ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ"

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ. Όριο και συνέχεια συνάρτησης Ασύμπτωτες ευθείες γραφικών παραστάσεων.. 9 Παράγωγος μελέτη και γραφική παράσταση συναρτήσεων με παραγώγους.. 11 Γραφικές παραστάσεις ρητών συναρτήσεων Το Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων 36 Το Ορισμένο ολοκλήρωμα Γενικές ασκήσεις στα ολοκληρώματα 46 1

3 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) ℝ. Θεωρούμε ένα σημείο xo ϵ ℝ. Θα λέμε ότι η f(x) συγκλίνει ή τείνει προς ένα σημείο l ϵ ℝ, ενώ το x τείνει προς το xo, αν και μόνο αν οι τιμές της f(x) πλησιάζουν όλο και περισσότερο προς το l, όταν το x πλησιάζει όλο και περισσότερο προς το xo, χωρίς να μπορεί να γίνει ποτέ ίσο με το xo. Συμβολικά γράφουμε: = l. To xo μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού D(f, μπορεί όμως και να μην ανήκει. Αν το x τείνει προς το xo από μικρότερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται αριστερό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Αν το x τείνει προς το xo από μεγαλύτερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται δεξιό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Για να υπάρχει το όριο της f(x) στο σημείο xo, θα πρέπει να υπάρχουν και τα δυο πλευρικά όρια και να είναι ίσα. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ =, c ℝ. = = =, εφ όσον, εφ όσον Παραδείγματα: i) iii) ℝ. =4 = 0. ii) =2 = 1. 2

4 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το θετικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το αρνητικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. Επίσης η μεταβλητή μπορεί να τείνει προς το θετικό ή το αρνητικό άπειρο, αν αυτό επιτρέπεται από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Οπότε, εκτός από τα παραπάνω, μπορούμε να έχουμε και όρια των μορφών:,, Παράδειγμα: = 0,. =+ Επιτρεπτές πράξεις: =+, = 0, όπου ν Ν. =+, αν ν άρτιος, =-, αν ν περιττός. = 0. ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι ιδιότητες των ορίων μας οδηγούν σε απροσδιοριστία. Οι κυριότερες απροσδιόριστες μορφές είναι:,, + -, 0, 0 3

5 ΑΡΣΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ Α) Απροσδιοριστία της μορφής Όταν καταλήξουμε σε απροσδιοριστία μορφής, θα πρέπει με κατάλληλες μετατροπές να αλλάξουμε τη μορφή της συνάρτησης. Παραδείγματα: 1) =. Αν όμως παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή θα έχουμε: = = = 2. 2) = = =. 3) = = = =. B) Απροσδιοριστία της μορφής Εδώ παρουσιάζονται τρεις περιπτώσεις: Ι. Αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι πολυώνυμα ίδιου βαθμού, τότε το όριο είναι το πηλίκο των συντελεστών των μεγιστοβαθμίων όρων( δηλαδή των όρων που έχουν το μεγαλύτερο εκθέτη). Παραδείγματα: 1) = = = =. 4

6 2) = = = = -. ΙI. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το + ( ή το - ). Παραδείγματα: 1) = = = =+. 2) = = =+. ΙII. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το 0. Παραδείγματα: 1) = = = = = = = 0. 2) = = = = = 0. 5

7 Γ) Απροσδιοριστία της μορφής + - Η περίπτωση αυτή μετατρέπεται σε μορφή ή, χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση. Δ) Απροσδιοριστία της μορφής 0 ( ) ή ( ) 0 Οι περιπτώσεις αυτές επίσης μετατρέπονται σε μια από τις μορφές ή. Παράδειγμα: = = = = = = = = = 2 Παρατήρηση: Οι περιπτώσεις απροσδιοριστίας και μπορούν επίσης να αντιμετωπισθούν και με εφαρμογή του Κανόνα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο., όπως θα Πράγματι στις παραπάνω περιπτώσεις, αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής αποτελούν παραγωγίσιμες συναρτήσεις και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Επίσης ισχύει: = και =. 6

8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) R. Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της, ή σε όλο το πεδίο ορισμού της, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος αυτού ή του πεδίου ορισμού της. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το R. 2. Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. 3. Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x για το οποίο ισχύει Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x R. 5. Αν οι συναρτήσεις f (x) και είναι συνεχείς σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού τους, τότε είναι συνεχείς στο xo και οι συναρτήσεις και. ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Η f(x) θα λέγεται, συνεχής από τα δεξιά σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής από τα αριστερά, σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα είναι συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της αν υπάρχουν τα δυο πλευρικά όρια και συμπίπτουν, δηλαδή αν: = = f(xο). 7

9 Παραδείγματα: 1. Η συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής στο σημείο 2. H συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής από τα δεξιά στο σημείο. 3. H συνάρτηση f(x) = 0 είναι συνεχής από τα αριστερά στο σημείο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να βρεθούν τα όρια: α β γ 2. Επίσης τα όρια: α β γ) δ) ε ζ η). Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια, η συνάρτηση: 4. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 5. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 6. Να βρεθεί το α, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση: 8

10 AΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Αν Cf είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f(x), τότε μια ευθεία y = αx+β θα λέγεται ασύμπτωτη ευθεία της Cf, αν η καμπύλη Cf πλησιάζει διαρκώς την ευθεία, χωρίς να τη συναντήσει ποτέ. 1. Αν = + (ή - ), τότε η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο x = xo είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη της f(x). 2. Αν = β, τότε η ευθεία y = β είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη της f(x). 3. Αν β ] = 0 για α 0 (1) τότε η ευθεία με εξίσωση y = αx+β είναι μια πλάγια ασύμπτωτη της f(x). Σε αυτή την περίπτωση, από τη σχέση (1) θα έχουμε: ή - α - ] = 0 ή - α - = 0 ή = α (2) Επίσης από την (1) θα έχουμε: β ] = 0 β] = 0 ή ] = β (3) Άρα ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η ευθεία y = αx+β, α 0, πλάγια ασύμπτωτη της Cf, είναι να ισχύουν ταυτόχρονα οι ισότητες (2) και (3). Οι ισότητες αυτές είναι οι τύποι που μας δίνουν τους συντελεστές της εξίσωσης της ασύμπτωτης ευθείας y = αx+β. Αν το α 0, τότε η ασύμπτωτη είναι πλάγια. Αν το α = 0, τότε η ασύμπτωτη είναι οριζόντια που είναι η ευθεία y = β. Άρα αν η f(x) έχει οριζόντια ασύμπτωτη δεν μπορεί να έχει πλάγια και αντιστρόφως. 9

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 1. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη: α) f(x) = β) g(x) = 2. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων: α) f(x) = β) g(x) = γ) h(x) = δ) r(x) = ε) στ) s(x) = ζ) t(x) = 3. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια και να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης των παρακάτω συναρτήσεων: α) β) g(x) = γ) h(x) = t(x) = 4. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = ; Α) y = 0 Β) y = 1 Γ) y = x + 1 Δ) y = -1 Ε) y = 2 10

12 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση y =f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα α, β R και xo ϵ α, β. Η συνάρτηση f(x) λέγεται παραγωγίσιμη στο xο, όταν ο λόγος μεταβολής έχει πεπερασμένο όριο στο xο, δηλαδή υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Συμβολικά γράφουμε: f (xo) = = x = Αν τώρα πάρουμε όλα εκείνα τα x ϵ α, β για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f(x) και σε κάθε ένα από αυτά αντιστοιχίσουμε την παράγωγο της σ εκείνο το σημείο, τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, που συμβολίζεται με f (x) και λέγεται παράγωγος συνάρτηση της f ή απλά παράγωγος της f. Η νέα συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο εκείνων των x ϵ α, β, για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f. Εξ άλλου, αν θεωρήσουμε ένα hϵ R, τέτοιο ώστε +h) ϵ α, β, τότε ο λόγος μεταβολής της f, μεταξύ και +h, γράφεται και ως συνάρτηση του h:. Και η παράγωγος στο x0 θα είναι: f (xo) =. 2. Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση f έχει παράγωγο ή είναι παραγωγίσιμη) σε ένα σημείο xο, τότε είναι συνεχής σ αυτό το σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν είναι η f(x) συνεχής σ ένα σημείο xο τότε δεν υπάρχει πάντα η παράγωγος της σ αυτό το σημείο. 11

13 . Γεωμετρική σημασία της παραγώγου 4. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Η συνάρτηση παράγωγος της f(x, μπορεί να είναι επίσης παραγωγίσιμη οπότε ορίζεται: - η δεύτερη παράγωγος f (x), - η τρίτη παράγωγος f (x), κ.λπ. Και γενικότερα μπορεί να υπάρχει μια ν-οστή παράγωγος της f(x), f (v) (x), όπου ν N, ν ) 12

14 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων I. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης y = c είναι το μηδέν. Π.χ Αν y = f(x) = τότε f (x) = 0 II. Παράγωγος μονωνύμου : Αν f (x) = x n τότε f (x) = nx n-1 Π.χ Αν f (x) = x 3 τότε f (x) = 3x 2 Αν f (x) = 3x 2 τότε f (x) = x = 6x Αν f (x) = x τότε f (x) = x o III. Παράγωγος ρίζας Αν f (x) =, τότε f (x) = x ϵ ο, Αν f (x) =, τότε f (x) = ν ϵ N. IV. Αν f (x ημx τότε f (x συν χ V. Αν f(x συν x τότε f x) = -ημ x VI. Αν f(x εφ x τότε f x) = = 1+ VII. Αν f(x σφ x τότε f x) = = - (1+ ) VIII. Αν f(x) =, τότε f x) =, όπου = 2,71828 IX. Αν f(x) =, τότε, Από τη γνωστή ισότητα: =, θα έχουμε: ( ) =( (xlna lna ή ο, Παρατήρηση: Εδώ εφαρμόστηκε ο κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης που θα αποδειχθεί παρακάτω: Δηλ. = [f(g(x f g(x g x) X. Αν f(x) = ln x, τότε f x) = x>o. XI., ό, ο, Διότι = τύπος αλλαγής βάσης λογαρίθμων 13

15 Κανόνες παραγώγισης Ι. [α f(x α f x) ΙΙ. [f(x g(x f x g x) ΙΙΙ. [f(x g(x f x g(x) + f(x g x) IV. = και = V. =. Κανόνας της αλυσίδας Εφαρμογές των παραγώγων I. Άρση της απροσδιοριστίας ώ Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες σ ένα σημείο xo με g (xo 0 και f(x) = 0, 0, και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Το θεώρημα ισχύει και για όρια των συναρτήσεων στο ή -. II. Θεώρημα Fermat): Αν μια συνάρτηση f, i) Είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα ii) Παρουσιάζει τοπικό ακρότατο μέγιστο ή ελάχιστο σ ένα σημείο xo ϵ D(f και iii) Είναι παραγωγίσιμη στο xo, τότε ισχύει f (xo )=0 III. Θεώρημα Rolle: Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υποθέτουμε ότι: i) Είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β. ii) Είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β. iii) Ισχύει f(α) = f β, Τότε υπάρχει σημείο xo ϵ α, β, για το οποίο η παράγωγος είναι μηδέν : f (xo ) = 0 14

16 IV. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο xo ϵ α, β τέτοιο ώστε: f (xo) = V. Μονοτονία συνάρτησης: 1) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και για κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος α, β υπάρχει η παράγωγος και είναι θετική, τότε η f είναι αύξουσα στο α, β. 2) Αν η f είναι συνεχής στο α, β, παραγωγίσιμη στο α, β και η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε σημείο του α, β, τότε η f είναι φθίνουσα στο α, β. 3) Αν η παράγωγος f της f μηδενίζεται σε ένα σημείο αλλάζοντας πρόσημα δεξιά και αριστερά του σημείου αυτού, τότε στο σημείο αυτό υπάρχει ακρότατη τιμή, μέγιστο ή ελάχιστο. VI. Η Σημασία της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα μέγιστα ή ελάχιστα. Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υπάρχει η παράγωγος και η δεύτερη παράγωγος σ ένα σημείο xο. Αν όπως προαναφέρθηκε, η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο στο xo, τότε η f έχει ακρότατη τιμή στο xo. Σ αυτή την περίπτωση, το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αποτελεί ένα κριτήριο για το αν η ακρότατη αυτή τιμή είναι μέγιστο ή ελάχιστο (Κριτήριο δεύτερης παραγώγου ). Πιο συγκεκριμένα ισχύει: 1. Αν η f (xo 0 τότε η f έχει ελάχιστο στο xo. 2. Αν η f ( xo 0 τότε η f έχει μέγιστο στο xo. 15

17 Γεωμετρική σημασία της δεύτερης παραγώγου 1. Αν η f (x 0 τότε η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Π.χ 2. Αν η f (x 0, τότε η καμπύλη της f, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Π.χ Σημείο Καμπής Αν η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο σε ένα σημείο xο, τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο καμπής. Π.χ Το xο είναι σημείο καμπής αν f (xo δεξιά του xο. 0 και η f αλλάζει πρόσημο αριστερά και 16

18 Παράδειγμα: Αν f(x) =, τότε f (x) = και f (x) =, f (x) = ή Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μέγιστο στο xο 0, το σημείο 0, 0 0,. Επίσης έχει ελάχιστο στο xo, το σημείο, f ) = (4, -24). Η καμπύλη έχει σημείο καμπής στο σημείο xo, το σημείο, = (2, -8). x f x) f x) f(x) max 8 min -8 Σ. καμπής -24 Ασκήσεις 1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής και να γίνει μελέτη ως προς τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 0 9) 10) 11) 12) 13) 14) 17

19 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν η συνάρτηση είναι της μορφής, λέγεται ρητή ή κλασματική. Τότε το πεδίο ορισμού είναι το R - ύ ώ ή Στις ρητές συναρτήσεις παρουσιάζονται ασύμπτωτες ευθείες. Η μελέτη και η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης, ακολουθεί την ίδια διαδικασία, όπως και στις πολυωνυμικές, αλλά επί πλέον θα πρέπει να προσδιοριστούν και οι ασύμπτωτες ευθείες, κατακόρυφες και οριζόντιες κ πλάγιες, όπως αναφέρεται στη σελίδα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού R 2. Κατακόρυφες ασύμπτωτες: κατακόρυφη ασύμπτωτη Άρα η ευθεία x είναι Οριζόντιες πλάγιες Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη. 0 0 Άρα η ευθεία α β με α 0, β, δηλαδή η ευθεία 0 ή y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη. 18

20 3. Μονοτονία ακρότατα: 0 Η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε x στο πεδίο ορισμού της f, άρα δεν υπάρχουν μέγιστα ή ελάχιστα Άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής Άρα η είναι θετική για. 4. Τομές με άξονες: Για 0,. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, -3). Για 0 έ 0 0 Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στο σημείο,0 5. Πίνακας μεταβολών μονοτονίας Γραφική παράσταση 19

21 II. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης: Λύση: 1. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, βρίσκουμε τις ρίζες του παρανομαστή και τις αποκλείουμε Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι το R, 2. Βρίσκουμε τις τομές της καμπύλης με τους άξονες Για 0, 0. Άρα η καμπύλη τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, Για 0 θα έχουμε 0 0 = = 4 Άρα. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στα σημεία,0 και,0. 20

22 3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, επειδή είναι ρητή. 4. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή ούτε περιοδική 5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα υπάρχουν δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες και είναι οι ευθείες x = -1και x= 5. β Οριζόντιες πλάγιες Αν υπάρχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη, θα είναι της μορφής, όπου α = β β 0 Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη και είναι η ευθεία y = 1 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης 21

23 Ρίζες πρώτης παραγώγου 0 0 Πρόσημο πρώτης παραγώγου Οι παράγοντες και είναι θετικοί και δεν επηρεάζουν το πρόσημο. Άρα μπορούμε να τους διαγράψουμε διαιρώντας με αυτούς και τα δυο μέλη της ανίσωσης. Οπότε η ανίσωση θα γίνει: Άρα: Άρα το είναι ακρότατη τιμή διότι η παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο. Κατόπιν βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο: = = = =. 22

24 Ρίζες δεύτερης παραγώγου Άρα η δεύτερη παράγωγος δεν έχει ρίζες, άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής. Πρόσημο δεύτερης παραγώγου Οι παράγοντες, και είναι μονίμως θετικοί άρα μπορούν να διαγραφούν με διαίρεση και των δυο μελών, χωρίς να επηρεαστεί το πρόσημο της ανίσωσης. Άρα η ανίσωση θα γίνει : 0 ή Συγκεντρώνουμε τα συμπεράσματα μας στον παρακάτω πίνακα μονοτονίας της συνάρτησης και βάσει του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ 23

25 III. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού είναι το R 2. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως ρητή. 3. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή αφού 4. Τομές με άξονες Τέμνει τον άξονα y y για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε 0, άρα τέμνει τον y y στο σημείο 0,. Τέμνει τον άξονα x x για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε: Άρα τέμνει τον x x στα σημεία,0 και,0. 24

26 5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα η ευθεία x 0 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη β Οριζόντιες - πλάγιες Αναζητούμε την, όπου α και α 0. β 0. Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη, και είναι η ευθεία y=1. 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, τις ρίζες της και το πρόσημο της: /

27 Πίνακας μεταβολών 26

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ I. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) ΙΙ. Έστω η συνάρτηση πεδίου ορισμού της στα οποία η. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία του παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση στο x0, ποιο από τα παρακάτω είναι το m; Α -3 Β -2 Γ -1 Δ Ε έχει ένα τοπικό ελάχιστο IV. Έστω η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι έχει δυο σημεία καμπής και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών. V. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με α, βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. VI. Δίνεται η συνάρτηση. Αν γνωρίζετε ότι η παράγωγος της έχει τοπικό ελάχιστο -, βρείτε ποια από τις παρακάτω είναι η θετική τιμή του α ; Α 0 Β Γ Δ Ε VΙI. Δίνονται οι συναρτήσεις: και. Να βρείτε το α ϵ R, ώστε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της βρίσκεται πάνω στην πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της x. να, όταν 27

29 ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η εύρεση του ολοκληρώματος μια συνάρτησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση θα λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της συνάρτησης, αν η παράγωγος της είναι η, δηλαδή αν ισχύει:. Παράδειγμα 1 Η είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα ή μια παράγουσα της συνάρτησης, διότι. Αν η είναι αόριστο ολοκλήρωμα της, τότε και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής, με c ϵ R, είναι επίσης αόριστο ολοκλήρωμα της αφού η παράγωγος σταθερού αριθμού είναι μηδέν και θα ισχύει: 0. Το αόριστο ολοκλήρωμα της συμβολίζεται Έτσι, για το προηγούμενο παράδειγμα θα έχουμε:, c ϵ R. Η σταθερά c μπορεί να προσδιοριστεί αν μας δοθεί κάποια αρχική συνθήκη. Παράδειγμα : Αν μας δοθεί στο προηγούμενο παράδειγμα ότι, τότε θα έχουμε ή. Λύνουμε ως προς c και βρίσκουμε ή. 28

30 Η ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Η συνάρτηση είναι μια γραμμική συνάρτηση, δηλαδή ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Οι παραπάνω δυο ισότητες μπορεί να ισχύουν συγχρόνως: Ι Επίσης η Ι μπορεί να γενικευθεί για n συναρτήσεις, όπου n Ν: Παράδειγμα Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Στην οικονομία η παράγωγος εκφράζει το οριακό κόστος, ενώ το ολοκλήρωμα εκφράζει το συνολικό κόστος. Παράδειγμα Αν το οριακό κόστος παραγωγής ποσότητας Q ενός προϊόντος είναι και αν για την, παραγωγή μιας μερικής μονάδας του προϊόντος το συνολικό κόστος είναι 0, να βρεθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Λύση: Το συνολικό κόστος παραγωγής θα είναι το αόριστο ολοκλήρωμα του οριακού κόστους: Και επειδή C 0 έπεται ότι: 0, άρα 0, άρα 0. Άρα τελικά το συνολικό κόστος θα είναι:. 29

31 ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ διότι 4., όπου, α ϵ R x ϵ,

32 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από τη θεωρία των παραγώγων γνωρίζουμε ότι ό ί ά ώ Αν συμβολίσουμε με και τις πολύ μικρές οριακές τιμές μεταβολής των x και f(x), προκύπτει ο συμβολισμός της παραγώγου του Leibnitz, δηλαδή ότι: ά ϵ ί ί Από την ταύτιση των δυο συμβολισμών που μας δείχνει αυτή η ισότητα δηλαδή από τη σχέση έπεται ότι (1) Η ποσότητα, δηλαδή το γινόμενο λέγεται διαφορικό της. Αν στη σχέση πάρουμε το ολοκλήρωμα και στα δυο μέλη και εφαρμόσουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος, θα έχουμε: Αυτό σημαίνει ότι τα σύμβολα και d αλληλοαναιρούνται με τη σειρά που είναι γραμμένα. Ακόμα ισχύει: Για κάθε c ϵ R, και Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων 1) 2) 3) (3 1)

33 ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή Παραγοντική ολοκλήρωση Αν f(x και g(x είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, από τη σχέση της παραγώγισης γινομένου και τη γνωστή σχέση που συνδέει τους δύο συμβολισμούς της παραγώγου και ορίζει το διαφορικό μιας συνάρτησης, δηλαδή από τη σχέση: θα έχουμε:, Αν πάρουμε το ολοκλήρωμα κατά μέλη, θα έχουμε: ή ή (1) Αυτός ο τύπος είναι ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης και εφαρμόζεται για να αλλάξει η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρωθεί και να γίνει έτσι ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ισχύει όταν οι συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους. Παραδείγματα α Tα παρακάτω ολοκληρώματα έχουν υπολογισθεί με παραγοντική ολοκλήρωση:

34 = β Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: = =. 33

35 Β. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Στη μέθοδο αυτή δεν υπάρχει γενικός κανόνας, απλώς γίνεται αλλαγή μεταβλητής με σκοπό να γίνει πιο απλός ο τύπος της συνάρτησης και έτσι να υπολογισθεί πιο εύκολα το ολοκλήρωμα. Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι θα επιλέξουμε να συμβολίσουμε ένα μέρος του τύπου της συνάρτησης μας με άλλη μεταβλητή και θα εκφράσουμε ολόκληρο τον τύπο συναρτήσει της νέας μεταβλητής. Συγκεκριμένα θέτουμε: (1). Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη της. Από τη γνωστή σχέση ή ή. έπεται: Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα: 34

36 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Θέτουμε. Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη: Αντικαθιστούμε:.. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: Θέτουμε, άρα ή ή Αντικαθιστούμε:. 35

37 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν έχουμε να ολοκληρώσουμε μια ρητή συνάρτηση δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής όπου τα f(x και g(x είναι μη μηδενικά πολυώνυμα, τότε θα πρέπει να προσέξουμε το βαθμό των πολυωνύμων f(x και g(x). Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του παρανομαστή τότε θα πρέπει να γίνει η διαίρεση των πολυωνύμων και να γραφτεί το κλάσμα σύμφωνα με την ισότητα της διαίρεσης, δηλαδή το γνωστό τύπο του Ευκλείδη: Οπότε το κλάσμα, ό 0 ή, 0 θα αναλυθεί σε άθροισμα ενός πολυωνύμου πηλίκο και ενός άλλου κλάσματος στο οποίο ο βαθμός του αριθμητή θα είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή. Κατόπιν ο παρανομαστής θα αναλυθεί σε άθροισμα απλών κλασμάτων, δηλαδή κλασμάτων της μορφής: πραγματικές,τις. όταν ο παρανομαστής είναι τριώνυμο β βαθμού και έχει ρίζες Γενικότερα στο άθροισμα που θα προκύψει, επειδή μπορεί να υπάρχουν και διπλές ρίζες ή ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας λ, σε κάθε πραγματική ρίζα ρ του παρανομαστή, αντιστοιχούν τα κλάσματα,,,, αν η ρίζα έχει πολλαπλότητα λ. Συνήθως ασχολούμαστε με περιπτώσεις όπου λ, ή. Επίσης μπορεί να υπάρχουν στον παρανομαστή παράγοντες της μορφής 0 Σε κάθε τέτοιο παράδειγμα αντιστοιχούν τα κλάσματα:,,, 36

38 Παραδείγματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: και το ολοκλήρωμα θα γίνει: =. Για το εφαρμόζουμε τη μέθοδο αντικατάστασης: Θέτουμε, άρα, άρα και επομένως + c. Επίσης είναι βασικός κανόνας ολοκλήρωσης ότι:. Άρα τελικά θα έχουμε: 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Επειδή ο παρανομαστής έχει διπλή ρίζα η ρητή συνάρτηση θα χωριστεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 37

39 1 x Οπότε το ολοκλήρωμα θα γίνει: 3. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: και επειδή το είναι μόνιμα θετική παράσταση, δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x 2 +1 x Οπότε θα έχουμε: 38

40 ή ή 0 0 Α, Β -, Γ 0. και το ολοκλήρωμα θα είναι: 4. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: =. Και επειδή το έχει αρνητική διακρίνουσα ( <0), δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x Β Γ Β Α Γ 39

41 0 Άρα:. Ασκήσεις Με τον ίδιο τρόπο να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: 1) 2) 3) 5) 6) 7) 40

42 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρούμε μια συνάρτηση, ορισμένη και συνεχή σε ένα κλειστό διάστημα,. Αν πάρουμε μια διαμέριση του διαστήματος, δηλαδή ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων,, του,, για το οποίο ισχύει: και συμβολίσουμε τα μήκη των υποδιαστημάτων που δημιουργούνται μέσα στο, ως διαφορές:,,,, τότε αν τα μήκη αυτά τα θεωρήσουμε ίσα, το κάθε ένα από αυτά θα είναι:,,.. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τις ευθείες,, κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς Δx και ύψους ίσου με την ελάχιστη τιμή της στο αντίστοιχο υποδιάστημα. 41

43 Θέτουμε στο διάστημα,. Όταν το, τότε 0 Τότε το άθροισμα των εμβαδών όλων των παραπάνω ορθογωνίων πλησιάζει, παραμένοντας μικρότερο, το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Γράφουμε: Το σύμβολο του απείρου αθροίσματος μπορεί να αντικατασταθεί από το σύμβολο του ολοκληρώματος και το εμβαδόν αυτό που αποτελεί το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των στοιχειωδών αυτών ορθογωνίων, λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα, και συμβολίζεται Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει μια ορισμένη τιμή σε αντίθεση με το αόριστο ολοκλήρωμα που είναι συνάρτηση. Η τιμή αυτή μπορεί να υπολογισθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton-Leibnitz), το οποίο αναφέρει ότι: Αν είναι το αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της στο διάστημα,, τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της είναι ίσο με Συμβολικά γράφουμε: (1) Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τη σχέση ή παράγουσα της., αφού πρώτα βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα 42

44 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος , όπου Υπολογισμός εμβαδών Όπως αναφέρεται και παραπάνω, το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες και, καθώς και από τον άξονα x x. Αυτό όμως ισχύει όταν 0. Γενικότερα το εμβαδόν αυτό θα είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος: Παραδείγματα = [x Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα x x και τις ευθείες και. Λύση

45 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική στο διάστημα, Άρα:. διότι 0 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα χ χ και τις ευθείες x = -2 και x = 1. Λύση: Θα κάνουμε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x x για 0. 0, δηλαδή όταν 44

46 Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι: = = = [ - x 2-3 ] - [ - x 2-3 ] = = ( )] [ -1-3-( )] = = [ ] [ ] = = - [ = - = + 6 = =. 45

47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: α β γ δ ε στ ζ η 2. Επίσης τα ολοκληρώματα: ( x 1) dx 3 α) 2 x 2x β) 2 4 x dχ γ) δ) 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες, και τον άξονα x x 4. Ομοίως το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες 0, και τον άξονα x x 5. Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη καμπύλη και την ευθεία. 6. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :. 46

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα