ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Transcript

1 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων για πραγματικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών Δίνουμε όμως πρώτα τον επόμενο γενικό ορισμό: «Έστω f συνάρτηση ορισμένη σ ένα τόπο Τ Θα λέμε ότι η f έχει σχετικό μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο) στο σημείο Ρ εσωτερικό του τόπου Τ, αν υπάρχει κατάλληλη περιοχή ω του Ρ, τέτοια ώστε για όλα τα σημεία Ρω να είναι f( P) f( P ) (αντίστοιχα f( P) f( P ))» Αυτά τα σχετικά ακρότατα είναι με την ευρεία έννοια Αν δεν ισχύει η ισότητα έχουμε ακρότατα με τη στενή έννοια Όπως και στη θεωρία των ακρότατων μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής, έτσι κι εδώ θα μελετήσουμε τις συνθήκες ύπαρξης ακρότατων συνάρτησης f πολλών μεταβλητών και θα βρούμε τα σημεία όπου η f έχει μέγιστο ή ελάχιστο Προς τούτο θα διακρίνουμε διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων πολλών μεταβλητών που θα αναζητήσουμε τα ακρότατα Αυτές είναι: Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 3_MATHEMATIKA II_indd 6 9//4 9:56: πμ

2 6 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f (x, y) και σημείο Ρ (x, y ) του τόπου ορισμού Τ R Αν το f (x, y ) είναι ένα σχετικό μέγιστο, τότε με βάση τον παραπάνω ορισμό, είναι δυνατό να βρούμε έναν αριθμό θετικό, τέτοιο ώστε για κάθε h και k μικρότερα απολύτως του, δηλαδή για h, k να προκύπτει ότι f( x h, y k) f( x, y) () Θα αναζητήσουμε τις αναγκαίες συνθήκες για την εύρεση σημείων όπου η f (x, y) παίρνει άκρες τιμές Ας υποθέσουμε ότι το y παραμένει σταθερό και ίσο με y Τότε το z γίνεται συνάρτηση μόνο της μεταβλητής x, οπότε, για να διατηρεί η διαφορά f( x h, y) f( x, y) f σταθερό πρόσημο για μικρές τιμές του h, πρέπει η παράγωγος να είναι μηδέν για x x και y y Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι πρέπει να είναι x f μηδέν και η παράγωγος y Επομένως οι τιμές των x και y που δίνουν σχετικά μέγιστα ή ελάχιστα πρέπει να αναζητηθούν στη λύση του συστήματος f f, () x y (επέκταση της συνθήκης f( x) της y f( x) με μία μεταβλητή) Τα σημεία του τόπου Τ που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος λέγονται σημεία στάσης Όπως τονίστηκε πριν, οι παραπάνω συνθήκες είναι αναγκαίες, όχι όμως ικανές Δηλαδή, η λύση του συστήματος αυτού δίνει σημεία τα οποία μπορεί να είναι ή να μην είναι ακρότατα της συνάρτησης z = f (x, y) Την απάντηση στο θέμα αυτό μας τη δίνουν μερικές ακόμα συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για την z = f (x, y) Υποθέτουμε ότι οι παράγωγοι ης τάξης της f (x, y) είναι συνεχείς στην περιοχή του σημείου στάσης P( x, y ) και δεν είναι όλες, για x = x και y = y Θέτουμε: 3_MATHEMATIKA II_indd 6 4/3/4 :8:4 πμ

3 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 63 f f f,, (3) x xy y P P P Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω περιπτώσεις: η : Αν, τότε η f (x, y) έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ (x, y ) και μάλιστα: f σχετικό μέγιστο αν, ή x σχετικό ελάχιστο αν P f, ή x P f y P f, y P (Τα Α, Γ αποδεικνύεται ότι έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο) η : Αν, τότε η f (x, y) δεν έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ 3 η : Αν, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε με βεβαιότητα αν η f( x, y ) παρουσιάζει στο σημείο στάσης Ρ τοπικό ακρότατο Στη περίπτωση αυτή καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή την διαφορά: f( x, y) f( x, y) ή f x h y k f x y (, ) (, ) Αν το δ διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του σημείου P( x, y) τότε, όταν δ > το P( x, y ) είναι σημείο ελαχίστου, διότι τότε θα είναι f( x, y) f( x, y) f( x, y) f( x, y), ενώ όταν δ < το P( x, y ) είναι σημείο μεγίστου Αν όχι, (δηλαδή αν η διαφορά δ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο), τότε το P( x, y ) θεωρείται ταυτόχρονα σημείο μεγίστου και ελαχίστου και λέγεται σημείο σάγματος (σαμαριού) ή σαγματικό σημείο Η ονομασία του προέρχεται απ τη γνωστή επιφάνεια με εξίσωση z x y, υπερβολικό παραβολοειδές το σαμάρι όπως την γνωρίσαμε στην 97 (σχήμα 4, ζ), όπου για 3_MATHEMATIKA II_indd 63 9//4 9:56: πμ

4 64 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ y x = παίρνουμε z δηλαδή την κάτω παραβολή, ενώ για y = παίρνουμε x z δηλαδή την πάνω παραβολή Οι δύο αυτές παραβολές έχουν το σημείο (, ) σημείο μεγίστου η πρώτη και ελαχίστου η δεύτερη, όμως και οι δύο αυτές παραβολές ανήκουν στην ίδια επιφάνεια, όπως είχε τονιστεί και στην παράγραφο 97 Ώστε συμπερασματικά, για να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης f( x, y ) διπλά διαφορίσιμης σ ένα τόπο Τ εργαζόμαστε ως εξής: α) Εξισώνουμε τις μερικές παραγώγους ως προς x και y με μηδέν, δηλαδή f x f, y και βρίσκουμε όλες τις λύσεις του συστήματος που δίνουν τα σημεία στάσης Θεωρούμε τα σημεία στάσης που βρίσκονται μέσα στον τόπο Τ β) Βρίσκουμε την τιμή της παράστασης Β ΑΓ όπου τα Α, Β, Γ ορίζονται απ τις σχέσεις (3) για κάθε σημείο στάσης Για το εκάστοτε σημείο στάσης: Αν Β ΑΓ <, τότε υπάρχει άκρα τιμή και μάλιστα σχετικό μέγιστο αν Α < (ή Γ < ), ενώ σχετικό ελάχιστο αν Α > (ή Γ > ) Αν Β ΑΓ >, τότε δεν υπάρχει άκρα τιμή Αν Β ΑΓ =, τότε έχουμε απροσδιοριστία και πάμε στο δ γ) Υπολογίζουμε τις άκρες τιμές της συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές των σημείων στάσης στην z = f (x, y) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 3 3 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y 3 xy Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής 3_MATHEMATIKA II_indd 64 4//4 :33:33 μμ

5 3 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 65 ΛΥΣΗ Η f (x, y) είναι ορισμένη σ όλο το επίπεδο R και έχει μερικές παραγώγους ης τάξης στο R Τα τοπικά ακρότατα της f (x,y) αν υπάρχουν θα αναζητηθούν στις πραγματικές τιμές του συστήματος: f x 3x 3y, (), f y 3y 3x () Η () δίνει x = y 4 οπότε η () γίνεται ( y ) y ή y y η οποία έχει πραγματικές ρίζες y = και y = Για τις τιμές αυτές του y η () δίνει x = και x = (Η τιμή x = απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει τη η εξίσωση) Άρα τα σημεία στάσης (πιθανά ακρότατα) είναι τα P (, ) και P (, ) Επιπλέον είναι f f f 6 x, 3, 6y x xy y α) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε: f f f, 3, x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 = 9 >, άρα το σημείο στάσης P (, ) δεν είναι σημείο ακρότατου β) Για το σημείο στάσης P (, ) έχουμε f f f 6, 3, 6 x xy y x x x y y y Επομένως Β ΑΓ = 3 ( 6) ( 6) = 7 < Άρα το P (, ) είναι θέση τοπικού ακρότατου της f (x, y) και επειδή Α = 6 < το Ρ (, ) θα είναι θέση τοπικού μεγίστου που είναι: z = f μεγ (, ) = ( ) 3 +( ) 3 +3( )( ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 65 4//4 :38:5 μμ

6 66 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 4 ) Δίνεται η συνάρτηση z f( x, y) x y Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής (αν υπάρχουν) ΛΥΣΗ f Είναι x f x y x y y 3, 4, Άρα το μοναδικό σημείο στάσης είναι το P (, ) Είναι f f f,, y x xy y επομένως f f f,, x xy y x x x y y y οπότε Β ΑΓ = = άρα έχουμε απροσδιοριστία (3η περίπτωση) Πιθανώς λοιπόν το P (, ) να είναι θέση τοπικού ακρότατου, πιθανώς όχι Έτσι καταφεύγουμε στον ορισμό Εξετάζουμε δηλαδή αν η διαφορά f( x, y) f(,) x y ( ) x y διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του P (, ) Είναι όμως 4 x y για κάθε (x, y) T {(,)}, όπου T είναι μια περιοχή του P (, ) Δηλαδή 4 f( x, y) f(,) x y, άρα f( x, y) f(,) Άρα, το P (, ) είναι θέση τοπικού ελάχιστου του 4 f (, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 66 9//4 9:56: πμ

7 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 67 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συναρτήσεων α) f( x, y) xy x y 3 3 (Απ: (,) x β) f( x, y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) f σαγματικό, f max (4,4) 64 ), ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των συναρτήσεων α) β) f( x, y) x xy x(απ: f min,, f max, ) 9 f( x, y) x 4xy y 6y (Απ: Δεν υπάρχουν ακρότατα), γ) δ) 3 3 f( x, y) x y 3x3y (Απ: fmax (, ) 5, fmin (,) 3), f( x, y) x y ( x y) 4 4 (Απ: f min f min (, ) (, ) 8) ε) 3 f( x, y) x ( x y) 6y (Απάντηση: f min (,4) 3, f (,) 5 σαγματικό), στ) f( x, y) xy( x y)( x y) (Απάντηση: fmax, ), ζ) f( x, y) x y( x y) με (x, y) [, π] x [, π] 3 3 (Απάντηση: fmax (, ) ), η) f( x, y) ( x y) y (Απάντηση: f (,) σαγματικό) 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έστω η πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ) ορισμένη σ ένα σύνολο Τ R ν, της οποίας υπάρχουν στο Τ και είναι συνεχείς οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης Έστω ακόμα το σημείο P(,,, ) το οποίο είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων f f f,,, x x x 3_MATHEMATIKA II_indd 67 9//4 9:56: πμ

8 68 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ f Θέτουμε xix j P ij f f Ως γνωστό ισχύει δηλαδή xix j xjx ij ji, i (εφόσον οι μερικές παράγωγοι ης και ης τάξης είναι συνεχείς) Για p =,,, ν σχηματίζουμε την εκάστοτε ορίζουσα a a a a a a p p p a a a p p pp με a Έτσι σχηματίζονται οι ορίζουσες: a a a a a a3 a a a a a, 3 a a a3,, a a a3 a3 a33 a a a Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: Για να έχει η f ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο P, αρκεί οι ορίζουσες,,, να είναι όλες θετικές Για να έχει η f ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο P, αρκεί οι παραπάνω ορίζουσες να είναι,, 3, δηλαδή να είναι εναλλάξ αρνητικές και θετικές (ξεκινώντας με αρνητική την πρώτη) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν για το σημείο P δεν ικανοποιείται μια απ τις συνθήκες ή, δεν θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι το P δεν αποτελεί θέση ακρότατου Στην περίπτωση αυτή, η τελική διαπίστωση θα γίνεται με τη βοήθεια του ορισμού (πρόσημο του δ) Διαπιστώνεται εύκολα, ότι οι συνθήκες ύπαρξης σχετικού μεγίστου ή ελαχίστου στην περίπτωση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών συμπίπτουν με τις συνθήκες ύπαρξης άκρων τιμών της προηγούμενης παραγράφου, γιατί στην περίπτωση αυτή έχουμε προφανώς: 3_MATHEMATIKA II_indd 68 4//4 :44:4 μμ

9 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 69 a, a, a a Επομένως είναι a a a, a a Άρα για,, δηλαδή για, ή έχουμε ελάχιστο, όπως φαίνεται στην η περίπτωση της παρ 3, ενώ για,, δηλαδή για έχουμε μέγιστο, ή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx ΛΥΣΗ Λύνουμε το σύστημα f x 3x 3y 3z f y 3y 3x 3z f z y x z () () (3) Με αφαίρεση των () και (3) κατά μέλη έχουμε y z z y ή ( yz)( yz) (4) Από την (4) προκύπτει: z y (5), ή yz (6) 3_MATHEMATIKA II_indd 69 9//4 9:56: πμ

10 7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Από την (5), για z y η () γίνεται x y (ι), ενώ η () γίνεται y x y (ιι) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (ι) και (ιι) υπολογίζουμε τα x, y Έτσι, η (ιι) δίνει x y y ( ), ενώ η (ι) για την τιμή αυτή του x γίνεται ( y y) y ή ( y y) y ή 4 3 y y y y 3 yy ( y y) y y( y) ( y) yy ( )( y ) (7) Απ την (7) παίρνουμε τις πραγματικές ρίζες y ή y Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,,) είναι ένα σημείο στάσης Για y η (5) δίνει z και η () δίνει x Άρα το σημείο P (,, ) είναι ένα δεύτερο σημείο στάσης Από την (6) για z y η () γίνεται x y y που δίνει φανταστικές ρίζες για το x τις x i Μετά την εύρεση των σημείων στάσης βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους ης τάξης της f (x, y, z) στη θέση P (,,) Είναι: f f f P 33 P P x y z P P P a 6x, a 6y, a 6z, f f f a a 3, a a 3, a a 3 xy yz xz P P P Οπότε, a, 3_MATHEMATIKA II_indd 7 4//4 :48:5 μμ

11 3 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 7 a a 3 9 a a 3, Δ = 3 a a a 3 a a a 3 a a a Παρατηρούμε ότι Δ =, Δ <, Δ 3 >, άρα δεν εφαρμόζονται οι συνθήκες ή, επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το σημείο P (,,) είναι σημείο ακρότατου Θα εξετάσουμε αυτό με τη βοήθεια του ορισμού Δηλαδή θα βρούμε αν υπάρχει περιοχή του P (,,) στην οποία η διαφορά f( x, y, z) f(,,) διατηρεί σταθερό πρόσημο Όμως, σε οποιαδήποτε περιοχή του P (,,) υπάρχουν σημεία ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z ) f(,,) x y z 3x y 3x z 3y z, καθώς και σημεία ( x, y, z ) πχ x, y, z τέτοια ώστε f( x, y, z) f(,,) x y z 3xy 3xz 3yz, δηλαδή η διαφορά δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο Άρα το P (,,) δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου Στην περίπτωση αυτή επομένως το P (,,) αποτελεί σημείο σάγματος (ή σαγματικό σημείο) Εργαζόμαστε τώρα εντελώς ανάλογα για το P (,, ) Είναι a a a33 a a a3 a3 a3 a3, 3, οπότε 3 3 3, 35, Άρα σύμφωνα με τη συνθήκη, στο σημείο στάσης P (,, ) έχουμε τοπικό μέγιστο, το f max (,, ) 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

12 7 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z 3xy3yz 3zx (Απάντηση: f max (,, ), f (,,) σαγματικό σημείο) ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz( x y z) (Απάντηση: fmax (,, ) ) ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) x y z 4xyz (Απ: f (,,) σαγματικό σημείο, ενώ f (,, ) f (,, ) f (,, ) f (,, ) ) min min min min 4) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης x 3 f ( x, y, z) xyz y z (Απάντηση: f (,, ) σαγματικό σημείο) 5) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 7 x y 3z xz (Απάντηση: f (,,) 7) max 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης Διακρίνουμε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις: 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με μια μεταβλητή Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση y που ορίζεται με μια ανεξάρτητη μεταβλητή f (x, y) = () f όπου Υποθέτουμε ότι η () έχει παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς y 3_MATHEMATIKA II_indd 7 9//4 9:56: πμ

13 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 73 Όπως ξέρουμε, στην περίπτωση που η () θα ήταν λυμένη ως προς y, η συνθήκη άκρων τιμών είναι y = Αν παραγωγίσουμε την () θα πάρουμε f f y, () x y f η οποία για τα σημεία ακρότατων (y = ) παίρνει τη μορφή x Λύνοντας το σύστημα f f (x, y) = και (3) x έχουμε τα πιθανά σημεία ακροτάτων της y Για να εξακριβώσουμε, αν οι λύσεις του συστήματος (3) αποτελούν μέγιστο ή ελάχιστο, πρέπει να καθορίσουμε το σημείο της y H παραγώγιση της () δίνει f f f f y y y (βλέπε τύπο (4) της 7) x xy y y f f Λαμβάνοντας υπόψη ότι y =, έχουμε y x y Έτσι, αν y έχουμε ελάχιστο, αν y μέγιστο και αν y απροσδιοριστία οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 3 3 f( x, y) x y 3xy ΛΥΣΗ f f f Είναι 3x 3 y, 3y 3 x, 6x x y x Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων f f (x, y) = και, ή x 3 3 x y xy 3 (), και 3x 3y () Απ τη () y = x οπότε η () γίνεται x x 3x ή 6 3 x x ή 3 3 x ( x ) απ όπου προκύπτει x ή x 3 3_MATHEMATIKA II_indd 73 4//4 :5:53 μμ

14 74 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Για x = η () δίνει y =, ενώ για x 3 δίνει y 3 4 f f Για x = έχουμε y x (απροσδιοριστία), x y y άρα δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής Για επομένως για f f = x 3 έχουμε y 3 x x y 3 y 4 x 3 έχουμε μέγιστο, το y 3 4, 4 33 ( η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με δύο μεταβλητές Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση z που ορίζεται απ την εξίσωση με δύο μεταβλητές x, y, και είναι η f (x, y, z) = () η οποία έχει μερικές παραγώγους μέχρι ης τάξης συνεχείς Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων f f f( x, y, z),, x y f και έστω μια λύση αυτού η P( x, y, z ) με Τότε, σύμφωνα με το z P θεώρημα 6 ορίζεται η συνάρτηση z = φ(x, y) σε μια περιοχή του σημείου Ρ z z z Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους,, στη θέση x y xy ( x, y) και εφαρμόζουμε τη θεωρία της παραγράφου 3 για τα ακρότατα της συνάρτησης z = φ(x, y) Η ίδια μεθοδολογία μπορεί να γενικευθεί και για πεπλεγμένες συναρτήσεις με περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές Στη πράξη όμως, για τη συνάρτηση f (x, y, z) = το P( x, y, z ) αποτελεί: i) σημείο τοπικού ελαχίστου, όταν: D f x f xy f xy f y P και D f f x z P 3_MATHEMATIKA II_indd 74 4//4 :3:34 μμ

15 33 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 75 ii) σημείο τοπικού μεγίστου, όταν D και D Αν D, τότε για την εξακρίβωση ακρότατων χρειαζόμαστε τις μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης της f (x, y, z) (αν υπάρχουν) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υπολογιστούν τα ακρότατα της πεπλεγμένης συνάρτησης 3 f( x, y, z) x y z z z ΛΥΣΗ Είναι f f f f f f x, y, 3z 4z,,, x y z x y xy f f Λύνουμε το σύστημα: f( x, y, z),,, x y δηλαδή το σύστημα: 3 x y z z z x y,, 3 Οι δύο τελευταίες αν αντικατασταθούν στην πρώτη δίνουν z z z 3 ή z z( z) ή ( z)( z z) z( z) ή ( z)( z z) Η τελευταία εξίσωση έχει τη μοναδική πραγματική ρίζα z = Άρα το σημείο στάσης της f είναι το Ρ με ( x, y, z) (,, ), για το οποίο είναι f z P Εξ άλλου έχουμε 3( ) 4( ) f f x xy f f D 4, D f f x z P xy y P Άρα το σημείο Ρ (,, ) είναι θέση τοπικού μεγίστου της z = φ(x, y) και είναι: z μεγ = φ(, ) = 3_MATHEMATIKA II_indd 75 4//4 :6:9 μμ

16 76 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης y y( x) που ορίζεται με 4 4 πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση f( x, y) x 4xy y (Απάντηση: y max ( 3) 7, y ( 3) 7) min ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz x y y (Απάντηση: fmax ( 6 3, 6) 3, fmin (6 3, 6) 3 ) 3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης z f( x, y) που ορίζεται 3 με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση F( x, y, z) z xyz xy x (Απάντηση: fmax ( 6, 6 3) 3, fmin ( 6, 6 3) 3 ) 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες Έστω μια πραγματική συνάρτηση f( x, x,, x ), 3, () που ορίζεται στον τόπο Τ R, της οποίας όμως οι μεταβλητές x, x,, x δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά επαληθεύουν τις p εξισώσεις (p < ν) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) ( x, x,, x ) p όπου οι πραγματικές συναρτήσεις () ορίζονται σ ένα υποσύνολο του Τ, το Τ Τ R Θα ζητήσουμε να βρούμε τις θέσεις των ακρότατων τιμών της συνάρτησης f( x, x,, x ) που υπόκειται στις συνθήκες () Μια μέθοδος για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων είναι αυτή των πολλαπλασιαστών του Lagrange Κατά την μέθοδο αυτή εργαζόμαστε ως εξής: () 3_MATHEMATIKA II_indd 76 4//4 :8:37 μμ

17 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 77 Σχηματίζουμε τη συνάρτηση F( x, x,, x,,,, p) f pp με παραμέτρους τα,,, R p Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους της F ως προς τις ν + p μεταβλητές, x, x,, x,,, δηλαδή τις p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F f ή x x x x x p p F ή ( x, x,, x ) F ή ( x, x,, x ) F ή p( x, x,, x ) p Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν σύστημα ν + p εξισώσεων με ν + p αγνώστους, τους x, x,, x,,, p Αν P (,,,,,, p) είναι μια λύση του συστήματος αυτού των ν + p εξισώσεων, τότε το σημείο P(,,, ) ενδέχεται να είναι μια θέση ακρότατου της f που υπόκειται στις συνθήκες () Μένει να διαπιστωθεί αν ένα τέτοιο σημείο P είναι ή όχι θέση ακρότατου, και αν είναι, ποιο είναι το είδος του Επειδή στις εφαρμογές συνήθως παρουσιάζονται οι περιπτώσεις (ν = 3, p = ) ή (ν = 3, p = ), θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις ικανές συνθήκες που δίνουν τις θέσεις ακροτάτων για κάθε μια απ τις περιπτώσεις αυτές 3_MATHEMATIKA II_indd 77 4//4 ::55 μμ

18 78 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκες) Έστω η συνάρτηση f (x, y, z) με συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x, y, z που περιέχει, και οι συνθήκες ( xyz,, ), ( xyz,, ) Θεωρούμε τη συνάρτηση F( x, y, z,, ) f, και έστω P ( x, y, z,, ) μια λύση του συστήματος F F F F F,,,, x y z Εξετάζουμε την ορίζουσα F F F x xy xz x x F F F yx y yz y y F F F zx zy z z z x y z x y z P Αν Δ > τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο ελαχίστου για την f, ενώ αν Δ < τότε το P( x, y, z ) είναι σημείο μεγίστου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z, που πληρούν τους περιορισμούς ( xyz,, ) xz yz, ( xyz,, ) xy ΛΥΣΗ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση F( x, y, z,, ) x y z ( xz yz) ( xy) Πιθανές θέσεις των ακρότατων είναι οι λύσεις του συστήματος: F xzy x () 3_MATHEMATIKA II_indd 78 9//4 9:56: πμ

19 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 79 F yzx y F zyx z F xz yz F xy () (3) (4) (5) Απ τη () αφαιρούμε την () κι έχουμε ( y x) ( y x) απ όπου προκύπτει ή y x x = y ή ( )( ) Διακρίνουμε επομένως τις παρακάτω περιπτώσεις: Για x = y: η (5) γίνεται x x, οπότε και y H (4) για x, y δίνει z ή z =, ενώ για x, y δίνει z ή z = Η (3) για x =, y =, z = δίνει + + = ή =, ενώ για x =, y =, z = δίνει = ή Η () για x =, y =, z =, δίνει + = ή, ενώ για x =, y =, z =, δίνει + = ή = Ώστε για x = y έχουμε δύο πεντάδες ως λύση του συστήματος, τις: P (,,,, ) και P (,,,, ) Για : η () γίνεται y zx ή ( x y) z, (6) η (4) γίνεται x y z, (7) 3_MATHEMATIKA II_indd 79 9//4 9:56: πμ

20 8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ οπότε η (6) λόγω της (7) γίνεται z z ή Η (3) γίνεται z ( x y) ή λόγω της (7) z z ή Απ τις (8) και (9) προκύπτει 4 ή άρα (λόγω του περιορισμού της (9)) =, οπότε η (9) δίνει z 4 (8) z (9) 4 z άρα z και επομένως η (7) δίνει x y Και επειδή η (5) δίνει xy =, (δηλαδή είναι γνωστά το άθροισμα x y και το γινόμενο xy), άρα αυτά (τα x και y) θα είναι ρίζες της εξίσωσης με διακρίνουσα Δ = 7/ <, επομένως οι τιμές των x και y που θα προκύψουν θα είναι μιγαδικές, οπότε απορρίπτονται Ώστε για δεν υπάρχει πραγματική πεντάδα ως λύση του συστήματος, επομένως οι μόνες πραγματικές λύσεις είναι οι P (,,,, ) και P (,,,, ) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ Είναι F, F xy, F xz, x z, x x F yx, F, F yz, y z, y y y x F, F, F, x y, zx zy z z z οπότε η ορίζουσα Δ για τις τιμές P και P γίνεται 4, 4 P P 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

21 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 8 Επομένως, τόσο το σημείο P (,, ) όσο και το P (,,) είναι θέσεις τοπικού ελαχίστου της f( x, y, z) x y z και είναι f (,, ) f (,, ) 3 34 ( η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = συνθήκη) Εδώ δηλαδή έχουμε μια συνάρτηση με τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως και πριν, την f (x, y, z) και μια συνθήκη την φ(x, y, z) = Θεωρούμε τη συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) και έστω P ( x, y, z, ) μια λύση του συστήματος F F F F,,, () x y z Θεωρούμε τις ορίζουσες: F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αν για τη λύση P ( x, y, z, ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε η λύση αυτή P είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν συμβαίνει καμία απ τις περιπτώσεις (i) και (ii), τότε εφαρμόζουμε τον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του 3_MATHEMATIKA II_indd 8 9//4 9:56: πμ

22 8 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στην πράξη, αν η συνθήκη φ(x, y, z) = λύνεται εύκολα ως προς μια των μεταβλητών της, πχ της z (χωρίς όμως να εκφράζεται με ριζικά) και δίνει έστω την z g( x, y), συνήθως αντικαθίσταται η τιμή αυτή του z στη συνάρτηση f (x, y, z), οπότε προκύπτει νέα συνάρτηση η f (x, y, g(x, y)) = h(x, y) της οποίας υπολογίζουμε τα ακρότατα κατά τα γνωστά Στη περίπτωση που έχουμε (ν =, p = ) και δεν μπορεί η φ(x, y) = να εκφραστεί συναρτήσει του ενός από τους x, y, τότε βρίσκουμε μια λύση P ( x, y, ) απ το σύστημα των εξισώσεων F F F,, x y όπου Fxy (,, ) f( xy, ) ( xy, ) και παίρνουμε τις () F F x xy F, x P F yx F y P Αν για τη λύση P( x, y ) του συστήματος () είναι i) Δ >, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση ελαχίστου της f, ii) Δ <, Δ >, τότε το P ( x, y, ) είναι θέση μεγίστου της f iii) Αν δεν ισχύει τίποτε από τα παραπάνω, τότε πάμε στον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης συνθήκη ( xyz,, ) x yz f( x, y, z) x y z με τη ΛΥΣΗ ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση 3_MATHEMATIKA II_indd 8 4//4 :4: μμ

23 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 83 F x y z x y z x y z (,, ) ( ) όπου λ R και λύνουμε το σύστημα F x F z F x (), y (), y F z (3), x yz (4) Από () (): y x = x = y (5) Από (3) (): z y = z = y (6) Από (5), (6) προκύπτει x = y = z (7) Η (4) λόγω της (7) δίνει 3x + = Άρα x = y = z = - ⅓, οπότε η () δίνει λ = - ⅔ Άρα Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ και Δ για τις τιμές της λύσης Ρ (-⅓, -⅓, -⅓, -⅔) Είναι: F, F, F, x xy xz x F, F, F, yx y yz y F, F, F, zx zy z z Άρα, 4 P P άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες i) και ii) Επομένως το σημείο Ρ (- ⅓, -⅓, -⅓, -⅔) πιθανώς να αποτελεί θέση ακρότατου πιθανώς όχι Πάμε στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι 3 h 3 k 3 l με τη συνθήκη 3h 3k 3l ή hkl Είναι 3_MATHEMATIKA II_indd 83 4/3/4 :36: πμ

24 84 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ h k l h k l h k l ( hkl) h k l h k l Άρα το σημείο Ρ (- ⅓, - ⅓, - ⅓, - ⅔) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f ( 3, 3, 3) 3 ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ Η συνθήκη ( xyz,, ) x yz μπορεί να λυθεί πχ ως προς z οπότε γίνεται z g( x, y) x y Άρα η δοθείσα συνάρτηση γίνεται f( x, y, z) f( x, y, g( x, y)) x y ( x y ) ή hxy (, ) x y xyxy Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε τα ακρότατα της h(x, y) Είναι κατά τα γνωστά: h h 4xy, 4yx x y Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε x = y = - ⅓ Άρα το σημείο Α (- ⅓, - ⅓) είναι σημείο στάσης Εξ άλλου είναι h h h 4,, 4, οπότε x xy y A A A 44 Επομένως, σύμφωνα με τη θεωρία της παραγράφου 3 η h(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Α (- ⅓, - ⅓) το h, _MATHEMATIKA II_indd 84 9//4 9:56: πμ

25 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 85 Κατά συνέπεια η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση P το f,,, , 3, 3 ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x yz5 που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο(,,) ΛΥΣΗ Το πρόβλημα είναι να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης w x y z με τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz5 Μπορούμε, αντί της συνάρτησης w να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση f( x, y, z) x y z για να αποφύγουμε τα ριζικά Σχηματίζουμε λοιπόν τη βοηθητική συνάρτηση Fxyz (,,, ) f( xyz,, ) ( xyz,, ) x y z (x yz 5) Την παραγωγίζουμε ως προς τις μεταβλητές x, y, z, λ και λύνουμε το σύστημα Fx x Fy y Fz z F x yz5 που έχει λύση x, y, z, Eπομένως, θα ελέγξουμε στο σημείο P (5 3, 5 6, 5 6, 5 3) το πρόσημο των οριζουσών F F F x xy xz x F F F yx y yz y, F zx F zy F z z y z P x y z P F F y zy yz F F z y z Αλλά F, F, F, x xy xz x 3_MATHEMATIKA II_indd 85 9//4 9:56: πμ

26 86 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ F, F, F, yx y F, F, F, zx Επομένως zy z yz y z 4, 4 και άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες (i) και (ii) της θεωρίας ( η Περίπτωση ν = 3, p = ), επομένως το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) πιθανώς να αποτελεί θέση ακροτάτου, πιθανώς όχι Πάμε λοιπόν στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά: f( x h, y k, z l) f( x, y, z ) Είναι h k l με τη συνθήκη h k l ή hkl Άρα 5 h 5 5k 5 5l h k l h k l ( h k l) h k l h k l 3 3 Ώστε το σημείο P (5 3, 5 6, 5 6) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του f min (5 3, 5 6, 5 6) 5 6 3_MATHEMATIKA II_indd 86 9//4 9:56:3 πμ

27 34 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 87 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) 4 9 με x y z τη δέσμευση ( xyz,, ) x yz (Απάντηση: f min (, 4, 6) 3 ) ) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου x3yz7 που να απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,4,) Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Υπόδ: Να θεωρήσετε τη συνάρτηση f( x, y, z) ( x) ( y4) ( z ) με τη δέσμευση ( xyz,, ) x3yz7 ) 47 9 (Απάντηση: fmin,, 4) ) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση f( x, y, z) x y z για τα σημεία της ευθείας που ορίζουν τα επίπεδα xy3z και x3yz (Απάντηση: fmin,, ) ) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( x, y, z) x y z με τις δεσμεύσεις x y 4 και xz (Απάντηση: f max (,,3) 3, f max (,, ) 5, f min (, 3, ) f (, 3, ) 4 ) min 3 5) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης f( x, y, z) xy z που υπόκειται στη συνθήκη x + y + z = 6 με x, y, z > (Απάντηση: f max (,, 3) 8 ) 6) Να βρεθούν τρεις θετικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι και το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο (Υπόδειξη: Θεωρήσετε τη συνάρτηση f ( x, y, z) xyz με δέσμευση ( xyz,, ) x yz ) (Απάντηση: f max (4,4,4) 64 ) 7) Κιβώτιο με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, που είναι ανοιχτό προς τα πάνω, πρέπει να έχει όγκο 8 cm 3 Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε η ολική του επιφάνεια S να είναι ελάχιστη; 3_MATHEMATIKA II_indd 87 9//4 9:56:3 πμ

28 88 Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Υπόδειξη: Αν y, z, οι διαστάσεις της βάσης και x το ύψος του κιβωτίου, θεωρήσετε τη συνάρτηση S f( x, y, z) xyxz yz με τη δέσμευση V ( x, y, z) xyz 8 Αντικαθιστώντας το συνάρτηση δύο μεταβλητών F( x, y )) (Απάντηση: f min (3,6,6) 8 ) 8 z στην S προκύπτει xy 8) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f ( x, y, z) xyz που υπόκειται στις συνθήκες ( xyz,, ) x yz5, (,, ) 8 xyz xy yz zx (Απάντηση: fmin (,,) fmin (,,) fmin (,,) 4) 3_MATHEMATIKA II_indd 88 9//4 9:56:3 πμ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα