Άσκηση 1 η ( x 2) 2. i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = 0. ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = 2 2 [ 3 8 ( 3) ]

Transcript

1 ά ς w w w.e - m at hs.g r ά έ ί ς ά ά έ ά ς ί ά

2 Άσκηση 1 η i) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, αν χ = ( x 2) 2 x 1 x x 1 x 2 ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β, αν χ = x 4 x 3 x 2 x 1 iii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Γ = [ 3 8 ( 3) ] iv) Να λυθεί η εξίσωση 5 x

3 Άσκηση 2 η Α. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 2x 2x ii) iii) iv) 3 ( x 1) 2 ( x 1) x 4 3 3(2x 4) 5(3x 1) x 7 1 x 1 x

4 Άσκηση 3 η Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 8x 2(3x 1) 10 ii) x 4 3 x x Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών. Γ. Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων

5 Άσκηση 4 η Α. Να λύσετε την εξίσωση: 3( x 1) 5 x 3 x ( x 1) x 1 Β. Να λύσετε την ανίσωση: 1 x x και να εξετάσετε αν η 3 5 λύση της εξίσωσης του Α ερωτήματος είναι λύση της ανίσωσης. Γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις της παραπάνω ανίσωσης και της ανίσωσης 2x 1 2x και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών. 4

6 Άσκηση 5 η Σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα, να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i) 2x 5 7 και 3( x 2) 4 5x 6 ii) iii) και 2( 1) ( 1) 3 και ( 2) 1 k k k k k k 3 3 t 2 t 5 2( t 1)

7 Άσκηση 6 η Δίνονται οι αριθμοί: x y z i) Να υπολογίσετε τους αριθμούς x,y,z x y z 3 x y z ii) Να υπολογίσετε την παράσταση Α =

8 Άσκηση 7 η Α. Να γράψετε σε πιο απλή μορφή τις παραστάσεις: Β. Να υπολογίσετε την παράσταση

9 Άσκηση 8 η Δίνεται η ευθεία ε που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x -3. A. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι παράλληλη προς την ε και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(2,1), Β(1,2) ανήκουν στην ευθεία ζ. Γ. Αν το σημείο Μ(-3,α) ανήκει στην ευθεία ζ, να βρείτε το α. Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΟΚΜΛ, που σχηματίζεται από τους δύο άξονες και τις κάθετες που φέρνουμε από το σημείο Μ προς τους άξονες. 8

10 Άσκηση 9 η Ο Γιώργος έχει ένα συμβόλαιο καρτοκινητής τηλεφωνίας σε μία εταιρία Α και πληρώνει 0,03 ανά λεπτό ομιλίας. Ο Νίκος έχει ένα συμβόλαιο κινητής τηλεφωνίας σε μία εταιρία Β και πληρώνει 4 πάγιο κάθε μήνα και για κάθε λεπτό που μιλάει 0,01. Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες τιμών: Ο Γιώργος πληρώνει: Χρόνος σε λεπτά Κόστος σε Ο Νίκος πληρώνει: Χρόνος σε λεπτά Κόστος σε Β. Να βρεθούν οι δύο συναρτήσεις που συνδέουν το κόστος ομιλίας (y σε ) με τα λεπτά ομιλίας (x) που μιλάει κάθε μήνα o Γιώργος και ο Νίκος. Γ. Να γίνει η γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων. Δ. Σε ποια περίπτωση συμφέρει κάποιον να διαλέξει την εταιρία Α και σε ποια την εταιρία Β; 9

11 Άσκηση 10 η Με βάση το διπλανό σχήμα, να βρείτε: A. Τι είδους τετράπλευρο είναι το ΑΒΓΔ και τις συντεταγμένες των κορυφών του. B. Την περίμετρο και το εμβαδό του ΑΒΓΔ. Γ. Την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται η πλευρά ΑΔ. Δ. Τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές ΑΒ και ΒΓ

12 Άσκηση 11 η Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης, που συνδέει τα (y) κυβικά μέτρα νερού που τροφοδοτεί ένα βυτιοφόρο μια δεξαμενή, με το χρόνο (x) σε λεπτά που χρειάζεται για να τη γεμίσει. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Α. Ποια ήταν η αρχική ποσότητα νερού που περιείχε η δεξαμενή; Β. Πόσος χρόνος (λεπτά) χρειάστηκε για να γεμίσει η δεξαμενή και με ποια επιπλέον ποσότητα νερού (κυβικά μέτρα); Γ. Σε πόσο χρόνο γέμισε η μισή δεξαμενή; Δ. Να βρεθεί η συνάρτηση της παρακάτω γραφικής παράστασης. 11

13 Άσκηση 12 η Δίνεται σημείο λ+3 λ-2 A 2, 4 2λ 2 3. Α. Για ποιες τιμές του λ το σημείο Α βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο; Β. Για ποιες τιμές του λ το σημείο Α βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο; Γ. Υπάρχει τιμή για το λ ώστε το σημείο Α να βρίσκεται στην αρχή Ο των αξόνων;

14 Άσκηση 13 η Δίνεται σημείο Γ(1,-6) Α. Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Γ ως προς τον άξονα x x Β. Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Γ ως προς τον άξονα y y Γ. Δίνεται το σημείο Δ λ+1 λ-1,2μ 6. Για ποια τιμή των λ, μ το Δ είναι 4 2 συμμετρικό του Γ ως προς την αρχή των αξόνων;... 13

15 Άσκηση 14 η Στο παρακάτω διάγραμμα η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 30 ο Α. Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε και να γράψετε την εξίσωση της. Β. Μια δεύτερη ευθεία ζ η οποία είναι παράλληλη στην ε, τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,4). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ. Γ. Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνει η ευθεία ζ τον άξονα x x. Δ. Να ελέγξετε κατά πόσο το σημείο Κ 3,5 είναι σημείο της ευθείας ζ. 14

16 Άσκηση 15 η Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ Α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α,Β,Γ,Δ και στη συνέχεια να υπολογίσετε την περίμετρο του. Β. Να βρείτε το ύψος τους τραπεζίου ΔΕ και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδό του. Γ. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω Δ. Να αποδείξετε τη σχέση (ΑΒΓΔ)=3(ΑΓΔ) Ε. Να υπολογίσετε το ύψος ΕΖ του τριγώνου ΕΓΔ 15

17 Άσκηση 16 η 3λ-1 Α. Δίνεται ευθεία ε με εξίσωση y x λ+3. Αν η ευθεία ε διέρχεται 2 από το σημείο Α(-1,5) να βρείτε το λ. Β. Για λ = -1 να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε και στη συνέχεια να κάνετε τη γραφική της παράσταση. Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δ. Αν Α, Β είναι τα σημεία στα οποία η ευθεία ε τέμνει τους άξονες x x και y y αντίστοιχα, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. 16

18 Άσκηση 17 η Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το Μ είναι μέσο του ΒΓ. Να υπολογίσετε : Α) Το ύψος ΑΕ του παραλληλογράμμου και το εμβαδό του. Β) Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΜΒ. Γ) Την παράσταση 2 2 ημ 60 εφ 3 όπου ω η γωνία Δ) Το ύψος του παραλληλογράμμου που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ. 17

19 Άσκηση 18 η Στο παρακάτω τρίγωνο να υπολογίσετε: Α. Το ύψος ΑΔ. Β. Την πλευρά ΒΓ Γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Δ. Την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ Ε. Το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΓ. 18

20 Άσκηση 19 η Στην παρακάτω εικόνα ένας άνθρωπος ύψους 1.80m στέκεται μπροστά από ένα σπίτι και βλέπει το πάνω μέρος της καμινάδας υπό γωνία 22 ο. Αν η οριζόντια απόσταση ΑΒ είναι 9m, να βρεθεί η απόσταση του πάνω μέρους της καμινάδας από το έδαφος. Δίνονται: εφ22 ο = 0.4, ημ22 ο = 0.37 και συν22 ο =

21 Άσκηση 20 η Στην παρακάτω εικόνα στέκεται ένας άνθρωπος μπροστά από ένα φωτεινό σηματοδότη(φανάρι). Α. Αν γνωρίζετε πως η ημιευθεία Γx είναι παράλληλη στην ΑΒ, να υπολογίσετε την γωνία Β Β. Αν η οριζόντια απόσταση ΑΒ του ανθρώπου από το φανάρι είναι 6m, να υπολογίσετε το ύψος του φαναριού. Γ. Αν η ακτίνα r της ρόδας στη μηχανή είναι r = 0,35m να υπολογίσετε πόσες στροφές θα κάνει κάθε ρόδα, για να καλύψει η μηχανή την απόσταση ΑΒ. Δ. Αν το λάστιχο στη ρόδα έχει φάρδος 0,1m και θέλουμε να βάψουμε το μεταλλικό τμήμα κάθε ρόδας και από τις δύο όψεις με ένα χρώμα που κοστίζει 18 / m 2, πόσα χρήματα θα πληρώσουμε; 20

22 Άσκηση 21 η Στο παρακάτω σχήμα έχουμε το τραπέζιο ΔΓΒΕ με ΔΓ//ΕΒ και για τις γωνίες ω, φ ισχύει η σχέση ω = 2φ. Αν γνωρίζουμε πως ΒΔ = 72 και υπολογίσετε: Α. Το μήκος της πλευράς ΑΔ. Β. Το μήκος της πλευράς ΕΒ. Γ. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΓΒΕ. Δ. Την περίμετρο του τραπεζίου ΔΓΒΕ. =45 ο να. 21

23 Άσκηση 22 η Στο διπλανό σχήμα δίνονται: ΒΓ = 10cm, ΑΒ = 8cm και ΑΓ = 80 ο. Να βρείτε: Α. Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Το μήκος της χορδής ΑΓ. Γ. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. Δ. Το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ... 22

24 Άσκηση 23 η Στο διπλανό σχήμα δίνονται: ΑΒΓΔ τραπέζιο με ΑΒ//ΓΔ, ΑΔ = ΒΓ = 5cm, ΑΒ = 5cm, ΒΓ = 60 ο και ΒΖ ύψος του τριγώνου ΟΒΓ. Αν γνωρίζετε ότι το Ο είναι το κέντρο του κύκλου να βρείτε: Α. Τις γωνίες του τριγώνου ΟΒΓ. Β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ. Γ. Να αποδείξετε τη σχέση (ΑΒΟΔ) = 2(ΟΒΓ) Δ. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 23

25 Άσκηση 24 η Στο διπλανό σχήμα δίνεται κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Να βρείτε: Α. Την κεντρική του γωνία. Β. Την γωνία του πενταγώνου. Γ. Να δικαιολογήσετε γιατί η διχοτόμος ΒΖ της γωνίας ΑΒΕ σχηματίζει ορθή γωνία με την ΒΓ. Δ. Να υπολογίσετε την γωνία α. 24

26 Άσκηση 25 η Ένας τεχνικός ολοκλήρωσε την τοποθέτηση της μπασκέτας όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Να απαντήσετε στα εξής ερωτήματα: Α. Αν γνωρίζουμε ότι: ΑΒ = 3m, ΒΓ = 2.25m και ΑΓ = 3,75m μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι σωστά τοποθετημένη η κολόνα της μπασκέτας, ώστε να μην γέρνει ούτε αριστερά αλλά ούτε και δεξιά; Β. Το μήκος της σκάλας είναι 2 3 m και πρέπει ο τεχνικός να την τοποθετήσει με τέτοιο τρόπο, ώστε να σχηματίζει γωνία α = 60 0 με το δάπεδο για να μην πέσει όταν θα ανέβει για να κάνει τη δουλειά του. Είναι επομένως δυνατό το πάνω μέρος της σκάλας να ακουμπήσει στο ταμπλό της μπασκέτας, ώστε να μπορέσει να ολοκληρώσει τις εργασίες του; Γ. Α καταφέρει τελικά να ανέβει στη σκάλα, ο τεχνικός θέλει να βάψει το στεφάνι και το πλαίσιο στήριξης και από τις δύο όψεις(σχήμα 1) με ένα ειδικό βερνίκι που προστατεύει το χρώμα. Αν γνωρίζουμε ότι: ΚΛ = 20cm, ΛΜ = 0,3m, R = 0,45m, ρ = 0,43m. Πόσα χρήματα πρέπει να πληρώσουμε, αν το βερνίκι κοστίσει 12 / m 2 ; σχήμα 1 25

27 26