Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Transcript

1 Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν αρχείο από το CD στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή σας, για μεγαλύτερη ευκολία χρήσης. 1

2 Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ , Το παρόν αποτελεί συνοδευτικό υλικό του βιβλίου του Θανάση Ξένου «Άλγεβρα Α' Λυκείου» με ISBN Copright, 01, Eκδόσεις ZHTH, Θανάσης Ξένος Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Παραγωγή Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: info@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5), Aθήνα Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60, Aθήνα Tηλ.-Fax: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Περιεχόμενα Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των προτεινόμενων ερωτήσεων & ασκήσεων ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε. Σύνολα.. Η εξίσωση x ν α.3. Εξισώσεις ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 1.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 1.. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 1.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισώσεις 3.1. Ανισώσεις 1 ου βαθμού 3.. Ανισώσεις ου βαθμού 3.3. Ανισώσεις γινόμενο & ανισώσεις πηλίκο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις.1. Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Πιθανότητες 4.1. Η έννοια της συνάρτησης 6.1. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 4.. Γραφική παράσταση συνάρτησης 6.. Η έννοια της πιθανότητας 4.3. Η Συνάρτηση f (x) αx+β 4.4. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Πρόοδοι 4.5. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης 7.1. Αριθμητική πρόοδος 7.. Γεωμετρική πρόοδος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5.1. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5.. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) α/x 5.3. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx+βx+γ full screen Περιεχόμενα 4

5 Περιεχόμενα Άλγεβρα Α' Λυκείου - Σχολικό Βιβλίο Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Η εξίσωση x ν α Ε1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε. Σύνολα.3. Εξισώσεις ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 1.1. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 1.. Διάταξη πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Ανισώσεις 3.1. Ανισώσεις 1 ου βαθμού 1.3. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 3.. Ανισώσεις ου βαθμού 1.4. Ρίζες πραγματικών αριθμών 3.3. Ανισώσεις γινόμενο & ανισώσεις πηλίκο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις.1. Εξισώσεις 1 ου Βαθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 4.1. Η έννοια της συνάρτησης 5

6 4.. Γραφική παράσταση συνάρτησης 4.3. Η Συνάρτηση f (x) αx+β 4.4. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 4.5. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνομετρία 7.1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 7.. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 7.3. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5.1. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5.. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) α/x 5.3. Μελέτη της συνάρτησης: f(x) αx +βx+γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Συστήματα 6.1. Γραμμικά συστήματα 6.. Μη γραμμικά συστήματα 6

7 Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου η έκδοση Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 7

8 E.1: Ερωτήσεις κατανόησης 1.1 : A Oμάδα Εισαγωγικό κεφάλαιο E.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 11, Θ.Ξ. 1) α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ στ) Λ ζ) Σ η) Λ θ) Λ ι) Λ ια) Λ ιβ) Σ ιγ) Σ ) Ναι, ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. 3) α) x ή 3 β) x 1 και 3 γ) α 0 και β 0 δ) α < 0 ή β > 0. 4) α) Αν ο α είναι μεγαλύτερος του, τότε και ο α + 1 είναι μεγαλύτερος του. β) Οι α, β είναι ετερόσημοι ή μηδέν. γ) Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος. δ) (α ) + (β + 1) 0 σημαίνει (α ) + (β + 1) > 0, δηλαδή α 0 ή β ) α) + (3), γ) + (4), δ) + () και ε) + (1). Ε. Σύνολα: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 18, Θ.Ξ. 1) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Ε στ) Λ ζ) Σ η) Λ θ) Σ ι) Σ ια) Σ ιβ) Λ ιγ) Λ ιδ) Λ ιε) Λ ιστ) Σ ιζ) Σ ιη) Λ ιθ) Λ ) Α Ø, B Ø, Γ Ø, Δ Ø και Ε Ø 3) Α {0,, 4, 6, 8}, Β {5, 6, 7, 8, 9}, Α Β {6, 8}, Α Β {0,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Αʹ {1, 3, 5, 7, 9}, Βʹ {0, 1,, 3, 4}. 4) Α Β {1,, 3} 5) Α {xœ x 10}, B {xœ x 1 4} και G Œ. n n * & 0 6) α) Α β) Α γ) Γ δ) Β. 7) Α {xœ x > 7}, B {xœ x < 1} και είναι ξένα. 8) α) Ø, {1}, {} και {1, } β) Ø, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3} και {1,, 3} γ) Ø, {α}, {β}, {γ}, {δ}, {α, β}, {α, γ}, {α, δ}, {β, γ}, {β, δ}, {γ, δ}, {α, β, γ}, {α, β, δ}, {α, γ, δ}, {β, γ, δ} και {α, β, γ, δ} 9) και 5. 10) Αληθεύουν οι (α) και (β). Κεφάλαιο 1: Οι πραγματικοί αριθμοί 1.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους A Oμάδα σελ. 37, Θ.Ξ. 1) α) 10α 5β + 8 β) 4αβ 14α 14β + 9 γ) 10 16x ) α) x 0 β) x ±3 γ) x 1 και x δ) xœ ε) x 0 και x ± 3) 19 1 a α) x- β) x ) α) (κ + 1) + (λ + 1) κ + λ + (κ + λ + 1) κ.λπ. δ) x + (x + 1) + (x + ) + (x + 3) (x + 3) και x + 3 περιττός. 5) Απαγωγή σε άτοπο ) α) α β) 1 γ) b a l. b a l. b a l a b l. b b b b 5 15 ag 7) A b 8) α) β) 36 γ) 64 9) 6 6 ( 10 ) A x (10 ) δ) ) α , και α 6, ) α) x 3 β) x 1 γ) x 3 δ) x 1. 1) α) ) Αν a b β) 5 19 γ) -13 δ). b g l, θα βρείτε α λ g d 3 δ. 1 Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 8

9 1.1: Α Oμάδα 14) Αντικαθιστούμε το β με αγ. 15) 0, 60 και ) Ισχύει x + ω και θα αποδειχθεί ότι α β + γ. 19) α) (x )(x 1) β) (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ) 0) α) γ) (x 1)(3x + 1) δ) 3(4α 3)(8α 5) ε) (α 1) (α + 1) στ) (αβ 1)(α β)(α + αβ + β ) ζ) (x 1)(x + 1) (x + ) η) (α β)(α + β)(α + β ) θ) (α β)(α + β)(α + αβ + β )(α αβ + β ) ι) (x 1)(x + x + 1)(x + 1)(4x x + 1) δ) x+3 x a+ b-g a- b+ g ab 1) α) a + b a(+ a) β) - a- x -1 ε) x - x β) (x- )( x+ ) x-3 γ) x - x + x-1 στ). x -1 γ) ( a+ b+ g ) bg δ) 0 ) β) Από το ερώτημα (α) βρίσκουμε Α 36, οπότε Α 6 ή Α 6. 3) α) 4 β) 14 γ) 5 δ) 5 3) 194 στ) ζ) 194 η).70 4) α) 7 β) 18 γ) B Oμάδα σελ. 41, Θ.Ξ. 1) Ισχύει x(ργ α) β ρδ (1). Αν ργ α, τότε b-rd x rht Ów, άτοπο. rg-a a b Άρα, ργ α και η (1) δίνει ρδ β, οπότε r kai r. g d ) Όπως το παράδειγμα 10. 3) (x 3) 0, οπότε x 3 και βρίσκουμε α) 3 β) 1 4) α) x 3 x x + (x 1) (x + ). γ) 3 β) x 3 x + 3x 3 (x 1) (x + x + 3). 1.1: B Oμάδα γ) αβ(α β) + (β γ βγ + αγ α γ) αβ(α β) + [γ (α β) γ(α β )] (α β)(β γ)(α γ). δ) (α 4 + β 4 + γ 4 + α β β γ γ α ) 4α β (α + β γ ) (αβ) (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ). ε) x 4 x 9x + 9 (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3). στ) α 4 x (x ) (α +x x)(α x +x). ζ) (x 4 + x + 1) x (x + 1) ( x) η) (x 4 +x +1) x (x +x+1)(x x+1) θ) 3[(x + 1) 3 + (x ) 3 ] 3(3x 1) (3x 6x + 7). 5) α) x 1 και 0. β) (x 1) + ( 1) 0, άρα x 1 και 1. γ) (x + 1) + ( 3) 3 0, άρα x 1 και. δ) (x 4) + 3( + 1) 0, άρα x ± και 1. 6) (x 1) + ( 1) + (z 1) 0, άρα x z 1. 7) A (x ) + ( ω) + (ω x). ( x x )( x - x+ 1 ). 8) (x + ) (x ) x+ x- 4x, x b l -b l και ) α) Πράξεις στο βʹ μέλος. β) Προκύπτει αμέσως από το (α). γ) α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ 0 + α + β + γ 0 ή (α β) + (β γ) + (γ α) 0 + α + β + γ 0 ή α β γ. δ) Όπως στο παράδειγμα 5β, βρίσκουμε αβγ 0. ε) Α (x xz) 3 + (z x) 3 + (zx z) 3 και (x xz) + (z x) + (zx z) 0, οπότε Α 3xz( z)(z x)(x ). 10) (α+β) + (β+γ) + (γ+α) (α+β+γ) 0 κ.λπ. 11) (α x) + (β ) + (γ z) 0 Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 9

10 1.1: Β Oμάδα x + 1) 3 (3 3 x- v ) v x + v - v + x xω ω 3 + x ω 3 3xω + x ω (αφού x + + ω > 0), σύμφωνα με την άσκηση 9γ. a -b -bg (a- b)(a+ b) -bg (a- b)(a+ b) bg bg 13) - a-b- a+ b a+ b a+ b a + b - g 14) α) α β + β α + β κ.λπ. bg ag ab (a-b)(a-g) - ( b-g)(a- b) + (a-g)( b-g) bg( b-g) -ag(a- g) + ab(a-b) (a-b)(a-g)( b-g) Ο αριθμητής παραγοντοποιείται (όπως άσκηση 4γ) και γράφεται (α β)(α γ)(β γ). β) Κάνουμε ομώνυμα (όπως στο (α)) και ο αριθμητής γράφεται α 3 β α 3 γ αβ 3 + β 3 γ + αγ 3 βγ 3 (α β)(α γ)(β γ)(α + β + γ). γ) και δ) Ομοίως 15) α + 1 a + α + 1 α + α α (α 1) 0 + α 1 κ.λπ. 16) a - b 3 (1). a 3 a Αν α 0, τότε -, άτοπο (αφού ρητός). b b Άρα, α 0 και η (1) δίνει β ) A a - k + b - l+ b - l + + b l+ b και μετά τις διαγραφές έχουμε A ) α + β + γ 1 αβ βγ γα 0 [ (a b) (b g) (g a) ] 0 + α β γ. l + z - x + z ( + z) - x ( + z+ x)( + z-x) 19) a+ 1 z z z 1.: A Oμάδα ( x+ z- )( x+ - z) + ( x+ + z)( + z-x) 4z b+ 1 ( x+ + z)( + z-x) ( x + + z )( + z - x ) 1 0) Αφού g, το αʹ μέλος γράφεται ab 1 a b ab ab+ a a b b ab a ab 1 1. ab+ a ab+ a + a+ 1+ ab 1) z 1 κ.λπ. ) Α x 3) x (67 0) (67 + 0) x 1. Διάταξη πραγματικών αριθμών A Oμάδα σελ ) α) 3 < x+ < β) - < x- < γ) < x < 4 x 61 δ) < < 3 ε) 1 < x < 7 στ) 5 < x + < 5 4 ζ) 17 < x 3 4 < 3 η) 15 < 3x + 4x < 55 θ) ) α) (α β) 0 β) (α β) 0 γ) (α βx) 0 δ) (α β) (α + αβ + β ) 0 ε) (α 1) + (β 1) 0 στ) (x 1) + ( 1) + (z 1) 0. 3) α) (α β) 0 β) (α + β) 0 γ) (α β) 0 κ.λπ. 5 x + 61 < <. 7 3x- 4 a b b g g δ) d a + n+ d + n+ c + m 6, που ισχύει, διότι από το (α) έχουμε b a g b a g Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 10

11 1.: Α Oμάδα a b b g g a +, + kai +. b a g b a g 4) α) (x 1) 0 β) (x ) 0 γ) (x + 1) > 0 δ) ax - k + > 0 4 ε) x +(x 1) 3 15 > 0 στ) a x + k + > ) a x x( ) < 0, b - a + a-b b + x bb ( + x) a a+ x άρα <. b b+ x 6) (α β) (α + β) 0 και η ισότητα αληθεύει όταν α β. 7) α β (x 1) (x + 1) και (x 1) 0 i) Αν x 1 ή x 1, τότε α β. ii) Αν x > 1 και x 1, τότε α > β. iii) Αν x < 1 τότε α < β. 8) 3 3 x- x - - x+ x x( - x) x- x < 0. Άρα, <. x + x+ 3 3 x + 9) α) x + x 1 (x 1)(1 ) < 0. β) 1 + x + + x (x + 1)( + 1) > 0. γ) (1 + x)(1 + ) (1 + x + ) x > 0. δ) x 3 (x x + 1) (x 1)(x + 1) > 0. 10) Με απαλοιφή παρονομαστών καταλήγουμε στην ανισότητα x + x + x > 0, που ισχύει. βʹ τρόπος: x+ + < x+ 1 + x x x Β Oμάδα σελ. 53, Θ.Ξ. 1) α) (α βx) + (αz γx) + (βz γ) 0 και η ισότητα ισχύει όταν α βx, αz γx και βz γ. 1 β) 8 ( a- b) + (b- g) + (g-a) B 0 και η ισότητα ισχύει όταν α β γ. γ) Ομοίως με το (β). ) Όπως το παράδειγμα 6. 3) Βρίσκουμε ανά δύο όλες τις διαφορές και διαπιστώνουμε ότι: a ax + g a+ gx g i) Αν x 1, τότε < <. b bx+ d b+ dx d a a+ gx ax + g g ii) Αν 0 < x < 1, τότε < < <. b b+ dx bx + d d 4) 3(1 + x + x 4 ) (1 + x + x ) (x 1) (x + x + 1) 0 5) α 1 + α + + α ν > α 1 + α α 1 να 1 και α 1 + α + + α ν < α ν + α ν + + α ν να ν. 6) α 3 + β 3 + γ 3 1 3αβγ a b g ( a b ) ( b g ) ( g a ^ + + h και η ισότητα αληθεύει όταν α β γ, αφού α + β + γ > ) α) a + για κάθε α > 0. a a g b g b β) c a + m+ d + n+ d + n g a g b a b 8) α) (x 1) , ελάχιστο 1 όταν x 1 και 0. β) (x + ) + ( 3) 3 3 3, ελάχιστο 3 όταν x και. 9) α) αβ(α β) + βγ(β γ) αγ(α γ) (α β) (β γ) (α γ) < 0 β) αβ(α β) + βγ(β γ) + γδ(γ δ) αδ(α δ) (α γ) (β δ) (α + γ β δ) < 0. 10) Γράφεται τελικά (α + β γ) 0. 11) x x 3 x 3 (x ) (x + )(x + x + ) 0. 1) (α β + γ) 0. 1.: Β Oμάδα 13) α) Με απαλοιφή παρονομαστών καταλήγουμε στην (α β) (α + β) 0. β) Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες a b 1 1 b g 1 1 g a , b a a b + + και. g b b g + + a g g a Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 11

12 Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 49

13 E.1: Ερωτήσεις κατανόησης Εισαγωγικό κεφάλαιο E.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 1, Σχ.Β. Ι. 1) Ψ ) Ψ 3) Α 4) Ψ 5) Α 6) Ψ 7) Α 8) Ψ 9) Ψ. ΙΙ. 1 Ε Α 3 Γ 4 Ζ 5 Δ 6 Β Ε. Σύνολα: Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 18, Σχ.Β. Ι. 1) 3,5 ŒØ και 3,5 Œ. ) το 0 ανήκει σ όλα. 13 3) 10 Œ, - στο Ø και στο, π Œ, 3, στο Ø και στο, σ όλα, σ όλα, 5 στα, Ø και. 5 ΙΙ. 1) Α {1,, 4, 8, 16} και Β {1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4) α) Α Β {1,, 3, 4, 6, 8, 1, 16, 4} β) Α Β {1,, 4, 8}. ) α) Α Β Ω β) Α Β Ø γ) Αʹ Β δ) Βʹ Α. ΙΙΙ. 1) Σωστές είναι οι (γ) και (δ). ) Σωστές είναι οι (α) και (β) [β) Β Α Β]. ΙV. 1) α) Øʹ Ω β) Ωʹ Ø γ) (Αʹ)ʹ Α ) α) Α Β Α β) Α Β Β Κεφάλαιο 1: Οι πραγματικοί αριθμοί 1.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους A Oμάδα σελ. 8, Σχ.Β. 4 1) i). 6 A (. 4 x. 1 x ): f 3 p ( x ): d n -9-9 x x x ii) A (x) 9 1, διότι x : B Oμάδα ) A 6 ( ):( )@ f p -3-7 (x ( 3) ( 7) ) (x 5 5 ) x (x) 10 [0,4 (,5)] 10 ( 1) ) i) ( ) ( ) ii) (100 1) ( ) ( 73, ) - ( 4, 3) ( 73, - 4, 3). ( 73, + 4, 3) , iii) 3. 11, 46 11, 46 11, 46 4) i) (α + β) (α β) (α + αβ + β ) (α αβ + β ) 4αβ ii) Για a kai b, από το (i), η παράσταση ισούται με 4αβ 4, γιατί αβ 1. 5) i) α (α 1)(α+1) α (α 1) α α ii) 1, διότι προκύπτει από το (i) για α 1,365. 6) (κ + 1) κ (κ + κ + 1) κ κ + 1 (κ + 1) + κ. 7) ν + ν+1 + ν+ ν + ν + ν ν (1 + + ) 7 ν 1.1 B Oμάδα σελ. 9, Σχ.Β. 1) i) ii) a(a - a+ 1) a(a-1) a(a-1) a(a-1) a- 1. a(a- 1) + (a-1) (a- 1)(a + ) a+. (a- 1)(a+ 1) (a- 1)(a+ 1) a + 1 a -1 ) i). a ( a+ 1). c m ( a- 1) ( a+ 1) a ( a+ 1) a 3 ( a+ 1). 3 ( a-1). a ( a+ 1) (a + a+ 1)(a. - 1)(a+ 1) ii). 1. (a+ 1) (a-1)(a + a+ 1) Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 50

14 1.1: B Oμάδα 3) i) ( ) ( ). + x - + b + l x+ c m. x ( x+ ) c m x x+ 4) ( ). ( x) x+ ( x+ ) x - x+ ii). x+. x x+. ( - x) x- 1 1 x - x - - x - x( - x)( + x). ( x+ ) ( -x) x ( ).. x- x( - x)( x+ ) x - ( x+ )( x - x+ ) x - x+ : ( x+ )( x-) x- x - x+ x- x - x+ : x- 1 a b g 5) i) Αν l, τότε γ λα, β λγ λ b g a α και α λβ λ 3 α. Πρέπει να είναι α, β, γ 0, οπότε η ισότητα α λ 3 α δίνει λ 3 1, δηλαδή λ 1. Άρα, α β γ. ii) Είναι β α + γ και β γ α, οπότε ισχύει 4γ α α + γ + 3γ 3α + γ α. Επομένως και β α α α. 6) Αν x, είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε x + 4α και x α. Έτσι, έχουμε a + και επομένως ισχύει. ( x+ ) + 4x x + + x 4 + x + x 0 + (x ) 0 + x. Άρα, το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 7) i) Αν α + β ρητός λ, τότε β λ α ρητός, άτοπο. Άρα, α + β άρρητος. l ii) Αν α β ρητός λ, τότε b rhtów, άτοπο. Άρα, α β άρρητος. a 1. Διάταξη πραγματικών αριθμών 1) i) α + 9 6α (α 3) 0 1.: Α Oμάδα A Oμάδα σελ. 35, Σχ.Β. ii) (α + β ) (α + β) α + β αβ (α β) 0. ) α + β α + 1 (α α + 1) + β (α 1) + β 0. Η ισότητα ισχύει όταν α 1 και β 0. 3) i) x 0 και + 1 0, δηλαδή x και 1 ii) (x x + 1) + ( ) 0 + (x 1) + ( + ) 0 + x 1 και. 4) i) Προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε 9,9 < x + < 10. ii) 4,5 < x < 4,6 iii) 4,5 < x < 4,6 5,4 < < 5,3 (+) < < ( ) 0,9 < x < 0,7 54, 53, x 46 iv) 4,5 < x < 4,6 < < ,3 < < 5,4 (+) ,34 < x + < 50,3 5) Πλάτος x + 0, α με, < α < 3, Μήκος 0,1 β με,9 < β < 4,9 i) Περίμετρος: α + β Ρ ii) Εμβαδόν: αβ Ε 4,4 < α < 6,4, < α < 3, 5,8 < β < 9,8 (+),9 < β < 4,9 ( ) , < P < 16, 6,38 < E < 15,68 a b 6). a < + (1+ a)(1+ b). b <(1+ a)(1+ b) + a(1+ b)<b(1+ a) 1+ a 1 + b 1 + a 1 + b + α + αβ < β + αβ + α < β, που ισχύει. 7) Μετά την ανισότητα x(5 x) > (5 + x)(5 x) διαιρούμε με τον αρνητικό αριθμό 5 x, οπότε η φορά της ανισότητας αλλάζει, δηλαδή x < 5 + x. Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 51

15 1.: B Oμάδα 1.3: B Oμάδα 1. B Oμάδα σελ. 36, Σχ.Β. 1) i) a+ g a > + b(a+ g)>a(b+ g) + βγ > αγ + β > α, που ισχύει. b+ g b ii) Ομοίως. ) α + β 1 αβ (α 1) + (β αβ) (α 1) β(α 1) (α 1)(1 β) > 0, γιατί α 1 > 0 και 1 β > a b 3) (a + b) b + l a b b a a b a + b ab + (a- b) 0, που ισχύει. b a 1 4) i) a ab b (a ab b ) [(a b) a b] a 1 ii) a ab b [ (a b ) a b) Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 1) i) π 3 > 0, άρα π 3 π 3 ii) π 4 < 0, άρα π 4 π + 4 iii) 3 π + 4 π ( 3 + π) + (4 π) 1 A Oμάδα σελ. 4, Σχ.Β. iv) (- + 3) -( 3- ) 0 ) x 3 > 0 και x 4 < 0, οπότε x 3 + x 4 (x 3) + ( x + 4) 1. 3) i) x 3 < 0 και 4 x > 0, οπότε x 3 4 x ( x + 3) (4 x) 1. 4) ii) x 3 > 0 και 4 x < 0, οπότε x 3 4 x (x 3) ( 4 + x) 1. a-b b-a a-b - (a - b) ) Αν x, > 0, τότε A Αν x, < 0, τότε A Αν x > 0 και < 0, τότε A Αν x < 0 και > 0, τότε A ) i) Η απόσταση των αριθμών D και,37 δεν πρέπει να ξεπερνά το 0,005 δηλαδή D,37 0,005. ii) Η παραπάνω ανισότητα γράφεται,37 0,005 D,37 + 0,005 ή,365 D,375. 7) x+3 < 4, d(x, 3) < 4, ( 7, 1) x 4 >, d(x, 4) >, (, ) (6, + ) x+3 4, d(x, 3) 4, (, 7] [1, + ) x 5 < 1, d(x, 5) < 1, (4, 6) x+1 >, d(x, 1) >, (, 3) (1, + ) x 5 1, d(x, 5) 1, (, 4] [6, + ) x+1, d(x, 1), (, 3] [1, + ) x <, d(x, 0) <, (, ) x 3, d(x, ) 3, [ 5, 1] x, d(x, 0), (, ] [, + ) x > 3, d(x, ) > 3, (, 5) (1, + ) 1.3 B Oμάδα σελ. 44, Σχ.Β. 1) α β (α γ) + (γ β) α γ + γ β. ) Ισχύει α β > 0 και α β α β. a+ b + a- b a+ b+ a- b a i) a. ii) Ομοίως. 3) i) x 0 και 0, επειδή οι x, είναι μη αρνητικοί. ii) x + > 0 + x x 0 ή 0. Σχολικό βιβλίο - Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων 5

16 Βιβλία Μαθηματικών του Θανάση Ξένου Μαθηματικά ΔHMOTIKOY Μαθηματικά ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

17 Ευκλείδεια Γεωμετρία Α & Β Λυκείου Τυπολόγιο για όλες τις τάξεις Μαθηματικά Α & Β Λυκείου

18 Προβλήματα & Κριτήρια A & Β Λυκείου Μαθηματικά Γ Λυκείου

19 Προβλήματα & Κριτήρια Γ Λυκείου ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ

20 Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ

21 Μαθηματικά ΑΕΙ-ΤΕΙ KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: