|
|
- Ἀριδαίος Βούλγαρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4 1951
5 {0, 1}
6
7 N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x i = (x i 1,..., xi m) i {1,..., n} x j = (x 1 j,..., xn j ) j {1,..., m} f {(x, f(x)) x Dom(f)} Dom(f) f m N I {1,..., m} R F m J = {1,..., m} \ I I = {i 1,..., i s } J = {j 1,..., j t } R I = pr m I R = x j 1... x jt R = {(x i1,..., x is ) (x 1,..., x m ) R} R I = pr m I R = prm J = R J R i = R {i} i {1,..., m} R i = R {i} i {1,..., m} S S I = {R I R S} S I S i f : F m F F {0, 1} F 0, 1 {0, 1} c m x c m x (ȳ) = x ȳ F m : F m F x F m N : F 2 F { 1 x = y = 1, (x, y) = 0
8 : F 2 F { 0 x = y = 0, (x, y) = 1 maj : F 3 F { x x = y x = z, maj(x, y, z) = y y = z. : F 3 F x y = z, (x, y, z) = y x = z y, z x = y z.
9 {0, 1} {0, 1} {0, 1} m m N n f : {0, 1} n {0, 1} n N
10 B B pri n B n N i {1,..., n} pri n : {0, 1} n {0, 1} n i pri n (a 1,..., a n ) = a i, (a 1,..., a n ) {0, 1} n f, f 1,..., f n B f n f 1,..., f n k f(f 1,..., f n ) : {0, 1} k {0, 1} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) := f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k B S S Eq S Eq = {(0, 0), (1, 1)} S R S m k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k S m, k N i 1,..., i m {1,..., k} S R S m (m 1) R m S S R, R S m m R R S
11 S {0, 1} S Eq S {0, 1}(x) Eq(pr 2 1(x, y), pr 2 1(x, y)). S R 1, R 2 n m S R 1, R 2 (n + m) R = R 1 R 2 R(a 1,..., a n+m ) R 1 (a 1,..., a n ) R 2 (a n+1,..., a n+m ), (a 1,..., a n+m ) {0, 1} n+m S R 1 R 2 = R 1 R 2 (n + m) R 1, R 2 R 1(a 1,..., a n+m ) R 1 (pr n+m 1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n (a 1,..., a n+m )), R 2(a 1,..., a n+m ) R 2 (pr n+m n+1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n+m (a 1,..., a n+m )). R 1, R 2 S R 1 R 2 S S m N i, j {1,..., m} {0, 1} m E m i,j = {(a 1,..., a m ) a i = a j } R {0, 1} m f : {0, 1} n {0, 1} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R f(a 1,..., a n ) := (f(a 1 1,..., a n 1 ),..., f(a 1 m,..., a n m)) R. f S f R R S
12 B S P ol(s) = {f : {0, 1} n {0, 1} n N f R, R S} Inv(B) = {R {0, 1} m m N f R, f B} S P ol(s) m R S n N i {1,..., n} a 1,..., a n R (pr n i (a 1 1,..., a n 1 ),..., pr n i (a 1 m,..., a n m)) = (a i 1,..., a i m) = a i R. P ol(s) n f P ol(s) k f 1,..., f n P ol(s) a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) = f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )) R. B Inv(B) n f B a 1,..., a n Eq Eq a i = (a i 1, ai 2 ) ai 1 = ai 2 i {1,..., n} f(a 1) = f(a 2 ) (f(a 1 ), f(a 2 )) Eq f Eq Inv(B) m R Inv(B) i 1,..., i m {1,.., k} k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )). a 1,..., a n R (a 1 i 1,..., a 1 i m ),..., (a n i 1,..., a n i m ) R f R (f(a 1 i 1,..., a n i 1 ),..., f(a 1 i m,..., a n i m )) R (f(a 1 ),..., f(a k )) R f R Inv(B) m R Inv(B) (a 1 1,..., a1 m 1 ),..., (an 1,..., an m 1 ) R m a 1 m,..., a n m (a 1 1,..., a1 m),..., (a n 1,..., an m) R f R (f(a 1 ),..., f(a m )) R (f(a 1 ),..., f(a m 1 )) R m f R m Inv(B)
13 m R 1, R 2 Inv(B) a 1,..., a n R 1 R 2 (f(a 1 ),..., f(a m )) R 1 R 2 f R 1 R 2 Inv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} n f Dom(f) {0, 1} n Im(f) {0, 1} R {0, 1} m f n f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R a 1,..., a m Dom(f) (f(a 1 ),..., f(a m )) R. S R S B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S Inv(B) = Inv([B]) P ol(s) = P ol( S ) B S B = [B] S = S B S B P ol(inv(b)) S Inv(P ol(s))
14 n f / B R Inv(B) f T 2 n n {0, 1} n 2 n {0, 1} n t i t j B (n) n B g B (n) g(t ) 2 n m M T g(t ) m = B (n) R = {g(t ) T g B (n) } R M R Inv(B) j {1,..., n} t j R t j = prj n (T ) prj n B(n) B k = 2 n r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M g 1,..., g r B (n) x i = (g i (t 1 ),..., g i (t k )) i {1,..., r} (h(x 1 1,..., x r 1),..., h(x 1 k,..., xr k )) = = (h(g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h(g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, g 1,..., g r B h(g 1,..., g r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R (f(t 1 ),..., f(t k )) = f(t ) R g B (n) g(t ) = f(t ) {t 1,..., t k } = {0, 1} n f = g f B m R / S f P ol(s) R S f S S n f S Dom(f) = {0, 1} Dom(f) =
15 g P ol(s) P ol(s) = Dom(f) {0, 1} n f f n {0, 1} n {0, 1} n f S Dom(f) = {r 1,..., r k } k N \ {0} r / {r 1,..., r k } {0, 1} n f 0 = f {(r, 0)} f 1 = f {(r, 1)} f 0, f 1 S f S m 0 R 0 S m 1 R 1 S f 0 R 0 f 1 f 1 n m i M i R i f i f i (Mi T )T / R i i {0, 1} M i {r 1,..., r k, r} r M i i {0, 1} M 1 f 1 (M T 1 )T = f(m T 1 )T f S M 0 M 1 M 0 = M 1 = r T R 0, R 1 r i {0, 1} f i (r) = i R i M i R i M i i {0, 1} j j M i j, j {1,..., m i } j j R i R i(x 1,..., x j,..., x j 1, x j +1,...x mi ) x j R i (x 1,..., x j,..., x j,..., x mi ) Eq(j, j ) S N i R i M i j f i (Ni T )T R i f i(mi T )T / R i R i R i
16 n (m 1 + m 2 ) N m 1 M 1 M 2 i j N r i {1,..., m 1 } j {m 1 + 1,..., m 2 } R = R 1 R 2 R S N R N N i j N R S R R (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x j 1, x j+1,..., x m1 +m 2 x i x j R (x 1,..., x m1 +m 2 ) Eq(x i, x j ) f S N f(n T ) T R R i {0, 1} f i (N T ) T R f i (M T i )T R i P = Q. Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k m R R = k k f f(n T ) = t T N {0, 1} k f i, j {1,..., m} i j N R E m i,j S S E m i,j {Q S Q R} P Em i,j f f S f R S n R S f k n M R f f(m T ) T R M i, j R (x 1,..., x i,..., x j 1, x j+1,..., x n ) x j R (x 1,..., x n ) Eq(x i, x j ).
17 R S M R M j f(m T ) T / R R f M N n m n R R {0, 1} (m n) S P R {0, 1} (m n) t R {0, 1} (m n) (t 1,..., t n ) R (t 1,..., t n ) = f(m T ) T / R B S (L,,, ) L x, y L x y x y X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) B S X, Y B [X Y ] = X Y X Y X Y X Y X, Y X Y X Y X Y = X Y B X Y [X Y ] X Y X Y [X Y ] X Y X Y = [X Y ] B
18 P ol(s), Inv(B) B S P ol : S B Inv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) 1 2 Y X W Z 3 Inv(P ol) : S S P ol(inv) : B B X, Y S Z, W B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) X Y Inv(P ol(x)) Inv(P ol(y )) Z W P ol(inv(z)) P ol(inv(w )) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(inv(p ol(x)))) P ol(inv(z)) = P ol(inv(p ol(inv(z)))) (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z)
19 P ol(x) = P ol(y ) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(y )) X = Y P ol 1 1 Z B Z = P ol(inv(z)) P ol Inv
20
21
22
23 SAT S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = m R i (x i 1,..., x i m i ), i=1 R i S i {1,..., m} x i j {x 1,..., x n } V i, j S ϕ ϕ SAT (S) SAT S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ Eq(u 1, u 2 ) Eq / S u 1, u 2
24 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n } ϕ R(u i1,..., u ir ) R / S R S R(x 1,..., x r ) R (pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k s (x 1,..., x r )), R (u k1,..., u ks ) ϕ R(u 1,..., u R ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) S 1 S 2 S 1 S 2 SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) ϕ S 1 ϕ S 2 SAT (S 1 ) P SAT ( S 2 ) = P SAT (S 2 ) S 1 S 2 P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) Inv(P ol(s 1 )) Inv(P ol(s 2 )) S 1 S 2 SAT (S 1 ) SAT (S 2 ) R R 0 (0,..., 0) R 1 (1,..., 1) R
25 S S Schaefer S S 0 1 SAT (S) NP ( ) S 0 1 ( ) [], [] II 0 = Inv([{c 0 }]) II 1 = Inv([{c 1 }]) IE 2 = Inv([{ }]) IV 2 = Inv([{ }]) ID 2 = Inv([{maj}]) IL 2 = Inv([{ }]) IN 2 = Inv([{ }]) BR = {R {0, 1} n n N} S II 0, II 1, IE 2, IV 2, ID 2, IL 2 S IN 2 S IN 2 IN 2 S = BR SAT (S) = P SAT ( S ) = SAT (BR) SAT (S) NP
26 S = S = IN 2 = Inv([{ }]) R NAE = {0, 1} 3 \ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}. P ol({r NAE }) [{ }] P ol({r NAE }) {R NAE } = Inv(P ol({r NAE }) Inv([{ }]) = IN 2. N 2 = P ol(in 2 ) P ol({r NAE }) SAT ({R NAE }) P SAT (IN 2 ) = SAT (S) SAT ({R NAE }) NP SAT (S)
27 {0 j, 1 j } j {1,..., m} m N {0 j, 1 j } m R {0 j, 1 j } i j j=1 α R m σ R = (i 1,..., i m ) j i j a R = m j=1 i j i j N j {1,..., m} m m m m R m 1 j 0 I j 0 1 J m (j 0 + 1) R
28 R I {0 j0, 1 j0 } R J j 0 j {0 j, 1 j } j {1,..., m} n n N m m f = (f 1,..., f m ) f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f j m
29 B m B (pr n i,..., pr n i ) }{{} m B n N i {1,..., n} {0 j, 1 j } f = (f 1,..., f m ), f 1 = (f1 1,..., f m), 1..., f n = (f1 n,..., f m) n B f n f 1,..., f n k f( f 1,..., f n ) := ḡ = (g 1,..., g m ) j {1,..., m} g j = f j (f 1 j,..., f n j ) : {0 j, 1 j } k {0, 1}, g j (a 1,..., a k ) := f j (f 1 j (a 1,..., a k ),..., f n j (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0 j, 1 j } k B B B j j {1,..., m} j {1,..., m} B j k f / B j n g j B j k gj 1,..., gn j B j f = (g j (gj 1,..., gn j )) g j, gj 1,..., gn j B j ḡ, ḡ 1,...ḡ n B j g j, gj 1,..., gn j h = (h 1,..., h m ) h i = g i (gi 1,..., gn i ) i j h j = f B f = h j B j Eq j = {(0 j, 0 j ), (1 j, 1 j )} j {1,..., m} Eq j,n s,t = {(a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n a s = a t }
30 S S k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S j {1,..., m} S j {1,..., m} R S R j 1 s N j r N k N R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+k,..., a αr ) R(a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+k ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+k ),..., a αr ), (a 1,..., a αr ) m j+1 {0 j, 1 j } s j i 1,..., i r {s + 1,..., s + k} R S S R S (α R 1) R αr S S R, R S α R = α R R R S S R 1, R 2 S j i 1 j i2 j j {1,..., m} R 1, R 2 R = R 1 R 2 R(a 1,..., a i 1 1, a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +1,..., a i 1 1 +i2 1 +i1 2,..., a α R1 +α R2 ) R 1 (a 1,..., a i 1 1, a i 1 1 +i ,..., a α R1 ) R 2 (a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +i1 2 +1,..., a α R2 ), (a 1,..., a αr1 +α R2 ) m j=1 {0 j, 1 j } i1 j +i2 j S m j=1 {0 j, 1 j } m j=1 Eqj k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k,n s,t m j=k+1 {0 j, 1 j } j {1,..., m} n N j {1,..., m} I j j j I j
31 S S Ij j {1,..., m} k {1,..., m} S Ik k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S I k Eq k Eq k S Ik R S Ik R S R = R I k R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+t,..., a αr ) R (a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+t ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+t ),..., a α R ), s k 1 R, R t k R r R R S R = R I k R S Ik R (a 1,..., a t ) R(pr k i 1 (a 1,..., a t ),..., pr k i r (a 1,..., a t )). R S Ik R S R = R I k S R = R α R S R I k = R αr S n S ik m
32 R k m j i j f = (f 1,..., f m ) m f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 k ),..., an = (a n 1,..., an k ) R f(a 1,..., a n ) := (f 1 (a 1 ),..., f 1 (a i1 ), f 2 (a i1 +1),..., f 2 (a i1 +i 2 ),..., f m (a k )) R. f S f R R S 1 B S MP ol(s) = { f f R, R S} MInv(B) = {R m j=1 {0 j, 1 j } i j f R, f B} S MP ol(s) t R S m a 1,..., a n R (pr n i (a 1 ),..., pr n i (a t )) = (a i 1,..., a i t) = a i R. (pri n,..., pri n ) MP ol(s) n N i {1,..., n} }{{} m n f = (f 1,..., f m ) MP ol(s) k f 1,..., f n MP ol(s) f i = (f1 i,..., f m) i i {1,..., n} a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f( f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) R.
33 B MInv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S B S MP ol(minv(b)) B MInv(MP ol(s)) S n f = (f 1,..., f m ) / B R Inv(B) f T (m 2 n ) n ((j 1) 2 n ) + 1 j 2 n {0 j, 1 j } n j {1,..., m} B (n) n B ḡ = (g 1,..., g m ) B (n) ḡ(t ) g j T {0 j, 1 j } n 2 n a M ḡ(t )
34 R = {ḡ(t ) T g B (n) } R M R MInv(B) d T R (prd n,..., prn d }{{} ) B (n) k = (m 2 n ) m r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M ḡ 1,..., ḡ r B (n) x i = (ḡ i (t 1,..., t k )) i {1,..., r} t i i T (h 1 (x 1 1,..., x r 1),..., h m (x 1 k,..., xr k )) = = (h 1 (g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h m (g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, ḡ 1,..., ḡ r B h(ḡ 1,..., ḡ r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R f(t ) R ḡ B (n) ḡ(t ) = f(t ) T f = g f B n f = (f 1,..., f m ) S j Dom(f j ) {0 j, 1 j } n f j a R / S f MP ol(s) R P = Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k a R R = k k f f(n T ) = t T Q.
35 f S f R S R (0,..., 0, i j, 0,..., 0) R Ij j {1,..., m} S B = MP ol(s) j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) S Ij j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) R S Ij R S R = R IJ S = MInv(B) f = (f 1,..., f m ) B f S f j S Ij f j R R Inv(B j ) S Ij Inv(B j ) R Inv(B j ) f B j f R f B j f B f j = f j 1 f R = {0 i, 1 i } R i=1 m i=j+1 {0 i, 1 i }, R S R = R Ij R S Ij Inv(B j ) S Ij B S 1.2
36 X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) MP ol(s), MInv(B) B S MP ol : S B MInv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) MP ol MInv MInv(MP ol) : S S MP ol(minv) : B B X, Y S Z, W B X MInv(MP ol(x)) Z MP ol(minv(z)) X Y MInv(MP ol(x)) MInv(MP ol(y )) Z W MP ol(minv(z)) MP ol(minv(w )) MInv(MP ol(x)) = MInv(MP ol(minv(mp ol(x)))) MP ol(minv(z)) = MP ol(minv(mp ol(minv(z))))
37 (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z) S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = k R i (x i 1,..., x i n i ), R i S n i = α Ri i {1,..., k} k N x i j {x 1,..., x n } V i, j i=1 S ϕ(x 1,..., x n )
38 S ϕ ϕ SAT (S) SAT (S) S S S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ k 1 {0 j, 1 j }(v j ) Eq k (u 1, u 2 ) j=1 m j=k+1 {0 j, 1 j }(v j ) / S, u 1, u 2 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n }
39 ϕ R(v 1,..., v s, u i1,..., u ir, v s+1,..., v t ) R / S j 1 s j r m j t s R S R(y 1,..., y s, x 1,..., x r, y s+1,..., y t ) R (y 1,..., y s, pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k l (x 1,..., x r ), y s+1,..., y t ), R (v 1,..., v s, u k1,..., u kl, v s+1,..., v t ) ϕ R(u 1,..., u r ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) SAT (S) S m R 1 = {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } = {(0 1, 0 2 ), (0 1, 1 2 ), (1 1, 0 2 ), (1 1, 1 2 )} (1, 1) R 2 = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} = ({0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )}) {(0 2, 0 2 )} (3, 2) SAT ({R 1 }) P SAT ({R 2 }) NP {R 1 } SAT ({R NAE }) P SAT ({R 2 })
40 SAT ({R }) NP R = R 1,2,3 ONE IN T HREE = {(1 1, 0 2, 0 3 ), (0 1, 1 2, 0 3 ), (0 1, 0 2, 1 3 )}. R = R ONE IN T HREE = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} R R (a 1, a 2, a 3 ) R(pr 3 i 1 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 2 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 3 (a 1, a 2, a 3 )), i 1 i 2 i 3 {1, 2, 3} R = R R SAT ({R}) = P SAT ( {R} ) SAT ({R}) SAT ( {R} ) SAT ({R }) S = {R} ϕ(u 1,..., u n ) S n = 3k k N u 1,..., u n/3 u n/3+1,..., u 2n/3 R(u i, u j, u l ) i {n/3 + 1,..., 2n/3} j {2n/3 + 1,..., 3n} l {1,..., n/3} R(u l, u i, u j ) R(u i, u i, u j ) R (u i, u j ) R (a 1, a 2 ) R(pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 2(a 1, a 2, a 3 )) R(u i, u i, u i ) R empty =
41 R(u, v) u, v {u 1,..., u n } u R R (u, v, u R ) R(u, v) u v S 0 0 j 1 1 j 0 1 j j {1, 2, 3} SAT ({R}) = P SAT ({ R }) P SAT ({ R }) = P SAT ({R }) SAT ({R}) NP SAT ({R }) R Rj = {0 j, 1 j } j {1, 2, 3} SAT ({R } Ij ) = SAT ({Rj }) SAT ({R }) NP S j {1,..., m} SAT (S Ij ) NP SAT (S) NP R SAT (S Ij ) S Ij R S R Ij = R S Ij ϕ(u 1,..., u n ) R (u i1,..., u ini ) ϕ v1 R,..., vr t R R R R (u i1,..., u ini ) R(v1 R,..., vr s, u i1,..., u ini, vs+1 R,..., vr t R ) S SAT (S Ij ) P SAT (S) SAT (S) NP
42 m = 1 S V S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 u V Ju R R {R 1,..., R k } u V V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V = k pr J{u i 1,...,u i Ri (u i n } 1,..., u i n i ), i i=1 J {u i 1,...,u i n i } = u V {u i 1,...,ui n i } J u Ri i {1,..., k} V S = {R 1, R 2 } R 1 (3, 4) R 2 (5, 1) V = {u 1,..., u 15 } S ϕ(u 1,..., u 7 ) = R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3, u 5 ) R 2 (u 1, u 2, u 6, u 7, u 2, u 5 ). V = {u 1,..., u 10 } ϕ V = ϕ V = {u 1, u 2, u 3, u 4 } V ϕ(u 1,..., u 7 ) V = pr {1,2,3,4,5,6} R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3 ) pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ).
43 pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ) x 3 x 4 x 6 R 2 (u 1, u 2, x 3, x 4, u 2, x 6 ). S ϕ(u 1,..., u n ) s s 2 s n V {u 1,..., u n } s 1 u V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V {u} S ϕ(u 1,..., u n ) s s t 2 t s S ϕ(u 1,..., u n ) s 2 s n u {u 1,..., u n } \ V S = {R 1, R 2 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}. S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 V = {u 2, u 3, u 4, u 5 } V ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = x 1 x 3 R 1 (x 1, u 2, x 3, u 3, u 4, u 5 ) x 2 R 2 (u 2, x 2, u 3, u 5, u 5 ). (u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ) ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) ϕ V {u1 } (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ).
44 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ) 5 S = {R 1, R 2, R 3 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}, S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 3 = {(0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ). R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ) R 3 (u 2, u 3, u 4, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 R 3 u 1 s s s s 1 s s s s = 2, 3 s r n R m j=1 {0 j, 1 j } i j R r r n ā = (a 1,..., a n ) m j=1 {0 j, 1 j } i j pr I (ā) pr I R, I {1,..., n} I r R r j R Ij
45 R = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (1 1, 1 1, 0 1, 1 2, 1 2 )}, R = R {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, 2 2 ā = {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )} / R pr {i} ā = 1 1 R i = {0 1, 1 1 } i {1, 2, 3} pr i,j ā = {1 1, 1 1 } R i,j = {(0 1, 1 1 ), (1 1, 0 1 ), (1 1, 1 1 )} i, j {1, 2, 3} R R 4,5 R 2 2 R 4,5 = {0 2, 1 2 } 2 2 R I ā = (a 1, a 2, a 3 ) a 1 = a 3 = 0 1 a 2 {0 1, 1 1 } pr 1,3 ā = {0 1, 0 1 } / R 1,3 ā R 0 1 R 2 ā = (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ) / R pr {1,2,3} ā R I 1 pr {4,5} ā R 2 I {{1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}} pr {i,j} ā R i,j i, j {1, 2, 3, 4, 5}
46 S maj = (maj,..., maj) MP ol(s) }{{} m R S 2 S ϕ 3 f = (f 1,..., f m ) f j = maj S Ij n R S n = 2 (n 1) n 3 ā = (a 1,..., a n ) pr I ā R I I {1,..., n} I 2 ā R ā j = prj n(a 1, a 2,..., a n ) j {1, 2, 3} ā j R j j {1, 2, 3} x 1, x 2, x 3 R x 1 = (x 1, a 2,..., a n ), x 2 = (a 1, x 2, a 3,..., a n ) x 3 = (a 1, a 2, x 3, a 4,..., a n ) R maj R maj(x 1, x 2, x 3 ) = ā R S ϕ(u 1,..., u n ) 3 s {1,..., n} ϕ(u 1,..., u n ) s V = {v 1,..., v s 1 } {u 1,..., u n } v {u 1,..., u n } \ {v 1,..., v s 1 } l ϕ V ϕ V {v} k ϕ V {v} (u 1,..., u n ) = R i (v1, i..., vn i i ), R i ϕ(u 1,..., u n ) vj i V {v} j {1,..., n i } i {1,..., k} S ϕ (W ) W = k i=1 W i {v } W i s 1 i {1,..., k} f i : V W i 1 1 i=1
47 i {1,..., k} f i f i (v) = v S ϕ (W ) ϕ (W ) = k R i (f i (v1), i..., f i (vn i i )). i=1 (k (s 1)) R ϕ (W ) k i=1 f i(v ) R S R 2 l(v ) = (l(v 1 ),..., l(v s 1 )) l(v j ) v j V l t l(v ) k t / R l (t, l ) R ϕ (W ) R R v l ϕ V {v} I {1,..., k(s 1)} I 2 pr I t R I I I 2 pr I t / R I R ϕ(u 1,..., u n ) 3
48 R 1, R 2 (i 1,..., i m ) (j 1,..., j m ) V R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) u i, v j V i {1,..., n} j {1,..., m} s, t N {w 1,..., w n } = {u 1,..., u s, v 1,..., v t } n N R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) R 1 R 2 (w 1,..., w n ) = pr k1,...,k l (R 1 R 2 ) k l j=k 1 Eq n w j (w 1,..., w n ), Eqw n j n w j w k1,..., w kl w 1,..., w n R 1, R 2 S R 1 R 2 S R 1 R 2 R 1 (u 1, u 2, u 1, u 5, u 4 ) R 2 (u 3, u 1, u 4, u 6 ) R 1 = {(1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2 )}. R 1 R 2 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 ) = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2, 1 2, 1 2 )} S m j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, }, f j f j j P = n N SAT (S) 1 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j {,, maj} n N SAT (S) P {, } H = {j {1,..., m} f j j = } S
49 S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 3, R r (u r 1,..., ur n r ) R s (u s 1,..., us n s ) R t (u t 1,..., ut n t ) r, s, t {1,..., k} (R r R s R t ) {u r 1,...,u r nr }, (R r R s R t ) {u s 1,...,u s ns }, (R r R s R t ) {u t 1,...,u t n t }. S ϕ (u 1,..., u n ) D(u) u ϕ (u 1,..., u n ) u {u 1,..., u n } u ϕ (u 1,..., u n ) P ol(s Ij ) j H P ol( S Ij ) P ol(d(u)) u H D(u) = D(u) H t = (t 1,..., t n ) t i = (D(u)) u H t R R ϕ (u 1,..., u n ) t 1, t 2 R v 1, v 2 t 1 i = (D(v 1 )) t 2 j = (D(v 2 )) i j H v 1, v 2 {u 1,..., u n } i, j R t 1 1,2 = (t1 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t1 n) t 2 1,2 = (t2 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t2 n) R t R
50 D(u) 2 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {,, maj, } f j f j j = SAT (S) P S ϕ(u 1,..., u n ) A = {j {1,..., m} f j j = } ḡ = (g 1,..., g m ) g j = j A ϕ V (u 1,..., u n ) V A ϕ V (u 1,..., u n ) ( n 3) 3 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, } n N SAT (S) P C = {j {1,..., m} f j j {cn 0 j, c n 1 j }, n N} j C g := f j f j j ( x) := c j x {0 j, 1 j } n c j {0 j, 1 j } i {1,..., m} \ {j} f j i f j i S Ii (c, c,..., c) S Ij f j i f j i ( x) = c i {0 i, 1 i } x {0 i, 1 i } n
51 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j / {c 0 j, c 1j,,, maj, } SAT (S) NP P ol(s Ij ) = P ol(inv(mp ol(s) j )) = MP ol(s) j. c 0j, c 1j,,, maj, / P ol(s Ij ) SAT (S Ij ) NP SAT (S Ij ) SAT (S) SAT (S) NP m = 1 C (S) S S S S S ϕ(u 1,..., u n ) S ϕ(u 1,..., u n, u) u 0 j S ϕ (u 1,..., u n, u) = ϕ(u 1,..., u n, u) {0 j }(u).
52 S S j {1,..., m} {0 j } {1 j } {0 j, 1 j } S S S c S m S c = {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j }} S. j=1 n f = (f 1,..., f m ) f j {1,..., m} (a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n f j (a 1,..., a n ) {a 1,..., a n }. f j {1,..., m} f j (c j,..., c j ) = c j c j {0 j, 1 j } 2 S f MP ol(s c ) f f MP ol(s). SAT C (S) S ϕ ϕ SAT (S c ) S c ϕ ϕ S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s c ) f j j {,, maj, }, SAT (S c ) P SAT (S c ) NP
53 1, 2 4,, maj,
54 []
55 n n N m j {0 j, 1 j } R m {0 j, 1 j } i j, j=1 i j N j {1,..., m} R j i {1,..., α R } R i = 2 R AGG(R) n f = (f 1,..., f m ) n N f MP ol(r) f R S AGG(S) R S R S f c R 3.4 f f {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j } j {1,..., m}}. f AGG(S) f MP ol(s c ) AGG(S) MP ol(s c )
56 R f n f i, j {1,..., m} 1 1 g ij : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } n (x 1,..., x n ) {0 i, 1 i } n f j (g ij (x 1 ),..., g ij (x n )) = g ij (f i (x 1,..., x n )). R S 0 j 0 1 j 1 j {1,..., m} f i f j i, j {1,..., m} 0 1 R f = (maj,..., maj) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m maj, R (maj, ) AGG(R) (maj, ) 1 1 g : {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } g(0 1 ) = 0 2 g(1 1 ) = 1 2 (g(0 1 ), g(1 1 ), g(0 1 )) = = g(0 1 ) = g(maj(0 1, 1 1, 0 1 )).
57 R f = (,..., ) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m f ḡ 1 1 g : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } g(0 j ) = 1 j g(1 j ) = 0 j f j (g(0 j ), g(1 j )) = (1 j, 0 j ) = 0 j 1 j = g(0 j ) = g( (0 j, 1 j )). R f n f d {1,..., n} j {1,..., m} f j = pr n d. R S R f AGG(R) S f AGG(S) R S R = m j=1 {0 j, 1 j }
58 P OSS(S) S S P OSS(S) SAT (S C ) S S S S n n = 2 (n 1) n 3 n f = (f 1,..., f m ) i, j {1,..., m} g : {0 i, 1 i } {0 j, 1 j } 1 1 x 1 i,..., xn i {0 i, 1 i } f j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(f i (x 1 i,..., x n i )). n 3 x k i {0 i, 1 i } k {1,..., n} s t {1,..., n} x s i = xt i h = (h 1,..., h m ) h j (a 1 j,..., a s j,..., a t 1 j, a t+1 j,..., a n j ) = f j (a 1 j,..., a n j ),
59 a 1 j,..., an j {0 j, 1 j } j {1,..., m} (n 1) h S h j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(h i (x 1 i,..., x n i )). 1 1 S S (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) AGG(S) }{{} m S ( ) ( ), maj / AGG(S) S S j {1,..., m} AGG(S) j j {1,..., m} maj AGG(S) Ij AGG(S) (,..., ) }{{} m AGG(S) (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) AGG(S) Ij j {1,..., m} S S S ( ) ( ) (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) S f = (f 1,..., f m ) ḡ = (g 1,..., g m ) g j (x 1, x 2, x 3 ) = f j (x 1, x 2 ) j {1,..., m} ḡ
60 R = {(1 1, 0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2, 1 2 )}. R (f, g) R f {,, maj, } g {,, maj, } (pr1 2, pr2 2 ), (pr2 2, pr2 1 ) / AGG(R) R S SAT (S C ) P S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) f j {,,, maj} S S S SAT (S c ) NP R = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2 )} = R ONE IN T HREE { 0 2 }, S = {R} SAT (S I1 ) NP SAT (S) (pr1 2, ) AGG(S) S
61 S (, pr 2 1, pr2 2,, pr2 1 ) m = 5 SAT (Sc ) P R j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(R) f j j prn d d {1,..., n} S j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j prn d d {1,..., n} R = {(0 1, 0 1, 0 2, 0 2, 1 3 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 1 3 )} R (,, ) AGG(R)
62 R = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} R 1 NAE = {0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )} R (pr1 2, pr2 2 ) AGG(R) R SAT (R NAE ) NP (f, g) AGG(R) f {,, maj, } R S S SAT (S c ) P. ( ) j {1,..., m} f j = (f 1,..., f m ) AGG(S) f j j {,, maj, } S ( ) AGG(S) j j {1,..., m} n N n g AGG j g prd n d {1,..., n} {,, maj, } AGG(S j ) f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j {,, maj, } j {1,..., m} SAT (S c ) P
63
64
65
66
K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
1134 Ν. 8(ΙΙ)/2001. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 3475,
E.E.. (H) Α. 47,6.. 4. (ΙΙ)/ ί ϋλγμύ Τμί Τκκκώ ώ όμς κί μ μί ίμ φμί ς Κκής Δμκίς μφά μ Άθ Σάγμς. ίμ. Σκός ίλς. Έγκ λμής ό Τμί Τκκκώ ώ ύ 4.49.77 γ ή ές λήγ ς Δκμβί. ίκ ώ θ θύ. ίκς. μί ύμς μέ άθ γ κάλψ λλίμμς
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ υπ Άρ. 62 τής 19ης ΜΑΙΥ 1961 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ III ΚΙΝΤΙΚΙ ΝΜΙ ΤΥΡΚΙΚΗΣ ΚΙΝΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΎΣΕΩς Ό κττέρ νόμς της Τυρκικής Κιντικής Συνελεύσεις όστις υπεγράφη
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Mesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Laplace Expansion. Peter McCullagh. WHOA-PSI, St Louis August, Department of Statistics University of Chicago
Laplace Expansion Peter McCullagh Department of Statistics University of Chicago WHOA-PSI, St Louis August, 2017 Outline Laplace approximation in 1D Laplace expansion in 1D Laplace expansion in R p Formal
Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου
Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
ss rt t r s t t t rs r ç s s rt t r t Pr r r q r ts P 2s s r r t t t t t st r t
Ô P ss rt t r s t t t rs r ç s s rt t r t Pr r r q r ts P 2s s r r t t t t t st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica
Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014
Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου
())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*
! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+
+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m
Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t
ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Mantel & Haenzel (1959) Mantel-Haenszel
Mantel-Haenszel 2008 6 12 1 / 39 1 (, (, (,,, pp719 730 2 2 2 3 1 4 pp730 746 2 2, i j 3 / 39 Mantel & Haenzel (1959 Mantel N, Haenszel W Statistical aspects of the analysis of data from retrospective
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ
Κεφάλαιο 3.1 1. q = C V => q = 48(HiC q = χ e => χ = - e και => χ = 3 ΙΟ 15 ηλεκτρόνια I = -3- => I = 24mA. At 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ 3. Έστω u d η μέση ταχύτητα κίνησης των ελευθέρων
x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN Μάριος Βελιβασάκης 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΩΝ Ορισμός 1.1. Έστω G μια ομάδα και έστω H μια ορθόθετη υποομάδα της. Τότε ο επιμορφισμός ομάδων π : G G/H που δίδεται από
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
Matrices and vectors. Matrix and vector. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = b 1 b 2. b m. R m n, b = = ( a ij. a m1 a m2 a mn. def
Matrices and vectors Matrix and vector a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn def = ( a ij ) R m n, b = b 1 b 2 b m Rm Matrix and vectors in linear equations: example E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 =
Φροντιστήριο #6 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 4/4/2019
ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #6 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 4/4/019 Άσκηση Φ6.Α.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, διάγραμμα. g : B C και h : C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
FORMULAS FOR STATISTICS 1
FORMULAS FOR STATISTICS 1 X = 1 n Sample statistics X i or x = 1 n x i (sample mean) S 2 = 1 n 1 s 2 = 1 n 1 (X i X) 2 = 1 n 1 (x i x) 2 = 1 n 1 Xi 2 n n 1 X 2 x 2 i n n 1 x 2 or (sample variance) E(X)
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3.
. F/ /3 3. I F/ 7 7 0 0 Mo ode del 0 00 0 00 A 6 A C00 00 0 S 0 C 0 008 06 007 07 09 A 0 00 0 00 0 009 09 A 7 I 7 7 0 0 F/.. 6 6 8 8 0 00 0 F/3 /3. fo I t o nt un D ou s ds 3. ird F/ /3 Thi ur T ou 0 Fo
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ.
1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. (Προτείνόμενοί φυλλομετρητές: Mozllla Firefox, Internet Explorer)
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016
ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
I N F O R M A T I C S Μ Λ Κ Γ D E V E L O P M E N d e v e l o p m e n t a g e n c y t A / ^ 1- K i A v / Date :52:54 I A G E N C Y
I N F R A T I S Μ Κ Γ E V E L E N d e v e l e n t g e n y t A / ^ 1- K i A v / te 16.1. 6:5:54 I A G E N Y e e t Resn: Ltin: Athens ΑΔΑ: 7ΨΑ465Ξ-Ε4 ANATTEA ΣΤ ΔΙΑΔΙΚΤΥ ΕΗΝΙΚΗ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 19-1-16 ΥΠΥΡΓΕΙ
Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0
3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763
Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles
Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse
!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*
!"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"
Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R
Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R Ποσότητες οδηγοί και τα ποσοστιαία σημεία των αντίστοιχων κατανομών Ν(0,1) Student s t X 2, F Διαστήματα εμπιστοσύνης-έλεγχοι Υποθέσεων ένα δείγμα για τη μέση τιμή κανονικής
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3. J. of Math. (PRC) : A : (2017) k=1. ,, f. f + u = f φ, x 1. x n : ( ).
Vol. 37 ( 2017 ) No. 3 J. of Math. (PRC) R N - R N - 1, 2 (1., 100029) (2., 430072) : R N., R N, R N -. : ; ; R N ; MR(2010) : 58K40 : O192 : A : 0255-7797(2017)03-0467-07 1. [6], Mather f : (R n, 0) R
f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1
- la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,
E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα
Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
Recursive and Recursively Enumerable sets I
Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)
Tables of Transform Pairs
Tble of Trnform Pir 005 by Mrc Stoecklin mrc toecklin.net http://www.toecklin.net/ December, 005 verion.5 Student nd engineer in communiction nd mthemtic re confronted with trnformtion uch the -Trnform,
Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων
Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Αθήνα, Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων 1 Αναπαραστάσεις 2 3 4 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Ορισµός H χώρος Hilbert πεπερασµένης