Oznake in osnovne definicije
|
|
- Ἀμήνὄφις Εὐκλείδης Μαρκόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n na kratko zapišemo v obliki Ax = b, A R n n (C n n ), x, b R n (C n ), kjer je A realna (kompleksna) matrika, x, b pa realna (kompleksna) vektorja Pri tem (i, j)-ti element matrike A označimo z a ij, x i pa je i-ti element vektorja x
2 Zapis matrik in vektorjev Vektor x z n komponentami zapišemo kot x 1 x 2 x = = [x 1, x 2, x n ] T x n Matriko A zapišemo po elementih, stolpcih ali vrsticah v obliki a 11 a 1n A = = [a 1 a n ] = α T 1, a n1 a nn α T n kjer so npr a i, α i C n Z e i := [e i1,, e in ] T R n označimo enotski vektor, za katerega velja e ij = δ ij Torej je Ae k = a k k-ti stolpec A, e T i A = α T i i-ta vrstica A, e T i Ae k = a ik (i, k)-ti element A A T pomeni transponirano matriko A, A H pa je A T B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
3 Produkti matrik in vektorjev B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Skalarni produkt vektorjev x in y zapišemo v obliki x, y realna: y T x = n i=1 x iy i, x, y kompleksna: y H x = n i=1 x iy i Množenje vektorja z matriko y = Ax si lahko predstavljamo na dva načina: y i = α T i x: i-ti element y je produkt i-te vrstice A in vektorja x, y = n i=1 x ia i : y je linearna kombinacija stolpcev matrike A Podobno si lahko množenje matrik C = AB predstavljamo na tri načine: c ij = α T i b j : (i, j)-ti element C je produkt i-te vrstice A in j-tega stolpca B, c i = Ab i : i-ti stolpec C je produkt A in i-tega stolpca B, C = n i=1 a i β T i : C je vsota n produktov i-tega stolpca A in i-te vrstice B Matriki oblike xy T, kjer je x, y 0, imenujemo diada in ima rang ena
4 Lastnosti matrik B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Kvadratna n n matrika A je neizrojena ali nesingularna, če izpolnjuje enega izmed ekvivalentnih pogojev: obstaja inverz A 1, tako da je AA 1 = A 1 A = I, det(a) 0, rang(a) = n (maksimalno število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev), ne obstaja x 0, da je Ax = 0 Matrika A je simetrična, če velja A = A T Če velja A = AH, je matrika hermitska Simetrična matrika je pozitivno definitna, če za vsak x 0 velja x T Ax > 0 Podobno je hermitska matrika pozitivno definitna, če za vsak x 0 velja x H Ax > 0
5 Lastnosti matrik B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Če za skalar λ in neničelni vektor x velja Ax = λx, potem je λ lastna vrednost, x pa pripadajoči lastni vektor Vsaka matrika ima n lastnih vrednosti, ki so ničle karakterističnega polinoma p(λ) := det(a λi ) ali včasih p(λ) := det(λi A) Pri prvi obliki je vodilni koeficient karakterističnega polinoma ( 1) n, pri drugi 1 Lastne vrednosti λ 1,, λ n realne simetrične matrike so realne, lastne vektorje x 1,, x n pa lahko izberemo tako, da tvorijo ortonormirano bazo, kar pomeni x T i x j = δ ij Za lastne vrednosti simetrične pozitivno definitne matrike velja λ i > 0
6 Vektorske in matrične norme B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Definicija vektorske norme Vektorska norma je preslikava : C n R, za katero velja 1 x 0, x = 0 x = 0, 2 αx = α x, 3 x + y x + y (trikotniška neenakost), za vsak x, y C n in α C Najbolj znane vektorske norme so: n x 1 = x i (1-norma), i=1 ( n ) 1/2 x 2 = x i 2 x = i=1 max x i i=1,,n (2-norma ali evklidska norma), ( -norma ali max norma)
7 Ekvivalenca norm B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Ker je po privzetku n vseskozi končen, sta poljubni dve vektorski normi a in b ekvivalentni To pomeni, da obstajata konstanti C 1, C 2 > 0, da za vsak x C n velja C 1 x a x b C 2 x a Za najpogostejše norme veljajo ocene: x 2 x 1 n x 2 x x 2 n x x x 1 n x Cauchy-Schwartzeva neenakost: y H x x 2 y 2
8 Matrična norma B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Definicija matrične norme Matrična norma je preslikava : C n n R, za katero velja 1 A 0, A = 0 A = 0, 2 αa = α A, 3 A + B A + B (trikotniška neenakost), 4 AB A B (submultiplikativnost), za poljubni A, B C n n in α C Primer je Frobeniusova norma m A F = i=1 j=1 n a ij 2 1 2
9 Operatorske norme B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Operatorske matrične norme Operatorske matrične norme so definirane z A := max x 0 x C n kjer je vektorska norma Ax x = max x =1 Ax, Ker vektorska norma generira operatorsko matrično normo, ji dodamo oznako pripadajoče vektorske norme, npr za 2 je pripadajoča matrična norma tudi druga norma, A 2 Izrek Za operatorske norme velja Ax A x Dokaz Za x = 0 trditev očitno velja Naj bo x 0 Tedaj je Ax x max Ax x 0 x = A x C n
10 Najpogostejše operatorske matrične norme B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Izrek Najpogosteje uporabljane matrične norme so A 1 = max Ax 1 = max a ij x 1=1 j=1,,n A 2 = max x 2=1 Ax 2 = A = max Ax = x =1 max i=1,,n max i=1,,n i=1,,n (1-norma) λ i (A H A) ( spektralna ali 2-norma ) n a ij j=1 ( -norma)
11 1-norma B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Lema ( n ) A 1 = max Ax 1 = max a ij = n a il x 1=1 j=1,,n i=1 i=1 Dokaz i=1 A 1 = max x 1=1 Ax 1 Ae l 1 = j=1 i=1 j=1 j=1 n a il, kar dokazuje neenakost v eno smer Po drugi strani je ( n n n n n n n ) Ax 1 = a ij x j a ij x j = x j a ij a il x 1 i=1 i=1 i=1
12 Spektralna norma B = A H A je hermitska in nenegativno definitna, saj je B H = B in x H Bx 0 za vsak x C n Lastne vrednosti B so nenegativne in jih lahko zapišemo urejene po velikosti kot σ 2 1 σ 2 2 σ 2 n 0 Pozitivne kvadratne korene σ 1 σ 2 σ n 0 lastnih vrednosti A H A imenujemo singularne vrednosti matrike A Lema A 2 = σ 1 (A) = max λ i (A H A) (spektralna norma) i=1,,n Dokaz Obstaja ortonormirana baza za C n, ki jo sestavljajo lastni vektorji A H Au i = σi 2u i, i = 1,, n Če vektor x zapišemo kot x = n i=1 α iu i dobimo n n Ax 2 2 = x H (A H Ax) = ( α i u i ) H ( α i σi 2 u i ) = i=1 n α i 2 σi 2 σ1 2 i=1 i=1 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 i=1 n α i 2 = σ1 x 2 2 2
13 -norma B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Lema A = max Ax = x =1 max i=1,,n ( ) n a ij = n a lj j=1 j=1 Dokaz Naj bo x R n vektor s komponentami Tedaj A = x i := { alj a lj, a lj 0, 0, sicer max Ax A x = x =1 kar dokazuje neenakost v eno smer Po drugi strani je n Ax = max a ij x j i=1,,n j=1 max i=1,,n n j=1 n a lj, j=1 a ij x j x max i=1,,n n a ij j=1
14 Ekvivalenca matričnih norm B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Frobeniusova norma ni operatorska, saj za operatorske norme velja I = 1, medtem ko je I F = n Zgled vrednosti norm Za A = 4 1 8, A T A = dobimo A 1 = 10, A = 13, A F = 11, A 2 = Matrične norme so medsebojno ekivalentne Z naslednjimi ocenami lahko ocenimo A 2 z lažje izračunljivimi normami: 1 n A F A 2 A F 1 n A 1 A 2 n A 1 1 n A A 2 n A max a ij A 2 n max a ij i,j=1,,n i,j=1,,n A 2 A 1 A
15 Lastne vrednosti in norma λ A B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Realna matrika Q je ortogonalna, če je Q 1 = Q T, kompleksna matrika U je unitarna, če je U 1 = U H Za množenje z unitarno matriko velja Ux 2 = x 2, saj je Lema Ux 2 2 = (Ux) H (Ux) = x H U H Ux = x H x = x 2 2 Frobeniusova in spektralna norma sta invariantni na množenje z unitarno matriko: A F = UA F = AU F in A 2 = UA 2 = AU 2 Dokaz Naj bo A = [a 1, a 2,, a n ] T in U unitarna matrika Tedaj n n UA 2 F = Ua j 2 = a j 2 2 = A 2 F j=1 j=1 Lema Za vsako matrično normo in poljubno lastno vrednost λ matrike A velja
16 Inverz matrike, ki je blizu enotske B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Lema Če je X < 1, potem velja Dokaz a) a) I X je neizrojena (nesingularna) matrika, b) (I X ) 1 = X i, i=0 c) Če je I = 1, je (I X ) X Če je I X singularna matrika, obstaja z 0, da je (I X )z = 0 To pomeni z = X z X z < z, protislovje b) Vrsta i=0 X i je konvergentna, saj je konvergentna vrsta norm členov Take vrste smemo odštevati Torej X i X X i = I = (I X ) X i i=0 i=0 i=0
17 Občutljivost linearnih sistemov B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Zanima nas občutljivost rešitve linearnega sistema na spremembe podatkov Naj bo Ax = b in (A + δa)(x + δx) = b + δb Tedaj δx = (A + δa) 1 ( δax + δb) = (I + A 1 δa) 1 A 1 ( δax + δb) Če predpostavimo, da je A 1 δa < 1, potem je I + A 1 δa nesingularna in vemo (I + A 1 δa) A 1 δa 1 1 A 1 δa Dobimo A 1 δx ( δa x + δb ) 1 A 1 δa Delimo z x, števec in imenovalec množimo z A : δx x A 1 1 A 1 δa Upoštevamo b = Ax A x : δx x A 1 A 1 A 1 A δa A ( δa A A + δb A x A ( δa A + δb ) b )
18 Občutljivost linearnih sistemov B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Izpeljali smo oceno δx x κ(a) 1 κ(a) δa A ( δa A + δb ), b kjer je κ(a) := A 1 A občutljivost oz pogojenostno število matrike A Če računamo z natančnostjo ɛ, je torej normalno, da dobimo rešitev z natančnostjo κ(a)ɛ Za občutljivost velja 1 κ(a), saj je 1 I = AA 1 A A 1 Za spektralno občutljivost velja κ 2 (A) = σ 1(A) σ n (A) Matrike, ki imajo spektralno občutljivost 1, so le z neničelnim skalarjem pomnožene unitarne matrike
19 Determinanta ni merilo za občutljivost B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Občutljivost κ(a) = A 1 A ni povezana z velikostjo determinante matrike! Tako ima npr matrika αi lahko zelo veliko ali zelo majhno determinanto α n, njeno pogojenostno število pa je 1 Po drugi strani pa ima npr matrika n B n =, B 1 n = n determinanto 1, občutljivost merjena v normi pa n2 n 1
20 Zgled zelo občutljivega sistema B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Naj bo f C ([0, 1]) Iščemo polinom p(x) := a 1 + a 2 x + + a n x n 1, za katerega je napaka E := 1 minimalna Potreben pogoj zahteva To da pogoje 1 0 E a i = 2 f (x)x i 1 dx = (f (x) p(x)) 2 dx (p(x) f (x))x i 1 dx = 0, i = 1,, n ( n ) a j x j 1 x i 1 dx = j=1 n 1 a j x i+j 2 dx = j=1 0 n j=1 a j 1 i + j 1 Dobimo sistem linearnih enačb H n a = b, kjer je H n Hilbertova matrika z elementi h ij = 1 i+j 1 Hilbertove matrike so zelo občutljive: κ(h 4 ) = , κ(h 7 ) = in κ(h 10 ) =
21 Ostanki B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Denimo, da smo numerično rešili linearni sistem Ax = b in dobili približek x za točno rešitev Kako lahko ugotovimo, ali je dobljena rešitev dobra? Izračunamo lahko ostanek r := b A x in pogledamo njegovo normo r Ker se ostanek spremeni, če sistem Ax = b pomnožimo s poljubnim skalarjem, rešitev x pa ostane nespremenjena, je pravilno gledati relativni ostanek r A x Napaka pri x je z relativnim ostankom povezana z oceno δx x κ(a) r A x To pomeni, da iz majhnega relativnega ostanka lahko sklepamo na majhno relativno napako rešitve samo tedaj, ko je matrika A dobro pogojena
22 Relativni ostanek je vedno majhen Iz obratne napake (A + δa) x = b dobimo r δa x oziroma r A x δa A Zaradi tega bo rešitev, dobljena s stabilnim algoritmom, vedno imela majhen relativni ostanek, to pa pomeni, da relativni ostanek sam ni pravo merilo za točnost dobljene rešitve Če hočemo imeti zagotovilo, da je izračunana rešitev dobra, mora torej biti poleg majhega relativnega ostanka še matrika dobro pogojena Pogojenost matrike lahko ugotovimo iz κ(a), kjer pa potrebujemo A 1 Na srečo obstajajo algoritmi, s katerimi lahko dobimo dovolj dobro oceno za A 1 brez računanja A 1 Če bi namreč izračunali A 1, bi za to potrebovali več operacij, kot pa jih sicer potrebujemo, da izračunamo rešitev linearnega sistema Ax = b Oceno δx x A 1 r, x uporabljamo v kombinaciji z algoritmi, ki ocenijo A 1 brez računanja A 1 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
23 Permutacijske matrike in elementarne eliminacije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Osnovna ideja pri reševanju sistema linearnih enačb Sistem enačb Ax = b pretvorimo z matričnimi transformacijami na ekvivaletno obliko, v kateri lahko izračunamo vrednosti neznank x Pretvorbo izpeljemo z uporabo dveh vrst matrik: ( permutacijske) matrike 1 2 n in elementarne eliminacije Permutaciji σ = ustreza σ 1 σ 2 σ n permutacijska matrika P σ = e T σ 1 e T σ n Lastnosti permutacijskih matrik P 1 σ = P T σ P σ A: s σ premešane vrstice A AP σ : s σ 1 premešani stolpci A
24 Elementarne eliminacije Naj za vektor x R n velja x k 0 Za nesingularno matriko L k := 1 1 l k+1,k 1 l n,k 1 =: I l k e T k, l k = 0 0 l k+1,k l n,k, kjer je l jk = x j x k za j = k + 1,, n, potem velja L k x 1 x k x k+1 x n = x 1 x k 0 0 Matriko L k imenujemo elementarna eliminacija Uniči vse elemente vektorja x od (k + 1)-vega navzdol B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
25 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Inverz matrike L k je kar 1 L 1 k = I + l k e T k = 1 l k+1,k 1, l n,k 1 l k e k l k e k saj je ( I l k e ) ( T k I + l k e ) T k = I, ker je e T k l k = 0 Produkt matrik L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 je enak 1 l 21 1 l 31 l 32 1 l n1 l n2 l n,n 1 1 e k l k
26 LU razcep Naj bo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn in a 11 0 Z zaporedjem matričnih množenj jo pretvorimo v zgornje trikotno matriko Za eliminacijsko matriko na prvem koraku dobimo 1 l 21 1 L 1 =, l n1 1 kjer je l 21 = a21 a 11,, l n1 = an1 a 11 velja a 11 a 11 a 11 a 12 a 1n a 21 L 1 = 0, torej 0 a (1) A(1) 22 a (1) 2n := L 1 A = a n1 0 0 a (1) n2 a nn (1) B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
27 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Na drugem koraku je a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2n A (2) := L 2 A (1) = 0 0 a (2) 33 a (2) 3n, 0 0 a (2) n3 a nn (2) kjer je 1 L 2 = 1 l 32 1, l n2 1 in l 32 = a(1) 32 a (1) 22,, l n2 = a(1) n2 a (1) 22
28 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Po n 1 korakih dobimo a 11 a 12 a 1n a (1) 22 a (1) 2n U := L n 1 L 2 L 1 A = }{{}, =:L 1 a nn (n 1) in L = L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 = 1 l 21 1 l 31 l 32 1 l n1 l n2 l n,n 1 1 Izpeljali smo LU razcep brez pivotiranja ali Gaussov razcep brez pivotiranja A = LU Diagonalni elementi a 11, a (1) 22,, a(n 2) n 1,n 1, s katerimi delimo, se imenujejo pivoti, l ij pa kvocienti Pivoti morajo biti neničelni, sicer metoda odpove
29 Izrek Za matriko A je ekvivalentno: 1) Obstaja enolični razcep A = LU, kjer je L spodnja trikotna matrika z enicami na diagonali in U nesingularna zgornja trikotna matrika 2) Vse vodilne podmatrike A(1 : k, 1 : k) so nesingularne Dokaz Pokažimo, da iz 1) sledi 2) Zapišimo razcep A = LU bločno, [ ] [ ] [ ] [ ] A11 A 12 L11 0 U11 U = 12 L11 U = 11 L 11 U 12 A 21 A 22 L 21 L 22 0 U 22 L 21 U 11 L 21 U 12 + L 22 U 22 Tu je A 11 poljubna vodilna podmatrika matrike A Odtod A 11 = L 11 U 11 in det A 11 = det (L 11 U 11 ) = det U 11 0, saj je U 11 neizrojena Dokaz v obratni smeri izpeljemo z indukcijo po velikosti vodilne podmatrike k Za k = 1 trditev velja, saj za a 11 0 obstaja razcep a 11 = 1u 11, u 11 0 Naj trditev velja za dani k Naj bo sedaj [ ] A11 A A(1 : k + 1, 1 : k + 1) = 12, A A 21 A 11 = A(1 : k, 1 : k), 22 bločni razrez vodilne podmatrike pri k + 1 Očitno je A 21 vrstica, A 12 stolpec in A 22 skalar B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
30 Gaussova eliminacija brez pivotiranja Če obstaja LU razcep matrike A(1 : k + 1, 1 : k + 1), je nujno oblike [ ] [ ] [ ] [ ] A11 A 12 L11 0 U11 U = 12 L11 U = 11 L 11 U 12 A 21 A 22 L 21 L 22 0 U 22 L 21 U 11 L 21 U 12 + L 22 U 22 kjer je L 22 = 1 in po induktivni predpostavki je A 11 = L 11 U 11 Tu je L 11 neizrojena spodnje trikotna matrika z enicami na diagonali in U 11 neizrojena zgornje trikotna matrika Torej je U 12 = L 1 11 A 12, L 21 = A 21 U 1 11 in U 22 = A 22 L 21 U 12 Pri tem mora biti U 22 0, saj je U 22 det U 11 = det A(1 : k + 1, 1 : k + 1) 0 Algoritem: za j = 1,, n 1 za i = j + 1,, n l ij = a ij a jj ; za k = j + 1,, n a ik = a ik l ij a jk ; Število operacij je n 1 j=1 n i=j+1 ( 1 + n k=j+1 2 ) = 2 3 n3 1 2 n2 1 6 n B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
31 Zgled LU razcepa brez pivotiranja B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / Zgled: Izračunajmo LU razcep za A = A (1) = A = U = A (2) = A (1) = L =
32 Reševanje sistema Ax = b Število operacij je n i=1 (1 + 2(i 1)) = n2 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 1) A = LU, 2) Ly = b, 3) Ux = y Sistem Ly = b rešujemo s premo substitucijo Iz 1 y 1 b 1 l 21 1 y 2 = b 2 l n1 l n,n 1 1 y n b n dobimo od tod pa algoritem l i1 y l i,i 1 y i 1 + y i = b i, i = 1,, n, za i = 1,, n y i = b i i 1 j=1 l ijy j ;
33 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Sistem Ux = y rešujemo z obratno substitucijo Iz u 11 u 1n x 1 y 1 = u nn x n y n dobimo od tod pa algoritem u ii x i + u i,i+1 x i u in x n = y i, i = 1,, n, za i = n, n 1,, 1 ( x i = 1 u ii y i n j=i+1 u ijx j ); Število operacij je n i=1 (2 + 2(i 1)) = n2 + n (še deljenja na diagonali)
34 Sistemov ne rešujemo s pomočjo inverzne matrike B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Za LU razcep je potrebnih 2 3 n3 + O(n 2 ) operacij, ko pa L in U že poznamo, za reševanje Ax = b porabimo še dodatnih 2n 2 + O (n) operacij Za reševanje sistema Ax = b nikoli ne uporabljamo inverzne matrike A 1, saj: za množenje A 1 b porabimo 2n 2 operacij, kar ni ceneje od reševanja obeh trikotnih sistemov z matrikama L in U; za izračun A 1 potrebujemo 2n 3 operacij, kar je trikrat toliko kot LU razcep; numerične napake so kvečjemu večje Tudi kadar je potrebno izračunati A 1 B, to naredimo tako, da rešimo sistem AX = B
35 Potreba za pivotiranjem B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Metoda odpove, če je kateri pivot enak 0, numerično pa odpove tudi, če je pivot blizu 0 LU razcep na tri decimalna mesta [ ] Za A = izračunamo 1 1 L = [ ] [ ] [ ] , U = = fl( ) Velja LU = [ ] A, napaka pa je ogromna 1 0 Rešitev obeh težav je pivotiranje, kjer v algoritem vgradimo zamenjavo vrstic (delno pivotiranje), lahko pa tudi stolpcev (kompletno pivotiranje) Pri delnem pivotiranju pred eliminacijo v j-tem stolpcu primerjamo a jj, a j+1,j,, a nj in zamenjamo j-to vrstico s tisto, ki vsebuje maksimalni element Tako je pri nesingularni matriki v vsakem koraku pivot neničelen, če je le prvotna matrika neizrojena
36 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Kot rezultat dobimo razcep PA = LU, kjer je P permutacijska matrika To preverimo takole Razcep s pivotiranjem po vrsticah zapišemo kot U = L n 1 P n 1 L 2 P 2 L 1 P 1 A, kjer je P j premutacijska matrika, ki zamenja vrstice na koraku j, torej vrstici j in q j Torej je Lj := (P n 1 P j+1 ) L j (P n 1 P j+1 ) 1 tudi trikotna matrika Od matrike L j se razlikuje le v tem, da ima morda dele vrstic j : n v stolpcih 1 : j 1, v drugačnem vrstnem redu Če izberemo 1 1 L := L 1 L n 1, P := P n 1 P 1, dobimo iskani razcep Zaradi pivotiranja so v matriki L vsi elementi po absolutni vrednosti omejeni z 1 Izrek Če je A nesingularna, potem obstaja taka permutacijska matrika P, da obstaja LU razcep PA = LU, kjer je L spodnja trikotna matrika z enicami na diagonali in U zgornja trikotna matrika
37 Delno pivotiranje Pred eliminacijo v j-tem stolpcu primerjamo a jj, a j+1,j,, a nj in zamenjamo j-to vrstico s tisto, ki vsebuje maksimalni element Dodatno delo zahteva O ( n 2) primerjanj Algoritem: za j = 1,, n 1 poišči indeks vrstice q, da velja a qj = max j p n a pj ; zamenjaj vrstici q in j, v matriki A, stolpci j : n, in matriki L, stolpci 1 : j 1; za i = j + 1,, n l ij = a ij a jj ; za k = j + 1,, n a ik = a ik l ij a jk ; Reševanje sistema Ax = b z delnim pivotiranjem: 1) PA = LU, 2) Ly = Pb, 3) Ux = y B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
38 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Zgled za delno pivotiranje LU razcep z delnim pivotiranjem za A = Vsakič, ko zamenjamo vrstici, zamenjavo naredimo tudi v P Ker matriko L hranimo v spodnjem trikotniku A, z zamenjavo vrstic opravimo tudi potrebno zamenjavo v L A (1) = A (2) = , P = , , P = Dobimo L = 1 1, U = 2 2 in PA = LU
39 LU razcep s kompletnim pivotiranjem B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 V j-tem stolpcu pivotni element izbiramo iz cele podmatrike A(j : n, j : n), nato pa izvedemo zamenjavo vrstic in stolpcev Na koncu dobimo razcep PAQ = LU, kjer sta P in Q permutacijski matriki za vrstice oziroma stolpce Število operacij je enako kot pri osnovnem LU razcepu, število primerjanj pa je O(n 3 ) Pri kompletnem pivotiranju sistem Ax = b rešujemo po korakih: 1) PAQ = LU, 2) Ly = Pb =: b, 3) Ux = y, 4) x = Qx
40 Zgled za kompletno pivotiranje Sistem z A = in b = 7, rešimo z LU razcepom s polnim pivotiranjem A (1) = , P = 1 0 0, Q = 0 1 0, A (2) = , P = 0 0 1, Q = Razcep je PAQ = LU, kjer sta L = 1 1 in U = Dobimo b = Pb = 3, y = 2, x = 1 in x = B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
41 Analiza napak za LU razcep B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Naj bo x numerično izračunana rešitev, x pa točna rešitev Velja (A + δa) x = b, kjer je δa 3gn 3 u A in g pivotna rast g := max i,j u ij max i,j a ij Pri LU razcepu brez pivotiranja je lahko pivotna rast poljubno velika Pri delnem pivotiranju je pivotna rast omejena z 2 n 1, ponavadi pa je O(n 2/3 ) Pri kompletnem pivotiranju je pivotna rast še manjša, vendar je dodatno delo ponavadi preveliko, da bi se to splačalo
42 Matlab Za računanje norme uporabimo ukaz norm Uporaba: norm(a) ali norm(a,2): spektralna ali 2-norma A 2 norm(a,1): 1-norma A 1 norm(a, inf ): -norma A norm(a, fro ): Frobeniusova norma A F Za reševanje linearnega sistema Ax = b uporabljamo v Matlabu operator \ v obliki x = A\b LU razcep z delnim pivotiranjem dobimo z ukazom lu Uporaba: [L,U,P]=lu(A): L je spodnje trikotna z enicami na diagonali, U je zgornja trikotna in P permutacijska matrika, da je LU = PA [L,U]=lu(A): U je spodnje trikotna, L pa po vrsticah spermutirana spodnje trikotna z enicami na diagonali, da je LU = A B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
43 B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Za izračun oziroma oceno občutljivosti imamo na voljo naslednje ukaze: cond(a) ali cond(a,2) izračuna κ 2 (A) preko singularnih vrednosti oziroma ukaza svd cond(a,1) izračuna κ 1 (A), uporablja inv(a) in porabi manj dela kot cond(a,2) cond(a, inf ) izračuna κ (A), ukaz je ekvivalenten rbcond(a,1) condest(a) vrne oceno za κ 1 (A), ki jo izračuna po Highamovi izboljšavi Hagerjevega algoritma
44 Kompleksni sistem B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Rešujemo sistem linearnih enačb Ax = b, kjer je A C n n in x, b C n Če računamo v kompleksni aritmetiki, potem lahko uporabimo kar LU razcep z delnim pivotiranjem Sistem lahko prevedemo na dvakrat večji realni sistem [ ] [ ] [ ] A1 A 2 x 1 b1 =, A 2 A 1 x 2 b 2 kjer je A = A 1 + i A 2, x = x 1 + i x 2 in b = b 1 + i b 2 Če primerjamo število realnih operacij, je prvi način za polovico cenejši
45 Tridiagonalne matrike B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Razcep LU brez pivotiranja tridiagonalne matrike a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 A = c n 1 a n 1 b n 1 c n a n je 1 u 1 b 1 l 2 1 L = in U = l n 1 u n 1 b n 1 u n Za razcep in nadaljnje reševanje sistema Ax = b potrebujemo O(n) operacij in O(n) prostora, saj shranimo le neničelne diagonale matrik A, L in U
46 Tridiagonalne matrike in delno pivotiranje B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Pri delnem pivotiranju dobimo u 1 v 1 w 1 U = u n 2 v n 2 w n 2 u n 1 v n 1 u n pivotna rast pa je omejena z 2 To pomeni, da je reševanje tridiagonalnega sistema preko razcepa LU z delnim pivotiranjem obratno stabilno Podobno velja za pasovne matrike, ki imajo poleg glavne še p diagonal nad in q diagonal pod glavno diagonalo,
47 Simetrične pozitivno definitne matrike Razcep A = VV T imenujemo razcep Choleskega, V pa faktor Choleskega B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 A R n n je simetrična pozitivno definitna (spd), če je A = A T in za vsak x 0 Izrek Velja: x T Ax > 0 1) Naj bo det Y 0 Potem je A spd Y T AY spd 2) A spd in H = A(1 : k, 1 : k) poljubna vodilna podmatrika, k n, = H spd 3) A spd in H = A([i 1 i 2 i k ], [i 1 i 2 i k ]) poljubna podmatrika, simetrična glede na diagonalo = H spd 4) A spd A = A T in vse lastne vrednosti A so pozitivne 5) A spd = a ii > 0 za i in max i,j a ij = max i a ii 6) A spd = LU razcep brez pivotiranja se izvede in u ii > 0 za i 7) A spd obstaja taka nesingularna spodnja trikotna matrika V s pozitivnimi elementi na diagonali, da je A = VV T
48 Razcep Choleskega Če iz A = VV T zapišemo enačbo za a jk, j k, dobimo a jk = k k 1 v ji v ki = v ji v ki + v jk v kk, i=1 i 1 odtod pa algoritem za razcep Choleskega: za k = 1,, n ( k 1 v kk = a kk i=1 v 2 ki ) 1/2 za j = k + 1,, n ( ) v jk = 1 k 1 a jk v ji v ki v kk i=1 n Število operacij je (2k + 2(n k)k) = 1 3 n3 + O(n 2 ) k=1 Poleg polovice manj operacij porabimo tudi polovico manj prostora kot pri LU razcepu B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53
49 Zgled za razcep Choleskega B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Vzemimo matriko A = Razcep Choleskega da faktor V = Če A ni spd, se v algoritmu pod korenom pojavi nepozitivna vrednost Računanje razcepa Choleskega je najcenejša metoda za ugotavljanje pozitivne definitnosti simetrične matrike
50 Stabilnost razcepa Choleskega B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Reševanje spd sistema Ax = b: 1) A = VV T, 2) V y = b, 3) V T x = y Iz analize napak sledi, da izračunana rešitev x zadošča (A + δa) x = b, kjer je δa 3n 2 ɛ A To pomeni, da je reševanje preko razcepa Choleskega numerično stabilno
51 Simetrične nedefinitne matrike B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Pri simetrični matriki ne želimo uporabljati razcepa LU, saj ne ohranja simetrije Za nesingularno A obstaja razcep PAP T = LDL T, kjer je L spodnja trikotna matrika z enicami na diagonali, D pa bločno diagonalna matrika z bloki 1 1 ali 2 2 Število operacij za razcep je n O(n2 ) Zgled za to, da potrebujemo 2 2 bloke v D je npr A = [ ]
52 Razpršene matrike B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Matrika je razpršena, če je večina njenih elementov enakih 0, ostali pa nimajo kakšne posebne strukture Pri taki matriki shranimo le indekse in vrednosti neničelnih elementov Pri LU razcepu razpršene matrike oz razcepu Choleskega za spd razpršeno matriko so lahko faktorji L, U oziroma V daleč od razpršenosti Pomaga lahko, če stolpce in vrstice predhodno tako preuredimo, da bo pri razcepu nastalo čim manj novih neničelnih elementov Obstajajo različni algoritmi in pristopi, ki za različne tipe matrik dajejo različne rezultate Ponavadi se za razpršene matrike uporablja iterativne metode namesto direktnih
53 Matlab in posebni sistemi B Plestenjak, JKozak: Numerične metode / 53 Razcep Choleskega dobimo z ukazom chol Uporaba: V = chol(a): V je taka zgornja trikotna matrika, da je A = V T V Če A ni simetrična pozitivno definitna, dobimo sporočilo o napaki Za delo z razpršenimi matrikami imamo na voljo več ukazov, podroben seznam dobimo z help sparfun, nekaj glavnih ukazov pa je: sparse: konstrukcija razpršene matrike, tako npr A=sparse(B) naredi razpršeno matriko A z neničelnimi elementi matrike B, A=sparse(i,j,a,m,n) pa naredi razpršeno matriko velikosti m n z neničelnimi elementi a k na indeksih (i k, j k ) B=full(A): iz razpršene matrike naredi nazaj polno spy(a): grafično prikaže strukturo matrike A in število neničelnih elementov nz(a): število neničelnih elementov normest(a): oceni 2-normo matrike A
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότερα5.1 Predpogojevanje. K 1 Ax = K 1 b,
5.1 Predpogojevanje Konvergenca metod podprostorov za reševanje linearnega sistema Ax = b je v veliki meri odvisna od razporeditve lastnih vrednosti (in lastnih vektorjev) matrike A. Kadar je konvergenca
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραNumerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραKanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.
Kanonična oblika linearnega programa.. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru min c T x p. p. Ax = b x 0 Kako dobimo
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode Bor Plestenjak soba 4.04 bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm asistent: Gašper Jaklič Režim 2 sklopa domačih nalog - 20% pisne ocene
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode (matematika)
Bor Plestenjak Uvod v numerične metode (matematika) delovna verzija verzija: 5. oktober 202 Kazalo Uvod 5. Numerična matematika................................. 5.2 Plavajoča vejica......................................
Διαβάστε περισσότεραBor Plestenjak. Numerične metode. delovna verzija. verzija: 4. marec 2010
Bor Plestenjak Numerične metode delovna verzija verzija: 4. marec 200 Kazalo Uvod 7. Numerična matematika................................. 7.2 Plavajoča vejica...................................... 0.3
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραNumerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραIterativne numerične metode v linearni algebri
Bor Plestenja Iterativne numerične metode v linearni algebri sripta verzija: 2. januar 204 Kazalo Klasične iterativne metode za linearne sisteme 4. Uvod............................................ 4.2
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in vektorji
Poglavje Lastne vrednosti in vetorji Naloga Gerschgorinov izre Naj bo A C n n in C i = {z C i, z a ii n j=,j i a ij } rog v omplesni ravnini, za i =,, n Vse lastne vrednosti matrie A ležijo v uniji rogov
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότερα8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tinkara Toš Algoritmi nad grafi v jeziku linearne algebre DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραMATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE
Biometrija 1 Poglavje 1 MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE 11 Skalar Skalar je matrika reda 1 x 1 Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene) črkami kot npr y i
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα