Κεφάλαιο 4: Κίνηση στο Επίπεδο. Υπολογιστική Φυσική Ι. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4: Κίνηση στο Επίπεδο. Υπολογιστική Φυσική Ι. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος"

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική Ι Κεφάλαιο 4: Κίνηση στο Επίπεδο Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης rea%ve ommons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κίνηση στο Επίπεδο 4.1 Runge Kutta στις δύο διαστάσεις. Στις δύο διαστάσεις, το πρόβλημα αρχικών τιμών που έχουμε να λύσουμε δίνεται από το σύστημα (3.6) dx dt = v dv x x dt = a x(t, x, v x, y, v y ) dy dt = v dv y y dt = a y(t, x, v x, y, v y ). (4.1) Ο κώδικας που θα τρέχει τη μέθοδο Runge Kutta 4ης τάξης προκύπτει με μικρές μετατροπές του κώδικα rk.f. Κατ αρχήν για διευκόλυνση της μελέτης πολλών δυνάμεων ξεχωρίζουμε τον κοινό κώδικα με το user interface και τον αλγόριθμο της μεθόδου από τις συναρτήσεις της επιτάχυνσης που αλλάζουν ανάλογα με τη δύναμη σε ξεχωριστά αρχεία. Στο αρχείο rk2.f τοποθετούμε τα πρώτα και σε αρχείο rk_xxx.f τα δεύτερα. XXX είναι ακολουθία χαρακτήρων που ταυτοποιούν τη δύναμη λ.χ. rk2_hoc.f έχει την επιτάχυνση του αρμονικού ταλαντωτή, rk2_g.f την επιτάχυνση από ομογενές πεδίο βαρύτητας g = gˆj κ.ο.κ. Στον κώδικα στο rk2.f κάνουμε μερικές μικροαλλαγές στο user interface. Τοποθετούμε δυο απροσδιόριστες σταθερές σύζευξης k1, k2 που μπορούν να δοθούν διαδραστικά από το χρήστη και να προσδιορίσουν το μέγεθος της δύναμης που ασκήται κάθε φορά στο σώμα. Τοποθετούνται σε common block double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 το οποίο θα φαίνεται και από τις συναρτήσεις επιτάχυνσης f3, f4 και της ενέργειας energy. Ο χρήστης πρέπει τώρα να παρέχει τις αρχικές συνθήκες και για τις δύο συντεταγμένες στο επίπεδο x, y. Αυτές 195

4 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ αντιστοιχούν στις μεταβλητές X10 x 0, X20 y 0, V10 v x0, V20 v y0, ενώ οι συναρτήσεις του χρόνου αντιστοιχούν στα arrays X1(P) x(t), X2(P) y(t), V1(P) v x (t), V2(P) v y (t). Η ολοκλήρωση γίνεται όπως και πρίν καλώντας call RK(T,X1,X2,V1,V2,T0,TF,X10,X20,V10,V20,STEPS,PSIZE) και στο αρχείο rk2.dat αποθηκεύουμε τα αποτελέσματα μαζί με τη συνολική μηχανική ενέργεια που υπολογίζεται από τη συνάρτηση energy(t,x1,x2,v1,v2) η οποία βρίσκεται στο ίδιο αρχείο με τις επιταχύνσεις μια και η μορφή της εξαρτάται από τον τύπο της δύναμης: open(unit=11,file='rk2.dat') do i=1,steps+1 write(11,*)t(i),x1(i),x2(i),v1(i),v2(i), * energy(t(i),x1(i),x2(i),v1(i),v2(i)) enddo Τέλος αλλαγές πρέπει να γίνουν στον κώδικα της βασικής υπορουτίνας RKSTEP(t,x1,x2,x3,x4,dt) λόγω του μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών στο πρόβλημα. Παραθέτουμε ολόκληρο τον κώδικα για να διευκολύνουμε τον αναγνώστη¹: Program to solve a 4 ODE system using Runge-Kutta Method User must supply derivatives dx1/dt=f1(t,x1,x2,x3,x4) dx2/dt=f2(t,x1,x2,x3,x4) dx3/dt=f3(t,x1,x2,x3,x4) dx4/dt=f4(t,x1,x2,x3,x4) as real*8 functions Output is written in file rk2.dat program rk2_solve implicit none integer P parameter(p=510000) double precision T0,TF,X10,X20,V10,V20 integer STEPS,PSIZE double precision T(P),X1(P),X2(P),V1(P),V2(P) integer i double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 ¹double precision είναι συνώνυμο με real*8.

5 4.1. RUNGE KUTTA ΣΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. 197 double precision energy Input: print *,'Runge-Kutta Method for 4-ODEs Integration' print *,'Enter coupling constants:' read(5,*) k1,k2 print *,'k1= ',k1,' k2= ',k2 print *,'Enter STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20:' read(5,*) STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20 print *,'No. Steps= ',STEPS print *,'Time: Initial T0 =',T0,' Final TF=',TF print *,' X1(T0)=',X10,' X2(T0)=',X20 print *,' V1(T0)=',V10,' V2(T0)=',V20 The alculation: PSIZE=P call RK(T,X1,X2,V1,V2,T0,TF,X10,X20,V10,V20,STEPS,PSIZE) Output: open(unit=11,file='rk2.dat') do i=1,steps+1 write(11,*)t(i),x1(i),x2(i),v1(i),v2(i), * energy(t(i),x1(i),x2(i),v1(i),v2(i)) enddo close(11) end The velocity functions f1,f2(t,x1,x2,v1,v2) double precision function f1(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 f1=v1!dx1/dt= v1 end double precision function f2(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 f2=v2!dx2/dt= v2

6 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ end RK(T,X1,X2,V1,V2,T0,TF,X10,X20,V10,V20,STEPS,PSIZE) is the driver for the Runge-Kutta integration routine RKSTEP Input: Initial and final times T0,T1 Initial values at t=t0 X10,X20,V10,V20 Number of steps of integration STEPS Size of arrays T,X1,X2,V1,V2 Output: real arrays T(PSIZE),X1(PSIZE),X2(PSIZE), V1(PSIZE),V2(PSIZE) where T(1) = T0 X1(1) = X10 X2(1) = X20 V1(1) = V10 V2(1) = V20 X1(i) = X1(at t=t(i)) X2(i) = X2(at t=t(i)) V1(i) = V1(at t=t(i)) V2(i) = V2(at t=t(i)) T(STEPS+1)=TF Therefore we must have PSIZE>STEPS subroutine RK(T,X1,X2,V1,V2,T0,TF,X10,X20,V10,V20,STEPS,PSIZE) implicit none integer STEPS,PSIZE double precision T (PSIZE),T0,TF double precision X1(PSIZE),X2(PSIZE),X10,X20 double precision V1(PSIZE),V2(PSIZE),V10,V20 double precision dt double precision TS,X1S,X2S!values of time and X1,X2 at given step double precision V1S,V2S integer i Some checks: if(steps.le. 1 )then print *,'rk: STEPS must be >= 1' stop endif if(steps.ge. PSIZE)then print *,'rk: STEPS must be < ',PSIZE stop endif Initialize variables: dt = (TF-T0)/STEPS T (1) = T0

7 4.1. RUNGE KUTTA ΣΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. 199 X1(1) = X10 X2(1) = X20 V1(1) = V10 V2(1) = V20 TS = T0 X1S = X10 X2S = X20 V1S = V10 V2S = V20 Make RK steps: The arguments of RKSTEP are replaced with the new ones! do i=2,steps+1 call RKSTEP(TS,X1S,X2S,V1S,V2S,dt) T(i) = TS X1(i) = X1S X2(i) = X2S V1(i) = V1S V2(i) = V2S enddo end Subroutine RKSTEP(t,x1,x2,dt) Runge-Kutta Integration routine of ODE dx1/dt=f1(t,x1,x2,x3,x4) dx2/dt=f2(t,x1,x2,x3,x4) dx3/dt=f3(t,x1,x2,x3,x4) dx4/dt=f4(t,x1,x2,x3,x4) User must supply derivative functions: real function f1(t,x1,x2,x3,x4) real function f2(t,x1,x2,x3,x4) real function f3(t,x1,x2,x3,x4) real function f4(t,x1,x2,x3,x4) Given initial point (t,x1,x2) the routine advnaces it by time dt. Input : Inital time t and function values x1,x2,x3,x4 Output: Final time t+dt and function values x1,x2,x3,x4 areful!: values of t,x1,x2,x3,x4 are overwritten... subroutine RKSTEP(t,x1,x2,x3,x4,dt) implicit none double precision t,x1,x2,x3,x4,dt double precision f1,f2,f3,f4

8 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ double precision k11,k12,k13,k14,k21,k22,k23,k24 double precision k31,k32,k33,k34,k41,k42,k43,k44 double precision h,h2,h6 h =dt h2=0.5d0*h h6= d0*h!h =dt, integration step!h2=h/2!h6=h/6 k11=f1(t,x1,x2,x3,x4) k21=f2(t,x1,x2,x3,x4) k31=f3(t,x1,x2,x3,x4) k41=f4(t,x1,x2,x3,x4) k12=f1(t+h2,x1+h2*k11,x2+h2*k21,x3+h2*k31,x4+h2*k41) k22=f2(t+h2,x1+h2*k11,x2+h2*k21,x3+h2*k31,x4+h2*k41) k32=f3(t+h2,x1+h2*k11,x2+h2*k21,x3+h2*k31,x4+h2*k41) k42=f4(t+h2,x1+h2*k11,x2+h2*k21,x3+h2*k31,x4+h2*k41) k13=f1(t+h2,x1+h2*k12,x2+h2*k22,x3+h2*k32,x4+h2*k42) k23=f2(t+h2,x1+h2*k12,x2+h2*k22,x3+h2*k32,x4+h2*k42) k33=f3(t+h2,x1+h2*k12,x2+h2*k22,x3+h2*k32,x4+h2*k42) k43=f4(t+h2,x1+h2*k12,x2+h2*k22,x3+h2*k32,x4+h2*k42) k14=f1(t+h,x1+h *k13,x2+h *k23,x3+h *k33,x4+h2*k43) k24=f2(t+h,x1+h *k13,x2+h *k23,x3+h *k33,x4+h2*k43) k34=f3(t+h,x1+h *k13,x2+h *k23,x3+h *k33,x4+h2*k43) k44=f4(t+h,x1+h *k13,x2+h *k23,x3+h *k33,x4+h2*k43) t =t+h x1=x1+h6*(k11+2.0d0*(k12+k13)+k14) x2=x2+h6*(k21+2.0d0*(k22+k23)+k24) x3=x3+h6*(k31+2.0d0*(k32+k33)+k34) x4=x4+h6*(k41+2.0d0*(k42+k43)+k44) end

9 4.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ Βολές στο Βαρυτικό Πεδίο τησ Γης. Θεωρούμε αρχικά σωματίδιο υπό την επίδραση δύναμης που του προσδίδει επιτάχυνση g = mg ĵ x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 v x (t) = v 0x v y (t) = v 0y gt a x (t) = 0 a y (t) = g (4.2) Το σωματίδιο, όπως γνωρίζουμε καλά, κινήται πάνω σε μια παραβολή στην οποία εμείς απλά διαλέγουμε το σημείο στο οποίο τοποθετείται αρχικά το σωμάτιο: ( ) v0y (y y 0 ) = (x x 0 ) 1 g (x x v 0x 2 v0x 2 0 ) 2 = tan θ (x x 0 ) tan2 θ (x x 0 ) 2, (4.3) 4h max όπου tan θ = v 0y /v 0x και h max η γωνία υπό την οποία βάλλεται το σωμάτιο και το μέγιστο ύψος που φτάνει το σωμάτιο ως προς το αρχικό σημείο βολής. Κωδικοποιούμε την επιτάχυνση a x (t) = 0 a y (t) = g (a x f3, a y f4) καθώς και τη συνολική μηχανική ενέργεια στο αρχείο rk2_g.f: The acceleration functions f3,f4(t,x1,x2,v1,v2) provided by the user Free fall in constant gravitational field with g = -k2 double precision function f3(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 f3=0.0d0!dx3/dt=dv1/dt=a1 end

10 202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 0.25 x(t) 0.06 y(t) v x (t) 1 v y (t) Σχήμα 4.1: Βολή στο βαρυτικό πεδίο με ένταση g = 10.0ĵ και αρχική ταχύτητα v 0 = î + ĵ. Δίνονται τα διαγράμματα x(t), y(t), v x (t), v y (t). double precision function f4(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 f4=-k1!dx4/dt=dv2/dt=a2 end double precision function energy(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 energy = 0.5*(v1*v1+v2*v2) + k1*x2 end Στη συνέχεια παραθέτουμε τη σειρά εντολών που δίνει ο χρήστης για να υπολογίσει την τροχιά > f77 -O2 rk2.f rk2_g.f -o rk2

11 4.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ e e e e-05 E(t)-E(0) y x 1e-05 8e-06 6e-06 4e-06 2e Σχήμα 4.2: Βολή στο βαρυτικό πεδίο με ένταση g = 10.0ĵ και αρχική ταχύτητα v 0 = î + ĵ. Φαίνεται η παραβολική τροχιά που ακολουθεί το σωμάτιο. Στο διπλανό σχήμα παρακολουθούμε την απόκλιση της μηχανικής ενέργειας του σωματιδίου από την αρχική της τιμή. >./rk2 Runge-Kutta Method for 4-ODEs Integration Enter coupling constants: k1= k2= Enter STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20: No. Steps= Time: Initial T0 = Final TF= X1(T0)= X2(T0)= V1(T0)= V2(T0)= Στη συνέχεια επεξεργαζόμαστε τα αποτελέσματά μας αναλύοντας τα δεδομένα από το αρχείο rk2.dat με το πρόγραμμα gnuplot: > gnuplot gnuplot> set terminal x11 1 gnuplot> plot "rk2.dat" using 1:2 with lines title "x(t)" gnuplot> set terminal x11 2 gnuplot> plot "rk2.dat" using 1:3 with lines title "y(t)" gnuplot> set terminal x11 3 gnuplot> plot "rk2.dat" using 1:4 with lines title "vx(t)" gnuplot> set terminal x11 4 gnuplot> plot "rk2.dat" using 1:5 with lines title "vy(t)" gnuplot> set terminal x11 5 gnuplot> plot "rk2.dat" using 1:($6-1.0) with lines title "E(t)-Ε(0)"

12 204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ gnuplot> set terminal x11 6 gnuplot> set size square gnuplot> set title "Trajectory" gnuplot> plot "rk2.dat" using 2:3 with lines notit Τα αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήματα 4.1 και 4.2. Παρατηρούμε μικρή αύξηση της ενέργειας που μας δίνει και το μέτρο της ακρίβειας της μεθόδου. Με τη βοήθεια του gnuplot μπορούμε να φτιάξουμε κινούμενα σχέδια της τροχιάς. Για το λόγο αυτό ομαδοποιούμε μερικές εντολές του gnuplot σε αρχείο σεναρίου, έστω στο rk2_animate.gpl icount = icount+skip plot "<cat -n rk2.dat" \ using 3:($1<= icount? $4: 1/0) with lines notitle # pause 1 if(icount < nlines ) reread Το παραπάνω αρχείο υποθέτει ότι όταν τρέξουμε το gnuplot έχουμε αρχικοποιήσει τις μεταβλητές icount, skip, nlines να είναι οι τιμές του αρχικού αριθμού γραμμών του αρχείου rk2.dat που θα μπουν στο διάγραμμα, ο αριθμός γραμμών που θα προστίθενται σε κάθε καινούργιο πλαίσιο που σχεδιάζεται στα κινούμενα σχέδια και ο συνολικός αριθμός γραμμών που περιέχει το αρχείο ώστε να σταματήσει η διαδικασία. Η ιδέα είναι ότι οι εντολές του αρχείου διαβάζονται από το gnuplot κάνοντας ένα plot και αν πληρήται το κριτήριο του if το αρχείο ξαναδιαβάζεται με την εντολή reread. Ας εξηγήσουμε την γραμμή με την εντολή plot: Το αρχείο "<cat -n rk2.dat" είναι το standard output της εντολής cat -n rk2.dat η οποία τυπώνει στο standard output το αρχέιο rk2.dat βάζοντας στην πρώτη στήλη τον αριθμό γραμμής που διαβάζεται. Έτσι η εντολή plot διαβάζει δεδομένα στα οποία η πρώτη στήλη είναι ο αριθμός γραμμής, η δέυτερη ο χρόνος, η τρίτη η συντεταγμένη x, η τέταρτη η συντεταγμένη y κ.ο.κ. Η γραμμή using 3:($1<= icount? $4: 1/0) λέει να χρησιμοποιηθεί η 2η στήλη στον οριζόντιο άξονα και αν η πρώτη στήλη είναι μικρότερη από την τιμή της μεταβλητής icount να μπεί στον κατακόρυφο άξονα η τιμή της 4ης στήλης αλλιώς τίποτα (βάζοντας κάτι που δεν είναι νόμιμο, όπως διαίρεση με το 0 κάνει το gnuplot να αγνοήσει το συγκεκριμένο σημείο). Με τον τρόπο αυτό καθώς η τιμή της μεταβλητής icount αυξάνει τοποθετούμε στο διάγραμμα περισσότερα σημεία της τροχιάς δημιουργώντας την ψευδαίσθηση της κίνησης. τη

13 4.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ. 205 γραμμή με την εντολή pause την έχουμε βάλει σα σχόλιο. Αν τα κινούμενα είναι πολύ γρηγορα για σας, βγάλτε το χαρακτήρα του σχολίου # και αντικαταστήστε τη μονάδα με τον αριθμό δευτερολέπτων που θέλετε να σταματάει κάθε πλαίσιο. Για να χρησιμοποιήσουμε το σενάριο αυτό από το gnuplot δίνουμε τις εντολές > gnuplot gnuplot> icount = 10 gnuplot> skip = 200 gnuplot> nlines = gnuplot> load "rk2_animate.gpl" Τα παραπάνω σενάρια θα τα βρείτε στο συνοδευτικό λογισμικό του κεφαλαίου. Εκεί θα βρείτε και σενάρια φλοιού τα οποία θα σας βοηθήσουν να αυτοματοποιήσετε πολλές από τις εντολές που περιγράψαμε παραπάνω. Περιγράφουμε τη χρήση δύο από αυτών. Πρώτα το σενάριο rk2_animate.csh: > rk2_animate.csh -h Usage: rk2_animate.csh -t [sleep time] -d [skip points] <file> Default file is rk2.dat Other options: -x: set lower value in xrange -X: set lower value in xrange -y: set lower value in yrange -Y: set lower value in yrange -r: automatic determination of x-y range > rk2_animate.csh -r -d 500 rk2.dat Η τελευταία γραμμή πραγματοποιεί τα κινούμενα σχέδια με πλαίσια που κάθε φορά έχουν 500 παραπάνω σημεία, ενώ τα όρια των πλαισίων υπολογίζονται αυτόματα από το σενάριο με το διακόπτη -r. Ο διακόπτης -h δίνει σύντομες οδηγίες για τη χρήση του σεναρίου, μια σύμβαση που την ακολουθούμε συχνά στα σενάρια/προγράμματα που γράφουμε. Ένα πιο πλήρες σενάριο που κάνει όλες τις δουλειές είναι το rk2.csh. Οδηγίες χρήσης παίρνουμε με την εντολή >./rk2.csh -h Usage: rk2.csh -f <force> k1 k2 x10 x20 v10 v20 STEPS t0 tf Other Options: -n Do not animate trajectory Available forces (value of <force>): 1: ax=-k1 ay= -k2 y Harmonic oscillator

14 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 2: ax= 0 ay= -k1 Free fall 3: ax= -k2 vx ay= -k2 vy - k1 Free fall + air resitance ~ v 4: ax= -k2 v vx ay= -k2 v vy - k1 Free fall + air resitance ~ v^2 5: ax= k1*x1/r^3 ay= k1*x2/r^3 oulomb Force... όπου φαίνεται ότι έχουμε την επιλογή να τρέξουμε το πρόγραμμα με διαφορετικές δυνάμεις που επιλέγονται με το διακόπτη -f. Στην υπόλοιπη γραμμή εντολών δίνουμε τα δεδομένα εισόδου για το πρόγραμμα rk2.f, τις σταθερές ζεύξης k1, k2, τις αρχικές συνθήκες x10, x20, v10, v20 και τις συνθήκες ολοκλήρωσης STEPS, t0, tf. Έτσι για παράδειγμα οι εντολές > rk2.csh -f > rk2.csh -f > rk2.csh -f μας δίνουν την κίνηση του σωματιδίου στο πεδίο βαρύτητας που μελετήσαμε ως τώρα, την κίνηση ανομοιογενούς αρμονικού ταλαντωτή (k1 = a x = ω 2 1x, k2 = a y = ω 2 2y) και τη σκέδαση φορτίου σε πεδίο ooulomb - δοκιμάστε τα! Ελπίζω να σας δημιουργηθεί και η περιέργεια να δείτε μέσα στα σενάρια έτσι ώστε να τα μεταβάλλετε και δημιουργήτε από μόνοι/ες σας. Από μένα μερικές οδηγίες για τους τεμπέληδες: Αν θελήσετε να προσθέσετε μια δική σας δύναμη στο ρεπερτόριο του σεναρίου ακολουθήστε τη συνταγή: Προγραμματίστε τη δυναμή σας σε αρχείο με όνομα rk2_myforce.f συμφωνα με τις προδιαγραφές του rk2_g.f. Επεξεργαστήτε το αρχείο rk2.csh και αλλάξτε τη γραμμή set forcecode = (hoc g vg v2g cb) σε set forcecode = (hoc g vg v2g cb myforce) (φυσικά μπορεί η μεταβλητή $forcecode να έχει και άλλες εγγραφές στο σενάριο αλλά αυτό δεν θα σας εμποδίσει). Μετρήστε σε ποιά σειρά έχετε βάλει το myforce, εδώ την 6η, και τρέξτε την εντολή με το διακόπτη -f 6 όπου το 6 αντικαταστήστε το με τη σειρά στο δικό σας σενάριο (οι τελίτσες οι δικιές σας σταθ. ζεύξης και αρχικές συνθήκες): > rk2.csh -f

15 4.2. ΒΟΛΕΣ ΣΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ. 207 Ας μελετήσουμε τώρα την επίδραση της αντίστασης του αέρα ή ενός ρευστού στην πτώση/βολή του σωματιδίου. Για μικρές ταχύτητες η αντίσταση γίνεται ανάλογη της ταχύτητας και έχουμε F r = mk v οπότε a x = kv x a y = kv y g (4.4) παίρνοντας x(t) = x 0 + v 0x ( ) 1 e kt k y(t) = y ( v 0y + g ) (1 ) e kt g k k k t v x (t) = v 0x e kt v y (t) = ( v 0y + g ) e kt g k k, (4.5) από όπου διαβάζουμε την κίνηση του σωματιδίου με ορική ταχύτητα v y (+ ) = g/k (x(+ ) = σταθ., y(+ ) t). Ο προγραμματισμός της επιτάχυνσης καταγράφεται στο αρχείο (k1 g, k2 k ) rk2_vg.f: The acceleration functions f3,f4(t,x1,x2,v1,v2) provided by the user Free fall in constant gravitational filed with ax = -k2 vx ay = -k2 vy - k1 double precision function f3(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 f3=-k2*v1!dx3/dt=dv1/dt=a1 end double precision function f4(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 f4=-k2*v2-k1!dx4/dt=dv2/dt=a2 end

16 208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Τα αποτελέσματα καταγράφονται στα Σχήματα 4.3 όπου φαίνεται η επίδραση της αυξανόμενης αντίστασης στην τροχιά του σωματιδίου. Στο Σχήμα 4.4 δίνεται για σύγκριση η επίδραση δύναμης F r = mkv 2ˆv. y y x x Σχήμα 4.3: Τροχιά σωματιδίου που βάλλεται στο σταθερό βαρυτικό πεδίο της γής g = 10ĵ υπό την επίδραση αντίστασης ρευστού a r = k v για k = 0, 0.2, 1, 5, 10, 20, 30. Αριστερά έχουμε v(0) = î + ĵ ενώ δεξιά v(0) = 5î + 5ĵ. y y x x Σχήμα 4.4: Τροχιά σωματιδίου που βάλλεται στο σταθερό βαρυτικό πεδίο της γής g = 10ĵ υπό την επίδραση αντίστασης ρευστού a r = kv 2ˆv για k = 0, 0.2, 1, 5, 10, 20, 30. Αριστερά έχουμε v(0) = î + ĵ ενώ δεξιά v(0) = 5î + 5ĵ. 4.3 Κίνηση Πλανητών. Θα θεωρήσουμε το απλό πλανητικό μοντέλο του ήλιου με μάζα M και ενός πλανήτη γη με μάζα m έτσι ώστε m M. Ο νόμος του Νεύτωνα μας δίνει ότι η επιτάχυνση της γης δίνεται από τη σχέση a = g = GM r 2 ˆr = GM r (4.6) r3

17 4.3. ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ. 209 Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι G = kgr sec m3, M = kgr, m = kgr. Επίσης όταν η υπόθεση m M δεν είναι ικανοποιητική, τότε το πρόβλημα των δύο σωμάτων ανάγεται σε αυτό του ενός χρησιμοποιώντας την ανηγμένη μάζα 1 µ = 1 m + 1 M. Η δύναμη της βαρύτητας είναι κεντρική με αποτέλεσμα να διατηρήται η στροφορμή L = r p. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση γίνεται πάνω σε ένα επίπεδο και μπορούμε να πάρουμε τον άξονα των z έτσι ώστε Η δύναμη είναι διατηρητική και η ενέργεια L = L zˆk = m(xvy yv x ). (4.7) E = 1 2 mv2 GmM r (4.8) διατηρήται. Αν πάρουμε την αρχή των αξόνων να είναι το κέντρο της δύναμης, τότε οι εξισώσεις κίνησης (4.6) γίνονται a x = GM r 3 x a y = GM r 3 y (4.9) με r 2 = x 2 + y 2. Οι εξισώσεις αυτές είναι ένα σύστημα δύο συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων ως προς τις συναρτήσεις x(t), y(t). Οι λύσεις είναι κωνικές τομές που είναι είτε έλλειψη (δεσμευμένη τροχιά - πλανήτης ), παραβολή (για τη λεγόμενη ταχύτητα διαφυγής ή υπερβολή (σκέδαση). Για την περίοδο περιστροφής των πλανητών ισχύει ο τρίτος νόμος του Κέπλερ T 2 = 4π2 GM a3 (4.10) όπου εδώ a είναι ο μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς και b ο μικρός ημιάξονας. Το πόσο πλατιά είναι η έλλειψη χαρακτηρίζεται από την εκκεντρότητα της τροχιάς e = 1 b2 a, (4.11) 2 η οποία είναι 0 για τον κύκλο και τείνει προς τη 1 όταν την πατάμε να γίνει ευθεία. Σε απόσταση ea από το κέντρο της έλλειψης βρίσκονται

18 210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ οι εστίες της F 1 και F 2. Αυτές έχουν την ιδίοτητα ότι κάθε σημείο P της τροχιάς έχει P F 1 + P F 2 = 2a. (4.12) Για να προγραμματίσουμε τη δύναμη του Νεύτωνα γράφουμε στο αρχείο rk2_cb.f: The acceleration functions f3,f4(t,x1,x2,v1,v2) provided by the user Motion in oulombic/newtonian potential: ax= k1*x1/r^3 ay= k1*x2/r^3 double precision function f3(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r2,r3 r2=x1*x1+x2*x2 r3=r2*dsqrt(r2) if(r3.gt.0.0d0)then f3=k1*x1/r3!dx3/dt=dv1/dt=a1 else f3=0.0d0 endif end double precision function f4(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r2,r3 r2=x1*x1+x2*x2 r3=r2*dsqrt(r2) if(r3.gt.0.0d0)then f4=k1*x2/r3!dx4/dt=dv2/dt=a2 else f4=0.0d0 endif end

19 4.3. ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ. 211 double precision function energy(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r r=dsqrt(x1*x1+x2*x2) if( r.gt. 0.0D0)then energy = 0.5*(v1*v1+v2*v2) + k1/r else energy = 0.0D0 endif end Στο παραπάνω πρόγραμμα k1= GM και έχουμε προσέξει την περίπτωση το σωμάτιο να προσκρούσει στο ιδιάζον σημείο (0, 0), το κέντρο της δύναμης. Προφανώς ό ίδιος κώδικας μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για το ηλεκτροστατικό πεδίο oulomb με k1= qq/4πɛ 0 m. Κατ αρχήν μελετάμε τροχιές οι οποίες είναι δέσμιες. Διαλέγουμε GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0x = 0 και v 0y μεταβλητό. Μετράμε την περίοδο και το μήκος των ημιαξόνων της έλλειψης. Προκύπτει ο Πίνακας 4.1. Μερικές από τις τροχιές φαίνονται στο σχήμα 4.5 όπου v 0x T /2 2a Πίνακας 4.1: Τα αποτελέσματα για την περίοδο και τον μεγάλο ημιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς πλανητικής κίνησης για GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0y = 0. φαίνεται η εξάρτηση του μεγέθους της έλλειψης από την περίοδο. Στο

20 212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Σχήμα 4.6 επιβεβαιώνουμε τον 3ο νόμο του Κέπλερ, Σχέση (4.10) y x Σχήμα 4.5: Τροχιές πλανήτη για GM = 10, x(0) = 1.0, y(0) = 0, v 0y = 0 και v 0x = 3.6, 3.8, 4.0, 4.1, 4.3. Αναγράφονται οι αντίστοιχες ημιπερίοδοι. Πώς θα μπορούσαμε να προβλέψουμε το νόμο του Κέπλερ χωρίς να γνωρίζαμε το αποτέλεσμα εκ των προτέρων? Αν πάρουμε το λογάριθμο και στα δύο μέλη της Εξίσωσης (4.10) προκύπτει: ln T = 3 2 ln a + 1 ( ) 4π 2 2 ln GM (4.13) Άρα σε ένα διάγραμμα των σημείων (ln a, ln T ) τα σημεία πρέπει να βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή κατεύθυνσης και το σημείο τομής των αξόνων που θα πρέπει να είναι 3 και 1/2 ln 2 (4π2 /GM) αντίστοιχα. Το αφήνουμε σαν άσκηση για τον αναγνώστη. Σε περίπτωση που η αρχική ταχύτητα του σωματιδίου υπερβεί την ταχύτητα διαφυγής v e το σωμάτιο ξεφεύγει από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας. Αυτό γίνεται όταν η μηχανική του ενέργεια (4.8) είναι 0 ή όταν ve 2 = 2GM, (4.14) r

21 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ T a 3 Σχήμα 4.6: Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για GM = 10. Τα σημεία είναι οι μετρήσεις από τον Πίνακα 4.1 και η συνεχής γραμμή η αναλυτική λύση (4.10). που στην περίπτωση που εξετάζουμε με GM = 10 παίρνουμε v e Δοκιμάστε με πόση ακρίβεια μπορείτε να την προσδιορίσετε αριθμητικά παίρνοντας την αρχική ταχύτητα v 0x να πλησιάζει την παραπάνω τιμή από μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές και βλέποντας πότε περνάτε από κλειστή σε ανοιχτή τροχιά. Επαναλάβατε τη διαδικασία ενκυβοτίζοντας τα διαστήματα της αρχικής ταχύτητας για τα οποία η ενέργεια αλλάζει πρόσημο. 4.4 Σκέδαση. Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε σκέδαση σωματιδίων από ένα κεντρικό δυναμικό ². Υποθέτουμε ότι το δυναμικό αυτό έχει τροχιές που ξεκινούν από το άπειρο και καταλήγουν στο άπειρο, στο οποίο τα σωματίδια κινούνται ελέυθερα από την επίδραση της δύναμης. Έτσι αρχικά τα σωματίδια κινούνται ελεύθερα πρός την περιοχή αλληλεπίδρασης με το κέντρο της δύναμης μέσα στην οποία αλλάζουν κατεύθυνση και κινούνται πάλι έξω από αυτή σε διαφορετική διεύθυνση. Λέμε τότε ότι ²Διαβάστε το κεφάλαιο 4 του [12]

22 214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ y x Σχήμα 4.7: Σπειδοειδής τροχιά σωματιδίου που κινήται υπό την επίδραση κεντρική δύναμης F = k/r 3ˆr. το σωμάτιο σκεδάστηκε και ότι η γωνία μεταξυ της αρχικής και τελικής διέυθυνσης της ταχύτητας είναι η γωνία σκέδασης θ. Το ενδιαφέρον στην περίπτωση αυτή έγκειται στο γεγονός ότι από την κατανομή της γωνίας σκέδασης μιας δέσμης σωματιδίων μπορούμε να πάρουμε χρήσιμη πληροφορία για το δυναμικό σκέδασης. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιήται κατά κόρο στους σημερινούς επιταχυντές για την μελέτη των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων των στοιχειωδών σωματιδίων. Ο ακριβής προσδιορισμός της μορφής του δυναμικού σκέδασης με τον τρόπο αυτό αποτελεί μέρος της θεωρίας αντίστροφης σκέδασης.. Για να κατανοήσουμε τους ορισμούς είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τη σκέδαση μικρών σκληρών σφαιρών ακτίνας r 1 από άλλες σκληρές σφαίρες ακτίνας R 2. Το δυναμικό αλληλεπίδρασης³ είναι δηλαδή: { 0 r > R2 + r V (r) = 1 (4.15) r < R 2 + r 1 Υποθέτουμε ότι τα σωματίδια της δέσμης δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και ότι κατά τη σκέδαση κάθε σωμάτιο αλληλεπιδρά μόνο με ένα κέντρο σκέδασης του στόχου. Έστω J η πυκνότητα ροής ή ένταση της ³Λέγεται δυναμικό σκληρού πυρήνα (hard core potential).

23 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ. 215 θ r R 2 R+r σ Σχήμα 4.8: Σκέδαση σκληρών σφαιρών. θ είναι η γωνία σκέδασης. Δεξιά φαίνεται η συνολική ενεργός διατομή σ. δέσμης⁴ και A η διατομή της δέσμης. Έστω ότι ο στόχος έχει n σωματίδια ανά μονάδα επιφάνειας. Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης είναι σ = π(r 1 + R 2 ) 2 όπου r 1 και R 2 οι ακτίνες των σκεδαζομένων σφαιρών και των στόχων αντίστοιχα (βλ. Σχήμα (4.8) ): όλες οι σφαίρες έξω από την επιφάνεια αυτή στη δέσμη δεν σκεδάζονται από το συγκεκριμένο στόχο. Η συνολική ενεργός διατομή που παρουσιάζουν όλα τα κέντρα αλληλεπίδρασης του στόχου είναι Σ = naσ, (4.16) όπου na είναι ο συνολικός αριθμός των κέντρων του στόχου που βρίσκονται μέσα στην δέσμη. Κατά μέσο όρο ο ρυθμός σκέδασης, δηλ. ο αριθμός των σκεδάσεων ανά μονάδα χρόνου θα είναι N = JΣ = JnAσ. (4.17) Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί και τον ορισμό της συνολικής ενεργούς διατομής της αλληλεπίδρασης για οποιαδήποτε άλλη περίπτωση σκέδασης που πληρεί τις βασικές υποθέσεις που κάναμε, οι οποίες μας οδηγούν ότι αυτή είναι η ποσότητα που εξαρτάται από το είδος της αλληλεπίδρασης. Η διαφορική ενεργός διατομή ορίζεται από τη σχέση dn = JnAσ(θ) dω, (4.18) ⁴Ο αριθμός των σωματιδίων που περνούν μια επιφάνεια κάθετη στη δέσμη ανά μονάδα χρόνου και μονάδα επιφανείας.

24 216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ όπου dn ο αριθμός των σωματιδίων ανά μονάδα χρόνου που σκεδάζονται μέσα στη στερεά γωνία dω. Η συνολική ενεργός διατομή είναι v f b db v i θ Σχήμα 4.9: Σωματίδια της δέσμης που περνούν μέσα από το δακτύλιο 2πbdb σκεδάζονται μέσα στη στερεά γωνία dω = 2πsinθ dθ. σ tot = Ω σ(θ) dω = σ(θ) sin θ dθdφ = 2π σ(θ) sin θ dθ. (4.19) Στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε την κυλινδρική συμμετρία της αλληλεπίδρασης ώς προς τον άξονα της κρούσης. Καταλήγουμε στη σχέση σ(θ) = 1 dn 2π sin θ dθ. (4.20) naj Αυτή η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί πειραματικά για τη μέτρηση της διαφορικής ενεργούς διατομής μετρώντας το ρυθμό ανίχνευσης σωματιδίων μέσα σε δύο κώνους που ορίζονται από τις γωνίες θ και θ +dθ. Τη σχέση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε και στον αριθμητικό υπολογισμό της σ(θ). Για να προσδιορίσουμε τη διαφορική ενεργό διατομή από μια θεωρία, μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής γενική διαδικασία. Έστω ότι σωμάτιο βάλλεται προς το στόχο όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.9. b ονομάζεται η παράμετρος κρούσης και η τελική γωνία θ εξαρτάται από αυτή. Άρα το μέρος της δέσμης που σκεδάζεται σε γωνίες μεταξύ θ και θ + dθ βρίσκεται σε ένα κυκλικό δαχτυλίδι ακτίνας b(θ), πάχους db και εμβαδού 2πb db. Αφού έχουμε ένα σωμάτιο στο στόχο na = 1. Ο αριθμός των σωματιδίων ανα μονάδα χρόνου που περνούν μέσα από το δαχτυλίδι είναι J2πb db, άρα 2πb(θ) db = 2πσ(θ) sin θ dθ (4.21)

25 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ. 217 (το οφείλεται στο γεγονός ότι όταν το b αυξάνει το θ μικραίνει). Από τη γνώση του δυναμικού μπορούμε να υπολογίσουμε το b(θ) οπότε προκύπτει η σ(θ). Αντίστροφα, αν μετρήσουμε τη σ(θ), μπορούμε να προσδιορίσουμε την b(θ) Σκέδαση Rutherford. Η σκέδαση φορτισμένου σωματιδίου φορτίου q ( ηλεκτρόνιου ) μέσα σε δυναμικό oulomb πολύ βαρύτερου σημειακού ηλεκτρικού φορτίου Q ( πυρήνας ) ονομάζεται σκέδαση Rutherford. Στην περίπτωση αυτή το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι V (r) = 1 4πɛ 0 Q r, (4.22) το οποίο προσδίδει επιτάχυνση a στο σωματίδιο ίση με a = qq ˆr 4πɛ 0 m r α r 2 r. (4.23) 3 Η ενέργεια του σωματιδίου είναι E = 1 2 mv2 και η στροφορμή του l = mvb όπου εδώ v v i. Η σχέση μεταξύ της παραμέτρου κρούσης και της γωνίας σκέδασης βρίσκεται να είναι b(θ) = α v 2 cot θ 2, (4.24) όπου σε συνδυασμό με την (4.21) προκύπτει ότι σ(θ) = α2 4 1 v 4 sin 4 θ 2. (4.25) Αρχικά εξετάζουμε τις τροχιές σκέδασης. Τα αποτελέσματα φαίνονται ποιοτικά στο Σχήμα 4.10 στην περίπτωση που τα φορτισμένα σωμάτια έχουν ομώνυμα φορτία. Ανάλογο σχήμα προκύπτει και για ετερώνυμα φορτία, προσοχή πρέπει να δοθεί στην ακρίβεια της μεθόδου για μικρές παραμέτρους κρούσης b < 0.2 (και τις υπόλοιπες παραμέτρους όπως στο Σχήμα 4.10) όπου η γωνία σκέδασης γίνεται 1. Πολύ μεγαλύτερος αριθμός βημάτων απαιτήται για την επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας. Βρίσκουμε ότι η ποσότητα που είναι δείκτης που δείχνει την σύγκλιση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με αυτά της Σχέσης (4.24) είναι η ενέργεια, η οποία πρέπει να διατηρήται κατά την κρούση. Αυτό θα μας χρησιμεύσει όταν θα μελετήσουμε δυναμικά για τα οποία δεν έχουμε αναλυτική λύση.

26 218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ qq Σχήμα 4.10: Τροχιές σκέδασης Rutherford. Θέσαμε k1 4πɛ 0 m = 1 στο αρχείο rk2_cb.f και μελετήσαμε τις τροχιές για b = 0.08, 0.015, 0.020, 0.035, 0.080, 0.120, 0.200, 0.240, 0.320, 0.450, 0.600, Το σωμάτιο τοποθετήθηκε αρχικά στη θέση x(0) = 50 και του δόθηκε αρχική ταχύτητα v = 3. Ο αριθμός των βημάτων στην ολοκλήρωση είναι 1000 για χρόνο από 0 έως 30. Για να μελετήσουμε ποσοτικά τα αποτελέσματά μας αυξάνουμε την ακρίβεια έτσι ώστε να πετύχουμε ικανοποιητική σύγκλιση των αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων. Καταρτίζουμε έτσι τον Πίνακα Θα περιγράψουμε τώρα ένα τρόπο για τον υπολογισμό της ενεργούς διατομής χρησιμοποιώντας τη Σχέση (4.20). Εναλλακτικά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η (4.21) υπολογίζοντας την κατάλληλη παράγωγο αριθμητικά. Αυτό όμως το αφήνουμε για άσκηση στον ανήσυχο και επιμελή αναγνώστη. Ο υπολογισμός που θα κάνουμε μοιάζει να είναι πειραματικός. Τοποθετούμε ανιχνευτή που ανιχνέυει τα σωμάτια που σκεδάζονται από θ μέχρι θ + δθ. Για το λόγο αυτό χωρίζουμε το διάστημα [0, π] σε N b bins έτσι ώστε δθ = π/n b. Κάνουμε πειράματα σκέδασης μεταβάλλοντας την παράμετρο σκέδασης b [b m, b M ] με βήμα δb. Λόγω της συμμετρίας το προβλήματος, κρατάμε το φ σταθερό, οπότε δεδομένο θ αντιστοιχεί σε κώνο ανοίγματος θ και κορυφή το κέντρο σκέδασης. Παρατηρούμε σε ποια γωνία θ σκεδάζεται το σωμάτιο με το συγκεκριμένο b και καταχωρούμε τον αριθμό των σω-

27 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ. 219 b θ n θ a E/E STEPS Πίνακας 4.2: Γωνίες σκέδασης στη σκέδαση Rutherford. Θέσαμε k1 qq 4πɛ 0 m = 1 στο αρχείο rk2_cb.f και μελετήσαμε τις τροχιές για τις τιμές του b που φαίνονται στη στήλη 1. θ n είναι η γωνία σκέδασης που υπολογίζεται αριθμητικά και θ a το αποτέλεσμα της Σχέσης (4.24). E/E είναι η ποσοστιαία μεταβολή της ενέργειας λόγω συστηματικών σφαλμάτων της μεθόδου και στην τελευταία στήλη ο αριθμός των βημάτων ολοκλήρωσης για χρόνο από 0 έως 30. Το σωμάτιο τοποθετήθηκε αρχικά στη θέση x(0) = 50 και του δόθηκε αρχική ταχύτητα v = 3. ματιδίων ανά μονάδα χρόνου δn bδb, μια και αυτός είναι ανάλογος του εμβαδού του δακτυλιδιού ακτίνας b. Απομένει να υπολογίσουμε τη ροή J η οποία είναι ο συνολικός αριθμός των σωματιδίων ανά μονάδα χρόνου που δεν έιναι άλλος από J i bδb (στο λόγο δn/j η σταθερά αναλογίας και το δb απλοποιούνται) και τη στερεά γωνία 2π sin(θ) δθ. Τέλος, εύκολα χρησιμοποιήται η σχέση (4.19) για τον υπολογισμό της συνολικής ενεργούς διατομής σ tot. Ο προγραμματισμός της διαδικασίας γίνεται μεταβάλλοντας απλά το κυρίως πρόγραμμα του rk2.f το οποίο καταγράφουμε στο αρχείο scatter.f. Program that computes scattering cross-section of a central force on the plane. The user should first check that the parameters used, lead to a free state in the end. ** X20 is the impact parameter b ** A 4 ODE system is solved using Runge-Kutta Method

28 220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ b θ n θ a E/E STEPS Πίνακας 4.3: Αποτελέσματα όμοια με αυτά του Πίνακα 4.2. Η μόνη διαφορά είναι qq ότι η σκέδαση είναι μεταξύ ετερώνυμων φορτίων με 4πɛ 0m = 1. Φαίνεται η δυσκολία που αντιμετωπίζει η μέθοδος για μικρές παράμετρους κρούσης. User must supply derivatives dx1/dt=f1(t,x1,x2,x3,x4) dx2/dt=f2(t,x1,x2,x3,x4) dx3/dt=f3(t,x1,x2,x3,x4) dx4/dt=f4(t,x1,x2,x3,x4) as real*8 functions Output is written in file scatter.dat program scatter_cross_section implicit none integer P parameter(p= ) double precision T0,TF,X10,X20,V10,V20 double precision X20F,dX20!max impact parameter and step integer STEPS,PSIZE double precision T(P),X1(P),X2(P),V1(P),V2(P) integer i double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 integer Nbins,index parameter (Nbins = 20 ) double precision PI,rad2deg,angle,dangle,bins(Nbins),Npart

29 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ σ(θ) θ Σχήμα 4.11: Διαφορική ενεργός διατομή για τη σκέδαση Rutherford. Η συνεχής qq γραμμή είναι η συνάρτηση (4.25) για α = 1, v = 3. Θέσαμε 4πɛ 0 m = 1. Το σωμάτιο τοποθετήθηκε αρχικά στη θέση x(0) = 50 και του δόθηκε αρχική ταχύτητα v = 3. Γίναν 5000 βήματα ολοκλήρωσης για χρόνο από 0 έως 30. Η παράμετρος κρούσης b μεταβλήθηκε από 0.02 έως 1 με βήμα parameter (PI = D0) parameter (rad2deg=180.0d0/pi) parameter (dangle =PI/Nbins) double precision R,density,dOmega,sigma,sigmatot Input: print *,'Runge-Kutta Method for 4-ODEs Integration' print *,'Enter coupling constants:' read(5,*) k1,k2 print *,'k1= ',k1,' k2= ',k2 print *,'Enter STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20:' read(5,*) STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20 print *,'Enter final impact parameter X20F and step dx20:' read(5,*) X20F,dX20 print *,'No. Steps= ',STEPS print *,'Time: Initial T0 =',T0, ' Final TF=',TF print *,' X1(T0)=',X10, ' X2(T0)=',X20 print *,' V1(T0)=',V10, ' V2(T0)=',V20

30 222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 10 1 σ(θ) sin -4 (θ/2) Σχήμα 4.12: Διαφορική ενεργός διατομή για τη σκέδαση Rutherford όπως στο Σχήμα Η συνεχής ευθεία γραμμή είναι η 1/(4 3 4 )x από όπου είναι εμφανής η συναρτησιακή μορφή της σ(θ). print *,'Impact par X20F =',X20F,' dx20 =',dx20 open(unit=11,file='scatter.dat') do i=1,nbins bins(i) = 0.0d0 enddo The alculation: PSIZE = P Npart = 0.0D0 X20 = X20 + dx20/2.0d0!starts in middle of first interval do while (X20.lt. X20F ) call RK(T,X1,X2,V1,V2,T0,TF,X10,X20,V10,V20,STEPS,PSIZE) Take absolute value due to symmetry: angle = DABS(atan2(V2(STEPS),V1(STEPS))) Output: The final angle. heck if almost constant write(11,*) '@ ', X20, angle, $ DABS(atan2(V2(STEPS-50),V1(STEPS-50)))

31 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ. 223 $,k1/v10**2/tan(angle/2.0d0) Update histogram: index = int(angle/dangle)+1 Number of incoming particles per unit time is proportional to radius of ring of radius X20, the impact parameter: bins(index) = bins(index) + X20!db is cancelled from density Npart = Npart + X20!<-- i.e. from here X20 = X20 + dx20 enddo Print scattering cross section: R = X20!beam radius density = Npart/(PI*R*R)!beam flux density J sigmatot = 0.0D0!total cross section do i=1,nbins angle = (i-0.5d0)*dangle domega = 2.0D0*PI*dsin(angle)*dangle!d(Solid Angle) sigma = bins(i)/(density*domega) if(sigma.gt.0.0d0) write(11,*) 'ds= ',angle,angle*rad2deg,sigma sigmatot = sigmatot + sigma*domega enddo write(11,*) 'sigmatot= ',sigmatot close(11) end Η μεταγλώττιση γίνεται όπως και με την περίπτωση το rk2.f ενώ τα αποτελέσματα βρίσκονται στο αρχείο scatter.dat. Έτσι για να παράγουμε τα αποτελέσματα των Σχημάτων 4.11 και 4.12 εκτελούμε τις εντολές: > f77 scatter.f rk2_cb.f -o scatter > scatter Runge-Kutta Method for 4-ODEs Integration Enter coupling constants: k1= k2= Enter STEPS,T0,TF,X10,X20,V10,V20:

32 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Enter final impact parameter X20F and step dx20: No. Steps= 5000 Time: Initial T0 = Final TF= X1(T0)= X2(T0)= E-002 V1(T0)= V2(T0)= Impact par X20F = dx20 = E-004 και ακολούθως βλέπουμε τα αποτελέσματα με το gnuplot: > gnuplot gnuplot> set log gnuplot> plot [:1000] "<grep ds= scatter.dat" u ((sin($2/2))**(-4)): ($4) notit,\(1./(4.*3.**4))*x notit gnuplot> unset log gnuplot> set log y gnuplot> plot [:] "<grep ds= scatter.dat" u 2:4 notit, \ (1./(4.*3.**4))*(sin(x/2))**(-4) notit Τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τα αναμενόμενα από την αναλυτική έκφραση (4.25), οπότε έχουμε αρκετή αυτοπεποίθηση να μελετήσουμε διαφορετικά δυναμικά στις επόμενες παραγράφους και στις ασκήσεις Σκέδαση σε Άλλα Δυναμικά Πεδία. Ας εξετάσουμε πρώτα τη σκέδαση από μία δύναμη της μορφής F = f(r) ˆr, f(r) = { 1 r r 2 a 3 r a 0 r > a, (4.26) η οποία είναι ένα απλό μοντέλο της σκέδασης ποζιτρονίου e + (θετικό φορτιο +e) με άτομο υδρογόνου που αποτελείται από θετικά φορτισμένο πυρήνα (θετικό φορτιο +e) που περιβάλλεται από νέφος ηλεκτρονίου αντίθετου φορτίου. Φυσικά έχουμε θέσει τις κλίμακες έτσι ώστε m e + = 1 και e 2 /4πɛ 0 = 1. Στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε αναλυτική λύση οπότε θα χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό των συναρτήσεων b(θ), σ(θ) καθώς και της συνολικής ενεργού διατομής σ tot. Η δυναμική ενέργεια δίνεται από τη σχέση: dv (r) f(r) = dr V (r) = 1 r + r2 2a 2 3 2a. (4.27)

33 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ. 225 όπου επιλέξαμε V (r) = 0 για r a. Ο προγραμματιμός της δύναμης γίνεται εύκολα στο αρχείο rk_hy.f: The acceleration functions f3,f4(t,x1,x2,v1,v2) provided by the user Motion in hydrogen atom + positron: f(r) = 1/r^2-r/k1^3 ax= f(r)*x1/r ay= f(r)*x2/r double precision function f3(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r2,r,fr r2=x1*x1+x2*x2 r =dsqrt(r2) if(r.le.k1.and. r2.gt.0.0d0)then fr = 1/r2-r/k1**3 else fr = 0.0D0 endif if(fr.gt.0.0d0.and. r.gt.0.0d0)then f3=fr*x1/r!dx3/dt=dv1/dt=a1 else f3=0.0d0 endif end double precision function f4(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r2,r,fr r2=x1*x1+x2*x2 r =dsqrt(r2) if(r.le.k1.and. r2.gt.0.0d0)then fr = 1/r2-r/k1**3 else

34 226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ fr = 0.0D0 endif if(fr.gt.0.0d0.and. r.gt.0.0d0)then f4=fr*x2/r!dx3/dt=dv1/dt=a1 else f4=0.0d0 endif end double precision function energy(t,x1,x2,v1,v2) implicit none double precision t,x1,x2,v1,v2 double precision k1,k2 common /couplings/k1,k2 double precision r,vr r=dsqrt(x1*x1+x2*x2) if( r.le.k1.and. r.gt.0.0d0)then Vr = 1/r + 0.5D0*r*r/k1**3-1.5D0 / k1 else Vr = 0.0D0 endif energy = 0.5D0*(v1*v1+v2*v2) + Vr end Τα αποτελέσματα δίνονται στα Σχήματα Βρίσκουμε ότι σ tot = πa 2 (Άσκηση 4.9). Ένα άλλο δυναμικό που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι το δυναμικό Yukawa ως φαινομενολογικό μοντέλο πυρηνικών αλληλεπιδράσεων: V (r) = k e r/a. (4.28) r Το πεδίο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως μοντέλο ενεργούς αλληλεπιδράσεως των ηλεκτρονίων στα μέταλλα (Thomas Fermi) ή το δυναμικό Debye στο κλασικό πλάσμα. Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα υπό την επίδραση του δυναμικού αυτού είναι: F (r) = f(r) ˆr, f(r) = k (1 e r/a + r ) (4.29) r 2 a Ο προγραμματισμός της δύναμης γίνεται στο αρχείο rk2_yu.f κατά απόλυτη αναλογία με την προηγούμενη περίπτωση. Τα αποτελέσματα φαίνονται στα Σχήματα

35 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ θ b Σχήμα 4.13: Η συνάρτηση b(θ) για το δυναμικό της Σχέσης (4.27) για διαφορετικές τιμές της αρχικής ταχύτητας v. Έχουμε επιλέξει a = 1 και η ολοκλήρωση γίνεται σε 4000 βήματα από t i = 0 έως t f = 40 με x(0) = 5. Δίνεται συγκριτικά η σχέση (4.24) της σκέδασης Rutherford από τις καμπύλες μαρκαρισμένες ως cb.

36 228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ σ(θ) θ Σχήμα 4.14: Η συνάρτηση σ(θ) για το δυναμικό της Σχέσης (4.27) για διαφορετικές τιμές της αρχικής ταχύτητας v. Έχουμε επιλέξει a = 1 και η ολοκλήρωση γίνεται σε 4000 βήματα από t i = 0 έως t f = 40 με x(0) = 5.

37 4.4. ΣΚΕΔΑΣΗ yu v= 4.0 cb v= 4.0 yu v=15.0 cb v= θ e b Σχήμα 4.15: Η συνάρτηση b(θ) για το δυναμικό Yukawa για διαφορετικές τιμές της αρχικής ταχύτητας v. Έχουμε επιλέξει a = 1, k = 1 και η ολοκλήρωση γίνεται σε 5000 βήματα από t i = 0 έως t f = 30 με x(0) = 50.

38 230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ θ e-04 1e-05 1e b Σχήμα 4.16: Η συνάρτηση b(θ) για το δυναμικό Yukawa για διαφορετικές τιμές της έκτασης a της δύναμης. Έχουμε επιλέξει v = 4.0, k = 1 και η ολοκλήρωση γίνεται σε 5000 βήματα από t i = 0 έως t f = 30 με x(0) = 50.

39 4.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις 4.1 Αναπαράγετε τα αποτελέσματα των Σχημάτων 4.3 και 4.4. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με την γνωστή αναλυτική λύση. 4.2 Προγραμματίστε τη δύναμη που αισθάνεται φορτισμένο σωματίδιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B = Bˆk και μελετήστε την τροχιά του για v(0) = v 0x î+v 0y ĵ. Για x(0) = 1, y(0) = 0, v 0y = 0 υπολογίστε την ακτίνα της τροχιάς και φτιάξτε γράφημα της σχέσης ακτίνας τροχιάς και v 0x. Συγκρίνετε με αυτό που αναμένετε από τον αναλυτικό υπολογισμό. (Μη σχετικιστικός υπολογισμός) 4.3 Μελετήστε τον ανομοιογενή αρμονικό ταλαντωτή a x = ω 2 1x, a y = ω 2 2y. Αναπαράγετε τις καμπύλες Lissajoux παίρνοντας x(0) = 0, y(0) = 1, v x (0) = 1, v y (0) = 0, t f = 2π, ω 2 2 = 1, ω 2 1 = 1, 2, 4, 9, 16,.... Τι γίνεται όταν ω 2 1 nω 2 2? 4.4 Αναπαράγετε τα αποτελέσματα του Πίνακα 4.1 και των Σχημάτων 4.5 και 4.6. Φτιάξτε διάγραμμα των ποσοτήτων ln ln και υπολογίστε την κλίση της ευθείας που θα προκύψει με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Είναι αυτή που περιμένετε? Υπολογίστε το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα και συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με το αναμενόμενο. 4.5 Υπολογίστε τη στροφορμή σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης στην πλανητική κίνηση και μελετήστε αν πράγματι διατηρήται. Δείξτε (αναλυτικά) ότι η διατήρηση της στροφορμής συνεπάγεται ότι το διάνυσμα θέσης του πλανήτη σαρώνει επιφάνεια με σταθερό ρυθμό. 4.6 Υπολογίστε την ταχύτητα διαφυγής v e για GM = 10.0, y(0) = 0.0, v x (0) = 0 συναρτήσει της αρχικής απόστασης x 0 = x(0). Φτιαξτε διάγραμμα των ποσοτήτων ln x 0 ln v e και υπολογίστε την κλίση και το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με τα αναμενόμενα. (Υποδ.: Παρατηρήστε ότι η ενέργεια για v 0 > v e γίνεται αρνητική.) 4.7 Εξετάστε αν για την κλειστή τροχιά του πλανήτη με GM = 10.0, x(0) = 1, y(0) = 0.0, v x (0) = 0, v y (0) = 4 ισχύει η ορίζουσα ιδίοτητα της έλλειψης F 1 P +F 2 P = 2a. Ως σημείο F 1 θα πάρετε το κέντρο της δύναμης και αφού προσδιορίσετε αριθμητικά το a θα πάρετε ώς F 2 το σημείο που είναι συμμετρικό ως προς το κέντρο της έλλειψης.

40 232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 4.8 Θεωρήστε την κίνηση πλανητών σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση. Εφαρμόστε στιγμιαία ώθηση στην εφαπτόμενη διεύθυνση της τροχιάς αφού ο πλανήτης εκτελέσει περίπου 1/4 της τροχιάς του. Πόσο ευσταθής είναι η τροχιά στην ώθηση (δηλ. ποιά είναι η εξάρτηση της τροχιάς από το μέγεθος/διάρκεια της ώθησης)? Επαναλάβατε την ανάλυση όταν η ώθηση είναι στην κάθετη διεύθυνση. 4.9 Θεωρήστε το δυναμικό σκέδασης ποζιτρονίου υδρογόνου της σχέσης (4.26). Φτιάξτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(r) καθώς και της V (r) για διαφορετικές τιμές του a. Υπολογίστε αριθμητικά τη συνολική ενεργό διατομή σ tot και δείξτε ότι είναι ίση με πa Θεωρήστε το δυναμικό Morse που χρησιμοποιείται σε μοντέλα διατομικών μορίων: V (r) = D (exp( 2αr) 2 exp( αr)) (4.30) με D, α > 0. Λύστε αριθμητικά το πρόβλημα αρχικά στη μία διάσταση και συγκρίνετε με τις γνωστές αναλυτικές λύσεις για ενέργεια E < 0: { x(t) = 1 α ln D D(D E ) sin(αt } 2 E /m + ) (4.31) E με τη σταθερά ολοκλήρωσης να δίνεται σα συνάρτηση της αρχικής θέσης και της ενέργειας από [ ] = sin 1 D E e αx 0. (4.32) D(D E ) Η κίνηση είναι περιοδική με περίοδο που εξαρτάται από την ενέργεια = (π/α) 2m/ E. Για > 0 έχουμε { x(t) = 1 } D(D + E) cosh(αt 2E/m + ) D α ln (4.33) E ενώ για E = 0 x(t) = 1 { } 1 α ln 2 + Dα2 (t + )2. (4.34) m Στις τελευταίες σχέσεις η σταθερά ολοκλήρωσης δίνεται από άλλη σχέση και όχι από την (4.32). Μελετήστε την κίνηση στο χώρο των φάσεων (x, ẋ) και μελετήστε τη μετάβαση από ανοιχτές σε κλειστές τροχίες του συστήματος.

41 4.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στην προηγούμενη άσκηση θεωρήστε τον όρο του ενεργού δυναμικού V eff (r) = l 2 /2mr 2 (l L ). Κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης V tot (r) = V (r) + V eff (r) για D = 20, α = 1, m = 1, l = 1, φυσικά για r > 0. Προσδιορίστε τη θέση ισορροπίας και την ενέργεια ιονισμού. Mελετήστε αριθμητικά τις λύσεις x(t), y(t), y(x), r(t) στο επίπεδο για > 0, = 0, και < 0. Στην τελευταία περίπτωση μελετήστε και το πρόβλημα σκέδασης, υπολογίζοντας αριθμητικά τη συνάρτηση b(θ), σ(θ) και τη συνολική ενεργό διατομή σ tot Θεωρήστε τη δύναμη F (r) = f(r) ˆr όπου f(r) = 24(2/r 13 1/r 7 ) η οποία είναι μοντέλο μοριακού δυναμικού. Υπολογίστε το δυναμικό V (r) και κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης V tot (r) = V (r) + V eff (r). Προσδιορίστε τη θέση ισορροπίας και την ενέργεια ιονισμού. Μελετήστε το πρόβλημα σκέδασης, υπολογίζοντας αριθμητικά τη συνάρτηση b(θ), σ(θ) και τη συνολική ενεργό διατομή σ tot. Πόσο εξαρτάται ο υπολογισμός σας από την ελάχιστη γωνία σκέδασης? 4.13 Μελετήστε την κίνηση σωματιδίου υπό την επίδραση ελκτικής κεντρικής δύναμης F = k/r 3ˆr. Εξετάστε με ποιές αρχικές συνθήκες παίρνετε σπειροειδή τροχιά Υπολογίστε τη συνολική διαφορική διατομή σ tot αναλυτικά και υπολογιστικά για την σκέδαση Rutherford. Τι παρατηρήτε στην αριθμητικά υπολογισμένη τιμή καθώς μεταβάλλετε τα όρια της ολοκλήρωσης? 4.15 Γράψτε πρόγραμμα που θα υπολογίζει την τροχιά φορτισμένου σωματιδίου όταν αυτό κινήται σε ηλεκτρικό πεδίο oulomb που δημιουργήται από N ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία.

42 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.

Ενότητα 3 (μέρος 2 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 2 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 2 ο ) Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Runge Kutta για την Κίνηση στο Επίπεδο

5.1 Runge Kutta για την Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κίνηση στο Επίπεδο Στο κεφάλαιο αυτό θα επεκτείνουμε τη μελέτη του προηγούμενου κεφαλαίου στη μελέτη κίνησης σωματιδίου υπό την επίδραση δύναμης στο επίπεδο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο )

Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 3 (μέρος 1 ο ) Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Runge Kutta για την Κινηση στο Επίπεδο

5.1 Runge Kutta για την Κινηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κίνηση στο Επίπεδο Στο κεφάλαιο αυτό θα επεκτείνουμε τη μελέτη του προηγούμενου κεφάλαιου στη μελέτη κίνησης σωματιδίου υπό την επίδραση δύναμης στο επίπεδο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Στις παρενθέσεις δίνονται τα μόρια του κάθε ερωτήματος. Σε ένα σωματίδιο που κινείται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 16 Φεβρουαρίου, 11 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, 9 Μαΐου 01 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία bonus ερωτήματα Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Περιγραφή της Κίνησης Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε πώς να προγραμματίσουμε απλές εξισώσεις τροχιάς ενός σωματιδίου και πώς να κάνουμε βασική ανάλυση των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 017 Πρόβλημα Α Ένα σημειακό σωματίδιο μάζας m βάλλεται υπό γωνία ϕ και με αρχική ταχύτητα μέτρου v 0 από το έδαφος Η κίνηση εκτελείται στο ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 Καλή σας επιτυχία. Σύνολο πόντων 130. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Πρόβλημα Α 1. Να γραφεί το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εξισώσεων Νεύτωνα

4.1 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εξισώσεων Νεύτωνα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κίνηση Σωματιδίου Στο κεφάλαιο αυτό μελετάται αριθμητικά η επίλυση των κλασικών εξισώσεων κίνησης μονοδιάστατων μηχανικών συστημάτων, όπως λ.χ. αυτή του σημειακού σωματιδίου σε μια ευθεία, του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης.

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης. ΠΕΙΡΑΜΑ 5 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης. Σκοπός του πειράματος Σκοπός του πειράματος είvαι vα μελετηθούν τα βασικά φυσικά μεγέθη της μεταφορικής κίνησης σε μία διάσταση. Τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία 1 =2μC και 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Κίνηση Σωματιδίου. Υπολογιστική Φυσική Ι. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος

Κεφάλαιο 3: Κίνηση Σωματιδίου. Υπολογιστική Φυσική Ι. Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Φυσική Ι Κεφάλαιο 3: Κίνηση Σωματιδίου Αναγνωστόπουλος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β.

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β. 1) Αρνητικά φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έκτασης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η κατεύθυνση της κίνησης του σωματίου παραμένει σταθερή, τότε: α. Συμπίπτει με την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Λύσεις Ενδιάμεσης Εξέτασης Χ. Παναγόπουλος 12/3/2015

ΦΥΣ 145 Λύσεις Ενδιάμεσης Εξέτασης Χ. Παναγόπουλος 12/3/2015 Οι εντολές είναι: ΦΥΣ 145 Λύσεις Ενδιάμεσης Εξέτασης Χ. Παναγόπουλος 12/3/2015 ls -l../lab3/*/data* cp../lab3/*/plot*../lab3 mkdir../lab1/plot grep FORMAT../*/prog*.f chmod o+r../lab*/*/plot2 cd../lab3/exercise1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα. Φαινόμενα μεταφοράς Ορισμοί. Ενεργός διατομή 3. Ενεργός διατομή στο μοντέλο των σκληρών σφαιρών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός του διαγράμματος διαστήματος χρόνου s(t) ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση. Υπολογισμός της κλίσης της καμπύλης s(t) σε μια τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : AΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ο J.J. Thomson πρότεινε στο ομώνυμο πρότυπο του πυρήνα ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται μηχανικά σε σταθερές τροχιές με ισοδύναμο θετικό φορτίο κατανεμημένο ομογενώς στη μάζα του

Διαβάστε περισσότερα

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 15 Α. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Στο χλωριούχο νάτριο (NaCl) η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του ιόντος Να + και του ιόντος του Cl - είναι 2,3.10-10 m. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό.

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Q1-1 Δύο προβλήματα Μηχανικής (10 Μονάδες) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Μέρος A. Ο Κρυμμένος Δίσκος (3.5 Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 26 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Μαΐου, 2012 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: 1) Είναι πολύ σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα.

1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα. 1)Σε ένα πυκνωτή, η σχέση μεταξύ φορτίου Q και τάσης V μεταξύ των οπλισμών του, απεικονίζεται στο διάγραμμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι: α. 5 F, β. 1 / 5 μf, γ. 5

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h)

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h) Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 3ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος December 5, 215 1 Άσκηση Σφαιρικός αστέρας με

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Μεταβλητές και πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Μεταβλητές και πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Μεταβλητές και πράξεις Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΓΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, πριλίου, Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: ) Είναι πολύ σημαντικό να δηλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 15 Μαίου 2013

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 15 Μαίου 2013 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 15 Μαίου 013 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Υποπρογράμματα. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Υποπρογράμματα. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Υποπρογράμματα Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 1 Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα q Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F() =! GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V () =! GMm q Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς

Διαβάστε περισσότερα

Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης περιγράφεται σωστά από το νόμο Coulomb

Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης περιγράφεται σωστά από το νόμο Coulomb Σημαντικό!!!!!!!! Με βάση το νόμο Coulomb υπολογίζουμε τη δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτισμένα σωματίδια οποία είναι ακίνητα Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2003 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 3 Θέµα 1 (5 µονάδες) Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις µε συντοµία και σαφήνεια Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου (α) Η ταχύτητα ενός

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα