. Vsokotlačna turbna okreće vsokotlačn komresor. Plnska turbna ma međuhlađenje zraka zmeđu nskotlačnog vsokotlačnog komresora, kao zgaranje u dva stunja. Nskotlačna komora smještena je zmeđu lnskh turbna 6. emeratura lna sred turbna od nazvnm oterećenjem se održava na K (oko 75 o C). Stuanj djelovanja ostrojenja od tm uvjetma je.8. Obzrom da ova lnska turbna nema regeneraju, tolna sušnh lnova z nskotlačne turbne se korst za grjanje vode u zagrjaču 9 rje nego sušne lnove sustmo u okolš. Za bolj rad sustava grjanja vode, voda se u očetku zagrjava u međuhladnjaku zraka 5. Komresja zraka u dva stunja s međuhladnjakom rmjena zgaranja u dva stunja omogućuje ostzanje omjera tlakova 6, čme je moguće dobt velku snagu uz relatvno vsok stuanj djelovanja. Prmjena zvedbe s dva vratla omogućuje da se vsok stuanj djelovanja održ na smanjenm oterećenjma. Ove lnske turbne mogu kao gorvo korstt lnovta l tekuća gorva Plnske turbne sa zatvorenm roesom Prnjelna shema lnske turbne sa zatvorenm roesom rkazana je na sl.. Za razlku od lnskh turbna s otvorenm roesom, sušn lnov z turbne, nakon rolaza kroz regenerator 8, se ne odvode u okolš, već se odvode u hladnjak, koj služ kao onor tolne. Plnov se na taj načn ohlade na očetnu temeraturu roesa r tlaku. Ohlađen lnov se vode u komresor 5 komrmraju se na tlak 5 temeraturu 5. Pln se z komresora vod kroz regenerator 8, u kojemu temeratura naraste na 6, a tlak zbog gubtaka strujanja adne na 6. U lnskm turbnama sa zatvorenm roesom, komora zgaranja je zamjenjena zagrjačem u kojemu se radn medj (ln l zrak) zagrjava dovodom tolne zvana. olnu za grjanje može stvarat zgaranje gorva l nek drug zvor tolne. emeratura radnog medja ovećava se u zagrjaču na r tlaku. Pln s tm arametrma ulaz u turbnu redaje joj rad u roesu eksanzje na tlak temeraturu. Nakon toga se jel roes onavlja. urbna okreće komresor 5, a však snage redaje se za ogon elektrčnog generatora. Ugradnjom regeneratora u roes ovećavamo stuanj djelovanja tme ostžemo smanjenje ovršna zmjenjvača tolne (zagrjača hladnjaka). Rashladna voda se nakon hladnjaka korst kao voda za grjanje. Ona se može zagrjat na temeraturu od do o C bez da utječe na stuanj djelovanja ostrojenja. Jasno možemo uočt da se jedna te sta masa radnoga medja vrt u zatvorenom roesu lnske turbne, ako zanemarmo mala rouštanja u sustavu. Ova se rouštanja automatsk komenzraju dodavanjem dodatnog lna z vsokotlačnoga sremnka 6. Slka. Prnjelna shema lnske turbne sa zatvorenm roesom

22 Snagu lnske turbne regulramo romjenom tlaka u sustavu, a tme romjenom masenog rotoka radnoga medja uz održavanje maksmalnoga omjera tlakova najnže temerature roesa na konstantnm vrjednostma. ada tolnsk adov, trokut brzna ndran stunjev djelovanja ostaju raktčno st. Kada se oterećenje oveća, automatsk sustav regulaje dodaje u sustav određenu masu dodatnog lna z vsokotlačnoga sremnka 6 na taj načn oveća tlak u sustavu. Ako se oterećenje smanjuje, z sustava se odvod do mase radnoga medja u nskotlačn sremnk 7. Vsokotlačn sremnk se naaja omoću malog omoćnog komresora koj uzma ln z nskotlačnoga sremnka tlač ga u vsokotlačn sremnk, u kojemu se tlak održava všm od najvećega tlaka koj se javlja u radu turbne u njenom vsokotlačnom djelu. Zatvoren termodnamčk roes lnske turbne ma određene rednost u usoredb s otvorenm roesom:. Pouzdanost turbne je znatno vša, a njen žvotn vjek znatno duž, obzrom da radn medj ne sadrž tvar koje b mogle zazvat korozju l erozju na djelovma turbne.. urbne sa zatvorenm roesom mogu radt na gorva blo koje vrste l mogu korstt druge zvore tolne, kao što je na rmjer lnom hlađen nuklearn reaktor.. Povećanjem očetnog tlaka sred komresora moguće je ovećat masen rotok u sustavu na taj načn ovećat snagu ostrojenja.. Obzrom da snagu lnske turbne sa zatvorenm roesom regulramo romjenom tlaka lna u roesu, stuanj djelovanja ostrojenja ostaje gotovo konstantan u šrokom odručju oterećenja. 5. Osm zraka mogu se korstt razlčt drug radn medj u zatvorenom roesu lnske turbne. Nek od njh maju ogodna termofzkalna svojstva, rmjenom kojh možemo ovećat stuanj djelovanja sustava l donjet neke druge ogodnost. U usoredb s otvorenm roesom, ostrojenja lnske turbne sa zatvorenm roesom su mnogo složenja, maju velke dmenzje za stu snagu, troše vše materjala za njhovu zvedbu mnogo su skulja. Umjesto komore zgaranja, vrlo malh dmenzja, korste se zagrjač s vrlo velkm dmenzjama koj omalo slče generatorma are. Osm toga, sustav sadrž hladnjak zraka kao dodatn do, čje su dmenzje usoredve s kondenzatorom are kod arnh turbna. Zbog svh navedenh razloga, ostrojenja lnske turbne sa zatvorenm roesom još uvjek ne nalaze šru rmjenu, osm u slučajevma kada se kao gorvo korste neogodna gorva kao što su bomasa, teška gorva, kruta gorva td. Glavna karakterstka suvremenh ostrojenja s lnskom turbnom u zatvorenom roesu, koja rade s organskm gorvma rkazane su u tabl.. Kako možemo vdjet, njhove snage najčešće nsu velke, a njhov je stuanj djelovanja mnogo manj od onoga za arne turbne. Plnskoturbnska ostrojenja sa zatvorenm roesom u usoredb s arnoturbnskm ostrojenjma maju mnogo manje dmenzje manju uorabu materjala za njhovu gradnju, tako da su jeftnje od arnh termoelektrana. Obzrom na te rednost, ove se lnske turne često korste za male elektrane koje mogu radt na lokalna gorva nske kvaltete. U novje vrjeme ostrojenja s lnskom turbnom u zatvorenom roesu zazvaju sve veću ozornost obzrom na njhovu moguću romjenu u nuklearnm elektranama s reaktorom koj b bo hlađen lnom. ermofzkalna svojstva nekh lnova dana su u tabl.. Lsta obuhvaća sljedeće lnove: He, Ar, Ne, CO, N, koj su nertn na metalne materjale kod vsokh temeratura. o elmnra roblem nužne otornost na stvaranje naslaga značajno ovećava lstu mogućh materjala koje možemo korstt u gradnj ovh ostrojenja. o ujedno omogućuje da možemo značajno ovećat temeraturu na ulazu u turbnu. Među lnovma koj su naveden u tabl. helj je najogodnj obzrom na svoja termofzkalna svojstva. Njegova sefčna tolna je oko.5 uta veća od one za zrak, Zbog toga za stu razlku temeratura, od temerature na ulazu u turbnu do temerature na zlazu z turbne helj može mat mnogo vš tolnsk ad H t od onoga za zrak. 86

23 abla. Glavne karakterstke ostrojenja lnske turbne sa zatvorenm roesom r radu na organska gorva 87 Karakterstka Prozvođač Gorvo Snaga, kw Ugljen Prrodn Ugljen Pln z Ugljen ln eć Ugljen Pln z eć tekuće gorvo ekuće gorvo ln Pln z eć Ulazna tem. u komresor, K Ulazn tlak u komresor, MPa Ulazna tem. u turbnu, o C Ulazn tlak u turbnu, MPa St. djelovanja na sabrnama generatora, % Brzna vrtnje generatora, s - Vrsta komresora Dovod tolne, GJ/h U radu od Centrfugaln Aksjaln entrfugaln Aksjaln Helj kao radn medj abla. ermofzkalna svojstva lnova r tlaku od. MPa Molarna masa µ, kg/kmol Plnska konstanta R, kj/kg.k Eksonent adjabate Zrak Brzna zvuka a, m/s Sefčna tolna, kj/kg.k olnska vodljvost λ, W/m.K aomena: Brojev u nazvnku odnose se na temeraturu o C, a on u brojnku na 6 o C Helj je jednoatomn ln, tako da njegova sefčna tolna ne ovs o temeratur. olnska vodljvost helja je gotovo 6 uta veća od one za zrak, što nam omogućuje da značajno smanjmo dmenzje zmjenjvača tolne, obzrom da tolnska vodljvost lna zravno utječe na koefjent rjenosa tolne. Sljedeće važno svojstvo je da je brzna zvuka u helju oko tr uta veća od one za zrak, tako da možemo značajno ovećat obodnu brznu na rotorma komresora turbne bez rzka da nam se ojave udarn valov u strujanju fluda. Nedostatak helja je u velkoj fludnost, zbog čega treba mnogo veću ažnju osvett brtvljenju turbne druge oreme u zatvorenom roesu lnskoturbnskog ostrojenja. Pored toga, helj je mnogo skulj nje ga moguće uvjek nabavt, za razlku od ostalh lnova u tabl..

24 88 Slka. Prnjelna shema lnskoturbnskog ostrojenja sa zatvorenm roesom heljem kao radnm medjem, snaga 5 MW, Oberhausen, Njemačka Prvo ostrojenje s lnskom turbnom u zatvorenom roesu s heljem zgrađeno je 96. godne u Oberhausenu u Njemačkoj. urbne su male snagu od MW sa stanjem na ulazu u turbnu 98 K r. MPa. Iskustva stečena u gradnj rve takve elektrane skorštena su u gradnj druge ste elektrane sa snagom od 5 MW, koja je stavljena u ogon 97. godne. Njene glavne karakterstke rkazane su u tabl., a rnjelna shema ostrojenja rkazana je na sl.. Postrojenje je zvedeno s lnskom turbnom s dva vratla. Jedno vratlo rotora saja vsokotlačnu turbnu s komresorma nskog vsokoga tlaka, koj se vrte r 9 s - (5 mn - ). Nskotlačna turbna 5 na drugom vratlu okreće generator 6 r brzn vrtnje 5 s - ( mn - ). Vratlo turbne sojeno je na generator omoću reduktora sve vrjeme se vrt konstantnom brznom vrtnje. Cjevovod za naajanje turbne heljem zveden je o rnu "jev u jev". Helj z zagrjača rolaz unutarnjom jev, dok se hladn helj z vsokotlačnoga komresora vod kroz rstenast rostor zmeđu unutarnje vanjske jev. Na ulazu u vsokotlačnu turbnu helj ma temeraturu 75 o C r tlaku.7 MPa. Nakon eksanzja u obje turbne, temeratura helja je 6 o C on r toj temeratur ulaz u regenerator 8, nakon kojega r temeratur 5 o C ulaz u hladnjak koj služ kao zagrjač vode. Voda se rje toga zagrjava u međuhladnjaku drugm zmjenjvačma tolne. olna se u ostrojenju ne korst samo u oblku toe vode već kao nskotlačne zasćene are. Ukun kaatet zagrjavanja u ostrojenju je 9 GJ/h. Nakon hladnjaka, helj se r temeratur od 5 o C tlaku.5 MPa dovod u nskotlačn komresor u kojemu se tlak odže na.55 MPa. U međuhladnjaku se helj ohlad na 5 do 8 o C, nakon čega se dovod u vsokotlačn komresor u kojemu se tlak odže na.85 MPa. Stlačen helj se vod u regenerator 8 u kojemu se zagrjava s temerature 5 o C na o C. Plnska turbna je zvedena s tr kućšta kuglastog oblka (slka.5). Kućšta su zavarena z rethodno kovanh djelova. Vsokotlačn komresor ma 5 stunjeva, nskotlačn komresor 7 stunjeva. Rotor vsokotlačnoga komresora je zveden kao bubanj, zrađen sastavljanjem otkvaka z nskolegranog čelka. Otkv su ovezan vjma na rotor vsokotlačne turbne koj je zrađen kao sastavljen rotor s dskovma z austentnog čelka. Protok helja u nazvnm radnm uvjetma (uno oterećenje) je 8 kg/s. Gorvo koje se korst je ln z eć, koj zgara u zagrjaču 7. Oterećenje turbne se regulra romjenom rotoka helja na dva načna. Po rvom načnu, otočn (by-ass) ventl 9 na sl. se otvara kako b do helja (do jedne trećne ukunog rotoka) rousto mmo turbne u krug sred hladnjaka. Otočn ventl se občno otvara kada treba nago rasterett lnsku turbnu. Zatvaranjem otočnog ventla snaga može naglo orast. Ovaj načn uravljanja osgurava vsoku manevrablnost ostrojenja, al ogoršava stuanj djelovanja obzrom da r otvorenom otočnom ventlu komresor dalje rad unm kaatetom troš velku snagu. Zbog th razloga ovakva regulaja nje ogodna za duž rad ostrojenja.

25 89

26 9 Slka.5 Postrojenje lnske turbne sa zatvorenm roesom s heljem u elektran u Oberhausenu a - nskotlačn komresor, b - vsokotlačna turbna komresor, - nskotlačna turbna U slučaju kada turbna treba radt duže vremena, korstmo drug načn regulaje, koj mjenja masen rotok kroz turbnu u jelome sustavu, na načn da se z sustava odvod l se u njega dovod masa helja na taj načn mjenja trenutna masa helja unutar roes. U elektran u Oberhausenu helj je ohranjen u et sremnka (B - B5 na sl.). Helj se uzma z roesa odvod u nskotlačne sremnke s mjesta za vsokotlačnoga komresora l sred nskotlačnoga komresora. Helj se u roes dodaje sred hladnjaka. Za dodavanje služe dva omoćna komresora čj je kaatet takav da se una snaga može ostć za najvše 5 mnuta. Od osebnog značaja za rmjenu u zatvorenm roesma su lnov koj mogu dsorat, kao što su N O, Al Cl 6, Al Br 6 td., koj se zagrjavaju u komresoru, dsoraju u jednostavnje sastojke uz asorju velkh kolčna tolne. Na taj je načn moguće smanjt snagu za ogon komresora tme ovećat efektvnu snagu stuanj djelovanja. Hlađenjem dsoranog lna u hladnjaku dolaz do rekombnaje molekula uz oslobađanje tolne. Među navedenm lnovma, duškov tetraoksd je najzglednj za takvu rmjenu..8 Postrojenje lnske turbne sa zatvorenm roesom za nuklearne elektrane U novje se vrjeme rovode ntenzvna stražvanja u većem broju zemalja obzrom na mogućnost da se zvede lnskoturbnsko ostrojenje sa zatvorenm roesom s korštenjem tolne z nuklearnoga reaktora. Najzglednj radn medj za takve namjene je helj, koj je dealno nertn ln ma vrlo ogodna termofzkalna svojstva (tabla.). Helj ma svojstva malog orečnog resjeka za hvatanje neutrona, tako da se ne aktvra zlaganjem nuklearnom zračenju u nuklearnom reaktoru. Ova čnjena nam omogućuje da se zvedu ne revše složena ostrojenja s relatvno nskom jenom. Shema deje jednoga takvog ostrojenja rkazana je na sl.6 za nuklearnu elektranu snage MW sa zatvorenm roesom s heljem. Helj se u reaktoru A zagrjava na temeraturu od 8 o C r tlaku 5.88 MPa odvod se u lnsku turbnu u kojoj eksandra na tlak.8 MPa temeraturu 85 o C. Pln se nakon toga odvod u regenerator R hladnjak GC u kojemu se hlad na temeraturu od 5

27 o C. Ohlađen helj se r tlaku.8 MPa vod u rv nskotlačn komresor, međuhladnjak, a u drug komresor s međuhlađenjem konačno treć komresor. Helj se sada od tlakom 6. MPa na temeratur od o C odvod u regenerator R u kojemu će se zagrjat na 6 o C dalje se odvod u reaktor A. 9 Slka.6 Zatvoren roes lnske turbne u nuklearnoj elektran snage MW Ovsno o snaz arametrma lna, lnsku turbnu sa zatvorenm roesom možemo zvest s jednm l vše vratla. Varjanta s dva vratla se može zvest s vše kućšta turbne. Vsokotlačna turbna tada služ za ogon vsokotlačnh komresora, a nskotlačna turbna ogon nskotlačne komresore generator. Snaga za jednu lnsku turbnu u takvom ostrojenju može bt do - 5 MW. Očekuje se da b stuanj djelovanja mogao bt el -%, a u nekm slučajevma može dosegnut 6-9% r relatvno nskm temeraturama lna od 8 o C. Za stu snagu nuklearne elektrane ostrojenje s lnskom turbnom može bt mnogo manjh dmenzja od arnoturbnskog ostrojenja. Potrošnja rashladne vode u nuklearnoj elektran s lnskom turbnom u zatvorenom roesu je do uta manja nego za arnoturbnsko ostrojenje. Voda nakon hlađenja lna ma vsoku temeraturu (5 o C) može se efkasno korstt za otrebe grjanja ne utječe na stuanj djelovanja roesa. Praktčne zvedbe nuklearnh elektrana sa zatvorenm roesom lnskom turbnom još uvjek su suočene s brojnm nerješenm roblemma. Jedan od njh je na rmjer u tome kako garantrat otrebnu ouzdanost rada kako srječt otun gubtak helja z sustava..9 Kombnrana ostrojenja lnske arne turbne Plnskoturbnska ostrojenja maju karakterstčno velk rotok sušnh lnova s vrlo vsokom temeraturom od do 55 o C. olna th sušnh lnova može se korstt u utlzajskom kotlu za rozvodnju zasćene regrjane are nskh arametara koja se može korstt kao roesna ara l u kotlovma za rremu vrele vode sa zagrjavanjem do 5 o C l vše. Pored toga, može se korstt tolna koju je voda okula na sebe hlađenjem zraka u međuhladnjama. Kod lnskh turbna s regenerajom, generator are koj korst otadnu tolnu sušnh lnova ugrađuje se odmah nakon regeneratora. Dodavanje th utlzajskh kotlova ovećava gubtke strujanja na utu lnova mogu smanjt efektvn stuanj djelovanja roesa za rblžno - %. reba nam sto tako bt jasno da ov omoćn uređaj oskuljuju ostrojenje ovećavaju njegovu nvestjsku jenu. Zbog toga je otrebno roblem korštenja utlzajskh kotlova l zagrjača vode rješt za ojedne slučajeve rmjenom tehnčko-ekonomske analze uz uzmanje u obzr svh otrebnh utjeajnh faktora. U lnskm turbnama sa zatvorenm roesom, ulogu zagrjača vode maju hladnja zraka (vd oglavlje.7). Ova jedna ostrojenja ne ovećava nt gubtke strujanja nt katalna ulaganja, tako da se uvjek slat. Prmjena utlzajskh kotlova kod lnskh turbna je moguća u rnu za blo koj rasored elektrčnh oterećenja (osnovno, olu-vršno uno vršno). Utlzajsk kotao treba radt na odgovarajuć načn r:. čstom režmu utlzaje, tj. bez dodatnog loženja generatora are,. u režmu s dodatnm loženjem, tako da se u struju sušnh lnova dodaje gorvo koje se zgaranjem veže na slobodn ksk uz oslobađanje dodatne tolne,

ENERGETSKI SUSTAVI S PLINSKIM PROCESOM

ENERGETSKI SUSTAVI S PLINSKIM PROCESOM ENERGESI SUSAVI Poglavlje: Prof. dr. sc. Z. Prelec, dl. ng. Lst: ENERGESI SUSAVI S PLINSIM PROCESOM JOULE - BRAYON-OV RUŽNI PROCES Otvoren lns roces Zatvoren lns roces -v djagram dealna rocesa -s djagram

Διαβάστε περισσότερα

4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem

4. Perspektiviteti i perspektivne figure. Desarguesov teorem 4 Persektvtet ersektvne fgure Desarguesov teorem Promatrajmo rojektvnu ravnnu kao oeratvn rostor u njoj nz točaka ramen ravaca ( ) s vrhom, r čemu točka ne lež na ravcu ( ) na nosocu Jednoznačno obostrano

Διαβάστε περισσότερα

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK

F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

1. UVOD. Razvijeni pogled za presjek A-A

1. UVOD. Razvijeni pogled za presjek A-A . UVOD. Povjesn razvoj parnh turbna Prv prototp aksjalne akjske parne turbne s jednm stupnjem s dvergentnm sapnama (slka.) predložo je 883. godne švedsk nženjer matematčar Gustaf de Laval. U ovoj turbn

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKI STROJEVI I. Volumetrijski strojevi

TOPLINSKI STROJEVI I. Volumetrijski strojevi Sveučlšte u Rjec ehnčk fakultet OPLINSKI SROJEVI I Volumetrjsk strojev Vladmr Medca (odloge za studente) 006. II PREDGOVOR Ovaj je radn materjal nastao kao odloga za kolegj olnsk strojev I na stručnom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE FIZIKALNE KEMIJE

OSNOVE FIZIKALNE KEMIJE OSNOVE FIZIKALNE KEMIJE PREDAVANJA Za smjerove: Cjelovt reddlomsk dlomsk studj bologje kemje Preddlomsk studj bologje Preddlomsk studj molekularne bologje Preddlomsk studj znanost o okolšu V. Tomšć, T.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave THNIČKI FAKUTT SVUČIIŠTA U IJI Zavod za elekroenergek Sdj: Preddplomsk srčn sdj elekroehnke Kolegj: Osnove elekroehnke II Noselj kolegja: v. pred. mr.sc. Branka Dobraš, dpl. ng. el. Prjelazne pojave Osnove

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: U režimu praznog hoda generatora: I 1 0. Kako je unutrašnja otpornost generatora: R 0, biće: E U 1 100V. Kada se priključi otpornik:

Rešenje: U režimu praznog hoda generatora: I 1 0. Kako je unutrašnja otpornost generatora: R 0, biće: E U 1 100V. Kada se priključi otpornik: . r raznom hodu eneratora zmeren je naon od 00 na njeovm rključcma. Kada se rključ otornk od k naon adne na 50. Odredt struje u oba slučaja, ems unutrašnju otornost eneratora. ešenje: režmu razno hoda

Διαβάστε περισσότερα

1. Molekularna svojstva čistih tvari i smjesa

1. Molekularna svojstva čistih tvari i smjesa . Molekularna svojstva čsth tvar smjesa . Treba zračunat molarnu masu lnske smjese koja se sastoj od 6 molova metana (CH 4 ), mola etana (C H 6 ) mola roana (C H 8 ). Kolka je masa navedene kolčne lna?

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

( ) Φ = Hɺ Hɺ. 1. zadatak

( ) Φ = Hɺ Hɺ. 1. zadatak 7.vježba iz ermodiamike rješeja zadataka. zadatak Komresor usisava 30 m 3 /mi zraka staja 35 o C i 4 bar te ga o ravotežoj romjei staja v kost. komrimira a tlak 8 bar. Komresor se hladi vodom koja tijekom

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Izbor prenosnih odnosa teretnog vozila - primer

Izbor prenosnih odnosa teretnog vozila - primer FTN No Sad Katedra za motore ozla Teorja kretanja drumskh ozla Izbor prenosnh odnosa Izbor prenosnh odnosa teretnog ozla - prmer ata je karakterstka dzel motora MG OM 906 LA (Izor: http://www.dmg-dusburg.de/html/d_c_om906la.html)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1 bar (-197 C) Sl Područja primjene plinskog i parnog rashladnog procesa Parni rashladni proces s jednostupanjskom kompresijom

1 bar (-197 C) Sl Područja primjene plinskog i parnog rashladnog procesa Parni rashladni proces s jednostupanjskom kompresijom .. ARNI RASHLADNI ROCESI Korištenjem višesteene komresije i eksanzije mogli smo ribližiti Jouleov roces Carnotovu rocesu. eđutim, kod zraka kao radne tvari, roces se odvija daleko u regrijanom odručju.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE

TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE (Generatori are) List: TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE Generator are je energetski uređaj u kojemu se u sklou Clausius-Rankineova kružnog rocesa redaje tolina

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu. Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM . METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM. METODA BISEKCIJE.. METODA Nakon početnog stražvanja unkcje poznat su nam Kako može zgledat na ntervalu [ l, d ]? <

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi

=1), što znači da će duljina cijevi L odgovarati kritičnoj duljini Lkr. koji vlada u ulaznom presjeku, tako da vrijedi Primjer. Zrak (R=87 J/(kg K), κ=,4) se iz atmosfere ( =, bar, T =88 K) usisava oz cijev romjera D = mm, duljine L = m, rema slici. Treba odrediti maksimalno mogući maseni rotok m max oz cijev uz retostavku

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Hamilton-Jacobijeva jednadžba

Hamilton-Jacobijeva jednadžba Klasčna mehanka 2 p. 1/26 Hamlton-Jacobjeva jednadžba - faznm portretom u blo kojem vremenskom trenutku odre den je fazn portret u svm ranjm kasnjm vremenma - svaka točka faznog portreta prpada odre denoj

Διαβάστε περισσότερα

10.1. Bit Error Rate Test

10.1. Bit Error Rate Test .. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni sklopovi pojačala sa bipolarnim tranzistorom

Osnovni sklopovi pojačala sa bipolarnim tranzistorom Osnovn sklopov pojačala sa bpolarnm tranzstorom Prrodno-matematčk fakultet u Nšu Departman za fzku dr Dejan S. Aleksd Elektronka dr Dejan S. Aleksd Elektronka - Pojačavač polarn tranzstor kao pojačavač

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA FIZIKA I

INŽENJERSKA FIZIKA I ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I 7.1 Zvuk Zvuk je osjećaj koj otče od mehančkh osclacja koje rma uho a regstrra mozak. U zc od zvukom odrazumjevamo sve ojave vezane za mehančke osclacje

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

5. PRIJENOS TOPLINE IZMEĐU RASHLADNOG UREĐAJA I HLADIONICE

5. PRIJENOS TOPLINE IZMEĐU RASHLADNOG UREĐAJA I HLADIONICE EHNIKA HAĐENJA 5. PRIJENOS OPINE IZMEĐU RASHADNOG UREĐAJA I HADIONICE 5.1. HAĐENJE S NEPOSREDNIM ISPARIVANJEM Kod neosrednog je hlađenja hladnjak zraka izveden kao isarivač rashladnog uređaja. Isarivač

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM OGON SA ASNHRON OTORO oučavaćemo amo ogone a tofaznim motoom. Najčešće koišćeni ogon. Ainhoni moto: - ota kontukcija; - jeftin; - efikaan. ETALN RSTEN LANRANO JEZGRO BAKARNE ŠKE KAVEZN ROTOR NAOTAJ LANRANO

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα