Μαθηματικά Β Γυμνασίου
|
|
- Ἠλύσια Ζάππας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3 ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης
4 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθε σίας (Ν. /99 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου». Εκδόσεις Πατάκη Βιβλία για την εκπαίδευση Φώτης Κουνάδης, Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος ιορθώσεις: Κώστας Σίμος Σελιδοποίηση: Αλέξιος Μάστορης Φιλμ-Μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕ Ε (Εκδόσεις Πατάκη) και Φώτης Κουνάδης, Αθήνα, 08 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάιος 08 ΚΕΤ Β67 ΚΕΠ 8/8 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛ ΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 04 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: , , , ΦΑΞ: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 6, ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΗΜΑ: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ - ΠΕΡΙΟΧΗ Β ΚΤΕΟ), ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: , , ΦΑΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
5 Περιεχόμενα Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΕΣΤ Διαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου Κριτήριο ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό Κριτήριο ο: Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο Κριτήριο ο: Η έννοια της μεταβλητής Κριτήριο 4ο: Εξισώσεις α βαθμού Κριτήριο 5ο: Εξισώσεις α βαθμού Κριτήριο 6ο: Προβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις Κριτήριο 7ο: Προβλήματα με εξισώσεις Κριτήριο 8ο: Τετραγωνικές ρίζες Κριτήριο 9ο: Τετραγωνικές ρίζες Κριτήριο 0ο: Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Κριτήριο ο: Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Κριτήριο ο: Η έννοια της συνάρτησης Κριτήριο ο: Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Κριτήριο 4ο: Η συνάρτηση y= α x Κριτήριο 5ο: Η συνάρτηση y= α x Κριτήριο 6ο: Η συνάρτηση y= α x+ β Κριτήριο 7ο: Η συνάρτηση y= α x+ β α Κριτήριο 8ο: Η συνάρτηση y = Υπερβολή x Κριτήριο 9ο: Γραφικές παραστάσεις Μέση τιμή Διάμεσος Κριτήριο 0ο: Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Μονάδες μέτρησης επιφανειών Κριτήριο ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Κριτήριο ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Κριτήριο ο: Πυθαγόρειο θεώρημα Κριτήριο 4ο: Πυθαγόρειο θεώρημα Κριτήριο 5ο: Εφαπτομένη οξείας γωνίας Κριτήριο 6ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Κριτήριο 7ο: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας Κριτήριο 8ο: Εγγεγραμμένες γωνίες Κριτήριο 9ο: Κανονικά πολύγωνα Κριτήριο 0ο: Μήκος κύκλου Κριτήριο ο: Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Κριτήριο ο: Εμβαδόν όγκος πρίσματος και κυλίνδρου
6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΩΡΙΑΙΑ ΔΙΑΓ ΩΝΙΣΜΑΤΑ Διαγώνισμα ο: Εξισώσεις Διαγώνισμα ο: Εξισώσεις Διαγώνισμα ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα Διαγώνισμα 4ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα Διαγώνισμα 5ο: Πραγματικοί αριθμοί Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα Διαγώνισμα 6ο: Συναρτήσεις Διαγώνισμα 7ο: Συναρτήσεις Διαγώνισμα 8ο: Τριγωνομετρία Διαγώνισμα 9ο: Τριγωνομετρία Διαγώνισμα 0ο: Μέτρηση κύκλου Διαγώνισμα ο: Μέτρηση κύκλου Διαγώνισμα ο: Μέτρηση κύκλου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα 4ο Διαγώνισμα 5ο Διαγώνισμα 6ο Διαγώνισμα 7ο Διαγώνισμα 8ο Διαγώνισμα 9ο Διαγώνισμα 0ο Διαγώνισμα ο Διαγώνισμα ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
7 Γράμμα προς τους μαθητές και τις μαθήτριες Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε εσάς τους μαθητές και τις μαθήτριες της Β Γυμνασίου και έχει προσαρμοστεί στις τελευταίες οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Πιστεύω ότι με την ποικιλία των θεμάτων που παρατίθενται, θα μπορέσετε να αντιμετωπίσετε οποιασδήποτε μορφής εξετάσεις και συγχρόνως θα αποκομίσετε σημαντικό όφελος για μια καλύτερη κατανόηση των Μαθηματικών. Στο βιβλίο περιέχονται: Ένα κριτήριο διαγνωστικής αξιολόγησης στην ύλη της Α Γυμνασίου. κριτήρια αξιολόγησης (τεστ) για κάθε παράγραφο. ωριαία διαγωνίσματα για κάθε κεφάλαιο ή ενότητα. διαγωνίσματα προσομοίωσης για τις προαγωγικές εξετάσεις του Ιουνίου. Αναλυτικές απαντήσεις όλων των παραπάνω. Φώτης Κουνάδης Μαθηματικός Υ.Γ. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον γιο μου Ανδρέα για τις χρήσιμες παρατηρήσεις του, καθώς και όλους τους συνεργάτες των εκδόσεων Πατάκη για την πολύτιμη βοήθειά τους. 5
8 o Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ o Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: α)... = β) ( ) 4 0 =... γ) 9 0 =... δ) 0 =... ε) ( ) =... μονάδες 5 ΘΕΜΑ o Α. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος: 5 α) + = β) ( ) = γ) = 4 4 = 4 δ) ( ) 6 9 Β. Να γράψετε με τη μορφή δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: β) ( ) ( ) ( ) α) γ) 0, 0 δ) ( α α 8 ):( α ) 4 μονάδες 8 ΘΕΜΑ o Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 08 Α = ( ) + + ( ) 8 μονάδες 7
9 ΘΕΜΑ ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) 0 ισούται με: Α. 0 Β. 0 Γ. 0,0 Δ. 0 β) ( ) 0 ισούται με: Α. Β. Γ. 0 Δ. γ) o Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο 0 ισούται με: Α. Β. Γ. 0 Δ. δ) 5 ισούται με: Α. 6 5 Β. 6 5 Γ. 5 6 Δ. 5 4 Διάρκεια 0 μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή δύναμης. α) β) ( ) ( ) δ) : γ) 4 ε) ( ) ( ) 4 4 μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο Να βρείτε την τιμή της παράστασης x+ 4 x+ Α = x + x, όταν x =. μονάδες 6
10 o Κριτήριο αξιολόγησης Η έννοια της μεταβλητής Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε με μαθηματικά σύμβολα τις παρακάτω εκφράσεις: α) Η περίμετρος ενός τετραγώνου πλευράς α. β) Το εμβαδόν τριγώνου με βάση 0 cm. γ) Το κόστος x κιλών πορτοκαλιών, όταν το ένα κιλό κοστίζει 0,60. δ) Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 0. ε) Τον αριθμό των αγοριών μιας τάξης με 4 μαθητές, αν x είναι ο αριθμός των κοριτσιών της τάξης. μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε πιο απλά την παράσταση Α =( α β+) ( γ + β α), και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της, όταν α =, β = και γ =. μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Στο σχήμα δίνονται οι διαστάσεις ενός οικοπέδου σε μέτρα. α) Να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει την περίμετρο του οικοπέδου και να τη γράψετε στην απλούστερη μορφή της. β) Αν x + y = 00, να υπολογίσετε την περίμετρο του οικοπέδου. 4 Δ x+ Γ y+ Α (x ) Β μονάδες 7
11 4o Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α α. Εξίσωση x = 9. Είναι αδύνατη ΣΤΗΛΗ Β β. Εξίσωση 5x = 0. Είναι ταυτότητα γ. Eξίσωση 0x =. Έχει λύση τον αριθμό 0 δ. Eξίσωση 0x = 0 4. Έχει λύση τον αριθμό Α α β γ δ Β μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις: α) 5α + α β) 4 ω 9ω+ ω γ) x ( 4x 5 ) ( ) + μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο Nα λύσετε την εξίσωση: x x = + 5x 6 μονάδες 8 4
12 5o Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού Διάρκεια 0 ΘΕΜΑ ο Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Η εξίσωση x 5= 5 έχει μία λύση.... β) Η εξίσωση x ( + ) = x ( + ) είναι ταυτότητα.... γ) Η εξίσωση 0x = έχει λύση το δ) Η εξίσωση x+ = x δεν έχει λύση.... ε) Η εξίσωση x+ = x+ έχει λύσεις όλους τους αριθμούς.... ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση ( λ 0 ) x = ( μ + ). α) Να βρείτε τη λύση της όταν λ = 5 και μ = 4. β) Η εξίσωση έχει λύση όταν λ = 0 και μ = 4; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ και του μ η εξίσωση είναι ταυτότητα. μονάδες 5 μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι παραστάσεις Α =0( x ) ( x+) ( x 5) και Β = 5 ( x 7). α) Να γράψετε τις παραστάσεις A και B πιο απλά. Α Β β) Να βρείτε για ποια τιμή του x ισχύει η ισότητα =. μονάδες 6 5
13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α) Να λύσετε την εξίσωση: x+ x x = 4. Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η λύση 5 της είναι και λύση της εξίσωσης: x x =. 5 β) Αν με κ συμβολίσουμε την κοινή λύση των δύο εξισώσεων, να υπολογίσετε την κ κ+ κ+ κ+ τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( ) ( ) Α = μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο Δίνονται οι εξισώσεις ( α + x ) = 0και ( ) β 4 x =, όπου η πρώτη είναι ταυτότητα και η δεύτερη είναι αδύνατη. Να βρείτε τους αριθμούς α, β και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ = α + αβ + β. μονάδες 5 54
14 o Ωριαίο διαγώνισμα Εξισώσεις Διάρκεια 45 ΘΕΜΑ ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Η παράσταση 7x x + x x ισούται με: Η παράσταση ( + ) ( + ) x x 4 ισούται με: Η εξίσωση x = Η εξίσωση 0x = Η εξίσωση x = x Α Β Γ Δ 8x 9x 7x 5x x x 4x x Έχει λύση το Έχει λύση το 0 Έχει μοναδική λύση το Έχει λύση το Έχει λύση το Έχει μοναδική λύση το Είναι αδύνατη Είναι αδύνατη Είναι αδύνατη Είναι ταυτότητα Είναι ταυτότητα Είναι ταυτότητα μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Να λύσετε την εξίσωση: x ( ) ( x) = x+. Στη συνέχεια, για τη λύση x που βρήκατε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x x x Α = + +. μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο x+ x+ 5 ( x) α) Να λύσετε την εξίσωση: =. 4 4 β) Αν με α συμβολίσουμε τη λύση της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι η εξίσωση x ( ) + α x= 4α xείναι αδύνατη, ενώ η εξίσωση ( ) είναι ταυτότητα. α x+ α = x + μονάδες 5 55
15 Απαντήσεις Διαγνωστική αξιολόγηση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου Α. Συμπληρώνουμε τον πίνακα: Αριθμός Ο αντίθετος του αριθμού Ο αντίστροφος του αριθμού Η απόλυτη τιμή του αριθμού Το τετράγωνο του αριθμού α α α, όταν α 0 α α = ( ) + 5 = 5 = ( ) = 9 = = 4 Β : 4 = =0 + 6 :6 = = 5. Γ. ( ) ( ) :4= = 5 ( 4+ 9) + 4 :4= 5 + 4= 4. Δ. α) 7 4 = 4 8 δ) 9 > 8 β) > 5 5 ε) 5 > 5 γ) < 7 Ε. α) 7 + = 8 = β) = 6 5 = γ) 5 = 5 = :5 δ) : = = = = :5 ΣΤ. Η έκπτωση σε ευρώ είναι Ζ = =,5. Επομένως πληρώσαμε ,5 =,5. Βάρος κρέατος (g) Θερμίδες 700 x Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 700 x 5000 = ή 5x = ή x = ή x = 50 θερμίδες. Η. α) x β) x γ) ( )x = x = x Θ. Κάνουμε αντικατάσταση και έχουμε: ( α + β ): γ = ( 8 ): ( + ) = 40 : = 0. Ι. α) Α α β γ δ ε Β 5 4 β) Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 80 ο. Επομένως στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α ˆ + Β ˆ + Γ ˆ = 80 ή Γ ˆ = 80 ή 0 +Γ ˆ = 80 ή Γ ˆ = 60. γ) Τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους είναι το ορθογώνιο, το οξυγώνιο και το αμβλυγώνιο. Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές ίσες.
16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Κριτήρια αξιολόγησης Β Γυμνασίου ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό ΘΕΜΑ ο α) δ) 8 = β) ( ) 4 0 = ε) ( ) ΘΕΜΑ ο Α. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ 4 Β. α) = = 0000 γ) 0 = 0 = β) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) γ) ( ) 5 0, 0 = 0, 0 = α α : α = α : α = α = α. δ) ( ) ( ) 4 ΘΕΜΑ ο 08 Α = ( ) + + ( ) = 8 = 9+ + = 9 + = = 8 = =. ο Κριτήριο αξιολόγησης Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο ΘΕΜΑ ο α) Γ β) Β γ) Α δ) Δ ΘΕΜΑ ο + α) 6 4 = =. β) ( ) ( ) : = = : = = = = 0. 4 ( ) + 5 γ) = 4 = 4 = δ) = = ( ) 4 ( = = =. ε) ) = = = = = =. ΘΕΜΑ ο Αντικαθιστούμε στην παράσταση Α όπου x = Α = + + = και έχουμε: + 4 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 4 0 = + = = = = = = = ο Κριτήριο αξιολόγησης Η έννοια της μεταβλητής ΘΕΜΑ ο α) 4α. β) Για να βρούμε το εμβαδόν ενός τριγώνου πρέπει να βρούμε το μισό γινόμενο της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος υ. Επομένως το εμβαδόν είναι 0 υ =5υ cm. γ) 0,60x. δ) Αν x ο αριθμός, το διπλάσιο του μειωμένο κατά 0 είναι x 0. ε) Ο αριθμός των αγοριών της τάξης είναι 4 x. ΘΕΜΑ ο Α = ( α β+ ) ( γ+ β α) = =α β + γ β +α = = α+α β β γ = = ( +) α + ( ) β γ =5α 5β γ. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την τιμή της, όταν α =, β = και γ = και έχουμε: Α = 5 5 ( ) = = 6. ΘΕΜΑ ο α) Η περίμετρος του οικοπέδου είναι Π = 4 + ( x + ) + ( y + ) + ( x ) = = 4 + x + + y + + x = = 5 + x + y = 5 + ( x + y). β) Αν x + y = 00, η περίμετρος του οικοπέδου είναι Π = = = 5 m. 4ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού ΘΕΜΑ ο Α α β γ δ Β 4
17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α) 5α +α = ( 5+) α =7α. β) 4ω 9ω + ω = ( 4 9+) ω = 4ω. γ) x ( + 4x 5 ) ( ) = x+ 8x+ 0= x 8x 0 ( 8) x = + + = + = 5x +. ΘΕΜΑ ο Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών 6, και που είναι το 6 και πολλαπλασιάζουμε με αυτό τα μέλη της εξίσωσης. Προκύπτει τότε μία εξίσωση χωρίς παρονομαστές. x x 5x = + ή 6 x ( x ) ( 5x ) 6 = ή 6 x = ( x ) + ( 5x ) ή x = x + 0x 6 ή x x 0x = 6 + ή ( ) x = 6 ή 0 x = 6 ή 6 x = ή x =. 5ο Κριτήριο αξιολόγησης Εξισώσεις α βαθμού ΘΕΜΑ ο α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ ο α) Για λ = 5 και μ = 4, η εξίσωση γράφεται: ( 5 0) x = 4+ ή 5x = 5 ή x =. β) Για λ = 0 και μ = 4, η εξίσωση γράφεται: ( 0 0) x = 5 ή 0x = 5, η οποία είναι αδύνατη. γ) Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα θα πρέπει να έχει τη μορφή 0x = 0, δηλαδή θα πρέπει λ = 0 και μ =. ΘΕΜΑ ο α) Α = 0( x ) ( x + ) ( x 5) = = 0x 0 x 6x + 5 = = ( 0 6) x + 4 = x ( x 7) ( 5 x 7) Β = = + = = 5+ x 7= x 0. β) Η ισότητα Α = Β γράφεται: x + 4 x 0 = ή ( x 4) ( x 0) + = ή 6x + 8 = x 0 x = 8 ή ή 6x x = 0 8 ή 8 x =. 6ο Κριτήριο αξιολόγησης Προβλήματα γεωμετρίας με εξισώσεις ΘΕΜΑ ο α) B β) Γ γ) Α ΘΕΜΑ ο α) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ = ΑΓ. Αντικαθιστούμε και έχουμε την εξίσωση: x x + = ή x ( ) = x ( + ) ή x = x + 4 ή x x = 4 + ή x = 7. β) ΑΒ = ΑΓ = cm, ΒΓ = = = cm ΘΕΜΑ ο Οι γωνίες ˆΑ και ˆΔ του παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές, δηλαδή Α ˆ + Δ ˆ = 80, οπότε x x + 5 = 80 ή x+0 = 80 ή x = 80 0 ή x = 50 ή 50 x = ή x = 50. Επομένως είναι Α ˆ = = 5, οπότε και Γ ˆ = 5, αφού οι απέναντι γωνίες σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες. Επίσης βρίσκουμε ότι Δ ˆ = 55 και Β ˆ = 55. Επειδή οι απέναντι πλευρές σε ένα παραλληλόγραμμο είναι ίσες, έχουμε ΑΒ = ΓΔ, δηλαδή y + 0 = y 0 ή y y = 0 0 ή y = 50 ή y = 5. Οπότε βρίσκουμε: ΑΒ = = 55 cm, ΓΔ =55cm, ΒΓ = 5 5 = 0 cm και ΑΔ = 0 cm. 7ο Κριτήριο αξιολόγησης Προβλήματα με εξισώσεις ΘΕΜΑ ο Έστω x o αριθμός που πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμητές των κλασμάτων και 5 4, ώστε να γίνουν ίσα. Προκύπτει τότε η εξίσωση: + x 5+ x = ή 4 ( + x) = 5 ( + x) ή x = 5 + x ή 4x x = 5 4 ή x =.
18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α) Έστω x o μικρότερος από τους δύο φυσικούς αριθμούς, τότε ο επόμενός του είναι ο x+. Επειδή το άθροισμά τους είναι 7, έχουμε την εξίσωση x+ ( x+ ) = 7 ή x = 7 ή x = 6 ή 6 x = ή x = 8. Επομένως οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 8 και 9. β) Λύνουμε την εξίσωση x ( + ) + x= ή x + + x = ή 5x = ή 5x = 0 ή 0 x = ή x =. Επομένως οι ζητούμενοι 5 αριθμοί είναι οι και. ΘΕΜΑ ο Αν x ο αριθμός των αντρών που παρακολούθησαν την παράσταση, τότε ο αριθμός των γυναικών είναι x και ο αριθμός των παιδιών είναι x+ x = x+ x = x+ x. Επειδή τα άτομα που παρακολούθησαν την παράσταση είναι συνολικά 90, έχουμε την εξίσωση: x+ x+ x+ x = 90 ή 6 x+ 6 x+ 6 x+ 6 x = 6 90 ή 6x + 4x + x + x = 540 ή 5x = 540 ή 540 x = = 6. Επομένως παρακολούθησαν την 5 παράσταση 6 άντρες, 6 = 4 γυναίκες και = 0 παιδιά. 8ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ ο 0 = 0, =, 64 = 8, ( 4 ) = 6 = 4, ( 9) = 9 ΘΕΜΑ ο 4 = 6 = 4, 9 =, 0,64 = 0,8, =, ( 6) = 4, 5+ 0 = 5, =, ( ) = 0, + =, ( ) ( ) 49 7 =, = 0 ΘΕΜΑ ο Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε: 5x ( ) = 7x ( + ) ή 5x 6 = 4x + 4 ή 5x 4x = ή x = 0. Άρα ΒΓ = 0 cm. ΑΓ = y= = = = + 9 = + = 6 = 6 cm. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ ή ΑΒ = ΒΓ ΑΓ ή ΑΒ = 0 6 ή ΑΒ = 00 6 ή ή ΑΒ = 64 ή ΑΒ = 8 cm. 9ο Κριτήριο αξιολόγησης Τετραγωνικές ρίζες ΘΕΜΑ ο Α α β γ δ ε Β 5 4 ΘΕΜΑ ο Α = 9α + 6β + α β= = = = = = 7. α Β = 6α + 9β = β = ΑΒ = = = 6 4 = + = 4 = 4 4 ΘΕΜΑ ο 96 9 = Από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την υποτείνουσα x: x = + 9 ή x = ή x = 5 ή x = 5 ή x = 5cm. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε την κάθετη πλευρά y: y + 5 = 7 ή y + 5 = 89 ή y = 89 5 ή y = 64 ή y= 64 ή y= 8cm. 4
19
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΣοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας
Σοφία Κ. Αδάµου Τα Μαθηµατικά µου Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας 1 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωµάτων πνευµατικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύµβαση. Το παρόν έργο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραμαθηματικά β γυμνασίου
μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία
Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Αφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο
1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 3 η : H βαθµολογία των µαθητών σε ένα διαγώνισµα στα Μαθηµατικά φαίνεται στο παραπάνω ραβδόγραµµα.
6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΡ ΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΙΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:Β 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΕΜΠΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2010 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ (Να γράψετε το ένα από τα
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΤΑΞΗ: Β ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης με το αντίστοιχο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1
ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 07-1-014 Ονοματεπώνυμο: Θέμα 1ο Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαθηματικό Περιηγητή 56 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ 1. Τα θέματα και στι 3 τάξει του Γυμνασίου χωρίζονται σε δύο κατηγορίε. Στα θέματα τη θεωρία
Διαβάστε περισσότεραWeb page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΜαθημαηικά Γ Γυμμαζίου
Μαθημαηικά Γ Γυμμαζίου Μεθοδική Επαμάληψη Σηέλιος Μιχαήλογλου 017-18 www.askisopolis.gr Η επαμάληψη ηωμ Μαθημαηικώμ βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις www.askisopolis.gr 1.1. Πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων
Διαβάστε περισσότερα1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( 1) 3( ) 5( 3). 4 ( 3) 6 3. 3(4 ) 5( 1) 1 3(1 ) 3( ) 4 3 4. 1 5. 4 6 3 1 1 4( ) 1 1 3 6. 1 7. 1 3 6 3 4 3 3 1
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων Γ Γυμνασίου σχολικού έτους 013-014 ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των απολυτήριων εξετάσεων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑ σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
Διαβάστε περισσότεραΦύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Διαβάστε περισσότερα3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του
Διαβάστε περισσότεραEλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Γυμνασίου
Eλευθέριος Πρωτοπαπάς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
Διαβάστε περισσότερα1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) 3( x) 5( x 3). 4x ( x 3) 6 x 3. x 3(4 x) x 5( x 1) x 1 3(1 x) x 3( x) x 4 3x 4. 1 x 5. x 4 6 3 1 1 4( )
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μαθηματικό Περιηγητή 97 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ 1. Τα θέματα και στι 3 τάξει του Γυμνασίου χωρίζονται σε δύο κατηγορίε. Στα θέματα τη θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ
Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,
. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16 / 6 / 2014 Αριθμητικά :.... ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Γ Ολογράφως:......
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ 1) Οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 είναι τοποθετημένοι στο διπλανό διάγραμμα. Με τη βοήθεια του πιο πάνω διαγράμματος: α) Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα από τα σύμβολα,,
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΑΡΧΙΑ ΠΕΛΛΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2008-2009 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΒΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ Ονοματεπώνυμο μαθητή/τριας Εξεταζόμενο Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τάξη : Β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότερα1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03 / 6 / 014 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή /τριας:
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ
ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότερα2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότερα