Διόπτρα, ο πρόδρομος του Θεοδόλιχου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διόπτρα, ο πρόδρομος του Θεοδόλιχου"

Transcript

1 Διόπτρα, ο πρόδρομος του Θεοδόλιχου Η σημαντικότερη συμβολή του Ήρωνος στην Γεωμετρία φαίνεται στο έργο του Περί διόπτρας, στον πρόλογο του οποίου αναφέρεται ότι είναι το πρώτο εγχειρίδιο διοπτρικής, επιστήμης που ασχολείται με τις μεθόδους της πρακτικής γεωμετρίας σε συνδυασμό με τη χρήση της διόπτρας, σημαντικού οργάνου εκείνης της εποχής, ανάλογου με τον σημερινό θεοδόλιχο. Στο σύγγραμμα αυτό, που αποτελεί πολύ χρήσιμο εγκόλπιο για τον τοπογράφο μέχρι τον 16ο αιώνα, ο Ήρωνας: 1. Περιγράφει τη διόπτρα και τα παρελκόμενά της ώστε να χρησιμοποιηθεί ως όργανο χάραξης και μέτρησης γωνιών αλλά και ως χωροβάτης, δίνοντας και αναλυτικές οδηγίες για την κατασκευή τους. 2. Διατυπώνει και δίνει τη λύση σε μια σειρά από τοπογραφικά προβλήματα, που περιλαμβάνουν μεθόδους μέτρησης αποστάσεων, επιφανειών, υψομέτρων, βαθών, μεθόδους χάραξης σήραγγας, διαίρεσης επιφανειών κλπ. 3. Αναλύει μια τεχνική μέτρησης-υπολογισμού της απόστασης μεταξύ δύο τόπων, χρησιμοποιώντας τη διαφορά ώρας μιας έκλειψης και αναφέρεται στην απόσταση Αλεξάνδρειας-Ρώμης. 4. Περιγράφει το οδόμετρο για τη μέτρηση αποστάσεων στην ξηρά αλλά και στη θάλασσα. Θα πω με λίγα λόγια γιατί ή μελέτη αυτή είναι πολύ χρήσιμη στην ζωή: διότι μπορεί να βρει εφαρμογή και στη μεταφορά υδάτων, και στη κατασκευή τειχών και λιμανιών και κάθε οικοδομήματος. Ακόμη έχει εφαρμογές και στην εξέταση των ουρανίων σωμάτων, γιατί μετρά τα διαστήματα μεταξύ των αστεριών καθώς και τις αποστάσεις και τα μεγέθη και τις εκλείψεις του ήλιου και της σελήνης. Επιπλέον είναι χρήσιμη σε όσους ασχολούνται με την γεωγραφία επειδή μπορούν να μετρήσουν και νησιά και πελάγη και οποιαδήποτε περιοχή από μακριά. Γιατί πολλές φορές παρεμβάλλεται ένα εμπόδιο που μας εμποδίζει να κάνουμε τη δουλειά μας, όπως μια εχθρική περιοχή, ή επειδή ένας τόπος είναι απρόσιτος και άβατος λόγω φυσικής ανωμαλίας ή ύπαρξης ορμητικού ρεύματος. Πολλοί μάλιστα, κατά την πολιορκία κατασκεύασαν σκάλες ή πολιορκητικές μηχανές κοντύτερες από το αναγκαίο ύψος, και αφού τις μετέφεραν στα εχθρικά τείχη, έγιναν θύματα των αντιπάλων, επειδή έπεσαν έξω στον υπολογισμό του ύψους των τειχών, επειδή ήσαν άπειροι στην επιστήμη της διοπτρικής. Διότι πρέπει να μετρώνται πάντοτε τα διαστήματα που προαναφέραμε από τέτοια απόσταση, ώστε να μη φθάνει το εχθρικό βέλος. Η πρώτη έκδοση του έργου μεταφρασμένου στα Ιταλικά έγινε από τον Venturi (Commentari Sopra la storia e le teorie dell ottica, Bologna 1814). To ελληνικό κείμενο δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά από τον A. J. Vincent (Notices et extraits, Paris 1858) συνοδευόμενο από γαλλική μετάφραση, με λεπτομερή σχόλια και ερμηνευτικά σχήματα. Σημαντική είναι και η έκδοση του εκδοτικού οίκου Teubner, που επιμελήθηκε ο H. Schοne (1903) και περιέχεται στον 3ο τόμο των απάντων του Ήρωνα. Με τον όρο διόπτρα (δι(α)-οπτεύω) είναι γνωστό το σκοπευτικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν οι Έλληνες αστρονόμοι και γεωδαίτες. Στην αρχική του μορφή δεν

2 ήταν ούτε καν ένας κλειστός αυλός, παρά ένα κομμάτι ξύλο με σύστημα σκόπευσης στην κάθε του άκρη. Μπορούμε να υποθέσουμε τις διάφορες μορφές του οργάνου αυτού από τις περιγραφές αρχαίων συγγραφέων. Ο Ευκλείδης κάνει αναφορά στη χρήση διόπτρας στο στοιχειώδες αστρονομικό του έργο, τα Φαινόμενα: σκοπεύουμε με τη διόπτρα τον αστερισμό του Καρκίνου, καθώς ανατέλλει. Αν αντιστρέψουμε το όργανο και κοιτάξουμε από την άλλη πλευρά θα δούμε τον αστερισμό του Αιγόκερου. Σ αυτή την απλοϊκή της μορφή πιθανώς να κατασκευάστηκε από τον Θαλή τον Μιλήσιο, και να χρησιμοποιήθηκε και από τον Ευπαλίνο τον Μεγαρέα στη Σάμο για τη χάραξη της σήραγγας χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα. Ο όρος διόπτρα χρησιμοποιείται και για ένα άλλο όργανο, ένα είδος εγκάρσιου πήχη, που το χρησιμοποιούσαν για να μετρούν μεγέθη όπως τη διάμετρο του ήλιου ή της σελήνης. Αυτό το όργανο περιγράφεται στη Μεγίστη του Πτολεμαίου, κατασκευάστηκε από τον Αρχιμήδη αλλά η τελική του μορφή εφείλεται στον Ίππαρχο. Από αποσπάσματα του Γέμινου από το έργο του Εισαγωγή στα φαινόμενα προκύπτει μια εκδοχή της διόπτρας πολυπλοκότερης μορφής: Όλα τα αστέρια, παρατηρούμενα με την διόπτρα φαίνονται να κινούνται κυκλικά κατά τη διάρκεια της ολόκληρης περιστροφής της διόπτρας. Ο Γέμινος παρατηρώντας ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί η διόπτρα για την διαίρεση του ζωδιακού κύκλου σε 12 ίσα μέρη, αναφέρεται σε όργανο εφοδιασμένο με κάποια βαθμολογημένη κλίμακα για τη μέτρηση γωνιών. Eίναι μάλον η διόπτρα που περιγράφει ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός, στην πιο εξελιγμένη της μορφή, ανάλογη με αυτήν των σύγχρονων θεοδολίχων. Ωστόσο, το όργανο που χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος, και πιθανώς να χρησιμοποιείται από τα χρόνια του Ίππαρχου, για τη μέτρηση των θέσεων των αστέρων δεν είναι η διόπτρα, αλλά η κρικωτή σφαίρα (ή σφαιρικός αστρολάβος). Στη διόπτρα αναφέρεται και ο Βίτων ο Τακτικός, αρχές του 2ου αιώνα π.χ., στο έργο του Περί κατασκευών πολεμικών οργάνων και καταπελτών: Θα πρέπει να τονίσουμε ότι το μέγεθος των πολιορκητικών πύργων πρέπει να είναι ειδικά σχεδιασμένο για την κατάληψη των τειχών, και αυτοί οι πύργοι πρέπει να είναι ψηλότεροι από τα τείχη. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με συστηματική παρατήρηση, όπως περιγράφω στα Οπτικά, στο κεφάλαιο διοπτρικά, που κυρίως ασχολούμαι. Στη γνώση της οπτικής ώστε να κατασκευάζονται στις σωστές διαστάσεις οι πολιορκητικές μηχανές αναφέρεται και ο Αθήναιος ο Τακτικός, μηχανικός του 1ου π.χ. αιώνα στο έργο του Περί μηχανημάτων. Αναφορές στη διόπτρα κάνει ο Στράβων, σχολιάζοντας τους χάρτες και τα γεωγραφικά πλάτη του Ερατοσθένη: οι διαφορές είναι μικρότερες (τα σφάλματα στο γεωγραφικό πλάτος) αν δουλέψουμε με γνώμονες και διόπτρες. Ο Θέων ο Σμυρναίος (2ος αι. μ.χ.), ο Θέων ο Αλεξανδρεύς (4ος αι.) και ο Σιμπλίκιος (6ος αι.) αναφέρουν ότι ο Ερατοσθένης μετρώντας με τη διόπτρα από μακριά

3 υπολόγισε το υψηλότερο βουνό στα 10 στάδια. Ο Πρόκλος (4ος αι. μ.χ.), μνημονεύοντας έργο του Γέμινου, σχετικά με τα μέρη των μαθηματικών, αναφέρει: Τα μέρη της αστρονομίας είναι η γνωμονική, η μετεωρολογία και η διοπτρική, που προσδιορίζουν τη θέση του ήλιου και άλλων αστέρων με τη βοήθεια οργάνων. Η Άννα η Κομνηνή (12ος αι.) στο έργο της Αλεξιάς, περιγράφει την πολιορκία του Δυρραχίου, το 1107 από τον πρίγκιπα της Αντιόχειας: Πραγματικά, φαίνεται ότι οι βάρβαροι που πολιορκούσαν το Δυρράχιο γνώριζαν καλά την επιστήμη της οπτικής, χωρίς την οποία δεν θα είχαν μετρήσει τα ύψη των τειχών. Τουλάχιστον ήξεραν, αν όχι οπτική, να μετρούν τα ύψη με τη διόπτρα. Και άλλοι συγγραφείς, Ρωμαίοι Βυζάντιος, όπως ο Biton, Balbus, Julius Africanus Βυζαντινοί, όπως ο Ήρων ο, Άραβες και Πέρσες, όπως ο Al-Karaji, αναφέρονται στη διόπτρα, στο έργο τους όμως θα αναφερθούμε πιο αναλυτικά στα επόμενα δύο κεφάλαια. Δυστυχώς, η βασική μορφή της διόπτρας, ως όργανο μέτρησης γωνιών περιγράφεται στο χαμένο τμήμα του συγγράμματος του Ήρωνα. Η ανακατασκευή της από διάφορους μελετητές βασίσθηκε στις περιγραφές των εφαρμογών που δίνει ο Ήρωνας στις επόμενες παραγράφους του συγγράμματός του. Σύμφωνα με τις αναφορές αυτές ανάμεσα στα δύο παράλληλα στηρίγματα προσαρμόζεται ημικυκλικός οδοντωτός δίσκος που περιστρέφεται με τη βοήθεια του ατέρμωνα κοχλία γύρω από οριζόντιο άξονα. Πάνω στον δίσκο αυτόν στηρίζεται άλλος μεγαλύτερος δίσκος, όπου υπήρχαν χαραγμένες δύο κάθετες μεταξύ τους διάμετροι, καθώς και κύκλος μικρότερης ακτίνας υποδιαιρεμένος σε 360 μοίρες, μόνο όμως για αστρονομικές εφαρμογές. Στο μέσο του κύκλου υπήρχε κανόνας περιστρεφόμενος γύρω από κατακόρυφο άξονα στο κέντρο του δίσκου, εφοδιασμένος και προς τις δύο πλευρές με σύστημα σκόπευσης. Η μορφή του συστήματος σκόπευσης δεν προκύπτει από τις εφαρμογές. Το σύστημα στήριξης της διόπτρας, ο παγεύς (από το ρήμα πήγνυμι), όπως αναφέρεται στο κείμενο, δεν περιγράφεται με σαφήνεια. Αιχμηρός πάσσαλος μπηγμένος στο έδαφος (όπως τουλάχιστον φαίνεται στα εικονίδια του κώδικα..) ή κάποιο άλλο σύστημα, π.χ. τρίποδας; Με τη βοήθεια της διόπτρας ήταν δυνατή η χάραξη ευθυγραμμιών, ορθών γωνιών, κατασκευή όμοιων τριγώνων και για αστρονομικές μόνο εφαρμογές η μέτρηση γωνιών, όπως θα δούμε παρακάτω στο σχολιασμό των προβλημάτων του συγγράμματος. Εντυπωσιακό είναι το σύστημα των δύο κοχλίων που δίνουν τη δυνατότητα μικροβατικών κινήσεων των δίσκων και που πιθανότατα είναι καινοτομία του Ήρωνα. Στη συνέχεια, στο κείμενο του Ήρωνα, περιγράφεται μια εναλλακτική μορφή της διόπτρας, ο χωροβάτης για τη μέτρηση των υψομετρικών διαφορών. Στη θέση του σκοπευτικού κανόνα, χρησιμοποιείται κανόνας εφοδιασμένος με οριζόντιο χάλκινο σωλήνα, που έχει καμφθεί κατά τα δύο άκρα του. Τα άκρα καταλήγουν σε μικρούς κατακόρυφους γυάλινους σωλήνες, που επιτρέπουν την απευθείας παρατήρηση της στάθμης του υγρού. Ο κανόνας αριζοντιώνεται με την αρχή των συγκοινωνούντων

4 δοχείων. Για τη διευκόλυσνη της σκόπευσης δια μέσου της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού, οι γυάλινοι σωλήνες ήταν εφοδιασμένοι με κατακόρυφα πλακίδια που έφεραν λεπτή οριζόντια σχισμή. Η μορφή αυτή της διόπτρας χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με κανόνα, που σύμφωνα με την περιγραφή του Ήρωνα, μοιάζει με τη σημερινή χωροσταθμική σταδία των οπτικών χωροβατών. Είναι κατασκευασμένη από ξύλο, φέρει υποδιαιρέσεις, σύστημα σκόπευης και σύστημα κατακορύφωσης. Μετά την περιγραφή των οργάνων, της διόπτρας και των παρελκόμενών της, ο Ήρων δίνει στη συνέχεια μια σειρά από πρακτικά προβλήματα που επιλύονται με τη βοήθεια της διόπτρας και που αποτελούν χρήσιμες εφαρμογές για εκπαιδευτικούς, στρατιωτικούς και κτηματολογικούς σκοπούς καθώς και για χαράξεις τεχνικών και εγγειοβελτιωτικών έργων. Από τη λύση των προβλημάτων αυτών φαίνεται πως η διόπτρα για τις επίγειες εφαρμογές δεν είναι βαθμολογημένη. Η λειτουργία της στηρίζεται στη χάραξη ορθών γωνιών με τη βοήθεια του σταυρού στον δίσκο, στη χάραξη ευθυγραμμιών σκοπεύοντας από τις δύο πλευρές του συστήματος σκόπευσης, και στην κατασκευή ομοίων τριγώνων. Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αποστάσεων και υψομετρικών διαφορών. Για παράδειγμα, για να υπολογισθούν οι πλευρές ενός τριγώνου, δημιουργείται ένα όμοιό του με τη βοήθεια της διόπτρας, με κοινή κορυφή στην πιο απλή περίπτωση, και με ορισμένο μήκος πλευρών. Γνωρίζοντας το λόγο δύο αντίστοιχων πλευρών, υπολογίζονται οι πλευρές του πρώτου τριγώνου. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται και για τον υπολογισμό υψομετρικών διαφορών σκοπεύοντας με τη διόπτρα από μακριά, όπου η κάθετος πλευρά είναι μία κατακόρυφη ράβδος, στην οποία σημειώνεται το σημείο τομής της με τη σκόπευση προς το απομακρυσμένο σημείο. Η μέθοδος αυτή χρησμοποιείται πιθανότατα από τον 6ο αι. π.χ. (Θαλής ο Μιλήσιος), όπου όμως η διόπτρα δεν είχε οριζόντιο δίσκο, παρά μόνο έναν κανόνα σκόπευσης.

5 Ο Πτολεμαίος και η Αστρονομία. Ο Πτολεμαίος παρατηρεί με το τεταρτοκύκλιο το ύψος της σελήνης. Πρόκειται για μεταγενέστερη μορφή του οργάνου. Στο έδαφος και ο σφαιρικός αστρολάβος. Τα όργανα του Πτολεμαίου Στα κείμενα του ο Πτολεμαίος περιγράφει επτά όργανα: τη διόπτρα (του Ίππαρχου), τον επίπεδο αστρολάβο, τον σφαιρικό αστρολάβο (ή κρικωτή σφαίρα) για τη μέτρηση των θέσεων των αστέρων, τον παραλλακτικό κανόνα και τον τετράντα (ή τεταρτοκύκλιο ή πλινθίς) για τη μέτρηση κατακόρυφων γωνιών, τον ισημερινό κύκλο για τον προσδιορισμό του χρόνου των ισημεριών και το μεσημβρινό ή τροπικό κύκλο για τον προσδιορισμό του ύψους του ήλιου κατά τη μεσουράνηση. Από τα όργανα αυτά επινοήθηκαν και κατασκευάστηκαν από τον Πτολεμαίο ο σφαιρικός αστρολάβος και ο παραλακτικός κανόνας, τα υπόλοιπα χρησιμοποιήθηκαν από τον Ίππαρχο και τους έλληνες αστρονόμους του 3ου π.χ. αιώνα. Το πιο διάσημο από τα όργανα αυτά και ίσως το διασημότερο στην ιστορία των οργάνων μέτρησης, είναι ο (επίπεδος) αστρολάβος, ή όπως τον ονομάζει ο Πρόκλος, ο μικρός αστρολάβος. Αν και η αρχή της κατασκευής του ανάγεται στον Ίππαρχο, και πιθανότατα να χρησιμοποιήθηκε από τον Πτολεμαίο, τουλάχιστον σε μια αρχική του μορφή, θα αναφερθούμε αναλυτικότερα στο όργανο αυτό σε επόμενο κεφάλαιο, μια και χαρακτηρίζει τη βυζαντινή εποχή και χρησιμοποιείται από τους Άραβες του 9ου αι., στη μεσαιωνική Ευρώπη, έως και τον 17ο αι.

6 Πάνω: Η πλινθίς (ή τετράντας) του Ίππαρχου. Δεξιά μια παραλλαγή του οργάνου (Λιβιεράτος, 1998) όπου η σκιά του γνώμονα αντικαταστάθηκε με κανόνα σκόπευσης (πιθανώς από τον Πρόκλο). Η πλινθίς του Ίππαρχου Η πλινθίς αποτελείται από ένα κομμάτι ξύλου ή μαρμάρου, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Στη μία πλευρά του χαράσσεται τεταρτοκύκλιο και βαθμονομείται. Στο πάνω και κάτω άκρο του τεταρτοκυκλίου πακτώνονται δύο ξύλινοι πείροι. Ο πάνω πείρος χρησιμοποιείται ως γνώμων, η σκιά του οποίου περιστρέφεται πάνω στο βαθμολογημένο τεταρτοκύκλιο. Το όργανο προσανατολίζεται στη διεύθυνση του βορρά και κατακορυφώνεται με τη βοήθεια νήματος της στάθμης που κρέμεται από τον πάνω πείρο και ακουμπά ελαφρά τον κάτω. Το γεωγραφικό πλάτος προκύπτει ως ο μέσος όρος των ενδείξεων της σκιάς του γνώμoνα κατά το θερινό και χειμερινό ηλιοστάσιο (ισημερία). Από την εξέλιξη του οργάνου αυτού προέρχεται το τεταρτοκύκλιο ή τετράντας, ένα από τα κύρια γεωδαιτικά και αστρονομικά όργανα μέχρι τα σύγχρονα σχεδόν χρόνια. Ο ισημερινός κύκλος του Τύχο Μπράχε, όργανο που εμπνεύστηκε από τον κύκλο του Πτολεμαίου. Ο Τύχο Μπράχε ήταν αυτός που κατασκεύασε και χρησιμοποίησε τα όργανα του Πτολεμαίου, εγκαινιάζοντας την νέα εποχή στην κατασκευή αστρονομικών οργάνων στο τέλος του 16 ου αι.

7 Αριστερά: Σύγχρονη αναπαράσταση του σφαιρικού αστρολάβου σύμφωνα με την περιγραφή του Πτολεμαίου στη Μεγίστη. Δεξιά: Ανακατασκευή του σφαιρικού αστρολάβου του Πτολεμαίου από τον Tycho Brahe. Κάτω: Η διόπτρα του Ίππαρχου και ο μεσημβρινός κύκλος. Από τον μεσημβρινό κύκλο προέκυψε ο μεσημβρινός τετράντας και τα όργανα διέλευσης της νεότερης αστρονομίας. Η τετραπήχυς διόπτρα του Ίππαρχου Αστρονομικό όργανο για τη μέτρηση πολύ μικρών γωνιών, ακατάλληλο για τοπογραφικές εφαρμογές, αποτελεί βελτίωση της ράβδου του Αρχιμήδη. Ήταν μία ξύλινη ράβδος μήκους δύο μέτρων περίπου (τεσσάρων πήχεων) με δύο πλακίδια στο πάνω μέρος. Το ακίνητο πλακίδιο, το προσοφθάλμιο, είχε μια τρύπα στη μέση για τη σκόπευση. Το κινητό πλακίδιο όταν σκέπαζε τον ήλιο ή τη σελήνη έδειχνε τη φαινόμενη γωνία. Το πλακίδιο αυτό αντικαταστάθηκε αργότερα από ένα μεγαλύτερο, ώστε να περιέχει δύο μικρές τρύπες για τη σκόπευση σημείων της περιφέρειας του ήλιου ή της σελήνης. Χρησιμοποιήθηκε και από τον Πτολεμαίο. Ο ισημερινός και ο μεσημβρινός κύκλος Όργανα που αποδίδονται στον Ίππαρχο, είχαν εγκατασταθεί στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Ο ισημερινός κύκλος, προσανατολισμένος ώστε να είναι παράλληλος με τον ισημερινό, έδειχνε την ώρα της ισημερίας όταν η σκιά του κύκλου περνούσε από τα τέσσερα σημεία στη βάση του. Ο μεσημβρινός κύκλος ήταν ένας κατακόρυφος

8 βαθμονομημένος μπρούτζινος κρίκος με ένα δεύτερο ομόκεντρο και κινητό στο εσωτερικό του που έφερε δύο αντιδιαμετρικά πλακίδια. Όταν ο ήλιος διέσχιζε το επίπεδο του οργάνου, ο εσωτερικός δίσκος περιστρεφόταν ώστε η σκιά του ενός πλακιδίου να πέσει πάνω στο άλλο. Έτσι προέκυπτε η γωνία ύψους του ήλιου. Αν το όργανο ήταν προσανατολισμένο στο βορρά, από τις παρατηρήσεις του ήλιου κατά το θερινό και χειμερινό ηλιοστάσιο προέκυπτε το πλάτος του τόπου και η λόξωση της εκλειπτικής. Ο Πρόκλος αντικατέστησε τα δύο πλα- με σύστημα κίδια σκόπευσης. Ο (σφαιρικός) αστρολάβος Το σημαντικότερο από τα όργανα που χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος, και πιθανώς να χρησιμοποιείται από τα χρόνια του Ίππαρχου, για τη μέτρηση των θέσεω ν των αστέρων είναι ο (σφαιρικός) αστρολάβος ή κρικωτή σφαίρα. Όργανο σύνθετο αποτελούμενο από επτά ομόκεντρος κρίκους, χρησιμοποιήθηκε σε διάφορες παραλλαγές μέχρι τα χρόνια του Tycho Brahe. Οι δύο ακίνητοι κύκλοι ήταν ο κατακόρυφος, που τον τοποθετούσαν στη διεύθυνση του μεσημβρινού του τόπου όπου γινόταν η παρατήρηση, και ο εκλειπτικός, κάθετος και ίσος με τον κατακόρυφο και σταθερά συνδεμένος με αυτόν. Οι κινητοί κύκλοι ήταν και αυτοί δύο και στηρίζονταν στους δύο πόλους του εκλειπτικού, γύρω από τους οποίους περιστρέφονταν: o εσωτερικός κύκλος, εντός του κατακορύφου και του εκλειπτικού και ο εξωτερικός που περιελάμβανε τους δύο ακίνητους. Ο εσωτερικός περιελάμβανε και άλλον δακτύλιο, κείμενο στο ίδιο επίπεδο και δακτύλιος αυτός έφερε δύο κινητό γύρω από το κοινό τους κέντρο. Ο αντιδιαμμετρικά συστήματα σκόπευσης. Το σύστημα αυτό ήταν προσαρμοσμένο μέσω δύο σημείων, ώστε να περιστρέφεται γύρω από αυτά, πάνω σε δύο ομόκεντρους και συνεπίπεδους κρίκους προσανατολισμένος στη διεύθυνση του μεσημβρινού. Ο εξωτερικός κύκλος ήταν σταθερός ενώ ο εσωτερικός, κινητός γύρο από κέντρο, έδινε την τιμή του γεωγραφικού πλάτους της σκόπευσης. Πιο εξελιγμένη έκδοση σφαιρικού αστρολάβου είναι το μετεωροσκόπιο, με εννέα δακτύλιους, που αναφέρει ο Πτολεμαίος στην Γεωγραφική Υφήγηση και το περιγράφει σε χαμένο έργο του. Ο Πτολεμαίος πρόσθεσε άλλους δύο δακτύλιους για να υλοποιήσει το τοπικό οριζόντιο σύστημα. To όργανο που χρησιμοποιεί ο Πτολεμαίος για μετρήσεις γωνιών δεν είναι η διόπτρα, αλλά ο σφαιρικός αστρολάβος για τον προσδιορισμό της θέσης των άστρων και το μετεωροσκόπιο για τις μετρήσεις γωνιών και αποστάσεων (σε συνδυασμό με τα στάδια που αντιστοιχούν σε μια μοίρα).

9 Ο κανών του Πτολεμαίου. Δεξιά το όργανο σε μεταγενέστερη έκδοση από τον Κοπέρνικο και τον Τύχο Μπράχε. Από τον Πτολεμαίο χρησιμοποιήθηκε για τη μέτρηση της παραλλακτικής γωνίας της σελήνης, απ όπου προήλθε και η ονομασία του. Ο παραλλακτικός κανόνας Tο τριγωνικόν (triquertum) ή παραλλακτικός κανών, ή κανόνας του Πτολεμαίου, είναι όργανο μέτρησης κατακορύφων γωνιών και θεωρείται επινόηση του Πτολεμαίου. Η κατασκευή του περιγράφεται στο κεφάλαιο 12 του V βιβλίου της Μεγάλης Σύνταξης καθώς και στα σχετικά σχόλια του Πάππου του Αλεξανδρέως. Είναι σχεδιασμένο ειδικά, ώστε να ξεπεραστεί το πρόβλημα βαθμονόμησης κυκλικών τόξων. Αποτελείται από δύο ράβδους ίδιου μηκους, δύο μέτρων περίπου (σταθερού μήκους τεσσάρων πήχεων), αρθρωμένες στο ένα τους άκρο. Η μία από τις ράβδους αυτές είναι σταθερή και κατακόρυφη (η κατακορυφότητά της εξασφαλίζεται με το νήμα της στάθμης) και βαθμονομημένη (υποδιαιρείται σε 60 ίσα μέρη). Η άλλη περιστρέφεται γύρω από το σημείο άρθρωσης πάνω στο επίπεδο που σχηματίζουν, φέρει σύστημα σκόπευσης και η ελεύθερη άκρη της ολισθαίνει πάνω σε τρίτη ράβδο. Η τρίτη αυτή ράβδος είναι αρθρωμένη στη βάση της κατακόρυφης και αποτελεί τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου που σχηματίζεται. Η σκόπευση σημειώνεται στην τρίτη ράβδο και η τιμή της (το μήκος της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου) λαμβάνεται από την προβολή της πάνω στις υποδιαιρέσεις της κατακόρυφης. Από την επίλυση του ισοσκελούς τριγώνου με τη βοήθεια πινάκων χορδών, υπολογίζεται η κατακόρυφη γωνία σκόπευσης. Ο Άραβας μαθηματικός και αστρονόμος Αλ-Μπατανί βαθμονόμησε την τρίτη ράβδο, ώστε οι αναγνώσεις να παίρνονται απευθείας. Στη μορφή αυτή χρησιμοποιήθηκε από τους μεταγενέστερους αστρονόμους, μέχρι τον Κοπέρνικο και τον Τύχο Μπράχε. Για τη μέτρηση της παραλλακτικής γωνίας της σελήνης το όργανο έπρεπε να προσανατολισθεί στη διεύθυνση βορρά-νότου (του μεσημβρινού).

Τα όργανα του Πτολεμαίου

Τα όργανα του Πτολεμαίου Ο Πτολεμαίος και η Αστρονομία. Ο Πτολεμαίος παρατηρεί με το τεταρτοκύκλιο το ύψος της σελήνης. Πρόκειται για μεταγενέστερη μορφή του οργάνου. Στο έδαφος και ο σφαιρικός αστρολάβος. Τα όργανα του Πτολεμαίου

Διαβάστε περισσότερα

Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού

Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού Περιεχόμενα Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΛΙΑΤΟΣ Β 3 ΛΑΡΙΣΑ 2008 Τα Όργανα Μέτρησης Του Χρόνου Αστρολάβος Ο αστρολάβος είναι αρχαίο αστρονομικό όργανο που χρησιμοποιούνταν για να παρατηρηθούν τα αστέρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ Sfaelos Ioannis

ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ Sfaelos Ioannis ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ Sfaelos Ioannis α) Πώς προβλέπονται και ερµηνεύονται τα αποτελέσµατα των αστρονοµικώνπαρατηρήσεων µε τη βοήθεια ενός θεωρητικού µοντέλου; β) Τι παρατηρούµε και πώς;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 3: Τοπογραφικά όργανα Α ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1. ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ Ο σκοπός της Τοπογραφίας επιτυγχάνεται με τη χρήση των Τοπογραφικών οργάνων. Για τη διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π.

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Ανάδροµη Φορά Ορθή Φορά Η ορθή και ανάδροµη φορά περιστροφής της Ουράνιας Σφαίρας, όπως φαίνονται από το Βόρειο και το Νότιο ηµισφαίριο, αντίστοιχα Κύκλος Απόκλισης Μεσηµβρινός

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου

Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου Ξενοφών Φανουρίου Γεωλόγος-Ωκεανογράφος 17 Σεπτεμβρίου 2015 Περίληψη Ο υπολογισμός του μεγέθους της γης αλλά και των άλλων σταθερών της, απασχόλησε από τα αρχαία χρόνια

Διαβάστε περισσότερα

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης

Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Το πείραμα του Ερατοσθένη και η μέτρηση της περιφέρειας της Γης Οδηγός για τον εκπαιδευτικό Περιεχόμενα Προετοιμασία δραστηριότητας Α. Υλικά και φύλλα εργασίας 3 Β. Εγκατάσταση του προγράμματος "Google

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Aστρολάβος - Eξάντας

Aστρολάβος - Eξάντας Aστρολάβος - Eξάντας Αν πλέοντας προς την Αλεξάνδρεια το βάθος των νερών είναι 11 οργιές, θέλεις ακόμα ταξίδι μιας μέρας. Ηρόδοτος (4 ος αιώνας π.χ.) Από τα πανάρχαια χρόνια, οι ναυτικοί είχαν πάντα την

Διαβάστε περισσότερα

Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της πρώτης γεωμετρίας

Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της πρώτης γεωμετρίας Από τον Όμηρο στον Πτολεμαίο. Αναδρομή στα όργανα και στις μεθόδους της πρώτης γεωμετρίας Δ. Ρωσσικόπουλος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ. Περίληψη Γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΙΚΗΦΟΡΟΥ Το ρολόι αυτό είναι κατασκευασµένο από λευκό µάρµαρο Θάσου. Βρίσκεται στην αυλή του Γυµνασίου Νικηφόρου ράµας σε 41 0 10' 12'' βόρειο πλάτος και 24 0 18' 49.83'' ανατολικό

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΧΩΡΟΒΑΤΗΣ Ο χωροβάτης είναι το Τοπογραφικό όργανο, που χρησιμοποιείται στη μέτρηση των υψομέτρων σημείων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη. Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής

Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη. Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής Βιογραφικά Στοιχεία Συρακούσες 287-212 π.χ. Γιός του Φειδία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γεωδαιτικό σύστημα Χάρτης Πυξίδα Χάραξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 30/7/2016 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση Β) Κυκλική κίνηση 1) Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ

ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ. Εικόνα. ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΑΠΟ ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΛΜΑΓΕΣΤΗ ΚΛΑΥΔΙΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ήταν επομένως ώριμες οι συνθήκες για να φτάσει η αρχαία γεωγραφία στο απόγειο της ακμής της κατά τον 2ο μχ αι. με τον Κλαύδιο Πτολεμαίο: τα κείμενα και οι χάρτες που αποδίδονται σ'

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α

Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Η Λ Ι Α Κ Α Ρ Ο Λ Ο Γ Ι Α Αναγνωστοπούλου Στρατηγούλα (5553), Σταυρίδη Δήμητρα (5861) 1 ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1.1 Η κίνηση της Γης Η Γη κινείται με τρεις τρόπους: περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24h,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται Sfaelos Ioannis Τα ουράνια σώµατα φαίνονται από τη Γη σαν να βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια µιας γιγαντιαίας σφαίρας, απροσδιόριστης ακτίνας, µε κέντρο τη Γη. Τη φανταστική αυτή σφαίρα τη λέµε "ουράνια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Ανατολή-δύση αστέρων Από την σχέση αυτή προκύπτουν δυο τιμές για την ωριαία γωνία Η Δ για την οποία ο αστέρας βρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1. Ένα βλήμα μάζας 0,1 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα 100 m/s σφηνώνεται σε ακίνητο ξύλο μάζας 1,9 kg. Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας που οφείλεται στην κρούση, όταν το ξύλο είναι: α. πακτωμένο στο

Διαβάστε περισσότερα

[50m/s, 2m/s, 1%, -10kgm/s, 1000N]

[50m/s, 2m/s, 1%, -10kgm/s, 1000N] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο - ΜΕΡΟΣ Α : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1. Σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου και το με ταχύτητα, διαπερνά το σώμα χάνοντας % της κινητικής του

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Το γεωγραφικό πλάτος και μήκος αποτελούν το σύστημα των

Το γεωγραφικό πλάτος και μήκος αποτελούν το σύστημα των Το μήκος και το πλάτος της οικουμένης των Ελλήνων Το γεωγραφικό πλάτος και μήκος αποτελούν το σύστημα των γεωγραφικών συντεταγμένων, ένα ζευγάρι αριθμών, με τη βοήθεια του οποίου μπορεί να καθοριστεί και

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογισθεί ο αστρικός χρόνος της ανατολής του Ήλιου στη Θεσσαλονίκη (φ = 40º 37') κατά την 21η Μαρτίου.

Να υπολογισθεί ο αστρικός χρόνος της ανατολής του Ήλιου στη Θεσσαλονίκη (φ = 40º 37') κατά την 21η Μαρτίου. Ενότητα 1 Να υπολογισθεί ο αστρικός χρόνος της ανατολής του Ήλιου στη Θεσσαλονίκη (φ = 40º 37') κατά την 21η Μαρτίου. Την 21η Μαρτίου οι ουρανογραφικές συντεταγμένες του Ήλιου είναι α = 0 h, δ = 0 ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

R 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

R 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 1. Δύο τροχοί συνδέονται με ιμάντα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι συχνότητες περιστροφής του συνδέονται με τη σχέση: A R 2 Γ R 1 B Δ 2. Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού δείχνουν ακριβώς 12h.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ: ΡΟΛΟΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΕΧΛΙΒΑΝΙΔΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ : ΜΗΧΑΝΗ : ΔΡΕΠΑΝΙ ΑΤΜΟΜΗΧΑΝΗ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ: ΡΟΛΟΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΕΧΛΙΒΑΝΙΔΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ : ΜΗΧΑΝΗ : ΔΡΕΠΑΝΙ ΑΤΜΟΜΗΧΑΝΗ ΡΟΛΟΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΕΧΛΙΒΑΝΙΔΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ: ΡΟΛΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Με τον όρο εργαλείο εννοείται μια συσκευή που παρέχει φυσική ή νοητική υποστήριξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ 4 Ιορδανίδης Γιώργος Βασιλακάκης Ανέστης Καρακάσης Αναστάσιος Μαυρόπουλος Γιώργος Αλή Ογλού Μπουσέ Κόλα Κατερίνα

ΟΜΑΔΑ 4 Ιορδανίδης Γιώργος Βασιλακάκης Ανέστης Καρακάσης Αναστάσιος Μαυρόπουλος Γιώργος Αλή Ογλού Μπουσέ Κόλα Κατερίνα ΟΜΑΔΑ 4 Ιορδανίδης Γιώργος Βασιλακάκης Ανέστης Καρακάσης Αναστάσιος Μαυρόπουλος Γιώργος Αλή Ογλού Μπουσέ Κόλα Κατερίνα Απολλώνιος ο Περγαίος γεννήθηκε το 265 π.χ. και πέθανε το 170 π.χ. Μεγάλος μελετητής

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://phsicscourses.wordpress.com/ Θεωρία Υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις μελέτης τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Το σχεδιαστικό μέρος της αποτύπωσης παράγεται και υλοποιείται μέσω δύο ειδών σχεδίων:

Το σχεδιαστικό μέρος της αποτύπωσης παράγεται και υλοποιείται μέσω δύο ειδών σχεδίων: 3. ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ Η αποτύπωση αποτελείται από ένα σύνολο διεργασιών που σκοπό έχουν να απεικονίσουν το αποτέλεσμα των μετρήσεων και του σχεδιασμού ενός υπαρκτού κτιρίου, τεκμηριώνοντας σωστά τις διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 1. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L= 4 m και μάζας M= 2 kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ-A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/0/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΩΗ 1. Ευθύγραμμος αγωγός μήκους L = 1 m κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = 2 m/s μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β = 0,8 Τ. Η κίνηση γίνεται έτσι ώστε η ταχύτητα του αγωγού να σχηματίζει γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/02/7 ΕΠΙΜΕΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

περιφέρειας των δίσκων, Μονάδες 6 Δ2) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου (1), Μονάδες 5

περιφέρειας των δίσκων, Μονάδες 6 Δ2) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου (1), Μονάδες 5 15958 Στο σχήμα φαίνονται δύο δίσκοι με ακτίνες R1= 0,2 m και R2 = 0,4 m αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με μη ελαστικό λουρί. Οι δίσκοι περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Τετάρτη 12 Απριλίου Θέμα 1ο

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Τετάρτη 12 Απριλίου Θέμα 1ο Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός ομογενούς δίσκου που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

6α) Ο δίσκος ισορροπεί με τη βοήθεια ενός νήματος παράλληλου στο κεκλιμένο επίπεδο. Αν το

6α) Ο δίσκος ισορροπεί με τη βοήθεια ενός νήματος παράλληλου στο κεκλιμένο επίπεδο. Αν το ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 6. Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους και βάρους ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε κατακόρυφο τοίχο με άρθρωση και στο σημείο της Λ σε υποστήριγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΛΕΙΟ. Βάρος: 500 gr

ΕΡΓΑΛΕΙΟ. Βάρος: 500 gr ΟΝΟΜΑ Αλφάδι Μεταλλικό πλαίσιο που συγκρατεί μικρό γυάλινο σωλήνα με νερό και φυσαλίδα αέρα. Διαστάσεις: Μήκος ~ 30cm Βάρος: 500 gr Επαλήθευση οριζόντιου επιπέδου. Τρόπος Χρήσης: (πως χρησιμοποιείται το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ ΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΕΣ Η ΠΥΞΙΔΑ Η πυξίδα είναι ένα όργανο προσανατολισμού που δείχνει τα σημεία του ορίζοντα και άλλες πληροφορίες προσανατολισμού ως προς τα σημεία του ορίζοντα, όπως το αζιμούθιο

Διαβάστε περισσότερα

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του.

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Ι Φυσικής Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Ι Φυσικής Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Ι Φυσικής Γ Λυκείου Διάρκεια: 3 ώρες Θέμα Α 1) Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Αν διπλασιαστεί η στροφορμή του, χωρίς να αλλάξει ο άξονας περιστροφής γύρω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το τεύχος αυτό περιέχει τα βασικά στοιχεία της Γεωδαιτικής Αστρονομίας (Geodetic Astronomy) που είναι αναγκαία στους φοιτητές της Σχολής Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Πολυτεχνείου

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Σύστημα γήινων συντεταγμένων Γήινος μεσημβρινός του τόπου Ο Μεσημβρινός του Greenwich (πρώτος κάθετος) Γεωγραφικό μήκος 0

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα