Elementi atomske i kvantne fizike

Transcript

1 Elekroehnčk fkule u Beogru Ker z Mkroelekronku ehnčku fzku Elemen omske kvnne fzke Dr Dejn Gvozć

2 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke. Isorjsk perspekv. 900 R M Plnck- n prolemu zrčenj crnog el uvođenje kvn energje.. 93 Nels Bohr Prelog moel om s kvnovnm elekronskm orm Prv kvnn mehnk se memčkh koncepulnh l je svoren o 98. Gone. Osnovne posvke kvnne mehnke. Kvnzcj. Dulnos 3. Neoređenos.. Kvnzcj Velčne mkroskopskog sve su konnulne energj mpuls momen mpuls... l ov oson NE vž u mkrosveu ge su velčne uglvnom skrene-kvnovne. Isorjsk ov oson mkrosve l je pozn pre nsnk Kvnne mehnke: nkon nsnk spekroskopje 900. gone poslo je pozno je zrčenje z om molekul rzlčh oj frekvencj. Kko je ov oson okzn? Kroz rzvoj moel om.. Njsrj moel om su l J.J. Thomson n Lor Kelvn 904. gone zv. pung o šljve ge su elekron šljve smešen u msu o pozvnog nelekrsnj pung.. Ernes Ruherfor je 9. gone zog velkog rsejnj α snop zključo je pozvno nelekrsnje om skoncenrsno u mloj zpremn zv. nukleusu elekron kruže oko njeg ko plnee oko sunc. Noelovu ngru je oo z svoj r n rzumevnju rokvnos 908. gone.

3 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 3 3. Nels Bohr je 9. gone nkon posee Ruherforu preložo nov moel koj se rzlkuje o prehonog po ome šo vr elekron ne emovo energju zog urznog krenj. Energj se emuje smo on k m oređenu vrenos. To znč elekron m skrene nvoe energje u omu. Promen energje se ovj po uzoru n Plnck-ov moel zrčenj. Ekspermenln okz kvnzcje-94. gone: Posvk ekspermen: Jmes Frnck Gusv Herz U ekspermenu koj su sprovol u perou o nekolko gon Frnck Herz su pokušvl zmere jonzcon poencjl rzlčh om. Tom prlkom su korsl cev koj je l spunjen omm nekog gs l omm mel u form pre njčešće žve Hg. Prmenom ermoelekronske emsje koj se posže elekrčnm grejnjem koe formr se elekronsk olk u njenoj okoln. Broj ko svorenh elekron je srzmern sruj koj zgrev kou. Ano koj se nlz n všem poencjlu o koe urzv elekrone koj su svoren u njenoj okoln čme on sču knečku energju koj je oređen rzlkom poencjl zmeđu noe koe. N svom puu k no elekron ožvljvju sure s omm žve. Ov sur mju uglvnom elsčn krker sve ole ok elekron u spoljšnjoj vlennoj orl om žve ne sekne u surm ovoljnu energju pređe n neko vše poujeno snje eksovno snje l kko su verovl Frnck Herz ne ue jonzovn popuno ovojen o osk om. U sucj k nsup neelsčn sur elekron koj su krenul s koe ožvel sur s omom žve gue energju vju prkupljen rešekom koj se nlz n nešo mlo všem poencjlu o poencjl noe. Ov rešek m mlu površnu ko u sucj k su elekron ovoljno rz onosno k nsu ožvel neelsčne sure s omm žve ne uče n prook sruje zmeđu noe koe. U ekspermenu je rzmrn zvsnos sruje zmeđu noe koe u funkcj o npon zmeđu njh. Rešek je uvek n fksnom poencjlu u onosu n nou. K rse npon zmeđu noe koe rse knečk energj elekron koj s koe u k no. Ako je npon ovoljno velk ovko urzn elekron mogu u surm s omm

4 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 4 žve eksov jen l vše om žve. Ako je preosl knečk energj ovoljno velk on će proć kroz rešeku ps n nou l ko m je preosl energj ml l lsk nul on će ps n rešeku me će sruj kroz nou smnjen. Energj ekscje u omu žve znos 4.9 ev šo je energj poren se elekron u omu pou s osnovnog n prvo vše snje. To znč će pr nponu o 4.9 V l celorojnom umnožku ovog npon oć o nenzvnh neelsčnh sur koj će z poslecu m elekrone koj nsu u snju opru o noe smm m pojvu smnjenj sruje z vrenos npon koje su nešo mlo vše o ovh krčnh vrenos. Rezul ovog ekspermen prkzn je n slc ge se jsno v nkon krčne vrenos sruj nglo p s porsom npon on ponovo počnje rse jer elekron nkon sur mju sve vše energje lkše opru o noe prevzlzeć poencjl rešeke. Iko ovj ekspermen nje okro jonzcone energje pojenh om njegov znčj je u ome šo je pokzo su energesk snj u omm skren ko energje prelz zmeđu pojenh snj... Dulnos Njunov mehnk česc njeno snje su efnsn k su pozne njen koorn mpuls l rzn. Poznvnje snj česce porzumev prosornu loklzcju onosno prenos energje kroz prosor vreme ko koncenrsnog pke. Prenos ovog pke oređen je rjekorjom česce. Tls nem prosorne loklzcje energje. Tls poseuje energju mpuls l ne loklzovne već rspoeljene u lsnom fronu. Pore og ls poleže frkcj nerferencj. Prmer: Elekromgnesk ls recmo svelos prosru se kroz prosor u vu ls koj nose energju srurnu preko konnulnh neloklzovnh sfernh lsnh fronov Jmes Clerk Mwell U 9. veku je elovlo Mwell-ov eorj elekromgneskh ls može opše sve relevnne fenomene gone Phlpp Lenr osveljvo je melnu folju svelošću rzlčh oj u clju efksnjeg ojnj konh zrk kko se ksnje okrlo elekron je uočo fooefek smo neke oje ovoe o pojve emsje elekron z melnh folj.

5 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke gone Aler Ensen vskrsv eju o česčnoj prro svelos ko šo preposvlj elekromgnesk ls olz n folju u energeskm pkem koje nzv foonm čj energj prem Plnck-u zvs o učesnos svelos. Ensen je 9. Gone oo Noelovu ngru z ojšnjenje fooefek. Plnck-ov zkon zrčenj crnog el Po crnm elom porzumev se ojek koje neprekno psoruje reemuje energju. Krjem 9. vek posvljlo se pnje učesnos elekromgneskh ls koje ovkv ojek zrč. Klsčn eorj prevđ energj zrčenj n oj lsnoj užn rse s porsom učesnos Rylegh-Jens-ov formul zv. ulrljučs ksrof. Ono šo je Plnck želeo ore je spekrln gusn zrčenj: W.Wen E ρ ν T Vν 3 ρ ~ν J.Šefn ρ V ~ T Plnck-ov moel No.: molekul z šupljne ponšju se ko osclor s nelekrsnjem šo ovo o zrčenj ovh molekul l je energj koju mogu emuju l prme konnuln ovu energju on mogu rzmenjuju s okolnom zrčenjem: Aν ρ ν T ep Bν / T 3 Plnck-ov moel No.: U clju eorjskog ojšnjenj Plnck polz o II zkon ermonmke enropje Luvg Bolzmn T uspev ojsn prehone zkone l smo k preposv je energj pojenčnog osclor končn skren qun pr ome zvs o učesnos ν ko hν ne ež 0 kko je prehono mslo. Tme je nevoljno neverujuć u svoj r poso oc kvnne mehnke. Ipk je z svoj r oo Noelovu ngru 98. gone. 8πν ρ ν T 3 c hν ep hν / k B T

6 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 6 Ensen je prhvo Plnck-ov zkon ez oklevnj kroz fooelekrčn efek povro energj elekromgnenog ls olz u kvnm šo je krkersk česc! Svelos m česčnu prrou!!! 93. gone Arhur H. Compon proučvo je rsejnje X-zrk rengensko zrčenje λ ~ 0-0 m mero pomerj lsne užne X zrk usle rsejnj. Prmenom lsne eorje nje lo moguće ojsn fenomen l je prmenom eje o foonu ko česc klsčnom eorjom sur pokzo je promen lsne užne očekvn rezul. Dfrkcj elekron Ovj ekspermen povrđuje osm foon rug mkroojek mju lsnu prrou uuć je frkcj krkersk ls. 97. gone Dvsson Germer nlzrju frkcju elekronskog snop s peročnom površnskom srukurom o nkl prmećuju čkce n zsoru koje nsu fuzono rsejne već prvlno rspoređene u koncenrčnm prsenovm. posvk ekspermen: Dfrkcj elekron n prorez

7 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 7 Š se ešv u oku vremen n eekoru? česčn prro 8 elekron u krćem vremenskom perou lsn prro 0000 elekron u užem perou Preposvmo je rzn kojom elekron zlze z zvor vrlo ml ko elekron jen po jen pju n eekor šo n prmer ogovr sucj o nekolko elekron u jenc vremen. Ako elekron l ls ko šo su n prmer foon on se posle zvesnog vremen n eekoru pojvl le nerferenn slk koj kko vreme prolz posjl sve jč jč. Međum o se ne ešv! Ono šo se može ve nkon nekog vremen su čkce koje pokzuju elekron nsu ls jer lsm ogovr neloklzovn lsn fron ne koncenrsn merj energj. U oku krkog vremenskog pero eluje se elekron slučjno rspoređuju po eekoru šo je smo prv! Posle ovoljno ugo vremen svr se nerferenn slk koj pokzuje se elekron nsu slučjno rspoređvl po eekoru već su prl rspoelu oređenu nerferencjom neke vrse ls. To pokzuje je poren ovoljno velk roj elekon l ovoljno ugo vremen se formrl ssčk relevnn nerferencjsk slk. Moguć zključk: U krkom vremenskom nervlu elekron se ponšju ko česce ok se u užem perou ponšju ko ls. D l elekron prolz kroz prv l rug procep? D l međusono nerguju?... Elekron ko nerferr sm s soom l n eekor p ko jensven česc!!! N svom puu prolz kroz o procep čnje prepoznje prsusvo o procep ponš se po lsnm zkonm!!! Ako je procep kroz koj elekron prolz pozn NE formr se nerferenn slk!!! 93. gone Prnce Louse e Brogle zključuje ko su foon elekron ls česce on se rug ojek slčnh menzj mogu ops n s nčn. Po njemu ovm ojekm je moguće pruž kko h on nzv "merjlne lse"??? "Merjln ls" mju svoju lsnu užnu: λ h / p 96. gone M Born je umčenje e Brogle-vh ls. On posvlj sleeć pnj: o o Kko ojsn pojvu nerferencjske slke ko ne možemo nešo superponrmo? D l su o mož merjln ls? Pošo se nerferencjsk slk oj s ovoljno velkm rojem elekron on se ovkvo ponšnje može ops eorjom verovnoće.

8 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 8 o o o Svk prolz kroz procep je jen "ogđj" s spek verovnoće moguće g je ops funkcjom gusne verovnoće. Deekor mer rspoelu verovnoće položj elekron polzeć o nenze slke koj se oj. Ole sle se prncp superpozcje nerferencj mogu proumč ko superpozcj rspoel verovnoć Verovnoć ~ ls.3. Neoređenos Inenze merjlnh ls e Brogle- je pozconu verovnoću česce!!! U klsčnoj fzc ssem je skup česc koje nerguju zmeđu see puem unuršnjh sl mogu nerguju s okruženjem preko spoljšnjh sl. Česc je neeljv čks ms koj poseuje nz fzčkh oson koje se mogu mer zv. oservle. Skup oservl opsuje snje. Snje ssem je skup snj česc koje g čne. Prem klsčnoj fzc sve osone česce mogu se ore s prozvoljnom eskončnom precznošću. Smo je pnje ekspermenlne ehnke l precznos nsrumen. Ole je nše znnje o fzčkom unverzumu lmrno smo oservlm ne smom prroom. Isho svkog merenj je u klsčnoj fzc prevljv kroz rjekorju. Trjekorju svke česce oređuje pozcj česce r mpuls p. Trjekorj {r p; 0 } p m r mv m r V r sle n počen ms zmeđu česc uslov Trjekorj {r p; 0 }

9 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 9 Klsčn fzk opsuje unverzum ko ojekvnu relnos nezvsnu o posmrč. Pr ome posmrč ono šo se posmr uz ovoljnu pžnju mogu učn u nerkcju znemrljvom. Polzeć o Njunovh zkon poznjuć počene uslove ez ozr n komplkcje moguće je preve uućnos eermnzm. Ove sle je z svk ogđj moguće nć njegov uzrok uć u prošlos kuzlnos. Mrčn srn eermnzm sve nm je već unpre suđeno cljev ne su relevnn ljuske želje uzlune. Ovj eermnzm je prlčno osn!!! N sreću pogrešn!!! Duln prro suomskh česc porv klsčn koncep česce. U prncpu osone kvnnh česc nsu u popunos efnsne sve o momen ok se ne zmere. One su pre poencjlne l lenne skrvene sve ok se ne zmere. Z rzlku o klsčnog snj kvnno snje je skup konglomer vše mogućh sho. Zo se kvnno snje efnše preko verovnoće. Kvnno snje je u ssčko neopsuje efnvne shoe pojenčnh merenj već moguće rezule merenj n velkom roju enčnh ssem. Merenje pozcje pojenčne česce je z rezul jenu vrenos. T s rzlogom vrmo znmo pozcju česce l ne znmo nš o ome š je preholo merenju - p se ne može govor o pozcj pre merenj. Tko pozcj koj je l skrven l poencjln u oku merenj posje pojenčn čno efnsn Nem jsno efnsne prošlos Tokom merenj mkroskopsk ssem se ne može posmr ez neposrene nerkcje promene snj smog ssem l česce. Efek posmrč n ssem se NE može smnj n 0 šo je još gore n konrols. Pojm rjekorje kvnne česce. Z oređvnje rjekorje poreno je zn 0 p 0. Ekspermen se ponvlj n većem roju enčnh česc l pore og rzlč merenj ovoe o rzlčh rezul ko je ssem enčn??!! Prem klsčnoj fzc flukucj rezul oko neke srenje vrenos ns ne zrnjv jer verujemo o ko želmo možemo elmns. Prem kvnnoj fzc ne možemo jenoznčno ore vrenos ovh oservl z mkroskopsku čescu Hesenerg-ov prncp neoređenos pokzuje svk pokušj se sovremeno oree p ovo o nečnos u merenju. Δ Δp h π Hesenerg 97. gone prncp neoređenos

10 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 0 3. Posul kvnne mehnke U clju uvođenj posul kvnne mehnke rzmorćemo još jenom ekspermen frkcje elekron. Pr ome ćemo poć o Bornovog umčenj merjlnh ls hpoeze koj se nslnj n ovo umčenje. Hpoez: Ponšnje elekron je opsno lsom verovnoće. U svkom renuku ov funkcj oređuje ls čj kvr mplue oređuje verovnoću položj elekron n mesu. U ekspermenu s frkcjom eekor mer nenze ls j. kvr njegove mplue. Posmr se posvk snrnog ekspermen frkcje n v usk prorez koj se nlze n rsojnju. Deekor koj snm frkconu slku nlz se n rsojnju L o zklon s prorezm. Slk. Posvk ekspermen frkcje n v prorez Nek je roj elekron po jenc užne koj p n eekor k je smo jen o prorez ovoren oređen kvrom moul funkcj koje mju formu Guss-ove rspoele: + ep ep k + + L 4 π σ σ ep ep[ k + L 4 π σ σ Pr ome je P ~ funkcj koj oređuje rspoelu elekron roj elekron po jenc užne už ose k je ovoren prv lev prorez zvoren rug esn prorez ok je P ~ funkcj koj ogovr ornuom slučju zvoren prv ovoren rug prorez. Deo funkcj oređen fkorom ]

11 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke ± ep π σ σ 4 presvlj mpluu funkcje ok fkor ep[ k + L presvlj fzn eo koj zvs o rsojnj posmrne čke n eekoru o prorez kroz koj elekron prolze. Umeso gore nveene hpoeze sucje u kojoj su o prorez sovremeno ovoren posmrćemo sucju u kojoj je smo jen o prorez ovoren preposvćemo n renuk se elekronu oeljuje verovnoć je pogoo u čku n eekoru nkon prolsk kroz lev P onosno esn prorez P. T je ukupn verovnoć nlženj elekron u oj čk eekor k su o prorez sovremeno ovoren oređen zrom superpozcjom verovnoć koje ogovrju sucjm k je smo jen o prorez ovoren. Dkle ukupn rspoel prkzn n slc pun lnj ogovr zru rspoel koje se ojju k je smo jen o prorez ovoren sprekne lnje uz preposvku je vreme u oku kog je svk o prorez prohon z elekrone jenko u o slučj. ] Slk. Verovnoće nlženj česce u oj čk eekor k je ovoren smo jen o prorez sprekne lnje. Superpozcj verovnoć z ovoren smo jen o prorez ogovr sucj k su sovremeno ovoren o prorez pun lnj. Ov rspoel ne ogovr rezulu koj se oj u ekspermenu. Ove verovnoće ogovrju onome šo se olo k se z svk elekron pojenčno uvrđvlo l će kroz koj prorez prođe koju čku už eekor će pogo. U sklu s m je rezul koj u sušn prozlz z osone neoređenos koj vr ko smo uspel uvrmo kroz koj prorez je elekron prošo neće oć o formrnj nerferenne slke jer je ekspermen nrušen smm posmrnjem njegovog sho. Rspoel prkzn n slc ne ogovr onome šo se oj k su o prorez sovremeno ovoren. Ako se ponovo vrmo n počenu hpoezu on zključujemo umeso superponrnj verovnoć usvr re superponr

12 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke merjlne lse. Rspoel elekron u ekspermenu frkcje oređen je kvrom moul superponrnh merjlnh ls pr čemu nje moguće uze smo mplue ls već njhove fze. Tčnje ojen slk rspoele oređen je relcjom: P ~ ge je funkcj +. Ovj rezul prkzn je n slc 3 s jsno vljvm rezulm nerferencje. Slk 3. Superpozcj merjlnh ls u ekspermenu frkcje elekron n v prorez Funkcje koje su zrne u ovom prmeru u prncpu mogu zgle rugčje l se u svkom slučju može prmen s formlzm. U slučju k su funkcje ~ ep ~ ep α olz se o og je: α P ~ cos α α šo pokzuje monoon rs l opnje fzne rzlke ovo o osclorne forme nneze frkcone slke. Funkcj snj opsuje snj koj se mogu fzčk relzov zove se još vekor snj - Prv posul kvnne mehnke KM: Svko snje ssem koje se može fzčk relzov u KM se opsuje funkcjom koj srž sve osupne nformcje fzčke prroe o ssemu u om snju. Ne možemo zn š sve l ono šo znmo o ssemu je sržno u. može p E m njčešće korsmo položjvreme: D prosor: 3D prosor: r Mnošvo česc: r r...

13 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 3 Prncp superpozcje: Ako presvljju snj koj se fzčk mogu relzov on je snje C + C reće snje koje se može relzov u ssemu ge su C C prozvoljne kompleksne konsne. Ako je moguće relzov N snj on je... N novo snje: N C Drug posul kvnne mehnke: nčn kko zvuć nformcje z! Ako je ssem u nekom kvnnom snju presvljen lsnom funkcjom on je V verovnoć će se česc nć u nfnezmlnoj zpremn V. V D yz 3D y y z z... D prosor 0 : 3D prosor r 0 : * * r yz r r yz Uslov normlzcje: Ako je negrl vergenn eskončn on nje ogovrjuć lsn funkcj fzčk zhev česc posoj ogovr memčkm ogrnčenjm klse funkcj koje mogu presv snj u prro. Ako 0 šo sle z negrlnos lsne funkcje. Z omć: Pokz epδ opsuju so snje ssem. 4. Osone lsne funkcje. Jenoznčnos - Tlsn funkcj je jenoznčn jensven. Všeznčn funkcj ne može oređv gusnu verovnoće položj. Jenoznčn funkcj Všeznčn funkcj z jeno jen vrenos z jeno vše vrenos npr 3.. Končnos - Mor spunjen uslov normrnj:. Funkcj mor ogrnčen osm u končnom roju čk: on 0 +

14 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 4 3. Nepreknos - Funkcj koj nje neprekn zprvo je voznčn s leve esne srne u čk prek p ne zovoljv uslov jenoznčnos; memčk zvo ne posojo je funkcj prekn neprekn funkcj funkcj s prekom 4. Glkos: glk funkcj nje glk funkcj 5. Schrönger-ov jenčn Tlsn svojsv ojek u kvnnoj mehnc ne mogu se ops velčnm klsčne mehnke zrnm n rjekorj česce. U klsčnoj mehnc rjekorj presvlj srogo efnsn položj česce koj je konnuln funkcj vremen oređen Newon-ovm zkonm krenj. D se lsn svojsv kvnnomehnčkh ojek koj sušnsk pokzuju osone rznh pov polj mogl uze u ozr poreno je efns jenčnu koj ovlj slčnu funkcju ko Newon-ov koj po svojoj sušn mor oržv srurnos prosorno-vremensku zvsnos ovh polj. To je moguće posć lsnom jenčnom. Posoje u osnov ve velčne koje krkeršu snje ojek o su momen p energj E. Ove velčne koje su prkčno česčne krkerske oređuju prosornu vremensku zvsnos lsne funkcje njen lsn vekor k učesnos ω. Njprosj form ls koj zovoljv ov svojsv je rvnsk ls: C ep[ k ω].

15 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 5 ge je C mplu ls. Ovj ls u se srž nformcje o energj mpulsu koj su s učesnošću lsnm vekorom povezn relcjm: E hν ω. p k.3 Kko je ko ovog ls sperzj koj oređuje grupnu rznu ls v g konsn: ω ω vg v f cons k k.4 zključujemo n čescu-ls ne eluje nkkv sl koj je urzvl l usporvl. Zog og rvnsk ls ogovr prosrnju sloone česce. Korseć prncp superpozcje koj vž z lsnu funkcju moguće je konsrus generlnu formu lsne funkcje koj u osnov presvlj sumu čnje negrl rznh plnrnh ls: C kep[ k ω ] k.5 k Međum ov generlzcj ne je nš novo jer se ko ovog ls ne može uoč promen rzne zo šo g sčnjvju rvnsk ls koj oržvju ukupnu grupnu rznu fksnom. D se ol form koj omogućv se pojve sv moguć rvnsk ls uspešno opše promen grupne rzne u prsusvu sle j. spoljšnjeg poencjl poreno je posv jenčnu u kojoj ne fguršu k ω. Pr ome se polz o zkon oržnj energje: Evo kko se o sprovo: p E + U m.6 Ore se rug zvo lsne funkcje rvnskog ls relcj. po poveže s lsnm vekorom k ksnje s mpulsom p: + k k k Ore se prv zvo lsne funkcje rvnskog ls po poveže s ω onosno s E: p k ω ω E ω + U + U m m c Zmenom poslenje relcje po u poslenju relcju po oj se:.7 + U m njopšj form Schrönger-ove jenčne vremensk zvsn Schrönger-ov jenčn Schrönger 96. gon jenčn krenj kvnne česce

16 6 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke Kko je ojen jenčn lnern homogen po on on vž z prozvoljnu lnernu superpozcju rvnskh ls s rzlčm ω k koj sovremeno zovoljvju jenčnu.6. Rešvnje ove jenčne z ogovrjuće grnčne počene uslove je lsne funkcje ozvoljene vrenos energje z prozvoljn poencjl U. 5. Vremensk nezvsn Schrönger-ov jenčn K je poencjl U u kome se česc kreće kv nje funkcj o vremen već smo o koorne U U lsn funkcj se može nps ko prozvo funkcje po koorn funkcje po vremenu: ζ.8 Rešenje jenčne.7 se s može nć meoom rzvjnj promenljvh: + U m ζ ζ ζ.9 K se prehon relcj poel s ζ oj se: E U m + ζ ζ.0 Lev srn prehone relcje je funkcj po koorn esn srn je funkcj po vremenu. Prehon jenkos može zovoljen smo ko je lev esn srn jenk konsn koju ćemo oelež s E koj m smso energje u konzervvnom ssemu: E U m +. ep ep E E ω ζ ζ ζ. 0 ] [ + U E m.3 sconrn Schrönger-ov jenčn

17 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 7 6. Rešvnje Schrönger-ove jenčne u jenomenzonlnm kvnnm ssemm s eo-po-eo konsnnm poencjlom 6. Elekron u poencjlnoj jm U ovom rzmrnju o neres su v slučj. U prvom je energj elekron E već o vrenos poencjl U u svm olsm u kojm se rzmr prolem ok je u rugom n nekm mesm E < U. K je E > U u celom omenu efnsnos on je elekron sloon česc koj se opsuje rvnskm lsom. Elekron može m prozvoljnu vrenos energje p se zo kže njegov energj prp konnulnom elu spekr. Krenje česce se osvruje s lev n esno slk 4. Krenje u supronom smeru je popuno rvnoprvno ovo o nlognog rzmrnj. Iko česc m energju ovoljnu pređe preko poencjlne jme u kvnno-mehnčkom rzmrnju posoj končn verovnoć se o ne es. U slučju klsčne mehnke česc prelz preko jme s verovnoćom. Ispvnje ponšnj česce zsnv se n Schrönger-ovoj jenčn koju je poreno reš n svkom o omen u kome je poencjl konsnn u jm levo esno o nje. Propgcj ncenog monoenergeskog rvnskog ls koj je prružen česc osvruje se s lev n esno oređen je pozvnm fznm svom u rvnskom lsu ep+k. Reflekovn eo ls koj se prosre u supronom smeru m negvn fzn sv u lsu ep k. Delov ls koj se prosru u pozvnom smeru ose u slučju nlsk ls s lev n esno su ncenn ls n mesu 0 zm eo ls koj je rnsmovn n om som mesu koj posje ncenn n mesu končno ls koj je rnsmovn n. U supronom prvcu prosru se ls koj su reflekovn n mesu 0. Reflekovn ls u ols > ne posoj jer u oj ols ne posoje skonnue poencjl. Slk 4. Nlzk elekron energje E > U 0 n poencjlnu jmu.

18 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 8 Krenje elekron opsno je Schrönger-ovom jenčnom: m + [ E U ] 0.4 ge je U efnsno u olsm u kojm je poencjl konsnn o n sleeć nčn: U ; < < 0 I 0 U 0; 0 < < II U ; < < III 0.5 Tlsn jenčn se ponoso rešv u svkom elu prosor z koj je poencjl konsnn o ko lnern ferencjln jenčn rugog re s konsnnm koefcjenm. Rešenje je jensveno n grncm povezno uslovm nepreknos glkos. Tlsn funkcj jese ogrnčen l ne ež 0 u eskončnos. Zog og on ne poleže klsčnom uslovu normrnj ko šo je o slučj s lsnm funkcjm k je energj česce E < U. O ome će reč n krju ovog rzmrnj. I ols: m E U k k.6 II ols: m E 0 k + 0 k.7 III ols: m E U 0 k + 0 k.8 Jenčne rešvmo prmenom krkersčnog polnom: s + k/ 0 s ±k / ~ ep[ ±k / ] Rešenje: I ols: A k + B ep k.9 ep II ols: A k + B ep k.0 ep III ols: A k + B ep k. 3 3 ep 3 N grnc ols lsne funkcje su povezne uslovm nepreknos glkos: 0 nepreknos: A + B A + B 0. I zvo glkos: k A kb ka kb 0.3 nepreknos: A ep k + B ep k A3 ep k 3.4

19 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 9 I zvo glkos: k A ep k k B ep k A ep k Ovm je ojen ssem lnernh nehomogenh jenčn po nepoznm koefcjenm A A B B. Kko su osupne smo čer jenčne kko je eermnn ssem rzlč o nule sv koefcjen zvse o A 3 mogu se o z lo koju vrenos ovog koefcjen. To znč elekron može m prozvoljnu energju E > U 0. K je E < U levo esno o jme elekron se nlz u snju koje se nzv veznm. Energj ovog snj ne može prozvoljn jer uslov n grncm ko smposko ponšnje lsne funkcje ne mogu zovoljen z svku vrenos energje veznog elekron. Drugm rečm energesk spekr je skren ne konnuln. Tlsne funkcje veznh snj mju osclorn krker u olsm ge je E > U eksponencjlno opjuć u olsm k je E < U o ko funkcj smposk op n nulu k ež eskončnos slk 5. Tme je osvren uslov negrlnos lsne funkcje ko njene normlzcje n nčn kko je o efnsno n počeku ovog poglvlj. Kko vrenos skrenog snj nje unpre pozn sle je prolem koj se posvlj ež jer je osm nepozne lsne funkcje poreno ore nepoznu energju šo se nzv svojsvenm prolemom. Dojene energje nzvmo svojsvenm energjm funkcje koje m ogovrju svojsvenm funkcjm. Funkcje koje ogovrju rzlčm energeskm snjm zovoljvju uslov orogonlnos: + * m n δ mn.6 ge je δ mn Kronecker-ov el funkcj. Dozvoljen skren energesk snj mogu se ore ek nkon rešvnj lsne jenčne po segmenm s konsnnm poencjlom. Nme poreno je reš lnerne ferencjlne jenčne n svkom segmenu zm polzeć o grnčnh uslov koj porzumevju uslov nepreknos glkos ko z uslov smposkog ponšnj lsne funkcje u eskončnos formr ssem lnernh lgerskh jenčn po nepoznm koefcjenm rešenj ferencjlne jenčne. U ovom slučju ssem je homogen p je jen nčn m nervjln rešenj eermnn ssem ue jenk nul. Iz eermnne ssem moguće je o rnsceennu jenčnu čjm se rešvnjem olz o ozvoljenh energj u ssemu pr kojm je eermnn nul. K se energje oree nje prolem se koršćenjem uslov normlzcje relcjm koje su nsle z grnčnh uslov oree nepozn koefcjen me z svku vrenos ozvoljene energje ore ogovrjuć lsn funkcj. U slučju sloone česce uslov normrnj koj je efnsn rnje ne može vž jer lsn funkcj ne op n nulu u eskončnos već je po moulu konsnn. Zog og se lsn funkcj smo u ovom slučju normr rugčje preko Drc-ove δ funkcje:

20 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 0 + * k k δ k k.7 O nčnu normrnj sloone česce neće vše govor jer prevzlz okvre ovog kurs. Slk 5. Elekron energje E < U 0 u poencjlnoj jm. Ispreknom lnjom prkzn je lsn funkcj osnovnog energeskog snj. Ponovo polzmo o Schrönger-ove jenčne: m + [ E U ] 0.8 I ols: m m k E U 0 U 0 E 0 k.9 II ols: m m E 0 E + 0 k k.30 III ols: m k U 0 E 0 k.3 Ko u prehonom slučju ržmo nule krkersčnog polnom: s k 0 s ±k s + k 0 s ±k.3.33 p su lsne funkcje: A ep k + B ep k.34 A ep k + B ep k.35

21 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 3 A3 ep k + B3 ep k.36 Rešenje u olsm I III nje prosoperočno nego eksponencjlno. Tlsne funkcje morju zovolje uslove končnos jenoznčnos nepreknos glkos: lo končno B 0 3 lo končno A 3 0 Nem ve funkcje koje opsuju jen proces jenoznčnos je zovoljen 3 Nepreknos glkos: 0 0 A B A k A + k B 0 A.37 k.38 3 ep k + B ep k B3 ep k 0 A.39 3 A ep k kb ep k + kb3 ep k 0 k.40 Ssem lnernh lgerskh jenčn po nepoznm koefcjenm rešenj ferencjlne jenčne je homogen p je jen uslov m nervjln rešenj eermnn ssem ue jenk nul: D.4 D D U0 E m 0 ep k [ k k snk k k cosk ] 0 Iz eermnne ssem moguće je o rnsceennu jenčnu čjm se rešvnjem olz o ozvoljenh energj u ssemu: n k k k k.4 m m ge su k U 0 E k E. Rešenj z energju su skren!!! K su rešenj z skrene vrenos energje pozn on je moguće o komplen rešenj z lsne funkcje. Svk o energj ojen rešvnjem rnsceenne jenčne oređuje jenu lsnu funkcju. Njčešće jenoj energj ogovr jen lsn funkcj međum u nekm posenm slučjevm može se es jenoj energj ogovr vše lsnh funkcj šo se on nzv egenercjom energeskog snj ge roj rzlčh lsnh funkcj oređuje sepen egenrcje snj. Zmenom pozne vrenos energje u zrze z lsne vekore moguće je o konkren ssem lnernh lgerskh jenčn po nepoznm mplum lsne funkcje A A B B 3. Rng ovog ssem nje vše 4 već 3 p je poreno ssem reš ko šo se sv koefcjen osm jenog npr. A B B 3 zrze preko og jenog npr. A koj se smr poznm. Zm se n ko efnsnu lsnu funkcju prmenjuje uslov normrnj z uslov je negrl kvr moul lsne funkcje po celoj ols efnsnos jenk oređuje nepozn koefcjen u ovom slučju k

22 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke A. N slc 6. prkzn su profl lsnh funkcj koj se ojju z r njmnj rešenj rnsceenne jenčne j. z r njnž energesk nvo. Ako se preposv poencjl U 0 u rjer ež eskončnos se prehon prolem svo n rzmrnje eskončno uoke poencjlne jme. U om slučju lsn vekor k p se sperzon relcj svo n uslov je nk 0 j snk 0 šo je moguće vrenos energj z eskončno uoku poencjlnu jmu: E n n π m.43 Tlsne funkcje prkzne n slc 6 ogovrju energjm koje se ojju z prehone relcje. Poređenje rezul ojenh z eskončno končno uoku poencjlnu jmu ovo o sleećh zključk: Energj posmrnog snj u eskončno uokoj jm u onosu n no jme već je nego energj og sog snj u jm končne une. Energesk rzlk susenh snj u o slučj rse s renm rojem snj pr čemu je o zrženje ko eskončno uoke jme. Tlsne funkcje u eskončno uokoj jm ne "proru" u rjernu ols ok je u končnoj jm uprvo o slučj pr čemu je "prornje" funkcje u jmu veće šo je jm "plć". c Profl lsnh funkcj unur končno uoke jme lč n profl funkcj u eskončno uokoj jm čnje pr njhov osclorn krker. Rzlk se znčjno v u elu oko rjere ge ko končno uoke jme lsne funkcje opju s uljvnjem o jme ok su u eskončno uokoj jm lsne funkcje jenke nul. Slk 6. Tlsne funkcje z prv r energesk snj u poencjlnoj jm une U 0 eskončno uokoj poencjlnoj jm.

23 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 3 6. Nlzk elekron n poencjlnu rjeru Posmrmo lsnu funkcju ogovrjuću rspoelu verovnoće koj se u vremenu prosoru menj ko se rspoel s vremenom premeš už -ose. Ovkv rspoel verovnoće može se ops funkcjom φ-v ge je φ funkcj koj zovoljv uslove lsne funkcje. Ako se n segmenu [ ] posmr verovnoć nlženj česce on je verovnoć oređen relcjom: P P [ ].44 Ovo je velčn koj se može ekspermenlno ore. Gornj relcj se menj u renuku 0 je P[] 0 0 zm u renuku m neku vrenos koj je nešo mnj o nkon skoro popunog prolsk pke u renuku vrenos negrl opl n neku mlu vrenos slk 7. Umeso verovnoće koju smo prpsl jenoj česc moguće je ekvvlenno ome rzmr skup l nsml česc koje se kreću slev n esno. Nek se om prlkom puem eekor ovlj merenje roj česc koje se u om renuku nlze n segmenu [ ]. On se verovnoć koj je efnsn prehonom relcjom može o ko onos roj česc n segmenu [ ] prem ukupnom roju česc koje propgrju s lev n esno. Slk 7. Verovnoć nlženj česce n segmenu [] u vremenskm renucm 0. Izvo P[] po vremenu oređuje rznu prook verovnoće. Ovj prmer nzv se gusnom sruje verovnoće. P m.45 Desn srn prehone relcje se može presv rzlkom ve funkcje n krjevm nervl:

24 4 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke j j P.46 ge je funkcj j efnsn ko: m j.47 Prmen zrz z j n rvnsk ls koj ogovr sloonoj česc: ] / ep[ E p A m k A j.48 Kko se olz o relcje.45: m P? Polzmo o: P + Kko je: + U m onosno + U m z konjugovno-kompleksnu vrenos vž: + + * * * U m p je moguće je rnsforms prehon negrl u sleeću formu: m P N osnovu: ržen negrl posje: m P

25 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 5 Rzmormo s slučj krenj sloone česce koj se kreće s lev n esno koj n mesu 0 nlz n poencjlnu rjeru vsne U 0 l kvu je E > U 0 slk 8. Ko šo je već pomenuo ko česc m ovoljno energje svl rjeru u kvnnom sveu posoj končn verovnoć o og ne ođe slk 8. Klsčn mehnk u ovom slučju prevđ prelz preko rjere ko sgurn ogđj. Krenje česce slev n esno ogovr propgcj ncennog upnog merjlnog ls čnje lsne funkcje u smeru krenj ls. Osm ovog ls posoj reflekovn rnsmovn eo ls o kojh se prv kreće u supronom smeru o ncennog rug u smeru ncennog ls. Z svk o ovh ls moguće je efns gusnu sruje verovnoće. Polzeć o ovog prmer moguće je preve verovnoću česc "svl" rjeru l se o nje "oje". T verovnoć je kvnvno zržen preko koefcjen rnsmsje refleksje. Pre nego efnšemo ove koefcjene nđmo rešenje lsne funkcje z slučj poencjl prkznog n slc 8. Slk 8. Nlzk elekron s energjom E > U 0 n poencjlnu rjeru. Verovnoć prelsk elekron preko poencjlne rjere vsne U ev z msu m m 0. Schrönger-ov jenčn: m + [ E U ] 0.49 I ols: m E A ep k + Bep k k II ols: k E U 0.50 m A ep k + B ep k 0 B.5 Refleksj u ols II ne posoj uuć u ovoj ols nem nehomogenos koje mogle oveu o lo kkve refleksje. Zo je B 0. Kko je gusn sruje verovnoće srzmern roju česc koje se u nekom ponovljenom ekspermenu s ovoljno velkm rojem česc krele n jenu l n rugu srnu on je moguće efns koefcjene refleksje rnsmsje n sleeć nčn:

26 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 6 R Gusn sruje reflekovnh česc Ukupn gusn sruje česc T Gusn sruje rnsmovnh česc Ukupn gusn sruje česc U konkrenom slučju ov koefcjen su sleećm relcjm: k k B R.5 A A k T.53 A k Iz uslov nepreknos glkos: 0 0 A ep k 0 + Bep k 0 A ep k 0 A B A 0 0 k A k B k A moguće je ore sve koefcjene u funkcj mplue ncennog ls: A k A k + k B k k A k + k k k R.56 k + k T k k 4kk k k.57 + k k + k T + R.58 Rzlk u onosu n klsčnu mehnku: Iko česc m energju ez prolem pređe preko rjere E > U 0 posoj končn verovnoć se reflekuje unz. 6.. Tunelovnje Tunelsk efek je jen o fscnnnh kvnomehnčkh efek koj je nšo vrlo velku prmenu u mnogm ehnološkm olsm. Ko ovog efek česc čj je ukupn energj E mnj o poencjlne rjere može preć n rugu srnu rjere ko po zkonu oržnj energje ko nešo ne lo moguće u mkrosveu. Pomoću eorje unelskog efek moguće je ojsn uvojen energesk sj ulee u vrconom spekru molekul monjk NH 3 koj je o znčj u relzcj omskh čsovnk mser. Drug prolem koj je uspešno proumčen prmenom eorje unelskog efek je prolem nuklernog α-rsp ko efek elekronske emsje puem elekrčnog polj. K je reč o mkro- nnoelekronc z ovj efek se može reć je osnov r mnogh svremenh nnoelekronskh komponen. To su n prmer unelske oe Zenerov o o skoro kvnno-kskn lser vrs unpolrnh unurzonskh lser zrnh n kvnnm poluprovončkm nnosrukurm. Međum funmenln ehnološk oprnos prmen unelskog efek ogle se kroz relzcju skenrjućeg unelskog mkroskop koj je eveeseh

27 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 7 gon prošlog vek relzovn u IBM ovm lororjm u Zurch-u. Ov zvljujuć nprv omogućv elekron unelskm efekom prolze kroz uzork. Iko je roj ovh elekron vrlo ml njhov roj je moguće mer n j nčn posć uvećnje o 00 mlon pu p je moguće mer menzje re velčne nekolko son om. Z ovj pronlzk Ger Bnnng Henrch Rohrer ol su 986. gone Noelovu ngru z fzku. U rzmrnju unelskog efek posmrmo nlzk elekron s lev n esno n poencjlnu rjeru koj m šrnu vsnu U 0 energju E mnju o vsne poencjlne rjere. Rešvnjem Schrönger-ove jenčne zm prmenom formlzm gusne sruje verovnoće olzmo o koefcjen rnsmsje refleksje. Slk 9. Nlzk elekron s energjom E < U 0 n poencjlnu rjeru vsne U 0 šrne. Isprekne osclorne krve u olsm levo esno o rjere smolčk presvljju ncenn rnsmovn rvnsk ls ok krv unur rjere oznčv eksponencjln krker lsne funkcje u oj ols. I ols: A ep k + Bep k m E k.59 m II ols: A ep k + B ep + k k U.60 0 E III ols: 3 A3 ep k3.6 Nkon povezvnj rešenj u rznm olsm prmenom uslov nepreknos glkos oj se: 3 k k A T A A 3 A T.6 k + k + snh k kk T 0 R T.63 U kvnnoj mehnc čk k je energj česce mnj o poencjlne rjere E < U 0 posoj končn verovnoć z prolzk česce kroz rjeru. U om smslu eluje ko je česc prošl nekm jnm puem npr. unelom n rugu srnu rjere ez je ml ovoljno energje pređe preko vsoke poencjlne rjere. Ole poče nzv TUNELSKI EFEKAT!!!

28 Dr Dejn Gvozć: Elemen omske kvnne fzke 8 Slk 0. Koefcjen rnsmsje T z unelovnje elekron kroz poencjlnu rjeru une U ev šrne 0 nm sprekn lnj 4 nm pun lnj z msu m m 0. N slc 0 je pokzno je vrenos koefcjen rnsmsje rzlč o nule T 0 z energje elekron koje su mnje o poencjlne rjere vrenos rse s smnjenjem šrne rjere. Tkođe se v pr energjm većm o vsne rjere koefcjen rnsmsje posje jenk jen smo pr nekm vrenosm energje je uopšem slučju T < ko je E > U 0. Slk prkzuje slčn efek ko slk 0 z slučj k je E > U 0. Nme kko je n slc E uvek veće o E > U koefcjen rnsmsje je jenk jen T smo z neke vrenos energj. Slk. Nlzk elekron energje E > U 0 n poencjlnu jmu. Verovnoć prelsk koefcjen rnsmsje elekron preko poencjlne jme une U 0.5 ev šrne 5 nm sprekn lnj 5 nm pun lnj z msu m m 0