Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika
|
|
- Ἀγαπητός Βουγιουκλάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnovni pojmovi iz kombinatorike, vjerojatnosti i statistike I. Kombinatorika Teorem o uzastopnom prebrojavanju (TUP) Ako x 1 možemo birati na n 1 načina, ako x 2 možemo birati na n 2 načina,..... ako x k možemo birati na n k načina, tada uredenu k-torku (x 1, x 2,..., x k ) možemo birati na n 1 n 2 n k načina. Primjeri 1. U razredu koji broji 30 učenika treba odabrati predsjednika, njegovog zamjenika i blagajnika. Na koliko načina je to moguć učiniti? Rj. Prema TUP-u na načina. 2. Iz grada A u grad B vode 4 ceste, a iz B u C vode 3 ceste. Na koliko načina možemo iz A stići u C preko B? Rj. Na 12 načina. 3. Koliko ima četverozanamenkastih brojeva čije su svake dvije susjedne znamenke različite? Rj. Ima ih Koliko ima: (a) različitih sedmeroznamenkastih brojeva? (b) različitih sedmeroznamenkastih brojeva kojima su prve 3 znamenke neparne? (c) različitih sedmeroznamenkastih brojeva kojima su prve 2 znamenke jednake? (d) različitih sedmeroznamenkastih brojeva kojima su sve znamenke različite? Rj. (a) (b) (c) (d) Test ima 10 pitanja s odgovorima da i ne. Na koliko načina se test može riješiti? Rj Permutacija n-članog skupa (ili permutacija od n elemenata) je svaka uredena n-torka različitih elemenata tog skupa. Ponekad se naglašava da se radi o permutaciji bez ponavljanja budući da je svaki element uredene n-torke različit. Prema TUP-u ima točno n! permutacija n-članog skupa. 1
2 Primjeri 1. Na koliko načina 6 ljudi može stati u red? Rj. 6! 2. Na koliko na koliko načina može 5 muškaraca i 5 žena sjesti u red od 10 sjedala ako osobe istog spola ne sjede skupa? Rj. 2(5!) 2 3. Na sastanku 4 čovjeka (A,B,C i D) trebaju dati priopćenje. Na koliko načina to mogu učiniti ako (a) B mora govoriti nakon A? (b) B mora govoriti neposredno nakon A? Rj. (a) 4! 2 (b) 3! Kombinacija r-tog razreda od n-elemenata (r n) je svaki r-člani podskup nekog n-članog skupa. Ima ih ( ) n(n 1) (n r + 1) n! n = r(r 1) 1 r!(n r)! =. r ( ) n Pascalov trokut za računanje binomnih koeficijenata r Primjeri Košarkaški tim ima 11 igrača. Na koliko načina trener može odabrati početnu postavu (5 igrača)? ( ) 11 Rj Iz špila od 52 karte slučajno izvlačimo 8 karata. Na koliko načina je moguće izvući (a) točno 3 asa? ( ) 4 Rj. (a) 3 ( 48 5 (b) barem 3 asa? ) ( ) ( ) 4 48 (b) ( ) 4 4 ( )
3 3. Na koliko načina tri (a) jednake (b) različite knjige možemo dati trojici učenika ako ih je u razredu 20? ( ) ( ) Rj. (a) (b) 3! = Od 100 mobitela 5 ih je s greškom. Na koliko načina možemo odabrati 10 mobitela tako da (a) su svi ispravni, (b) je točno jedan neispravan, (c) je barem jedan jedan neispravan? Rj. (a) (b) (c) ( ) 95, ( 10 ) ( ) 5 95, ( 1) ( 9 ) ( ) ( ) 9 ( ) ili Binomni teorem: ( ) n x n y (x + y) n = ( ) ( ) n x n 1 y ( ) 5 3 ( ) ( ) n x n 2 y ( ) 5 4 ( ) ( ) n x 0 y n = n ( ) 5 5 n k=0 ( ) 95 5 ( ) n x n k y k k 3
4 II. Vjerojatnost Dva pristupa vjerojatnosti (Laplace, 19.st.) (a) klasični (a priori) (b) statistički (a posteriori). U oba pristupa uključen je pojam slučajnog pokusa: pokus čiji ishod nije jednoznačno odreden uvjetima pokusa (npr. bacanje igraće kocke, novčića, mjerenje vremena trajanja žarulje,...). Suprotno slučajnom pokusu jest deterministički pokus čiji je ishod jednoznačno odreden uvjetima. Skup svih mogućih ishoda ili elementarnih dogadaja naziva se prostor elementarnih dogadaja Ω. Primjeri Slučajni pokus: bacanje kocke Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6 Slučajni pokus: bacanje kocke 2 puta (ili bacanje dviju kocki) Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (2, 6),..., (6, 6)}, Ω = 36 Slučajni pokus: mjerenje trajanja žarulje Ω = [0, 4000] u satima, Ω R je neprebrojiv Slučajni pokus: bacanje novčića sve dok ne padne glava. Ishod je broj potrebnih bacanja. Ω = {1, 2, 3,...} = N, Ω je prebrojiv Podjela pokusa s obzirom na kardinalni broj prostora Ω: (a) diskretni: ako je Ω konačan ili prebrojiv (b) kontinuirani: ako Ω sadrži neki interval iz R Dogadaj je podskup skupa Ω. Ako je Ω diskretan onda bilo koji podskup, a ako je kontinuiran onda gledamo samo neke podskupove, to jest govorimo o familiji F dogadaja (F P(Ω)). Najprije ćemo proučiti slučaj kada je prostor Ω konačan ( Ω = n). Statistički pristup vjerojatnosti Želimo odrediti vjerojatnost nekog dogadaja A. Slučajni pokus ponavljamo N puta i zabilježimo da se dogadaj A realizirao N A puta (frekvencija dogadaja A). Relativna frekvencija dogadaja A je kvocijent N A. Za neku seriju pokusa uočili bi da se relativna N frekvencija dogadaja A stabilizira oko broja kojeg nazivamo vjerojatnost dogadaja A, u oznaci p(a). Preciznije, vrijedi N A p(a) = lim N N. 4
5 Primjer Slučajni pokus: bacanje novčića Dogadaj : A = {palo je pismo} Očekujemo N A N 0.5 Klasični pristup vjerojatnosti Pretpostavimo da se prostor Ω sastoji od n elementarnih dogadaja koji su jednako vjerojatni. Vjerojatnost dogadaja A definira se kao p(a) = A Ω = A n. Primjer Slučajni pokus: izvlačenje karte iz špila od 52 karte Dogadaj : A = {izvučen je as} = {A H, A K, A P, A T } Vjerojatnost dogadaja A: p(a) = 4 52 = 7.7% Osnovna svojstva vjerojatnosti 1. p(ω) = 1 2. Za disjunktne dogadaje A i B (to jest takve da je A B = ili z dogadaje koji se isključuju) vrijedi p(a B) = p(a) + p(b). Općenito, ako su dogadaji A 1, A 2,..., A k u parovima disjunktni onda 3. p(a c ) = 1 p(a) 4. Ako je A B, onda p(a 1 A 2 A k ) = p(a 1 ) + p(a 2 ) + + p(a k ). p(a) p(b), P (B\A) = p(b) p(a) 5. Za dogadaje A i B vrijedi p(a) = p(a B) + p(a\b). 6. Ako su dogadaji A 1, A 2,..., A k medusobno disjunktni i vrijedi Ω = k i=1 A k, onda p(a) = p(a A 1 ) + p(a A 2 ) + + p(a A k ). 7. Formula uključivanja/isključivanja (FUI ) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B). 5
6 Primjeri 1. Izvlačimo kartu iz špila od 52 karte. Odredite vjerojatnost da je izvučena karta (a) desetka ili srce (b) niti as niti pik. Rj. (a) A = {izvučena je desetka}, B = {izvučeno je srce} Dogadaji A i B nisu disjunktni, vrijedi A B = {10 S }. Znamo izračunati vjerojatosti dogadaja A, B i A B: Dakle, p(a) = 4 52 = 1 13, p(b) = = 1 4, p(a B) = p(a B) = = 4 13 = 31%. (b) C = {izvučena je as}, D = {izvučen je pik} Vjerojatnosti dogadaja C i D su Vrijedi p(c) = 1 13, p(d) = 1 4. p(c c D c ) = p((c D) c ) = 1 p(c D) = 1 p(c) p(d) + p(c D). Vjerojatnost dogadaja C D = {izvučena je as pik} je 1/52. Stoga je p(c c D c ) = 9 13 = 69%. 2. U posudi sa nalazi 15 kuglica: 6 crvenih, 4 bijele i 5 plavih. Ako izvučemo jednu kuglicu, odredite vjerojatnost da izvučena kuglica bude (a) crvena (b) plava (c) bijela (d) crvena ili plava (e) nije crvena Rj. (a) 6 15 = 40% (b) 5 15 = 33% (c) Odredi vjerojatnost da u 3 bacanja kocke padne (a) bar jedna šestica (b) točno jedna šestica. = 27% (d) = 73% (e) = 60% Rj. (a) A = {pala je bar jedna šestica}, A c = {nije pala niti jedna šestica} Lako izračunamo vjerojatnost dogadaja A c : p(a c ) = 53. Stoga je 63 p(a) = 1 p(a c ) = = 42%. (b) B = {pala je točno jedna šestica}, p(b) = = 35%. 6
7 4. U posudi se nalazi 8 crvenih, 3 bijele i 9 plavih kuglica. Iz posude izvučemo 3 kuglice. Odredi vjerojatnost da (a) su sve crvene (b) su sve bijele (c) je 1 bijela i 2 crvene (d) je bar jedna bijela (e) su različitih boja. ( ) 20 Rj. Ω = 3 (a) p(a) = (8 3) 1 = 5% (b) p(b) = ( 20 3 ) ( 20 3 ) = 0.09% (c) p(a) = (3 1) ( 8 2) ( 20 (d) p(d c ) = (17 3 ) ( 20 3 ) = 60%, p(d) = 40% (e) p(e) = ( 20 3 ) = 19% 3 ) = 7% Uvjetna vjerojatnost Primjer: Kolika je vjerojatnost da je pala šestica ako znamo da je pao paran broj? A = {pala je šestica}, B = {pao je paran broj} Tražimo vjerojatnost dogadaja A uz uvjet B. Tu vjerojatnost zovemo uvjetna i pišemo p(a B). Konkretno, ako znamo da je pao paran broj, to jest 2,4, ili 6, onda je p(a B) = 1 3. Općenito, ako je p(b) > 0, onda uvjetnu vjerojatnost računamo kao p(a B) = p(a B). p(b) U slučaju jednako vjerojatnih ishoda (kao u navedenom primjeru) to je p(a B) = A B. B Lako se uočava da je u slučaju uvjetne vjerojatnosti B preuzeo ulogu prostora Ω. Za dogadaje A i B kažemo da su nezavisni ako dogadaj B ne utiče na vjerojatnost dogadaja vjerojatnost dogadaja A, to jest ako je p(a B) = p(a), odnosno Primjeri p(a B) = p(a)p(b). 7
8 1. Vjerojatnost da će prvi strijelac pogoditi metu je 0.8, a drugi 0.9. Odredite vjerojatnost da će (a) obojica (b) niti jedan (c) barem jedan pogoditi metu. Rj. A = {prvi strijelac je pogodio metu}, B = {drugi strijelac je pogodio metu} (a) p(a B) = p(a)p(b) = 72% jer se A i B nazavisni dogadaji (b) p(a c B c ) = p((a B) c ) = 1 p(a B) = 1 (p(a) + p(b) p(a B)) = 0, 02 = 2% Ili, p(a c B c ) = p(a c )p(b c ) = (jer su i A c i B c nazavisni dogadaji). (c) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 98%. 2. Kocka je bačena dva puta. Neka je A = {zbroj brojeva je 4}, B = {bar jedno bacanje je 3}. (a) Izračunajte p(a B). Rj. (a) p(a B) = 2 36 (b) Jesu li A i B nezavisni dogadaji? 11 p(a B), jer A B = {(1, 3), (3, 1)}, p(b) =, p(a B) = 36 p(b) = (b) Ne, jer p(a) = 3 36 i p(a B) p(a)p(b) 3. Test ispituje je li osoba zaražena nekom rijetkom bolešću koja se pojavljuje jednom na ljudi. Ako je osoba zaražena test je pozitivan s vjerojatnošću 99%, a ako osoba nije zaražena test je negativan s vjerojatnošću 98%. Drugim ruječima, lažno je negativan s vjerojatnošću 1%, lažno je pozitivan s vjerojatnošću 2%. Odredite vjerojatnost da je test pozitivan. Rj. Označimo Z = {osoba je zaražena}, Z c = {osoba nije zaražena}, T = {test je pozitivan}. Vrijedi p(z T ) = 99%, p(z c T ) = 2%. Kako su dogadaji T Z i T Z c disjunkni vrijedi p(t ) = p(t Z)+p(T Z c ) = p(z T )p(z)+p(z c T )p(z c ) = , pa je p(t ) = Ovo znači da bi na ljudi test bio pozitivan približno 201 put, što znači da bi 200 ljudi bilo laňo prikazano kao zaraženim. Ovaj test kvalificira se kao nekoristan. Ideju koju smo koristili za rješavanje prethodnog primjera možemo generalizirati na sljedeći način: ako za u parovima disjunktne dogadaje H 1, H 2,..., H m (to jest H i H j = za i j) vrijedi Ω = H 1 H 2 H m, 8
9 onda vrijedi tzv. formula potpune vjerojatnosti (FPV) p(a) = p(a H 1 )p(h 1 ) + p(a H 2 )p(h 2 ) + + p(a H m )p(h m ). Dogadaje H 1, H 2,..., H m s navedenim svojstima nazivamo potpun sistem dogadaja. Primjeri 1. Na nastavu dolazio redovito 70% studenata, dok njih 30% ne. Studenti koji dolaze na nastavu redovito polože kolokvij s vjerojatnošću 70%, a oni drugi s vjerojatnošću 40%. (a) Kolika je vjerojatnost da student položi kolokvij? (b) Ako je student položio kolokvij, kolika je vjerojatnost da je student dolazio redovito na nastavu? Rj. (a) A = {student je položio}, H 1 = {student je dolazio na nastavu}, H 2 = {student nije dolazio na nastavu}. Prema FPV p(a) = p(a H 1 )p(h 1 ) + p(a H 2 )p(h 2 ) = = 61% (b) p(h 1 A) = p(h 1 A) p(a) = p(a H 1)p(H 1 ) p(a) = = 80% 2. U tvornici lijekova dva stroja A i B pakiraju proizvedene tablete. Stroj A zapakira 40% ukupne robe, a stroj B preostalo. Od 100 pakiranja koja načini stroj A su 2 pakiranja neispravna, a od 200 pakiranja kojih načini stroj B su 3 pakiranja neispravna. Odredite vjerojatnost da je slučajno izabrano pakiranje neispravno. Rj. L = {slučajno izabrano pakiranje neispravno}, H 1 = {pakiranje načinio stroj A}, H 2 = {pakiranje načinio stroj B}. Prema FPV je p(l) = p(l H 1 )p(h 1 ) + p(l H 2 )p(h 2 ) = = 1.7% 200 Diskretna slučajna varijabla Neka je Ω diskretni prostor elementarnih dogdaja i p vjerojatnost na njemu. Proizvoljna funkcija X : Ω R diskretna slučajna varijabla. Skup svih vrijednosti koje poprima funkcija X, to jest slika funkcije označava se s R(X) = {X(ω) : ω Ω}. Kako je Ω diskretan skup, to je i R(X) konačan ili prebrojiv. Svakoj vrijednosti x i R(X) pridružujmo pripadni dogadaj i njegovu vjerojatnost: {X = x i } = {ω Ω : X(ω) = x i }, p i = p({x = x i }). 9
10 Za A R koristimo oznaku {X A} = {ω Ω : X(ω) A}, p({x A}) = x i A p i. Slično, za a, b R {X a} = {ω Ω : X(ω) a}, {a X b} = {ω Ω : a X(ω) b}. Primjer: novčića. Slučajna varijabla X broji koliko se puta pojavilo pismo u 3 bacanja Ω = {P P P, P P G, P GP, GP P, GP G, GGP, GGG}, R(X) = {0, 1, 2, 3}. P ({X = 0} = P ({GGG} = 1/8 P ({X = 1} = P ({P GG, GGP, GP G} = 3/8 P ({X = 2} = P ({P P G, GP P, P GP } = 3/8 P ({X = 3} = P ({P P P } = 1/8. Kraće slučajnu varijablu X reprezentiramo tablicom distribucije ( ) x1 x 2 x N, p 1 p 2 p N za R(X) = {x 1, x 2,..., x N }. Uvijek vrijedi p i 0 i N i=1 p i = 1. Tablica distribucije za slučajnu varijablu X iz prethodnog primjera glasi ( ) Očekivanje diskretne slučajne varijable X definira se kao E(X) = x 1 p 1 + x 2 p x N p N. Varijanca diskretne slučajne varijable X je V ar(x) = N (x i E(X)) 2 p i. i=1 Za varijancu se još koristi oznaka σ 2, a za očekivanje µ. Standardna devijacija je V ar(x) = σ. Izračunajmo te vrijednosti za slučajnu varijablu iz primjera: µ = = 12 8 = 1.5, σ 2 = (0 1.5) (1 1.5) (2 1.5) (3 1.5)2 1 8 = 0.75, 10
11 σ = Varijanca se jednostavnije može izračunati pomoću formule V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2, gdje je X 2 slučajna varijabla s tablicom distribucije ( x 2 1 x 2 2 x 2 N p 1 p 2 p N (Zaista, ). V ar(x) = N N x 2 i p i 2E(X) x i p i + E(X) 2 i=1 i=1 N i=1 p i = N x 2 i p i 2E(X) 2 + E(X) 2, i=1 jer je E(X) = N i=1 x ip i i N i=1 p i = 1.) Očekivanje shvaćamo kao srednju vrijednost slučajne varijable, a standardna devijacija (ili varijanca) jest odstupanje slučajne varijable od očekivanja - ako je σ mali onda su vrijednosti slučajne varijable bliske očekivanju. Primjer: Igrač baca 3 novčića. Ako padnu 3 pisma dobiva 10 kuna, ako padnu 2 pisma dobiva 5 kuna, ako padne 3 pismo dobiva 1 kunu, te ako ne padne ni jedno pismo gubi 20 kuna. Zapišite tablicu distribucije, očekivanje i standardnu devijaciju. Rj. Tablica distribucije glasi ( X = µ = = 1, pa očekujemo da će dobiti 1 kunu. Standardna devijacije govori o riziku : σ 2 = E(X 2 ) E(X) 2 = = 71, 25, 8 σ = Bernoullijeva slučajna varijabla je slučajna varijabla koja poprima točno dvije vrijednosti: 1 - uspjehi 0 - neuspjeh i to s vjerojatnošću p i q = 1 p. Tablica distribucije glasi ( ) 0 1 X =. q p Očito je µ = p i σ 2 = p p 2 = p(1 p) = pq. Primjer. X je pojavljivanje šestice u jednom bacanju kocke. ( ) 0 1 X =. 5/6 1/ ).
12 µ = 1/6 = p, σ 2 = 5/36. Binomna slučajna varijabla broji uspjehe u n nezavisnih ponavljanja pokusa s točno 2 ishoda uspjeh/neuspjeh (1/0) opisanih Bernoullijevom slučajnom varijablom. Dakle, tablica distribucije glasi ( ) n X = ( q n n ) 1) pq n 1 p 2 q n 2 p n. Da je X binomna slučajna varijabla zapisujemo kraće X B(n, p). Vrijedi ( n 2 µ = np, σ 2 = npq. Početni primjer s 3 bacanja novčića je X B(3, 1 2 ). Zadatci 1. U kutiji se nalaze 24 kuglice: 20 crnih i 4 bijele. Kuglicu izvalačimo jednu za drugom dok ne izvučemo crnu. Slučajna varijabla jednaka je broju izvučenih kuglica. Odredite tablicu distribucije, očekivanje i standardnu devijaciju. Rj. ( X = X = µ = 1.19, σ 2 = 0.214, σ = ( U kutiji se nalaze 3 crne i 5 bijelih kuglica. Slučajna varijabla X jednaka je broju bijelih kuglica u 2 slučajna izvlačenja (bez vraćanja). Odredite tablicu distribucije, očekivanje i standardnu devijaciju. Rj. µ = 1.25, σ 2 = 0.402, σ = ( X = Neka je X B(5, 0.3). Izračunajte p({1 X 3}) i p({x 4}). Rj. n = 5, p = 0.3, q = 0.7 p({1 X 3}) = p({x 4}) = ( ) 5 pq ( ) 5 p 2 q ), ), ). ( ) 5 p 3 q 2 = 0.8 = 80%. 3 ( ) 5 p 4 q + p 5 = = 3.1% 4 12
13 4. Odredite vjerojatnost dobivanja barem jedna sedmice u 3 bacanja para kocki. Rj. p({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 6 = X je binomna slučajna varijabla X B(3, 1/6), pa je ( ) 3 p({x 1}) = 1 p({x = 0}) = 1 p 0 q 3 = 42% Operacija uspjeva u 75% slučajeva. Kolika je vjerojatnost da (a) točno 75% od 8 pacijanata ima uspjelu operaciju? (b) barem 50% od 8 pacijanata ima uspjelu operaciju? Rj. X B(8, 0.75) (a) 75% 8 = 6, p({x = 6}) = ( ) = 31% 6 (b) 50% 8 = 4, ( ) ( ) ( ) ( ) p({x 4}) = 1 p({x 3} = 1 ( p 0 q 8 + p 1 q 7 + p 2 q 6 + p 3 q 5 ) = 97% Ako je utvrdeno da je p = 0.8 vjerojatnost pojavljivanja neke kolonije mikroorganizama pod zadanim uvjetima, koja je vjerojatnost da se u 5 slučajeva ta kolonija ne pojavi manje od 4 puta? Rj. X B(5, 0.8) p({x 4}) = ( ) 5 p 4 q ( ) 8 p 5 q 0 = 73.7% Vjerojatnost realizacija dogadaja A u jednom pokusu iznosi Za seriju od 1000 pokusa, odredite očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju. Rj. X B(1000, 0.08) Neprekidna slučajna varijabla µ = np = 80, σ 2 = npq = 73.6, σ = 8.6. X : Ω R je neprekidna slučajna varijabla ako slika R(X) sadrži neki interval, postoji funkcija f : R R takva da za sve a, b R vrijedi p({a X b}) = b a f(x)dx. 13
14 Funkciju f nazivamo funkcija gustoće slučajne varijable X. Za neprekidnu slučajnu varijablu definiramo još sljedeće pojmove funkcija distribucije, F : R R F (x) = x f(t)dt, očekivanje varijanca µ = E(X) = σ 2 = V ar(x) = xf(x)dx, (x µ) 2 f(x)dx, standardna devijacija σ = V ar(x). Normalna slučajna varijabla X, oznaka X N(µ, σ 2 ), je slučajna varijabla čija je funkcija gustoće f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, pri čemu je µ R i σ > 0. Pokazuje se da je µ očekivanje i σ standardna devijacija ove slučajne varijable. X N(0, 1) naziva se standardna normalna slučajna varijabla. Ako je X N(µ, σ 2 ), onda X µ N(0, 1). σ 14
15 III. Statistika Deskriptivna (opisna) statistika služi predočavanje i opisivanje glavnih karakteristika sakupljenih podataka x 1, x 2,..., x N koji predstavljaju realizaciju varijable X. Popis osnovnih veličina i njihovih formula: Aritmetička sredina ili prosjek je x = x 1 + x 2 + x N N Frekvencija je broj pojavljivanja odredenog podatka, f i, N f i = N, i=1 frekvencija razreda je broj pojavljivanja odredenog razreda podatka ukoliko smo podatke podijelili u razred. Relativna frekvencija je kvocijent obične frekvencije i broja podataka, f ri, N f ri = N, i=1 Medijan je vrijednost varijable X za koju je 50% ili više podataka manje ili jednako od te vrijednosti i za koju je 50% ili više podataka veće ili jednako od te vrijednosti. Ako podatke poredamo po veličini x (1) x (2) x (N),. i N neparan onda je a ako je N paran onda je m = x ( N+1 2 ), m = 1 2 (x ( N 2 ) + x ( N 2 +1)). Umjesto da pamtimo formule za parni i neparni slučaj koristimo sljedeću formulu x ( m q ) = x (k) + r q (x (k+1) x (k) ), gdje je m = k + qr i 0 r < q (k i r postoje i jedinstveni su prema Teoremu o dijeljenju s ostatkom). Prema tome medijan možemo uvijek računati kao m = x ( N+1 2 ). 15
16 Raspon je razlika najvećeg i najmanjeg podatka d = x (N) x (1). Kvartili dijele podatke u četiri jednakobrojne skupine: prvi ili donji kvartil: ona vrijednost za koju vrijedi da je 25% svih podataka manje ili jednako od nje (odnosno 75% svih podataka je veće ili jednako od nje), q 1 = x ( N+1 4 ), drugi kvartil: medijan, treći ili gornji kvartil: ona vrijednost za koju vrijedi da je 25% svih podataka veće ili jednako od nje (odnosno 75% svih podataka je manje ili jednako od nje), q 3 = x ( 3(N+1) 4 ). Napomena: Postoji čak desetak različitih formula za računanje kvartila. Na primjer, gornja definicija ne poklapa se s onom iz Excela. Nulti i četvrti kvartil odgovaraju minimalnoj x (1), odnosno maksimalnoj vrijednosti x (N) uzorka. Svih pet kvartila nazivaju se karakteristična petorka uzorka. Interkvartil je jednak razlici d q = q 3 q 1. Varijanca uzorka je prosječno kvadratno odstupanje od prosjeka (s ) 2 = 1 N N (x i x) 2, i=1 a pripadna standardna devijacija se označava s s i računa kao drugi korijen iz varijance uzorka. Korigirana varijanca uzorka je s 2 = 1 N 1 N (x i x) 2 koja predstavlja dobar procjenitelj za varijancu σ 2 slučajne varijable. Pripadna korigirana standardna devijacija se označava sa s. Napomenimo da raspon, interkvartil, varijanca i standardna devijacija spadaju u tzv. mjere raspršenja. i=1 16
17 Centralni moment reda k (k N) danog uzorka računa se kao µ k = 1 N 1 N (x i x) k. Centralni moment reda 1 jednak je nuli, a reda 2 korigiranoj varijanci uzorka. Centralni moment reda 3 značajan je odredivanje tzv. koeficijenta asimetrije uzorka: i=1 α 3 = µ 3 s 3. Ako je α 3 = 0, onda je uzorak simetričan. Za α 3 > 0 je pozivno asimetričan, a α 3 < 0 je negativno asimetričan. Koeficijent asimetrije je mjera oblika. Na seminarima smo prikupili sljedeće podatke na uzorku od 20 studenta: seminar u 8h broj mobitela koji je student promijenio u posljednjih 5 godina: seminar u 10h broj mobitela koji je student promijenio do sada: seminar u 12h Koju ocjenu očekujem iz Matematike sa statistčkom analizom: Analiza podataka: Seminar u 8h: Podatci poredani po veličini: Tablica frekvencija: x (1) = = x (20) f i f ri Kvartili q 0 = x (1) = 1 minimum, q 4 = x (20) = 4 maksimum, d = 4 1 = 3 raspon m = q 2 = 1(x 2 (10) + x (11) ) = 3 medijan 17
18 q 1 = x (5) (x (6) x (5) ) = 2 donji kvartil, q 3 = x (15) (x (16) x (15) ) = 3 gornji kvartil, d q = 3 2 = 1, interkvartil Mod je 3 (vrijednost uzorka koji se najviše pojavljuje). Aritmetička sredina: x = 2.6 Varijanca i standardna devijacija: (s ) 2 = 0.74, s = 0.86 Korigirana varijanca i korigirana standardna devijacija: s 2 = 0.78, s = 0.88 Centralni moment reda 3 i koeficijent asimetrije: µ 3 = 0.051, α 3 = 0, 073. Seminar u 12h: Podatci poredani po veličini: Tablica frekvencija: x (1) = = x (20) f i U ovom slučaju preporuča se podatke rasporediti u razrede. razreda je n. Znači, u našem slučaju je to 4 ili 5 razreda. Preporučeni broj < >6 f i f ri Kvartili q 0 = x (1) = 2 minimum, q 4 = x (20) = 11 maksimum, d = 9 raspon m = q 2 = 1(x 2 (10) + x (11) ) = 5 medijan q 1 = x (5) + 1(x 4 (6) x (5) ) = 4.25 donji kvartil, q 3 = x (15) + 3(x 4 (16) x (15) ) = 6 gornji kvartil, d q, interkvartil Mod je 5 (vrijednost uzorka koji se najviše pojavljuje). Aritmetička sredina: x = 5.5 Varijanca i standardna devijacija: (s ) 2 = 3.85, s = 1.96 Korigirana varijanca i korigirana standardna devijacija: s 2 = 4.05, s = 2.01 Centralni moment reda 3 i koeficijent asimetrije: µ 3 = 8.21, α 3 = Seminar u 12h: Podatci poredani po veličini: 18
19 Tablica frekvencija: x (1) = = x (20) f i f ri Kvartili q 0 = x (1) = 2 minimum, q 4 = x (20) = 5 maksimum, d = 3 raspon m = q 2 = 1 2 (x (10) + x (11) ) = 3 medijan q 1 = x (5) (x (6) x (5) ) = 2 donji kvartil, q 3 = x (15) (x (16) x (15) ) = 4 gornji kvartil, d q = 2, interkvartil Mod je 2 (vrijednost uzorka koji se najviše pojavljuje). Aritmetička sredina: x = 3.2 Varijanca i standardna devijacija: (s ) 2 = 1.16, s = 1.08 Korigirana varijanca i korigirana standardna devijacija: s 2 = 1.22, s = 1.11 Centralni moment reda 3 i koeficijent asimetrije: µ 3 = 7.92, α 3 = Sve izračunate vrijednosti bit će puno jasnije pogledaju li se dijagrami! Primjer: Popisan je prosjek 30 studenata (na jednu decimalu): 3.4, 3.0, 4.6, 2.5, 4.3, 3.9, 3.6, 4.1, 2.8, 4.2, 3.9, 3.5, 3.4, 4.3, 4.5, 4.9, 3.9, 3.6, 3.6, 5.0, 3.2, 4.3, 3.9, 5.0, 3.4, 4.2, 3.3, 4.1, 2.8, 3.6 U rastućem poretku imamo sljedeći uzorak i odmah ih grupiramo u intervale duljine 0.5: 2.5, 2.8, , 3.2, 3.3, 3.4, 3.4, 3.4, 3.5, 3.6, 3.6, 3.6, 3.6, 3.9, 3.9, 3.9, 3.9, 4.1, 4.1, 4.2, 4.2, 4.3, 4.3, 4.3, 4.5, 4.6, 4.9, 5.0, 5.0 Tablica distibucije - rasporedit ćemo podatke u ekvidistatne intervale intervali [2.5, 3.0) [3.0, 3.5) [3.5, 4.0) [4.0, 4.5) [4.5, 5] f i f ri
20 (b) Strukturni krug ( pita ; piechart) (a) Histogram (barchart) Slika 1: Broj mobitela koje je student promijenio u zadnjih 5 god. (b) Strukturni krug ( pita ; piechart) (a) Histogram (barchart) Slika 2: Broj mobitela koje je student promijenio do sada 20
21 (b) Strukturni krug ( pita ; piechart) (a) Histogram (barchart) Slika 3: Ocjena koju student očekuje iz MSSA Iz 2.5, 2.8, 2.8,3.0, 3.2, 3.3, 3.4, 3.4, 3.4, 3.5, 3.6, 3.6, 3.6, 3.6, 3.9, 3.9, 3.9, 3.9, 4.1, 4.1, 4.2, 4.2, 4.3, 4.3, 4.3, 4.5, 4.6, 4.9, 5.0, 5.0 odredimo: min = 2.5, max = 5.0, d = 2.5, mod = 3.9 (pojavljuje se 4 puta) q 1 = x ( 31 4 ) = x ( ) = x (7) (x (8) x (7) ) = 3.4, q 3 = x ( 93 4 ) = x ( ) = x (23) (x (24) x (23) ) = 4.3, d q = 0.9 x = 3.82 (aritmetička sredina na 2 decimale) (s ) 2 = 0.41, s = 0.64, s 2 = 0.42, s = 0.65 µ 3 = , α 3 = (uzorak je prilično simetričan!) 21
22 (b) Strukturni krug ( pita ; piechart) (a) Histogram (barchart) Slika 4: Prosjek studenta 22
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1. 4 UVJETNA VJEROJATNOST Ponovimo... 14
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 4 UVJETNA VJEROJATNOST 3 4.1 Ponovimo................................. 14 1 Radni materijal 2 Poglavlje 4 UVJETNA VJEROJATNOST Thomas Bayes (1702 1762) uvodi pojam uvjetne vjerojatnosti:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραUvod u vjerojatnost i statistiku
Vježbe 5. 1 Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadaja 2 Zadaci 3 Formula potpune vjerojatnosti 4 Bayesova formula 5 Zadaci Monty Hall problem - Koze i auto I Pretpostavite da igrate igru u kojoj birate
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότερα(BIO)STATISTIKA. skripta. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. doc. dr. sc. Iva Franjić 2012.
(BIO)STATISTIKA skripta studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija doc. dr. sc. Iva Franjić 2012. 2 Sadržaj 1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA 5 1.1 Grafički prikaz podataka.................. 6 1.2 Srednje
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDiskretan slučajni vektor
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mia Ćurić Diskretan slučajni vektor Završni rad Osijek, 206 Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSlučajna varijabla i vjerojatnost.
Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 Slučajna varijabla i vjerojatnost. Primjer 1: Promotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja određene količine vode pod normalnim atmosferskim tlakom na
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραUvod u vjerojatnost i matematičku statistiku
Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske
Διαβάστε περισσότεραSlučajni vektor. Poglavlje 3
Poglavlje 3 Slučajni vektor Ukoliko u jednom istraživanju za dani slučajni pokus pratimo nekoliko različitih slučajnih varijabli, moguće veze među njima nećemo dokučiti ako ih proučavamo samo svaku za
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραVjerojatnost i statistika
Vjerojatnost i statistika E. Kovač Striko B. Ivanković T. Fratrović 12. ožujka 2007. Sadržaj 2 Vjerojatnost 27 2.1 Uvod...................................... 27 2.2 Intuitivne definicije vjerojatnosti......................
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVjerojatnost i statistika
Vjerojatnost i statistika vježbe 015/016. 1. siječnja 016. Sadržaj Sadržaj 1 Kombinatorika 4 1.1 Permutacije............................ 4 1. Permutacije s ponavljanjem................... 5 1.3 Varijacije.............................
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραStatistika i osnovna mjerenja
Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραVjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?
Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότερα(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić
(BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραParametarski zadane neprekidne distribucije
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija
OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra
Διαβάστε περισσότεραU teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.
Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA
Vera Čuljak VJEROJATNOST I STATISTIKA Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, nadam se da ćete naći korisne informacije u ovom nastavnom tekstu. Ruski matematičar P.L.
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1
4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραOSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18
OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραUvod u matematičku statistiku
Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
Διαβάστε περισσότερα10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Διαβάστε περισσότερα