Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1

2

3

4 1951

5 {0, 1}

6

7 N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x i = (x i 1,..., xi m) i {1,..., n} x j = (x 1 j,..., xn j ) j {1,..., m} f {(x, f(x)) x Dom(f)} Dom(f) f m N I {1,..., m} R F m J = {1,..., m} \ I I = {i 1,..., i s } J = {j 1,..., j t } R I = pr m I R = x j 1... x jt R = {(x i1,..., x is ) (x 1,..., x m ) R} R I = pr m I R = prm J = R J R i = R {i} i {1,..., m} R i = R {i} i {1,..., m} S S I = {R I R S} S I S i f : F m F F {0, 1} F 0, 1 {0, 1} c m x c m x (ȳ) = x ȳ F m : F m F x F m N : F 2 F { 1 x = y = 1, (x, y) = 0

8 : F 2 F { 0 x = y = 0, (x, y) = 1 maj : F 3 F { x x = y x = z, maj(x, y, z) = y y = z. : F 3 F x y = z, (x, y, z) = y x = z y, z x = y z.

9 {0, 1} {0, 1} {0, 1} m m N n f : {0, 1} n {0, 1} n N

10 B B pri n B n N i {1,..., n} pri n : {0, 1} n {0, 1} n i pri n (a 1,..., a n ) = a i, (a 1,..., a n ) {0, 1} n f, f 1,..., f n B f n f 1,..., f n k f(f 1,..., f n ) : {0, 1} k {0, 1} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) := f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k B S S Eq S Eq = {(0, 0), (1, 1)} S R S m k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0, 1} k S m, k N i 1,..., i m {1,..., k} S R S m (m 1) R m S S R, R S m m R R S

11 S {0, 1} S Eq S {0, 1}(x) Eq(pr 2 1(x, y), pr 2 1(x, y)). S R 1, R 2 n m S R 1, R 2 (n + m) R = R 1 R 2 R(a 1,..., a n+m ) R 1 (a 1,..., a n ) R 2 (a n+1,..., a n+m ), (a 1,..., a n+m ) {0, 1} n+m S R 1 R 2 = R 1 R 2 (n + m) R 1, R 2 R 1(a 1,..., a n+m ) R 1 (pr n+m 1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n (a 1,..., a n+m )), R 2(a 1,..., a n+m ) R 2 (pr n+m n+1 (a 1,..., a n+m ),..., pr n+m n+m (a 1,..., a n+m )). R 1, R 2 S R 1 R 2 S S m N i, j {1,..., m} {0, 1} m E m i,j = {(a 1,..., a m ) a i = a j } R {0, 1} m f : {0, 1} n {0, 1} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R f(a 1,..., a n ) := (f(a 1 1,..., a n 1 ),..., f(a 1 m,..., a n m)) R. f S f R R S

12 B S P ol(s) = {f : {0, 1} n {0, 1} n N f R, R S} Inv(B) = {R {0, 1} m m N f R, f B} S P ol(s) m R S n N i {1,..., n} a 1,..., a n R (pr n i (a 1 1,..., a n 1 ),..., pr n i (a 1 m,..., a n m)) = (a i 1,..., a i m) = a i R. P ol(s) n f P ol(s) k f 1,..., f n P ol(s) a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f(f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) = f(f 1 (a 1,..., a k ),..., f n (a 1,..., a k )) R. B Inv(B) n f B a 1,..., a n Eq Eq a i = (a i 1, ai 2 ) ai 1 = ai 2 i {1,..., n} f(a 1) = f(a 2 ) (f(a 1 ), f(a 2 )) Eq f Eq Inv(B) m R Inv(B) i 1,..., i m {1,.., k} k R R (a 1,..., a k ) R(pr k i 1 (a 1,..., a k ),..., pr k i m (a 1,..., a k )). a 1,..., a n R (a 1 i 1,..., a 1 i m ),..., (a n i 1,..., a n i m ) R f R (f(a 1 i 1,..., a n i 1 ),..., f(a 1 i m,..., a n i m )) R (f(a 1 ),..., f(a k )) R f R Inv(B) m R Inv(B) (a 1 1,..., a1 m 1 ),..., (an 1,..., an m 1 ) R m a 1 m,..., a n m (a 1 1,..., a1 m),..., (a n 1,..., an m) R f R (f(a 1 ),..., f(a m )) R (f(a 1 ),..., f(a m 1 )) R m f R m Inv(B)

13 m R 1, R 2 Inv(B) a 1,..., a n R 1 R 2 (f(a 1 ),..., f(a m )) R 1 R 2 f R 1 R 2 Inv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} n f Dom(f) {0, 1} n Im(f) {0, 1} R {0, 1} m f n f R a 1 = (a 1 1,..., a1 m),..., a n = (a n 1,..., an m) R a 1,..., a m Dom(f) (f(a 1 ),..., f(a m )) R. S R S B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S Inv(B) = Inv([B]) P ol(s) = P ol( S ) B S B = [B] S = S B S B P ol(inv(b)) S Inv(P ol(s))

14 n f / B R Inv(B) f T 2 n n {0, 1} n 2 n {0, 1} n t i t j B (n) n B g B (n) g(t ) 2 n m M T g(t ) m = B (n) R = {g(t ) T g B (n) } R M R Inv(B) j {1,..., n} t j R t j = prj n (T ) prj n B(n) B k = 2 n r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M g 1,..., g r B (n) x i = (g i (t 1 ),..., g i (t k )) i {1,..., r} (h(x 1 1,..., x r 1),..., h(x 1 k,..., xr k )) = = (h(g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h(g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, g 1,..., g r B h(g 1,..., g r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R (f(t 1 ),..., f(t k )) = f(t ) R g B (n) g(t ) = f(t ) {t 1,..., t k } = {0, 1} n f = g f B m R / S f P ol(s) R S f S S n f S Dom(f) = {0, 1} Dom(f) =

15 g P ol(s) P ol(s) = Dom(f) {0, 1} n f f n {0, 1} n {0, 1} n f S Dom(f) = {r 1,..., r k } k N \ {0} r / {r 1,..., r k } {0, 1} n f 0 = f {(r, 0)} f 1 = f {(r, 1)} f 0, f 1 S f S m 0 R 0 S m 1 R 1 S f 0 R 0 f 1 f 1 n m i M i R i f i f i (Mi T )T / R i i {0, 1} M i {r 1,..., r k, r} r M i i {0, 1} M 1 f 1 (M T 1 )T = f(m T 1 )T f S M 0 M 1 M 0 = M 1 = r T R 0, R 1 r i {0, 1} f i (r) = i R i M i R i M i i {0, 1} j j M i j, j {1,..., m i } j j R i R i(x 1,..., x j,..., x j 1, x j +1,...x mi ) x j R i (x 1,..., x j,..., x j,..., x mi ) Eq(j, j ) S N i R i M i j f i (Ni T )T R i f i(mi T )T / R i R i R i

16 n (m 1 + m 2 ) N m 1 M 1 M 2 i j N r i {1,..., m 1 } j {m 1 + 1,..., m 2 } R = R 1 R 2 R S N R N N i j N R S R R (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x j 1, x j+1,..., x m1 +m 2 x i x j R (x 1,..., x m1 +m 2 ) Eq(x i, x j ) f S N f(n T ) T R R i {0, 1} f i (N T ) T R f i (M T i )T R i P = Q. Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k m R R = k k f f(n T ) = t T N {0, 1} k f i, j {1,..., m} i j N R E m i,j S S E m i,j {Q S Q R} P Em i,j f f S f R S n R S f k n M R f f(m T ) T R M i, j R (x 1,..., x i,..., x j 1, x j+1,..., x n ) x j R (x 1,..., x n ) Eq(x i, x j ).

17 R S M R M j f(m T ) T / R R f M N n m n R R {0, 1} (m n) S P R {0, 1} (m n) t R {0, 1} (m n) (t 1,..., t n ) R (t 1,..., t n ) = f(m T ) T / R B S (L,,, ) L x, y L x y x y X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) B S X, Y B [X Y ] = X Y X Y X Y X Y X, Y X Y X Y X Y = X Y B X Y [X Y ] X Y X Y [X Y ] X Y X Y = [X Y ] B

18 P ol(s), Inv(B) B S P ol : S B Inv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) 1 2 Y X W Z 3 Inv(P ol) : S S P ol(inv) : B B X, Y S Z, W B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) X Y Inv(P ol(x)) Inv(P ol(y )) Z W P ol(inv(z)) P ol(inv(w )) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(inv(p ol(x)))) P ol(inv(z)) = P ol(inv(p ol(inv(z)))) (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z)

19 P ol(x) = P ol(y ) Inv(P ol(x)) = Inv(P ol(y )) X = Y P ol 1 1 Z B Z = P ol(inv(z)) P ol Inv

20

21

22

23 SAT S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = m R i (x i 1,..., x i m i ), i=1 R i S i {1,..., m} x i j {x 1,..., x n } V i, j S ϕ ϕ SAT (S) SAT S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ Eq(u 1, u 2 ) Eq / S u 1, u 2

24 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n } ϕ R(u i1,..., u ir ) R / S R S R(x 1,..., x r ) R (pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k s (x 1,..., x r )), R (u k1,..., u ks ) ϕ R(u 1,..., u R ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) S 1 S 2 S 1 S 2 SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) ϕ S 1 ϕ S 2 SAT (S 1 ) P SAT ( S 2 ) = P SAT (S 2 ) S 1 S 2 P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) SAT (S 1 ) P SAT (S 2 ) P ol(s 2 ) P ol(s 1 ) Inv(P ol(s 1 )) Inv(P ol(s 2 )) S 1 S 2 SAT (S 1 ) SAT (S 2 ) R R 0 (0,..., 0) R 1 (1,..., 1) R

25 S S Schaefer S S 0 1 SAT (S) NP ( ) S 0 1 ( ) [], [] II 0 = Inv([{c 0 }]) II 1 = Inv([{c 1 }]) IE 2 = Inv([{ }]) IV 2 = Inv([{ }]) ID 2 = Inv([{maj}]) IL 2 = Inv([{ }]) IN 2 = Inv([{ }]) BR = {R {0, 1} n n N} S II 0, II 1, IE 2, IV 2, ID 2, IL 2 S IN 2 S IN 2 IN 2 S = BR SAT (S) = P SAT ( S ) = SAT (BR) SAT (S) NP

26 S = S = IN 2 = Inv([{ }]) R NAE = {0, 1} 3 \ {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}. P ol({r NAE }) [{ }] P ol({r NAE }) {R NAE } = Inv(P ol({r NAE }) Inv([{ }]) = IN 2. N 2 = P ol(in 2 ) P ol({r NAE }) SAT ({R NAE }) P SAT (IN 2 ) = SAT (S) SAT ({R NAE }) NP SAT (S)

27 {0 j, 1 j } j {1,..., m} m N {0 j, 1 j } m R {0 j, 1 j } i j j=1 α R m σ R = (i 1,..., i m ) j i j a R = m j=1 i j i j N j {1,..., m} m m m m R m 1 j 0 I j 0 1 J m (j 0 + 1) R

28 R I {0 j0, 1 j0 } R J j 0 j {0 j, 1 j } j {1,..., m} n n N m m f = (f 1,..., f m ) f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f j m

29 B m B (pr n i,..., pr n i ) }{{} m B n N i {1,..., n} {0 j, 1 j } f = (f 1,..., f m ), f 1 = (f1 1,..., f m), 1..., f n = (f1 n,..., f m) n B f n f 1,..., f n k f( f 1,..., f n ) := ḡ = (g 1,..., g m ) j {1,..., m} g j = f j (f 1 j,..., f n j ) : {0 j, 1 j } k {0, 1}, g j (a 1,..., a k ) := f j (f 1 j (a 1,..., a k ),..., f n j (a 1,..., a k )), (a 1,..., a k ) {0 j, 1 j } k B B B j j {1,..., m} j {1,..., m} B j k f / B j n g j B j k gj 1,..., gn j B j f = (g j (gj 1,..., gn j )) g j, gj 1,..., gn j B j ḡ, ḡ 1,...ḡ n B j g j, gj 1,..., gn j h = (h 1,..., h m ) h i = g i (gi 1,..., gn i ) i j h j = f B f = h j B j Eq j = {(0 j, 0 j ), (1 j, 1 j )} j {1,..., m} Eq j,n s,t = {(a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n a s = a t }

30 S S k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S j {1,..., m} S j {1,..., m} R S R j 1 s N j r N k N R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+k,..., a αr ) R(a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+k ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+k ),..., a αr ), (a 1,..., a αr ) m j+1 {0 j, 1 j } s j i 1,..., i r {s + 1,..., s + k} R S S R S (α R 1) R αr S S R, R S α R = α R R R S S R 1, R 2 S j i 1 j i2 j j {1,..., m} R 1, R 2 R = R 1 R 2 R(a 1,..., a i 1 1, a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +1,..., a i 1 1 +i2 1 +i1 2,..., a α R1 +α R2 ) R 1 (a 1,..., a i 1 1, a i 1 1 +i ,..., a α R1 ) R 2 (a i ,..., a i 1 1 +i2 1, a i 1 1 +i2 1 +i1 2 +1,..., a α R2 ), (a 1,..., a αr1 +α R2 ) m j=1 {0 j, 1 j } i1 j +i2 j S m j=1 {0 j, 1 j } m j=1 Eqj k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k,n s,t m j=k+1 {0 j, 1 j } j {1,..., m} n N j {1,..., m} I j j j I j

31 S S Ij j {1,..., m} k {1,..., m} S Ik k 1 j=1 {0 j, 1 j } Eq k m j=k+1 {0 j, 1 j } S I k Eq k Eq k S Ik R S Ik R S R = R I k R R (a 1,..., a s, a s + 1,..., a s+t,..., a αr ) R (a 1,..., a s, pr k i 1 (a s+1,..., a a+t ),..., pr k i r (a s+1,..., a s+t ),..., a α R ), s k 1 R, R t k R r R R S R = R I k R S Ik R (a 1,..., a t ) R(pr k i 1 (a 1,..., a t ),..., pr k i r (a 1,..., a t )). R S Ik R S R = R I k S R = R α R S R I k = R αr S n S ik m

32 R k m j i j f = (f 1,..., f m ) m f j : {0 j, 1 j } n {0 j, 1 j } j {1,..., m} f R f R f R a 1 = (a 1 1,..., a1 k ),..., an = (a n 1,..., an k ) R f(a 1,..., a n ) := (f 1 (a 1 ),..., f 1 (a i1 ), f 2 (a i1 +1),..., f 2 (a i1 +i 2 ),..., f m (a k )) R. f S f R R S 1 B S MP ol(s) = { f f R, R S} MInv(B) = {R m j=1 {0 j, 1 j } i j f R, f B} S MP ol(s) t R S m a 1,..., a n R (pr n i (a 1 ),..., pr n i (a t )) = (a i 1,..., a i t) = a i R. (pri n,..., pri n ) MP ol(s) n N i {1,..., n} }{{} m n f = (f 1,..., f m ) MP ol(s) k f 1,..., f n MP ol(s) f i = (f1 i,..., f m) i i {1,..., n} a 1,..., a k R f i (a 1,..., a k ) R i {1,..., n} f( f 1,..., f n )(a 1,..., a k ) R.

33 B MInv(B) X, Y X Y B [B] B B [B] = {F B F } S S S S S = {G S G} B S P ol(inv(b)) = [B] Inv(P ol(s)) = S B S MP ol(minv(b)) B MInv(MP ol(s)) S n f = (f 1,..., f m ) / B R Inv(B) f T (m 2 n ) n ((j 1) 2 n ) + 1 j 2 n {0 j, 1 j } n j {1,..., m} B (n) n B ḡ = (g 1,..., g m ) B (n) ḡ(t ) g j T {0 j, 1 j } n 2 n a M ḡ(t )

34 R = {ḡ(t ) T g B (n) } R M R MInv(B) d T R (prd n,..., prn d }{{} ) B (n) k = (m 2 n ) m r h B x 1 = (x 1 1,..., x1 k ),..., xr = (x r 1,..., xr k ) R R x 1,..., x r M ḡ 1,..., ḡ r B (n) x i = (ḡ i (t 1,..., t k )) i {1,..., r} t i i T (h 1 (x 1 1,..., x r 1),..., h m (x 1 k,..., xr k )) = = (h 1 (g 1 (t 1 ),..., g r (t 1 )),..., h m (g 1 (t k ),..., g r (t k ))) := x. B h, ḡ 1,..., ḡ r B h(ḡ 1,..., ḡ r ) B x M R h R Inv(B) f R T T R f(t ) R ḡ B (n) ḡ(t ) = f(t ) T f = g f B n f = (f 1,..., f m ) S j Dom(f j ) {0 j, 1 j } n f j a R / S f MP ol(s) R P = Q S,Q R S P S R / S t P \ R N R k a R R = k k f f(n T ) = t T Q.

35 f S f R S R (0,..., 0, i j, 0,..., 0) R Ij j {1,..., m} S B = MP ol(s) j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) S Ij j {1,..., m} S Ij = Inv(B j ) R S Ij R S R = R IJ S = MInv(B) f = (f 1,..., f m ) B f S f j S Ij f j R R Inv(B j ) S Ij Inv(B j ) R Inv(B j ) f B j f R f B j f B f j = f j 1 f R = {0 i, 1 i } R i=1 m i=j+1 {0 i, 1 i }, R S R = R Ij R S Ij Inv(B j ) S Ij B S 1.2

36 X, Y B X, Y S X Y X, Y X Y X, Y (B,,, ) (S,,, ) MP ol(s), MInv(B) B S MP ol : S B MInv : B S (B,,, ) (S,,, ) X, Y S X Y P ol(y ) P ol(x) Z, W B Z W Inv(W ) Inv(Z) X S Z B X Inv(P ol(x)) Z P ol(inv(z)) MP ol MInv MInv(MP ol) : S S MP ol(minv) : B B X, Y S Z, W B X MInv(MP ol(x)) Z MP ol(minv(z)) X Y MInv(MP ol(x)) MInv(MP ol(y )) Z W MP ol(minv(z)) MP ol(minv(w )) MInv(MP ol(x)) = MInv(MP ol(minv(mp ol(x)))) MP ol(minv(z)) = MP ol(minv(mp ol(minv(z))))

37 (B,,, ) (S,,, ) P ol : S B Inv : B S 1 1 X, Y S Z, W B X Y P ol(y ) P ol(x) Z W Inv(W ) Inv(Z) S V S ϕ S S V ϕ(x 1,..., x n ) = k R i (x i 1,..., x i n i ), R i S n i = α Ri i {1,..., k} k N x i j {x 1,..., x n } V i, j i=1 S ϕ(x 1,..., x n )

38 S ϕ ϕ SAT (S) SAT (S) S S S SAT (S) SAT ( S ) S S SAT (S) P SAT ( S ) S u 1,..., u n S ϕ ϕ R(u i1,..., u ir ) R S ϕ k 1 {0 j, 1 j }(v j ) Eq k (u 1, u 2 ) j=1 m j=k+1 {0 j, 1 j }(v j ) / S, u 1, u 2 ϕ x j R(u i1,..., u j 1, x j, u j+1,..., u ir ) R j / S R S R(u i1,..., u j 1, u, u j+1,..., u ir ) u {u 1,..., u n }

39 ϕ R(v 1,..., v s, u i1,..., u ir, v s+1,..., v t ) R / S j 1 s j r m j t s R S R(y 1,..., y s, x 1,..., x r, y s+1,..., y t ) R (y 1,..., y s, pr r k 1 (x 1,..., x r ),..., pr r k l (x 1,..., x r ), y s+1,..., y t ), R (v 1,..., v s, u k1,..., u kl, v s+1,..., v t ) ϕ R(u 1,..., u r ) R / S R = R 1 R 2 R 1, R 2 S R 1 (u 1,..., u r ) R 2 (u 1,..., u r ) SAT (S) S m R 1 = {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } = {(0 1, 0 2 ), (0 1, 1 2 ), (1 1, 0 2 ), (1 1, 1 2 )} (1, 1) R 2 = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} = ({0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )}) {(0 2, 0 2 )} (3, 2) SAT ({R 1 }) P SAT ({R 2 }) NP {R 1 } SAT ({R NAE }) P SAT ({R 2 })

40 SAT ({R }) NP R = R 1,2,3 ONE IN T HREE = {(1 1, 0 2, 0 3 ), (0 1, 1 2, 0 3 ), (0 1, 0 2, 1 3 )}. R = R ONE IN T HREE = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} R R (a 1, a 2, a 3 ) R(pr 3 i 1 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 2 (a 1, a 2, a 3 ), pr 3 i 3 (a 1, a 2, a 3 )), i 1 i 2 i 3 {1, 2, 3} R = R R SAT ({R}) = P SAT ( {R} ) SAT ({R}) SAT ( {R} ) SAT ({R }) S = {R} ϕ(u 1,..., u n ) S n = 3k k N u 1,..., u n/3 u n/3+1,..., u 2n/3 R(u i, u j, u l ) i {n/3 + 1,..., 2n/3} j {2n/3 + 1,..., 3n} l {1,..., n/3} R(u l, u i, u j ) R(u i, u i, u j ) R (u i, u j ) R (a 1, a 2 ) R(pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 1(a 1, a 2, a 3 ), pr 3 2(a 1, a 2, a 3 )) R(u i, u i, u i ) R empty =

41 R(u, v) u, v {u 1,..., u n } u R R (u, v, u R ) R(u, v) u v S 0 0 j 1 1 j 0 1 j j {1, 2, 3} SAT ({R}) = P SAT ({ R }) P SAT ({ R }) = P SAT ({R }) SAT ({R}) NP SAT ({R }) R Rj = {0 j, 1 j } j {1, 2, 3} SAT ({R } Ij ) = SAT ({Rj }) SAT ({R }) NP S j {1,..., m} SAT (S Ij ) NP SAT (S) NP R SAT (S Ij ) S Ij R S R Ij = R S Ij ϕ(u 1,..., u n ) R (u i1,..., u ini ) ϕ v1 R,..., vr t R R R R (u i1,..., u ini ) R(v1 R,..., vr s, u i1,..., u ini, vs+1 R,..., vr t R ) S SAT (S Ij ) P SAT (S) SAT (S) NP

42 m = 1 S V S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 u V Ju R R {R 1,..., R k } u V V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V = k pr J{u i 1,...,u i Ri (u i n } 1,..., u i n i ), i i=1 J {u i 1,...,u i n i } = u V {u i 1,...,ui n i } J u Ri i {1,..., k} V S = {R 1, R 2 } R 1 (3, 4) R 2 (5, 1) V = {u 1,..., u 15 } S ϕ(u 1,..., u 7 ) = R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3, u 5 ) R 2 (u 1, u 2, u 6, u 7, u 2, u 5 ). V = {u 1,..., u 10 } ϕ V = ϕ V = {u 1, u 2, u 3, u 4 } V ϕ(u 1,..., u 7 ) V = pr {1,2,3,4,5,6} R 1 (u 1, u 2, u 2, u 3, u 4, u 3 ) pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ).

43 pr {1,2,5} R 2 (u 1, u 2, u 2 ) x 3 x 4 x 6 R 2 (u 1, u 2, x 3, x 4, u 2, x 6 ). S ϕ(u 1,..., u n ) s s 2 s n V {u 1,..., u n } s 1 u V ϕ(u 1,..., u n ) V ϕ(u 1,..., u n ) V {u} S ϕ(u 1,..., u n ) s s t 2 t s S ϕ(u 1,..., u n ) s 2 s n u {u 1,..., u n } \ V S = {R 1, R 2 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}. S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 V = {u 2, u 3, u 4, u 5 } V ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = x 1 x 3 R 1 (x 1, u 2, x 3, u 3, u 4, u 5 ) x 2 R 2 (u 2, x 2, u 3, u 5, u 5 ). (u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ) ϕ V (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) ϕ V {u1 } (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ).

44 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = (1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ) 5 S = {R 1, R 2, R 3 } R 1 = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 1 3 ), (1 1, 0 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2, 0 3 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 1 1, 0 2, 0 3, 0 3 ), (1 1, 0 1, 0 2, 1 3, 1 3 )}, S ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) = R 3 = {(0 1, 0 2, 1 2, 0 3 ), (1 1, 0 2, 1 2, 0 3 ). R 1 (u 1, u 2, u 1, u 3, u 4, u 5 ) R 2 (u 2, u 1, u 3, u 5, u 5 ) R 3 (u 2, u 3, u 4, u 5 ). ϕ(u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 ) 5 R 3 u 1 s s s s 1 s s s s = 2, 3 s r n R m j=1 {0 j, 1 j } i j R r r n ā = (a 1,..., a n ) m j=1 {0 j, 1 j } i j pr I (ā) pr I R, I {1,..., n} I r R r j R Ij

45 R = {(0 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (1 1, 1 1, 0 1, 1 2, 1 2 )}, R = R {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, 2 2 ā = {(1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 0 2 )} / R pr {i} ā = 1 1 R i = {0 1, 1 1 } i {1, 2, 3} pr i,j ā = {1 1, 1 1 } R i,j = {(0 1, 1 1 ), (1 1, 0 1 ), (1 1, 1 1 )} i, j {1, 2, 3} R R 4,5 R 2 2 R 4,5 = {0 2, 1 2 } 2 2 R I ā = (a 1, a 2, a 3 ) a 1 = a 3 = 0 1 a 2 {0 1, 1 1 } pr 1,3 ā = {0 1, 0 1 } / R 1,3 ā R 0 1 R 2 ā = (1 1, 1 1, 1 1, 0 2, 1 2 ) / R pr {1,2,3} ā R I 1 pr {4,5} ā R 2 I {{1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}} pr {i,j} ā R i,j i, j {1, 2, 3, 4, 5}

46 S maj = (maj,..., maj) MP ol(s) }{{} m R S 2 S ϕ 3 f = (f 1,..., f m ) f j = maj S Ij n R S n = 2 (n 1) n 3 ā = (a 1,..., a n ) pr I ā R I I {1,..., n} I 2 ā R ā j = prj n(a 1, a 2,..., a n ) j {1, 2, 3} ā j R j j {1, 2, 3} x 1, x 2, x 3 R x 1 = (x 1, a 2,..., a n ), x 2 = (a 1, x 2, a 3,..., a n ) x 3 = (a 1, a 2, x 3, a 4,..., a n ) R maj R maj(x 1, x 2, x 3 ) = ā R S ϕ(u 1,..., u n ) 3 s {1,..., n} ϕ(u 1,..., u n ) s V = {v 1,..., v s 1 } {u 1,..., u n } v {u 1,..., u n } \ {v 1,..., v s 1 } l ϕ V ϕ V {v} k ϕ V {v} (u 1,..., u n ) = R i (v1, i..., vn i i ), R i ϕ(u 1,..., u n ) vj i V {v} j {1,..., n i } i {1,..., k} S ϕ (W ) W = k i=1 W i {v } W i s 1 i {1,..., k} f i : V W i 1 1 i=1

47 i {1,..., k} f i f i (v) = v S ϕ (W ) ϕ (W ) = k R i (f i (v1), i..., f i (vn i i )). i=1 (k (s 1)) R ϕ (W ) k i=1 f i(v ) R S R 2 l(v ) = (l(v 1 ),..., l(v s 1 )) l(v j ) v j V l t l(v ) k t / R l (t, l ) R ϕ (W ) R R v l ϕ V {v} I {1,..., k(s 1)} I 2 pr I t R I I I 2 pr I t / R I R ϕ(u 1,..., u n ) 3

48 R 1, R 2 (i 1,..., i m ) (j 1,..., j m ) V R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) u i, v j V i {1,..., n} j {1,..., m} s, t N {w 1,..., w n } = {u 1,..., u s, v 1,..., v t } n N R 1 (u 1,..., u s ) R 2 (v 1,..., v t ) R 1 R 2 (w 1,..., w n ) = pr k1,...,k l (R 1 R 2 ) k l j=k 1 Eq n w j (w 1,..., w n ), Eqw n j n w j w k1,..., w kl w 1,..., w n R 1, R 2 S R 1 R 2 S R 1 R 2 R 1 (u 1, u 2, u 1, u 5, u 4 ) R 2 (u 3, u 1, u 4, u 6 ) R 1 = {(1 1, 0 1, 1 1, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2 )}, R 2 = {(0 1, 1 1, 0 2, 1 2 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2 )}. R 1 R 2 (u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 ) = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2, 1 2, 1 2 )} S m j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, }, f j f j j P = n N SAT (S) 1 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j {,, maj} n N SAT (S) P {, } H = {j {1,..., m} f j j = } S

49 S ϕ(u 1,..., u n ) = k R i (u i 1,..., u i n i ). i=1 3, R r (u r 1,..., ur n r ) R s (u s 1,..., us n s ) R t (u t 1,..., ut n t ) r, s, t {1,..., k} (R r R s R t ) {u r 1,...,u r nr }, (R r R s R t ) {u s 1,...,u s ns }, (R r R s R t ) {u t 1,...,u t n t }. S ϕ (u 1,..., u n ) D(u) u ϕ (u 1,..., u n ) u {u 1,..., u n } u ϕ (u 1,..., u n ) P ol(s Ij ) j H P ol( S Ij ) P ol(d(u)) u H D(u) = D(u) H t = (t 1,..., t n ) t i = (D(u)) u H t R R ϕ (u 1,..., u n ) t 1, t 2 R v 1, v 2 t 1 i = (D(v 1 )) t 2 j = (D(v 2 )) i j H v 1, v 2 {u 1,..., u n } i, j R t 1 1,2 = (t1 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t1 n) t 2 1,2 = (t2 1,..., t1 i,..., t2 j,..., t2 n) R t R

50 D(u) 2 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {,, maj, } f j f j j = SAT (S) P S ϕ(u 1,..., u n ) A = {j {1,..., m} f j j = } ḡ = (g 1,..., g m ) g j = j A ϕ V (u 1,..., u n ) V A ϕ V (u 1,..., u n ) ( n 3) 3 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s) f j j {cn 0 j, c n 1 j,,, maj, } n N SAT (S) P C = {j {1,..., m} f j j {cn 0 j, c n 1 j }, n N} j C g := f j f j j ( x) := c j x {0 j, 1 j } n c j {0 j, 1 j } i {1,..., m} \ {j} f j i f j i S Ii (c, c,..., c) S Ij f j i f j i ( x) = c i {0 i, 1 i } x {0 i, 1 i } n

51 S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f m) j MP ol(s) f j j / {c 0 j, c 1j,,, maj, } SAT (S) NP P ol(s Ij ) = P ol(inv(mp ol(s) j )) = MP ol(s) j. c 0j, c 1j,,, maj, / P ol(s Ij ) SAT (S Ij ) NP SAT (S Ij ) SAT (S) SAT (S) NP m = 1 C (S) S S S S S ϕ(u 1,..., u n ) S ϕ(u 1,..., u n, u) u 0 j S ϕ (u 1,..., u n, u) = ϕ(u 1,..., u n, u) {0 j }(u).

52 S S j {1,..., m} {0 j } {1 j } {0 j, 1 j } S S S c S m S c = {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j }} S. j=1 n f = (f 1,..., f m ) f j {1,..., m} (a 1,..., a n ) {0 j, 1 j } n f j (a 1,..., a n ) {a 1,..., a n }. f j {1,..., m} f j (c j,..., c j ) = c j c j {0 j, 1 j } 2 S f MP ol(s c ) f f MP ol(s). SAT C (S) S ϕ ϕ SAT (S c ) S c ϕ ϕ S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) MP ol(s c ) f j j {,, maj, }, SAT (S c ) P SAT (S c ) NP

53 1, 2 4,, maj,

54 []

55 n n N m j {0 j, 1 j } R m {0 j, 1 j } i j, j=1 i j N j {1,..., m} R j i {1,..., α R } R i = 2 R AGG(R) n f = (f 1,..., f m ) n N f MP ol(r) f R S AGG(S) R S R S f c R 3.4 f f {{0 j }, {1 j }, {0 j, 1 j } j {1,..., m}}. f AGG(S) f MP ol(s c ) AGG(S) MP ol(s c )

56 R f n f i, j {1,..., m} 1 1 g ij : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } n (x 1,..., x n ) {0 i, 1 i } n f j (g ij (x 1 ),..., g ij (x n )) = g ij (f i (x 1,..., x n )). R S 0 j 0 1 j 1 j {1,..., m} f i f j i, j {1,..., m} 0 1 R f = (maj,..., maj) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m maj, R (maj, ) AGG(R) (maj, ) 1 1 g : {0 1, 1 1 } {0 2, 1 2 } g(0 1 ) = 0 2 g(1 1 ) = 1 2 (g(0 1 ), g(1 1 ), g(0 1 )) = = g(0 1 ) = g(maj(0 1, 1 1, 0 1 )).

57 R f = (,..., ) }{{} m ḡ = (,..., ) AGG(R) }{{} f, ḡ m f ḡ 1 1 g : {0 j, 1 j } {0 j, 1 j } g(0 j ) = 1 j g(1 j ) = 0 j f j (g(0 j ), g(1 j )) = (1 j, 0 j ) = 0 j 1 j = g(0 j ) = g( (0 j, 1 j )). R f n f d {1,..., n} j {1,..., m} f j = pr n d. R S R f AGG(R) S f AGG(S) R S R = m j=1 {0 j, 1 j }

58 P OSS(S) S S P OSS(S) SAT (S C ) S S S S n n = 2 (n 1) n 3 n f = (f 1,..., f m ) i, j {1,..., m} g : {0 i, 1 i } {0 j, 1 j } 1 1 x 1 i,..., xn i {0 i, 1 i } f j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(f i (x 1 i,..., x n i )). n 3 x k i {0 i, 1 i } k {1,..., n} s t {1,..., n} x s i = xt i h = (h 1,..., h m ) h j (a 1 j,..., a s j,..., a t 1 j, a t+1 j,..., a n j ) = f j (a 1 j,..., a n j ),

59 a 1 j,..., an j {0 j, 1 j } j {1,..., m} (n 1) h S h j (g(x 1 i ),..., g(x n i )) g(h i (x 1 i,..., x n i )). 1 1 S S (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) AGG(S) }{{} m S ( ) ( ), maj / AGG(S) S S j {1,..., m} AGG(S) j j {1,..., m} maj AGG(S) Ij AGG(S) (,..., ) }{{} m AGG(S) (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) AGG(S) Ij j {1,..., m} S S S ( ) ( ) (,..., ) AGG(S) }{{} m (maj,..., maj) }{{} m AGG(S) S f = (f 1,..., f m ) ḡ = (g 1,..., g m ) g j (x 1, x 2, x 3 ) = f j (x 1, x 2 ) j {1,..., m} ḡ

60 R = {(1 1, 0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2, 1 2, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2, 0 2, 1 2 )}. R (f, g) R f {,, maj, } g {,, maj, } (pr1 2, pr2 2 ), (pr2 2, pr2 1 ) / AGG(R) R S SAT (S C ) P S j {1,..., m} f j = (f j 1,..., f j m) f j {,,, maj} S S S SAT (S c ) NP R = {(1 1, 0 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 1 1, 0 1, 0 2 ), (0 1, 0 1, 1 1, 0 2 )} = R ONE IN T HREE { 0 2 }, S = {R} SAT (S I1 ) NP SAT (S) (pr1 2, ) AGG(S) S

61 S (, pr 2 1, pr2 2,, pr2 1 ) m = 5 SAT (Sc ) P R j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(R) f j j prn d d {1,..., n} S j {1,..., m} n N n f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j prn d d {1,..., n} R = {(0 1, 0 1, 0 2, 0 2, 1 3 ), (0 1, 0 1, 1 2, 0 2, 1 3 )} R (,, ) AGG(R)

62 R = R 1 NAE {(0 2, 0 2 )} R 1 NAE = {0 1, 1 1 } 3 \ {(0 1, 0 1, 0 1 ), (1 1, 1 1, 1 1 )} R (pr1 2, pr2 2 ) AGG(R) R SAT (R NAE ) NP (f, g) AGG(R) f {,, maj, } R S S SAT (S c ) P. ( ) j {1,..., m} f j = (f 1,..., f m ) AGG(S) f j j {,, maj, } S ( ) AGG(S) j j {1,..., m} n N n g AGG j g prd n d {1,..., n} {,, maj, } AGG(S j ) f j = (f j 1,..., f m) j AGG(S) f j j {,, maj, } j {1,..., m} SAT (S c ) P

63

64

65

66

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F

X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001

!#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%'  (&! #!$/001 !"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a

apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJAL hp_a*a n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ

Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ Κεφάλαιο 3.1 1. q = C V => q = 48(HiC q = χ e => χ = - e και => χ = 3 ΙΟ 15 ηλεκτρόνια I = -3- => I = 24mA. At 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ 3. Έστω u d η μέση ταχύτητα κίνησης των ελευθέρων

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ SEIFERT ΚΑΙ VAN KAMPEN Μάριος Βελιβασάκης 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΩΝ Ορισμός 1.1. Έστω G μια ομάδα και έστω H μια ορθόθετη υποομάδα της. Τότε ο επιμορφισμός ομάδων π : G G/H που δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C Dπου ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ.

1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. 1. Από την αρχική σελίδα του web site του ΙΚΑ http://www.ika.gr επιλέγετε την ελληνική σημαία για να εισέλθετε στην κεντρική σελίδα του ΙΚΑ. (Προτείνόμενοί φυλλομετρητές: Mozllla Firefox, Internet Explorer)

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse

Διαβάστε περισσότερα

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0

). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ευλιάτης Αναστάσιος, Τµήµα Μαθηµατικών, Επιβλέπων Καθηγητής : Γαρεφαλάκης Θεόδουλος, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο, 01 Πρόλογος Ο στόχος αυτής της εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S.

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S. Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. Proof. ( ) Since α is 1-1, β : S S such that β α = id S. Since β α = id S is onto,

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1

ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1 - la /:_ )( -( = Y () :: ÚlJl:: ot ll) r/li~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) lý) æ (v / find bt(i (t-i; i/r-(~ v) bj Ll, :: Qy -+ 4",)( + 3' r.) '.J ta.jpj -- (J ~ Cf, = l 3 ( J) : o-'t5 : - q - eft- F ~)ç2..'

Διαβάστε περισσότερα

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

Recursive and Recursively Enumerable sets I

Recursive and Recursively Enumerable sets I Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων

Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Αθήνα, Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων 1 Αναπαραστάσεις 2 3 4 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Ορισµός H χώρος Hilbert πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος

ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος 1 ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος 2 Εισαγωγή Proof Systems: Η απόδειξη είναι µια διαδικασία που σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr

Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

d dt S = (t)si d dt R = (t)i d dt I = (t)si (t)i

d dt S = (t)si d dt R = (t)i d dt I = (t)si (t)i d d S = ()SI d d I = ()SI ()I d d R = ()I d d S = ()SI μs + fi + hr d d I = + ()SI (μ + + f + ())I d d R = ()I (μ + h)r d d P(S,I,) = ()(S +1)(I 1)P(S +1, I 1, ) +()(I +1)P(S,I +1, ) (()SI + ()I)P(S,I,)

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

f RF f LO f RF ±f LO Ιδανικός μείκτης RF Είσοδος f RF f RF ± f LO IF Έξοδος f LO LO Είσοδος f RF f LO (ω RF t) (ω LO t) = 1 2 [(ω RF + ω LO )t + (ω RF ω LO )t] RF LO IF f RF ± f LO 0 180 +1 RF IF 1 LO

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ

«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ «ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Α/Α ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΙΔΟΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ποσότητα BLACK ποσότητα YELLOW ποσότητα MAGENTA ποσότητα CYAN ποσότητ α color BROTHER 1 Brother dcb -7010L Fax 1 2 Brother

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 >

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 > Ασκήσεις Βασικής Άλγεβρας και Λύσεις τους 4 Δεκεμβρίου 2013 1 Ασκήσεις και Λύσεις. 2013-14 1. (αʹ Εστω m, n δύο φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε M K (m, n + 5 = MK (m + 5, n = 1. Αποδείξτε ότι MK (mn, m +

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 7 Ιουλίου 2015 1 χαρακτήρες χαρακτήρες Ορισµός G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Λέµε χαρακτήρα της π την συνάρτηση χ π : G, που ορίζεται χ(x) = tr π(x) Πρόταση G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz. Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε

Διαβάστε περισσότερα

!"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7

!#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+45 64.%*)52(/7 !"#$%#&'(#)*+,$-.#/ 0%&#1%&%#)*2!1/&%3) 0&/(*+"45 64.%*)52(/7 2010 2012 !"#$%!&'()$!!"#$% &!#'()* +(, $-(./!'$% $+0 '$ 1!")& '(, 2,3!4#*'& '&5 67µ3(, 0'$# (%!)%/µ(" '&5 $+849!:5 ()(-)&4:;(.# -$% & +4

Διαβάστε περισσότερα

". / / / !/!// /!!"/ /! / 1 "&

. / / / !/!// /!!/ /! / 1 & ! "#$ # % &! " '! ( $# ( )* +# ),,- ". / / /!"!0"!/!// /!!"/ /! / 1 "& 023!4 /"&/! 52! 4!4"444 4 "& (( 52! "444444!&/ /! 4. (( 52 " "&"& 4/444!/ 66 "4 / # 52 "&"& 444 "&/ 04 &. # 52! / 7/8 /4 # 52! "9/

Διαβάστε περισσότερα

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. Α2. α) Η πρόταση είναι ψευδής. β) Αιτιολόγηση: Σελίδα 99 σχολικού βιβλίου (η f(x)= x είναι συνεχής στο x=0

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)

Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas) Εστω το ακόλουθο n n τριδιαγώνιο γραµµικό σύστηµα Ax = d A = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c

Διαβάστε περισσότερα

1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985

1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985 E.E., Παρ. I, Αρ. 214, 24.10.6 147 Ν. 151/6 περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Τρππιητικός) Νόμς τυ 196 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής:

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards

A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards Table of Contents Introduction (Arabic)... 1 Introduction (English)...396 Part One: Texts of the Constitutions

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα