Contents standard boundary conditions periodic boundary conditions helicoid boundary conditions...

Transcript

1 Τομεασ Φυσ ικησ Εθνικο Μετσ οβιο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσ μενων Μαθηματικων και Φυσ ικων Επισ τημων Σχολη Μηχανολογων Μηχανικων Εθνικο Κεντρο Ερευνασ Φυσ ικων Επισ τημων Δημοκριτοσ Ινσ τιτουτο Νανοεπισ τημης και Νανοτεχνολογιασ Ινσ τιτουτο Πυρηνικησ και Σωματιιακησ Φυσ ικησ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΔΡΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Στρατος Παπαουης Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουών Φυσ ική και Τεχνολογικές Εφαρμογές επιβλέπων Κονσ ταντινος Ν. Αναγνωσ τοπουλοσ Αναπληρωτής Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Αθήνα

2

3 Contents 1 Θεωρία βαθμωτού πείου Φορμαλισ μός Διαότες (σ υναρτήσ εις Green) Θεωρία βαθμωτού πείου σ ε πλέγμα (ομαλοποίησ η) Το πλέγμα L Ω (l), Λ εσ ωτερικό γινόμενο σ το πλέγμα τελεσ τές παραγώγου σ το πλέγμα Συνοριακές σ υνθήκες πεπερασ μένου πλέγματος standard boundary conditions periodic boundary conditions helicoid boundary conditions Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης Κβαντική Χρωμουναμική Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) Μέθοος μιγαικής Langevin Lefschetz thimbles The thimble(s) Εφαρμογή σ τη θεωρία πείου Μέθοος υϊκής αναπαράσ τασ ης Αναπαράσ τασ η ροής Αλγόριθμος worm Δυναμική Langevin Συνεχής υναμική Langevin φ R X και S R φ F X και S R Άλγεβρα βαθμωτών φ F Εξίσ ωσ η Langevin φ F X και S G Εξίσ ωσ η Fökker-Planck Το σ ύμβολο Dirac της κατανομής Εξαγωγή της εξίσ ωσ ης Fökker-Planck Η κατάσ τασ η ισ ορροπίας για τ και το Feynman path integral Ενείξεις από εξίσ ωσ η Langevin Στατική κατανομή Fökker-Planck Θεωρία βαθμωτού πείου φ (F G) X, θορύβου η F X και ράσ ης S[φ] G Διακριτή υναμική Langevin Μεταβλητό βήμα χρόνου Langevin ɛ n η μέσ η ολίσ θησ η ɛ 1 M Σχετικισ τικό αέριο Bose Δυναμική Langevin σ το σ χετικισ τικό αέριο Bose Δράσ η S σ το πλέγμα L X i

4 Contents Εξισ ώσ εις Langevin του σ χετικισ τικού αερίου Bose Συντελεσ τές ολίσ θησ ης K ab Παρατηρήσ ιμα μεγέθη (n a, ρ a ) Εξομοίωσ η υναμικής Langevin σ χετικισ τικού αερίου Bose Initialization Langevin evolution Finalization Αποτελέσ ματα Source code 49 1 Main (complex_langevin.f90) C C (complex_langevin.simulation.f90) R 4 (complex_langevin.simulation.components.f90) Data structures (complex_langevin.mod.f90) ii

5 Πρόλογος Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ τη κβαντικη θεωρία πείου είναι υποπρόβλημα ενός γενικότερου προβλήματος σ τον σ τοχασ τικό υπολογισ μό ολοκληρωμάτων της μορφής I = f(x)ρ(x)dx, (0.1) X όπου ρ είναι γνωσ τή και εομένη σ τους υπολογισ μούς και αντιπροσ ωπέυει μια κατανομή πιθανότητας (μέτρο ολοκλήρωσ ης), πρόκειται ηλαή για σ τατισ τικά μεγέθη που υπολογίζουμε. Η βάσ η του σ τοχασ τικού υπολογισ μού ολοκληρωμάτων είναι η ειγματοληψία του χώρου ολοκλήρωσ ης X με μια markovιανή ιαικασ ία ώσ τε να οηγηθούμε σ την περιοχή μέγισ της σ υνεισ φοράς σ το ολοκλήρωμα και να μείνουμε εκεί σ ε ισ ορροπία. Συνήθως η πιθανοφανική πληροφορία για την markovιανή αυτή ιαικασ ία βρίσ κεται σ τη ρ ή/και μέσ α σ την ολοκληρωτέα ποσ ότητα f, και εκεί είναι που αρχίζουν τα προβλήματα. Αν η ολοκληρωτέα ποσ ότητα περιέχει μιγαικές φάσ εις ή ελάσ σ ονα πρόσ ημα, τότε η ιαικασ ία αυτή απτυγχάνει ή παίρνει απαγορευτικά πολύ χρόνο να σ υγκλίσ ει σ τη περιοχή ισ ορροπίας. Η παρουσ ία φαντασ τικού μέρους σ τη ράσ η εισ άγει μια τέτοια μιγαική φάσ η σ τη σ υνάρτησ η επιμερισ μού (και κατ επέκτασ η σ ε κάθε παρατηρήσ ιμο μέγεθος), καθισ τώντας αύνατη της αποτελεσ ματικη εξομοίωσ η σ υσ τημάτων με μιγαική ράσ η (β. κεφάλαιο 2). Το πρόβλημα παρουσ ιάσ τηκε έντονα σ την εξερέυνησ η του ιαγράμματος φάσ εων της κβαντικής χρωμουναμικής (QCD phase diagram) σ τις περιοχές μεγάλης βαρυονικής πυκνότητας για πεπερασ μένη θερμοκρασ ία, αλλά και όχι μόνο. Οταν ακόμη και οι καλύτερες προσ πάθειες κλασ ικής προσ έγγισ ης σ το πρόβλημα (standard reweighting) αποτυγχάνουν να ώσ ουν αποτέλεσ μα, η αναζήτησ η εναλλακτικών μεθόων (εύρεσ ης αλυσ ίας Markov) είναι αναπόφεκτη, και για την ακρίβεια επίκαιρη την τελευταία εκαετία (μια λίσ τα μεθόων που ερευνώνται μέχρι σ ήμερα ίνεται σ την ενότητα 2.2). Στο παρών paper, προσ παθούμε να ιερευνήσ ουμε την εφαρμογή της μεθόου μιγαικής Langevin, που ερευνάται από Gert Aarts et al. [5, 6, 7, 10], σ ε toy models της κβαντικη θεωρίας πείου, αναμένοντας να ούμε και να σ υγκρίνουμε αποτελέσ ματα με τη βιβλιογραφία σ χετικά με το ιάγραμμα φάσ ης τέτοιων μοντέλων. Το μοντέλο που μελετάται είναι μια βαθμωτή θεωρία πείου με μιγαική ράσ η η οποία περιγράφει το σ χετικισ τικό αέριο Bose. Στην μελέτη αυτού, ομαλοποιούμε τη θεωρία σ ε πλέγμα σ υγκεκριμένης πλεγματικής σ ταθεράς (η οποία καθισ τά μερικώς αύνατη τη μελέτη ως προς τη θερμοκρασ ία β), και μελετάμε τη μετάβασ η φάσ ης που παρουσ ιάζει σ το σ ύσ τημα σ ε πεπερασ μένο χημικό υναμικό µ (Silver-Blaze φαινόμενο). iii

6

7 1 Θεωρία βαθμωτού πείου 1.1 Φορμαλισ μός Για κάθε πείο φ και ψ σ υμβολίζουμε το εσ ωτερικό γινόμενο σ υνοπτικά ως ψ φ d dim X x ψ x x φ, (1.1.1) X όπου για κάθε πείο φ, η αναπαράσ τασ η θέσ ης σ υμβολίζεται με φ(x) x φ. Ο σ υμβολισ μός αυτός σ έβεται τις ιιότητες του εσ ωτερικού γινομένου πείων με πιο χαρακτηρισ τική από όλες την φ x φ (x). Για κάθε ερμητιανό τελεσ τή πείων A (A = A ή ψa φ ψ A φ = ψ Aφ ) έχει νόημα ο σ υμβολισ μός ψ A φ d dim X x d dim X y ψ y y A x x φ, (1.1.2) X X Παρόλη την ομοιότητα με το φορμαλισ μό Dirac ε θα γράφουμε ποτέ μεμονομένα bra ή ket σ ύμβολα. Ο μετασ χηματισ μός Fourier εξακολουθεί και μπορεί να γράφεται p φ = d dim X x p x x φ, (1.1.3) όπου x p exp(ıp α x α ) είναι ο πυρήνας μετασ χηματισ μού Fourier. X Από ιιότητες του μετασ χηματισ μού Fourier (για παράειγμα αυτή της σ υνέλιξης, όπου για x φψ = x φ x ψ, p φψ = p φ p ψ ) αναεικνύεται πως το νόημα που ίνεται σ το περιεχόμενο του σ υμβολισ μού εξαρτάται από την αναπαράσ τασ η σ την οποία αναγράφεται ή αναπτύσ σ εται όταν αυτή εν περιλαμβάνεται. Το σ ύμβολο της σ υνάρτησ ης έλτα του Dirac προκύπτει με σ υνεπή τρόπο ως x y (x y), αφού σ την ορολογία τη σ υναρτησ ιακής ανάλυσ ης η έλτα σ υνάρτησ η είναι όντως η αναπαράσ τασ η σ τη θέσ η της... θέσ ης, x φ φ(x) = d dim X y(x y)φ(y) d dim X x x y y φ, (1.1.4) το οποίο είναι σ ε απόλυτη σ υμφωνία με τον υιοθετημένο φορμαλισ μό. X Στην περίπτωσ η των πραγματικών πείων το εσ ωτερικό γινόμενο είναι τετριμμένο, επομένως το σ ύμβολο μπορεί να επεκταθεί σ ε ένα γενικό σ ύμβολο ολοκλήρωσ ης ως προς την επιθυμητή αναπαράσ τασ η του περιεχομένου. Στην αναπαράσ τασ η θέσ ης που χρησ ιμοποιείται αποκλεισ τικά εώ, για κάθε O σ υνάρτησ η πείων, O(φ) d dim X xo(φ(x)) (1.1.5) Γράφοντας ψ φ = ψ φ ο σ υμβολισ μός αυτός μπορεί να επεκταθεί σ ε τυχούσ ας άλγεβρας πεία. X Εφίσ ταται προσ οχή ιότι εν είναι όλα τα σ ύμβολα αναλλοίωτα αναπαράσ τασ ης. Πιο σ υγκεκριμένα το αποτέλεσ μα της ολοκλήρωσ ης είναι αναλλοίωτο της αναπαράσ τασ ης όταν αυτή τελείται κατά (σ υζυγή) ζεύγη μεταβλητών. Ο σ υμβολισ μός όπως χρησ ιμοποιείται εώ για τα πεία ε πρέπει να σ υγχέεται με τα σ ύμβολα Dirac τα οποία χρησ ιμοποιούνται για τον χώρο των κατασ τάσ εων της κβαντικής θεωρίας πείου, τα οποία για λόγους ιαχωρισ μού και ταυτόχρονης χρήσ ης, σ υμβολίζονται με. 1 1 Εάν ε χρησ ιμοποιούταν το ομογενοποιημένο σ ύμβολο και μόνο το σ ε ότι αφορά χωροχρονικά ολοκληρώματα, ο ιαχωρισ μός ε θα ήτανε αναγκαίος, αφού ο σ υμβολισ μός θα ξέραμε εκ των πρωτέρων ότι αντισ τοιχεί σ ε ιαότη. Η χρήσ η του όμως τελικά σ ε χωροχρονικά ολοκληρώματα είναι ιιαίτερα πρακτική σ την παρουσ ίασ η περίπλοκων αποτελεσ μάτων και έτσ ι καταλήγουμε σ τη υιοθέτησ η καινούριου σ υμβόλου για τις κατασ τάσ εις, σ ε αντίθεσ η μερικώς με τη βιβλιογραφία σ το σ ημείο αυτό. X 1

8 1 Θεωρία βαθμωτού πείου continuum/thermodynamic limit notation lattice regularization φ(x) x φ φ x φ (x) φ x d N xψ (x)φ(x) hermitian d N x = ψ x x φ A(x, y) x A y l N A xy d N za(x, z)b(z, y) d N z x A z z B y = y A B x l N A xz B zy z d N x d N yψ (x)a(x, y)φ(y) d N x d N y ψ x x A y y φ = ψ A φ l N ψ xa xy φ y x y (x y) x y l N x φ x ψ xφ x l N xy φ R d N xf(φ(x)) f(φ) l N f(φ x ) x d N xψ(x)φ(x) ψφ = ψ φ l N ψ x φ x x d N x d N yψ(x)a(x, y)φ(y) ψaφ = ψ A φ l N ψ x A xy φ y x y d N x d N yψ(x)a(y, y)φ(x) A ψφ = A ψφ = ψ A φ = ψφ A = ψφ A A ψ φ = A ψ φ = ψ A φ = ψ A φ = ψ φ A = ψ φ A l N x d N xφ(x)a(x, x)ψ(x) φaψ d N xa(x, y)φ(y) A(x)φ = x A φ d N xa(x, x) A d N x d N x d N x ψ x A yy φ x y ψ x A xx φ x x A xy φ y d N ya(x, y)b(y, x) AB = A B A xy B yx x y d N ya(x, x)b(y, y) A B = A B = A B A xx B yy d N ya(x, x)b(x, x) AB l N x d N za(x, z)b(z, y) A(x)B(y) = x A B y τ F [φ(τ)] = φ(τ) F [φ(τ)] τ φ(τ) d N x φ(x, τ) τ φ(x, τ) F [φ(τ)] τ φ(τ) φ(τ) F [φ(τ)] l N x x y l N z y x A xx A xx B xx A xz B zy τ φ x(τ) φ x (τ) F [φ(τ)] 2

9 1.2 Διαότες (σ υναρτήσ εις Green) 1.2 Διαότες (σ υναρτήσ εις Green) Μια θεωρία (πραγματικού) βαθμωτού πείου φ μεταφρασ μένη σ τον ευκλείειο χωροχρόνο ορίζεται αποκλεισ τικά από τις σ υναρτήσ εις σ υσ χετισ μού n σ ημείων (ή σ υναρτήσ εις Green) φ (y 1 ) φ (y m )(φ(x 1 ) φ(x n ), οι οποίες υπολογίζονται μέσ ω του σ υναρτησ ιακού της ράσ ης n m n m x i φ φ y j Z 1 Dφ exp( S[φ]) x i φ φ y j, (1.2.1) i=1 j=1 i=1 j=1 όπου Z Dφ exp( S[φ]) (1.2.2) είναι η σ υνάρτησ η επιμερισ μού (ορολογία ανεισ μένη από την αναλογία ευκλείειας κβαντικής θεωρίας πείου με τη σ τατισ τική μηχανική). 2 Η γραφή αυτή είναι καθαρά φορμαλισ τική, καθώς ούτε η σ υνάρτησ η επιμερισ μού, ούτε οποιοήποτε path integral γενικά εν είναι καλά ορισ μένο, αλλά μόνο ο σ υνυασ μός τους για την παραγωγή αναμενόμενων τιμών για το τυχόν μέγεθος O είναι καλά ορισ μένος, O Z 1 DφO[φ] exp( S[φ]). (1.2.3) Για μια κλασ ική πηγή ξ ορίζεται η γεννήτρια σ υνάρτησ η, ( ) 1 Z[ξ] exp ( ξ φ + φ ξ ) = 2 n m n=0 m=0 i=1 j=1 1 d dim X 1 x i i X j X n m d dim X y j ξ x i x i φ φ y j y j ξ, (1.2.4) Εναλλακτικά οι σ υναρτήσ εις Green μπορούν να γραφούν ως σ υναρτησ ιακές παράγωγοι της γεννήτριας κατανομής. n m n+m m n x i φ φ y j = Z[0] Z[0]. (1.2.5) m n y i=1 j=1 j=1 j ξ ξ x i=1 i y j ξ ξ x i j=1 i=1 i=1 j=1 1.3 Θεωρία βαθμωτού πείου σ ε πλέγμα (ομαλοποίησ η) Η πλεγματοποίησ η του (Ευκλείειου) χωροχρόνου αποτελεί ένα μηχανισ μό ομαλοποίησ ης μιας κβαντικής θεωρίας πείου, προς πρότυπο μη ιαταρακτικής επανακανονικοποίησ ης της εν λόγω θεωρίας. Δύο όρια του πλέγματος οηγούν σ την κλασ σ ική θεωρία: όριο σ υνεχούς l 0 Στο όριο του σ υνεχούς, η θεωρία ορισ μένη πάνω σ το πλέγμα οφείλει να σ υγκλίνει σ τη θεωρία του σ υνεχούς που μελετάται, ιαφορετικά ε πρόκειται εξ ορισ μού για ομαλοποίησ η της εν λόγω θεωρίας. Αξιοσ ημείωτο είναι το γεγονός ότι η πλεγματική ομαλοποίησ η επιτρέπει το σ αφή ορισ μό του ιαφορετικά φορμαλισ τικού μέτρου ολοκλήρωσ ης ιαρομών, Dφ x dφ x θερμουναμικό όριο Ω Στο θερμουναμικό όριο, η θεωρία ορισ μένη πάνω σ το πλέγμα απαλλάσ σ εται από τεχνητά φαινόμενα πεπερασ μένου μεγέθους πλέγματος (finite size effects). 2 Η σ υνάρτησ η επιμερισ μού σ τη κβαντική θεωρία πείου είναι σ υνάρτησ η των παραμέτρων της ράσ ης. 3

10 1 Θεωρία βαθμωτού πείου Το πεπερασ μένο των ιασ τάσ εων του πλέγματος επιτρέπει τον αριθμητικό υπολογισ μό σ τοιχείων της θεωρίας (γεννήτρια σ υνάρτησ η) και υπολογισ τικό χειρισ μό της θεωρίας καθεαυτής μέσ ω εξομοιώσ εων, με κόσ τος τα τεχνητά αυτά φαινόμενα, τα οποία αντιμετωπίζονται με βάθμισ η σ το πεπερασ μένο πλέγμα, προσ εγγίζοντας το θερμουναμικό όριο. Τα φαινόμενα πεπερασ μένου μεγέθους πλέγματος εξομαλύνονται για εομένο μέγεθος πλέγματος με κατάλληλη επιλογή σ υνοριακών σ υνθηκών Το πλέγμα L Ω (l), Λ Ενα πεπερασ μένο πλέγμα Lτετραγωνικής ιάταξης ιακριτοποίησ ης του ευκλείειου χωροχρόνου X ορίζεται από μια πλεγματική σ ταθερά μήκους l (ιασ τάσ εων m 1 ) η οποία αντιπροσ ωπεύει το μήκος των σ υνέσ μων των σ ημείων του πλέγματος, και το μέγεθός του το οποίο εκφράζεται από φυσ ικούς (N µ ) dim µ=1 X, όπου dim X είναι η ιάσ τασ η του χωροχρόνου X. Δηλαή ο σ υνολικός αριθμός των σ ημείων του πλέγματος είναι N = dim X µ=1 N µ. (1.3.1) Κατ επέκτασ η οι ιασ τάσ εις μήκους του πλέγματος ίνονται από τα μήκη (L µ ) dim X µ=1 με L µ = ln µ, µ N dim X. Τότε ορίζεται ο (ιασ τατικός) όγκος του πλέγματος Ω(= βv ) = Τυπικά το πλέγμα αποτελείται από τα σ ημεία του σ αν σ ύνολο και τους σ υνέσ μους των ως τοπολογία του πλέγματος, dim X µ=1 L µ = ln (1.3.2) L Ω (l) {x n µ = l 1 x µ Z Nµ, µ N dim X }, (1.3.3) Λ {(xy) x y l} L Ω (l) L Ω (l). (1.3.4) Η αναπαράσ τασ η του τυχόντος πείου φ ως προς την πλεγματική θέσ η παραμένει x φ = φ n όπου τώρα n L εσ ωτερικό γινόμενο σ το πλέγμα Το εσ ωτερικό γινόμενο πείων γίνεται σ το πλέγμα φ ψ = d dim X x φ x x ψ L n l dim X φ nψ n = l dim X x φ x x ψ, (1.3.5) L όπου n = l 1 x οι ακέραιες σ υντεταγμένες του πλέγματος. Το άθροισ μα πάνω σ τις πλεγματικές θέσ εις σ το εξής αναπαρίσ ταται με ένα σ ύμβολο ολοκληρώματος X(d dim L x) l dim X (l dim X x), (1.3.6) n L το οποίο αναεικνύει καλύτερα αυτό που αντιπροσ ωπεύει σ το σ υνεχές-θερμουναμικό όριο. Η σ ταθερά όγκου l dim X με την οποία κανονικά κάνουμε πράξεις σ το ιακριτό-πεπερασ μένο άθροισ μα της (1.3.6) αν ενσ ωματωθεί σ τα κατάλληλα σ ύμβολα επιτρέπει την αυτοσ υνεπή χρήσ η του σ υμβόλου ολοκληρώματος, με τη σ ταθερά όγκου να είναι παρούσ α, μαζί όμως με την μεταβλητή ολοκλήρωσ ης η οποία εν προκειμένω είναι η πλεγματική θέσ η x. Συγκεκριμένα η σ υνάρτησ η έλτα εν μεταφέρεται αιάσ τατη σ το πλέγμα, αλλά x y l dim X xy, έτσ ι ώσ τε να ιατηρηθούν όλες οι ιιότητες της σ τα ολοκληρώματα πλέγματος όπως θα ονομάζονται σ το εξής τα αθροίσ ματα πλέγματος. 4

11 1.3 Θεωρία βαθμωτού πείου σ ε πλέγμα (ομαλοποίησ η) τελεσ τές παραγώγου σ το πλέγμα Παρατηρούμε πως η αναπαράσ τασ η x A y τελεσ τή πείων A αποκτάει μορφή πίνακα σ το πλέγμα και επομένως ο υπολογισ μός ιαοτών σ το πλέγμα ανάγεται σ ε αντισ τροφή πινάκων που αντιπροσ ωπεύουν τους τελεσ τές που ανακύπτουν σ τις εξισ ώσ εις κίνησ ης μιας θεωρίας πείου. Παράγωγος πείου προς όλες τις κατευθύνσ εις (πρόσ θια και οπίσ θια παράγωγος): x µ φ l 1 ( x + l µ φ x φ ) = x l 1 (exp(+l µ ) 1)φ, (1.3.7) x µ φ l 1 ( x l µ φ x φ ) = x l 1 (exp( l µ ) 1)φ, (1.3.8) όπου µ σ υνισ τά το μοναιαίο ιάνυσ μα κατά την κατεύθυνσ η που αντιπροσ ωπεύει ο είκτης µ. 3 Αναπτύσ σ οντας σ την αναπαράσ τασ η θέσ ης και αντικαθισ τώντας από (1.3.7), µ φ ψ = l dim X x µ φ x x ψ = l dim X xl 1 φ x + l µ x ψ + L L L l dim X xl 1 φ x x ψ. (1.3.9) Θεωρώντας πως η ολοκλήρωσ η κινείται περιοικά σ το πλέγμα είναι υνατή η αλλαγή μεταβλητής x x l µ, l dim X xl 1 φ x + l µ x ψ = l dim X x φ x l 1 x l µ ψ. (1.3.10) Αντικαθισ τώντας, l dim X x φ x l 1 x l µ ψ L ηλαή µ φ ψ = φ µ ψ. L L l dim X x φ x l 1 x ψ = L L l dim X x φ x x µ ψ = φ µ ψ, (1.3.11) Ορίζεται ο πλεγματικός τελεσ τής d Alambert µν µ ν, από όπου άμεσ α προκύπτει πως µ φ µ φ = φ φ. Η μορφή της ράσ ης του τελεσ τή σ το φ είναι, x φ = x µ µ φ = l 1 ( x l µ µ ψ x µ ψ ) = l 1 (l 1 ( x φ x l µ φ ) l 1 ( x + l µ φ x φ )) = dim L dim L = l 2 (2 x φ x + l µ φ x l ν φ ) = 2l 2 x (1 cosh(l µ ))φ. (1.3.12) µ=1 µ= Συνοριακές συνθήκες πεπερασμένου πλέγματος Σε ότι ακολουθεί έχει γίνεται ιάκρισ η μεταξύ ύο τρόπων εικτοότησ ης της πλεγματικής θέσ ης (σ χήμα 1.3.1): κανονική κατά σ υντεταγμένες (σ χήμα 1.3.1a) και σ ειριακή κατά θέσ η αποθήκευσ ης σ τη μνήμη (σ χήμα 1.3.1b) (a) σ υντεταγμένες (b) θέσ εις μνήμης Table 1.3.1: εικτοότησ η πλέγματος standard boundary conditions Κάθε πλεγματική θέσ η σ υνέεται με τη γειτονική της σ ε κυβική ιάταξη εκτός κι αν αυτή βρίσ κεται σ το σ ύνορο οπότε και απουσ ιάζει ο σ ύνεσ μος μη-παράλληλος σ τους σ υνέσ μους που οηγούν σ ε γειτονικές σ υνοριακές πλεγματικές θέσ εις. Είναι η πιο αθώα επιλογή καθώς εισ άγει σ ημαντικά σ φάλματα πεπερασ μένου πλέγματος. Θα αναφερόμασ τε σ τον προαναφερθέντα σ ύνεσ μο του σ υνόρου ως τον χαμένο σ ύνεσ μο, γιατί σ τις καθιερωμένες σ υνοριακές σ υνθήκες αυτός εν υπάρχει εξ ορισ μού όμως σ ε άλλες επιλογές αυτός ανακτάται. 3 Εώ ήη χρησ ιμοποιείται ιαφορετικό σ ύμβολο για την ιακριτή παράγωγο, επομένως υπάρχει ελευθερία χρήσ ης του σ υμβόλου µ της ιαφορικής γεωμετρίας για το ιανυσ ματικό πείο των σ υντεταγμένων του πλέγματος σ τη προκειμένη περίπτωσ η. 5

12 1 Θεωρία βαθμωτού πείου periodic boundary conditions Κάθε σ υνοριακή πλεγματική θέσ η σ υνέεται μέσ ω της τοπολογίας Λ με την πλεγματική θέσ η που βρίσ κεται ακριβώς απέναντί της σ το αντίθετο σ ύνορο σ την κατεύθυνσ η του χαμένου σ υνέσ μου σ τις καθιερωμένες σ υνοριακές σ υνθήκες. Η τοπολογία ενός τέτοιου πλέγματος είναι τοροειής. Οπως και φαίνεται σ το σ χήμα 1.3.2, βολική είναι η εικτοότησ η σ ε σ υντεταγμένες x µ, όπου η σ υνοριακή σ υνθήκη γίνεται L(x) = L(x + nl µ µ ), n Z. (1.3.13) Table 1.3.2: περιοικές σ υνοριακές σ υνθήκες helicoid boundary conditions Τροποποιούμε τις περιοικές σ υνθήκες ώσ τε ο χαμένος σ ύνεσ μος να σ υνέει κάθε σ υνοριακή πλεγματική θέσ η με αυτήν η οποία βρίσ κεται απέναντί της, μόνο μετατοπισ μένη κατά ένα «πλεγματικό βήμα» προς μια από τις άλλες κατευθύνσ εις κατά μήκος του αντίθετου σ υνόρου. Η τοπολογία είναι και πάλι τοροειής αλλά με μετατόπισ η σ τη μία κατεύθυνσ η, αλλάζοντας την από παραλληλόγραμμη σ ε ελικοειή πάνω σ τον τόρο. (σ χήμα 1.3.3) Οπως είναι κατανοητό, εώ βολική είναι η εικτοότησ η σ ε θέσ εις μνήμης, και η σ χετική σ υνοριακή σ υνθήκη γίνεται ( L(χ) = L χ + n µn µ n µ=1 L µ ), n N και (µ n ) n N N N. (1.3.14) Δεν αλλάζει κάτι ουσ ιασ τικό σ ε σ χέσ η με τις περιοικές σ υνοριακές σ υνθήκες, εκτός του ότι είναι πιο αποοτικές σ ε θέματα χρήσ ης μνήμης, αφού η τοπολογία του πλέγματος τότε υπολογίζεται υναμικά και σ υνεχώς αντί να αποθηκευτεί μια φορά σ τη μνήμη. Αυτό σ ημαίνει πως γλιτώνουμε μνήμη, σ ε βάρος όμως υπολογισ τικού χρόνου, μια αντιμετώπισ η ιιαίτερα γρήγορη όταν πρόκειται για αρκετά μεγάλα πλέγματα τα οποία ε μπορούν να σ υγκρατηθούν σ τη μνήμη. 6

13 1.3 Θεωρία βαθμωτού πείου σ ε πλέγμα (ομαλοποίησ η) (a) block ιαμέρισ η κατά πλέγματα (b) σ ειριακή ιαμέρισ η κατά θέσ εις μνήμης Table 1.3.3: ελικοειείς σ υνοριακές σ υνθήκες 7

14

15 2 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου 2.1 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης Εσ τω S = S 0 jγ η μιγαική ράσ η και O μια παρατηρήσ ιμη ποσ ότητα. Παρατηρούμε ότι σ τη σ υνάρτησ η επιμερισ μού της θεωρίας, Dφ exp( S[φ]) = Dφ exp( S[φ]) exp(jγ ), όπου exp( S[φ]) = exp( S 0 [φ]), υπάρχει ένας παράγοντας φάσ ης, για αυτό και η θεωρία της πραγματικής ράσ ης S 0 ονομάζεται phase-quenched, γιατί καταπίνει τη φάσ η του εντροπικού παράγοντα την οποία εισ άγει το φαντασ τικό μέρος τηςράσ ης, και ασ χολείται μόνο με το μέτρο του. Λαμβάνοντας υπόψη το ολοκλήρωμα επιμερισ μού του phase-quenched μοντέλου, αποκτάει νόημα η αναμενόμενη τιμή του φασ ικού εντροπικού παράγοντα exp jγ σ το phase-quenched μοντέλο, Dφ exp( S 0 [φ]) exp(jγ ) exp jγ 0 =. Dφ exp( S 0 [φ]) Εσ τω O 0 η αναμενόμενη τιμή της ποσ ότητας O σ το phase-quenched μοντέλο, DφO[φ] exp( S 0 [φ]) O 0 =. Dφ exp( S 0 [φ]) Η αναμενόμενη τιμή O του μεγέθους σ το πλήρες μοντέλο μπορεί να προσ εγγισ τεί ως, DφO[φ] exp( S 0 [φ]) exp(jγ ) O = DφO[φ] exp( S[φ]) Dφ exp( S 0 [φ]) = = O exp(jγ ) 0. exp(jγ ) Dφ exp( S[φ]) Dφ exp( S 0 [φ]) exp(jγ ) 0 (2.1.1) Dφ exp( S 0 [φ]) Η προσ έγγισ η αυτή παρουσ ιάζει ύο θεμελιώη προβλήματα: overlap problem Η καθιερωμένη τεχνική ειγματοληψίας σ ε μια εξομοίωσ η Monte Carlo ενός σ υσ τήματος με ράσ η S[φ] γίνεται με πιθανότητα exp( S[φ]) όταν η ράσ η είναι πραγματική (importance sampling), με σ κοπό να σ υλλέγονται μετρήσ εις με υψηλή σ υνεισ φορά σ τη σ υνάρτησ η επιμερισ μού. Ενα σ ύνηθες πρόβλημα είναι ότι η περιοχή των configurations υψηλής σ υνεισ φοράς σ το ολοκλήρωμα επιμερισ μού Z εν ταυτίζεται ή είναι κοντά απαραίτητα σ την περιοχή υψηλής σ υνεισ φοράς σ το σ ταθμισ μένο ολοκλήρωμα Z O. Ετσ ι ακόμη και αν μπορούσ αμε να ειγματοληπτήσ ουμε με βάρος exp( S[φ]) θα είχε πρόβλημα το ολοκλήρωμα Z O. Οταν οι περιοχές μέγισ της σ υνεισ φοράς σ τα ολοκληρώματα που εμπλέκονται σ τον 9

16 2 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου αριθμητικό υπολογισ μό της O έχουν μικρή επικάλυψη, τότε η σ τατισ τική των μετρήσ εων είναι χαμηλή και απαιτείται σ οβαρά πολλαπλάσ ιος χρόνος υπολογισ μού της αναμενόμενης τιμής O από ότι της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού. Το πρόβλημα γίνεται εμφανές σ ε θεωρίες με μιγαική ράσ η τόσ ο σ τον υπολογισ μό της exp(jγ ) 0 O exp(jγ ) 0. όσ ο και της sign problem Ο υπολογισ μός της exp(jγ ) 0 είναι πολύ αργός [6, 12] λόγω του ιακυμαντικού χαρακτήρα της υπολογιζόμενης ποσ ότητας, η οποία σ υμπεριφέρεται περιοικά εν γένει λόγω του μιγαικού εκθετικού. 1 Προσ εγγίζοντας το θερμουναμικό όριο (για επαρκώς μεγάλα μεγέθη πλέγματος), exp(jγ ) 0 = exp( jγ ) 0 = Z Z 0 exp( Ω f), όπου Z 0 είναι η σ υνάρτησ η επιμερισ μού της phase-quenched θεωρίας Z 0 = Dφ exp( S 0 [φ]), και f είναι εξ ορισ μού η ιαφορά της πυκνότητας ελεύθερης ενέργειας μεταξύ πλήρους και phase-quenched θεωρίας. Υπολογίζοντας το σ χετικό σ φάλμα από N μετρήσ εις σ τη κανονική σ υλλογή, exp(jγ ) 0 exp(jγ ) exp( jγ ) 0 exp(jγ ) 0 exp( jγ ) 0 = 1 exp(ω f). exp(jγ ) 0 N exp(jγ ) 0 N σ υμπεραίνεται ότι για ικανοποιητική ακρίβεια σ τον υπολογισ μό απαιτούνται περίπου τουλάχισ τον N (exp Ω f) 2 ασ υσ χέτισ τες μετρήσ εις, το οποίο είναι απαγορευτικό για βάθμισ η του πλέγματος σ ε μια εξομοίωσ η υλοποιήσ ιμου χρόνου για το βασ ικό πλέγμα. Εχουν αναπτυχθεί ιάφορες μέθοοι αντιμετώπισ ης του προβλήματος του προσ ήμου σ τον σ τοχασ τικό υπολογισ μό μιγαικών ολοκληρωμάτων, σ ε ιάφορα contexts. Το γεγονός ότι το sign problem σ τη γενικότητα του ανήκει σ τα NP-hard problems σ ημαίνει πως εν έχει γενική επίλυσ η σ ε πολυωνυμικό χρόνο, αυτό φυσ ικά όμως εν αποκλείει επίλυσ η ειικών προβλημάτων, και τελικά ένα σ ύνολο θεωριών να επιλύονται από ένα σ ύνολο αλληλο-επικαλυπτόμενων μεθόων. Με αλληλο-επικάληψη εννοούμε τουλάχισ τον ύο προσ εγγίσ εις να εφαρμόζονται σ ε ένα εομένο πρόβλημα, και αυτό ισ χύει σ την προκειμένη για τις βαθμωτές θεωρίες με μιγαική ράσ η και σ την χρωμουναμική σ το όριο μεγάλης βαρυονικής πυκνότητας, το οποίο αποτελεί και μεγάλης προτεραιότητας πρόβλημα προς επίλυσ η. 2.2 Κβαντική Χρωμουναμική Ενα από τα κυριότερα προβλήματα είναι ο προσ ιορισ μός του χώρου φάσ εων της χρωμουναμικής, σ υγκεκριμένα ως προς τη θερμοκρασ ία β και βαρυονική πυκνότητα (χημικό υναμικό µ). Στις περιοχές με πεπερασ μένη θερμοκρασ ία και πυκνότητα αναμένεται η φυσ ική να είναι ανεξάρτητη του χημικού υναμικού (το φαινόμενο αυτό ονομάζεται Silver-Blaze), το οποίο ύναται να μελετηθεί με ιάφορες μεθόους. Από την άλλη, η περιοχή υψηλού χημικού υναμικού παρουσ ιάζει 1 Για κάθε μιγαική τυχαία μεταβλητή x C με αναμενόμενη τιμή x, η ιακύμανσ η είναι (x x )(x x ) = xx x x x x + x x = xx x x x x + x x = xx x x. (2.1.2) 10

17 2.3 Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) ιιαίτερο ενιαφέρον και παράλληλα αρκετές υσ κολίες, ιότι το φαντασ τικό μέρος της ράσ ης γίνεται ιιαίτερα σ ημαντικό υσ χεραίνοντας τις εξομοιώσ εις Monte Carlo σ την περιοχή αυτήν. Ακολουθεί μια βιβλιογραφική λίσ τα (όπως καταγράφεται σ το [8]) με τις μεθόους που έχουν αναπτυχθεί μέχρι σ ήμερα σ την προσ πάθεια επίλυσ η του προβλήματος μιγαικής ράσ ης σ τις ιάφορες περιοχές του χώρου φάσ εων, χωρίς η λίσ τα να είναι εξαντλημένη, καθώς πρόκειται για ένα πολύ ενεργό πείο έρευνας. χαμηλή βαρυονική πυκνότητα [15] μέθοοι μέθοοι επανασ τάθμισ ης (modified reweighting) [16, 17] μέθοος του αναπτύγματος Taylor [18, 19] μέθοος φαντασ τικού χημικού υναμικού µ υψηλή βαρυονική πυκνότητα [20, 21, 22] μέθοος μιγαικής υναμικής Langevin (βλ. επίσ ης [5, 6, 7] καθώς και το υπόλοιπο της παρούσ ας εργασ ίας για λεπτομέρειες) [8, 9] Lefschetz thimbles (stationary phase method) [23] μέθοοι αλγορίθμου worm (βλ. επίσ ης [13] καθώς και υποενότητα για λεπτομέρειες και γενίκευσ η του αλγορίθμου worm σ ε εφαρμογή μεθόων υϊκής αναπαράσ τασ ης της ράσ ης) [24, 25] ενεργές θεωρίες τριών ιασ τάσ εων (effective 3D theories) [26] μέθοος ισ τογράμματος (multihistogram) [27, 28, 29, 30] μέθοος παραγοντοποίησ ης (factorization) ή πυκνότητας κατασ τάσ εων (density of states) [31] μέθοος γενικευμένου φαντασ τικού χημικού υναμικού µ [32] μέθοος αναπτύγματος φυγώους (fugacity expansion) [33] μέθοος ιασ τατικής ελάττωσ ης (dimensional reduction) [34, 35] όριο μεγάλου N c (αριθμού χρωμάτων) 2.3 Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) Η ιέα κλειί είναι η εισ αγωγή μιας νέας παραμέτρου τ η οποία εξυπηρετεί ως κάποιος χρόνος εξέλιξης του πείου φ (έσ τω βαθμωτή θεωρία πείου), και η οποία εισ άγει μια υναμική σ το πείο ως γενίκευσ η της κλασ ική εξίσ ωσ ης κίνησ ης θα έχει ηλαή τη γενική μορφή S[φ] = 0, (2.3.1) φ ( ) τ φ(τ) = F φ S[φ]. (2.3.2) Η αντίσ τοιχη κβαντική θεωρία πείου ορίζεται πλήρως από το βασ ικό Feynman path integral ή σ υνάρτησ η επιμερισ μού Z = Dφ exp( S[φ]) (2.3.3) όπου και κάθε κλασ ική εξίσ ωσ η μεταφράζεται σ ε εξίσ ωσ η αναμενόμενων τιμών. Η γνώσ η της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού Z καθορίζει και την αναμενόμενη τιμή κάθε παρατηρήσ ιμης ποσ ότητας O, O = 1 Dφ exp( S[φ])O[φ]. (2.3.4) Z 11

18 2 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου Μέθοος μιγαικής Langevin Η παραπάνω σ υλλογισ τική αξιοποιείται από την μέθοο της μιγαικής υναμικής Langevin σ τον υπολογισ μό του (2.3.3) η οποία εισ ήχθη από τους Parizi και Wu [3] και αναπτύχθηκε αργότερα από Gert Aarts et. al. [6] για την επίλυσ η του sign problem σ το μοντέλο του κβαντικού σ χετικισ τικού αερίου Bose [5]. Η υναμική εξίσ ωσ η (2.3.2) αποκτά την μορφή μιας εξίσ ωσ ης Langevin τ φ(τ) = S[φ(τ)] + η(τ), (2.3.5) φ όπου η είναι ένα πείο θορύβου, η μορφή του ηλαή εν είναι σ υγκεκριμένη αλλά τυχαία σ τον χώρο των πείων με κατανομή που σ υγκεκριμένα επιλέγεται gaussιανή, ( ρ[η] = ρ 1 0 exp 1 ) ( dτ η(τ) η(τ), ρ 0 = Dη exp 1 ) dτ η(τ) η(τ), (2.3.6) 4 4 ή γενικότερα να έχει τις πρώτες σ υναρτήσ εις σ υσ χετισ μού η(τ) = 0 και η(τ)η(τ ) = 2(τ τ ). (2.3.7) Η τυχαιότητα του θορύβου μεταφέρεται μέσ ω της σ τοχασ τικής πια εξίσ ωσ ης Langevin (2.3.5) σ ε τυχαιότητα του πείου φ το οποίο αποτελεί λύσ η της εξίσ ωσ ης Langevin. Γενικότερα, οποιαήποτε παρατηρήσ ιμη ποσ ότητα O η οποία προκύπτει ως σ υναρτησ ιακό του πείου φ αποκτάει σ τοχασ τικό χαρακτήρα και έχει νόημα η αναμενόμενη της τιμή πάνω σ το ensemble του θορύβου ( O(τ) = Dηρ[η]O[φ(τ)], ρ[η] = exp 14 ) η η, (2.3.8) το οποίο μοιάζει επίσ ης με μία σ υνταγή κβάντωσ ης του πείου φ, μόνο που υπάρχει η επιπλέον παράμετρος τ η οποία τώρα ονομάζεται χρόνος Langevin. Λόγω του ασ υσ χετισ μού σ το χρόνο του θορύβου, κάθε τ-slice της κατανομής έχει ακριβώς την ίια μορφή. Σύμφωνα με την εικασ ία των Parizi και Wu, σ το όριο τ το πείο φ = lim τ φ(τ) είναι το πείο της εκάσ τοτε κβαντικής θεωρίας βαθμωτού πείου που μελετάται, ηλαή για κάθε παρατηρήσ ιμη ποσ ότητα O, lim O(τ) = Dφ exp( S[φ])O[φ], (2.3.9) τ ανακτάται ηλαή το Feynman path integral ως όριο μιας σ τοχασ τική ιαικασ ίας. Εφαρμοζόμενο σ την επίλυσ η του αριθμητικού sign problem, υπάρχει η ελπία πως η εξίσ ωσ η Langevin (2.3.5), όταν ο χρόνος Langevin ιακριτοποιηθεί τ = nɛ για βήμα χρόνου ɛ, παράγει με φυσ ικό τρόπο μια markovιανή αλυσ ία σ τον χώρο των φ, η οποία οηγεί σ τη σ ημαντική περιοχή για τον υπολογισ μό του ολοκληρώματος της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού και (αν εν υποφέρουν από overlap problem) της αναμενόμενης τιμής της τυχούσ ας παρατηρήσ ιμης ποσ ότητας O. Μέχρι τώρα [5] φαίνεται πως σ τις εξομοιώσ εις επιτυγχάνεται thermalization (σ τατική ισ ορροπία η οποία αντισ τοιχεί σ το θεωρητικό όριο τ ), για κατάλληλη επιλογή του βήματος Langevin ɛ, και οι παρατηρήσ ιμες ποσ ότητες φαίνεται να αναεικνύουν του φαινόμενο Silver-Blaze που είναι γνωσ τό ότι παρουσ ιάζει το σ χετικισ τικό αέριο Bose για κρίσ ιμο χημικό υναμικό µ c Η μελέτη της μεθόου σ το σ χετικισ τικό αέριο Bose αποτελεί ενισ χυτική του [5] εργασ ία με σ κοπό τον επαναφορμαλισ μό του προβλήματος σ ε πιο βολικούς όρους, και επαλήθευσ η βάσ η κώικα γραμμένου από την αρχή. Για αυτοσ υνέπεια του μηχανισ μού Langevin σ την περίπτωσ η μιγαικών πείων, είναι αναγκαία η επέκτασ η των μιγαικών πείων φ C σ ε ιπλομιγαικά φ C C (βλ. κεφάλαιο 3), το οποίο είναι ισ ούναμο με την εισ αγωγή επιπλέον της ı μιγαικής μονάας j, τέτοιας ώσ τε ıj = jı Lefschetz thimbles Η μέθοος αυτή βασ ίζεται σ τη θεωρία Morse και την επέκτασ η της σ τους μιγαικούς από τους Picard και Lefschetz, και σ υνοψίζεται από τον εναλλακτικό τίτλο μέθοος σ ταθερής φάσ ης (stationary phase method). Η βασ ική ιέα είναι να υπολογισ τεί το ολοκλήρωμα σ ε μια περιοχή του χώρου των φ τέτοια ώσ τε ο φασ ικός όρος του εντροπικού όρου να είναι σ ταθερός, και άρα να βγαίνει εκτός της ολοκλήρωσ ης. 2 Η ομή των quaternion παράγεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο που αυτήν τη φορά ıj + jı = 0, το οποίο σ υνεπάγεται πως το αντίσ τοιχο γινόμενο (Hamilton) quaternion είναι μη-μεταθετικό σ ε αντίθεσ η με το ιπλομιγαικό. 12

19 2.3 Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) The thimble(s) Εσ τω το μιγαικό ολοκλήρωμα I = R dxg(x) exp f(x), (2.3.10) όπου f και g είναι ολομορφικές σ υναρτήσ εις σ τους μιγαικούς z C. Ενα τέτοιο ολοκλήρωμα χαρακτηρίζεται από έντονη ιακύμανσ η της ολοκληρωτέας ποσ ότητας η οποία οφείλεται σ την παρουσ ία του όρου exp(ıif). Με βάσ η τη θεωρία Picard-Lefschetz, το ολοκλήρωμα I υπολογίζεται ισ ούναμα σ ε κάθε καμπύλη γ C η οποία ιατηρεί την κλάσ η ομολογίας του ολοκληρώματος, I = dzg(x) exp f(x), (2.3.11) γ C όταν το πραγματικό μέρος της ράσ ης f είναι φραγμένο, sup x C Rf(x) <. Ειικότερα αποεικνύεται πως κατάλληλη επιλογή της γ είναι η καμπύλη μέγισ της κλίσ ης της Rf από κρίσ ιμο σ ημείο της, τέτοιο ηλαή ώσ τε με αρχική σ υνθήκη x a (0) = χ a όπου χ είναι σ αγματικό σ ημείο της f, 3 Rf(χ) = ε ab x a 1 n! ε (a i) n i=1 ε (b i) n i=1 τ x a = Rf(x) = ε ab If(x), (2.3.12) x a x b If(x) = 0 ισ ούναμα sup x b x C n x i=1 ai Rf(χ) = x bi x 0 Rf(x) = max Rf(x) = Rf(χ) και (2.3.13) x C f a (χ) x 1 x 0 x 1 f a (χ) 0. (2.3.14) υποθέτοντας πως η Rf έχει μοναικό ακρότατο σ το χ και αντικαθισ τώντας τη σ υνθήκη Cauchy-Riemann abc f c = 0, (2.3.15) x b όπου είναι ο τανυσ τής γινομένου μιγαικών, όταν αυτοί αναπαρίσ τανται σ τις σ υνισ τώσ ες τους (βλ. υπουποενότητα ). Παρατηρούμε πως για τον μετασ χηματισ μό του πείου ολοκλήρωσ ης, η κατά τα άλλα πραγματική μεταβλητή ολοκλήρωσ ης μιγαοποιείται, x x 0 + ıx 1. Προκύπτει πως η If είναι σ ταθερή κατά μήκος της γ. Πράγματι κατά μήκος της γ έχουμε μέγισ τη πτώσ η της Rf, επομένως η εφαπτομένη ίνεται από Rf. Σε κάθε σ ημείο x γ, μία κατεύθυνσ η της ισ οσ ταθμικής της Rf(x) ίνεται από σ υνισ τώσ ες ± ε ab x b Rf(x) = x a If(x), (2.3.16) επομένως ισ ούναμα από (2.3.12) παρατηρούμε πως η καμπύλη γ μέγισ της κλίσ ης της Rf αποτελεί ταυτόχρονα ισ οσ ταθμική της If. Η θεωρία Picard-Lefschetz γενικεύεται και όταν τα ακρότατα της f είναι πολλαπλά. Η υπόθεσ η είναι η ίια, πως ηλαή για κάθε ακρότατο χ σ Σ, το πραγματικό μέρος της f είναι άνω-φραγμένο, Rf(χ σ ) <, σ Σ. Το σ ύνολο των καμπυλών (κύκλων της ομολογίας της f) γ σ αποτελεί βάσ η του χώρου των κύκλων της ομολογίας της f πάνω σ τους οποίους μπορούμε να ολοκληρώσ ουμε. 3 Η ορίζουσ α ενός πίνακα A με σ τοιχεία A ab είναι det A = 1 n n! ε (a i ) n ε i=1 (b i ) n A ai b i=1 i. i=1 13

20 2 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου Η θεωρία επίσ ης γενικεύεται και για πολυιάσ τατο πείο x, όπου οι καμπύλες ολοκλήρωσ ης γ γίνονται ποια υπερεπιφάνειες J (thimbles) πάνω σ τις οποίες If είναι σ ταθερή. Το ολοκλήρωμα που υπολογίζουμε είναι της μορφής I = R dim X dim X i=1 dx i g(x) exp f(x). (2.3.17) Στην περίπτωσ η πολλαπλών σ αγματικών σ ημείων, η εν λόγω περιοχή ολοκλήρωσ ης ίνεται από ακέραιο γραμμικό σ υνυασ μό των thimbles σ τα ιάφορα σ αγματικά σ ημεία, 4 C = σ Σ n σ J σ, n σ Z, σ Σ. (2.3.18) Εφαρμογή σ τη θεωρία πείου Καταλαβαίνοντας πως η μέθοος προορίζεται για εξομοίωσ η Monte Carlo, και έχοντας υπόψη ότι ουλεύουμε σ ε πλέγμα, η ανωτέρω γενίκευσ η σ τις πολλές ιασ τάσ εις εφαρμόζεται κι εώ, επιτρέποντας τον αφηρημένο σ υμβολισ μό I = DφO[φ] exp( S[φ]), (2.3.19) όπου σ την περίπτωσ ή μας g[φ] O[φ] και f[φ] S[φ] κατ αναλογία με τα προηγούμενα. Ετσ ι αποσ πώμασ τε από τα μιγαικά πεία φ C X και τα επεκτείνουμε σ ε ιπλομιγαικά φ (C C) X (βλ. υπουποενότητα ), μέσ α σ τον οποίο χώρο βρίσ κεται το thimble C, το οποίο αποτελεί το νέο πείο ολοκλήρωσ ης κατά της θεωρία Picard-Lefschetz. Στη γενική περίπτωσ η όμως υπάρχουν κάποια προβλήματα που εμποίζουν την απευθείας εξομοίωσ η: Δεν είναι υνατόν να κατασ κευασ τεί markovιανή αλυσ ία η οποία να κινείται σ το C σ την γενική περίπτωσ η. Εικάζεται πως αρκεί να κινηθούμε σ το βασ ικό thimble J 0 το οποίο ανήκει σ το ολικό μέγισ το ϕ 0 της RS. [8] Η μέθοος μέγισ της κλίσ ης περιλαμβάνει και τοπική γύρω από τα ακρότατα ιαταρακτική ανάπτυξη της ράσ ης, το οποίο αναιρεί το σ κοπό της εξομοίωσ ης Monte Carlo για μη-ιαταρακτική θεωρία πείου και επομένως αγνοείται, αυξάνοντας την πολυπλοκότητα του υπολογισ μού. Η απαλλαγή της εναλλασ σ όμενης φάσ ης εν γίνεται ίχως artifacts. Πάνω σ το thimble το σ τοιχείο όγκου Dφ λαμβάνει μια φάσ η το ίιο, ηλαή όπως και είναι φυσ ικό αυτό που επιτυγχάνεται είναι μεταφορά του προβλήματος από τη ράσ η σ το μέτρο. Η παρουσ ία της παραμένουσ ας αυτής φάσ ης εν είναι τόσ ο σ οβαρή όσ ο η αρχική φάσ η σ τον εντροπικό παράγοντα, πάραυτα η πολυπλοκότητα του υπολογισ μού είναι αρκετά μεγάλη ακόμη. Για τον υπολογισ μό του ολοκληρώματος της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού πάνω σ το thimble J 0 χρησ ιμοποιείται (!) υναμική Langevin με τον θόρυβο σ ε κάθε βήμα κατάλληλα επιλεγμένο/επεξεργασ μένο ώσ τε κατά την παραγωγή αλυσ ίας configurations να παραμείνουμε πάνω σ το thimble. Η ιαικασ ία αυτή είναι αρκετά μη τετριμμένη, και η θεωρητική της βάσ η είναι η παράλληλη μεταφορά κατά τη ιαφορικο-γεωμετρική έννοια πάνω σ τη πολλαπλότητα που ονομάζουμε thimble. Επί του παρόντος έχουνε εξαχθεί αποτελέσ ματα σ υναφή με τα αποτελέσ ματα της μιγαικής Langevin. [9] Οι ύο μέθοοι παρουσ ιάζουν αρκετές ομοιότητες αλλά και ουσ ιώεις ιαφορές. (περισ σ ότερες λεπτομέρειες: [10]) Μέθοος υϊκής αναπαράστασης Αναπαράσ τασ η ροής Σε ότι ακολουθεί υιοθετείται προσ ωρινά φορμαλισ μός x αντί του x για την εξάρτησ η από τη (πλεγματική) θέσ η (βλ. σ ελ. 2). Συνεπώς εν προκειμένω η σ υνάρτησ η επιμερισ μού γράφεται Z = 1 dφ x e S, (2.3.20) 2π x 4 Ακέραιος γραμμικός σ υνυασ μός, ιότι σ ε βασ ικούς τοπολογικούς χώρους εμφανίζεται η ακέραια ομάα Z ως υποομάα των ομάων ομολογίας των, για κάθε κύκλο του τοπολογικού χώρου. C 14

21 2.3 Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) όπου η ράσ η S ίνεται από το χωροχρονικό ολοκλήρωμα της lagrangianής πυκνότητας L, S = x L x, (2.3.21) οπότε και σ την περίπτωσ η πεπερασ μένου πλέγματος ο εντροπικός παράγοντας γίνεται γίνεται ( e S = exp ) L x = exp( L x ) = 1 n x x x n x! ( 1)nx (L x ) nx = ( 1) 1 x nx n x (n) x x! (L x) nx, (2.3.22) όπου (n) = (n x ) x L αντιπροσ ωπεύει το τυχόν configuration των n x όπως φαίνεται και από την ισ ότητα αθροισ μάτων. (2.3.23) x n x = Η (2.3.22) σ υνοψίζει γενικά την ιέα της αναπαράσ τασ ης ροής (n). Στη γενική μορφή ράσ ης L ε φαίνεται κανένα φανερό πλεονέκτημα, ο σ κοπός όμως για ειικότερα προβλήματα είναι να εκφρασ τεί η σ υνάρτησ η επιμερισ μού ως ολοκλήρωμα ποια όχι των configurations πείου φ, αλλά των configurations n όπου και η ράσ η είναι απαλλαγμένη από το μιγαικό μέρος. 5 Η πιο απλή γενική μορφή ράσ ης η οποία να περιλαμβάνει μιγαικό μέρος είναι η ιγραμμική σ το πείο S = φ xa x x φ x = φ xa (x x) φ x φ xa [x x] φ x, (2.3.24) x x x x x x όπου το πραγματικό και μιγαικό μέρος ιακρίνονται από το hermitianό A (x x) και το αντιhermitianό A [x x] κομμάτι του A x x, (n) x A x x = A (x x) + A [x x] με A (x x) = 1 2 (A x x + A xx) και A [x x] = 1 2 (A x x A xx). (2.3.25) Οι ανάμεικτοι όροι εν είναι σ πάνιοι σ το πραγματικό μέρος της ράσ ης επομένως το hermitianό κομμάτι λαμβάνεται ιαγώνιο-ταυτοτικό A (x x) = A x x, το οποίο θα γενικεύσ ουμε σ ε οποιαήποτε εξάρτησ η f(φ xφ x ), ώσ τε να σ υμπεριλαμβάνονται αυτο-αλληλεπιράσ εις του πείου φ ενώ επαναορίζουμε A x x = A [x x] έτσ ι ώσ τε η τελική ράσ η πυκνότητα γράφεται S = S 0 + S 1 = f(φ xφ x ) + φ xa x x φ x. (2.3.26) x x x Τότε ο εντροπικός παράγοντας αναπτύσ σ εται περαιτέρω, προσ θέτοντας βαθμούς ελευθερίας, αντίσ τοιχους ποια προς τα πεία φ και φ. Συγκεκριμένα, το φαντασ τικό μέρος (το οποίο και προκαλεί το πρόβλημα) αναπτύσ σ εται ως e S1 = x = e x x Ax xφ x φ x = e Ax xφ x φ x = x x 1 n x n x x! (φ x) nx x ( A x x ) nx x (φ x ) nx x = x x (n) ( x x 1 n x x! ( A x x) nx x όπου σ το τελευταίο βήμα έγινε εναλλαγή των βουβών εικτών x και x, ενώ ) x ((φ x) x nx x (φ x ) x n xx ), (2.3.27) e S0 = e x f(φ x φx) = x e f(φ x φx). (2.3.28) Σε αυτήν την φάσ η οι τιμές του μιγαικού πείου, αντί της καθιερωμένης ανάπτυξης σ ε καρτεσ ιανές σ υντεταγμένες φ = φ 0 + ıφ 1, σ ε πολικές σ υντεταγμένες φ = Φ exp(ıϕ). Τότε η σ υνάρτησ η επιμερισ μού γίνεται Z = ( ) 1 n (n) x x x x! ( A x x) nx x dφ x Φ 1+2 x n (x x) x e f(φ2 x ) 1 π dϕe ıφ2 x n [x x]. (2.3.29) x 0 2π π 5 Είναι φανερό από τελευταίο σ κεπτικό γιατί μια τέτοια μέθοος (και αναπαράσ τασ η) είναι υνατή μόνο όταν βρισ κόμασ τε σ το πεπερασ μένο πλέγμα. 15

22 2 Το πρόβλημα της μιγαικής ράσ ης σ ε θεωρίες πείου Συμβολίζουμε με ( ) 1 ζ (n) (A) n x x! ( A x x) nx x τον παράγοντα ο οποίος εξαρτάται αποκλεισ τικά από τη μορφή του φαντασ τικού μέρους της ράσ ης, και x x (2.3.30) n x 2 x n (x x) και n x 2 x n [x x], (2.3.31) έτσ ι ώσ τε Z = (n) ζ (n) (A) x 0 dφ x Φ 1+nx x e f(φ2 x ) x 1 π dϕ x e ıφx nx. (2.3.32) 2π π Τα ολοκληρώματα σ τα μέτρα μιγαικών της μορφής W (n) = 0 dφφ 1+n e f(φ2 ) υπολογίζονται οικονομικά αριθμητικά, ενώ τα ολοκληρώματα σ τη φάσ η μιγαικών ίνουν σ υναρτήσ εις έλτα (2.3.33) ( n) = 1 2π π έτσ ι ώσ τε η τελική μορφή της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού Z = ( ) ( 1 n (n) x x x x! ( A x x) nx x W x π dϕe ıφ n (2.3.34) 2 x n (x x) ) x ( 2 x n [x x] ) (2.3.35) να είναι απαλλαγμένη από την εξάρτησ η του πείου και παραπλεύρως από το πρόβλημα μιγαικής ράσ ης, αφού σ ε αυτήν την αναπαράσ τασ η εν υφίσ ταται παράγοντας φάσ ης σ το άθροισ μα (τώρα) της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού Αλγόριθμος worm Η απαλλαγή από τον παράγοντα φάσ ης εν έγινε χωρίς κόσ τος: το πείο άθροισ ης σ τη σ υνάρτησ η επιμερισ μού περιέχει περιορισ μούς που επιβάλλονται από τις σ υναρτήσ εις έλτα οι οποίες αντικατέσ τησ αν το φασ ικό παράγοντα. Ως εκ τούτου κρίνεται σ κόπιμο [13] να χρησ ιμοποιηθεί μια γενίκευσ η του αλγορίθμου worm των Прокофьев-Свистунов [14] για το χειρισ μό των περιορισ μών του configuration space και παραγωγή κατάλληλης αλυσ ίας configurations για τον υπολογισ μό της σ υνάρτησ ης επιμερισ μού, όταν το φαντασ τικό μέρος έχει την ακόμη ειικότερη μορφή (σ χετικισ τικό αέριο Bose, βλ. κεφάλαιο 4) S 1 = (e µν,4 φ xφ x+ν + e µν,4 φ x φ x+ν ), (2.3.36) x ν όπου ν ν είναι link προς πλησ ιέσ τερο γείτονα σ την ιεύθυνσ η ν με φορά που ηλώνεται από το πρόσ ημο που το σ υνοεύει. Εν προκειμένω Z = ( ) 1 ( k (n) n x ν x,ν + l x,ν )!l x,ν! ( ) ( ) e µkx,4 W ( k x,ν + k x ν,ν + 2(l x,ν + l x ν,ν )) (k x,ν k x ν,ν ) x ν x ν (2.3.37) όπου n x,ν n x,ν = k x,ν και n x,ν + n x,ν = k x,ν + 2l x,ν. Στους βαθμούς l εφαρμόζεται απλά ένα Metropolis sweep, ενώ σ τους k βαθμούς, οι οποίοι εσ μεύονται από τις σ υναρτήσ εις έλτα, εφαρμόζονται πολλαπλά metropolis-like flips σ ε πρότυπο worm, ή σ κουληκιού. Το σ κουλήκι ξεκινάει από μια τυχαία θέσ η σ το πλέγμα και ιαγράφει μονοπάτι τυχαίου περιπατητή. Παρατηρούμε πως ο περιορισ μός των k είναι περιορισ μός μεταξύ πλησ ιέσ τερων γειτόνων, επομένως με κάθε update το σ κουλήκι παραβιάζει τη σ υνθήκη της έλτα σ την αρχή και σ το τέλος του. Το σ κουλήκι σ υνεχίζει μέχρι να 16

23 2.3 Σχετικισ τικό αέριο Bose (φαινόμενο Silver-Blaze) σ υναντήσ ει την αρχή με τέτοιο τρόπο ώσ τε η σ υνθήκη της έλτα να ικανοποιείται κατά μήκος του κλεισ τού μονοπατιού που ιέγραψε. Είναι αξιοσ ημείωτο πως η αλλαγή μεταβλητών από n και n σ ε k και l έγινε για οικονομικούς λόγους περισ σ ότερο, ώσ τε η σ υνθήκη έλτα να περιέχει όσ ο το υνατόν λιγότερα, και να απαιτείται λιγότερη χρήσ ει worm υπολογισ μών, όμως όπως γίνεται κατανοητό, η μέθοος είναι υλοποιήσ ιμη και σ τη γενικότερη περίπτωσ η ιγραμμικού φαντασ τικού μέρους της ράσ ης, ενεχομένως με μεγαλύτερο υπολογισ τικό κόσ τος. 17

24

25 3 Δυναμική Langevin 3.1 Συνεχής υναμική Langevin φ R X και S R Εσ τω ότι ιαπραγματευόμασ τε μια θεωρία ενός πραγματικού πείου φ πραγματικής ράσ ης S[φ]. Οι ασ ύζευκτες εξισ ώσ εις Langevin σ την αναπαράσ τασ η της θέσ ης παίρνουν τη μορφή: τ x φ(τ) = x K(φ(τ)) + x η(τ), x K(φ) S[φ], (3.1.1) φ x όπου K(φ) είναι ο όρος ολίσ θησ ης (πείο, όχι σ υναρτησ ιακό) και η όρος θορύβου o οποίος κανονικοποιείται ως x η(τ) = 0 και x η(τ) η(τ ) x = 2 x x (τ τ ). (3.1.2) Η τυπική απόκλισ η της κατανομής πυκνότητας πιθανότητας του θορύβου είναι 2 από το θεώρημα fluctuation-dissipation [3] για τις μονάες που χρησ ιμοποιούνται σ τη κβαντική θεωρία πείου (πλέγματος). ( ) ( ρ[η] = ρ 1 0 exp dτa[η(τ)], ρ 0 = Dη exp 1 ) dτa[η(τ)], (3.1.3) 4 όπου A[η] = 1 ηη (3.1.4) 4 είναι η ελεύθερη (effective) «ράσ η» του θορύβου η έτσ ι ώσ τε η τυπική κατανομή του να είναι gaussιανή. Η εξίσ ωσ η (3.1.1) βασ ικά πρόκειται για πολλές εξισ ώσ εις οι οποίες εικτοοτούνται από την εν λόγω αναπαράσ τασ η του πείου, σ την προκειμένη περίπτωσ η από τη θέσ η x. Είναι χρήσ ιμη πολλές φορές η γενική μορφή της εξίσ ωσ ης Langevin με τη εισ αγωγή ενός πυρήνα x K x ο οποίος σ υζεύγει τις εξισ ώσ εις ως προς τη θέσ η, x K(φ) d dim X x x K x φ a x S[φ], (3.1.5) X και ο οποίος είναι hermitianός και θετικά ορισ μένος. x x είναι ειικά ο ταυτοτικός πυρήνας, ενώ αυτό που βλέπουμε εώ ε ιαφέρει από την άλγεβρα πεπερασ μένων γραμμικών σ υσ τημάτων, όπου οι πυρήνες οι οποίοι αφορούν το ίιο σ ύσ τημα είναι «όμοιοι» μεταξύ τους. Στην περίπτωσ η αυτή, το θεώρημα fluctuation-dissipation μας λέει πάλι πως x η(τ) = 0 και x η(τ) η(τ ) x = 2 x K x (τ τ ). (3.1.6) Δεομένης της υναμικής Langevin για το πείο φ, πάμε να ούμε ποια είναι η υναμική του πείου φ = α 1 φ. Ανακλικαμώνοντας με παρόμοιο τρόπο το θόρυβο η = α 1 η σ τις (3.1.1), τ x φ (τ) = x K (φ (τ)) + x η (τ), K [φ ] = α 1 K(αφ ) = α 2 φ S[αφ ]. (3.1.7) Στην προκειμένη περίπτωσ η αναγνωρίζουμε τη παρουσ ία του μη τετριμμένου πυρήνα x K x = α 2 x x, ηλαή η τυπική απόκλισ η του θορύβου είναι πια σ = 2α 1, σ ε σ υνέπεια με την ανακλιμάκωσ η του θορύβου, x η (τ) η (τ ) x = x α 1 η(τ) α 1 η(τ ) x = 2α 2 x x (τ τ ). (3.1.8) Βλέπουμε ότι το ανακλιμακώμενο πείο υπακούει σ ε υποτυπωώς ιαφορετική υναμική, με αλλαγμένη ολίσ θησ η σ υγκεκριμένα και θόρυβο ο οποίος ενώ ιατηρεί τη μορφή του σ τις εξισ ώσ εις, κρύβει μια ιαφορετική τυπική απόκλισ η υπακούοντας το θεώρημα fluctuation-dissipation. Αυτή η ανάλυσ η θα μας χρειασ τεί αμέσ ως, όταν αναπτύξουμε το γενικό μη-πραγματικό πείο φ σ ε πραγματικές σ υνισ τώσ ες φ a. 19