ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Transcript

1 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων για πραγματικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών Δίνουμε όμως πρώτα τον επόμενο γενικό ορισμό: «Έστω f συνάρτηση ορισμένη σ ένα τόπο Τ Θα λέμε ότι η f έχει σχετικό μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο) στο σημείο Ρ εσωτερικό του τόπου Τ, αν υπάρχει κατάλληλη περιοχή ω του Ρ, τέτοια ώστε για όλα τα σημεία Ρω να είναι f( P) f( P ) (αντίστοιχα f( P) f( P ))» Αυτά τα σχετικά ακρότατα είναι με την ευρεία έννοια Αν δεν ισχύει η ισότητα έχουμε ακρότατα με τη στενή έννοια Όπως και στη θεωρία των ακρότατων μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής, έτσι κι εδώ θα μελετήσουμε τις συνθήκες ύπαρξης ακρότατων συνάρτησης f πολλών μεταβλητών και θα βρούμε τα σημεία όπου η f έχει μέγιστο ή ελάχιστο Προς τούτο θα διακρίνουμε διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων πολλών μεταβλητών που θα αναζητήσουμε τα ακρότατα Αυτές είναι: Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 3_MATHEMATIKA II_indd 6 9//4 9:56: πμ

2 6 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f (x, y) και σημείο Ρ (x, y ) του τόπου ορισμού Τ R Αν το f (x, y ) είναι ένα σχετικό μέγιστο, τότε με βάση τον παραπάνω ορισμό, είναι δυνατό να βρούμε έναν αριθμό θετικό, τέτοιο ώστε για κάθε h και k μικρότερα απολύτως του, δηλαδή για h, k να προκύπτει ότι f( x h, y k) f( x, y) () Θα αναζητήσουμε τις αναγκαίες συνθήκες για την εύρεση σημείων όπου η f (x, y) παίρνει άκρες τιμές Ας υποθέσουμε ότι το y παραμένει σταθερό και ίσο με y Τότε το z γίνεται συνάρτηση μόνο της μεταβλητής x, οπότε, για να διατηρεί η διαφορά f( x h, y) f( x, y) f σταθερό πρόσημο για μικρές τιμές του h, πρέπει η παράγωγος να είναι μηδέν για x x και y y Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι πρέπει να είναι x f μηδέν και η παράγωγος y Επομένως οι τιμές των x και y που δίνουν σχετικά μέγιστα ή ελάχιστα πρέπει να αναζητηθούν στη λύση του συστήματος f f, () x y (επέκταση της συνθήκης f( x) της y f( x) με μία μεταβλητή) Τα σημεία του τόπου Τ που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος λέγονται σημεία στάσης Όπως τονίστηκε πριν, οι παραπάνω συνθήκες είναι αναγκαίες, όχι όμως ικανές Δηλαδή, η λύση του συστήματος αυτού δίνει σημεία τα οποία μπορεί να είναι ή να μην είναι ακρότατα της συνάρτησης z = f (x, y) Την απάντηση στο θέμα αυτό μας τη δίνουν μερικές ακόμα συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για την z = f (x, y) Υποθέτουμε ότι οι παράγωγοι ης τάξης της f (x, y) είναι συνεχείς στην περιοχή του σημείου στάσης P( x, y ) και δεν είναι όλες, για x = x και y = y Θέτουμε: 3_MATHEMATIKA II_indd 6 4/3/4 :8:4 πμ

3 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 63 f f f,, (3) x xy y P P P Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω περιπτώσεις: η : Αν, τότε η f (x, y) έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ (x, y ) και μάλιστα: f σχετικό μέγιστο αν, ή x σχετικό ελάχιστο αν P f, ή x P f y P f, y P (Τα Α, Γ αποδεικνύεται ότι έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο) η : Αν, τότε η f (x, y) δεν έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ 3 η : Αν, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε με βεβαιότητα αν η f( x, y ) παρουσιάζει στο σημείο στάσης Ρ τοπικό ακρότατο Στη περίπτωση αυτή καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή την διαφορά: f( x, y) f( x, y) ή f x h y k f x y (, ) (, ) Αν το δ διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του σημείου P( x, y) τότε, όταν δ > το P( x, y ) είναι σημείο ελαχίστου, διότι τότε θα είναι f( x, y) f( x, y) f( x, y) f( x, y), ενώ όταν δ < το P( x, y ) είναι σημείο μεγίστου Αν όχι, (δηλαδή αν η διαφορά δ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο), τότε το P( x, y ) θεωρείται ταυτόχρονα σημείο μεγίστου και ελαχίστου και λέγεται σημείο σάγματος (σαμαριού) ή σαγματικό σημείο Η ονομασία του προέρχεται απ τη γνωστή επιφάνεια με εξίσωση z x y, υπερβολικό παραβολοειδές το σαμάρι όπως την γνωρίσαμε στην 97 (σχήμα 4, ζ), όπου για 3_MATHEMATIKA II_indd 63 9//4 9:56: πμ

4 64 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ y x = παίρνουμε z δηλαδή την κάτω παραβολή, ενώ για y = παίρνουμε x z δηλαδή την πάνω παραβολή Οι δύο αυτές παραβολές έχουν το σημείο (, ) σημείο μεγίστου η πρώτη και ελαχίστου η δεύτερη, όμως και οι δύο αυτές παραβολές ανήκουν στην ίδια επιφάνεια, όπως είχε τονιστεί και στην παράγραφο 97 Ώστε συμπερασματικά, για να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης f( x, y ) διπλά διαφορίσιμης σ ένα τόπο Τ εργαζόμαστε ως εξής: α) Εξισώνουμε τις μερικές παραγώγους ως προς x και y με μηδέν, δηλαδή f x f, y και βρίσκουμε όλες τις λύσεις του συστήματος που δίνουν τα σημεία στάσης Θεωρούμε τα σημεία στάσης που βρίσκονται μέσα στον τόπο Τ β) Βρίσκουμε την τιμή της παράστασης Β ΑΓ όπου τα Α, Β, Γ ορίζονται απ τις σχέσεις (3) για κάθε σημείο στάσης Για το εκάστοτε σημείο στάσης: Αν Β ΑΓ <, τότε υπάρχει άκρα τιμή και μάλιστα σχετικό μέγιστο αν Α < (ή Γ < ), ενώ σχετικό ελάχιστο αν Α > (ή Γ > ) Αν Β ΑΓ >, τότε δεν υπάρχει άκρα τιμή Αν Β ΑΓ =, τότε έχουμε απροσδιοριστία και πάμε στο δ γ) Υπολογίζουμε τις άκρες τιμές της συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές των σημείων στάσης στην z = f (x, y) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 3 3 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y 3 xy Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής 3_MATHEMATIKA II_indd 64 4//4 :33:33 μμ

5 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 65 ΛΥΣΗ Η f (x, y) είναι ορισμένη σ όλο το επίπεδο R και έχει μερικές παραγώγους ης τάξης στο R Τα τοπικά ακρότατα της f (x,y) αν υπάρχουν θα αναζητηθούν στις πραγματικές τιμές του συστήματος: f x 3x 3y, (), f y 3y 3x () Η () δίνει x = y 4 οπότε η () γίνεται ( y ) y ή y y η οποία έχει πραγματικές ρίζες y = και y = Για τις τιμές αυτές του y η () δίνει x = και x = (Η τιμή x = απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει τη η εξίσωση) Άρα τα σημεία στάσης (πιθανά ακρότατα) είναι τα P (, ) και P (, ) Επιπλέον είναι f f f 6 x, 3, 6y x xy y α) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε: f f f, 3, x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 = 9 >, άρα το σημείο στάσης P (, ) δεν είναι σημείο ακρότατου β) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε f f f 6, 3, 6 x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 ( 6) ( 6) = 7 < Άρα το P (, ) είναι θέση τοπικού ακρότατου της f (x, y) και επειδή Α = 6 < το Ρ (, ) θα είναι θέση τοπικού μεγίστου που είναι: z = f μεγ (, ) = ( ) 3 +( ) 3 +3( )( ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 65 4//4 :38:5 μμ

6 66 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 4 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής (αν υπάρχουν) ΛΥΣΗ f Είναι x f x y x y y 3, 4, Άρα το μοναδικό σημείο στάσης είναι το P (, ) Είναι f f f,, y x xy y επομένως f f f,, x xy y x x x y y y οπότε Β ΑΓ = = άρα έχουμε απροσδιοριστία (3η περίπτωση) Πιθανώς λοιπόν το P (, ) να είναι θέση τοπικού ακρότατου, πιθανώς όχι Έτσι καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή αν η διαφορά f( x, y) f(,) x y ( ) x y διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του P (, ) Είναι όμως 4 x y για κάθε (x, y) T {(,)}, όπου T είναι μια περιοχή του P (, ) Δηλαδή 4 f( x, y) f(,) x y, άρα f( x, y) f(,) Άρα, το P (, ) είναι θέση τοπικού ελάχιστου του 4 f (, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 66 9//4 9:56: πμ

7 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 67 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων α) f( x, y) xy x y 3 3 (Απ: (,) x β) f( x, y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) f σαγματικό, f max (4,4) 64 ), ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των συναρτήσεων α) β) f( x, y) x xy x(απ: f min,, f max, ) 9 f( x, y) x 4xy y 6y (Απ: Δεν υπάρχουν ακρότατα), γ) δ) 3 3 f( x, y) x y 3x3y (Απ: fmax (, ) 5, fmin (,) 3), f( x, y) x y ( x y) 4 4 (Απ: f min f min (, ) (, ) 8) ε) 3 f( x, y) x ( x y) 6y (Απάντηση: f min (,4) 3, f (,) 5 σαγματικό), στ) f( x, y) xy( x y)( x y) (Απάντηση: fmax, ), ζ) f( x, y) x y( x y) με (x, y) [, π] x [, π] 3 3 (Απάντηση: fmax (, ) ), η) f( x, y) ( x y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έστω η πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ) ορισμένη σ ένα σύνολο Τ R ν, της οποίας υπάρχουν στο Τ και είναι συνεχείς οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης Έστω ακόμα το σημείο P(,,, ) το οποίο είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων f f f,,, x x x 3_MATHEMATIKA II_indd 67 9//4 9:56: πμ

8 68 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ f Θέτουμε xix j P ij f f Ως γνωστό ισχύει δηλαδή xix j xjx ij ji, i (εφόσον οι μερικές παράγωγοι ης και ης τάξης είναι συνεχείς) Για p =,,, ν σχηματίζουμε την εκάστοτε ορίζουσα a a a a a a p p p a a a p p pp με a Έτσι σχηματίζονται οι ορίζουσες: a a a a a a3 a a a a a, 3 a a a3,, a a a3 a3 a33 a a a Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Για να έχει η f ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο P, αρκεί οι ορίζουσες,,, να είναι όλες θετικές Για να έχει η f ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο P, αρκεί οι παραπάνω ορίζουσες να είναι,, 3, δηλαδή να είναι εναλλάξ αρνητικές και θετικές (ξεκινώντας με αρνητική την πρώτη) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν για το σημείο P δεν ικανοποιείται μια απ τις συνθήκες ή, δεν θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι το P δεν αποτελεί θέση ακρότατου Στην περίπτωση αυτή, η τελική διαπίστωση θα γίνεται με τη βοήθεια του ορισμού (πρόσημο του δ) Διαπιστώνεται εύκολα, ότι οι συνθήκες ύπαρξης σχετικού μεγίστου ή ελαχίστου στην περίπτωση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών συμπίπτουν με τις συνθήκες ύπαρξης άκρων τιμών της προηγούμενης παραγράφου, γιατί στην περίπτωση αυτή έχουμε προφανώς: 3_MATHEMATIKA II_indd 68 4//4 :44:4 μμ

9 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 69 a, a, a a Επομένως είναι a a a, a a Άρα για,, δηλαδή για, ή έχουμε ελάχιστο, όπως φαίνεται στην η περίπτωση της παρ 3, ενώ για,, δηλαδή για έχουμε μέγιστο, ή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx ΛΥΣΗ Λύνουμε το σύστημα f x 3x 3y 3z f y 3y 3x 3z f z y x z () () (3) Με αφαίρεση των () και (3) κατά μέλη έχουμε y z z y ή ( yz)( yz) (4) Από την (4) προκύπτει: z y (5), ή yz (6) 3_MATHEMATIKA II_indd 69 9//4 9:56: πμ

10 7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Από την (5), για z y η () γίνεται x y (ι), ενώ η () γίνεται y x y (ιι) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (ι) και (ιι) υπολογίζουμε τα x, y Έτσι, η (ιι) δίνει x y y ( ), ενώ η (ι) για την τιμή αυτή του x γίνεται ( y y) y ή ( y y) y ή 4 3 y y y y 3 yy ( y y) y y( y) ( y) yy ( )( y ) (7) Απ την (7) παίρνουμε τις πραγματικές ρίζες y ή y Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,,) είναι ένα σημείο στάσης Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,, ) είναι ένα δεύτερο σημείο στάσης Από την (6) για z y η () γίνεται x y y που δίνει φανταστικές ρίζες για το x τις x i Μετά την εύρεση των σημείων στάσης βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους ης τάξης της f (x, y, z) στη θέση P (,,) Είναι: f f f P 33 P P x y z P P P a 6x, a 6y, a 6z, f f f a a 3, a a 3, a a 3 xy yz xz P P P Οπότε, a, 3_MATHEMATIKA II_indd 7 4//4 :48:5 μμ

11 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 7 a a 3 9 a a 3, Δ = 3 a a a 3 a a a 3 a a a Παρατηρούμε ότι Δ =, Δ <, Δ 3 >, άρα δεν εφαρμόζονται οι συνθήκες ή, επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το σημείο P (,,) είναι σημείο ακρότατου Θα εξετάσουμε αυτό με τη βοήθεια του ορισμού Δηλαδή θα βρούμε αν υπάρχει περιοχή του P (,,) στην οποία η διαφορά f( x, y, z) f(,,) διατηρεί σταθερό πρόσημο Όμως, σε οποιαδήποτε περιοχή του P (,,) υπάρχουν σημεία ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z ) f(,,) x y z 3x y 3x z 3y z, καθώς και σημεία ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z) f(,,) x y z 3xy 3xz 3yz, δηλαδή η διαφορά δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο Άρα το P (,,) δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου Στην περίπτωση αυτή επομένως το P (,,) αποτελεί σημείο σάγματος (ή σαγματικό σημείο) Εργαζόμαστε τώρα εντελώς ανάλογα για το P (,, ) Είναι a a a33 a a a3 a3 a3 a3, 3, οπότε 3 3 3, 35, Άρα σύμφωνα με τη συνθήκη, στο σημείο στάσης P (,, ) έχουμε τοπικό μέγιστο, το f max (,, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

12 7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx (Απάντηση: f max (,, ), f (,,) σαγματικό σημείο) ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz( x y z) (Απάντηση: fmax (,, ) ) ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) x y z 4xyz (Απ: f (,,) σαγματικό σημείο, ενώ f (,, ) f (,, ) f (,, ) f (,, ) ) min min min min 4) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης x 3 f ( x, y, z) xyz y z (Απάντηση: f (,, ) σαγματικό σημείο) 5) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 7 x y 3z xz (Απάντηση: f (,,) 7) max 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Διακρίνουμε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις: 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με μια μεταβλητή Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση y που ορίζεται με μια ανεξάρτητη μεταβλητή f (x, y) = () f όπου Υποθέτουμε ότι η () έχει παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς y 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

13 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 73 Όπως ξέρουμε, στην περίπτωση που η () θα ήταν λυμένη ως προς y, η συνθήκη άκρων τιμών είναι y = Αν παραγωγίσουμε την () θα πάρουμε f f y, () x y f η οποία για τα σημεία ακρότατων (y = ) παίρνει τη μορφή x Λύνοντας το σύστημα f f (x, y) = και (3) x έχουμε τα πιθανά σημεία ακροτάτων της y Για να εξακριβώσουμε, αν οι λύσεις του συστήματος (3) αποτελούν μέγιστο ή ελάχιστο, πρέπει να καθορίσουμε το σημείο της y H παραγώγιση της () δίνει f f f f y y y (βλέπε τύπο (4) της 7) x xy y y f f Λαμβάνοντας υπόψη ότι y =, έχουμε y x y Έτσι, αν y έχουμε ελάχιστο, αν y μέγιστο και αν y απροσδιοριστία οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 3 3 f( x, y) x y 3xy ΛΥΣΗ f f f Είναι 3x 3 y, 3y 3 x, 6x x y x Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων f f (x, y) = και, ή x 3 3 x y xy 3 (), και 3x 3y () Απ τη () y = x οπότε η () γίνεται x x 3x ή 6 3 x x ή 3 3 x ( x ) απ όπου προκύπτει x ή x 3 3_MATHEMATIKA II_indd 73 4//4 :5:53 μμ

14 74 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Για x = η () δίνει y =, ενώ για x 3 δίνει y 3 4 f f Για x = έχουμε y x (απροσδιοριστία), x y y άρα δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής Για επομένως για f f = x 3 έχουμε y 3 x x y 3 y 4 x 3 έχουμε μέγιστο, το y 3 4, 4 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με δύο μεταβλητές Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση z που ορίζεται απ την εξίσωση με δύο μεταβλητές x, y, και είναι η f (x, y, z) = () η οποία έχει μερικές παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων f f f( x, y, z),, x y f και έστω μια λύση αυτού η P( x, y, z ) με Τότε, σύμφωνα με το z P θεώρημα 6 ορίζεται η συνάρτηση z = φ(x, y) σε μια περιοχή του σημείου Ρ z z z Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους,, στη θέση x y xy ( x, y) και εφαρμόζουμε τη θεωρία της παραγράφου 3 για τα ακρότατα της συνάρτησης z = φ(x, y) Η ίδια μεθοδολογία μπορεί να γενικευθεί και για πεπλεγμένες συναρτήσεις με περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές Στη πράξη όμως, για τη συνάρτηση f (x, y, z) = το P( x, y, z ) αποτελεί: i) σημείο τοπικού ελαχίστου, όταν: D f x f xy f xy f y P και D f f x z P 3_MATHEMATIKA II_indd 74 4//4 :3:34 μμ

15 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 75 ii) σημείο τοπικού μεγίστου, όταν D και D Αν D, τότε για την εξακρίβωση ακρότατων χρειαζόμαστε τις μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης της f (x, y, z) (αν υπάρχουν) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστούν τα ακρότατα της πεπλεγμένης συνάρτησης 3 f( x, y, z) x y z z z ΛΥΣΗ Είναι f f f f f f x, y, 3z 4z,,, x y z x y xy f f Λύνουμε το σύστημα: f( x, y, z),,, x y δηλαδή το σύστημα: 3 x y z z z x y,, 3 Οι δύο τελευταίες αν αντικατασταθούν στην πρώτη δίνουν z z z 3 ή z z( z) ή ( z)( z z) z( z) ή ( z)( z z) Η τελευταία εξίσωση έχει τη μοναδική πραγματική ρίζα z = Άρα το σημείο στάσης της f είναι το Ρ με ( x, y, z) (,, ), για το οποίο είναι f z P Εξ άλλου έχουμε 3( ) 4( ) f f x xy f f D 4, D f f x z P xy y P Άρα το σημείο Ρ (,, ) είναι θέση τοπικού μεγίστου της z = φ(x, y) και είναι: z μεγ = φ(, ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 75 4//4 :6:9 μμ

16 76 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης y y( x) που ορίζεται με 4 4 πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση f( x, y) x 4xy y (Απάντηση: y max ( 3) 7, y ( 3) 7) min ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz x y y (Απάντηση: fmax ( 6 3, 6) 3, fmin (6 3, 6) 3 ) 3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz xy x (Απάντηση: fmax ( 6, 6 3) 3, fmin ( 6, 6 3) 3 ) 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες Έστω μια πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ), 3, () που ορίζεται στον τόπο Τ R, της οποίας όμως οι μεταβλητές x, x,, x δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά επαληθεύουν τις p εξισώσεις (p < ν) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) p όπου οι πραγματικές συναρτήσεις () ορίζονται σ ένα υποσύνολο του Τ, το Τ Τ R Θα ζητήσουμε να βρούμε τις θέσεις των ακρότατων τιμών της συνάρτησης f( x, x,, x ) που υπόκειται στις συνθήκες () Μια μέθοδος για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων είναι αυτή των πολλαπλασιαστών του Lagrange Κατά την μέθοδο αυτή εργαζόμαστε ως εξής: () 3_MATHEMATIKA II_indd 76 4//4 :8:37 μμ

17 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 77 Σχηματίζουμε τη συνάρτηση F( x, x,, x,,,, p) f pp με παραμέτρους τα,,, R p Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους της F ως προς τις ν + p μεταβλητές, x, x,, x,,, δηλαδή τις p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F ή ( x, x,, x ) F ή ( x, x,, x ) F ή p( x, x,, x ) p Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν σύστημα ν + p εξισώσεων με ν + p αγνώστους, τους x, x,, x,,, p Αν P (,,,,,, p) είναι μια λύση του συστήματος αυτού των ν + p εξισώσεων, τότε το σημείο P(,,, ) ενδέχεται να είναι μια θέση ακρότατου της f που υπόκειται στις συνθήκες () Μένει να διαπιστωθεί αν ένα τέτοιο σημείο P είναι ή όχι θέση ακρότατου, και αν είναι, ποιο είναι το είδος του Επειδή στις εφαρμογές συνήθως παρουσιάζονται οι περιπτώσεις (ν = 3, p = ) ή (ν = 3, p = ), θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις ικανές συνθήκες που δίνουν τις θέσεις ακροτάτων για κάθε μια απ τις περιπτώσεις αυτές 3_MATHEMATIKA II_indd 77 4//4 ::55 μμ

18 78 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκες) Έστω η συνάρτηση f (x, y, z) με συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x, y, z που περιέχει, και οι συνθήκες ( xyz,, ), ( xyz,, ) Θεωρούμε τη συνάρτηση F( x, y, z,, ) f, και έστω P ( x, y, z,, ) μια λύση του συστήματος F F F F F,,,, x y z Εξετάζουμε την ορίζουσα F F F x xy xz x x F F F yx y yz y y F F F zx zy z z z x y z x y z P Αν Δ > τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο ελαχίστου για την f, ενώ αν Δ < τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο μεγίστου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z, που πληρούν τους περιορισμούς ( xyz,, ) xz yz, ( xyz,, ) xy ΛΥΣΗ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση F( x, y, z,, ) x y z ( xz yz) ( xy) Πιθανές θέσεις των ακρότατων είναι οι λύσεις του συστήματος: F xzy x () 3_MATHEMATIKA II_indd 78 9//4 9:56: πμ

19 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 79 F yzx y F zyx z F xz yz F xy () (3) (4) (5) Απ τη () αφαιρούμε την () κι έχουμε ( y x) ( y x) απ όπου προκύπτει ή y x x = y ή ( )( ) Διακρίνουμε επομένως τις παρακάτω περιπτώσεις: Για x = y: η (5) γίνεται x x, οπότε και y H (4) για x, y δίνει z ή z =, ενώ για x, y δίνει z ή z = Η (3) για x =, y =, z = δίνει + + = ή =, ενώ για x =, y =, z = δίνει = ή Η () για x =, y =, z =, δίνει + = ή, ενώ για x =, y =, z =, δίνει + = ή = Ώστε για x = y έχουμε δύο πεντάδες ως λύση του συστήματος, τις: P (,,,, ) και P (,,,, ) Για : η () γίνεται y zx ή ( x y) z, (6) η (4) γίνεται x y z, (7) 3_MATHEMATIKA II_indd 79 9//4 9:56: πμ

20 8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ οπότε η (6) λόγω της (7) γίνεται z z ή Η (3) γίνεται z ( x y) ή λόγω της (7) z z ή Απ τις (8) και (9) προκύπτει 4 ή άρα (λόγω του περιορισμού της (9)) =, οπότε η (9) δίνει z 4 (8) z (9) 4 z άρα z και επομένως η (7) δίνει x y Και επειδή η (5) δίνει xy =, (δηλαδή είναι γνωστά το άθροισμα x y και το γινόμενο xy), άρα αυτά (τα x και y) θα είναι ρίζες της εξίσωσης με διακρίνουσα Δ = 7/ <, επομένως οι τιμές των x και y που θα προκύψουν θα είναι μιγαδικές, οπότε απορρίπτονται Ώστε για δεν υπάρχει πραγματική πεντάδα ως λύση του συστήματος, επομένως οι μόνες πραγματικές λύσεις είναι οι P (,,,, ) και P (,,,, ) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ Είναι F, F xy, F xz, x z, x x F yx, F, F yz, y z, y y y x F, F, F, x y, zx zy z z z οπότε η ορίζουσα Δ για τις τιμές P και P γίνεται 4, 4 P P 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

21 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 8 Επομένως, τόσο το σημείο P (,, ) όσο και το P (,,) είναι θέσεις τοπικού ελαχίστου της f( x, y, z) x y z και είναι f (,, ) f (,, ) 3 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκη) Εδώ δηλαδή έχουμε μια συνάρτηση με τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως και πριν, την f (x, y, z) και μια συνθήκη την φ(x, y, z) = Θεωρούμε τη συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) και έστω P ( x, y, z, ) μια λύση του συστήματος F F F F,,, () x y z Θεωρούμε τις ορίζουσες: F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αν για τη λύση P ( x, y, z, ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε η λύση αυτή P είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν συμβαίνει καμία απ τις περιπτώσεις (i) και (ii), τότε εφαρμόζουμε τον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

22 8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στην πράξη, αν η συνθήκη φ(x, y, z) = λύνεται εύκολα ως προς μια των μεταβλητών της, πχ της z (χωρίς όμως να εκφράζεται με ριζικά) και δίνει έστω την z g( x, y), συνήθως αντικαθίσταται η τιμή αυτή του z στη συνάρτηση f (x, y, z), οπότε προκύπτει νέα συνάρτηση η f (x, y, g(x, y)) = h(x, y) της οποίας υπολογίζουμε τα ακρότατα κατά τα γνωστά Στη περίπτωση που έχουμε (ν =, p = ) και δεν μπορεί η φ(x, y) = να εκφραστεί συναρτήσει του ενός από τους x, y, τότε βρίσκουμε μια λύση P ( x, y, ) απ το σύστημα των εξισώσεων F F F,, x y όπου Fxy (,, ) f( xy, ) ( xy, ) και παίρνουμε τις () F F x xy F, x P F yx F y P Αν για τη λύση P( x, y ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν ισχύει τίποτε από τα παραπάνω, τότε πάμε στον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης συνθήκη ( xyz,, ) x yz f( x, y, z) x y z με τη ΛΥΣΗ ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση 3_MATHEMATIKA II_indd 8 4//4 :4: μμ

23 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 83 F x y z x y z x y z (,, ) ( ) όπου λ R και λύνουμε το σύστημα F x F z F x (), y (), y F z (3), x yz (4) Από () (): y x = x = y (5) Από (3) (): z y = z = y (6) Από (5), (6) προκύπτει x = y = z (7) Η (4) λόγω της (7) δίνει 3x + = Άρα x = y = z = - ⅓, οπότε η () δίνει λ = - ⅔ Άρα Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ και Δ για τις τιμές της λύσης Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Είναι: F, F, F, x xy xz x F, F, F, yx y yz y F, F, F, zx zy z z Άρα, 4 P P άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες i) και ii) Επομένως το σημείο Ρ (- ⅓, -⅓, -⅓, -⅔) πιθανώς να αποτελεί θέση ακρότατου πιθανώς όχι Πάμε στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι 3 h 3 k 3 l με τη συνθήκη 3h 3k 3l ή hkl Είναι 3_MATHEMATIKA II_indd 83 4/3/4 :36: πμ

24 84 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ h k l h k l h k l ( hkl) h k l h k l Άρα το σημείο Ρ (- ⅓, - ⅓, - ⅓, - ⅔) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f ( 3, 3, 3) 3 ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Η συνθήκη ( xyz,, ) x yz μπορεί να λυθεί πχ ως προς z οπότε γίνεται z g( x, y) x y Άρα η δοθείσα συνάρτηση γίνεται f( x, y, z) f( x, y, g( x, y)) x y ( x y ) ή hxy (, ) x y xyxy Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε τα ακρότατα της h(x, y) Είναι κατά τα γνωστά: h h 4xy, 4yx x y Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε x = y = - ⅓ Άρα το σημείο Α (- ⅓, - ⅓) είναι σημείο στάσης Εξ άλλου είναι h h h 4,, 4, οπότε x xy y A A A 44 Επομένως, σύμφωνα με τη θεωρία της παραγράφου 3 η h(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Α (- ⅓, - ⅓) το h, _MATHEMATIKA II_indd 84 9//4 9:56: πμ

25 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 85 Κατά συνέπεια η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση P το f,,, , 3, 3 ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x yz5 που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο(,,) ΛΥΣΗ Το πρόβλημα είναι να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης w x y z με τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz5 Μπορούμε, αντί της συνάρτησης w να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση f( x, y, z) x y z για να αποφύγουμε τα ριζικά Σχηματίζουμε λοιπόν τη βοηθητική συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) x y z (x yz 5) Την παραγωγίζουμε ως προς τις μεταβλητές x, y, z, λ και λύνουμε το σύστημα Fx x Fy y Fz z F x yz5 που έχει λύση x, y, z, Eπομένως, θα ελέγξουμε στο σημείο P (5 3, 5 6, 5 6, 5 3) το πρόσημο των οριζουσών F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αλλά F, F, F, x xy xz x 3_MATHEMATIKA II_indd 85 9//4 9:56: πμ

26 86 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ F, F, F, yx y F, F, F, zx Επομένως zy z yz y z 4, 4 και άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες (i) και (ii) της θεωρίας ( η Περίπτωση ν = 3, p = ), επομένως το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) πιθανώς να αποτελεί θέση ακροτάτου, πιθανώς όχι Πάμε λοιπόν στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι h k l με τη συνθήκη h k l ή hkl Άρα 5 h 5 5k 5 5l h k l h k l ( h k l) h k l h k l 3 3 Ώστε το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f min (5 3, 5 6, 5 6) 5 6 3_MATHEMATIKA II_indd 86 9//4 9:56:3 πμ

27 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 87 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 4 9 με x y z τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz (Απάντηση: f min (, 4, 6) 3 ) ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x3yz7 που να απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,4,) Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Υπόδ: Να θεωρήσετε τη συνάρτηση f( x, y, z) ( x) ( y4) ( z ) με τη δέσμευση ( xyz,, ) x3yz7 ) 47 9 (Απάντηση: fmin,, 4) ) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση f( x, y, z) x y z για τα σημεία της ευθείας που ορίζουν τα επίπεδα xy3z και x3yz (Απάντηση: fmin,, ) ) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z με τις δεσμεύσεις x y 4 και xz (Απάντηση: f max (,,3) 3, f max (,, ) 5, f min (, 3, ) f (, 3, ) 4 ) min 3 5) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης f( x, y, z) xy z που υπόκειται στη συνθήκη x + y + z = 6 με x, y, z > (Απάντηση: f max (,, 3) 8 ) 6) Να βρεθούν τρεις θετικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι και το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο (Υπόδειξη: Θεωρήσετε τη συνάρτηση f ( x, y, z) xyz με δέσμευση ( xyz,, ) x yz ) (Απάντηση: f max (4,4,4) 64 ) 7) Κιβώτιο με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, που είναι ανοιχτό προς τα πάνω, πρέπει να έχει όγκο 8 cm 3 Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε η ολική του επιφάνεια S να είναι ελάχιστη; 3_MATHEMATIKA II_indd 87 9//4 9:56:3 πμ

28 88 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Υπόδειξη: Αν y, z, οι διαστάσεις της βάσης και x το ύψος του κιβωτίου, θεωρήσετε τη συνάρτηση S f( x, y, z) xyxz yz με τη δέσμευση V ( x, y, z) xyz 8 Αντικαθιστώντας το συνάρτηση δύο μεταβλητών F( x, y )) (Απάντηση: f min (3,6,6) 8 ) 8 z στην S προκύπτει xy 8) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz που υπόκειται στις συνθήκες ( xyz,, ) x yz5, (,, ) 8 xyz xy yz zx (Απάντηση: fmin (,,) fmin (,,) fmin (,,) 4) 3_MATHEMATIKA II_indd 88 9//4 9:56:3 πμ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποια η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα