Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι τα τμήματα Φυσικής, Χημείας, Πληροφορικής, των τμημάτων του Πολυτεχνείου, κλπ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η Γραμμική Άλγεβρα καλείται να βοηθήσει πολλούς κλάδους επιστημών, ώστε να γίνουν περισσότερο κατανοητοί, και ευκολότερα διαχειρίσιμοι. Οι ανάγκες, όμως, της κάθε επιστήμης δεν είναι ίδιες. Ένας φοιτητής του Πολυτεχνείου ενδιαφέρεται μόνο για το αποτέλεσμα, και τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να το πετύχει. Δεν ενδιαφέρεται σχεδόν ποτέ για το λόγο, για τον οποίο χρησιμοποιεί αυτή τη μεθοδολογία, και όχι κάποια άλλη. Δεν συμβαίνει, όμως, το ίδιο για τους φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος, οι οποίοι, χωρίς να παραβλέπουν το υπολογιστικό μέρος των προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζουν τι κρύβεται πίσω από τις διάφορες μεθοδολογίες. Επιπλέον, η Γραμμική Άλγεβρα, που αφορά ένα τμήμα Μαθηματικών, πρέπει να αποτελεί ταυτόχρονα και μια εισαγωγή σε αυτό που ονομάζουμε μαθηματική αφαίρεση, με στόχο να βοηθήσει τους φοιτητές να εξοικειωθούν με τη μαθηματική σκέψη. Ο στόχος αυτός επιτυγχάνεται με τη λογική επιχειρηματολογία, και τη θεωρητική ανάπτυξη απλών, και μερικές φορές, γνωστών εννοιών, προσιτών σε όλους τους φοιτητές. Το βιβλίο αυτό περιέχει τη διδακτέα ύλη που αντιστοιχεί στο υποχρεωτικό εξαμηνιαίο μάθημα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ, που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, και αποτελεί συνέχεια του βιβλίου «Γραμμική Άλγεβρα Ι». Το βιβλίο «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο αναπτύσσεται η μεθοδολογία επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Στο δεύτερο συνεχίζεται η μελέτη των γραμμικών συναρτήσεων, και των πινάκων. Ο στόχος εδώ είναι

4 4 Πρόλογος να πάρουμε, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, απλούστερες μορφές συγκεκριμένων πινάκων. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια του μέτρου ενός διανύσματος, με αποτέλεσμα ο διανυσματικός χώρος να μοιάζει με τον γεωμετρικό διανυσματικό χώρο. Οι ομοιότητες με τη Γεωμετρία είναι πολλές, όμως η αντιμετώπιση των διανυσματικών χώρων εξακολουθεί να είναι αλγεβρική. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε την έννοια της τετραγωνικής μορφής. Επίσης, με εφαρμογή της έννοιας αυτής, αναπτύσσεται η μεθοδολογία αναγνώρισης καμπύλων, και επιφανειών δευτέρου βαθμού. Η θεωρία εμπλουτίζεται με πολλά παραδείγματα, τα οποία αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας. Σχεδόν κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, πολλές από τις οποίες είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας, ενώ άλλες την επεκτείνουν. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, οι οποίες στηρίζονται σε όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στη θεωρία. Για κάθε μια από αυτές δίνεται αναλυτική υπόδειξη. Θεσσαλονίκη Δεκέμβριος 2003 Ευάγγελος Ψωμόπουλος

5 Περιεχόμενα Πρόλογος 3 1 Γραμμικά Συστήματα m εξισώσεις με n αγνώστους Ασκήσεις Τεχνικές επίλυσης συστήματος Ασκήσεις Εφαρμογές γραμμικών συστημάτων Χαρακτηριστικά στοιχεία πίνακα Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Τριγωνοποίηση ενδομορφισμού Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα Ασκήσεις Εφαρμογές διαγωνιοποίησης Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο και μέτρο διανυσμάτων Ασκήσεις Ισομετρίες Ασκήσεις Ορθογώνιοι υποχώροι, προσαρτημένος ενδομορφισμός Ασκήσεις Κανονικοί και αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί

6 6 Περιεχόμενα 3.8 Ασκήσεις Ευκλείδειοι και Ερμιτιανοί χώροι Ασκήσεις Διγραμμικές και τετραγωνικές μορφές Διγραμμικές μορφές Τετραγωνικέςμορφές Ασκήσεις Κανονικές μορφές Jordan Ελάχιστο πολυώνυμο Ασκήσεις Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα και ιδιοχώροι Ασκήσεις Γενικές Ασκήσεις 261 Βιβλιογραφία 349 Ευρετήριο 351

7 Κεφάλαιο 1 Γραμμικά Συστήματα Τα γραμμικά συστήματα εμφανίζονται σχεδόν σε όλες τις θετικές επιστήμες, και ίσως όχι μόνον σε αυτές. Τα βλέπουμε σχεδόν πάντοτε σε περιπτώσεις πειραμάτων, όπου κανείς είναι αναγκασμένος να θεωρήσει πολλές παραμέτρους, και να κάνει διάφορες μετρήσεις. Όπως και στην περίπτωση της «Γραμμικής Άλγεβρας Ι», το σώμα K θα είναι πάντοτε είτε το σώμα R των πραγματικών, είτε το σώμα C των μιγαδικών αριθμών. 1.1 m εξισώσεις με n αγνώστους Ένα γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους, και συντελεστές από ένα σώμα K, έχει τη μορφή a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (1.1) όπου οι συντελεστές a ij των αγνώστων x 1, x 2,, x n, όπως επίσης και οι σταθεροί όροι b i των εξισώσεων είναι όλα στοιχεία του σώματος K. Στο σύστημα αυτό μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το ομογενές σύστημα a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0

8 8 Γραμμικά Συστήματα το οποίο προκύπτει από το προηγούμενο, αν όλοι οι σταθεροί όροι αντικατασταθούν με μηδέν. Το πρόβλημα της επίλυσης του συστήματος (1.1) είναι η εύρεση συγκεκριμένων τιμών των αγνώστων x 1, x 2,, x n, έτσι ώστε όλες οι εξισώσεις του συστήματος να ικανοποιούνται ταυτόχρονα. Όπως θα δούμε σύντομα, δεν είναι βέβαιο ότι το σύστημα αυτό έχει πάντοτε λύση. Ακόμη και στην περίπτωση που υπάρχει μια λύση, δεν είναι βέβαιο ότι η λύση αυτή είναι μοναδική. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει πρώτα να εξετάσουμε αν υπάρχει λύση του συστήματος αυτού, και στη συνέχεια να βρούμε τη λύση εφόσον υπάρχει. Είναι προφανές ότι οι συντελεστές a ij του συστήματος σχηματίζουν ένα m n πίνακα A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn που είναι γνωστός σαν πίνακας του συστήματος. Επίσης, οι σταθεροί όροι του συστήματος σχηματίζουν ένα m 1 πίνακα B = που είναι γνωστός σαν πίνακας των σταθερών. Έτσι, αν συμβολίσουμε τους αγνώστους σαν ένα n 1 πίνακα X = b 1 b 2. b m x 1 x 2. x n τότε το σύστημα (1.1) θα πάρει μια πολύ πιο σύντομη μορφή A X = B την οποία θα χρησιμοποιούμε συχνά, όταν αναφερόμαστε στο σύστημα (1.1). Η μορφή αυτή έχει ένα ακόμη πλεονέκτημα, διότι μετατρέπει το σύστημα αυτό σε μια εξίσωση πινάκων. Οι πίνακες θα μας οδηγήσουν στα πρώτα συμπεράσματα που αφορούν τα συστήματα. Πριν προχωρήσουμε, αξίζει να παρατηρήσουμε ότι, αν ο πίνακας

9 1.1 m εξισώσεις με n αγνώστους 9 A είναι αντιστρέψιμος, τότε η λύση του συστήματος βρίσκεται με ένα απλό πολλαπλασιασμό. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το σύστημα x 1 x 2 + x 3 = 2 3x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + x 3 = 1 Φυσικά το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί στη μορφή A X = B, όπου x 1 A = 3 2 1, B = 3, X = x Επειδή det(a) = 1, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, και ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας A 1 = Επομένως η λύση του συστήματος θα είναι x 1 x 2 x 3 = X = A 1 B = δηλαδή x 1 = 3, x 2 = 17, και x 3 = x 3 = Είναι γνωστό ότι κάθε πίνακας παριστά μια γραμμική συνάρτηση και αντίστροφα. Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο πίνακας A του συστήματος παριστά τη γραμμική συνάρτηση f A : K n K m, ως προς τις συνήθεις βάσεις των χώρων αυτών. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας στήλη X είναι το διάνυσμα x = (x 1, x 2,, x n ) του διανυσματικού χώρου K n, ενώ ο πίνακας B είναι το διάνυσμα b = (b 1, b 2,, b m ) του χώρου K m. Βλέπουμε λοιπόν ότι η επίλυση του συστήματος A X = B, ανάγεται στην εύρεση ενός διανύσματος x έτσι ώστε να ισχύει η σχέση f A (x) = b. Είναι προφανές ότι, αν το διάνυσμα b δεν ανήκει στην εικόνα f A (K n ) της συνάρτησης f A, τότε δεν υπάρχει διάνυσμα x, το οποίο να ικανοποιεί τη σχέση f A (x) = b. Άρα δεν υπάρχει λύση του συστήματος A X = B

10 10 Γραμμικά Συστήματα Αν το διάνυσμα b ανήκει στην εικόνα f A (K n ) της συνάρτησης f A, τότε ασφαλώς υπάρχει διάνυσμα x, το οποίο να ικανοποιεί τη σχέση f A (x) = b. Άρα υπάρχει λύση του συστήματος A X = B. Η λύση αυτή μπορεί να μην είναι μοναδική, διότι η συνάρτηση f A μπορεί να μην είναι αμφιμονότιμη. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος A X = B προκύπτει από τον πίνακα A, αν προσθέσουμε στο τέλος τον πίνακα στήλη B, και συμβολίζεται με (A B). Δηλαδή θα έχουμε (A B) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m Στο εξής κάθε φορά που θα αναφερόμαστε στο σύστημα A X = B, δηλαδή στο σύστημα (1.1), θα θεωρούμε ότι το σύστημα αυτό συνοδεύεται από τον πίνακα του συστήματος A, τον πίνακα των σταθερών όρων B, τον επαυξημένο πίνακα (A B), καθώς επίσης από τη συνάρτηση f A : K n K m, με πίνακα A ως προς τις συνήθεις βάσεις των χώρων αυτών, και τέλος από το διάνυσμα b = (b 1, b 2,, b m ), με συντεταγμένες τους σταθερούς όρους του συστήματος αυτού. Στο σημείο αυτό μπορούμε να έχουμε το πρώτο αποτέλεσμα, αν και με όσα είπαμε προηγουμένως, το αποτέλεσμα αυτό είναι σχεδόν αναμενόμενο. Θ ε ώ ρ η μ α Οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i). Το σύστημα A X = B έχει λύση. (ii). Το διάνυσμα b ανήκει στην εικόνα f A (K n ) της συνάρτησης f A. (iii). Το διάνυσμα b ανήκει στο χώρο στηλών του πίνακα A. (iv). Ισχύει η σχέση rank(a) = rank(a B). Α π ό δ ε ι ξ η. (i) (ii). Αν το σύστημα A X = B έχει λύση τις τιμές x 1, x 2,..., x n, τότε το διάνυσμα x = (x 1, x 2,..., x n ) του χώρου K n ικανοποιεί τη σχέση f A (x) = b. Επομένως το διάνυσμα b ανήκει στην εικόνα της συνάρτησης f A. (ii) (iii). Έστω e 1, e 2,, e n και ε 1, ε 2,, ε m οι συνήθεις βάσεις των χώρων K n και K m, αντίστοιχα. Αν το διάνυσμα b ανήκει στην εικόνα f A (K n ) της γραμμικής συνάρτησης f A, τότε θα υπάρχει κάποιο διάνυσμα x = (x 1, x 2,, x n ) K n,

11 1.1 m εξισώσεις με n αγνώστους 11 τέτοιο ώστε να ισχύει f A (x) = b. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε b = f A (x) = f A (x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = = x 1 f A (e 1 ) + x 2 f A (e 2 ) + + x n f A (e n ). Είναι γνωστό ότι τα διανύσματα f A (e 1 ), f A (e 2 ),, f A (e n ) είναι ουσιαστικά οι στήλες του πίνακα A, άρα η τελευταία ισότητα δείχνει ότι το διάνυσμα b είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A. Δηλαδή, το διάνυσμα b ανήκει στο χώρο στηλών του πίνακα A. (iii) (iv). Αν το διάνυσμα b ανήκει στο χώρο στηλών του πίνακα A, τότε η στήλη B του πίνακα (A B) είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A. Αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει χώρος στηλών του πίνακα A = χώρος στηλών του πίνακα (A B). Η τελευταία αυτή ισότητα ουσιαστικά δείχνει ότι rank(a) = rank(a B). (iv) (i). Υποθέτουμε, τώρα, ότι ισχύει rank(a) = rank(a B). Αυτό σημαίνει ότι η στήλη B του πίνακα (A B) είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A, διότι διαφορετικά οι πίνακες A και (A B) δεν θα είχαν την ίδια βαθμίδα. Δηλαδή, υπάρχουν στοιχεία µ 1, µ 2,, µ n του σώματος K τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση b 1 b 2. b m = µ 1 a 11 a 21. a m1 + µ 2 a 12 a 22. a m2 + + µ n Είναι προφανές ότι η τελευταία σχέση οδηγεί στην ισότητα b 1 a 11 a 12 a 1n b 2. = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b m µ 1 µ 2. µ n, a 1n a 2n. a mn δηλαδή το σύστημα A X = B έχει σαν λύση τα στοιχεία µ 1, µ 2,, µ n. Το σημαντικότερο στοιχείο του προηγουμένου θεωρήματος είναι ότι συνδέει την ύπαρξη λύσης του συστήματος με τη βαθμίδα των πινάκων A και (A B). Πιο συγκεκριμένα Το σύστημα A X = B έχει λύση rank(a) = rank(a B)..

12 12 Γραμμικά Συστήματα Είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα αυτό μας επιτρέπει να εξετάσουμε αν ένα σύστημα έχει λύση ή όχι. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το σύστημα x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 του οποίου ο πίνακας A και ο επαυξημένος πίνακας (A B) είναι A = 1 1 1, και (A B) = Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στους πίνακες αυτούς μπορούμε να βρούμε ότι rank(a) = 2, και rank(a B) = 3. Άρα το σύστημα αυτό δεν έχει λύση. Το επόμενο θεώρημα διερευνά την περίπτωση του ομογενούς συστήματος. Θ ε ώ ρ η μ α Έστω A X = 0 ένα ομογενές σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους, και συντελεστές από το σώμα K. Το σύνολο S 0 όλων των λύσεων του συστήματος A X = 0, αποτελεί ένα διανυσματικό υποχώρο του K n διάστασης n rank(a). Επομένως, αν ισχύει n > m, τότε το ομογενές σύστημα A X = 0 έχει μη μηδενικές λύσεις. Α π ό δ ε ι ξ η. Το σύνολο των λύσεων του συστήματος A X = 0 είναι S 0 = {X/A X = 0} = {x/f A (x) = 0} = Kerf A Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο S 0 αποτελεί υποχώρο του K n, εφόσον είναι ο πυρήνας της συνάρτησης f A : K n K m. Οπότε από την εξίσωση διάστασης προκύπτει dim S 0 = dim Ker f A = n dim f A (K n ) = n rank(a). Επειδή η βαθμίδα του A δεν μπορεί να ξεπεράσει τον αριθμό m, όταν ισχύει n > m, τότε η διάσταση του S 0 είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή το σύστημα A X = 0 έχει μη μηδενικές λύσεις.

13 1.1 m εξισώσεις με n αγνώστους 13 Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, αν γνωρίζουμε μια βάση του χώρου S 0, τότε μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε στοιχείο του χώρου, δηλαδή οποιαδήποτε λύση του ομογενούς συστήματος. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το ομογενές σύστημα x 1 + 2x 2 x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 + 2x 3 = 0 με συντελεστές από το σώμα R. Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στον πίνακα A = του συστήματος βρίσκουμε Επομένως η βαθμίδα του πίνακα A είναι rank(a) = 2, οπότε η διάσταση του χώρου S 0 των λύσεων του συστήματος είναι dim S 0 = 3 2 = 1. Αυτό σημαίνει ότι μια βάση του χώρου αυτού είναι ένα οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο του, δηλαδή μια οποιαδήποτε μη μηδενική λύση του συστήματος. Μια τέτοια λύση μπορεί να βρεθεί είτε από το αρχικό σύστημα, είτε από το ισοδύναμο με αυτό σύστημα x 1 + 2x 2 x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 το οποίο προκύπτει από τις στοιχειώδεις πράξεις. Εύκολα βρίσκουμε ότι μια μη μηδενική λύση είναι x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1. Άρα ο χώρος των λύσεων του συστήματος θα είναι S 0 = {( 1, 1, 1)t/t R}.

14 14 Γραμμικά Συστήματα Δηλαδή όλες οι λύσεις του δοθέντος συστήματος θα είναι x 1 = t, x 2 = t, x 3 = t, για κάθε t R. Στην πραγματικότητα, θεωρήσαμε τον άγνωστο x 3 σαν παράμετρο, την οποία ονομάσαμε t, και υπολογίσαμε τους δύο άλλους αγνώστους με τη βοήθεια της παραμέτρου αυτής. Το επόμενο θεώρημα αναφέρεται στην επίλυση του μη ομογενούς συστήματος A X = B. Θ ε ώ ρ η μ α Έστω S το σύνολο όλων των λύσεων του συστήματος A X = B, και S 0 το σύνολο των λύσεων του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος. Αν s είναι μια οποιαδήποτε λύση του συστήματος A X = B, τότε ισχύει S = {s} + S 0 = {s + ξ/ξ S 0 }. Α π ό δ ε ι ξ η. Αρχικά θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι, σε αντίθεση με το σύνολο S 0, το σύνολο S δεν μπορεί να είναι διανυσματικός χώρος, εφόσον δεν μπορεί να περιέχει τη μηδενική λύση. Αν u S, δηλαδή αν u είναι μια λύση του συστήματος A X = B, τότε θα έχουμε A u = B, οπότε προκύπτει A (u s) = A u A s = B B = 0. Επομένως θα έχουμε u s S 0, δηλαδή υπάρχει κάποιο στοιχείο ξ S 0 τέτοιο, ώστε να ισχύει u s = ξ. Αυτό σημαίνει ότι u = s + ξ, γεγονός που αποδεικνύει τη σχέση S {s + ξ/ξ S 0 }. Αντίστροφα, έστω ότι w {s + ξ/ξ S 0 }, δηλαδή w = s + ζ, για κάποιο στοιχείο ζ S 0 Τότε θα έχουμε A w = A (s + ζ) = A s + A ζ = B + 0 = B. Άρα προκύπτει ότι w S, δηλαδή έχουμε και τη σχέση {s+ξ/ξ S 0 } S, γεγονός που αποδεικνύει την ισότητα που θέλουμε. Η σημασία του θεωρήματος αυτού προκύπτει από την ισότητα S = {s} + S 0 = {s + ξ/ξ S 0 }.

15 1.1 m εξισώσεις με n αγνώστους 15 η οποία δείχνει ότι η γενική λύση ενός γραμμικού συστήματος A X = B, m εξισώσεων με n αγνώστους, είναι το άθροισμα της γενικής λύσης του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος A X = 0, και μιας οποιασδήποτε λύσης του συστήματος A X = B. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το μη ομογενές σύστημα x 1 + 4x 2 x 3 + x 4 = 3 2x 1 + 8x 2 + x 3 4x 4 = 9 x 1 4x 2 2x 3 + 5x 4 = 6 Εκτελούμε στοιχειώδεις πράξεις στις γραμμές του επαυξημένου πίνακα του συστήματος αυτού Αρχικά παρατηρούμε ότι η βαθμίδα του πίνακα A, και του επαυξημένου πίνακα (A B) του συστήματος είναι 2, επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα 1.1.2(iv) το σύστημα που δόθηκε έχει λύση. Επίσης, επειδή rank(a) = 2 η διάσταση του χώρου των λύσεων του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος θα είναι dim S 0 = 4 2 = 2. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δύο ανεξάρτητες λύσεις του ομογενούς συστήματος, οι οποίες θα αποτελέσουν τη βάση του χώρου S 0. Από τις στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει ότι το σύστημα x 1 + 4x 2 x 3 + x 4 = 0 x 3 2x 4 = 0 είναι ισοδύναμο με το αντίστοιχο ομογενές του δοθέντος συστήματος. Από τις δύο αυτές εξισώσεις έχουμε x 3 + x 4 = x 1 + 4x 2 x 3 2x 4 = 0 οπότε δύο ανεξάρτητες λύσεις του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος θα είναι x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 1 x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 8, x 4 = 4

16 16 Γραμμικά Συστήματα Επομένως ο χώρος των λύσεων του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος είναι S 0 = {(1, 0, 2, 1)k + (0, 1, 8, 4)λ/k, λ R}. Τώρα πρέπει να βρούμε μια λύση του αρχικού συστήματος. Από τις παραπάνω στοιχειώδεις πράξεις προκύπτει ότι το σύστημα x 1 + 4x 2 x 3 + x 4 = 3 x 3 2x 4 = 1 είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. Από τις εξισώσεις αυτές θα έχουμε x 3 = 7 8x 2 2x 1 και x 4 = 4 + 4x 2 x 1. Άρα μια λύση του δοθέντος συστήματος θα είναι x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 7, και x 4 = 4. Επομένως, η γενική λύση του συστήματος θα είναι S = {(0, 0, 7, 4)} + S 0 = = {(0, 0, 7, 4) + (1, 0, 2, 1)k + (0, 1, 8, 4)λ/k, λ R} Πιο συγκεκριμένα η γενική λύση είναι x 1 = k, x 2 = λ, x 3 = 7 + 2k 8λ, και x 4 = 4 + k 4λ. Στο προηγούμενο παράδειγμα είδαμε ότι είναι δυνατόν να βρεθεί η γενική λύση ενός συστήματος με τα υπάρχοντα θεωρήματα. Συνήθως, όμως, χρησιμοποιούνται διάφορες άλλες τεχνικές, οι οποίες είναι περισσότερο σύντομες, και αποτελεσματικές. Αν και βασίζονται στις στοιχειώδεις πράξεις, τις οποίες ήδη χρησιμοποιήσαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, οι τεχνικές αυτές θα αναπτυχθούν στην επόμενη παράγραφο. 1.2 Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Απαντήστε με σωστό ή λάθος στις παρακάτω προτάσεις. (i) Κάθε σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει τουλάχιστον μια λύση.

17 1.2 Ασκήσεις 17 (ii) Κάθε σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει το πολύ μια λύση. (iii) Κάθε σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους έχει τουλάχιστον μια λύση. (iv) Κάθε σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους έχει το πολύ μια λύση. (v) Κάθε ομογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει τουλάχιστον μια λύση. (vi) Κάθε ομογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει το πολύ μια λύση. (vii) Αν το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ενός γραμμικού συστήματος έχει μια λύση, τότε το αρχικό σύστημα έχει μια λύση. (viii) Αν ο πίνακας ενός ομογενούς συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους είναι αντιστρέψιμος, τότε το σύστημα έχει μια μη μηδενική λύση. (ix) Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος m εξισώσεων με n αγνώστους είναι υποχώρος του K n. Ά σ κ η σ η Αποδείξτε ή δώστε αντιπαράδειγμα στην παρακάτω πρόταση. Αν ο πίνακας A ενός γραμμικού συστήματος A X = B, m εξισώσεων με n αγνώστους, έχει βαθμίδα m, τότε το σύστημα έχει μια τουλάχιστον λύση. Υπόδειξη: Η συνάρτηση f A : K n K m είναι μια συνάρτηση επί. Ά σ κ η σ η Έστω A X = B ένα γραμμικό σύστημα, n εξισώσεων με n αγνώστους. Δείξτε ότι το σύστημα αυτό έχει ακριβώς μια λύση αν και μόνον αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Υπόδειξη: Αν w είναι η μοναδική λύση του συστήματος, τότε θα ισχύει {w} = {w} + S 0. Επομένως S 0 = 0, οπότε ο ενδομορφισμός f A θα είναι επιμορφισμός. Ά σ κ η σ η Να προσδιοριστεί η διάσταση και μια βάση του χώρου των λύσεων των συστημάτων. (a) { x 1 + x 2 x 3 = 0 4x 1 + x 2 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 x 3 = 0 και (b) x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 2 2x 3 = 0

18 18 Γραμμικά Συστήματα Ά σ κ η σ η Αν f : R 3 R 2 είναι η γραμμική συνάρτηση που ορίζεται με τη σχέση f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 3 ), να προσδιοριστεί επακριβώς το σύνολο A = f 1 (1, 11). Ά σ κ η σ η Αν f : R 3 R 3 είναι ο ενδομορφισμός που ορίζεται με τη σχέση f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 2x 3, x 1 + 2x 3 ) να προσδιοριστούν τα δύο παρακάτω σύνολα f 1 (1, 3, 2), και f 1 (2, 1, 1). Ά σ κ η σ η Να προσδιοριστεί η διάσταση και μια βάση του χώρου των λύσεων των συστημάτων. { x 1 2x 2 = 0 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 (a) και (b) 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 4x 3 = Τεχνικές επίλυσης συστήματος Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την εύρεση της λύσης του γραμμικού συστήματος A X = B, m εξισώσεων με n αγνώστους, επομένως σχεδόν πάντα θα θεωρούμε ότι το σύστημα έχει λύση, δηλαδή ικανοποιείται η σχέση rank(a) = rank(a B). Η απλούστερη περίπτωση είναι το σύστημα Cramer, δηλαδή το σύστημα A X = B, n εξισώσεων με n αγνώστους, όπου ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Όπως είδαμε, η λύση ενός τέτοιου συστήματος δίνεται από τη σχέση X = A 1 B. Αν θυμηθούμε ότι ο αντίστροφος ενός πίνακα δίνεται από την ισότητα A 1 = adj(a) det(a), τότε η προηγούμενη σχέση θα πάρει τη μορφή det(a) X = adj(a) B.

19 1.4 Ασκήσεις 27 Τέλος, αν ισχύει a = 2, τότε από τη σχέση (1.2) θα έχουμε επομένως το σύστημα δεν έχει λύση, διότι ο επαυξημένος πίνακας έχει μεγαλύτερη βαθμίδα από τον πίνακα του συστήματος. 1.4 Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος x y + 2z w = 1 2x + y 2z 2w = 2 x + 2y 4z + w = 1 3x 3w = 3 Ά σ κ η σ η Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος 3x + 2y z = 15 5x + 3y + 2z = 0 3x + y + 3z = 11 11x + 7y = 30 Ά σ κ η σ η Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω συστημάτων (α) x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 1 (β) x 1 4x 2 x 3 + x 4 = 3 2x 1 8x 2 + x 3 4x 4 = 9 x 1 + 4x 2 2x 3 + 5x 4 = 6 Ά σ κ η σ η Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των συστημάτων 2x 1 2x 2 x 3 + 6x 4 2x 5 = 1 (α) x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 x 5 = 2 4x 1 4x 2 + 5x 3 + 7x 4 x 5 = 6

20 28 Γραμμικά Συστήματα (β) 3x 1 x 2 + 2x 3 + 4x 4 + x 5 = 2 x 1 x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 1 2x 1 3x 2 + 6x 3 + 9x 4 + 4x 5 = 5 7x 1 2x 2 + 4x 3 + 8x 4 + x 5 = 6 Ά σ κ η σ η Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, οι λύσεις των συστημάτων x 1 + 2x 2 2x 3 + x 4 x 5 = 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 + 2x 5 = 1 (α) 3x 1 + 5x 2 x 3 + x 5 = 1 x 1 + x 2 + 3x 3 2x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 3x 2 + 6x 3 + 2x 4 5x 5 = 3 (β) x 2 4x 3 + x 4 = 1 x 4 3x 5 = 2 Ά σ κ η σ η Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα, όταν οι παράμετροι α και β διατρέχουν το σώμα R των πραγματικών αριθμών. ax 1 + x 2 + x 3 = 1 ax 1 + x 2 + x 3 = 4 (α) x 1 + ax 2 + x 3 = a (β) x 1 + bx 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 + ax 3 = a 2 x 1 + 2bx 2 + x 3 = 4 Ά σ κ η σ η Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα, όταν οι παράμετροι a και b διατρέχουν το σώμα R των πραγματικών αριθμών. (a + 3)x 1 + x 2 + 2x 3 = a (α) ax 1 + (a 1)x 2 + x 3 = 2a 3(a + 1)x 1 + ax 2 + (a + 3)x 3 = 3 (α) (β) ax 1 + bx 2 + 2x 3 = 1 ax 1 + (2b 1)x 2 + 3x 3 = 1 ax 1 + bx 2 + (b + 3)x 3 = 2b 1 Ά σ κ η σ η Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα, όταν οι παράμετροι a, b, c, k, λ και µ διατρέχουν το σώμα R των πραγματικών αριθμών. γx 2 bx 3 = k γx 1 + ax 3 = λ bx 1 ax 2 = µ (β) 2x 1 + x 2 x 3 = a x 1 + kx 2 + x 3 = b 3x 1 + x 2 kx 3 = c

21 Κεφάλαιο 5 Κανονικές μορφές Jordan Όπως είδαμε ένας ενδομορφισμός ενός n-διάστατου K-διανυσματικού χώρου ή ένας n n πίνακας δεν μπορεί να διαγωνιοποιηθεί πάντοτε, ενώ μπορεί να τριγωνοποιηθεί μόνον όταν όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ανήκουν στο σώμα K. Ασφαλώς η απλότητα της διαγώνιας μορφής ενός πίνακα είναι πάντοτε επιθυμητή, όμως αυτό επιτυγχάνεται μόνον όταν όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ανήκουν στο σώμα K, και επιπλέον η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής ταυτίζεται με τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με ενδομορφισμούς (ή πίνακες), για τους οποίους το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει όλες τις ρίζες στο σώμα K, όμως δεν διαγωνιοποιείται. Αυτό σημαίνει ότι η πολλαπλότητα κάποιας ιδιοτιμής δεν είναι ίση με τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου. Έτσι, προκύπτει η ανάγκη διαχωρισμού των δύο αυτών αριθμών, της πολλαπλότητας μιας ιδιοτιμής, και της διάστασης του ιδιοχώρου της ιδιοτιμής. Η πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής λ, δηλαδή το πόσες φορές είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, λέγεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ, ενώ η διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου λέγεται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ. Είδαμε ότι ισχύει η σχέση 1 dim E (λ) πολλαπλότητα λ, δηλαδή 1 γεωμετρική πολλαπλότητα λ αλγεβρική πολλαπλότητα λ. Ο στόχος είναι να αναπτύξουμε μια μέθοδο με την οποία, ένας μη διαγωνιοποιή-

22 214 Κανονικές μορφές Jordan σιμος πίνακας A, θα μπορεί να παρασταθεί στη μορφή A = J J J k, όπου J t είναι ένας τετραγωνικός 1 1 πίνακας της μορφής (λ t ), ή της μορφής J t = λ t λ t , λ t λ t όπου λ t είναι κάποια ιδιοτιμή του πίνακα A. Τέτοιοι πίνακες, όπως ο J t, λέγονται μπλοκ Jordan (Jordan block) που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ t του πίνακα A. Ο πίνακας A, που λέγεται κανονική μορφή Jordan του A, όπως φαίνεται, είναι σχεδόν διαγώνιος, και σίγουρα άνω τριγωνικός. Για παράδειγμα, ο πίνακας A = είναι η κανονική μορφή Jordan κάποιου 8 8 πίνακα. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο είναι (x 1) 3 (x 2) (x 3) 2 (x 4) 2, οπότε η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής δείχνει πόσες φορές θα εμφανιστεί η αντίστοιχη ιδιοτιμή πάνω στην κύρια διαγώνιο της κανονικής μορφής Jordan, όπως ακριβώς και στην περίπτωση της διαγωνιοποίησης.

23 5.1 Ελάχιστο πολυώνυμο Ελάχιστο πολυώνυμο Το Θεώρημα Cayley-Hamilton δείχνει ότι, για κάθε τετραγωνικό πίνακα A, υπάρχουν πολυώνυμα p(x) για τα οποία ισχύει p(a) = 0. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο F = {p (x) K [x] /p (A) = 0}, όλων των πολυωνύμων που μηδενίζονται από τον πίνακα A είναι μη κενό, οπότε και το σύνολο M = {n N/n = deg p (x), p (x) F}, των βαθμών των πολυωνύμων που μηδενίζονται από τον πίνακα A είναι επίσης μη κενό. Επειδή το M είναι ένα μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών, θα έχει ελάχιστο στοιχείο, δηλαδή υπάρχει ένα πολυώνυμο ελαχίστου βαθμού, το οποίο μηδενίζεται από τον πίνακα A. Το πολυώνυμο αυτό μπορεί να θεωρηθεί κανονικό, δηλαδή μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο συντελεστής της μεγαλύτερης δύναμης είναι 1. Πράγματι, αν ισχύει f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 και f (A) = 0, τότε θα ισχύει επίσης f 0 (x) = x n + a n 1 a n x n a 1 a n x + a 0 a n, και f 0 (A) = 0. Οπότε το πολυώνυμο f 0 (x) έχει τον ίδιο βαθμό με το f (x), είναι κανονικό, και μηδενίζεται από τον πίνακα A. Ο ρ ι σ μ ό ς Ελάχιστο πολυώνυμο ενός n n πίνακα A με στοιχεία από το σώμα K είναι το ελαχίστου βαθμού κανονικό πολυώνυμο m A (x), που ικανοποιεί τη σχέση m A (A) = 0. Φυσικά, ανάλογος ορισμός ισχύει και για τους ενδομορφισμούς, αρκεί να αντικαταστήσουμε τον πίνακα A με τον πίνακα του ενδομορφισμού. Ας δούμε κάποιες ιδιότητες του ελαχίστου πολυωνύμου ενός τετραγωνικού πίνακα.

24 216 Κανονικές μορφές Jordan Θ ε ώ ρ η μ α Το ελάχιστο πολυώνυμο m A (x) ενός τετραγωνικού πίνακα A M n (K) διαιρεί κάθε πολυώνυμο f (x) K [x] που ικανοποιεί τη σχέση f (A) = 0. Επομένως, το ελάχιστο πολυώνυμο διαιρεί και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο X A (x) του πίνακα A. Α π ό δ ε ι ξ η. Από την Ευκλείδια διαίρεση θα έχουμε f (x) = m A (x) h (x) + υ (x), όπου 0 deg υ (x) < deg m A (x). Θέλουμε να δείξουμε ότι υ (x) = 0, οπότε θα ισχύει m A (x) f (x). Έστω ότι ισχύει υ (x) 0, οπότε το υ (x) είναι ένα θετικού βαθμού πολυώνυμο, το οποίο ικανοποιεί τη σχέση υ (A) = f (A) m A (A) h (A) = 0, που έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του ελαχίστου πολυωνύμου, εφόσον Επομένως θα έχουμε υ (x) = 0. deg υ (x) < deg m A (x). Θ ε ώ ρ η μ α Το ελάχιστο πολυώνυμο m A (x) ενός τετραγωνικού πίνακα A M n (K) είναι μοναδικό. Α π ό δ ε ι ξ η. Έστω m A (x) και m A (x) ελαχίστου βαθμού κανονικά πολυώνυμα που ικανοποιούν τις σχέσεις m A (A) = 0 και m A (A) = 0. Τότε από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει m A (x) m A (x), αν το m A (x) θεωρηθεί ως το ελάχιστο πολυώνυμο του A, και m A (x) m A (x), αν το m A (x) θεωρηθεί σαν το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A. Άρα προκύπτει m A (x) m A (x) deg m A (x) deg m A (x), και m A (x) m A (x) deg m A (x) deg m A (x), δηλαδή deg m A (x) = deg m A (x). Επομένως θα έχουμε m A (x) m A (x) m A (x) = m A (x) h (x) deg m A (x) = deg m A (x) + deg h (x) deg h (x) = 0 h (x) = k K.

25 5.1 Ελάχιστο πολυώνυμο 217 Έτσι καταλήγουμε στην ισότητα m A (x) = k m A (x), k K, και επειδή τα πολυώνυμα m A (x) και m A (x) είναι κανονικά προκύπτει k = 1, δηλαδή m A (x) = m A (x), οπότε το ελάχιστο πολυώνυμο είναι μοναδικό. Θ ε ώ ρ η μ α Το ελάχιστο πολυώνυμο m A (x) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο X A (x) ενός τετραγωνικού πίνακα A M n (K) έχουν το ίδιο σύνολο ριζών, με την προϋπόθεση ότι όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ανήκουν στο σώμα K. Α π ό δ ε ι ξ η. Ότι κάθε ρίζα του ελαχίστου πολυωνύμου είναι και ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου προκύπτει από το Θεώρημα 5.1.2, δηλαδή από τη σχέση m A (x) X A (x). Έστω λ K μια ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, δηλαδή μια ιδιοτιμή του A. Τότε θα υπάρχει X 0 τέτοιο ώστε να ισχύει AX = λx. Από τη σχέση αυτή προκύπτει A 2 X = A (AX) = A (λx) = λax = λ 2 X. Άρα χρησιμοποιώντας τη μαθηματική επαγωγή, μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει A k X = λ k X, για κάθε k N. Επομένως, αν m A (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 θα έχουμε 0 = m A (A) = m A (A) X = ( A n + a n 1 A n 1 ) + + a 1 A + a 0 I n X = = A n X + a n 1 A n 1 X + + a 1 AX + a 0 X = = λ n X + a n 1 λ n 1 X + + a 1 λx + a 0 X = = ( λ n + a n 1 λ n 1 ) + + a 1 λ + a 0 X = ma (λ) X, δηλαδή m A (λ) = 0, εφόσον X 0. Οπότε το στοιχείο λ είναι ρίζα του ελαχίστου πολυωνύμου. Π α ρ α τ ή ρ η σ η (i) Αν δύο πολυώνυμα έχουν το ίδιο σύνολο ριζών, δεν σημαίνει ότι ταυτίζονται. Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα (x 1) 2 (x 2) 3 (x 3) και (x 1) (x 2) (x 3) έχουν το ίδιο σύνολο ριζών, χωρίς όμως να ταυτίζονται.

26 218 Κανονικές μορφές Jordan (ii) Επίσης, το ελάχιστο και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα A δεν ταυτίζονται απαραίτητα. Για παράδειγμα, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A = είναι X A (x) = (x 4) 3, ενώ το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι m A (x) = x 4, εφόσον ισχύει m A (A) = A 4I 3 = 0. (iii) Τέλος, αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα μπορεί να γραφεί στη μορφή X A (t) = (t λ 1 ) k 1 (t λ 2 ) k2 (t λ t ) k t, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο του A θα είναι της μορφής m A (t) = (t λ 1 ) m 1 (t λ 2 ) m2 (t λ t ) m t, όπου 1 m i k i, για κάθε i = 1, 2,..., t. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A = Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι 3 x 1 1 X A (x) = 2 4 x 2 = x 3 +10x 2 28x+24 = (x 6) (x 2) x Σύμφωνα με το Θεώρημα 5.1.4, το ελάχιστο πολυώνυμο του A πρέπει να είναι ένα από τα πολυώνυμα (x 6) (x 2) 2 και (x 6) (x 2), εφόσον πρέπει να είναι κανονικό, και να έχει το ίδιο σύνολο ριζών με το X A (x). Επειδή (A 6I 3 ) (A 2I 3 ) =

27 5.1 Ελάχιστο πολυώνυμο = = 0 0 0, = προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι m A (A) = (x 6) (x 2). Θα κλείσουμε αυτή την παράγραφο με μια ικανή και αναγκαία συνθήκη που αφορά το ελάχιστο πολυώνυμο. Τέλος, να υπενθυμίσουμε ότι, αν φ είναι ένας ενδομορφισμός, τότε ο ενδομορφισμός φ k ορίζεται με τη σχέση φ 0 = I, και φ k = φ φ k 1, για κάθε k = 1, 2, 3, 4,... Θ ε ώ ρ η μ α Έστω V ένας n-διάστατος K-διανυσματικός χώρος, και f : V V ένας ενδομορφισμός του V. Ο ενδομορφισμός f διαγωνιοποιείται αν και μόνον αν το ελάχιστο πολυώνυμο του f γράφεται στη μορφή m f (t) = (t λ 1 ) (t λ 2 ) (t λ r ), όπου τα στοιχεία λ i K είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι προφανές ότι τα λ i είναι οι ιδιοτιμές του f. Α π ό δ ε ι ξ η. Υποθέτουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του ενδομορφισμού f γράφεται στη μορφή m f (t) = (t λ 1 ) (t λ 2 ) (t λ r ), όπου τα στοιχεία λ i K είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Θεωρούμε τα πολυώνυμα φ i (t) = m f (t) t λ i = (t λ 1 ) (t λ i 1 ) (t λ i+1 ) (t λ r ), για κάθε δείκτη i = 1, 2,..., r. Επειδή τα στοιχεία λ i είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τα πολυώνυμα φ 1, φ 2,, φ r δεν έχουν κανένα κοινό παράγοντα, επομένως θα είναι

28 220 Κανονικές μορφές Jordan πρώτα μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν πολυώνυμα a 1 (t), a 2 (t),, a r (t) τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση a 1 (t) φ 1 (t) + a 2 (t) φ 2 (t) + + a r (t) φ r (t) = 1. Αντικαθιστώντας το t με τον ενδομορφισμό f καταλήγουμε στη σχέση a 1 (f) φ 1 (f) + a 2 (f) φ 2 (f) + + a r (f) φ r (f) = I, όπου I : V V ο ταυτοτικός ενδομορφισμός. Άρα, για κάθε διάνυσμα v V, θα έχουμε a 1 (f) φ 1 (f) (v) + a 2 (f) φ 2 (f) (v) + + a r (f) φ r (f) (v) = I (v) = v. (5.1) Θεωρούμε το διάνυσμα y = a 1 (f) φ 1 (f) (v), για το οποίο ισχύει (f λ 1 I) (y) = (f λ 1 I) a 1 (f) φ 1 (f) (v) = a 1 (f) (f λ 1 I) φ 1 (f) (v) = = a 1 (f) m f (f) (v) = a 1 (f) 0 (v) = 0, εφόσον το ελάχιστο πολυώνυμο μηδενίζεται από τον ενδομορφισμό f, σύμφωνα με τον Ορισμό Επομένως το διάνυσμα y ικανοποιεί τη σχέση (f λ 1 I) (y) = 0 f (y) λ 1 I (y) = 0 f (y) = λ 1 y, δηλαδή ανήκει στον ιδιοχώρο E (λ 1 ), που αντιστοιχεί στην διοτιμή λ 1. Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δείξουμε ότι τα διανύσματα a 2 (f) φ 2 (f) (v), a 3 (f) φ 3 (f) (v),..., a r (f) φ r (f) (v) ανήκουν στους ιδιοχώρους E (λ 2 ), E (λ 3 ),, E (λ r ), αντίστοιχα. Επομένως, από τη σχέση (5.1) που ισχύει για κάθε v V, προκύπτει η ισότητα V = E (λ 1 ) + E (λ 2 ) + + E (λ r ). Επειδή σε διαφορετικές ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, το προηγούμενο άθροισμα πρέπει να είναι ευθύ. Δηλαδή ισχύει V = E (λ 1 ) E (λ 2 ) E (λ r ), οπότε ο χώρος V δέχεται μια βάση ιδιοδιανυσμάτων του f, άρα ο ενδομορφισμός διαγωνιοποιείται.

29 5.1 Ελάχιστο πολυώνυμο 221 Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι ο ενδομορφισμός f διαγωνιοποιείται, οπότε ο χώρος V δέχεται μια βάση {ε 1, ε 2,, ε n } ιδιοδιανυσμάτων του f. Έστω λ 1, λ 2,, λ r όλες οι διαφορετικές ιδιοτιμές του f. Επειδή το ελάχιστο πολυώνυμο έχει τις ίδιες ρίζες με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ενδομορφισμού, προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του f πρέπει να διαιρείται από το πολυώνυμο ψ (t) = (t λ 1 ) (t λ 2 ) (t λ r ). Για κάθε k = 1, 2,, n, το διάνυσμα ε k θα αντιστοιχεί σε κάποια ιδιοτιμή λ s, οπότε θα έχουμε (f λ s I) (ε k ) = f (ε k ) λ s I (ε k ) = f (ε k ) λ s ε k = 0. Αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει ψ (f) (ε k ) = (f λ 1 I) (f λ 2 I) (f λ r I) (ε k ) = 0, για κάθε k = 1, 2,, n. Δηλαδή, ο ενδομορφισμός ψ (f) μηδενίζει όλα τα διανύσματα μιας βάσης του V, οπότε πρέπει να είναι ο μηδενικός ενδομορφισμός ψ (f) = 0. Άρα, από το Θεώρημα 5.1.2, θα έχουμε m f (t) ψ (t), επομένως προκύπτει m f (t) = ψ (t) = (t λ 1 ) (t λ 2 ) (t λ r ), δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυμο έχει τη μορφή που θέλουμε. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τον 3 3 πίνακα A = 0 2 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του οποίου είναι 3 t 1 0 X A (t) = 0 2 t 0 = t 3 + 7t 2 16t + 12 = (t 3) (t 2) t Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του A μπορεί να είναι (t 2) (t 3) ή (t 2) 2 (t 3), εφόσον πρέπει να έχει το ίδιο σύνολο ριζών με το X A (t). Επειδή (A 2I 3 ) (A 3I 3 ) = = 0 0 0,

30 222 Κανονικές μορφές Jordan προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A είναι m A (t) = (t 2) (t 3). Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, ο πίνακας A είναι διαγωνιοποιήσιμος. Πράγματι, ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στη διπλή ιδιοτιμή 2 είναι x E (2) = X = y /AX = 2X = z = = = x y z x y z x x z x x / y = 2 y = z z 3x y x x / 2y = 2 y = y /x = y = x y + 2z z z 1 0 /x, z R = 1 x + 0 z/x, z R, 0 1 και όπως βλέπουμε έχει διάσταση 2, επομένως ο πίνακας A διαγωνιοποιείται. 5.2 Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Έστω V ένας n-διάστατος K-διανυσματικός χώρος, f : V V ένας ενδομορφισμός του V, και A ο πίνακας του f σε κάποια βάση του V. Δείξτε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του f ταυτίζεται με το ελάχιστο πολυώνυμο του A. Ά σ κ η σ η Σε κάθε ένα από τους παρακάτω ενδομορφισμούς να βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυμο, και να διαπιστωθεί αν ο αντίστοιχος ενδομορφισμός διαγωνιοποιείται. (i) f : R 3 R 3, όπου f (x, y, z) = (x + y z, z, 2y 3z), για κάθε x, y, z R. (ii) f : R 4 R 4, όπου f (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (a, b, a, b), για κάθε x 1, x 2, x 3, x 4 R, και a = x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4, b = 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4. (iii) f : R 3 R 3, όπου f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z), για κάθε x, y, z R.

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thaasisxeos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-08-4 Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010,

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 960-431-953-1 Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Η έννοια της ομοπαραλληλικής απεικόνισης

4.1. Η έννοια της ομοπαραλληλικής απεικόνισης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΟΜΟΠΑΡΑΛΛΗΛΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4.1. Η έννοια της ομοπαραλληλικής απεικόνισης Έστω A n (V n ) και B m (W m ) δυο ομοπαραλληλικοί χώροι με αντίστοιχους διανυσματικούς χώρους ορισμένους πάνω στο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα