Fizika za studente RGN fakulteta

Transcript

1 Fizika za studente RGN fakulteta Željko Andreić c Sva autorska prava zadržavaju autor i RGNF. Dozvoljeno je preuzimanje i ispis za vlastite potrebe. Datum zadnje promjene: siječanj 14, 2016

2 Kazalo Kazalo Popis slika Popis tablica Popis simbola iii vii ix xi Predgovor 1 1 Uvod Fizikalne veličine i fizikalne jedinice Znanstveni (Scientific) brojčani zapis Vremenske jedinice Kutne jedinice Dimenzionalni račun Koordinatni sustavi Grafičko prikazivanje fizikalnih veličina Kinematika i dinamika materijalne točke Pravocrtno gibanje Inverzni problem u fizici Gibanje u više dimenzija Newtonovi aksiomi Impuls sile i količina gibanja Sila trenja Kosina i trenje na njoj Gibanje po krivulji Kružno gibanje Primjer Centripetalno ubrzanje Gibanje po krivulji proizvoljnog oblika Rad stalne sile Rad promjenjive sile Primjer: Opruga Snaga Kinetička energija i

3 ii KAZALO 3.8 Potencijalna energija Zakon sačuvanja mehaničke energije Primjer: Atwoodov stroj Sačuvanje mehaničke energije i trenje Primjer: Zaustavna rampa Potencijalna energija opruge Primjer: streličarski luk Mehanički strojevi Primjer: poluga Centar mase Centar mase fizikalnog tijela Površinska i linijska gustoća mase Primjer: Težište trokuta Primjer: Čamac na vodi Gibanje krutog tijela Kinetička energija rotacije Primjer: moment inercije štapa Teorem o paralelnim osima Moment sile Rotacijski rad i snaga Kinetička energija kotrljanja Kutna količina gibanja Precesija Rotacija i precesija Zemlje Coriolisov efekt Gravitacija Keplerovi zakoni Newtonov zakon gravitacije Primjer: gravitacija u svakodnevnom životu Sila teža Gravitacijska potencijalna energija Potencijalna energija sile teže Ravnoteža tijela i Statika Primjer: nošenje grede Titranja Uteg na opruzi Primjer Primjer Primjer Veza harmoničkog titranja i kružnog gibanja Energija harmoničkog titranja Njihala Matematičko njihalo

4 KAZALO iii Primjer Fizikalno njihalo Primjer Primjer Gušeno titranje Kritično gušenje Prisilna titranja Slaganje titranja Valovi Osnovna svojstva valova Primjer Zbrajanje valova Stojni valovi Primjer: stojni val na žici Primjer: udari Energija vala Prikazivanje valova Huygensov princip Širenje ravnog vala Odbijanje vala Lom vala Vrste valova Podjela valova po vrsti titranja Podjela valova po načinu širenja Podjela valova po načinu titranja Elektromagnetni valovi Optika Polarizacija svjetla Polarizacija refleksijom Polarizacija raspršenjem Polarizacija kristalima Depolarizacija Propusnost polarizatora Dva polarizatora u nizu Dvolom Prolazak polariziranog svjetla kroz kristale Literatura 121 Indeks 122

5 iv KAZALO

6 Popis slika 1.1 Desni i lijevi kartezijev koordinatni sustav Cilindrični koordinatni sustav Sferni koordinatni sustav Crtanje grafikona Crtanje grafikona Crtanje grafikona Crtanje grafikona Crtanje grafikona Ilustracija jednodimenzionalnog gibanja Grafički prikaz jednodimenzionalnog gibanja Grafički prikaz dvodimenzionalnog gibanja Grafički prikaz neke proizvoljne kratkotrajne sile Kako nastaje statička sila trenja Sila trenja Dinamička sila trenja Dinamička sila trenja kod kotrljanja Tijelo na kosini i sile koje na njega djeluju Kružno gibanje Ubrzanje kod kružnog gibanja Gibanje materijalne točke po krivulji Rad stalne sile Rad stalne sile Rad promjenjive sile Opruga Bacanje loptice u vis Atwood-ova mašina Rampa za zaustavljanje u nuždi Poluga i odnosi sila na njoj Površinska gustoća tijela Linijska gustoća tijela Računsko odredivanje koordinata težišta trokuta Geometrijsko odredivanje koordinata težišta trokuta Geometrijsko odredivanje koordinata težišta trokuta (2) Čamac kod pristajanja uz obalu Odmicanje čamca od obale v

7 vi POPIS SLIKA 5.1 Geometrija štapa, koji rotira Odredivanje momenta sile Promjena kutne količine gibanja Precesija Nošenje grede Uteg na opruzi Grafikoni gibanja utega na opruzi Shematski prikaz matematičkog njihala Shematski prikaz fizikalnog njihala Grafički prikaz gušenog titranja Grafički prikaz amplitude prisilnog titranja Matematičko njihalo može se njihati u dva smjera Lissajousove krivulje Valovi na vodi Presjek vala na vodi Trenutna slika vala Vremenska slika vala Zbroj dva vala u fazi Zbroj dva vala u protufazi Stojni val na žici Zbroj dva vala bliskih frekvencija Zbroj većeg broja valova bliskih frekvencija Pojam zrake i valne fronte Huygensova konstrukcija širenja valne fronte Huygensova konstrukcija širenja ravnog vala Odbijanje ravnog vala Lom ravnog vala Vrste polarizacije Polarizacija refleksijom Polarizacija raspršenjem Polarizator Propusnost polarizatora Dva polarizatora u nizu Dvolom u kristalu kalcita Pravilni kristal kalcita Prolaz svjetla kroz kristal kalcita Prolaz svjetla kroz kristal kalcita Huygensova konstrukcija širenja ravnog vala Huygensova konstrukcija širenja ravnog vala uz promjenjivu brzinu svjetla Grafički prikaz brzine svjetla u kristalu za normalnu zraku Grafički prikaz brzine svjetla u kristalu za anomalnu zraku Grafički prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake Grafički prikaz brzine svjetla u kristalu za obje zrake Grafički prikaz brzine svjetla u dvoosnom kristalu

8 POPIS SLIKA vii 10.18Prolazak polariziranog svjetla kroz kristal Pogled na pločicu dvolomnog kristala u smjeru prolaska svjetla Pogled na poluvalnu pločicu u smjeru prolaska svjetla Pogled na pločicu dvolomnog kristala u oćem slučaju

9 viii POPIS SLIKA

10 Popis tabela 1 Simboli fizikalnih veličina i konstanti xi 1.1 Medunarodni sustav jedinica Standardni prefiksi fizikalnih jedinica Vodostaj Save Tablica predenog puta Tablica predenog puta Podjela elektromagnetnih valova Brewsterov kut ix

11 x POPIS TABELA

12 Popis simbola Tablica 1: Simboli fizikalnih veličina i konstanti korišteni u ovoj knjizi. Treba obratiti pažnju na to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati različito značenje. simbol dimenzija opis. a,a ms 2 ubrzanje a m Bohr-ov polumjer atoma vodika A m 2 površina A V mol 1 Avogard-ov broj A 21, A 12, B 12 s 1 Einstein-ovi koeficijenti (atomska fizika) B, B T magnetsko polje b kgs 1 konstanta gušenja (mehanička) BF L m zadnja žarišna daljina (optika) c Jkg 1 specifični toplinski kapacitet c ms 1 brzina svjetla u vakuumu C C kapacitet (električni) C i s 1 Curie, stara jedinica za aktivnost kod radioaktivnog raspada C p Jmol 1 K 1 molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.) C s Wm 2 s 1 solarna konstanta, astronomija/geofizika C V Jmol 1 K 1 molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.) CM centar mase (oznaka) D 1 deformacija D m 1 jakost leće (dioptrija) (optika) xi

13 simbol dimenzija opis. e 1 prirodni broj, 2, e C pozitivni elementarni naboj η 1 efikasnost ev J nestandardna jedinica za energiju (atomska fizika) E S cd jakost izvora svjetlosti E J energija E 1 volumni modul stišljivosti E, E Vm 1 električno polje f Hz frekvencija f m žarišna daljina (optika) f p Hz frekvencija plazme (fizika plazme, geofizika) F, F N sila g, g ms 2 9,80665 ms 2, ubrzanje sile teže G Nm 2 kg 2 konstanta gravitacije, 6, Nm 2 kg 2 H Js 1 tok topline H m tlačna skala visine (atmosferska fizika) h Js Planck-ova konstanta I A električna struja I kgm 2 moment inercije I F Ns impuls sile J Acm 2 gustoća električne struje k N 1 konstanta opruge k F 1 m=nm 2 C 2 konstanta Coulomb-ovog zakona, 1/4πε k m 1 valni broj k B JK 1 Boltzmann-ova konstanta KE J kinetička energija l m duljina, udaljenost L, L kgm 2 rad s 1 kutna količina gibanja L H induktivitet xii

14 simbol dimenzija opis. m kg masa m 1 mehaničko pojačanje mašine m 1 povećanje (optika) m p kg masa protona m n kg masa neutrona m e kg masa elektrona M kg mol 1 molarna masa M 1,2, M 2,1 H koeficijenti meduinduktiviteta M, M Nm moment sile N mol količina tvari (u molovima) N s 1 broj okreta u jedinici vremena N Pa naprezanje N 1 ukupni broj zareza rešetke (optika) N, N N normalna komponenta sile n m 1 broj namotaja solenoida po jedinici dužine solenoida n 1 indeks loma tvari (optika) n 1 redni broj, red rešetke (optika) p Nm 2 tlak p, p kgms 1 količina gibanja p, p Cm dipolni moment (električni) P W snaga P E J potencijalna energija Q J količina topline1 q C električni naboj r, r m radijus-vektor, položaj r 1 omjer kompresije r 1 relativna vlažnost zraka (atmosferska fizika) R Jmol 1 K 1 univerzalna plinska konstanta R m polumjer zakrivljenosti sferne plohe (optika) R Ω električni otpor RKE J rotaciona kinetička energija xiii

15 simbol dimenzija opis. s m put s m konstanta rešetke (optika) S Pa smično naprezanje S JK 1 entropija S Wm 2 gustoća ozračenosti površine S Wm 2 Poynting-ov vektor t s vrijeme t 1/2 s vrijeme poluraspada (radioaktivnost) T K, C temperatura T s 1 period titranja (njihanja) T težište (oznaka) u kg atomska jedinica mase U (J) potencijal, potencijalna funkcija v, v ms 1 brzina v ms 1 brzina vala V m 3 volumen V V razlika električnog potencijala W J rad W>0 sila vrši rad, W<0 rad se vrši na sili W ev radna funkcija (atomska fizika) Y Pa Young-ov modul elastičnosti x, y, z m kartezijeve koordinate ρ, φ, z rad, rad, m cilindrične koordinate r, φ, ϑ m, rad, rad sferne koordinate xiv

16 simbol dimenzija opis. α rads 2 kutno ubrzanje α K 1, C 1 koeficijent toplinskog širenja α K 1, C 1 temperaturni koeficijent električne otpornosti α B rad Brewster-ov kut (optika) β K 1, C 1 volumni koeficijent toplinskog širenja γ 1 C p /C V δ 1 reducirana konstanta gušenja (mehanička) ε 1 emisivnost ε V elektromotorna sila κ Wm 1 K 1, Wm 1 C 1 koeficijent toplinske vodljivosti κ Nmrad 1 torziona konstanta opruge λ kgm 1 linijska gustoća tvari λ m valna duljina λ s 1 konstanta (radioaktivnog) raspada µ, µ Am 2 magnetski moment µ NA 2 magnetska permaebilnost vakuma µ r 1 relativna magnetska permaebilnost tvari π 1 pi, 3, ρ kgm 3 gustoća tvari ρ Ωm električna otpornost σ kgm 2 površinska gustoća tvari σ Cm 2 površinska gustoća naboja σ Sm 1 =Ω 1 m 1 vodljivost σ Wm 2 K 4 Stefan-Boltzmann-ova konstanta τ s 1 vremenska konstanta Φ Wb=Tm 2 tok magnetskog polja ϕ rad kut zaokreta (kutni put) ϕ rad početna faza ω rad s 1 kutna brzina, kružna frekvencija xv

17 Predgovor Ova knjiga pokriva osnove fizike u opsegu u kojem se one iznose u istoimenom kolegiju na Rudarsko-geološko-naftnom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu. Knjiga je strogo usmjerena na spomenuti predmet i potrebe tehničkih struka kojima je taj predmet namijenjen pa je težište stavljeno na preglednost i razumijevanje osnovnih teoretskih postavki fizike. Nadam se da je tako dobiven tekst koji će studentima biti pregledniji i lakši za upotrebu. 1

18 2 POPIS TABELA

19 Glava 1 Uvod 1.1 Fizikalne veličine i fizikalne jedinice Svijet oko nas prilično je složen. Da bismo si olakšali njegovo proučavanje, koristimo se pokusima i modelima. Pokus ili eksperiment je osnovni alat moderne fizike. Uz njegovu pomoć stječemo nova saznanja o svijetu oko nas, ali i provjeravamo ranije stečeno znanje. Pokus u svojoj biti pretstavlja namjerno izazivanje i praćenje nekog procesa u kontroliranim uvjetima. Pri tome se pokušava shvatiti o čemu ovisi odvijanje proučavanog procesa. Sastavni dio pokusa je točno mjerenje svih fizikalnih veličina koje u sklopu pokusa djeluju na njegov tok i rezultat. Pokus završava detaljnom analizom dobivenih rezultata, a rezultati analize ugraduju se u postojeća fizikalna saznanja. Vrlo često pokus se ponavlja u istom ili malo promijenjenom obliku sve dok fizičari nisu sasvim sigurni da potpuno razumiju odvijanje proučavane pojave. Prilikom analize izvršenih pokusa stvarna situacija se maksimalno pojednostavljuje i zamjenjuje pojednostavljenim fizikalnim modelom kojeg je lakše analizirati. Opis tako pojednostavljenog modela pretstavlja tzv. fizikalnu teoriju. Uspijeva li fizikalna teorija dobro opisati proučavanu pojavu ona se prihvaća i koristi. Teorije koje ne odgovaraju rezultatima pokusa modificiraju se ili u potpunosti odbacuju. Teorije koje se pokazuju ispravnima u svim mogućim situacijama nakon iscrpnih provjera i ponovljenih pokusa polagano prelaze u fizikalne zakone. Ovdje je važno napomenuti da fizikalni zakoni uglavnom nisu apsolutni, već vrijede unutar odredenih granica. Izvan tih granica oni se ne smiju koristiti jer njihova predvidanja ne odgovaraju stvarnosti. Fizikalni zakoni se radi potrebne preciznosti najčešće zapisuju jezikom matematike. Tako dobivamo fizikalne formule i relacije. U opisivanju fizikalnih modela i procesa služimo se različitim parametrima (varijablama), koje u fizici općenito nazivamo fizikalne veličine. Za razliku od matematičkih varijabli čija veličina je u danom slučaju potpuno odredena njihovom brojčanom vrijednošču, fizikalne veličine uz brojčanu vrijednost posjeduju i tzv. dimenziju. Tako je u matematici izrazom x = 5 (1.1) potpuno odredena vrijednost varijable x. Za razliku od toga, u fizici je uz brojčanu vrijednost potrebno navesti i dimenziju te veličine. Npr. pretstavlja li x udaljenost, pisat ćemo x = 5 m (1.2) 3

20 4 GLAVA 1: UVOD gdje nam standardna oznaka m govori da se radi o jedinici za dužinu, metru. Bez dimenzije fizikalna veličina nije potpuno odredena, pa ispravnom pisanju iznosa fizikalnih veličina treba obratiti posebnu pažnju. Fizika barata s vrlo velikim brojem različitih fizikalnih veličina, no pokazuje se da se dobar dio njih može izraziti kombinacijama nekoliko osnovnih veličina. Kroz povijest fizike skup osnovnih fizikalnih veličina stalno je nadopunjavan i mijenjan, a danas važeći skup naziva se medunarodni sustav jedinica, pokrata SI. On uz osnovne fizikalne veličine definira i jedinice u kojima se one mjere. Pregled fizikalnih veličina medunarodnog sustava jedinica dan je u tablici 1.1. osnovna veličina simbol jedinica kratica duljina l metar m vrijeme t sekunda s masa m kilogram kg temperatura T Kelvin K količina tvari N mol mol jakost el. struje I Amper A jakost izvora svjetla E S svijeća (kandela) cd kut radijan rad prostorni kut steradijan sr Tablica 1.1: Medunarodni sustav jedinica (SI). U prvom stupcu naveden je naziv osnovne fizikalne veličine. U drugom stupcu je oznaka koja se za tu veličinu najčešće koristi u fizikalnim formulama. U trećem stupcu je naziv osnovne jedinice koja se koristi za mjerenje te fizikalne veličine, a u četvrtom standardna kratica te jedinice koja se koristi u ispisu iznosa fizikalnih veličina. Definicije, odn. način odredivanja veličine osnovnih jedinica se napretkom mjerne tehnike stalno mijenjaju i nadopunjuju, pri čemu se stariji mjerni postupci zamjenjuju novijim i točnijim postupcima. O tome se brinu nacionalni i medunarodni specijalizirani laboratoriji, koji u medusobnoj suradnji odreduju i nadopunjavaju medunarodne standarde iz područja mjeriteljstva. U Hrvatskoj je ovaj posao povjeren Državnom zavodu za normizaciju i mjeriteljstvo. Fizikalne veličine koje se mogu izraziti kombinacijom osnovnih fizikalnih veličina nazivaju se izvedenim fizikalnim veličinama. Vrlo često se izvedene veličine prikazuju i kao kombinacije drugih izvedenih veličina, ako su one u čestoj upotrebi. Tako se npr. jedinica za silu, Newton (N), može izraziti kombinacijom osnovnih jedinica za masu, duljinu i vrijeme kao 1 N = 1 kg m s 2, jedinica za rad, Joule (J), kombinacijom istih osnovnih jedinica kao 1 J = 1 kg m 2 s 2, ali se vrlo često koristi i 1 J = 1 N m Znanstveni (Scientific) brojčani zapis Brojčani iznosi fizikalnih veličina često puta su jako veliki ili jako mali, pa je decimalni način njihovog prikazivanja nespretan. U fizici se zbog toga koristi modificirani eksponencijalni način zapisivanja brojčanih vrijednosti koji se u nekoliko detalja razlikuje od svoje strogo

21 1.1: FIZIKALNE VELIČINE I FIZIKALNE JEDINICE 5 matematičke inačice. Razlike ćemo najlakše pokazati na slijedećem primjeru: Srednja udaljenost Zemlje od Sunca iznosi m, a baratanje ovako napisanim brojem očito je nespretno. Isti taj broj prikazan pomoću eksponencijalne notacije izgleda ovako: 1, m. Fizičar pak koristi ovu inačicu eksponencijalne notacije: 1, m. Pravila pisanja su pri tome slijedeća: mantisa se piše tako da uvijek ima jedno cijelo brojčano mjesto čija je znamenka različita od 0, i potreban broj decimala iza njega. (to drugim riječima znači da je vrijednost mantise izmedu 1 i 9,99...). broj decimala ukazuje na točnost kojom je napisani broj poznat. Tu je glavna razlika prema matematičkom zapisu. U matematici naime vrijedi 1,5=1,500 i nule na kraju se ispuštaju. U fizici broj 1,5 znači da je vrijednost koju prikazujemo izmedu 1,45 i 1,54 a vrijednost 1,500 da je stvarna vrijednost izmedu 1,4995 i 1,5004! u pravilu se krajnji rezultat izražava s dva decimalna mjesta, ako nije drugačije zatraženo. Nekad se standardno i cijeli računski postupak radio sa dvije decimale, no kako se danas numeričko računanje obavlja pomoću kalkulatora ili računala, u računskom postupku treba koristiti sve raspoložive decimale, a zaokruživanje obaviti na krajnjem rezultatu da se izbjegnu greške zaokruživanja. To se posebno odnosi na slučajeve kada u račun ulaze logaritamske, eksponencijalne ili trigonometrijske funkcije. Znanstveni brojčani zapis izuzetno je koristan kod računanja. Zato je prije svakog uvrštavanja brojčanih vrijednosti u fizikalne formule potrebno te vrijednosti prikazati u ovom brojčanom zapisu. Kod prikazivanja brojčanih vrijednosti u tekstu, tablicama ili grafikonima, radi preglednosti i bolje razumljivosti se umjesto znanstvenog brojčanog zapisa koriste tzv. prefiksi. Prefiksi su standarde pokrate (simboli) koji nam govore kojom potencijom broja 10 trebamo pomnožiti brojčanu vrijednost da bismo dobili njenu pravu vrijednost. Prefiks se piše ispred oznake (simbola) fizikalne jedinice koja pripada toj brojčanoj vrijednosti. Primjer: kj = 10 3 J pa je 2,83 kj = 2, J = 2830 J Prefiksi u pravilu rastu ili padaju sa faktorom Izuzetak su prefiksi koji odgovaraju faktorima 10 i 100, odnosno 0,1 i 0,01 jer se oni vrlo često koriste u svakodnevnom životu. Pravilo prikazivanja brojčane vrijednosti ovdje je malo drugačije: mantisa treba biti u rasponu od 1 do 999,999 s potrebnim brojem decimalnih mjesta, iza čega slijedi fizikalna jedinica s odgovarajućim prefiksom. Ako je neku vrijednost prikazanu na ovaj način potrebno uvrštavati u neku formulu, mora se ona prije toga prikazati odgovarajućim znanstvenim brojčanim zapisom, jer su sve fizikane formule u svom osnovnom obliku uskladene s medunarodnim sustavom jedinica. U tehnici se često puta koriste formule prilagodene direktnom unosu veličina izraženih u jedinicama s prefiksom ili čak u nestandardnim jedinicama, no to mora biti posebno naglašeno u objašnjenju takove formule. Tada se mora postupati po uputama koje uz tu formulu idu.

22 6 GLAVA 1: UVOD prefiks simbol multiplikator egza E peta P tera T giga G 10 9 mega M 10 6 kilo k 10 3 hekto h 10 2 deka da 10 1 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3 mikro µ 10 6 nano n 10 9 piko p femto f Tablica 1.2: Standardni prefiksi fizikalnih jedinica. U prvom stupcu naveden je naziv prefiksa, u drugom je simbol koji se za taj prefiks koristi, a u trećem stupcu je multiplikator (faktor) kojim se množi vrijednost jedinice na koju se prefiks odnosi Vremenske jedinice Osnovna jedinica za vrijeme je sekunda (s). Nažalost, veće jedinice koje se nalaze u svakodnevnoj upotrebi (minuta, sat, dan, godina) nisu dekadske pa je pretvaranje izmedu njih izvor čestih pogrešaka. Ovdje je najpametnije prije ulaženja u bilo kakav račun sve svesti na osnovnu jedinicu, sekundu, i njene decimalne dijelove. Npr. ako je neki vremenski period izmjeren kao 3 sata 5 minuta 11 sekundi i 6 desetinki, pretvorimo ga u sekunde na slijedeći način: 3 h 5 m 11, 6 s = , 6 = 11111, 6 s (1.3) Kutne jedinice U fizici je, jednako kao i u matematici, osnovna jedinica za kut radijan. Pri tome je kut od jednog radijana definiran kao kut kod kojeg je pripadajući kružni luk jednak polumjeru kružnice na kojoj se taj luk nalazi. Iz toga proizlazi da puni krug zatvara kut od 2π radijana, pravi kut ima π/2 radijana, itd. U slučaju da se ipak koriste stupnjevi, minute i sekunde, pretvara se sve u stupnjeve i njihove decimalne dijelove na sličan način kao i kod vremenskih jedinica, pa se u račun ulazi sa stupnjevima i njihovim decimalnim dijelovima. Pretvorba stupnjeva u radijane bazira se na činjenici da puni kut ima 2π radijana, pa je dakle:

23 1.1: FIZIKALNE VELIČINE I FIZIKALNE JEDINICE 7 i obratno 2π rad = rad = 180 = 57, (1.4) π 1 = π rad = 0, rad (1.5) 180 Kod korištenja radijana treba obratiti pažnju na nekoliko stvari: kao prvo, kutevi izraženi u radijanima obično su iracionalni brojevi (npr. pravi kut je π/2 = 1, rad). Drugo, radijan je prilično velika jedinica, pa je radi zadržavanja potrebne točnosti potrebno koristiti barem 5 decimalnih mjesta. I na kraju, kod svodenja na osnovni interval treba koristiti punu preciznost kalkulatora ili računala a ne uobičajenu približnu vrijednost broja π zaokruženu na samo dvije decimale! Dimenzionalni račun U fizikalne formule ulaze kompletne fizikalne veličine, dakle njihova brojčana vrijednost zajedno s njihovom fizikalnom dimenzijom. Strogo gledano, fizikalni račun provodi se i s brojčanim vrijednostima i njihovim dimenzijama, pri čemu se na dimenzije primijenjuju pravila računanja s općim brojevima. Nažalost u postupku računanja se prečesto dimenzije ispuštaju da bi račun bio brži i pregledniji, no to sa sobom nosi opasnost od pogrešaka u dimenzijama rezultata. Dobro je stoga, pogotvo u procesu učenja i vježbanja, račun provoditi kompletno, dakle i s dimenzijama pojedinih veličina koje u taj račun ulaze. Pri tome moramo voditi računa o tome da dimenzija lijeve i desne strane bilo koje fizikalne jednadžbe mora biti jednaka. Izade li u računu drugačije, to je jasna indikacija da je u njemu nešto pogrešno napravljeno. Primjerice, ako se neko tijelo 5 sekundi giba konstantnom brzinom od 3 metra u sekundi, podaci za računanje prevaljenog puta su slijedeći: a put računamo po dobro poznatoj formuli Uvrštavanjem poznatih podataka prvo dobijamo t = 5s v = 3ms 1 (1.6) s = vt (1.7) s = 5s 3ms 1 (1.8) radi lakšeg računanja prvo odvojeno grupiramo brojeve i dimenzije: s = 5 3s ms 1 (1.9) i onda posebno izračunamo brojčanu vrijednost a posebno rezultirajuću dimenziju rezultata: s = 15m (1.10) Vidimo da je račun dao ispravnu dimenziju puta, metre. Da nije tako, znali bismo da smo u računu pogriješili, ili da smo uzeli krive dimenzije ulaznih podataka. Računanje s dimenzijama posebno je važno ako u formulu uvrštavamo vrijednosti koje nisu izražene

24 8 GLAVA 1: UVOD u osnovnim jedinicama, već se koriste jedinice s prefiksima. Zato je znatno bolje prije samog računa iznos svih ulaznih podataka pretvoriti u osnovne jedinice, jer onda znamo da i dimenzija rezultata mora biti u osnovnim jedinicama, što smanjuje mogućnost pogreške u računu. Ako je rezultat pri tome vrlo velik ili vrlo malen, nakon završenog računa opet ga možemo izraziti u prikladnoj izvedenoj jedinici. 1.2 Koordinatni sustavi Jedan od najvažnijih podataka o fizikalnom objektu (objektima) kojeg proučavamo je njegov položaj u prostoru. Da bismo ga točno i jednostavno definirali, koristimo se koordinatnim sustavima koji su uglavnom istovjetni onima koji se koriste u matematici. No, u fizici su dogovorno uvedena odredena ograničenja na izgled i vrstu koordinatnih sustava koji se koriste i o tim ograničenjima treba itekako voditi računa. Osnovni i najčešće korišteni koordinatni sustav je pravokutni kartezijev sustav. Kako izgled i odvijanje fizikane pojave ne može ovisiti o koordinatnom sustavu (barem u slučaju kad on miruje, o gibajućin koordinatnim sustavima bit će riječi kasnije) položaj njegovog ishodišta i smjer koordinatnih osi biramo onako kako nam u danoj situaciji najbolje odgovara. Tu medutim moramo paziti na sljedeće pravilo: fizikalni koordinatni sustavi uvijek su desni! Desni koordinatni sustav je onaj kod kojeg desni vijak koji stoji u smjeru z osi napreduje u +z smjeru kad se zakreće od +x-osi prema +y-osi. Kako je desni vijak neki puta dosta teško zamisliti, koristimo se pravilom desne ruke: ako ispružene prste desne šake postavimo u smjer +x osi, pa nakon toga prste najkraćim putem savinemo prema +y osi, ispruženi palac pokazuje smjer +z osi. Ovo pravilo od velike je pomoći pri postavljanju i analizi najrazličitijih fizikalnih problema pa ga je potrebno dobro usvojiti. U matematici postoje i lijevi koordinatni sustavi, a to su oni koji ne poštuju gornje pravilo. Njihova upotreba u fizici bi dovela do promjene predznaka nekih fizikalnih jednadžbi, što bi unijelo priličnu zbrku i nesigurnost u računu, pa se zbog toga lijevi sustavi ne koriste. z z y x x y Slika 1.1: Desni kartezijev koordinatni sustav kakav se koristi u fizici (lijevo) i primjer lijevog koordinatnog sustava (desno).

25 1.2: KOORDINATNI SUSTAVI 9 Kad se u proučavanju nekog problema susretnemo s rotacijskom simetrijom, možemo iskoristiti tu simetriju da pojednostavimo fizikalne formule. Kod toga se prelazi u cilindrični koordinatni sustav kod kojeg su koordinate definirane na slijedeći način: z koordinata ostaje z koordinata udaljenost točke od z-osi naziva se polumjer i označava simbolom ρ kut izmedu projekcije polumjera na x-y ravninu i +x osi, mjeren u pozitivnom smjeru, označava se simbolom ϕ Primijetite da u dvije dimenzije (kad nema koordinate z!) ovaj sustav prelazi u polarni koordinatni sustav u ravnini. z ρ ϕ y x Slika 1.2: Cilindrični koordinatni sustav i njegova veza s kartezijevim koordinatnim sustavom. Prelazak iz kartezijevog u cilindrični koordinatni sustav: ρ = x 2 + y 2 ϕ = arctan y x z = z (1.11) Ovdje je potrebno odrediti kvadrant u kojem se kut ϕ nalazi. Sama funkcija arkus tangens ovdje nije dovoljna jer je njezina periodičnost π a ne 2π. To radimo uz pomoć predznaka funkcija sin x i cos x. Obrnuti prijelaz nešto je jednostavniji i odvija se uz pomoć sljedećih formula: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z (1.12) Kad fizikalni problem posjeduje sfernu simetriju (objekti oblika kugle i sl.), koristi se sferni koordinatni sustav. Kod sfernog koordinatnog sustava koordinate su definirane na sljedeći način:

26 10 GLAVA 1: UVOD z θ r ϕ y x Slika 1.3: Sferni koordinatni sustav i njegova veza s kartezijevim koordinatnim sustavom. udaljenost od ishodišta do točke čije koordinate odredujemo naziva se polumjer i odgovara duljini radijus-vektora te točke. Označava se oznakom r. Kut koji polumjer zatvara sa +z koordinatnom osi označava se oznakom ϑ. kut izmedu projekcije polumjera na x-y ravninu i +x osi, mjeren u pozitivnom smjeru, označava se simbolom ϕ Za prelazak iz kartezijevog u sferni koordinatni sustav koristimo sljedeće formule: r = x 2 + y 2 + z 2 ϑ = arctan x 2 +y 2 z (1.13) ϕ = arctan y x a za prelazak iz sfernog u kartezijev koordinatni sustav sljedeće formule: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ (1.14) Primjer ovakvog koordinatnog sustava je zemljopisni koordinatni sustav, ali uz male razlike o kojima treba voditi računa: kut ϕ naziva se zemljopisna dužina i mjeri se od početnog (tzv. nultog) meridijana od 0 do 180 u smjeru istoka (E) i od 0 do 180 u smjeru zapada (W). Umjesto oznaka strana svijeta vrlo često koriste se predznaci + i -, pri čemu predznak + odgovara zapadnim zemljopisnim dužinama, a predznak - istočnim. Kut ϑ naziva se zemljopisna širina i mjeri se od x-y ravnine (koja se podudara sa zemljinim ekvatorom) od 0 do 90 u smjeru sjevera (N) i od 0 do 90 u smjeru juga (S). Umjesto oznaka strana svijeta vrlo često koriste se predznaci + i -, pri čemu predznak + odgovara sjevernim zemljopisnim širinama, a predznak - južnim.

27 1.3: GRAFIČKO PRIKAZIVANJE FIZIKALNIH VELIČINA 11 udaljenost r najčešće se ne koristi jer su za položaj na zemljinoj površini dovoljne samo dvije koordinate, zemljopisna širina i zemljopisna dužina. Ako je ipak potrebno poznavanje udaljenosti r, ona se naziva nadmorska visina i mjeri se od tzv. srednjeg geoida koji odgovara otprilike morskoj površini, a ne od središta zemljine kugle. formule pretvorbe iz kartezijevog koordinatnog sustava u zemljopisni prilagodene su gornjim definicijama koordinata i razlikuju se od gore navedenih formula koje vrijede za standardizirani sferni koordinatni sustav. 1.3 Grafičko prikazivanje fizikalnih veličina Rezultati proučanja fizikalnog modela neke pojave ili procesa uglavnom su brojačane vrijednosti parametara koji ga opisuju, često izražene kao funkcije vremena. U prvom koraku te se vrijednosti mogu tabelirati. Npr. zamislimo si da smo pratili vodostaj rijeke Save kod Zagreba i pri tome smo u više ili manje pravilnim vremenskim razmacima zabilježili njegov iznos. Rezultat takvog postupka možemo staviti u tablicu: t [dani] h(t) [cm] Tablica 1.3: Vodostaj Save mjeren uvijek u isto vrijeme dana. Da bi se oznake fizikalnih jedinica razlikovale od oznaka funkcionalnih ovisnosti i sl. obično se stavljaju u uglate zagrade. Tako je npr. u drugom stupcu odmah jasno da je h funkcija vremena t, te da je u tablici vrijednost varijable h izražena u centimetrima [cm]. Iako ova tablica sadrži sve informacije koje nas zanimaju, ona je nepregledna. Ljudski mozak puno lakše se snalazi sa slikama nego s tablicama brojeva. Zbog toga se fizikalni podaci najčešće prikazuju grafički, počevši od jednostavnih skica, preko grafikona pa do vrlo složenih slika ili slikama sličnim načinima prikazivanja (npr. slike u lažnim bojama i sl.). Mi ćemo se ovdje zadržati na jednostavnim grafikonima. Grafikon, ili graf kako se često puta skračeno naziva, u svom osnovnom obliku je kartezijev sustav u ravnini. Pri tome se x-os postavlja horizontalno (ide po širini papira na kojem crtamo graf) i naziva se os apscisa, a y-os se postavlja vertikalno i naziva se os ordinata. Prije početka crtanja osi grafikona moramo odlučiti kako velik će taj grafikon biti, uključujući i dodatni prostor izvan samih osi potreban za njihove naslove i brojčane podjele na njima. Uzmimo na primjer da je raspoloživ prostor prikazan okvirom na slici 1.4. Ako radimo na papiru velićine A4, dobra početna veličina prostora za grafikon je 18 cm širine i 15 cm visine.

28 12 GLAVA 1: UVOD prostor za graf papir Slika 1.4: Prostor koji smo izabrali za grafikon na listu papira označen je okvirom. Grafikon ipak ima jednu specifičnost po kojoj se razlikuje od kartezijevog koordinatnog sustava: veličina podjele na osi apscisa ne mora biti (najčešće ni nije!) jednaka veličini podjele osi ordinata. Uz to, kako se na osi nanose vrijednosti fizikalnih veličina, podjele osi imaju i svoje dimenzije koje su obično različite za os ordinata i za os apscisa. Dogovorno se os apscisa pridružuje nezavisnoj fizikalnoj veličini (onoj o kojoj promatrani proces ovisi), a os ordinata zavisnoj fizikalnoj veličini. U našem primjeru nezavisna fizikalna veličina je vrijeme, koje u ovom slučaju mjerimo u danima, a zavisna fizikalna veličina je vodostaj. Kad smo dakle odredili ukupnu veličinu grafikona, ostavimo prostor za oznake na osima i za naslove osi (u našem primjeru po 2 cm ispod osi apscisa i lijevo od osi ordinata, te 1 cm ispod vrha okvira za naslov grafikona, pa ucrtamo same osi (slika 1.5). Druga posebnost grafikona je da se osi ne moraju sijeći u ishodištu. Naime, da se optimalno iskoristi raspoloživi prostor grafikona, na osi se nanosi samo interval vrijednosti unutar kojeg se nalaze sve opažene vrijednosti pripadajuće fizikalne varijable. Tako u našem slučaju os apscisa treba prikazati samo interval od 1 do 8 dana, a os ordinata vrijednosti vodostaja od 128 do 201 cm. Pri tome se pazi da su vrijednosti na osima zaokružene (obratite pažnju na to da mnogo računalnih programa prilikom grafičkog prikaza ne poštuje ovo pravilo. Takvi su programi neupotrebivi za ozbiljan rad!). Tako bismo u slučaju osi ordinata interval postavili od 120 do 220 cm. Nadalje, kod odredivanja glavnih podjela (brojčanih oznaka) na osima vodimo računa o tome da ih ne bude previše jer je tada grafikon nepregledan. U pravilu se za označavanje brojčanih vrijednosti na osima koriste okrugli brojevi a ukupan broj podjela se kreće izmedu 5 i 10 (slika 1.6). Želi li se omogućiti precizno ucrtavanje podataka i njihovo kasnije očitavanje sa grafikona, grafikon se crta na milimetarskom papiru. U idućem koraku u grafikon ucrtavamo podatke (u našem primjeru one iz tablice 1.3). Svaki podatak označimo točkom čiji položaj na grafikonu odgovara njenim koordinatama (vrijednostima apscise i ordinate). Ovo ucrtavanje mora se napraviti precizno (slika 1.7). Na kraju se sve točke povežu linijama kako bi se naznačio njihov slijed u grafikonu. Slijede li točke neku krivulju, točke ne spajamo ravnim crtama nego pokušavamo što točnije slijediti oblik te krivulje. U najjednostavnijem slučaju to se radi prostoručno, ali se bolja točnost postiže korištenjem krivuljara. Ako se grafikon crta pomoću računala te ako znamo

29 1.3: GRAFIČKO PRIKAZIVANJE FIZIKALNIH VELIČINA 13 naslov (ime) grafikona oznake podjela i naslov osi os ordinata os apscisa oznake podjela i naslov osi Slika 1.5: Osi na grafikon ucrtamo tako da ostane dovoljno mjesta za brojčane oznake na njima i za njihove naslove. Naslov (ime) cijelog grafikona dolazi obično ispod gonjeg ruba raspoloživog prostora. funkcionalni oblik krivulje može se taj oblik krivulje pripasati na podatke u grafikonu (pripasivanje, od engleskog termina za ovaj postupak: fitting ). Završen grafikon iz našeg primjera prikazan je na slici 1.8.

30 14 GLAVA 1: UVOD Vodostaj Save kod Zagreba 200 vodostaj (cm) proteklo vrijeme (dani) Slika 1.6: Označavanje brojčanih vrijednosti na osima i upisivanje naziva osi. Vodostaj Save kod Zagreba 200 vodostaj (cm) proteklo vrijeme (dani) Slika 1.7: U slijedećem koraku u graf se ucrtavaju podaci, najčešće kao točke na odgovarajućim koordinatama u njemu.

31 1.3: GRAFIČKO PRIKAZIVANJE FIZIKALNIH VELIČINA 15 Vodostaj Save kod Zagreba 200 vodostaj (cm) proteklo vrijeme (dani) Slika 1.8: Završeni grafkon. Vremenski slijed točaka učinjen je vidljivijim tako da su točke medusobno povezane tankim ravnim crtama.

32 16 GLAVA 1: UVOD

33 Glava 2 Kinematika i dinamika materijalne točke Materijalna točka najjednostavniji je fizikalni model stvarnog tijela. Ovaj model zanemaruje veličinu i oblik tijela i uzima da je cijelo tijelo sažeto u točku bez dimenzija. No, za razliku od matematičke točke, materijalna točka zadržava fizikalna svojstva tijela (masu, naboj i sl.). Kad proučavamo gibanje materijalne točke uzimamo da je ukupna masa tijela sažeta u nju što znatno pojednostavljuje matematički aparat potreban za praćenje tog gibanja. Pri tome se unutar kinematike bavimo zakonitostima tog gibanja ne istražujući njegove uzroke, a unutar dinamike proučavamo prvenstveno uzroke gibanja (sile) i njihovo djelovanje na svijet oko nas. 2.1 Pravocrtno gibanje Zasmislimo si pješaka koji šeće nekom gradskom ulicom. Uz pomoć sata lako možemo odrediti vrijeme proteklo od početka naše šetnje a pomoću plana grada ili nekog mjernog uredaja zabilježiti i naš trenutni položaj. Npr. nakon 18 minuta šetnje prevalili smo put od 1360 m. Pri tome već intuitivno radimo pojednostavljenje o kojem smo govorili u prethodnom poglavlju: zanemarujemo našu veličinu i oblik, a naš položaj odredujemo kao da se radi o materijalnoj točki. O x(t 1 ) x(t 2 ) x(t 3 )... x(t n ) x Slika 2.1: Ilustracija jednodimenzionalnog gibanja. Ponavljanjem mjerenja dobit ćemo tablicu koja nam opisuje kako naš položaj ovisi o vremenu (2.1). 17

34 18 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE t [min] x(t) [m] Tablica 2.1: Tablica predenog puta u ovisnosti o vremenu kod jednodimenzionalnog gibanja. t predstavlja vrijeme proteklo od početka šetnje, a x(t) položaj šetača u tom trenutku. U uglatim zagradama su mjerne jedinice u kojima su izraženi podaci u tablici. S ozirom na to da je kod mjerenja kao jednica za mjerenje vremena korištena minuta, u prvom koraku tablicu prepišemo tako da vrijeme izrazimo u njegovim osnovnim jedinicama, sekundama: t [s] x(t) [m] Tablica 2.2: Prepisana tablica sa vremenom u osnovnim jedinicama: sekundama. Ova tablica već sadrži sve podatke koji su nam potrebni za analizu gibanja, ali je mnogo bolje podatke iz tablice prikazati grafički. Pri tome vrijeme kao nezavisnu veličinu nanosimo na os apscisa a prijedeni put na os ordinata. Tako dobiven graf prikazan je na slici 2.2. Posvetimo sad malo pažnje ovom grafikonu. On pokazuje kako prevaljeni put ovisi o vremenu. Prva stvar koju možemo napraviti je da izračunamo brzinu hodanja. Brzina se definira kao promjena puta u vremenu, dakle v = x t gdje je x put koji je prevaljen u odgovarajućem vremenskom intervalu t. Pri tome je (2.1) x = x(t 2 ) x(t 1 ) (2.2) odnosno t = t 2 t 1 (2.3)

35 2.1: PRAVOCRTNO GIBANJE s (m) t (s) Slika 2.2: Grafički prikaz jednodimenzionalnog gibanja. gdje t 1 označava početak a t 2 kraj vremenskog intervala. Ovako izračunata brzina naziva se srednja brzina u vremenskom intervalu t. U našem primjeru srednja brzina pješaka je: v = m s = 1, 31 ms 1 (2.4) Primijetite da smo u računu radi preglednosti odvojili brojčane vrijednosti i njihove jedinice, ali je račun proveden kompletno, s brojčanim vrijednostima i njihovim jedinicama, a tako je zapisan i krajnji rezultat. U postupku rješavanja fizikalnih jednadžbi vrlo često se jedinice izuzimaju iz računa a krajnjem rezultatu se pripisuje njegova ispravna fizikalna dimenzija. No, to podrazumijeva da su u jednadžbe uvrštavane brojčane vrijednosti varijabli izražene u njihovim osnovnim jedinicama! Koncept srednje brzine vrlo je koristan i često se koristi u jednostavnijim razmatranjima. No, pri rješavanju fizikalnih problema on najčešće nije dovoljan, već se mora koristiti trenutna brzina, tj. trenutni iznos brzine u nekom vremenskom trenutku t. Trenutnu brzinu možemo naći tako da smanjujemo vremenski interval za koji računamo srednju brzinu. Što je taj interval manji, srednja je brzina bliža trenutnoj, ali je (s praktične strane!) potrebno točnije mjeriti i položaj i vrijeme. Kad vremenski interval postane beskonačno malen, srednja brzina postaje jednaka trenutnoj, a matematički se taj proces opisuje postupkom nalaženja granične vrijednosti (limesa) srednje brzine: x v(t) = lim t 0 t (2.5) Trenutna brzina mijenja se iz trenutka u tren pa kažemo da je brzina funkcija vremena. Kako je i prevaljeni put očito funkcija vremena, gornja jednadžba svodi se na derivaciju: v(t) = dx(t) dt (2.6) Kad god u fizici spominjemo brzinu, podrazumijeva se da govorimo o trenutnoj brzini, a pridjev trenutna (ili prava) se ispušta. Koristimo li srednju brzinu to se onda posebno

36 20 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE naglašava, a simbolički se srednja brzina (kao i sve druge srednje vrijednosti s kojima ćemo se susretati) označava ravnom crtom iznad samog simobla: v je dakle simbol za srednju brzinu a v za (trenutnu) brzinu. Iz svakodnevnog iskustva znamo da se brzina isto tako najčešće stalno mijenja. Npr. naš pješak sporije ide uzbrdo, mora stati na semaforu i pričekati zeleno, pa onda opet krenuti, itd. Vremenske promjene brzine nazivamo ubrzanjem, pri ćemu za razliku od svakodnevnog života, pojam ubrzanje (akceleracija) u fizici uključuje i povećanje i smanjenje brzine, ali i promjenu smjera brzine, o ćemu će više riječi biti kasnije. Nadalje, ubrzanje u fizici ima izuzetno veliku važnost jer je preko Newtonovih aksioma direktno povezano sa silama. Kao i prije, načešće ćemo se koristiti trenutnim ubrzanjem (gdje isto tako pridjev trenutno uglavnom ispuštamo) koje definiramo kao vremensku promjenu brzine: a(t) = dv(t) dt (2.7) Kombiniramo li jednadžbe 2.6 i 2.7 nalazimo da je ubrzanje druga derivacija puta po vremenu: a(t) = d dt ( ) dx(t) dt = d2 x(t) dt 2 (2.8) Kod čega nam funkcija x(t) opisuje kako prevaljeni put ovisi o vremenu. Podrazumijeva se da nam je ta funkcija poznata. Ponovimo još jednom: ako znamo kako put ovisi o vremenu (tj. znamo funkciju x(t)), možemo iz nje deriviranjem naći brzinu i ubrzanje u svakom trenutku za koji je ta funkcija poznata. Brzina je opisana funkcijom v(t) koja je prva derivacija puta po vremenu a ubrzanje funkcijom a(t) koja predstavlja drugu derivaciju puta po vremenu Inverzni problem u fizici Može se dogoditi da umjesto puta, poznajemo ovisnost ubrzanja o vremenu. Ovakav problem naziva se inverzni problem. Općenito rješavanje inverznog problema može biti jednostavnije ali i složenije od rješavanja osnovnog problema, a moguće je i to da osnovni problem uopće ne možemo riješiti, a inverzni možemo, ili obratno. U slučaju puta, brzine i ubrzanja inverzni je problem je relativno jednostavno riješiti. Ako je poznato ubrzanje (dakle poznajemo funkciju a(t)), brzinu nalazimo obrnutim postupkom od deriviranja, dakle integracijom: v(t) = a(t)dt + v 0 (2.9) Ovdje se pojavila konstanta integracije v 0. U fizici ova konstanta predstavlja vrijednost brzine u trenutku t=0, pa se ona naziva početni uvjet. Dakle, da bismo mogli naći brzinu iz poznatog ubrzanja, osim integracije ubrzanja po vremenu moramo dodatno poznavati i iznos brzine u početnom trenutku, ili neki podatak koji nam omogućava da ju nademo (npr. poznata brzina na kraju, ili u nekom trenutku za vrijeme samog gibanja). Krenemo li korak dalje, vidimo da još jednom integracijom dolazimo do puta: x(t) = v(t)dt + x 0 (2.10)

37 2.2: GIBANJE U VIŠE DIMENZIJA 21 Vidimo da je i ova integracija sa sobom donijela još jedan dodatni početni uvjet, položaj tijela u trenutku t = 0! Primjer: jednoliko gibanje po pravcu Kod jednolikog gibanja brzina je konstantna, a ubrzanja nema. To znači da je v(t) = 0dt + v 0 = v 0 (2.11) i x(t) = v 0 dt + x 0 = v 0 t + x 0 (2.12) x 0 je početni uvjet za jednoliko gibanje i predstavlja položaj tijela u trenutku t = 0. Primjer: Slobodni pad Kod slobodnog pada ubrzanje je konstanto i jednako ubrzanju sile teže g (naravno uz zanemarivanje otpora zraka!), a gibanje se odvija u smjeru vertikale prema dolje. I tu se dakle radi o gibanju po pravcu, ali sa stalnim ubrzavanjem. Općenito se gibanje kod kojeg je ubrzanje konstantno naziva jednoliko ubrzano gibanje, a kad se radi o padanju onda u fizici koristino naziv slobodni (li prosti) pad. Jednadžbe 2.9 i 2.10 nam, uz poznavanje rubnih uvjeta daju v(t) = gdt + v 0 = gt + v 0 (2.13) i x(t) = (gt + v 0 )dt + x 0 = g 2 t2 + v 0 t + x 0 (2.14) v 0 i x 0 su početni uvjeti za jednoliko ubrzano gibanje a predstavljaju brzinu i položaj tijela u trenutku t = Gibanje u više dimenzija Kod gibanja na pravcu (u jednoj dimenziji) bio nam je dovoljan predznak + ili - da nam odredi u kojem smjeru se gibanje odvija. U ravnini je problem nešto složeniji. Naš koordinatni sustav sad je dvodimenzionalan i izgleda ovako: Kod dvodimenzionalnog gibanja trenutne položaje tijela opisujemo točkama A, B, C,... itd. Svaka ta točka posjeduje dvije kordinate, x i y. Opis smjera gibanja sad je složeniji, i može se napraviti na nekoliko načina. Jedan od njih je vektorski prikaz koji radi njegove jednostavnosti i preglednosti koristi moderna fizika. U tom prikazu put, brzina i ubrzanje postaju vektorske veličine. Pri tome je definicija i način korištenja vektora u fizici potpuno jednak matematičkoj definiciji vektora. Velika prednost vektorskog prikaza je i ta da je on jednak i u trodimenzionalnom slučaju, a jednodimenzionalni slučaj jednostavno je pojednostavljenje dvodimenzionalnog. U vektorskom prikazu položaj u koordinatnom sustavu opisuje se tzv. radijus vektorom. Radijus vektor je vektor koji spaja ishodište i točku čiji položaj želimo opisati, s time da je

38 22 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE y s 1,2 s(t) r 2 r 3 r 1 O x Slika 2.3: Grafički prikaz dvodimenzionalnog gibanja od točke A do točke B. početak radijus vektora uvijek u ishodištu. Put prevaljen od točke A do točke B jednak je razlici njihovih radijus vektora: s = r B r A (2.15) Obratite pažnju na to da se uvijek od radijus vektora krajnje točke oduzima radijus vektor početne točke! Kako u dvije dimenzije put može biti bilo kakva krivulja, prikazivanje dijela prevaljenog puta na ovaj način moguće je samo ako se taj dio puta može aproksimirati vektorom. To je uglavnom moguće ako je vremenski interval malen, pa se ovakav način opisivanja prevaljenog puta koristi u izvodima kod kojih vremenski interval teži k nuli. U ostalim slučajevima staza tijela opisuje se vektorskom funkcijom r(t) koja predstavlja radijus vektor tijela kao funkciju vremena. Brzina i ubrzanje su kao i prije vremenske derivacije puta: v = d r (2.16) dt a = d d2 v = dt dt2 r (2.17) Radi preglednosti se navodenje funkcionalne ovisnosti fizikalnih veličina o vremenu vrlo često ispušta iz fizikalnih jednadžbi. Treba dakle imati na umu da su općenito sve fizikalne veličine funkcije vremena. U rješavanju fizikalnih jednadžbi koje su formulirane vektorski uvijek se nastoji pravilima vektorskog računa doći što je moguće bliže krajnjem rješenju, a tek kad je to zaista nužno raspisuju se te jednadžbe u komponente i rješavaju do kraja po komponentama. 2.3 Newtonovi aksiomi Cijela dosadašnja analiza gibanja počivala je samo na poznavanju ovisnosti puta o vremenu (odn. u inverznom problemu na poznavanju ovisnosti ubrzanja o vremenu!) i kao rezultat

39 2.3: NEWTONOVI AKSIOMI 23 nam je dala alate pomoću kojih možemo analizirati gibanje u najrazličitijim situacijama. No, o uzrocima gibanja u tom razmatranju nije rečeno ama baš ništa. Znanost se mogućim uzrocima gibanja bavila od samog svojeg početka, a moderan pogled na tu problematiku postavio je Isaac Newton krajem 17. stoljeća. Njegovi zaključci temelj su moderne mehanike i poznati su pod imenom Newtonovi aksiomi: I. Kad na tijelo ne djeluje nikakva sila, ili je zbroj svih sila koje na tijelo djeluju jednak nuli, tijelo miruje ili se giba jednoliko po pravcu. II. Promjena količine gibanja tijela jednaka je sili koja na to tijelo djeluje, a odvija se u smjeru sile. III. Ako jedno tijelo djeluje nekom silom na drugo tijelo, tada drugo tijelo djeluje na prvo silom istog iznosa a suprotnog smjera. Aksiom je u znanosti tvrdnja za koju se smatra da je potpuno i sigurno točna, ali se to ne može dokazati. Aksiomi su obično osnovni principi na kojima počiva moderna znanost, a ima ih svaka znanstvena disciplina. Pogledajmo sad malo detaljnije izričaje ova tri aksioma: Prvi aksiom nam govori kako se giba tijelo na koje ne deluje nikakva sila. Ono u tom slučaju ostaje u stanju gibanja u kojem se nalazi. tj. ako miruje, mirovat će i dalje, a ako se giba, giba se jednoliko po pravcu. To znači da je ubrzanje tijela jednako nuli a brzina mu je konstantna (vektorska!). Na kraju, ovaj aksiom nam govori da će se ista stvar dogoditi i ako na tijelo djeluju nekakve sile, pod uvjetom da je vektorski zbroj svih tih sila jednak nuli. Drugi aksiom nam govori što se dogada kad na tijelo djeluje neka sila. Sila izaziva promjenu količine gibanja tog tijela. Količina gibanja je vrlo važna fizikalna veličina, a definira se kao vektor koji je jednak umnošku mase i brzine tijela: p = m v (2.18) Izričaj drugog Newtonovog aksioma može se matematički zapisati kao Raspisivanje ove definicije daje F = d (m v) (2.19) dt F = dm v + md v (2.20) dt dt Kako je masa tijela najčešće konstantna (ali ne uvijek!) prvi dio ovog izraza postaje nula pa nam ostaje F = m d v dt = m a (2.21) Što je pojednostavljeni izričaj II. Newtonovog aksioma koji poznajemo iz srednje škole. Primjeri situacija kad se mora koristiti puni izričaj 2.19 su npr. let rakete (izgaranjem goriva masa rakete stalno se smanjuje) i sl. Treći aksiom, poznat i kao zakon akcije i reakcije, nam govori da svaka sila prilikom djelovanja na neki objekt u njemu izaziva silu reakcije koja na izvor prve sile djeluje jednakom jačinom, ali u suprotnom smjeru. Npr. prilikom leta rakete plameni mlaz biva velikom silom izbacivan iz mlaznice prema natrag, a reakcija na tu silu ubrzava raketu prema naprijed.

40 24 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE Napomenimo još samo to da Newtonovi aksiomi identificiraju uzroke gibanja kao sile, pa dapače i omogućavaju točno predvidanje posljedica djelovanja tih sila, ali o samim silama ne govore ama baš ništa. U protekla tri stoljeća Fizika je sakupila popriličnu količinu znanja o silama i njihovom ponašanju u svijetu koji nas okružuje. S dijelom tog znanja upoznat ćete se i u toku ovog kolegija Impuls sile i količina gibanja F O t 1 t 2 t Slika 2.4: Grafički prikaz neke proizvoljne kratkotrajne sile. Neka na tijelo mase m u kratkom vremenskom periodu (t 1, t 2 ) djeluje neka sila opisana funkcijom f(t). Zanima nas posljedica djelovanja te sile. Radi jednostavnosti ćemo se ograničiti na 1-D problem. Matematički ćemo si tu silu opisati ovako: F = 0 t t 1 F = f(t) t 1 < t < t 2 (2.22) F = 0 t t 2 Iz II. Newtonovog aksioma znamo da je (uzimamo da je masa u kratkom vremenskom periodu u kojem sila djeluje konstantna!) a = F m (2.23) a iz prijašnjih analiza gibanja znamo i da je v(t) = a(t)dt + v 0 (2.24) Uvrstimo li sad gornji oblik sile nalazimo v(t) = t1 0dt + t2 t Prvi i treći integral iščezavaju, pa je krajnji rezultat sljedeći: f(t)dt + 0dt + v 0 (2.25) t 1 t 2

41 2.4: SILA TRENJA 25 prije početka djelovanja sile, odnosno v(t) = v 0 t t 1 (2.26) v(t) = v 0 + I F t t 2 (2.27) m nakon što je sila isčezla. Zanemarimo u ovom času onaj mali interval vremena (t 1, t 2 ) u kojem je djelovala sila. Veličina I F naziva se impuls sile i ima dimenziju N s: I F = t2 Pomnožimo li jednadžbu 2.27 masom, nalazimo da je t 1 f(t)dt (2.28) mv(t) = mv 0 + I F t t 2 (2.29) iz čega vidimo da je promjena količine gibanja jednaka impulsu sile: p = m v o + I F m v o = I F (2.30) 2.4 Sila trenja veze nastaju na mjestima bliskog dodira Slika 2.5: Kako nastaje statička sila trenja. Kad god su dva tijela u dodiru, javlja se izmedu njih privlačna sila koju nazivamo sila trenja. Uzrok ove sile su tzv. kohezijske sile kojima se na atomskoj skali povezuju atomi (ili molekule, ovisno o slučaju) na površini jednog tijela s atomima na površini drugog tijela. Ako tijela medusobno miruju, nastaje statička sila trenja koja se odupire pomicanju jednog tijela prema drugome. Želimo li neki ormar guranjem premjestiti iz jednog mjesta u sobi na drugo, to je sila koja se odupire pomicanju ormara! Posebna karakteristika sile trenja je da ona djeluje uvijek u smjeru suprotnom od smjera u kojem jedno tijelo klizi po drugome, odn. u slučaju da tijela miruju, u smjeru suprotnom

42 26 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE F T F G Slika 2.6: Sili F kojom želimo pomaknuti tijelo odupire se sila trenja FT. Sila trenja proporcionalna je težini tijela, a tako dugo dok je vanjska sila F manja od nje, tijelo će ostati u stanju mirovanja. od smjera u kojem bi željeli pomaknuti tijelo na koje djelujemo (slika 2.6). Kod kotrljanja je sila trenja suprotna smjeru u kojem se giba kotrljajuće tijelo. Iznos sile trenja matematički opisujemo sljedećom relacijom: F T = µf (2.31) F T je iznos sile trenja, µ je koeficijent trenja koji se odreduje pokusima, a ovisi o materijalima od kojih su načinjena dva tijela u kontaktu te o stanju njihovih površina (hrapave, glatke, polirane i sl.), a F je sila koja pritišće jedno tijelo na drugo u smjeru okomitom na spojnu plohu ta dva tijela. Ako spojna ploha nije ravna, situacija se komplicira i ukupni iznos sile trenja mora se naći integracijom po spojnoj plohi. F je najčešće komponenta težine tijela okomita na spojnu plohu. veze pucaju veze nastaju objekt se giba u ovom smjeru Slika 2.7: Dinamička sila trenja. Kliže li jedno tijelo po drugome, kohezijske sile na mjestima dodira negdje pucaju a istovremeno se negdje drugdje stvaraju nove (slika 2.7). Posljedica je i opet gotovo konstantna

43 2.4: SILA TRENJA 27 sila koja se odupire pomicanju, a karakterizira je to da je njen smjer uvijek suprotan smjeru pomicanja. Pokusi pokazuju da je sila trenja u ovom slučaju najčešće primjetno manja od statičke sile trenja pa se ona naziva dinamička sila trenja. Kod kotrljanja jednog tijela po drugome dolazi do pojave posebne vrste dinamičke sile trenja koja je manja od sile u slučaju klizanja zato jer kohezijske veze pretežno nastaju na strani tijela koja se primiče podlozi a pucaju na suprotnoj strani, pa se djelomično medusobno kompenziraju (slika 2.8), pa govorimo o trenju kotrljanja. kotrljanje pomiče objekt u ovom smjeru veze pucaju veze nastaju Slika 2.8: Dinamička sila trenja kod kotrljanja. Kad na dva tijela u mirovanju djelujemo nekom silom, ona će mirovati tako dugo dok se ta sila ne izjednači sa silom trenja. U tom času jedno tijelo počinje klizati po drugome, trenje iz statičkog prelazi u dinamičko, pa kako je obično dinamički koeficijent trenja manji od statičkog, tijelo se počne gibati jednoliko ubrzano. Kod većih brzina dinamički koeficijent trenja više nije konstantan, a ovisno o situaciji može rasti ili padati. Tipičan primjer ovakvog promjenjivog dinamičkog koeficijenta trenja je otpor zraka, koji sa porastom brzine naglo raste Kosina i trenje na njoj Kosina je jedna od najstarijih mehaničkih strojeva (o mehaničkim strojevima će više riječi biti kasnije). Na tijelo na kosini djeluje sila teža koja se manifestira kao težina tijela G (vidi sliku 2.9). Težina tjela djeluje uvijek u smjeru lokalne vertikale prema dolje, a hvatište joj je u težištu tijela. Na kosini se ona rastavlja na dvije komponente: normalnu, G N koja djeluje okomito na plohu kosine i tangencijalnu, GT koja djeluje u smjeru plohe kosine prema dolje. Normalna komponenta odreduje iznos sile trenja, a tangencijalna predstavlja silu koja tijelo želi pokrenuti prema dolje. Treba napomenuti da je hvatište sile trenja F T u geometrijskom težištu dodirne plohe tijela i kosine, no u slučaju klizanja tijela po kosini bez prevrtanja može se vektor sile trenja translatirati do težišta tijela (u položaj F T ) čime analiza sila postaje jednostavnija. Postane li tangencijalna komponenta jednaka sili trenja, tijelo će početi kliziti niz kosinu. Ako je vršni kut kosine α, nalazimo: G N = G cos α (2.32)

44 28 GLAVA 2: KINEMATIKA I DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE F T ' T F T G N H T G G T α Slika 2.9: Tijelo na kosini i sile koje na njega djeluju. i F T = µg N (2.33) je G T = G sin α (2.34) pa u trenutku izjednačavanja sile trenja i tangencijalne komponente težine dobijamo da ili G sin α = µg cos α (2.35) µ = tan α (2.36) Primijetite da je težina tijela u ovom slučaju ispala iz računa! To znači da rezultat ne ovisi o težini. Na ovaj način često puta se eksperimentalno odreduje koeficijent trenja. Na kosinu izradenu od jednog materijala stavimo predmet (npr. kvadar) od drugog materijala, naravno uz odgovarajući priredene površine. Kut kosine nekim se mehanizmom (npr. vijkom) lagano povećava sve do trenutka u kojem tijelo počne klizati po kosini. Iz kuta kosine u tom trenutku izračunamo koeficijent trenja uz pomoć jednadžbe 2.36.

45 Glava 3 Gibanje po krivulji 3.1 Kružno gibanje v ω r Slika 3.1: Gibanje točke na obodu kotača. Primijetite da je trenutna brzina v uvijek tangencijalna na kružnicu. Na slici 3.1 skiciran je kotač koji se okreće oko osi koja prolazi kroz njegovo središte, okomito na ravninu kotača. Ako se kotač okrene N puta u sekundi, kažemo da je njegova frekvencija (u tehnici se često puta koristi termin broj okretaja) N okreta u sekundi. Standardna oznaka za frekvenciju je f a jedinica za frekvenciju ima dimenziju s 1. Pojam frekvencije u fizici se koristi kod svih pojava koje se periodički ponavljaju što osim kružnog gibanja obuhvaća sve vrste titranja i valnih pojava. Ako na obodu kotača označimo neku točku T, vidjet ćemo da ona tijekom vrtnje u prostoru opisuje kružnicu. Brzina gibanja te točke je: v = 2πrf (3.1) gdje je r polumjer kružnice, a f frekvencija kojom se kotač okreće. Ovakvu brzinu nazivamo obodna brzina točke T. U fizici vrlo često umjesto frekvencije koristimo kutnu 29

46 30 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI brzinu koju definiramo kao kut (izražen u radijanima!) za koji se kotač zakrene u jedinici vremena. Kako puni kut ima 2π radijana, veza izmedu kutne brzine i frekvencije je: ω = 2πf (3.2) gdje smo za kutnu brzinu koristili njenu standardnu oznaku, ω. Izraz za obodnu brzinu time postaje: v = rω (3.3) Položaj točke na obodu kotača opisuje se polarnim koordinatama, pri čemu je ishodište koordinatnog sustava u središtu rotacije kotača, a x-os se postavi u nekom zgodnom smjeru (recimo tako da je točka za t = 0 na x-osi). Trenutni položaj točke sad se može opisati funkcijom ϕ(t) jer je polumjer r kod kružnog gibanja uvijek isti. U slučaju jednolike rotacije obodna brzina je konstantna pa je: Put koji točka T prevali kad se kotač zakrene za kut ϕ(t) je: ϕ(t) = ωt (3.4) s = rϕ (3.5) Ovdje se kut φ ne smije svoditi na osnovni interval jer on predstavlja ukupni kut zakreta kotača! Usporedimo li jednadžbe koje opisuju kružno gibanje s jednadžbama jednolikog gibanja po pravcu, vidjet ćemo da su one matematički potpuno jednake: gibanje po pravcu s = vt kružno gibanje ϕ = ωt (3.6) To znači da jednostavnom zamjenom varijabli možemo iz već poznatih jednadžbi gibanja po pravcu dobiti odgovarajuće jednadžbe za kružno gibanje. Ovakav postupak naziva se analogija. Primjerice, za jednoliko ubrzano kružno gibanje ovim postupkom nalazimo: gibanje po pravcu v = at + v o s = a 2 t2 + v o t + s o v 2 = vo 2 + 2as kružno gibanje ω = αt + ω o ϕ = α 2 t2 + ω o t + ϕ o ω 2 = ωo 2 + 2αϕ (3.7) Primjer Neka se svrdlo električne bušilice okreće s f = 1800 okreta u minuti. Za koji kut se svrdlo zakrene u vremenu t = 2 ms? Ako kod pokretanja svrdlo iz stanja mirovanja do konačne brzine ubrzava 0,64 s, koliko je kutno ubrzanje svrdla u tom vremenskom periodu? Prvo nademo kutnu brzinu svrdla a onda iz nje i traženi kut zakreta: ω = 2πf = 2π 1800 = 188, 50 rads 1 60 ϕ = ωt = 188, 50 0, 002 = 0, 37 rad (3.8)

47 3.2: CENTRIPETALNO UBRZANJE 31 Nakon toga odredimo i kutno ubrzanje koje se javlja za vrijeme uključivanja bušilice: α = ω t = 188, 50 0, 64 rads 2 (3.9) 3.2 Centripetalno ubrzanje Ako je kutna brzina konstantna, obodna brzina je konstatna po iznosu, ali cijelo vrijeme neprestano mijenja svoj smjer. v 2 T 2 v 1 r 1 T 1 α r 2 v v 1 α v 2 Slika 3.2: Ubrzanje kod kružnog gibanja. U nekom malenom vremenu t kotač se zaokrene za kut α, a točka na obodu prevali put s. Iako je brzina po iznosu konstantna, zbog okretanja se njen smjer promijeni za v. Zamislimo si da je u odabranom vremenskom trenutku točka T bila u položaju T 1 (slika 3.2). Nakon nekog malog intervala vremena t točka T došla je u položaj T 2. Pri tome se radijus vektor (ishodište radi jednostavnosti stavimo u središte kružnice po kojoj se točka T giba) zakrenuo za kut α iz položaja r 1 u položaj r 2. Brzina točke T je po iznosu ostala nepromjenjena, ali se vektor brzine v zaokrenuo. Kut zaokreta lako nademo iz činjenice da je obodna brzina uvijek tangencijalna na kružnicu, što znači da je obodna brzina uvijek okomita na polumjer kružnice po kojoj se gibanje odvija. Odatle dalje slijedi da je kut za koji je brzina promijenila svoj smjer jednak kutu za koji se točka T zaokrenula oko središta kružnice. Ako pretpostavimo da je kut zakretanja jako malen, promjena brzine bit će okomita na trenutni smjer brzine, a iz sličnih trokuta (umetak na slici 3.2) nalazimo i njen iznos: v v = s (3.10) r gdje je s put koji je točka T prevalila po obodu kružnice za vrijeme zakretanja. No, taj je put jednak umnošku obodne brzine i vremena: s = v t (3.11) Kad ovo uvrstimo u gornju jednadžbu i sredimo, nalazimo da je (za male kuteve zaokreta!)

48 32 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI ili, ako podijelimo s t i sredimo v v = v t r (3.12) v t = v2 (3.13) r pustimo li sad da vremenski period t ide prema nuli, dobit ćemo izraz za ubrzanje koje točku T drži na kružnici po kojoj se ona giba (da tog ubrzanja nema, naša točka bi se po I. Newtonovom aksiomu gibala jednolikom brzinom po pravcu!): dv dt = a cp = v2 (3.14) r Ovo ubrzanje je konstantnog iznosa (naravno ako je v po iznosu konstantno!) i uvijek pokazuje prema središtu kružnice po kojoj se gibanje odvija. Ono se naziva centripetalno ubrzanje i javlja se kod svake promjene smjera gibanja. Njegov uzrok mogu biti najrazličitije sile koje djeluju na tijelo u gibanju. Ako te sile nestanu, naša točka će se nastaviti gibati jednoliko po pravcu brzinom v. Ubrzanje koje tijelo osjeća kad je prisiljeno gibati se po kružnici je reakcija na ubrzanje sile koja ga na to gibanje tjera i naziva se centrifugalno ubrzanje. Ono je po iznosu jednako centripetalnom ubrzanju, ali mu je smjer (III: Newtonov aksiom!) suprotan, dakle od središta kružnice prema van. Centrifugalno ubrzanje, odn. sila koju ono proizvodi na tijelo mase m (F=ma!) spada u tzv. inercijske sile, tj. sile koje su posljedica tromosti ( otpora tijela promjeni načina gibanja). Primijetite da ova sila u stvari ne postoji, jer je povezana sa silom koje tijelo drži na njegovoj putanji. U onom trenutku kad ta sila nestane, nestane i centrifugalna sila i tijelo se dalje giba jednoliko po pravcu. Radi se jednostavno o sili reakcije koja se pojavljuje u računima ravnoteže stvarnih sila. U modernoj fizici se korištenje ovakvih sila izbjegava a umjesto njih se koriste njihovi uzroci (u našem slučaju centripetalna sila). Ulogu centripetalne sile najčešće najčešće imaju razne mehaničke sile npr. čvrstoča kotača, napetost užeta i sl., gravitacija te električna ili magnetna sila u slučaju kad je tijelo koje se giba električki nabijeno. 3.3 Gibanje po krivulji proizvoljnog oblika v F T P F R F Slika 3.3: Gibanje materijalne točke po krivulji.

49 3.4: RAD STALNE SILE 33 Krivulja koju opisuje tijelo za vrijeme svojeg gibanja naziva se staza ili putanja. Kod ovakvog gibanja, trenutna brzina tangencijalna je na krivulju u točki u kojoj se tijelo upravo nalazi. Sila koja izaziva to gibanje ne mora biti kolinearna s brzinom (smjer sile ne mora biti jedak smjeru brzine!). Zbog toga silu rastavljamo na dvije komponente: tangencijalnu i radijalnu. Tangencijalna komponenta sile, Ft je komponenta sile u smjeru trenutne brzine tijela (dakle tangencijalno na stazu tijela). Ova komponenta sile mijenja iznos (veličinu) brzine tijela. Radijalna komponenta sile, Fr je komponenta sile koja je okomita na trenutnu brzinu tijela. Ova komponenta sile mijenja smjer brzine tijela. Ako postoji samo radijalna komponenta sile, imamo gibanje po kružnici, kao što smo to već raspravili u prethodnom paragrafu. Ako postoji samo tangencijalna komponenta, sila je u smjeru brzine tijela i imamo gibanje po pravcu (ubrzano ili usporeno, ovisno o tome da je sila u smjeru brzine, ili mu je suprotna!). 3.4 Rad stalne sile F x x Slika 3.4: Rad stalne sile. Zbog jednostavnosti x-os koordinatnog sustava postavljena je u smjer u kojem djeluje stalna sila, pa problem možemo analizirati jednodimenzionalno. Rad definiramo kao umnožak sile i puta na kojem je ta sila djelovala. U slučaju gibanja po pravcu je W = F x x (3.15) Iz ove jednadžbe vidimo da je dimenzija rada N m, a zbog svoje velike važnosti jedinica za rad ima i svoje ime: Joule (Dul) i oznaku: J. Dakle, 1 J = 1 N 1 m, ili kraće zapisano J=Nm Pojam rada u fizikalnom smislu donekle se razlikuje od pojma rada u svakodnevnom životu. Najbitnje razlike su slijedeće: da bi sila izvršila rad, tijelo na koje sila djeluje mora se pomaknuti. Ako tijelo miruje, rad je jednak nuli, bez obzira na iznos sile koja na to tijelo djeluje! rad vrši samo komponenta sile koja djeluje u smjeru pomaka, pa silu koja nije u smjeru pomaka rastavljamo na dvije medusobno okomite komponente (slika 3.5), jednu u smjeru pomaka, a drugu okomito na njega.

50 34 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI F ϕ F y F x x Slika 3.5: Rad vrši samo komponenta sile u smjeru pomaka. 3.5 Rad promjenjive sile U svijetu oko nas sile su vrlo rijetko stalne. Baš naprotiv, uglavnom često mijenjaju i smjer i veličinu, javljaju se i nestaju. U takvom slučaju rad se mora računati korak po korak tako da vrijeme djelovanja sile razdijelimo na toliko male vremenske intervale da možemo reći da je za njih sila konstantna (slika 3.6). F(x) sila F x 1 x x 2 put x Slika 3.6: Rad promjenjive sile. x-smjeru. Zbog jednostavnosti i dalje uzimamo da su sila i put u U tom slučaju rad koji sila učini na malom djeliću puta x je W = F (x) x (3.16) a ukupni rad nalazimo zbrajanjem (integracijom kad pustimo da x 0): x1 W = F (x)dx (3.17) x 2 U više dimenzija moramo rabiti vektorski račun: W = r1 r 2 F (x)d dr (3.18) gdje dr mora slijediti krivulju koja opisuje put koji tijelo prolazi.

51 3.5: RAD PROMJENJIVE SILE Primjer: Opruga x=0 F x F x Slika 3.7: Opruga. Ako ishodište (x = 0) postavimo u kraj slobodne opruge (gore) pa oprugu stisnemo za neku veličinu x, opruga će se opirati stiskanju silom F u suprotnom smjeru (sredina). Ako pak oprugu istegnemo, otpor opruge opet će djelovati u smjeru suprotnom od istezanja (dolje). Kod idealne opruge veza izmedu istezanja (stezanja) opruge i sile kojom se opruga tome protivi dana je Hookeovim zakonom: F = kx (3.19) gdje je x pomak kraja opruge od njegovog ravnotežnog položaja. Predznak - govori nam da je sila uvijek suprotna smjeru istezanja odn. stezanja opruge. Konstanta k naziva se konstanta opruge. Sila kojom moramo djelovati na oprugu da ju istegnemo odn. stisnemo za veličinu x, suprotnog je smjera od sile koju proizvodi opruga, pa u tom slučaju negativni predznak u Hookeovom zakonu nestaje. Opruge koje se danas izraduju i koriste u tehnici po svojem ponašanju vrlo su blizu modelu idealne opruge, pa se razlike najčešće u potpunosti zanemaruju. Ako oprugu istegnemo od ravnotežnog položaja do položaja x k učinili smo rad jednak odnosno, W = xk 0 xk F (x)dx = k xdx (3.20) 0 W = kx2 k 2 (3.21) Primijetite da je rad za isti krajnji iznos deformacije opruge (kako se često veličina x k naziva) jednak, bez obzira jesmo li oprugu istegnuli ili stisnuli.

52 36 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI 3.6 Snaga Nije svejedno je li neki rad izvršen u kratkom ili u dugom vremenskom periodu. Brzinu kojom se rad vrši nazivamo snagom: P = dw dt (3.22) Odavde vidimo da je dimenzija snage J/s. Snaga je toliko važan fizikalni pojam da za nju postoji posebna jedinica koja se naziva Wat (W). 1 W očito je 1 J/s. Svi zaključci do kojih smo upravo došli na jednostavnom slučaju kad je smjer sile kolinearan sa smjerom gibanja, vrijede i općenito. U više dimenzija moramo naravno koristiti vektore: Tako je rad sile na putu d s jednak dw = F d s (3.23) gdje točka označava skalarni vektorski produkt vektora sile i vektora pomaka. Za snagu bi u ovom slučaju našli P = dw F = d s dt dt Snaga je dakle skalarni produkt sile i brzine! = F v (3.24) 3.7 Kinetička energija Znamo već iz Newtonovih aksioma da djelovanje sile ubrzava tijelo na koje djeluje. Pretpostavimo najjednostavniji slučaj takvog djelovanja, kada je sila konstantna i kad djeluje u smjeru gibanja tijela. Neka se zbog djelovanja takove sile tijelo ubrza od početne brzine v o do krajnje brzine v. Put koji tijelo prevali za vrijeme ubrzavanja nademo iz jednadžbi za jednoliko ubrzano gibanje: x = v o t + a 2 t2 (3.25) kako vrijeme djelovanja sile ne znamo, odredimo ga iz jednadžbe za brzinu: odnosno v = v o + at (3.26) Ovo uvrstimo u jednadžbu 3.25: t = v v o a (3.27) v v o x = v o + a (v v o ) 2 (3.28) a 2 a 2 sredimo pa pomnožimo s 2a pa nalazimo da je v 2 = vo 2 + 2ax (3.29) Ubrzanje preko II. Newtonovog aksioma povežemo sa silom:

53 3.8: POTENCIJALNA ENERGIJA 37 a = F m (3.30) pa 3.29 prelazi u v 2 = vo F x m F x je rad sile F na putu x pa slijedi da je taj rad jednak (3.31) W = mv2 2 mv2 o 2 (3.32) Rad je dakle razlika veličine mv2 2 nakon djelovanja sile i prije toga. Ovu veličinu nazivamo kinetička energija. Očigledno je kinetička energija tijela rad koji treba uložiti da se tijelo mase m iz stanja mirovanja ubrza do brzine v. Nadalje, iz gornje jednadžbe slijedi da se kinetička energija mjeri istim jedinicama kao i rad: jouleima. Jednadžba 3.32 naziva se teorem o radu i kinetičkoj energiji. Izrečen riječima on glasi: rad učinjen na tijelu jednak je povećanju kinetičke energije tijela. Skraćeno ga možemo zapisati i ovako: gdje smo s KE označili kinetičku energiju tijela, W = KE 2 KE 1 (3.33) KE = mv2 2 Teorem o radu i kinetičkoj energiji vrijedi i kad sila nije konstantna: (3.34) W = x2 x 1 F (x)dx = x2 x 1 madx = x2 x 1 m dv dx (3.35) dt Ovo možemo presložiti ovako (uz odgovarajuću zamjenu granica integracije!): W = v2 v 1 m dx dt dv = mv2 2 2 mv2 1 2 = KE 2 KE 1 (3.36) Ako sila djeluje protivno smjeru gibanja tijela, tijelo se usporava i kinetička energija mu se smanjuje. U tom slučaju kažemo da tijelo vrši rad na izvoru sile. Kinetička energija samo je jedan od vidova energije. Energiju općenito definiramo kao mjeru sposobnosti tijela da izvrši rad. Veča energija dakle znaći da tijelo može izvršiti veći rad. Ujedno je po teoremu o radu i kinetičkoj energiji izvršeni rad jednak smanjenju raspoložive (u ovom slučaju kinetičke) energije. Kad energija tijela padne na nulu, tijelo više ne može vršiti nikakv rad. 3.8 Potencijalna energija Zamislimo si jednostavni pokus, skiciran na slici 3.8: malenu lopticu bacimo u vis nekom početnom brzinom v o. Zbog djelovanja sile teže loptica će tako dugo usporavati dok se ne zaustavi. U tom trenutku ona će biti na maksimalnoj visini iznad tla. Nakon toga loptica

54 38 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI z=z 2 KE=0 z=z 2 KE=0 v o -v o z=z 1 KE=max. z=z 1 KE=max. a. bacanje u vis b. padanje Slika 3.8: Bacanje loptice u vis. Loptica bačena u vis nekom početnom brzinom zbog djelovanja sile teže usporava, sve dok se konačno ne zaustavi (lijevo). Loptica nakon toga počinje padati i vraća se na mjesto sa kojeg je izbačena istom brzinom, ali suprotnog smjera. počinje padati, i u trenutku kad se vrati na mjesto sa kojeg je izbačena, njena brzina bit će jednaka početnoj brzini, ali u suprotnom smjeru. Ako malo detaljnije razmislimo o ovom jednostavnom pokusu, upast će nam u oči da loptica u trenutku izbacivanja ima neku kinetičku energiju koja se smanjuje kako loptica ide u vis (brzina loptice se zbog djelovanja sile teže smanjuje!). Dapače, u trenutku kad se loptica zaustavi, njezina je kinetička energija u potpunosti nestala. Naravno da nakon toga zbog djelovanja sile teže loptica počinje padati i nije teško provjeriti da će u trenutku kad se vrati na mjesto sa kojeg je izbačena u vis imati brzinu po iznosu jednaku brzini izbacivanja, ali u suprotnom smjeru. Poznajući izraz za silu težu, F = mg, možemo u svakom trenutku uz pomoć teorema o radu i kinetičkoj energiji odrediti rad koji je loptica učinila (kad se penje u smjeru suprotnom od smjera sile teže!), odnosno rad koji sila teža vrši na loptici (kad loptica pada u smjeru sile teže!), i preko njega odrediti trenutnu kinetičku energiju loptice. Kako su i prevaljeni put i sila teža opisani vektorskim veličinama, moramo općenito ovaj račun raditi vektorski. Kako je medutim sila teža uvijek u z smjeru, učinjeni rad na bilo kojem proizvoljnom putu d s jednak je dw = F d s = mgdz (3.37) jer se ostale dvije komponente puta (x i y komponenta) u skalarnom produktu množe s nulom i tako isčezavaju iz računa. Ukupni učinjeni rad je W = r2 r 1 dw = mg(z 2 z 1 ) (3.38) Ovaj rad uopće ne ovisi o putu koji je tijelo prevalilo, već samo o z-koordinatama početne i krajnje točke tog puta! Nadalje, napravimo li zatvoreni put bilo kojeg oblika (tj. vratimo se u početnu točku!), ukupni rad isčezava. Sile koje imaju ovo svojstvo nazivaju se konzervative sile. Ako početnu točku postavimo na visinu z = 0, rad učinjen da tijelo dovedemo u krajnju točku puta jednak je mgz. Veličina U( r) = mgz naziva se potencijalna energija tijela.

55 3.9: ZAKON SAČUVANJA MEHANIČKE ENERGIJE 39 Ona ovisi isključivo o položaju tijela u prostoru. Nije teško pokazati da se rad koji je potrebno napraviti da se tijelo pomakne iz proizvoljne točke r 1 u proizvoljnu točku r 2 jednak odnosno, u slučaju sile teže još jednostavnije W = U( r 2 ) U( r 1 ) (3.39) W = U(z 2 ) U(z 1 ) = mgz 2 mgz 1 (3.40) Funkcija U( r) naziva se potencijalna funkcija. Ovdje je važno dodati da se radi o skalarnoj funkciji s kojom je znatno lakše i brže računati, pa se iz tog razloga potencijane funkcije koriste kad god je to moguće. Potencijalna funkcija ima još jedno važno svojstvo koje ćemo ilustrirati baš na slučaju sile teže: može se naime pokazati da je F = du dz = d(mgz) = mg (3.41) dz U općem slučaju mora se umjesto obične derivacije koristiti derivacija u smjeru najveće promjene funkcije U( r) koja se naziva i gradijent. 3.9 Zakon sačuvanja mehaničke energije Zadržimo se još malo na primjeru loptice bačene u zrak. Ako je ona izbačena iz točke 1, pa se nakon nekog vremena našla u točki 2, porast njene potencijalne energije (nalazimo se u polju sile teže!) je W = U 2 U 1 (3.42) Ovaj rad izvršen je na račun smanjenja kinetičke energije loptice, koje je jednako (kako u ovom slučaju loptica vrši rad, rad je negativan, što je u donjoj jednadžbi uzeto u obzir zamjenom članova na desnoj strani!): W = KE 1 KE 2 (3.43) Izjednačavanjem dolazimo do zakona sačuvanja mehaničke energije: U 1 + KE 1 = U 2 + KE 2 (3.44) Ovaj zakon vrijedi za sve konzervativne sile (gravitacija, električna sila itd.) Primjer: Atwoodov stroj Ovaj stroj sastoji se od koloture preko koje je prebačeno uže. Na krajeve užeta obješeni su utezi masa m 1 i m 2. Dozvoli li se pomicanje koloture, težina veće mase će prevagnuti i ona će se početi spuštati prema tlu. Treba odrediti brzinu sa kojom će teža masa udariti u tlo. Da bismo riješili ovaj problem, poslužit ćemo se zakonom sačuvanja mehaničke energije. Po njemu je ukupna energija obje mase u trenutku kad ih pustimo iz stanja mirovanja jednaka ukupnoj energiji u trenutku kad teža masa udari u tlo. U prvom trenutku ukupna energija sastoji se samo od zbroja potencijalnih energija obje mase, a u trenutku kad teža masa udari

56 40 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI m 2 m 1 h 1 h 2 Slika 3.9: Atwoodov stroj sastoji se od koloture i užeta na čijim krajevima su obješene mase m 1 i m 2. Ako su mase različite, teža će se početi spuštati, dižući pri tome lakšu masu. u tlo, obje mase gibaju se istom brzinom (teža prema dolje, a lakša prema gore) i imaju odgovarjuće kinetičke energije. Njima treba još dodati potencijalnu energiju lakše mase jer je teža masa došla do tla za koje uzimamo da je na visini 0. Ako uzmemo da je masa m 2 veća, zakon o sačuvanju mehaničke energije nam daje: m 1 gh 1 + m 2 gh 2 = m 1 g(h 1 + h 2 ) + m 1v 2 2 sredivanjem ove jednakosti dolazimo do izraza za brzinu: v = + m 2v 2 2 (3.45) 2gh m 2 m 1 m 2 + m 1 (3.46) 3.10 Sačuvanje mehaničke energije i trenje U slučajevima kad silu trenja ne možemo zanemariti, zakon sačuvanja mehaničke energije više ne vrijedi zato jer trenje energiju nepovratno pretvara u toplinu. Ukoliko energiju izgubljenu trenjem pribrojimo preostaloj mehaničkoj energiji na kraju procesa, zakon o sačuvanju mehaničke energije možemo koristiti i dalje. On sada glasi U 1 + KE 1 = U 2 + KE 2 + W t (3.47) gdje je W t energija (rad sile trenja!) koja se zbog trenja pretvorila u toplinu Primjer: Zaustavna rampa Na kraju velikih nizbrdica postavlju se neki puta rampe za zaustavljanje u nuždi. Vozila koja se na kraju izbrdice ne mogu zaustaviti mogu skretanjem na takvu rampu izbjeće teške nesreće. Rampa se izvodi kao strma uzbrdica. Pokušajmo odrediti potrebnu dužinu uzbrdice ako je njen nagib prema horizontali α = 30 o te ako je rampa neasfaltirana (podloga

57 3.10: SAČUVANJE MEHANIČKE ENERGIJE I TRENJE 41 mgsinα v α F tr mg mgcosα s h α Slika 3.10: Rampa za zaustavljanje u nuždi. Vozilo koje se ne može zaustaviti na kraju velike nizbrdice može izbjeći nesreću skretanjem na zaustavnu rampu na kojoj će se nakon nekog vremena zaustaviti i bez pomoći kočnica. je nabijeni šljunak) s koeficijentom trenja µ = 0, 50. Uzmimo da je najveća brzina kojom vozilo može doći na dno rampe v = 40 ms 1. Pogledajmo prvo sile koje djeluju na vozilo na rampi. Sila trenja odredena je koeficijentom trenja i normalnom komponentom težine vozila: F t = µn = µmg cos α (3.48) Zakon sačuvanja energije postavljamo za početak kosine i točku na kosini u kojoj se vozilo zaustavlja. Neka je ta točka na udaljenosti s od početka kosine: U 1 + KE 1 = U 2 + KE 2 + W t (3.49) odnosno mv 2 = mgh + µmgs cos α (3.50) 2 visinu na koju se vozilo popelo povežemo s putem prevaljenim po kosini: pa sredivanjem dolazimo do izraza za potrebnu dužinu kosine: h = s sin α (3.51) s = v 2 2g(sin α + µ cos α) (3.52) Uvrštavanje gore navedenih podataka daje nam s = 87, 5 m.

58 42 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI 3.11 Potencijalna energija opruge Od prije znamo da je sila kojom se opruga odupire istezanju ili stezanju proporcionalna veličini tog istezanja: F = kx (3.53) Znamo i da je rad koji treba učiniti da se opruga stisne (istegne) od 0 do x jednak U = 1 2 kx2 (3.54) Ovaj rad jednak je potencijalnoj energiji koja je spremljena u opruzi, a ta energija će se osloboditi ako uklonimo vanjsku silu koja na oprugu djeluje. Ako je na kraj opruge učvršćeno tijelo mase m, vrijedit će i u ovom slučaju zakon sačuvanja mehaničke energije: odnosno U + KE = konst. (3.55) 1 2 kx mv2 = konst. (3.56) Ovo je zakon sačuvanja mehaničke energije za oprugu Primjer: streličarski luk Streličarski luk ponaša se kao opruga. Ako strijelac silom od 220 N zategne luk 64 cm unazad, odredite konstantu opruge za taj luk. Ako strelica ima masu od 24 g, kojom brzinom će biti izbačena iz luka? Konstatu opruge odredimo direktno: k = F x = 220N 0, 64m = 344N/m (3.57) Brzinu strelice odredimo uz pomoć zakona o sačuvanju mehaničke energije: odnosno 1 2 kx2 = 1 2 mv2 (3.58) v = 3.12 Mehanički strojevi k m x = 76, 6ms 1 (3.59) Mehaničk strojevi su svi uredaji koji mehaničkim sretstvima (poluge, koloture, zupčanici i sl.) povećavaju ili smanjuju sile. Najjednostavniji strojevi u ovom smislu su poluga, kosina, klin, kolotura i sl. Kod ovakvih strojeva s jedne strane ulažemo neki rad (W 1 ) da bi na drugoj dobili korisni rad (W 2 ) koji stroj vrši na svojoj okolici. Ako zanemarimo gubitke u stroju (trenje) i njegovu unutarnju energiju (dio uloženog rada može privremeno

59 3.12: MEHANIČKI STROJEVI 43 biti spremljen u stroju, npr. u nekoj opruzi kao kod zategnutog luka) po zakonu o sačuvanju mehaničke energije uloženi i dobiveni rad moraju biti jednaki: W 1 = W 2 (3.60) Kako je mehanički rad produkt sile i puta (u ovom slučaju pomaka dijela stroja na koji djeluje ulazna sila, odn. dijela stroja koji predaje izlaznu silu) mora biti odn. izlazna sila je F 1 s 1 = F 2 s 2 (3.61) F 2 = s 1 s 2 F 1 (3.62) Drugim riječima, da bi na izlazu dobili veću silu, moramo na ulazu manjom silom ostvariti veći pomak. Omjer sile na izlazu i sile na ulazu stroja naziva se mehaničko pojačanje stroja: Primjer: poluga MP = F 2 F 1 = s 1 s 2 (3.63) F 2 O T ϕ l 2 F 1 l 1 Slika 3.11: Poluga i odnosi sila na njoj. Horizontalna poluga je poduprta u točki O koja je na udaljenosti l 1 od lijevog i l 2 od desnog kraja poluge. Desnim krajem poluge podiže se teret T. Ako na lijevi kraj poluge djeluje sila F 1, odredite silu F 2 kojom poluga djeluje na teret T. Ovaj problem može se riješiti na nekoliko različitih načina, a mi ćemo ovdje upotrijebiti zakon sačuvanja mehaničke energije. Po njemu rad sile F 1 na lijevoj strani poluge mora biti jednak radu sile F 2 na desnoj strani poluge. Kad se poluga zbog djelovanja sile F 1 zaokrene za mali kut ϕ, njen lijevi kraj pomakne se za:

60 44 GLAVA 3: GIBANJE PO KRIVULJI s 1 = l 1 ϕ (3.64) pa je rad sile F 1 jednak (sila djeluje okomito na polugu!): W 1 = F 1 s 1 = F 1 l 1 ϕ (3.65) Na isti način nalazimo da je rad sile F 2 jednak: Kako je W 1 = W 2, nalazimo: W 2 = F 2 s 2 = F 2 l 2 ϕ (3.66) Ovaj izraz naziva se zakon poluge. F 2 = l 1 l 2 F 1 (3.67)

61 Glava 4 Centar mase Kad se bavimo sustavom koji je sastavljen od više dijelova (koje u fizici nazivamo česticama), vrlo često pojednostavljujemo problem tako da te dijelove u prvom koraku zamijenimo materijalnim točkama. Ukoliko nas ne zanimaju detalji gibanja svih tih materijanih točaka, već samo njihovo zajedničko gibanje, u idućem koraku pojednostavljenja sve te materijalne točke zamjenjujemo jednom materijalnom točkom čija masa je očigledno jednaka zbroju masa svih materijalnih točaka koje zamjenjujemo. Ono što nije odmah jasno je gdje u prostoru ćemo tu zajedničku materijalnu točku staviti. Da bismo razriješili ovaj problem, pretpostavit ćemo da na sustav kojim se bavimo ne djeluju nikakve vanjske sile. To znači da je količina gibanja tog sustava sačuvana jer je F = d P dt = 0 (4.1) No, ukupna količina gibanja sustava je zbroj količina gibanja njegovih čestica pa je: što uz upotrebu definicije količine gibanja prelazi u: P = p 1 + p p n = konst. (4.2) P = m 1 v 1 + m 2 v m n v n = d dt (m 1 r 1 + m 2 r m n r n ) = konst. (4.3) istovremeno je: P = d dt (M R) = konst. (4.4) gdje je M masa naše zamjenske materijalne točke a R njen položaj u prostoru. Usporedivanjem vidimo da je: odnosno (uz M = m 1 + m m n ) M R = m 1 r 1 + m 2 r m n r n (4.5) R = m 1 r 1 + m 2 r m n r n m 1 + m m n (4.6) Točka R naziva se centar mase sustava. Vidimo da cijeli sustav materijalnih točaka možemo zamijeniti jednom materijalnom točkom koja se nalazi u centru mase cijelog sustava. 45

62 46 GLAVA 4: CENTAR MASE Ne zanimaju li nas medusobna gibanja pojedinih dijelova sustava, zajedničko gibanje sustava jednako je gibanju materijalne točke koja se nalazi u centru mase sustava i ima masu jednaku ukupnoj masi sustava. Položaj centra mase odredujemo uz pomoć jednadžbe 4.6 ili, raspisano po komponentama, uz pomoć slijedećih jednadžbi: x CM = y CM = z CM = i m ix i M i m iy i M i m iz i M (4.7) M = i m i gdje suma ide po svim česticama sustava. 4.1 Centar mase fizikalnog tijela Iako to možda ne prvi pogled ne izgleda tako, pomoću jedandžbi 4.7 može se naći i centar mase fizikalnog tijela. Da bi se to postiglo, tijelo se podijeli na mnogo malih komadića i svaki od njih zamijeni odgovarajućom točkastom masom. Podsjetimo se još načina na koji od sume prelazimo na integral: smanjivanjem pojedinih dijelića tijela broj tih dijelića (članova sume) raste, ali se svaki djelić smanjuje i veličinom i masom. U granici vrlo malih djelića suma će prijeći u integral, pa umjesto velike nespretne sume možemo metodama integralnog računa riješiti odgovarajući integral. U tome postupku tijelo se prvo dijeli na vrlo male komadiće čije se stranice obično postave u smjeru koordinatnih osi. Npr. u kartezijevom koordinatnom sustavu tijelo će se podijeliti na mnoštvo kockica čije su stranice dx, dy i dz. Volumen jedne takve kockice je dv = dxdydz a masa dm. U računu se vrlo često koristi masena gustoća (najčešće govorimo samo gustoća!) tijela koja se definira kao masa po jedinici volumena tijela: ρ( r) = dm( r) dv (4.8) Masena gustoća općenito ovisi o položaju u prostoru, no vrlo često su tijela sa kojima se bavimo homogena, tj. njihova je gustoća konstantna. Uz prevodenje sume u integral i upotrebu relacije 4.8 jednadžbe 4.7 prelaze u:

63 4.1: CENTAR MASE FIZIKALNOG TIJELA 47 x CM = 1 M xdm = 1 M ρxdv y CM = 1 M z CM = 1 M ydm = 1 M ρydv zdm = 1 M ρzdv (4.9) M = ρdv Nadalje, u slučaju homogenog tijela gustoća je konstantna pa se može izvući iz integrala i staviti ispred njega. Ono što ostaje je geometrijski integral po volumenu tijela koji daje matematičko težište tijela (koordinate geometrijskog središta tijela). Pojam težišta u matematici odgovara pojmu centra mase homogenog tijela u fizici. U tom slučaju centar mase i težište padaju u isto točku. Kod nehomogenog tijela matematičko težište je i dalje na istom mjestu, ali mu se centar mase u pravilu nalazi negdje drugdje Površinska i linijska gustoća mase Ako je homogeno tijelo svugdjde jednake debljine (npr. izradeno od lima) umjesto gustoće koristi se u računu površinska gustoća koja predstavlja masu jedinične površine tijela. Znade li se ukupna masa tijela, površinsku gustoću mase nalazi se tako da se masa tijela podijeli sa površinom jedne strane tog tijela (v. sliku 4.1): σ = M A (4.10) A σ = M A Slika 4.1: Površinska gustoća tijela nalazi se tako da se masa tijela podijeli sa površinom jedne njegove stranice (uzima se da je tijelo izrezano iz ploče konstantne debljine okomitim rezom).

64 48 GLAVA 4: CENTAR MASE L λ= M L A Slika 4.2: Linijska gustoća tijela nalazi se tako da se masa tijela podijeli sa dužinom tijela (uzima se da je tijelo izrezano iz šipke konstantnog presjeka okomitim rezom). Površinska gustoća može se izračunati iz (volumne) gustoće tako da se gustoća pomoži sa debljinom tijela, d: σ = ρd (4.11) Na sličan način se za tijela konstantne površine presjeka (šipke i sl.) definira linijska gustoća mase kao omjer mase tijela i njegove duljine (v. sliku 4.2). Linijska gustoća može se izračunati iz (volumne) gustoće tako da se gustoća pomoži sa površinom presjeka tijela, A: gdje je A površina okomitog presjeka tijela. λ = ρa (4.12) Primjer: Težište trokuta Neka je od komada lima izrezan pravokutni trokut, duljine kateta a i b i ukupne mase M. Potrebno je naći koordinate njegovog težišta. Prvo se trokut podijeli na uske, uspravne pravokutnike širine dx. Ako je jedan od tih pravokutnika na udaljenosti x od ishodišta, njegova visina je: y = x b a (4.13) Površina tog pravokutnika je: a njegova masa: x-koordinata težišta je: A = ydx = bxdx a dm = σa = σ bxdx a (4.14) (4.15)

65 4.1: CENTAR MASE FIZIKALNOG TIJELA 49 y b dx 0 a x dm Slika 4.3: Računsko odredivanje koordinata težišta trokuta. a x T = 1 σbx 2 σba2 dx = M 0 a 3M Masa trokuta jednaka je umnošku njegove površine i površinske gustoće mase: (4.16) pa se uvrštavanjem u (4.16) nalazi: M = σ ab 2 (4.17) x T = 2 3 a (4.18) Na analogan način slijedi: y T = 2 3 b (4.19) čime je problem riješen. Primijetimo medutim da se uz upotrebu simetrije problem može znatno jednostavnije riješiti. Naime, težište svake uske trake na koju je trokut podijeljen u prethodnom primjeru je u njenoj sredini, pa ako se ta traka zamijeni točkastom masom na tom mjestu, položaj težišta ostat će nepromijenjen. Spajajući sve tako dobivene točkaste mase dobija se spojnica polovišta stranice trokuta i njegovog nasuprotnog vrha (linija QC na slici 4.4). Težište trokuta mora se nalaziti na toj spojnici. Ponovi li se taj zamišljeni postupak dijeljenja trokuta na trake, ali ovaj puta s trakama paralelnima s x-osi, dobija se druga spojnica (linija AP na slici 4.5), čije sjecište s prvom daje položaj težišta trokuta. Iz geometrije trokuta odmah slijede i koordinate tog sjecišta. Upotreba svojstava simetrije tijela (trokuta u ovom primjeru) omogućava da se do traženog rezultata dode znatno brže i bez upotrebe integralnog računa. To vrijedi i u svim drugim situacijama kad simetrija bilo koje vrste postoji, pa prije započinjanja računa treba malo razmisliti o tome mogu li te simetrije pomoći u pronalaženju odgovora koji se traži.

66 50 GLAVA 4: CENTAR MASE C A Q B Slika 4.4: Geometrijsko odredivanje koordinata težišta trokuta. C P CM A Q B Slika 4.5: Geometrijsko odredivanje koordinata težišta trokuta (2).

67 4.1: CENTAR MASE FIZIKALNOG TIJELA Primjer: Čamac na vodi x x 2 T 1 CMT 2 x 1 Slika 4.6: Čamac kod pristajanja uz obalu. Svaki pomorac zna da će pasti u vodu ako kod pristajanja pokuša iz zadnjeg dijela čamca izaći na obalu. Pokušajmo to objasniti. Neka je u trenutku pristajanja pomorac u zadnjem dijelu čamca, udaljen (težište T2) za x 2 od obale i neka mu je masa m 2 (slika 4.6). Masa čamca je m 1 a težište čamca T1 je za x 1 udaljeno od obale. Iz ovih podataka izlazi da je centar mase cijelog sustava (čamac+pomorac) na udaljenosti x od obale: x = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 (4.20) x x 4 T 2 CM T 1 x 3 Slika 4.7: Odmicanje čamca od obale kod pokušaja izlaženja iz njega. Ako pomorac sad krene prema prednjem dijelu čamca da bi izašao na obalu, čamac će se ispod njega odmaknuti od obale (slika 4.7). Zašto se to dogada? Uz pretpostavku da na sustav ne djeluju vanjske sile, položaj centra mase sustava uvijek je na istom mjestu. To znači da je nakon što se pomorac premjestio sa zadnjeg na prednji dio čamca x-koordinata centra mase ista, dakle: x = m 1x 3 + m 2 x 4 m 1 + m 2 (4.21) Izjednačavanjem (4.20) i (4.21) nalazi se: x 3 x 1 = m 2 m 1 (x 2 x 4 ) (4.22)

68 52 GLAVA 4: CENTAR MASE Kako se položaj težišta čamca, gledano prema čamcu, ne mijenja, za vrijeme premještanja pomorca sa zadnjeg na prednji dio čamca čamac se mora odmaknuti od obale upravo za razliku x 3 x 1 pa nepažljivi pomorac pada u vodu! Na kraju se za primjer mogu u jednadžbu (4.22) uvrstiti i neki stvarni podaci, primjerice m 1 = 200 kg, m 2 = 80 kg, x 1 = 200 cm i x 2 = 50 cm. U tom slučaju pomak čamca je x 3 x 1 = 60 cm, što zaista nije zanemarivo.

69 Glava 5 Gibanje krutog tijela Kruto tijelo je tijelo koje za vrijeme gibanja ili pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik (ne deformira se). Za razliku od materijalne točke kruto tijelo ima konačne dimenzije i točno definiran oblik pa su za njegov opis osim položaja (kod položaja krutog tijela misli se na na položaj njegovog centra mase) potrebni i podaci o njegovom obliku i raspodjeli mase unutar njega, ali i o tome kako to tijelo u prostoru stoji (primjerice, valjak može imati os usmjerenu u bilo koji smjer u prostoru, i taj smjer se za vrijeme gibanja može mijenjati). Srećom, u mnogim je problemima dovoljno znati položaj centra mase i ukupnu masu krutog tijela, ali će činjenica da su dimenzije tijela konačne preko rotacijske kinetičke energije (koja za materijalnu točku ne postoji) posredno dati svoj doprinos ukupnoj energiji tijela. 5.1 Kinetička energija rotacije Promotrimo kruto tijelo koje rotira oko neke osi u prostoru kutnom brzinom ω. Tijelo se podijeli na infinitezimalno malene volumene čije se mase označe sa m i. Ako je i-ti volumen od osi udaljen za r i, njegova je obodna brzina: v i = r i ω i (5.1) Zbog te brzine ovaj djelić tijela posjeduje kinetičku energiju KE i : KE i = 1 2 m ir 2 i ω 2 i (5.2) Ukupnu kinetičku energiju tijela nalazimo sumacijom po svim njegovim djelićima: KE = i 1 2 m ir 2 i ω 2 i (5.3) kako je kutna brzina za sve djeliće ista, može se izlučiti iz sume, pa ostaje: Preostala suma naziva se moment inercije, I: KE = 1 2 ω2 i m i ri 2 (5.4) i I = i m i r 2 i (5.5) 53

70 54 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA pa je kinetička energija rotacije tijela jednaka: KE = 1 2 Iω2 i (5.6) U slučaju tijela sastavljenog od manjeg broja dijelova moment inercije računa se po izrazu (5.5). Pri tome se za svaki dio tijela udaljenost od osi rotacije odreduje kao udaljenost težišta tog djela od osi. Kod većine tijela se moment inercije računa u granici m 0 što sumu prevodi u integral: I = r 2 dm (5.7) Ovisno o izgledu tijela, ovaj se integral rješava na nekoliko načina. U prvom redu, najčešće su tijela koja nas zanimaju homogena, što znači da im je gustoća u svim točkama tijela ista. U ovom se slučaju element mase prikazuje kao umnožak konstantne gustoće i volumena tog elementa mase: što pojednostavljuje integral: dm = ρdv (5.8) I = ρ r 2 dv (5.9) Nadalje se nastoji dv izraziti preko neke pogodne koordinate tako da integral bude što jednostavniji. Općenito je (ako integral rješavamo u kartezijevom koordinatnom sustavu): dv = dxdydz (5.10) ali se kod tijela koja posjeduju neku simetriju ovo lako može pojednostaviti tako da umjesto volumnog preostane plošni ili linijski integral. Primjerice, ako je tijelo u nekom smjeru konstantne debljine (recimo izradeno iz lima ili sl.), postavi se u tom smjeru z-os pa se prvo izvrši integracija po koordinati z, koja kao rezultat daje debljinu tijela d. Nju se u idućem koraku stavlja ispred integrala (konstantna je) gdje se pomnoži s gustoćom tijela. Ovaj umnožak nije ništa drugo nego površinska gustoća mase s kojom smo se već susreli. On predstavlja masu po jedinici površine tijela: a izraz za moment inercije (uz dxdy = da) prelazi u: σ = ρd (5.11) I = σ r 2 da (5.12) čime je integral po volumenu tijela preveden u plošni integral po jednoj plohi tog tijela. Ako tijelo ima konstantni presjek, integral se dalje može prevesti u linijski integral. U tu svrhu koordinatne osi postave se tako da x-os ide u smjeru osi tijela. Presjek tijela okomit na x-os leži u y-z ravnini, i ima konstantnu površinu koju označimo s A. Ona je rezultat dvostruke integracije po y i z, i kao i u prethodnom primjeru, stavlja se ispred integrala gdje se pomnoži s gustoćom: λ = ρa (5.13)

71 5.1: KINETIČKA ENERGIJA ROTACIJE 55 λ predstavlja masu po jedinici dužine tijela, odn. linijsku gustoću mase, a sam integral sveden je na linijski integral po x koordinati: I = λ r 2 dx (5.14) Pri rješavanju svih ovih integrala dodatno se koriste i preostale simetrije, ako ih ima. U praksi se momenti inercije za oblike tijela koji se često susreću mogu naći u tehničkim priručnicima i tablicama. Pri tome se uglavnom navode momenti inercije za osi koje prolaze kroz centar mase tijela a paralelne su s osima simetrije tijela (tzv. glavni ili centralni momenti inercije) Primjer: moment inercije štapa Potrebno je naći moment inercije štapa mase m i duljine l, koji rotira oko osi okomite na štap a koja prolazi kroz jedan njegov kraj (slika 5.1). ω l x dx dm Slika 5.1: Geometrija štapa, koji rotira oko osi okomite na štap a koja prolazi kroz jedan njegov kraj. Koordinatni sustav postavi se tako da se os rotacije podudara sa z-osi sustava, a os štapa s x-osi. Za element mase odabere se volumen izmedu dva bliska presjeka štapa ravninama okomitim na x-os, a razmaknutima za dx. To omogućava jednodimenzionalnu integraciju u smjeru x-osi. Masa odabranog elementa je: dm = λdx (5.15) pri čemu se linijska gustoća mase odredi iz omjera ukupne mase i duljine štapa: λ = m l (5.16) Primijetite da nije bilo potrebno odredivati površinu presjeka štapa! Moment inercije sad izračunamo uz pomoć relacije (5.12): I = λ x 2 dx = 1 3 ml2 (5.17)

72 56 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA Teorem o paralelnim osima Ovaj teorem omogućava jednostavno nalaženje momenta inercije tijela oko bilo koje osi koja je paralelna s osi koja prolazi kroz centar mase tijela a za koju znamo moment inercije. Zato ga ovdje navodimo bez njegova dokazivanja: Ako je I CM moment inercije tijela za os koja prolazi centrom mase tijela, onda je moment inercije I tog tijela za bilo koju drugu os koja je paralelna s njom jednak: I = I CM + Md 2 (5.18) gdje je M masa tijela a d udaljenost osi za koju se traži moment inercije I od paralelne osi kroz centar mase tog tijela. Primjer: Koliki je moment inercije štapa iz prethodnog primjera ako on rotira oko osi okomite na njega a koja prolazi kroz centar mase štapa? Upotrijebimo teorem o paralelnim osima. Po njemu je moment inercije štapa oko osi kroz njegov rub jednak (centar mase štapa nalazi se u sredini štapa, pa je njegova udaljenost od ruba L/2, ako je L duljina štapa): Odakle slijedi: ( ) 1 L 2 3 ML2 = I CM + M (5.19) 2 I CM = 1 12 ML2 (5.20) Moment sile CM r r sinϕ ϕ F Slika 5.2: Odredivanje momenta sile.

73 5.1: KINETIČKA ENERGIJA ROTACIJE 57 Ako na materijalnu točku djeluje neka sila, ona se ubrzava. No, ako se radi o tijelu, hvatište sile je na njegovoj površini a ne u centru mase, pa tijelo uz ubrzavanje počinje i rotirati. Ovakvo djelovanje sile opisuje se momentom sile. Situacija je shematski prikazana na slici 5.2. Moment sile po iznosu je jednak umnošku iznosa sile s najmanjom (okomitom) udaljenošću pravca djelovanja sile od centra mase tijela: T = F r sin ϕ = F r (5.21) gdje je r udaljenost pravca djelovanja sile od centra mase tijela. Kao i sila, moment sile je vektor, a njegov smjer je okomit na ravninu u kojoj leže pravac djelovanja sile i centar mase, a odreduje se pravilom desne ruke: T = F r (5.22) Neka na česticu mase m koja se giba po kružnici polumjera r djeluje tangencijalna sila F. Ubrzanje čestice dano je II Newtonovim aksiomom: Pomnože li se obje strane ovog izraza s r, izlazi: F = ma (5.23) F r = mra (5.24) No, F r je moment sile, T, i a = rα, pa uvrštavanje u (5.24) rezultira sa: T = mr 2 α (5.25) Ako umjesto jedne čestice promatramo fizikalno tijelo, podijeli ga se na infinitezimalno male dijelove, i svaki dio tretira kao materijalnu česticu. Sve se te čestice ubrzavaju istim kutnim ubrzanjem α (tijelo se smatra krutim) pa za svaku od njih vrijedi izraz (5.25): dt = dmr 2 α (5.26) Integracija po svim djelićima tijela daje: T = α r 2 dm = Iα (5.27) Izraz (5.27) je II Newtonov aksiom za rotacijsko gibanje krutog tijela Rotacijski rad i snaga Neka se tijelo pod djelovanjem tangencijalne sile zakrene za infinitezimalni kut dϕ. Sila je pri tome izvršila rad: Ukupni rad učinjen pri rotaciji tog tijela je dakle: a snaga je: dw = F ds = F rdϕ = T dϕ (5.28) W = F ds = T dϕ (5.29)

74 58 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA P = dw = T dϕ dt dt = T ω (5.30) Teorem o radu za rotacijsko gibanje postaje: W = ϕ Kinetička energija kotrljanja ϕ 1 T dϕ = 1 2 Iω Iω2 1 (5.31) Ako se kotač polumjera R kotrlja bez proklizavanja, točka na njegovom obodu giba se obodnom brzinom v = Rω, a kotač ima kinetičku energiju rotacije: KR = 1 2 I CMω 2 (5.32) jer se rotacija odvija oko središta kotača, koje se (uz pretpostavku da je kotač simetrično graden) podudara sa centrom mase kotača. Kotrljanje bez proklizavanja istovremeno nosi kotač brzinom v u smjeru kotrljanja, što se može opisati jednolikim gibanjem po pravcu s brzinom v. Kotrljanje je shodno tome složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu brzinom v = Rω i jednolike rotacije oko središta kotača kutnom brzinom ω. Kako jednolikom gibanju po pravcu pripada kinetička energija: KE = 1 2 mv2 (5.33) ukupna kinetička energija kotrljanja je zbroj ova dva doprinosa: Kutna količina gibanja KE K = KR + KE = 1 2 I CMω mv2 (5.34) Analogno količini gibanja P = m v definira se kutna količina gibanja: L = r P = r m v (5.35) Ako su vektori r i P u xy-ravnini, vektor kutne količine gibanja je u +z smjeru. Njegova vremenska promjena je: medutim, dl dt = d dt ( r P ) = d r dt P + r d P dt (5.36) pa je: d r dt P = v mv = m v v = 0 (5.37) dl dt = r d P dt = r F = T (5.38) Ako se pretpostavi da neko kruto tijelo rotira oko z-osi, njegova kutna količina gibanja je takoder u smjeru te osi i iznosi:

75 5.1: KINETIČKA ENERGIJA ROTACIJE 59 L z = i m i r i v i (5.39) pri čemu je tijelo podijeljeno na infinitezimalno malene komadiće koji su obilježeni (pobrojeni) indeksom i. Kako je za kruto tijelo kutna brzina svih njegovih dijelova ista, gornji izraz (uz v i = r i ω) postaje: L z = i m i r 2 i ω = Iω (5.40) Gdje je I odgovarajući moment inercije. kruto tijelo, izlazi: Nadalje, primijeni li se jednadžba (5.38) na d L dt = i r i F i (5.41) Pri tome se svi članovi koji sadržavaju sile medudjelovanja (sile izmedu dijelova tijela) krate jer su te sile prema III. Newtonoom aksiomu jednake po iznosu, a suprotnoga smjera, pa ostaje: d L dt = i r i F i,vanjska = T vanjski (5.42) Što odgovara izrazu d p/dt = F vanjski za translatorno gibanje. Ako nema vanjskog momenta sile, izraz (5.42) isčezava, što znači de je u tom slučaju kutna količina gibanja konstantna. Ovaj zaključak vrijedi i općenito i naziva se zakon sačuvanja kutne količine gibanja. Primjer Sunčeva gravitacijska sila ne proizvodi gotovo nikakav moment sile na Zemlju jer je Zemlja gotovo idealna kugla. Zemlja se oko Sunca giba po eliptičnoj stazi, i u trenu kad je najbliža Suncu njena brzina iznosi 30 kms 1. Njena udaljenost od Sunca je u tom času 1, km. Kolika je brzina Zemlje u trenu kad je od Sunca najudaljenija, ako ta udaljenost iznosi 1, km? rješenje: Kako nema vanjskog momenta sile na Zemlju, njezina kutna količina gibanja je konstantna, pa je: odakle slijedi da je: mr 1 v 1 = mr 2 v 2 (5.43) Precesija v 2 = r 1 r 2 v 1 = 29, 3 kms 1 (5.44) Ako na neko tijelo djeluje moment sile, mijenja se njegova kutna količina gibanja. Pri tome je, za mali vremenski interval t: L = T t (5.45)

76 60 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA To znači da je promjena kutne količine gibanja vektor čiji smjer je jednak smjeru vektora momenta sile. Ako se ograničimo na kruto tijelo, njegov moment inercije je konstantan pa se promjena količine gibanja, L = Iω, očituje u promjeni kutne brzine rotacije, ω. L L L T T L L T L Slika 5.3: Promjena kutne količine gibanja ovisi o medusobnoj orijentaciji vektora kutne količine gibanja i vektora njene promjene. Ako je moment sile, T, paralelan s kutnom količinom gibanja, L, promjena kutne količine gibanja je u smjeru same kutne količine gibanja pa se vektor kutne količine gibanja povećava (slika 5.3 lijevo). To znači (uz konstatan moment inercije) da se kutna brzina rotacije povećava. Ako je moment sile, T, u suprotnom smjeru od kutne količine gibanja, L, promjena kutne količine gibanja je takoder u suprotnom smjeru od kutne količine gibanja pa se vektor kutne količine gibanja smanjuje (slika 5.3 sredina). To znači (uz konstatan moment inercije) da se kutna brzina rotacije smanjuje. Ako je moment sile, T, okomit na kutnu količinu gibanja, L, i promjena kutne količine gibanja je okomita na kutnu količinu gibanja pa vektor kutne količine gibanja zadržava svoju veličinu, ali mu se mijenja smjer (slika 5.3 desno). To znači (uz konstatan moment inercije) da se kutna brzina rotacije ne mijenja, ali se smjer osi rotacije u prostoru s vremenom mijenja. Ako je moment sile proizvoljnog smjera, promjena kutne količine gibanja je vektorski zbroj promjene (koja je uvijek u smjeru momenta sile) i trenutne kutne količine gibanja. Najčešće se problem rješava tako da se promjena kutne količine gibanja rastavi na komponentu koja je paralelna sa smjerom količine gibanja i na komponentu koja je na taj smjer okomita. U slučaju da je moment sile okomit na smjer kutne količine gibanja, i promjena kutne količine gibanja okomita je na taj smjer, pa dolazi do rotacije smjera kutne količine gibanja, pri čemu se kutna brzina rotacije ne mijenja. Ova pojava naziva se precesija. Ovakvo gibanje pokazuje zvrk. Zvrk je tijelo koje rotira oko osi koja nije u smjeru sile teže. Problem zvrka shematski je prikazan na slici 5.4. Os rotacije zvrka nagnuta je za kut α prema vertikali (z-os), a zvrk dira podlogu (x-y ravninu) u ishodištu. Težina zvrka ima hvatište u centru mase zvrka i djeluje prema dolje, pa moment sile teže oko ishodišta stoji okomito na vektor kutne količine gibanja zvrka. To znači da je i promjena kutne količine gibanja, L, okomita na kutnu količinu gibanja. U malom vremenskom intervalu t je:

77 5.1: KINETIČKA ENERGIJA ROTACIJE 61 Lsinα L α z L z ϕ CM T L α mg y y x x Slika 5.4: Do precesije dolazi kad tijelo rotira u polju sile teže oko osi koja nije u smjeru sile teže (lijevo). Rezultirajuća promjena kutne količine gibanja dovodi do rotacije vektora kutne količine gibanja oko z-osi (desno). L = L sin (α) ϕ (5.46) odakle se dijeljenjm sa t u granici kad t ide u nulu nalazi: dl = T = L sin (α)dϕ (5.47) dt dt Vremenska promjena kuta ϕ pretstavlja kutnu brzinu s kojom os rotacije zvrka rotira oko z-osi i naziva se kutna brzina precesije: ω P = dϕ dt = T L sin (α) (5.48) Vidimo da je precesija sporija ako je kutna količina gibanja zvrka veća, i ako je kut nagiba prema vertikali veći. Ovaj račun je valjan samo ako je kutna količina gibanja zvrka, Iω, znatno veća od kutne količine gibanja precesije, I P ω P, te ako kut nagiba osi rotacije prema verikali nije premalen Rotacija i precesija Zemlje Period rotacije Zemlje je T = 23 h 56 m, što odgovara kutnoj brzini ω = 7, s 1. Obodna brzina rotacije ovisi o zemljopisnoj širini: v = rω = R cos (ϕ)ω (5.49) gdje je R polumjer Zemlje a ϕ zemljopisna širina. Uz uvrštavanje poznatih numeričkih podataka nalazi se: v = 465 cos (ϕ) ms 1 (5.50) Zbog rotacije objekti na zemljinoj površini osjećaju i centrifugalno ubrzanje:

78 62 GLAVA 5: GIBANJE KRUTOG TIJELA a cp = 0, 0339 cos 2 (ϕ) ms 2 (5.51) koje se najčešće može zanemariti jer mu je maksimalni iznos (na ekvatoru!) 3,39 cms 2. Zemljina os rotacije nagnuta je prema ravnini zemljine staze oko Sunca za oko 23,5. Zbog toga postoji mali moment sunčeve gravitacijske sile koji izaziva precesiju zemljine osi oko okomice na njenu stazu oko Sunca. Taj moment sile nije velik, pa je period precesije vrlo dug, oko godina. Iako se u svakodnevnom životu može zanemariti, precesija ima značajan utjecaj na spore procese (klimatske promjene i sl.) Coriolisov efekt Jedna od posljedica Zemljine rotacije je i Coriolisov efekt. On se očituje kad se tijelo giba po Zemljinoj površini. Zbog inercije tijelo za vrijeme tog gibanja teži zadržavanju svoje trenutne brzine (i po iznosu i po smjeru!). Medutim, rotacija Zemlje tu brzinu pokušava stalno mijenjati. Vežemo li koordinatni sustav u kojem promatramo gibanje tijela za jednu točku Zemljine površine, rotacija Zemlje očitovat će se u stalnoj promjeni smjera i iznosa brzine tijela, koje je posljedica toga da koordinatni sustav nije nepomičan već rotira zajedno sa Zemljinom površinom. Ovaj efekt naziva se Coriolisov efekt, a najlakše ga možemo shvatiti promatrajući neko tijelo koje se giba konstantnom brzinom po Zemljinoj površini. Ako se takvo tijelo giba po meridijanu od pola prema ekvatoru, obodna brzina Zemlje ispod njega stalno raste, pa tijelo počinje zaostajati za Zemljinom površinom jer zadržava obodnu brzinu mjesta s kojeg je krenulo. Za opažača na Zemljinoj površini čini se da tijelo neobjašnjivo skreće prema zapadu (ako se gibanje odvija na sjevernoj polutci). Ako se tijelo giba u suprotnom smjeru, opaža se skretanje prema istoku. Ovo skretanje opisuje se prividnom silom (prividnom zato jer se opaža u koordinatnom sustavu koji rotira, pa je ta sila posljedica te rotacije; za opažača u koordinatnom sustavu koji miruje, ova sila ne postoji) koja se naziva Coriolisova sila. Njen iznos je: F c = 2mvω (5.52) gdje je m masa tijela koje se po zemljinoj površini giba brzinom v, a ω je kutna brzina zemljine rotacije. Pripadajuće ubrzanje je: a c = F c = 2vω (5.53) m Tako naprimjer, riječni tok koji se giba brzinom od 1 ms 1 osjeća Coriolisovo ubrzanje od a c = 1, ms 2, a avion koji leti brzinom od 300 ms 1, osjeća znatno veće ubrzanje od a c = 0, 044 ms 2. Coriolisov efekt uglavnom je primjetan kod velikh tijela, npr. atmosferskih ciklona i anticiklona kod kojih dovodi do kružnog gibanja zračnih masa.

79 Glava 6 Gravitacija Što god radili i gdje god se kretali, uvijek osjećamo djelovanje sile teže. Ona nam daje težinu, zbog nje tijela padaju prema Zemlji. Već su stari filozofi naslućivali da to nije sve, već da se djelovanje sile teže proteže i u prostor izvan same Zemlje. Znastveno proučavanje sile teže započeo je Galileo Galilei krajem 16. stoljeća svojim poznatim pokusima bacanja raznih tijela s Kosog tornja u Pizi. Djelovanje sile teže u svemiru objasnio je Isaac Newton u svojoj knjizi Principia. Danas je uobičajeno da se ova sila naziva Gravitacija a pojam sila teža odnosi se na gravitacijsku silu planeta Zemlje u blizini njene površine. 6.1 Keplerovi zakoni Početkom 17. stoljeća njemački astronom Johannes Kepler je na osnovi proučavanja precizno izmjerenih položaja planeta arsa formulirao tri zakona planetarnih gibanja koji se danas po njemu nazivaju Kepler-ovi zakoni. Oni su bili zadnji udarac geocentričnom sustavu i podloga za Newton-ov zakon gravitacije koji je na njihovoj osnovi izveden. Bez ulaženja u detalje njihova dokazivanja, ovdje će oni biti sažeto navedeni: 1. Keplerov zakon: Planeti se gibaju oko Sunca po eliptičnim stazama, pri čemu je Sunce u jednom žarištu elipse. 2. Keplerov zakon: Omjer kvadrata ophodnog vremena planeta i kuba velike poluosi njegove staze je isti za sve planete. Ovaj zakon najčešće se formulira tako da se poluos staze planeta izražava u poluosima zemljine taze, a period u preiodima ophoda Zemlje. Tada je njegov matematički izraz najjednostavniji: T 2 R 3 = 1 (6.1) gdje je T ophodni period planeta (period revolucije) u godinama, a R velika poluos njegove staze u astronomskim jedinicama. Astronomska jedinica definira se kao velika poluos Zemljine staze oko Sunca. Njena veličina je km. 3. Keplerov zakon: Radijus vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prebriše jednake površine. Radijusvektor planeta je vektor položaja planeta u heliocentričnom koordinatnom sustavu koji ishodište ima u onom žarištu staze u kojem se nalazi Sunce. 63

80 64 GLAVA 6: GRAVITACIJA Proučavajući Keplerove zakone Isaac Newton je postavio univerzalni zakon gravitacije. Jedan od načina da se to postigne je da se zanemari eliptičnost planetnih staza i da se pretpostavi da su sve planetne staze kružnice. Uz tu pretpostavku 3. Keplerov zakon postaje: v = konst. (6.2) Pa je brzina gibanja planeta jednostavno omjer opsega staze i perioda revolucije: v = 2Rπ (6.3) T Da bi planet ostao na kružnoj stazi, mora postojati centripetalna sila koja ga sili na kružno gibanje: F cp = m v2 R gdje ej m masa planeta. Uvrstimo izraz za brzinu (6.3): (6.4) F cp = m 4R2 π 2 RT 2 (6.5) T 2 se izrati preko 2. Keplerovog zakona: T 2 = cr 3 (6.6) gdje je c konstanta u 2. Keplerovom zakonu. Ona ovisi o jedinicama u kojima se izražavaju T i R. Uz pomoć (6.6) (6.5) postaje: F cp = m 4π2 cr 2 = k m R 2 (6.7) gdje je k konstanta. Newton je na osnovu svojeg rada na teoriji gravitacije zaključio da je k = GM gdje je G univerzalna gravitacijska konstanta a M masa središnjeg tijela planetnog sustava, u ovom slučaju Sunca. 6.2 Newtonov zakon gravitacije Proučavajući silu težu Newton je došao do zaključka da je ona samo jedna manifestacija općenitije sile koja se proteže kroz cijeli Svemir. Ovu općenitu silu nazvao je Gravitacija i njeno djelovanje formulirao u obliku poznatog Newtonovog zakona gravitacije: F = G m 1m 2 (6.8) r 2 F je iznos sile izmedu dva tijela čije mase su m 1 i m 2. Obje mase osjećaju istu silu, koja ih vuče prema onoj drugoj masi (sila dakle uvijek djeluje u smjeru spojnice dviju masa!), u skladu s trećim Newtonovim aksiomom. Sila je uvijek privlačna i proporcionalna umnošku masa dvaju tijela. G je konstanta proporcionalnosti koja se danas naziva univerzalna gravitacijska konstanta. Njen iznos je G = 6, Nm 2 kg 2 (6.9)

81 6.3: SILA TEŽA 65 Strogo gledano, ova formula vrijedi za točkaste mase. Gravitacija je relativno slaba sila, što najbolje možemo vidjeti iz sljedećeg primjera: Primjer: gravitacija u svakodnevnom životu Pokušajmo odrediti kolika je gravitacijska sila izmedu mladića mase 80 kg i djevojke mase 60 kg, ako oni stoje 1 m udaljeni jedno od drugog. Radi jednostavnosti ćemo pretpostaviti da se radi o točkastim masama, da bismo mogli koristiti jednostavnu formulu F = 6, = 3, N (6.10) 1 2 Ova je sila zaista malena pa je lako doći do krivog zaključka da je gravitacijska sila u svakodnevnom životu zanemariva. Zanemariva je gravitacijska sila izmedu većine tijela iz naše okolice, ali samo toliko dugo dok njihove mase nisu prevelike. Presudna je s druge strane gravitacijska sila izmedu tih tijela i Zemlje, zato što je masa Zemlje toliko velika (M z = 5, kg) da je gravitacijska sila s kojom ona djeluje na tijela u blizini njene površine itekako značajna. 6.3 Sila teža Već smo rekli da pod silom težom podrazumijevamo gravitacijsku silu Zemlje u blizini njene površine. Iz Newtonovog zakona za iznos sile kojom Zemlja djeluje na neko tijelo na njenoj površini nalazimo: F = G m m z r 2 z (6.11) Ovu silu nazivamo težina a obično je označavamo s T ili G pri čemu u ovom drugom slučaju moramo paziti da oznaku G ne pobrkamo s univerzalnom gravitacijskom konstantom. Malo preslagivanje Newtonovog zakona uz zamjenu oznaka daje nam slijedeće: T = m Gm z r 2 z (6.12) ili, zapisano na odavno poznati način: T = mg g = Gm z r 2 z (6.13) Kako je masa Zemlje 5, kg, a njen polumjer 6, m, nalazimo: g 9, 78 ms 2 (6.14) Konstanta g naziva se ubrzanje sile teže. Iznos ubrzanja sile teže standardiziran je na g = 9, 81 ms 2.

82 66 GLAVA 6: GRAVITACIJA 6.4 Gravitacijska potencijalna energija Detalnjije proučavanje gravitacije pokazalo je da je ona konzervativna sila pa možemo definirati i potencijalnu energiju vezanu uz nju. Kao i prije, do izraza za gravitacijsku potencijalnu energiju dolazimo preko proučavanja rada gravitacijske sile. Kako je gravitacijska sila uvijek usmjerena prema masi na koju djeluje, stavimo jednu masu u ishodište koordinatnog sustava, a drugu na udaljenost r od nje. Neovisno o smjeru u kojem se druga masa nalazi, gravitacijska sila ovisi samo o iznosu udaljenosti r, pa možemo pisati: W = U(r 2 ) U(r 1 ) = r2 r 1 F dr (6.15) Nakon uvrštavanja izraza za gravitacijsku silu 6.8 i integriranja dobijamo slijedeći izraz: r2 U(r 2 ) U(r 1 ) = G m ( 1m 2 1 dr = Gm r 1 r 2 1 m 2 1 ) (6.16) r 2 r 1 Dogovorom je odredeno da potencijalna funkcija U(r) bude jednaka nuli u beskonačnosti, pa je izraz za gravitacijsku potencijalnu funkciju U(r) = G m 1m 2 r (6.17) Potencijalna energija sile teže Ako se ograničimo na male visine h iznad površine Zemlje (tj. h << R z ) možemo pisati r 1 = R z Time izraz za rad u polju sile teže postaje r 2 = R z + h (6.18) W = U(R z + h) U(r z ) = G mm z R z + h + GmM z R z (6.19) Nadalje, svodenje na zajednički nazivnik daje W = GmM z ( h R 2 z + hr z ) (6.20) No kako je h << R z može se drugi član nazivnika zanemariti prema prvome pa dolazimo do pojednostavljenog izraza za gravitacijsku potencijalnu funkciju koji vrijedi za male visine iznad zemljine površine: odnosno (uz upotrebu 6.13): W = GmM z ( h R 2 z ) (6.21) W = mgh (6.22) pri čemu h=0 odgovara površini Zemlje. Tako smo došli do izraza za potencijalnu energiju sile teže koji nam je odavno poznat. Podsjetimo još da zbog slobodnog izbora visine h za koju je potencijalna enrgija sile teže jednaka nuli vrlo često u praktičnim računima stavljamo

83 6.4: GRAVITACIJSKA POTENCIJALNA ENERGIJA 67 da je potencijalna energija nula u najnižoj točki koja nam se u računu javlja. To nam osigurava račun u kojem su sve potencijalne energije pozitivne što umanjuje mogućnost računske pogreške.

84 68 GLAVA 6: GRAVITACIJA

85 Glava 7 Ravnoteža tijela i Statika Ako se neko tijelo giba jednoliko ili miruje, kažemo da se nalazi u stanju ravnoteže. Prvi Newtonov aksiom odmah nam govori da zbroj sila koje na neko tijelo djeluju mora iščezavati. Ako tijela možemo pojednostaviti na materijalne točke to je jedini i dovoljni uvjet jer sve sile djeluju na istu točku u prostoru pa momenti sila automatski iščezavaju. Uvjet ravnoteže za materijalnu točku je dakle F i = 0 (7.1) i gdje suma ide po svim silama koje djeluju na odabranu materijalnu točku. S druge strane, tijela u stvarnosti imaju odreden oblik i veličinu i mogu se osim translacijskog gibanja i rotirati oko proizvoljne osi pa su uvjeti ravnoteže za njih složeniji. Ovakva tijela nazivamo i fizikalna tijela. Za njih ćemo reći da su u ravnoteži ako je uz gornji uvijet (mirovanje ili jednoliko gibanje po pravcu) zadovoljen i uvjet da je kutna brzina fizikalnog tijela konstantna po iznosu i smjeru, tj. da se tijelo jednoliko rotira oko osi koja je fiksna u prostoru. Ovo nam daje dodatni uvjet ravnoteže koji zahtjeva da zbroj momenata svih sila koje na tijelo djeluju iščezava, dakle da je T i = 0 (7.2) i Ovdje se prirodno postavlja pitanje izbora točke prema kojoj ćemo računati momente sila. Pogledajmo prvo jednostavniji slučaj tijela koje miruje (dakle niti se giba niti rotira). Ako tijelo ne rotira, onda ono ne rotira bez obzira na to koju proizvoljnu točku mi odaberemo kao središte rotacije, pa ukupni moment sila oko te točke mora iščeznuti. Kako je točka proizvoljno odabrana, slijedi da ukupni moment sila za svaku proizvoljno odabranu točku mora iščeznuti ako tijelo miruje. Matematički se može pokazati da ovaj zaključak vrijedi i u slučaju kad tijelo jednoliko rotira. I tada ukupni moment sila iščezava za svaku proizvoljno odabranu točku za koju taj moment sila računamo. Ova činjenica nam znatno olakšava račun momenata sila u uvjetima ravnoteže. Naime ako zamišljeno središte rotacije odaberemo tako da se nalazi na produžetku vektora neke nepoznate sile, moment te sile iščezava iz računa, čime si znanto olakšavamo rješavanje zamršenih problema ravnoteže. Statika je poseban slučaj ravnoteže u kojem tijela miruju. Unutar statike obično izračunavamo sile i momente koji djeluju na ili unutar neke strukture ili konstrukcije (npr. dio nekog 69

86 70 GLAVA 7: RAVNOTEŽA TIJELA I STATIKA stroja, strukture mosta, dizalice i sl.). Na osnovu tih izračuna konstruiraju se te strukture tako da mogu izdržati sve sile koje za vrijeme njihovog korištenja na njih mogu djelovati (npr. most očigledno mora izdržati težinu svih vozila koja se u jednom trenutku na njemu mogu naći!). Kod rejšavanja statičkih problema posebno je važno nacrtati točnu skicu svih sila i njihovih hvatišta. Ako je sustav tih sila jako zamršen, proučava s epo svojim pojedinim dijelovima, a onda se od njih slaže cijela struktura. Ponovimo još jednom uvjete za ravnotežu fizikalnog tijela: i F i = 0 i T i = 0 (7.3) Primjer: nošenje grede A T B F 1 F 2 G Slika 7.1: Dva radnika nose gredu tako da ju drže u točkama A i B. Težište grede je u njenoj sredini (točka T). U primjeru na slici 7.1 dva radnika nose gredu težine 600 N i dužine 6 m tako da prvi radnik (A) drži gredu na mjestu udaljenom 1 m od prednjeg kraja grede, a drugi radnik (B) na mjestu koje je 2 m udaljeno od zadnjeg kraja grede. Zanima nas koju težinu nosi svaki od ta dva radnika. Da bismo riješili ovaj problem, poslužit ćemo se uvjetima ravnoteže 7.3. Prvi uvjet nam odmah daje da je zbroj sila kojima radnici djeluju na gredu jednak njenoj težini (pazite na smjer djelovanja sila!): F 1 + F 2 G = 0 ili F 1 + F 2 = G (7.4) Da bi iskoristili drugi uvjet, moramo prvo orediti točku za koju ćemo računati momente sila. Uzmimo npr. da je to točka A. Jednadžba ravnoteže momenata (udaljenosti izražavamo u metrima!) nam onda daje: F F 2 3 G 2 = 0 (7.5)

87 71 odakle odmah nalazimo da je: a uz pomoć prvog uvjeta nalazimo i F 1 : F 2 = 2 G = 400N (7.6) 3 F 1 = G F 2 = 1 3 G = 200N (7.7) Drugi radnik dakle zbo lošeg odabira točke u kojoj podupire gredu nosi dva puta veću težinu od prvog. Za vježbu možete ponoviti račun sa drugačijim odabirom središta rotacije i uvjeriti se da će rezultat biti isti!

88 72 GLAVA 7: RAVNOTEŽA TIJELA I STATIKA

89 Glava 8 Titranja 8.1 Uteg na opruzi -x k 0 +x m kx mg Slika 8.1: Uteg na opruzi kao model harmoničkog titranja. Na oprugu konstante k obješen je uteg mase m. Na uteg djeluju sila opruge i sila teža, a ako se uteg pomakne izvan ravnotežnog položaja, dolazi do njegovog titranja gore-dolje. Titranje je jednodimenzionalno, a x-os orijentirana je tako da njen pozitivni smjer pokazuje prema dolje. Jedan od najjednostavnijih modela titranja je uteg obješen na oprugu. Opruga je svojim gornjim krajem vezana za čvrsti oslonac, a na njenom donjem dijelu visi uteg mase m. Na uteg djeluju dvije sile: sila opruge (F o = kx) i sila teža (F g = mg). Ako se u takvoj situaciji uteg pomakne izvan ravnotežnog položaja, dolazi do njegovog titranja gore-dolje. Titranje je jednodimenzionalno, pa ćemo analizu raditi uz upotrebu x-koordinate. Pri tome ćemo x-os postaviti tako da njen pozitivni smjer pokazuje u smjeru istezanja opruge (prema dolje). Ishodište ćemo odabrati tako da je kraj neistegnute opruge (opruge bez utega) u ishodištu. Ako su sile u ravnoteži, uteg miruje, a jednadžba ravnoteže sila je: 73

90 74 GLAVA 8: TITRANJA ili, uzevši u obzir suprotne smjerove sila: F o + F g = 0 (8.1) kx o = mg (8.2) odatle nalazimo ravnotežni položaj utega (=istezanje opruge) kao: x o = mg (8.3) k Ako uteg izbacimo iz ravnoteže, zbroj težine i sile opruge bit će različit od nule i vući će uteg u smjeru veće sile: ili F o + F g = ma (8.4) ma = kx + mg (8.5) težinu eliminiramo uz pomoć jednadžbe 8.3: ma = kx + kx o = k(x x o ) (8.6) U idućem koraku pomaknemo ishodište u točku x = x 0, što odgovara zamjeni varijabli: s rezultatom: x = x x o (8.7) ma = kx (8.8) Odavde vidimo da se u pomaknutom koordinatnom sustavu naš model ponaša kao da nema sile teže. To je zato što je u slučaju opruge sila proporcionalna pomaku. U daljnjoj analizi ispustit ćemo crticu na koordinati pomaka x, pri čemu treba zapamtiti da se x sada mjeri od ravnotežnog položaja utega na opruzi. Naša jednadžba dakle glasi: Sjetimo se sad da je ubrzanje druga derivacija pomaka x: ma = kx (8.9) čime jednadžba prelazi u: a = d2 x dt 2 (8.10) je: m d2 x = kx (8.11) dt2 Dobili smo tzv. jednadžbu harmoničkog (ili harmoničkog) titranja. Njeno opće rješenje x = A cos(ωt + ϕ o ) (8.12)

91 8.1: UTEG NA OPRUZI 75 gdje su A, ω i ϕ o konstante kojima ćemo se vratiti nešto kasnije. Prije toga provjerimo zadovoljava li naše pretpostavljeno rješenje 8.12 jednadžbu U prvom koraku iz rješenja 8.12 nademo izraze za brzinu i ubrzanje: v = dx dt = Aω sin(ωt + ϕ o) (8.13) a = dv dt = d2 x dt 2 = Aω2 cos(ωt + ϕ o ) (8.14) Uvrštavanjem 8.12 i 8.14 u 8.11 nalazimo da je jednadžba 8.11 zadovoljena ako je: ω = k m (8.15) Konstanta ω naziva se kutna frekvencija titranja. Detaljnijom analizom jednadžbe 8.12 nalazimo da se titranje utega periodički ponavlja, pri čemu je amplituda titranja dana konstantom A. x A T/4 T/2 3T/4 T t -A v Aω -Aω a Aω 2 T/4 T/2 3T/4 T t -Aω 2 T/4 T/2 3T/4 T t Slika 8.2: Grafički prikaz položaja, brzine i ubrzanja utega koji titra na opruzi. Titranje se odvija s periodom T i amplitudom A. Kao i kod kružnog gibanja, titranje je periodično, s periodom vraćanja utega u isti položaj: T = 2π ω = 1 f (8.16) ovdje je f je frekvencija titranja tj. broj ponavljanja titraja u jedinici vremena. Konstanta ϕ o je faza u kojoj se titranje nalazi u trenutku t = 0 i naziva se fazna konstanta (titranja).

92 76 GLAVA 8: TITRANJA Amplituda titranja i fazna konstanta ϕ o nalaze se iz početnih uvjeta koji su u ovom slučaju najčešće početni položaj i početna brzina utega (položaj i brzina utega u trenu t = 0). U najjednostavnijem slučaju uteg se povuče iz ravnotežnog položaja u položaj x 0 i u nekom trenutku pusti da iz stanja mirovanja počne titrati. Ako trenutak puštanja proglasimo nultim vremenom (t = 0), onda su početni uvjeti očito x(0) = x o i v(0) = 0, što, uz pomoć jednadžbi 8.12 i 8.13, daje A = x o i ϕ o = 0. Uobičajeni grafikoni prijedenog puta, brzine i ubrzanja za ovakvo titranje prikazani su na slici Primjer 1 Utez na opruzi oscilira po zakonu: x = 0, 02 cos (πt) (m) (8.17) Odredite amplitudu, maksimalnu brzinu i maksimalno ubrzanje utega te period titranja. Direktnim iščitavanjem iz jednadžbe gibanja nalazimo: A = 0, 02 (m) (8.18) i dalje, uz pomoć jednadžbi 8.13 i 8.14: ω = π (s 1 ) (8.19) v max = ωa = 0, 0628 (ms 1 ) (8.20) te na kraju, preko formule 8.16: a max = ω 2 A = 0, 197 (ms 2 ) (8.21) T = 2 (s) (8.22) Primjer 2 f = 0, 5 (s 1 ) (8.23) Na oprugu objesimo uteg mase 130 g, pri čemu se opruga istegne za 3 cm. Ako nakon toga uteg povućemo za još 1 cm prema dolje, i pustimo ga iz stanja mirovanja, odredite jednadžbu titranja utega, amplitudu i period titranja. pa je: mg = kx o (8.24) k = mg x o = 42, 5 (Nm 1 ) (8.25) A = x 0 = 0, 01 (m) (8.26)

93 8.1: UTEG NA OPRUZI 77 Iz činjenice da je v o = 0 slijedi da je: Na kraju još izračunamo kutnu frekvenciju titranja: ω = a period je T = 0, 35 s. Jednadžba titranja utega je: ϕ o = 0 (8.27) k m = 18, 08 (s 1 ) (8.28) x = 0, 01 cos (18, 08t) (m) (8.29) Primjer 3 Odredite jednadžbu titranja utega iz prethodnog primjera, ako mu je prilikom puštanja iz početnog položaja dana početna brzina v o = 1 ms 1. Iz jednadžbi 8.13 i 8.14 slijedi: x o = A cos ϕ o (8.30) Dijeljenjem prve jednadžbe s drugom nalazimo: v o = Aω sin ϕ o (8.31) tan ϕ o = v o ωx o (8.32) Problem nam ovdje stvara funkcija tangens. Naime, fazna konstanta može poprimiti bilo koju vrijednost izmedu 0 i 2π. Medutim, period funkcije tangens je π, pa jednadžba 8.32 u intervalu (0,2π) ima dva rješenja, koja se medusobno razlikuju za π. Drugim riječima, ako je rješenje jednadžbe 8.32 ϕ, onda fazna konstanta može biti ϕ o = ϕ, ϕ o = ϕ + π ili ϕ o = ϕ+2π. Ovo zadnje rješenje prouzročeno je činjenicom da je interval rješenja jednadžbe 8.32 (-π/2,+π/2) a fazna konstanta treba biti u osnovnom intervalu (0,2π). Ovaj problem rješava se tako da se gledaju predznaci početnog položaja i početne brzine. Kako je predznak početnog položaja jednak predznaku funkcije kosinus, a predznak početne brzine suprotan predznaku funkcije sinus, možemo iz njih odrediti kvadrant u kojem se traženi kut mora nalaziti. U našem slučaju, kosinus je pozitivan, a sinus negativan, što je istovremeno moguće samo u četvrtom kvadrantu, odn. za kuteve izmedu 3π/2 i 2π. Rješenje jednadžbe 8.32 je: ϕ = arctan v o ωx o = arctan 5, = 1, (rad) (8.33) Ako ovom rješenju dodamo π dobijamo ϕ = 1, , no taj kut se nalazi u drugom kvadrantu, pa mu još jednom dodamo π, s rezultatom ϕ = 4, Kako je ovaj kut u četvrtom kvadrantu, on je fazna konstanta koju tražimo. Dakle, ϕ o = 4, Preostaje nam još pronaći amplitudu titranja, za što ćemo se poslužiti jednadžbom 8.30: A = x o cos ϕ o = 0, 056 (m) (8.34)

94 78 GLAVA 8: TITRANJA Sad možemo napisati i traženu jednadžbu titranja: x = 0, 056 cos (18, 08t + 4, ) (m) (8.35) 8.2 Veza harmoničkog titranja i kružnog gibanja Neka se tijelo giba kutnom brzinom ω po kružnici polumjera A koja leži u x-y ravnini. Trenutni položaj tijela opisan je kutem ϕ: ϕ = ωt (8.36) Gdje je t vrijeme proteklo od trenutka kad je kut ϕ bio jednak nuli. Prijedemo li na kartezijeve koordinate, trenutni položaj tijela opisan je koordinatama x i y: x = A cos ϕ = A cos (ωt) (8.37) y = A sin ϕ = A sin (ωt) (8.38) Nadalje, komponente brzine i ubrzanja nalazimo deriviranjem ovih izraza: v x = ωa sin (ωt) (8.39) odnosno, v y = ωa cos (ωt) (8.40) a x = ω 2 A cos (ωt) (8.41) a y = ω 2 A sin (ωt) (8.42) Vidimo da su jednadžbe koje opisuju x, odnosno y komponentu kružnog gibanja iste kao jednadžbe koje opisuju harmoničko titranje. I zaista, ako bismo kružno gibanje promatrali u projekciji na x, odn. y-os, vidjeli bismo da se tijelo giba amo-tamo kao da harmonički titra. Obrnuto, ako bismo tijelo natjerali da istovremeno harmonički titra u x i y smjeru s istom amplitudom i fazom, tijelo bi se počelo gibati po kružnici. 8.3 Energija harmoničkog titranja Ukupna energija harmoničkog titranja je zbroj kinetičke i potencijalne energije titrajućeg tijela. Potencijalna energija dana je potencijalnom energijom opruge: U = 1 2 kx2 (8.43) Uvrstimo li za istezanje opruge izraz za trenutni položaj tijela koje harmonički titra nalazimo: U = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + ϕ o ) (8.44)

95 8.4: NJIHALA 79 Istovremeno, kinetička energija tijela je: KE = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ o ) (8.45) medutim, kako je: ω = k m jedandžbu za kinetičku energiju možemo prepisati kao: (8.46) Ukupna energija je zbroj potencijalne i kinetičke energije: odnosno: KE = 1 2 ka2 sin 2 (ωt + ϕ o ) (8.47) U + KE = 1 2 ka2 [ cos 2 (ωt + ϕ o ) + sin 2 (ωt + ϕ o ) ] (8.48) U + KE = 1 2 ka2 (8.49) I to neovisno o trenutku t u kojem ukupnu energiju promatramo. Ukupna energija harmoničkog titranja je dakle sačuvana (konstantna). Za vrijeme titranja potencijalna energija neprestano prelazi u kinetičku i obratno, ali tako da je njihov zbroj uvijek konstantan. 8.4 Njihala Matematičko njihalo ϕ l mgsin(ϕ) mg T s mgcos(ϕ) Slika 8.3: Shematski prikaz matematičkog njihala. Na nit zanemarive masi obješena je točkasta masa m i pomakom iz ravnotežnog položaja navedena da se periodički njiše.

96 80 GLAVA 8: TITRANJA Matematičko njihalo najjednostavniji je fizikalni model njihala. Sastoji se od točkaste mase obješene na tanku nit, koja je pomakom iz ravnotežnog položaja navedena da se njiše amo-tamo. U stvarnosti su njihala koja su konstruirana tako da je masa kuglastog ili cilindričnog oblika obješena o nit ili nosač čija je masa znatno manja od mase koja visi na njemu toliko slična idealnom matematičkom njihalu da se preostale male razlike uglavnom mogu zanemariti tako da je model matematičkog njihala često korištena zamjena za realno (fizikalno) njihalo. Ako pomak mase od ravnotežnog položaja mjerimo po luku koji ta masa (odn. kod stvarnog njihala centar mase obješenog utega) opisuje za vrijeme njihanja, možemo pisati (za oznake vidi sliku 8.3): m d2 s = mg sin ϕ (8.50) dt2 Pri čemu kod stvarnog njihala duljinu niti mjerimo od njenog hvatišta do centra mase utega. No, s = lϕ pa uvrštavanjem u 8.50 nalazimo jednadžbu matematičkog njihala: d 2 ϕ dt 2 = g l sin ϕ (8.51) Iako naizgled vrlo slična jednadžbi harmoničkog titranja, ova je jednadžba nerješiva analitičkim metodama. Zbog toga se pri njenom rješavanju pretpostavlja da je amplituda njihanja mala, što znači i da je kut ϕ malen. U tom slučaju možemo se poslužiti aproksimacijom: sin ϕ ϕ (8.52) koja je to točnija što je kut ϕ manji. Uz ovu aproksimaciju jednadžba njihala prelazi u jednadžbu harmoničkog titranja: pa odmah možemo napisati i njeno rješenje: d 2 ϕ dt 2 = g l ϕ (8.53) ϕ = Φ cos (ωt + ϕ o ) (8.54) gdje je Φ amlituda njihanja u radijanima, ω kao i ranije kutna frekvencija njihanja i ϕ o fazna konstanta. Kutna frekvencija je u ovom slučaju dana s: g ω = l (8.55) a period titranja: l T = 2π g (8.56) Primijetimo da period njihala ne ovisi o masi utega, već samo o duljini niti njihala i ubrzanju sile teže. Zato su se donedavno pažljivo konstruirana njihala koristila za odredivanje lokalnog ubrzanja sile teže.

97 8.4: NJIHALA Primjer Koju duljinu mora imati matematičko njihalo da bi mu period bio 1 s? Preslagivanjem jednadžbe 8.56 nalazimo: L = g T 2 4π 2 (8.57) a uvrštavanjem poznatih vrijednosti nalazimo L=0,248 m. Za period od 2 sekunde dobijamo L=0,992 m. Klatna ove duljine nekad su bila vrlo česta kod preciznih satova s klatnom, koje je moderna tehnologija zamijenila u prvoj polovici dvadesetog stoljeća preciznijim satovima drugih vrsta Fizikalno njihalo P mgsin(ϕ) ϕ l CM mg mgcos(ϕ) Slika 8.4: Shematski prikaz fizikalnog njihala. Njihalo se njiše oko osi koja kroz njega prolazi u točki P okomito na ravninu slike. Centar mase njihala označen je oznakom CM. Fizikalnim njihalom nazivamo svako stvarno tijelo koje se slobodno njiše oko neke osi koja prolazi kroz njega (slika 8.4). Analiza fizikalnog njihala slična je postupku kod matematičkog njihala, ali se radi uz upotrebu izraza za kružno gibanje. Polazimo od II. newtonovog aksioma za kružno gibanje: I d2 ϕ dt 2 = T (8.58) gdje je I moment inercije tijela oko osi njihanja a T moment sile teže s hvatištem u centru mase (CM) s obzirm na istu tu os: odnosno: T = mgl sin ϕ (8.59) d 2 ϕ = mgl sin ϕ (8.60) dt2

98 82 GLAVA 8: TITRANJA I ovdje se moramo poslužiti aproksimacijom malih kutova čime dobijamo: d 2 ϕ = mglϕ (8.61) dt2 Što je i opet jednadžba harmoničkog titranja, čije rješenje je kao i kod matematičkog njihala: s tom razlikom da je sada: ϕ = Φ cos (ωt + ϕ o ) (8.62) a period titranja: Primjer 1 ω = mgl I I T = 2π mgl (8.63) (8.64) Neka se fizikalno njihalo sastoji od točkaste mase m koja se njiše na kraju šipke duljine l i zanemarive mase. Izvedite opću jednadžbu za period njihanja takvog njihala. O kakvom se njihalu radi? Prisjetimo se da je moment inercije materijalne točke mase m udaljene l od osi rotacije I = ml 2. Uvrštavanjem u 8.64 dobijamo: l T = 2π g (8.65) što je izraz za period matematičkog njihala. U ovom primjeru upravo se i radi o matematičkom njihalu Primjer 2 Kod hodanja se noge njišu otprilike na isti način kao fizikalno njihalo, što znatno smanjuje energiju potrebnu za hodanje. Uz pomoć ove činjenice može se procijeniti brzina kojom su hodale izumrle životinje. Primjerice, ako je neki veliki biljožder imao noge duge 5 m i korak od 2 m (što se može odrediti iz fosilnih tragova takovih životinja), za njegovu brzinu hodanja nalazimo sljedeće: Nogu modeliramo kao okrugli trupac podrput u gornjem kraju. Njegov moment inercije je: pa za period njihanja nalazimo: I = 1 3 ml2 (8.66) l T = 2π 3g (8.67)

99 8.5: GUŠENO TITRANJE 83 Odnosno, uz podatke iz primjera T = 2,6 s. Brzina hodanja jednaka je duljini koraka podijeljenoj s trajanjem koraka, ili, u ovom primjeru: v = x T = 0, 77 ms 1 = 2, 8 kmh 1 (8.68) Za provjeru, možemo provjeriti podatke za čovjeka. Uz duljinu noge od 0,9 m i korak od 60 cm nalazimo T = 1,1 s i v = 0,55 ms 1, odnosno 2,0 kmh Gušeno titranje U svim stvarnim situacijama javljaju se i sile otpora koje polagano guše titranje. Primjerice, kod utega na opruzi dolazi do unutarnjeg trenja medu česticama materijala od kojeg je napravljena opruga a i uteg osjeća otpor okolnoga zraka. I u drugim situacijama javljaju se sile čije djelovanje je slično djelovanju sile trenja, što znači da se energija tiranja postepeno pretvara u toplinu. U većini slučajeva sila otpora je barem približno proporcionalna brzini gibanja oscilatora pa se opisuje na sljedeći način: F g = bv (8.69) gdje je b konstanta proporcionalnosti, a v brzina gibanja oscilatora, primjerice u slučaju utega na opruzi trenutna brzina utega. Ova jednostavna veza vrijedi sve dok je brzina gibanja oscilator mala, a kod većih brzina mogu se pojaviti i znatno složenije ovisnosti. Dodamo li sila gušenja 8.69 jednadžbi harmoničkog titranja 8.11, dobijamo jednadžbu gušenih oscilacija: m d2 x = kx bv = kx bdx (8.70) dt 2 dt Rješenje ove jednadžbe nešto je složenije od rješenja jednadžbe harmoničkog titranja. U slučaju kad je b malen (gušenje nije prejako) rješenje je oblika: ( x = A o exp b ) t cos (ωt + ϕ o ) (8.71) 2m pri čemu je A o početna amplituda titranja a ω kutna frekvencija titranja: ω = k ( ) 2 ( ) b m 2 = ω 2 b 2m o (8.72) 2m ω o je frekvencija titranja oscilatora bez gušenja, koja se u ovom slučaju još naziva i prirodna frekvencija titranja: k ω o = (8.73) m Jednadžba gušenog titranja 8.71 zorno je prikazana na slici 8.5. Ona u sebi sadrži produkt dva člana (dvije funkcije). Prvi član opisuje trenutnu amplitudu titranja A, koja sad ovisi o vremenu: ( A = A o exp b ) t (8.74) 2m

100 84 GLAVA 8: TITRANJA 1 0,8 0,6 0,4 Pomak (mm) 0, ,2-0,4-0,6-0,8-1 vrijeme (s) Slika 8.5: Grafički prikaz gušenog titranja. Titranje je i dalje periodičko (plavo) ali mu se amplituda smanjuje eksponencijalno s vremenom (ljubičasto). a drugi član je jednostavno harmoničko titranje, kao i ranije opisano funkcijom kosinus. Primijetimo uz to da je frekvencija titranja nešto manja od prirodne frekvencije titranja koju bi tijelo imalo da nema otpora Kritično gušenje Ako je sila gušenja jaka, oscilacije naglo trnu. U trenutku kad ona postane toliko velika da frekvencija oscilacija iščezne, gibanje uopće više nije periodično. Iz jednadžbe 8.72 nalazimo da se to dogada kad je: b = 2 mk (8.75) Gušenje u ovom slučaju naziva se kritično gušenje, a gibanje koje opisuje oscilator sad se naziva aperiodično gibanje. Ono je opisano slijedećom jednadžbom: ( x = A o exp b ) t (8.76) 2m a možemo je dobiti iz jednadžbe 8.71 ako stavimo da je ω = 0. Ako je konstanta gušenja još veća, nalazi se slična jednadžba gibanja, ali je vraćanje tijela u ravnotežni položaj još sporije nego u kritičnom slučaju. Zaključimo ovu analizu s nekoliko riječi o energiji gušenog oscilatora. Već smo ustanovili (v. jedn. 8.49) da je ukupna energija oscilatora: E = 1 2 ka2 (8.77) Upotrijebimo li izraz za amplitudu gušenog oscilatora 8.74 dolazimo do izraza za energiju gušenog oscilatora:

101 8.6: PRISILNA TITRANJA 85 E = 1 2 ka2 o exp ( b m ) t (8.78) Vidimo da energija gušenog oscilatora nije konstantna već se s vremenom eksponencijalno smanjuje. Pri tome izgubljena energija najčešće odlazi u toplinu. 8.6 Prisilna titranja U mnoštvu stvarnih situacija oscilator ne titra slobodno, već je prisilno tjeran nekom vanjskom silom. Način na koji će u takvom slučaju tijelo titrati ovisi o obliku sile. Najčešće se analiza provodi za silu periodičnog oblika: F v = cos (ω v t) (8.79) gdje je ω v frekvencija vanjske (nametnute) sile. Titranje se sad očigledno odvija s tom frekvencijom, ali amplituda ovisi o nekoliko faktora na prilično složen način: pri ćemu je: i: A(ω v ) = F o (ω 2 o ω 2 v) + 4δ 2 ω 2 v δ = b m (8.80) (8.81) k ω o = m a titranje zaostaje za vanskom silom za faznu razliku: (8.82) Opće rješenje sad je prilično složeno: tan ϕ o = 2δω v ω 2 o ω 2 v (8.83) x(t) = A(ω v ) cos (ω v t ϕ o ) (8.84) Ovisnost amplitude titranja o frekvenciji i konstanti gušenja zorno je prikazana na slici 8.6. Odatle se vidi da amplitude titranja mogu postati vrlo velike ako je nametnuta frekvencija titranja blizu prirodnoj frekvenciji u situaciji kad je gušenje malo. Ova se pojava naziva rezonancija i u praksi se izbjegava jer realna tijela često puta ne mogu podnijeti velike amplitude titranja bez oštećenja. Frekvenciju na kojoj je amplituda maksimalna možemo naći analizom jednadžbe Kako je F o konstata, A(ω p ) će biti maksimalna kad je funkcija pod korijenom u brojniku minimalna. Nakon deriviranja i izjednačavanja s nulom nalazimo da postoje tri rješenja ovog problema: ω v1 = 0 ω v2,3 = ± ω 2 o 2δ 2 (8.85)

102 86 GLAVA 8: TITRANJA Amplituda (mm) ,985 49,99 49, ,005 50,01 50,015 Frekvencija (Hz) delta=0,01 delta=0,003 delta=0,001 Slika 8.6: Grafički prikaz amplitude prisilnog titranja. Ako je gušenje malo, dolazi do pojave rezonancije kada u slučaju podudarnosti nametnute frekvencije i prirodne frekvencije titranja dolazi do vrlo velikih amplituda titranja. Da bi titranje postojalo, frekvencija mora biti veća od nule, pa prvo rješenje odbacimo, a od preostala dva uzmemo ono pozitivno: a maksimalna amplituda titranja je: ω v,max = ω 2 o 2δ 2 (8.86) A max = F o 2δ ω 2 o 2δ 2 (8.87) Ako je je gušenje slabo (δω o < 1) maksimalna amplituda može biti mnogostruko veća od amplitude nametnute sile. 8.7 Slaganje titranja Uteg obješen o nit (matematičko njihalo) može se njihati u bilo kojem smjeru u xy-ravnini. Takvo njihanje možemo prikazati kao vektorski zbroj njihanja u x i u y smjeru, koje ponekad nazivamo osnovnim gibanjima. Kod ovakvog jednostavnog njihala period njihanja je za oba smjera isti a odabirom početnih uvjeta možemo mijenjati amplitude i fazne konstante osnovnih gibanja. Kako su amplitude njihanja malene, maleno podizanje tijela u smjeru z-osi za vrijeme njihanja zanemarujemo i njihanje promatramo kao da se odvija u xy-ravnini. U tom slučaju jednadžbe osnovnih gibanja predstavljaju parametarske jednadžbe staze koju tijelo opisuje u xy-ravnini:

103 8.7: SLAGANJE TITRANJA 87 z y x m Slika 8.7: Matematičko njihalo može se njihati u dva smjera: x i y. Pri tome je frekvencija njihanja za oba smjera ista. x = A x cos (ωt) y = A y cos (ωt + ϕ o ) (8.88) Pri čemu smo izborom trenutka t = 0 uklonili faznu konstantu za gibanje u x smjeru. Jednadžbu staze tijela možemo dobiti ako iz ovih jednadžbi uklonimo vrijeme t. Pri tome drugu jednadžbu raspišemo uz pomoć izraza za kosinus zbroja kuteva: s rezultatom: cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β (8.89) y = A y cos (ωt) cos ϕ o + sin (ωt) sin ϕ o (8.90) Nakon toga cos (ωt) i sin (ωt) eliminiramo upotrebom prve jednadžbe (x = A x cos (ωt)). Zbog trigonometrijskih funkcija ovo može biti prilično složeno. U našem slučaju nalazimo: cos (ωt) = x A x sin (ωt) = ± 1 A x 1 x 2 (8.91) gdje predznak druge jednadžbe ovisi o kvadrantu u kojem se nalazimo. Uvrštavajući ove izraze u jednadžbu 8.90 dobijamo jednadžbu staze gibanja: y = A x A y ( x cos ϕo ± 1 x 2 sin ϕ o ) (8.92) Krivulje opisane ovakvom jednadžbom nazivaju se Lissajousove krivulje. Izgled krivulje ovisi o omjeru amplituda i faznoj kostanti, a za neke posebne slučajeve prikazan je na slici 8.8. U sučaju kad su oba osnovna titranja u fazi (slika 8.8 gore), njihalo se njiše u ravnini a putanja u xy ravnini mu je ravna crta. Ako je titranje u y smjeru pomaknuto u fazi za π/2,

104 88 GLAVA 8: TITRANJA y ϕ o =0 A y x A x y ϕ o =π/2 A y x A x Slika 8.8: Lissajousove krivulje za neke posebne slučajeve. putanja njihala je elipsa čije poluosi su A x i A v, a ako su amplitude osnovnih njihanja iste, putanja je kružica. U općem slučaju, kad i frekvencije osnovnih njihanja mogu biti različite, putanje mogu biti vrlo kompleksne krivulje. One će se zatvoriti (tj. nakon nekog vremena gibanje će se početi ponavljati) samo ako je omjer ω x /ω y racionalan broj.

105 Glava 9 Valovi A B Slika 9.1: Površinski valovi na vodi nastaju kad mirnu površinu vode uznemirimo, npr. bacanjem kamenčića u nju. Nastali valovi šire se koncentrično od mjesta udara. Prisjetimo se na tren omiljenje dječje igre: bacanja kamenčića u vodu. Od mjesta na kojem je kamenčić upao u vodu, njenom se površinom šire koncentrični kružni valovi. Ova nam jednostavna slika o valovima govori mnogo toga: val može nastati poremećajem sretstva u kojem se val širi. val je pojava koja putuje kroz prostor. brzina vala u homogenom sretstvu je konstantna. U našem primjeru, brzina širenja vala po površini vode je u svim smjerovima ista, što zaključujemo iz njegovog kružnog oblika. val se može širiti po površini sredstva (vode u našem primjeru). pažljivim opažanjem primijetit ćemo da se veličina vala smanjuje s udaljenošću od izvora. 89

106 90 GLAVA 9: VALOVI na isti način možemo primijetiti da se razmak susjednih valova ne mijenja. Valovi na površini vode često se koriste za proučavanje valova jer ih je lako stvoriti a uz to su vidljivi što jako olakšava interpretaciju rezultata pokusa. Teoretski se valovi opisuju tzv. valnom jednadžbom koju ovdje nećemo izvoditi, već ćemo je samo navesti: c 2 d2 u dx 2 = d2 u dt 2 (9.1) gdje je c konstanta za koju se lako ustanovi da je jednaka brzini širenja vala, a u je pomak vala od ravnotežnog položaja u točki x. Primjerice, kod vala na vodi u je trenutni položaj površine vode, gledano prema položaju mirne površine. Nažalost, i metode kojima se ova jednadžba može riješiti prelaze naše trenutne mogućnosti, pa ćemo se poslužiti gotovim rješenjem. Ono je općeg oblika: u(x, t) = f 1 (x ct) + f 2 (x + ct) (9.2) gdje su f 1 i f 2 proizvoljne funkcije čiji je točni oblik odreden rubnim i početnim uvjetima (primijetite da ovdje imamo dva seta uvjeta: prostorne i vremenske!). c je brzina širenja vala, a iz izgleda jednadžbe 9.2 možemo još zaključiti da funkcija f 1 opisuje val koji putuje u smjeru +x osi, što vidimo iz činjenice da se vrijednost funkcije f 1 ne mijenja za x ct = konst, odn. x = konst + ct, tj. x za koji funkcija f 1 zadržava svoju prvotnu vrijednost s vremenom raste. Na sličan način može se zaključiti da funkcija f 2 opisuje val koji se širi u smjeru -x osi. Ovisno o prirodi pojave koju promatramo, može postojati jedan ili oba ova vala istovremeno. Primjerice, u slučaju prije spomenutih valova na vodi, postojat će samo prvi val, ako sa x označimo udaljenost od središta vala. 9.1 Osnovna svojstva valova A z x Slika 9.2: Presjek vala na površini vode. Presjek je učinjen u nekom vremenskom trenutku, tj. vrijeme je zamrznuto.

107 9.1: OSNOVNA SVOJSTVA VALOVA 91 Vratimo se na trenutak slici 9.1. Ako u jednom trenutku presječemo površinu vode ravninom okomitom na nju (ravnina A-B na slici), dobit ćemo trenutni izgled vala na vodi (slika 9.2). Iz toga presjeka vidimo da je površina vode na nekim mjestima izdignuta a na nekima pak spuštena ispod nivoa mirne povšine. Dapače, ta se slika periodično ponavlja, a ako bismo išli detaljnije mjeriti oblik presječene površine, potvrdili bismo intuitivnu sumnju (slika 9.3) da je on vrlo blizak matematičkoj funkciji kosinus (ili sinus). z A 0 -A λ x Slika 9.3: Trenutni presjek vodenog vala. Presjek je učinjen u nekom vremenskom trenutku, tj. vrijeme je zamrznuto. Val, kao i titranje, ima amplitudu A i period ponavljanja, koji je u ovom slučaju prostorni period koji se naziva valna duljina λ. Krivulju na slici 9.3 možemo opisati formulom: gdje je k konstanta koja se naziva valni broj: z(x, t o ) = A cos (kx + ϕ o ) (9.3) k = 2π λ (9.4) Valni nam broj govori koliko puta se po jedinici duljine val ponavlja, a valna duljina je razmak izmedu dva susjedna vala. Najčešće se promatra razmak izmedu dva susjedna maksimuma, ali iz svojstava periodičkih funkcija lako zaključimo da to isto vrijedi za bilo koje dvije susjedne točke koje su u istoj fazi. Val se vrlo često promatra i vremenu. Primjerice, zamislimo si da gledamo što se dešava s nekom odabranom točkom na površini vala (točka A na slici 9.2). Pratimo li njenu z- koordinatu u vremenu, dobit ćemo grafikon vrlo sličan onome na slici 9.3, ali s bitnom razlikom da je na apscisi sad vrijeme, a ne prostorna koordinata x (slika 9.4). Ovaj nam graf pokazuje da se točka A periodički giba gore-dolje, kao da titra. Ne treba nas stoga čuditi da se za opisivanje njenog gibanja koristi ista terminologija kao i za titranje. Period s kojim se točka A vraća u prvobitno položaj naziva se period vala, T. Uz period, često se koristi frekvencija vala f: f = 1 T (9.5) ili kutna frekvencija: ω = 2πf = 2π T (9.6)

108 92 GLAVA 9: VALOVI z A 0 -A T t Slika 9.4: Pomicanje točke T u vremenu takoder je periodička fukcija, no ona se u ovom slučaju (isto kao i tiranje) opisuje vremenskim periodom T, a amplituda pomicanja A je naravno ista kao u prostornoj slici vala. Izgleda vala sad opisujemo izrazom: z(x o, t) = A cos (ωt + ϕ 1 ) (9.7) Uz pretpostavku da se val širi u smjeru +x osi, usporedbom izraza 9.3 i 9.7 s 9.2 nalazimo da bi opći oblik jednadžbe 9.2 za opisani val trebao biti: z(x o, t) = A cos (B(x ct)) (9.8) Nadalje, usporedbom 9.3 s 9.8 vidimo da je B = k, a usporedbom 9.6 sa 9.7 nalazimo: Nadalje, uz pomoć 9.4 i postaje: ω = Bc = kc (9.9) Jednadžba 9.7 postaje: λf = c (9.10) z(x, t) = A cos (kx ωt + ϕ o ) (9.11) pri čemu, kao i u prijašnjim slučajevima, faznu konstantu ϕ o odredujemo iz početnih i rubnih uvjeta Primjer Val je opisan jednadžbom y = 0, 0002 sin (0, 5x 628t)m. Odredite A, f, T, λ i c. U kojem smjeru val putuje? Iz jednadžbe vala direktno iščitamo A=0,002 m, k=0,5 m 1 i ω = 628 s 1. Uz pomoć jednadžbe 9.4 nalazimo λ = 12, 6 m, jednadžba 9.6 daje ω =100 Hz, jednadžba 9.5 daje T =0,01 s i na kraju jednadžba 9.10 daje c = 1260 ms 1. Val putuje u smjeru +x osi.

109 9.2: ZBRAJANJE VALOVA Zbrajanje valova U stvarnim situacijama se najčešće susrećemo s mnogo različitih valova. U takvim situacijama valovi se sastavljaju u složeni val koji može biti vrlo složenog oblika. Matematički to rješavamo tako da jednadžbe pojedinih valova zbrojimo. Tu je problem više matematičke prirode jer moramo zbrajati trigonometrijske funkcije. Zbrajanje valova možemo ilustrirati na najjednostavnijem primjeru: zbroju dva različita vala iste frekvencije i istih faznih konstanti. Zbog jednostavnosti promatrajmo situaciju u jednoj točki. U tom je slučaju prostorni dio argumenta valne funkcije (kx) konstantan, pa ga možemo uključiti u faznu konstantu. Uz to ograničenje zbroj ovakva dva vala je vrlo jednostavan: y 1 = A 1 cos (ωt + ϕ o ) y 2 = A 2 cos (ωt + ϕ o ) y 1 + y 2 = (A 1 + A 2 ) cos (ωt + ϕ o ) (9.12) Za ovakve valove kažemo da su u fazi, i u tom slučaju njihov zbroj je val istog oblika, čija je amplituda jednaka zbroju amplituda početnih valova. Ova je situacija dodatno ilustrirana na slici y (mm) val 1 val 2 zbroj vrijeme (s) Slika 9.5: Grafički prikaz zbroja dva vala iste frekvencije, koji su u fazi. Ako je pak razlika u fazama dva vala pola perioda (π), valovi se medusobno oduzimaju: y 1 = A 1 cos (ωt + ϕ o ) y 2 = A 2 cos (ωt + ϕ o + π) y 1 + y 2 = (A 1 A 2 ) cos (ωt + ϕ o ) (9.13) U ovoj situaciji kažemo da su valovi u protufazi. U slučaju da su im amplitude iste, kao rezultat dobijamo potpuno poništavanje dva vala!. Ovakva je situacija dodatno ilustrirana na slici 9.6.

110 94 GLAVA 9: VALOVI y (mm) val 1 val 2 zbroj vrijeme (s) Slika 9.6: Grafički prikaz zbroja dva vala iste frekvencije, koji su u protufazi. Ako frekvencije valova koji se zbrajaju nisu iste, njihov zbroj je znanto složeniji i vremenski promjenjiv, no matematički je postupak isti. Obrnuto, može se pokazati da se svaki složeni val može rastaviti na zbroj jednostavnih valova, čije su frekvencije višekratnici neke osnovne frekvencije ω o. Prikaz složenog vala je oblika: n y(x, t) = A i cos (iω o t + ϕ i ) (9.14) i=1 Postupak razlaganja složenog vala na jednostavne valove na ovaj način naziva se Fourierova analiza i ima veliku primjenu u znanosit i tehnici. Pri tome se frekvencija ω o naziva osnovna frekvencija a više frekvencije, koje su oblika ω i = iω o, nazivaju se harmonici. 9.3 Stojni valovi Ako se zbrajaju dva vala koja putuju u suprotnim smjerovima, dolazi do zanimljive pojave: stojnog vala. Njegovo je svojstvo da izgleda kao da u prostoru miruje. Da vidimo o čemu se radi: y 1 = A cos (kx ωt) y 2 = A cos (kx + ωt) zbog jednostavnosti uzeli smo da su fazne konstante oba vala jednake nuli. Uz: ( ) ( ) α + β α β cos (α + β) = 2 cos cos 2 2 dobijamo: (9.15) (9.16) y = y 1 + y 2 = 2A cos (kx) cos (ωt) (9.17)

111 9.3: STOJNI VALOVI 95 Ovaj val miruje u prostoru, i u danoj točki jednostavno oscilira oko ravnotežnog položaja kutnom frekvencijom ω i amplitudom 2A cos (kx). Mjesta na kojima je amplituda vala maksimalna (u apsolutnom smislu) nazivaju se trbusi stojnog vala, a mjesta u kojima je ona nula (u tim mjestima dakle titranja uopće nema) nazivaju se čvorovi Primjer: stojni val na žici n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 Slika 9.7: Osnovni stojni val (n = 1) na napetoj žici i nekoliko prvih harmonika (n = 2 5). Jedan od najpoznatijih primjera stojnog vala je titranje nategnute žice. Žica je učvršćena na svojim krajevima, što zanći da mjesta učvršćenja moraju biti čvorovi stojnog vala, koji nastaje ako žicu potezanjem u stranu i puštanjem dovedemo u stanje titranja. Ako je razmak medu krajevima žice l, val osnovne frekvencije imat će valnu duljinu λ = 2l jer takav val na duljini l ima dva čvora sa jednim trbuhom izmedu njih. Lako je vidjeti da su valne duljine harmonika: λ i = λ o i = 2l i (9.18) uz i = 1 za osnovni val i i = 2, 3... za harmonike. Da bismo odredili frekvenciju ovakvih stojnih valova, moramo znati mehanička svojstva žice i njenu napetost, a općenito frekvencija raste s povećanjem napetosti žice. Na ovaj način titraju žice muzičkih instrumenata, žice dalekovoda i sve druge napete žice i tanki nosači. Pri tome se visina tona muzičkih instrumenata podešava podešavanjem napetosti odgovarajuće žice Primjer: udari Udari nastaju zbrajanjem mnoštva valova bliskih frekvencija. Ako primjerice imamo dva vala frekvencija ω 1 i ω 2, opisanih s:

112 96 GLAVA 9: VALOVI njihov zbroj je: y 1 = A cos (ω 1 t) y 2 = A cos (ω 2 t) (9.19) y = y 1 + y 2 = 2A cos ( ω 1 ω 2 t) cos ( ω 1 + ω 2 t) 2 2 (9.20) Ako su frekvencije ω 1 i ω 2 bliske, možemo uvesti sljedeću aproksimaciju: ω 1 ω 2 = ω ω 2 ω 1 = ω (9.21) čime jednadžba 9.22 postaje: y 2A cos ( ωt) cos (ωt) (9.22) 2 1 y (mm) vrijeme (s) Slika 9.8: Zbroj dva vala bliskih frekvencija pokazuje tendenciju da se amplituda zbroja periodički smanjuje i povećava y (mm) vrijeme (s) Slika 9.9: Zbroj većeg broja valova bliskih frekvencija proizvodi udare - vremenski kratke valove vrlo velikih amplituda izmedu kojih je amplituda složenog vala vrlo malena.

113 9.4: ENERGIJA VALA Energija vala Iako se val širi kroz prostor, tvar kroz koju putuje miruje. Na mikroskopskoj razini čestice tvari zbog djelovanja vala titraju oko svojeg ravnotežnog položaja, opisjući pri tome harmoničko gibanje. Znamo od prije (vidi glavu 8.3) da harmoničko titranje posjeduje odredenu energiju, koja je proporcionalna kvadratu amplitude tiranja. Iz toga možemo zaključiti da i val posjeduje odredenu energiju, koja će takoder biti proporcionalna kvadratu amplitude vala. Zbog činjenice da val putuje kroz prostor, a njegova energija putuje zajedno s njime. Drugim riječima, val nosi energiju kroz prostor. 9.5 Prikazivanje valova Valove uglavnom ne možemo vidjeti, a apstraktna analiza njihovih svosjtava znade biti prilično kompleksna i nepregledna. Da bismo u takvoj situaciji lakše razumjeli ponašanje valova, koristimo se raznim vizualizacijama koje pojednostavljeno prikazuju valove i njihovo ponašanje. Tu se prvenstveno radi o zrakama i valnim frontama. Zraka se vrlo često koristi u optici gdje predstavlja svjetlosnu zraku koju si možemo predočiti kao vrlo tanki snop svjetla (npr. laserski snop). Zraka je općenito matematička zraka koja pokazuje u smjeru u kojem se val širi. Valna fronta je zamišljena ploha koja povezuje sve točke vala iste faze, najčešće one u kojima je pomak vala maksimalan. Val ima mnogo valnih fronti, koje su u prostoru medusobno razmaknute za valnu duljinu, a u vremenu za period vala. U homogenom i izotropnom sretstvu zrake su okomite na valne fronte. Zrake i valne fronte zorno su prikazane na slici λ λ λ zraka zraka valna fronta Slika 9.10: Valna fronta je ploha (krivulja u 2D) koja spaja sve točke u prostoru koje su iste faze a s maksimalnim odmakom vala od ravnotežnog položaja. U slučaju vala na vodi, prikazanom na ovoj slici, valne fronte su kružnice koje leže na vrhovima pojedinih valova. Razmak dvije susjedne valne fronte jednak je valnoj duljini vala. Zraka je smjer u kojem se val na danom mjestu širi. Izlazi li val iz jedne točke, kao u slučaju vala na vodi sa slike 9.10, nazivamo tu točku izvor

114 98 GLAVA 9: VALOVI vala. Izvor vala može biti i ploha, primjerice membrana zvučnika koja svojim titranjem proizvodi zvučni val, ili cijeli volumen nekog sretstva, primjerice aktivni volumen kod lasera, u kojem nastaje vrlo intenzivan snop svjetla. Zato se točkasti ivor vala počesto naziva i elementarni izvor. Titra li elementarni izvor jednom odredenom frekvencijom, stvara se sferni val čije valne fronte imaju oblik kuglinih ploha koje se šire u prostor. Nalazimo li se daleko od izvora takvog vala, i zanima nas situacija u ograničenom prostoru oko nas, zakrivljenost sferne valne fronte može biti tako malena da bude neprimjetna. U takvim situacijama valne fronte prikazujemo ravnim plohama i govorimo o ravnom valu. Ako je pak val ograničen na mali dio prostora oko zrake (smjera širenja) govorimo o snopu. Primjer snopa je laserska zraka, primerice ona iz laserskog pokazivača. 9.6 Huygensov princip fronta 1 r smjer širenja elementarni izvor fronta 2 Slika 9.11: Huygensova konstrukcija širenja valne fronte. Svaka točka početne valne fronte (valna fronta 1) postaje sekundarni izvor koji emitira sferni val u prostor ispred sebe. Nova valna fronta je tangencijalna ploha koja dira sve te sferne valove (valna fronta 2). Ako iz izgleda valne fronte moramo zaključiti kako će se ona dalje širiti kroz prostor, možemo se poslužiti tzv. Huygensovim principom. Po njemu svaka točka valne fronte postaje elementarni izvor koji u prostor ispred sebe šalje sferni val. Polumjer tog sfernog vala dan je umnoškom proteklog vremena i brzine vala u tvari kroz koju se val širi: r = v t (9.23) Nova valna fronta je po Huyensovom principu tangencijalna proha koja dira sve tako nastale sferne valove. Ova konstrukcija zorno je prikazana na slici 9.11.

115 9.6: HUYGENSOV PRINCIP Širenje ravnog vala valna fronta 2 r valna fronta 1 Slika 9.12: Huygensova konstrukcija širenja ravnog vala. Konstrukciju počinjemo od prve valne fronte. Svaka njena točka postaje sekundarni izvor koji u prostor ispred sebe šalje sferni val. Polumjer tog sfernog vala dan je umnoškom proteklog vremena i brzine vala. Nova valna fronta je tangencijalna ploha koja dira sve tako nastale sferne valove. U ovom slučaju ona je takoder ravna i paralelna je sa početnom frontom, a od nje je odmaknuta za put koji je val prevalio u proteklom vremenu (= v t) Odbijanje vala r=s 2 α β s 1' 1 2' Huygensova konstrukcija odbijanja (refleksije) ravnog vala na granici dva sred- Slika 9.13: stva. Ako val naide na granicu izmedu dvije različite tvari, dolazi do njegova loma ili odbijanja. U mnogim realnim situacijama dogadaju se obje stvari istovremeno, tj. dio vala biva lomjen, a ostatak odbijen od granice. Srećom ove dvije pojave možemo analizirati odvojeno, pa ćemo prvo pogledati što se dešava prilikom odbijanja (refleksije) ravnog vala na granici dva sredstva. Pri tome ćemo zbog jednostavnosti pretpostaviti da je granica ravna ploha. Ovakva situacija ilustirana je na slici Neka ravni val dolazi s lijeve strane (plava zraka) pod kutom α prema okomici na granicu dvije tvari. Promatramo dio valne fronte 1-2, u trenutku kad točka 1 dodirne granicu. U tom trenutku točka 2 mora još prevaliti put s prije nego

116 100 GLAVA 9: VALOVI što ona dodirne granicu u točki 2. Za to vrijeme je sekundarni val, koji je krenuo iz točke 1 u trenutku kad je ona dotakla granicu narastao do polumjera r. Kako je brzina vala u prostoru iznad granice svudje ista, nalazimo da je r = s. Pošto se val odbija, promatramo dio sekundarnog vala koji se širi iznad granice, dakle u tvar iz koje je val došao do granice. Novi položaj točke 1 u trenutku kad točka 2 dotakne granicu (točka 1 ) mora biti negdje na valnoj fronti sekundarnog vala, a nalazimo ga tako da u skladu s Huygensovim principom iz točke 2 povućemo tangentu na valnu frontu sekundarnog vala. Ovaj postupak možemo ponoviti za bilo koju proizvoljnu točku valne fronte dolaznog vala, ali rezultat će uvijek biti isti: odbijena valna fronta 1-2 u prostoru stoji tako da njena zraka (crveno) odlazi od granične plohe na desnu stranu pod kutom β. No iz slike lako vidimo da je β = α (npr. pomoću sličnosti trokuta i )! Kut odbijanja jednak je dakle kutu upada. Ova činjenica naziva se zakon odbijanja (refleksije), a pažljivim proučavanjem slike 9.13 vidimo da zakon loma zapravo glasi: β = α (9.24) Negativni predznak dolazi od toga što se kut β mjeri u smjeru suprotnom od kuta α. Ovaj predznak treba uzeti u obzir kad se matematički proračunava put zraka kroz prostor, a u svim ostalim situacijama se on zanemaruje Lom vala v 1 (>v 2 ) 2 α s 1 1 v 2 r s 2 2' 1' β Slika 9.14: Huygensova konstrukcija loma (refrakcije) ravnog vala na granici dva sredstva. Pogledajmo sada što se dešava prilikom loma (refrakcije) ravnog vala na granici dva sredstva. Pri tome ćemo pretpostaviti da je granica ravna ploha. Ovakva situacija ilustirana je na slici Neka ravni val dolazi s lijeve strane (plava zraka) pod kutom α prema okomici na granicu dvije tvari, i neka su brzine vala u sredstvu iznad granice v 1 a u sredstvu ispod v 2. Opet promatramo dio valne fronte 1-2, u trenutku kad točka 1 dodirne granicu. U tom trenutku točka 2 mora još prevaliti put s 1 prije nego što ona dodirne granicu u točki 2. Vrijeme potrebno za to je t = s 1 /v 1. Za to vrijeme je sekundarni val, koji je krenuo iz točke 1 u trenutku kad je ona dotakla granicu narastao do polumjera r. Pošto se val

117 9.7: VRSTE VALOVA 101 lomi, tj. ulazi u donje sredstvo, sada promatramo dio sekundarnog vala koji se širi ispod granice, dakle u donje sredstvo. Kako je brzina vala u donjem sredstvui različita od brzine u gornjem, polumjer sekundarne valne fronte sada je r = v 2 t. Ako je v 2 < v 1, kao što je to pretpostavljeno na slici 9.14, r = s 2 < s 1. Novi položaj točke 1 u trenutku kad točka 2 dotakne granicu (točka 1 ) mora biti negdje na valnoj fronti sekundarnog vala, a nalazimo ga tako da u skladu s Huygensovim principom iz točke 2 povućemo tangentu na valnu frontu sekundarnog vala. Odbijena valna fronta 1-2 u prostoru stoji tako da njena zraka (crveno) odlazi od granične plohe na desnu stranu pod kutom β u sredstvo ispod granice. Zbog različitih brzina vala iznad i ispod granice, trokuti i nisu slični, ali su i dalje pravokutni (pravi kut je kod vrhova 2 odn. 1 ) i imaju zajedničku hipotenuzu 1-2. Uz to, kut uz vrh 1 u prvom trokutu jednak je α, a kut uz vrh 2 u drugom trokutu β. Ako bazu označimo sa b, možemo pisati: sin α = s 1 b sin β = s 2 b gdje je sa s 2 označena stranica 1-1 drugoga trokuta. Odatle nalazimo: (9.25) Nadalje, sin α sin β = s 1 s 2 (9.26) s 1 = v 1 t s 2 = v 2 t (9.27) pa jednadžba 9.26 postaje: Ovaj izraz naziva se Snellov zakon loma. sin α sin β = v 1 v 2 (9.28) 9.7 Vrste valova Svijet oko nas pun je najrazličitijih valova. različite vrste na nekoliko načina: Da bismo ih lakše razumjeli, dijelimo ih na Podjela valova po vrsti titranja Kao i u primjeru tiranja napete žice s akojim smo se sreli ranije, većina valova nastaje mehaničkim titranjem tvari kroz koju se val širi. Takvi valovi nazivaju se mehanički valovi. Valovi koji nastaju titranjem elektromagnetnog polja nazivaju se elektromagnetni valovi. Oni se mogu širiti i koz zrakoprazan prostor (vakuum) Podjela valova po načinu širenja Valovi se najčešće šire kroz cijeli prostor (volumen tvari). Takove valove nazivamo prostorni ili volumni valovi. Primjeri takvih valova su elektromagnetni valovi i zvučni valovi. Osim njih postoje i valovi koji se šire po površini tvari. Oni se nazivaju površinski valovi.

118 102 GLAVA 9: VALOVI Podjela valova po načinu titranja Ovisno o tome kako čestice tvari titraju dok val prolazi kroz nju, razlikujemo transverzalne valove kod kojih se titranje odvija u ravnini okomitoj na smjer širenja vala i longitudinalne valove kod kojih se titranje odvija u smjeru širenja vala. Primjeri transverzalnih valova su elektromagnetni valovi i potresni s-valovi. Dodajmo još da se mehanički transverzalni valovi mogu širiti samo kroz krute tvari. Primjer longitudinalnih valova su zvučni valovi i potresni p-valovi Elektromagnetni valovi Tablica 9.1: Podjela elektromagnetnih valova prema frekvenciji/valnoj duljini. Granice izmedu pojedinih područja odredene su dogovorom i ne smiju se uzeti strogo, jer se svojstva elektromagnetnih valova s frekvencijom mijenjaju postupno a ne skokovito. naziv frekvencija valna duljina ELF (extremno niske frekvencije) Hz Mm VLF (vrlo niske frekvencije) Hz km LF (kilometarski valovi) khz 10-1 km MF (hektometarski valovi) khz m HF (dekametarski valovi) 3-30 MHz m VHF (metarski valovi) MHz 10-1 m UHF (decimetarski valovi) MHz 10-1 dm SHF (centimetarski valovi) 3-30 GHz 10-1 cm EHF (milimetarski valovi) GHz 10-1 mm daleko (toplinsko) infracrveno GHz 1 mm - 10 µm infracrveno THz 10-1 µm blisko infracrveno THz 1 µm nm vidljivo THz nm ultraljubičasto THz nm ekstremno ultraljubičasto 1,5-30 PHz nm X-zrake PHz 10 nm - 30 pm γ-zrake više od 10 EHz manje od 30 pm

119 Glava 10 Optika 10.1 Polarizacija svjetla Već smo napomenuli da je svjetlo transveralni elektromagnetni val. To znači da se titranje električnih i magnetsih polja čije medudjelovanje tvori elektromagnetni val odvija u ravnini okomitoj na smjer širenja vala. Kako je kod elektromagnetnog vala vektor magnetskog polja u svakom trenutku okomit na vektor električnog polja, uobičajeno se kod proučavanja elektromagnetnih valova promatra titranje električnog polja. Pri tome se pod polarizacijom elektromagnetnog vala podrazumijeva način na koji taj vektor titra u ravnini u kojoj se nalazi (slika 10.1). Slika 10.1: Ako gledamo u smjer iz kojeg nam elektromagnetni val dolazi, vidjet ćemo kako njegov vektor električnog polja titra u ravnini okomitoj na smjer širenja (ta je ravnina u ravnini slike). Ako pri tome vektor polja titra gore-dolje, zadržavajući svoju orijentaciju (lijevo) kažemo da je svjetlo linearno polarizirano. Mijenja li pri titranju vektor polja svoju orijentaciju i pri tome svojim vrhom pri maksimalnoj elongaciji opisuje elipsu (sredina) svjetlo je eliptički polarizirano. Ako je elongacija vektora polja neovisna o smjeru titranja, on opisuje kružnicu (desno) pa govorimo o cirkularno polariziranom svjetlu. Titra li vektor polja uvijek u istom smjeru, zadržavajući svoju orijentaciju svjetlo je linearno polarizirano. Mijenja li pri titranju vektor polja svoju orijentaciju i pri tome 103

120 104 GLAVA 10: OPTIKA svojim vrhom pri maksimalnoj elongaciji (maksimalnom otklonu od osi) opisuje elipsu svjetlo je eliptički polarizirano. Ako je elongacija neovisna o smjeru titranja, vektor polja opisuje kružnicu i govorimo o cirkularno polariziranom svjetlu. Prirodno je svjetlo mješavina vrlo velikog broja svjetlosnih valova medusobno različitih i neovisnih stanja polarizacije. Takovo svjetlo naziva se nepolarizirano svjetlo, pri čemu moramo voditi računa da se ovaj pojam uvijek veže za mješavinu mnoštva svjetlosnih valova. Osnovni svjetlosn val uvijek je polariziran, no u to ovdje nećemo dublje ulaziti. Isto tako, kad govorimo o polariziranom svjetlu, to se u većini slučajeva odnosi na mnoštvo svjetlosnih valova čije je stanje polarizacije na neki način medusobno uskladeno, pa je polarizacija cijelog skupa primjetna i stalna Polarizacija refleksijom β α α Slika 10.2: Kada na površinu prozirne tvari, npr. stakla, upada zraka nepolariziranog svjetla, reflektirani dio zrake eliptički je polariziran, s duljom osi elipse polarizacije okomitom na ravninu refleksije (ravninu koju tvore upadna, odbijena i lomljena zraka) a lomljeni dio je eliptički je polariziran, s duljom osi elipse polarizacije u ravnini refleksije. Prilikom refleksije svjetla od površine neke prozirne tvari dolazi do djelomične polarizacije reflektirane zrake. Ako je upadno svjetlo nepolarizirano, reflektirana zraka je slabo eliptički polarizirana tako da je veća os elipse polarizacije okomita na ravninu refleksije. Istovremeno je lomljena zraka eliptički polarizirana u suprotnom smjeru, tako da je veća os elipse polarizacije u ravnini refleksije. Nadalje, ako je zbroj kutova loma i refleksije pravi kut (tzv. Brewsterov zakon), reflektirana zraka je potpuno linearno polarizirana, s ravninom polarizacije okomitom na ravninu refleksije. Upadni kut kod kojeg se to dogada naziva se Brewsterov kut. Upotrjebimo li Snellov zakon, iz Brewsterovog zakona izlazi da je: n 2 sin (π/2 α B ) = n 1 sin (α B ) (10.1) gdje je α B Brewsterov kut upada. Daljnjim sredivanjem nalazimo: tan (α) = n 2 n 1 (10.2)

121 10.1: POLARIZACIJA SVJETLA 105 Ukoliko je okolno sretstvo zrak, n 1 = 1 pa je tan (α B ) = n 2. Brewsterovi kutovi za neke česte tvari dani su u tablici Tablica 10.1: Brewsterov kut za neke česte tvari. U zadnoj koloni je približan postotak svjetla koje je reflektirano pod Brewsterovim kutem. tvar n α B intenzitet voda 1,33 53 o 6% staklo 1, o 8% plastika 1,3-1,6 52 o - 58 o 5-8% voda/staklo 1,33/1,52 49 o 3% Napomenimo još da refleksija na metalnim površinama ne mijenja polarizaciju reflektiranog svjetla Polarizacija raspršenjem Slika 10.3: Kada svjetlo prolazi kroz oblak vrlo sitnih čestica, mali dio svjetla rasprši se na njima. Raspršeno svjetlo slabo je eliptički polarizirano i to najviše kad je kut raspršenja (kut izmedu raspršene i ulazne zrake) pravi. Uz to se bolje raspršuje svjetlo kraćih valnih duljina, pa je raspršeno svjetlo bogatije plavom bojom od upadnog svjetla. Kad svjetlo prolazi kroz oblak malih čestica (u ovom slučaju čestica znatno manjih od valne duljine svjetla) mali dio svjetla biva raspršen u svim smjerovima. Ako čestica nije previše, najveći dio svjetla će proći kroz oblak, a samo vrlo mali dio bit će raspršen u svim mogućim smjerovima. Pri tome se zbog malog broja čestica raspršenje dogodi samo jednom,

122 106 GLAVA 10: OPTIKA tj. od izvora do opažača biva svjetlo raspršeno samo na jednoj čestici. Ovakvo raspršenje naziva se jednostruko raspršenje. Efikasnost jednostrukog raspršenja (dio svjetla koji biva raspržen) naglo raste sa smanjenjem valne duljine svjetla. Primjerice u slučaju Zemljine atmosfere sunčevo se svjetlo raspršuje na molekulama zraka. Ako je zrak čist pri tome se plavo svjetlo rasprši desetak puta bolje od crvenog, što danjem nebu danje njegovu karakterističnu plavu boju. Druga je posljedica jednostrukog raspršenja da je raspršeno svjetlo blago eliptički polarizirano, a stupanj polarizacije je najveći u smjeru od 90 o prema smjeru sunčevih zraka. Ako je zrak nečist, tj. ako u njemu ima većih čestica dima ili prašine, raspršenje više nije selektivno, već se sve boje svjetla raspršuju podjednako dobro, pa nebo poprima bijelu boju. Pri tome se polarizacija raspršenog svjetla gubi, a ako je čestica u zraku toliko da raspršenje postane višestruko, tj. svjetlo se na putu od izvora do opažača rasprši vše od jedanput, polarizacija potpuno nestaje Polarizacija kristalima Kristali imaju pravilno uredenu mikrostrukturu. Kod nekih kristala dolazi do takvog medudjelovanja svjetla i kristalne strukture da se svjetlo koje prolazi kroz kristal razdvaja na dvije linearno polarizirane komponente, čije ravnine polarizacije su medusobno okomite. Ova se pojava naziva dvolom i o njoj će više riječi biti kasnije (vidi glavu 10.2). Zgodnim odabirom orijentacije takovoga kristala i ravnina njegovog rezanja moguće je postići da iz njega izade samo jedna od dvije polarizirane komponente svjetla. Tako rezan kristal ima izgled prizme koja se po svom otkrivaču naziva Nicol prizma. Danas se uglavnom više ne koristi jer su prirodni kristali od kojih se ona izraduje rijetki i skupi, a i proces izrade je prilično složen. Umjesto toga, koriste se polarizatori izradeni od umjetno dobivenih kristala ili posebnih vrsta plastike. Njih je moguće izraditi znatno jeftinije, i uz to u svim veličinama koje su nam potrebne. Za izradu polarizatora često se puta koriste dikroični kristali. Svojstvo takovih kristala je da jako upijaju jednu od dvije linearno polarizirane zrake na koje se ulazno svjetlo u njima razdvaja. Preostala zraka izlazi iz kristala kao linearno polarizirano svjetlo. Kristali se obično proizvode umjetno, i pri izradi polaroida sve orijentiraju u istom smjeru i umeću u ljeplo istog indeksa loma. Na taj način svjetlo ne vidi granice kristala i ljepila i bez skretanja ili odbijanja prolazi kroz polaroid. Radi zaštite takav se sloj ljepila i kristala stavlja izmedu dvije tanke staklene pločice. Ovako izradeni polarizatori imaju mnoštvo primjena u znanosti, fotografiji i sl. Jedan od najpoznatijih prirodnih dikroičnih kristala je turmalin a za izradu polarizatora često se koriste umjetno proizvedeni kristalići hepatita. Oni već kod debljine od 0,1 mm potpuno apsorbiraju jedan smjer polarizacije. Danas se polarizatori izraduju od posebnih vrsta plastike. Takove plastike sastoje se od dugih molekula koje takoder utječu na polarizaciju svjetla, a tehnološkim se postupkom sve poredaju u istom smjeru. Napomenimo još da se smjer polarizacije svjetla koje napušta polarizator naziva os polarizatora. Ona se obično označava na polarizatoru ili negovom nosaču.

123 10.1: POLARIZACIJA SVJETLA 107 os polarizatora Slika 10.4: Kada svjetlo prolazi kroz polarizator, propušteno biva samo linearno polarizirano svjetlo čija je ravnina polarizacije paralelna s osi polarizatora Depolarizacija Ako se polarizirano svjetlo višestruko rasprši, dolazi do gubitka njegove polarizacije. To se dogada zato što višestruko raspršenje potpuno izmješa smjerove i faze sjetlosnog vala. Slična pojava dešava se kod refleksije na hrapavoj površini, čije neravnine djeluju na sličan način, pa umjesto refleksija i u tom slučaju često koristimo pojam raspršenje. Ovakvo poništavanje polarizacije nazive se depolarizacija. Kao i prije veličina neravnina usporeduje se sa valnom duljinom svjetla pa će površina biti hrapava ako su njene neravnine veće od valne duljine svjetla koje na nju upada.

124 108 GLAVA 10: OPTIKA Propusnost polarizatora y α E x E y x E Slika 10.5: Kada linearno polarizirano svjetlo upada na polarizator, propuštena je samo komponenta čija ravnina polarizacije je paralelna s osi polarizatora, koja je u ovom slučaju postavljena paralelno x-osi. Neka je os polarizatora paralelna s x-osi koordinatnog sustava. Na polarizator upada linearno polarizirano svjetlo čija ravnina polarizacije stoji pod kutom α prema osi polarizatora. Prilikom prolaska kroz polarizator, svjetlo se razlaže na dvije linearno polarizirane komponente, od kojih će iz polarizaotra izaći samo x-komponenta. Ako je amplituda svjetlosnog vala E, njena x-komponenta je E x = E cos (α). Prisjetimo se sad da je energija vala proporcionalna kvadratu amplitude. Snagu svjetlosnog vala (=energija u jedinici vremena) nazivamo intenzitet svjetla. Ako je dakle intenzitet upadnog svjetla I o, intenzitet svjetla I koje izlazi iz polarizatora bit će: I = I o cos 2 (α) (10.3) Ova zakonitost naziva se po njenom otkrivaču Malusov zakon. Ne zaboravimo da je i upadno svjetlo u ovom slučaju bilo linearno polarizirano! Upada li pak na polarizator nepolarizirano svjetlo, prikazat ćemo ga kao mješavinu svjetla svih mogućih smjerova polarizacije, pri čemu su svi oni jednako zastupljeni. U tom je slučaju intenzitet propuštenog svjetla zbroj intenziteta svih propuštenih zraka: I = 90 o α=0 sumu radi lakšeg računa prebacimo u integral: I u cos 2 (α) (10.4) pa, uz činjenicu da je: π/2 I = I u cos 2 (α)dα (10.5) α=0 nalazimo: π/2 α=0 cos 2 (α)dα = π 4 (10.6)

125 10.1: POLARIZACIJA SVJETLA 109 π I = I u (10.7) 4 U ovom računu I u je intenzitet svake pojedine komponente svjetla na ulazu u polarizator, pa je ukupni intenzitet ulaznog svjetla (=zbroj po svim smjerovima polarizacije, kao i prije): π/2 π I o = I u dα = I u (10.8) α=0 2 Odavde zaključujemo da je intenzitet linearno polariziranog svjetla nakon polarizatora jednak polovici intenziteta nepolariziranog svjetla koje upada na njega: I = I o 2 (10.9) Dva polarizatora u nizu Slika 10.6: Dva polarizatora u nizu. Prvi od ulaznog nepolariziranog svjetla izdvaja linearno polarizirano svjetlo, a drugi, koji se može zakretati prema prvome, služi za analizu raznih smjerova polarizacije, pa se naziva i analizator. U stvarnosti se izmedu njih umeće prozirno tijelo čije djelovanje na polarizirano svjetlo želimo istražiti. Kod proučavanja prolaska polariziranog svjetla kroz razne tvari najčešće se koriste dva polarizatora u nizu. Prvi polarizator od ulaznog nepolariziranog svjetla izdvaja linearno polariziranu komponentu, koja nakon toga prolazi kroz drugi polarizator. Drugi polarizator će naravno propustiti samo komponentu upadnog linearno polariziranog svjetla koja je paralelna s njegovom osi polarizacije. Ovaj polarizator može se zakretati, pa tako možemo mijenjati ravninu polarizacije i intenzitet svjetla koje iz njega izlazi. Zato se on naziva analizator. Postavimo li os analizatora pod pravim kutem prema osi prvog polarizatora, poništit će on sve svjetlo iz njega neće izaći ništa. Ovakova situacija naziva se ukršteni polarizatori. Umetnemo li neko tijelo izmedu ovakova dva polarizatora možemo vidjeti mijenja li ono intenzitet ili ravninu polarizacije svjetla koje kroz njega prolazi. Radimo li s bijelim svjetlom, vrlo često ćemo iza analizatora zapaziti intenzivne boje jer djelovanje umetnutog tijela uglavnom jako ovisi o valnoj duljini svjetla koje kroz njega prolazi. Ako su kod toga polarizator i analizator ukršteni, svako djelovanje umetnug tijela bit će izrazito uočljivo jer ćemo propušteno svjetlo vidjeti u kontrastu prema tamnoj pozadini ukrštenih polarizatora.

126 GLAVA 10: OPTIKA Dvolom Slika 10.7: Dvolom u kristalu kalcita. Predmeti promatrani kroz njega izgledaju dvostruki, kao crna linija u ovom primjeru. Prilikom prolaska svjetla kroz kristale moˇze do ci do pojave dvoloma (slika 1). U tom sluˇcaju zraka svetla koja prolazi kroz kristal razdvaja se na dvije zrake koje kroz kristal prolaze na razliˇcite naˇcine, pa opaˇzaˇc koji gleda kroz kristal vidi dvostruku sliku. Zbog toga se ova pojava naziva dvolom (birifrigencija). Pri tome se opaˇza i da razdvanje dviju slika ovisi o smjeru gledanja kroz kristal. Smjer gledanja se odreduje relativno prema smjeru tzv. optiˇcke osi kristala (slika 10.8). Jedno od svojstava optiˇcke osi je da se dvolom u njenom smjeru ne opaˇza. Drugim rijeˇcima, da bismo opazili pojavu dvoloma, moramo kroz kristal gledati u smjeru koji se ne podudara s njegovom optiˇckom osi. Pojavu dvoloma moˇzemo ispitivati jednostavnim pokusom (slika 10.9). Na osvijetljenu rupicu u nekom zaslonu polegnemo kristal kalcita. Gledaju ci kroz kristal vidimo dvostruku sliku rupice, a razmak dviju slika i smjer njihove spojnice mijenja se sa smjerom gledanja. Ovaj jednostavni pokus pokazuje nekoliko ˇcinjenica. Kao prvo, slika rupice R1 nalazi se na mjestu gdje ju i oˇcekujemo. Da umjesto kristala stavimo staklenu ploˇcicu istih dimenzija i indeksa loma kao i kristal, slika bi bila na tom mjestu. Ta se slika zato naziva normalna ili ordinarna slika, a zrake koje ju tvore su normalne ili ordinarne zrake. Slika R2 ne moˇze se objasniti zakonom loma, pa se naziva anomalna ili ekstraordinarna slika, a zrake koje ju tvore su anomalne ili ekstraordinarne zrake. Nadalje, spojnica slika R1 i R2 paralelna je sa projekcijom optiˇcke osi OD na donju plohu kristala. Rotira li se kristal u ravnini plohe ABCD, primije cuje se da slika R2 rotira oko slike R1 tako da njihova spojnica ostaje paralelna s projekcijom optiˇcke osi.