ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT"

Transcript

1 ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT 1

2 ZVUK Šta nam narušava kvalitet života, nevidljivo je i neopipljivo, nema boje, mirisa i ukusa, a sveprisutno je? Koja je to vrsta zagađenja okoline koja neprimetno krade naš san, naš mir te rezultira neispavanošc u i nervozom? Odgovor je - buka. Buka je neželjeni zvuk koji narušava kvalitet života, a ukoliko smo često izloženi buci ona može ugroziti i zdravlje. Ova brošura sadrži uvod u građevinsku akustiku te c e vam pomoc i prepoznati koji sistem višestrukih unutrašnjih pregradnih zidova je adekvatno rešenje za zaštitu od buke. Svakodnevno se povec ava broj upita vezanih za zaštitu od buke. ROCKWOOL ima rešenja za Vas. Rešenje su višestruki pregradni zidovi sa ispunom od ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA kamene vune. 2

3 Sadržaj Zvuk Zvuk 5 Jačina zvuka 6 Frekvencijska područja zvuka (nisko, srednje, visoko) 8 Područje niskih frekvencija 8 Područje srednjih frekvencija 8 Područje visokih frekvencija 8 Zvučna izolacija Zvučna izolacija 11 Prenos zvuka 12 Direktan prenos zvuka [1] 12 Bočni prenos zvuka [2] 12 Ostali prenosi zvuka [3] 12 Merenje i prikaz jednobrojnog indeksa zvučne izolacije Rw 14 Princip zvučne izolacije pregradnih zidova 16 Zakon mase 16 Masa-opruga-masa 16 Opruga (kamena vuna) 17 Tipovi pregradnih zidova 18 Jednostruki pregradni zid 20 Višestruki pregradni zid 22 Tehničke karakteristike proizvoda od kamene vune ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA ROCKWOOL Acoustic 26 ROCKWOOL Acoustic EXTRA 27 3

4 ZVUK Zvuk 4

5 ZVUK Zvuk je mehaničko titranje čestica medija kojim se širi. Može se prenositi iz medija u medij: iz vazduha u zid - a i obrnuto, iz zida u vazduh. Osim što ga možemo pobuditi titranjem glasnica ili zvučnikom (zvuk koji se prenosi vazduhom), takođe ga možemo proizvesti direktnim udarcem po konstrukciji npr. hodanje i lupanje vratima (udarni zvuk). Prikaz nastajanja i širenja zvuka Akustično zračenje Zvuk može poticati od vibracija materijala koji prenosi svoju energiju na okolne čestice vazduha, na primer membrana zvučnika vibrira i širi zvuk. Prikaz širenja zvuka koji se prenosi vazduhom Udarni zvuk (prenos kroz konstrukciju) Zvuk može nastati zbog udarca, na primer udarac čekic a, pad predmeta, struganje stola. Zvuk koji se prenosi vazduhom možemo uspešno izolovati višestrukim pregradnim zidom izgrađenim od sistema gips-kartonskih ploča i ROCKWOOL kamene vune. Emisija buke (prenos vazduhom) Zvuk koji se širi vazduhom može doc i spolja (saobrac aj, drumski radovi...) ili iz unutrašnjosti zgrade (glasovi, pesma s radija...). 5

6 ZVUK Jačina zvuka Jačinu zvuka izražavamo u db (decibelima). Za 0 db kažemo da je ljudski prag čujnosti odnosno najtiše titranje čestica vazduha koje ljudsko uho može prepoznati. U proseku ljudi pričaju na jačini zvuka od 60 db. Usisivač radi na jačini zvuka od 70 db. Ostali kuc ni aparati poput frižidera rade na jačini zvuka od 40 do 50 db, tako da za prosečnu jačinu domac instva uzimamo 50 db. Ako se u takvim uslovima pojavi zvuk jačine 40 db, ukupna jačina zvuka domac instva je još uvek 50 db te takav izvor zvuka ne narušava kvalitet života. Ako se pojavi zvuk jačine 50 db u prostoru koji vec sadrži 50 db jačine, tada je ukupna jačina zvuka prostora 53 db. Takvu promenu c emo primetiti, a moguc e je da c e nam i smetati, dok samo par decibela tišeg zvuka nec emo biti svesni. Ako se zvuk pojača za 10 db tada ga čujemo duplo glasnije. Treba napomenuti da je 10 db prilično velika razilka u jačini zvuka jer kada udvostučimo izvor zvuka (stavimo 4 zvučnika umesto 2) zvuk smo pojačali za 3 db (na primer 70 db + 70 db = 73 db). Iz toga vidimo da je razlika jačine od 10 db prilično velika. Podesimo li zvuk televizora na 60 db (jačinu ljudskog govora), nec emo percipirati zvuk kuhinjskog frižidera koji emituje zvuk jačine 40 db (60 db + 40 db = 60 db). Zapravo, jačinu televizora bismo morali smanjiti na gotovo 40 db da bismo postali svesni zvuka koji proizvodi frižider. Ta psihoakustička karakteristika naziva se maskiranje. Buka u ljudskom okruženju Jačina zvuka (db)

7 ZVUK U domac instvu koji se nalazi u glasnom gradskom okruženju merimo viši nivo zvuka (50 db) nego u domu koji se nalazi u predgrađu udaljenom od vec ih saobrac ajnica (40 db). Nivo zvuka c e se smanjiti u noc nim satima na 35 db jer se takođe smanjio intenzitet ljudskog delovanja (poput saobrac aja ili kosidbe trave). U tišem okruženju moc i c emo percipirati zvukove koje u glasnijem okruženju ne čujemo, poput zvuka televizora ili govora iz susednog stana. Zvuk koji nije maskiran okruženjem nam može stvoriti nelagodnost. Stoga tiha okruženja, da bi ostala tiha, zahtevaju vec u zvučno-izolacionu moc pregradnih zidova. Povec anje jačine zvuka usred udvostručavanja izvora zvuka 70dB 73dB 76dB 79dB 50 db + 50 db = 53 db, 60 db + 60 db = 63 db, 50 db + 40 db = 50 db, Udvostručavanje izvora zvuka povec ava jačinu za 3 db. 7

8 ZVUK Frekvencijska područja zvuka (nisko, srednje, visoko) Visina zvuka je određena brzinom treperenja čestica vazduha i izražavamo je u Hercima - Hz. Herci objašnjavaju koliko puta u sekundi čestica vazduha prevali svoj ciklus. Zvuk putuje kao talas i ima svoju konstantnu brzinu širenja (343 m/s) stoga, njegovu visinu možemo opisati i talasnom dužinom v (λ= ) te je izraziti u metrima. f 20 Hz Ljudski čujni raspon Hz Oktave [Hz] Visina zvuka ljudskog okruženja opisana pomoc u frekvencije i talasne dužine infrazvuk bas frekvencije srednje frekvencije visoke frekvencije ultrazvuk Trećine oktava [Hz] Hz Zvučni raspon građevine 5000 Hz Područje niskih frekvencija Kada čestice titraju sporo (ciklus 20 do puta u sekundi, odnosno 20 do Hz ), kažemo da se radi o niskom frekvencijskom području. Nizak zvuk ima velike talasne dužine (od 3,5 m do 17 m) i sadrži mnogo energije koja se sa lakoc om prenosi uobičajenim konstrukcionim i pregradnim građevinskim elementima poput betona i cigle. Udarni zvuk (hod, udaranje lopte) takođe sadrži najviše energije u području niskih frekvencija. To je područje koje sadrže bas instrumenti (bas bubanj, kontrabas, bas gitara, niski tonovi klavira), vec i zvučnici, sabvufer, motorna vozila, duboki muški glas. U tom području se takođe nalazi i sopstvena rezonantna frekvencija višestrukih pregradnih zidova te zbog toga moramo pripaziti na svrhu pojedinih vrsta višestrukih pregradnih zidova. Područje srednjih frekvencija Zvuk u frekvencijskom području od Hz do 5000 Hz (5 khz - kiloherca) svrstavamo u srednje frekvencijsko područje. Srednje područje čine zvukovi talasne dužine od 3,5 m do 0,07 m. To je frekvencijsko područje zvuka kojim se bavimo u građevinarstvu. U tom području ispitujemo zvučnoizolaciona svojstva građevinskih elemenata. Čovek bolje čuje u srednjem području nego u niskom i visokom. U srednjem frekvencijskom području zvuka se nalaze sve informacije koje su nam potrebne u svakodnevnom životu. Akustično izolaciona svojstva građevinskih elemenata su najvažnija u srednjem frekvencijskom opsegu zvuka. Područje visokih frekvencija Visoko frekvencijsko područje se proteže od 5000 Hz do Hz (0,04 m do 0,02 m). Energiju u tom području je lako raspršiti te nam u smislu izolacije ne predstavlja problem. Zvuk u području visokih frekvencija jednostavno je izolovati. 8

9 ZVUK db Čujni raspon Muzika Ljudska percepcija Slika krive ljudskog praga čujnosti i praga boli. Ako se radi o vrlo dubokom zvuku (60 Hz), taj zvuk c emo percipirati tek kada postigne jačinu od 60 db, dok zvukove koji vladaju u srednjem frekvencijskom području (0 Hz = 1 khz) čujemo čim jačinom pređu naš referentne prag čujnosti od 0 db. Jačina zvuka 50 Govor 0 10 K 10K Frekvencija Hz 9

10 ZVUČNA IZOLACIJA Zvučna izolacija 10

11 Na zvučnu izolaciju je bitno misliti prilikom projektovanja kako kasnije ne bi trebalo ulaziti u adaptacijske zahvate. Još donedavno projektovanje nije ozbiljno uzimalo u obzir zahteve zaštite od buke, stoga danas ima mnogo zgrada sa neadekvatnom zvučnom izolacijom. Zahtevi svojstava građevinskih materijala su često kompleksni, ali to ne znači da i rešenje mora biti kompleksno. ROCKWOOL ima akustična rešenja koja zadovoljavaju savremene potrebe i želje korisnika u novogradnji i adaptaciji. 11

12 ZVUČNA IZOLACIJA Prenos zvuka Osim što se prenosi kroz pregradni zid i njegove otvore, zvuk se iz prostora u prostor prenosi i preko bočnih zidova, plafona i poda kao i otvorima poput ventilacije i slično. Uz pravilno projektovanje zvučno-izolacionog sistema, ključna je i pravilno izvođenje. Osim dobro odabranog sistema, pravilno izvođenje čini veliku razliku kada je reč o zvučnoj izolaciji. Direktan prenos zvuka Direktan prenos zvuka [1] U kontaktu sa čvrstim zidom zvučni talas predaje akustičnu energiju tom zidu. Pobuđene čvrste čestice šalju energiju dalje u susednu prostoriji: to je direktni prenos zvuka. Bočni prenos zvuka [2] Prenos zvuka između dva prostora ne zavisi samo od razdelnog elementa, vec i od bočnog prenosa. Ovi prenosi idu putem bočnih zidova, poda i plafona. Obično je bočni prenos manji od direktnog prenosa zvuka. Ukoliko ga želimo dodatno umanjiti, potrebno je izolovati bočne zidove, pod i plafon. U fazi projektovanja možemo odvojiti konstruktivne elemente i na taj način smanjiti prenos zvuka. Ostali prenosi zvuka [3] Do ostalih prenosa zvuka dolazi radi takozvanog curenja zvuka. Najčešc a mesta curenja zvuka su pukotine i loše izrađeni slojevi između zida, plafona i poda, loše izolovan prostor oko vrata i prozora, neizolovani cevovodi i instalacioni prolazi kao i loše zidanje (premalo maltera između opeke). Neadekvatno projektovan ventilacioni sistem c e takođe povec ati prenos zvuka. Bočni prenos zvuka Ostali prenosi zvuka [3] Ukoliko kroz naše pregrade može da procuri voda, procurit c e i zvuk. 12

13 ZVUČNA IZOLACIJA 13

14 ZVUČNA IZOLACIJA Merenje i prikaz jednobrojnog indeksa zvučne izolacije Rw Rezultate ispitivanja zvučno-izolacione moc i pregradnog zida prikazujemo dijagramom koji za svako pojedino frekventno područje pokazuje indeks zvučne izolacije R. Jačinu zvuka merimo u više frekventnih područja u oba prostora, predajnom i prijemnom. Za svaki prostor dobijemo 1 dijagram (L1 i L2) koji prikazuje nivo jačine zvuka u pojedinim frekvencijskim područjima. Razlika grafova L1 i L2 nam pokazuje kolika je izolaciona moc R pregrade u pojedinim frekvencijskim područjima. R indeks R indeks U prisustvu bočnog prenosa, a zavisno od kvaliteta gradnje zida, standardizovani indeks zvučne izolacije meren in situ R je evidentno manji od indeksa zvučne izolacije R merenog u laboratoriji: R > R R [db] 60 L1 R [db] 60 L Frekvencija [Hz] Frekvencija [Hz] 14

15 ZVUČNA IZOLACIJA Za jednostavnije razumevanje, dijagram se svodi na 3 broja: Rw: srednja vrednost indeksa izolacione moc i koji prikazuje izolacionu moc pregrade C: spektralna korekciona vrednost koja pokriva buku srednje frekvencije kao što je govor Ctr: spektralna korekciona vrednost koja pokriva buku srednje frekvencije kao što je saobrac ajna buka Što je vec a vrednost Rw, bolja je izolaciona moc zida. Puno je moguc ih prenosnih puteva zvuka u zgradi i mnogo faktora koji utiču na kvalitet zvučne izolacije. Zbog toga se može očekivati slabiji rezultat merenja u zgradi nego u laboratoriji. Za iste konstrukcije, laboratorijska merenja c e obično pokazivati 4-5 db bolju zvučno-izolacionu karakteristiku od merenja izvršenih u dovršenim objektima. Indeks Ctr koristimo za proračun zvučne izolacije od spoljnog zvuka i zvuka koji sadrži mnogo energije u niskom području (motorna vozila, disko muzika, mlazni avion, fabrike). Indeks C koristimo za proračun izolacije od unutrašnje buke odnosno pregradnih zidova (govor, televizija, dečja igra). Indeks zvučne izolacije R se ispituje u laboratoriji gde su testne sobe izgrađene tako da rezultat vec inom beleži samo direktan prenos zvuka. S R = L1 - L Log [db], A r gde je L1 - nivo zvuka u predajnoj sobi L2 - nivo zvuka u prijemnoj sobi S 10 Log - korekcija nivoa zvuka u prijemnom prostoru A r nastala zbog akustičnih karakteristika elemenata prijemnog prostora S - površina pregradnog zida Ar - ekvivalentna apsorpciona površina prijemne prostorije korekcija nivoa zvuka + = 10 Log S A r 80 R [db] 60 L1-L2 R [db] 60 R Frekvencija [Hz] Frekvencija [Hz] 15

16 ZVUČNA IZOLACIJA Princip zvučne izolacije pregradnih zidova Za pravi odabir sistema bitno je znati po kojim principima pregradni zid izoluje zvuk. Za poboljšanje zvučne izolacije pregradnog zida postoji nekoliko rešenja. Zvučnu izolaciju možemo poboljšati povec anjem mase odnosno debljine zida (zakon mase). Međutim, možemo graditi i višestruki zid tako da odelimo 2 mase vazduhom i kamenom vunom ROCKWOOL (princip masa-opruga-masa). Zakon mase Zakon mase nam govori da ukoliko udvostručimo masu pregradnog zida, njegov c e se indeks zvučne izolacije povec ati za samo 5 db. To znači da udvostručavanjem debljine zida sa 15 cm na 30 cm nec emo značajno poboljšati njegova zvučnoizolaciona svojstva, a udvostručic emo masu konstrukcije. Osim što bismo takvim načinom gradnje smanjili koristan prostor, takođe bismo narušili i stabilnost konstrukcije. Kod jednostrukih zidova, za koje važi zakon mase, postoji i kritični frekvencijski opseg u čijem području zid bitno gubi na svojim zvučno-izolacionim svojstvima. Takođe se ogleda i vec i pad izolacionih svojstava ispod kritične frekvencije. Iz tih razloga koristimo višestruke zidove kako bismo postigli dobru akustičnu izolaciju. Udvostručenje mase povec ava zvučnu izolaciju za samo 5 db. Sistem masa-opruga-masa sastavljen je od dve mase (gips-kartonske ploče - 2 ) sa elastičnim materijalom između (kamena vuna - 1) Masa-opruga-masa Kada gradimo pregradni zid po principu masa-opruga-masa obezbeđujemo vec u zvučnu izolacionu moc uz puno manju ukupnu težinu pregradnog zida. To postižemo udaljavanjem masa. Što je vec a udaljenost između dve mase to je vec a izolaciona moc. Povec avanje tih masa zasebno, odnosno povec anje debljine svakog dela posebno, takođe poboljšava zvučnu izolaciju. Međutim, takva konstrukcija poseduje sopstvenu frekvenciju rezonance sistema i frekvenciju rezonance generisanu razmakom između svojih delova. Taj problem rešavaju ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA. Korišc enje razdvojenih masa sa ispunom od kamene vune (lagani pregradni zid) je najefikasniji način poboljšanja akustičnih svojstava s manjom ukupnom masom i boljim zvučno-izolacionim svojstvima u odnosu na uobičajene zidane i betonske pregrade. Pregradni zidovi od gips - kartonskih ploča i ROCKWOOL kamene vune između njih predstavljaju ekonomično i efikasno rešenje po pitanju akustičnih svojstava. 16

17 ZVUČNA IZOLACIJA Opruga (kamena vuna) Kamena vuna koristi se uglavnom u akustičnim sistemima masaopruga-masa kao elastični materijal zahvaljujuc i svojoj vlaknastoj strukturi. Kad zvučni talas ulazi u vlaknasti materijal, akustična energija molekula vazduha postepeno se prigušuje trenjem na površini vlakana. Energija zvuka u vlaknastoj strukturi kamene vune razbija se i pretvara u druge oblike energije, najvec im delom u toplotnu energiju. Otpor strujanju vazduha AFr (kpa s/m 2 ) Otpor strujanju zraka određuje sposobnost vlaknastog i otpor strujanju vazduha određuje sposobnost vlaknastog i poroznog materijala da rasipa akustičnu energiju trenjem. Otpor strujanju vazduha se povec ava sa gustinom, a zavisi i od debljine vlakana i strukture kamene vune. Niske vrednosti ukazuju da materijal nije prepreka prolazu akustičnog talasa, dok visoke vrednosti ukazuju da je materijal dobra prepreka prolazu akustičnog talasa. Viša vrednost otpora strujanju vazduha se može postic i povec anjem gustine proizvoda od kamene vune. Otpor strujanju vazduha kamene vune ROCKWOOL Acoustic iznosi AFr = 12 kpa s/m 2, a za ROCKWOOL Acoustic EXTRA iznosi AFr = 25 kpa s/m 2, što je pokazatelj njezinih odličnih zvučnoapsorpcionih svojstava. Stabilnost ROCKWOOL proizvodi izrađeni od vulkanskog kamena imaju dugotrajnu stabilnost koja osigurava nepromenjivost dimenzija, gustine, orijentacije i prečnika vlakana. Struktura Akustična svojstva kamene vune uglavnom zavise od strukture materijala: gustine, orijentacije vlakana, veziva i eventualnih aditiva. ROCKWOOL proizvodi imaju različite strukture zavisno od njihove namene (toplotna izolacija, zaštita od požara i zaštita od buke). Struktura proizvoda ROCKWOOL Acoustic i ROCKWOOL Acoustic EXTRA obezbeđuje vrhunske karakteristike za sve tri namene. ROCKWOOL kamena vuna (Acoustic i Acoustic EXTRA) značajno poboljšava zvučnu izolaciju jer se sastoji od mnogo višesmerno isprepletenih vlakana koja čine otvorenu strukturu idealnu za upijanje i regulisanje buke. 17

18 ZVUČNA IZOLACIJA Tipovi pregradnih zidova Pregradni zidovi od gips-kartonskih ploča i šupljine ispunjene ROCKWOOL kamenom vunom predstavljaju najefikasnije i ekonomično odvajanje dva prostora u akustičnom smislu. Prikaz jednostruke i višestruke podkonstrukcije Lagana dvostruka masa sastoji se od dva odvojena sloja gipskartonskih ploča odvojenih metalnim profilima. Dvostruki lagani zidovi se opisuju kao sistem masa-opruga-masa jer imaju dve mase i vazdušni prostor između. Kad se vazdušni prostor (šupljina) između dve mase ispuni ROCKWOOL kamenom vunom, indeks zvučne izolacije R se znatno poboljša. Dijagram prikazuje poređenje pregradnog zida sa i bez ispune od ROCKWOOL kamene vune u šupljini između dve mase. Podaci se temelje na laboratorijskim merenjima. Rezultat u korist ugrađivanja ROCKWOOL kamene vune je poboljšanje Rw za +13 db. Da bismo dodatno doprineli zvučnoj izolaciji, možemo izvoditi i višestruki pregradni zid koji se od običnog dvostrukog pregradnog zida razlikuje u podkonstrukciji. Višestruka podkonstrukcija bolje odvaja mase te se na taj način smanjuje uticaj takozvanog zvučnog mosta. Takvim načinom izvođenja možemo poboljšati zvučnu izolaciju za do 5 db R bez kamene vune R sa kamenom vunom , ,5 125 Zvučna izolaciona moc R [db] Frekvencija [Hz] Hz R sa R bez 36,9 32, ,3 21, ,6 29, ,4 37, ,5 35, ,1 32, ,5 39, ,2 42, , ,4 49,2 0 60,4 51, ,3 54, ,1 55, , ,2 47, ,3 49, ,3 53, ,7 61,7 Rw C -3-3 Ctr Gips - kartonska ploča debljine 12,5 mm 2 Metalni C profili 3 Metalni U nosači 18

19 ZVUČNA IZOLACIJA 19

20 ZVUČNA IZOLACIJA Jednostruki pregradni zid Kod jednostrukog pregradnog zida smanjuje se nivo izolacije oko njegove rezonantne frekvencije. Rezonantnu frekvenciju možemo smanjiti povec anjem debljine (masa) slojeva i udaljenosti između slojeva kao i ugradnjom ROCKWOOL kamene vune unutar šupljine. ROCKWOOL Acoustic 40 mm Frekvencija R [Hz] [db] Zvučna izolaciona moc R [db] Eksperimentalna kriva Referentna kriva 21, , , , , , , , , ,1 0 58, , , , , , , Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic - 40 kg/m 3-40 mm 3 Metalni okvir debljine 50 mm 12,5 12, RW = 52,0 db C = -4 db Ctr = -11 db Frekvencija [Hz] Jedan metalni okvir 50 mm 4 standardne gips-kartonske ploče ROCKWOOL Acoustic 40 mm Izveštaj o ispitivanju br.: I.G Ekonomičan i tanak jednostruki pregradni zid, male sopstvene težine sa adekvatnom zaštitom za sve izvore zvuka. 20

21 ZVUČNA IZOLACIJA ROCKWOOL Acoustic 60 mm Frekvencija R [Hz] [db] Zvučna izolaciona moc R [db] Eksperimentalna kriva Referentna kriva 14, , , , , , , , , ,9 0 63, , , , , , , Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic - 40 kg/m 3-60 mm 3 Metalni okvir debljine 75 mm 12, RW = 46,0 db C = -5 db Ctr = -13 db Frekvencija [Hz] Jedan metalni okvir 75 mm 2 standardne gips-kartonske ploče ROCKWOOL Acoustic 60 mm Izveštaj o ispitivanju br.: I.G Ekonomičan i tanak jednostruki pregradni zid, minimalne sopstvene težine sa vrlo dobrom izolacijom zvučnih izvora poput govora i televizije. 21

22 ZVUČNA IZOLACIJA Višestruki pregradni zid Višestruke pregradne zidove dobijamo prekidom zvučnih mostova odnosno udvostručavanjem podkonstrukcije. Na taj način svaka strana zida dobija svoju podkonstrukciju i svoj sloj kamene vune te se tako umanjuje prenos zvuka iz prostora u prostor. To je najbolji način zvučne izolacije u području niskih frekvencija poput glasne reprodukcije muzike i instrumenata koji sadrže veliku zvučnu energiju u niskom području zvuka. ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Eksperimentalna kriva Referentna kriva Frekvencija R [Hz] [db] 39, , , , , , , , ,5 12,5 12, Zvučna izolaciona moc R [db] , , ,9 0 66, , , , , , ,9 1 Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic EXTRA - 70 kg/m mm 3 Metalni okvir debljine 50 mm 4 Vazdušni razmak od 1 cm između dva metalna okvira Frekvencija [Hz] RW = 60,0 db C = -2 db Ctr = -6 db Dupli metalni okvir 50 mm 4 standardne gips-kartonske ploče ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Izveštaj o ispitivanju br.: IGH 2160/104/13-/14 Vrhunska izolacija na niskim frekvencijama poput disko muzike, muzičkog studija i sličnih izvora zvuka. 22

23 ZVUČNA IZOLACIJA Moguc e je dodati i trec u masu (gips-kartonska ploča) na jednu od unutrašnjih strana dodatne podkonstrukcije. Na taj način c emo dobiti vrhunsku zvučnu izolaciju zvuka u području ljudskog govora, televizora, radija itd. Zvučna izolaciona moc R [db] ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Eksperimentalna kriva Referentna kriva Frekvencija R [Hz] [db] 30, , , , , , , ,4 0 74, , , , , , , , Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 2 ROCKWOOL Acoustic EXTRA - 70 kg/m mm 3 Metalni okvir debljine 75 mm 4 Standardne gips-kartonske ploče debljine 12,5 mm 12, , ,5 7,5 12, Frekvencija [Hz] RW = 65,0 db C = -6 db Ctr = -15 db Dupli metalni okvir 75 mm 5 standardnih gips-kartonskih ploča ROCKWOOL Acoustic EXTRA mm Izveštaj o ispitivanju br.: I.G Višestruki pregradni zid velike debljine, koji osigurava vrhunsku zvučnu izolaciju za izvore zvuka poput glasnog govora, televizije, emitovanja muzike i plača bebe. Idealno za objekte koji zahtevaju uslove za ugodan i miran boravak (hoteli, vile...) 23

24 ZVUK Tehničke karakteristike proizvoda od kamene vune ROCKWOOL 24

25 ZVUK ROCKWOOL Acoustic [ ] ROCKWOOL Acoustic EXTRA [ ] 25

26 ZVUK ROCKWOOL Acoustic [ ] ROCKWOOL Acoustic su akustične izolacione ploče od kamene vune srednje gustine posebno prilagođene za zvučnu i toplotnu izolaciju pregradnih zidova. Dimenzije proizvoda i podaci o pakovanju Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakovanje 10,80 8,64 7,20 5,76 4,32 3,60 m 2 / paleta 172,80 138,24 115,20 92,16 69,12 57,60 Proizvodi se isporučuju u paketima na drvenim paletama dimenzija 1200x1200x2520mm, zaštic eni PE folijom. Tehnički parametri Svojstvo Simbol Vrednost Norma Reakcija na požar - A1 EN Otpor strujanju vazduha AFr 12 r 12 kpa s/m² EN Koeficijent toplotne provodljivosti - λ D = 0,035 W/[mK] EN Kratkotrajna vodoupojnost WS 1 kg/m 2 EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3 kg/m 2 EN Paropropustnost MU1 μ = 1 EN Gustina - ρ = 40 kg/m 3 EN 1602 Tačka topljenja - T t > 0 C DIN 4102 Ključ za obeležavanje MW-EN T4-DS(70,90)-WS-WL(P)-MU1-AF r 12 Izjava o svojstvima (DoP) CPR-DoP-ADR-061 MW - mineralna vuna; EN - evropska norma; Ti - tolerancija debljine; DS(70,90) - dimenziona stabilnost pri određenim uslovima temperature i relativne vlažnosti vazduha; WS - kratkotrajna vodoupojnost; WL(P) - dugotrajna vodoupojnost; MUi - difuzija vodene pare (paropropusnost); AFi - otpor strujanju vazduha Debljina i R D Debljina (mm) Toplotni otpor R D [m 2 K/W] 1,10 1,40 1,70 2,25 2,85 3,40 26

27 ZVUK ROCKWOOL Acoustic EXTRA [ ] ROCKWOOL Acoustic EXTRA su akustične izolacione ploče od kamene vune velike gustine posebno prilagođene za zvučnu i toplotnu izolaciju pregradnih zidova. Često se koristi samostalno kao akustična obloga (absorber) ili u sistemu sa perforiranim dekorativnim oblogama. Dimenzije proizvoda i podaci o pakovanju Debljina (mm) Dužina x širina (mm) 1200 x 600 m 2 / pakovanje 8,64 5,76 5,76 4,32 2,88 2,88 m 2 / paleta 86,40 69,12 57,60 43,20 34,56 23,04 Proizvodi se isporučuju u paketima na drvenim paletama dimenzija 1200x1200x2520mm, zaštic eni PE folijom. Tehnički parametri Svojstvo Simbol Vrednost Norma Reakcija na požar - A1 EN Otpor strujanju vazduha AFr 25 r 25 kpa s/m² EN Koeficijent toplotne provodljivosti - λ D = 0,033 W/[mK] EN Kratkotrajna vodoupojnost WS 1 kg/m 2 EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3 kg/m 2 EN Paropropustnost MU1 μ = 1 EN Gustina - ρ = 70 kg/m 3 EN 1602 Tačka topljenja - T t > 0 C DIN 4102 Ključ za obeležavanje MW-EN T4-DS(70,90)-WS-WL(P)-MU1-AF r 25 Izjava o svojstvima (DoP) CPR-DoP-ADR-062 MW - mineralna vuna; EN - evropska norma; Ti - tolerancija debljine; DS(70,90) - dimenziona stabilnost pri određenim uslovima temperature i relativne vlažnosti vazduha; WS - kratkotrajna vodoupojnost; WL(P) - dugotrajna vodoupojnost; MUi - difuzija vodene pare (paropropusnost); AFi - otpor strujanju vazduha Debljina i R D Debljina (mm) Toplotni otpor R D [m 2 K/W] 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,20 27

28 ZVUK 08/16 SRB ROCKWOOL ADRIATIC d.o.o. Kancelarija prodaje Radnička cesta 80 HR - 00 Zagreb Tel Fax info.rs@rockwool.com Pravna napomena: Ovaj dokument nudi opšte informacije o ROCKWOOL proizvodima koji su na raspolaganju na području ROCKWOOL ADRIATIC. Opšte informacije nisu garancija za tehničke parametre određenog proizvoda. Ti su parametri na raspolaganju u našim tehničkim i prodajnim službama koje na zahtev kupca dostavljaju odgovarajuc e podatke i pripadajuc e ateste za pojedine proizvode. Reklamacije koje se pozivaju na ovaj dokument i navode u njemu su bez osnova i unapred ih odbacujemo. Zadržavamo pravo izmene sadržaja u dokumentu u bilo koje vreme, bez prethodne najave. 28

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT

ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT ZVUK ROCKWOOL ZVUČNA IZOLACIJA ZA UDOBNIJI I MIRNIJI ŽIVOT 1 ZVUK Što nam narušava kvalitetu života, nevidljivo je i neopipljivo, nema boje, mirisa i okusa, a sveprisutno je? Koja je to vrsta zagađenja

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Oblaganje zidova Rigips RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW. Oblaganje zidova

Oblaganje zidova Rigips RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW. Oblaganje zidova Projektovanje i gradnja u sistemu RB pločama sa zidnom slobodno stojećom metalnom potkonstrukcijom CW/UW vrši se RB pločama sa zidnom metalnom potkonstrukcijom CW/UW širine 50, 75 ili 100 mm. Zvučna zaštita

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

BUKA U ZATVORENOM PROSTORU

BUKA U ZATVORENOM PROSTORU BUKA U ZATVORENOM PROSTORU Matematički modeli zvučnog polja Zvučno polje u zatvorenom prostoru velikih dimenzija modelira se primenom: Geometrijskog modela. Zvučni fenomeni se opisuju i objašnjavaju osnovnim

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Tehnička regulativa gradnje Zaštita od buke u zgradarstvu ZVUČNA IZOLACIJA PREGRADNIH ZIDOVA

Tehnička regulativa gradnje Zaštita od buke u zgradarstvu ZVUČNA IZOLACIJA PREGRADNIH ZIDOVA i 1998 TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU Graditeljski odjel 10010 Zagreb, Avenija V. Holjevca 15 STRUČNO USAVRŠAVANJE OVLAŠTENIH ARHITEKATA I OVLAŠTENIH INŽENJERA XIV. tečaj 8. i 9. veljače 2013. Tema: Tehnička

Διαβάστε περισσότερα

P I T A NJ A. Standrad SRPS EN 6946

P I T A NJ A. Standrad SRPS EN 6946 P I T A NJ A Standrad SRPS EN 6946 1. Navesti kriterijume na osnovu kojih građevinski element spada u grupu neventilisanih, slabo ventilisanih ili dobro ventilisanih vazdušnih prostora. Vazdušni sloj se

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA ZAGREB

ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA ZAGREB ZAŠTITA OD BUKE LINIJA PROIZVODA ZA REDUKCIJU BUKE TEHNOGUMA D.O.O. CMP SAVICA ŠANCI OBRTNIČKA 1 10 000 ZAGREB ZAŠTITA OD BUKE APSORPCIJA ZVUKA I ZVUČNA IZOLACIJA Što je buka? Buka je jaki zvuk koji izaziva

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti-

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- Prenos toplote preko poda (temelja) koji je u kontaktu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα