GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

Transcript

1 GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011

2 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχεί σε ένα μόνο στοιχείο y B, δηλαδή y =. Βασικές συναρτήσεις: Γραμμικές = ax + b, π.χ. = 3x + 2 Πολυωνυμικές, π.χ. = 3x 5 + 2x + ln 3 Ρητές, που είναι πηλίκο πολυωνυμικών, π.χ. = x 2 2x 3 + 4x Εκθετικές π.χ. = e x Λογαριθμικές π.χ. = log(x + 2) Τριγωνομετρικές π.χ. = sin x και = cos ( x + π ) 3

3 Idiìthtec orðwn Αν lim = l και lim = m, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες x a x a ορίων, με την προϋπόθεση να μην προκύπτει απροσδιόριστη μορφή, δηλαδή κάποια από τις μορφές 0 0, ± και 0 (± ). Σημειώνουμε ότι ± το a μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή το ±. lim ( ± g(x)) = lim ± lim g(x) = l ± m x a x a x a lim (g(x)) = lim lim g(x) = l m x a x a x a lim (k) = k lim = k l, όπου k R x a x a lim lim x a g(x) = x a lim g(x) = l m, όπου m 0 x a ( ) ν lim () ν = lim = l ν x a x a lim = x a lim = l x a

4 Κανόνες παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης dy dx = dy du du dx g(x) g (x) y ( ν ( ν 1f ) ν ) (x) u ν νu ν 1 u 1 2 f 1 (x) u 2 u u sin cos f (x) sin u cos u u cos sin f (x) cos u sin u u e e f (x) e u e u u ln f (x) ln u u u

5

6 Μονοτονία Συνάρτησης Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το (f ) Αν f (x) < 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το (f )

7 Μονοτονία Συνάρτησης Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το (f ) Αν f (x) < 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το (f ) Ακρότατα Συνάρτησης

8 Sunart seic Μονοτονία Συνάρτησης Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το (f ) Αν f (x) < 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το (f ) Ακρότατα Συνάρτησης Πρώτη μέθοδος f (x) f(x 0) max f (x) f(x 0) min

9 Sunart seic f (x) f(x 0) den upˆrqei akrìtato f (x) 0 f(x 0) den upˆrqei akrìtato

10 Sunart seic f (x) f(x 0) den upˆrqei akrìtato f (x) 0 f(x 0) den upˆrqei akrìtato Δεύτερη μέθοδος Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) < 0, τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό μέγιστο Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) > 0, τότε το f(x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο

11 Κοίλα και σημεία καμπής Συνάρτησης Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο Αν f (x) < 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο

12 Sunart seic Κοίλα και σημεία καμπής Συνάρτησης Εστω ότι μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε: Αν f (x) > 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο Αν f (x) < 0, για κάθε x που ανήκει στα εσωτερικά σημεία του, τότε η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο f (x) f(x 0) S.K. f (x) f(x 0) S.K.

13 Pollaplasiasmìc pinˆkwn Antistrof pinˆkwn Εστω οι πίνακες A = [a ij ] m n και B = [b ij ] n p. Ο πίνακας του γινομένου των A, B ορίζεται ως ο πίνακας AB = C = [c ij ] m p με γενικό στοιχείο c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj : a 11 a 12 a 1n c 11 c 1p a 21 a 22 a 2n b 11 b 1j b 1p c 21 c 2p... b 21 b 2j b 2p a i1 a i2 a in... =.. c ij.... b n1 b nj b np.. a m1 a m2 a mn c m1 c mp

14 Pollaplasiasmìc pinˆkwn Antistrof pinˆkwn Εστω οι n n τετραγωνικοί πίνακες A, B, C και οι πραγματικοί αριθμοί λ, µ, τότε ισχύουν οι ιδιότητες: (AB)C = A(BC), προσεταιριστική ιδιότητα (A ± B)C = AC ± BC και A(B ± C) = AB ± AC (λa)(µb) = (λµ)ab AI n = I n A = A AO n = O n A = O n AB = I n BA = I n Γενικά, δεν ισχύει ότι AB = BA Μπορεί να ισχύει AB = O n με A O n και B O n. Για παράδειγμα, [ ] [ ] [ ] = Αν n, m είναι θετικοί ακέραιοι, τότε A n A m = A m+n. Για παράδειγμα, A 2 = A A και A 3 = A A 2.

15 Pollaplasiasmìc pinˆkwn Antistrof pinˆkwn Ο 2 2 πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν det A 0. Ο αντίστροφος του πίνακα [ ] a b A = c d δίνεται από τον τύπο A 1 = 1 det A adja = 1 det A [ d b c a Αντίστοιχη διαδικασία ισχύει και για τους υπόλοιπους τετραγωνικούς πίνακες. Ο 3 3 πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν det A 0. Ο αντίστροφος του πίνακα (όταν ορίζεται) δίνεται από τον τύπο A 1 = 1 det A A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 = 1 det A ]. A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33