3. Τρισδιάστατα γραφικά
|
|
- Ειδοθεα Καζαντζής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. Τρισδιάστατα γραφικά 3.1 Τρισδιάστατες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Μία συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί ως μία τρισδιάστατη επιφάνεια. Η βασική εντολή σχεδίασης, του Sage, μιας γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι η συνάρτηση plot3d. plot3d(f(x, y), (x, xmin, xmax), (y, ymin, ymax), options) σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) πάνω στο ορθογώνιο που ορίζουν τα διαστήματα [xmin, xmax] και [ymin, ymax]. Ας σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = x, y [ 1,1]. 2 2 x y για 9 4 In[1]: y=var('y') plot3d(x^2/9 - y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1) ) Out[1]:= Η επιφάνεια αυτή δεν είναι άλλη από το υπερβολικό παραβολοειδές δηλ. το «σαμάρι». Σημειώστε ότι αν πάμε τον κέρσορα του ποντικιού πάνω στη σχεδιασμένη επιφάνεια και κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού και ταυτόχρονα κινώντας το ποντίκι μπορούμε να δούμε από διάφορες όψεις τη σχεδιασμένη επιφάνεια. 1
2 3.2 Οι επιλογές των τρισδιάστατων γραφικών Το Sage, προκειμένου να αποδώσει καλύτερα τη τρισδιάστατη γραφική παράσταση με αισθητικά ικανοποιητικό τρόπο, ρυθμίζει από μόνο του όλες τις λεπτομέρειες που θα οδηγήσουν στο αποτέλεσμα αυτό (π.χ. κλίμακα, τοποθέτηση αξόνων, χρωματισμούς, κ.τ.λ.) και τις περισσότερες φορές το επιτυγχάνει. Παρ όλα αυτά το Sage μας δίνει την δυνατότητα να επηρεάσουμε το αποτέλεσμα με διάφορους τρόπους, ώστε να πάρουμε τη τρισδιάστατη γραφική παράσταση που επιθυμούμε. Αυτό γίνεται παραθέτοντας στη σύνταξη της εντολής plot3d, οποιεσδήποτε από τις επιλογές που τη συνοδεύουν, και μάλιστα γράφοντας τις με οποιαδήποτε σειρά. Κάθε επιλογή έχει μία προκαθορισμένη τιμή (προεπιλογή), την οποία παίρνει αυτόματα από το Sage εφόσον δεν ζητήσουμε κάτι διαφορετικό. Υπάρχει αρκετή ομοιότητα στις επιλογές για την γραφική παράσταση επιφανειών και καμπυλών στο χώρο, με τις αντίστοιχες που γνωρίσαμε στα δισδιάστατα γραφικά. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε μερικές από τις επιλογές που χρησιμοποιούνται συχνότερα adaptive Παρατηρούμε, ότι η επιφάνεια σχεδιάζεται μονόχρωμα. Με την επιλογή adaptive μπορούμε να σχεδιάσουμε με φινέτσα την επιφάνεια χρησιμοποιώντας περισσότερα χρώματα. adaptive = False (προεπιλογή) σχεδιάζει την επιφάνεια μονόχρωμα. adaptive = True σχεδιάζει με φινέτσα την επιφάνεια, χρησιμοποιώντας περισσότερα χρώματα. Σημειώστε ότι η χρήση της επιλογής adaptive οδηγεί σε ποιο αργή αλλά πιο φινετσάτη σχεδίαση. Επίσης δεν In[2]: plot3d(x^2/9 - y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), adaptive=true ) Out[2]:= 2
3 3.2.2 plot_points Για να σχεδιαστεί η επιφάνεια επιλέγονται (αυτόματα) ένας αριθμός σημείων σε κάθε κατεύθυνση, nx και ny αντίστοιχα, οπότε έχουμε nx x ny σημεία πάνω στο επίπεδο Οxy. Αυτά είναι τα δειγματοληπτικά σημεία (plot_points) δηλ. σε κάθε ένα από αυτά υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης f(x, y) και στην συνέχεια με βάση αυτές τις τιμές, σχεδιάζεται η επιφάνεια. Η επιλογή plot_points καθορίζει τα σημεία που χρησιμοποιεί το Sage σε κάθε άξονα για τη δημιουργία των γραφημάτων. Όπως είδαμε η προεπιλογή είναι αυτόματη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα πολλές φορές τη δημιουργία γραφημάτων με «οδοντωτές» επιφάνειες. Είναι λοιπόν ευνόητο ότι στις περιπτώσεις που θέλουμε καλύτερη ακρίβεια στην γραφική παράσταση να παίρνουμε περισσότερα σημεία (plot_points). plot_points = automatic (προεπιλογή) σε κάθε άξονα επιλέγονται αυτόματα ένας αριθμός σημείων. plot_points = n καθορίζει ότι σε κάθε άξονα θα χρησιμοποιηθούν n σημεία plot_points = (nx, ny) καθορίζει ότι στον άξονα x θα χρησιμοποιηθούν nx σημεία, ενώ στον άξονα y θα χρησιμοποιηθούν ny σημειά. 3
4 In[3]: plot3d( sin(x^2 + y^2), (x 5, 5), (y, -5, 5), plot_points=50) Out[3]: In[4]: plot3d( sin(x^2 + y^2), (x 5, 5), (y, -5, 5), plot_points=(10, 20) ) Out[4]: 4
5 3.2.3 aspect_ratio Η επιλογή aspect_ratio καθορίζει τους λόγους των πλευρών του παραλληλεπιπέδου, μέσα στο οποίο τοποθετείται το γράφημα. aspect_ratio = automatic (προεπιλογή) καθορίζει τους λόγους ανάλογα με τα πραγματικά μήκη των αξόνων. aspect_ratio = (x, y, z) καθορίζει αυστηρώς τους λόγους των πλευρών του διάφανου κουτιού (Box) ανάλογα με τα πραγματικά μήκη των αξόνων. In[5]: plot3d( x^2/9 - y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), aspect_ratio=(1, 1, 1) ) Out[5]: Αυτό βέβαια δεν είναι πάντα επιθυμητό γιατί χάνουμε κάποια χαρακτηριστικά της επιφάνειας. Π.χ δεν φαίνεται καθαρά το «σαμαρωτό» σχήμα της επιφάνειας. Με aspect_ratio = (1,1,4) θα έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα. In[6]: plot3d( x^2/9 - y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), aspect_ratio=(1, 1, 4) ) Out[6]: 5
6 3.2.4 color Η επιλογή color καθορίζει το χρώμα με το οποίο θα σχεδιασθεί η γραφική παράσταση. color = (r, g, b) color = string καθορίζει το χρώμα ως συνδυασμός τριών χρωμάτων, του κόκκινου (r), του πράσινου (g) και του μπλε (b). Δίνοντας σε κάθε ένα από τα r, g, b, τιμές στο διάστημα [0, 1]. Εξ ορισμού έχει την τιμή (0, 0, 1) που αντιστοιχεί στο μπλε χρώμα. το χρώμα καθορίζεται με τη χρήση μίας συμβολοσειράς π.χ. red, blue, purple κ.τ.λ. In[7]: plot3d(x^2/9 - y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), color ='orange') Out[7]: 3.3. Σχεδίαση δύο ή περισσοτέρων επιφανειών στο ίδιο σύστημα αξόνων. Με τη συνάρτηση plot3d, σε αντίθεση με τη συνάρτηση plot, μπορούμε να σχεδιάσουμε μόνο μία τρισδιάστατη επιφάνεια. Η συνάρτηση show, την οποία την είδαμε στα δισδιάστατα γραφήματα, μας επιτρέπει να εμφανίζουμε πολλές επιφάνειες στο ίδιο σύστημα αξόνων. Στο επόμενο παράδειγμα φαίνεται η τομή δύο παραβολοειδών. In[8]: g1=plot3d(x^2+y^2, (x, -3, 3), (y, -3, 3), color='red') g2=plot3d(16 - (x^2+y^2),(x, -3, 3), (y, -3, 3), color='green') show(g1+g2) Out[8]: 6
7 Επειδή τα δύο παραβολοειδή δεν φαίνονται καθαρά μπορούμε με την επιλογή aspect_ratio να αλλάξουμε την αναλογία των αξόνων έτσι ώστε να είναι ξεκάθαρο ότι σχεδιάσαμε δύο παραβολοειδή. In[9]: g1=plot3d(x^2+y^2, (x, -3, 3), (y, -3, 3), color='red') g2=plot3d(16 - (x^2+y^2),(x, -3, 3), (y, -3, 3), color='green') show(g1+g2, aspect_ratio=(1, 1, 0.5)) Out[9]: 7
8 3.4 Επιπλέον συναρτήσεις για τρισδιάστατα γραφικά Γραφική παράσταση επιφάνειας που ορίζεται παραμετρικά Τη γραφική παράσταση μιας επιφάνειας, που ορίζεται με την βοήθεια παραμέτρων την παίρνουμε με την εντολή parametric_plot3d. Τέτοιες επιφάνειες λέγονται παραμετρικές επιφάνειες. Αυτές οι επιφάνειες μπορεί να τέμνουν τον εαυτό τους ή να κουλουριάζουν γύρω από κάποιο άξονα κ.ο.κ. Τέτοιες δυνατότητες δεν έχει η plot3d. parametric_plot3d( (fx, fy, fz), (u, umin, umax) ) όπου fx, fy, fz συναρτήσεις της μεταβλητής u. Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που ορίζεται παραμετρικά ως προς την παραμέτρου u πάνω στο διάστημα [umin, umax]. parametric_plot3d( (fx, fy, fz), (u, umin, umax), (v, vmin, vmax) ) όπου fx, fy, fz συναρτήσεις των μεταβλητών u και v. Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που ορίζεται παραμετρικά ως προς τις παραμέτρου u, v πάνω στο ορθογώνιο που ορίζουν τα διαστήματα [umin, umax] και [vmin, vmax]. In[10]: u = var('u') parametric_plot3d( (sin(u), cos(u), u/10), (u, 0, 20)) Out[10]: 8
9 Π.χ αν θέλουμε να σχεδιάσουμε το σαμάρι δεν έχουμε παρά να θέσουμε τον x ίσο με την πρώτη παράμετρο u, το y ίσο με την δεύτερη παράμετρο v και το z (δηλ. το ύψος f[x,y]) ίσο με f[u,v]: In[11]: v = var('v') parametric_plot3d( (u, v, u^2/9-v^2/4), (u, -1, 1), (v, -1, 1) ) Out[11]: Με παραμετρικές εξισώσεις μπορούμε να ορίσουμε (και να σχεδιάσουμε κατά συνέπεια) τον τόρο, διάφορες κυλινδρικές επιφάνειες, παραβολοειδή, την σφαίρα κ.ο.κ. In[12]: f1 = (4+(3+cos(v))*sin(u), 4+(3+cos(v))*cos(u), 4+sin(v)) f2 = (8+(3+cos(v))*cos(u), 3+sin(v), 4+(3+cos(v))*sin(u)) p1 = parametric_plot3d(f1, (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), color="red") p2 = parametric_plot3d(f2, (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), color="blue") p1 + p2 Out[12]: 9
10 In[13]: fx = cos(u)*sin(v) fy = sin(u)*sin(v) fz = (cos(v)+log(tan(v/2))) + 0.2*u parametric_plot3d((fx, fy, fz), (u, 0, 12.4), (v, 0.1, 2),frame=False, color='pink') Out[13]: In[14]: parametric_plot3d((u*cos(v), u*sin(v), u), (u, -1, 1), (v, 0, 2*pi+0.5), plot_points=[50,50]) Out[14]: 10
11 3.4.2 Γραφική παράσταση επιφάνειας που ορίζεται με κυλινδρικές συντεταγμένες Τη γραφική παράσταση μιας επιφάνειας, που ορίζεται με την βοήθεια κυλινδρικών συντεταγμένων την παίρνουμε με την εντολή cylindrical_plot3d. cylindrical_plot3d( f, (u, umin, umax), (v, vmin, vmax) ) όπου f συνάρτηση δύο μεταβλητών u και v που αντιστοιχούν στις κυλινδρικές συντεταγμένες. Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης πάνω στο ορθογώνιο που ορίζουν τα διαστήματα [umin, umax] και [vmin, vmax]. In[15]: theta, z = var('theta, z') cylindrical_plot3d( cosh(z), (theta, 0, 2*pi), (z, -2, 2) ) Out[15]: In[16]: cylindrical_plot3d( e^(-z^2)*(cos(4*theta)+2)+1, (theta, 0, 2*pi), (z, -2, 2) ) Out[16]: 11
12 3.4.3 Γραφική παράσταση επιφάνειας που ορίζεται με σφαιρικές συντεταγμένες Τη γραφική παράσταση μιας επιφάνειας, που ορίζεται με την βοήθεια σφαιρικών συντεταγμένων την παίρνουμε με την εντολή spherical_plot3d. spherical_plot3d( f, (u, umin, umax), (v, vmin, vmax) ) όπου f συνάρτηση δύο μεταβλητών u και v που αντιστοιχούν στις σφαιρικές συντεταγμένες. Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης πάνω στο ορθογώνιο που ορίζουν τα διαστήματα [umin, umax] και [vmin, vmax]. Αρχικά ας σχεδιάσουμε μία σφαίρα ακτίνας 2. In[17]: phi = var('phi') spherical_plot3d( 2, (theta, 0, 2*pi), (phi, 0, pi) ) Out[17]: Στη συνέχεια θα σχεδιάσουμε κάτι που μοιάζει με καρδιά!!! In[18]: spherical_plot3d( (2+cos(2*theta)) * (phi+1), (theta, 0, 2*pi), (phi, 0, pi), color=(1, 0.1, 0.1) ) Out[18]: 12
13 3.4.4 Γραφική παράσταση επιφάνειας που ορίζεται πεπλεγμένα Τη γραφική παράσταση μιας επιφάνειας, που ορίζεται πεπλεγμένα την παίρνουμε με την εντολή implicit_plot3d. implicit_plot3d( f, (x, xmin, xmax), (y, ymin, ymax), (z, zmin, zmax) ) Σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της f για τα διαστήματα (xxmin, xmax), (ymin, ymax) και (zmin, zmax). Όπου f μία συνάρτηση ή μία ισότητα τριών μεταβλητών x, y και z. Αν η f είναι συνάρτηση, σχεδιάζει τη γραφική παράσταση της f(x, y,z) = 0. Προσοχή: Στον ορισμό της ισότητας το ίσον γράφεται ως == (με δύο ίσον). Αρχικά ας σχεδιάσουμε μία σφαίρα ακτίνας 2. In[19]: z=var('z') implicit_plot3d(x^2+y^2+z^2==4, (x, -3, 3), (y, -3,3), (z, -3,3)) Out[19]: Στη συνέχεια θα σχεδιάσουμε μία απλή υπερβολική επιφάνεια. In[20]: implicit_plot3d(x*x + y - z*z, (x, -1, 1), (y, -1, 1), (z, -1, 1)) Out[20]: 13
14 3.4.5 Τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Ορίζουμε ως ισοϋψή καμπύλη μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών f(x, y) το δισδιάστατο γράφημα της εξίσωσης f(x, y) = k για κάποια τιμή του k. Το υψομετρικό γράφημα (contour plot) είναι ένα σύνολο ισοϋψών καμπυλών που σχεδιάζονται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Η συνάρτηση contour_plot του Sage σχεδιάζει υψομετρικά γραφήματα συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Οι ισοϋψείς καμπύλες ενώνουν σημεία της επιφάνειας του υψομετρικού γραφήματος που έχουν το ίδιο ύψος. contour_plot(f(x, y), (x, xmin, xmax), (ymin,ymax)) Σχεδιάζει το υψομετρικό γράφημα της συνάρτησης f(x,y) μέσα σε ένα ορθογώνιο πλαίσιο που ορίζεται από τις συντεταγμένες xmin, xmax, και ymin και ymax. Η σχεδίαση των υψομετρικών γραφημάτων στο Sage γίνεται με σκίαση, με τέτοιο τρόπο ώστε οι περιοχές που αντιστοιχούν σε μεγαλύτερες τιμές της f(x, y) (δηλαδή σε μεγαλύτερα ύψη) να εμφανίζονται πιο φωτεινές. Όπως και με όλες τις συναρτήσεις γραφικών του Sage, έτσι και με τη συγκεκριμένη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και ένα σύνολο επιλογών για να ελέγχουμε την εμφάνιση των γραφημάτων. Ας δούμε κάποιες που είναι διαφορετικές από τις επιλογές των άλλων συναρτήσεων σχεδίασης γραφημάτων: contours = n καθορίζει τον αριθμό των ισοϋψών καμπυλών που θα σχεδιαστούν. Η προεπιλογή είναι 8 ισοκατανεμημένες ισοϋψής καμπύλες. contours = (k1, k2, ) σχεδιάζει τις ισοϋψείς καμπύλες που αντιστοιχούν στις τιμές k1, k2, colorbar = True colorbar = False (προεπιλογή) εμφανίζει δίπλα στο γράφημα μία μπάρα στην οποία αντιστοιχεί τις διάφορες αποχρώσεις τιμές. δεν εμφανίζει την μπάρα των αποχρώσεων. 14
15 In[21]: contour_plot( x^2/9-y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), colorbar=true) Out[21]: In[22]: contour_plot( x^2/9-y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), colorbar=true, contours=20) Out[22]: 15
16 In[23]: contour_plot( x^2/9-y^2/4, (x, -1, 1), (y, -1, 1), colorbar=true, contours=( 0.2, 0.1, 0, 0.1)) Out[23]: 16
2. Δισδιάστατα γραφικά
2. Δισδιάστατα γραφικά 2.1 Δισδιάστατες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Η βασική εντολή σχεδίασης, του Sage, μιας γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης μίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά
2.3 Επιπλέον συναρτήσεις για δισδιάστατα γραφικά 2.3.1 Γραφική παράσταση καμπύλης που ορίζεται με παραμετρικές εξισώσεις Μερικές φορές, οι καμπύλες ορίζονται παραμετρικά, για παράδειγμα μπορεί οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση
2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση Η επιλογή title τοποθετεί μία επικεφαλίδα (τίτλο) στη γραφική παράσταση. title = None (προεπιλογή) title = επικεφαλίδα δεν θέτει καμία επικεφαλίδα θέτει ως επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές I
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Γραφικές παραστάσεις με το Maxima Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΧρησιµοποιούµε διαφορετικές εντολές ανάλογα µε τον τρόπο που περιγράφεται η επιφάνεια που µελετάµε. Έτσι έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις:
trisdiastatesparastaseis.nb 9.3 Τρισδιάστατες Γραφικές Παραστάσεις Υπάρχει αρκετή οµοιότητα στις εντολές και στις επιλογές για την γραφική παράσταση επιφανειών και καµπυλών στο χώρο, µε τις αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 8: Γραφικές παραστάσεις Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Λίστες - Πίνακες Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για να ορίσουμε τη λίστα χρησιμοποιούμε άγκιστρα {}, μέσα στα οποία βάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση του Mathematica
Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικός Ορισμός Τρισδιάστατου Χώρου
Μαθηματικός Ορισμός Τρισδιάστατου Χώρου (R 3 ), κατ επέκτασιν του διδιάστατου Ο R 3 είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x,y,z) Τα x, y και z έχουν τις εξής ιδιότητες: Το καθένα από αυτά διατρέχει
Διαβάστε περισσότερα3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι
Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima
Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Γραφικές απεικονίσεις. 4.1 Γραφικά στις δύο διαστάσεις Σχεδιάζοντας συμβολικές εκφράσεις και συναρτήσεις
Κεφάλαιο 4 4. Γραφικές απεικονίσεις Η γραφική απεικόνιση ενός μαθηματικού αντικειμένου είναι ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία ενός ΣΣΥ. Τα περισσότερα ΣΣΥ έχουν ένα δικό τους σύστημα γραφικών για να σχεδιάζουν
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. 1) Προβολή Γραμμές εργαλείων Σχεδίαση. ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΣΧΗΜΑΤΑ-ΕΙΚΟΝΕΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1
ΣΧΗΜΑΤΑ-ΕΙΚΟΝΕΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Για τη δημιουργία σχημάτων στο WORD χρησιμοποιείται η γραμμή εργαλείων της σχεδίασης. Τα βήματα που μπορεί να ακολουθήσετε για να εμφανίσετε τη γραμμή εργαλείων
Διαβάστε περισσότεραΓραφικές παραστάσεις (2ο μέρος)
Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή plot με πίνακες. Επίσης, θα δείτε επιπλέον εντολές
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45
Περιεχόμενα 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11 26.1 Η συνάρτηση plot...11 26.2 Στυλ γραμμών, σημειωτές, και χρώματα...14 26.3 Κάνναβοι διαγραμμάτων, πλαίσιο αξόνων, και ετικέτες...16 26.4 Προσαρμογή αξόνων
Διαβάστε περισσότεραΈνας απλός και γρήγορος αλγόριθμος για την αποκοπή γραμμών στο Scratch
Ένας απλός και γρήγορος αλγόριθμος για την αποκοπή γραμμών στο Scratch Ματθές Δημήτριος 1, Μαγουλάς Αντώνιος 2 1 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής ΠΕ86, dimmat@gmail.com 2 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής ΠΕ03, amagul@yahoo.com
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότερα5.1.1 Περιγραφή των συστατικών τμημάτων ενός γραφήματος
5. Γραφήματα 5.1 Εισαγωγή 5.1.1 Περιγραφή των συστατικών τμημάτων ενός γραφήματος Το Discoverer παρέχει μεγάλες δυνατότητες στη δημιουργία γραφημάτων, καθιστώντας δυνατή τη διαμόρφωση κάθε συστατικού μέρους
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 4. Άóêçóç 1. Άóêçóç 2. Χημικοί. Plot Sec x, x, 2 π, 2π. p1 Plot Abs 1 Abs x, x, 3, 3. 1 In[3]:= f x_ : 2 π. p2 Plot f x, x, 3,
Εργαστήριο 4 Χημικοί Άóêçóç. In[]:= Plot Sec x, x, π, π 6 4 Out[]= -6-4 - 4 6 - -4-6 Άóêçóç. In[]:= p Plot Abs Abs x, x, 3, 3.0.5 Out[]= -3 - - 3 In[3]:= f x_ : π x p Plot f x, x, 3, 3 0.4 0.3 Out[4]=
Διαβάστε περισσότερα1 ο Εργαστήριο Συντεταγμένες, Χρώματα, Σχήματα
1 ο Εργαστήριο Συντεταγμένες, Χρώματα, Σχήματα 1. Σύστημα Συντεταγμένων Το σύστημα συντεταγμένων που έχουμε συνηθίσει από το σχολείο τοποθετούσε το σημείο (0,0) στο σημείο τομής των δυο αξόνων Χ και Υ.
Διαβάστε περισσότεραx y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V
HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΟμάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την
Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Εργασία η ιουργία γραφικών αραστάσεων ε την 1 1 Λίστες Πίνακες Λίστες αντικειμένων Η λίστα στη Mathematica είναι ισοδύναμη με ένα μαθηματικό πίνακα. Για
Διαβάστε περισσότερα6. Στερεοσκοπική Απόδοση
6. Στερεοσκοπική Απόδοση Για τη στερεοσκοπική απόδοση και τη δηµιουργία ορθοφωτογραφίας θα εργαστείτε στο συνολικό µπλοκ. Η στερεοσκοπική απόδοση στον φωτογραµµετρικό σταθµό PHOTOMOD γίνεται στην ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή
Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»
Διαβάστε περισσότερα> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό
5 ο Εργαστήριο Λογικοί Τελεστές, Δομές Ελέγχου Λογικοί Τελεστές > μεγαλύτερο = μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό Οι λογικοί τελεστές χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε
Διαβάστε περισσότεραΗ εργασία που επέλεξες θα σου δώσει τη δυνατότητα να συνεργαστείς με συμμαθητές σου και να σχεδιάσετε μια εικονική εκδρομή με το Google Earth.
Μια εικονική εκδρομή με το Google Earth Αγαπητέ μαθητή, Η εργασία που επέλεξες θα σου δώσει τη δυνατότητα να συνεργαστείς με συμμαθητές σου και να σχεδιάσετε μια εικονική εκδρομή με το Google Earth. Εσύ
Διαβάστε περισσότερα2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ B Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..
Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Γενικά Επειδή οι επιφάνειε δευτέρου βαθμού συναντώνται συχνά στη μελέτη των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών θεωρούμε σκόπιμο να τι περιγράψουμε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΣΧΗΜΑΤΑ-ΕΙΚΟΝΕΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΕΙ Ηρακλείου Τμήμα Λογιστικής Πληροφορική I 5 η Εργαστηριακή άσκηση (WORD) ΣΧΗΜΑΤΑ-ΕΙΚΟΝΕΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΣΧΗΜΑΤΑ-ΕΙΚΟΝΕΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Για τη δημιουργία σχημάτων στο WORD χρησιμοποιείται
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα. Excel 2003
Γραφήματα Excel 2003 Ορολογία Τίτλος γραφήματος Σειρά δεδομένων Υπόμνημα Κατηγορίες Ετικέτες Δείκτες Περιοχή γραφήματος Περιοχή σχεδίασης γραφήματος Γραμμές πλέγματος Οδηγός γραφημάτων Για τη δημιουργία
Διαβάστε περισσότερα4 ο Εργαστήριο Τυχαίοι Αριθμοί, Μεταβλητές Συστήματος
4 ο Εργαστήριο Τυχαίοι Αριθμοί, Μεταβλητές Συστήματος Μεταβλητές Συστήματος Η Processing χρησιμοποιεί κάποιες μεταβλητές συστήματος, όπως τις ονομάζουμε, για να μπορούμε να παίρνουμε πληροφορίες από το
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότερα3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές
3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές Μια μεταβλητή έχει ένα όνομα και ουσιαστικά είναι ένας δείκτης σε μια συγκεκριμένη θέση στη μνήμη του υπολογιστή. Στη θέση μνήμης στην οποία δείχνει μια μεταβλητή αποθηκεύονται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009
ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης.
Σχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης. Το συγκεκριμένο εγχειρίδιο δημιουργήθηκε για να βοηθήσει την κατανόηση της διαδικασίας σχεδίασης μισθοδοτικής κατάστασης. Παρακάτω προτείνεται μια αλληλουχία ενεργειών
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων & Συστημάτων ΓΡΑΦΙΚΑ (6151) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΦΙΚΑ (6151) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 (Βαρύτητα 30%. Ομάδες: μέχρι 2 ατόμων): Ανάπτυξη 2Δ παιχνιδιού τύπου «ποδοσφαιράκι» το οποίο θα έχει τις παρακάτω λειτουργίες/δυνατότητες: Μπάλα:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης
Σχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης Το συγκεκριμένο εγχειρίδιο δημιουργήθηκε για να βοηθήσει την κατανόηση της Διαδικασίας Σχεδίασης Μισθοδοτικής Κατάστασης. Παρακάτω προτείνεται μια αλληλουχία ενεργειών
Διαβάστε περισσότεραΑνάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ
Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου
ΜΑΘΗΜΑ ΤΑΞΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου : Υπερβολή : Λυµπερόπουλος Ιωάννης. Σκοπός : Οι µαθητές να γνωρίζουν : α) Τον ορισµό της υπερβολής. β)
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΟι θέσεις ενός σημείου στο επίπεδο και στο χώρο Φύλλο εργασίας 1
Οι θέσεις ενός σημείου στο επίπεδο και στο χώρο Φύλλο εργασίας 1 1 2 3 Στη «Περιοχή επεξεργασίας αντικειμένων» επιλέξτε την εντολή «Νέο αντικείμενο» και στον κατάλογο που θα εμφανιστεί επιλέξτε «Ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη
Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ
του Υποπυραγού Αλέξανδρου Μαλούνη* Μέρος 2 ο - Χαρτογραφικοί μετασχηματισμοί Εισαγωγή Είδαμε λοιπόν ως τώρα, ότι η γη θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί και σφαιρική και αυτό μπορεί να γίνει εμφανές όταν την
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος
/4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z
Διαβάστε περισσότεραΚοιλότητα. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Κοιλότητα Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Κυρτή & Κοίλη συνάρτηση Ορισμός: Έστω y=f(x): f (x), λέμε ότι : η f(x) στρέφει (1) τα κοίλα άνω στο (α, β) ανοικτό αν y = f (x) (γνησίως) αύξουσα στο (α,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................
Διαβάστε περισσότερα{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Πίνακες (Arrays) [1/2] Δομές δεδομένων για την αποθήκευση δεδομένων υπό
Διαβάστε περισσότεραΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός
2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Συνάρτηση ονομάζεται η αλληλεξάρτηση (ή η σχέση) δυο μεταβλητών εις τρόπον ώστε για κάθε τιμή της μιας
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο Εργασίας για την y=αx 2
Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ
ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Προκειμένου να προσδιορίσουμε τη θέση ενός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα
Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,
Διαβάστε περισσότεραΠαιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx
Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου
Διαβάστε περισσότεραΑπεικόνιση καμπυλών και επιφανειών
Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Αφού μοντελοποιήσουμε τα αντικείμενα αλληλεπιδραστικά με καμπύλες και επιφάνειες πρέπει να τα απεικονίσουμε Αν χρησιμοποιούμε ray tracing πρέπει να υπολογίσουμε τομές
Διαβάστε περισσότεραΒασικό Επίπεδο στο Modellus
Βασικό Επίπεδο στο Modellus Το λογισµικό Modellus επιτρέπει στον χρήστη να οικοδοµήσει µαθηµατικά µοντέλα και να τα εξερευνήσει µε προσοµοιώσεις, γραφήµατα, πίνακες τιµών. Ο χρήστης πρέπει να γράψει τις
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης δύο μεταβλητών Ισουψείς καμπύλες Παραγώγιση Μερικές παράγωγοι πρώτου και δευτέρου βαθμού Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2
Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης
Σχεδίαση Μισθοδοτικής Κατάστασης Το συγκεκριμένο εγχειρίδιο δημιουργήθηκε για να βοηθήσει την κατανόηση της Διαδικασίας Σχεδίασης Μισθοδοτικής Κατάστασης. Παρακάτω προτείνεται μια αλληλουχία ενεργειών
Διαβάστε περισσότερακαι εδώ:
Σημειώσεις υπολογιστικής άλγεβρας με το πρόγραμμα maxima Αθανάσιος Σταυρακούδης 2 Απριλίου 2013 2 Αθανάσιος Σταυρακούδης Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στο Maxima 1 1.1 Λίγα ιστορικά στοιχεία..............................
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1
Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
Διαβάστε περισσότεραx 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5
1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΛεπτομέριες τοιχοποιίας Σχεδίαση κάτοψης
1 Λεπτομέριες τοιχοποιϊας Σχεδίαση κάτοψης Λεπτομέριες τοιχοποιίας Σχεδίαση κάτοψης Ξεκινώντας το πρόγραμμα εμφανίζονται οι επιλογές σχετικά με το τι θέλετε να κάνετε. Δημιουργώντας Νέο Δωμάτιο Όταν ο
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0
Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Παραμετρικές Εξισώσεις Παραμετρικές Εξισώσεις Άσκηση 1 Άσκηση 1 Λύση: (αριστερόστροφη) Άσκηση 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 2
Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 2 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.
Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης
Διαβάστε περισσότερα9. Τοπογραφική σχεδίαση
9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότερα