4. Relacije. Teorijski uvod
|
|
- Ημέρα Αργυριάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin: X Y = {(, ) X, Y }. Z Dekrtov proizvod skup s smim sobom immo X = X X = {(, ), X}. Primer. Nek je A = {,, 3}. Odrediti A. ReeƬe. A = A A = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3, ), (3, 3)}. Definiij. Binrn relij nd skupom X je bilo koji podskup Dekrtovog proizvod X = X X, tj. X. Ako je (, b) to emo kr e pisti b, ko (, b) to emo pisti b. Sd emo nvesti osnovne osobine binrnih relij (nd skupom X). R Refleksivnost ( X). S Simetriqnost (, X). AS Antisimetriqnost (, X), =. T Trnzitivnost (,, z X), z z. Nglsimo: kd ne vжi nek od ovih osobin dovoʃno je dti kontrprimer, ko vжi ond mormo d pokжemo d vжi z sve elemente iz X! U zvisnosti koje od ovih osobin poseduje relije, immo vжne klse relij. Relij koj je R,S,T nziv se relij ekvivlenije. Kd immo reliju ekvivlenije z svki element uvodimo pojm klse ekvivlenije element, u ozni C ili [] ili /, ko skup svih element koji su u reliji s, tj. C = [] = { X }. Sve klse ekvivlenije qine jedno rzbijƭe skup X n podskupove. Relij koj je R,AS,T nziv se relij poretk ili uređeƭe ( z skup X kжemo d je uređen skup). Z reliju poretk kжemo d je relij totlnog poretk ukoliko z svk element i vжi d je ili (td kжemo d su svk element uporediv). Skup snbdeven s relijom totlnog poretk nzivmo i ln. Relij poretk koj nije relij totlnog poretk nziv se relij prijlnog poretk. Primer. = {(, 3), (, ), (, 3), (3, )} je jedn relij (jer je A ) n skupu A uvedenom u prethodnom primeru. Ovko zdtu reliju (n konqnom skupu A) moжemo opisti n jo nekoliko nqin. Moжemo nbrojti sve elemente koji su u reliji: 3,, 3 i 3. Tkođe moжemo nbrojti i sve elemente koji nisu u reliji:,,, 3 i 3 3. Tbliqno (z b trжimo s leve strne, b gore i u preseku odgovrju e vrste i kolone stvʃmo ko su elementi u reliji, 0 ko nisu; ponekd se umesto i 0 koriste i ): ili Preko grf relije (ko immo b ond stvʃmo streliu koj ide od k b): 3
2 Primer 3. Ispitti osnovne osobine relij n reliji iz prethodnog primer. ReeƬe. R Ov relij nije reflesivn jer. Ovo moжemo videti i iz tblie (n glvnoj dijgonli bi morli d immo sve ) i iz grf (oko svkog element bi morli d immo petʃu, ne smo oko ). S Ov relij nije simetriqn jer 3 3, li mi immo 3. Ovo moжemo videti i iz tblie (elementi simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu morju biti međusobno jednki) i iz grf (između svkog pr rzliqitih element mormo imti ili 0 ili grne). AS Ov relij nije ni ntisimetriqn jer 3, 3 = 3, to nije tqno jer su i 3 rzliqiti brojevi. Ovo moжemo videti i iz tblie (elementi simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu ne mogu ob biti ) i iz grf (između svkog pr rzliqitih element mormo imti ili 0 ili grnu). T Ov relij nije ni trnzitivn jer 3, 3, mi immo. Sd emo dti jo kontrprimer (koji se teжe nlzi): 3, 3 3 3, mi immo 3 3. Vidimo d u ovim osobinm neki od,, z mogu biti međusobno jednki!!! Ovo njlke vidimo iz grf (kko immo grne 3 i 3, tj. 3, mormo imti i ). Definiij. Nek je relij poretk n skupu X. Element X je njmƭi element skup X ko vжi Element X je njve i element skup X ko vжi ( X). ( X). Element X je minimln element skup X ko vжi ( X) ( ). Element X je mksimln element skup X ko vжi ( X) ( ). Znqi, element je njmƭi ukoliko je mƭi od svih ostlih, tj. vжi z sve X. Element je minimlni element ukoliko ne postoji element koji je mƭi od Ƭeg. Sliqno, element je njve i ukoliko je ve i od svih ostlih, tj. vжi z sve X. Element je mksimlni element ukoliko ne postoji element koji je ve i od Ƭeg. Kod relij n konqnom skupu koje su predstvʃene grfom, iz qvor koji odgovr njmƭem elementu vodi grn k svim ostlim qovorovim, dok z minimlni element iz Ƭemu odgovrju eg qvor smo izlze grne (i nijedn ne ulzi u Ƭeg). Sliqno, u qvor koji odgovr njve em elementu vode grne iz svih ostlih qovorov, dok z mksimlni element u Ƭemu odgovrju i qvor smo ulze grne (i nijedn ne izlzi u Ƭeg). Teorem. Ako postoji njmƭi element skup X (u odnosu n reliju ), on je jedinstven. Td je to i jedini minimln element. Ako postoji njve i element skup X (u odnosu n reliju ), on je jedinstven. Td je to i jedini mksimln element. Obrnuto ne mor d vжi (u sluqju beskonqnih skupov), dok kod konqnih skupov vжi d ko skup im jedn minimln (mksimln) element td je on i njmƭi (njve i) element. Definiij 3. Nek je relij poretk n skupu X i nek je A X. Element X je doƭ međ (ili doƭ grni ili minornt) skup A ko vжi ( A). Njve doƭ međ nziv se infimum skup A i oznqv se s inf A. Element X je gorƭ međ (ili gorƭ grni ili mjornt) skup A ko vжi ( A). NjmƬ gorƭ međ nziv se supremum skup A i oznqv se s sup A. Uređen skup u kome svk dv element imju supremum i infimum nziv se reetk (ili mreж).
3 Teorem. Svki ln je i reetk. Obrnuto tvrđeƭe ne vжi. Z grfiqko predstvʃƭe uređenih konqnih skupov, osim uobiqjenog grfovskog prikz, koriste se i Hseovi dijgrmi. Definiij 4. Nek je (X, ) uređen skup. Element X je neposredni prethodnik element X ko je,, i ne postoji z S, rzliqit od i, tkv d je z i z. Drugim reqim, je neposredni prethodnik od ko nijedn drugi element skup A ne moжe d se,,smesti između i. Preko neposrednog prethodnik u uređenom skupu (X, ) moжemo z svki element skup X d odredimo Ƭegov nivo u odnosu n reliju. Element X je n nivou 0 ko nem neposrednih prethodnik (elementi n nivou 0 se nzivju tomi). U suprotnom, element je n nivou k, k > 0, ko im br jednog neposrednog prethodnik n nivou k, dok svi ostli Ƭegovi neposredni prethodnii imju nivo ne ve i od k. Sd se Hseov dijgrm skup (X, ) dobij n slede i nqin. Svkom elementu iz X pridruжuje se jedn qvor dijgrm. Svi ovi qvorovi se poređju prem Ƭihovim nivoim, poqevi od nivo 0 n dnu do njve eg nivo n vrhu, i svki qvor se spj linijm s svim svojim neposrednim prethodniim. Ove linije mogu biti neorijentisne ili se one orijentiu, od qvor mƭeg nivo k qvoru ve eg nivo, d bi se nglsilo koji je element s kojim u reliji. Qe e se koristi orijentisn Hseov dijgrm. Primer 4. Odrediti (neorijentisn) Hseov dijgrm z prijlno uređen skup ( P ( {,, 3} ), ). ReeƬe. {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} U ovom Hseovom dijgrmu je przn skup n nivou 0, n nivou su {}, {} i {3}, n nivou su {, }, {, 3} i {, 3}, dok je n nivou 3 eo skup {,, 3}. Primer 5. Odrediti (orijentisn) Hseov dijgrm prijlno uređenog skup ( {,,..., 9}, ). Podsetimo se d je relij deʃivosti. ReeƬe Kko broj deli sve ostle, on je n nivou 0, n nivou su prosti brojevi, 3, 5 i 7, n nivou su 4, 6 i 9, dok je n nivou 3 smo 8. Primer 6. Orijentisni Hseov dijgrm totlno uređenog skup ( {,, 3, 4}, ). ReeƬe N slii levo je dt Hseov dijgrm totlno uređenog skup (iz Ƭegovog izgled je jsnije zto se nziv ln!). U Ƭemu je broj n nivou 0, je n nivou, 3 n nivou, dok je 4 n nivou 3. Iz nqin konstrukije Hseovog dijgrm moжemo d vidimo d su elementi n istom nivou neuporedivi. Iz ovog zkʃuqujemo d kod totlno uređenog skup (ili ln), kod kog su svk dv element uporediv, n svkom nivou postoji tqno jedn element. Stog je Hseov dijgrm ln ( {,, 3, 4}, ), prikzn n prethodnoj slii levo, mnogo jednostvniji i pregledniji nego odgovrju i grfovski prikz istog ovog skup ( {,, 3, 4}, ) koji je dt n slii desno. 3
4 Zdi. Dt je skup S = {,, 3}. ) Odrediti koliko im rzliqitih relij insnih n skupu S. b) Koliko im rzliqitih refleksivnih relij n skupu S. ReeƬe. ) Urdi emo zdtk u optem sluqju, kd konqn skup S im n element, tj. S = n. Relij n skupu S je bilo koji podskup skup S = S S. Kko je S = n, to je ukupn broj relij n skupu S jednk n (z svki element iz S immo mogu nosti ili d je u ili d nije u ). Ukupn broj relij n skupu S = {,, 3} jednk je 3 = 9 = 5. Npomen. Do ovog rezultt smo mogli do i i sliqnim rezonovƭem preko tblie, ko to emo rditi u delu pod b). b) Posmtrjmo tbliu ove relije. Td immo d je 3 3 jer je dt relij refleksivn. U sv ostl poʃ (kojih im 6), moжemo upisti ili 0 ili (to su mogu nosti). Stog je ukupn broj refleksivnih relij u skupu S = {,, 3} jednk 6 = dom i 009. ) Odrediti sve mogu e relije ekvivlenije nd skupom Q = {,, 3, 4}. Koliko ih ukupno im? b) Odrediti koliko im relij poretk nd skupom P = {,, 3}. ReeƬe. ) Svk relij ekvivlenije n skupu Q odgovr jednom rzbijƭu skup Q n podskupove (to e biti klse ekvivlenije). Skup Q = {,, 3, 4} moжemo rzbiti n podskupove n slede e nqine (pored svkog rzbijƭ je npisn odgovrju relij ekvivlenije): {,, 3, 4} = {(,),(, ),(,3), (,4), (,),(, ),(,3), (,4), (3,),(3, ),(3, 3),(3,4), (4,), (4,),(4, 3),(4, 4)} {,, 3} {4} = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3, ), (3, 3); (4, 4)} {,, 4} {3} 3 = {(, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, 4), (4, ), (4, ), (4, 4); (3, 3)} {, 3, 4} {} 4 = {(, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 3), (4, 4); (, )} {, 3, 4} {} 5 = {(, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 3), (4, 4); (, )} {, } {3, 4} 6 = {(, ), (, ), (, ), (, ); (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} {, 3} {, 4} 7 = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ), (, 4), (4, ), (4, 4)} {, 4} {, 3} 8 = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)} {, } {3} {4} 9 = {(, ), (, ), (, ), (, ); (3, 3); (4, 4)} {, 3} {} {4} 0 = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ); (4, 4)} {, 4} {} {3} = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ); (3, 3)} {, 3} {} {4} = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ); (4, 4)} {, 4} {} {3} 3 = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ); (3, 3)} {3, 4} {} {} 4 = {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4); (, ); (, )} {} {} {3} {4} 5 = {(, ); (, ); (3, 3); (4, 4)}. Svk od ovih relij odgovr jednom od slede ih tipov. Tip T je smo relij i tu immo smo jednu klsu {, b,, d}. Tipu T pripdju relije, 3, 4 i 5 i tu immo klse {, b, } i {d}. Tipu T 3 pripdju relije 6, 7 i 8 i tu immo klse {, b} i {, d}. Tipu T 4 pripdju relije 9, 0,,, 3 i 4 i tu immo klse {, b}, {} i {d}. Tip T 5 je smo relij 5 i tu immo 4 klse {}, {b}, {} i {d}. d d d d d b b b b T T T 3 T 4 T 5 Dkle, ukupno im 5 relij ekvivlenije n skupu Q = {,, 3, 4}. b 4
5 b) Svku od tih relij poretk moжemo predstviti Hseovim dijgrmom. I ovde immo 5 rzliqitih tipov relij poretk. b b b b b T T T 3 T 4 T 5 Relij poretk tip T im 3! = 6 (jer svkoj permutiji brojev,,3 odgovr jedn relij poretk). Ovo su jedine relije totlnog poretk (lni). Relij poretk tip T im ( 3 ) = 3 (jer element b moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin; izborom b smo odredili i i ). Relij poretk tip T 3 im ( 3 ) = 3 (jer element b moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin; izborom b smo odredili i i ). Relij poretk tip T 4 im ( 3 )! = 6 (jer element moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin, ztim elemente i b moжemo urediti n nqin). Relij poretk tip T 5 im ( 3 3) =. Dkle, ukupno im 9 relij poretk n skupu {,, 3}. 3.. mrt 009. Nek je ρ binrn relij inisn n S R + tko d z sve, S vжi ) Dokzti d je (S, ) prijlno uređen skup. b) Predstviti reliju grfom i tbliqno, ko je S = {,, 3, π, 5 }. v) N i supremum i infimum podskup T = {, 3, 5}. g) D li je (S, ) reetk, gde je S = {,, 3, π, 5 }? ReeƬe. N osnovu qiƭenie d je S R + sledi d su svi, > 0, p nejednkost kojom je zdt relij moжemo d pomnoжimo s 3 > 0 (i ne e se meƭti znk!). Odtle dobijmo d je + 5 6, tj.. ) Z reliju znmo d je relij poretk ( to moжemo i pokzti nlogno ko i z reliju iz Zdtk 8.), p je i relij relij poretk, tj. (S, ) je prijlno uređen skup. Iko je prethodno dovoʃno d kжemo, sd emo strogo formlno i pokzti d je relij poretk. R Kko je z svko R +, to je ov relij refleksivn. AS Ako je i ond je, p kko je =, to i u prethodnim nejednkostim mor d vжi znk jednkosti, tj. dobijmo d je =, odnosno relij je ntisimetriqn. T Ako je i z ond je z, tj. z, odnosno relij je trnzitivn. Kko je ov relij R,AS,T on je relij poretk. b) 3 π π 0 5 v) GorƬe međe skup T su svi brojevi, tkvi d je (tj. ) z sve T. Supremum je njmƭ (u odnosu n ) gorƭ međ, tj. sup T =. DoƬe međe skup T su svi brojevi, tkvi d je (tj. ) z sve T. Infimum je njve (u odnosu n ) doƭ međ, tj. inf T = 5. g) Kko je relij relij totlnog poretk (ln) n svkom skupu S, to je on i reetk. 3 π 5 5
6 4.. jun 009. Dt je relij : rzlik zbir ifr broj i zbir ifr broj je deʃiv s 5 n skupu {, 7, 38, 46, 58}. ) Nbrojti sve elemente koji su u reliji i koji nisu u reliji. b) Predstviti dtu reliju tbliqno i preko grf. v) D li je dt relij refleksivn, simetriqn, ntisimetriqn, trnzitivn? g) Ispitti d li je to relij ekvivlenije i/ili relij poretk. d) Ukoliko je to relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko je to relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm i ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk, ko i t su njmƭi, njve i, minimlni, mksimlni elementi skup X u odnosu n reliju. ReeƬe. Zbirovi ifr dtih brojev, 7, 38, 46 i 58 su jednki: + =, + 7 = 9, =, = 0, = 3. N osnovu ovog dobijmo koji su elementi u reliji (oduzmemo Ƭihove zbirove ifr i posmtrmo koji od tih brojev su deʃivi s 5). ) U reliji su:, 7 7, 38 38, 46 46, U reliji nisu: 7, 38, 46, 58, 7, 7 38, 7 46, 7 58, 38, 38 7, 38 46, 38 57, 46, 46 7, 46 38, 46 58, 58, 58 7, 58 38, b) v) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki i to 0; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grne tqnije 0 grn). Ov je relij AS (u tblii među elementim koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu ne nlzimo dve ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grnu tqnije 0 grn). Ov je relij T (vidimo s grf, jer nigde nem nijedne od slede e situije koje kvre T: 38 z = z jer u grfu ne postoji nijedn grn između rzliqit qvor!) g) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je relij poretk. d) Klse ekvivlenije su: [] = {}, [7] = {7}, [] = {38}, [46] = {46}, [58] = {58}. Relij nije relij totlnog poretk jer 7 i 7, tj. to je relij prijlnog poretk. Hseov dijgrm ove relije je predstvʃen n slede oj slii (svi qvorovi su n istom nivou jer nikoj nisu uporediv u odnosu n reliju ). Kko on nije ln, to je relij prijlnog poretk Svi elementi su i minimlni (kko im vie minimlnih nem njmƭi) i mksimlni (kko im vie mksimlnih nem njve i). Npomen. Xt bi bile klse ekvivlenije z : rzlik broj i broj je deʃiv s 5? 6
7 5.. zdtk, februrski rok 00. Nek je dt skup A = {, bb, bb, dbb, ddb, d} i n Ƭemu relije,, 3 A su dte s reqi i su iste duжine, 3 ) Predstviti sve 3 relije tbliqno i preko grf. reqi i poqiƭu istim slovom, req nem mƭe slov od reqi. b) D li su dte relije refleksivne, simetriqne, ntisimetriqne, trnzitivne? v) Ispitti d li su one relije ekvivlenije i/ili relije poretk. g) Ukoliko je nek od Ƭih relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm i ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk, ko i t su njmƭi, njve i, minimlni, mksimlni elementi skup X u odnosu n svku od relij, i 3. ReeƬe. duжine. ) Prvo emo ispitti osobine relije kod koje su reqi u reliji ko i smo ko su iste bb bb dbb ddb d bb bb dbb ddb d ddb d dbb bb bb b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki to su po dve 0; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo 0 grn). Ov je relij AS (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nisu jednki i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo 0 grn). Ov je relij T (vidimo s grf ne postoje grne koje se ndovezuju). v) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. g) Klse ekvivlenije su: [] = {}, [bb] = {bb}, [bb] = {bb}, [dbb] = {dbb}, [ddb] = {ddb}, [d] = {d}. Ovo je relij prijlnog poretk (nije totlnog poretk jer nisu svk element uporediv, npr. d i d ). Hseov dijgrm ove relije je: bb bb dbb ddb d Svi elementi su i minimlni i mksimlni, p ne postoje njmƭi i njve i element. Sd emo ispitti osobine relije kod koje su reqi u reliji ko i smo ko poqiƭu istim slovom. ) ddb dbb bb bb dbb ddb d bb bb dbb d bb ddb d N ispitu nije bil dt relij 3 nego smo i. bb 7
8 b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grne). Ov relij nije AS (ne vжi bb, bb = bb). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu ). v) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Kko nije AS on nije relij poretk. g) Klse ekvivlenije su: [] = [bb] = {, bb}, [bb] = {bb}, [dbb] = [ddb] = [d] = {dbb, ddb, d}. Sd emo ispitti osobine relije 3 kod koje je req u reliji s reqi ko i smo ko su iste duжine ili je duж od. ) bb bb dbb ddb d bb 0 0 bb dbb ddb 0 d ddb d dbb bb bb b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov relij nije S (npr. d 3, 3 d). Ov je relij AS (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nisu jednki i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo tqno grnu). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu ). v) Ov relij nije S, p nije relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. g) Ovo je relij totlnog poretk (svk element su uporediv vidimo iz grf d između svk rzliqit qvor postoji tqno jedn grn). Hseov dijgrm ove relije je: d bb bb ddb dbb Kko je Hseov dijgrm ove relije ln, to je relij totlnog poretk. NjmƬi element je dbb, p je to i jedini minimln element. Njve i element je, p je to i jedini mksimln element. 8
9 6. 4. zdtk, grup A, I kolokvijum 0. Dt je relij : = ili ko je < i zbir ifr broj deli zbir ifr broj n skupu X = {, 0,, 3, 50}. ) Nbrojti sve elemente koji su u reliji i koji nisu u reliji. b) Predstviti dtu reliju tbliqno i preko grf. v) D li je dt relij refleksivn, simetriqn, ntisimetriqn, trnzitivn? g) Ispitti d li je to relij ekvivlenije i/ili relij poretk. d) Ukoliko je to relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko je to relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm, ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk i odrediti minimlne, mksimlne, njmƭe i njve e elemente skup X. ReeƬe. b) v) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov relij nije S (npr. 0, 0). Ov je relij AS (u tblii među provim element koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nem i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grnu). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu : prktiqno tu sitiju smo immo kod 0, 0 ). g) Ov relij nije S, p nije relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je relij poretk. d) Ovo je relij prijlnog poretk (nije totlnog poretk jer nisu svk element uporediv, npr. 50 i 50 ; ni Hseov dijgrm joj nije ln). Hseov dijgrm ove relije je: Elementi 50 i su minimlni, p ne postoji njmƭi element. Elementi 3 i su mksimlni, p ne postoji njve i element. 9
10 7.. zdtk, jnurski rok 009. Ispitti d li je relij inisn ko relij poretk n skupu: ) N prirodnih brojev; b) Z elih brojev. ReeƬe. ) Relij je inisn n skupu N, p su svi brojevi pozitivni. Stog uslov kd su dv element u reliji,, moжemo d podelimo s > 0 (zbog > 0 ne e se meƭti znk!), p dobijmo d je, z reliju poznto je d je relij poretk, li emo to ovde i pokzti. Kko je, tj. ov je relij R. Ov je relij AS:,, kko vжi = to u prethodnoj nejednkosti svud mor d vжi znk jednkosti, p je =. Ov je relij T:, z z z. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. b) Vжi jer je ( ) = = ( ) i jer je = =. Ako bi vжil ntisimetriqnost, td bi imli d je =, to nije tqno. Time smo pokzli d relij n skupu Z nije AS, p on nije relij poretk. Npomen. Ov relij nije S (npr. ), p nije relij ekvivlenije. 8. Pokzti d je relij (,,deli ) relij poretk n skupu S N, d nije relij poretk n Z. Mtemtiqk iniij d broj deli broj b je: b ( k Z) b = k. D li je ovo relij totlnog ili prijlnog poretk? D li je struktur (N, ) reetk? ReeƬe. Kko (jer postoji k Z tkvo d je = k to je k = ), ov je relij R. Ov je relij AS u N:, = k, = l = k l (ov jednkost vжi z svko N) k l = k =, l = (jer su k, l N) i konqno, iz l = =. U skupu Z jednqin k l = im i reeƭe k = l =, n osnovu koje konstruiemo kontrprimer z AS:, =. Ovim smo pokzli d relij deʃivosti nije relij poretk n skupu Z. Ov je relij T:, z = k, z = m z = m k ( k, m N k m N) z. Osobine R, AS i T vжe u N, p i u svkom Ƭegovom podskupu, S N, te smo pokzli d je relij poretk u S N. D li je ovo relij totlnog ili prijlnog poretk je trik pitƭe! Zvisi od tog t je skup S! Npr. ko S im smo element ili element od kojih jedn deli drugi ond je to relij totlnog poretk. S moжe biti i beskonqn: z S = { k : k N 0 } to je tkođe relij totlnog poretk. U nrednom zdtku djemo primere skup S kod kojih je ovo relij prijlnog poretk. U skupu N postoji infimum z bilo koj broj (to je NZD njve i zjedniqki delil), supremum z bilo koj broj je NZS (njmƭi zjedniqki sdrжl). Stog je struktur (N, ) reetk. Npomen. Qest grek je d je,,k jedino slovo koje znte! Ako ond stvimo d je = k, z u ispitivƭu AS treb uzeti neko novo slovo, npr. l i ond immo d je = l. Sliqno umesto put k, uzeli smo k i m pri ispitivƭu T. 0
11 9. Nek je relij,,deli,, (iz prethodnog zdtk) zdt n skupu ) S = {,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0, 6, 50, 5, 60}; b) S = N; v) S = N 0 = N {0}; g) S = N \ {}. Ukoliko je S konqn nrtti Hseov dijgrm ove relije. Xt su njve i, njmƭi, mksimlni i minimlni elementi (ukoliko postoje)? D li je ov relijsk struktur reetk? ReeƬe. ) Hseov dijgrm z reliju deʃivosti n skupu S = {,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0, 6, 50, 5, 60} (to je jedini konqn skup) je prikzn n slede oj slii: Odvde vidimo d je njmƭi element, smim tim to je i jedini minimlni element. Ov struktur im vie mksimlnih element: 7,9, 5, 60. Kko im vie mksimlnih element on nem njve i element. Infimum z bilo koj broj, i b postoji (li to nije NZD npr. inf{50, 5} = 5, NZD(50, 5) = 5!!!) jer se po Hseovom dijgrmu moжemo sputti polze i od do njve eg zjedniqog delio brojev i b koji se nlzi u skupu S (on sigurno postoji jer je S). Supremum ne postoji uvek! Npr. sup{7, 9} ne postoji! Stog ov struktur nije reetk. b),v),g) Xt su njve i, njmƭi, mksimlni i minimlni elementi (ukoliko postoje), ko i d li je t relijsk struktur reetk d emo u slede oj tblii: S njmƭi el. njve i el. minimlni el. mksimlni el. reetk b) N nem nem jeste v) N jeste g) N \ {} nem nem prosti brojevi nem nije Iz ove tblie vidimo koliko ml promen skup S utiqe n promenu osnovnih osobin relijske strukture. Pokжimo neke od ovih osobin iz prethodne tblie. Kko deli sve prirodne brojeve (i 0), immo d n, tj. n, p je njmƭi element, to povlqi d je i jedini minimln element (ovo vжi i u N i u N 0 ). I u N i u N \ {} ne postoji nijedn mksimlni element (pretpostvimo suprotno d postoji nek je to M, li td M M, p smim tim M nije mksimln!), to povlqi d ne postoji ni njve i element. U N 0 je 0 njve i element jer 0 dele svi prirodni brojevi : n 0, tj. n 0, tj. 0 njve i element, to povlqi d je 0 i jedini mksimln element. I u N i u N 0 ov struktur je reetk (iko je to relij prijlnog poretk), jer postoje i infimum i supremum z bilo koj element (posebno nvodimo ko je tu 0 i ko nije): inf{, b} = NZD(, b), sup{, b} = NZS(, b); inf{, 0} =, sup{, 0} = 0. Dokжimo d u N \ {} ne postoji njmƭi element. Pretpostvimo d postoji nek je to m, td m n z svko n N \ {}, p i z n = vжi d m m = (jer je to jedini broj u N \ {} koji deli ). Ali td bi morlo d vжi n z svko n N \ {}, to nije tqno (npr. 3), p smo dobili kontrdikiju. Stog ne postoji njmƭi element u N \ {}. Iz knonske fktorizije prirodnih brojev sledi d su prosti brojevi (to su brojevi koji ve i od, koji su deʃivi smo s i s smim sobom:, 3, 5, 7,, 3, 7,...) minimlni elementi u N \ {}. U N \ {} postoji supremum bilo koj broj (to je NZS), li ne postoji infimum z svk broj: npr. inf{, 3} ne postoji (jer NZD(, 3) = N \ {}), p smim tim ov struktur nije reetk. Qk i 0 deli 0! Zto smo reliju deʃivosti uvodili s onim d postoji k Z ovde z k moжemo uzeti bilo koji broj.
12 0.. zdtk, Probni II kolokvijum 008. Dt je relij uslovom ( + ) ( + ) n skupu S R. ) Dokzti d relij ne zdovoʃv osobinu ntisimetriqnosti n elom skupu R. b) Dokzti d relij predstvʃ reliju poretk n skupu S = [, + ). v) D li je to relij totlnog ili relij prijlnog poretk? D li je to reetk? g) Pokzti d je njve i element skup S = [, + ). d) Odrediti (ko postoje) njmƭi, njve i, minimln i mksimln element skup T = {, 0,,, 3, 3}. ReeƬe. Obe strne nejednkosti kojom je zdt relij moжemo podeliti s ( + )( + ) > 0 i td dobijmo d je f() f(), gde je f() = +. ) N elom skupu R immo d je f() = f( ) = 5, p vжi i f() f( ) i f( ) f(), tj. i, kko je sledi d ov relij nije AS. b) Kko je f() f(), tj., relij je R n svkom podskupu S R. Ako je i immo d vжi f() f() i f() f(), tj. vжi f() f() f(), odkle dobijmo d je f() = f(). Odredimo kd moжe d vжi ov jednkost. Iz f() = f(), tj. ( + ) = ( + ) to kd sredimo dobijmo kvdrtnu jednqinu ( + ) + = 0. ƫen reeƭ su, = + ± ( + ) 4 = + ± ( ), odnosno = i =. Dkle vжi i ko i smo ko je = ili =. Međutim, kko su, [, + ), tj. i, p [, + ) (sem ukoliko je =, li td je i = = ). Tko smo pokzli d moжe vжiti i smo ukoliko je =, tj. relij je AS n skupu S = [, + ). T:, z f() f(), f() f(z) f() f(), f() f(z) f() f(z) z. Kko z vжi R, AS i T to je on relij poretk n S = [, + ). v) Kko z svk element i immo d su,,uporediv, tj. ili je f() f() ili f() f(), dobijmo d je to relij totlnog poretk (ln), odtle sledi i d je reetk. g) Pokжimo d z svko S vжi f() f(), tj. +. Kd prethodnu nejednkost pomnoжimo s ( +) dobijmo +, tj. 0 +, odnosno 0 ( ), to uvek vжi. Time smo pokzli d z svko S vжi f() f(), tj., p je njve i element skup S. d) Kko je f( ) = 5, f(0) = 0, f( ) = 5, f() =, f(3 ) = 6 3, f(3) = 3 0. Vжi f( ) f(0) f(3) f( ) f(3 ) f(), tj , odkle vidimo d je njmƭi (smim tim i jedini minimlni element), njve i (smim tim i jedini mksimlni) element. Npomen. AS smo mogli d pokжemo i tko to bi ispitli 3 i skiirli grfik funkije f() = Kd bi to urdili dobili bi grfik ko n slede oj slii levo: M + M O O M M Antisimetriqnost se svodi n to d je funkij f() =,,-, to njlke pokzujemo preko monotosti. + U sluqju R vidimo d f() nije monoton, p moжemo pron i kontrprimer z,,- : f( ) = f(),. To nm dje kontrprimer z AS:,. Grfik funkije f : [, + ) R dte s f() = je predstvʃen rvenom bojom n slii desno. On je + monotono opdju i (od tqke M funkij opd), p je f() i,,-, tj. relij je AS. 3 Ne bi morli d ispitmo elu funkiju, nego smo d odredimo oblst inisnosti, grniqne vrednosti n krjevim domen i monotonst!
13 .. zdtk, G grup, II kolokvijum 008. Nek je relij dt n slede i nqin: (, R) =. ) Ispitti d li je relij ekvivlenije n skupu R. Ako jeste, odrediti klse ekvivlenije element 0,, 3, i. b) Ispitti d li je relij poretk (ko i totlnog ili prijlnog poretk) n skupu R. Ako jeste odrediti njmƭi, njve i, minimln i mksimln element skup (R, ). ReeƬe. ) Uslov kojim je inisn relij moжemo trnsformisti u = + = + f() = f(), gde je f() = +. Moжe se pokzti (revƭem odgovrju e kvdrtne jednqine) d je ( = ) ( = ). Ispitjmo osnovne osobine relije n skupu R: R f() = f() ; S f() = f() f() = f() ; AS, = ne vжi jer je i, ; (do ovog kontrprimer dolzimo tko to { = potpuno isto ko i u prethodnom primeru dobijmo d je = ). T, z f() = f(), f() = f(z) f() = f(z) z. ) Kko je relij refleksivn, simetriqn i trnzitivn (R,S,T) on je relij ekvivlenije. { = Sd opet koristimo d je =, p su klse ekvivlenije: [0] = {0}, [] = {}, [ 3] = { 3, 3 }, [] = [ ] = {, }. b) Relij nije relij poretk jer nije ntisimetriqn (AS)... zdtk, februrski rok 009. Ispitti d li je relij inisn ko ( )( ) = 0 jedn relij ekvivlenije n skupu relnih brojev. Ukoliko jeste, odrediti klse ekvivlenije [0], [] i []. ReeƬe. ( )( ) = 0 = ili = = ili = ili = R = p je. S Ako je ond immo 4 sluqj: =, =, 3 = i 4 =. = = ; = =. 3 = = ; 4 = =. Kko smo u sv 4 sluqj dobili to je ov relij simetriqn. ili =. T Ako je ond immo 4 sluqj i ko je z ond immo 4 sluqj, to dje ukupno 4 4 = 6 sluqj (to je ve mnogo z ispitivti iko je z oenu :) te emo pribe i redukiji sluqjev. Ako je ond immo sluqj = i =. Ako je z ond immo sluqj = z i b = z. To dje ukupno = 4 sluqj: =, = z = z z; b =, = z = z z; =, = z = z z; b =, = z = z = z z. Kko smo u sv 4 sluqj dobili, z z to je ov relij trnzitivn. Kko je R,S,T dt relij je jedn relij ekvivlenije n skupu relnih brojev. Odredimo trжene klse ekvivlenije: [0] = { R 0 } = {0}, [] = { R } = {, }, [] = { R } = {,,, }. 3
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραRazliqiti metodi rexavanja geometrijskog problema
Rzliqiti metodi rexvnj geometrijskog problem Vldimir lti bltic@gleb.etf.bg.c.yu Lepot mtemtike se ogled u rzliqitim putevim z rexvnje problem. Nstvnici i profesori bi treblo veliki broj zdtk d rexvju n nekoliko
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike
Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραМногоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότεραA Pismeni ispit iz DMS-a, A
A Pismeni ispit iz DMS-a, 08.0.009. A Prezime i ime studenta br. indeksa 1. (5 poena) Misle i da je atraktivan izgled dovoljan za karijeru pevaqice, pet mojih mladih sugrađanki (Kristina, Jelena, Tanja,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραa) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα