VEŽBA 3 - ODREĐIVANJE TVRDOĆE PREVLAKA
|
|
- Άιμον Ελευθεριάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VEŽBA 3 - ODREĐIVANJE TVRDOĆE PREVLAKA Definicija Da bi mogla da ispuni svoju funkciju tvrda prevlaka mora posedovati odgovarajuću tvrdoću, koja predstavlja jednu od najvažnijih karakteristika tvrdih prevlaka. Tvrdoća nije fundametalna osobina materijala stoga merena vrednost zavisi od načina merenja. Tvrdoća je jedan od najuticajnih faktora na tribološke osobine i pokazatelj otpornosti materijala na plastičnu deformaciju (1). Tvrdoća najbolje oslikava otpornost materijala u uslovima habanja. Ova tvrdnja proističe iz činjenice da se realni kontakt između površina ostvaruje po neravninama koje podsećaju na geometriju utiskivača za određivanje tvrdoće (2). Među faktore koji utiču na tvrdoću prevlake ubrajaju se: materijal osnove, sastav prevlake, debljina prevlake, gustina, preferirana orijentacija, veličina zrna, greške u materijalu, zaostali naponi i drugo. Merenje tvrdoće Od davnina se tvrdoća materijala merila kao otpornost na zagrebavanje ili sečenje. Prema ovom načinu merenja ako posmatramo dva materijala tvrđi je onaj materijal koji može da zagrebe drugi. Relativna tvrdoća minerala može se odrediti prema Mosovoj (Mohs) skali u kojoj su materijali rangirani prema otpornosti da budu zagrebani drugim materijalom. Ovu skalu sastavio je nemački naučnik Fridrih Mos (Friedrich Mohs) godine. Na skali se nalazi deset minerala, na vrhu je dijamant kao najtvrđi prirodni materijal. Tvrdoća nekog nepoznatog materijala može se odrediti tako što se u skali pronalazi najtvrđi materijal koji može zagrebati ispitivani materijal, i/ili najmekši materijal koji može biti zagreban ispitivanim materijalom. Na primer, ako je neki materijal zagreban sa apatitom, ali ne i sa fluoritom, tvrdoća tog materijala prema Mosovoj skali biće između 4 i 5. Tabela 3.01: Mosova skala Tvrdoća Mineral Apsolutna tvrdoća 10 Diamond (C) Corundum (Al 2O 3) Topaz (Al 2SiO 4(OH-,F-) 2) Quartz (SiO 2) Orthoclase Feldspar (KAlSi 3O 8) 72 5 Apatite (Ca 5(PO 4) 3(OH-,Cl-,F-) 48 4 Fluorite (CaF 2) 21 3 Calcite (CaCO 3) 9 2 Gypsum (CaSO 4 2H 2O) 2 1 Talc (Mg 3Si 4O 10(OH) 2) 1 Ovakva skala ne može se primeniti za precizno određivanje tvrdoće modernih materijala. U ovoj vežbi spominje se samo informativno. Određivanje tvrdoće prevlaka vrši se postupcima zasnovanim na utiskivanju, pri čemu se razlikuju: 1. postupci kod kojih se meri veličina otiska, tzv. konvencionalni postupci i 2. postupci kod kojih se meri dubina prodiranja prizme, tzv. instrumentisano utiskivanje. U zavisnosti od primenjenog opterećenja postupci utiskivanja se dele na makro (F > 10N), mikro (F < 10N; h > 200nm) i nanoutiskivanja (F < 300mN, h < 200nm). -1-
2 KONVENCIONALNI POSTUPCI UTISKIVANJA Kod ovih postupaka utiskivač poznate geometrije utiskuje se u ispitivani materijal određenim opterećenjem, zadržava se sekundi, a zatim se vrši rasterećenje. Na osnovu dimenzija nastalog otiska određuje se tvrdoća iz tablica ili se proračunava iz odgovarajućih izraza. Za merenje tvrdoće tvrdih prevlaka koriste se Vikersova (Vickers) i Knupova (Knoop) prizma. Vikersova dijamantska prizma u obliku je četverostrane piramide čije stranice zaklapaju međusobno ugao od 136. a) a) Dijamantski utiskivač Ispitivani uzorak Otisak b) Slika 3.01: a)šema utiskivanja, b) geometrija Vikersovog i Knupovog utiskivača Šema utiskivanja i geometrija Vikersove i Knupove prizme prikazani su na slici 3.01, a izrazi za određivanje tvrdoće dati su u tablici Tabela 3.02: Izrazi za određivanje tvrdoće Po Vikersu Po Knupu Izraz = = Jedinica (kg/mm 2 ) (kg/mm 2 ) Legenda F primenjeno opterećenje d dijagonala otiska F primenjeno opterećenje l duža dijagonala otiska Danas se više teži ka tome da se vrednosti tvrdoće izraze u jedinicama SI sistema. Izražavanjem sile u Njutnima umesto u kilogramima (1 kg = N) vrednosti tvrdoće dobijaju se u MPa. Postupak ispitivanja sa Vikersovim utiskivačem pogodan je za određivanje makro i mirkotvrdoće. Pri određivanju mikrotvrdoće koriste se opterećenja od 30 g do 1000 g. Pošto je reč o malim opterećenjima utiskivač će ostaviti trag malih dimenzija koji se mora meriti pod mikroskopom. -2-
3 Na primer pri merenju tvrdoće TiN prevlaka moraju se koristiti velika uvećanja (oko 1000x). Knupov utiskivač koristi se za manja opterećenje jer ostavlja otisak veće širine, pa ga je lakše meriti i pri manjim opterećenjima. Za isto opterećenje Knupov otisak je 2.8 puta duži od Vikersovog otiska. Izmerena tvrdoća zapisuje se u obliku 1000 HV25 ili 1000 HK25, što bi u konkretnom slučaju značilo tvrdoća od 1000 Vikersa (Knupa) koja je merena sa opterećenjem od 25 kg. Osnovne razlike između Vikersovog i Knupovog testa za istu primenjenu silu i isti ispitivani materijal: Vikersov utiskivač prodire duplo dublje od Knupovog, Vikersov test je manje osetljiv na stanje površine od Knupovog testa (kod koga uzorak mora biti poliran), Vikersov test je osetljiviji na greške merenja od Knupovog testa, Vikersov test najpogodniji je za male okrugle preseke, a Knupov za izdužene i tanke preseke, Knupov test pogodan je za veoma tvrde i krte materijale. Na slici 3.02 predstavljeni su otisci koji nastaju pri merenju tvrdoće konvencionalnim postupcima, a na slici 3.03 uređaji za merenje tvrdoće. Slika 3.02: Izgled otiska pri konvencionalnom utiskivanju -3-
4 Slika 3.03: a) Analogni tester za Vikers, Brinel i Knup sa dodacima za mikro i makro opterećenja; b) digitalni tester sa malim opterećenjima za Vikers, Brinel i Knup (dijapazon HV 0.1 HV 30) Konvencionalni postupci nisu najpogodniji za merenje tvrdoće prevlaka iz nekoliko razloga: relativno velike sile i dubine utiskivanja veliki uticaj osnove na rezultat, merenje tvrdoće na osnovu nastalog otiska uticaj subjektivnosti pri merenju, pri manjim opterećenjima otisak je suviše mali za posmatranje. Za određivanje tvrdoće prevlaka najpogodnije su metode kod kojih se meri pomeranje utiskivača. Tada se koristi najčešće Berkovičev (Berkovich) utiskivač čija je geometrija prikazana na slici Utiskivač je u obliku trostrane piramide gde svaka stranica sa osom zaklapa ugao od 65. Slika 3.04: Geometrija Berkovičevog utiskivača ( desno negativ otiska) Iako ne ostavlja najmanji otisak ovaj utiskivač koristi se za najmanja opterećenja za tzv. nano i piko utiskivanja. Pošto se kod ovih utiskivanja ne meri otisak (već pomeranje utiskivača) njegova veličina nije bitna, a Berkovičev utiskivač primenjuje se zbog najveće preciznosti geometrije vrha. -4-
5 Instrumentisano utiskivanje - Određivanje nano tvrdoće Debljine prevlaka su sve manje, a time i dozvoljene dubine prodiranja. Ovako male dubine prodiranja mogu se postići primenom instrumentisanog nanoutiskivanja (h < 200 nm). Kod ovog postupaka vrh utiskivača utiskuje se promenljivom silom u prevlaku. Sila se prvo povećava do neke maksimalne vrednosti P max, a zatim se vrši rasterećenje do delimične ili potpune relaksacije materijala. U toku utiskivanja meri se vrednost prodiranja pri primenjenoj sili, čime se dobijaju krive opterećenjarasterećenja kao na slici Slika 3.05: Primer krive opterećenja-rasterećenja Dubine h m-najveća dubina, h c-dubina kontakta i h f-dubina krajnjeg otiska, prikazane su na slici 3.06 koja predstavlja šematski prikaz profila otiska pod najvećim opterećenjem i profila otiska koji nastaje nakon rasterećenja. Slika 3.06: Šematski prikaz profila površine pri utiskivanju Kod postupka nanoutiskivanja se ne meri otisak kao kod konvencionalnih postupaka, već se tvrdoća određuje direktno na osnovu krive opterećenja-rasterećenja. Najčešće korišćena metoda analize ove krive poznata je pod nazivom Oliver-Far (Pharr) metoda. Prema ovoj metodi tvrdoća (H) se određuje na osnovu sledećeg izraza: = gde su: P max najveća sila, A projekcija kontaktne površine. U tabeli 3.02 dati su izrazi za određivanje projekcije kontaktne površine za različite vrste utiskivača. -5-
6 Tabela 3.02 Određivanje projekcije kontaktne površine za različite utiskivače Utiskivač Projekcija kontaktne površine Faktor ε Lopta A 2 Rhc 0.75 Berkovič (Berkovich) Vikers Knup Ugao kocke Konus c tan 0.72 (0.75) A h c tan 0.72 A h 2 2 c tan 1 tan A h c tan 0.72 A h 2 2 tan 0.72 A h c Dati izrazi podrazumevaju savršenu geometriju utiskivača, međutim najčešće dolazi do zaobljenja vrha utiskivača koje se uzima u obzir proširenjem ovih izraza. U proširenim izrazima javlja se veliki broj konstanti koje opisuju odstupanje od savršene geometrije, čije određivanje je relativno teško. Primenom izraza iz tabele 3.02 dobijaju se zadovoljavajući rezultati, pa se oni najčešće koriste. Ovi izrazi pokazuju da se projekcija kontaktne površine određuje direktno na osnovu dubine kontakta h c. Dubina kontakta zavisi od kontaktne krutosti S, najvećeg opterećenja P max, najveće dubine prodiranja h m i geometrije utiskivača izražene preko faktora ε. Određuje se direktno na osnovu krive opterećenja-rasterećenja, bez merenja otiska. Izraz za određivanje kontakne dubine glasi: h c P hm S Vrednosti veličina h m i P max određene su odmah po završetku utiskivanja, vrednost faktora ε zavisi od oblika utiskivača i data je u tablici 3.02, vrednost kontaktne krutosti određena je početnim nagibom krive rasterećenja, dobija se diferenciranjem jednačine krive rasterećenja P = α(h-h f) m pri najvećem opterećenju: gde su α i m empirijski korekcioni faktori. max dp S m( hm hf ) dh hh m Iako relativno komplikovan postupak određivanja tvrdoće metodom Oliver-Far najčešće se koristi za određivanje tvrdoće pri ispitivanju instrumentisanim utiskivanjem. Danas se mogu naći pojednostavljeni postupci određivanja tvrdoće. Jedan od njih sličan je prethodno opisanom, a razlika je način određivanja dubine h c, koji ne zahteva proračunavanje kontaktne krutosti i korekcionih m1 faktora. Prema tom neimenovanom postupku dubina prodiranja određuje se: hc hm hs gde je h s veličina elastičnog pomeranja površine koja se određuje pomoću izraza: h ( h h ) s m f gde je η geometrijska konstanta, koja ima vrednost 0.58 za Berkovičev utiskivač. -6-
7 Ovim postupkom rezultati se dobijaju brzo i jednostavno, dubina kontakta hc se određuje krajnje jednostavno, na osnovu izmerene najveće dubine i dubine otiska nakon rasterećenja. Za određivanje tvrdoće nanoutiskivanjem koriste se NHT (Nano Hardness Tester) uređaji (slika 3.07a). slici 3.07b. Slika 3.07: NHT uređaj Ovi uređaji omogućuju merenje tvrdoće pri dubinama prodiranja od svega 15 nm, pored tvrdoće mogu se koristiti za određivanje modula elastičnosti, žilavosti loma, otpornosti na zamor i puzanje. Elektromagnetni kalem služi za pomeranje utiskivača. Kapacitivni senzor, smešten blizu vrha utiskivača, kontroliše vertikalno pomeranje utiskivača. Dve opruge osiguravaju da kretanje osovine utiskivača uvek ostane vertikalno i da ne dođe do izvijanja u toku utiskivanja. Magnetne barijere izoluju uzorak i vrh utiskivačaod uticaja elektromagnetnog polja koje je stvoreno pomoću kalema. Prikazana šema predstavlja novije rešenje koje uključuje referentni prsten koji omogućava merenje dubine prodiranja od gornje površine uzorka, što ima niz prednosti: velika tačnost merenja dubine prodiranja, kratko vreme merenja, zanemarljiva termalna odstupanja, zaštita zone merenja od struje vazduha i akustičnih smetnji, zaštita mernog pipka (utiskivača) od mehaničkih oštećenja. -7-
8 Problematika uticaja osnove (supstrata) Problem pri merenju tvrdoće prevlake predstavlja uticaj osnove. Prilikom utiskivanja prizme u prevlaku, opterećenje se prenosi preko prevlake na osnovu čija tvrdoća u većoj ili manjoj meri utiče na izmereni rezultat. Prodiranje utiskivača izaziva elastično i plastično deformisanje prevlake, ali najčešće i deformisanje osnove, pa dobijena tvrdoća predstavlja tvrdoću sistema prevlaka/osnova, a ne same prevlake. Stoga se izmerena tvrdoća naziva i kompozitna tvrdoća Hcomp (slika 3.08). Ukoliko se radi o mekoj prevlaci na tvrdoj osnovi, neće doći do plastične deformacije, tj. uticaja osnove, ni pri većim dubinama prodiranja (čak i do 90% od debljine prevlake). Međutim, u slučaju tvrde prevlake na mekoj osnovi, osnova se više plastično deformiše od prevlake, pa je uticaj tvrdoće osnove u ukupnoj tvrdoći sistema veliki. Da bi se odredila tvrdoća prevlake bez uticaja osnove preporučuje se dubina prodiranja (h) do 10% od debljine prevlake (t). U ovoj oblasti izražene su elastično plastične deformacije prevlake, a uticaj osnove može se javiti u manjoj meri (slika 3.08). 0 - elastična deformacija prevlake; 1a - dominantne elastično-plastične deformacije u prevlaci; 1b - plastično-elastične deformacije u prevlaci uz početak prenošenja deformacija na supstrat; 2a - uticaj prevlake i supstrata - prevlaka puca; 2b - dominantni uticaj osnovnog materijala; 3 - potpuni uticaj supstrata. Sika 3.09: Promena tvrdoće sa dubinom prodiranja Ukoliko se radi o veoma tankim prevlakama (< 1 μm) gde su dubine utiskivanja izuzetno male, može do pojave uticaja veličine otiska. Promena tvrdoće TiN prevlake sa dubinom prodiranja prikazana je na slici
9 Slika 3.08: Promena izmerene tvrdoće od primenjenog opterećenja (dubine prodiranja) Sa slike se jasno vidi da tvrdoća opada sa povećanjem dubine prodiranja. Na slici 3.08 vidi se da tvrdoća neograničeno raste sa opadanjem dubine prodiranja što nije tačno i tvrdoću za veoma male dubine prodiranja nije moguće odrediti. Promena tvrdoće pri malim dubinama prodiranja može se matematički modelirati pa se dobijaju krive kao na slici Postoji više načina za određivanje tvrdoće prevlake na osnovu izmerene kompozitne tvrdoće. Jedan je način preko površina koje nose opterećenje (slika 3.10). Ap i Aom su projekcije površina prevlake i osnovnog materijala izloženih pritisku Vp i Vom su deformisane zapremine prevlake i osnovnog materijala. Slika 3.10: Šematski prikaz deformisanih oblasti prevlake i osnove: odnos nosećih površina i određivanje deformisanih zapremina kod pravila mešavine prevlaka/osnova. Tvrdoća prevlake na osnovu analize površina koje nose opterećenje može se odrediti na osnovu sledećeg izraza: = + -9-
10 gde su: Hkomp izmerena tvrdoća Hp tvrdoća prevlake Hom - tvrdoća osnove A - projekcija ukupne površine utiskivanja Ap i Aom - projekcije površine prevlake/osnove, koje nose opterećenje utiskivanja. Tvrdoća prevlake se može odrediti takodje na osnovu deformisanih zapremina: = + gde su: V ukupna deformisana zapremina Vc i Vs su definisane kao na slici 3.10 χ - empirijski koeficijent koji uzima u obzir promenu zapremine mekše osnove (Vom) zbog ograničenja u njenom širenju koje nameće tvrđa prevlaka. Pored navedenih modela predlaže se i sledeći izraz koji se dobija na osnovu analize utroška rada pri utiskivanju prizme: = ( ) gde su: β relativna dubina utiskivanja βo parametar koji odgovara pomeranju prelazne zone duž apcise (dubina na kojoj je tvrdoća prevlake 50% veća od tvrdoće supstrata) x parametar koji opisuje prelaz između dva ekstrema tvrdoće (tvrdoće prevlake sa jedne i tvrdoće supstrata sa druge strane) Parametri βo i x mogu se bolje razumeti posmatranjem slike Slika 3.11: Promena kompozitne tvrdoće sa relativnom dubinom prodiranja β. a) x je fiksiran i prikazana promena sa porastom βo. b) βo je fiksiran i prikazana promena sa promenom x Sa slike je jasno da su preferirane prevlake sa većim βo jer one zadržavaju svoju tvrdoću na većim dubinama prodiranja. Takođe se vidi kako utiče promena parametra x, sa povećanjem istog pad tvrdoće je strmiji. Ovaj parametar zavisi od otpornosti prevlake na lom. -10-
11 Rezime Postoji više faktora zbog kojih se vrednost izmerene tvrdoće treba uzeti sa rezervom, upravo zbog toga što se često daje samo vrednost tvrdoće bez podataka o okolnostima pod kojim je dobijena. Najvažniji od tih faktora su: Tačkaste greške u materijalu i dislokacije, pogotovo nakupine dislokacija. Veličina zrna, koja ima uticaj zbog dejstva granice zrna (koje se sastoje od nakupina grešaka). Uticaj granice je izraženiji kod manje veličine zrna. Nehomogenosti u prevlaci, pošto utiskivanje u zone sa različitim nejednakostima (hemijskim, orijentacionim, koncentracijama grešaka,...) daje različite rezultate. Uticaj osnovnog materijala. U literaturi se navodi da izmerena vrednost tvrdoće sistema prevlaka/osnova (što se uvek zapravo i meri) zavisi i od žilavosti prevlake i njene athezije za osnovu. Takozvani efekat veličine otiska zbog ovog efekta se ne mogu detektovati stvarne vrednosti tvrdoće pri manjim dubinama utiskivanja već se iste dobijaju pomoću matematičkih modela. Na slici 3.12 može se videti nepravilnost u otisku nastalom pri malim dubinama utiskivanja. U literaturi se navodi da optimalna vrednost relativne dubine utiskivanja zavisi i od debljine prevlake i da za različite grupe prevlaka ima drugačiji uticaj. Sve to govori o delikatnosti određivanja korektne vrednosti tvrdoće same prevlake, problema za koji se naizgled može činiti da je trivijalan. Slika 3.12: Profil različitih dubina utiskivanja -11-
3. VEŽBA - ODREĐIVANJE TVRDOĆE PREVLAKA
3. VEŽBA - ODREĐIVANJE TVRDOĆE PREVLAKA DEFINICIJA TVRDOĆE Da bi prevlaka otporna na habanje mogla da ispuni svoju funkciju ona mora posedovati odgovarajuću tvrdoću, koja predstavlja jednu od najvažnijih
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. VEŽBA - ADHEZIJA PREVLAKA
5. VEŽBA - ADHEZIJA PREVLAKA Elementi na koje se nanose tvrde prevlake najčešće su izloženi visokim opterećenjima i temperaturama koji izazivaju degradaciju osobina međupovršine prevlake i podloge, oštećenje
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα3.9. Postupak merenja obrtnog momenta i mehaničke snage
3.9. Postupak merenja obrtnog momenta i mehaničke snage U zavisnosti od rada mašine, obrtni moment može da bude: - Statički i - Dinamički: Stacionaran dm/dt = 0 Nestacionaran M(t) 0 Merenjem dinamičkog
Διαβάστε περισσότεραVEŽBA BR. 3 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI
VEŽBA BR. 3 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI Za MODUL ELASTIČNOSTI je vezan HUKOV ZAKON Hukov zakon je dat izrazom R E MPa R napon ε jedinično izduženje E modul elastičnosti Modul elastičnosti (E) predstavlja
Διαβάστε περισσότεραKERAMIKA, BETON I DRVO
KERAMIKA, BETON I DRVO Vježba 2. Keramografija 1 prof. dr. sc. Lidija Ćurković prof. dr. sc. Vera Rede dr. sc. Marijana Majić Renjo Početak Tijek priprave uzorka za keramografiju Rezanje uzorka Ulijevanje
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLOGO ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI
LOGO ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI Odnos između napona i deformacija Za svaki materijal i svaku vrstu naprezanja, u oblasti važnosti Hukovog zakona, postoje određeni odnosi između napona i njima izazvanih
Διαβάστε περισσότερα3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραTEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU
V E Ž B E TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU Rade Tokalić Suzana Lutovac ISPITIVANJE METALA I LEGURA I ispitivanja sa razaranjem uzoraka II ispitivanja bez razaranja uzoraka III - ispitivanja strukture
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότερα