OSCILATORNO KRETANJE

Transcript

1 5 OSCILAORNO KREANJE Oscilorno krenje je krenje koje se krkeriše izvesni sepeno ponovljivosi. Nie određeni fizički proces ponvlj se n isi nčin česic (elo) više pu prolzi kroz iso rvnoežno snje. Pre prirodi fizičkog proces koji se ponvlj oscilorno krenje ože ii: ehničko (žice n giri eičko klno...) elekrogno (oscilovnje elekrognenog polj pri prosirnju svelosi ili rdio ls...) elekroehničko (oscilovnje o u krislnoj rešeki...). Mi ćeo se u nše proučvnju oscilornog krenj ogrničii n ehničko escilorno krenje. Mehničko oscilorno krenje je periodično ko su njegove krkerisike (pu rzin i urznje) periodične funkcije vreen hronijsko ko je funkcij rigonoerijsk (sinusn ili kosinusn). Pod pojo period () podrzuevo vreenski inervl u koje se krenje ponvlj n isi nčin odnosno: f(+)f(). ( ) Linerno hronijsko oscilovnje Linerno hronisjsko oscilovnje je njjednosvniji olik hronisjkog oscilovnj koje se odvij u jednoj rvni (krenje po prvoj liniji) pod dejsvo sile koj je srzern udljenju el od rvnoežnog položj i koj se nziv resiucion sil: r r F k Ovkvo svojsvo iju elsične sile čiji je inenzie srzern deforciji el p se resiucione sile česo nzivju i kvzielsične sile. Fizičk prirod resiucione sile ože ii rzliči odnosno o nije novi ip sile već njenu ulogu u konkreno oscilorno siseu preuzi nek od rnije nvedenih sil (npr. grvicion ili elsičn). Konsn k nziv se u opše slučju resiucion konsn i zvisi od osoin sog oscilor. Jedn od njjednosvnijih linernih hronijskih F oscilor prikzn je n slici levo. elo se koje leži n glkoj horizonlnoj podlozi je prikčeno z oprugu koj je svoji drugi krje pričvršćen z nepokren zid. Kd se oprug nlzi u relksirno snju (nije ni sijen ni isegnu) elo se nlzi u rvnoežno položju koji so oznčili nulo. Ako elo izvedeo iz rvnoežnog položj z r r neko ulevo oprug će se isegnui i jviće se sil F k isog prvc supronog ser od poerj r koj eži d elo F vri u rvnoežni položj kko i isegnuu oprugu vril u rvnoežno snje (slik gore). Konsn k u ovo slučju predsvlj konsnu elsičnosi opruge. N rsojnju od rvnoežnog položj elo i poencijlnu energiju (energiju položj) n rčun koje će se krei k rvnoežno položju pod dejsvo sile F r. U renuku prolsk kroz rvnoežni položj sv poencijln energij el prevoril se u kineičku energiju n rčun koje će elo proći rvnoežni položj i sii oprugu z (jer se d sv kineičk energij r prevoril u poencijlnu). U o renuku n elo deluje sil F sd ulevo ežeći d g vri u

2 5 rvnoežni položj kko i sijenu oprugu vril u rvnoežno snje. Posupk prevrnj poencijlne u kineičku energiju se ponvlj (oziro d ne posoji renje nii opor sredine) i elo osciluje oko svog rvnoežnog položj. Npišio jednčinu krenj z ovj slučj (II Njunov zkon). Ijući u vidu d je jedin sil koj deluje n elo resiucion sil (ne rčunjući silu eže i norlno dejsvo podloge koje ne uiču n krenje oziro d deluju u prvcu norlno n krenje) pišeo: k odnosno: d d d k k + k + d d d k Oznčio li u zdnje izrzu količnik s doijo: d + d šo predsvlj diferencijlnu jednčinu krenj linernog hronijskog oscilor (LHO). Opše rešenje ove jednčine dje renuni položj česice (el) koje osciluje u odnosu n položj rvnoeže i do je izrzo: gde je: π sin( + ϕ ) cos + ϕ k - kružn frekvenc je elongcij i predsvlj koje udljenje el od rvnoežnog položj je pliud i predsvlj ksilno udljenje el od rvnoežnog položj φ ( + ϕ ) - je fz oscilovnj (određuje renuni položj i ser krenj el) ϕ - počen fz oscilovnj (određen položje el u počeno renuku). Ijući u vidu ( ) i d je period sinusne funkcije π ožeo npisi: π π ( ( + ) + ϕ ) sin( + ϕ + π ) π sin π k odkle vidio d period oscilovnj sise ne zvisi od počenih uslov već so od svojsv sog oscilor. Recipročn vrednos period predsvlj roj oscilcij u jedinici vreen nziv se frekvenc oscilovnj: ν pri čeu je : [ ν ] Hz s. k

3 5 Brzin urznje i energij česice koj linerno hronijski osciluje Brzinu i u urznje česice koj osciluje ožeo nći ko prvi odnosno drugi izvod jednčine kojo je određen njen renuni položj. Dkle: d d v [ sin( + ϕ )] cos( + ϕ ) v cos( + ϕ ) d d gde je v pliud rzine odnosno njveć rzin koju oscilujuć česic (elo) i (o je rzin kojo prolzi kroz rvnoežni položj). dv sin( + ϕ ) sin( + ϕ ) d gde je - pliud urznj predznk - govori o seru delovnj urznj (uvek k rvnoežno položju). Vreensk zvisnos renunog položj (elongcije) rzine i urznj el grfički je predsvljen n slici dole. - elongcij Kko so već videli linerno hronijsko oscilovnje predsvlj zprvo rnslorno krenje p se ukupn ehničk energij ože npisi ko zir kineičke energije rnslornog krenj i poencijlne energije. Pošo resiucion sil i isi olik ko elsičn sil nećeo poseno izvodii izrz z poencijlnu energiju (vidi predvnje 6). ko je: v rzin E Ek + E p v + k Ako zenio gornje izrze z elongciju i rzinu doijo: urznje E cos E k ( + ϕ ) + k sin ( + ϕ ) [ cos ( + ϕ ) + sin ( + ϕ )] E k Dkle ukupn ehničk energij direkno je srzern kvdru pliude. Ko priere linernih hronijskih oscilor rzorio eičko i fizičko klno.

4 53 Meičko klno Pod pojo eičko klno podrzuevo lo elo se znerljivih dienzij i olik (erijln čk) zkčeno o dovoljno dug lk neisegljiv konc koje ože d osciluje u veriklnoj rvni oko ose koj prolzi kroz čku kčenj konc. Pri o se klno izvodi iz rvnoežnog položj z veo li ugo (red nekoliko sepeni) i preposvljo d se ogu znerii sile opor vzduh oscilovnju kln ko i renje u čki kčenj konc. Ovkv sise prikzn je n slici dole. Npišio jednčinu krenj i odredio period oscilovnj ovog kln. z θ Kko n klno deluju so sil zeljine eže i sil zeznj konc io d je: : g sinθ z : n g cosθ θ θ Pod preposvko d θ : sinθ θ p se prole svodi g n rnslorno krenje: sin θ i s (poerj je jednk l dužini opisnog kružnog luk s) i p je: d g d g g + l d l d l Kko vidio ovj izrz odgovr diferencijlnoj jednčini linernog hronijskog oscilor pri g čeu je ko d: l g π π l l g Dkle period oscilovnj eičkog kln ne zvisi od se kln (d se ne se znerii jer kko vidio resiucion sil nije niš drugo do projekcij sile eže) već so od njegove dužine. Fizičko klno Fizičko klno je čvrso elo sposono d vrši oscilovnje oko nepokrene čke koj nije njegov cenr inercije. Model fizičkog kln prikzn je n slici dole. Jedin sil koj je u snju d orne elo oko čke O je sil Zeljine eže i njen oen je l O θ M gl sinθ (znk inus je oud šo eži d snji ugo θ). C Izjednčvjući ovj izrz s II Njunovi zkono z rociono krenje d θ M Iα I d i ijući u vidu d θ sinθ θ doijo: θ g

5 54 d θ I glθ d šo odgovr jednčini LHO gde je: d θ gl + θ d I gl π π I I gl Predsvljnje hronijskog oscilovnj fzorski dijgro Koriseći svoj eleskop Glilej je 6. godine okrio čeiri njveć Jupierov seli. Posrjući ih oko noći zeležio je d se oni kreću n polo čudn nčin npred nzd odnosno kko iso dns rekli d linerno hronijski osciluju oko središ u koje se nlzio Jupierov disk. Koriseći Glilejeve eleške profesor Frenč s MI univerzie je pokušo d rekonsruiše krenje jednog od seli Klis i okrio d je njegovo krenje dleko od proso hronijskog. Nie Kliso se kreće konsnno rzino po prvilnoj kružnoj punji oko Jupier. Posvlj se pinje š je o zprvo Glilej video? Odgovor je jednosvn ko io u vidu sliku desno. Kd se elo se (ispunjeni kružić) kreće po kružnoj punji njegov se položj enj u svko renuku šoje predsvljeno n slici przni kružići. (Rdi preglednosi predsvljeno je sveg nekoliko uzsopnih položj). Ako posro projekcije renunog položj el videćeo d e projekcije osciluju po odnosno osi oko čke O i o o prosi hronijski oscilcij. Dkle ožeo reći i d: proso hronijsko oscilovnje predsvlj projekciju rvnoernog kružnog krenj n dijer kružne punje. o znči d ugon frekvenc hronijskih oscilcij nije niš drugo do konsnn ugon rzin kojo se referenn čk kreće po krugu. o n dje ideju d svku linernu hronijsku oscilciju koj se odvij duž npr. ose ožeo predsvii jedni vekoro koji i odgovro rdijus vekoru položj referenne čke čij je dužin jednk pliudi oscilovnj ngi pre osi odgovr počenoj fzi e oscilcije (određuje počeni položj el). Vrh og vekor opiso i pun krug z vree koje odgovr jedno periodu o znči d je ugon rzin vrh vekor. Predsvljnje oscilovnj n ovj nčin nziv se fzorski ili vekorski dijgro i unogoe olkšv rešvnje nekih prole ko šo je slgnje više oscilcij d i se doil rezulujuć oscilcij. Nie oguće je d elo isovreeno učesvuje u više oscilcij duž ϕ isog prvc ili po eđusono norlni prvci (sve oslo se ože -() () svesi n ov dv slučj). Slgnje oscilcij isog prvc i ugone frekvence Nek elo isovreeno učesvuje u dve oscilcije koje se odvijju po iso prvcu i seru (p rier kuglic n opruzi zkčen z vnicu železničkog vgon) isi ugoni frekvenc. Jednčine ih oscilcij su: cos + ϕ cos ( ) ( + ϕ ) gde su s i oznčene pliude ih oscilcij ϕ i ϕ njihove počene fze oscilovnj.

6 55 Jednčinu rezulujuće oscilcije ožeo doii pooću fz orskog dijgr predsvljenog n slici. Pošujući prvilo vekorskog sirnj s slike se vidi d se pliud rezulujuće oscilcije ože doii (kosinusn eore) iz: + cos[ π ( ϕ ϕ) ] (**) + + cos ϕ ϕ ( ) ϕ ϕ ϕ d se rezulujuć fz ože doii iz: sinϕ + sinϕ gϕ cosϕ + cosϕ Dkle ko su oscilcije u fzi (fzn rzlik je nul) j: ϕ ϕ ond se (iz **) rezulujuć pliud doij prosi ziro pliud + ko se fze pojedinčnih oscilcij rzlikuju z π j. : ϕ ϕ ± π ond je. (Apsolun vrednos je svljen jer ne fizičkog sisl d pliud ude negivn roj. S lgnje oscilcij isog prvc i pliude i rzličiih ugonih frekvenci Rzorio slučj slgnj oscilcij isog prvc i ise pliude i rzličie (li liske do n %) frekvence. Pošo su i frekvence rzličie o znči (u sislu predsvljnj oscilcij r r pooću vekor) d i roirju rzličii ugoni rzin p će rezulujuć pliud pulsiri. Odredio pliudu rezulujuće oscilcije: cos cos( + ) (Pri sirnju ov dv izrz korisićeo se pozno forulo: A + B A B cos A + cos B cos cos ). Dkle: + + [ cos + cos( + ) ] cos cos cos cos U gornje izrzu je iskorišćeno d je cos( A) cos A ko i o d + jer je (kko so n počeku rzrnj uslovili).. Ond je pliud rezulujuće oscilcije: cos jer se ovj čln nogo sporije enj s vreeno od čln cos (orie pžnju d so rniji slučjevi uvek govorili o konsnnoj pliudi). Veličin predsvlj frekvencu pulscije pliude ovkv rezulujuć oscilcij se nziv okucj ili izijnje. N slici dole predsvljen je grfik funkcije () i pulscij pliude.

7 56 π / pliud π / Slgnje uzjno norlnih oscilcij Preposvio d erijln čk ože isovreeno d vrši oscilovnje duž prvc i ose. U opše slučju o rezulir krivolinijsko rjekorijo koj zvisi od frekvencij i počenih fz pojedinčnih oscilcij. kve rjekorije se nzivju figur. Mi ćeo rzri so slučj kd se rzlikuju počene fze koponennih oscilcij dok su i frekvencije jednke. Nek čk isovreeno osciluje po zkonu: cos i ( +ϕ) cos Eliincijo vreen iz gornje dve jednčine doićeo rezulujuću rjekoriju. Iz prve jednčine sledi d je: cos i sin ( jer je sin A + cos A ) šo zeno u drugu jednčinu (uz korišćenje pozne forule cos A + B cos Acos B sin Asin ) dje: ( ) B cos ϕ ( + ϕ) cos cosϕ sin sinϕ cosϕ sin cosϕ sinϕ šo posle kvdrirnj dje: + cos ϕ cosϕ sin ϕ sin ϕ + cosϕ sin ϕ ( )

8 57 Iz nliičke geoerije je pozno d izrz ( ) predsvlj jednčinu elipse čije su ose proizvoljno orijenisne u rvni O. Rzorio nekoliko specijlnih slučjev:. Nek se oscilcije nlze u fzi ( ϕ ). Zeno u ( ) doijo: + šo predsvlj jednčinu prve koj prolzi kroz koordinni poček i čiji je koeficijen prvc.. Nek je fzn rzlik izeđu oscilcij ± π. Ond je: šo predsvlj jednčinu prve koj prolzi kroz koordinni poček i čiji je koeficijen prvc π c. Nek je fzn rzlik ϕ ± : +. π šo predsvlj jednčinu elipse. Ser oilsk elipse je ser kzljke n su u slučju ϕ π odnosno supron seru kzljke n su ko je ϕ. N slici dole predsvljene su rjekorije u gornj ri slučj nzivju se i Lisžu figur. O O O ϕ π/ ϕπ/ Sloodne (prigušene) oscilcije U dosdšnji prieri so preposvljli d kd elo jedno izvedeo iz rvnoežnog položj ili n neki drugi nčin delovnje spoljne sile poudio n oscilovnje ndlje ono osciluje konsnno pliudo sve dok delovnje neke druge sile o ne proeni jer je pod uicje so kvzielsične sile. U relno slučju eđui jsno je d se oscilorno krenju el suprosvlj sil opor sredine ko i renje (u čki kčenj npr. u slučju kln). Usled delovnj ovih sil doći će do snjivnj pliude i n posleku do presnk oscilovnj. Ovo je slučj sloodnih ili zv. prigušenih oscilcij. Npišio jednčinu sloodnih oscilcij.

9 58 Ako su oscilcije le l je i rzin oscilovnj p silu opor ožeo sri direkno srzernoj oj rzini (isog je prvc s prvce rzine supronog ser) j.: r r d Fr rv Fr r d gde je r koeficijen opor sredine. Ond jednčin krenj ože d se npiše ko: d d d r d k k r + + d d d d d d + β + d d gde je. k -sopsven frekvenc oscilovnj j ugon frekvenc kojo i oscilor oscilovo d ne prigušenj r β koeficijen (rzin prigušenj). U slučju log opor sredine ( β ) rešenje gornje jednčine krenj i olik: ( + ϕ) β e cos p se krenje ože reiri ko hronijsko oscilovnje s pliudo koj se enj po zkonu: β e gde je - pliud u počeno renuku i ugono frekvenco: β odkle z period prigušenih oscilcij doijo: π π β N slici dole je prikzno kko se elongcij prinudnih oscilcij enj u vreenu. S slike se kođe ože videi d u oku svkog period opd vrednos pliude. Odnos inenzie dve uzsopne pliude nziv se dekreen prigušenj: dok se veličin β ( ) e β ( + ) ( + ) e e β

10 59 ( ) ( + ) λ ln β nziv logriski dekreen prigušenj. () Prinudne oscilcije Prinudno oscilorno krenje je kvo oscilorno krenje pri koe deluje prinudn sil koj se enj po prosoperiodično zkonu. Nek je sil olik: F F cos gde je pliud spoljšnje prinudne sile njen kružn učesnos. d jednčin krenj doij olik: d d k r + F cos d d d r d k F + + cos d d d d + β + f cos d d Rešvnje ove diferencijlne jednčine doij se d je pliud prinudnih oscilcij: počen fz: ( ) + 4β β ϕ rcg. f F Ko šo vidio plud zvisi od pliude i frekvence prinudne sile. o znči d pri nekoj određenoj vrednosi frekvence prinudne sile pliud dosiže ksilnu vrednos. Ov pojv se nziv rezonncijo odgovrjuć frekvenc pri kojoj se o dešv rezonnno učesnošću. d U relno slučju kd posoji prigušenje rezonnnu učesnos ćeo nći iz uslov: d odkle doijo jednčinu: 4 ( ) + 8β

11 6 koj i ri rešenj: (nije rešenje nšeg zdk jer odgovr ksilnoj vrednosi ienioc u izrzu z pludu j. inilnoj vrednosi pliude) β (nije rešenje nšeg zdk jer učesnos ne ože ii negivn roj) i rez β odkle zeno u izrz z ožeo doii i vrednos rezonnne pliude: rez f β β U odsusvu opor sredine ( β ) vidio d rezonnn učesnos eži sopsvenoj učesnosi dok pliud prinudnih oscilcij eži eskončnosi. Pojv rezonncije je od jko velikog znčj i or se ii u vidu pri konsrukciji rzličiih šin grdnji i održvnju osov i sorćjnic li i sorćjno - rnspornih sredsv. Nie sopsven učesnos oscilovnj kril vion or se rzlikovi od učesnosi vircij oor d ne i došlo do njihovog lo. lsi n oru vrše periodične udre o korio rod koji se ponš ko oscilorni sise s li prigušenje. Kko osnovn frekvenc oscilovnj rup (koji se ponš slično dugčko špu) i učesnos udr ls ogu ii liske ože se dogodii pucnje kori rod usled znčjnog povećnj pliude oscilovnj svkko izziv zor erijl od kojeg je rod nprvljen. Pojv rezonncije se ože i iskorisii npr. u rdioehnici gde olkšv izdvjnje željenog signl usled pojčnj njegove pliude u rezonnno režiu rd elekričnog oscilornog kol.