Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/16/2017

Transcript

1 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Εισαγωγή Από την πλευρά της θεωρίας πιθανοτήτων και της στατιστικής τα φαινόμενα-διεργασίες χωρίζονται σε δύο γενικές κατηγορίες: Αιτιοκρατικά: Οι συνθήκες διεξαγωγής ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα (ισχύει ο νόμος αιτίου αιτιατού). Σε αυτή την περίπτωση, όταν οι συνθήκες διεξαγωγής παραμένουν αμετάβλητες, οι επαναλήψεις του πειράματος οδηγούν πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, η ένωση δύο ατόμων υδρογόνου και ενός οξυγόνου σε ένα μόριο νερού, το σημείο βρασμού ενός υγρού. Στοχαστικά: Αυτού του είδους τα πειράματα περιέχουν στοιχεία τύχης. Τα αποτελέσματα πολλαπλών διεξαγωγών τέτοιων πειραμάτων διαφέρουν κάτω από σταθερές συνθήκες διεξαγωγής. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει αβεβαιότητα στην έκβαση του φαινομένου, και αυτή η αβεβαιότητα είναι ανεξάρτητη από τον όγκο πληροφορίας που κατέχουμε σχετικά με την προϊστορία του πειράματος. Γενικά λοιπόν δεν είμαστε σε θέση να καθορίσουμε την μελλοντική του εξέλιξη. Στοχαστικά πειράματα και Δειγματικοί χώροι Με τον όρο τυχαίο πείραμα (adom expemet) εννοούμε την διεξαγωγή ενός στοχαστικού πειράματος όπου:. Έχουμε τη δυνατότητα πολλαπλών επαναλήψεων με σταθερές συνθήκες διεξαγωγής.. Δεν μπορούμε να κάνουμε πρόγνωση του αποτελέσματος. 3. Είναι γνωστό το σύνολο Ω των δυνατών αποτελεσμάτων.

2 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος ονομάζεται δειγματικός χώρος (sample space) ή απλά χώρος του πειράματος και θα το συμβολίζουμε με Ω. Τα στοιχεία ω Ω, είναι τα στοιχειώδη ενδεχόμενα (δειγματικά σημεία sample pots). Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τον αριθμό των στοιχείων τους, τον πληθικό αριθμό Ω του Ω, διακρίνονται σε:. Πεπερασμένα αριθμήσιμους: Όταν ο χώρος του πειράματος Ω έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, δηλαδή πληθικό αριθμό Ω <. Άπειρα αριθμήσιμους: Όταν τα στοιχεία του χώρου Ω μπορούν να αντιστοιχηθούν με το σύνολο των φυσικών αριθμών με μια ένα προς ένα και επί αντιστοιχία, τότε Ω ℵ Μη αριθμήσιμους χώρους (συνεχείς): Όταν τα στοιχεία ενός δειγματικού χώρου μπορούν να αντιστοιχηθούν με τα σημεία ενός πεπερασμένου ή άπειρου υποδιαστήματος ( ab, ) του, τότε ( ab, ) c. Παραδείγματα δειγματικών χώρων. Π { ρίχνουμε ζάρι} και παρατηρούμε την ένδειξη ω Ω όπου Ω { ω : ω 6 }, Ω 6. Π { ρίχνουμε ζάρια} και παρατηρούμε τις δύο ενδείξεις ω ( ω, ω) Ω όπου ω ( ω, ω ) : ω 6,, { } Ω, Ω Ω Ω Ω 6. Π { ρίχνουμε ζάρια} και παρατηρούμε τις { ω ( ω,, ω ) : ω 6,,, } Ω, Ω Ω Ω Ω. 6 ενδείξεις ω ( ω ω ) Ω όπου,,. Π { ρίχνουμε νόμισμα} και παρατηρούμε την ένδειξη ω Ω, όπου Ω { T, H} { 0, }, Ω με T γράμματα (Tals), H κεφαλή (Heads) Π ρίχνουμε 3 νομίσματα} και παρατηρούμε την ένδειξη ω ( ω, ω, ω ) Ω, όπου 3 { 3 3

3 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 { ω ( ω, ω, ω ) : ω { T, H},,, 3} { HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT} {,0,0,00,0,00,00,000 }. Ω 3 3,,,,,,,, Ω 3 3 Π { ρίχνουμε νομίσματα} και παρατηρούμε την ένδειξη ω ( ω,, ω) Ω, όπου { ω ( ω,, ω ) : ω { T, H},,, } Ω HH, HHT,, T T, Ω, 0,, Π { αριθμός των ελαττωματικών μονάδων, σε γραμμή παραγωγής m μονάδων προϊόντος}, τότε Ω { 0,,, m} και Ω m Π { ο αριθμός των σωματιδίων που εκπέμπονται από μια ραδιενεργή πηγή στην χρονική περίοδο [ 0,T ] }, τότε { 0,,, } { 0 }, { 0} 0 Ω Ω ℵ 6. Η καμπύλη καταγραφής παλμών σεισμογράφου για την χρονική περίοδο 0 0 ([ 0, T], ) { οι συνεχείς συναρτήσεις ϕ [ T ] Ω C. : 0, } όπου Ω c. [ 0,T ] 7. Ρίχνουμε ένα βελάκι σε κυκλικό στόχο με ακτίνα R. Με την προϋπόθεση ότι το βελάκι πάντα προσγειώνεται σε εσωτερικό σημείο του στόχου, μετράμε την απόσταση του ω από το κέντρο K { ω : 0 ω R} [ 0, R), [ 0, R) Ω < Ω c. Σε ένα τυχαίο πείραμα οι συνδυασμοί στοιχειωδών ενδεχομένων αποτελούν τα ενδεχόμενα (ή γεγονότα), και είναι υποσύνολα του Ω. 0 Από το Cato Beste Schoede theoem έχουμε ότι ( ab), c, c ℵ επίσης 3

4 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ένα ενδεχόμενο A Ω λέμε ότι πραγματοποιείται (ealzed), όταν για το στοιχειώδες ενδεχόμενο ω Ω που προκύπτει από την εκτέλεση του τυχαίου πειράματος, έχουμε ω A. Επειδή το σύνολο και το Ω είναι υποσύνολα του Ω, είναι και αυτά ενδεχόμενα. Το κενό σύνολο είναι το αδύνατο ενδεχόμενο ενώ Ω το είναι το βέβαιο ενδεχόμενο. Παράδειγμα Έστω το τυχαίο πείραμα της ρίψης των 3 νομισμάτων, και A Ω το ενδεχόμενο A { τουλάχιστον κεφαλές } { HHH, HHT, HTH, THH}. Εάν σε μια επανάληψη του πειράματος πραγματοποιηθεί το δειγματικό σημείο ω HHT, λέμε ότι το ενδεχόμενο A πραγματοποιήθηκε. Εάν όμως πραγματοποιηθεί το δειγματικό σημείο ω HTT, θα έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A Ω \ A { ω Ω: ω A}. Επειδή A 4, λέμε ότι υπάρχουν 4 τρόποι για την πραγματοποίηση του A. Γενικότερα έχουμε ότι για κάθε A Ω, A ο αριθμός των τρόπων πραγματοποίησης του A. Πράξεις με ενδεχόμενα Επειδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του Ω, συμπεράσματα που αναφέρονται σε ενδεχόμενα μπορούν να διατυπωθούν στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων και αντίστροφα. Έτσι έχουμε μια άλγεβρα ενδεχομένων αντίστοιχη της άλγεβρας συνόλων.. A B ( A B) : Η πραγματοποίηση του ενδεχομένου A συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου B. A B ( A B A B) ( A B) : Ισότητα δύο ενδεχομένων. 3. A B: Πραγματοποίηση του A ή του B ή και των μαζί, δηλαδή, πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα A και B 4. A B AB : Ταυτόχρονη πραγματοποίηση των A και B. Εάν AB, τα A και B είναι ενδεχόμενα ασυμβίβαστα δηλαδή είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα και δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα. 5. A Ω \ A { ω Ω: ω A} : Η μη πραγματοποίηση του A είναι ένα ενδεχόμενο. Όταν δεν 4

5 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 πραγματοποιείται το A, πραγματοποιείται το συμπλήρωμα A του A ως προς το Ω. Ισχύει ότι A A Ω και AA. 6. A\ B { ω Ω: ω A ω B} : Πραγματοποίηση του ενδεχομένου A και μη πραγματοποίηση του ενδεχομένου B. 7. A B : H συμμετρική διαφορά των A και B είναι το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A και B. 8. A : Πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός ενδεχομένου από την άπειρη ακολουθία ενδεχομένων { : } 9. A A. : Ταυτόχρονη πραγματοποίηση όλων των ενδεχομένων της άπειρης ακολουθίας ενδεχομένων { : } A. Ταυτότητες και ιδιότητες Ω, Ω, ( A ) A Ω AΩ, Ω A A A AΩ, AA. Αντιμετάθεση (Commutatvty) A B B A, AB BA Προσεταιρισμός (Assocatvty) A ( B C) ( A B) C, A( BC) ( AB) C Επιμερισμός (Dstbutvty) A( B C) AB AC, A ( BC) ( A B)( A C) Πρόταση: (Επιμερισμός) Η τομή είναι επιμεριστική ως προς την ένωση και η ένωση επιμεριστική ως προς την τομή ( ) ( )( ) A B C AB AC A BC A B A C. 5

6 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 A( B C) ( A B C) ( A ( B C) ) (( ω A ω B) ( ω A ω C) ) (( ω AB) ( ω AC) ) ω ω ω ω ω ω ω AB AC. ( A B A C ) (( A B) ( A C) ) A ( BC) ( A BC) A ( B C) ( ω ω ) ( ω ω ) ω ω ( A B)( A C) ω ω ω ω ω ω ω Πρόταση: Οι νόμοι του De Moga A A και A A ( A ) j ( Aj) A A A A ( A j ) ω ω ω ω ω ω ω ( A ) j ( Aj) A A A A ( A j ) ω ω ω ω ω ω ω Παράδειγμα : Χρησιμοποιώντας μία από τις σχέσεις De Moga αποδείξτε την άλλη ( ) B A A A A A B B. Παράδειγμα : H συμμετρική διαφορά A B των A και B είναι το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα A και B. Δείξτε ότι A B ( AB ) ( BA ) A B A B AB A B AB A B A B \ ( AA ) ( AB ) ( BA ) ( BB ) ( AB ) ( BA ) ( AB ) ( BA ) Ορισμός: Μια ακολουθία ενδεχομένων { }. Αύξουσα A A A A3. Φθίνουσα A A A A3 A λέμε ότι είναι μονότονη όταν: Ορισμός: Το όριο μονότονης ακολουθίας ενδεχομένων { } A ορίζεται με τον εξής τρόπο: 6

7 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 lm A { } sup A A, A f A A, { } A Παράδειγμα : Δίνεται Ω και η ακολουθία ενδεχομένων { A }, με A [ a, b] < a < γ < b <. Να βρεθεί το lm A a a, b b, a, a b b, a, a b b. και, εάν υπάρχει, στις εξής περιπτώσεις: a a, b b,. a, b [ ] ( ( ( J a, b a, b f J J a, b a, b [ ] (,, + sup, + +, + M a b a b M a b a b + + μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A ( a, b.. a, b [, ], ) f, ), ) J a b a b J a b a b [, ], sup,, ) M a b a b M a b a b μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A a, b ). 3. a, b [ ] [ ], lm,, + A a b A a b a b 4. a, b A a b A a b a b. [, ] lm [, ] ( +, ) Παράδειγμα Δίνεται ότι Ω και έστω η ακολουθία ενδεχομένων { A } με ( /, + / ) τότε { A } και + a, a+ a, b [ aa, ] { a} A { a }. A a a 7

8 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παράδειγμα Παρατηρεί κάποιος τις τιμές κλεισίματος μιας μετοχής σε χρηματιστήριο και μετράει τις ημερήσιες συνεδριάσεις έως ότου η τιμή της μετοχής γίνει για πρώτη φορά, μεγαλύτερη * ή ίση από την τιμή p. * * { }, { } A p < p A p p { A, AA, AAA,, A A A, } Ω ω ω ω ω 3 3 Η αρχή του δυισμού στην άλγεβρα ενδεχομένων, λέει ότι κάθε σχέση μεταξύ ενδεχομένων παραμένει αναλλοίωτη εάν: οι τομές αντικατασταθούν με ενώσεις και οι ενώσεις με τομές, τα ενδεχόμενα με τα συμπληρωματικά τους και αντιστραφούν τα σύμβολα περιεκτικότητας σε, και σε. Παραδείγματα. A B A B. ω A ω A 3. Οι νόμοι De Moga. Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας την αρχή του δυισμού η είναι επιμεριστική ως προς την εάν και μόνον εάν η είναι επιμεριστική ως προς την. Πράγματι ( ) ( ) ( )( ) A B C AB AC A B C A B A C Σημειώστε ότι:. ω A ω A ω A ω A το ω ανήκει σε τουλάχιστον ένα από τα A.. ω A ω A ω A ω A 8

9 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 το ω δεν ανήκει σε κανένα από τα A. 3. ω A ω A ω A ω A το ω ανήκει ταυτόχρονα σε όλα τα A. 4. ω A ω A ω A ω A το ω δεν ανήκει σε τουλάχιστον ένα από τα A. Πολυώνυμα ενδεχομένων. Έστω { A A } οικογένεια ενδεχομένων του δ.χ. Ω. Κάθε άλλο ενδεχόμενο που,, εκφράζεται συναρτήση των στοιχείων της του συμπληρώματος λέγεται πολυώνυμο ενδεχομένων της και των πράξεων της τομής, της ένωσης και. Ένα βασικό πολυωνυμικό ενδεχόμενο είναι της μορφής C C C όπου C A είτε C A για κάθε. 3. Υπάρχουν τέτοια ενδεχόμενα, και όλα μαζί συνθέτουν το σύνολο των βασικών πολυωνύμων με ενδεχόμενα από την που συμβολίζουμε με ( ), έτσι { C C C : C A C A, } ( ). 4. Κάθε πολυωνυμικό ενδεχόμενο εκφράζεται με μοναδικό τρόπο σαν ένωση βασικών πολυωνυμικών ενδεχομένων. 5. Η ένωση όλων των βασικών πολυωνυμικών γεγονότων δίνει το Ω δηλαδή και κάθε φορά μπορεί να πραγματοποιηθεί ένα και μόνο ένα ενδεχόμενο του. B B ή ισοδύναμα ότι τα ενδεχόμενα του είναι ανά ασυμβίβαστα. Λέμε τότε ότι η οικογένεια ( ) διαμερίζει τον δ.χ. Ω. ( { A} ) { AA, } ( { A, B} ) { AB, A B, AB, A B } { A B C} Ω (,, ) { ABC, A BC, AB C, ABC, A B C, A BC, AB C, A B C } 9

10 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Για παράδειγμα τα ενδεχόμενα «συμπλήρωμα του Β ως προς Α» και «συμμετρική διαφορά των Α και Β» εκφράζονται σαν συνάρτηση των συνόλων AA,, Bκαι B και των πράξεων της τομής και της ένωσης εφόσον A \ B AB και A B AB A B. Όταν υπάρχουν 4 βασικά πολυώνυμα που είναι ανά δύο ασυμβίβαστα μεταξύ τους και ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να αναπαρασταθεί σαν Ω ( A A )( B B ) AB AB A B A B Όταν 3 υπάρχουν 8 βασικά πολυώνυμα ανά ξένα μεταξύ τους και ο δ.χ. Ω μπορεί να αναπαρασταθεί σαν την ένωση 8 ασυμβίβαστων ενδεχομένων: Ω ( A A )( B B )( C C ) ( AB AB A B A B )( C C ) ABC ABC AB C AB C A BC A BC A B C A B C Παράδειγμα Χρησιμοποιείστε το σύνολο 3 των βασικών πολυωνύμων με τρία ενδεχόμενα AB, και C για να δείξετε ότι το ενδεχόμενο A\ A\ B\ ( B\ C ) είναι πολυωνυμικό στα AB, και C. ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) A \ A \ B \ B \ C A \ A \ B \ BC A \ A \ B BC A \( A \( B ( B C) )) A \( A \( BC) ) A \ A( BC) A A( BC) A( A BC) ABC Παρατηρείστε ότι στο προηγούμενο παράδειγμα η εναλλαγή A B C A και A C B A δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. 0

11 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( ( )) ( ) A \ A \ B \ B \ C ABC B \ B \ C \ C \ A BCA ABC Άσκηση Να εκφραστούν με την βοήθεια βασικών πολυωνύμων (περίπτωση 3) τα ενδεχόμενα:. ( A B)( B C). AB AC BC. ( A B)( B C) ( AB B) ( AC BC) AC ( B AB BC) στην τελευταία παρένθεση παρατηρούμε ότι AB, BC B B AB BC B και έτσι ( A B)( B C) AC B. Για να εμφανίσουμε τα βασικά πολυώνυμα στο δεξιό μέλος της προηγούμενης σχέσης παρεμβάλουμε το Ω ( ) ( ) ( ) AC B AΩC ΩBΩ A B B C A A B C C. ABC AB C A BC ABC A BC AB AC BC AB( C C ) A( B B ) C ( A A ) BC ABC A BC AB C ABC B Οι τρεις βασικοί ορισμοί της πιθανότητας Υπάρχουν τρεις βασικοί ορισμοί της πιθανότητας ενός ενδεχομένου ο κλασικός, ο εμπειρικός, και ο αξιωματικός.. Ο κλασικός ορισμός ξεκίνησε από τη μελέτη των προβλημάτων που εμφανίζονται στα τυχερά παιγνίδια (πεπερασμένοι δειγματικοί χώροι με ισοπίθανα δειγματικά σημεία) όπου μπορούμε να γνωρίζουμε από πριν (χωρίς πρώτα την διεξαγωγή κάποιου πειράματος) την πιθανότητα εμφάνισης των στοιχειωδών ενδεχομένων ενός δειγματικού

12 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 χώρου (a po pobablty).. Ο εμπειρικός ορισμός στηρίζεται στην εμπειρία από τις προηγούμενες επαναλήψεις τυχαίων πειραμάτων. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι η σχετική συχνότητα με την οποία το ενδεχόμενο παρουσιάζεται σε ένα συνολικό αριθμό διεξαγωγών του πειράματος. Με τον εμπειρικό ορισμό δεν χρειάζεται η εκ των προτέρων γνώση της πιθανότητας στοιχειωδών ενδεχομένων. Η πειραματικά υπολογιζόμενη πιθανότητα εξαρτάται από τον συνολικό αριθμό διεξαγωγών του πειράματος, πράγμα που δυσχεραίνει την ανάπτυξη θεωρίας πιθανοτήτων βασισμένη σε αυτόν τον ορισμό. 3. Ο αξιωματικός ορισμός είναι μαθηματικό δημιούργημα, και είναι συμβιβαστός με τους προηγούμενους δύο ορισμούς. Σε αυτόν τον ορισμό είναι που έχει αναπτυχθεί ολόκληρη η θεωρία πιθανοτήτων. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας ή ορισμός της πιθανότητας κατά Laplace ή εκ των προτέρων ορισμός Έστω Ω { ω, ω,, ω } πεπερασμένος δειγματικός χώρος, Ω <, όπου όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ω έχουν τις ίδιες ευκαιρίες να εμφανιστούν, είναι δηλαδή ισοπίθανα (κλασικό σχήμα) και οικογένεια ενδεχομένων από του Ω. Τότε η συνάρτηση (συνολοσυνάρτηση) P : [ 0,] που ορίζεται πάνω στα υποσύνολα A του A P A Ω Ω έτσι ώστε: A πληθος των τροπων µε τους οποιους µπορει να πραγµατοποιηθει το A πληθος ολων των δυνατων αποτελεσµατων ονομάζεται μέτρο πιθανότητας και οι πιθανότητες που υπολογίζονται με την προηγούμενη σχέση λέγονται κλασικές. Επίσης, η συνάρτηση P : [ 0,] έχει τις εξής ιδιότητες:. PA 0, Α Ω. P( Ω ) 3. PA ( B) PA + PB, AB, Σ, AB. Η ιδιότητα (), η ονομάζεται απλή προσθετική ιδιότητα, και ισχύει επειδή όταν AB έχουμε A B A + B Μπορούμε να επεκτείνουμε την ιδιότητα () επαγωγικά για κάθε >

13 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 P A P( A), AA j, j Επειδή P( Ω ) θα έχουμε P ( { ω, ω,, ω } P { ω} { ω } ) P( ω ) + + P( ω ) P( ω ) P( ω ) /,,, Εάν το A μπορεί να πραγματοποιηθεί με A τότε. τρόπους, δηλαδή A { ω, ω,, } ω P A P ({ ω} { ω } { }) ω Ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας ή αλλιώς ορισμός της πιθανότητας κατά Vo Msses ή εκ των υστέρων ορισμός Η εμπειρία έχει δείξει ότι η σχετική συχνότητα (elatve fequecy) με την οποία εμφανίζεται κάποιο ενδεχόμενο A Ω μετά από επαναλήψεις ενός τυχαίου πειράματος (τ.π.), οριακά, δηλαδή όταν, σταθεροποιείται σε κάποια συγκεκριμένη τιμή την οποία παίρνουμε σαν την πιθανότητα P( A ) του ενδεχομένου A, δηλαδή, lm A P A όπου A είναι ο αριθμός των πραγματοποιήσεων του ενδεχομένου A στις επαναλήψεις του τ.π. Εάν κατά την επανάληψη του τ.π. πραγματοποιείται το ω Ω και ορίσουμε την δείκτρια συνάρτηση ω A ( ω A) A ( ω A) P( A) lm ( ω A) 0 ω A. Μαθηματικός ορισμός της πιθανότητας ή αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας είτε ορισμός κατά Kolmogoov Ο κλασικός και ο εμπειρικός ορισμός της πιθανότητας έχουν σοβαρές αδυναμίες γιατί η υπόθεση του ισοπίθανου είναι μη ρεαλιστική και του ορίου του lm ( ω A) είναι 3

14 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ασαφής. Μόνο ιδεώδη πειράματα τύχης οδηγούν σε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα. Ρίψεις τίμιων ζαριών και νομισμάτων, και γενικότερα τυχερά παιγνίδια. Σε πολλές περιπτώσεις ο πληθικός αριθμός Ω δεν είναι πεπερασμένος. Πρακτικά, μπορούμε να γνωρίζουμε μόνο κάποιο άνω και κάτω φράγμα για το όριο του lm ( ω A), πράγμα που κάνει την ανάπτυξη μιας πιθανοθεωρίας βασισμένης στον εμπειρικό ορισμό δύσκολη. Ο ορισμός της πιθανότητας κατά Kolmogoov δίνει την έννοια του μέτρου πιθανότητας πάνω στα περισσότερα υποσύνολα του Ω και είναι συμβιβαστός με τους προηγούμενους δύο ορισμούς. Εάν είναι μια οικογένεια υποσυνόλων (ενδεχομένων) του Ω ονομάζουμε την τριάδα ( Ω,,P) με P : χώρο πιθανότητας, εάν ισχύουν οι επόμενες 6 συνθήκες. Ω. A, τότε A 3. A A 4. Εάν A A τότε P( A) 0. A, A,, A Σ, AA, j P A P( A). 5. j αµοιβαια ξενα µεταξυ τους 6. P( Ω ). Μία συλλογή που ικανοποιεί τις συνθήκες (.) έως και (3.) ονομάζεται σ-πεδίο (σ feld) Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σ -πεδίο που ικανοποιεί τις συνθήκες (4.) έως και (6.) ονομάζεται μέτρο πιθανότητας. Ο μαθηματικός ορισμός της πιθανότητας βασίστηκε στην θεωρία μέτρου και χρησιμοποιείτε από το 930 οι συνθήκες (4.) έως και (6.) ονομάζονται αξιώματα του Kolmogoov. 4

15 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παρατηρήστε ότι και οι τομές ανήκουν σε ένα σ-πεδίο διότι εάν A, A Σ με θα έχουμε και ( A ) A,, A Σ A,, A Σ A Σ Σ A Σ, Τα σ-πεδία χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν δομές πληροφορίας. Τα στοιχεία του Ω είναι όλα τα γνωστά αποτελέσματα του πειράματος. Ένα σ-πεδίο, που εξ ορισμού είναι ένα σύνολο υποσυνόλων του Ω (οικογένεια υποσυνόλων του Ω ) είναι κατά κάποιο τρόπο το σύνολο όλων των πιθανών ερωτήσεων που μπορεί κάποιος να θέσει για το πείραμα. Δηλαδή το σ-πεδίο είναι η συνολική πληροφορία που έχουμε για το στοχαστικό πείραμα. Οι ιδιότητες του σ-πεδίου έχουν επιλεχθεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε αν κάποιος μπορεί να κάνει τις ερωτήσεις:. Μπορεί να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A Ω;. Μπορεί να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο B Ω; τότε να μπορεί να κάνει και τις ερωτήσεις:. μπορεί να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα A και B ; (πραγματοποίηση του A B). μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα τα Α και Β ; (πραγματοποίηση του A B) 3. μπορεί να μη συμβεί το Α; (πραγματοποίηση του A ) Έτσι το πεδίο ορισμού του μέτρου πιθανότητας με «φυσικό» τρόπο πρέπει να είναι σ- πεδίο. Συνέπειες του μαθηματικού ορισμού της πιθανότητας () PA ( ) PA. () 0 PA. (3) P( ) 0. (4) PA ( B) PA + PB PAB. (0.) (5) PA ( \ B) PA PAB. 5

16 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 (6) A B PA PB. (7) P( A B) PA + PB (ανισότητα Boole). (8) PAB PA + PB (ανισότητα Bofeo).. Ω A A P( Ω ) PA + PA ( ) PA ( ) PA.. P( A) P( A ) 0 P( A) P( A) [ 0,]. 3. P( Ω ) P( Ω ) P( ) + P( Ω) P( ) 0. 4.Το ενδεχόμενο A B μπορεί να διαμεριστεί (να γραφτεί δηλαδή σαν ένωση ξένων μεταξύ τους συνόλων) με 3 διαφορετικούς τρόπους: AB AB A B P( AB ) + P( AB) + P( A B) A B A AB PA ( B) PA + PAB ( ) AB B P( AB ) + P( B) προσθέτοντας κατά μέλη την η και 3 η σχέση και αφαιρώντας την η παίρνουμε ότι: P( A B) P( A) + P( B) P( AB) A\ B AB A AB AB AB A \ B PA PAB + PA ( \ B) PA ( \ B) PA PAB PBA ( \ ) 0 B A PB ( \ A) PB PA PB PA. 7. Από την (4.) έχουμε PAB PA + PB P( A B) και επειδή P( A B) παίρνουμε PAB PA + PB. Παρατήρηση Σε επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις ισχύει κάτω από συγκεκριμένες προϋποθέσεις ότι P( A) P( B) P AB Λέμε τότε ότι το ζεύγος ενδεχομένων A και B είναι στοχαστικά ανεξάρτητο. Η ανισότητα Bofeo τότε επαληθεύεται ταυτοτικά P( A) P( B) P( A) + P( B) ή ότι 6

17 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( P( A) )( P( B) ) 0 που ισχύει πάντα για αριθμούς P( A ) και P( B ) στο [0,]. Άσκηση Εάν τα A και B είναι ενδεχόμενα του Ω (σε γενική θέση) βρείτε το μικρότερο σ -πεδίο Σ που περιέχει τα A και B. Το σύνολο Σ θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε εάν AB Σ, τότε A B Σ και A, B Σ. Επίσης θα πρέπει Ω Σ.. Αρχίζουμε με την συλλογή υποσυνόλων: { AB} Σ 0,,.. Αυξάνοντας την Σ 0 με τα συμπληρώματα των στοιχείων της παίρνομε την συλλογή: { AA BB } Σ,,,,, Ω. 3. Στη συνέχεια εισάγοντας όλες τις δυνατές ενώσεις με στοιχεία από την Σ παίρνουμε: { AA BB A BA B A BA B } Σ,,,,,,,,, Ω. Η συλλογή Σ δεν είναι ακόμα σ -πεδίο διότι δεν περιέχει τα υποσύνολα: ( A B) AB, ( A B ) AB, ( A B) AB,( ) A B AB, AB A B και ( AB A B ) A B AB Τελικά δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι το παρακάτω σύνολο: θα είναι το ζητούμενο σ - πεδίο. Σ {, A, A, B, B, A B, A B, A B, A B, AB, AB, AB, AB, AB AB, AB AB, Ω }, 7

18 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι το εν λόγω σ-πεδίο είναι και το μικρότερο δυνατό που περιέχει τα ενδεχόμενα A και B. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν και άλλα σ -πεδία Σ που περιέχουν τα A και B, αλλά Σ : AB, Σ Σ Σ. Το τελευταίο δηλώνεται με τον εξής συμβολισμό σ { AB, } Σ. Άσκηση Να βρεθούν τα σ -πεδία σ { A}, σ { AB, } και σ { ABC,, } εάν τα ενδεχόμενα ABC,, είναι ανά δύο ασυμβίβαστα και A B C Ω { A} { Ω,, AA, } σ { AB, } {,, AB, } σ Ω { ABC,, } {,, ABC,,, A BA, CB, C} σ Ω Άσκηση 4 Να δειχθεί η γενικευμένη ανισότητα Bofeo, δηλαδή ότι: P AA A P( A) ( ). Για θα έχουμε: P AA P A + P A P A A. Δεχόμαστε ότι η σχέση ισχύει για και την αποδεικνύουμε για + : ( + ) ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) (( + ) ). P AA A A P AA A P A P A P A P A Άσκηση + Δίνονται οι πιθανότητες PA 0.90, PB 0.80 και P( AB ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων A B, AB, AB, AB και να επαληθεύσετε αριθμητικά ότι 8

19 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 τα βασικά πολυώνυμα ενδεχομένων στα A και B διαμερίζουν το δειγματικό χώρο Ω. Τέλος εάν P( C ) 0.7 βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας του ενδεχομένου ABC. ) P( A B) P( A) + P( B) P( AB) P( A B) ) A AB AB P ( A) P ( AB) + P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( AB) 0.5 3) B AB AB P( B) P( AB) + P( AB ) P( AB ) P( B) P( AB) ) ( ) AB A B P AB P A B P A B ) P( Ω ) P( AB) + P( AB ) + P( AB ) + P( AB ) 6) Από την ανισότητα Bofeo ( 3) έχουμε ότι P ( ABC ) P ( A) + P ( B) + P ( C) 0.4 Άσκηση Αποδείξτε την ανισότητα Boole για ενδεχόμενα P A PA ( ) Απόδειξη Γράφουμε το A σαν ένωση ξένων μεταξύ τους συνόλων A A ( ) A A A AA AAA AA A 3 τότε και A A A3 ( ) P A P( A) P A A P A A A P A A A και επειδή 3 9

20 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 AA A P AA PA AAA A P AAA PA ( ) A A A A P A A A P( A ), προσθέτοντας κατά μέλη τις προηγούμενες ανισότητες καταλήγουμε στην ανισότητα Boole. Άσκηση Έστω { Aj} j μια ακολουθία ενδεχομένων του Σ τότε: Εάν η ακολουθία είναι αύξουσα A A A A + lm PA ( ) P Aj j Εάν η ακολουθία είναι φθίνουσα A A A A + lm PA ( ) P Aj j. Επειδή { Aj} j ορίζεται από B A έχουμε A Aj ενώ η ακολουθία των ενδεχομένων { j} j j B που B AA B A A έχει όρους αμοιβαία ξένους μεταξύ τους δηλαδή BB, j. Από τα παραπάνω ισχύει ότι: j 0

21 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 B A, και B A. j j j j j j j j P Aj P Bj P( Bj) lm P( Bj) lm P Bj j j j j j lm P Aj lm PA ( ). j. Όταν η ακολουθία των A j είναι φθίνουσα, η ακολουθία των { Aj} j { A j } παίρνουμε j A j είναι αύξουσα. Χρησιμοποιώντας έτσι το αποτέλεσμα (.) για την ακολουθία A j lm P( A ) P A j lm P( A) P A j j j (0.) και επειδή A j Aj, η σχέση (0.) μας δίνει j j lm PA ( ) P Aj. j Άσκηση Δείξτε ότι για κάθε τριάδα ενδεχομένων του Ω έχουμε ( ) P A A A P A P A P A P AA P AA P A A P AA A (( ) 3) ( ) + ( 3) (( ) 3) P A A A P A A P A P A A A (( ) 3) ( 3 3) ( 3) ( 3) ( 3) P A A A P AA A A P AA + P A A P AA A. αντικαθιστώντας την πιθανότητα του A B παίρνουμε την προς απόδειξη σχέση.

22 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παράδειγμα (Κλασικοί διακόπτες) Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται ένα δίκτυο διακοπτών. Κάθε διακόπτης s, 4 είναι ισοπίθανα ανοιχτός ή κλειστός. Περιγράψτε τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο να είναι κλειστό. S S 3 S S 4 4 Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από δειγματικά σημεία της μορφής ω ( s, s, s 3, s 4 ) όπου κάθε s παίρνει την τιμή 0 ή ανάλογα με το εάν ο διακόπτης είναι ανοικτός ή κλειστός Ω {( s, s, s3, s4) s 0,,,, 3, 4} Ορίζουμε τα ενδεχόμενα 0 0 A { το κυκλωµα ab ειναι κλειστο}, A { ο διακοπτης s ειναι κλειστος},,,3,4 Το κάθε ενδεχόμενο A μπορεί να 3 πραγματοποιηθεί με ακριβώς τρόπους, για παράδειγμα {(,,, ) { 0, },,, 4} A s s s s. 3 4 Παρατηρούμε ότι το Α πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα A, AA, AA πραγματοποιηθεί 3 4 A A AA 3 AA 4 από όπου και PA PA + PAA + PAA ( PAAA + PAAA + PAAA ) + PAAAA Οι πληθικοί αριθμοί των ενδεχομένων AA j για j υπολογίζονται εύκολα. Για παράδειγμα { ω { }} AA s,,, s : s, s 0, AA

23 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 PA ( ) Άσκηση Στο παρακάτω δίκτυο διακοπτών, κάθε διακόπτης S για 6 είναι ισοπίθανα ανοιχτός ή κλειστός. Περιγράψτε τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο από το a στο b να είναι κλειστό. Άσκηση Ρίχνουμε κανονικά ζάρια. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων A {το άθροισμα των ενδείξεων είναι το πολύ 0}, B {δεν εμφανίζεται κανένα }, όπου,, 6, C {εμφανίζεται ακριβώς ένα }, όπου,, 6, Παρατηρούμε ότι Ω \{(5,6),(6,5),(6,6)} {(5,6),(6,5),(6,6)} και έτσι P{ } P A A 3 (5,6),(6,5),(6,6) Εάν αναγράψουμε τον δειγματικό χώρο Ω σαν ένα 6 6 πίνακα με στοιχεία ω (, j), δηλαδή Ω ( ω j ), τότε το ενδεχόμενο B περιέχει όλα τα στοιχεία του Ω εκτός από αυτά που βρίσκονται στην - γραμμή και -στήλη. Έτσι 5 P B Επειδή B {εμφανίζεται τουλάχιστον ένα }, θα έχουμε C B \{(, )} και έτσι ( ) PB ( ) PC j 3

24 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Συνδυαστική (κλασικοί χώροι πιθανότητας) Σύνθετα πειράματα Πολλές φορές ένα πείραμα μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από ή και περισσότερα επιμέρους πειράματα. Ένα τέτοιο πείραμα είναι σύνθετο. Ένα πείραμα αποτελείται από 0 όμοια τεστ (εργαστηριακές δοκιμές), καθένα από τα οποία έχει ή και περισσότερα δυνατά αποτελέσματα. Η εκλογή χωρίς επανατοποθέτηση ενός δείγματος μεγέθους από πληθυσμό μεγέθους N είναι ένα σύνθετο πείραμα που αποτελείται από επιμέρους πειράματα όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα () () Π Π Π Όπου N, N,, N ( ) οι αριθμοί των επιμέρους δυνατών αποτελεσμάτων στις διαδοχικές εκτελέσεις των πειραμάτων. Η θεμελιώδης αρχή της απαρίθμησης Αν τυχαία πειράματα Π,, Π διεξάγονται έτσι ώστε:. Το πρώτο πείραμα Π μπορεί να καταλήξει σε m δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή Ω,, ω ωm, έχει χώρο { }. και εάν για κάθε τέτοιο αποτέλεσμα ω το ο πείραμα Π μπορεί να καταλήξει σε Ω,, ω ωm, δυνατά αποτελέσματα δηλαδή έχει χώρο { } 3. και εάν για κάθε αποτέλεσμα (, j) ω ω για m και m των πρώτων πειραμάτων, το 3 ο πείραμα Π3 μπορεί να καταλήξει σε 3 αποτελέσματα δηλαδή 3 3 έχει χώρο Ω 3 { ω,, ωm } 4. κ.λ.π Ν Ν Ν + 3 Τότε ο δειγματικός χώρος Ω του σύνθετου πειράματος ΠΠ Π θα είναι ΩΩ Ω,, :, από όπου και ΩΩΩ m m. { ω ( ω ω ) m } Παράδειγμα Εφαρμόζοντας την θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης βρίσκουμε ότι ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων μεγέθους, χωρίς επανάθεση από ένα πληθυσμό 4

25 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 μεγέθους N είναι ( N) N( N ) N ( ). Παράδειγμα Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας υπάρχουν με 3 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και 4 αριθμούς της μορφής ΠΓΓΓΑΑ 3 ΑΑ 3 4 () Όταν επιτρέπεται η επανατοποθέτηση θα έχουμε: 3 4 Ω , 40,000. () Όταν δεν επιτρέπεται η επανατοποθέτηση θα έχουμε: ( 3) ( 4) Ω 4 0 6, 05,760. Παράδειγμα Πόσα είναι τα ενδεχόμενα σε ένα δειγματικό χώρο Ω με δειγματικά σημεία; Συμβολίζουμε με ( Ω) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Ω. Θα δείξουμε ότι ( Ω ). Έστω ότι Ω { ω ω } και σε κάθε υποσύνολο A Ω αντιστοιχούμε το διάνυσμα,, (,,, ) ( A) ( A) ( A) ( A) ϕ ω ω ω. Εμφανώς η σχέση μεταξύ του ( Ω) και του είναι προς από όπου και Ω Ω ϕ ( Ω ) {( ) { } } ϕ ε,, ε : ε 0,,, Παρατήρηση Εφαρμόζοντας το προηγούμενο αποτέλεσμα για τον δειγματικό χώρο Ω { ω, ω, ω } παίρνουμε την αντιστοιχία 3 { ω3} { ω} { ω ω3} { ω} { ω ω } { ω ω } Ω 0,0,0, 0,0,, 0,,0, 0,,,,,, ϕ ( ( Ω )) ( Ω )., 0, 0,, 0,,,, 0,,,,, 3,,, 5

26 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Διατάξεις χωρίς επανάληψη 3 Θεωρήστε διαφορετικά αντικείμενα. Εάν πάρουμε από αυτά και τα κατατάξουμε σε μια σειρά τότε λέμε ότι παίρνουμε μία διάταξη των αντικειμένων ανά. Παράδειγμα: Εάν θεωρήσουμε το σύνολο { abcde,,,,}. Μία διάταξη των 5 αντικειμένων ανά 3 είναι η abc ενώ άλλες δύο θα ήταν οι cba και cda. Για να βρούμε το πλήθος όλων των διατάξεων των 5 γραμμάτων ανά 3, αρκεί να σκεφτούμε ότι το πρώτο γράμμα μπορούμε να το διαλέξουμε από 5 διαφορετικά γράμματα. Το δεύτερο γράμμα από 4 διαφορετικά γράμματα (εφόσον ένα έχει ήδη χρησιμοποιηθεί για την η θέση). Το τρίτο γράμμα από 3 διαφορετικά γράμματα (εφόσον δύο έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί στην η και η θέση) κ.λ.π. Τελικά το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων 5 αντικειμένων ανά 3 είναι ( 5) ( 3) Γενικεύοντας, εύκολα βλέπουμε ότι το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων αντικειμένων ανά ( ) θα είναι ( ) ( ). Παράδειγμα Έχουμε διαπιστώσει ότι ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων μεγέθους από ένα πληθυσμό μεγέθους N είναι ( N ). Διατάξεις με επανάληψη 4 Εάν στην προηγούμενη διαδικασία επιτραπεί η επανάληψη των αντικειμένων, σε κάθε φάση θα έχουμε δυνατότητες. Έτσι το πλήθος των διαφορετικών διατάξεων αντικειμένων ανά με επανάληψη θα είναι A. Μεταθέσεις (pemutatos) Μία μετάθεση αντικειμένων, είναι μία διάταξη αντικειμένων ανά. Το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων αντικειμένων δίνεται από την σχέση 3 aagemets wth o eplacemet. 4 aagemets wth eplacemet 6

27 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07! Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το σύνολο { abc,,}. Οι 3! 6 μεταθέσεις των 3 αντικειμένων είναι: Κύκλος Κύκλος abc bca cab acb cba bac Παρατήρηση Οι προηγούμενες 6 μεταθέσεις μπορούν να χωριστούν σε ομάδες μεταθέσεων. Εάν θεωρήσουμε τις μεταθέσεις abc και acb όλες οι άλλες μπορούν να βρεθούν με κυκλική εναλλαγή. Κυκλικές μεταθέσεις Ας θεωρήσουμε και πάλι το σύνολο των αντικειμένων { abc,,}. Σε κάθε κυκλική μετάθεση abc και acb αντιστοιχούν 3 απλές μεταθέσεις οι abc,bca, cab και acb,bac, cba αντίστοιχα. Δηλαδή το πλήθος των κυκλικών μεταθέσεων είναι! 3!/ 3. Η γενίκευση του προηγουμένου αποτελέσματος είναι άμεση. Θεωρούμε το σύνολο των αντικειμένων { a, a,, a } και παρατηρούμε ότι aaa a aaaa aa a a, 3 δηλαδή το πλήθος των κυκλικών μεταθέσεων είναι K M /!/ ( )! Συνδυασμοί (combatos) Ας θεωρήσουμε το σύνολο αντικειμένων { abcde,,,,}. Ξέρουμε ήδη ότι υπάρχουν ( 5) ( 3) διατάξεις των 5 αντικειμένων ανά 3. Για παράδειγμα τα 3 πρώτα γράμματα, ομάδα abc, συνεισφέρουν κατά 3! διατάξεις (δηλαδή όλες οι μεταθέσεις του abc ). Έτσι εάν δεν ενδιαφερόμαστε για την διάταξη αλλά μόνο για το πόσες τέτοιες 7

28 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 διαφορετικές ομάδες 3 αντικειμένων υπάρχουν, θα έχουμε (5) 3 / 3! 0. Γενικά ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τον οποίο μπορούμε να διαλέξουμε αντικείμενα από, όταν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά της εκλογής είναι ( ) ( ) ( )! C,0,!!! 0 0! 0 0. ( ) Παράδειγμα Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης ΑΛΛΑ. Επειδή έχουμε σύμβολα που επαναλαμβάνονται ξαναγράφουμε την λέξη με την μορφή ΑΛΛ Α. Εμφανώς οι δυνατοί αναγραμματισμοί τώρα είναι 4!. Όμως τα Α και Λ επαναλαμβάνονται από φορές και έτσι οι δυνατοί αναγραμματισμοί της λέξης ΑΛΛΑ 4! περιορίζονται σε 4 6!! ΑΛΛΑ ΑΛΛ Α, ΑΛΛΑ, ΑΛ ΛΑ, ΑΛΛΑ ΛΑΑΛ ΛΑΑ Λ, ΛΑΑΛ, ΛΑΑ Λ, ΛΑΑΛ ΛΑΛΑ ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ, ΛΑΛΑ ΛΛΑΑ ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ, ΛΛΑΑ ΑΑΛΛ ΑΑ ΛΛ, ΑΑΛΛ, ΑΑ ΛΛ, ΑΑΛ Λ ΑΛΑΛ ΑΛΑΛ, ΑΛΑΛ, ΑΛ ΑΛ, ΑΛ ΑΛ Άσκηση. Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης x x x x x x. Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης x,, x x,, x x,, x,

29 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Θεωρούμε την λέξη x x x x x x. Τότε υπάρχουν! μεταθέσεις των διαφορετικών συμβόλων { x } {,, x x,, x}. Θέτοντας όμως x x για και x x για j θα πρέπει να διαιρέσουμε το! με το ( )!!. Έτσι οι αναγραμματισμοί θα είναι () Θεωρούμε την λέξη ( x x )( x x ) ( x x ) j! ( )!! Τώρα έχουμε ομάδες από διαφορετικά αντικείμενα και οι αναγραμματισμοί θα είναι! ( )!!! με + +. Παράδειγμα Στο παιγνίδι του Joe η νικήτρια στήλη αποτελείται από τυχαίο δείγμα 5 αριθμών από το έως και το 45 χωρίς επανάθεση και έναν αριθμό από το έως το 0. Ένας συνδυασμός στηλών του Joe είναι ένα σύνολο m αριθμών από την πρώτη ομάδα και αριθμών από την δεύτερη. Ο αριθμός των στηλών που δημιουργείται έτσι είναι ( m 5 ) και έστω A m, αυτό το ενδεχόμενο. Ο δειγματικός χώρος του παιγνίου είναι {( J, x,, x5) : J 0, x x5 45} Ω < < 45 ( 5 ) Ω 0 0,,759 4,435,80 P A 0 και έτσι ( m, ) m ( 5 ) 45 ( 5 ) Για παράδειγμα για m 7, 5 7 ( 5 ) 45 ( 5 ) 5 P ( A 05 7,5 ) ,435,80 Παράδειγμα Παρατηρώντας 8 αυτοκίνητα που περνούν από ένα συγκεκριμένο σημείο διαπιστώνουμε ότι 3 έχουν κόκκινο χρώμα. Ποία η πιθανότητα των ενδεχομένων. 9

30 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Α{Να περάσουν τα 3 κόκκινα αυτοκίνητα διαδοχικά το ένα ακριβώς μετά το άλλο}. Β{Να υπάρχουν άλλου χρώματος αυτοκίνητα ανάμεσα στα πρώτα κόκκινα και άλλου χρώματος ανάμεσα στο ο και 3 ο κόκκινο αυτοκίνητο}. Ο δειγματικός χώρος είναι Ω{όλες οι μεταθέσεις των συμβόλων ΚΚΚΧΧΧΧΧ} Κ {κόκκινο αυτοκίνητο}, Χ {μη κόκκινο αυτοκίνητο}. Υπάρχουν 8! μεταθέσεις των συμβόλων ΚΚΚΧΧΧΧΧ Εάν μεταθέσουμε τα τα 8! 8 Χ μεταξύ τους παίρνουμε 3! και 5! μεταθέσεις αντίστοιχα, άρα ( 5 ) Α{ ΚΧ, ΧΚΧ,, ΧΚ }, δηλαδή N( A ) 6 και έτσι PA 6 / 56 Κ και Ω 56. 5!3! Β{( ΚΧΧΚΧΚ ) ΧΧ, Χ( ΚΧΧΚΧΚ ) Χ, ΧΧ( ΚΧΧΚΧΚ ) }, N( B ) 3 που δίνει 3/ 56 PB. Παρατήρηση Εάν τώρα αυτοκίνητα είναι που περνούν και από αυτά έχουν κόκκινο χρώμα, η πιθανότητα του ενδεχομένου A { τα κόκκινα αυτοκίνητα περνούν διαδοχικά} θα είναι P A Άσκηση + ( ) ( + )!!! Από τον πληθυσμό Π{,, N} παίρνουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους με επανατοποθέτηση. ) Ποια η πιθανότητα να διαλέξουμε δείγμα μεγέθους όπου δύο τουλάχιστον στοιχεία του δείγματος να είναι ίδια? ) Σε δείγμα ατόμων, ποία η ελάχιστη τιμή του έτσι ώστε η πιθανότητα του ενδεχομένου B { τουλάχιστον άτομα έχουν την ίδια μέρα γενέθλια} να είναι μεγαλύτερη του

31 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ω {όλα τα δείγματα μεγέθους με επανατοποθέτηση} Α{τα δείγματα μεγέθους, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία κάθε δείγματος είναι μεταξύ τους διαφορετικά} B A {τα δείγματα μεγέθους, έτσι ώστε τουλάχιστον στοιχεία του κάθε δείγματος είναι ίδια} Ο αριθμός των δειγμάτων μεγέθους με επανατοποθέτηση από πληθυσμό μεγέθους N είναι Ω N. Μπορούμε να δημιουργήσουμε κάθε στοιχείο του A παίρνοντας τα στοιχεία του δείγματος ένα ένα από τον πληθυσμό χωρίς επανάθεση και έτσι N NN N + j PA N N N N j N Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [ ab, ] και παραγωγίσιμη στο ( ab,, ) τότε, από το θεώρημα του Taylo με υπόλοιπο, για b a+ h υπάρχει ενδιάμεσο σημείο a+ ϑh ( aa, + h) με ϑ ( 0,) έτσι ώστε f ( a h) f ( a) h fa ( ϑ h) Δηλαδή για «μικρό» h το ϑ h θεωρείται αμελητέο και έχουμε f ( a h) f ( a) hf ( a) a a+ h a a h h Θέτοντας f ( a) e παίρνουμε e e + he e + h. Ομοίως e + +. h. Εφαρμόζοντας το προηγούμενο αποτέλεσμα στη σχέση παίρνουμε προσεγγιστικό τύπο για την πιθανότητα του ενδεχομένου B ( N, ) P B j j exp exp j j N j N N j ( ) exp N ( ), για N. N Έστω ότι Π{,,365} και ζητάμε το ελάχιστο για το οποίο ισχύει P( B ) ( ) > 0.5, με N 365. N 3

32 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( )( 9.65) > 0 ή ότι Στον παρακάτω πίνακα παρατηρήστε ότι για > 7 η προσέγγιση παύει να ισχύει εφόσον παίρνουμε το άτοπο P( B ) ( ) / 365 > ( ) / 365 j j Bthfu <- fucto(n365, 0){ p <- fo(j :(-)) p <- p*(-j/n) etu(-p) } evalbthfu <- fucto(n365, m5, max30){ P <- NULL fo( m:max) P <- c(p, Bthfu(NN, )) etu(p) } evalbthfu(n365, m9, max9) Παράδειγμα Ένα δοχείο περιέχει 0 συνολικά σφαιρίδια 4 άσπρα και 6 μαύρα. Επιλέγουμε τυχαίο δείγμα 3 σφαιριδίων από το δοχείο χωρίς επανατοποθέτηση. Ποία η πιθανότητα:. Να επιλεγούν άσπρο και μαύρα σφαιρίδια. 3

33 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07. Να επιλεγούν άσπρα και μαύρο σφαιρίδιο. 3. Τα σφαιρίδια να είναι όλα άσπρα. 4. Τα σφαιρίδια να είναι όλα μαύρα. 5. Γενικεύστε το παράδειγμα στα (.)-(4.) 6. Τι συμβαίνει εάν επιτρέψουμε τις επαναλήψεις; Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από τριάδες ( s, s, s 3) όπου κάθε s είναι της μορφής α,, α4 (άσπρο σφαιρίδιο έως 4) ή µ,, µ 6 (μαύρο σφαιρίδιο έως 6). Το πλήθος των δειγματικών σημείων έτσι, είναι ( 3) Ω Συμβολίζουμε τα ενδεχόμενα στα ερωτήματα έως 4 με A,, A,, A 3,0 και A 0,3 αντίστοιχα. 3.Υπάρχουν ( ) 3 τρόποι επιλογής των σφαιριδίων ως προς το χρώμα: Χρώμα Μ Μ Α Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων Χρώμα Μ Α Μ Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων Χρώμα Α Μ Μ Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων Δηλαδή ο αριθμός των ευνοϊκών περιπτώσεων για το A, θα είναι A 3 ( 4 ) ( 6 ), 3! 4 6!! P( A ) , δηλαδή μπορούμε να εργαστούμε μόνο με συνδυασμούς.. Η πιθανότητα να επιλεγούν άσπρα και μαύρο σφαιρίδιο είναι 4 6 ( 3 ) P A,

34 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 3. Η πιθανότητα τα σφαιρίδια να είναι όλα άσπρα είναι 4. Ενώ η πιθανότητα όλα να είναι μαύρα 3 Παρατηρούμε ότι P( A,3 ) 0 ασυμβίβαστα ενδεχόμενα { 0,3,,,,, 3,0, } 4 6 ( 0)( 3) ( 3 ) P A 0, ( 3)( 0) ( 3 ) P A 6 3,0 0 30, έτσι το Ω μπορεί να διαμεριστεί με βάση τα A A A A δηλαδή 3 Ω A 0,3. 5 Γενίκευση: στο δοχείο να υπάρχουν N συνολικά σφαιρίδια από τα οποία a να είναι άσπρα και τα υπόλοιπα N a μαύρα. Εάν τώρα επιλέξουμε τυχαία ένα δείγμα μεγέθους χωρίς επανάθεση, ποια η πιθανότητα x από τα σφαιρίδια να είναι άσπρα; Από τις ειδικές περιπτώσεις (.) έως και (4.) γίνεται φανερό ότι: ( x, x) a N a ( x)( x ) P A N ( ) Όπως είδαμε στο προηγούμενο θα μπορούσαμε να εργαστούμε με διατάξεις αλλά ισοδύναμα και με συνδυασμούς εφόσον a N a a N a a N a!! a N a x x x x x x x x x x P( Ax, x) ( x) ( x) N ( x) N N ( N )! x ενώ παρατηρούμε ότι a N a x x P{ x} P( Ax, x) P( A, ) x 0 x x P x 0 N Ω, x 0 x 0 από όπου και έχουμε μια πιθανοθεωρητική απόδειξη της συνδυαστικής ταυτότητας x 0 a N a N x x Παρατήρηση :Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα συμβολίσουμε με την τυχαία μεταβλητή που μετράει τον αριθμό των άσπρων σφαιριδίων σε δείγμα σφαιριδίων, όπου γνωρίζουμε ότι a είναι άσπρα και N a είναι μαύρα, και δεν επιτρέπεται η επανάληψη, θα έχουμε: 34

35 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 { ω : ( ω) } { } ( x x) { } x, x, a N a ( x)( x ) N ( ) A Ω x x P A P x, λέμε τότε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Ν, α και. Αυτό το υπόδειγμα πιθανότητας θα το συμβολίζουμε με ~ ( Na,, ). Στην περίπτωση του υπεργεωμετρικού υποδείγματος, εάν θέλουμε να είμαστε ακριβείς, ο χώρος των καταστάσεων θα είναι { } ( Ω ) max{ 0, ( N a) },...,m{ a, }. Ο αριθμός των άσπρων σφαιριδίων στο δείγμα θα πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού των άσπρων σφαιριδίων στον πληθυσμό. Έτσι x a και επειδή x θα έχουμε x m { a, }. Ο αριθμός των μαύρων σφαιριδίων στο δείγμα θα πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού των μαύρων σφαιριδίων στον πληθυσμό. Έτσι x N a και επειδή x 0 θα έχουμε x max{ 0, ( N a) }. Ειδικά στην περίπτωση που έχουμε ( Ω ) { 0,...,}. a και N + a ο χώρος καταστάσεων γίνεται 6. Εάν επιτρέψουμε τις επαναλήψεις και θέσουμε Bx, x το ενδεχόμενο να πάρουμε δείγμα, μεγέθους με x άσπρα σφαιρίδια και x μαύρα παίρνουμε P( Bx, x) ( ) x x x x a N a a a x x x N N N a όπου p και q p οι πιθανότητες άσπρου και μαύρου σφαιριδίου στον πληθυσμό N των N σφαιριδίων. Εάν συμβολίσουμε με την τυχαία μεταβλητή που μετράει τον αριθμό των άσπρων σφαιριδίων στο ω Ω, όταν επιτρέπεται η επανάληψη, θα έχουμε pq x x x { ω : ( ω) } { } ( x x) { } ( ) B x, x Ω x x P B, P x x p p λέμε τότε ότι η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την διωνυμική κατανομή, με παραμέτρους και p ή ότι ~ B (, p ). x 35

36 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παράδειγμα Έστω δοχείο με άσπρα και m μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία ένα προς ένα τα σφαιρίδια χωρίς επανάληψη. Ποια η πιθανότητα να μείνουν τελικά στο δοχείο μόνο άσπρα σφαιρίδια. Για να καταλήξουμε μόνο με άσπρα σφαιρίδια θα πρέπει να έχουμε αφαιρέσει όλα τα μαύρα σφαιρίδια μαζί και 0 x άσπρα σφαιρίδια. Έστω A x { αφαιρείται η τελευταία μαύρη μπάλα κατά την m+ x προσπάθεια } (τότε είναι που απομένουν στο δοχείο x άσπρα σφαιρίδια). Έτσι εάν A { μένουν τελικά στο δοχείο μόνο άσπρα σφαιρίδια } A A, AA, j 0 j Θεωρώντας σαν στοιχεία του Ω όλες τις δυνατές μεταθέσεις με m+ σύμβολα { M M A A } μετράμε τις μεταθέσεις με την ιδιότητα A x. m m ( x ) # A m+ x x x m+ x x Ο πρώτος παράγοντας είναι ο αριθμός των μεταθέσεων m μαύρων και x άσπρων σφαιριδίων μαζί. Ο δεύτερος παράγοντας είναι ο αριθμός των μεταθέσεων x άσπρων σφαιριδίων. Ο τρίτος παράγοντας είναι ο αριθμός με τον οποίο μπορούμε να διαλέξουμε την τελευταία μαύρη μπάλα που αφαιρούμε από το δοχείο. Ο τελευταίος παράγοντας είναι ο αριθμός των τρόπων με τους μπορούμε να διαλέξουμε τις x άσπρες μπάλες που αφαιρούνται από τις. Έτσι P( A ) P A x x 0 x 0 m + +! ( m) x 0 ( m+ x m ) ( x) ( x ) m+ x x ( + m) ( m x! ) ( x)! ( x ) + m 36

37 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Το θεώρημα του Pocae Στα επόμενα θα μας χρειαστούν πολλαπλά αθροίσματα της μορφής < < (,, ) S ψ όπου η άθροιση γίνεται πάνω σε όλους τους δείκτες, για όλους τους ακέραιους που ικανοποιούν μετάθεση των, και οι όροι ψ ( ) δεν αλλάζουν για οποιαδήποτε < <,.,, Όταν, τετριμμένα παίρνουμε από την προηγούμενη σχέση ψ S ψ Για, παίρνουμε την πρώτη μη τετριμμένη περίπτωση S ψ ( ),. < Ο αριθμός των όρων στο προηγούμενο άθροισμα είναι ( ) αρκεί να παρατηρήσουμε ότι S ψ ( ),. Εφόσον στο διπλό άθροισμα δεν επιτρέπονται όροι της μορφής ψ (, ) και υπάρχουν τέτοιοι όροι, αφαιρούνται από τους συνολικούς όρους, και επειδή + οι συνολικοί ψ όροι είναι S θα είναι ( ) ψ ψ ψ (, ) (, ) (, ) αριθμός των ψ όρων του,. Επαγωγικά ο Επειδή η τομή είναι αντιμεταθετική πράξη εάν A είναι ενδεχόμενα του Ω για το σύνολο A A δεν αλλάζει για οποιαδήποτε μετάθεση των δεικτών,,. Θέτουμε λοιπόν ψ ( ) P( A A ) < <. Έτσι παίρνουμε τα αθροίσματα,, ( ) S P A A το άθροισμα δηλαδή των πιθανοτήτων των τομών των ενδεχομένων ανά 37

38 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Το ενδεχόμενο να συμβεί ένα τουλάχιστον από τα γεγονότα A, A,, A, είναι A A A. Και η αντίστοιχη πιθανότητα δίνεται από P A PA ( ) PAA ( ) + PAAA 3 + < < < 3 + ( ) PA ( A ) + ( ) PA ( A) < < PA ( A) < < Χρησιμοποιώντας τα αθροίσματα S της σχέσης προηγούμενη έκφραση γίνεται ( ) + + ( ) P A A A S S S Έχουμε ήδη αποδείξει το θεώρημα για. Υποθέτουμε ότι ισχύει για και τo αποδεικνύουμε για +. Χρησιμοποιώντας την σχέση P( A B) P( A) + P( B) P( AB) με A A και B A + παίρνουμε P A A P A P A P AA PA PAA + + PAA + PA ( ) + < PAA PAAA PA ( AA ) < P( A) PAA + PAA + PAAA + PAAA P( A A ) P A A A 3 < + < < < < < 3 < P( A A A ) + < < + PA ( A) PA ( A A ) PA ( AA ) + + < < Το διωνυμικό θεώρημα Το ανάπτυγμα του ( a+ b) όταν το είναι μη αρνητικός ακέραιος μπορεί να 38

39 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 πραγματοποιηθεί με την χρήση των συνδυασμών ( ) ως εξής: ( ) a a b b +. 0 Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν το διώνυμο του Newto (ή αλλιώς το διωνυμικό θεώρημα) Παρατηρήσεις. Ο αριθμός των όρων του αθροίσματος είναι +.. Αντικαθιστώντας στο διωνυμικό άθροισμα a b παίρνουμε ( 0) ( ) Ο αριθμός των διαφορετικών υποσυνόλων του Ω με στοιχεία είναι Ω που δίνει Ω Ω ( Ω ) Εάν θεωρήσουμε το πείραμα της λήψης με τυχαίο τρόπο υποσυνόλου από το { ω : ω } * (ο νέος δειγματικός χώρος Ω είναι το δυναμοσύνολο του Ω * Ω * Ω * * Ω Ω ) τότε η πιθανότητα το ενδεχόμενο να αποτελείται από στοιχεία του Ω θα είναι P * { ω } Ω Ω. Απόδειξη του διωνυμικού θεωρήματος Το θεώρημα ισχύει για. Δεχόμαστε ότι ισχύει για, και τo αποδεικνύουμε για +. ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( ) + a b a b a b a b b 0 a b ( ) + a a b a ( ) a + + b b + b a + 0 a ( ) a b + + b b + + a

40 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( ) ( ) a + + b + b + ( ) a + ( + ) + a + b + b ( ) a a b ( + ). Η σχέση Pascal: + + αντικατοπτρίζει τον κανόνα δημιουργίας του τριγώνου του Παράδειγμα Να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις. s 0, s s + m m. ( ) 0( )( ). Παραγωγίζοντας την σχέση ( x) 0( ) + x, s φορές παίρνουμε s ( ) ( ( ) )( + ) ( ) ( ( ) ) s x s s x ( ) s διαιρώντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης με s! παίρνουμε ( s s )( x) s( s)( ) s + x. s Αντικαθιστώντας x και μετά πολλαπλασιάζοντας με ( ) s η τελευταία σχέση δίνει s 0, s. s s 40

41 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 + m m. Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα η σχέση ( + x) ( + x) ( + x) δίνει + m m ( ) x x x + m m ή ισοδύναμα + m m ( ) x x + + m m 0 0 0, Είναι εμφανές ότι ο συντελεστής βαθμού στο αριστερό μέλος είναι ( + m ) ενώ στο δεξί θα είναι το άθροισμα όλων των δυνατών τρόπων για τους οποίους (, ) (, 0 ),(, ),,( 0, ) { } έτσι: + m 0 Εναλλακτικά: m ( )( ) Έστω τα πολυώνυμα A( x) a0 + ax + + ax και Bm( x) b0 + bx + + bmx A( x) B ( x) c + cx+ + c x + m 0 + m m προηγούμενης σχέσης, έχουμε δηλαδή. Κάνοντας τις πράξεις στο αριστερό μέλος της ab ab ab x ab ab ab x c 0 + cx + + cx +, m. Τότε εμφανώς δηλαδή εξισώνοντας στην προηγούμενη σχέση τον συντελεστή του x και από τα δύο μέλη, παίρνουμε c ab, m Θέτοντας A ( x) ( + x) και B ( x) ( x) + m m ( ) 0( )( ) Ο τύπος του Stlg. m m + δηλαδή ( ) m a και b ( ) έχουμε Ένα χρήσιμο αναλυτικό εργαλείο που μας επιτρέπει την εύκολη και με καλή προσέγγιση της ποσότητας! είναι ο τύπος του Stlg που εδώ δίνουμε χωρίς απόδειξη 4

42 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( π ) /,! e Το σύμβολο ~ στην προηγούμενη σχέση σημαίνει ότι η ποσότητα στο αριστερό μέλος είναι πρακτικά ίση με την ποσότητα στο δεξί μέλος για τιμές του αρκετά μεγαλύτερες της μονάδας. Ένας ισοδύναμος τρόπος να εκφράσουμε το προηγούμενο είναι! lm e π / Πρόταση O αριθμός των συνδυασμών αντικειμένων ανά κάθε φορά αλλά με + επανάληψη είναι. C { j,, j : j < < j } C. Έχουμε ότι Τότε οι συνδυασμοί με επανάληψη (combatos wth eplacemet) θα είναι {(,, ) : } CR j j j j < + < 3+ < < + < ( j,, j ) : j j j j ( ) j ( ) ( ) {(,, ) : ( ) } < < < < CR Κατανέμοντας σφαιρίδια σε κυψέλες Υπάρχουν δυνατά αποτελέσματα όταν διακριτά (αριθμημένα) σφαιρίδια κατανέμονται σε διακριτές κυψέλες και αυτό συμβαίνει γιατί κάθε σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί σε μια από τις κυψέλες. Κάθε αποτέλεσμα θα μπορούσε να παρασταθεί από το στοιχειώδες ενδεχόμενο 4

43 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( ), όπου ω {,, }, δηλώνει την θέση-κυψέλη που έχει τοποθετηθεί το ω ω,, ω σφαιρίδιο, έτσι { ω ( ω ω ) ω { } },, :,,,,, Ω Ω Τώρα θέτουμε τον εξής περιορισμό: Ζητάμε σφαιρίδια στην κυψέλη [ ], σφαιρίδια στην κυψέλη [ ], κ.λ.π. σφαιρίδια στην κυψέλη [ ]. όπου Ζητάμε λοιπόν να μετρήσουμε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχομένου A,, με το οποίο συμβολίζουμε το σύνολο των στοιχειωδών ενεχομένων ω ( ω,, ω ) που έχουν επαναλήψεις του, επαναλήψεις του κ.λ.π. επαναλήψεις του { ω ( ω ω) ( ω ) } A,,,, :,,, ος τρόπος: ο αριθμός των αναγραμματισμών της λέξης ( )( ) ( ) είναι A,, ( )!!!!!!!!. ος τρόπος: A (# τρόπων τοποθέτησης σφαιριδίων στην κυψέλη[ ] ),, ( # τρόπων τοποθέτησης σφαιριδίων στην κυψέλη [ ] ) (# τρόπων τοποθέτησης σφαιριδίων στην κυψέλη [ ] )!!!!. Εάν όμως τα σφαιρίδια ήταν όλα όμοια, το αποτέλεσμα του πειράματος της κατανομής των σφαιριδίων στις κυψέλες θα χαρακτηριζόταν από ένα διάνυσμα ( x, x,, x ), με μη αρνητικές συντεταγμένες ( x ) με κάθε x να συμβολίζει τον αριθμό των 0 43

44 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 σφαιριδίων στην κυψέλη έτσι ώστε x+ x + + x. Πρόταση: Ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων κατανομής ομοίων σφαιριδίων σε κυψέλες είναι. Απόδειξη Ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων κατανομής ομοίων σφαιριδίων σε κυψέλες είναι ίσος με τον αριθμό των ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x + + x, x 0,. και συμβολίζουμε με εξίσωσης, δηλαδή E το σύνολο των μη αρνητικών λύσεων της προηγούμενης {(,, ) : +, x 0, } E x x x + x, ενώ με EP συμβολίζουμε το σύνολο των θετικών λύσεων {(,, ) : +, x 0, } EP x x x + x >. Θα δείξουμε ότι ισχύει E +. Πρώτα όμως υπολογίζουμε το EP. Έχουμε αντικείμενα και θέσεις μεταξύ τους. Σε όλες αυτές τις ενδιάμεσες θέσεις μπορούν να μπουν διαχωριστικά. Έτσι ώστε καμία διαίρεση των αντικειμένων να μην είναι κενή. Έστω ότι θέλω να διαιρέσω τα αντικείμενα σε μέρη. Για να κάνουμε κάτι τέτοιο θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε διαχωριστικά. Οι τρόποι όμως που μπορώ να τοποθετήσω τα διαχωριστικά σε παίρνουμε ότι EP. διαφορετικές θέσεις είναι ( ). Έτσι Για παράδειγμα όταν 9, 3 παρακάτω σχήμα εάν διαλέξουμε διαχωριστικά όπως στο το διάνυσμα που θα πάρουμε θα είναι το ( 3,4, ) δηλαδή x x x3 3, 4,, 44

45 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Για να βρούμε το E παρατηρούμε ότι: {(,, ) :, 0, } ( ) E x x x + + x x { x,, x : x x, x 0, } {( y y) y y y } y x ,, : + + +, > 0,, + PE E EP Παράδειγμα Έστω ότι υπάρχουν 4 είδη douts και εμείς διαλέγουμε 3 douts με επανάληψη. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε τα 3 douts; Εάν διαλέξουμε τα douts τυχαία, ποία η πιθανότητα του ενδεχομένου A { και τα 3 douts είναι διαφορετικά}; Γενικεύστε το πρόβλημα για είδη douts και τυχαία διαλογή από douts. { ω ( ω, ω, ω3, ω4) : ω { 0,,, 3} } Ω Ω Ω RC A 4 P( A) ! (! ) Ω. ( )!( +! ) Γενίκευση:, A P( A) Παράδειγμα Έστω υποψήφιοι και εκλέκτορες. Οι εκλέκτορες ψηφίζουν μυστικά από έναν υποψήφιο. Πόσα τα δυνατά αποτελέσματα της ψηφοφορίας ; Τώρα τον ρόλο των κυψελών τον παίζουν οι υποψήφιοι. Ενώ τα σφαιρίδια είναι οι ψήφοι (από τους εκλέκτορες). Εάν x 0 είναι ο αριθμός των ψήφων που έλαβε ο υποψήφιος θα έχουμε {(,, ) :, 0, } E x x x + + x x 45

46 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 με αποτέλεσμα E + + EP. Παράδειγμα Επενδύουμε ποσό 0,000 ευρώ. Υπάρχουν 4 διαφορετικές στρατηγικές επένδυσης, ενώ κάθε επένδυση αξίζει,000 ευρώ.. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επενδύσουμε εάν υπάρχουν και κενές επενδύσεις;. Πόσες διαφορετικές στρατηγικές επένδυσης υπάρχουν αν δεν επενδύουμε πάντα όλο το ποσό ; 3. Έστω ότι επενδύουμε πάντα όλο το ποσό, αλλά στη η επένδυση θα πρέπει να επενδύσουμε τουλάχιστον 5,000 ευρώ, στη η και την 3 η τουλάχιστον 3,000 ευρώ και στη 4 η τουλάχιστον 7,000 ευρώ.. Έστω x το ποσό που επενδύουμε στην στρατηγική. Θα πρέπει να ισχύει: {(,,, ) : 0, 0, 4} 4 E x x x x x + x + x + x x { } y, y, y, y : y + y + y + y 4, y > 0, 4, y x + PE E4 EP ,77. Εδώ θα έχουμε ότι x+ x + x3+ x4 0. Εάν δεν θέλουμε να επενδύουμε πάντα όλο το ποσό, εισάγουμε την μεταβλητή x 5 ποσό αποταμίευσης. Τώρα έχουμε x+ x + x3+ x4 + x5 0 με x 0 και E EP ,66 3. Εδώ θα έχουμε ότι x+ x + x3+ x4 0 με x 5, x 3, x3 3, x4 7 τότε y x 5 0, y x 3 0, y x 3 0, y x 7 0, έτσι x + x + x + x 0 y + y + y + y, y 0 από όπου E EP Παράδειγμα Σε ένα σουβλατζίδικο υπάρχουν 7 διαδοχικά καθίσματα. Έρχονται 3 πελάτες 46

47 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 να πάρουν ένα σύντομο γεύμα και παρατηρούμαι ότι δεν κάθονται σε γειτονικές θέσεις.. Είναι αυτή η παρατήρηση αρκετή για να δεχθούμε την υπόθεση ότι οι πελάτες κάθισαν τυχαία στις θέσεις τους ή πρέπει να την απορρίψουμε; δηλαδή απλά προσπάθησαν να αποφύγουν ο ένας τον άλλο;. Γενικεύστε το αποτέλεσμα. 7 Οι 3 πελάτες μπορούν να καθίσουν στις 7 θέσεις με ( 3 ) 35 τρόπους. Για να υπολογίσουμε τους τρόπους κατά τους οποίους δεν κάθονται σε γειτονικές θέσεις σκεφτόμαστε ως εξής: ή Ας συμβολίζουμε με K την οστ κατειλημμένη θέση και με 0 x τις x το πλήθος διαδοχικές κενές θέσεις. Έτσι το ενδεχόμενο A { οι 3 πελάτες που κάθονται σε 7 θέσεις, δεν κάθονται σε γειτονικές θέσεις} μπορεί να αναπαρασταθεί σαν 3 { 0 x } x K 0 x K0 K30 x4 : x x x3 x4 4, x 0, x 0, x3 0, x4 0 Α > > : ( ) K K K x + + x + x + x + 6, z > 0, z > 0, z > 0, z > 0 PE x x x z z z3 z Έτσι Α PE4 E4 0 και 7 Ω 35 3 από όπου PA 0 / Η πιθανότητα P( A ) είναι αρκετά μεγάλη. Δηλαδή δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση της τυχαιότητας (θα απορρίπταμε την υπόθεση της τυχαιότητας εάν συνέβαινε για παράδειγμα 0.05 PA< ). Γενίκευση: Έστω ότι οι θέσεις είναι συνολικά, και m από αυτές είναι κατειλημμένες με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε ανάμεσα σε κατειλημμένες θέσεις να υπάρχει το λιγότερο κενή θέση x x xm xm+ { m0 : m+, 0, 0,, m 0, m+ 0} A K K x + + x m x x > x > x x x xm x m+ 0 K0 0 Km0 : ( x+ ) + + ( xm+ + ) m+, z > 0, z > 0,, zm > 0, zm+ > 0, z z m+ PE m+ m+ 47

48 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 και έτσι ( m ) ( m ) m m m+ m A PEm+ Em+, m + 0 m+ m m+, + είτε A m m m m PEm+ m + m m+. Επειδή Ω m θα έχουμε P( A) m+ m+ ( m)!( m+! ).! ( m+! ) m Παράδειγμα Έχουμε ένα σύνολο από συσκευές από τις οποίες m είναι εκτός λειτουργίας. Να βρεθεί η πιθανότητα η συσκευές να είναι στη σειρά με τέτοιο τρόπο που:. Κάθε ζευγάρι από συσκευές που δεν λειτουργούν, να χωρίζονται από τουλάχιστον συσκευές σε λειτουργία.. Κάθε ζευγάρι από συσκευές που δεν λειτουργούν, να χωρίζονται από τουλάχιστον συσκευές σε λειτουργία. 3.. Κάθε ζευγάρι από συσκευές που δεν λειτουργούν, να χωρίζονται από τουλάχιστον συσκευές σε λειτουργία.. Το πρώτο σκέλος της άσκησης είναι όμοιο με την γενίκευση της προηγουμένης άσκησης εάν αντιστοιχίσουμε την κατειλημμένη θέση με συσκευή εκτός λειτουργίας, δηλαδή τώρα τα E (προηγουμένως Κ ) συμβολίζουν τις θέσεις των εκτός λειτουργίας συσκευών και τα λειτουργούν. x Λ (προηγουμένως x Ο ) τις x το πλήθος των διαδοχικές συσκευές που x x xm xm+ { m : m+, x 0, x > 0,, xm > 0, m+ 0} A Λ EΛ Λ E Λ x + + x m x ( ) x x xm x m+ Λ EΛ Λ EmΛ : x+ + x + + xm + xm+ + m+, z > 0, z > 0,, zm > 0, zm+ > 0 z z zm z m+ PE m+ m+ 48

49 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 από όπου A ( m ) m m m+ + + PEm+ + m και P A m+ m ( ( m ) ) ( m ) m ( ) ( m ) m. Εάν με A συμβολίσουμε το ενδεχόμενο ( ) A { Κάθε ζευγάρι από συσκευές που δεν λειτουργούν χωρίζονται από τουλάχιστον συσκευές που λειτουργούν}, έχουμε x x xm xm+ { m : m+, 0, x >,, xm >, m+ 0} A Λ EΛ Λ E Λ x + + x m x x x x xm x m+ Λ EΛ Λ EmΛ :( x+ ) + ( x ) + ( xm ) + ( xm+ + ) m ( m ) +, z > 0,,, m+ z z zm zm+ m+ 3 PE m+ 3 m+ από όπου A ( m ) m 3 m m PEm+ + m και P( A) m+ m. m 3. Εάν με A συμβολίσουμε το ενδεχόμενο A { Κάθε ζευγάρι από συσκευές που δεν λειτουργούν χωρίζονται από τουλάχιστον συσκευές που λειτουργούν}, τότε x x xm xm+ { m : m+, 0, x >,, xm >, m+ 0} A Λ EΛ Λ E Λ x + + x m x x x x xm xm+ Λ EΛ Λ EmΛ :( x+ ) + ( x ( ) ) + ( xm ( ) ) + ( xm+ + ) z z zm zm+ m PE + + m+ m ( m )( ) +, z > 0,,, m+ m+ + 49

50 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 m + m m + A PE m P ( A) m + m m+ + m+, 0. Ο τρόπος επιλογής δείγματος και ο αριθμός των δυνατών δειγμάτων Σ Σ κάθε περίπτωση θα είναι: Έστω N το μέγεθος του πληθυσμού και το μέγεθος του δείγματος. Κατά την δειγματοληψία τα στοιχεία του δείγματος εκλέγονται διαδοχικά το ένα μετά το άλλο. Η επιλογή μπορεί να γίνει με επανάληψη E. Ενώ μπορεί να E ή χωρίς επανάληψη μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής ( Σ ) ή να μη μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής ( Σ ). Ο αριθμός όλων των δυνατών δειγμάτων σε Μεταθέσεις αντικειμένων τα οποία μπορούν να χωριστούν σε ομάδες από όμοια αντικείμενα. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους ένας πληθυσμός από αντικείμενα μπορεί να χωριστεί σε μέρη το πρώτο με στοιχεία, το δεύτερο με στοιχεία κ.λ.π. το -οστό με στοιχεία έτσι ώστε τελικά να έχουμε + + είναι: Από τα στοιχεία τα πρώτα!,,,!!! μπορούν να επιλεγούν με ( ) με ( ) με το δεύτερο μέρος από παίρνουμε: τρόπους. Τα στοιχεία για τρόπους, κ.λ.π. τα τελευταία στοιχεία από τρόπους. Έτσι από την θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης! ( )! ( )!!( )!!( )!!( )! 0!!,,,.!!! E E N ( N ) N N 50

51 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Διατεταγμένες διαμερίσεις (odeed pattos) Έστω ότι ένα δοχείο Π περιέχει αριθμημένα σφαιρίδια από το έως και το 7. Θα βρούμε τον αριθμό των τρόπων με τον οποίο μπορούμε να χωρίσουμε τα 7 σφαιρίδια σε 3 σύνολα από, 3 και σφαιρίδια αντίστοιχα. Δηλαδή θα βρούμε τον συνολικό αριθμό των διαφορετικών διατεταγμένων τριάδων ( Π, Π, Π ). Διακρίνουμε δηλαδή μεταξύ της 3 τριάδας ({, },{ 3, 4,5 },{ 6,7 }) και της ({ } { } { }) 6,7, 3, 4,5,,. 7 Υπάρχουν ( ) τρόποι να πάρουμε τα πρώτα σφαιρίδια. 5 Επειδή μένουν 5 σφαιρίδια, υπάρχουν ( 3 ) τρόποι να πάρουμε τα επόμενα 3 σφαιρίδια. Μένουν τελικά σφαιρίδια και έτσι υπάρχουν ( ) τρόποι να πάρουμε τα τελευταία σφαιρίδια. Από την θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης βλέπουμε ότι υπάρχουν ( 7 )( 5 )( ) ( 7 3,3, ) διαφορετικές διατεταγμένες τριάδες (,, ) Π Π Π. 3 Γενικεύοντας βρίσκουμε ότι ο αριθμός των διατεταγμένων διαμερίσεων ( Π, Π, Π ) ενός συνόλου Π με αντικείμενα, σε υποσύνολα όπου το Π υποσύνολο περιέχει στοιχεία με + + Παράδειγμα είναι (,,, ), που δίνεται από την σχέση (.3). Με πόσους τρόπους μπορούμε να δώσουμε 3 εργασίες E, E, E 3 σε φοιτητές αν τους χωρίσουμε σε ομάδες των 4? Πόσες ομάδες των 4 μπορούμε να φτιάξουμε με φοιτητές? Το πρώτο ερώτημα περιέχει την έννοια της διάταξης. Έτσι η απάντηση θα είναι ( 4,4,4 ) Στο δεύτερο ερώτημα η διάταξη δεν παίζει κανένα ρόλο και έτσι θα πρέπει να διαιρέσουμε το τελικό αποτέλεσμα με τον αριθμό των μεταθέσεων των 3 ομάδων (δηλαδή με 3!) έτσι 3! ( 4,4,4 )

52 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Στο επόμενο παράδειγμα και πάλι η διάταξη δεν παίζει κανένα ρόλο. Παράδειγμα 3 Με πόσους τρόπους μπορούν να χωριστούν φοιτητές σε ομάδες με τουλάχιστον φοιτητή? Παρατηρούμε ότι { } { } { } Π, Π Π, Π Π, Π όπου, Π Π οι δύο ομάδες με και φοιτητές αντίστοιχα. Τελικά επειδή δεν μας ενδιαφέρει ποία ομάδα θα είναι πρώτη, οι τρόποι με τους οποίους φοιτητές μπορούν να χωριστούν σε ομάδες θα είναι ( ) /!. Το πολυωνυμικό ανάπτυγμα Οι ποσότητες (,,, ) πολυωνυμικό ανάπτυγμα: ( ) ονομάζονται πολυωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται στο a a a a x x + + x x,, x x + + x 0,,, Το θεώρημα ισχύει για (, ) ( a + a ) a a έχουμε ότι και έτσι ( ) ( ),,, με αποτέλεσμα + ( ) ( a b) a b

53 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Υποθέτουμε ότι ισχύει για και τo αποδεικνύουμε για x a a a a a a a a a x x x x x 0 x + + x 0 x x + + x,, x x x x ( ) x x x x x x x a a a a a a x 0 x x,,,, x x x x + + x + + x x x Παρατηρήσεις. Ο αριθμός των όρων του αθροίσματος είναι E, όπου {(,, ) :, 0, } E x x x + + x x που δίνει E PE.. Αντικαθιστώντας a a παίρνουμε την ταυτότητα Παράδειγμα 4 x,, x. x + + x x 0,,, Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( α + β + γ) χρησιμοποιώντας το πολυωνυμικό ανάπτυγμα. (, ), 3 ( α β γ) α β γ Το παραπάνω άθροισμα έχει E όρους 53

54 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 α + β + γ α + β + γ + ( αβ + αγ + βγ ) 4 Παράδειγμα Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( a b+ c) (, ), () ( a b c) a b c + Άσκηση Σε ένα ανελκυστήρα μέσα σε ένα 3-όροφο κτίριο υπάρχουν 4 άτομα. Εάν κάθε άτομο επιλέγει τυχαία τον όροφο που θα κατεβεί να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων 54

55 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 () A { κατεβαίνουν όλοι στους πρώτους ορόφους} () B { κατεβαίνουν όλοι σε το πολύ σε ορόφους} () C { κατεβαίνουν σε ακριβώς 3 ορόφους} Ο δειγματικός χώρος Ω του προβλήματος είναι Ω {( ω, ω, ω3, ω4 ) ω {,, 3} }, 4διακεκριµενα σφαιριδια ατοµα τοποθετουνται σε 3διακεκριµενες κυψελες οροφους 4 και επειδή οι δυνατές τοποθετήσεις κάθε σφαιριδίου είναι 3, θα έχουμε ΝΩ 3 Μάλιστα δεν είναι δύσκολο να καταγράψουμε 5 και τα 8 ισοπίθανα δειγματικά σημεία του Ω Ω { } 4 Το ενδεχόμενο A έχει ευνοϊκά αποτελέσματα εφόσον A ω ω ω3 ω4 ω {(,,, ) {,}} (κάθε σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί μόνο στις πρώτες 4 κυψέλες) έτσι PA ( / 3) Το γεγονός B μπορεί να διαμεριστεί στα σύνολα B {όλοι κατεβαίνουν στον ίδιο όροφο}{,,3333 } και B {όλοι κατεβαίνουν σε ακριβώς ορόφους}. 5 Σε κάποιο συμβολικό πακέτο (όπως η Maple) αναπτύσσουμε το γινόμενο ( α+ α + α3)( β+ β + β3)( γ+ γ + γ3)( δ+ δ + δ3), όπου για παράδειγμα ο όρος αβγδ ι j l έχει την σημασία ότι το ο άτομο κατέβηκε στον όροφο ενώ το ο άτομο κατέβηκε στον όροφο, το 3 ο άτομο κατέβηκε στον j όροφο ενώ το 4 ο 4 άτομο κατέβηκε στον l όροφο. Το προηγούμενο γινόμενο έχει 3 όρους και ο όρος αβγδ αντιστοιχίζεται στο δειγματοσημείο jl Ω ι j l 55

56 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Έτσι ( ) 3 4 N B 4 (το αφαιρείται γιατί πρέπει από το να 3 4 N B και αφαιρέσουμε τους τρόπους: όλοι να κατέβουν στον ο από τους ορόφους και όλοι να κατέβουν στον ο από τους ορόφους). Με αποτέλεσμα N( B) N( B ) + N( B ) και PB 45 / Παρατηρήστε ότι: για την εύρεση των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχομένου B έμμεσα χρησιμοποιήσαμε τον αριθμό 5 #{(,, ) + + 4, 0}. Για το B χρησιμοποιήσαμε 4 6 E3 x x x3 x x x3 x τους όρους, 5, 5 του πίνακα που αντιστοιχούν στις ακέραιες λύσεις (4,0,0), (0, 4,0), (0,0, 4) με μοναδιαίες συνεισφορές. Για το B χρησιμοποιήσαμε τους όρους, 3, 4, 6, 9, 0,, 3, 4 (οι ακέραιες λύσεις με ακριβώς δύο x 0 ) με αντίστοιχες συνεισφορές 4, 6, 4, 4, 4, 6, 6, 4, 4 (άθροισμα 4) 4 Το γεγονός C έχει ευνοϊκά αποτελέσματα εφόσον C Ω \ B. Το C αντιστοιχεί στους όρους 7, 8, (οι ακέραιες λύσεις με όλα τα x 0 ) που έχουν όλοι συνεισφορά από. Έτσι PC PB 36 / Άσκηση 3 Βρείτε τον αριθμό των αναγραμματισμών (αριθμό μεταθέσεων των γραμμάτων) στη λέξη ΣΥΓΓΡΑΜΜΑ. Ο αριθμός των μεταθέσεων στην λέξη ΣΥΓΓΡΑΜΜΑ είναι 9!. Λόγω της επανάληψης των γραμμάτων Α, Γ, Μ (όλα από φορές) ο αριθμός των διαφορετικών αναγραμματισμών της λέξης ΣΥΓΓΡΑΜΜΑ είναι: 9 (,,,,, ) Άσκηση 4 9! 9070!!!!!! 56

57 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Σε ένα τουρνουά σκακιού διαγωνίζονται 4 από την Ρωσία, 3 από τις ΗΠΑ, από την Αγγλία και ένας από την Ελλάδα. Εάν στα αποτελέσματα αναφέρεται μόνο η εθνικότητα του διαγωνιζομένου πόσα τα δυνατά αποτελέσματα? Τα δυνατά αποτελέσματα θα είναι 0 ( 4,3,, ) Άσκηση 5 0!, !3!!! Παίρνουμε τυχαία 3 αριθμούς, χωρίς επανάθεση από ένα δοχείο που περιέχει τους αριθμούς {,,,0}. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:. Α{το άθροισμα είναι },. Β{το γινόμενο είναι άρτιος}, 3. Γ{ο μικρότερος είναι 4 ή 5}. Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες τριάδες από το σύνολο 0 {,,,0} N N Ω 0 3!.. Έτσι ( 3 ) 3 Ζητάμε τον αριθμό των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης x+ x + x3 με x 0 αλλά χωρίς επανάθεση 6. Αυτές είναι για x < x < x3 οι {++8, +3+7, +4+6, +3+6, +4+5}. Έτσι N( A ) 5 3! (έχουμε πολλαπλασιάσει με 3! γιατί παίρνουμε υπόψη τις 3! μεταθέσεις 0 PA 5/ κάθε τριάδας), και η πιθανότητα που ζητάμε είναι ( 3 ) Παρατηρούμε ότι για το ενδεχόμενο B { το γινόμενο είναι περιττός}, η κατάσταση απλοποιείται (όλοι οι όροι x του γινομένου πρέπει να είναι περιττοί). Έτσι N( B ) ( 0) 3 (εφόσον 0 είναι οι περιττοί στο {,,,0} ). Και η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0 0 ( 3 ) ( 3 ) PB PB ( ) 0 / 0 PA / Δηλαδή η λύση ++9 δεν είναι αποδεκτή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό ( * ) ( 0 3 ) E. 57

58 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ας συμβολίσουμε με Γ το γεγονός Γ { ο μικρότερος είναι }. Το σύνολο Γ αποτελείται από τριάδες όπου ο ένας αριθμός είναι και οι υπόλοιποι δύο διαλέγονται από το σύνολο { +,, 0}. Έτσι ΓΓ4 Γ 5 ενώ ΓΓ 4 5. Τότε ζητούμενη πιθανότητα είναι 6 5 ( 3 ) 3! 3! + 3! P( Γ ) P( Γ ) + P( Γ ) Διαταράξεις Θεωρήστε το επόμενο πρόβλημα: Έστω ότι γράμματα τοποθετούνται τυχαία σε φακέλους. Ποια η πιθανότητα κανένα γράμμα να μη πάει στο σωστό φάκελο? Εάν συμβολίσουμε με A το ενδεχόμενο ότι κανένα από τα γράμματα δεν πάει στο σωστό φάκελο, τότε: D N( A) ο αριθμός των διαταράξεων αντικειμένων. Θα δείξουμε ότι D ( )!! 0 Ο δειγματικός χώρος Ω του προηγουμένου πειράματος είναι το σύνολο των μεταθέσεων αντικειμένων. Δηλαδή N( Ω )! Έστω S το γεγονός S {το γράμμα πηγαίνει στον φάκελο (δηλαδή στο σωστό φάκελο)}. Τότε ( ) A SS S S PA P S πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης σχέσης με Ω παίρνουμε N( A)! N S Tο θεώρημα του Pocae δίνει 58

59 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/ N S N S N S S N S S S (0.3) Παρατηρούμε ότι N SS! S εφόσον στους,,, φακέλους έχουν πάει αντίστοιχα τα,,, γράμματα (μεταθέτουμε τα υπόλοιπα αντικείμενα σε θέσεις) έτσι η σχέση (0.3) δίνει ( )! ( )! + + ( ) ( )! N S ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! + + ( ) ( )!!! + +!!!! Το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος (Femat Pascal, the poblem of pots) 7 Όταν σταμάτησε απότομα το παιγνίδι, ο Α ήθελε παρτίδες για να κερδίσει ενώ ο Β ήθελε m παρτίδες. Πως πρέπει να μοιραστεί το στοίχημα K? Έστω ότι κερδίζει όποιος πραγματοποιήσει νίκες. Τότε ο μέγιστος αριθμός παρτίδων που μπορούν να παιχθούν εξ αρχής είναι, ενώ εάν το παιγνίδι δεν σταματούσε, θα τελείωνε σε το πολύ + m παρτίδες. Ας θεωρούμε την ειδική περίπτωση 3 και m

60 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ο δειγματικός χώρος είναι: Ω{ AAA, AABA, AABB, ABAA, ABAB, AAAA+AAAB ABB, BAAA, BAAB, BAB, BB } ABBA+ABBB BABA+BABB BBAA+BBAB+BBBA+BBBB (0.4) Βρίσκουμε την πιθανότητα των γεγονότων ( EA EB Ω ) P( EA) P( AAA) + P( AABA) + P( ABAA) + P( BAAA) P( AAAA) + P( AAAB) E A {ο Α κερδίζει} και (0.5) P( E ) P( AABB) + P( ABAB) + P( ABB) + P( BAAB) + P( BAB) + P( BB) B (0.6) Έτσι ο Α παίκτης θα πάρει PE ( A) Παρατηρούμε ότι τα γεγονότα των ενδεχομένων A { E A A A 3 4 και EB A0 A A Kκαι ο Β παίκτης PE K E A και ο Α κερδίζει τις από τις. { } { } EA A3 A4 AAAB, AABA, ABAA, BAAA AAAA { } { } B E B {ο Β κερδίζει} E B μπορούν να παραγοντοποιηθούν συναρτήσει + m παρτίδες}. Πράγματι EB A0 A A BBBB ABBB, BABB, BBAB, BBBA 4 60

61 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 { AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA } Δηλαδή το ενδεχόμενο A αποτελείται από όλες τις ακολουθίες μήκους + m 4 όπου 4 επαναλαμβάνεται φορές το A. Έτσι ( ) ( ) Οι σχέσεις (0.5) και (0.6) μπορούν να γραφτούν σαν PE PA ( A) PA + PA A ( 4 ) ( ) PE PA ( A A) PA + PA + PA B 4 N A και PA ( ) + m ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) Η γενίκευση έρχεται από την προηγούμενη παρατήρηση. Για γενικά και m έχουμε E { η συμβολική ακολουθία των + m παρτίδων περιέχει από έως και + m A σύμβολα A } A A+ A+ m E { η συμβολική ακολουθία των + m παρτίδων περιέχει από 0 έως και B σύμβολα A } A0 A A m m E A PE PA A + j A + j + m j 0 j 0 E A PE PA B j B j + m j 0 j 0 m j 0 j 0 + m ( + j ) + m ( j ) Δεσμευμένη πιθανότητα Έστω A και B ενδεχόμενα σε ένα τυχαίο πείραμα και PB > 0. Τότε η πιθανότητα του A με δεδομένη την πραγματοποίηση του B συμβολίζεται με PAB ( ) (η πιθανότητα του A δοθέντος του B ) και δίνεται από την σχέση P AB P( A B), P( B) 0. P B Η αδέσμευτη πιθανότητα PA του ενδεχομένου A ονομάζεται και po πιθανότητα (εκ των προτέρων), ενώ η δεσμευμένη πιθανότητα P( A B ) του A με δεδομένη την πραγματοποίηση του B ονομάζεται και posteo (εκ των υστέρων) πιθανότητα. 6

62 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Εάν γνωρίζουμε ότι το ενδεχόμενο B πραγματοποιήθηκε τότε γνωρίζουμε ότι το αποτέλεσμα ω του πειράματος ανήκει στο B. Δηλαδή ο δειγματικός χώρος Ω έχει περιοριστεί στο B και εμφάνιση του A προϋποθέτει εμφάνιση αυτού του μέρους του A που ανήκει στο B (δηλαδή το AB ). Έτσι η δεσμευμένη πιθανότητα του A, δοθέντος του B, είναι το ποσοστό της πιθανότητας του A που περιέχεται στο B. Θα δείξουμε ότι η δεσμευμένη πιθανότητα αξιώματα της πιθανότητας δηλαδή ότι: I. P( A B) 0 II. P( B) Ω III. P A A B P A B + P A B, AA P. B : Σ B [0,] ικανοποιεί τα 3 Από τον ορισμό Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε. έχουμε P( A B) 0 εφόσον P ( AB) / P( B) 0. Εμφανώς P( Ω B) P( Ω B)/ PB PB / PB. Ενώ (( ) ) ( ) P A A B P AB AB P AB P AB P( A A B) + PB PB PB PB Παρατήρηση ( ) ( ) ( ( )( ) ) P A B + P A B, AA AB A B. Επειδή η δεσμευμένη πιθανότητα ικανοποιεί τα 3 αξιώματα της πιθανότητας θα ικανοποιεί και όλες τις ιδιότητες που είναι συνέπειες του μαθηματικού ορισμού της πιθανότητας, για παράδειγμα ( ) ( ) + ( ) ( ) P A B C P A C P B C P AB C Παράδειγμα 5 Δείξτε ότι 6

63 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07. Εάν P( AB ) > PA P( B A) > PB.. Βρείτε την P( A B ) εάν (α) AB, (β) A B, (γ) A B () Από την υπόθεση P B A > PB P( A) P( B ) > P ( AB) P AB P B P A > () Εάν τα A και B είναι ασυμβίβαστα τότε P( A B) 0/ P( B) 0, ενώ εάν A B AB A P( A B) P( A) / P( B) εάν A B AB B P A B, Παράδειγμα Αν ρίξουμε ζάρια, ποια η πιθανότητα μια τουλάχιστον ένδειξη να είναι όταν:. Δεν δίνεται καμία άλλη πληροφορία για την τέλεση του πειράματος.. Είναι γνωστό ότι η ρίψη έφερε άθροισμα ενδείξεων 6. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι {( ab, ) ab, 6 }, N 6 Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α{μία τουλάχιστον ένδειξη }, Β{το άθροισμα των ενδείξεων είναι 6} Ω Ω. Όταν δεν δίνεται καμία άλλη πληροφορία υπολογίζουμε την αδέσμευτη πιθανότητα PA. Επειδή N( A ) έχουμε PA /

64 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ω Ο ΝΕΟΣ ΧΩΡΟΣ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ B Όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του B είναι 5 και έτσι PB 5/ 36. Μόνο από αυτά τα (,4) και (4,) οδηγούν ταυτόχρονα και στο A δηλαδή P( AB ) /36. Το μέγεθος PAB ( ) υπολογίζεται ως εξής: η πληροφορία ότι πραγματοποιήθηκε το B περιορίζει τον Ω στον υπόχωρο B των 5 στοιχειωδών ενδεχομένων. Έτσι για να συμβεί το A δοθέντος του B πρέπει να πραγματοποιηθεί μέσο ενός των στοιχειωδών δειγματικών σημείων του AB {(,4),(4,)}, δηλαδή υπάρχουν ευνοϊκές περιπτώσεις σε σύνολο 5 περιπτώσεων, και έτσι / 36 P( AB) PAB ( ). 5 5/ 36 PB Παρατήρηση Έστω Ω δειγματικός χώρος με ισοπίθανα δειγματικά σημεία και έστω ότι τα ενδεχόμενα A, B και AB έχουν αντίστοιχα m, και στοιχειώδη ενδεχόμενα τότε / P AB P( A B), / P B Δεσμεύοντας την δεσμευμένη πιθανότητα Έστω η δεσμευμένη P( A B ) με B πιθανότητα του A. Ορίζουμε την δεσμευμένη με C πιθανότητα της προηγούμενης πιθανότητας P( A B C ) θα δείξουμε ότι: 64

65 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( ) P( A CB) P A B C Πράγματι. P ( ACB) P ( AC B) P ( B) P A B C P A CB P( C B) P( CB) παλαια δεσµευση P( B) νεα δεσµευση Έτσι η πολλαπλά επαναλαμβανόμενη δέσμευση του A με ενδεχόμενα A, A Σ δεν είναι τίποτα άλλο από απλή δέσμευση του A με το ενδεχόμενο A A Σ: ( ) ( ) P A A A P A A A, Το πολλαπλασιαστικό θεώρημα Παράδειγμα Σε ένα δοχείο έχουμε N κόκκινα, N άσπρα και N 3 μπλε σφαιρίδια. Ποία η πιθανότητα να εκλέξουμε δείγμα μεγέθους 3 χωρίς επανάθεση, όπου το πρώτο σφαιρίδιο είναι κόκκινο (ενδεχόμενο K ) το δεύτερο σφαιρίδιο είναι άσπρο (ενδεχόμενο A ) ενώ το τρίτο σφαιρίδιο είναι μπλε (ενδεχόμενο M 3). Δηλαδή ζητούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου KAM 3. Επειδή ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα δείγματα μεγέθους 3 από πληθυσμό μεγέθους N N+ N + N3, θα έχουμε N( Ω ) ( N) N( N )( N ) ενώ N( KAM ) NN N θα έχουμε P KAM 3 NNN N N N N N N N N N 3 3 (0.7) Παρατηρούμε ότι N N N3 P( K), P( A K), P( M3 KA ). N N N Αντικαθιστώντας πίσω στην σχέση (0.7) βρίσκουμε ότι ( ) ( ) P KAM P K P A K P M KA

66 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παρατηρήσεις NNN N 3. P( K A M ) P( K ) P( A ) P( M ) Εάν στο προηγούμενο πείραμα η επανάθεση επιτρέπονταν θα είχαμε: N N N P K A M P K P A P M N N N Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, παίρνουμε τις σχέσεις P ( AB) ( ), ( ) (0.8) P( B) P A B P AB P B P A B P( B A) P BA, P AB P A P B A P A Το πολλαπλασιαστικό θεώρημα Έστω ενδεχόμενα A,, A Σ τέτοια ώστε P( A A ) > τότε 0 P AA A P A P A A P A AA P A AA A.. Επειδή 3 AA A A A A A ( ) ( ) 0 < P A A P A A P A A P A Τότε ( ) P AA A P A P AA P AAA 3 P AA A P AA A, P A P( AA ) P( AA A ) P( AA A ) PA ( A) PA ( 3 AA ) PA ( AA A ) PA ( AA A ) ( ) ( ) P AA A P A P A A P A3 AA P A AA A. Παράδειγμα 8 Έστω δοχείο με N σφαιρίδια, από τα οποία a είναι άσπρα και τα υπόλοιπα N a είναι μαύρα. Εκλέγουμε τυχαία δείγμα μεγέθους χωρίς επανατοποθέτηση. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων 66

67 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Α{το δείγμα περιέχει x άσπρα σφαιρίδια} Β{τα πρώτα x σφαιρίδια του δείγματος είναι άσπρα} ος τρόπος Έχουμε ότι P A a N a x x N Για την πιθανότητα του ενδεχομένου B σκεφτόμαστε ως εξής: το P( A ) ήταν η πιθανότητα να εκλέξουμε με τυχαίο τρόπο x άσπρα σφαιρίδια ανεξάρτητα θέσης στο δείγμα μεγέθους. Όμως, υπάρχουν ( x ) διαφορετικοί τέτοιοι τρόποι, και ένας από αυτούς τους τρόπους αυτούς, είναι να πάρουμε πρώτα το bloc των x άσπρων σφαιριδίων, έτσι P B a N a a N a x! ( x)! P( A ) x x x x N N N! x x ος τρόπος ( a) ( N a) x ( x ) ( ) Έστω το ενδεχόμενο A { το σφαιρίδιο στην -οστή εκλογή είναι άσπρο}, τότε ( ) B AAA A A A και x x+ x+ ( ) P( B) P A P A A P Ax A Ax a a a ( x ) N N N ( x ) P A x+ AAx P A x+ AAxA x+ P A AAxA x+ A N a N x ( N a) ( N x) ( N a) ( x ) ( N x) ( x ) { } { } N( N ) [ N ( ) ] a( a ) [ a ( x )] N a N a N a ( x ) 67

68 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 ( a) ( N a) x ( N ) x a N a!! x x N x a N a ( x) x ( x) ( x) N ( )! Ολική πιθανότητα και το θεώρημα του Bayes Θεωρήστε το επόμενο πείραμα: Έστω 5 δοχεία (us) U. Τα πρώτα έχουν την σύνθεση: λευκά σφαιρίδια και μαύρο. Το τρίτο έχει την σύνθεση 0 μαύρα σφαιρίδια και το τέταρτο και πέμπτο την σύνθεση 3 άσπρα και μαύρο σφαιρίδιο Σύνθεση η : Σύνθεση η : Σύνθεση 3 η : {,, } {,, } U Λ Λ Μ U Λ Λ Μ U Μ { 3,, Μ 3 } 3 0 { 4, 4, 4, 4 } { 5, 5, 5, 5 } U Λ Λ Λ Μ 4 3 U Λ Λ Λ Μ 5 3 Διαλέγουμε ένα δοχείο και ένα σφαιρίδιο με τυχαίο τρόπο. Ποία η πιθανότητα των ενδεχομένων: Λ {Το σφαιρίδιο είναι λευκό}, Μ {Το σφαιρίδιο είναι μαύρο} Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από 4 στοιχειώδη ενδεχόμενα, Ω 5 U { 5, } Λ Μ με UU j όταν j, που όμως δεν είναι ισοπίθανα. Για παράδειγμα P( Λ ) P( Λ ) ( /5)( /3), ενώ P( Μ ) ( /5)( /3). Εκφράζουμε το ενδεχόμενο Λ χρησιμοποιώντας την διαμέριση του Ω σε 5 ( U), ( U)( U j) Λ ΛΩ Λ Λ Λ έτσι U δηλαδή 68

69 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/ ( ) ( ) P Λ P Λ U P Λ U PU P Λ U /5 /3 + /5 /3 + /5 0 + /5 3/4 + /5 3/4 7/30, ενώ συνθεση συνθεση συνθεση Α Α Α3 5 ( Μ ) ( Μ ) 3/ 30 ( Λ ). P PU P U P Ολική πιθανότητα Γενικεύοντας το παραπάνω παράδειγμα, στην περίπτωση κατά την οποία έχουμε διαμέριση του Ω σε υποσύνολα j Ω B, B B, j A AB, και η πιθανότητα του A δίνεται από την σχέση P( B ) P( A B ) P A. Η προηγούμενη εξίσωση εκφράζει το θεώρημα της ολικής πιθανότητας. Μια ακόμα πιο γενική μορφή είναι η παρακάτω όπου B B Ω, τότε AB AB και επειδή, AB AB j θα έχουμε j ( ) ( ) P( A B) P( B) P( A B). P B P AB P AB P AB P B P A B P B P A B Παρατήρηση Στην ειδική περίπτωση όπου B B Ω έχουμε ότι P A Ω P B P A B P A P B P A B P Το θεώρημα του Bayes Ω Έως τώρα έχουμε θεωρήσει το γεγονός B σαν την αιτία που προκάλεσε το γεγονός A (το συμβολίζουμε με A B). Το θεώρημα του Bayes αντιστρέφει τον προηγούμενο συλλογισμό. 69

70 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Στα επόμενα θα αναζητήσουμε την πιθανότητα το αποτέλεσμα A να έχει προκληθεί από το ενδεχόμενο B. Δηλαδή την πιθανότητα P( B A ) Έστω A Ω και { B B } μια διαμέριση του Ω τότε ( A) P B,, ( ) P( A) P AB P B P A B, P A και επειδή P( A) P( AΩ ) P( AB ) P( AB ) P( B ) P( A B ) ( A) P B ( ) P( A B) P( B ) P( A B ) P B. παίρνουμε Η προηγούμενη εξίσωση εκφράζει το θεώρημα του Bayes. Παράδειγμα Τα δοχεία A και B περιέχουν N και N άσπρα και μαύρα σφαιρίδια αντίστοιχα και έστω a και a ο αριθμός των άσπρων σφαιριδίων τους. Διαλέγουμε με τυχαίο τρόπο a σφαιρίδια από το δοχείο A και τα τοποθετούμε στο δοχείο B. Στη συνέχεια εξάγουμε με τυχαίο τρόπο, ένα σφαιρίδιο από το δοχείο B.. Ποία η πιθανότητα του ενδεχομένου E { εξάγετε ένα άσπρο σφαιρίδιο από το δοχείο B }.. Ποία η πιθανότητα να έχουμε μεταφέρει άσπρα σφαιρίδια από το δοχείο A στο δοχείο B, δοθέντος ότι έγινε εξαγωγή άσπρου σφαιριδίου από το δοχείο B. 3. Να γίνει αριθμητική εφαρμογή όταν N 5, N 3 με a 0, a 9 και,.. Έστω F το ενδεχόμενο F {μεταφέρουμε άσπρα και μαύρα σφαιρίδια από το δοχείο A στο δοχείο B }. 70

71 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Εμφανώς τα Ω F0 F F και FF, j, και P( F ), 0,,,. j a N a ( ) N ( ) Η πιθανότητα του ενδεχομένου E δοθέντος ότι έχουμε εισάγει στο δοχείο B, άσπρα a + σφαιρίδια (και μαύρα) θα είναι P( E F ), 0,,,. N + Έτσι έχουμε ότι P( E) P EF P( EF) P( F) P( E F) Από το θεώρημα του Bayes έχουμε ότι P( F E) 3. N N 0. P( E F ) P F. P F P E F 5, 3 με a 0, a 9 και, παίρνουμε ( 5 ) P E και ( E) P F , 5 P( E F ) ( ) 0 5 ( )( 0 ) 5 ( ) P F P F P E F Το πρόβλημα του Moty Hall ( ). Ένας διαγωνιζόμενος σε τηλεοπτικό παιγνίδι διαλέγει μία από τρεις κουρτίνες. Πίσω από μία από τις κουρτίνες υπάρχει ένα δώρο ενώ δεν υπάρχει τίποτα πίσω από τις άλλες δύο. Ο διαγωνιζόμενος διαλέγει τυχαία μια από τις τρεις κουρτίνες, χωρίς να ξέρει εάν από πίσω βρίσκεται το δώρο. Στην συνέχεια ο Moty Hall (ο τηλεπαρουσιαστής του παιγνιδιού) τραβάει μία από τις άλλες κουρτίνες δείχνοντας στον διαγωνιζόμενο ότι δεν περιέχει δώρο από πίσω και ρωτάει τον διαγωνιζόμενο αν θα ήθελε να αλλάξει την αρχική του εκλογή με την άλλη κουρτίνα που είναι κλειστή. Θα πρέπει ο διαγωνιζόμενος να αλλάξει την αρχική του εκλογή;. Ο περισσότεροι θα πίστευαν ότι η αλλαγή της αρχικής εκλογής δεν θα είχε καμία σημασία. Στην πραγματικότητα όμως η πιθανότητα νίκης διπλασιάζεται όταν ο διαγωνιζόμενος αλλάξει την αρχική του εκλογή. Για να το δούμε αυτό αριθμούμε τις κουρτίνες: 7

72 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 a η κουρτίνα που αρχικά διάλεξε ο διαγωνιζόμενος, b η κουρτίνα που ανοίχτηκε από τον Moty, c η 3 η κουρτίνα. Και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: A {το δώρο είναι πίσω από την κουρτίνα a } P( A) /3 B {το δώρο είναι πίσω από την κουρτίνα b } P( B) /3 C {το δώρο είναι πίσω από την κουρτίνα c } PC /3 και M {ο Moty ανοίγει την κουρτίνα x }, όπου x { abc,, } x. Θα δείξουμε ότι b ( ) PC ( M) PAM b δηλαδή ότι η πιθανότητα το δώρο να βρίσκεται πίσω από την κουρτίνα a (που είναι η κουρτίνα που διάλεξε ο διαγωνιζόμενος) είναι το μισό της πιθανότητας το δώρο να βρίσκεται πίσω από την κουρτίνα c (που θα μπορούσε o διαγωνιζόμενος να ανταλλάξει με την κουρτίνα a ) δοθέντος ότι ο Moty ανοίγει την κουρτίνα b. Έχουμε ότι P( M b) P( AM b) + P( BM b) + P( CM b) P( A) P( Mb A) + P( B) P( Mb B) + P( C) P( Mb C) και P( Ma A) + P( Mb A) + P( Mc A) 0+ + P( Ma B) + P( Mb B) + P( Mc B) P( M C) + P( M C) + P( M C) a b c Οπότε και P( M b ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bayes παίρνουμε P( A) P( Mb A) ( b ), PC ( Mb ) P( M ) 3 P A M b ( b C) P( M ) PCPM, 3 b 7

73 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 b ή ότι PAM ( ) PC ( M) b Στοχαστική ανεξαρτησία Λέμε ότι ένα γεγονός Α είναι ανεξάρτητο από ένα γεγονός Β εάν ισχύει η εξίσωση ( ) P( A), (0.9) P A B δηλαδή όταν η πραγματοποίηση του γεγονότος Β δεν επηρεάζει την πραγματοποίηση του γεγονότος Α. Από τις σχέσεις (0.8) και Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε. βλέπουμε ότι και ( ) P( B), (0.0) P B A δηλαδή ότι και το Β είναι ανεξάρτητο του Α. Λέμε ότι το ζεύγος ενδεχομένων ( AB, ) είναι στοχαστικώς ανεξάρτητο (stochastcally depedet) ή απλά τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα όταν P( A) P( B). P AB Πρόταση Δείξτε ότι εάν το ζεύγος ενδεχομένων ( AB, ) είναι στοχαστικώς ανεξάρτητο, τότε και τα ζεύγη ( AB, ), ( A, B) και ( A, B ) είναι στοχαστικώς ανεξάρτητα Για το ζεύγος ( AB, ) έχουμε P AB P A P B A P A P B A P A P B P( B) ( ) ( ) ( ) ( ). Ομοίως για το ζεύγος ( A, B) παίρνουμε P( AB ) P( A ) P( B), ενώ για το ζεύγος ( A, B ) έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) P AB P A P B A P A P B A επειδή όμως ήδη έχουμε δείξει ότι το ζεύγος ( A, B) είναι ανεξάρτητο θα έχουμε P( B A ) PB και τελικά ( ) ( )( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A P B 73

74 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Ανεξαρτησία για περισσότερα από ενδεχόμενα Λέμε ότι η οικογένεια ενδεχομένων ( A A A ) είναι στοχαστικώς ανεξάρτητη εάν για,,, κάθε συνδυασμό ενδεχομένων ( A A A ),,, έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) P A A A P A P A P A,,, (0.) Δηλαδή για να αποδείξουμε την ανεξαρτησία ενδεχομένων θα πρέπει να δείξουμε σχέσεις Σημείωση ( ) ( ) , Πρακτικά είναι δύσκολο να δείξουμε την στοχαστική ανεξαρτησία χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (0.3). Τις περισσότερες φορές η στοχαστική ανεξαρτησία προσεγγίζεται από την σκοπιά της διαίσθησης και της εμπειρίας. Για παράδειγμα: Η γέννηση κοριτσιού από μία μητέρα δεν αλλάζει την πιθανότητα της γέννησης κοριτσιού (ή αγοριού) από μια άλλη μητέρα. Εάν έχουμε κεφαλή σαν αποτέλεσμα της ρίψη ενός νομίσματος, αυτό δεν αλλάζει την πιθανότητα κεφαλής (ή γραμμάτων) στην ρίψη ενός άλλου νομίσματος (εάν τα νομίσματα δεν είναι κατά κάποιο τρόπο συνδεδεμένα μεταξύ τους). Ενδεχόμενα πειραμάτων που πραγματοποιούνται σε διαφορετικούς χρόνους ή διαφορετικούς χώρους θεωρούνται ανεξάρτητα. Παράδειγμα 30 Ρίχνουμε ένα κανονικό νόμισμα φορές διαδοχικά, και ορίζουμε το ενδεχόμενο A {στην ρίψη να έρθει κεφαλή}. Θα δείξουμε ότι η -άδα ενδεχομένων ( A, A,, A ) είναι στοχαστικώς ανεξάρτητη. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι {( s, s,, sm,, s) s {, }, } Ω Κ Γ δηλαδή N ( Ω ) (όλες οι διατάξεις με επανάθεση αντικειμένων ανά ). Παρατηρούμε ότι ενδεχόμενα της μορφής A, περιέχουν δειγματικά σημεία. Πράγματι το A περιέχει -διανύσματα όπου η -οστή θέση είναι s Κ, ενώ οι 74

75 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 υπόλοιπες θέσεις, παίρνουν οποιαδήποτε τιμή στο { ΚΓ, } δηλαδή {( + ) { } } A s,, s, Κ, s,, s s ΚΓ,, j, j, j και έτσι,,,. (0.) P A Γενικεύοντας οποιαδήποτε τομή Aj A j A j είναι ένα ενδεχόμενο που περιέχει - διανύσματα όπου οι j, j, j θέσεις έχουν sj s j s j Κ ενώ οι υπόλοιπες θέσεις παίρνουν οποιαδήποτε τιμή στο { ΚΓ, }. Έτσι ( j j Aj ) P( Aj Aj A j ) N A A (0.3) / Από τις σχέσεις (0.4) και (0.5) καταλήγουμε στο ότι για κάθε -συνδυασμό (και για,, ) ενδεχομένων της μορφής ( A, A,, ) A θα έχουμε P A A A P A P A P A ( ) ( ) ( ) ( ) φορες Παράδειγμα Οι διακόπτες από το a στο b είναι ανεξάρτητα, ο καθένας, κλειστός είτε ανοιχτός με πιθανότητα p και p αντίστοιχα. Εάν γνωρίζουμε ότι το κύκλωμα από το a στο b διαρρέεται από ρεύμα με πιθανότητα 7 /6 να βρεθεί η πιθανότητα p. ( 3 4) ( ) + ( 3 4) ( 3 4) P S S S S P S S P S S P S S S S P S P S + P S P S P S P S P S P S p p p p + 0 p p 0 p Παράδειγμα Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται ένα δίκτυο διακοπτών. Κάθε διακόπτης s, 4 είναι ανεξαρτήτως ανοιχτός ή κλειστός με πιθανότητες p και p αντίστοιχα. Περιγράψτε τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο να 75

76 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 είναι κλειστό. Στην ειδική περίπτωση που p / χρησιμοποιώντας κλασικές πιθανότητες.. Στην γενική περίπτωση για 0 p. S 4 Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από δειγματικά S S 4 σημεία της μορφής ω ( s, s, s 3, s 4 ) όπου κάθε s παίρνει την τιμή 0 ή ανάλογα με το εάν ο διακόπτης είναι ανοικτός ή κλειστός Ω {( s, s, s, s ) s 0,,,, 3, 4}. 3 4 Ορίζουμε τα ενδεχόμενα A { το κυκλωµα ab ειναι κλειστο}, A { ο διακοπτης s ειναι κλειστος},,,3,4 3 Το κάθε ενδεχόμενο A μπορεί να πραγματοποιηθεί με ακριβώς τρόπους, για παράδειγμα {(,,, ) { 0, },,, 4} A s s s s. 3 4 S 3 Παρατηρούμε ότι το Α πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα A, AA 3, AA 4 πραγματοποιηθεί οπότε και A A AA 3 AA 4, από όπου και PA PA + PAA + PAA ( PAAA + PAAA + PAAA ) + PAAAA Η μόνη περίπτωση που έχουμε κλασική πιθανότητα είναι όταν p /. Τότε P{ ω } /6 για κάθε ω Ω, ενώ για διαφορετικά, j, και l έχουμε ότι A, AA, AA A, AA A A AAAA, 3 0 j j j l 3 4 από όπου και PA ( ) Γενικά, για κάθε 0 p, από ανεξαρτησία, έχουμε ότι: P A g p p+ p p + p, όπου εμφανώς για p / έχουμε P( A) g / /6. 76

77 Σπυρίδων Χατζησπύρος Εισαγωγή στη Συνδυαστική και τις Πιθανότητες 5/6/07 Παράδειγμα Δείξτε ότι για δυαδικούς διακόπτες, η πιθανότητα είναι κλασική μόνο στην περίπτωση που / p. Έστω ω, ω Ω και υπάρχουν διακόπτες, και κάθε ένας από αυτούς είναι, ανεξάρτητα από όλους τους άλλους, κλειστός ή ανοιχτός με πιθανότητα p και p αντίστοιχα. Έστω α και κ οι ανοιχτοί και κλειστοί διακόπτες στο ω, τότε α { } { } ( ) κ α κ ω ω ( ) με α + κ. Ας υποθέσουμε ότι α > α τότε P P p p p p α α p p α α α α p α α p p p /. Άσκηση Στο παρακάτω δίκτυο διακοπτών, κάθε διακόπτης S για 6 είναι ανεξαρτήτως ανοιχτός ή κλειστός με πιθανότητες p και p αντίστοιχα. Περιγράψτε τον δειγματικό χώρο και βρείτε την πιθανότητα το δίκτυο να είναι κλειστό. Τυχαίες μεταβλητές Έστω χώρος πιθανότητας ( ΩΣ,,P). Μία τυχαία μεταβλητή είναι μία πραγματική συνάρτηση : Ω που αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό ( ω ) σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο ω Ω. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος 3 φορές. Ο δειγματικός χώρος Ω είναι Ω { ΚΚΚ, ΓΚΚ,, ΓΓΓ} και αποτελείται από 8 στοιχειώδη και ισοπίθανα ενδεχόμενα. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή : Ω που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο ω Ω τον αριθμό των κεφαλών: ( ω ) αριθμός των κεφαλών στο ω. Έτσι έχουμε ότι ( ΚΚΚ ) 3 ( ΓΓΓ ) 0 ΚΓΓ ΓΚΓ ΓΓΚ ΓΚΚ ΚΓΚ ΚΚΓ 77