|
|
|
- Ἀριδαίος Βούλγαρης
- 11 μήνες πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4 1951
5 {0, 1}
6
7 N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x i = (x i 1,..., xi m) i {1,..., n} x j = (x 1 j,..., xn j ) j {1,..., m} f {(x, f(x)) x Dom(f)} Dom(f) f m N I {1,..., m} R F m J = {1,..., m} \ I I = {i 1,..., i s } J = {j 1,..., j t } R I = pr m I R = x j 1... x jt R = {(x i1,..., x is ) (x 1,..., x m ) R} R I = pr m I R = prm J = R J R i = R {i} i {1,..., m} R i = R {i} i {1,..., m} S S I = {R I R S} S I S i f : F m F F {0, 1} F 0, 1 {0, 1} c m x c m x (ȳ) = x ȳ F m : F m F x F m N : F 2 F { 1 x = y = 1, (x, y) = 0
8 : F 2 F { 0 x = y = 0, (x, y) = 1 maj : F 3 F { x x = y x = z, maj(x, y, z) = y y = z. : F 3 F x y = z, (x, y, z) = y x = z y, z x = y z.
9 {0, 1} {0, 1} {0, 1} m m N n f : {0, 1} n {0, 1} n N
10 B B pri n B n N i {1,..., n} pri n : {0, 1} n {0, 1} n i pri n (a 1,..., a n ) = a i, (a 1,..., a n ) {0, 1} n f, f 1,..., f n B f n f 1,..., f n k f(f 1,..., f n ) : {0, 1} k {0, 1} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) := f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k B S S Eq S Eq = {(0, 0), (1, 1)} S R S m k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k S m, k N i 1,..., i m {1,..., k} S R S m (m 1) R m S S R, R S m m R R S
11 S {0, 1} S Eq S {0, 1}(x) Eq(pr 2 1(x, y), pr 2 1(x, y)). S R 1, R 2 n m S R 1, R 2 (n + m) R = R 1 R 2 R(a 1,..., a n+m ) R 1 (a 1,..., a n ) R 2 (a n+1,..., a n+m ), (a 1,..., a n+m ) {0, 1} n+m S R 1 R 2 = R 1 R 2 (n + m) R 1, R 2 R 1(a 1,..., a n+m ) R 1 (pr n+m 1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n (a 1,..., a n+m )), R 2(a 1,..., a n+m ) R 2 (pr n+m n+1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n+m (a 1,..., a n+m )). R 1, R 2 S R 1 R 2 S S m N i, j {1,..., m} {0, 1} m E m i,j = {(a 1,..., a m ) a i = a j } R {0, 1} m f : {0, 1} n {0, 1} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R f(a 1,..., a n ) := (f(a 1 1,..., a n 1 ),..., f(a 1 m,..., a n m)) R. f S f R R S
12 B S P ol(s) = {f : {0, 1} n {0, 1} n N f R, R S} Inv(B) = {R {0, 1} m m N f R, f B} S P ol(s) m R S n N i {1,..., n} a 1,..., a n R (pr n i (a 1 1,..., a n 1 ),..., pr n i (a 1 m,..., a n m)) = (a i 1,..., a i m) = a i R. P ol(s) n f P ol(s) k f 1,..., f n P ol(s) a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) = f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )) R. B Inv(B) n f B a 1,..., a n Eq Eq a i = (a i 1, ai 2 ) ai 1 = ai 2 i {1,..., n} f(a 1) = f(a 2 ) (f(a 1 ), f(a 2 )) Eq f Eq Inv(B) m R Inv(B) i 1,..., i m {1,.., k} k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )). a 1,..., a n R (a 1 i 1,..., a 1 i m ),..., (a n i 1,..., a n i m ) R f R (f(a 1 i 1,..., a n i 1 ),..., f(a 1 i m,..., a n i m )) R (f(a 1 ),..., f(a k )) R f R Inv(B) m R Inv(B) (a 1 1,..., a1 m 1 ),..., (an 1,..., an m 1 ) R m a 1 m,..., a n m (a 1 1,..., a1 m),..., (a n 1,..., an m) R f R (f(a 1 ),..., f(a m )) R (f(a 1 ),..., f(a m 1 )) R m f R m Inv(B)
13 m R 1, R 2 Inv(B) a 1,..., a n R 1 R 2 (f(a 1 ),..., f(a m )) R 1 R 2 f R 1 R 2 Inv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} n f Dom(f) {0, 1} n Im(f) {0, 1} R {0, 1} m f n f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R a 1,..., a m Dom(f) (f(a 1 ),..., f(a m )) R. S R S B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S Inv(B) = Inv([B]) P ol(s) = P ol( S ) B S B = [B] S = S B S B P ol(inv(b)) S Inv(P ol(s))
14 n f / B R Inv(B) f T 2 n n {0, 1} n 2 n {0, 1} n t i t j B (n) n B g B (n) g(t ) 2 n m M T g(t ) m = B (n) R = {g(t ) T g B (n) } R M R Inv(B) j {1,..., n} t j R t j = prj n (T ) prj n B(n) B k = 2 n r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M g 1,..., g r B (n) x i = (g i (t 1 ),..., g i (t k )) i {1,..., r} (h(x 1 1,..., x r 1),..., h(x 1 k,..., xr k )) = = (h(g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h(g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, g 1,..., g r B h(g 1,..., g r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R (f(t 1 ),..., f(t k )) = f(t ) R g B (n) g(t ) = f(t ) {t 1,..., t k } = {0, 1} n f = g f B m R / S f P ol(s) R S f S S n f S Dom(f) = {0, 1} Dom(f) =
15 g P ol(s) P ol(s) = Dom(f) {0, 1} n f f n {0, 1} n {0, 1} n f S Dom(f) = {r 1,..., r k } k N \ {0} r / {r 1,..., r k } {0, 1} n f 0 = f {(r, 0)} f 1 = f {(r, 1)} f 0, f 1 S f S m 0 R 0 S m 1 R 1 S f 0 R 0 f 1 f 1 n m i M i R i f i f i (Mi T )T / R i i {0, 1} M i {r 1,..., r k, r} r M i i {0, 1} M 1 f 1 (M T 1 )T = f(m T 1 )T f S M 0 M 1 M 0 = M 1 = r T R 0, R 1 r i {0, 1} f i (r) = i R i M i R i M i i {0, 1} j j M i j, j {1,..., m i } j j R i R i(x 1,..., x j,..., x j 1, x j +1,...x mi ) x j R i (x 1,..., x j,..., x j,..., x mi ) Eq(j, j ) S N i R i M i j f i (Ni T )T R i f i(mi T )T / R i R i R i
16 n (m 1 + m 2 ) N m 1 M 1 M 2 i j N r i {1,..., m 1 } j {m 1 + 1,..., m 2 } R = R 1 R 2 R S N R N N i j N R S R R (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x j 1, x j+1,..., x m1 +m 2 x i x j R (x 1,..., x m1 +m 2 ) Eq(x i, x j ) f S N f(n T ) T R R i {0, 1} f i (N T ) T R f i (M T i )T R i P = Q. Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k m R R = k k f f(n T ) = t T N {0, 1} k f i, j {1,..., m} i j N R E m i,j S S E m i,j {Q S Q R} P Em i,j f f S f R S n R S f k n M R f f(m T ) T R M i, j R (x 1,..., x i,..., x j 1, x j+1,..., x n ) x j R (x 1,..., x n ) Eq(x i, x j ).
17 R S M R M j f(m T ) T / R R f M N n m n R R {0, 1} (m n) S P R {0, 1} (m n) t R {0, 1} (m n) (t 1,..., t n ) R (t 1,..., t n ) = f(m T ) T / R B S (L,,, ) L x, y L x y x y X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) B S X, Y B [X Y ] = X Y X Y X Y X Y X, Y X Y X Y X Y = X Y B X Y [X Y ] X Y X Y [X Y ] X Y X Y = [X Y ] B
18 P ol(s), Inv(B) B S P ol : S B Inv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) 1 2 Y X W Z 3 Inv(P ol) : S S P ol(inv) : B B X, Y S Z, W B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) X Y Inv(P ol(x)) Inv(P ol(y )) Z W P ol(inv(z)) P ol(inv(w )) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(inv(p ol(x)))) P ol(inv(z)) = P ol(inv(p ol(inv(z)))) (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z)
19 P ol(x) = P ol(y ) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(y )) X = Y P ol 1 1 Z B Z = P ol(inv(z)) P ol Inv
20
21
22
23 SAT S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = m R i (x i 1,..., x i m i ), i=1 R i S i {1,..., m} x i j {x 1,..., x n } V i, j S ϕ ϕ SAT (S) SAT S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ Eq(u 1, u 2 ) Eq / S u 1, u 2
24 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n } ϕ R(u i1,..., u ir ) R / S R S R(x 1,..., x r ) R (pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k s (x 1,..., x r )), R (u k1,..., u ks ) ϕ R(u 1,..., u R ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) S 1 S 2 S 1 S 2 SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) ϕ S 1 ϕ S 2 SAT (S 1 ) P SAT ( S 2 ) = P SAT (S 2 ) S 1 S 2 P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) Inv(P ol(s 1 )) Inv(P ol(s 2 )) S 1 S 2 SAT (S 1 ) SAT (S 2 ) R R 0 (0,..., 0) R 1 (1,..., 1) R
25 S S Schaefer S S 0 1 SAT (S) NP ( ) S 0 1 ( ) [], [] II 0 = Inv([{c 0 }]) II 1 = Inv([{c 1 }]) IE 2 = Inv([{ }]) IV 2 = Inv([{ }]) ID 2 = Inv([{maj}]) IL 2 = Inv([{ }]) IN 2 = Inv([{ }]) BR = {R {0, 1} n n N} S II 0, II 1, IE 2, IV 2, ID 2, IL 2 S IN 2 S IN 2 IN 2 S = BR SAT (S) = P SAT ( S ) = SAT (BR) SAT (S) NP
26 S = S = IN 2 = Inv([{ }]) R NAE = {0, 1} 3 \ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}. P ol({r NAE }) [{ }] P ol({r NAE }) {R NAE } = Inv(P ol({r NAE }) Inv([{ }]) = IN 2. N 2 = P ol(in 2 ) P ol({r NAE }) SAT ({R NAE }) P SAT (IN 2 ) = SAT (S) SAT ({R NAE }) NP SAT (S)
27 {0 j, 1 j } j {1,..., m} m N {0 j, 1 j } m R {0 j, 1 j } i j j=1 α R m σ R = (i 1,..., i m ) j i j a R = m j=1 i j i j N j {1,..., m} m m m m R m 1 j 0 I j 0 1 J m (j 0 + 1) R
28 R I {0 j0, 1 j0 } R J j 0 j {0 j, 1 j } j {1,..., m} n n N m m f = (f 1,..., f m ) f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f j m
29 B m B (pr n i,..., pr n i ) }{{} m B n N i {1,..., n} {0 j, 1 j } f = (f 1,..., f m ), f 1 = (f1 1,..., f m), 1..., f n = (f1 n,..., f m) n B f n f 1,..., f n k f( f 1,..., f n ) := ḡ = (g 1,..., g m ) j {1,..., m} g j = f j (f 1 j,..., f n j ) : {0 j, 1 j } k {0, 1}, g j (a 1,..., a k ) := f j (f 1 j (a 1,..., a k ),..., f n j (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0 j, 1 j } k B B B j j {1,..., m} j {1,..., m} B j k f / B j n g j B j k gj 1,..., gn j B j f = (g j (gj 1,..., gn j )) g j, gj 1,..., gn j B j ḡ, ḡ 1,...ḡ n B j g j, gj 1,..., gn j h = (h 1,..., h m ) h i = g i (gi 1,..., gn i ) i j h j = f B f = h j B j Eq j = {(0 j, 0 j ), (1 j, 1 j )} j {1,..., m} Eq j,n s,t = {(a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n a s = a t }
30 S S k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S j {1,..., m} S j {1,..., m} R S R j 1 s N j r N k N R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+k,..., a αr ) R(a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+k ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+k ),..., a αr ), (a 1,..., a αr ) m j+1 {0 j, 1 j } s j i 1,..., i r {s + 1,..., s + k} R S S R S (α R 1) R αr S S R, R S α R = α R R R S S R 1, R 2 S j i 1 j i2 j j {1,..., m} R 1, R 2 R = R 1 R 2 R(a 1,..., a i 1 1, a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +1,..., a i 1 1 +i2 1 +i1 2,..., a α R1 +α R2 ) R 1 (a 1,..., a i 1 1, a i 1 1 +i ,..., a α R1 ) R 2 (a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +i1 2 +1,..., a α R2 ), (a 1,..., a αr1 +α R2 ) m j=1 {0 j, 1 j } i1 j +i2 j S m j=1 {0 j, 1 j } m j=1 Eqj k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k,n s,t m j=k+1 {0 j, 1 j } j {1,..., m} n N j {1,..., m} I j j j I j
31 S S Ij j {1,..., m} k {1,..., m} S Ik k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S I k Eq k Eq k S Ik R S Ik R S R = R I k R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+t,..., a αr ) R (a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+t ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+t ),..., a α R ), s k 1 R, R t k R r R R S R = R I k R S Ik R (a 1,..., a t ) R(pr k i 1 (a 1,..., a t ),..., pr k i r (a 1,..., a t )). R S Ik R S R = R I k S R = R α R S R I k = R αr S n S ik m
32 R k m j i j f = (f 1,..., f m ) m f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 k ),..., an = (a n 1,..., an k ) R f(a 1,..., a n ) := (f 1 (a 1 ),..., f 1 (a i1 ), f 2 (a i1 +1),..., f 2 (a i1 +i 2 ),..., f m (a k )) R. f S f R R S 1 B S MP ol(s) = { f f R, R S} MInv(B) = {R m j=1 {0 j, 1 j } i j f R, f B} S MP ol(s) t R S m a 1,..., a n R (pr n i (a 1 ),..., pr n i (a t )) = (a i 1,..., a i t) = a i R. (pri n,..., pri n ) MP ol(s) n N i {1,..., n} }{{} m n f = (f 1,..., f m ) MP ol(s) k f 1,..., f n MP ol(s) f i = (f1 i,..., f m) i i {1,..., n} a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f( f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) R.
33 B MInv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S B S MP ol(minv(b)) B MInv(MP ol(s)) S n f = (f 1,..., f m ) / B R Inv(B) f T (m 2 n ) n ((j 1) 2 n ) + 1 j 2 n {0 j, 1 j } n j {1,..., m} B (n) n B ḡ = (g 1,..., g m ) B (n) ḡ(t ) g j T {0 j, 1 j } n 2 n a M ḡ(t )
34 R = {ḡ(t ) T g B (n) } R M R MInv(B) d T R (prd n,..., prn d }{{} ) B (n) k = (m 2 n ) m r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M ḡ 1,..., ḡ r B (n) x i = (ḡ i (t 1,..., t k )) i {1,..., r} t i i T (h 1 (x 1 1,..., x r 1),..., h m (x 1 k,..., xr k )) = = (h 1 (g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h m (g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, ḡ 1,..., ḡ r B h(ḡ 1,..., ḡ r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R f(t ) R ḡ B (n) ḡ(t ) = f(t ) T f = g f B n f = (f 1,..., f m ) S j Dom(f j ) {0 j, 1 j } n f j a R / S f MP ol(s) R P = Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k a R R = k k f f(n T ) = t T Q.
35 f S f R S R (0,..., 0, i j, 0,..., 0) R Ij j {1,..., m} S B = MP ol(s) j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) S Ij j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) R S Ij R S R = R IJ S = MInv(B) f = (f 1,..., f m ) B f S f j S Ij f j R R Inv(B j ) S Ij Inv(B j ) R Inv(B j ) f B j f R f B j f B f j = f j 1 f R = {0 i, 1 i } R i=1 m i=j+1 {0 i, 1 i }, R S R = R Ij R S Ij Inv(B j ) S Ij B S 1.2
36 X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) MP ol(s), MInv(B) B S MP ol : S B MInv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) MP ol MInv MInv(MP ol) : S S MP ol(minv) : B B X, Y S Z, W B X MInv(MP ol(x)) Z MP ol(minv(z)) X Y MInv(MP ol(x)) MInv(MP ol(y )) Z W MP ol(minv(z)) MP ol(minv(w )) MInv(MP ol(x)) = MInv(MP ol(minv(mp ol(x)))) MP ol(minv(z)) = MP ol(minv(mp ol(minv(z))))
37 (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z) S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = k R i (x i 1,..., x i n i ), R i S n i = α Ri i {1,..., k} k N x i j {x 1,..., x n } V i, j i=1 S ϕ(x 1,..., x n )
38 S ϕ ϕ SAT (S) SAT (S) S S S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ k 1 {0 j, 1 j }(v j ) Eq k (u 1, u 2 ) j=1 m j=k+1 {0 j, 1 j }(v j ) / S, u 1, u 2 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n }
39 ϕ R(v 1,..., v s, u i1,..., u ir, v s+1,..., v t ) R / S j 1 s j r m j t s R S R(y 1,..., y s, x 1,..., x r, y s+1,..., y t ) R (y 1,..., y s, pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k l (x 1,..., x r ), y s+1,..., y t ), R (v 1,..., v s, u k1,..., u kl, v s+1,..., v t ) ϕ R(u 1,..., u r ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) SAT (S) S m R 1 = {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } = {(0 1, 0 2 ), (0 1, 1 2 ), (1 1, 0 2 ), (1 1, 1 2 )} (1, 1) R 2 = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} = ({0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )}) {(0 2, 0 2 )} (3, 2) SAT ({R 1 }) P SAT ({R 2 }) NP {R 1 } SAT ({R NAE }) P SAT ({R 2 })
40 SAT ({R }) NP R = R 1,2,3 ONE IN T HREE = {(1 1, 0 2, 0 3 ), (0 1, 1 2, 0 3 ), (0 1, 0 2, 1 3 )}. R = R ONE IN T HREE = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} R R (a 1, a 2, a 3 ) R(pr 3 i 1 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 2 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 3 (a 1, a 2, a 3 )), i 1 i 2 i 3 {1, 2, 3} R = R R SAT ({R}) = P SAT ( {R} ) SAT ({R}) SAT ( {R} ) SAT ({R }) S = {R} ϕ(u 1,..., u n ) S n = 3k k N u 1,..., u n/3 u n/3+1,..., u 2n/3 R(u i, u j, u l ) i {n/3 + 1,..., 2n/3} j {2n/3 + 1,..., 3n} l {1,..., n/3} R(u l, u i, u j ) R(u i, u i, u j ) R (u i, u j ) R (a 1, a 2 ) R(pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 2(a 1, a 2, a 3 )) R(u i, u i, u i ) R empty =
41 R(u, v) u, v {u 1,..., u n } u R R (u, v, u R ) R(u, v) u v S 0 0 j 1 1 j 0 1 j j {1, 2, 3} SAT ({R}) = P SAT ({ R }) P SAT ({ R }) = P SAT ({R }) SAT ({R}) NP SAT ({R }) R Rj = {0 j, 1 j } j {1, 2, 3} SAT ({R } Ij ) = SAT ({Rj }) SAT ({R }) NP S j {1,..., m} SAT (S Ij ) NP SAT (S) NP R SAT (S Ij ) S Ij R S R Ij = R S Ij ϕ(u 1,..., u n ) R (u i1,..., u ini ) ϕ v1 R,..., vr t R R R R (u i1,..., u ini ) R(v1 R,..., vr s, u i1,..., u ini, vs+1 R,..., vr t R ) S SAT (S Ij ) P SAT (S) SAT (S) NP
42 m = 1 S V S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 u V Ju R R {R 1,..., R k } u V V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V = k pr J{u i 1,...,u i Ri (u i n } 1,..., u i n i ), i i=1 J {u i 1,...,u i n i } = u V {u i 1,...,ui n i } J u Ri i {1,..., k} V S = {R 1, R 2 } R 1 (3, 4) R 2 (5, 1) V = {u 1,..., u 15 } S ϕ(u 1,..., u 7 ) = R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3, u 5 ) R 2 (u 1, u 2, u 6, u 7, u 2, u 5 ). V = {u 1,..., u 10 } ϕ V = ϕ V = {u 1, u 2, u 3, u 4 } V ϕ(u 1,..., u 7 ) V = pr {1,2,3,4,5,6} R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3 ) pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ).
43 pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ) x 3 x 4 x 6 R 2 (u 1, u 2, x 3, x 4, u 2, x 6 ). S ϕ(u 1,..., u n ) s s 2 s n V {u 1,..., u n } s 1 u V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V {u} S ϕ(u 1,..., u n ) s s t 2 t s S ϕ(u 1,..., u n ) s 2 s n u {u 1,..., u n } \ V S = {R 1, R 2 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}. S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 V = {u 2, u 3, u 4, u 5 } V ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = x 1 x 3 R 1 (x 1, u 2, x 3, u 3, u 4, u 5 ) x 2 R 2 (u 2, x 2, u 3, u 5, u 5 ). (u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ) ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) ϕ V {u1 } (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ).
44 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ) 5 S = {R 1, R 2, R 3 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}, S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 3 = {(0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ). R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ) R 3 (u 2, u 3, u 4, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 R 3 u 1 s s s s 1 s s s s = 2, 3 s r n R m j=1 {0 j, 1 j } i j R r r n ā = (a 1,..., a n ) m j=1 {0 j, 1 j } i j pr I (ā) pr I R, I {1,..., n} I r R r j R Ij
45 R = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (1 1, 1 1, 0 1, 1 2, 1 2 )}, R = R {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, 2 2 ā = {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )} / R pr {i} ā = 1 1 R i = {0 1, 1 1 } i {1, 2, 3} pr i,j ā = {1 1, 1 1 } R i,j = {(0 1, 1 1 ), (1 1, 0 1 ), (1 1, 1 1 )} i, j {1, 2, 3} R R 4,5 R 2 2 R 4,5 = {0 2, 1 2 } 2 2 R I ā = (a 1, a 2, a 3 ) a 1 = a 3 = 0 1 a 2 {0 1, 1 1 } pr 1,3 ā = {0 1, 0 1 } / R 1,3 ā R 0 1 R 2 ā = (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ) / R pr {1,2,3} ā R I 1 pr {4,5} ā R 2 I {{1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}} pr {i,j} ā R i,j i, j {1, 2, 3, 4, 5}
46 S maj = (maj,..., maj) MP ol(s) }{{} m R S 2 S ϕ 3 f = (f 1,..., f m ) f j = maj S Ij n R S n = 2 (n 1) n 3 ā = (a 1,..., a n ) pr I ā R I I {1,..., n} I 2 ā R ā j = prj n(a 1, a 2,..., a n ) j {1, 2, 3} ā j R j j {1, 2, 3} x 1, x 2, x 3 R x 1 = (x 1, a 2,..., a n ), x 2 = (a 1, x 2, a 3,..., a n ) x 3 = (a 1, a 2, x 3, a 4,..., a n ) R maj R maj(x 1, x 2, x 3 ) = ā R S ϕ(u 1,..., u n ) 3 s {1,..., n} ϕ(u 1,..., u n ) s V = {v 1,..., v s 1 } {u 1,..., u n } v {u 1,..., u n } \ {v 1,..., v s 1 } l ϕ V ϕ V {v} k ϕ V {v} (u 1,..., u n ) = R i (v1, i..., vn i i ), R i ϕ(u 1,..., u n ) vj i V {v} j {1,..., n i } i {1,..., k} S ϕ (W ) W = k i=1 W i {v } W i s 1 i {1,..., k} f i : V W i 1 1 i=1
47 i {1,..., k} f i f i (v) = v S ϕ (W ) ϕ (W ) = k R i (f i (v1), i..., f i (vn i i )). i=1 (k (s 1)) R ϕ (W ) k i=1 f i(v ) R S R 2 l(v ) = (l(v 1 ),..., l(v s 1 )) l(v j ) v j V l t l(v ) k t / R l (t, l ) R ϕ (W ) R R v l ϕ V {v} I {1,..., k(s 1)} I 2 pr I t R I I I 2 pr I t / R I R ϕ(u 1,..., u n ) 3
48 R 1, R 2 (i 1,..., i m ) (j 1,..., j m ) V R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) u i, v j V i {1,..., n} j {1,..., m} s, t N {w 1,..., w n } = {u 1,..., u s, v 1,..., v t } n N R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) R 1 R 2 (w 1,..., w n ) = pr k1,...,k l (R 1 R 2 ) k l j=k 1 Eq n w j (w 1,..., w n ), Eqw n j n w j w k1,..., w kl w 1,..., w n R 1, R 2 S R 1 R 2 S R 1 R 2 R 1 (u 1, u 2, u 1, u 5, u 4 ) R 2 (u 3, u 1, u 4, u 6 ) R 1 = {(1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2 )}. R 1 R 2 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 ) = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2, 1 2, 1 2 )} S m j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, }, f j f j j P = n N SAT (S) 1 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j {,, maj} n N SAT (S) P {, } H = {j {1,..., m} f j j = } S
49 S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 3, R r (u r 1,..., ur n r ) R s (u s 1,..., us n s ) R t (u t 1,..., ut n t ) r, s, t {1,..., k} (R r R s R t ) {u r 1,...,u r nr }, (R r R s R t ) {u s 1,...,u s ns }, (R r R s R t ) {u t 1,...,u t n t }. S ϕ (u 1,..., u n ) D(u) u ϕ (u 1,..., u n ) u {u 1,..., u n } u ϕ (u 1,..., u n ) P ol(s Ij ) j H P ol( S Ij ) P ol(d(u)) u H D(u) = D(u) H t = (t 1,..., t n ) t i = (D(u)) u H t R R ϕ (u 1,..., u n ) t 1, t 2 R v 1, v 2 t 1 i = (D(v 1 )) t 2 j = (D(v 2 )) i j H v 1, v 2 {u 1,..., u n } i, j R t 1 1,2 = (t1 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t1 n) t 2 1,2 = (t2 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t2 n) R t R
50 D(u) 2 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {,, maj, } f j f j j = SAT (S) P S ϕ(u 1,..., u n ) A = {j {1,..., m} f j j = } ḡ = (g 1,..., g m ) g j = j A ϕ V (u 1,..., u n ) V A ϕ V (u 1,..., u n ) ( n 3) 3 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, } n N SAT (S) P C = {j {1,..., m} f j j {cn 0 j, c n 1 j }, n N} j C g := f j f j j ( x) := c j x {0 j, 1 j } n c j {0 j, 1 j } i {1,..., m} \ {j} f j i f j i S Ii (c, c,..., c) S Ij f j i f j i ( x) = c i {0 i, 1 i } x {0 i, 1 i } n
51 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j / {c 0 j, c 1j,,, maj, } SAT (S) NP P ol(s Ij ) = P ol(inv(mp ol(s) j )) = MP ol(s) j. c 0j, c 1j,,, maj, / P ol(s Ij ) SAT (S Ij ) NP SAT (S Ij ) SAT (S) SAT (S) NP m = 1 C (S) S S S S S ϕ(u 1,..., u n ) S ϕ(u 1,..., u n, u) u 0 j S ϕ (u 1,..., u n, u) = ϕ(u 1,..., u n, u) {0 j }(u).
52 S S j {1,..., m} {0 j } {1 j } {0 j, 1 j } S S S c S m S c = {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j }} S. j=1 n f = (f 1,..., f m ) f j {1,..., m} (a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n f j (a 1,..., a n ) {a 1,..., a n }. f j {1,..., m} f j (c j,..., c j ) = c j c j {0 j, 1 j } 2 S f MP ol(s c ) f f MP ol(s). SAT C (S) S ϕ ϕ SAT (S c ) S c ϕ ϕ S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s c ) f j j {,, maj, }, SAT (S c ) P SAT (S c ) NP
53 1, 2 4,, maj,
54 []
55 n n N m j {0 j, 1 j } R m {0 j, 1 j } i j, j=1 i j N j {1,..., m} R j i {1,..., α R } R i = 2 R AGG(R) n f = (f 1,..., f m ) n N f MP ol(r) f R S AGG(S) R S R S f c R 3.4 f f {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j } j {1,..., m}}. f AGG(S) f MP ol(s c ) AGG(S) MP ol(s c )
56 R f n f i, j {1,..., m} 1 1 g ij : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } n (x 1,..., x n ) {0 i, 1 i } n f j (g ij (x 1 ),..., g ij (x n )) = g ij (f i (x 1,..., x n )). R S 0 j 0 1 j 1 j {1,..., m} f i f j i, j {1,..., m} 0 1 R f = (maj,..., maj) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m maj, R (maj, ) AGG(R) (maj, ) 1 1 g : {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } g(0 1 ) = 0 2 g(1 1 ) = 1 2 (g(0 1 ), g(1 1 ), g(0 1 )) = = g(0 1 ) = g(maj(0 1, 1 1, 0 1 )).
57 R f = (,..., ) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m f ḡ 1 1 g : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } g(0 j ) = 1 j g(1 j ) = 0 j f j (g(0 j ), g(1 j )) = (1 j, 0 j ) = 0 j 1 j = g(0 j ) = g( (0 j, 1 j )). R f n f d {1,..., n} j {1,..., m} f j = pr n d. R S R f AGG(R) S f AGG(S) R S R = m j=1 {0 j, 1 j }
58 P OSS(S) S S P OSS(S) SAT (S C ) S S S S n n = 2 (n 1) n 3 n f = (f 1,..., f m ) i, j {1,..., m} g : {0 i, 1 i } {0 j, 1 j } 1 1 x 1 i,..., xn i {0 i, 1 i } f j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(f i (x 1 i,..., x n i )). n 3 x k i {0 i, 1 i } k {1,..., n} s t {1,..., n} x s i = xt i h = (h 1,..., h m ) h j (a 1 j,..., a s j,..., a t 1 j, a t+1 j,..., a n j ) = f j (a 1 j,..., a n j ),
59 a 1 j,..., an j {0 j, 1 j } j {1,..., m} (n 1) h S h j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(h i (x 1 i,..., x n i )). 1 1 S S (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) AGG(S) }{{} m S ( ) ( ), maj / AGG(S) S S j {1,..., m} AGG(S) j j {1,..., m} maj AGG(S) Ij AGG(S) (,..., ) }{{} m AGG(S) (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) AGG(S) Ij j {1,..., m} S S S ( ) ( ) (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) S f = (f 1,..., f m ) ḡ = (g 1,..., g m ) g j (x 1, x 2, x 3 ) = f j (x 1, x 2 ) j {1,..., m} ḡ
60 R = {(1 1, 0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2, 1 2 )}. R (f, g) R f {,, maj, } g {,, maj, } (pr1 2, pr2 2 ), (pr2 2, pr2 1 ) / AGG(R) R S SAT (S C ) P S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) f j {,,, maj} S S S SAT (S c ) NP R = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2 )} = R ONE IN T HREE { 0 2 }, S = {R} SAT (S I1 ) NP SAT (S) (pr1 2, ) AGG(S) S
61 S (, pr 2 1, pr2 2,, pr2 1 ) m = 5 SAT (Sc ) P R j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(R) f j j prn d d {1,..., n} S j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j prn d d {1,..., n} R = {(0 1, 0 1, 0 2, 0 2, 1 3 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 1 3 )} R (,, ) AGG(R)
62 R = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} R 1 NAE = {0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )} R (pr1 2, pr2 2 ) AGG(R) R SAT (R NAE ) NP (f, g) AGG(R) f {,, maj, } R S S SAT (S c ) P. ( ) j {1,..., m} f j = (f 1,..., f m ) AGG(S) f j j {,, maj, } S ( ) AGG(S) j j {1,..., m} n N n g AGG j g prd n d {1,..., n} {,, maj, } AGG(S j ) f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j {,, maj, } j {1,..., m} SAT (S c ) P
63
64
65
66
K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
![X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F](/thumbs/70/62947708.jpg "X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F")
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου
Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014
Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m
Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το
())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*
! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+
Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ
Κεφάλαιο 3.1 1. q = C V => q = 48(HiC q = χ e => χ = - e και => χ = 3 ΙΟ 15 ηλεκτρόνια I = -3- => I = 24mA. At 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ 3. Έστω u d η μέση ταχύτητα κίνησης των ελευθέρων
x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
![x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]](/thumbs/28/13017068.jpg "x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]")
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN Μάριος Βελιβασάκης 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΩΝ Ορισμός 1.1. Έστω G μια ομάδα και έστω H μια ορθόθετη υποομάδα της. Τότε ο επιμορφισμός ομάδων π : G G/H που δίδεται από
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016
ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε
1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ.
1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. (Προτείνόμενοί φυλλομετρητές: Mozllla Firefox, Internet Explorer)
-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003
-! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo
Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-
Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε
Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles
Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse
). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0
3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ευλιάτης Αναστάσιος, Τµήµα Μαθηµατικών, Επιβλέπων Καθηγητής : Γαρεφαλάκης Θεόδουλος, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο, 01 Πρόλογος Ο στόχος αυτής της εργασίας
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα
Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................
Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S.
Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. Proof. ( ) Since α is 1-1, β : S S such that β α = id S. Since β α = id S is onto,
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1
- la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'
1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,
E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.
Recursive and Recursively Enumerable sets I
Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)
Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων
Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Αθήνα, Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων 1 Αναπαραστάσεις 2 3 4 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Ορισµός H χώρος Hilbert πεπερασµένης
Περιεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
![( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]](/thumbs/49/25424945.jpg "( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]")
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος
1 ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος 2 Εισαγωγή Proof Systems: Η απόδειξη είναι µια διαδικασία που σκοπό
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015
Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h
934 Ν. 9<Π)/94. Ε.Ε. Παρ. 1(H) Αρ. 2863,43.94
Ε.Ε. Παρ. 1(H) Αρ. 286,4.94 94 Ν. 9
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)
Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου
d dt S = (t)si d dt R = (t)i d dt I = (t)si (t)i
d d S = ()SI d d I = ()SI ()I d d R = ()I d d S = ()SI μs + fi + hr d d I = + ()SI (μ + + f + ())I d d R = ()I (μ + h)r d d P(S,I,) = ()(S +1)(I 1)P(S +1, I 1, ) +()(I +1)P(S,I +1, ) (()SI + ()I)P(S,I,)
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
f RF f LO f RF ±f LO Ιδανικός μείκτης RF Είσοδος f RF f RF ± f LO IF Έξοδος f LO LO Είσοδος f RF f LO (ω RF t) (ω LO t) = 1 2 [(ω RF + ω LO )t + (ω RF ω LO )t] RF LO IF f RF ± f LO 0 180 +1 RF IF 1 LO
«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ
«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Α/Α ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΙΔΟΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ποσότητα BLACK ποσότητα YELLOW ποσότητα MAGENTA ποσότητα CYAN ποσότητ α color BROTHER 1 Brother dcb -7010L Fax 1 2 Brother
Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο
< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 >
Ασκήσεις Βασικής Άλγεβρας και Λύσεις τους 4 Δεκεμβρίου 2013 1 Ασκήσεις και Λύσεις. 2013-14 1. (αʹ Εστω m, n δύο φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε M K (m, n + 5 = MK (m + 5, n = 1. Αποδείξτε ότι MK (mn, m +
I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h
A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M
Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών
7 Ιουλίου 2015 1 χαρακτήρες χαρακτήρες Ορισµός G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Λέµε χαρακτήρα της π την συνάρτηση χ π : G, που ορίζεται χ(x) = tr π(x) Πρόταση G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση
f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7
!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7 2010 2012 !"#$%!&'()$!!"#$% &!#'()* +(, $-(./!'$% $+0 '$ 1!")& '(, 2,3!4#*'& '&5 67µ3(, 0'$# (%!)%/µ(" '&5 $+849!:5 ()(-)&4:;(.# -$% & +4
". / / / !/!// /!!"/ /! / 1 "&
! "#$ # % &! " '! ( $# ( )* +# ),,- ". / / /!"!0"!/!// /!!"/ /! / 1 "& 023!4 /"&/! 52! 4!4"444 4 "& (( 52! "444444!&/ /! 4. (( 52 " "&"& 4/444!/ 66 "4 / # 52 "&"& 444 "&/ 04 &. # 52! / 7/8 /4 # 52! "9/
A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)
C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ
»»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()
GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. Α2. α) Η πρόταση είναι ψευδής. β) Αιτιολόγηση: Σελίδα 99 σχολικού βιβλίου (η f(x)= x είναι συνεχής στο x=0
ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα
Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά
. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.
Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)
Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c
1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985
E.E., Παρ. I, Αρ. 214, 24.10.6 147 Ν. 151/6 περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Τρππιητικός) Νόμς τυ 196 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ
f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής:
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards
A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards Table of Contents Introduction (Arabic)... 1 Introduction (English)...396 Part One: Texts of the Constitutions
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.