Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
|
|
- Μυρίνη Αλεβίζος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009
2 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod v logistiki 1, Priročnik Avtor: dr. Bojana Zalar Recenzent: doc. dr. Maja Fošner CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(035)( ) ZALAR, Bojana Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 [Elektronski vir]: priročnik / Bojana Zalar. - El. knjiga. - Celje : Fakulteta za logistiko, 2009 Način dostopa (URL): http: //fl.uni-mb.si/attachments/140_prirocnik_umml1.pdf ISBN
3 Kazalo 1 Množice in števila Matematična logika Množice Naravna števila Realna števila Lastnosti realnih števil Potenca, koren, logaritem Kompleksna števila Matrike in sistemi linearnih enačb Matrike Determinante Sistemi linearnih enačb Gaussova eliminacijska metoda Rešljivost sistemov Vektorji Definicija Računanje z vektorji Seštevanje vektorjev Množenje vektorja s skalarjem, linearna kombinacija vektorjev Skalarni produkt vektorjev Vektorski produkt vektorjev Mešani produkt vektorjev Premica in ravnina v prostoru Zaporedja in vrste Preslikave Zaporedja
4 4.3 Vrste Funkcije Funkcije ene realne spremenljivke Limita Zveznost funkcij Elementarne funkcije
5 Poglavje 1 Množice in števila 1.1 Matematična logika Izjava (oznake: I, A, A 1,...) je trditev, za katero velja: je bodisi pravilna bodisi nepravilna (ni tretje možnosti), ni hkrati pravilna in nepravilna. Logična vrednost izjave je podatek o tem, ali je izjava pravilna ali nepravilna. 1 (ali p ali t) za pravilno izjavo 0 (ali n ali f) za nepravilno izjavo Izjavne povezave: 1. Ekvivalenca izjav A in B (oznaka: A B, beremo: A natanko takrat, ko B ali A, če in samo če B) je pravilna, če sta obe izjavi A in B hkrati bodisi pravilni bodisi nepravilni. Sicer je nepravilna. 2. Negacija izjave A (oznaka: Ā ali A, beremo: ne A) je pravilna natanko takrat, ko je izjava A nepravilna. 3. Konjunkcija izjav A in B (oznaka: A B, beremo: A in B) je pravilna natanko takrat, ko sta pravilni obe izjavi A in B. 5
6 4. Disjunkcija izjav A in B (oznaka: A B, beremo: A ali B) je pravilna natanko takrat, ko je pravilna vsaj ena od izjav A ali B. 5. Implikacija izjav A in B (oznaka: A B, beremo: če A, potem B ali iz A sledi B) je nepravilna natanko takrat, ko je izjava A pravilna in izjava B nepravilna. Velja: Ā A A A A A A A A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (A B) Ā B (A B) Ā B Kvantifikatorji: 1. univerzalni, beremo: za vsak 2. eksistenčni, beremo: obstaja 6
7 1.2 Množice Množica je zbirka objektov (elementov množice), ki imajo določeno (skupno) lastnost. Oznake: A, B,... oznake za množice (velike črke) x A beremo: x pripada A ali A vsabuje x ali x je element množice A x / A beremo: x ne pripada A U univerzalna množica - vsebuje vse elemente, ki jih obravnavamo {} ali prazna množica Podajanje množic: z naštevanjem elementov, ki so v množici, na primer A = {a, b, 1} s predpisom, ki mu elementi množice ustrezajo, na primer A = {x U; x ustreza pogoju P } Podmnožica, enakost množic: A B A je podmnožica množice B Vsak element množice A je tudi element množice B. x : x A x B A B A je prava podmnožica množice B Velja A B in obstaja element množice B, ki ni element množice A. A B in x : x B x / A A = B množici A in B sta enaki Množici imata iste elemente oziroma velja hkrati A B in B A. Potenčna množica množice A (oznaka P (A)) je množica, katere elementi so vse podmnožice množice A. 7
8 Operacije z množicami: 1. unija: A B = {x U; x A ali x B} 2. presek: A B = {x U; x A in x B} 3. razlika: A B = {x U; x A in x / B} 4. komplement: A C = {x U; x / A} 5. kartezični produkt: A B = {(x, y); x A, y B} Lastnosti operacij: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = A C B C (A B) C = A C B C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Številske množice: 1. N = {1, 2, 3,...} množica naravnih števil Je zaprta za seštevanje in množenje. 2. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} množica celih števil Je zaprta za seštevanje, odštevanje in množenje. 3. Q = { a ; a, b Z} množica racionalnih števil števil, ki jih lahko zapišemo kot ulomek b Je zaprta za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje z neničelnim številom. 4. R množica realnih števil števil, ki jih lahko zapišemo kot neskončno decimalno število Je zaprta za seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje z neničelnim številom in korenjenje pozitivnih števil. 8
9 5. C = {a + ib; a, b R} množica kompleksnih števil števil, ki jih lahko zapišemo kot urejeni par realnih števil Je zaprta za seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje z neničelnim številom in korenjenje. Velja: N Z Q R C 9
10 1.3 Naravna števila Naravna števila lahko uredimo po vrsti, z njimi štejemo. Obstaja prvo naravno število število 1. Vsako naravno število n ima naslednika n + 1. Princip matematične indukcije: Radi bi dokazali, da neka lastnost (lastnost P ) velja za vsa naravna števila. 1. Preverimo, da lastnost velja za število 1 (velja P (1)). 2. Predpostavimo, da lastnost velja za neko naravno število n (velja P (n)). 3. Dokažemo, da iz veljavnosti za naravno število n sledi veljavnost za n+1 (velja P (n) velja P (n + 1)). Potem ta lastnost velja za vsa naravna števila. Zapis vsote: i=n i=1 i = n = n(n+1) 2 i=n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n 10
11 1.4 Realna števila Lastnosti realnih števil Upodobitev realnih števil: Narišemo premico. Na premici izberemo dve različni točki: točko 0 in točko 1. (Navadno izberemo točko 1 desno od točke 0.) Potem velja: vsakemu realnemu številu pripada natanko določena točka na premici in obratno. Števila, ki ležijo na isti strani števila 0 kot število 1, so pozitivna števila (oznaka R + ). Števila, ki ležijo na drugi strani števila 0 kot število 1, so negativna števila (oznaka R ). Opomba: Število 0 ni ne pozitivno ne negativno. Urejenost realnih števil: Relacija neenakosti ali ureditve a b: a b b a nenegativno število a < b b a pozitivno število a b a b nenegativno število a > b a b pozitivno število Lastnosti relacije a b: 1. a, b R a b ali b a 2. a a 11
12 3. a b in b a a = b 4. a b in b c a c 5. a b a + c b + c, c R 6. a b in c > 0 ac bc 7. a b in c < 0 ac bc Opomba: Lastnosti 5, 6 in 7 uporabljamo pri reševanju neenačb. Gostost racionalnih števil: Racionalna števila so povsod gosta: med dvema poljubnima različnima racionalnima številoma leži vsaj še eno racionalno število. Omejenost podmnožic realnih števil: 1. Množica A R je navzgor omejena, če obstaja število M R, da velja x M za vse x A, navzdol omejena, če obstaja število m R, da velja x m za vse x A. 2. Vsako število M, za katerega velja x M za vse x A, je zgornja meja množice A. Vsako število m, za katerega velja x m za vse x A, je spodnja meja množice A. 3. Natančna zgornja meja množice A ali supremum množice A (oznaka sup{a}) je najmanjša zgornja meja množice A. Drugače: M = sup{a} in M je zgornja meja množice A M M Natančna spodnja meja množice A ali infimum množice A (oznaka inf{a}) je največja spodnja meja množice A. Drugače: m = inf{a} in m je spodnja meja množice A m m 4. Če sup{a} A, potem ga imenujemo maksimum množice A (oznaka max{a}). Če inf{a} A, potem ga imenujemo minimum množice A (oznaka min{a}). 12
13 Polnost množice realnih števil: Vsaka navzgor omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo. Vsaka navzdol omejena množica realnih števil ima natančno spodnjo mejo. Intervali: [a, b] = {x R; a x b} zaprt interval (a, b) = {x R; a < x < b} odprt interval (a, b] = {x R; a < x b} polodprt interval [a, b) = {x R; a x < b} polodprt interval (a, ) = {x R; a < x} odprt navzgor neomejen interval [a, ) = {x R; a x} zaprt navzgor neomejen interval (, b) = {x R; x < b} odprt navzdol neomejen interval (, b] = {x R; x b} zaprt navzdol neomejen interval (, ) = R (a ɛ, a + ɛ), ɛ > 0 ɛ-okolica števila a Absolutna vrednost realnega števila: { a; a 0 a = a; a < 0. Število a predstavlja oddaljenost števila a od izhodišča 0, število a b predstavlja oddaljenost števila a od števila b, torej razdaljo med številoma a in b. Lastnosti absolutne vrednosti: 1. a 0, a = 0 a = 0 2. a = a 13
14 3. a a a 4. ab = a b 5. a + b a + b Potenca, koren, logaritem Potenca: n, m N, q Q, r R potenca z naravnim eksponentom a R: a n = a a a }{{} n imenovanje: a osnova, n eksponent, a n potenca potenca s celim eksponentom a R {0}: a n = 1 a n a 0 = 1 koren a > 0: n a = a 1 n = b, b n = a imenovanje: a radikand, n korenski eksponent, n a n-ti koren potenca z racionalnim eksponentom a > 0: a q = a n m = (a 1 m ) n = (a n ) 1 m = m a n, če q = n m potenca z realnim eksponentom a > 0: a r a q, če r q 14
15 Pravila za računanje s potencami: a, b > 0, r, s R 1. a r a s = a r+s 2. a r a s = a r s 3. (a r ) s = a rs 4. a r b r = (ab) r 5. a r b r = ( a b )r Logaritem: Naj velja a x = b, a > 0, a 1, x R. Potem 1. b je potenca a 2. a je koren b 3. x je logaritem b pri osnovi a: x = log a b a = 10, Briggsov logaritem, oznaka log b a = e, Napierjev (naravni) logaritem, oznaka ln b Pravila za računanje z logaritmi: 1. log a (xy) = log a x + log a y 2. log a ( x y ) = log a x log a y 3. log a (x r ) = r log a x 4. log a ( n x) = 1 n log a x 5. log b (x) = 1 log a b log a x Opomba: Pogoj za veljavnost posameznega pravila je obstoj vseh v njem nastopajočih logaritmov. 15
16 1.5 Kompleksna števila Definicija: Imaginarna enota i je kvadratni koren iz števila 1: i = 1. Velja: i, i sta rešitvi enačbe x = 0 i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i,... Definicija: Kompleksno število je število oblike z = a + ib, kjer sta a in b realni števili. a realni del kompleksnega števila z, oznaka Re(z) = a b imaginarni del kompleksnega števila z, oznaka Im(z) = b Torej: C = {a + ib; a, b R} Oznake: z, u, v, w,... Geometrijska upodobitev kompleksnih števil: Kompleksno število z = a + ib upodobimo v ravnini (kompleksna ravnina) kot točko s koordinatama a (realna os) in b (imaginarna os). Računanje s kompleksnimi števili: Naj bosta dani kompleksni števili z = a + ib in w = c + id. 1. seštevanje, odštevanje: z ± w = (a ± c) + i(b ± d) 2. množenje: z w = (ac bd) + i(bc + ad) Kompleksna števila množimo kot dvočlenike. 3. deljenje: z = a+ib c id = (ac+bd)+i(bc ad) w c+id c id c 2 +d 2 Definicija: Konjugirana vrednost kompleksnega števila z = a + ib je kompleksno število z = a ib. 16
17 Lastnosti konjugiranja: 1. z = z 2. z ± w = z ± w 3. z w = z w 4. ( z w ) = z w Definicija: Absolutna vrednost kompleksnega števila z = a + ib je z = z z = a 2 + b 2. Število z je razdalja med številom z in izhodiščem številom 0. Število z w je razdalja med številoma z in w. Lastnosti absolutne vrednosti: 1. z 0, z = 0 z = 0 2. z w = z w 3. z w = z w 4. Re(z) z, Im(z) z 5. z + w z + w Polarni zapis kompleksnega števila: Kompleksno število z = a + ib (podano s koordinatama a in b) predstavimo v kompleksni ravnini s podatkoma: r oddaljenostjo števila z od izhodišča (r = z ), ϕ kotom med pozitivnim delom realne osi in poltrakom iz izhodišča, na katerem leži število z (oznaka ϕ = arg(z)). Povezava med zapisoma: 1. Kompleksno število z naj bo podano z absolutno vrednostjo r in kotom ϕ. Potem: Re(z) = a = r cos ϕ 17
18 Im(z) = b = r sin ϕ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) 2. Kompleksno število z naj bo podano s koordinatama z = a + ib. Potem: r = z = a 2 + b 2 arctg b ; a ϕ = π ; 2 arctg b + π; a 3π 2 ; arctg b a + 2π; za a > 0 in b 0 (prvi kvadrant) za a = 0 in b > 0 za a < 0 (drugi in tretji kvadrant) za a = 0 in b < 0 za a > 0 in b < 0 (četrti kvadrant) Množenje v polarnem zapisu: Naj bosta dani kompleksni števili z = z (cos α + i sin α) in w = w (cos β + i sin β). z w = z w (cos(α + β) + i(sin(α + β)) z n = z n (cos(nα) + i sin(nα)) z = z (cos(α β) + i(sin(α β)) w w Množenje števila z s številom (cos ϕ + i sin ϕ) predstavlja rotacijo števila z za kot ϕ okoli izhodišča. Reševanje enačbe z n = w: Število w zapišemo v polarni obliki: w = w (cos ϕ + i sin ϕ). n rešitev enačbe ima obliko z k = n w (cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1. n 18
19 Poglavje 2 Matrike in sistemi linearnih enačb 2.1 Matrike Definicija: Matrika velikosti m n (ali m n matrika) je tabela števil (členov matrike) z m vrsticami in n stolpci A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn. Krajše (če členov ne izpisujemo): A = [a ij ] ali A = [a ij ] m n Vrstica je matrika velikosti 1 n [a 1, a 2,, a n ]. Stolpec je matrika velikosti m 1 A = a 1 a 2. a m. 19
20 Ničelna matrika (oznaka 0) je matrika, katere členi so vsi enaki =... = [0] m n Kvadratna matrika je matrika z enakim številom vrstic in stolpcev m = n. Diagonalna matrika je kvadratna matrika z ničelnimi členi izven glavne diagonale d d 2 0 D = d n Enotska matrika (oznaka I ali I n ) je diagonalna matrika z enicami na glavni diagonali I = Gornjetrikotna matrika je kvadratna matrika z ničlami pod glavno diagonalo a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A = a nn Spodnjetrikotna matrika je kvadratna matrika z ničlami nad glavno diagonalo. Matriki A in B sta enaki, če sta iste velikosti in imata iste člene. 20
21 Računske operacije z matrikami: 1. Transponiranje: Transponirano matriko matrike A (oznaka A T ) dobimo tako, da j-ta vrstica matrike A postane j-ti stolpec matrike A T. Če je A m n matrika, potem je A T n m matrika. V primeru kvadratne matrike je transponiranje zrcaljenje preko glavne diagonale. (Diagonalni členi ostanejo.) 2. Produkt števila in matrike: Naj bo A = [a ij ] m n in α R. Potem je αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa = [αa ij ] m n =.... αa m1 αa m2 αa mn (Vsak člen matrike množimo z α.) 3. Vsota in razlika matrik: Naj bo A = [a ij ] m n in B = [b ij ] m n (A in B morata biti iste velikosti). Potem je A ± B = [a ij ± b ij ] m n. (Seštejemo (odštejemo) istoležne člene.) 4. Skalarni produkt vrstice A = [a 1, a 2,, a n ] in stolpca B = b 1 b 2. je število A B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n. b n (Vrstica A in stolpec B morata imeti isto število členov.) 5. Množenje matrik: Matriki A = [a ij ] m n in B = [b ij ] n p lahko zmnožimo (A B, v tem vrstnem redu), če ima A toliko stolpcev kot ima B vrstic. Produkt C = A B (ali AB) je matrika velikosti m p. (Produkt ima toliko vrstic kot matrika A in toliko stolpcev kot matrika B.) Člen na sečišču i-te vrstice in j-tega stolpca v produktu naj bo c ij. Velja: c ij je skalarni produkt i-te vrstice matrike A in j-tega stolpca matrike B. Definicija: Kvadratna matrika A je simetrična, če velja A = A T. 21
22 Kvadratna matrika A je poševno simetrična, če velja A = A T. Velja: Vsako kvadratno matriko A lahko zapišemo kot vsoto simetrične (A S ) in poševno simetrične (A P ) matrike: A = A S + A P, kjer sta A S = A+AT in 2 A P = A AT. 2 Opombe: V splošnem AB BA, tudi če oba produkta obstajata. Lahko se zgodi, da A 0 in A 2 = 0. Pri matrikah v splošnem ne velja pravilo krajšanja: če AB = AC, ni nujno B = C. Lastnosti računskih operacij: A + B = B + A AB BA (v splošnem) (A + B) + C = A + (B + C) (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T AI = IA = A Pri kvadratnih matrikah je enotska matrika enota za množenje. Definicija: Inverzna matrika (obratna matrika) matrike A (oznaka A 1 ) je takšna matrika, za katero velja AA 1 = A 1 A = I. Opomba: inverzno matriko imajo lahko samo kvadratne matrike. 22
23 2.2 Determinante Definicija: [ ] a11 a Determinanta 2 2 matrike A = 12 (oznaka det A ali det(a)) a 21 a 22 je število det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Determinanta 3 3 matrike A = det A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 je število = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12. Oznake: A(i, j) podmatrika matrike A z odstranjenima i-to vrstico in j-tim stolpcem D ij = det A(i, j) poddeterminanta S temi oznakami je determinanta 3 3 matrike enaka det A = a 11 D 11 a 12 D 12 + a 13 D 13. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Determinanta n n matrike A = je število... a n1 a n2 a nn det A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn To je razvoj determinante po prvi vrstici. = a 11 D 11 a 12 D 12 +a 13 D 13 +( 1) n+1 a 1n D 1n. 23
24 Velja: Determinanto lahko razvijemo po katerikoli vrstici (na primer i-ti) det A = ( 1) i+1 a i1 D i1 + ( 1) i+2 a i2 D i2 + + ( 1) i+n a in D in ali stolpcu (na primer j-tem) det A = ( 1) 1+j a 1j D 1j + ( 1) 2+j a 2j D 2j + + ( 1) n+j a nj D nj. Opomba: Izberemo tisto vrstico oziroma stolpec, kjer je največ ničel. Determinanta trikotne matrike je enaka produktu diagonalnih členov. det A T = det A Lastnosti determinante: 1. Če v matriki zamenjamo dve vrstici (stolpca), determinanta spremeni predznak. 2. Če sta v matriki dve vrstici (stolpca) enaki, je determinanta enaka Če v matriki eno vrstico (stolpec) množimo s številom α, pridobi determinanta faktor α. 4. det(αa) = α n det A 5. Če je ena vrstica matrike (na primer i-ta) zapisana kot vsota, potem velja... a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in = a i1 a i2 a in b i1 b i2 b in.... Enako velja za stolpce. 6. Če neki vrstici prištejemo poljuben večkratnik druge vrstice, se determinanta ne spremeni. Enako velja za stolpce. 7. det(ab) = det A det B 24
25 Izrek: Naj bo A kvadratna n n matrika. Obratna matrika A 1 obstaja natanko takrat ko je det A 0. Dana je s formulo A 1 = 1 det A D 11 D 12 D 13 ( 1) 1+n D 1n D 21 D 22 D 23 ( 1) 2+n D 2n.... ( 1) n+1 D n1 ( 1) n+2 D n2 ( 1) n+3 D n3 D nn kjer so D ij (n 1) (n 1) poddeterminante. Definicija: Kvadratna matrika A je regularna ali obrnljiva, če obstaja A 1. Sicer je singularna. Velja: (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 T, Matrične enačbe: Naj bosta dani obrnljiva n n matrika A in matrika B. Iz danih enačb izračunamo neznano matriko X: AX = B X = A 1 B Da je naloga rešljiva, mora imeti matrika B n vrstic. Velikost matrike X je enaka velikosti matrike B. XA = B X = BA 1 Da je naloga rešljiva, mora imeti matrika B n stolpcev. Velikost matrike X je enaka velikosti matrike B. 25
26 2.3 Sistemi linearnih enačb Gaussova eliminacijska metoda Sistem m linearnih enačb z n neznankami x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. V matrični obliki: Ax = b, kjer je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn velikosti m n, matrika koeficientov sistema, x = b = x 1 x 2. x n b 1 b 2. b m stolpec n neznank in stolpec m desnih strani sistema. Rešiti sistem: pomeni poiskati vse n-terice števil (x 1, x 2,..., x n ), ki ustrezajo danim m enačbam. 26
27 1. Če je A kvadratna matrika m = n in det A 0, potem x = A 1 b. n-terica števil oziroma stolpec x je natanko določen. 2. Če gornje ni izpolnjeno (A ni kvadratna ali det A = 0), ima sistem lahko eno (natanko določeno) rešitev (določen sistem), nobene rešitve (protisloven sistem), neskončno rešitev (nedoločen sistem). Iščemo metodo za reševanje sistemov enačb, ki je bolj ekonomična od računanja obratne matrike (v prvem primeru), splošnejša rešitev dobimo tudi v drugem primeru. Ekvivalentna sistema linearnih enačb imata bodisi iste rešitve bodisi sta oba nerešljiva. V postopku reševanja sistema poiščemo danemu sistemu čim preprostejši ekvivalentni sistem, to je trikotni sistem. Matrika (ne nujno kvadratna) takšnega sistema ima ničle pod glavno diagonalo. Z naslednjimi operacijami dobimo ekvivalentni sistem: zamenjava vrstnega reda enačb, množenje (deljenje) neke enačbe sistema z neničelnim številom, prištevanje ene enačbe drugi. Gaussova eliminacijska metoda je formalizacija gornjega postopka. Oznake: A matrika (koeficientov) sistema R = [A b] razširjena matrika sistema Gaussova eliminacija vsebuje (po potrebi): zamenjavo vrstic matrike R, množenje posamezne vrstice matrike R z neničelnim številom, 27
28 prištevanje večkratnika ene vrstice matrike R drugi tako, da ima dobljena matrika pod glavno diagonalo ničle. Dobljena trikotna matrika je razširjena matrika iskanega ekvivalentnega sistema Rešljivost sistemov Rang matrike A (oznaka rang A) je maksimalno število neničelnih vrstic, ki jih dobimo z Gaussovo eliminacijsko metodo. Če je A m n matrika, je rang A min{m, n}. Izrek: Naj bo Ax = b sistem m enačb z n neznankami. R = [A b] razširjena matrika tega sistema. Potem velja: 1. sistem Ax = b je rešljiv rang A = rang R Nadalje naj bo 2. sistem Ax = b je enolično rešljiv rang A = rang R = n 3. rang A = rang R = r < n sistem Ax = b ima neskončno rešitev Pri tem lahko (n r) neznank lahko poljubno izberemo, r = rang A neznank je z njimi natanko določenih; rešitev sistema je (n r) parametrična. Homogeni sistem je sistem z ničelno desno stranjo Ax = 0. Za homogeni sistem vedno velja rang A = rang R, torej je homogeni sistem vedno rešljiv. Eno rešitev x = 0 uganemo, imenujemo jo ničelna ali trivialna rešitev. Velja: 1. rang A = n ( = število neznank) rešitev je ena sama (ničelna) 2. rang A < n sistem ima neskončno rešitev, je netrivialno rešljiv Opomba: Če ima homogeni sistem netrivialno rešitev, ima neskončno rešitev. Kvadratni homogeni sistem (sistem Ax = 0 s kvadratno n n matriko) ima 1. natanko eno rešitev (ničelno) rang A = n det A 0 2. neskončno rešitev rang A < n det A = 0 28
29 Poglavje 3 Vektorji 3.1 Definicija Kartezični koordinatni sistem v prostoru: Je pravokoten. Tvorijo ga 3 medsebojno pravokotne premice (koordinatne osi x, y, z), ki se sekajo v (eni) točki koordinatnem izhodišču. Je pozitivno orientiran. Na vsaki od koordinatnih osi izberemo (glede na koordinatno izhodišče) pozitivni in negativni del. Če pozitivni del osi x zavrtimo po krajši poti do pozitivnega dela osi y, kaže pozitivni del osi z v smeri desnega vijaka. Podajanje točk v prostoru: Poljubno točko T prostora podamo s tremi števili projekcijami točke na koordinatne osi: T (x, y, z). Oznaka za prostor: R 3 = {(x, y, z); x, y, z R} Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Podan je z začetno točko A(a 1, a 2, a 3 ) in končno točko B(b 1, b 2, b 3 ); oznaka AB ali krajše a, b,.... Dolžina vektorja ali absolutna vrednost vektorja (oznaka AB ) je enaka razdalji med točkama A in B. 29
30 Smer vektorja je določena z začetno točko A in končno točko B. Dva vektorja sta enaka, če imata isto dolžino in isto smer. Koordinate vektorja: Iz znanih koordinat začetne in končne točke dobimo koordinate vektorja tako, da odštejemo istoležne koordinate od koordinat končne točke B(b 1, b 2, b 3 ) odštejemo koordinate začetne točke A(a 1, a 2, a 3 ) AB = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Dva vektorja sta enaka, če imata enake istoležne koordinate. Dolžina vektorja a = (a 1, a 2, a 3 ): a = a a a 2 3 Enotski vektor je vektor dolžine 1. Krajevni vektor točke T (oznaka r T ) je vektor od koordinatnega izhodišča O(0, 0, 0) do končne točke T (x, y, z). r T = (x, y, z) Značilnost: koordinate krajevnega vektorja r T so enake koordinatam točke T. Enotski vektorji na kooordinatnih oseh: ı = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Komponente vektorja a = (a 1, a 2, a 3 ) vzdolž koordinatnih osi: a 1 ı, a 2 j, a 3 k 30
31 3.2 Računanje z vektorji Seštevanje vektorjev Definicija: Vektor b prenesemo v končno točko vektorja a. Vektor, ki sega od začetne točke vektorja a do končne točke vektorja b imenujemo vsota vektorjev a in b, oznaka a + b. Drug način: vsota a + b je diagonala paralelograma (določenega z vektorjema a in b), ki poteka iz skupne začetne točke. Koordinate vsote: a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Vektor nič: 0 = (0, 0, 0) Opomba: Vektor 0 nima definirane smeri oziroma ima poljubno smer. Vektorju a nasprotni vektor: a = ( a 1, a 2, a 3 ) Nasprotni vektor a ima isto dolžino kot vektor a in nasprotno smer. Velja: a + ( a) = 0. Odštevanje vektorjev: a b = a + ( b) Geometrijsko: vektorja a in b narišemo iz skupne začetne točke; razlika a b leži na tretji stranici trikotnika, puščica kaže proti a Množenje vektorja s skalarjem, linearna kombinacija vektorjev Definicija: Produkt vektorja a = (a 1, a 2, a 3 ) s skalarjem (številom) α R je α a = (αa 1, αa 2, αa 3 ). 31
32 Velja: α a = α a Smer: α > 0 a in α a imata isto smer α < 0 a in α a imata nasprotno smer Definicija: Vektorja a in b sta kolinearna, če sta vzporedna: b = α a, α R. Vektorji (trije) a, b in c so koplanarni, če ležijo v isti ravnini: c = α a + β b, α, β R. Vektorji a 1, a 2,..., a n so linearno neodvisni, če velja: α 1 a 1 + α 2 a α n a n = 0 α 1 = α 2 = = α n = 0. Sicer so linearno odvisni. Izraz α 1 a 1 + α 2 a α n a n je linearna kombinacija vektorjev a 1, a 2,..., a n. Velja: 1. Če sta vektorja a in b nekolinearna, potem sta linearno neodvisna (to je α a + β b = 0 α = β = 0). 2. Če so vektorji a, b in c nekoplanarni, potem so linearno neodvisni (to je α a + β b + γ c = 0 α = β = γ = 0). 3. Dva vektorja na premici sta linearno odvisna. 4. Trije vektorji v ravnini so linearno odvisni. 32
33 5. Štirje vektorji v prostoru so linearno odvisni. 6. Vektorji a, b in c naj bodo nekoplanarni (linearno neodvisni). Tedaj lahko poljuben vektor d zapišemo kot linearno kombinacijo vektorjev a, b in c Skalarni produkt vektorjev Definicija: Skalarni produkt (oznaka: a b, beremo: a skalarno b) vektorjev a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b 1, b 2, b 3 ) je a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Istoležne koordinate zmnožimo in seštejemo, rezultat je število. Lastnosti skalarnega produkta: 1. a b = b a 2. ( a + b) c = a c + b c 3. (α a) b = a (α b) = α( a b) 4. a a = a a a 2 3 = a 2 5. a b = a b cos ϕ, kjer je ϕ kot med vektorjema a in b Opomba: To lastnost lahko vzamemo za definicijo skalarnega produkta v trirazsežnem prostoru. 6. Formula za izračun kota ϕ med vektorjema a in b: cos ϕ = a b 7. Vektorja a in b sta pravokotna natanko takrat, ko je a b = 0. a b 33
34 3.2.4 Vektorski produkt vektorjev Definicija: Vektorski produkt vektorjev a = (a 1, a 2, a 3 ) in b = (b 1, b 2, b 3 ) je vektor a b (beremo: a vektorsko b), za katerega velja: Vektor a b je pravokoten na vektorja a in b. Dolžina a b = a b sin ϕ, kjer je ϕ kot med vektorjema a in b. To je ploščina paralelograma s stranicama a in b. Če a po krajši poti zavrtimo do b, potem ima vektor a b smer desnega vijaka. Lastnosti vektorskega produkta: 1. a b = b a 2. ( a + b) c = a c + b c 3. (α a) b = a (α b) = α( a b) 4. Vektorja a in b sta kolinearna natanko takrat ko je a b = 0. Posebej: a a = a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) ı + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k ali a ı j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Uporaba vektorskega produkta: za računanje ploščine paralelograma ali trikotnika, za konstrukcijo pravokotnice na dana vektorja. 34
35 3.2.5 Mešani produkt vektorjev Definicija: Mešani produkt vektorjev a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) in c = (c 1, c 2, c 3 ) je število ( a, b, c) = ( a b) c ali ( a, b, c) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ( a, b, c) > 0 vektorji a, b in c so desno (ali pozitivno) orientirani ( a, b, c) < 0 vektorji a, b in c so levo (ali negativno) orientirani. Lastnosti mešanega produkta: 1. ( a, b, c) = ( c, a, b) = ( b, c, a) = ( b, a, c) = ( c, b, a) = ( a, c, b) 2. ( a, b, c) je prostornina paralelepipeda, določenega z vektorji a, b in c. 3. ( a, b, c) = 0 vektorji a, b in c so koplanarni Uporaba mešanega produkta: prizme ali tetraedra. za računanje prostornine paralelepipeda, 35
36 3.3 Premica in ravnina v prostoru Ravnina v prostoru je določena bodisi 1. s točko A(a 1, a 2, a 3 ) na ravnini in njeno pravokotnico (normalo) n = (n 1, n 2, n 3 ) bodisi 2. s tremi točkami A, B in C na ravnini. V tem primeru izračunamo pravokotnico n = AB AC. Kako preverimo, ali dana točka T s krajevnim vektorjem r = (x, y, z) leži na ravnini? Če točka T leži v ravnini, leži v ravnini vektor AT = r r A. Vektor v ravnini AT je pravokoten na normalo n, velja AT n = 0. Enačba ravnine skozi točko A(a 1, a 2, a 3 ), pravokotne na n = (n 1, n 2, n 3 ): ( r r A ) n = 0 je vektorska enačba ravnine. Vstavimo koordinate in dobimo splošno obliko enačbe ravnine: n 1 x + n 2 y + n 3 z = d, kjer je d = r A n = a 1 n 1 + a 2 n 2 + a 3 n 3. Če je n = 1, govorimo o normirani enačbi ravnine. Premica v prostoru je določena bodisi 1. s točko A(a 1, a 2, a 3 ) na premici in njeno smerjo s = (s 1, s 2, s 3 ) bodisi 2. z dvema točkama A in B na premici (v tem primeru izračunamo smer s = r B r A ) bodisi 3. kot presek dveh nevzporednih ravnin. Enačba premice skozi točko A(a 1, a 2, a 3 ) in smernim vektorjem s = (s 1, s 2, s 3 ): Točka T s krajevnim vektorjem r = (x, y, z) naj leži na premici. Potem velja r = r A + t s za nek t R. Od tod vektorska oblika enačbe premice: r = r A + t s, t R. 36
37 Vstavimo koordinate in dobimo parametrično obliko enačbe premice (x, y, z) = (a 1, a 2, a 3 ) + t(s 1, s 2, s 3 ), t R oziroma x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3, t R. Če s 1 s 2 s 3 0, iz vsake od gornjih enačb izračunamo parameter t, izenačimo in dobimo kanonsko obliko enačbe premice Če (na primer) s 1 = 0, zapišemo x a 1 s 1 = y a 2 s 2 = z a 3 s 3. x = a 1, y a 2 s 2 = z a 3 s 3. Presek ravnin: Presek dveh ravnin izračunamo tako, da rešimo sistem enačb, ki ga sestavljata enačbi ravnin v splošni obliki. Rešitev sistema je: 1. prazna (ne obstaja), če sta dani ravnini vzporedni (sistem je protisloven), 2. enoparametrična, predstavlja premico (v parametrični obliki), ki je presek danih ravnin, 3. dvoparametrična, predstavlja isto ravnino kot dani ravnini. Presek premice in ravnine: x, y in z iz parametrične oblike enačbe premice vstavimo v enačbo dane ravnine v splošni obliki, dobimo enačbo za parameter t. Rešitev: 1. ne obstaja, če sta premica in ravnina vzporedni, 2. je število, na primer t 0, ki ga vstavimo v parametrično obliko enačbe premice in dobimo koordinate presečišča, 3. je vsako realno število. V tem primeru premica leži v ravnini. 37
38 38
39 Poglavje 4 Zaporedja in vrste 4.1 Preslikave Definicija: Preslikava (upodobitev, funkcija) iz množice A v množico B je predpis (pravilo, postopek), ki vsakemu elementu množice A priredi natanko določen (en sam) element množice B. Oznake: f, g, h, a,... oznake za preslikavo f : A B f : a f(a) Imenovanje: A definicijsko območje, domena B kodomena a original f(a) slika, funkcijska vrednost Zaloga vrednosti preslikave f je množica vseh slik Z f = {f(a); a A}. 39
40 Zaloga vrednosti je podmnožica kodomene (Z f B). Graf preslikave f je množica vseh parov (a, f(a)): G f = {(a, f(a); a A}. Graf preslikave je podmnožica kartezičnega produkta domene in kodomene (G f A Z f A B). Definicija: Preslikava f : A B je surjektivna (na), če je zaloga vrednosti enaka kodomeni (Z f = B). Drugače: b B a A : f(a) = B Preslikava f : A B je injektivna, če imata različna originala različni sliki: a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Drugače: f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 Preslikava F : A B je bijektivna, če je surjektivna in injektivna. Identična preslikava (oznake id, I, I A ) je preslikava I A : A A a a. Kompozitum preslikav f : A B in g : B C je preslikava g f : A C a g(f(a)). Opomba: Ujemati se morata kodomena preslikave f in domena preslikave g. Posebni primer: Za preslikavi f : A B in g : B A lahko definiramo kompozituma g f : A A, f g : B B. 40
41 Inverzna preslikava preslikave f : A B je takšna preslikava g : B A, da velja g f = I A in f g = I B. Izrek: Preslikava f : A B naj bo bijektivna. Tedaj obstaja (ena sama) inverzna preslikava preslikave f (oznaka f 1 ). 41
42 4.2 Zaporedja Definicija: Realno zaporedje je preslikava (funkcija) iz naravnih števil v množico realnih števil. a : N R a : n a(n) Oznake: a, b,... oznake za preslikavo (funkcijski predpis) a 1 = a(1), a 2 = a(2),..., a n = a(n),... členi zaporedja (slike oz. funkcijske vrednosti zaporedja) {a n }, {a n } n=1, {a n } n N, {a n ; n N} oznake za zaporedje Opomba: Zaporedje je lahko tudi končno. a : N N R, N končna Podajanje zaporedij: z naštevanjem členov (če končno): {a 1, a 2,..., a n } z naštevanjem prvih nekaj členov: {a 1, a 2, a 3,...} s podajanjem funkcijskega predpisa (s splošnim členom): a n = a(n) rekurzivno: s podajanjem pravila, kako izračunati n-ti člen iz predhodnih (znanih) Graf zaporedja {a n } n=1: G a = {(n, a n ); n N} 42
43 Podzaporedje danega zaporedja {a n } n=1: a i1, a i2, a i3,..., {i 1, i 2,...} N Omejenost: Zaporedje je (navzgor/navzdol) omejeno, če je omejena (navzgor/navzdol) množica funkcijskih vrednosti zaporedja {a 1, a 2, a 3,...} R. Zgornja/spodnja meja zaporedja je zgornja/spodnja meja množice {a 1, a 2, a 3,...} R. Natančna zgornja/spodnja meja zaporedja je natančna zgornja/spodnja meja množice {a 1, a 2, a 3,...} R (oznaka sup{a n } / inf{a n }). Če zaporedje nima zgornje/spodnje meje, je navzgor/navzdol neomejeno. Monotonost: Zaporedje je naraščajoče, če a n+1 a n, n. Zaporedje je strogo naraščajoče, če a n+1 > a n, n. Zaporedje je padajoče, če a n+1 a n, n. Zaporedje je strogo padajoče, če a n+1 < a n, n. Zaporedje je monotono, če je bodisi naraščajoče bodisi padajoče. Zaporedje je alternirajoče, če sta poljubna zaporedna člena zaporedja različnega predznaka (a n+1 a n < 0, n). Alternirajoče zaporedje ni monotono. Kako preverimo, ali je dano zaporedje {a n } monotono? Izračunamo razliko zaporednih členov zaporedja d n = a n+1 a n. Če je ta razlika konstantnega znaka (to je neodvisnega od n), je zaporedje monotono. In sicer: naraščajoče, če d n 0, padajoče, če d n 0. 43
44 Stekališče zaporedja: Število S R je stekališče zaporedja {a n } n=1, če je v vsaki ɛ-okolici števila S neskončno mnogo členov zaporedja. Tedaj je neenačba a n S < ɛ (ɛ > 0) izpolnjena za neskončno mnogo indeksov (originalov pri preslikavi a) n. Limita zaporedja: Število A R je limita zaporedja (oznaka A = lim n a n ), če so v vsaki ɛ-okolici števila A vsi členi zaporedja, razen končno mnogo. Tedaj je neenačba a n S < ɛ (ɛ > 0) izpolnjena za vse indekse n od nekega naprej. Drugače: Število A R je limita zaporedja {a n } n=1, če za vsako pozitivno število ɛ obstaja naravno število N(ɛ), da velja: n > N(ɛ) a n A < ɛ. Zaporedje, ki ima limito je konvergentno. Velja: Limita zaporedja je tudi stekališče zaporedja. Obrat ne velja: ni vsako stekališče tudi limita zaporedja. Konvergentno zaporedje je omejeno. Zaporedje je konvergentno natanko takrat, ko je omejeno in ima eno samo stekališče. Monotono in omejeno zaporedje je konvergantno. Meje monotonih zaporedij: Za omejeno naraščajoče zaporedje velja: sup{a n } = lim n a n inf{a n } = a 1 Za omejeno padajoče zaporedje velja: sup{a n } = a 1 inf{a n } = lim n a n 44
45 Limite nekaterih zaporedij: lim n 1 n = 0 racionalno zaporedje a n = c kn k + c 1 n+c 0 d l n l + d 1 n+d 0 lim a n = n eksponentno zaporedje a n = a n lim a n = n 0; k < l c k d k ; k = l ( c k dl ) ; k > l 0; a < 1 1; a = 1 ; a > 1 ne obstaja; a 1 a n = (1 + 1 n )n a n = n n lim a n = e n lim a n = 1 n Računanje z zaporedji: {a n } ± {b n } = {a n ± b n } {a n } {b n } = {a n b n } {a n }/{b n } = {a n /b n }, b n 0, n Naj bo lim n a n = A in lim n b n = B. Potem velja lim n (a n ± b n ) = A ± B lim n (a n b n ) = AB lim n (a n /b n ) = A/B, b n 0, B 0 45
46 Aritmetično zaporedje: Definicija: a 1 = a, a n+1 = a n + d, d konstanta Vsota prvih n členov aritmetičnega zaporedja: S n = a 1+a n 2 n Geometrijsko zaporedje: Definicija: a 1 = a, a n+1 = a n q, q konstanta Vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja: S n = a 1 q n 1 q 1, če q 1 46
47 4.3 Vrste Definicija: Vrsta je formalna vsota zaporedja ali a 1 + a 2 + a 3 + a i. n-ta delna vsota zaporedja je S n = n i=1 a i = a 1 + a a n. i=1 Vrsta a 1 + a 2 + a 3 + je konvergentna, kadar obstaja limita delnih vsot zaporedja lim n S n. Tedaj je njena vsota a 1 + a 2 + a 3 + = lim n S n. Geometrijska vrsta: Velja: Naj bo a 1, a 2,... geometrijsko zaporedje s količnikom q. n-ta delna vsota geometrijskega zaporedja je S n = a 1 1 q n 1 q. Geometrijska vrsta a 1 +a 2 +a 3 + je konvergentna, če je q < 1. Njena vsota je a 1 + a 2 + a 3 + = a q. Če je vrsta i=1 a i konvergentna, potem velja lim n a n = 0. Obrat ne velja. Naj za vrsti i=1 a i in i=1 b i velja: 0 b i a i, za vsak i N. Če je i=1 a i konvergentna, potem je i=1 b i konvergentna. Če je i=1 b i divergentna, potem je i=1 a i divergentna. 47
48 48
49 Poglavje 5 Funkcije 5.1 Funkcije ene realne spremenljivke Definicija: Funkcija f je predpis, ki vsakemu številu x iz definicijskega območja (oznaka D ali D f ) priredi natanko določeno število, ki ga imenujemo funkcijska vrednost (oznaka f(x) ali y). Zaloga vrednosti funkcije f (oznaka Z ali Z f, R, R f ) je množica vseh funkcijskih vrednosti. Graf funkcije (oznaka G ali G f ) je množica vseh parov (x, f(x)), če x D f. Oznake: f : D R R f : x f(x) Z f = {f(x); x D f } G f = {(x, f(x)); x D f } D f Z f Sode in lihe funkcije: Definicijsko območje naj bo simetrično glede na koordinatno izhodišče (na primer D = ( a, a) ali D = R). 49
50 Funkcija f je soda, če velja f( x) = f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y. Funkcija f je liha, če velja f( x) = f(x). Graf lihe funkcije je simetričen glede na koordinatno izhodišče. Periodičnost: Število T je perioda funkcije f, če velja f(x + T ) = f(x). Najmanjši pozitivni periodi rečemo osnovna perioda. Monotonost funkcij: Naj x 1, x 2 (a, b) D f. Funkcija f je na intervalu (a, b) naraščajoča, če velja: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), strogo naraščajoča, če velja: x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), padajoča, če velja: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), strogo padajoča, če velja: x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), monotona, če je bodisi naraščajoča bodisi padajoča. Sestavljena funkcija ali kompozitum: Kompozitum funkcij f in g (oznaka: g f, beremo: g kompozitum f) je takšna funkcija h, za katero velja funkcijski predpis h(x) = g(f(x)). Inverzna funkcija: Funkcija g je inverzna funkcija funkcije f, če velja f(g(x)) = x in g(f(x)) = x. Oznaka funkciji f inverzne funkcije: f 1 Grafa funkcij f in f 1 sta simetrična glede na premico y = x. Da izračunamo inverzno funkcijo funkcije f, rešimo enačbo f(y) = x. Definicija: Funkcija f je injektivna, če velja: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )(x 1, x 2 D f ). Drugače zapisan pogoj: f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 50
51 Funkcija f : R R je surjektivna, če za vsak y R lahko najdemo tak x D f, da velja y = f(x). Funkcija f : D Z (D, Z R) je surjektivna, če za vsak y Z lahko najdemo tak x D, da velja y = f(x). Funkcija f je bijektivna, če je injektivna in surjektivna. Velja: Inverzno funkcijo imajo samo bijektivne funkcije. 51
52 5.2 Limita Lahko se zgodi, da funkcija f ni definirana v neki točki x = a, je definirana v neki okolici točke a to je: je definirana, če x (a ɛ, a+ɛ) in x a. Definicija: Funkcija f ima v točki x = a limito A, če za vsak pozitiven ɛ obstaja pozitiven δ, da velja x a < δ f(x) A < ɛ. Oznaka: lim f(x) = A x a Definicija: Desna limita funkcije f v točki x = a: lim x a + f(x) (x se približuje številu a z desne strani) Enakovredni zapisi: lim x a + f(x), lim x a f(x), lim x a+0 f(x) Leva limita funkcije f v točki x = a: lim x a f(x) (x se približuje številu a z leve strani) Enakovredni zapisi: lim x a f(x), lim x a f(x), lim x a 0 f(x) Funkcija ima limito, če sta desna in leva limita enaki. Pravila za računanje limit: Funkciji f in g naj imata limito. Potem velja: 1. lim x a (C f(x)) = C lim x a f(x), C konstanta 2. lim x a (f(x) ± g(x)) = lim x a f(x) ± lim x a g(x) 3. lim x a (f(x) g(x)) = lim x a f(x) lim x a g(x) 4. lim x a f(x) g(x) = limx a f(x) lim x a g(x) 52
53 Pravila veljajo, če (na desni) ne dobimo nedoločenega izraza. Limita funkcije v neskončnosti: lim f(x), lim f(x) x x Če gre x proti ali, nastanejo tri možnosti: 1. lim x f(x) = ± 2. lim x f(x) = A Premica y = A je desna vodoravna asimptota funkcije f. lim x f(x) = A Premica y = A je leva vodoravna asimptota funkcije f. 3. lim x f(x) ne obstaja 53
54 5.3 Zveznost funkcij Definicija: Funkcija f je zvezna v točki a, če je limita funkcije enaka funkcijski vrednosti: lim f(x) = f(a). x a To pomeni: Funkcija je v točki a definirana. Limita funkcije v točki a obstaja. Obe vrednosti sta enaki. Drugače: vrednosti: Majhna sprememba x-a pomeni majhno spremembo funkcijske ɛ > 0 δ > 0 : x a < δ f(x) f(a) < ɛ. Graf zvezne funkcije je nepretrgana krivulja. Definicija: Če velja lim x a + f(x) = f(a), je funkcija f zvezna z desne strani, lim x a f(x) = f(a), je funkcija f zvezna z leve strani. Funkcija je v točki a zvezna, če je v tej točki zvezna z leve in desne. Definicija: Funkcija f je zvezna na odprtem intervalu (a, b), če je zvezna v vsaki točki tega intervala. Funkcija f je zvezna na zaprtem intervalu [a, b], če je zvezna na odprtem intervalu (a, b) ter če je zvezna z desne strani v točki a in zvezna z leve strani v točki b. Lastnosti zveznih funkcij na zaprtem intervalu: Funkcija f naj bo zvezna na zaprtem intervalu [a, b]. Nadalje naj bo m = inf x [a,b] f(x) in M = sup x [a,b] f(x). 54
55 1. Če funkcija f v krajiščih intervala zavzame nasprotno predznačeni vrednosti (f(a)f(b) < 0), potem v neki točki znotraj intervala zavzame vrednost nič ( x 0 (a, b) : f(x 0 ) = 0). 2. Funkcija f zavzame minimalno in maksimalno vrednost ( x m (a, b) : f(x m ) = m in x M (a, b) : f(x M ) = M). 3. Zvezna funkcija ima na končnem intervalu vedno končno vrednost (med minimalno in maksimalno). 4. Funkcija f zavzame vse vrednosti med m in M ( y [m, M] x y [a, b] : f(x y ) = y). 55
56 5.4 Elementarne funkcije Osnovne elementarne funkcije: 1. Potenčna funkcija f(x) = x n, n R 2. Eksponentna funkcija f(x) = a x, a > 0 3. Logaritemska funkcija f(x) = log a x, a > 0, a 1 4. Kotne funkcije f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = cot x 5. Krožne funkcije (inverzne kotne funkcije) f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arctan x Med elementarne funkcije spadajo vse funkcije, ki jih dobimo z osnovnimi elementarnimi funkcijami in operacijami: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, računanje kompozituma in računanje inverzne funkcije. Posebej: 1. Polinomi p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a 0, a 1,..., a n R 2. Racionalne funkcije f(x) = p(x) q(x), p in q sta polinoma 56
57 Viri 1. Cedilnik, A.: Matematični priročnik. Didakta, Radovljica, Fošner, M.: Uporaba matematičnih metod v logistiki 1. e-gradivo 3. Jamnik, R.: Matematika. DMFA, Lj, Turnšek, A.: Tehniška matematika. UL, FS, Lj, Usenik, J.: Matematične metode v prometu. UL, FPP, Portorož,
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραVAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič
VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραPRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2
3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραKateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)
Matematika za inženirje 1 Vprašanja iz uvodnega poglavja Zapišite,kdaj je pravilna katera od logičnih operacij: disjunkcija, konjunkcija, implikacija in ekvivalenca. -Disjunkcija je pravilna (vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραRačunski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO. Petra MATEMATIKA I
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek, Matevž Črepnjak Visokošolski učbenik z rešenimi nalogami MATEMATIKA I Maribor 03 Naslov publikacije: Visokošolski
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότερα1 3D-prostor; ravnina in premica
1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραDel 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk
Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα