Lecture Notes for Chapter 8
|
|
|
- Καρπός Αναστασιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Data Mnng Cluster Analyss Lecture otes for Chapter 8
2 Clusterng Target: Dvde data nto a set of groups (clusters) based on smlarty Smlar samples are grouped together, whle dssmlar samples are placed n dfferent clusters Input dataset: unlabeled data Avalable only the nformaton of feature values X,,, Unsupervsed learnng
3 Eamples (I). Input dataset Clusterng result
4 Eamples (II)
5 Advantages of Clusterng Clusterng for data understandng Dscover dynamcally categores of data Clusterng asssts Informaton retreval effcent fndng nearest neghbors Summarzaton of data Compresson (vector quantzaton)
6 Goal: Cluster Analyss Obects that belong to the same cluster are more smlar to each other, and smultaneously dffer from rest obects that belong to other clusters. The more smlar among members of same cluster (ntercluster), the more dfference among clusters (ntracluster). There s an obectve dffculty
7 Cluster Analyss (cont.). Whch s the optmum number of clusters? Soluton wth clusters Soluton wth 4 clusters Soluton wth 6 clusters
8 Clusterng approaches Parttonng (model-free) methods: Dvde the nput data set nto non-overlappng subsets - groups (clusters). Any pont belongs eclusvely to a sngle cluster. Herarchcal methods: Buld a herarchy of clusters organzed n a tree structure Smlarty-based methods: Use a smlarty matr of data and make a spectral analyss of t (graph-based clusterng). Model-based methods: Every cluster s descrbed by a parametrc model. Durng learnng model parameters are estmated n order to ft the data. Any pont belongs to several clusters wth dfferent degrees.
9 Eclusve vs. on-eclusve (Overlappng) Clusterng Eclusve Any pont belongs eclusvely to a sngle cluster. Overlappng Any pont may belong to several clusters wth dfferent degree. e.g. probablstc clusters (probablty of belongngness) Fuzzy clusters (membershp value)
10 Complete vs. Partal Clusterng Complete Clusterng s performed to all data Partal Some eamples may not partcpate to clusterng procedure, ether because they do not belong to well shaped clusters, or because they are nosy data or outlers and may negatvely affect clusterng
11 Types of Clusters Well-separated clusters Any pont s more smlar to all ponts of the same cluster n comparson wth ponts from other clusters Prototype-based or Center-based clusters The dstance of any pont wth the cluster center t belongs s less than dstances wth other clusters centers The center of a cluster s often a centrod, the average of all the ponts n the cluster, or a medod, the most representatve pont of a cluster
12 Types of Clusters (cont.) Geometrc clusters Clusters have geometrc propertes,.e. have geometrc rules to dentfy whch data pont belong to them. For eample, hyperplanes or hyperspheres that surround a cluster regon. Graph-based clusters Graph representaton of data where data ponts are vertces whch communcate only wth other ponts (vertces) of the same cluster. Clusters as clques.
13 Types of Clusters (cont.) Densty-based clusters Cluster s a regon of hgh densty that surrounds smlar ponts and s separated wth other clusters wth regons of mnmum varance Property or Conceptual clusters Cluster s a set of data sharng a common property (e.g. dstance, geometry)
14 []. Parttonng Clusterng: fndng cluster representatves Every cluster Ω s descrbed wth a representatve (μ ) that descrbes t unquely. Summarzaton of data Representatve summarzes all cluster members Reducng dataset to a set of representatves of clusters Compresson of nformaton Vector quantzaton Useful n tet, mages, sounds and vdeo (tet, vdeo or sound summarzaton by keepng most characterstc topcs, paragraphs, or scenes)
15 y. 3 cluster representatves 3 Iteraton
16 y 0 cluster representatves 8 Iteraton
17 Parttonng method Decson mechansm: A pattern belongs eclusvely to the closest cluster * that has the mnmum dstance (or the hghest smlarty) wth ts representatve Learnng goal: * arg mn,, Estmate the proper values of the representatves { μ } gven an nput set of eamples. d,
18 Ο αλγόριθμος Κ-means (MacQueen, 967) Input dataset Goal: dvson of set X nto Κ clusters and dscovery representatves { μ }. (: known) Cluster representatves: Means or center of data belong to the same cluster. Rule: Every pont belongs to the cluster wth the mnmum dstance of ts center. Obectve functon: X,,, E mn,, d,
19 Ο αλγόριθμος Κ-means (MacQueen, 967) Αρχικοποίηση (t=0) των Κ μέσων: E Επαναληπτικά (0). Τοποθέτηση των προτύπων σε Κ ομάδες ανάλογα με την απόστασή τους από τα τρέχοντα μέσα των ομάδων,,. Ενημέρωση των Κ μέσων E ( t) mn,, d,,, q arg mn,, mn,, (0), (0), d,,, d, t ( t) q q
20 Ο αλγόριθμος Κ-means (MacQueen, 967) Termnaton crteron: Cluster centers stop modfed between successve steps or STOP f t t Obectve functon stops modfed between successve steps 0 STOP f E E ( t) E ( t )
21 y y y y y y An eample of eecuton of k-means algorthm 3 Iteraton 3 Iteraton 3 Iteraton Iteraton 4 3 Iteraton 5 3 Iteraton
22 An alternatve nterpretaton (I) Assumng Eucldean spaces: Target of -means s to mnmze the sample varance of data belong to every cluster. Mnmum varance clusters constructon, or, mamum coherence clusters constructon. d E,,,, mn, mn
23 An alternatve nterpretaton (II) Obectve functon: E mn,, d, mn,, Obectve functon as an error functon of data to ther closest center. Durng learnng try to mnmze the sum of squared error
24 []. Intalzaton strateges of cluster centers. Συνήθως τυχαία επιλογή από τα δείγματα.. Ομοιόμορφα από το πεδίο τιμών των χαρακτηριστικών 3. Πολλές επαναλήψεις του -means. Επιλογή της λύσης με την μικρότερη τιμή συνάρτησης (mn{e}). 4. Με διαδοχική επιλογή κέντρων: Επιλογή αρχικά ενός κέντρου τυχαία (=) ή συνολικό κέντρο Επαναληπτικά επιλογή ως μέσο της + ομάδας το πιο «απομακρυσμένο» σημείο του συνόλου δεδομένων από όλα τα μέσα { μ } που έχουν επιλεχθεί μέχρι το τρέχον βήμα. Έτσι περισσότερο ευδιάκριτες ομάδες στο αρχικό βήμα Κίνδυνος να επιλεγούν ως μέσα ακραίες τιμές (outlers)
25 y Παράδειγμα αρχικοποίησης 3 επιλογή ου κέντρου.5.5 μ
26 y Παράδειγμα αρχικοποίησης 3 επιλογή ου κέντρου.5.5 μ μ
27 y Παράδειγμα αρχικοποίησης 3 επιλογή 3 ου κέντρου.5.5 μ μ 3 μ
28 y y y y y Παράδειγμα «κακής» αρχικοποίησης 3 Iteraton 3 Iteraton Iteraton 3 3 Iteraton 4 3 Iteraton
29 []. Πρόβλημα με empty clusters Υπάρχει περίπτωση σε κάποιο επαναληπτικό βήμα του αλγορίθμου να υπάρχει μία κενή ομάδα, δηλ. να μην έχει κανένα σημείο. Λύση: Αντικαθιστούμε το κέντρο της κενής ομάδας με το πιο απομακρυσμένο σημείο από τα κέντρα των άλλων ομάδων.
30 [3]. Πρόβλημα με ακραία σημεία (outlers) Τα ακραία σημεία μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά την διαδικασία ομαδοποίησης, καθώς μπορεί να μεταβάλλουν σημαντικά τα μέσα τους. Λύση: Μηχανισμός εντοπισμού των ακραίων σημείων, είτε πριν την ομαδοποίηση (προεπεξεργασία) είτε μετά (μετα-επεξεργασία), και αφαίρεσής τους.
31 [4]. Complety Η πολυπλοκότητα σε μνήμη είναι μικρή καθώς επιπλέον μόνο τα Κ κέντρα απαιτούνται. Έτσι πολυπλοκότητα σε χώρο (space) : Ο((Ν+Κ)*d), Ν: sze of dataset d: dmenson of data Η πολυπλοκότητα σε χρόνο (tme) είναι γραμμική ως προς τον αριθμό των δεδομένων, δηλ. Ο(Ν), καθώς σε κάθε επανάληψη απαιτούνται d πράξεις.
32 [5]. Επέκταση σε μη-ευκλείδιους χώρους (-medods) Τροποποιήσεις του βασικού σχήματος I. Συνάρτηση ομοιότητας (αντί για απόστασης) II. Αντικειμενική συνάρτηση (μεγιστοποίηση) E sm ma,,, sm, III. Διάμεσος (medod) ως κέντρο της ομάδας Ω k : ma sm, k k
33 [6]. Bsectng k-means (ncremental learnng) Επαναληπτικά, επιλέγουμε μία ομάδα και κάνουμε splt Αρχικά m= ομάδα με ένα κέντρο για όλα τα σημεία. Repeated untl m=. Select cluster,m havng center μ. Splt of -th cluster by eecutng k-means locally for Κ= to the subset of selected cluster s data (local k-means) 3. Two new clusters are produced wth centers: 4. m=m+ ( new), m Fnally, eecute (global) k-means wth centers to all data.
34 [7]. Lmtatons of -means Ο αλγόριθμος παρουσιάζει προβλήματα όταν οι ομάδες των δεδομένων είναι μη-σφαιρικές ή όταν είναι διαφορετικού μεγέθους ή διασποράς. Το μειονέκτημα του kmeans είναι ότι οι ομάδες που ψάχνει να βρει είναι του ιδίου μεγέθους, της ίδιας πυκνότητας και ότι το σχήμα τους είναι σφαιρικό. Αντιμετώπιση: Κάνουμε splt στις ομάδες στο τέλος του αλγορίθμου Εκτελώντας τον αλγόριθμο k-means για μεγαλύτερο αριθμό από clusters.
35 [7]. Lmtatons of -means (cont.) Clusters of dfferent shape Intal dataset -means soluton (3 Clusters)
36 [7]. Lmtatons of -means (cont.) Clusters of dfferent varance Intal dataset -means soluton (3 Clusters)
37 [7]. Lmtatons of -means (cont.) on-sphercal shaped clusters Intal dataset -means soluton ( Clusters)
38 [8]. Geometry of k-means Assume clusterng nto Κ= clusters. Decson mechansm of k-means: T Then we have: of the form: w T 0 b 0
39 [8]. Geometry of k-means (cont.) Thus: k-means constructs specfc lnear dscrmnant hyperplanes among clusters, Bsector of cluster centers lne ( μ, μ k ). μ μ
40 [9]. Alternatve Obectve functon (III) E, dst, E w dst,, mn όπου τα δυαδικά βάρη w εκφράζουν την πληροφορία του σε ποια ομάδα ανήκουν τα σημεία Το n w εκφράζει το πλήθος των δεδομένων που ανήκουν στην -οστή ομάδα. Cluster centers: w 0 n w
41 [0]. -means as an optmzaton problem Obectve functon n Eucldean spaces: Mnmzaton problem of centers { μ } Settng the dervatve of μ equal to zero: Sample mean s the optmum center parameter that mnmzes the obectve functon. d E,,, mn T T T E E ˆ 0 ˆ 0
42 []. Computer Vson applcaton Image segmentaton and mage compresson Image segmentaton: Dvson of mage nto regons (segments) of the same ntensty. Let gray-scale mage of sze 5 5 pels. Usng 8 bts /pel (56 ntensty levels) a memory space of 56 kb s requred. Apply the -means clusterng approach to the 8 pel ntenstes for fndng clusters.
43 []. Computer Vson applcaton (cont.) After fnshng clusterng, we assgn all pels of the same cluster wth the ntensty of ther cluster center μ they belong. Then, new space requred for mage s (3 log ) kb e.g. = 3B =4 64B =8 96B Image compresson wth an error equal to the k-means obectve functon (after convergence): E mn,, d,
44 []. Fuzzy c-means Etenson of k-means usng Fuzzy sets theory Obectve functon s wrtten as u s the degree of membershp of nput to cluster, calculated (teratvely) as: Cluster centers calculaton m m u u m m u J m k m k u
45 [3]. ernel k-means Etenson of k-means usng kernel functon k(, ) φ() Obectve functon s wrtten as or Cluster centers d E,,, mn w E w 0 w n
46 Idea on ernel methods. represent a pont by ts mage n a feature space:. Domans can be completely dfferent! 3. ernel Trck: In many applcatons we do not need to know eplctly, we only need to operate computed effcently (e.g. can be nfnte dmensonal) f the kernel can be
47 [3]. ernel k-means (cont.) Etended to kernel k-means Each term s wrtten (kernel dstance) w E n m m n m n n n n n m m T n m n n n T n T n n n T n n n T k w w n k w n k w w n w n w n w n,,, w n n w
48 [3]. ernel k-means (cont.) kernel k-means obectve functon eed of kernel (gram) matr calculaton Bnary (or weghted) w by calculatng the kernel dstance n m m n m n n n n k w w n k w n k w E,,, k,
![[3]. ernel k-means (cont.](/docs-images/66/55902657/images/49-0.jpg ") -means vs.")
49 [3]. ernel k-means (cont.) -means vs. ernel -means
50 Learnng Vector Quantzaton - LVQ Στόχος είναι η εύρεση αντιπροσώπων { μ } ενός συνόλου δεδομένων Οι αντιπρόσωποι δρουν ως κβαντιστές πληροφορίας και προκαλούν συμπίεση των δεδομένων Ανταγωνιστική μάθηση (compettve learnng): Oι κβαντιστές συναγωνίζονται μεταξύ τους για το ποιος θα «αποκτήσει» ένα νεοεισερχόμενο πρότυπο. Η διανυσματική έκφραση του νικητή προσαρμόζεται εκδόσεις: Με ή χωρίς επίβλεψη
51 LVQ for clusterng Intalzaton of centers Repeat. Random selecton of an nput pont. Fnd wnner cluster: 3. Update center of wnner cluster: new old old η < learnng rate q arg mn,, (0), d, X, old new old
52 []. Herarchcal Clusterng Δενδρική αναπαράσταση των δεδομένων Πλεονεκτήματα : Όχι εξάρτηση από αρχικοποίηση Ταυτόχρονα πολλαπλές λύσεις για διαφορετικό αριθμό ομάδων (ύψος δέντρου) Η μέθοδος είναι γενική καθώς μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε μη-ευκλείδιους χώρους. Υπάρχουν τρόποι κατασκευής του δέντρου
53 Herarchcal Clusterng ested clusters Dendrogram
54 Dvsve method Top-down tree constructon Intally one cluster root of tree (k=) Repeat. Select a cluster (leaf node of current tree) accordng to an approprate crteron.. Splt ths cluster (parent) nto two nonoverlappng chldren usng a proper mechansm. 3. k=k+ Untl k=m
55 Dvsve method (cont.) Selecton method: Usually based on ma varance crteron or cluster s sparseness. Cluster Splttng: fnd two cluster members {, } such that: mn, C n C mn,, dst, dst n n Then locate members of -cluster to two chldren accordng to dstances wth two sub-cluster representatves {, }.
56 Dvsve method (cont.) Splttng procedure C C () C ()
57 Agglomeratve method Bottom-up tree constructon.. Intally a tree wth Ν leaf-nodes (every pont forms a separated cluster). (k=) Repeat Fnd two most common clusters (parents) C, C from the current tree. And merge them to a larger cluster C=C C k=k- Untl k=m
58 Agglomeratve method (cont.) Dsadvantage: Hgh complety O( ) Crtera for mergng Mnmum dstance of cluster centers. Total mean dstance among the members of both clusters (Group average) Mamum dstance among both clusters members Increment of cluster s varance after mergng two clusters (Ward s method)
59 Agglomeratve method (cont.) Agglomeratve clusterng eample
Multi-dimensional Central Limit Theorem
Mult-dmensonal Central Lmt heorem Outlne () () () t as () + () + + () () () Consder a sequence of ndependent random proceses t, t, dentcal to some ( t). Assume t 0. Defne the sum process t t t t () t tme
Multi-dimensional Central Limit Theorem
Mult-dmensonal Central Lmt heorem Outlne () () () t as () + () + + () () () Consder a sequence of ndependent random proceses t, t, dentcal to some ( t). Assume t 0. Defne the sum process t t t t () t ();
α & β spatial orbitals in
The atrx Hartree-Fock equatons The most common method of solvng the Hartree-Fock equatons f the spatal btals s to expand them n terms of known functons, { χ µ } µ= consder the spn-unrestrcted case. We
One and two particle density matrices for single determinant HF wavefunctions. (1) = φ 2. )β(1) ( ) ) + β(1)β * β. (1)ρ RHF
One and two partcle densty matrces for sngle determnant HF wavefunctons One partcle densty matrx Gven the Hartree-Fock wavefuncton ψ (,,3,!, = Âϕ (ϕ (ϕ (3!ϕ ( 3 The electronc energy s ψ H ψ = ϕ ( f ( ϕ
ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΛΑ ΕΜΑ ΟΜΑ ΑΣ ΚΑΤΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΕΣΩ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΤΙΚΕΤΩΝ» (Instance-Based Ensemble
8.1 The Nature of Heteroskedasticity 8.2 Using the Least Squares Estimator 8.3 The Generalized Least Squares Estimator 8.
8.1 The Nature of Heteroskedastcty 8. Usng the Least Squares Estmator 8.3 The Generalzed Least Squares Estmator 8.4 Detectng Heteroskedastcty E( y) = β+β 1 x e = y E( y ) = y β β x 1 y = β+β x + e 1 Fgure
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Proposal of Terminal Self Location Estimation Method to Consider Wireless Sensor Network Environment
1 2 2 GPS (SOM) Proposal of Termnal Self Locaton Estmaton Method to Consder Wreless Sensor Network Envronment Shohe OHNO, 1 Naotosh ADACHI 2 and Yasuhsa TAKIZAWA 2 Recently, large scale wreless sensor
8. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΊΑ ΣΗΜΆΤΩΝ. ICA: συναρτήσεις κόστους & εφαρμογές
8. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΊΑ ΣΗΜΆΤΩΝ ICA: συναρτήσεις κόστους & εφαρμογές ΚΎΡΤΩΣΗ (KUROSIS) Αθροιστικό (cumulant) 4 ης τάξεως μίας τ.μ. x με μέσο όρο 0: kurt 4 [ x] = E[ x ] 3( E[ y ]) Υποθέτουμε διασπορά=: kurt[ x]
Variance of Trait in an Inbred Population. Variance of Trait in an Inbred Population
Varance of Trat n an Inbred Populaton Varance of Trat n an Inbred Populaton Varance of Trat n an Inbred Populaton Revew of Mean Trat Value n Inbred Populatons We showed n the last lecture that for a populaton
LECTURE 4 : ARMA PROCESSES
LECTURE 4 : ARMA PROCESSES Movng-Average Processes The MA(q) process, s defned by (53) y(t) =µ ε(t)+µ 1 ε(t 1) + +µ q ε(t q) =µ(l)ε(t), where µ(l) =µ +µ 1 L+ +µ q L q and where ε(t) s whte nose An MA model
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2
EE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
ΗΥ537: Έλεγχος Πόρων και Επίδοση σε Ευρυζωνικά Δίκτυα,
ΗΥ537: Έλεγχος Πόρων και Επίδοση σε Ευρυζωνικά Δίκτυα Βασίλειος Σύρης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Εαρινό εξάμηνο 2008 Economcs Contents The contet The basc model user utlty, rces and
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider
Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΟΥ ΦΡΑΓΜΑΤΟΣ ΚΡΕΜΑΣΤΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΣΤΑΘΜΗΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΟΥ ΦΡΑΓΜΑΤΟΣ ΚΡΕΜΑΣΤΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΣΤΑΘΜΗΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ
Numerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
The challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Reminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Appendix. Appendix I. Details used in M-step of Section 4. and expect ultimately it will close to zero. αi =α (r 1) [δq(α i ; α (r 1)
Appendx Appendx I. Detals used n M-step of Secton 4. Now wrte h (r) and expect ultmately t wll close to zero. and h (r) = [δq(α ; α (r) )/δα ] α =α (r 1) = [δq(α ; α (r) )/δα ] α =α (r 1) δ log L(α (r
Statistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
ST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Finite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees
Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,
Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.
Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x
EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)
EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Θέμα : Retrieval Models. Ημερομηνία : 9 Μαρτίου 2006
ΗΥ-464: Συστήματα Ανάκτησης Πληροφορίας Informaton Retreval Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης Άνοιξη 2006 Φροντιστήριο 2 Θέμα : Retreval Models Ημερομηνία : 9 Μαρτίου 2006 Outlne Prevous Semester Exercses Set
k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +](/thumbs/73/69566903.jpg "k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +")
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Bayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science.
Bayesian statistics DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science http://www.cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/dsga1002_fall17 Carlos Fernandez-Granda Frequentist vs Bayesian statistics In frequentist
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Lecture 34 Bootstrap confidence intervals
Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Confidence Intervals θ: an unknown parameter of interest We want to find limits θ and θ such that Gt = P nˆθ θ t If G 1 1 α is known, then P θ θ = P θ θ = 1 α
A Class of Orthohomological Triangles
A Class of Orthohomologcal Trangles Prof. Claudu Coandă Natonal College Carol I Craova Romana. Prof. Florentn Smarandache Unversty of New Mexco Gallup USA Prof. Ion Pătraşcu Natonal College Fraţ Buzeşt
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
1 Complete Set of Grassmann States
Physcs 610 Homework 8 Solutons 1 Complete Set of Grassmann States For Θ, Θ, Θ, Θ each ndependent n-member sets of Grassmann varables, and usng the summaton conventon ΘΘ Θ Θ Θ Θ, prove the dentty e ΘΘ dθ
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Noriyasu MASUMOTO, Waseda University, Okubo, Shinjuku, Tokyo , Japan Hiroshi YAMAKAWA, Waseda University
A Study on Predctve Control Usng a Short-Term Predcton Method Based on Chaos Theory (Predctve Control of Nonlnear Systems Usng Plural Predcted Dsturbance Values) Noryasu MASUMOTO, Waseda Unversty, 3-4-1
The Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Support Vector Machines. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Support Vector Machnes Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Support Vector Machnes Decson surface s a hyperplane (lne n 2D)
Generalized Fibonacci-Like Polynomial and its. Determinantal Identities
Int. J. Contemp. Math. Scences, Vol. 7, 01, no. 9, 1415-140 Generalzed Fbonacc-Le Polynomal and ts Determnantal Identtes V. K. Gupta 1, Yashwant K. Panwar and Ompraash Shwal 3 1 Department of Mathematcs,
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,
Srednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Block Ciphers Modes. Ramki Thurimella
Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be
Overview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation
Overview Transition Semantics Configurations and the transition relation Executions and computation Inference rules for small-step structural operational semantics for the simple imperative language Transition
Section 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 311: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 016 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Ταξινομητές Νευρωνικών ικτύων
Αναγνώριση Προτύπων Ταξινομητές Νευρωνικών ικτύων Χριστόδουλος Χαμζάς 011 Τμήμα του περιεχομένου των παρουσιάσεων προέρχονται από τις παρουσιάσεις του αντίστοιχου διδακτέου μαθήματος του καθ. Σέργιο Θεοδωρίδη,,
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Matrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Instruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
ES440/ES911: CFD. Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems
ES440/ES911: CFD Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems Dr Yongmann M. Chung http://www.eng.warwick.ac.uk/staff/ymc/es440.html Y.M.Chung@warwick.ac.uk School of Engineering & Centre for Scientific
Second Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Phasor Diagram of an RC Circuit V R
ESE Lecture 3 Phasor Dagram of an rcut VtV m snt V t V o t urrent s a reference n seres crcut KVL: V m V + V V ϕ I m V V m ESE Lecture 3 Phasor Dagram of an L rcut VtV m snt V t V t L V o t KVL: V m V
ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
ECE Spring Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes 2
ECE 634 Spring 6 Prof. David R. Jackson ECE Dept. Notes Fields in a Source-Free Region Example: Radiation from an aperture y PEC E t x Aperture Assume the following choice of vector potentials: A F = =
8.323 Relativistic Quantum Field Theory I
MIT OpenCourseWare http://ocwmtedu 8323 Relatvstc Quantum Feld Theory I Sprng 2008 For nformaton about ctng these materals or our Terms of Use, vst: http://ocwmtedu/terms 1 The Lagrangan: 8323 Lecture
Example Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις
ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση
Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Section 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
8.324 Relativistic Quantum Field Theory II
Lecture 8.3 Relatvstc Quantum Feld Theory II Fall 00 8.3 Relatvstc Quantum Feld Theory II MIT OpenCourseWare Lecture Notes Hon Lu, Fall 00 Lecture 5.: RENORMALIZATION GROUP FLOW Consder the bare acton
Section 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Homework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Notes on the Open Economy
Notes on the Open Econom Ben J. Heijdra Universit of Groningen April 24 Introduction In this note we stud the two-countr model of Table.4 in more detail. restated here for convenience. The model is Table.4.
Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
V. Finite Element Method. 5.1 Introduction to Finite Element Method
V. Fnte Element Method 5. Introducton to Fnte Element Method 5. Introducton to FEM Rtz method to dfferental equaton Problem defnton k Boundary value problem Prob. Eact : d d, 0 0 0, 0 ( ) ( ) 4 C C * 4
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Space-Time Symmetries
Chapter Space-Time Symmetries In classical fiel theory any continuous symmetry of the action generates a conserve current by Noether's proceure. If the Lagrangian is not invariant but only shifts by a
Lecture 15 - Root System Axiomatics
Lecture 15 - Root System Axiomatics Nov 1, 01 In this lecture we examine root systems from an axiomatic point of view. 1 Reflections If v R n, then it determines a hyperplane, denoted P v, through the
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Math221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.