Transcript

1 Γιαννης Κωνσ ταντινος Υπολογισ τικη ομογενοποιησ η σ υνθετων υλικων με την χρήσ η πεπερασ μένων σ τοιχείων Διπλωματικη Εργασ ια Επιβλεπων: Γεώργιος Σταυρουλάκης Πολυτεχνείο Κρήτης, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησ ης Χανιά, 19 Φλεβάρη 2014

2

3 Στην οικογενεία μου Σταματία, Πέτρο, Αλέξανδρο, που με σ τηρίζουν και με αγαπούν

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ 4 Ευχαρισ τώ θερμά τον κ. Σταυρουλάκη Γεώργιο, για την ανάθεσ η του θέματος και την σ υνεχή καθοδήγησ η σ ε όλα τα σ τάδια της εργασ ίας. Τον κ. Δρ. Γεώργιο Δροσ όπουλο, για την υποσ τήριξη, πρακτική βοήθεια και για το δημοσ ιευμένο του υλικό που αξιοποιείται εδώ. Την κ. Σταυρουλάκη Μαρία, για την ελασ τικοπλασ τική ανάλυσ η του προβλήματος και την επίλυσ η της γραμμικής ομογενοποίησ ης. Στους προαναφερθέντες ένα ακόμα ευχαρισ τώ για την κοινή δημοσ ίευσ η της ολικής ομογενοποίησ ης. Σε όλους εκείνους, που με τον έναν ή τον άλλον τρόπο σ υνέδραμαν σ την ανάπτυξη της προσ ωπικότητάς μου, τους ευχαρισ τώ που σ τάθηκα σ το πλάι τους.

5 5 Abstract Numerical homogenization is based on the usage of nite elements for the description of average properties of materials with heterogeneous microstructure. The practical steps of the method and representative examples related to masonry structures are presented in this work. The non-linear Representative Volume Element (RVE) of the masonry is created and solved within COMSOL Multiphysics. Parametric analysis has been chosen and used for the description of the loading. Thus, several RVE models with gradually increasing loading are solved. Results concerning the average stress and strain in the RVE domain are then calculated, by using the subdomain integration of COMSOL. In addition, the tangent stiness is estimated for each loading path and loading level. Finally, two databases for the tangent stiness and the stress are created, metamodels based on MATLAB interpolation are used, and an overall non-linear homogenization procedure of masonry macroscopic structures, in a FEM 2 approach, is considered. Results are compared with direct heterogeneous macro models.

6 6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η υπολογισ τική ομογενοποίησ η βασ ίζεται σ την χρήσ η των πεπερασ μένων σ τοιχείων για την περιγραφή των μέσ ων ιδιοτήτων υλικών με ετερογενή μικροδομή. Τα πρακτικά βήματα της μεθόδου και αντιπροσ ωπευτικά παραδείγματα σ χετικά με την κατασ κευή τοιχοποιίας παρουσ ιάζονται σ ε αυτή την εργασ ία. Ο μη-γραμμικός αντιπροσ ωπευτικός όγκος του φορέα της τοιχοποιίας δημιουργείται και επιλύεται με το Comsol Multiphysics. Επιλέγεται παραμετρική ανάλυσ η για την περιγραφή των φορτίσ εων. Ετσ ι, διάφορα μοντέλα RVE με σ ταδιακά αυξανόμενα φορτία επιλύονται. Τα αποτελέσ ματα σ χετικά με τις μέσ ες τάσ ειςτροπές σ τον αντιπροσ ωπευτικό φορέα, υπολογίζονται χρησ ιμοποιώντας την ε- πιλογή Subdomain integration του Comsol. Επιπρόσ θετα το εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας εκτιμάται για κάθε επίπεδο και δρόμο φόρτισ ης. Τελικά, δύο βάσ εις δεδομένων δημιουργούνται, μία για την ακαμψία και μία για την τάσ η, μεταμοντέλα βασ ιζόμενα σ το matlab interpolation χρησ ιμοποιούνται, δίνοντας μας την σ υνολική ομογενοποιημένη διαδικασ ία της μακροσ κοπικής κατασ κευής τοιχοποιίας. Τα αποτελέσ ματα σ υγκρίνονται με τα ετερογενή μακρό μοντέλα.

7 Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αριθμητικη/Υπολογισ τική Ομογενοποιήσ η ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ Περιγραφή υπολογισ τικής ομογενοποίησ ης ΧΡΗΣΗ Comsol Multiphysics Σύντομη περιγραφή σ τόχου και των βημάτων που ακολουθήθηκαν Λεπτομερή περιγραφή σ τόχου και βημάτων Ο Αντιπροσ ωπευτικός Ογκος (RVE) Συνολικό σ χέδιο υπολογισ τικής ομογενοποίησ ης πολλαπλής κλιμάκας 25 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ανάλυσ η σ ε Comsol Σύγκρισ η αποτελεσ μάτων

8 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 8 6 Συμπεράσ ματα 39 Αʹ 40 Αʹ.1 Τοιχοποιία Αʹ.2 Αντοχή της τοιχοποιίας Αʹ.3 Κονίαμα

9 Κεφάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η υπολογισ τική ομογενοποίησ η, χρησ ιμοποιείται για την μηχανική σ υμπεριφορά, πολύπλοκων, ανομοιογενών κατασ κευών, θεωρώντας ένα αντιπροσ ωπευτικό μικροσ κοπικό δείγμα του υλικού, σ την σ υνέχεια προβάλλοντας την μέσ η τιμή των χαρακτηρισ τικών του υλικού σ την μακροσ κοπική κλίμακα. Άλλες μέθοδοι που εφαρμόζονται απευθείας σ την μακροσ κοπική ανάλυσ η μπορούν να βρεθούν σ την βιβλιογραφία [1,2]. Διάφορα υλικά, όπως η τοιχοποιία και σ ύνθετα μπορούν να προσ ομοιωθούν χρησ ιμοποιώντας την υπολογισ τική ομογενοποίησ η. Στην βιβλιογραφία σ υναντάμε διάφορες προσ εγγίσ εις ομογενοποίησ ης. Μεταξύ αυτών περιλαμβάνονται αναλυτικές και αριθμητικές μέθοδοι. Οι αναλυτικές μέθοδοι μπορεί να είναι ποιο ακριβής σ την περιγραφή της μικροκατασ κευής [3] και σ υνήθως εφαρμόζονται σ ε απλά μοντέλα. Από την άλλη μεριά οι α- ριθμητικές μέθοδοι ή σ τρατηγικές προσ ομοίωσ ης, μπορούν να προσ ομοιώνουν περίπλοκα μοτίβα των μικρο μοντέλων, μέσ ω σ τατισ τικού προσ διορισ μού αντιπροσ ωπευτικών ποσ οτήτων του υλικού. Για τους παραπάνω λόγους, υπάρχει μια επιτακτική ανάγκη για την ανάπτυξη εξειδικευμένων σ τρατηγικών προσ ομοίωσ ης, των μεθόδων πολλαπλών κλιμάκων. 9

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 10 Τις τελευταίες δεκαετίες, έχει αναπτυχθεί ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων προσ ομοίωσ ης σ ε πολλαπλές κλίμακες μέσ α σ τα πλαίσ ια της ελασ τικότητας ή της ελασ τοπλασ τικής θεωρίας για τα ετερογενή/ανομοιογενή υλικά (heterogeneous materials). Η μακροσ κοπική απόκρισ η είναι δυνατόν να προβλεφθεί ως αποτέλεσ μα της λύσ ης, αναλυτικής ή αριθμητικής, ενός προβλήματος σ υνοριακών τιμών σ το μικροσ κοπικό επίπεδο. Για την αναλυτική προσ έγγισ η, ο Eshelby εξέτασ ε το σ χήμα της ανομοιογένειας μέσ ω του τανυσ τή Eshelby και πρότεινε μια ισ οδύναμη μέθοδο ενσ ωμάτωσ ης. Η μέθοδος αυτή αναπτύχθηκε περεταίρω και από άλλους σ υγγραφείς. Αν και τα αναλυτικά προσ ομοιώματα μπορούν να προβλέψουν με αρκετή ακρίβεια τις ισ οδύναμες ιδιότητες των υλικών για κατασ κευές που έχουν σ χετικά απλές γεωμετρίες, δύσ κολα μπορούν να περιγράψουν την εξέλιξη των μικροσ κοπικών τάσ εων και ανηγμένων παραμορφώσ εων σ ε πιο πολύπλοκες κατασ κευές, σ τις οποίες είναι απαραίτητη η γνώσ η των μικροσ κοπικών αυτών μεγεθών. Για να παρακαμφθούν αυτές οι δυσ κολίες, έχουν προταθεί διάφορες αριθμητικές μέθοδοι ομογενοποίησ ης, όπως: a) Numerical homogenization: Θεώρησ η αντιπροσ ωπευτικού όγκου αναφοράς (Representative Volume Element, RVE) ο οποίος περιγράφει το ε- τερογενές, μη γραμμικό υλικό. Με επίλυσ η του RVE, βρίσ κονται οι μέσ ες ιδιότητες (τάσ η-ακαμψία), οι οποίες σ τη σ υνέχεια λαμβάνονται κατάλληλα σ ε μακροσ κοπικό κατασ τατικό νόμο που περιγράφει την μακροδομή του υλικού. b) Multi-level Computational homogenization (FEM 2 ): Ο αντιπροσ ωπευτικός όγκος αναφοράς λαμβάνεται υπ όψιν σ ε κάθε σ ημείο ολοκλήρωσ ης Gauss του μακροσ κοπικού μοντέλου πεπερασ μένων σ τοιχείων. Στο πλαίσ ιο της μεθόδου λύνονται παράλληλα δύο προβλήματα, αυτό της μικροδομής (RVE) και αυτό της μακροδομής. Οι ιδιότητες της μακροδομής (τάσ η-ακαμψία) προκύπτουν από τις επιλύσ εις της μικροδομής.

11 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αριθμητικη/Υπολογισ τική Ομογενοποιήσ η Οι Αριθμητικές/υπολογισ τικές ομογενοποιήσ εις μπορούν να επεκταθούν καλύπτοντας και μη γραμμικά αποτελέσ ματα, όπως επαφή, αποκόλλησ η, α- σ τοχία και πλασ τικότητα. Σύμφωνα με την υπολογισ τική ομογενοποίησ η: Ενα μοναδιαίο κελί επιλύεται ρητά και τα αποτελέσ ματα του αξιοποιούνται για να προσ διορίσ ουν τις παραμέτρους του μακροσ κοπικού κατασ τατικού νόμου [6]. Με μια άλλη ματιά, η υπολογισ τική ομογενοποίησ η ενσ ωματώνει την ταυτόχρονη ανάλυσ η τόσ ο σ ε μακροσ κοπικό όσ ο και μικροσ κοπικό επίπεδο, είναι μια τεχνική που ανήκει σ την ευρύτερη ομάδα των μεθόδων πολλαπλών κλιμάκων. Με αυτήν την μέθοδο, η μακροσ κοπική κατασ τατική σ υμπεριφορά καθορίζεται κατά την διάρκεια της προσ ομοίωσ ης, αφού πρώτα επιλύσ ουμε το μικροσ κοπικό πρόβλημα και μεταφέρουμε προβάλουμε την πληροφορία σ ε μακροσ κοπική κλίμακα. Αυτή η προσ έγγισ η καλείται FEM 2 προσ φέροντας την ευελιξία της προσ ομοίωσ ης πολύπλοκων μικροδομών περιοδικότητας, με κάθε είδους μη γραμμικότητας. Στην παρούσ α εργασ ία, παρουσ ιάζεται η μελέτη τοιχοποιίας με μη-γραμμικότητα με την χρήσ η του Comsol Multiphysics. Στο πλαίσ ιο της μεθόδου, λαμβάνεται κατάλληλος RVE, και διαφορετικοί δρόμοι φόρτισ ης επιλέγονται. Σε κάθε δρόμο φόρτισ ης, οι σ υνοριακές σ υνθήκες των γραμμικών μετατοπίσ εων, εφαρμόζονται επαυξητικά σ τα σ ύνορα του RVE. Μετά την επίλυσ η της μικροσ κοπικής κατασ κευής, οι μέσ ες τάσ εις υπολογίζονται. Αποτέλεσ μα αυτού είναι η δημιουργία strain-stress βάσ ης δεδομένων. Επιπλέον, για κάθε δρόμο και επίπεδο φόρτισ ης τρεις δοκιμασ τικές επαυξημένες φορτίσ εις εφαρμόζονται σ το RVE. Κατά σ υνέπεια, ένα εφαπτομενικό μητρώο ακαμψίας εξάγεται από κάθε σ υγκεκριμένο επίπεδο και δρόμο φόρτισ ης και μια δεύτερη strain stiffness βάσ η δεδομένων δημιουργείται.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 12 Βασ ισ μένοι σ ε αυτά τα δεδομένα και κάνοντας παρεμβολή με την χρήσ η Matlab, δημιουργούμε ένα μεταμοντέλο, ένα ομογενοποιημένο μοντέλο, που μας δίνει πληροφορίες για την μακροσ κοπική ανάλυσ η της τοιχοποιίας. Η σ ύγκρισ η του με απευθείας επίλυσ η ετερογενών μακροσ κοπικών μοντέλων δείχνει ότι η σ τρατηγική που εφαρμόσ αμε οδήγησ ε σ ε επιτυχή αποτελέσ ματα.

13 Κεφάλαιο 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 2.1 Περιγραφή υπολογισ τικής ομογενοποίησ ης Η υπολογισ τική ομογενοποίησ η χρησ ιμοποιείται για την προσ ομοίωσ η πολύπλοκων, μη -γραμμικών κατασ κευών που αποτελούνται από σ ύνθετα ετερογενή υλικά. Η προσ έγγισ η που θα χρησ ιμοποιήσ ουμε ενσ ωματώνει την επίλυσ η σ ε μακροσ κοπικό και μικροσ κοπικό επίπεδο. Σύμφωνα με μια κλασ ική τυποποίησ η της μεθόδου, δύο προβλήματα σ υνοριακών τιμών επιλύονται ταυτόχρονα. Η αρχική ετερογενή μακροδομή αντικαθίσ ταται από μια ομογενή, για κάθε Gauss point που αντισ τοιχεί σ το RVE. Αυτό ο αντιπροσ ωπευτικός όγκος εμπεριέχει την ετερογένεια και την μη γραμμικότητα του υλικού. Συνθήκη Hill-Mandel ή θεώρημα μέσ ης ενέργειας: σ M : ɛ M = 1 σ m : ɛ m dv m V m V m 13

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 14 Παρατηρούμε την σ χέσ η ανάμεσ α σ τις μακροσ κοπικές τάσ εις-τροπές και σ τις μικροσ κοπικές τάσ εις-τροπές σ τον RVE. Τρεις τύποι φορτίσ εων, που ικανοποιούν την παραπάνω σ υνθήκη μπορούν να εφαρμοσ τούν σ το RVE: α) Επιβαλλόμενες γραμμικές μετατοπίσ εις (Linear displacement boundary conditions) β) Επιβαλλόμενες τάσ εις (Constant tractions) γ) Επιβαλλόμενες περιοδικές μετατοπίσ εις (Periodic Boundary Conditions) Ειδικότερα, σ ύμφωνα με την παραπάνω αρχή μία μακροσ κοπική τροπή είναι η φόρτισ η σ τον RVE μέσ α από γραμμικές ή περιοδικές σ υνοριακές σ υνθήκες. Μετά την ανάλυσ η και την σ ύγκλισ η για κάθε RVE σ ε κάθε Gauss point, τα α- ποτελέσ ματα σ χετικά με την μέσ η τάσ η και την σ υνεπή δυσ καμψία μεταφέρονται σ τη μακροσ κοπική κατασ κευή, Εικόνα 1. Με αυτόν τον τρόπο, η μακροσ κοπική κατασ τατική σ υμπεριφορά λαμβάνεται αριθμητικά. Ετσ ι, καμιά παραδοχή για τον κατασ τατικό νόμο της μακροσ κοπικής δομής δεν απαιτείται αρχικά. Ενα σ ημαντικό σ τάδιο της όλης διαδικασ ίας έχει να κάνει με την εκτίμησ η της μέσ ης τιμής των ποσ οτήτων της μικροσ κοπικής τάσ ης και τροπής. Γενικά δίνονται από τις σ χέσ εις ( ). Εικόνα 1: Σχηματική αναπαράσ τασ η της ταυτόχρονης ομο-

15 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 15 γενοποίησ ης πολλαπλών κλιμάκων. ɛ Vm = 1 V m V m ɛ m dv m (2.1) σ Vm = 1 V m V m σ m dv m (2.2)

16 Κεφάλαιο 3 ΧΡΗΣΗ Comsol Multiphysics 3.1 Σύντομη περιγραφή σ τόχου και των βημάτων που ακολουθήθηκαν. Σκοπός είναι να αντικατασ ταθεί, η μικροσ κοπική προσ ομοίωσ η του RVE, με δύο βάσ εις δεδομένων που θα περιέχουν πληροφορίες για την τάσ η και την δυσ καμψία του μακρομοντέλου. Στην ουσ ία να λάβουμε πληροφορίες για την μακροσ κοπική δομή. Ετσ ι αντί να λύνουμε το RVE για κάθε Gauss point και χρονικό βήμα, η οποία είναι μια χρονοβόρα διαδικασ ία, κάνουμε παρεμβολή σ ε μια κατάλληλα επιλεγμένη ποσ ότητα, από τις βάσ εις δεδομένων που έχουμε δημιουργήσ ει. Για να το πετύχουμε αυτό ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Δημιουργία ενός αντιπροσ ωπευτικού όγκου από την τοιχοποιία (RVE). Το οποίο σ υνίσ ταται από τούβλα και κονίαμα, το υλικό το οποίο ενώνει τα τούβλα. Η μη γραμμικότητα του παρόντος μοντέλου σ υγκεντρώνεται σ το κονίαμα, από το comsol επιλέγουμε perfect plasticity law. Η περιοχή που έχει να κάνει με τα τούβλα είναι γραμμική. β) Διάφοροι δρόμοι φόρτισ ης επιλέχθηκαν και επιβλήθηκαν σ το RVE. Για να γίνει αυτό εφικτό, επιλέξαμε παραμετρική ανάλυσ η. Κάθε δρόμο φόρτισ ης 16

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 17 αποτελείται από έναν αριθμό προσ αυξήσ εων. Γραμμικές σ υνοριακές σ υνθήκες επιβάλλονται σ αν φόρτισ η σ τα σ ύνορα του RVE. Επιλέγουμε Boundary settings Prescribed displacement γ) Μετά την ολοκλήρωσ η της ανάλυσ ης για κάθε RVE, υπολογίζεται η μέσ η τάσ η. δ) Τα βήματα β) και γ) επαναλαμβάνονται για κάθε δρόμο και επίπεδο φόρτισ ης, αλλά τώρα τρία δοκιμασ τικά προσ αυξημένα φορτία επιβάλλονται σ το RVE. Εδώ μπορούμε να εξάγουμε,μέσ ω της επαυξημένης επίλυσ ης και τον νόμο του Hooke, το μητρώο δυσ καμψίας για κάθε δρόμο και επίπεδο φόρτισ ης. ε) Δύο βάσ εις δεδομένων δημιουργήθηκαν, μία που έχει να κάνει με την strain to stresses και η άλλη που σ υνδέει strains to stiness. Αυτές ενσ ωματώνονται σ ε ένα σ χέδιο υπολογισ τικής ομογενοποίησ ης FEM 2 το οποίο α- ναπτύσ σ εται σ ε matlab, για την προσ ομοίωσ η της μακροσ κοπικής δομής της τοιχοποιίας. ζ) Συγκρίνουμε τα αποτελέσ ματα με τα ετερογενή μακροσ κοπικά μοντέλα 3.2 Λεπτομερή περιγραφή σ τόχου και βημάτων Σημαντικό ρόλο για την επιτυχή έκβασ η της διαδικασ ίας, διαδραματίζει η ακριβής δημιουργία των βάσ εων δεδομένων. Η δυνατότητα που παρέχεται από το cosmol για παραμετρική επίλυσ η προσ φέρει την ευκαιρία για την δημιουργία ε- νός μεγάλου αριθμού μοντέλων, γρήγορα και εύκολα. Η φόρτισ η της γραμμική μετατόπισ ης γενικά δίνεται από τον τύπο: u Vm = ɛ M x (3.1) όπου η φόρτισ η της τροπής M e σ ύνορα Vm του RVE. = [e xx e yy e xy ] T επιβάλλεται σ τα

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 18 Οπου με x σ υμβολίζεται ο πινάκας με τις μη παραμορφωμένες σ υντεταγμένες των σ υνοριακών κόμβων. Η σ χέσ η (3.1) μπορεί να ξαναγραφεί [12], για κάθε σ υνοριακό κόμβο του RVE: u x = (e xx ) x + (0.5e xy ) y (3.2) u y = (e yy ) y + (0.5e xy ) x (3.3) Για να προσ ομιώσ ουμε, κάθε δυνατό σ υνδυασ μό ανάμεσ α e xx e yy e xy του τρισ διάσ τατου χώρου, και επειδή σ το comsol ( έκδοσ η 3.4 ) μπορούμε να χρησ ιμοποιήσ ουμε μόνο μία παράμετρο. Εισ άγουμε δύο γωνίες (α, β) ανάμεσ α σ τις ποσ ότητες αυτές που θα μας βοηθήσ ουν σ την σ άρωσ η του τρισ διάσ τατου χώρου, όπως βλέπουμε και σ την εικόνα 2. Εικόνα 2: Τρισ διάσ τατη σ άρωσ η του χώρου των τροπών. Συνεπώς μια παράμετρος έχει ενσ ωματωθεί σ τις σ χέσ εις (3.4,3.5), μαζί με τις επιβληθείσ ες προκαθορισ μένες μετατοπίσ εις σ τα σ ύνορα. Η παράμετρος παίρνει αρνητικές και θετικές τιμές μεταξύ, μέσ α σ ε να εύρος τιμών 0.1:12: και :12:-0.1. Αυτή η παράμετρος μαζί με τις γωνίες (a,b), αντικαθισ τούν την σ χέσ η (4) οδηγώντας σ τις εξισ ώσ εις (5). Αυτές

19 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 19 είναι οι τελικές εξισ ώσ εις που εισ άγονται σ το Comsol, όπου τα k1, k2,k3 είναι αριθμοί που χρησ ιμοποιούνται για να διορθώσ ουν τις μετατοπίσ εις, σ ύμφωνα με τα επιθυμητά όρια. R x = u x = (cos (b) sin (a) (k 1 param)) x + (sin (b) (0.5k 3 param)) y (3.4) R y = u y = (cos (b) cos (a) (k 2 param)) y + (sin (b) (0.5k 3 param)) x (3.5) Τώρα είναι εφικτό να ληφθεί ένας ικανοποιητικός αριθμός σ υνδυασ μών μεταξύ των τροπών που ανήκουν σ το ε Μ, ανάλογο με τους διαφορετικούς σ υνδυασ μούς μεταξύ των γωνίων (a,b). Οι σ υνδυασ μοί που ακολουθήθηκαν για τις γωνίες είναι οι εξής:. Εν προκειμένω 7 13=91 διαφορετικοί σ υνδυασ μοί των γωνίων έχουν εξετασ τεί: { (a, b) = (a, 90), (a, 60), (a, 30), (a, 0), (a, 30), (a, 60), (a, 90) όπου, a=0:30:360 Η κάθε ανάλυσ η τόσ ο σ τις αρχικές επιλύσ εις, όσ ο και σ την σ άρωσ η του τρισ διάσ τατου χώρου, πραγματοποιήθηκε μέσ ω comsol script, αξιοποιώντας την δυνατότητα να τρέξουμε m-les αρχεία. Η όλη διαδικασ ία επαναλήφθηκε δύο φορές: Πρώτα για να εξάγουμε τις μέσ ες μακροσ κοπικές τάσ εις, για να δημιουργηθεί η stain-stress βάσ η δεδομένων,

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 20 με την δεύτερη για την strain-stiness. Για να εξαχθούν οι μέσ ες μακροσ κοπικές τάσ εις για κάθε χρονικό βήμα και δρόμο φόρτισ ης, επιλέγουμε σ το comsol subdomain intregration για να γίνει η μεταεπεξεργασ ία των λύσ εων. Σε αυτό το εργαλείο εσ τιάσ αμε σ τις τιμές των normal stress global sys, normal stress global sys, shear stress global sys, ταυτόχρονα έχει επιλεχθεί όλος ο φορέας του RVE. Οι εντολές που εμπεριέχουν τις πληροφορίες σ τις οποίες εσ τιάσ αμε, προσ τέθηκαν σ το τέλος του comsol script. Οπου για να βρούμε τις μέσ ες τάσ εις, έπρεπα να εισ άγουμε την σ χέσ η (2). Την ίδια διαδικασ ία και σ χέσ η αξιοποιήσ αμε για να βρούμε και τις μέσ ες τροπές, ex normal strain global sys., ey normal strain global sys., exy shear strain global sys. Εδώ, θα πρέπει να σ ημειώσ ουμε ότι σ ύμφωνα με την θεωρία της ομογενοποίησ ης και σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η, φόρτισ η με τροπές και γραμμικές σ υνοριακές σ υνθήκες σ τα σ ύνορα του RVE, σ υνεπάγεται ότι οι μέσ ες τροπές του ομογενοποιημένου φορέα είναι ακριβώς ίσ ες με τις τροπές που αποτελούν την φόρτισ η. Άρα οι μέσ ες τροπές είναι a priori γνωσ τές. Η διαδικασ ία επαναλαμβάνεται για να εξαχθεί και το μητρώο ακαμψίας του μακροσ κοπικού μοντέλου. Για αυτό τον λόγο, για κάθε επίπεδο και δρόμο φόρτισ ης (τροπή), θεωρούμε τρεις δοκιμασ τικές επαυξητικές τροπές, και σ την σ υνέχεια υπολογίζουμε τρεις επαυξητικές μέσ ες τάσ εις. Οι εξισ ώσ εις που χρησ ιμοποιήσ αμε σ ε κάθε επίπεδο φόρτισ ης-τροπής : Κεντρική επίλυσ η : Rx=Ux= 0.01*param*x + 0.5*y*(param*0.03) Ry=Uy=(param*0.02)*y + 0.5*x*(param*0.03)

21 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 21 1 η Προσ αύξησ η : Rx=Ux=((0.01*param)+0.001)*x + 0.5*y*(param*0.03) Ry=Uy=(param*0.02)*y + 0.5*x*(param*0.03) 2 η Προσ αύξησ η : Rx=Ux=(0.01*param)*x + 0.5*y*(param*0.03) Ry=Uy=((param*0.02)+0.001)*y + 0.5*x*(param*0.03) 3 η Προσ αύξησ η : Rx=Ux=(0.01*param)*x + 0.5*y*((param*0.03)+0.001) Ry=Uy=(param*0.02)*y + 0.5*x*((param*0.03)+0.001) Επίπεδα φόρτισ ης που ακολουθήσ αμε είναι: a) Load path 1: =[0.1;0;0] b) Load path 2: =[0;0.1;0] g) Load path 3: =[0;0;0.1] Στην σ υνέχεια σ ύμφωνα με τις σ χέσ εις (6) υπολογίζουμε των τανυσ τη ελασ τικότητας που είναι το μητρώο ακαμψίας για το μακροσ κοπικό μοντέλο. [δɛ Μ ] = [δ ε Μ 1 δ ε Μ 2 δ ε Μ 3 ] (3.6) [δσ Μ ] = [δ σ Μ 1 δ σ Μ 2 δ σ Μ 3 ] (3.7) [δσ M ] = C M [δɛ M ] C M = [δσ M ][δɛ M ] 1 (3.8)

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 22 Στην περίπτωσ η της επίπεδης εντατικής κατάσ τασ ης που χαρακτηρίζεται α- πό την πολύ μικρότερη z- διάσ τασ η του σ ώματος σ ε σ χέσ η με τις x,y διασ τάσ εις του. Επίσ ης, οι εφαρμοσ μένες δυνάμεις σ τα σ ύνορα του σ ώματος, είναι παράλληλες προς το επίπεδο (x,y) και επιπλέον είναι σ υμμετρικά κατανεμημένες ως προς το μέσ ο επίπεδό του. Οπότε, ισ χύει : σ zz = σ zx = σ zy = 0 Σε αυτήν τη περίπτωσ η ο τανυσ τής ελασ τικότητας C M : { C M = τανυσ τής 3 3, Άρα, τα δ ε Μ και δ σ Μ είναι: δ ε Μ 1..., δ σ Μ 1... = { τανυσ τές 3 1 Οταν όλη ανάλυσ η με το comsol ολοκληρωθεί τα αποτελέσ ματα ενσ ωματώνονται σ ε ένα FEM 2 ομογενοποιημένο μοντέλο για την μελέτη κατασ κευών τοιχοποιίας, σ ύμφωνα με τα παρακάτω κεφάλαια.

23 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS Ο Αντιπροσ ωπευτικός Ογκος (RVE) Πριν ξεκινήσ ει η διαδικασ ία της ομογενοποίησ ης, θα παρουσ ιασ τεί ο αντιπροσ ωπευτικός όγκος. Η γεωμετρία του RVE απεικονίζετε σ την εικόνα 3. εικόνα 3: Γεωμετρία του αντιπροσ ωπευτικού όγκου αναφοράς( RVE). Διασ τάσ εις σ ε mm. Οι μηχανικές ιδιότητες των 2 υλικών : Material Ε(N/mm 2 ) ν Brick , 09 M ortar , 06 Με ν σ υμβολίζεται ο λόγος Poisson. Τετραγωνικά σ τοιχεία επιλέγονται για την προσ ομοίωσ η του μοντέλου, εικόνα 4. Το πάχος είναι 70 mm. Κάνουμε την παραδοχή perfect plasticity για το κονίαμα, με αντοχή εφελκυσ μού 0.9 N/mm 2. Το τούβλο θεωρείται γραμμικό.

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΧΡΗΣΗ COMSOL MULTIPHYSICS 24 Εικόνα 4: Πλέγμα του αντιπροσ ωπευτικού όγκου αναφοράς της τοιχοποιίας

25 Κεφάλαιο 4 Συνολικό σ χέδιο υπολογισ τικής ομογενοποίησ ης πολλαπλής κλιμάκας Ενα πολλαπλής-κλίμακας ομογενοποιημένο μοντέλο δημιουργήθηκε σ την Matlab, για την προσ ομοίωσ η μερικών εκ των μακροσ κοπικών κατασ κευών τοιχοποιίας. Η κύρια ιδέα που παρουσ ιάζεται σ ε αυτή την εργασ ία, είναι η αντικατάσ τασ η της μακροσ κοπικής προσ ομοίωσ ης ενός RVE για κάθε σ ημείο Gauss και για κάθε χρονικό βήμα, με την χρήσ η των δύο βάσ εων δεδομένων που δημιουργήθηκαν σ τα προηγούμενα βήματα. Υιοθετώντας αυτήν την διαδικασ ία, η μέθοδος θα πρέπει να γίνει γρηγορότερη, γιατί αντί για την επίλυσ η ενός FEM σ ε μικροσ κοπικό επίπεδο για κάθε Gauss point, οι βάσ εις δεδομένων και μέθοδοι παρεμβολής μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για να καθορίσ ουν την μακροσ κοπική τάσ η και την ακαμψία της μέθοδου Newton-Raphson. Για κάθε τρέχουσ α της μακροσ κοπικής τροπής, η τάσ η και η ακαμψία θα πρέπει να βρεθούν από τις βάσ εις δεδομένων που έχουν δημιουργηθεί. Ετσ ι μία μέθοδος πρεμβολής πρέπει να χρησ ιμοποιηθεί για να αποκτήσ ουμε αυτές τις ποσ ότητες από την βάσ η δεδομένων. Στην παρούσ α εργασ ία η σ υνάρτησ η του matlab TriScatteredInterp χρησ ιμοποιείται, ωσ τόσ ο άλλες πιθανές λύσ εις για την δημιουργία του μεταμοντέλου(παρεμβολή) μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν όπως είναι τα νευρωνικά δίκτυα. 25

26 Κεφάλαιο 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 5.1 Ανάλυσ η σ ε Comsol Σε αυτήν την ενότητα μερικά από τα αποτελέσ ματα που αφορούν τις μέσ ες τάσ εις-τροπές παρουσ ιάζονται Ποιο σ υγκεκριμένα τα αποτελέσ ματα, από την παραμετρική ανάλυσ η σ την εξέλιξη της μη-γραμμικής σ χέσ ης τάσ εων-τροπών, κατά την σ άρωσ η του τρισ διάσ τατου χώρου για διαφορετικές γωνίες a,b, απεικονίζονται σ την εικόνα 5. 26

27 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 27

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 28 Εικόνα 5: Διαγράμματα μέσ ων τάσ εων - μέσ ων τροπών Ο τρόπος ασ τοχίας για μερικά RVEs φαίνεται σ τις εικόνες 6. Σύμφωνα με αυτές τις εικόνες, πλασ τικές παραμορφώσ εις αναπτύχθηκαν μόνο σ το κονίαμα. Επιπρόσ θετα, όσ ο η τιμή της παραμέτρου αυξάνεται, οι πλασ τικές παραμορφώσ εις αυξάνουν και αυτές, λαμβάνοντας τιμές από μηδέν μέχρι μια μέγισ τη τιμή.

29 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 29 ΠΑΡΑΡΤΗ :12:- 0.1 Εικόνα 6-1: Πλασ τική παραμόρφωσ η για την πρώτη τιμή της παραμέτρου.

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 30 Εικόνα 6-2: Πλασ τική παραμόρφωσ η για αυξανόμενη τιμή της παραμέτρου.

31 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 31 Εικόνα 6-3: Πλασ τική παραμόρφωσ η για τελική τιμή της παραμέτρου. Στη σ υνέχεια παραθέτουμε Εικόνες 7, τα αποτελέσ ματα για τα διάφορα επίπεδα και δρόμου φόρτισ ης που ακολουθήσ αμε. Πρώτα θα δούμε την κεντρική επίλυσ η και σ τις σ υνέχεια τις τρεις επαυξητικές φορτίσ εις.

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 32 Διαγράμματα κεντρικής επίλυσ ης:

33 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 33 Διάγραμμα 1 ης Προσ αύξησ ης : Load path 1: =[0.1;0;0]

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 34 Διάγραμμα 2 ης Προσ αύξησ ης : Load path 2: =[0;0.1;0] Διάγραμμα 3 ης Προσ αύξησ ης : Load path 3: =[0;0;0.1]

35 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σύγκρισ η αποτελεσ μάτων Στο τελευταίο βήμα της προτεινόμενης προσ έγγισ ης γίνεται σ ύγκρισ η των αποτελεσ μάτων, ανάμεσ α σ το ολικό ομογενοποιημένο μοντέλο FEM 2 που παρουσ ιάσ τηκε, και σ την επίλυσ η ετερογενών δομών τοιχοποιίας με ABAQUS και MARC. Το πρώτο μοντέλο που παρουσ ιάζεται είναι ένα ορθογώνιο δείγμα από τοιχοποιία, με διασ τάσ εις m. Η φόρτισ η είναι ένα σ υγκεντρωμένο κατακόρυφο φορτίο σ την πάνω-δεξιά γωνία του μοντέλου, ενώ xed boundary conditions εφαρμόζονται σ την αρισ τερή κάθετη ακμή. Στο διάγραμμα force-displacement της εικόνας 7 βλέπουμε τις δύο μεθόδους. Εικόνα 7: Force-displacement διάγραμμα από την προτεινόμενη μέθοδο και την απευθείας αριθμητική μακροσ κοπική προσ ομοίωσ η.

36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 36 Στην εικόνα 8 δίνεται η σ ύγκρισ η ανάμεσ α σ την πλασ τική παραμόρφωσ η από τις δύο προσ εγγίσ εις. Εικόνα 8: Πλασ τική παραμόρφωσ η (a) ABAQUS, (b) FEM 2 Το βαθύ μπλε αντισ τοιχεί σ ε μεγαλύτερες τιμές του ίχνους του μητρώου ελασ τικότητας, το κόκκινο όπου εκεί παρατηρείται και η ασ τοχία, το ίχνος του μητρώου ελασ τικότητας παίρνει τις ελάχισ τες τιμές.

37 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 37 Στην εικόνα 9 μια τοιχοποιία με μεγαλύτερες διασ τάσ εις παρουσ ιάζεται m, όπου η φόρτισ η είναι κατανεμημένες μετατοπίσ εις 5 mm σ τα δεξιά κατακόρυφη ακμή, ενώ η αρισ τερή κατακόρυφη είναι πακτωμένη. Εικόνα 9: Πλασ τική παραμόρφωσ η για τις νέες διασ τάσ εις (a) Marc, (b) FEM 2

38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 38 Εικόνα 10: (a) Κατακόρυφες μετατοπίσ εις, (b) οριζόντιες μετατοπίσ εις. Σύμφωνα με αυτά τα διαγράμματα η σ ύγκρισ η μεταξύ των δύο μοντέλων οδηγεί σ ε επιτυχή αποτελέσ ματα, υποδεικνύοντας ότι η προτεινόμενη προσ έγγισ η δύναται να χρησ ιμοποιηθεί για την προσ ομοίωσ η μη-γραμμικών, ετερογενών δομών.

39 Κεφάλαιο 6 Συμπεράσ ματα Μία μέθοδος για την μελέτη ετερογενών δομών σ υμπεριλαμβανομένης της μηγραμμικής σ υμπεριφοράς προτείνεται σ ε αυτήν την εργασ ία. Το Comsol Multiphysics χρησ ιμοποιήθηκε για την παραμετρική ανάλυσ η μη-γραμμικού αντιπροσ ωπευτικού όγκο (RVE) τοιχοποιίας. Στη σ υνέχεια, οι μέσ ες τροπές, τάσ εις και ακαμψία, με τις οποίες δημιουργήσ αμε τις δύο βάσ εις δεδομένων, αξιοποιήθηκαν για την προσ έγγισ η FEM 2 για να μπορούν να προσ ομοιωθούν τοίχοι τοιχοποιίας μεγαλύτερων διασ τάσ εων. Τα αποτελέσ ματα δείχνουν καλή σ ύγκλισ η σ ε σ χέσ η με τα αποτελέσ ματα που έχουμε με την απευθείας επίλυσ η ετερογενών μακροσ κοπικών μοντέλων, που επιλύθηκαν από άλλα προγράμματα ανάλυσ ης με πεπερασ μένα σ τοιχεία, υποδεικνύοντας ότι η προτεινομένη μέθοδος δύναται να χρησ ιμοποιηθεί για την ανίχνευσ η ετερογενών μη-γραμμικών υλικών. Εν τέλη, μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί με περισ σ ότερους μη-γραμμικούς κατασ τατικούς νόμους σ το RVE και να εφαρμοσ τεί σ ε ποιο πολύπλοκες δομές τοιχοποιίας, πιθανών και σ τις τρεις διασ τάσ εις. 39

40 Παράρτημα Αʹ Αʹ.1 Τοιχοποιία. Τοιχοποιία: Μια σ ύνθεσ η λιθοσ ωμάτων τοποθετημένων κατά καθορισ μένη διάταξη και σ υνδεδεμένων μεταξύ τους με κονίαμα Οπλισ μένη τοιχοποιία: Η τοιχοποιία σ την οποία τοποθετούνται ράβδοι ή πλέγματα (σ υνήθως χαλύβδινα). Ο οπλισ μός τοποθετείται σ το κονίαμα ή σ το σ κυρόδεμα, έτσ ι ώσ τε όλα τα υλικά να σ υνεργάζονται για την ανάληψη δυνάμεων. Προεντεταμένη τοιχοποιία: Τοιχοποιία σ τη οποία εισ άγονται σ κοπίμως ε- σ ωτερικές θλιβόμενες τάσ εις, μέσ ω εφελκυόμενου οπλισ μού. ιαζωματική τοιχοποιία: Τοιχοποιία κατασ κευαζόμενη ώσ τε να περιβάλλεται και από τις τέσ σ ερις πλευρές της από υποσ τυλώματα και δοκούς Ο.Σ. ή Ο.Τ. Αυτά τα περιβάλλοντα σ τοιχεία δεν μελετούνται ώσ τε να αποτελούν πλαίσ ια. Εμπλοκή λιθοσ ωμάτων: Η κανονική διάταξη των λιθοσ ωμάτων ώσ τε να εξασ φαλίζεται η από κοινού λειτουργία τους. 40

41 ΠΑΡ ΑΡΤΗΜΑ Αʹ. 41 Αʹ.2 Αντοχή της τοιχοποιίας. Χαρακτηρισ τική αντοχή της τοιχοποιίας: Η τιμή της αντοχής για την οποία ισ χύει ότι ποσ οσ τό 5% των μετρήσ εων αντοχής της τοιχοποιίας δίνουν τιμές υπολειπόμενες αυτής. Θλιπτική αντοχή της τοιχοποιίας: Η αντοχή της τοιχοποιίας σ ε θλίψη απαλλαγμένη από την επιρροή της τριβής σ τις πλάκες φορτίσ εως, από τη λυγηρότητα ή από την εκκεντρότητα του φορτίου. ιατμητική αντοχή της τοιχοποιίας: Η αντοχή της τοιχοποιίας υποβαλλόμενης σ ε τέμνουσ ες δυνάμεις. Καμπτική αντοχή της τοιχοποιίας: Η αντοχή της τοιχοποιίας σ ε καθαρή κάμψη. Αντοχή σ υνάφειας: Η ανά μονάδα επιφανείας αντοχή σ υνάφειας, μεταξύ οπλισ μού σ κυροδέματος ή κονιάματος, όταν ο οπλισ μός υποβάλλεται σ ε εφελκυσ τικές ή θλιπτικές δυνάμεις.

42 ΠΑΡ ΑΡΤΗΜΑ Αʹ. 42 Αʹ.3 Κονίαμα. Κονίαμα: Μίγμα ανόργανων σ υνδετικών υλικών, αδρανών και ύδατος, με προσ θήκη πρόσ θετων πρόσ μικτων, εφόσ ον απαιτείται. Κονίαμα γενικής εφαρμογής: Κονίαμα το οποίο χρησ ιμοποιείται σ ε αρμούς πάχους μεγαλύτερου των 3 mm και σ το οποίο χρησ ιμοποιούνται μόνον βαριά αδρανή. Κονίαμα λεπτής σ τρώσ εως: Κονίαμα μελετημένο ώσ τε να χρησ ιμοποιείται σ ε αρμούς πάχους μεταξύ 1 mm και 3 mm. Ελαφροκονίαμα: Κονίαμα σ υνθέσ εως τέτοιας ώσ τε η πυκνότητα του (σ κληρυμένου και ξηρού) να είναι μικρότερο από 1500 kg/m 3. Κονίαμα ειδικής σ υνθέσ εως: Κονίαμα κατάλληλης σ υνθέσ εως και παρασ κευασ μένο ώσ τε να πληροί προκαθορισ μένες ιδιότητες, των οποίων η ικανοποίησ η ελέγχεται μέσ ω δοκιμών. Προδιαγεγραμμένο κονίαμα: Κονίαμα παρασ κευαζόμενο βάσ ει προκαθορισ μένης σ υνθέσ εως. Οι ιδιότητες του κονιάματος θεωρούνται δεδομένες βάσ ει της αναλογίας των σ υνισ τώντων υλικών. Εργοσ τασ ιακό κονίαμα: Κονίαμα παρασ κευαζόμενο (σ ύνθεσ η και ανάμιξη σ ε εργοσ τάσ ιο και αποσ τελλόμενο σ ε εργοτάξιο. Προδοσ ολογημένο κονίαμα: Υλικό αποτελούμενο από τα σ υνισ τώντα υλικά δοσ ολογημένα σ ε μια εγκατάσ τασ η. Τα σ υνισ τώντα υλικά αναμιγνύονται σ το εργοτάξιο υπό αναλογίες και σ υνθήκες προδιαγεγραμμένες από το εργοσ τάσ ιο

43 ΠΑΡ ΑΡΤΗΜΑ Αʹ. 43 σ υσ κευασ ίας τους. Εργοταξιακό κονίαμα: Κονίαμα αποτελούμενο από υλικά των οποίων οι αναλογίες καθορίζονται και η ανάμιξη πραγματοποιείται σ το εργοτάξιο. Θλιπτική αντοχή του κονιάματος Η μέσ η θλιπτική αντοχή προδιαγεγραμμένου πλήθους μετά τη σ υντήρησ ή τους για 28 ημέρες.

44 Βιβλιογραφία [1] Leftheris, B., Sapounaki, A., Stavroulaki, M.E., Stavroulakis, G.E., Computational Mechanics for Herritage Structures, WIT Press (2006) [2] Drosopoulos, G.A., Stavroulakis, G.E., Massalas, C.V., FRP Reinforcement of Stone Arch Bridges: Unilateral Contact Models and Limit Analysis, Comp. Part B: Eng., 38, (2007) [3] Sanchez-Palencia, E., Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Springer (1978) [4] Zohdi, T.I., Wriggers, P., An Introduction to Computational Micromechanics, Springer, The Netherlands (2008) [5] Nguyen, V.P., Stroeven, M. Sluys, L.J., Multiscale Continuous and Discontinuous Modeling of Heterogeneous Materials: A Review on Recent Developments, J. of Multiscale Modelling, 3, 142 (2011) [6] Dascalu, C., Bilbie, G., Agiasotou, E.K., Damage and Size Eects in Elastic Solids: A Homogenization Approach, Int. J. Solids Struct., 45, (2008) [7] Smit, R.J.M., Brekelmans, W.A.M., Meijer, H.E.H., Prediction of the Mechanical Behaviour of Non-linear Heterogeneous Systems by Multilevel Finite Element Modeling, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 155, (1998) [8] Kouznetsova, V.G., Computational Homogenization for the Multi-Scale Analysis of Multi-Phase Materials, PhD thesis, Technical University Eindhoven, The Netherlands (2002) 44

45 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦ ΙΑ 45 [9] Drosopoulos, G.A., Wriggers, P., Stavroulakis, G.E., Contact Analysis in Multi- Scale Computational Homogenization, CFRAC Conference proceedings, Prague (2013) [10] Drosopoulos, G.A., Wriggers, P., Stavroulakis, G.E., Incorporation of Contact Mechanics in Multi-level Computational Homogenization for the Study of Composite Materials, ICCM Conference proceedings, Lecce, Italy (2013) [11] Hill, R., Elastic Properties of Reinforced Solids: Some Theoretical Principles, J. Mech. Phys. Solids, 11, (1963) [12] Miehe, C., Koch, A., Computational Micro- to-macro Transitions of Discretized Microstructures Undergoing Small Strains, Arch. Appl. Mech., 72, (2002)