ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΗ ΔΗΜΗΤΡΑ Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Χρονοσειρών για την Εκτίμηση της Αβεβαιότητας στην Περίπτωση Συσχετισμένων Μετρήσεων ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΟΛΑΤΟΓΛΟΥ Χ. ΣΕ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ: Δρ. ΜΗΤΣΑΣ Χ. (Ελληνικό Ινστιτούτο Μετρολογίας) Α.Π.Θ. 2009

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΗ ΔΗΜΗΤΡΑ Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Χρονοσειρών για την Εκτίμηση της Αβεβαιότητας στην Περίπτωση Συσχετισμένων Μετρήσεων ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΟΛΑΤΟΓΛΟΥ Χ. ΣΕ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ: Δρ. ΜΗΤΣΑΣ Χ. (Ελληνικό Ινστιτούτο Μετρολογίας) Α.Π.Θ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σκοπός 5 Ευχαριστίες 5 (1) Εισαγωγή 6 1.1) Ιχνηλασιμότητα Μετρήσεων 7 1.2) Αβεβαιότητα και το ISO GUM 7 1.3) Κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου 9 (2) Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων - Ανάλυση Χρονοσειρών Δεδομένων ) Βασικά Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών ) Στοιχεία Πιθανοτήτων & Στατιστικής ) Συσχετίσεις και Στοχαστικές Διεργασίες ) Μοντέλα Στοχαστικών Διεργασιών ) Μέθοδοι Ανάλυσης Χρονοσειρών α) Πεδίο Χρόνου β) Πεδίο Συχνοτήτων 26 (3) Πειραματικό Μέρος ) Συγκριτική Ζύγιση ) Ζύγιση στον Αέρα ) Πρότυπα Μεταφοράς Δύναμης 33 (4) Υπολογιστικό Μέρος ) Δεδομένα Αναφοράς Έλεγχος Αλγορίθμων ) Παράδειγμα Σφαίρας Si, (βέλτιστη διάταξη μέτρησης) ) Παράδειγμα Σφαίρας Si, (σε πραγματικές συνθήκες μέτρησης) 53 3

4 4.4) Παράδειγμα προτύπου μεταφοράς δύναμης 58 (5) Συμπεράσματα 63 (6) Αναφορές 66 Παράρτημα 69 4

5 Σκοπός Το κύριο αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη διάφορων υπολογιστικών μεθόδων για την ανάλυση αποτελεσμάτων ζύγισης σε μετρήσεις που εκτελέστηκαν στα πλαίσια διακρίβωσης μηχανικών μεγεθών, στα εθνικά εργαστήρια μάζας και δύναμης του Ελληνικού Ινστιτούτου Μετρολογίας (Ε.Ι.Μ.). Σκοπός της εργασίας είναι η βελτιστοποίηση της διεργασίας μέτρησης και η ορθή εκτίμηση της αβεβαιότητας σε περίπτωση συσχετισμένων μετρήσεων. Η μεθοδολογία που αναπτύσσεται χαρακτηρίζει τις διαδοχικές μετρήσεις σαν συσχετισμένες ή ασυσχέτιστες, εκτιμάει το είδος του θορύβου που πιθανώς ενυπάρχει στο σύστημα και προτείνει ή απορρίπτει την εφαρμογή της κλασσικής διασποράς για τον υπολογισμό της τύπου Α αβεβαιότητας. Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωματικής αυτής εργασίας Αναπληρωτή Καθηγητή του τμήματος Φυσικής, κ. Πολάτογλου Χαρίτων για τις συμβουλές του, την καθοδήγηση του και πάνω από όλα για τη διάθεση να εμπλουτίζεται συνεχώς η καθημερινότητα με νέα και ενδιαφέροντα ερευνητικά αντικείμενα. Ένα μεγάλο ευχαριστώ επίσης θα ήθελα να απευθύνω στον κ. Μήτσα Χρήστο, διευθυντή του τμήματος Μηχανικών Μεγεθών του ΕΙΜ, για την πολύτιμη βοήθεια του στην κατανόηση των πειραμάτων, της φιλοσοφίας της Ανάλυσης Δεδομένων και την παροχή χρήσιμου υλικού για περαιτέρω μελέτη. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους έμμεσα ή άμεσα με βοήθησαν να φτάσω ως εδώ. Τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας θα παρουσιαστούν στο 3 0 Τακτικό Εθνικό Συνέδριο Μετρολογίας στην Κύπρο. 5

6 (1) Εισαγωγή 6

7 (1) Εισαγωγή 1.1) Ιχνηλασιμότητα Μετρήσεων Το Μάιο του 1875, υπογράφηκε στο Παρίσι η Συνθήκη του Μέτρου (Convention du Mètre) από αντιπροσώπους 17 εθνών. Αυτή η διπλωματική συμφωνία έβαλε τα θεμέλια για την ίδρυση του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων SI, το 1960 [1]. Από τότε, τα εθνικά εργαστήρια μετρολογίας που αναπτύχθηκαν συνεργάζονται στην ανάπτυξη προτύπων μέτρησης ιχνηλάσιμων στο SI. Οποιοσδήποτε οργανισμός μπορεί να εξασφαλίζει την ιχνηλασιμότητα μέσω της ορθής χρήσης κατάλληλων ιχνηλάσιμων προτύπων από εθνικά εργαστήρια. Η ιχνηλασιμότητα είναι εκείνη η ιδιότητα ενός αποτελέσματος μέτρησης που συνδέει το αποτέλεσμα με ένα δεδομένο μετρολογικό πρότυπο αναφοράς μέσω μιας αδιάσπαστης αλυσίδας διακριβώσεων ενός μετρητικού συστήματος ή συγκρίσεων. Σε κάθε βήμα αυτής της αλυσίδας κάθε επιμέρους διακρίβωση συνεισφέρει στη συνολική αβεβαιότητα της μέτρησης [2]. Επακόλουθο της ιχνηλασιμότητας είναι η ύπαρξη διαφορετικών κλιμάκων ακρίβειας (εικόνα 1.1) καθώς περνάμε από εργαστηριακά, σε εθνικά και τελικά σε διεθνή μετρολογικά πρότυπα. Θα μπορούσαμε να πούμε με λίγα λόγια ότι ένας από τους βασικούς στόχους της Μετρολογίας είναι η πραγματοποίηση ιχνηλάσιμων μετρήσεων στα συγκεκριμένα όρια ακρίβειας που θέτει το κάθε πρόβλημα. Το απλό και βασικό σκεπτικό πίσω από μία διακρίβωση είναι ότι το μετρητικό όργανο πρέπει να συγκρίνεται με ένα πρότυπο υψηλότερης ακρίβειας. Αυτή η αδιάσπαστη αλυσίδα των συγκρίσεων που αναφέρθηκε προηγουμένως, τελειώνει σε ένα εθνικό όργανο όπως είναι το ΕΙΜ της Ελλάδος, το NPL της Μεγάλης Βρετανίας, το NIST των Ηνωμένων Πολιτειών κτλ. Τέτοια εθνικά όργανα αναλαμβάνουν και διεθνείς συγκρίσεις ώστε να καθιερώσουν παγκοσμίως αποδεκτές τιμές βασικών μετρητικών μεγεθών. 1.2) Αβεβαιότητα και το ISO GUM Εικόνα 1.1 Διάφορα επίπεδα ακρίβειας [1] Η εξέλιξη της έννοιας της αβεβαιότητας από την κλασσική αντιμετώπιση (Classical Approach - CA) στην σημερινή αντιμετώπιση (Uncertainty Approach - UA) προϋπέθεσε επαναπροσδιορισμό πολλών εννοιών που χρησιμοποιούνται στο διεθνές λεξιλόγιο των βασικών και γενικών όρων της μετρολογίας (VIM) [2]. 7

8 Κάθε μετρούμενο μέγεθος σύμφωνα με την CA μπορεί να περιγραφεί από μία μοναδική αληθινή τιμή, αλλά τα μετρητικά όργανα και η διεργασία της μέτρησης δεν επιτρέπουν τη λήψη αυτής της τιμής εξαιτίας συστηματικών και τυχαίων σφαλμάτων. Αυτά τα είδη σφαλμάτων έπρεπε να αντιμετωπιστούν διαφορετικά στη διάδοση σφαλμάτων. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την UA η συστηματική και τυχαία αβεβαιότητα συγχωνεύθηκαν σε μία έννοια, την αβεβαιότητα στη μέτρηση, μία προσέγγιση που καθιερώθηκε από την BIPM Recommendation INC-1 (1980), και αποτέλεσε τη βάση στην οποία αναπτύχθηκε το 1993 ένας πλήρης οδηγός για την εκτίμηση της αβεβαιότητας, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) [3]. Ο οδηγός αυτός θεμελιώνει γενικούς κανόνες για την εκτίμηση και έκφραση της αβεβαιότητας στη μέτρηση, από το πιο χαμηλό επίπεδο ακρίβειας στο πιο υψηλό. Γενικά, εξασφαλίζει: Τον έλεγχο της ποιότητας στην παραγωγή. Τη συμφωνία με νομικούς κανόνες και ρυθμίσεις (νομική μετρολογία). Τη διεξαγωγή βασικής και εφαρμοσμένης έρευνας και την ανάπτυξη στην επιστήμη και τη βιομηχανία. Τη διακρίβωση προτύπων και οργάνων και τη διενέργεια τεστ μέσα σε ένα εθνικό σύστημα μετρήσεων με σκοπό τη διάδοση της ιχνηλασιμότητας σε εθνικά πρότυπα. Την ανάπτυξη και σύγκριση διεθνών και εθνικών φυσικών προτύπων αναφοράς. Σημειώνεται ότι το 1995 συμπληρώθηκε ο οδηγός GUM και το 2005 εμπλουτίστηκε με το Supplement - 1 to the GUM, Propagation of distributions using a Monte Carlo method [4]. Αυτή η νέα αντιμετώπιση για την αβεβαιότητα, περιγράφει ένα μοντέλο με οποιοδήποτε αριθμό ποσοτήτων εισόδου και μία μοναδική ποσότητα εξόδου. Χρησιμοποιείται, όταν το γραμμικό μοντέλο που δημιουργήθηκε για τα δεδομένα δεν παρέχει επαρκή συμπεράσματα ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) της ποσότητας εξόδου ξεφεύγει από γκαουσιανή κατανομή ή t-student κατανομή εξαιτίας κάποιας ασυμμετρίας. Για να κατανοήσουμε όμως καλύτερα την έννοια της αβεβαιότητας και τη σημασία της στη μετρολογία σημειώνουμε τα εξής: Κάθε μέτρηση, ανεξάρτητα από το πόσα καλά έχει σχεδιαστεί και εκτελεστεί, υπόκειται σε σφάλμα και επομένως το αποτέλεσμα της εμπεριέχει κάποιο ποσοστό αβεβαιότητας. Με τον μετρολογικά ορθό όρο αβεβαιότητα (uncertainty) προσδιορίζεται το εύρος των τιμών εκατέρωθεν (±) της μετρούμενης από το όργανο τιμής, μέσα στο οποίο βρίσκεται η «αληθινή» ή «πραγματική» τιμή του μετρούμενου μεγέθους, με μια συγκεκριμένη πιθανότητα (επίπεδο εμπιστοσύνης), συνήθως 95% (2σ). Είναι φανερό ότι το βασικό πρόβλημα της Μετρολογίας είναι η εύρεση της «αληθινής» τιμής του μετρούμενου μεγέθους. Παλαιότερα, η χρήση του όρου ακρίβεια, προσδιόριζε την μέγιστη απόκλιση της μετρούμενης τιμής από την «αληθινή», ως εάν η «αληθινή» τιμή να ήταν απολύτως γνωστή. Εάν βέβαια αυτό ήταν αληθές, τα προβλήματα της Μετρολογίας θα είχαν επιλυθεί. Αντί αυτού προσπαθούμε με τη χρήση διάφορων υπολογιστικών μεθόδων να προσεγγίσουμε το σύνολο των τιμών που περιλαμβάνει την «αληθινή» τιμή, με όρους στατιστικής. 8

9 Αντιλαμβάνεται κανείς ότι η γνώση και ο υπολογισμός της αβεβαιότητας μίας μέτρησης είναι τόσο σημαντική, όσο και το ίδιο το αποτέλεσμα (ένδειξη μετρητικού οργάνου) της μέτρησης. Η αναφορά της αβεβαιότητας στα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι υποχρεωτική για τα διαπιστευμένα κατά ISO του 2005 εργαστήρια διακριβώσεων, σύμφωνα με την οδηγία «Γενικές απαιτήσεις για την ικανότητα των εργαστηρίων δοκιμών και διακριβώσεων», ΕΛΟΤ ΕΝ ISO/IEC Είναι εμφανές λοιπόν ότι μέτρηση που δεν συνοδεύεται από εκτίμηση της αβεβαιότητάς της είναι άνευ αξίας. Για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας με την οποία μετρά ένα όργανο, λαμβάνονται υπ όψη όλες οι επί μέρους αβεβαιότητες των προτύπων και συσκευών που χρησιμοποιούνται, οι οποίες συνδυάζονται σε μία και μοναδική τιμή που αποτελεί τη συνολική αβεβαιότητα της μέτρησης. Οι υπολογισμοί αυτοί απαιτούν μεγάλη εμπειρία μετρήσεων και γνώσεων των στατιστικών τεχνικών προκειμένου να γίνουν με επιστημονικά ορθό τρόπο. Ο τρόπος υπολογισμού της αβεβαιότητας μίας μέτρησης αναλύεται στην πιο πρόσφατη οδηγία του Διεθνούς Γραφείου Μέτρων και Σταθμών BIPM και στην οδηγία του Διεθνούς Οργανισμού Τυποποίησης ISO: Guide fοr the expression of uncertainty of measurements (GUM). Σύμφωνα με αυτές τις οδηγίες οι αβεβαιότητες διαιρούνται ανάλογα με τον τρόπο υπολογισμού τους σε: Τύπου Α: Όσες επιδέχονται στατιστική επεξεργασία και Τύπου Β: Όλες οι υπόλοιπες [2,3]. Οι τύπου Α αβεβαιότητες υπολογίζονται βάσει καθιερωμένων στατιστικών κανόνων. Πραγματοποιείται ένας μεγάλος αριθμός μετρήσεων και προκύπτει η στατιστική κατανομή των αποτελεσμάτων της μέτρησης. H πραγματική κατανομή των τιμών είναι σπάνια γνωστή με ακρίβεια και για λόγους πρακτικούς όσο και στατιστικούς (Central Limit Theorem) προσεγγίζεται με την κανονική κατανομή ή την t-student κατανομή. Η καλύτερη εκτίμηση της τιμής μίας μεταβλητής q που υπόκειται σε τυχαίες μεταβολές και για την οποία έχουν γίνει n ανεξάρτητες μετρήσεις q k κάτω από τις ίδιες συνθήκες μέτρησης, είναι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή και η διασπορά των τιμών της κατανομής της σειράς μετρήσεων χαρακτηρίζεται από τη διακύμανση (η σημασία αυτών των στατιστικών μεγεθών θα αναλυθεί στη συνέχεια). Η εκτίμηση των αβεβαιοτήτων τύπου Β είναι πολύπλοκη και απαιτεί το συνδυασμό πληθώρας πληροφοριών όπως: προϊστορία μετρήσεων, τέλεια γνώση της συμπεριφοράς και ιδιοτήτων των εμπλεκομένων υλικών, οργάνων και των προδιαγραφών τους, στοιχεία παλαιότερων πιστοποιητικών διακρίβωσης, κλπ. Όταν όλες οι πηγές αβεβαιότητας -για το ίδιο διάστημα εμπιστοσύνης- καταγραφούν και εκτιμηθούν, η συνολική αβεβαιότητα της μέτρησης δίνεται από τη σχέση [5]: 2 N N 1 N 2 f 2 f f c = i + i j i= 1 xi i= 1 j= i+ 1 xi xj u ( y) u ( x ) 2 u( x, x ) 1.3) Κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου [6] 1.1 Το πρωταρχικό ερώτημα που τίθεται για μια πειραματική διαδικασία επαναλαμβανόμενων μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους, είναι εάν το σύνολο των μετρήσεων βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου ή αλλιώς εάν τα 9

10 δεδομένα είναι τυχαία. Για το σκοπό αυτό, ελέγχουμε την ισχύ των παρακάτω προϋποθέσεων για την κατανομή: a) Fixed Location b) Fixed Variation c) Randomness d) Fixed Distribution Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε για τον έλεγχο των προϋποθέσεων είναι γραφικά, ή με άλλα λόγια δίνουν ποιοτικές απαντήσεις. Αν λοιπόν ισχύει η υπόθεση Fixed Location τότε το διάγραμμα Run Sequence (παρατήρηση συναρτήσει του αύξοντα αριθμού παρατήρησης) είναι επίπεδο, δεν ολισθαίνει και η κατανομή των δεδομένων στο επίπεδο είναι περίπου η ίδια κατά μήκος του διαγράμματος. Αν ισχύει η υπόθεση Fixed Variation τότε πάλι η κατανομή των δεδομένων στο επίπεδο είναι περίπου η ίδια κατά μήκος του διαγράμματος Run Sequence. Αν ισχύει η υπόθεση της τυχαιότητας (Randomness) τότε το διάγραμμα Lag Plot (παρατήρηση τη χρονική στιγμή i συναρτήσει παρατήρησης τη χρονική στιγμή i+1) θα είναι μια απεικόνιση χωρίς δομή με τυχαία διασκορπισμένα δεδομένα στο επίπεδο του διαγράμματος. Τέλος, αν ισχύει η υπόθεση Fixed Distribution τότε το Ιστόγραμμα των δεδομένων θα έχει κωδωνοειδή συμμετρική μορφή, ίσως και κανονική και το Normal Probability Plot θα είναι γραμμικό, επιβεβαιώνοντας την κανονικότητα της κατανομής. Εάν όλες οι παραπάνω προϋποθέσεις ικανοποιούνται, τότε το σύστημα μας βρίσκεται σε κατάσταση πλήρους στατιστικού ελέγχου. Επομένως είναι δικαιολογημένο να χρησιμοποιήσουμε την κλασσική έκφραση για την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής του συνόλου των σ δεδομένων, για να χαρακτηρίσουμε τη στατιστική αβεβαιότητα (random N uncertainty). Εάν από την άλλη πλευρά δεν βρισκόμαστε σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου τότε: 1. Όλα τα συνήθη στατιστικά τεστ δεν δίνουν αληθή αποτελέσματα. 2. Οι υπολογιζόμενες αβεβαιότητες με τη χρήση κοινής στατιστικής δεν έχουν νόημα. 3. Το υπολογιζόμενο ελάχιστο μέγεθος δείγματος το οποίο καθορίζει το διάστημα εμπιστοσύνης δεν έχει νόημα. 4. Τα απλό μοντέλο y = constant + error δεν ισχύει. 5. Οι εκτιμώμενες παράμετροι του μοντέλου που περιγράφει το σύστημα δεν είναι αξιόπιστες. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί μια σειρά τεχνικών για να προσδιοριστεί η διεργασία (ντετερμινιστική ή στοχαστική ή συνδυασμός) που παράγει τα δεδομένα κάθε χρονοσειράς και να βρεθούν πιθανές συσχετίσεις ώστε να περιγραφούν πιο σωστά η μέση τιμή, η αβεβαιότητα της μέσης τιμής, η διακύμανση κ.τ.λ. Προτού όμως προχωρήσουμε στις λεπτομέρειες των τεχνικών αυτών θα αναλύσουμε πρώτα έννοιες όπως χρονοσειρά, μέση τιμή, τυπική απόκλιση, συσχέτιση κ.α. τις οποίες θα χρησιμοποιούμε στη συνέχεια σε όλη την έκταση της εργασίας. 10

11 (2) Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων - Ανάλυση Χρονοσειρών Δεδομένων 11

12 (2) Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων - Ανάλυση Χρονοσειρών Δεδομένων 2.1) Βασικά Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών Για την ανάλυση δεδομένων και την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων για το υπό μελέτη σύστημα το οποίο τα δημιούργησε υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις. Η Κλασσική Ανάλυση υποδεικνύει ότι έπειτα από τη συλλογή δεδομένων επιβάλλουμε ένα μοντέλο και η ανάλυση, η εκτίμηση και ο έλεγχος που ακολουθούν αφορούν στις παραμέτρους του μοντέλου. Για τη Διερευνητική Ανάλυση η συλλογή δεδομένων ακολουθείται κατευθείαν από την ανάλυση με σκοπό την εμπεριστατωμένη επιλογή κάποιου μοντέλου το οποίο να περιγράφει τα δεδομένα. Τέλος, για την Bayesian Ανάλυση γίνεται η επιβολή μιας προ-κατανομής στις παραμέτρους του επιλεγμένου μοντέλου και η ανάλυση που ακολουθεί αποτελείται από έναν συνδυασμό των χαρακτηριστικών της προ-κατανομής και των αρχικών δεδομένων. Από τις μεθόδους της Διερευνητικής Ανάλυσης θα χρησιμοποιήσουμε την Ανάλυση Χρονοσειρών (Time Series Analysis), όπου τα δεδομένα αντιμετωπίζονται σαν μία στήλη χρονοεξαρτημένων τιμών [7]. Ο χρόνος είναι ανεξάρτητη παράμετρος και δύναται να δηλώνεται άμεσα ή έμμεσα στην υπό μελέτη διαδικασία. Εάν τα δεδομένα δεν είναι ομοιόμορφα διαχωρισμένα στο χρόνο τότε η μεταβλητή του χρόνου είναι απαραίτητο να δίνεται άμεσα στο πρόβλημα. Στα προβλήματα της παρούσας εργασίας θα μελετηθούν μονοδιάστατες χρονοσειρές (Univariate Time Series), δηλαδή σειρές που αποτελούνται από μία μόνο στήλη δεδομένων καταγεγραμμένων σε ίσα χρονικά διαστήματα. Από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών είναι η στασιμότητα και η εποχικότητα (περιοδικότητα), τα οποία θα αναπτυχθούν στη συνέχεια. 2.2) Στοιχεία Πιθανοτήτων & Στατιστικής [8,9] Βασική έννοια στη θεωρία Πιθανοτήτων είναι το πείραμα το οποίο θεωρούμε ότι μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε κάτω από τις ίδιες συνθήκες (στη δική μας περίπτωση το πείραμα είναι η μέτρηση της μάζας ή της δύναμης). Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος λέγεται δειγματικός χώρος (Ω). Κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος λέγεται απλό ή στοιχειώδες γεγονός. Με άλλα λόγια ο χώρος Ω είναι το σύνολο όλων των απλών γεγονότων. Αν οι εμφανίσεις των απλών γεγονότων αποτελούν ένα αριθμήσιμο σύνολο Ω = {Α 1, Α 2 Α n }, ως μέτρο του να συμβεί το απλό γεγονός Α k ορίζουμε έναν πραγματικό αριθμό P(Α k ) που λέγεται πιθανότητα και παίρνει τιμές μεταξύ του 0 και του 1. Όταν λοιπόν έχουμε στη διάθεση μας ένα δειγματικό χώρο Ω και επιθυμούμε με μεθόδους στατιστικής να εξάγουμε διάφορα συμπεράσματα για το πείραμα, τότε θα εφαρμόσουμε είτε την κλασσική προσέγγιση είτε την προσέγγιση κατά Bayes. Η κλασσική προσέγγιση υποδεικνύει ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα Ν φορές και ανάλογα με το πόσες φορές συναντάμε ένα γεγονός Ν Α ορίζουμε τη σχετική πιθανότητα να συμβεί το συγκεκριμένο γεγονός. Από την άλλη πλευρά η στατιστική κατά Bayes 12

13 συνδέει τις πιθανότητες P(Α k ) που έχουμε πριν κάνουμε το πείραμα ( prior ) με την πιθανότητα P(A i B) που έχουμε για το γεγονός A i αφού γνωρίζουμε ότι συνέβη το γεγονός Β ( posterior ). Ο τύπος του Bayes περιγράφεται ως εξής: P( θεωρ δεδομ) P( δεδομ θεωρ) P( θεωρ) 2.1 όπου «θεωρία» παριστάνει κάποιες υποθέσεις της θεωρίας και «δεδομένα» είναι τα αποτελέσματα του πειράματος. P θεωρ είναι η prior πιθανότητα που εκφράζει το βαθμό πίστης του πειράματος πριν γίνει η μέτρηση. P( δεδομ θεωρ) είναι η πιθανότητα να αναπαράγουμε τα δεδομένα του πειράματος όταν δοθεί η θεωρία ενώ P( θεωρ δεδομ) είναι η posterior πιθανότητα. Η κατανομή σαν στατιστική έννοια έχει κάποιες χαρακτηριστικές παραμέτρους ή αλλιώς ροπές. Σε κάθε τέτοια παράμετρο αποδίδεται και ένας εκτιμητής. Για παράδειγμα η πρώτη ροπή μίας κατανομής είναι η μέση ή αναμενόμενη τιμή (MEAN) N μ = EX [ ] = xf( x) 2.2 i= 1 η οποία δηλώνει το άθροισμα όλων των δυνατών τιμών x i της τυχαίας μεταβλητής X, σταθμισμένες με την πιθανότητα να συμβεί κάθε τέτοια τιμή (στην περίπτωση όπου δεν είναι ισοπίθανες οι καταστάσεις πραγματοποίησης). Ο εκτιμητής που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό της μέσης τιμής της χρονοσειράς δεδομένων x(t) είναι η σχέση i i 1 N xi N i= 1 μ = 2.3 Η δεύτερη ροπή της κατανομής είναι η διασπορά (VARIANCE) ή η ρίζα αυτής η οποία καλείται τυπική απόκλιση (STANDARD DEVIATION) και δίνονται από τις αντίστοιχες σχέσεις var( X) σ E[( X μ) ] ή std(x)= σ E[( X μ) ] = = = 2.4 Ο εκτιμητής που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό της δεύτερης ροπής είναι 1 σ = σ = μ 2.5 N 2 2 ( xi ) N 1 i Ας σημειωθεί ότι οι παραπάνω σχέσεις είναι εφαρμόσιμες στην περίπτωση κανονικής κατανομής. Η γενική σχέση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της διασποράς της μέσης τιμής, όταν εμφανίζονται συσχετίσεις μεταξύ διαδοχικών μετρήσεων δίνεται από τη σχέση N N 1 N 1 var[ X ] = var( x ) + 2 cov( x, x ) 2 N 2.6 i j k i= 1 j= 1 k> j Όταν δεν υπάρχουν συσχετίσεις τότε ο δεύτερος όρος της εξίσωσης 2.6 μηδενίζεται και η σχέση μετασχηματίζεται στην 13

14 1 var[ X ] = var( X ) 2.7 N Το επόμενο που μας ενδιαφέρει είναι το μέγεθος της συνδιασποράς ή συνδιακύμανσης δύο μεταβλητών. Ο εκτιμητής που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της συνδιασποράς είναι ο παρακάτω C = Cov[ X] = N i= 1 ( x X )( x X ) ij j ik k N και δηλώνει την κοινή διασπορά δύο μεταβλητών x j, x k γύρω από την αντίστοιχη μέση τιμή X j και X k. Πιο συγκεκριμένα η συνδιασπορά μίας μεταβλητής τη χρονική στιγμή t i με τον εαυτό της τη χρονική στιγμή t i+1 ονομάζεται αυτοδιασπορά. Τέλος, η αυτοσυσχέτιση είναι η αυτοδιασπορά διαιρούμενη με την διασπορά. 2.3) Συσχετίσεις και Στοχαστικές Διεργασίες Μία χρονοσειρά (time series) είναι μία σειρά παρατηρήσεων οι οποίες εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή καταγραφής τους και αποτελούν ένα δείγμα με ισαπέχοντα χρονικά σημεία ή χρονικά διαστήματα. Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των χρονοσειρών είναι ότι τα γεγονότα δεν παράγονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, η διασπορά τους διαφέρει με το χρόνο και δύναται να επηρεάζονται από τάσεις ή περιοδικά φαινόμενα. Συνεπώς στατιστικές διεργασίες που προβλέπουν αναλύσεις ανεξάρτητων και ομοιόμορφα κατανεμημένων δεδομένων (iid) δε χρησιμοποιούνται στην ανάλυση χρονοσειρών. Αν θεωρήσουμε μία χρονοσειρά ως το αποτέλεσμα πραγματοποίησης μιας διεργασίας τότε η μελέτη και ανάλυση των χαρακτηριστικών της οδηγεί στο χαρακτηρισμό του ίδιου του συστήματος το οποίο παράγει τη συγκεκριμένη διεργασία. Οι πιθανές συσχετίσεις των γεγονότων στο χρόνο, δύναται να είναι είτε ντετερμινιστικής είτε τυχαίας φύσεως (στοχαστικής). Οι πρώτες εξαρτώνται από κάποιο μαθηματικό νόμο (ρητή σχέση αιτίου-αιτιατού) ο οποίος διέπει το σύστημα ή από αλληλεπιδράσεις του εξωτερικού περιβάλλοντος με το σύστημα οι οποίες προσδίδουν μια συγκεκριμένη συμπεριφορά-τάση στη χρονοσειρά των δεδομένων. Μια ντετερμινιστική συνιστώσα δίνει ίδια συμπεριφορά στο πείραμα όσες φορές και αν αυτό επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Εν αντιθέσει, οι συσχετίσεις τυχαίας φύσεως είναι δύσκολο να διακριθούν και συνήθως προσθέτουν ένα επίπεδο θορύβου στο μετρούμενο σήμα. Στον πραγματικό κόσμο ο στοχαστικός χαρακτήρας των διεργασιών που μελετάμε προκύπτει ως αποτέλεσμα κάποιας εκ των παρακάτω περιπτώσεων [9]: Το φυσικό σύστημα το οποίο γεννάει τη διεργασία μπορεί να κατέχει ενδογενή στοχαστικά στοιχεία. Το φυσικό σύστημα μπορεί βασικά να είναι ντετερμινιστικής φύσεως αλλά τόσο πολύπλοκης ώστε η συμπεριφορά του να περιγράφεται μόνο με πιθανοκρατικούς νόμους. 14

15 Το φυσικό σύστημα είναι ντετερμινιστικής φύσεως και αρκετά απλό ώστε να περιγραφεί από κάποιο μαθηματικό νόμο, όμως υπάρχουν σφάλματα μετρήσεων στα δεδομένα μας. Για την περιγραφή του στοχαστικού μέρους μιας χρονοσειράς χρειαζόμαστε αρχικά έναν ορισμό και κατόπιν μία ταξινόμηση των διάφορων στοχαστικών διεργασιών. Γενικά λοιπόν, στοχαστική διεργασία (stochastic process) ή στοχαστική ανέλιξη είναι μία οικογένεια {Χ t } τυχαίων μεταβλητών στο χρόνο. Η ταξινόμηση των στοχαστικών διεργασιών εξαρτάται από το σύνολο των δυνατών τιμών που μπορούν να πάρουν οι τυχαίες μεταβλητές (διακριτό ή συνεχές), από το σύνολο των επιτρεπτών τιμών του χρόνου για τις οποίες ορίζεται η στοχαστική διεργασία (διακριτό ή συνεχές) και από τις στατιστικές εξαρτήσεις μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου t οι οποίες περιγράφονται από τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F ( x ˆ ;ˆ X ˆ t ). [10] Θεωρώντας ότι περιγράφουμε μια διακριτή διεργασία, μερικοί συνηθισμένοι τύποι στοχαστικών διεργασιών που χαρακτηρίζονται από διαφορετικά είδη σχέσεων εξάρτησης μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών, είναι οι παρακάτω: (α) Στάσιμες διεργασίες [9] Είναι οι διεργασίες κατά τις οποίες όλες οι συναρτήσεις F ( x ˆ ;ˆ X ˆ t ) μένουν αμετάβλητες σε μετατοπίσεις στο χρόνο, δηλαδή η πρώτη ροπή (μέση τιμή) και η δεύτερη ροπή (διασπορά) είναι ανεξάρτητες του χρόνου t. Η στασιμότητα δεν είναι απαραίτητο στοιχείο μίας χρονοσειράς διότι στη γενικότερη περίπτωση μια χρονοσειρά παρατηρήσεων περιγράφεται από τη σχέση X t = m t + s t + Y t, όπου m t είναι η συνιστώσα της τάσης, s t η συνιστώσα της εποχικότητας ή περιοδικότητας και Υ t το στάσιμο κομμάτι το οποίο συνήθως καλείται υπόλοιπο (residual). Ειδικότερα, στις χρονοσειρές των μετρήσεων μετρολογικών μεγεθών συχνά εμφανίζεται η συνιστώσα της τάσης (λόγω διακυμάνσεων της θερμοκρασίας δωματίου, της υγρασίας κ.α.), αλλά και η συνιστώσα της περιοδικότητας όπως θα αναλυθεί παρακάτω στις μετρήσεις δύναμης. Για να μετατραπεί μια μη-στάσιμη σε στάσιμη χρονοσειρά υπάρχουν δύο διαφορετικές μεθοδολογίες. Η πρώτη αφορά στην απόδοση κάποιων μοντέλων στη χρονοσειρά (AR, MA ή ARMA), στην αφαίρεση της πραγματικής από την προσαρμοσμένη σειρά και στην ανάλυση των υπολοίπων τους (residual analysis). H δεύτερη προσέγγιση (μέθοδος διαφορών), που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία, συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα: 1) Για την αφαίρεση της τάσης χρησιμοποιείται η μέθοδος των πρώτων διαφορών δηλαδή X t = X t X t ) Η διασπορά σταθεροποιείται εάν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό logx t στα δεδομένα μας 3) Σε περίπτωση περιοδικότητας, μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος των διαφορών δεύτερης τάξης 2 X t = X t 2 X t 1 + X t

16 (β) Ανεξάρτητες διεργασίες [10] Πρόκειται για την απλούστερη διαδικασία κατά την οποία οι τυχαίες μεταβλητές που αντιστοιχούν σε διαφορετικά t είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή f ( X ˆ x ˆ ;ˆ t ) = f X1 (x 1 ;t 1 )... f X n (x n ;t n ) 2.11 Σε μια τέτοια περίπτωση δεν παρατηρείται κάποια συγκεκριμένη δομή στο μετρούμενο σήμα και στο όριο του συνεχούς έχουμε λευκό θόρυβο. Ο λευκός θόρυβος προϋποθέτει για τη χρονοσειρά μηδενική μέση τιμή, διασπορά ίση με σ 2 και συνδιακύμανση ίση με μηδέν για όλα τα t. (γ) Τυχαίοι περίπατοι [11] Μία ακολουθία {Y n } τυχαίων μεταβλητών είναι τυχαίος περίπατος αν ισχύει ότι Y n = Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 + Χ n με n=1, όπου Χ n είναι μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ανεξάρτητων και με την ίδια κατανομή πιθανότητας. Σε έναν τυχαίο περίπατο η νέα κατάσταση καθορίζεται από την προηγούμενη συν μια τυχαία μεταβλητή. Δηλαδή ισχύει, Χ t = a X t 1 + z t, με α=1 2.13α όπου z t ακολουθεί την κατανομή του λευκού θορύβου. Στην ειδική περίπτωση όπου στη σχέση 2.13α υπάρχει και ένας σταθερός όρος δ τότε λέμε ότι έχουμε random walk with drift. Χ t = δ + a X t 1 + z t, με α=1 2.13β Ο τυχαίος περίπατος στη γλώσσα των μαθηματικών αποτελεί το ολοκλήρωμα του λευκού θορύβου. Το χαρακτηριστικό του είναι ότι η διακύμανση αυξάνει γραμμικά σχεδόν με το χρόνο και παρουσιάζει ισχυρές συσχετίσεις. (δ) Διεργασίες συσχετίσεων βραχείας και μακράς εμβέλειας [12] Στις διεργασίες βραχέων συσχετίσεων η σύζευξη μεταξύ τιμών σε διαφορετικά t μειώνεται γρήγορα καθώς αυξάνει η χρονική διαφορά των παρατηρήσεων. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (βλ. παρακάτω) είτε πέφτει απότομα στο μηδέν έπειτα από ένα συγκεκριμένο χρονικό βήμα (time-lag) είτε φθίνει εκθετικά με το χρόνο. Αντίθετα, στις διεργασίες μακρών συσχετίσεων ο ρυθμός μείωσης της στατιστικής εξάρτησης των παρατηρήσεων είναι πιο αργός, ακολουθώντας νόμο δύναμης και όχι εκθετικό νόμο, όπως προηγουμένως. Μέτρο της σύζευξης μακράς εμβέλειας των τιμών σε μια χρονοσειρά είναι η παράμετρος Hurst, η οποία για θετικές συσχετίσεις παίρνει τιμές από 0.5 έως 1. Εάν Η<0.5 τότε έχουμε αρνητικές συσχετίσεις. Η τιμή H=0.5 υποδηλώνει την απουσία μακρών συσχετίσεων ενώ όσο πλησιάζουμε την τιμή Η=1 τόσο ο βαθμός εξάρτησης γίνεται μεγαλύτερος. Τα πειράματα της παρούσας εργασίας έχουν μικρή διάρκεια (της τάξεως των μερικών ημερών), έτσι έχει νόημα να χρησιμοποιηθεί η ανάλυση των βραχέων συσχετίσεων. 16

17 Υπάρχουν και άλλα παραδείγματα διεργασιών όπως Semi-Markov, Wiener (ή Brown motion processes), Levy, Poisson κ.α. οι οποίες δεν εξετάζονται στην παρούσα ανάλυση. Στη συνέχεια, αφού πρώτα δίνονται κάποια παραδείγματα στατιστικών μοντέλων τα οποία μπορούν να περιγράψουν τα δεδομένα, παρουσιάζεται ο μαθηματικός φορμαλισμός μιας σειράς μεθόδων που θα χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση συσχετίσεων και την ταυτοποίηση του θορύβου στις χρονοσειρές των δεδομένων διακρίβωσης μάζας και δύναμης. 2.4) Μοντέλα Στοχαστικών Διεργασιών [13] Τα μοντέλα τα οποία περιγράφουν στοχαστικές διεργασίες χωρίζονται σε 3 μεγάλες κατηγορίες τις αυτοπαλινδρομούμενες διεργασίες (autoregressive), τις διεργασίες τρέχοντα μέσου όρου (moving average) και τις μεικτές διεργασίες (mixed autoregressive-moving average). Autoregressive Process Σε μία αυτοπαλινδρομούμενη διεργασία η τιμή x i εξαρτάται από k προηγούμενες τιμές της χρονοσειράς και η όλη διαδικασία μοιάζει με παλινδρόμηση. Η σχέση η οποία παράγει ένα μοντέλο autoregressive είναι η παρακάτω X = + ax + ax + a X + z t δ 1 t 1 2 t 2 k t k t όπου οι α 1 έως α k είναι σταθεροί συντελεστές και παράμετροι του μοντέλου ενώ z t είναι η συνιστώσα των ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων σφαλμάτων. Ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο είναι απλά μία γραμμική παλινδρόμηση της τρέχουσας τιμής της χρονοσειράς συναρτήσει μίας ή περισσοτέρων προηγούμενων τιμών της. Η τιμή του k καλείται η τάξη του AR μοντέλου. Τα μοντέλα AR μπορούν να αναλυθούν με πολλές μεθόδους αλλά συνήθως χρησιμοποιείται η τεχνική των ελαχίστων τετραγώνων. Moving Average Process Σε μια διεργασία τρέχοντα μέσου όρου η τιμή x i εξαρτάται από q προηγούμενες τιμές τυχαίων σοκ στη χρονοσειρά. Η σχέση η οποία παράγει ένα moving average μοντέλο είναι η παρακάτω X =Χ+ A A A A t t θ1 t 1 θ2 t 2 θq t q όπου Χ είναι η μέση τιμή της χρονοσειράς, A t-i είναι τυχαία σοκ στη χρονοσειρά και θ 1 έως θ q είναι οι παράμετροι του μοντέλου. Η τιμή του q καλείται η τάξη του μοντέλου. Ένα μοντέλο τρέχοντα μέσου όρου είναι βασικά μια γραμμική παλινδρόμηση της τρέχουσας τιμής της χρονοσειράς συναρτήσει των τυχαίων σοκ μίας ή περισσοτέρων προηγούμενων τιμών της χρονοσειράς. Τα τυχαία σοκ σε κάθε σημείο θεωρούμε ότι προέρχονται από την ίδια κατανομή, συνήθως κανονική, με σταθερή θέση και κλίμακα και ότι διαδίδονται σε μελλοντικές τιμές της χρονοσειράς. Η προσαρμογή των παραμέτρων στο MA μοντέλο είναι αρκετά πιο πολύπλοκη από αυτήν στο AR 17

18 μοντέλο διότι οι όροι των σφαλμάτων εξαρτώνται από την ίδια τη διεργασία της προσαρμογής. Αυτό σημαίνει ότι χρειάζονται επαναληπτικές μη-γραμμικές τεχνικές προσαρμογής σε αντίθεση με τα γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο AR. Μεικτά μοντέλα Οι Box-Jenkins ένωσαν τις ιδιότητες των μοντέλων AR και MA και δημιούργησαν μια νέα τάξη μεικτών μοντέλων τα ARMA μοντέλα. Η σχέση η οποία παράγει ένα ARMA μοντέλο είναι η X = δ + ax + ax... + a X + A θ A θ A... θ A 2.16 t 1 t 1 2 t 2 k t k t 1 t 1 2 t 2 q t q Τα χαρακτηριστικά αυτών των μοντέλων είναι τα εξής: 1) Θεωρούμε ότι η χρονοσειρά είναι στάσιμη. Εάν όμως δεν ικανοποιείται το κριτήριο της στασιμότητας οι Box-Jenkins προτείνουν τη μέθοδο των διαφορών πρώτης ή δεύτερης τάξης για να επιτευχθεί η στασιμότητα. Εφαρμόζοντας τις πρώτες διαφορές προκύπτει ένα ARIMA μοντέλο όπου το Ι σημαίνει Integrated (ολοκληρωμένο). 2) Μερικές φορές είναι απαραίτητο να μετασχηματίζεται η χρονοσειρά αφαιρώντας τη μέση τιμή από κάθε σημείο. Έτσι προκύπτει μια χρονοσειρά με μηδενική μέση τιμή (zero mean). 3) Τα μοντέλα Box-Jenkins μπορούν να περιλαμβάνουν και περιοδικούς όρους είτε autoregressive είτε moving average. 4) Λόγω της γενικότητας των μοντέλων αυτών, μόνο οι όροι που χρειάζονται ανάλογα με το πρόβλημα θα πρέπει να συμπεριλαμβάνονται στη μοντελοποίηση. Ανάλογα με τη μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (βλ. παρακάτω) προτείνονται τα παρακάτω μοντέλα για την προσαρμογή δεδομένων Πίνακας Ι. [13] 18

19 2.5) Μέθοδοι Ανάλυσης Χρονοσειρών 2.5.α) Πεδίο χρόνου 2.5.α.1) Lag Plot [6] Το Lag ορίζεται ως μία συγκεκριμένη χρονική μετατόπιση. Για παράδειγμα σε μία χρονοσειρά Y n λέμε ότι τα γεγονότα Y 1 και Y 3 απέχουν lag=2. Στην ανάλυση χρονοσειρών είναι πιο σύνηθες να χρησιμοποιούμε διάγραμμα lag=1 όπου ο ένας άξονας είναι ο Y i και ο άλλος άξονας ο Y i-1. Ένα lag plot μπορεί να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα: 1) Είναι τα δεδομένα τυχαία? 2) Υπάρχει σειριακή συσχέτιση στα δεδομένα? 3) Πιο είναι το πιο κατάλληλο μοντέλο περιγραφής των δεδομένων? 4) Υπάρχουν outliers στα δεδομένα? Παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες ενδεικτικές περιπτώσεις [14] της μορφής που παίρνει το διάγραμμα lag plot ανάλογα με το αν τα γεγονότα της χρονοσειράς είναι τυχαία ή όχι. Εικόνα 2.1.α Τυχαία δεδομένα (White FM) Εικόνα 2.1.β Δεδομένα ασθενώς συσχετισμένα (Flicker FM) Εικόνα 2.1.γ Δεδομένα ισχυρώς συσχετισμένα (Random Walk) Εικόνα 2.1.δ Δεδομένα με αντισυσχετίσεις (White PM) Εικόνα 2.1.ε Δεδομένα με αντισυσχετίσεις (Flicker PM) Στην πρώτη περίπτωση τα δεδομένα είναι εντελώς τυχαία, δεν υπάρχει καμία ένδειξη αυτοσυσχέτισης ούτε προβλεψιμότητας και δεν υπάρχουν outliers. Στη δεύτερη περίπτωση τα δεδομένα φαίνονται να προέρχονται από μία αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία με μέτρια θετική αυτοσυσχέτιση. Δεν υπάρχει ένδειξη outliers και τα δεδομένα τείνουν να μαζεύονται (clustering) γύρω από τη διαγώνιο Y i = Y i-1. Προτεινόμενο μοντέλο είναι το Y = A + A Y + z 2.17 i 0 1 i 1 i Στην τρίτη περίπτωση τα δεδομένα φαίνονται να προέρχονται από μία αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία με ισχυρή θετική αυτοσυσχέτιση και δεν υπάρχουν outliers. Τα δεδομένα τείνουν να μαζεύονται σε μια στενή λωρίδα 19

20 γύρω από τη διαγώνιο Y i = Y i-1 και υπάρχει ισχυρή προβλεψιμότητα για την κάθε επόμενη παρατήρηση με τη βοήθεια του μοντέλου της σχέσης Η ισχυρή συσχέτιση είναι ένα φαινόμενο το οποίο πρέπει να ερμηνευθεί πολύ προσεκτικά. Αποδίδεται είτε στην ίδια τη φύση του προβλήματος το οποίο περιγράφει η χρονοσειρά, είτε σε κάποιο drift στις περιβαλλοντικές συνθήκες κάτω από τις οποίες διενεργείται το πείραμα είτε ακόμη και σε «μόλυνση» του συστήματος συλλογής των δεδομένων. Στις τελευταίες δύο περιπτώσεις τα δεδομένα προέρχονται από μια αυτοπαλινδρομούμενη διεργασία τύπου AR(1) με αρνητικό συντελεστή Α1 (σχέση 2.17). Συνήθως σε τέτοιες περιπτώσεις τα δεδομένα παρουσιάζουν αντισυσχετίσεις (βλ. παρακάτω, συνάρτηση αυτοσυσχέτισης). Μία τελευταία ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι να υπάρχει ένα ημιτονοειδές μοντέλο που να περιγράφει τα δεδομένα λόγω κάποιας περιοδικότητας π.χ. ταλάντωσης του συστήματος. Η μορφή του lag plot μοιάζει με έλλειψη και τα δεδομένα συγκεντρώνονται στενά γύρω από αυτήν. Το μοντέλο το οποίο περιγράφει αυτήν τη διεργασία είναι το Y = C+ a sin(2 πωt + φ) + z 2.18 i i i όπου α είναι το πλάτος, ω η συχνότητα και φ η φάση της περιοδικής κίνησης. Άλλα στοιχεία τα οποία αναδεικνύει το διάγραμμα lag plot της περιοδικής κίνησης είναι δεδομένα outliers (εικόνα 2.2.α) ή ακόμη και περίεργες δομές που συναντώνται σε δυναμικά συστήματα (εικόνα 2.2.β). Εικόνα 2.2.α Εικόνα 2.2.β 2.5.α.2) Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης [6,12] Ορίζουμε ως συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation Function ή ACF) την κανονικοποίηση της αυτοδιασποράς με τη διασπορά, δηλαδή R(τ) = γ(τ) γ(0) 2.19 Η αυτοδιασπορά δίνεται από τη σχέση γ(τ)= Ε{[x(t+τ)-μ][x(t)-μ]} 2.20 όπου μ είναι η πρώτη ροπή της χρονοσειράς, ενώ γ(0) είναι ουσιαστικά η διασπορά s 2. Όταν η μέση τιμή της χρονοσειράς είναι μηδέν, τότε η 20

21 συνάρτηση αυτοδιασποράς ταυτίζεται με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Για κάθε χρονικό διάστημα τ ορίζεται λοιπόν ένας συγκεκριμένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης, του οποίου ο εκτιμητής δίνεται από τη σχέση r( τ ) = N τ i= 1 ( x( t ) x)( x( t + τ ) x) i N i= 1 ( xt ( ) x) i i 2, με τ=0,1,2 Ν/ όπου Ν είναι το μήκος της χρονοσειράς. Τέλος, μια αρκετά ενδιαφέρουσα σχέση που συνδέει την αυτοσυσχέτιση με τη διασπορά είναι η παρακάτω [9] 2 n 1 σ r var[ x] = 1 ρ( r) N r= ( n 1) N 2.22 Η γραφική παράσταση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης r τ σε σχέση με την καθυστέρηση τ λέγεται συσχετόγραμμα (correlogram) και είναι αρκετά χρήσιμη στο αρχικό στάδιο της ανάλυσης χρονοσειρών. Παρακάτω, παρουσιάζονται οι ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: R(τ) R(τ) = R(-τ) R(0) R(τ) Πίνακας ΙΙ. Πραγματική συνάρτηση Συμμετρική Με άλλα λόγια η συνάρτηση ACF εκφράζει τη μνήμη της στοχαστικής διεργασίας η οποία έχει παράγει τη χρονοσειρά, δηλαδή κατά πόσο το παρόν θυμάται το παρελθόν ή κατά πόσο το μέλλον θα επηρεαστεί από το παρόν. Αυτός ο χαρακτηριστικός χρόνος «μνήμης» της χρονοσειράς ορίζεται σύμφωνα με το φυσικό πρόβλημα με έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1) τ c είναι ο χρόνος για τον οποίο η ACF περνάει για πρώτη φορά από το μηδέν 2) τ c είναι ο χρόνος όπου η ACF έχει το πρώτο ελάχιστο 3) τ c είναι ο χρόνος όπου η τιμή της ACF πέφτει κάτω από την τιμή 1/e Διαχωρίζοντας τις συσχετίσεις βραχείας και μακράς κλίμακας, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, περιμένουμε τις παρακάτω συμπεριφορές (εκθετική και νόμο δύναμης αντίστοιχα) για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: R(τ) = e τν /τ c 2.23 για συσχετίσεις βραχείας εμβέλειας, όπου ο εκθέτης ν δηλώνει το ρυθμό με τον οποίο φθίνει η συνάρτηση και τ c είναι ο χαρακτηριστικός χρόνος συσχέτισης ή (αποσυσχέτισης) της στοχαστικής διαδικασίας, καθώς και R(τ) = τ η για συσχετίσεις μακράς εμβέλειας, όπου ο εκθέτης η είναι ο φασματικός εκθέτης και παίρνει τιμές από 0<η<1 (βλ. παρακάτω στο φάσμα ισχύος). Οι τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση κυμαίνονται από -1 έως +1 με -1 να δηλώνει την απόλυτη αντισυσχέτιση των δεδομένων ενώ +1 την 21

22 απόλυτη μεταξύ τους συσχέτιση. Ανάλογα με τις τιμές που παίρνουν οι παράμετροι ν, τ c και η, η συνάρτηση δύναται να έχει τις παρακάτω μορφές: Εικόνα 2.3. Συναρτήσεις ACF με διαφορετικό εκθέτη ν Εικόνα 2.4 Συναρτήσεις ACF με διαφορετικό χρόνο αποσυσχέτισης τ c Εικόνα 2.5. Συναρτήσεις ACF με διαφορετικό νόμο δύναμης Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα της μορφής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης δίνει η γραμμική αυτοπαλινδρομούμενη διεργασία τάξης 1 (AR(1)). Τα παρακάτω γραφήματα δείχνουν τις πληροφορίες που μπορεί να δώσει ένα σύστημα AR(1) ανάλογα με τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι συντελεστές φ i. Υπενθυμίζεται ότι μια AR(1) διεργασία περιγράφεται από τη σχέση 22

23 xt = φ0 + φ1 xt 1+ zt, όπου z t iid με E[z t ]= Εικόνα 2.6. Συναρτήσεις ACF με διαφορετικό φ>0 Εικόνα 2.7. Συναρτήσεις ACF με αρνητικό φ Όταν δηλαδή ο συντελεστής φ 1 παίρνει θετικές τιμές διάφορες του 0 ή 1 τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης φθίνει εκθετικά με το χρόνο και όσο η τιμή του φ πλησιάζει το μηδέν τόσο τα δεδομένα χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη αποσυσχέτιση. Για την ακραία τιμή φ 1 =0 τα δεδομένα είναι πλήρως αποσυσχετισμένα και τότε η στοχαστική διεργασία ισοδυναμεί με λευκό θόρυβο. Για την ακραία τιμή φ 1 =1 και φ 0 =0 η στοχαστική διεργασία χαρακτηρίζεται από τυχαίο περίπατο (random walk) ενώ όταν φ 1 =1 και φ 0 0 τότε έχουμε έναν τυχαίο περίπατο με περιπλάνηση (random walk with drift). Τέλος, για φ 1 <0 η αυτοσυσχέτιση φθίνει εναλλασσόμενα γύρω από το μηδέν, όπως φαίνεται και στην εικόνα 2.7. Μετά από αυτή τη σύντομη μαθηματική διερεύνηση για τη μορφή της συνάρτησης R(τ) συνεχίζουμε με διάφορα παραδείγματα για τη μορφή των correlograms ανάλογα με τη διαδικασία η οποία περιγράφει τα δεδομένα της χρονοσειράς. Ένα correlogram απαντάει στα εξής ερωτήματα: 1) Είναι τα δεδομένα τυχαία? 2) Σχετίζεται μια παρατήρηση με κάποια άλλη που απέχει lag=k? 3) Είναι η χρονοσειρά λευκός θόρυβος? 4) Είναι η χρονοσειρά ημιτονοειδής? 5) Παράγεται η χρονοσειρά από μία αυτοπαλινδρομούμενη διεργασία? 6) Αρκεί το μοντέλο Y=c+error για την περιγραφή του προβλήματος? 7) Είναι η σχέση σ/n 1/2 επαρκής? 23

24 Παραδείγματα διάφορων correlograms από διάφορες στοχαστικές διεργασίες παρουσιάζονται παρακάτω [6]. Εικόνα 2.8.α Τυχαία δεδομένα Λευκός Θόρυβος Εικόνα 2.8.β Δεδομένα ασθενώς συσχετισμένα Έγχρωμος Θόρυβος Εικόνα 2.8.γ Δεδομένα ισχυρώς συσχετισμένα Random Walk Θόρυβος Εικόνα 2.8.δ Δεδομένα με περιοδική συμπεριφορά 2.5.α.3) Διασπορά Allan (Two-sample or Allan Variance) Η τελευταία μεθοδολογία που θα αναφέρουμε στο πεδίο του χρόνου, είναι η διασπορά Allan [15,16]. Ονομάστηκε έτσι από τον David W. Allan και αποτελεί μέτρο της σταθερότητας προτύπων χρόνου και συχνότητας. Το σκεπτικό πίσω από αυτή τη μεθοδολογία είναι ότι όσο περισσότερη διασπορά έχει ένα σετ μετρήσεων y i τόσο περισσότερο θόρυβο θα παράγει το εξερχόμενο σήμα. Υποθέτουμε ότι όσο περισσότερα δεδομένα έχουμε στη διάθεση μας τόσο λιγότερη διασπορά θα περιμέναμε. Όμως αυτό για κάποια είδη έγχρωμου θορύβου δεν αληθεύει. Συμβαίνει λοιπόν ότι όσο περισσότερα δεδομένα συμπεριλαμβάνουμε για τον υπολογισμό της διασποράς από περιοχές όπου το φάσμα ισχύος δεν είναι flat με τη συχνότητα (βλ. παρακάτω), να μη συγκλίνει ο υπολογισμός μας αλλά να αυξάνει η διασπορά με τον αριθμό των σημείων. Δημιουργούμε λοιπόν μια ποσότητα κατά την οποία αφαιρώντας κάθε τιμή από την προηγούμενη της είναι σαν να φιλτράρουμε τα δεδομένα από ένα υψηλοπερατό φίλτρο το οποίο αφαιρεί πιθανά trends ή γρήγορα fluctuations ή άλλα περίεργα χαρακτηριστικά. Η διαφορά με την κλασσική διασπορά είναι ότι η χρονοσειρά y(t) χωρίζεται σε επιμέρους τμήματα τ (χρονικά παράθυρα) και η διασπορά υπολογίζεται ξεχωριστά σε κάθε παράθυρο. Κάθε τμήμα τ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο ενός στοιχειώδους χρονικού διαστήματος τ 0 και συνηθίζεται τα πολλαπλάσια να είναι δυνάμεις του 2. Η μέση τιμή y k υπολογίζεται για κάθε τμήμα k της χρονοσειράς και για μία θεωρητικά άπειρη σειρά τέτοιων τμημάτων k η διασπορά Allan δίνεται από τη σχέση 24

25 σ ( τ ) = ( y + y ) / y k 1 k Στην πράξη όμως, επειδή τα τμήματα k είναι πεπερασμένα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω εκτιμητή για τον υπολογισμό της διασποράς Allan σε μια χρονοσειρά μήκους Ν: 1 ˆ σ ( τ) ( ( τ) ( τ)) 2.27 N y = yk+ 1 yk 2( N 1) k = 1 Η διασπορά Allan εξαρτάται όπως είναι φανερό από τη σχέση 2.27, από το χρονικό παράθυρο τ. Συνεπώς όντας συνάρτηση, δε δίνεται από μία απλή τιμή αλλά σαν ένα γράφημα, του οποίου η μορφή είναι συγκεκριμένη για κάθε είδος θορύβου. Το πολύ σημαντικό πλεονέκτημα αυτής της διασποράς, είναι ότι συγκλίνει για τα περισσότερα είδη θορύβων ενώ η κλασσική διασπορά δεν είναι απαραίτητο να συγκλίνει σε μία συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα στον flicker noise και random walk noise η κλασσική διασπορά δε συγκλίνει. Σημειώνεται, ότι η διασπορά Allan μπορεί να υπολογισθεί από το φάσμα ισχύος αλλά δε συμβαίνει και το αντίστροφο. Το διάγραμμα Allan deviation - Time αναδεικνύει το είδος του θορύβου που εμφανίζεται στη χρονοσειρά. Στην εικόνα που ακολουθεί δίνεται ένα παράδειγμα όπου φαίνονται καθαρά οι διαφορετικές περιοχές θορύβου 1/f (οριζόντια κλίση 0) και λευκού θορύβου (κλίση 1/2). Συμπληρώνουμε ότι δεν αποκλείεται και η ύπαρξη θορύβου τυχαίου περιπάτου (κλίση 1/2). Γενικά ισχύει η σχέση [15] 2 log y ( ) log σ τ μ τ 2.28 Εικόνα 2.9 Allan deviation [17] Όλες οι μεθοδολογίες που περιγράφηκαν προηγουμένως έχουν ένα κοινό στόχο: Το διαχωρισμό φασμάτων λευκού θορύβου από φάσματα έγχρωμου θορύβου με ταυτόχρονο σκοπό το πέρασμα από τη χρήση της κλασσικής διασποράς για τον υπολογισμό της τύπου Α αβεβαιότητας, στη χρήση της διασποράς Allan. Η τελευταία, δίνει ακριβέστερο υπολογισμό αβεβαιοτήτων σε περιπτώσεις συσχετισμένων μετρήσεων, οι οποίες θα είναι τυπικά μικρότερες από την κλασσική περίπτωση, θα περιγράφουν πιο σωστά την εξέλιξη ενός μετρολογικού προτύπου και θα εξαρτώνται από το χρόνο. 25

26 2.5.β) Πεδίο συχνότητας 2.5.β.1) Φάσμα Ισχύος και Περιοδόγραμμα [15,16,17,18] Μία ισοδύναμη μεθοδολογία από την οποία μπορούν να αντληθούν παρόμοιες πληροφορίες για τις χρονοσειρές είναι το φάσμα ισχύος στο πεδίο συχνοτήτων. Το φάσμα ισχύος (Power Spectrum Density ή PSD) μιας χρονοσειράς προκύπτει κατόπιν εφαρμογής μετασχηματισμού Fourier στη σειρά δεδομένων, έτσι ο άξονας του χρόνου μετασχηματίζεται σε άξονα των συχνοτήτων. Το φάσμα ισχύος ή αλλιώς η φασματική πυκνότητα P(fj) μας δίνει την ισχύ της ταλάντωσης με συχνότητα fj. Με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολο να εντοπιστούν κάποιες χαρακτηριστικές συχνότητες (αρμονικές) του συστήματος που παράγει τη χρονοσειρά. 1 X fj F x fj X t e, P(fj)= X(fj) N 1 2πifjtk ( ) = [ ]( ) = ( k ) N k = 0 Από το διάγραμμα log(p) f (ή P-f), ή αλλιώς περιοδόγραμμα, μπορούμε να υπολογίσουμε σε ποιες συχνότητες παρατηρούνται πιθανές ταλαντώσεις, ενώ από το διάγραμμα log(p) log(f) μπορούμε να εκτιμήσουμε το είδος του θορύβου που ενυπάρχει στο φάσμα. Ποιοτικά, το φάσμα ισχύος είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (σχέση 2.30) και για αυτό το λόγο λέμε ότι οι δύο περιγραφές είναι ισοδύναμες, αν και στις περισσότερες περιπτώσεις προτιμάται το φάσμα ισχύος στις αναλύσεις χρονοσειρών. S( f ) = R(τ) e 2πift dτ 2.30 Η μορφή του φάσματος ισχύος, για ένα μετρούμενο μέγεθος y (measurand) αναμένουμε να ακολουθεί τον παρακάτω νόμο δύναμης [18] hn Sy ( f) =, 0<η< f η με h n κάποιους συντελεστές ευαισθησίας. Αξίζει να σημειωθεί ότι εάν η χρονοσειρά y t δεν είναι στάσιμη τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία του φάσματος ισχύος στη χρονοσειρά x t, η οποία προκύπτει αν εφαρμόσουμε τις πρώτες διαφορές στη σειρά y t. Λέμε τότε ότι η σειρά x t είναι ολοκληρωμένη (integrated first order). Αντίστοιχα, αν έχουμε εφαρμόσει διαφορές δεύτερης τάξης στην y t τότε προκύπτει η second order integrated time series x t. Η σχέση που συνδέει τα δύο φάσματα ισχύος S y -S x είναι η hf f Sx( f) S ( f) (2 π ) (2 π ) ( η + 2) 2 n = = 2 y, 0<η< Θεωρώντας τη γενική έκφραση για το φάσμα ισχύος S(f)~1/f η, ο λευκός θόρυβος αντιστοιχεί σε η = 0 (το φάσμα ισχύος του λευκού θορύβου είναι σταθερό και ανεξάρτητο από τις τιμές της συχνότητας) και ο τυχαίος περίπατος σε η = 2. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε και στοχαστικές 26

27 διεργασίες για ενδιάμεσες τιμές του εκθέτη η. Για τιμές του εκθέτη 0<η<2 η στοχαστική διεργασία που παράγει τη χρονοσειρά έχει συσχετίσεις και αναφέρεται ως έγχρωμος θόρυβος (colored noise) ή κλασματική κίνηση Brown (fractional Brownian motion). Μια γνωστή κλάση έγχρωμου θορύβου είναι ο 1/f θόρυβος ή ροζ θόρυβος (pink noise) για η =1, δηλαδή για φάσμα ισχύος S(f) ~1/f. Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη μορφή των φασμάτων ισχύος θα χρησιμοποιήσουμε πάλι κάποια παραδείγματα [12] από το AR(1) μοντέλο με διαφορετικούς συνδυασμούς των συντελεστών φ 0 και φ 1. Σημειώνεται ότι σε όλα τα διαγράμματα PSD οι άξονες είναι λογαριθμικοί. Εικόνα Φάσμα ισχύος AR(1) για φ 0 =0.3 και φ 1 =0.8 Παρατηρούμε ότι στις χαμηλές συχνότητες το φάσμα ισχύος είναι επίπεδο ενώ στις υψηλές συχνότητες ακολουθεί το νόμο δύναμης 1/f 2. Μειώνοντας τον συντελεστή φ 1 σε 0.4 (εικόνα 2.11) παρατηρούμε ότι το επίπεδο πλατό αυξάνει όπως θα περιμέναμε από τη θεωρία διότι γνωρίζουμε ότι για φ 1 =0 έχουμε λευκό θόρυβο (εικόνα 2.12). Στις υψηλές συχνότητες τα δεδομένα προσεγγίζονται πιο σωστά από νόμο δύναμης της μορφής 1/f. Εικόνα Φάσμα ισχύος AR(1) για φ 0 =0.3 και φ 1 =0.4 27

28 Εικόνα Φάσμα ισχύος AR(1) για φ 0 =0.3 και φ 1 =0 Τέλος, για φ 0 =0 και φ 1 =1 έχουμε την ακραία περίπτωση του τυχαίου περιπάτου. Υπενθυμίζεται ότι ο τυχαίος περίπατος αντιστοιχεί σε φασματικό εκθέτη η=2. Εικόνα Φάσμα ισχύος AR(1) για φ 0 =0 και φ 1 =1 Εκτός από το είδος του θορύβου, μπορούμε να εντοπίσουμε και την ύπαρξη πιθανών ταλαντώσεων στην υπό μελέτη χρονοσειρά (περιοδόγραμμα ή spectral plot). Μερικά παραδείγματα [6] τέτοιων διαγραμμάτων δίνονται παρακάτω, όπου σημειώνεται ότι ο οριζόντιος άξονας είναι κανονικοποιημένος στο διάστημα Εικόνα 2.14 Υπάρχει μία κυρίαρχη ταλάντωση στο σήμα κοντά στους 0.3 κύκλους / παρατήρηση, προτείνεται ένα ημιτονοειδές μοντέλο για τα δεδομένα 28

29 Εικόνα 2.15 Δεν υπάρχει κάποια κυρίαρχη ταλάντωση στο σήμα, οι κορυφές εμφανίζονται σε τυχαίες συχνότητες, δεν φαίνεται κάποια δομή στο φάσμα, τα δεδομένα είναι τυχαία. Εικόνα 2.16 Υπάρχει μία κυρίαρχη κορυφή στο σήμα κοντά στο μηδέν η οποία φθίνει πολύ γρήγορα, εμφανίζονται ισχυρές θετικές συσχετίσεις στα δεδομένα, προτείνεται ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο πρώτης τάξης Φυσικά εκτός από τις παραπάνω περιπτώσεις δύναται να έχουμε και συνδυασμούς αυτών ή ακόμη και φάσματα με περισσότερο θόρυβο όπως θα δούμε στη συνέχεια σε χρονοσειρές με πραγματικά πειραματικά δεδομένα. 29

30 (3) Πειραματικό Μέρος 30

31 3.1) Συγκριτική Ζύγιση [19] (3) Πειραματικό Μέρος Η διαδικασία της συγκριτικής ζύγισης είναι ουσιαστικά μία μελέτη ισορροπίας δυνάμεων. Σε ένα συγκριτή μάζας, τόσο στο γνωστό πρότυπο βάρος όσο και στο άγνωστο προς ζύγιση αντικείμενο, ασκούνται οι δυνάμεις του βάρους και της άνωσης του αέρα, οι οποίες είναι αντίρροπες μεταξύ τους. Οι δυνάμεις λοιπόν που ασκούνται κατά σειρά στον υποδοχέα ενός μηχανικού ζυγού είναι οι παρακάτω: F = m (1 ρ / ρ ) g x x a x F = m (1 ρ / ρ ) g s s a s 3.1 όπου, m x είναι η μάζα του αγνώστου αντικειμένου, m s είναι η μάζα του προτύπου βάρους, ρ α, ρ x, ρ s η πυκνότητα του αέρα, του άγνωστου αντικειμένου και του προτύπου αντίστοιχα και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Στην κατάσταση της ισορροπίας F x = F s προκύπτει εύκολα ότι η μάζα του αγνώστου αντικειμένου δίνεται από τη σχέση m x (1 ρa / ρs) = ms (1 ρ / ρ ) a x 3.2 Παρατηρούμε ότι επειδή η ζύγιση πραγματοποιείται στον αέρα και όχι στο κενό, δεν ισχύει m x =m s αλλά υπάρχει και ένας παράγοντας διόρθωσης που οφείλεται στην πυκνότητα του αέρα. Έτσι, η m x καλείται αλλιώς φαινόμενη μάζα ή συμβατική μάζα. Δηλαδή, πρόκειται για εκείνη τη μάζα η οποία σε κατάσταση ισορροπίας δυνάμεων θα ισούται με ένα υποθετικό πρότυπο πυκνότητας 8000 kg/m 3 στους 20 ο C και σε πυκνότητα αέρα 1.2 kg/m 3 [conventional value of the result of weighing in air OIML D 28 (2004)]. Διατηρώντας αυτή τη σύμβαση, οι κατασκευαστές ρυθμίζουν τους ζυγούς ώστε η ένδειξη τους να ταυτίζεται με τη συμβατική τιμή μάζας του αντικειμένου το οποίο ζυγίζεται. Η εκτίμηση της πυκνότητας του αέρα μέσα στο εργαστήριο καθώς και της πυκνότητας των προτύπων βαρών (OIM R ) γίνεται μέσω μιας αυστηρά καθορισμένης διαδικασίας για να επιτευχθεί όσο το δυνατόν υψηλότερη ακρίβεια στην μετέπειτα εκτίμηση της μάζας του αγνώστου αντικειμένου [19]. Σημαντικό ρόλο επίσης στη λήψη σωστών μετρήσεων στο εργαστήριο, έχουν και οι σταθερές περιβαλλοντικές συνθήκες θερμοκρασίας, υγρασίας και ατμοσφαιρικής πίεσης. Πιο συγκεκριμένα, η θερμοκρασία πρέπει να κυμαίνεται από 18 o C - 25 o C και η σχετική υγρασία πρέπει να είναι μεταξύ 40% - 60%. Επίσης, πρέπει να μην υπάρχει μεγάλη βαθμίδα θερμοκρασίας μεταξύ του περιβάλλοντος χώρου και του αντικειμένου προς ζύγιση ώστε να αποφεύγονται φαινόμενα συναγωγής. Τέλος, τα δείγματα πρέπει να έχουν καθαριστεί πολύ προσεκτικά πριν την έναρξη της συγκριτικής ζύγισης. Για τη διακρίβωση του αγνώστου αντικειμένου χρησιμοποιείται η μέθοδος RTTR (διπλή αντικατάσταση), κατά την οποία ζυγίζονται με τη σειρά το πρότυπο αναφοράς R (Reference) και στη συνέχεια η άγνωστη μάζα T (Test). Η μέθοδος RTTR αναιρεί την γραμμική ολίσθηση των δεδομένων. 31

32 Απαραίτητος για ακριβείς μετρήσεις μάζας είναι και ο προσδιορισμός της λεγόμενης ευαισθησίας S του ζυγού, αφού η διαφορά της ένδειξης του ζυγού ΔΙ δεν είναι η διαφορά μάζας των προς σύγκριση αντικειμένων, αλλά ισχύει μεταξύ τους η σχέση ΔΙ Δ m = 3.3 S Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω, καταλήγουμε στη θεμελιώδη εξίσωση της συγκριτικής ζύγισης 3.4 [19,20] για τον προσδιορισμό μίας άγνωστης μάζας m x ρa( ρs ρx) ΔΙ = ms 1+ + ρsρx S(1 ρa / ρx) 3.4 Τα πειραματικά δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν στην ανάλυση χρονοσειρών προέκυψαν από τη συγκριτική ζύγιση διάφορων προτύπων ελέγχου του εργαστηρίου Μάζας του ΕΙΜ ονομαστικών τιμών από 1kg-50kg στους συγκριτές CC50001 S-L (50kg/1mg), CC10000 U-L(10kg/10 μg), και CC1000 S-L (1kg/1μg) Sartorius και αντιστοιχούν στις διαφορές ενδείξεων ΔΙ συγκριτών Mettler AT1005 (1kg/10μg). 3.2) Ζύγιση στον Αέρα [21] Η ζύγιση μίας σφαίρας πυριτίου SI με περαιτέρω σκοπό τον προσδιορισμό της πυκνότητας της, υλοποιήθηκε στο εργαστήριο Πυκνότητας του ΕΙΜ και η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στην παρακάτω εικόνα: Εικόνα 3.1 Ζύγιση στον αέρα σφαίρας Si 32

33 Η μάζα της σφαίρας αρχικά υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας την ονομαστική τιμή από την πυκνότητα του δείγματος. Αυτή η τιμή μάζας στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκε σαν είσοδος για την εκτίμηση της πραγματικής πυκνότητας του δείγματος. Τελικά, η μάζα επανεκτιμήθηκε με χρήση της πραγματικής τιμής της πυκνότητας, όπως προέκυψε από σειρά μετρήσεων. Το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει αυτές τις σχέσεις είναι το παρακάτω: m = m m + {( V + V V ) + [ V a ( V V ) a ]( T 20)} ρ +Δm(1 ρ / ρ ) / (1 ρ / ρ) 3.5 Si R z osi oz or osi Si or oz R α ο c a όπου m Si : μάζα της σφαίρας m R : μάζα του προτύπου αναφοράς m Z : βάρος ευαισθησίας z V osi : όγκος σφαίρας στους 20 o C V or : όγκος προτύπου αναφοράς στους 20 o C V oz : όγκος βάρους ευαισθησίας z α Si : συντελεστής θερμικής διαστολής όγκου της σφαίρας α R : συντελεστής θερμικής διαστολής όγκου του προτύπου αναφοράς και του βάρους ευαισθησίας T: θερμοκρασία ρ a : πυκνότητα αέρα Δm : διαφορά βάρους ρ : μέση πυκνότητα δείγματος και βάρους ευαισθησίας (από ζύγιση) 3.3) Πρότυπα Μεταφοράς Δύναμης [22] Για τη διακρίβωση του μεγέθους της δύναμης και την παραγωγή πρότυπων δυνάμεων χρησιμοποιείται η σχέση 1.2 (1.2 ρα ) F = mc g(1 + ) ρ όπου m c είναι η συμβατική τιμή μάζας του αντικειμένου, ρ α είναι η πυκνότητα του αέρα και ρ w είναι η πυκνότητα του αντικειμένου. Για την βαθύτερη κατανόηση της διαδικασίας παραγωγής πρότυπων δυνάμεων, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τον μετατροπέα (transducer) και να αναφέρουμε τα χαρακτηριστικά του. Ο μετατροπέας είναι μία συσκευή που μετασχηματίζει ενέργεια από μία μορφή σε μία άλλη. Στην περίπτωση της δύναμης ο μετατροπέας μετασχηματίζει μηχανική ενέργεια σε ηλεκτρική. Αυτές οι συσκευές λέγονται αλλιώς δυναμοκυψέλες (load cells). Χρησιμοποιείται μια πληθώρα τεχνικών μέτρησης που στηρίζεται στη χρήση διαφορετικών αισθητήρων, μεταξύ των οποίων χωρητικοί, πιεζοηλεκτρικοί, επαγωγικοί και αισθητήρες αντίστασης. Στους τελευταίους, που είναι και οι περισσότερο διαδεδομένοι, ανάλογα με την παραμόρφωση που έχει υποστεί το σύστημα εμφανίζονται διαφορές στην ηλεκτρική αντίσταση στον χρησιμοποιούμενο αισθητήρα. Στα χαρακτηριστικά των μετατροπέων εμφανίζονται φαινόμενα όπως: επαναληψιμότητα, μη-γραμμικότητα, creep, υστέρηση, ευαισθησία στη w 33

34 θερμοκρασία, ευαισθησία σε ροπές και πλευρικές δυνάμεις και μακροπρόθεσμη σταθερότητα. Οι σειρές των δεδομένων που θα μελετηθούν αφορούν στις ενδείξεις δύο μετατροπέων δύναμης (GTM HBM 5kN) τόσο χωρίς φορτίο (zero reading) όσο και με φορτίο (5kN). Η παραγωγή πρότυπων δυνάμεων πραγματοποιείται με τη μηχανή νεκρού φορτίου (ΕΙΜ 5kN urel ca. 20ppm). 34

35 (4) Υπολογιστικό Μέρος 35

36 (4) Υπολογιστικό Μέρος 4.1) Δεδομένα Αναφοράς Έλεγχος Αλγορίθμων Πριν προχωρήσουμε στα αποτελέσματα της ανάλυσης, είναι απαραίτητο να αφιερώσουμε ένα εισαγωγικό κομμάτι στο οποίο να γίνεται ένας έλεγχος των αλγορίθμων που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Έτσι, θα διασφαλιστεί η εγκυρότητα των αποτελεσμάτων και των συμπερασμάτων που θα προκύψουν από την ερμηνεία τους. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε χρονοσειρές από γνωστές διαδικασίες AR(1) για τις οποίες η θεωρία προβλέπει ακριβώς τα αποτελέσματα από τις αναλύσεις με τα lag plots, τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, το φάσμα ισχύος και τη διασπορά Allan. Αρχικά λοιπόν, επιλέγουμε το είδος των χρονοσειρών που θα χρησιμοποιηθεί. Μας ενδιαφέρουν οι ακραίες περιπτώσεις του λευκού θορύβου, του τυχαίου περιπάτου και μια ενδιάμεση περίπτωση έγχρωμου θορύβου. Με τη βοήθεια της παρακάτω επαναληπτικής διαδικασίας του προγράμματος Matlab (ουσιαστικά προγραμματίζεται η αναδρομική σχέση του μοντέλου AR(1)), ορίζουμε τους συντελεστές του μοντέλου AR(1), με τέτοιο τρόπο ώστε ο σταθερός συντελεστής να είναι το 0 και ο συντελεστής phi1 να είναι ένα διάνυσμα που παίρνει τιμές από το 0 έως το 1. Διαλέγουμε το μήκος της χρονοσειράς να είναι 1000 και με τη βοήθεια της εσωτερικής συνάρτησης rand δημιουργούμε μια τυχαία συνιστώσα ε i. % Simulated Data clear all %Creation of an AR process phi=0:0.1:1; phi0=0; epsilon=rand(1000,11); y=ones(1000,11); final=length(y); for n=1:11 for i=2:final y(i,n)=phi0+phi(n)*y(i-1,n)+epsilon(i,n); end end Σημειώνεται, ότι τις ακραίες περιπτώσεις του λευκού θορύβου και του τυχαίου περιπάτου θα τις συναντήσουμε για phi=0 και phi=1 αντίστοιχα. Ξεκινάμε τον έλεγχο του αλγορίθμου ο οποίος αναπαράγει ένα lag plot. O αλγόριθμος φαίνεται παρακάτω και ακολουθούν στη συνέχεια τα αποτελέσματα που δίνει, έχοντας ως είσοδο τη χρονοσειρά y που αναλύθηκε προηγουμένως. %LAG PLOTS clf for n=1:11 figure(n) clear i clear j j=1;ynew=zeros(length(y)-1,n); for i=2:(length(y)-1) j=j+1; 36

37 ynew(j,n)=y(i-1,n); end scatter(y(2:end-1,n),ynew(2:end,n)) title('lag Plot') xlabel('x_n') ylabel('x_n-1') end Εικόνα 4.1 Lag Plot AR(1) διαδικασίας με φ1=0. Τα δεδομένα παριστάνουν τυχαία σημεία στο επίπεδο χωρίς κάποια συγκεκριμένη δομή (λευκός θόρυβος). Εικόνα 4.2 Lag Plot AR(1) διαδικασίας με φ1=0.7. Τα δεδομένα παρουσιάζουν ασθενή θετική συσχέτιση (έγχρωμος θόρυβος). Εικόνα 4.3 Lag Plot AR(1) διαδικασίας με φ1=1. Τα δεδομένα παρουσιάζουν ισχυρή θετική συσχέτιση (τυχαίος περίπατος). 37

38 Στη συνέχεια, γίνεται έλεγχος του αλγορίθμου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Σημειώνεται ότι η εντολή autocorr είναι εσωτερική συνάρτηση του προγράμματος Matlab. %ACF Diagrams clf for n=1:11 figure(n) autocorr(y(:,n),round(final/4),2,[]) title('correlogram') end Εικόνα 4.4 Αυτοσυσχέτιση AR(1) διαδικασίας με φ1=0. Τα δεδομένα παριστάνουν τυχαία σημεία μέσα στο διάστημα εμπιστοσύνης χωρίς κάποια συγκεκριμένη δομή (λευκός θόρυβος). Εικόνα 4.5 Αυτοσυσχέτιση AR(1) διαδικασίας με φ1=0.9. Τα δεδομένα παρουσιάζουν θετικές συσχετίσεις μέχρι κάποιο συγκεκριμένο lag (έγχρωμος θόρυβος). 38

39 Εικόνα 4.6 Αυτοσυσχέτιση AR(1) διαδικασίας με φ1=-0.7. Τα δεδομένα παρουσιάζουν μια ισχυρή αρνητική αυτοσυσχέτιση στο lag=1 και στη συνέχεια το πρόσημο των αυτοσυσχετίσεων εναλλάσσεται μέχρι τελικά οι αυτοσυσχετίσεις να γίνουν αμελητέες (lag>10). Εικόνα 4.7 Αυτοσυσχέτιση AR(1) διαδικασίας με φ1=1. Τα δεδομένα παρουσιάζουν ισχυρές θετικές συσχετίσεις για πολλά lags (τυχαίος περίπατος). Στη συνέχεια θα ελεγχθεί ο αλγόριθμος που αναπαράγει το φάσμα ισχύος και το περιοδόγραμμα στο πεδίο συχνοτήτων. Πάλι, η εντολή fft είναι η εσωτερική συνάρτηση του Matlab για τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier των δεδομένων από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων (Fast Fourier Transform). %Fourier Analysis clear Y Y=fft(y); m=length(y); Y(1,:)=[]; power = abs(y(1:floor(m/2),:)).^2; nyquist = 1/2; freq = (1:m/2)/(m/2)*nyquist; clf for n=1:11 figure(n) a=10; % Συντελεστής του fitting, αλλάζει σε κάθε περίπτωση διαφορετικού φ b=1; % Συντελεστής του fitting, αλλάζει σε κάθε περίπτωση διαφορετικού φ loglog(freq,power(:,n),'r') hold all plot(freq,a*freq.^-b,'g') xlabel('frequency') ylabel('power') title('psd') hold off 39

40 end %Periodogram clf for n=1:11 figure(n) plot(freq,power(:,n)) end Εικόνα 4.8 Περιοδόγραμμα AR(1) διαδικασίας με φ1=0. Η κατανομή των κορυφών των συχνοτήτων φαίνεται να είναι τυχαία καλύπτωντας όλο το φάσμα των συχνοτήτων. Εικόνα 4.9 Περιοδόγραμμα AR(1) διαδικασίας με φ1=0.4. Λόγω των ασθενών συσχετίσεων φαίνονται οι ισχυρότερες κορυφές να μαζεύονται στις χαμηλότερες συχνότητες, όπως προβλέπει η θεωρία [23]. Εικόνα 4.10 Περιοδόγραμμα AR(1) διαδικασίας με φ1=-0.7. Λόγω των αρνητικών συσχετίσεων φαίνονται οι ισχυρότερες κορυφές να μαζεύονται στις υψηλότερες συχνότητες, όπως προβλέπει η θεωρία [23]. 40

41 Εικόνα 4.11 Περιοδόγραμμα AR(1) διαδικασίας με φ1=0.9. Λόγω των ισχυρών συσχετίσεων φαίνονται οι ισχυρότερες κορυφές να μαζεύονται στις πολύ χαμηλές συχνότητες, όπως προβλέπει η θεωρία [23]. Εικόνα 4.12 Φάσμα ισχύος με λογαριθμικούς άξονες AR(1) διαδικασίας με φ1=0. Το φάσμα προσεγγίζεται από ένα πλατό μηδενικής κλίσης, καθώς τα δεδομένα προέρχονται από μια χρονοσειρά λευκού θορύβου. Εικόνα 4.13 Φάσμα ισχύος με λογαριθμικούς άξονες AR(1) διαδικασίας με φ1=0.9. Το φάσμα προσεγγίζεται από ένα πλατό κλίσης ~-2, καθώς τα δεδομένα προέρχονται από μια χρονοσειρά πολύ κοντά στον τυχαίο περιπάτο (φ1=1). Εικόνα 4.14 Φάσμα ισχύος με λογαριθμικούς άξονες AR(1) διαδικασίας με φ1=-0.7. Το φάσμα παρουσιάζει μεγαλύτερη ισχύ στις υψηλές συχνότητες λόγω του αρνητικού συντελεστή φ1. Το είδος του θορύβου είναι White PM, ή Flicker PM [24]. Τέλος πραγματοποιείται έλεγχος του αλγορίθμου που αναπαράγει τη διασπορά Allan (πιο συγκεκριμένα την Allan std deviation). Αρχικά δημιουργούμε τη συνάρτηση η οποία ουσιαστικά αναπαράγει τη σχέση

42 Οι παράμετροι εισόδου είναι η χρονοσειρά y και το ελάχιστο sampling time τ0, το οποίο καθορίζουμε έτσι ώστε τ=m*τ0, όπου το m αλλάζει σύμφωνα με δυνάμεις του 2. Η συνάρτηση επιστρέφει τις τιμές σ(τ) τις οποίες έπειτα τοποθετούμε σε γράφημα με λογαριθμικούς άξονες για ενδεικτικές περιπτώσεις της AR(1) διαδικασίας. function [sig2,tau]=allancalc(y,tau0) % INPUTS: % y = time-series % tau0 = sampling period in sec % % OUTPUTS: % sig2 = Normal Allan STD DEV, 2 samples STD DEV % tau = measurement time (s) n=length(y); for j=0:10 m=2^j; tau(j+1)=m*tau0; D=zeros(1,n-m+1); for i=1:n-m+1 D(i)=sum(y(i:i+m-1))/m; end %AVAR sig2(j+1)=sqrt(0.5*mean((diff(d(1:m:n-m+1)).^2))); end Για να πάρουμε τα ζητούμενα διαγράμματα καλούμε τη συνάρτηση σύμφωνα με την παρακάτω υπορουτίνα: % Call Function Allan and define the % sampling period tau0 for n=1:11 tau0=4; [var2(:,n),time]=allancalc(y(:,n),tau0); end for n=1:11 figure(n) timenew=log(time); var2new(:,n)=log(var2(:,n)); 42

43 mi=-0.5; % Συντελεστής του fitting, αλλάζει σε κάθε περίπτωση διαφορετικού φ loglog(time,var2(:,n)) hold all plot(time,time.^(mi)) xlabel('time') ylabel('allan Deviation') hold off end Εικόνα 4.14 Διάγραμμα της διακύμανσης Allan με λογαριθμικούς άξονες AR(1) διαδικασίας με φ1=0. Η κλίση της πράσινης ευθείας είναι -0.5 και αποτελεί απόδειξη της ύπαρξης λευκού θορύβου [16,17]. Εικόνα 4.15 Διάγραμμα της διακύμανσης Allan με λογαριθμικούς άξονες AR(1) διαδικασίας με φ1=0.9. Η κλίση της πράσινης ευθείας είναι 0.5 και αποτελεί απόδειξη της ύπαρξης θορύβου τυχαίου περιπάτου [16,17]. Η κόκκινη ευθεία με κλίση 0 υποδηλώνει την πιθανή ύπαρξη 1/f θορύβου. 43

44 Εικόνα Διάφορες περιπτώσεις ανάλογα με το συντελεστή φ1 Στη συνέχεια ακολουθεί η μελέτη και ανάλυση των δεδομένων, όπως αυτά προέκυψαν από τις πειραματικές διαδικασίες που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο 3. 44

45 4.2) Παράδειγμα Σφαίρας Si, -με βέλτιστη διάταξη μέτρησης- Παρά την πραγματοποίηση πολλών πειραμάτων, όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 3, επιλέγουμε να αναλύσουμε μόνο τρία συγκεκριμένα παραδείγματα τα οποία παρουσιάζουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Ο τρόπος με τον οποίο επιλέχθηκαν αυτά τα παραδείγματα βασίζεται κυρίως στη μορφή του γραφήματος των πρώτων και των δεύτερων διαφορών. Λόγω κάποιων χαρακτηριστικών που παρουσιάζουν αυτά τα γραφήματα, όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια, προχωρούμε στην εφαρμογή των προαναφερθέντων υπολογιστικών μεθόδων στις αντίστοιχες χρονοσειρές προσπαθώντας να εξάγουμε συμπεράσματα τα οποία είναι κοινά για όλες τις μεθόδους. Ξεκινάμε την ανάλυση με το παράδειγμα της σφαίρας Si, όπου οι μετρήσεις μάζας (πιο συγκεκριμένα οι μετρήσεις ΔΙ [20]) έχουν πραγματοποιηθεί με βέλτιστη διάταξη μέτρησης. Αρχικά, η εικόνα 4.17.α δείχνει τα πειραματικά δεδομένα τα οποία έχουν μετατραπεί από raw data σε time series data, δεδομένου ότι κάθε μέτρηση διαφέρει από την προηγούμενη 20sec. Η εικόνα 4.17.β. δείχνει πώς μεταβάλλονται η θερμοκρασία και η υγρασία μέσα στο εργαστήριο, κατά τη διάρκεια του πειράματος, φυσικά πάντα μέσα στα όρια της προβλεπόμενης τεχνικής οδηγίας [19]. Αυτό που είναι ενδιαφέρον είναι ότι η χρονοσειρά των δεδομένων εξελίσσεται σύμφωνα με τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Δηλαδή, αρχικά μειώνεται με γρήγορο ρυθμό και στη συνέχεια αυξάνει ανεπαίσθητα καθώς η θερμοκρασία σταθεροποιείται μέχρι και το τέλος του πειράματος. Το τελευταίο κομμάτι της χρονοσειράς οφείλεται στο γνωστό drift του ζυγού. Temperature Temp 23,4 23,3 23,2 23, ,9 22,8 22,7 22,6 22, Iterations Humidity Humidity Iterations Εικόνα 4.17.α. Χρονοσειρά δεδομένων σφαίρας Si, χωρίς έλεγχο περιβαλλοντικών συνθηκών Εικόνα 4.17.β. Σειρά θερμοκρασίας και υγρασίας αντίστοιχα συναρτήσει του αύξοντα αριθμού επανάληψης 45

46 Στη συνέχεια, ακολουθούν τα γραφήματα των πρώτων και των δεύτερων διαφορών τα οποία δημιουργήθηκαν σύμφωνα με τις σχέσεις 2.9 και 2.10 αντίστοιχα. Καταφεύγουμε σε αυτές τις μεθόδους θέλοντας να απομακρύνουμε φαινόμενα trends ή περιοδικότητας τα οποία πιθανώς να υπάρχουν στα δεδομένα και να μας εμποδίζουν να απομονώσουμε και να αναλύσουμε τον ζητούμενο στοχαστικό θόρυβο. Εικόνα 4.18.α. Πρώτες διαφορές Εικόνα 4.18.β Δεύτερες διαφορές Από τα παραπάνω γραφήματα είναι φανερό ότι με εξαίρεση κάποια outliers, οι διαφορές συγκεντρώνονται γύρω από ένα μικρό διάστημα με μέσο το μηδέν. Δεν υπάρχει κάποια χαρακτηριστική δομή στα δεδομένα και προχωρούμε στα lag plots για να διαπιστώσουμε αν εκεί αποκαλύπτεται κάποια ιδιομορφία. Εικόνα 4.19.α. Lag plot χρονοσειράς y. Κυριαρχεί η ισχυρή εξάρτηση κάθε δεδομένου από την προηγούμενη τιμή του και η διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά χαρακτηρίζεται ως random walk with drift. [11] Εικόνα 4.19.β. Lag plot χρονοσειράς x=y i - y i-1. Με τη μέθοδο των πρώτων διαφορών έχει εξαλειφθεί η συσχέτιση λόγω επίδρασης της θερμοκρασίας και έχουν απομείνει λίγα σημεία, τα περισσότερα συγκεντρωμένα γύρω από το κομμάτι (0,0) του επιπέδου. Στις περιπτώσεις μηδενικού αποτελέσματος οι πραγματικές διαφορές είναι μικρότερες από τη διακριτική ικανότητα του ζυγού. 46

47 Εικόνα 4.19.γ. Lag plot χρονοσειράς δεύτερων διαφορών. Τα δεδομένα προσεγγίζονται από μια ευθεία αρνητικής κλίσης (PM Noise [14]) Αυτό που είναι αξιοσημείωτο από τα παραπάνω, είναι ότι στη χρονοσειρά των δεύτερων διαφορών εμφανίζεται ένα είδος θορύβου που ανήκει στην κατηγορία phase noise. Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες να εξηγηθεί η προέλευση του phase noise και οι περισσότερες βασίζονται στην ανάθεση κάποιου μοντέλου ηλεκτρικού κυκλώματος στα μετρούμενα δεδομένα ή σε απλές παρατηρήσεις του πειραματιστή που αφορούν σε φαινόμενα θορύβου. Κάνοντας χρήση ενός πολύ απλού μοντέλου μπορούμε να υποθέσουμε ότι ένα ημιτονοειδές σήμα με μία χαρακτηριστική συχνότητα, δύναται να διαταραχθεί εξαιτίας θορύβου και να αναπαράγει ένα νέο σήμα με συχνότητα λίγο διαφορετική από τη βασική. Το περιστατικό που συνδέεται με αυτό το φαινόμενο ονομάζεται μεταβολή (fluctuation). Όταν συμβαίνει λοιπόν αυτό, το συνδέουμε συνήθως με μεταβολές στη φάση του σήματος το οποίο είναι μια εύκολα μετρήσιμη ποσότητα. Ο όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει την τυχαιότητα των μεταβολών φάσεως είναι ο phase noise. Ο τρόπος με τον οποίο οδηγούμαστε από τη μεταβολή της συχνότητας στις μεταβολές φάσεως βασίζεται στο ότι η συχνότητα δεν είναι τίποτα παραπάνω από τον ρυθμό μεταβολής της φάσης του ημιτονοειδούς σήματος [24]. Γενικά ο θόρυβος αυτής της μορφής ανήκει στην κατηγορία των power law θορύβων με εκθέτη μεταξύ +1 και +2. Πρόκειται για υψίσυχνο θόρυβο όπως θα αποδειχθεί και με τη βοήθεια των υπολοίπων υπολογιστικών μεθόδων. Εικόνα Αναπαράσταση του PM Noise 47

48 Εφαρμόζουμε τώρα τη μέθοδο της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Το ερώτημα της τυχαιότητας των δεδομένων απαντάται εύκολα εάν στο συσχετόγραμμα (correlogram ή ACF diagram), με εξαίρεση το lag 0 το οποίο εξ ορισμού είναι 1, όλες οι αυτοσυσχετίσεις βρίσκονται μέσα στα όρια εμπιστοσύνης του 95%. Σε ένα τέτοιο σύστημα καμία τιμή y t+i δεν εξαρτάται από την y t και τα δεδομένα χαρακτηρίζονται από λευκό θόρυβο (εντελώς ασυσχέτιστα). Μία τέτοια διαδικασία είναι χωρίς αμφιβολία στάσιμη. Είναι αξιοσημείωτο ότι μια τέτοια συμπεριφορά δεν παρατηρείται στην πρωτογενή σειρά πειραματικών δεδομένων του παραδείγματος μας. Όταν η χρονοσειρά λοιπόν, δεν είναι στάσιμη αλλά είναι εμφανής στο γράφημα μέγεθος-χρόνος η παρουσία μίας τάσης (trend) τότε ο συντελεστής συσχέτισης ξεκινάει από την τιμή 1 και φθίνει σχεδόν γραμμικά με το χρόνο, αρκετά αργά, πλησιάζοντας το μηδέν περίπου στο lag που αντιστοιχεί στο μισό της χρονοσειράς και συνεχίζοντας προς αρνητικές τιμές. Τα δεδομένα είναι ισχυρώς συσχετισμένα (μακρές συσχετίσεις) και ένα προτεινόμενο μοντέλο που περιγράφει τη διεργασία είναι το AR(1), όπως περιγράφηκε στην εξίσωση Πιο συγκεκριμένα, τα δεδομένα εμφανίζουν 2 διαφορετικά trends, το οποίο αποτυπώνεται και στο διάγραμμα ACF εφόσον βλέπουμε δύο διαφορετικές κλίσης από lags και από lags περίπου (εικόνα 4.21.α). Γενικά, όταν συναντάμε μη-στάσιμες διαδικασίες όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, τότε το correlogram δε μπορεί να δώσει περαιτέρω πληροφορίες πέραν από το να προτείνει ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο AR(1) του οποίου οι συντελεστές είναι εύκολο να εκτιμηθούν μέσα από ένα γραμμικό least square fitting. Αφού εκτιμηθούν οι συντελεστές τότε αφαιρώντας την πειραματική σειρά δεδομένων από το μοντέλο είναι δυνατόν να εκτιμηθεί ο στοχαστικός θόρυβος z t (εξίσωση 2.14). Εάν γίνει κατάλληλη επεξεργασία των δεδομένων (εφαρμογή πρώτων ή και δεύτερων διαφορών) τότε τα αντίστοιχα συσχετογράμματα παρουσιάζουν μια αρκετά διαφορετική συμπεριφορά. Πιο συγκεκριμένα, όπως φαίνεται και στην εικόνα 4.21.β, το συσχετόγραμμα των πρώτων διαφορών παρουσιάζει για αρκετά lags κάποιες ισχυρές συσχετίσεις οι οποίες ολοένα και μειώνονται μέχρις ότου τα δεδομένα γίνουν εντελώς ασυσχέτιστα. Το αντίστοιχο θεωρητικό γράφημα για τέτοιου είδους συσχετίσεις δίνεται από την 2.8.β. Σε μία τέτοια διαδικασία η επιλογή κατάλληλου γραμμικού μοντέλου προσαρμογής είναι πιο δύσκολη από την περίπτωση των ισχυρών συσχετίσεων. Όσο πιο μη-ομαλή είναι η επιφάνεια που περικλείει η καμπύλη τόσο περισσότερο θόρυβο περιμένουμε στη χρονοσειρά. Το συσχετόγραμμα των δεύτερων διαφορών (εικόνα 4.21.γ) παρουσιάζει δεδομένα ασυσχέτιστα αλλά οι μεταβολές της αυτοσυσχέτισης μοιάζουν σε άλλα σημεία πιο πυκνές και σε άλλα σημεία πιο αραιές. Αυτό τα φαινόμενο μπορούμε να το αποδώσουμε σε πιθανές μεταβολές φάσης του σήματος, όπως ήδη αναφέρθηκε κατά την ανάλυση του αντίστοιχου lag plot. 48

49 Εικόνα 4.21.α. ACF πρωτογενούς χρονοσειράς Εικόνα 2.8.β. Moderate Autocorrelation [Engineering Statistics Handbook] Εικόνα 4.21.β. ACF πρώτων διαφορών Εικόνα 4.21.γ. ACF δεύτερων διαφορών Προχωρώντας τη μελέτη, θα χρησιμοποιήσουμε μια ισοδύναμη μεθοδολογία με την αυτοσυσχέτιση για την ανάλυση των χρονοσειρών μας στο χώρο των συχνοτήτων όμως. Η μεθοδολογία κάνει χρήση της πυκνότητας φασματικής ισχύς (PSD), εξειδικεύεται στην εύρεση συχνοτήτων που πιθανώς να κυριαρχούν στο σήμα και επιπλέον δίνει μια εκτίμηση του είδους του θορύβου και για τις ενδιάμεσες περιπτώσεις έγχρωμου θορύβου. Υπενθυμίζεται ότι το φάσμα του λευκού θορύβου για ανεξάρτητα, ασυσχέτιστα δεδομένα προσεγγίζεται από μια ευθεία μηδενικής κλίσης. Ξεκινάμε πρώτα από την κατασκευή του φάσματος συχνοτήτων μέσω του διακριτού FFT και τη μελέτη των περιοδογραμμάτων. Αυτό που θέλει 49

50 ιδιαίτερη προσοχή είναι η επιλογή του διανύσματος της συχνότητας. Η επιλογή της μέγιστης διακριτής συχνότητας εξαρτάται από το sampling time και δίνεται από το θεώρημα δειγματοληψίας του Nyquist [25]. Αντίστοιχα, το μήκος της χρονοσειράς καθορίζει την μικρότερη συχνότητα που μπορεί να απεικονισθεί στο περιοδόγραμμα. Πιο συγκεκριμένα ισχύουν 1 f max = 2*Δt j f j = N * Δt όπου Δt είναι το sampling time και Ν είναι το μήκος της χρονοσειράς. Στο περιοδόγραμμα του παραδείγματος μας (εικόνα 4.22.α), παρατηρούμε την ύπαρξη κάποιων ισχυρών εντάσεων στις χαμηλές συχνότητες ακολουθούμενη από μια τυχαία κατανομή εντάσεων στις υπόλοιπες συχνότητες. Μια τέτοια περίπτωση περιγράφεται πολύ σωστά από ένα μοντέλο AR(1) με θετικό συντελεστή φ1, όπως είδαμε και στην εικόνα 4.11, με τη διαφορά ότι στο πείραμα μας έχουμε και αρκετό θόρυβο ο οποίος κατανέμεται τυχαία στις υπόλοιπες συχνότητες. Αντίθετα, στην εικόνα 4.22.β βλέπουμε μια συμπεριφορά ισχυρών εντάσεων στις υψηλές συχνότητες ενώ στις πολύ χαμηλές συχνότητες δεν παρατηρείται κάποια χαρακτηριστική συχνότητα. Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με το αντίστοιχο lag plot Εικόνα 4.22.α. Περιοδόγραμμα από πρώτες διαφορές για τη σφαίρα Si του παραδείγματος. Παρατηρείται ισχυρή ένταση στις χαμηλές συχνότητες. Προτείνεται ένα AR(1), φ1>0, μοντέλο για την προσαρμογή της χρονοσειράς. Εικόνα 4.22.β. Περιοδόγραμμα από δεύτερες διαφορές για τη σφαίρα Si του παραδείγματος. Παρατηρείται ισχυρή ένταση στις υψηλές συχνότητες. Επιβεβαίωση του PM Noise. Έχοντας τα περιοδογράμματα, λογαριθμίζουμε τους άξονες συχνότητα (x-axis) ισχύς (y-axis) και παίρνουμε τα αντίστοιχα φάσματα ισχύος. Από τα φάσματα ισχύος είναι δυνατόν να εκτιμηθεί το είδος του θορύβου με την εφαρμογή της σχέσης 2.30 και να υπολογιστούν οι συντελεστές h n και ο εκθέτης n. Για το σκοπό αυτό τα δεδομένα προσεγγίζονται με μια ευθεία με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με παραμέτρους προς ελαχιστοποίηση 50

51 τους h n και n. Τα αποτελέσματα από τη μέθοδο αυτή δεν αποσκοπούν τόσο στην εύρεση του καλύτερου fit (δηλαδή R 2 =1), όσο στην εύρεση της καταλληλότερης κλίσης τάσης των δεδομένων στις εκάστοτε εξεταζόμενες φασματικές περιοχές. Συνεπώς πρέπει να προσέχουμε κάθε φορά ποια σημεία να συμπεριλαμβάνουμε στο fitting και ποια όχι. Λογαριθμίζοντας τους άξονες και εφαρμόζοντας LLS (Linear Least Squares) παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Εικόνα 4.23.α. PSD πρωτογενών δεδομένων (μπλε), πρώτων διαφορών (κόκκινο) και δεύτερων διαφορών (πράσινο) Εικόνα 4.23.β. Προσαρμογή πρωτογενών δεδομένων. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες: x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.23.γ. Προσαρμογή πρώτων διαφορών Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.23.δ. Προσαρμογή δεύτερων διαφορών. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες x=log(frequency), y=log(power) Σε όλα τα διαγράμματα PSD κάνουμε την αλλαγή μεταβλητών x=log(frequency), y=log(power) δημιουργώντας ευθείες της μορφής y = n*x + logh. Σημειώνεται, ότι ο συντελεστής h είναι δείκτης της έντασης της αντίστοιχης power-law διαδικασίας που περιγράφει ο εκθέτης n. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης: Πίνακας ΙΙΙ. Συντελεστές Περιοχή 1 Περιοχή 2 Όρια Περιοχής 2 n h 7.45* n (first dif) Από x=-3 έως h (first dif) 1.7* *10-3 τέλος 51

52 Συνοψίζοντας, σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα η πρωτογενής σειρά δεδομένων προσεγγίζεται πολύ σωστά από έναν Random Walk Power Law θόρυβο, οι πρώτες διαφορές στις χαμηλές συχνότητες παρουσιάζουν θόρυβο 1/f και στη συνέχεια κυριαρχεί ο λευκός θόρυβος ενώ τέλος οι δεύτερες διαφορές ξεκινάνε με λευκό θόρυβο στις χαμηλές συχνότητες και στη συνέχεια κυριαρχεί ο White PM Noise. Η τελευταία μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για τις αναλύσεις μας είναι η προσαρμογή των σημείων στα γραφήματα της Allan std deviation. Από τη σχέση 2.27 θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το συντελεστή μ και να συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με το συντελεστή n του διαγράμματος PSD. H σχέση που συνδέει τους 2 συντελεστές σύμφωνα με τη βιβλιογραφία [15], είναι ότι n = -μ -1. Προσέχουμε από τη σχέση 2.27 ότι η κλίση των ευθειών είναι μ/2. Οι ακριβείς σχέσεις των τυπικών αποκλίσεων Allan δίνονται από τη βιβλιογραφία [15,16], εμείς μόνο θα εκτιμήσουμε γενικούς συντελεστές της μορφής Η. Θα εφαρμόσουμε την παραπάνω μεθοδολογία τόσο στα πρωτογενή δεδομένα όσο και στις πρώτες διαφορές τους και αναμένουμε να πάρουμε παραπλήσια αποτελέσματα τουλάχιστον ποιοτικά, με τη μεθοδολογία του φάσματος ισχύος. Εικόνα 4.24.α. Πρωτογενή Δεδομένα μ/2=0.8367, Η=exp(-12.72) Εικόνα 4.24.β. Δεδομένα Πρώτων Διαφορών μ/2= , Η=exp(-11.41) red μ/2=0.027, Η=exp(-13.79) - blue Πίνακας IV. Περίπτωση μ n πρωτογενή first dif, περιοχή 1 first dif, περιοχή ~ Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν απόλυτα με αυτά του PSD plot, διαχωρίζοντας καθαρά την περιοχή του λευκού θορύβου από την περιοχή του θορύβου 1/f. Αυτή η συμπεριφορά είναι τυπική και συναντάται πολύ συχνά στη βιβλιογραφία [15,16,26,27]. Η κλασσική τυπική απόκλιση για τη σειρά των πρώτων διαφορών υπολογίζεται ως 6.53*10-6 ενώ η τιμή που δίνει η Allan deviation είναι μικρότερη κατά μια τάξη μεγέθους και για τ=256, είναι ίση με σ(τ)=7.34*

53 4.3) Παράδειγμα Σφαίρας Si, -σε πραγματικές συνθήκες μέτρησης- Για το επόμενο παράδειγμα θα ακολουθήσουμε την ίδια ακριβώς διαδικασία με προηγουμένως. Αρχικά παρατίθενται η χρονοσειρά των δεδομένων (μετρήσεις ανά 20 sec) και η συμπεριφορά της θερμοκρασίας και της υγρασίας κατά τη διάρκεια του πειράματος. Εικόνα 4.25.α. Χρονοσειρά δεδομένων σφαίρας Si, σε πραγματικές συνθήκες μέτρησης Εικόνα 4.25.β. Θερμοκρασία (μπλε) και υγρασία (πράσινο) Παρατηρούμε ότι η ελαφριά μείωση των τιμών της χρονοσειράς συμφωνεί με τη συμπεριφορά της θερμοκρασίας (drift ζυγού). Το πρώτο κομμάτι της χρονοσειράς (υποδεικνύεται με ένα βέλος στην εικόνα 4.25.α.) συνδέεται με ταλαντώσεις που συμβαίνουν στο σύστημα. Το κομμάτι στο οποίο ο ρυθμός αύξησης της χρονοσειράς είναι απότομος δεν οφείλεται στη θερμοκρασία αλλά πιθανώς στην υγρασία, η οποία φαίνεται να είναι αρκετά χαμηλότερη από τις προδιαγραφές 40-50%. Αυτό ίσως προκαλεί τη δημιουργία κάποιων επιφανειακών ηλεκτροστατικών φορτίων τα οποία επικάθονται στην επιφάνεια της σφαίρας και οδηγούν στην αύξηση της ένδειξης του ζυγού. Τα διαγράμματα των πρώτων και των δεύτερων διαφορών παρουσιάζουν μια περίεργη συμπεριφορά. Αρχικά, οι τιμές των διαφορών εναλλάσσονται μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών έχοντας ολοένα μειούμενο εύρος, ενώ στη συνέχεια το εύρος αυτό σταθεροποιείται και με εξαίρεση κάποια outliers, όλες οι υπόλοιπες τιμές παραμένουν εντός ενός περιορισμένου διαστήματος. Εικόνα 4.26.α. Πρώτες διαφορές Εικόνα 4.26.β Δεύτερες διαφορές Τα lag plots δίνουν επίσης ενδιαφέρουσα στοιχεία, όπως φαίνεται στις εικόνες που ακολουθούν: 53

54 Εικόνα 4.27.α. Lag plot χρονοσειράς y. Κυριαρχεί η ισχυρή εξάρτηση κάθε δεδομένου από την προηγούμενη τιμή του και η διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά χαρακτηρίζεται ως random walk. Εικόνα 4.27.β. Lag plot χρονοσειράς x=y i - y i- 1 Με τη μέθοδο των πρώτων διαφορών έχει εξαλειφθεί η συσχέτιση λόγω επίδρασης της θερμοκρασίας. Τα δεδομένα φαίνονται να παρουσιάζουν αντισυσχετίσεις και η διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά των διαφορών χαρακτηρίζεται ως White PM ή Flicker PM Noise. Εικόνα 4.27.γ. Lag plot χρονοσειράς δεύτερων διαφορών. Τα δεδομένα φαίνονται να παρουσιάζουν αντισυσχετίσεις και η διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά χαρακτηρίζεται ως White PM ή Flicker PM Noise. Είναι ενδιαφέρον λοιπόν ότι αναμένουμε το ίδιο είδος θορύβου και στις πρώτες αλλά και στις δεύτερες διαφορές, με μια επιφύλαξη για το αν υπάρχουν και άλλα είδη θορύβων τα οποία δε μπορεί να εντοπίσει αυτή η μέθοδος. Τα αντίστοιχα συσχετογράμματα παρουσιάζουν ομοιότητες με τα διαγράμματα των πρώτων και των δεύτερων διαφορών, ενισχύοντας το αρκετά περίεργο φαινόμενο της περιοδικότητας στα πρώτα lags, η οποία δεν εξαλείφεται ούτε και όταν προχωρήσουμε στις δεύτερες διαφορές. Πρόκειται λοιπόν για ένα είδος συντονισμού το οποίο θα αναλυθεί περαιτέρω με το φάσμα ισχύος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης φαίνεται να μοιάζει με την περίπτωση που δίνει η θεωρία για μία AR διαδικασία με αρνητικό συντελεστή φ 1. Ας σημειωθεί ότι μετά το lag=200 οι συσχετίσεις περιορίζονται μέσα στο 2 διάστημα εμπιστοσύνης ±, Ν το μήκος της χρονοσειράς, συνεπώς τα N 54

55 δεδομένα αποσυσχετίζονται εντελώς. Τα πρωτογενή δεδομένα παρουσιάζουν ισχυρές συσχετίσεις λόγω της επίδρασης της θερμοκρασίας και η μορφή του διαγράμματος μπορεί να συγκριθεί με αυτήν από τη βιβλιογραφία (εικόνα 2.8.γ). Εικόνα 4.28.α. ACF σφαίρας Si, πρωτογενή δεδομένα Εικόνα 2.8.γ. Strong Autocorrelation [Engineering Statistics Handbook] Εικόνα 4.28.β. ACF πρώτων διαφορών Εικόνα 4.28.γ. ACF δεύτερων διαφορών Τα περιοδογράμματα των πρώτων και των δεύτερων διαφορών παρουσιάζουν ένα οξύ μέγιστο, όπως φαίνεται παρακάτω: Εικόνα [Engineering Statistics Handbook] Εικόνα Περιοδόγραμμα από πρώτες και δεύτερες διαφορές. Κυριαρχεί μια ισχυρή ταλάντωση στο σήμα. Προτείνεται ένα ημιτονοειδές μοντέλο για την προσαρμογή της χρονοσειράς. Η περίπτωση αυτή συμπίπτει με αυτήν της βιβλιογραφίας, όπου για κάποιο λόγο κυριαρχεί ένας ισχυρός συντονισμός στο σήμα. Στο παράδειγμα μας το ισχυρό μέγιστο προέρχεται από την ταλαντωτική κίνηση της κρεμάμενης σφαίρας μέχρι αυτή να ισορροπήσει. Εάν αφαιρέσουμε τις τιμές του των πρώτων διαφορών που αντιστοιχούν σε αυτόν το συντονισμό 55

56 παίρνουμε την εικόνα Όσο προχωράμε σε υψηλές συχνότητες τόσο οι εντάσεις γίνονται ισχυρότερες και ο PM Noise είναι πια ευδιάκριτος. Εικόνα 4.30 Περιοδόγραμμα από πρώτες διαφορές (πλην κάποιες τιμές). Υπάρχουν κάποιες υψηλές εντάσεις σε υψηλές συχνότητες αλλά σε γενικές γραμμές δε φαίνεται να υπάρχει κάποια κυρίαρχη συχνότητα. Στη συνέχεια, ακολουθούν τα φάσματα ισχύος και τα αποτελέσματα που δίνουν τα fitting για τους φασματικούς εκθέτες: Εικόνα 4.31.α PSD πρωτογενών δεδομένων (μπλε), πρώτων διαφορών (κόκκινο) και δεύτερων διαφορών (πράσινο) Εικόνα 4.31.β Προσαρμογή πρωτογενών δεδομένων. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.31.β Προσαρμογή πρώτων διαφορών. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.31.γ Προσαρμογή δεύτερων διαφορών. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) 56

57 Πίνακας V. Συντελεστές Περιοχή 1 Περιοχή 2 n h 1.23*10-4 n (first dif) h (first dif) 1.72* Όρια Περιοχής 2 - Από x=-3 έως τέλος Συνοψίζοντας τα παραπάνω αποτελέσματα, τα πρωτογενή δεδομένα στο μεγαλύτερο μέρος τους περιγράφονται από έναν θόρυβο τυχαίου περιπάτου, λόγω συσχέτισης με τη θερμοκρασία. Ένα μικρό κομμάτι των δεδομένων περιγράφεται από λευκό θόρυβο. Οι πρώτες διαφορές χωρίζονται σε δύο διαφορετικές περιοχές: αρχικά έχουμε θόρυβο 1/f (flicker FM noise) και στη συνέχεια περνάμε σε flicker PM noise, όπως είχε προβλέψει και το αντίστοιχο lag plot. Τέλος, στις δεύτερες διαφορές έχουμε αρχικά εντελώς αποσυσχετισμένα δεδομένα και στη συνέχεια πάλι flicker PM noise, σε συμφωνία με το lag plot. Τέλος, η διασπορά Allan δίνει τα εξής αποτελέσματα: Εικόνα 4.32α. Πρωτογενή Δεδομένα μ/2=0.6356, H=exp(-11.46) Εικόνα 4.33β. Δεδομένα Πρώτων Διαφορών μ/2= , Η=exp(-9.202) κόκκινο μ/2=0.1248, Η=exp(-13.32) μπλε Πίνακας VΙ. Περίπτωση μ n πρωτογενή first dif, περιοχή 1 first dif, περιοχή Η διασπορά Allan υποδεικνύει και αυτή με τη σειρά της την ύπαρξη PM Noise στην πρώτη περιοχή και FM Flicker Noise στη δεύτερη περιοχή. Ας σημειωθεί ότι σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, η διασπορά Allan δε μπορεί να διαχωρίσει μεταξύ των διαφορετικών ειδών PM Noise και για αυτό το λόγο είτε καταφεύγουμε στη μεθοδολογία PSD είτε προχωρούμε στην εφαρμογή της modified Allan variance [28]. Τέτοια συμπεριφορά συναντάται στη βιβλιογραφία στην περίπτωση π.χ. ηλεκτρονικών ταλαντωτών [29]. Και σε αυτό το παράδειγμα προτείνεται η εφαρμογή της Allan deviation (τ=512, σ(τ)=1.9*10-6 ) αντί της κλασσικής τυπικής απόκλισης (9.57*10-5 ). 57

58 4.3) Παράδειγμα προτύπου μεταφοράς δύναμης Τέλος, παραθέτουμε το παράδειγμα ενός προτύπου μεταφοράς δύναμης δίνοντας τη χρονοσειρά των πειραματικών δεδομένων (ανά 31 sec) και τις αντίστοιχες σειρές για τη θερμοκρασία και την υγρασία: temp rh 18:39:17 19:25:29 19:56:17 20:42:29 21:28:41 21:59:29 22:45:41 23:16:29 0:02:41 0:48:53 1:19:41 2:05:53 2:52:05 3:22:53 4:09:05 4:55:17 5:26:05 6:12:17 6:43:05 7:29:17 8:15:29 8:46:17 Εικόνα 4.34.α. Χρονοσειρά δεδομένων Πρότυπο μεταφοράς δύναμης HBM 5kN σε μέγιστο φορτίο μετρημένο στην πρότυπη μηχανή δύναμης 110 kn Εικόνα 4.34.β. Θερμοκρασία και Υγρασία Τα πρωτογενή δεδομένα φαίνονται να παρουσιάζουν τρία χαρακτηριστικά (εικόνα 4.34.α). Σε μκρούς χρόνους έχουμε απότομη μεταβολή του σήματος (φαινόμενα creep, που οφείλονται στην κατασκευή του προτύπου μεταφοράς [19]). Υπάρχει μία αυξητική τάση του σήματος που οφείλεται σε μεταβολή της θερμοκρασίας και μία περιοδικότητα που μάλλον οφείλεται σε ταλαντώσεις του νεκρού φορτίου της μηχανής που παράγει την δύναμη και στηρίζεται στο πρότυπο μεταφοράς [22]. Θα έχει ενδιαφέρον να εξετάσουμε εάν αυτή η περιοδική συμπεριφορά αποτυπώνεται στις πρώτες και στις δεύτερες διαφορές των δεδομένων καθώς και αν αυτή εξαλείφεται με τις δεύτερες διαφορές, όπως προβλέπει η θεωρία. Πράγματι, η περιοδικότητα είναι εμφανής στην εικόνα 4.35.α. ενώ στην 4.35.β. συναντάμε περισσότερο θόρυβο, γεγονός που δυσκολεύει την ανάλυση. Εικόνα 4.35.α. Πρώτες διαφορές Εικόνα 4.35.β Δεύτερες διαφορές Τα αντίστοιχα lag plots δίνονται παρακάτω: 58

59 Εικόνα 4.36.α. Lag plot χρονοσειράς y. Κυριαρχεί η ισχυρή εξάρτηση κάθε δεδομένου από την προηγούμενη τιμή του και η διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά χαρακτηρίζεται ως random walk with drift. Εικόνα 4.36.β. Lag plot χρονοσειράς x=y i -y i-1. Με τη μέθοδο των διαφορών έχει εξαλειφθεί η συσχέτιση λόγω επίδρασης της θερμοκρασίας και έχουν απομείνει λίγα σημεία. Στις περιπτώσεις μηδενικού αποτελέσματος οι πραγματικές διαφορές είναι μικρότερες από την αναγνωσιμότητα του μετρητικού συστήματος. Εικόνα 4.36.γ. Lag plot δεύτερων διαφορών. Παρά το ότι έχουμε πάλι λίγα σημεία λόγω της αναγνωσιμότητας του μετρητικού συστήματος, η ύπαρξη PM Noise είναι ξεκάθαρη. Τα διαγράμματα ACF παρουσιάζονται στη συνέχεια. Τα πρωτογενή δεδομένα παρουσιάζουν όπως ήταν αναμενόμενο μακρές συσχετίσεις, με τη διαφορά ότι η περιοδικότητα της χρονοσειράς αποτυπώνεται στη συνάρτηση ACF σε αντίθεση με τις αντίστοιχες περιπτώσεις των προηγούμενων παραδειγμάτων. Οι πρώτες διαφορές παρουσιάζουν κάποιες θετικές συσχετίσεις στα μικρά lags και κατόπιν μια περιοδική εναλλαγή θετικών και αρνητικών τιμών γύρω από το μηδέν. Αυτή η εναλλαγή στα πειραματικά δεδομένα εμφανίζεται να συμβαίνει μέσα στα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης και όχι εκτός από αυτό (με εξαίρεση λίγες τιμές). Εφαρμόζοντας δεύτερες διαφορές εξαφανίζεται και η περιοδικότητα και τα δεδομένα πλέον μοιάζουν να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης. 59

60 Εικόνα 4.37.α. ACF πρωτογενών δεδομένων Εικόνα 4.37.β. Πρώτες Διαφορές Εικόνα 4.37.γ. Δεύτερες Διαφορές Το περιοδόγραμμα των πρώτων διαφορών δείχνει ισχυρή ένταση στις χαμηλές συχνότητες και πιθανώς λευκό θόρυβο στις υψηλές ενώ το περιοδόγραμμα των δεύτερων διαφορών λευκό θόρυβο στις χαμηλές συχνότητες και PM θόρυβο στις υψηλές. Εικόνα 4.38.α Περιοδόγραμμα από πρώτες (κόκκινο ) και δεύτερες διαφορές (πράσινο) για τη Δύναμη. Η παραπάνω συμπεριφορά αποτυπώνεται και στα αντίστοιχα φάσματα ισχύος, όπως φαίνεται παρακάτω. Στις πρώτες διαφορές τα δεδομένα χωρίζονται σε δύο διαφορετικές περιοχές: δεδομένα ασθενώς συσχετισμένα με τιμή φασματικού εκθέτη κοντά στον flicker noise και δεδομένα μάλλον με White Noise. Τα πρωτογενή δεδομένα παρουσιάζουν το ενδιαφέρον ότι δεν προσεγγίζουν την ακραία περίπτωση του τυχαίου περιπάτου, όπως στα προηγούμενα παραδείγματα και αυτό πιθανά να οφείλεται στο ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα παίζουν σημαντικό ρόλο και άλλα φαινόμενα εκτός 60

61 του trend της θερμοκρασίας. Οι δεύτερες διαφορές χαρακτηρίζονται από δύο είδη λευκών θορύβων τύπου FM και PM. Εικόνα 4.39.α PSD πρωτογενών δεδομένων (μπλε), πρώτων διαφορών (κόκκινο) και δεύτερων διαφορών (πράσινο) Εικόνα 4.39.β Προσαρμογή πρωτογενών δεδομένων. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.39.γ Προσαρμογή πρώτων διαφορών. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Εικόνα 4.39.δ Προσαρμογή δεύτερων διαφορών. Αλλαγή μεταβλητής στους άξονες της μορφής x=log(frequency), y=log(power) Πίνακας VII. Συντελεστές Περιοχή 1 Περιοχή 2 Όρια Περιοχής 2 n h 9.73* n (first dif) Από x=-2.5 h (first dif) 6.14*10-6 έως τέλος Τέλος η διασπορά Allan έρχεται να επιβεβαιώσει τα αποτελέσματα του Πίνακα VII, με τη διαφορά ότι για τα πρωτογενή δεδομένα δείχνει καθαρά θόρυβο τυχαίου περιπάτου, σε αντίθεση με το PSD διάγραμμα το οποίο δεν υποδεικνύει μια τέτοια ακραία περίπτωση. Για τ=1024 ισχύει σ(τ)=5.24*10-8 πάλι μια τάξη μεγέθους μικρότερη από την κλασσική τυπική απόκλιση (7.68*10-7 ). 61