BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ:

Transcript

1

2 ISBN Copyright: Μιχ. Γ. Μαριάς, Εκδόσεις Ζήτη, Φεβρουάριος 217 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: info@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN: Χαριλάου Τρικούπη 22 - Τ.Κ , Aθήνα Tηλ.-Fax: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Περιεχόμενα Πρόλογος vii 1 Εισαγωγή Προσέγγιση του μήκους της περιφερείας του κύκλουκαιτουεμβαδούτουδίσκου Προσέγγισητου παπότοναρχιμήδη Τετραγωνισμός της παραβολής από τον Αρχιμήδη Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων Υπολογισμόςεμβαδών Μήκοςκαμπύλης Το ολοκλήρωμα Riemann Ορισμόςτουολοκληρώματος Διαμερίσειςκαιαθροίσματα Darboux Ορισμός του ολοκληρώματος με αθροίσματα Riemann ΤοΘεώρηματου Lebesgue Σύνολαμηδενικούμέτρου ΤοΘεώρηματου Lebesgue Ασκήσεις ΙδιότητεςτουΟλοκληρώματος Ολοκληρώσηεπίφραγμένωνσυνόλων i

4 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Τοαόριστοολοκλήρωμα Τεχνικέςολοκλήρωσης Αλλαγήμεταβλητής Ολοκλήρωσηκατάπαράγοντες Ολοκλήρωσηρητώνσυναρτήσεων Ολοκληρώματα που ανάγονται σε ολοκληρώματα ρητώνσυναρτήσεων Ασκήσεις Το Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Ορισμός και ιδιότητες του γενικευμένου ολοκληρώματος Ασκήσεις Εφαρμογέςτουολοκληρώματος Οιανισότητες Hölderκαι Minkowski Ησυνάρτηση Γτου Euler Οτύποςτου Stirling Ορισμός του Λογαρίθμου με την βοήθεια του ολοκληρώματος Μήκοςκαμπύλης Ογκοςστερεούεκπεριστροφής Εμβαδόνεπιφανείαςεκπεριστροφής Ασκήσεις Τύπος του Taylor και πεπερασμένα αναπτύγματα Τύποςτου Taylor Εφαρμογέςτουτύπουτου Taylor ΠεπερασμέναΑναπτύγματα Ιδιότητες των πεπερασμένων αναπτυγμάτων Ασκήσεις Δυναμοσειρές, Σειρές Taylor Σύντομηεπανάληψηγιατιςσειρές Σύγκρισησειράςμεολοκλήρωμα

5 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ iii Ασκήσεις Δυναμοσειρές Ακτίνασύγκλισης Σειρές Taylor Ασκήσεις Σειρές συναρτήσεων ΑπλήκαιΟμοιόμορφησύγκλισησυναρτήσεων Οχώρος C[a,b] Πυρήνας Poissonτουάνωημίχωρου Ομοιόμορφησύγκλισησειρώνσυναρτήσεων Μιαάλλησυνθήκηολοκλήρωσηςόροπροςόρο Ασκήσεις Σειρές Fourier ΤριγωνομετρικέςΣειρές,Συντελεστές Fourier Σύγκλισητωνσειρών Fourier Οπυρήνας Poissonτουδίσκου Τοπρόβληματου Cantor Ασκήσεις

6 Οπως τα πεύκα κρατούνε την μορφή του αγέρα, ενώοαγέραςέφυγε,δενείναιεκεί, τοίδιοκαιταλόγια, φυλάγουν την μορφή του ανθρώπου... Γ. Σεφέρης

7 Πρόλογος ΣτηνΑφροδίτηΚ.καιτηνΜαρίαΠ., ευγνωμονών Το ανά χείρας εγχειρίδιο είναι η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσεώνμουγιατομάθηματου ΛογισμούΙΙ,πουδιδάσκωστοΤμήμαΜαθηματικών του ΑΠΘ. Οι πρόχειρες σημειώσεις αντιστοιχούν πάντα στην άποψη του συγγραφέα για το μάθημα που διδάσκει, δηλαδή για τα αντικείμενα, τα θεωρήματα και τις τεχνικές που αποτελούν τον κορμό του μαθήματος, καθώς και την παρουσίασή τους, ώστε να περάσουν καλύτερα στο κοινό των διδασκομένων. Σεμιαδεύτερηφάσηκαιμετάτηνπρώτηπαρουσίασήτουςστην τάξη, διορθώνονται παραλείψεις και λάθη, προστίθενται ή αφαιρούνται παράγραφοι, παραδείγματα και ασκήσεις, ώστε το σώμα να γίνει πληρέστερο και πιο συμπαγές, ενώ αποτυπώνεται και η εμπειρία της πρώτης επαφής μετοκοινό. Αυτέςείναι,κατάτηγνώμημου,οιγενικέςαρχές.Κιεπειδήτοτέλειο εγχειρίδιο,γιαόλαταμήκηκαιπλάτη,γιαόλαταακροατήριακαιγιαόλες τις εποχές δεν έχει, ευτυχώς ακόμα, γραφεί(αλλοιώς εμείς οι πανεπιστημιακοί δάσκαλοι θα υποβιβαζόμασταν σε μεταφραστές, αντιγραφείς ή ακόμα σε χειριστές βίντεο-προζέκτορα), όταν κτίζουμε ένα νέο μάθημα πρέπειπρώταναδιαμορφώσουμετηνάποψήμαςγιαυτό. Αντύχεικαι τοδιδάσκουμεπολλάχρόνιααπότότεπουτοδιδαχθήκαμεεμείςκαιη ανάμνηση της διδαχής αυτής, αν ήταν καλή, έχει ξεθωριάσει, ή αν δεν vii

8 viii. Πρόλογος το διδαχθήκαμε ποτέ, τότε η άποψή μας διαμορφώνεται από διαβάσματα σεσυνδυασμόμετηνγνώμηπουέχουμεαποκομίσειμετηντριβήμαςμε τα αντικείμενα, τα θεωρήματα και τα εργαλεία του μαθήματος, από την δραστηριότητά μας ως ερευνητές ή διδάσκοντες. Ετσι, σημαντικό ρόλο στην διαμόρφωση της άποψής μας παίζει η ε- πιλογή των εγχειριδίων που θα στηριχθούμε, αφού όπως λέει ο ποιητής τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων. Για το παρόν εγχειρίδιο αποφάσισα να στηριχθώ στον κραταιό και λακωνικό J. Dixmier[7], που διάβασα ως πρωτοετής, τον κλασικό αλλά φλύαρο M. Spivac[13], που παραμένει σταθερή αναφορά για το μάθημα Calculus σε πολλά καλά Πανεπιστήμια του κόσμου, το χειρόγραφο-βιβλίο του Στ. Πηχωρίδη με τα ωραία γράμματα της Γ. Κυρέζη,[12], ενώ για την συλλογή των ασκήσεων προτίμησα τους Γάλλους, που είναι ασκησιολόγοι [4], όπως συνήθιζε να λέειοαείμνηστοςν.δανίκας,καθώςκαιτοβιβλίοτουσ.ντούγια,[11]. Για την επαφή με τα ελληνικά ακροατήρια τους συναδέλφους Κ. Δασκαλογιάννη[3] και Α. Γιαννόπουλο[2]. Για τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann στηρίχθηκα στα Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού πολλών μεταβλητών [1], που συνέγραψα με τον αγαπητό Ν. Μαντούβαλο πριν απόχρόνια. ΓιατησυλλογήτωνασκήσεωνβοήθησεοΑ.Φωτιάδης,ο οποίος επίσης, διάβασε με προσοχή τα δοκίμια.τον ευχαριστώ θερμά. Η Εισαγωγή των Μαθημάτων στηρίζεται σε δύο κείμενα του κλασικού ιστορικού βιβλίου Pour l honneur de l esprit humain του γίγαντα J. Dieudonné, που μεταφράζω στον ελεύθερο χρόνο μου. Για γρήγορη βοήθεια, πολλές φορές χρησιμοποίησα την Wikipedia. Τέλος, ευχαριστώ τον Π. Καϊμάκη, που για πολλοστή φορά χτένισε τα ελληνικά μου. Οπως έλεγα παλαιότερα στα Μαθήματα των Λογισμών πολλών μεταβλητών που συνέγραψα με τους Ν. Μαντούβαλο και Ν. Δανίκα,[9],[1], προσπαθήσαμε να κρατήσουμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση και τον Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρήματα,αλλάκαιναμάθειναλογαριάζει. Ηέλλειψητουενόςεκτωνδύο οδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. Ετσι, όλα τα βαρειά θεωρήματα δίνονται με πλήρεις αποδείξεις. Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρουσιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα

9 ix και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουν οι φοιτητές μας. Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να εμπεδωθεί και να εφαρμοστεί η θεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει. Τέλος, ελπίζω τα Μαθήματα να βοηθήσουν τους φοιτητές να κατανοήσουν τον πολύ σημαντικό Ολοκληρωτικό Λογισμό, που μαζί με τον Διαφορικό, παιδιά του Νεύτωνα και του Leibnitz, έδρεψαν δάφνες με τις εφαρμογές τους τον 17ο και 18ο αιώνα και έγιναν πρωτοπόροι στην γενική άνθιση των Μαθηματικών και την μετέπειτα ένδοξη πορεία τους, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα. Ελπίζω επίσης, τα Μαθήματα με τις συγκλίσεις και περισσότερο με τις αποκλίσεις τους από τα αντίστοιχα διδακτικά κείμενα, να προσθέσουν κάτι στην ελληνική βιβλιογραφία. ΘατελειώσωμεταλόγιατουΑποστόλουΠαύλου,πουέγινανπιατο moto των διαδακτικών εγχειριδίων μου και που είναι πάντα επίκαιρα: Και γαρ εάν άδηλον φωνήν σάλπιγξ δώ, τίς παρασκευάσεται εις πόλεμον; Ούτωκαιυμείςδιατηςγλώσσηςεάνμηεύσημονλόγονδώτε,πώς γνωσθήσεταιτολαλούμενον;έσεσθεγαρειςαέραλαλούντες. 1 Πρός Κορινθίους Α, XIV, 8-9. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος Σεελεύθερηαπόδοσητονόημαείναιτοακόλουθο: Ανησάλπιγγαηχήσειήχο χωρίςνόημα,ποιόςθαπροετοιμαστείγιαπόλεμο; Ετσικιεσείς,εάνολόγοςσαςδεν είναι κατανοητός, πώς θέλετε να σας καταλάβουν; Θα μιλάτε στον αέρα.

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Αςξεκινήσουμεμ έναπαλιόπρόβλημα. Εστω γ : [,1] R 2 μια συνεχήςαπλήκαικλειστήκαμπύλη γόπωςστοσχήμα1. Ποιόάραγε είναιτομήκοςτηςκαιποιότοεμβαδόνπουπερικλείει; y γ x Σχήμα 1. Ας θυμηθούμε δύο από τις μεγάλες επιδόσεις της εποποιίας των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών: την προσέγγιση του π και άρα την προσέγγιση του μήκους της περιφερείας του κύκλου και του εμβαδού του δί-σκου. Εδώ, ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. 1

11 2 1. Εισαγωγή 1..1 Προσέγγιση του μήκους της περιφερείας του κύκλου και του εμβαδού του δίσκου Εστω S(,r)οκύκλοςμεκέντροτο καιακτίνα r. ΟπωςοΕυκλείδης, [8, Βιβλίο XII, 2], θεωρούμε τα εγγεγραμμένα πολύγωνα όπως στο Σχήμα 2. Q 1 r P 2 h Q 2 P 1 Σχήμα 2. Περιγεγραμμένα και εγγεγραμμένα πολύγωνα. Ξεκινούμεμετοεγγεγραμμένοτετράγωνο P 1 καικατασκευάζουμετο εγγεγραμμένοοκτάγωνο P 2,ενώνονταςταμέσατωνχορδώνμετιςκορυφές του τετραγώνου. Συνεχίζουμε μ αυτό τον τρόπο και κατασκεάζουμε μια ακολουθία εγγεγραμμένωνπολυγώνων P 1, P 2,..., P n,...,με 2 2, 2 3,..., 2 n+1,... πλευρές.συνεχίζουμεμετοπεριγεγραμμένοτετράγωνοq 1 καικατασκευάζουμετοοκτάγωνο Q 2, φέρονταςτιςεφαπτομένεςαπόταμέσατων χορδών. Συνεχίζουμε μ αυτό τον τρόπο και κατασκεάζουμε μια ακολουθίαπεριγεγραμμένωνπολυγώνων Q 1, Q 2,..., Q n,...,με 2 2, 2 3,..., 2 n+1,...πλευρές. Ας είναι p n = P n =εμβ(p n ) και q n = Q n =εμβ(q n ). Με Τριγωνομετρία, ο Ευκλείδης δείχνει ότι q n+1 p n (q n p n ). (1.1)

12 3 Εχουμε λοιπόν τα εγκιβωτισμένα διαστήματα [p 1,q 1 ] [p 2,q 2 ] [p n,q n ] και το μοναδικό σημείο της τομής [p n,q n ] = {s (r)}, n 1 είναιτοεμβαδόντουδίσκου D(,r)μεκέντροτο καιακτίνα r D(,r) = s (r). (1.2) Ετσι, με την μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου, ο Ευκλείδης προσέγγισετοεμβαδόντουδίσκου D(,r)όσοκαλάθέλουμε. Ομως,οΑρχιμήδηςαπέδειξεότιτοεμβαδόντουδίσκουείναιίσονμετο έμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές την ακτίνα r και την περιφέρεια 2πr: D(,r) = 1 2 r(2πr) = πr2. (1.3) Ετσι, για να υπολογίσουμε επακριβώς το εμβαδόν του δίσκου, αρκεί να υπολογίσουμε το π, δηλαδή την αναλογία περιφέρειας και διαμέτρου Προσέγγιση του π από τον Αρχιμήδη Ξαναγυρίζουμεσταεγγεγραμμένακαιπεριγεγραμμέναπολύγωνα P n και Q n τηςπροηγούμενηςπαραγράφου.για r = 1,θέτουμε Προφανώς l n =μήκος(p n ) και L n =μήκος(q n ). l n 2π L n. ΟμέγαςΑρχιμήδηςλοιπόνυπολογίζειταμήκη l 96 και L 96 καιβίσκειτην καταπληκτική προσέγγιση του π π ,

13 T 1 T 4 1. Εισαγωγή ή 3,148 < π < 3,1429. Από τότε ακολούθησαν πολλοί άλλοι: ο Πτολεμαίος, ο Απολλώνιος, Άραβες, Κινέζοι, μέχρι που η προσέγγιση του π κατάντησε ένα είδος εμμονής. Σήμερα, γνωρίζουμε μερικά εκατομύρια δεκαδικών ψηφίων του π. Μάλιστα, ένας σφυριγμένος ξέρει απ έξω τα πρώτα δέκα χιλιάδες! 1..3 Τετραγωνισμός της παραβολής από τον Αρχιμήδη Πρόβλημα: Να βρεθεί το εμβαδόν του τμήματος της παραβολής του Σχήματος3,[1]. T 2 Σχήμα 3. ΟΑρχιμήδηςθεωρείτομεγάλοτρίγωνο T τουσχήματος, ητρίτη κορυφή του οποίου είναι το σημείο επαφής της παραβολής με την ευθεία που είναι παράλληλη προς την βάση, και αποδεικνύει ότι εµβ(παραβ) = 4 3 T. Η απόδειξη χρησιμοποιεί την μέθοδο της εξάντλησης και πάει ως εξής: Σταυπόλοιπατμήματατηςπαραβολής,θεωρείταμικρότερατρίγωνα T 1 και T 2 καισυνεχίζειμετονίδιοτρόποεπ άπειρον.

14 5 Αποδεικνύει ότι T 1 = T 2 = 1 8 T = T. (1.4) Εχουμε λοιπόν εµβ(παραβ) = T + T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + (1.4) = T T T + ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 (1.4) = T (1.5) ( = T 1+ 1 ( ) 2 ( ) ) Σήμερα, όλοι ξέρουμε να αθροίζουμε την γεωμετρική σειρά ( ) 2 ( ) n = = = 1 3. Άρα ( εµβ(παραβ) = T 1+ 1 ) = T. ΟμωςοΑρχιμήδηςδενήξερεαπόσειρές,καιγιαναυπολογίσειτησειρά ( ) 2 ( ) n χρησιμοποιείτηνεξήςιδιοφυήιδέα: Κόβειτοτετράγωνο 1 1σε 4 τετράγωνα όπως στο Σχήμα 4, και αθροίζει τα εμβαδά των διαγωνίων τετραγώνων που είναι ίσα με ( ) ( ) ( ) 2 ( ) n

15 6 1. Εισαγωγή 1 1/4 1/8 1/8 1/2 1/4 1 1/2 Σχήμα 4. Ομωςταεμβαδάαυτάαποτελούντο 1 3 τουτετραγώνου 1 1,αφού κάθεδιαγώνιοτετράγωνομαζίμεταδύοίσατουτετράγωναείναιτα 3 4 του αμέσως μεγαλύτερου τετραγώνου που τα περιέχει. Ετσι εµβ(παραβ) = 4 3 T, καιτοεμβαδόντουτριγώνου T ξέρουμενατουπολογίζουμε. 1.1 Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων Υπολογισμός εμβαδών Εστω f : [a,b] R,μιασυνεχήςσυνάρτηση. Ολοιξέρουμεαπότο Λύκειο ότι το ολοκλήρωμα b a f (x)dx, της f επί του διαστήματος [a, b], παριστάνει το προσημασμένο εμβαδόν τηςπεριοχήςπουορίζεταιαπότογράφηματης f,τονάξονατων x,και τιςκάθετεςπουπερνούναπότα aκαι b,(δεςσχήμα5).

16 1.1. Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων 7 f(x) y + α + b x Σχήμα 5. Τοεμβαδόνπάνωαπότονάξονατων xέχειθετικόπρόσημο,ενώαυτό κάτω του άξονα, έχει αρνητικό πρόσημο. Ομως,τοολοκλήρωμα b f (x)dxδίνεταιαπότααθροίσματα Riemann a όπου b a f (x)dx = lim n j n 1 f ( x j) (xj+1 x j ), n = {a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b} είναι μια διαμέριση του [a, b], n = max j n 1 (x j+1 x j ) είναιτοβήματηςκαι x jτυχαίοσημείοτου [x j,x j+1 ]. Ομως, ο υπολογισμός των αθροισμάτων Riemann δεν είναι καθόλου εύκολος. Από την δυσκολία αυτή μας βγάζει το θεμελιώδες θεώρημα του Λογισμού: b a f (x)dx = F (b) F (a), (1.6) όπου Fείναιμιαπαράγουσατης f,δηλαδήμιασυνάρτησηπουικανοποιεί F (x) = f (x), x [a,b]. (1.7)

17 8 1. Εισαγωγή Ετσιγιαναυπολογίσουμετοολοκλήρωμα b a f (x)dx,αντίναυπολογίσουμε το όριο των αθροισμάτων Riemann, λύνουμε την διαφορική εξίσωση(1.7), που γενικά είναι κάτι πιο εύκολο. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι το θεμελιώδες θεώρημα του Λογισμού, δηλαδή οι σχέσεις(1.6) και(1.7), αποτελεί την σύνδεση μεταξύ της παραγώγου και του ολοκληρώματος, δύο εννοιών εκ πρώτης όψεως ξένων μεταξύ τους. Παράδειγμα1.1Τοεμδαδόντουδίσκου D(,r) = {x 2 +y 2 r 2 }. Ας είναι D(,r) 4 = { (x,y) : y = f (x) = } r 2 x 2, x [,r], τοπρώτοτεταρτημορίουτουδίσκου D(,r). Τοεμβαδόντου D(,r) 4 δίνεται από το ολοκλήρωμα D(,r) 4 = r f (x)dx = r r2 x 2 dx. Με την αλλαγή μεταβλητής x = rsinθ, έχουμε D(,r) 4 = r r2 x 2 dx = π/2 π/2 π/2 = r 2 cos 2 θdθ = r 2 = πr2 4. r 2 r 2 sin 2 θr(cosθ)dθ 1 cos2θ dθ 2

18 1.1. Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων Μήκος καμπύλης Εστω γ : [,1] R 2 μιαπαραγωγίσιμηεπίπεδηκαμπύλη. Αν = { = t < < t n = 1}είναιμιαδιαμέρισητου [,1]μεβήμααρκούντοςμικρό,τότεηπαράγωγος γ (t)είναιπερίπουσταθερήστοδιαστημα [t j,t j+1 ]τηςδιαμέρισης:γιακάθε t [t j,t j+1 ], γ (t) γ ( t j), t j [t j,t j+1 ]. y γ(t i ) h i γ(t i+1 ) γ t i t i+1 Σχήμα 6. x Άρατο μήκοςτουτόξου [γ(t j ),γ(t j+1 )] =ταχύτητα χρόνος καιαθροίζονταςέχωτομήκος L γ τηςκαμπύλης γ: L γ = lim ( γ t (tj+1 n j) t j ) = j n 1 από τον ορισμό του ολοκληρώματος. = γ ( t j) (tj+1 t j ), 1 γ (t) dt, Παράδειγμα1.2Μήκοςτουκύκλου S(,r) = {x 2 +y 2 = r 2 }.

19 1 1. Εισαγωγή Οκύκλος S(,r)ορίζεταιωςηκαμπύλη Ετσι, L γ = 1 = 2πr γ(t) = (rcos2πt,rsin2πt), t [,1]. γ (t) dt = 1 dt = 2πr. 1 Θα τελειώσουμε με ένα σημαντικό (2πr) 2 sin 2 2πt+(2πr) 2 cos 2 2πt dt Ερώτημα: Για ποιές φραγμένες συναρτήσεις f : [a, b] R, τα αθροίσματα Riemann R(f, ) = j nf ( x j) (xj+1 x j ), x j [x j,x j+1 ], συγκλίνουνκαθώςτοβήματης τείνειστο,δηλαδήηfείναιολοκληρώσιμη. Μιαπρώτημερικήαπάντηση,θαδοθείσύντομα:ανηfείναισυνεχής, τότεηf είναιολοκληρώσιμη. Τηντελικήαπάντησημαςτηνδίνειτο θεώρηματου Lebesgueπουμαςλέειπωςηfείναιολοκληρώσιμη,ανκαι μόνον εάν οι ασυνέχειες της f είναι μέτρου μηδέν.