Μαθηµατική µοντελοποίηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατική µοντελοποίηση"

Transcript

1 21

2 2. Ο παραγωγός φρούτων Προβληµατισµός: Ένας παραγωγός φρούτων αντιµετωπίζει το εξής δίληµµα: αν µαζέψει άµεσα τα φρούτα του θα έχει µια δεδοµένη παραγωγή και θα εξασφαλίσει µια δεδοµένη τιµή, ενώ αν τα µαζέψει αργότερα (µέσα σε ένα δεδοµένο χρονικό διάστηµα), θα έχει µικρότερη παραγωγή αλλά θα τα πουλήσει ακριβότερα. Ζητείται από τους µαθητές να διερευνήσουν ποια χρονική στιγµή τον συµφέρει να πουλήσει τα φρούτα του. 3. Ο χώρος στάθµευσης Προβληµατισµός: Η διοίκηση ενός εµπορικού κέντρου εξετάζει πέντε διαφορετικούς τρόπους χρέωσης για τη χρήση του χώρου στάθµευσης του εµπορικού κέντρου. Η διοίκηση θα ήθελε φυσικά να κερδίσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήµατα, χωρίς όµως να χάσει τους πελάτες του εµπορικού κέντρου. Προκειµένου δε να εξασφαλιστεί ότι ο χώρος στάθµευσης θα είναι ελεύθερος, για να χρησιµοποιείται από τους ιδιοκτήτες των καταστη- µάτων και όχι από τους ανθρώπους που εργάζονται στην πόλη, το συµβούλιο όρισε ως µέγιστο χρόνο παραµονής στον χώρο για οποιονδήποτε πελάτη του εµπορικού κέντρου, τις πέντε ώρες. 4. Μεταβολή της διάρκειας της ηµέρας Προβληµατισµός: Με την δραστηριότητα αυτή επιχειρείται η µαθηµατική µοντελοποίηση του φυσικού φαινοµένου της µεταβολής της διάρκειας της ηµέρας (το χρονικό διάστηµα ανάµεσα στην Ανατολή και τη Δύση του Ηλίου) κατά το πέρασµα του χρόνου. Είναι γνωστό ότι η διάρκεια της ηµέρας σε ένα τόπο εξαρτάται από την θέση του πάνω στην γήινη σφαίρα και από την εποχή του έτους. ΤΕΛΟΣ 20

3 Οι ερευνητικές αυτές εργασίες θα μπορούν α) να κινούνται σε όποιο από τα πεδία διέτρεξε ο κεντρικός σχεδιασμός και η υλοποίηση της Ερευνητικής Εργασίας και β) να εκφράζονται σε όποια μορφή και με όποιο μέσο επιθυμούν οι έφηβοι και οι έφηβες ερευνητές και ερευ- νήτριες. Έτσι, κάθε παιδί, από μόνο του ή από κοινού με ένα, δυο ή τρία άλλα, θα καταθέ- τουν έναν ακόμα Φάκελο, ο οποίος θα βαθμολογείται από τους εκπαιδευτικούς. Περιεχόμενο Ομαδικού Φακέλου: α) Έκθεση Ερευνητικής Εργασίας σε ηλεκτρονική (action power point) ή έντυπη μορφή με όλα τα δημιουργήματα των παιδιών β) επιμέρους έρευνες, αποτελέσματα, κριτική ερμηνεία Περιεχόμενο Ατομικού Φακέλου: Έκθεση πρωτότυπης έρευνας σε ηλεκτρονική ή έντυπη μορφή Πρόσθετα πιθανά θέµατα δραστηριοτήτων 1. Το πέτρινο µονοπάτι Προβληµατισµός: Ζητείται από τους µαθητές να σχεδιάσουν την πλακόστρωση ενός µονοπατιού µε συγκεκριµένο αριθµό διαθέσιµων κυκλικών πλακιδίων από την είσοδο του γειτονικού πάρκου µέχρι το σιντριβάνι που βρίσκεται στο κέντρο του πάρκου. Κατά την επεξεργασία του θέµατος α- νακύπτουν περιορισµοί πραγµατικής φύσης (π.χ. µέγιστη δυνατή απόσταση των πλακιδίων) που οδηγούν σε τροποποίηση της δραστηριότητας. 19

4 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Α) Βαθμός από την Ερευνητική Εργασία, με βάση την «ομαδοσυνεργατικότητα». Ο Φάκελος που θα καταθέσει το «Τμήμα Ενδιαφέροντος», θα αξιολογείται ως συλλογικό δημιούργημα και θα δίνει σε κάθε μαθητή και κάθε μαθήτρια το βαθμό που του/της ανα- λογεί και θα προκύπτει από τις παρατηρήσεις των εκπαιδευτικών που θα το αναλάβουν. Οι παρατηρήσεις των εκπαιδευτικών θα αφορούν: α) στη συμμετοχή των παιδιών στη λειτουργία των ομάδων β) στην ποιότητα των δημιουργημάτων τους στα χαρτόνια εργασίας γ) στην ερμηνεία και το σχολιασμό κειμένων δ) στην συλλογή, επεξεργασία, παρουσίαση και ερμηνεία των εργασιών πεδίου και ε) στη συμμετοχή τους στις ολομέλειες με σκέψεις, ιδέες και προβληματισμούς στ) στην ανάληψη πρωτοβουλιών που θα εξελίσσουν την Ερευνητική Εργασία. Στη βαθμολογία της Ερευνητικής Εργασίας, με βάση την «ομαδοσυνεργατικότητα», θα συ- νεκτιμάται και η τελική παρουσίασή της. Β) Βαθμός με βάση τις «ατομικές» ερευνητικές πρωτοβουλίες. Ο κεντρικός σχεδιασμός της Ερευνητικής Εργασίας έχει κατά βάση «ομαδοσυνεργατικό» χαρακτήρα. Με αυτήν την έννοια, δεν μπορούν να γίνουν εργασίες απ όπου θα προκύπτει η ατομική αξιολόγηση, πριν ολοκληρωθεί το εγχείρημα, αφού όλες οι ομάδες δουλεύουν με κοινό «πλαίσιο προβληματισμού» ή κοινά ερευνητικά ερωτήματα». Μετά την ολοκλήρωση του εγχειρήματος, όμως, τα παιδιά: α) θα έχουν εξοικειωθεί με το βηματισμό «ξεκινώ από ένα πλαίσιο προβληματισμού, αναζητώ πρωτογενείς πληροφορίες ή αναλύω το περιεχόμε- νο κειμένων, οργανώνω τις πληροφορίες ή τα νοήματα (διακρίνω, κατηγοριοποιώ, ιεραρ- χώ), εξάγω συμπεράσματα και τα ερμηνεύω κριτικά» και β) θα έχουν δουλέψει σε δραστη- ριότητες που εμπλέκουν τις Φυσικές Επιστήμες και τα Μαθηματικά, τις Κοινωνικές Επιστή- μες και τη Γλώσσα, την Τεχνολογία και τις Τέχνες, ασκώντας και αναπτύσσοντας πολλές και διαφορετικές ικανότητες δεξιότητες και ταλέντα. Με αυτήν την έννοια, τα παιδιά θα είναι σε θέση να επιλέξουν, με τη βοήθεια των εκπαιδευτικών τους, ένα δικό τους μικρό και απλό «πλαίσιο προβληματισμού» (συμβατό με τα ενδιαφέροντά τους) και να προχωρήσουν σε μικρές, απλές και πρωτότυπες «Ερευνητικές Εργασίες» είτε μόνα τους είτε σε ομάδες δύο, τριών ή τεσσάρων ατόμων. 18

5 σηµείο του άξονα y'οy που αντιστοιχεί στο επιθυµητό µηνιαίο κόστος λογαριασµού π.χ. 20 η οποία θα τέµνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων κόστους. Οι τετµηµένες των σηµείων αυτών παριστάνουν τους χρόνους οµιλίας των διαφόρων οικονοµικών προγραµµάτων για το συγκεκριµένο µηνιαίο κόστος. 45 C0 y = 0,33 x CB y = 9 + 0,27 x ΚΣ 15 y = 0,3 x A: (60,61, 20,00) B: (40,74, 20,00) C: (66,67, 20,00) ΚΟΣΤΟΣ y = 20 C B B C 0 KΣ 15 A C 10 5 Τέλος, αναµένεται από τους µαθητές να επιλέξουν µε βάση την παραπάνω γραφική παράσταση και τα κριτήρια πού έχουν επιλέξει σε προηγούµενη φάση της δραστηριότητας το επιθυµητό γι αυτούς οικονοµικό πρόγραµµα. Ζητείται τέλος, από τους µαθητές να αποτυπώσουν τις διερευνήσεις τους, τα αρχεία του FP µε τους πίνακες δεδοµένων και τα γραφήµατα και τα συ- µπεράσµατα τους σε ηλεκτρονική µορφή (π.χ. αρχεία Power Point), υλικό που θα µπορούσε να αποτελέσει αντικείµενο αξιολόγησης µε κριτήρια την σαφήνεια, την συλλογιστική ικανότητα, την ικανότητα συµπερασµού και την συλλογική συµµετοχή των µελών της οµάδας. Ε Φάση: Γενικά σχόλια Ζητείται από τους µαθητές να διατυπώσουν τα σχόλιά τους και τις παρατηρήσεις τους για την διαδικασία µαθηµατικοποίησης ενός πραγµατικού προβλήµατος και την συµβολή της χρήσης ενός εκπαιδευτικού λογισµικού στην διερεύνηση του προβλήµατος. 17

6 ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΠΟΣΟ 15 Από αυτή την παρουσίαση προκύπτει ότι κάθε προσφερόµενο πρόγραµµα σύνδεσης κινητής τηλεφωνίας έχει µερικά σηµαντικά δεδοµένα: το µηνιαίο πάγιο, τα «δωρεάν» λεπτά χρόνου οµιλίας, τα «δωρεάν» γραπτά µηνύµατα, την τιµή του χρόνου οµιλίας ανά λεπτό και την τιµή του γραπτού µηνύ- µατος. Είναι φανερό ότι απαιτείται να βρεθεί η σχέση που υπάρχει µεταξύ χρόνου και κόστους, η οποία απαιτεί την οµογενοποίηση των δεδοµένων. Δ Φάση: Μαθηµατική επεξεργασία των δεδοµένων Μετά την συλλογή και παρουσίαση των δεδοµένων σε πίνακες στην προηγούµενη φάση, οι µαθητές θα πρέπει να αποφασίσουν τη µέθοδο επεξεργασίας τους. Υπό την καθοδήγηση του καθηγητή και λόγω της πληθώρας των επιλογών που προσφέρονται από τις εταιρείες κινητής τηλεφωνίας οι µαθητές κατευθύνονται προς την γραφική αναπαράσταση των συλλεχθέντων δεδοµένων, αξιοποιώντας τις γνώσεις τους για τις συναρτήσεις από τα Μαθηµατικά καθώς και τις δυνατότητες αναπαράστασης των εκπαιδευτικών λογισµικών που χειρίζονται. Συγκεκριµένα, αποφασίζουν να δηµιουργήσουν συναρτησιακούς τύπους που συσχετίζουν το µηνιαίο κόστος y του λογαριασµού του κινητού µε τον χρόνο οµιλίας x για τα διάφορα οικονοµικά προγράµµατα που κατέγραψαν. Κατά την διαδικασία αυτή, οι µαθητές, προκειµένου να οδηγηθούν σε απλούστερες µαθηµατικές σχέσεις που θα µπορούν στη συνέχεια να διαχειριστούν, επιλέγουν µόνο εκείνα τα χαρακτηριστικά των προγραµµάτων που θα χρησιµοποιήσουν περισσότερο ή και αποκλειστικά και δεν λαµβάνουν υπόψη επιλογές που δεν πρόκειται να χρησιµοποιήσουν καθόλου ή µόνο σπάνια π.χ. χρόνος οµιλίας ή γραπτά µηνύµατα προς δίκτυα του εξωτερικού. Στη συνέχεια παριστάνουν γραφικά όλες τις συναρτήσεις που δηµιούργησαν στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων όπου ο οριζόντιος άξονας x Ox παριστάνει τον χρόνο οµιλίας και ο άξονας y'οy παριστάνει το µηνιαίο κόστος. οι µαθητές, µετά από συζήτηση µεταξύ τους και ενδεχοµένως µετά από υπόδειξη του καθηγητή τους, αποφασίζουν να σχεδιάσουν µια ευθεία παράλληλη στον άξονα y'οy διερχόµενη από το 16

7 γκαίων πληροφοριών από το διαδίκτυο, ως προσφορότερου µέσο πληροφόρησης. Η παρουσίαση των στοιχείων, σε λογιστικά φύλλα, δεδοµένου ότι δεν προσφέρονται σε ενιαία µορφή, είναι µια ενέργεια που απαιτεί µια προσπάθεια όχι µόνο τεχνική αλλά και νοητική, διότι η οµογενοποίησή τους είναι αναγκαία προκειµένου να επιτευχθεί οποιαδήποτε απόπειρα σύγκρισης. Η δράση αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική διότι αναγκάζει τους διδασκό- µενους να προβληµατιστούν, να επινοήσουν κριτήρια, να διαχωρίσουν τα ουσιώδη από τα επουσιώδη, να κατανοήσουν το νόηµα των δεδοµένων, να αντιµετωπίσουν προβλήµατα, όπως αυτά που έχουν σχέση µε µετατροπή και εύρεση κοινών µονάδων µέτρησης κ.λπ. και τέλος να χρησιµοποιήσουν τα κριτήρια που έχουν επιλέξει σε προηγούµενη φάση προκειµένου να α- ποφασίσουν τα προς σύγκριση οικονοµικά προγράµµατα. Θα ήταν σκόπιµο ο καθηγητής να προτείνει κάθε οµάδα µαθητών να συλλέξει δεδοµένα από µια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας και µια οµάδα να συλλέξει δεδοµένα οµοειδών προγραµµάτων διαφορετικών εταιρειών κινητής τηλεφωνίας. Μια ενδεικτική παρουσίαση δεδοµένων αποτελεί o παρακάτω πίνακας: C0 CB CA15 KΣ15 ΜΗΝ. ΠΑΓΙΟ ΔΩΡΕΑΝ ΧΡΟΝΟΣ ΟΜΙΛΙΑΣ /min ΠΡΟΣ C ΠΡΟΣ ΑΛΛΟΥΣ ΔΩΡΕΑΝ SMS /SMS ΠΡΟΣ C ΠΡΟΣ ΑΛΛΟΥΣ ΚΟΣΤΟΣ ΚΛΗΣΗΣ /min 0,33 0,27 0,33 0,30 ΚΟΣΤΟΣ SMS /SMS 0,1240 0,1240 0,1250 0,

8 6. Που τέµνονται οι δυο γραφικές παραστάσεις; Τι παριστάνει το σηµείο τοµής τους; 7. Ποιό πρόγραµµα θα επιλέξεις τελικά; Προσπάθησε να δικαιολογήσεις µαθηµατικά την επιλογή σου. Στην συνέχεια ο καθηγητής θα χωρίσει την τάξη σε οµάδες των 4-6 µαθητών φροντίζοντας σε κάθε οµάδα να υπάρχει 1 τουλάχιστον µαθητής ε- ξοικειωµένος µε την χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού. Στην περίπτωση που οι µαθητές δεν είναι εξοικειωµένοι µε την χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού προτείνεται εδώ να παρεµβληθεί η Β Φάση. Β Φάση: Παρουσίαση του εκπαιδευτικού λογισµικού Ακολουθεί µια σύντοµη παρουσίαση του εκπαιδευτικού λογισµικού Function Probe ή Sketchpad και επιχειρείται η εξοικείωση των µαθητών µε τις βασικές λειτουργίες του. Γ Φάση: Συλλογή και παρουσίαση δεδοµένων Οι συγκρίσεις µεταξύ όλων των προσφεροµένων προγραµµάτων σύνδεσης κινητής τηλεφωνίας, απαιτεί µια ολοκληρωµένη εικόνα. Με τη συζήτηση διαφόρων απόψεων για τις ενέργειες που πρέπει να γίνουν (π.χ. η προµήθεια διαφηµιστικών φυλλαδίων, η πληροφόρηση από προµηθευτές µε τηλεφωνική ή φυσική επικοινωνία, η χρήση του διαδικτύου κ.λπ.), ο διδάσκων οδηγεί, µε διαλεκτικό τρόπο, στην επιλογή της βέλτιστης δυνατής πληροφόρησης, µε κριτήρια την πληρότητα και την πρακτικότητα. Ας υποθέσουµε ότι πραγµατοποιείται, από τους µαθητές, η αναζήτηση των ανα- 14

9 Πρόγραµµα Α 0,33 /min 0,1450 /SMS Πρόγραµµα Β 0,45 / min 0,1136 /SMS 1. Αν επιλέξεις µόνο υπηρεσίες φωνής ποιό πρόγραµµα σε συµφέρει; Ποιος είναι ο µέγιστος χρόνος που σου παρέχει αυτό το πρόγραµµα; 2. Αν επιλέξεις να στέλνει µόνο γραπτά µηνύµατα ποιό πρόγραµµα σε συµφέρει; Πόσα γραπτά µηνύµατα σου επιτρέπει να στείλεις αυτό το πρόγραµµα; 3. Αν τελικά µιλάς µία ώρα το µήνα πόσα γραπτά µηνύµατα µπορείς να στείλεις χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα Α και πόσα χρησιµοποιώντας το Β; 4. Αν x είναι ο αριθµός των λεπτών οµιλίας και y ο αριθµός των γραπτών µηνυµάτων που µπορείς να χρησιµοποιήσεις ξοδεύοντας 20, να γράψεις µία εξίσωση για κάθε πρόγραµµα. 5. Να παραστήσεις γραφικά τις δυο εξισώσεις στο ίδιο σύστημα συντεταγ- μένων. 13

10 «Δεδοµένου ότι οι εταιρείες κινητής τηλεφωνίας προσφέρουν πληθώρα οικονοµικών προγραµµάτων σύνδεσης µε µεγάλη ποικιλία επιλογών (προγράµµατα µε πάγιο µηνιαίο λογαριασµό που περιλαµβάνουν δωρεάν χρόνο οµιλίας ή/και δωρεάν ορισµένο αριθµό γραπτών µηνυµάτων και συγκεκρι- µένη χρέωση µετά την παρέλευση του δωρεάν χρόνου οµιλίας ή του δωρεάν αριθµού γραπτών µηνυµάτων, προγράµµατα χωρίς δωρεάν παροχές αλλά µε χαµηλότερες χρεώσεις για τον χρόνο οµιλίας και τα γραπτά µηνύ- µατα, κ.λπ.) είναι φανερό να διερωτάται κανείς για το είδος της επιλογής που πρέπει να κάνει µε σκοπό να πληρώνει όσο το δυνατό λιγότερα χρήµατα για να καλύψει τις συγκεκριµένες τηλεπικοινωνιακές του ανάγκες. Με ποιο τρόπο, λοιπόν, θα µπορούσε να επιλέξει το συµφερότερο πρόγραµµα σύνδεσης από τα προσφερόµενα;» Επισηµαίνεται στους µαθητές ότι η µεγάλη ποικιλία προγραµµάτων µας ο- δηγεί στην θέσπιση κάποιων κριτηρίων για την επιλογή του κατάλληλου οικονοµικού προγράµµατος σύνδεσης. Αξιοποιώντας και την προηγούµενη εµπειρία τους από την χρήση κινητού τηλεφώνου, οι µαθητές θα διαπιστώσουν ότι σηµαντικό ρόλο στην επιλογή του κατάλληλου οικονοµικού προγράµµατος σύνδεσης παίζουν το µηνιαίο κόστος του και το είδος της χρήσης (υπηρεσίες φωνής, γραπτά µηνύµατα, µεταφορά δεδοµένων, κ.λπ.). Για µηνιαίο ποσό που µπορούν να διαθέσουν, οι µαθητές θα επιλέξουν ένα λογικό σχετικά µικρό ποσό της τάξης των ευρώ. Για το είδος της χρήσης του κινητού, οι µαθητές θα µπορούσαν να οργανώσουν µια µικρή έρευνα όπως προτείνεται στο ακόλουθο ενδεικτικό ΦΕ. Φύλλο εργασίας Οι γονείς σου αποφάσισαν να σου αγοράσουν ένα κινητό τηλέφωνο και να διαθέσουν 20 ευρώ το µήνα για τη χρήση του. Η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας διαθέτει δυο προγράµµατα σύνδεσης σύµφωνα µε το επόµενο πίνακα Χρέωση Οµιλίας Γραπτά Μηνύµατα 12

11 3. Το κινητό τηλέφωνο: επιλογή οικονοµικού προγράµµατος σύνδεσης και εταιρίας 3.1. Προβληµατισµός: Όταν οι προσφορές των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας υπόσχονται όλο και περισσότερο δωρεάν χρόνο οµιλίας ή µικρότερα ποσά για το πάγιο του µηνιαίου λογαριασµού, είναι φανερό να διερωτάται κανείς για το είδος της επιλογής που πρέπει να κάνει µε σκοπό να πληρώνει όσο το δυνατό λιγότερα χρήµατα για να καλύψει τις συγκεκριµένες τηλεπικοινωνιακές του ανάγκες. Με ποιο τρόπο, λοιπόν, θα µπορούσε να επιλέξει το συµφερότερο πρόγραµµα σύνδεσης από τα προσφερόµενα; 3.2. Εµπλεκόµενα Μαθήµατα: Μαθηµατικά Πληροφορική 3.3. Διδακτικοί στόχοι: Χρήση γραφικών παραστάσεων γραµµικών συναρτήσεων για την ε- πίλυση πραγµατικών προβληµάτων. Ανάδειξη της χρησιµότητας αξιοποίησης των Νέων Τεχνολογιών στην διδακτική πράξη. Χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού και στοχευµένη αναζήτηση στο διαδίκτυο Εκτιµώµενη διάρκεια: 6-10 διδακτικές ώρες 3.5. Διεξαγωγή της δραστηριότητας: Α Φάση: Το θέµα και το πλαίσιο της δραστηριότητας Αρχικά ο καθηγητής ενηµερώνει τους µαθητές για τον προβληµατισµό της ερευνητικής δράσης που θα εκτελέσουν καθώς και για τον τρόπο και την προτεινόµενη µεθοδολογία που θα ακολουθήσουν στην διεκπεραίωση της. Συγκεκριµένα τους προτείνει την διερεύνηση του ακόλουθου προβλήµατος: 11

12 ώστε η προσφορά αυτή να συµφέρει το πρακτορείο και πόσοι για να συµφέρει τους µαθητές;» Προτείνεται στους µαθητές να ξεκινήσουν την διερεύνηση του προβλήµατος µε τον υπολογισµό του κόστους για µερικές συγκεκριµένες τιµές συµ- µετοχής π.χ. 100, 101, 102, 103,., 120, 150. Αναµένεται να συµπεράνουν από την µικρή διερεύνηση πού έκαναν ότι το κέρδος του πρακτορείου είναι κυµαινόµενο (δεν αυξάνεται ανάλογα µε τον αριθµό των µαθητών) και εποµένως απαιτείται µια πιο συστηµατική αντιµετώπιση του θέµατος. Στη συνέχεια αποφασίζουν να χρησιµοποιήσουν τις γνώσεις που απέκτησαν στα Μαθηµατικά (µελέτη πολυωνυµικής συνάρτησης β βαθµού, εύρεση ακροτάτων κ.πλ.) για να δηµιουργήσουν µια συνάρτηση του κόστους της εκδροµής σε συνάρτηση µε τον αριθµό των συµµετεχόντων µαθητών και σύµφωνα µε τους όρους της προσφοράς του πρακτορείου, την οποία θα διερευνήσουν ως προς τα ακρότατά της. Στο σηµείο αυτό θα ήταν σκόπιµο ο καθηγητής να προτείνει η διερεύνηση να γίνει από κάποιες οµάδες «παραδοσιακά» (δηλ. µόνο µε µολύβι και χαρτί) και από άλλες οµάδες µε την χρήση εκπαιδευτικού υλικού και στο τέλος, αφού παρουσιαστούν και οι δυο προσεγγίσεις του θέµατος να συγκριθούν τα αποτελέσµατα και να σχολιαστούν οι δύο µέθοδοι προσέγγισης. Μια ενδεχόµενη πορεία για την παρουσίαση και την διερεύνηση του προβληµατισµού της δραστηριότητας υποδεικνύεται στους µαθητές µέσω ενός φύλλου εργασίας. Φύλλο εργασίας ( πιθανόν σε µορφή Power Point) Στην περίπτωση που οι µαθητές δεν είναι εξοικειωµένοι µε την χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού προτείνεται εδώ να παρεµβληθεί η Β Φάση. Β Φάση: Παρουσίαση του εκπαιδευτικού λογισµικού Ακολουθεί µια σύντοµη παρουσίαση του εκπαιδευτικού λογισµικού Function Probe ή Sketchpad και επιχειρείται η εξοικείωση των µαθητών µε τις βασικές λειτουργίες του. 10

13 ται να διερευνηθεί το κέρδος του τουριστικού πρακτορείου ανάλογα µε τον αριθµό των συµµετεχόντων Εµπλεκόµενα Μαθήµατα: Μαθηµατικά Πληροφορική 2.3. Διδακτικοί στόχοι: Χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων δευτεροβάθµιας συνάρτησης (πίνακας τιµών, τύπος και γραφική παράσταση). Έννοια µέγιστης τιµής συνάρτησης. Ανάδειξη της χρησιµότητας αξιοποίησης των Νέων Τεχνολογιών στην διδακτική πράξη. Χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού για την πολλαπλή αναπαράσταση συνάρτησης Εκτιµώµενη διάρκεια: 3-8 διδακτικές ώρες 2.5. Διεξαγωγή της δραστηριότητας: Α Φάση: Το θέµα και το πλαίσιο της δραστηριότητας Αρχικά ο καθηγητής προτείνει στους µαθητές την διερεύνηση του ακόλουθου προβλήµατος: «Το σχολείο σας οργανώνει µια εκδροµή. Απευθύνεται σε ένα τουριστικό πρακτορείο για να πάρει προσφορά. Το πρακτορείο αρχικά σκόπευε να χρεώσει 150 για κάθε µαθητή. Δεδοµένου όµως ότι 100 µαθητές έχουν ήδη δηλώσει συµµετοχή στην εκδροµή προτίθεται να µειώσει το κόστος συµµετοχής όλων των µαθητών κατά 10 για κάθε επιπλέον µαθητή που συµµετέχει πέρα από τους πρώτους 100. Να διερευνήσετε πως διαµορφώνεται το κόστος της εκδροµής µετά την νέα αυτή προσφορά του τουριστικού πρακτορείου; Πόσοι µαθητές πρέπει να συµµετάσχουν στην εκδροµή 9

14 υλικό που θα µπορούσε να αποτελέσει αντικείµενο αξιολόγησης µε κριτήρια την σαφήνεια, την συλλογιστική ικανότητα, την ικανότητα συµπερασµού και την συλλογική συµµετοχή των µελών της οµάδας. Ε Φάση: Ζητείται από τους µαθητές να διατυπώσουν τα σχόλιά τους και τις παρατηρήσεις τους για την διαδικασία µαθηµατικο-ποίησης ενός πραγ- µατικού προβλήµατος και την συµβολή της χρήσης ενός εκπαιδευτικού λογισµικού στην διερεύνηση του προβλήµατος Οδηγίες προς τους καθηγητές: Στην Γ Φάση ο καθηγητής θα χωρίσει την τάξη σε οµάδες των 3-4 µαθητών φροντίζοντας σε κάθε οµάδα να υπάρχει 1 τουλάχιστον µαθητής εξοικειωµένος µε την χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού. Στο ερώτηµα 4 του ΦΕ, αφού οι µαθητές παρατηρήσουν από τον πίνακα ότι το εµβαδόν ελαττώνεται, αλλά κάποια στιγµή αρχίζει να αυξάνεται και εφόσον οι µαθητές δυσκολεύονται να εντοπίσουν την ελάχιστη τιµή θα πρέπει να τους προταθεί να χρησιµοποιήσουν την εντολή του FP «Ενδιάµεσο Γέµισµα». Επίσης για να δουν ποια ακριβώς τιµή του z δίνει το ελάχιστο εµβαδό θα πρέπει να ορίσουν στις «Ρυθµίσεις στήλης» τον αριθµό των δεκαδικών ψηφίων που τους επιτρέπει να βγάλουν ένα συµπέρασµα. 2. Η εκδροµή 2.1. Προβληµατισµός: Ένα σχολείο προγραµµατίζει µια εκδροµή και το τουριστικό πρακτορείο στο οποίο απευθύνεται κάνει αρχικά µια συγκεκρι- µένη προσφορά, αλλά στη συνέχεια προκειµένου να προσελκύσει περισσότερους µαθητές δήλωσε ότι θα µειώσει την τιµή κατά ένα ποσό, µε την προϋπόθεση οι συµµετέχοντες να ξεπερνούν έναν ορισµένο αριθµό. Ζητεί- 8

15 6. Το κατάστηµα για τις εκτυπώσεις διαθέτει ένα µηχάνηµα που µπορεί να κόβει το χαρτί µε ακρίβεια χιλιοστού. Να βρεθούν οι διαστάσεις του χαρτιού µε το ελάχιστο εµβαδό που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την παραγγελία. Αν το χαρτί που πρόκειται να χρησιµοποιηθεί κοστίζει 1,5 λεπτά το 1cm 2, πόσο θα πληρώσει η τάξη για κάθε πρόσκληση; 7. Εκτός από τις προσκλήσεις, η τάξη αποφάσισε να κολλήσει µια ανακοίνωση στον πίνακα ανακοινώσεων του σχολείου για να ενηµερωθούν για την εκδήλωση και οι υπόλοιποι µαθητές του σχολείου. Αυτή τη φορά, ό- µως, θέλει να µεγιστοποιήσει το εµβαδόν της, ώστε το περιεχόµενο της α- νακοίνωσης να διαβάζεται από απόσταση. Εξακολουθούν να ισχύουν οι υ- πόλοιποι περιορισµοί και επιπλέον, για λόγους αισθητικής αποφασίστηκε το µήκος και το πλάτος της ανακοίνωσης να µην διαφέρουν περισσότερο από 4 cm. Για να βοηθηθείτε δηµιουργήστε µια νέα στήλη στον πίνακα του FP που να δείχνει τη διαφορά των διαστάσεων της πρόσκλησης. Πώς ερµηνεύονται οι αρνητικές τιµές της στήλης αυτής. Δ Φάση: Ζητείται από τους µαθητές να αποτυπώσουν τις διερευνήσεις τους, τα αρχεία του FP µε τους πίνακες δεδοµένων και τα γραφήµατα και τα συµπεράσµατα τους σε ηλεκτρονική µορφή (π.χ. αρχεία Power Point), 7

16 λεπτά το 1 cm 2 να βρεθούν οι διαστάσεις του χαρτιού για την εκτύπωση µιας πρόσκλησης καθώς και το κόστος της. 1. Να σχεδιάσετε στο φύλλο εργασίας ένα σχήµα για την πρόσκληση και να µαθηµατικοποιήσετε το πρόβληµα επιλέγοντας µια µεταβλητή, π.χ. το πλάτος της εκτύπωσης έστω z και εκφράζοντας τα υπόλοιπα εµπλεκόµενα µεγέθη, µήκος εκτύπωσης, µήκος και πλάτος ολόκληρης της πρόσκλησης σε σχέση µε το «z». Μήκος εκτύπωσης: Μήκος πρόσκλησης:. Πλάτος πρόσκλησης: 2. Να κατασκευάσετε στο λογισµικό Function Probe έναν πίνακα µε τις α- κόλουθες στήλες: Πλάτος εκτύπωσης, Μήκος εκτύπωσης, Πλάτος πρόσκλησης, Μήκος πρόσκλησης, Εµβαδόν πρόσκλησης. Να συµπληρώσετε τουλάχιστον 20 τιµές σε κάθε στήλη. Επιλέξτε το κατάλληλο εύρος τι- µών για το «z». 3. Καθώς αυξάνονται οι τιµές στην στήλη «z», τι συµβαίνει στις τιµές κάθε µιας από τις άλλες στήλες; Υπάρχει ελάχιστη τιµή για το εµβαδόν της πρόσκλησης; Αν υπάρχει, υ- πολογίστε την και εξηγήστε µε ποιον τρόπο την βρήκατε. 5. Υπάρχει ελάχιστη τιµή για το εµβαδόν της πρόσκλησης; Να στείλετε τις στήλες : Πλάτος εκτύπωσης και Εµβαδόν πρόσκλησης στο παράθυρο Γράφηµα" του FP, προκειµένου να ελέγξετε την υπόθεσή σας. 6

17 1.4. Εκτιµώµενη διάρκεια: 4-8 διδακτικές ώρες 1.5. Διεξαγωγή της δραστηριότητας: Α Φάση: Η δραστηριότητα αρχίζει µε την ενηµέρωση των µαθητών από τον διδάσκοντα για τον τρόπο και την µεθοδολογία που θα ακολουθήσουν στην ερευνητική δράση που θα εκτελέσουν. Συγκεκριµένα τους παρουσιάζει την µαθηµατική µοντελοποίηση δηλαδή την µετάπλαση προβλη- µάτων από την καθηµερινή ζωή σε µαθηµατικά προβλήµατα και στη συνέχεια, µε την χρήση µαθηµατικών διαδικασιών και εννοιών, την επίλυση τους και συζητεί µαζί τους για τον ρόλο της στην προσέγγιση αφηρηµένων θεωρητικών εννοιών των Μαθηµατικών. Στην συνέχεια, ο διδάσκων συζητεί µε τους µαθητές για τα οφέλη αλλά και για τους πιθανούς κινδύνους από την χρήση των Νέων Τεχνολογιών στην διδασκαλία και προτείνει την χρήση συγκεκριµένων εκπαιδευτικών λογισµικών για την διεξαγωγή της δραστηριότητας. Β Φάση: Ακολουθεί µια σύντοµη παρουσίαση του εκπαιδευτικού λογισµικού Function Probe και επιχειρείται η εξοικείωση των µαθητών µε τις βασικές λειτουργίες του. Γ Φάση: Παρουσιάζεται στους µαθητές ο προβληµατισµός της δραστηριότητας και τους υποδεικνύεται µέσω ενός φύλλου εργασίας µια ενδεχόµενη πορεία για την διερεύνηση του προβληµατισµού. Φύλλο εργασίας Η τάξη σου διοργανώνει µια εκδήλωση και πρέπει να ετοιµάσει προσκλήσεις. Αποφασίστηκε η πρόσκληση να αποτελείται από 400 cm 2 τυπωµένο υλικό µε άνω και κάτω περιθώριο 3 cm και αριστερό και δεξί περιθώριο 2 cm. Επίσης, λόγω του κόστους του χαρτιού, οι προσκλήσεις πρέπει να τυπωθούν σε χαρτί µε ελάχιστη επιφάνεια(εµβαδόν). Αν το χαρτί κοστίζει 1,5 5

18 µετασχηµατισµών τους µε βάση την διδακτέα ύλη της Α Λυκείου. Οι δραστηριότητες αποτελούνται από: ΔΡΑΣΤΗΡΙOΤΗΤΕΣ 1. Η πρόσκληση 1.1. Σύντοµη περιγραφή: Οι µαθητές µιας τάξης του σχολείου διοργανώνουν µια εκδήλωση και πρέπει να ετοιµάσουν προσκλήσεις. Για το σχεδιασµό µιας πρόσκλησης θα χρησιµοποιηθεί χαρτί σε σχήµα παραλληλογράµµου. Λαµβάνοντας υπόψη ότι το εµβαδό του τυπωµένου µέρους της πρόσκλησης και τα περιθώρια εκτύπωσης είναι δεδοµένα, ζητείται να βρεθεί το ελάχιστο εµβαδό του χαρτιού που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για την πρόσκληση. Η πρόσκληση κατόπιν γίνεται ανακοίνωση και ζητείται να βρεθεί το µέγιστο εµβαδό του χαρτιού που θα χρησιµοποιηθεί ώστε να ισχύουν οι ίδιες προϋποθέσεις, αλλά και ένας επιπλέον περιορισµός για την αναλογία µήκους και πλάτους της ανακοίνωσης Εµπλεκόµενα Μαθήµατα: Μαθηµατικά Πληροφορική 1.3. Διδακτικοί στόχοι: Μελέτη µέγιστης και ελάχιστης τιµής µιας συνάρτησης µε τη βοήθεια του πίνακα τιµών και της γραφικής παράστασής της. Χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού Function Probe, αναζήτηση στο διαδίκτυο. 4

19 λογών και της παρέµβασης του καθηγητή, η οποία αποβλέπει να εντάξει σε κάποια οµάδα µαθητές που υποθέτει ότι κινδυνεύουν να µείνουν έξω από τις προτιµήσεις των συµµαθητών τους. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αν οι καθηγητές το κρίνουν σκόπιµο, µπορούν στο πλαίσιο κάθε νέας διάστασης να κάνουν και τις αναγκαίες αναδιοργανώσεις των οµάδων. Σε κάθε περίπτωση οι µαθητές του ίδιο θέµατος θα εργάζονται χωρισµένοι σε 5-7 µικρο-οµάδες και θα έχουν προγραµµατισµένες ώρες «ολοµέλειας», όπου θα γίνονται ανακοινώσεις, συγκρίσεις, αναλύσεις και συνθέσεις της τελικής εργασίας. Ο τρόπος παρουσίασης του έργου των µικρο-οµάδων και της συνολικής οµάδας ποικίλει ανάλογα µε τη φύση του έργου και περιλαµβάνει συνδυαστικά επιστηµονικές εκθέσεις, σχεδιαγράµµατα, γραφικές παραστάσεις και προσοµοιώσεις φαινοµένων µε χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού (π.χ. προβλήµατα διερεύνησης της καθηµερινής ζωής τα οποία επιλύονται µε τη βοήθεια συναρτήσεων που καλούνται οι µαθητές να κατασκευάσουν, ασκήσεις που προτείνουν στους µαθητές µέσα από συγκεκριµένες ερωτήσεις, να διερευνήσουν τον τύπο, τα χαρακτηριστικά µεγέθη (µονοτονία, ακρότατα, κτλ.) και τις παραµέτρους µιας συνάρτησης εκτελώντας µετασχηµατισµούς (µετατοπίσεις, ανοίγµατα, συµµετρίες κτλ.) στην γραφική της παράσταση. Οι προτεινόµενες δραστηριότητες εστιάζουν στην γραµµική συνάρτηση, το τριώνυµο και την αριθµητική πρόοδο (αφού αυτές είναι οι κύριες συναρτήσεις που διδάσκονται στην Α Λυκείου), αλλά επιδέχονται τροποποιήσεις και επεκτάσεις και µπορούν να αποτελέσουν «γεννήτριες» πολλών άλλων δραστηριοτήτων ανάλογα µε τους διδακτικούς στόχους του εκάστοτε διδάσκοντα. Function Probe, Sketchpad, Modellus), εισηγήσεις µε τη µορφή Powerpoint, έµπρακτες παρεµβάσεις στο χώρο του σχολείου και της τοπικής κοινότητας. Διεξαγωγή του Σχεδίου Εργασίας Το ΣΕ υλοποιείται µε την διεξαγωγή ενός συνόλου δραστηριοτήτων που αφορούν την διδασκαλία και µελέτη των συναρτήσεων, καθώς και των 3

20 Μαθηµατικά: Έννοια της συνάρτησης, γραφική παράσταση συνάρτησης, είδη συνάρτησης, µονοτονία και ακρότατα (Μαθηµατικά Α Λυκείου). Πληροφορική: Χρήση εκπαιδευτικού λογισµικού και αναζήτηση πληροφοριών στο διαδίκτυο. Προγραµµατική Συνάντηση Καθηγητών Οι εµπλεκόµενοι καθηγητές στην προγραµµατική τους συνάντηση αποφασίζουν ποιες δραστηριότητες από τις προτεινόµενες ή ποιο µέρος τους θα καλύψει ο καθένας. Επίσης, συναποφασίζουν ποια είναι τα κεντρικά ερωτήµατα που θα µελετήσουν στο πλαίσιο κάθε δραστηριότητας και πώς αυτά προωθούν την κεντρική ιδέα της µαθηµατικής µοντελοποίησης στην διδακτική πράξη. Εκτός από τους κατά κύριο λόγο εµπλεκόµενους καθηγητές, διευκρινίζεται ότι µπορεί να κληθούν να συµβάλουν, εκτός του καθιερωµένου τρίωρου των ΣΕ, στο πλαίσιο του δικού τους µαθήµατος και άλλοι καθηγητές, όπως για παράδειγµα, ο καθηγητής Πληροφορικής εκπαιδεύοντας τους µαθητές στην χρήση κατάλληλων εκπαιδευτικών λογισµικών. Επίσης, στο πλαίσιο της προγραµµατικής συνάντησης πρέπει να γίνει και κατανοµή του χρόνου, καθώς επίσης και καθορισµός της σειράς µε την οποία θα διεξαχθούν οι επιµέρους δραστηριότητες. Ενηµέρωση και Οργάνωση Μαθητικού Δυναµικού Κατά την πρώτη ώρα συνάντησης των καθηγητών µε τους είκοσι περίπου µαθητές, ενηµερώνονται οι τελευταίοι για το γενικό προγραµ- µατισµό που έχουν κάνει οι καθηγητές και διευκρινίζεται ότι είναι ενδεικτικός και ότι µπορεί να µεταβληθεί, ανάλογα µε την πορεία των εργασιών της οµάδας. Επίσης, στην πρώτη συνάντηση εξηγείται στους µαθητές ότι τα Σχέδια Εργασίας και οι διερευνήσεις αυτού του τύπου γίνονται συνήθως από µικρές οµάδες στενά συνεργαζόµενων µαθητών, όπως άλλωστε συµβαίνει και στον χώρο της επιστηµονικής έρευνας. Οι µαθητικές µικροοµάδες ενδείκνυται να είναι τριµελείς ή τετραµελείς και η κατανοµή των µαθητών σε αυτές αποτελεί συνήθως τη συνισταµένη των µαθητικών επι- 2

21 ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΕΤΡΕΣΚΟΥ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: 1 Διερεύνηση µαθηµατικών εννοιών µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων Ταυτότητα Σχεδίου Εργασίας Σκοπός: Το παρόν Σχεδίου Εργασίας έχει ως σκοπό του να βοηθήσει τους µαθητές να προσεγγίσουν θεωρητικές µαθηµατικές έννοιες µέσα από την προσπάθεια διερεύνησης προβληµάτων της καθηµερινής ζωής ή της ερµηνείας φυσικών φαινοµένων. Οι µαθητές καλούνται να µεταπλάσουν προβλήµατα από την καθηµερινή ζωή σε µαθηµατικά προβλήµατα (µαθηµατική µοντελοποίηση) και στη συνέχεια, µε την χρήση µαθηµατικών διαδικασιών και εννοιών, να τα επιλύσουν. Ταυτόχρονα, οι µαθητές ασκούνται στο να συνδέουν αφηρηµένες µαθηµατικές έννοιες µε φυσικά φαινόµενα ή συγκεκριµένες έννοιές του φυσικού κόσµου. Η διασύνδεση αυτή των αφηρηµένων µαθηµατικών εννοιών µε φυσικές έννοιες διευκολύνεται ιδιαίτερα από την χρήση των ΝΤ και συγκεκριµένα των εκπαιδευτικών λογισµικών και του διαδικτύου, γεγονός που αιτιολογεί την εκτεταµένη χρήση τους στη διάρκεια των προτεινόµενων δραστηριοτήτων. Κύριο Επιστηµονικό Πεδίο: Τεχνολογία Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Εµπλεκόµενα Μαθήµατα: 1 Υπόδειγμα με βάση το 4 ο Σχήμα 1

1 η υπό-ομάδα (Wind): Ισμαήλ Σερκάν Τσουλουχόπουλος Ιωάννης Φαρμακίδης Πασχάλης Τσακίρη Άννα Αριστινίδης Παύλος. 2 η υπό-ομάδα (Cosmote):

1 η υπό-ομάδα (Wind): Ισμαήλ Σερκάν Τσουλουχόπουλος Ιωάννης Φαρμακίδης Πασχάλης Τσακίρη Άννα Αριστινίδης Παύλος. 2 η υπό-ομάδα (Cosmote): 1 η υπό-ομάδα (Wind): Ισμαήλ Σερκάν Τσουλουχόπουλος Ιωάννης Φαρμακίδης Πασχάλης Τσακίρη Άννα Αριστινίδης Παύλος 2 η υπό-ομάδα (Cosmote): Αμυγδαλούδης Κωνσταντίνος Νερατζάκης Κωνσταντίνος Μποτούρ Μεμέτ

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα. Μαθηματικά. Άγγελος Μάρκος. Λέκτορας ΠΤΔΕ

Μοντέλα. Μαθηματικά. Άγγελος Μάρκος. Λέκτορας ΠΤΔΕ Μαθηματικά Μοντέλα Άγγελος Μάρκος Λέκτορας ΠΤΔΕ Ορισμός Μαθηματικό μοντέλο είναι η μαθηματική περιγραφή ενός φαινομένου. Τα ονομαζόμενα εφαρμοσμένα μαθηματικά έχουν ως άμεσο στόχο την αναζήτηση μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός

Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός Θέµα ιερεύνησης: Ο καιρός Αντικείµενο της συγκεκριµένης δραστηριότητας είναι η µεθοδική παρατήρηση των καιρικών συνθηκών για ένα σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα, η καταγραφή και οργάνωση των παρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com

ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com ΣΕΝΑΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΥΓΚΕΛΑΚΗΣ asygelakis@gmail.com Επιμόρφωση Β Επιπέδου Κλάδος: ΠΕ03 Περίοδος: Δεκέμβριος 2010 Ιούνιος 2011 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ 1. Τίτλος σεναρίου: Μελέτη της εκθετικής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ

Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 171 Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΩΝ ΑΘΗΝΩΝ Νίκος Καμπράνης Μαθηματικός, Επιμορφωτής νέων τεχνολογιών http://www.geocities.com/kampranis ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΑΞΗ:.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

Επίσκεψη στο ζωολογικό πάρκο

Επίσκεψη στο ζωολογικό πάρκο Επίσκεψη στο ζωολογικό πάρκο A visit to the zoo (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 1, Think Teen! A Γυμνασίου Αρχαρίων) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Βασικά θέματα Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Γ Φάσης) ΜΙΧΑΗΛ ΣΚΟΥΜΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ο καιρός» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαγγελματικές κάρτες

Επαγγελματικές κάρτες Επαγγελματικές κάρτες Αφροδίτη Οικονόμου Νηπιαγωγός afoikon@uth.gr Η παρουσίαση αναπτύχθηκε για την πλατφόρμα Ταξίδι στον γραμματισμό Θεματική: Τα επαγγέλματα των γονιών της τάξης μας ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Απάντηση ερωτήσεων σχετικά με την οργάνωση των Ερευνητικών Εργασιών στο Γενικό Λύκειο κατά το σχολικό έτος 2012-2013 ΛΑΜΙΑ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Αγαπητοί/ες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14 ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Νέες Τεχνολογίες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργασία στο Μαθήμα Σχεδίαση Εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους)

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) Όνομα Παιδιού: Ναταλία Ασιήκαλη ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ: Πως οι παράγοντες υλικό, μήκος και πάχος υλικού επηρεάζουν την αντίσταση και κατ επέκταση την ένταση του ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι

ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ. Γνωστικό αντικείμενο. Ταυτότητα. Α Λυκείου. Επίπεδο. Στόχος. Σχεδιασμός. Διδασκαλία. Πηγές και πόροι ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΕΝΑΡΙΑ Γνωστικό αντικείμενο Επίπεδο ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Ταυτότητα Στόχος Περιγραφή Προτεινόμενο ή υλοποιημένο Λογισμικό Λέξεις κλειδιά Δημιουργοί α) Γνώσεις για τον κόσμο: Οι δυνάμεις εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ

Φύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ Φύση και Μαθηματικά Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο ΓΕΛ Ξάνθης 2011 2012 Επιβλέποντες καθηγητές Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Φύση και Μαθηματικά 2 Τι είναι η χρυσή

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή»

«Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» «Οι γραφικές παραστάσεις απαραίτητο εργαλείο στη φαρέτρα του μαθητή» Αρδαβάνη Καλλιόπη 1, Μαργιόρα Φιλίππα 2, Μαυρουδής Σπύρος 3 1 Καθηγήτρια Μαθηματικών 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας, επιμορφώτρια Β επιπέδου popiardv@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίζω τον κανονισμό των μαθητικών κοινοτήτων

Γνωρίζω τον κανονισμό των μαθητικών κοινοτήτων Γνωρίζω τον κανονισμό των μαθητικών κοινοτήτων Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές, χωρισμένοι σε ομάδες εργασίας, καλούνται να μελετήσουν τον κανονισμό λειτουργίας των μαθητικών κοινοτήτων και να συμπληρώσουν

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο με το λογισμικό modellus Πηγή: http://www.dapontes.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=229&itemid=50 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Σενάριο με το λογισμικό modellus Πηγή: http://www.dapontes.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=229&itemid=50 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σενάριο με το λογισμικό modellus Τίτλος: Πότε δύο τρένα έχουν την ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους; Πηγή: http://www.dapontes.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=229&itemid=50 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε μια πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Ι. Εισαγωγή Το σενάριο είναι κατά βάση ένα σχέδιο μαθήματος, αυτό που πάντα έχει στο μυαλό του ο εκπαιδευτικός πριν μπει στην τάξη να διδάξει.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ [δύο (2) ώρες την εβδομάδα]

ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ [δύο (2) ώρες την εβδομάδα] ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ [δύο (2) ώρες την εβδομάδα] Εισαγωγικό σημείωμα Οι οδηγίες που ακολουθούν αναφέρονται στο μάθημα «Τεχνικό», που διδάσκεται στην Α τάξη ημερησίων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. και είναι μάθημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014»

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΕΚΕ 2013 2014» Γ Ε Ν Ι Κ Α Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Πρόγραμμα Διαγωνισμός : Καλλιέργεια Ερευνητικής και Καινοτομικής Κουλτούρας : Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Ηµεροµηνία ιδακτική Ώρα Τάξη/Τµήµα Αριθµός Μαθητών

Σχολείο Ηµεροµηνία ιδακτική Ώρα Τάξη/Τµήµα Αριθµός Μαθητών 2.2. Φόρµα Μαθήµατος 2 ης Τηλεδιάσκεψης Το νερό νεράκι Ερευνητικό εκπαιδευτικό πρόγραµµα εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης σε ηµοτικά Σχολεία της Ελλάδος και της Κύπρου ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΛΗΡΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΡΥΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον)

Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ με τη βοήθεια του λογισμικού Σ.Ε.Π. (Σύνθετο Εργαστηριακό Περιβάλλον) Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Νοέμβριος 2013 0 ΤΙΤΛΟΣ ΝΟΜΟΙ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΗ ΣΕ ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ

ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΗ ΣΕ ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ 2015 ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΗ ΣΕ ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ https://greece450bc.wordpress.com/ ΚΟΥΡΤΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ 2015 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Τίτλος ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Ως προς το γνωστικό αντικείµενο

Ως προς το γνωστικό αντικείµενο ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες ηµοτικού) τάξεις Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ηλεκτροµαγνητισµός (ηλεκτρισµός και µαγνήτες)» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Πολιτική Παιδεία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Β ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης

Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Εκπαιδευτική Αξιοποίηση Λογισμικού Γενικής Χρήσης Δρ. Χαράλαμπος Μουζάκης Διδάσκων Π.Δ.407/80 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Στόχοι ενότητας Το λογισμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Α τάξη Γενικού Λυκείου και Α τάξη Εσπερινού Γενικού Λυκείου Το Π.Σ. για το μάθημα της Λογοτεχνίας στην Α Λυκείου επιδιώκει να δώσει νέες κατευθύνσεις στη διδασκαλία της Λογοτεχνίας

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Σχεδίαση µικρών εξειδικευµένων προγραµµάτων, νόµοι κίνησης, Φύλλα εργασίας.

ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Σχεδίαση µικρών εξειδικευµένων προγραµµάτων, νόµοι κίνησης, Φύλλα εργασίας. Το «εικονικό εργαστήριο» για τη µελέτη των νόµων του Νεύτωνα σε τρία διαφορετικά περιβάλλοντα: Modellus, Interactive Physics, Microworlds Pro Ρόδος, 26 29 Σεπτεµβρίου 2002 Νίκος απόντες, Θανάσης Γεράγγελος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αγωγοί και µονωτές» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Ατμοσφαιρική ρύπανση: Η όξινη βροχή. Ηλικιακή ομάδα 9-12

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Ατμοσφαιρική ρύπανση: Η όξινη βροχή. Ηλικιακή ομάδα 9-12 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Ατμοσφαιρική ρύπανση: Η όξινη βροχή Ηλικιακή ομάδα 9-12 Φυσική καταστροφή, ηλικιακή ομάδα, γνωστικό αντικείμενο Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού ηλικίας 9-12 ετών (Δ, Ε,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Οµάδας Μεγάλων Οδηγών

Εκπαίδευση Οµάδας Μεγάλων Οδηγών Εκπαίδευση Οµάδας Μεγάλων Οδηγών Περιεχόµενα 1. Σκεπτικό εκπαίδευσης οµάδας ΜΟ 2. Περιγραφή 3. Ενδεικτικό ωρολόγιο πρόγραµµα 4. Εκπαιδευτική µεθοδολογία (µε βήµατα) 5. Θέµατα (στόχος, βήµατα) ΣΟ Υπευθυνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Επιμορφωτικό Σεμινάριο στις Ερευνητικές Εργασίες (Project) στην Α & Β Λυκείου. Σχολικό έτος 2012-2013

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Επιμορφωτικό Σεμινάριο στις Ερευνητικές Εργασίες (Project) στην Α & Β Λυκείου. Σχολικό έτος 2012-2013 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Επιμορφωτικό Σεμινάριο στις Ερευνητικές Εργασίες (Project) στην Α & Β Λυκείου Σχολικό έτος 2012-2013 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Ανάθεση Πρώτη για όλες τις ειδικότητες Διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΟΜΑΔΑ Ε ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ ΗΛΙΟΥΔΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΜΕΤΑΛΛΙΔΟΥ ΧΡΥΣΗ ΝΙΖΑΜΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΤΖΗΚΑΛΑΓΙΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΡΙΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Εισαγωγή Η μεγάλη ανάπτυξη και ο ρόλος που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Στόχοι Ο κύριος στόχος του μαθήματος είναι να βοηθήσει τους φοιτητές να αναπτύξουν πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ανθρωπογενές περιβάλλον» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Οι περιοχές που διερευνήθηκαν συστηματικά από τα σχολεία ήσαν οι ακόλουθες: Σχέσεις μεταξύ εκπαιδευτικών-μαθητών και μεταξύ μαθητών

Οι περιοχές που διερευνήθηκαν συστηματικά από τα σχολεία ήσαν οι ακόλουθες: Σχέσεις μεταξύ εκπαιδευτικών-μαθητών και μεταξύ μαθητών Ανάπτυξη µεθόδων και εργαλείων έρευνας Από τα σχολεία που συµµετείχαν στην ΑΕΕ: Οργάνωσε οµάδες εργασίας το 66% Αξιοποίησε σχετική βιβλιογραφία το 66% Συγκέντρωσε δεδοµένα από: τα αρχεία του σχολείου το

Διαβάστε περισσότερα