ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι η µάζα, ο όγκος, το µήκος κ.λ.π. ιανυσµατικά είναι τα µεγέθη για τα οποία δεν είναι αρκετό το µέτρο τους για να τα χαρακτηρίσει. Η ταχύτητα ας πούµε ενός κινητού, γίνεται γνωστή όταν εκτός από το µέτρο γνωρίζουµε το δρόµο επί του οποίου γίνεται η κίνηση και τη φορά που έχει το κινητό επί του δρόµου αυτού. Άλλα τέτοια µεγέθη, είναι η επιτάχυνση, η δύναµη κ.λ.π. Τα διανύσµατα γενικά, είναι η µαθηµατική έκφραση των διανυσµατικών µεγεθών. Ειδικότερα, έχουµε: Ορισµός: ιάνυσµα είναι κάθε µη µηδενικό προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα. ηλαδή κάθε ευθύγραµµο τµήµα, του οποίου τα άκρα είναι διατεταγµένα, αποτελεί διάνυσµα που συµβολίζεται και απεικονίζεται από ένα βέλος, όπως στο σχήµα 1. Το σηµείο που είναι το πρώτο άκρο, αποτελεί την αρχή του διανύσµατος, ενώ το σηµείο που αποτελεί το δεύτερο άκρο, είναι το πέρας αυτού και σηµαδεύεται µε ένα βέλος. Πολλές φορές ένα διάνυσµα, συµβολίζεται και µε τα µικρά γράµµατα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Έτσι έχουµε τα διανύσµατα α, β,c, d,... σχ.1 Στοιχεία του διανύσµατος Κάθε διάνυσµα, χαρακτηρίζεται από τα στοιχεία του, που είναι: 1. Φορέας: Φορέας του διανύσµατος, είναι η ευθεία επί της οποίας περιέχεται το διάνυσµα.

2 Έτσι ο φορέας του διανύσµατος (σχ. 1), είναι η ευθεία, που ονοµάζεται και διεύθυνση αυτού. ύο διανύσµατα που περιέχονται στον ίδιο φορέα ή σε παράλληλους φορείς, λέµε ότι είναι παράλληλα ή συγγραµµικά. Για τα συγγραµµικά διανύσµατα, Γ συµβολίζουµε: // Γ 2. Φορά διανύσµατος: Φορά ενός διανύσµατος, είναι η φορά της ηµιευθείας. Ειδικότερα, όταν δύο διανύσµατα τότε ενδέχεται:, Γ είναι συγγραµµικά, i Να περιέχονται και τα δύο στο ίδιο ηµιεπίπεδο της ευθείας που ορίζεται από την αρχή τους (σχ. 3α) ή οι ηµιευθείες, Γ να είναι η µία µέσα στην άλλη (σχ. 3β). Γ Γ Γ σχ. 3β Σ αυτή την σχ. 3α περίπτωση, τα διανύσµατα έχουν την ίδια φορά και λέµε ότι είναι οµόρροπα, ενώ συµβολίζουµε: րր Γ Tα οµόρροπα διανύσµατα λέµε ότι έχουν την ίδια κατεύθυνση. ii Να περιέχονται στα διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ευθείας που ορίζεται από την αρχή τους (σχ. 4α) ή οι ηµιευθείες, Γ να µη περιέχει η µία την άλλη (σχ. 4β). Στην περίπτωση αυτή τα διανύσµατα έχουν αντίθετες φορές και λέµε ότι είναι αντίρροπα, ενώ συµβολίζουµε: րւ Γ σχ 4α Γ

3 3. Μέτρο: Μέτρο του διανύσµατος, είναι η απόσταση των άκρων του. Γ Γ ηλαδή το µέτρο του διανύσµατος είναι το µήκος () του ευθυγράµµου τµήµατος που απεικονίζει το διάνυσµα. Το µέτρο του διανύσµατος συµβολίζεται σχ. 4β και ισχύει: = ( ) 0 Ίσα διανύσµατα Όταν τα διανύσµατα, Γ είναι οµόρροπα και έχουν το ίδιο µέτρο, τότε λέµε ότι είναι ίσα και συµβολίζουµε: =Γ Πρόταση 1: ν τα διανύσµατα, Γ δεν περιέχονται στον ίδιο φορέα, ισχύει η ισοδυναµία: =Γ Γ παραλ/µο Πρόταση 2: των ισοτήτων: =Γ Η παραπάνω ισοδυναµία, εξασφαλίζει την ισοδυναµία Γ= =Γ = Γ Πρόταση 3: και µόνον αν: Το σηµείο Μ είναι µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος αν Μ=Μ Η απόδειξη να γίνει από τους µαθητές

4 ιάνυσµα θέσεως Θεωρούµε διάνυσµα α και σηµείο Ο (σχ. 7). πό τον ορισµό της ισότητας, προκύπτει ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο, ώστε να ισχύει: α Ο=α Το διάνυσµα Ο, ονοµάζεται διάνυσµα θέσεως του Ο σηµείου ή διανυσµατική ακτίνα του. σχ. 7 Είναι φανερό ότι το σηµείο Ο µπορεί να γίνει κοινή αρχή όλων των διανυσµάτων του χώρου, γι αυτό ονοµάζεται σηµείο αναφοράς στο χώρο. ντίθετα διανύσµατα Ορισµός: ύο διανύσµατα είναι αντίθετα, αν και µόνον αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα µέτρα. Για τα αντίθετα διανύσµατα, Γ σηµειώνουµε: = Γ και είναι φανερό ότι ισχύει η ισοδυναµία: = Γ = Γ

5 Μηδενικό διάνυσµα Ορισµός: Κάθε διάνυσµα του οποίου τα άκρα ταυτίζονται, ονοµάζεται µηδενικό και συµβολίζεται 0. Ο ορισµός αυτός µας επιτρέπει να συµπεράνουµε: 1. Όλα τα µηδενικά διανύσµατα είναι ίσα µεταξύ τους. 2. Κάθε σηµείο, είναι µηδενικό διάνυσµα. 3. Το µέτρο του µηδενικού διανύσµατος, είναι µηδέν. Ενώ δεχόµαστε ότι: 1. Ο φορέας του µηδενικού διανύσµατος, είναι οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το σηµείο. υτό σηµαίνει ότι κάθε µηδενικό διάνυσµα, είναι συγγραµµικό οποιουδήποτε διανύσµατος. 2. Το µηδενικό διάνυσµα, έχει οποιαδήποτε φορά. Γωνία δύο διανυσµάτων Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β και σηµείο Ο. ν είναι Ο=α, Ο =β, την κυρτή γωνία Ο ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α, β β, α. Είναι αυτονόητο ότι: και τη συµβολίζουµε µε ( ) ή ( ) 1. ν τα διανύσµατα είναι οµόρροπα, τότε η γωνία τους είναι µηδέν. 2. ν τα διανύσµατα είναι αντίρροπα, τότε η γωνία τους είναι π 3. Όταν η γωνία Ο είναι ορθή, τότε λέµε ότι τα διανύσµατα είναι κάθετα και συµβολίζουµε α β.

6 ΠΡΞΕΙΣ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θεωρούµε τα διανύσµατα τα σηµεία, (σχ. 8) ώστε: Ο=α και = β α, β και σηµείο Ο του χώρου. Ορίζουµε Ο σχ. 8 Έστω γ το διάνυσµα Ο. Το διάνυσµα αυτό ονοµάζουµε άθροισµα των α, β και συµβολίζουµε: γ=α+β ή Ο=Ο+ Το διάνυσµα γ=ο είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σηµείου Ο. πό την ισότητα Ο=Ο+ Ο, µπορούµε να διατυπώσουµε την πρόταση: Όταν τα διανύσµατα είναι διαδοχικά (σχ. 8), τότε το άθροισµα αυτών είναι το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας, το πέρας του δεύτερου. Ενώ η ισότητα Ο=Ο+ΟΓ (σχ. 9), µας δίνει την πρόταση: Το άθροισµα δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή, είναι η διαγώνιος του παραλ/µου που σχηµατίζεται µε πλευρές τα διανύσµατα αυτά και έχει αρχή την κοινή αρχή των διανυσµάτων αυτών.

7 Ιδιότητες της πρόσθεσης Στο σύνολο των διανυσµάτων, ισχύουν όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης, που ισχύουν στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Έτσι λοιπόν, έχουµε: 1. ντιµεταθετική: Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β ισχύει: α+ β=β+ α 2. Προσεταιριστική: Για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β, γ ισχύει: α+ β +γ =α+ β+ γ ( ) ( ) 3. Ουδετέρου: Το µηδενικό διάνυσµα 0, αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι για κάθε διάνυσµα α, ορίζουµε το Ο=α και ισχύει: α+ 0 =Ο+=Ο=α 4. Συµµετρικού: Το αντίθετο του κάθε διανύσµατος, αποτελεί το συµµετρικό αυτού ως προς την πρόσθεση. Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων Έστω τα µη συγγραµµικά διανύσµατα α, β (σχ. 12) και Ο σηµείο του χώρου. Τότε ορίζουµε τα σηµεία, ώστε: Ο=α και = β πό το τρίγωνο Ο έχουµε τη σχέση: ( Ο ) ( ) < ( Ο ) < ( Ο ) + ( ) α β Επειδή ( Ο ) = α, ( ) = β Ο σχ. 12 και ( Ο ) = α+ β, προκύπτει: α β < α+ β < α + β ν τα διανύσµατα α, β είναι οµόρροπα, είναι φανερό ότι ισχύει: α+ β = α + β Ενώ αν είναι αντίρροπα, έχουµε: α β = α+ β

8 Εποµένως γενικά ισχύει: α β α+β α +β φαίρεση διανυσµάτων Έστω τα διανύσµατα α, β. Το διάνυσµα: γ=α+ ( β ) που συµβολίζεται γ=α β και το ονοµάζουµε διαφορά του διανύσµατος β από το διάνυσµα α. πό τον ορισµό της διαφοράς α β, προκύπτει ότι αρκεί στο διάνυσµα α Ο β, να προσθέσουµε το αντίθετο του β α (σχ. 13α). ν στο σχήµα 13β ορίσουµε τα σηµεία, ώστε Ο=α, Ο = β σχ.13α Ο και σχηµατίσουµε το παραλ/µο ΟΓ, τότε επειδή Ο= β, έχουµε: Γ σχ.13β α β= α+ β =Ο+Ο= ( ) Που σηµαίνει ότι η διαφορά των διανυσµάτων όταν έχουν κοινή αρχή, είναι η δεύτερη διαγώνιος του παραλ/µου που σχηµατίζεται µε τα διανύσµατα αυτά και του οποίου η διαγώνιος µε αρχή την κοινή αρχή αυτών, απεικονίζει το άθροισµα των διανυσµάτων. κόµη επειδή από την (1) µπορούµε να έχουµε: διατυπώνουµε: Ο Ο= Η διανυσµατική ακτίνα του µείον την διανυσµατική ακτίνα του, µας δίνει το διάνυσµα. ηλαδή την διαφορά των διανυσµάτων. (1)

9 ΠΟΛ/ΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΙΝΥΣΜ Ορισµός: Θεωρούµε το διάνυσµα α και τον πραγµατικό αριθµό λ. Το γινόµενο του πραγµατικού αριθµού λ, επί το διάνυσµα α συµβολίζεται: β=λα και είναι ένα διάνυσµα: i Οµόρροπο του α αν λ> 0, αντίρροπο του α αν λ< 0. ii β = λ α ν λ=0 ή α= 0, τότε το γινόµενο λα είναι το µηδενικό διάνυσµα. Πρόταση: Τα α 0, β είναι δύο συγγραµµικά διανύσµατα, αν και µόνον αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε: β=λα Ιδιότητες του γινοµένου αριθµού επί διάνυσµα Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ επί διάνυσµα α, χαρακτηρίζεται από τις ιδιότητες που ακολουθούν. Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων αυτών είναι εκτός ύλης. Πρέπει όµως να τις γνωρίζετε, για να µπορείτε να λύνετε ασκήσεις. 1. Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού επί διάνυσµα, είναι επιµεριστικό ως προς το άθροισµα των διανυσµάτων. ηλαδή ισχύει: λ α+ β =λα+λ β, λ R και α, β E ( )

10 2. Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού επί διάνυσµα, είναι επιµεριστικό ως προς το άθροισµα των αριθµών. υτό σηµαίνει ότι ισχύει: λ+µ α=λα+µα λ µ R και α E ( ),, 3. Το γινόµενο αριθµού επί διάνυσµα, είναι προσεταιριστικό ως προς το γινόµενο των αριθµών, διότι ισχύει: λ µα = λµ α λ µ R και α E ( ) ( ),, 4. Το ουδέτερο στοιχείο της πράξης αυτής είναι η πραγµατική µονάδα, διότι ισχύει: 1 α=α, α E Συνέπεια των ιδιοτήτων αυτών, έχουµε ακόµη τις ιδιότητες που ακολουθούν, των οποίων τις αποδείξεις πρέπει να ξέρετε. ❶ Για λ R και α E, ισχύει η ισοδυναµία: λα= 0 λ= 0 ή α= 0 ❷ Για κάθε λ R και για κάθε διάνυσµα α, ισχύει: λ α=λ α = λα ( ) ( ) ( ) ❸ Στο γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα, ισχύει ο νόµος της διαγραφής και ως προς τους πραγµατικούς αριθµούς και ως προς τα διανύσµατα. ηλαδή ισχύουν οι συνεπαγωγές: λ 0 α 0 1 λα=λ β α= β και 2 λα=µα λ=µ

11 Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Ορισµός: Θεωρούµε τα διανύσµατα α, β. Κάθε διάνυσµα: γ=λα+µβ µε λ, µ R Ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων αυτών. Η πρόταση αυτή γενικεύεται για περισσότερα από δύο διανύσµατα. Έτσι αν έχουµε τα διανύσµατα α 1, α 2,..., α ν κάθε διάνυσµα της µορφής: λ 1 α 1 +λ 2 α λ ν α ν µε λ i R, i=1,2,..,ν ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων: α, α,..., α ν 1 2 Πρόταση: ν τα διανύσµατα α, β δεν είναι συγγραµµικά και υπάρχουν λ, µ R ώστε να ισχύει: γ=λα+µβ τότε για το κάθε διάνυσµα γ οι λ,µ είναι µοναδικοί. ιανυσµατική ακτίνα µέσου ευθυγράµµου τµήµατος Θεωρούµε ευθύγραµµο τµήµα και έστω Μ το µέσον του. ν Ο είναι τυχαίο σηµείο του χώρου, ισχύει: Ο+Ο ΟΜ= 2

12 ΣΥΝΤΕΤΓΜΕΝΕΣ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο του είναι ίσο µε τη µονάδα. Η ευθεία η εφοδιασµένη µε τα στοιχεία αυτά, ονοµάζεται άξονας µε αρχή το Ο και συµβολίζεται ( Ο, i) ή x x. Η ηµιευθεία Ο x που περιέχει το µοναδιαίο διάνυσµα, ονοµάζεται θετικός ηµιάξονας, ενώ η ηµιευθεία Ο x ονοµάζεται αρνητικός ηµιάξονας. Τετµηµένη σηµείου Θεωρούµε άξονα ( Ο, i) και σηµείο Μ αυτού (σχ. 22). Έτσι ορίζεται το διάνυσµα ΟΜ, το οποίο είναι συγγραµµικό του i, εποµένως υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός x, ώστε να ισχύει: ΟΜ= xi (1) Ο µοναδικός αυτός πραγµατικός αριθµός, ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και συµβολίζεται Μ ( x) ή x Μ ντίστροφα, σε κάθε πραγµατικό αριθµό x, αντιστοιχεί σηµείο Μ του άξονα. Πράγµατι για δεδοµένο πραγµατικό αριθµό x, από τη σχέση (1) ορίζεται διάνυσµα ΟΜ συγγραµµικό του i. Επειδή τα διανύσµατα ΟΜ, i έχουν κοινή αρχή Ο, συνεπάγεται ότι περιέχονται στον ίδιο φορέα, άρα το Μ είναι σηµείο του άξονα x x Μ x. και συµβολίζεται ( ) κόµη γίνεται φανερό ότι αν x είναι η τετµηµένη του σηµείου Μ, ισχύει: ( ΟΜ ) = x ιότι από την σχέση ΟΜ= xi, έχουµε ΟΜ = xi ή ΟΜ = x i και επειδή i = 1, προκύπτει ΟΜ = x.

13 Καρτεσιανό επίπεδο Σε δεδοµένο επίπεδο, θεωρούµε δύο κάθετους άξονες x x, y y (σχ. 23) µε κοινή αρχή το σηµείο Ο και έστω i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών αντίστοιχα. Το επίπεδο που είναι εφοδιασµένο µε τα στοιχεία αυτά, λέµε ότι αποτελεί ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων ή ένα καρτεσιανό επίπεδο και Ο, i, j ή απλούστερα Ο xy. Στην το συµβολίζουµε ( ) περίπτωση που τα µοναδιαία των αξόνων εκφράζουν την ίδια µονάδα µήκους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Συντεταγµένες σηµείου Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy (σχ. 24) και σηµείο Μ του επιπέδου αυτού. πό το σηµείο Μ θεωρούµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και έστω Μ 1, Μ 2 τα σηµεία τοµής των παραλλήλων αυτών µε τους άξονες x x, y y αντίστοιχα. Στο σηµείο Μ 1 του άξονα x x αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός x που ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και στο σηµείο Μ 2 του άξονα y y αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός y που ονοµάζεται τεταγµένη του σηµείου Μ. Το διατεταγµένο x,y στο οποίο αντιστοιχεί το Μ, ζευγάρι ( ) αποτελεί τις συντεταγµένες του Μ. ντίστροφα, σε κάθε ζευγάρι ( x,y ) αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του καρτεσιανού επιπέδου Ο xy, που καθορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο: Στην τετµηµένη χ αντιστοιχεί το σηµείο Μ 1 του άξονα x x και στην τεταγµένη y το σηµείο Μ 2 του άξονα y y. πό το Μ 1 θεωρούµε παράλληλη προς τον άξονα y y (σχ. 24) και από το Μ 2 παράλληλη προς τον x x. Η τοµή των παραλλήλων αυτών ευθειών, είναι το σηµείο Μ που αντιστοιχεί στο ζευγάρι ( x,y ). Υπάρχει λοιπόν και µεταξύ των σηµείων του καρτεσιανού επιπέδου και των στοιχείων του RR x αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία, αφού σε κάθε σηµείο Μ του x,y που είναι οι καρτεσιανού επιπέδου, αντιστοιχεί ένα διατεταγµένο ζευγάρι ( ) συντεταγµένες του σηµείου και αντίστροφα. Το σηµείο Μ που έχει συντεταγµένες Μ x, y. ( x, y ) συµβολίζεται ( )

14 Συντεταγµένες διανύσµατος Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy και ένα διάνυσµα α του επιπέδου αυτού (σχ. 25). Είναι γνωστό ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο του επιπέδου, ώστε: Ο=α Έστω 1, 2 οι προβολές του στους άξονες x x, y y αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι ισχύει: Ο=Ο 1 +Ο 2 (1) x,y οι συντεταγµένες του σηµείου, ισχύουν οι σχέσεις: Ο 1 =χ i, Ο2 =ψ j (2) Όπου i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x x, y y αντίστοιχα. Εποµένως η σχέση (1) έχει τη µορφή: α= xi + yj (3) Τα διανύσµατα που δίνονται από τις σχέσεις (2), αποτελούν τις συνιστώσες του διανύσµατος α στις διευθύνσεις των αξόνων. Οι πραγµατικοί αριθµοί x,y που εκφράζουν το διάνυσµα α σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων διανυσµάτων i, j ονοµάζονται συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς τα i, j. Μάλιστα απ αυτές, ο πραγµατικός αριθµός x ονοµάζεται τετµηµένη ενώ ο πραγµατικός αριθµός y ονοµάζεται τεταγµένη του διανύσµατος. Επειδή τα διανύσµατα i, j δεν είναι συγγραµµικά, οι πραγµατικοί αριθµοί x,y είναι µοναδικοί. Εποµένως: Κάθε διάνυσµα, γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων. ν είναι ( ) πό τα όσα έχουµε διατυπώσει, γίνεται φανερό ότι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος σε καρτεσιανό επίπεδο Ο xy µε µοναδιαία i, j είναι: 1. Οι συντεταγµένες του πέρατος, όταν τα διάνυσµα έχει αρχή την αρχή των αξόνων. 2. Οι πραγµατικοί αριθµοί που εκφράζουν το διάνυσµα (σχέση 3) σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων.

15 Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= ( x 1, y 1), β= ( x 2,y2) σε καρτεσιανό επίπεδο ( Ο, i, j). Τότε ισχύουν οι σχέσεις: α= x1i + y1 j (1) β=x2i + y2j (2) πό τις σχέσεις αυτές, µπορούµε να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένες όλων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων αυτών. Έτσι λοιπόν έχουµε: 1. Συντεταγµένες του α+ β Οι συντεταγµένες του αθροίσµατος δύο διανυσµάτων, είναι το άθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των διανυσµάτων αυτών. ηλαδή ισχύει: α +β= x,y + x,y = x + x, y + y ( ) ( ) ( ) Συντεταγµένες του λα * Θεωρούµε λ R. πό την ισότητα (1), µπορούµε να έχουµε: λα=λ x1i +λ y1 j Εποµένως: Οι συντεταγµένες του γινοµένου πραγµατικού αριθµού λ επί διάνυσµα α, είναι το γινόµενο του λ επί τις αντίστοιχες συντεταγµένες του διανύσµατος. υτό σηµαίνει ότι: λα=λ x,y = λ x, λ y ( ) ( ) Συντεταγµένες του λα+µ β Ο προσδιορισµός των συντεταγµένων του διανύσµατος λα+µ β, επιτυγχάνεται από τον συνδυασµό των δύο προηγουµένων περιπτώσεων. Έτσι λοιπόν έχουµε: λα+µ β=λ x,y +µ x, y = λ x, λ y + µ x, µ y άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) λα+µ β= λx +µ x, λ y +µ y ( )

16 Συντεταγµένες διανύσµατος από τα άκρα του Θεωρούµε διάνυσµα α= ( x, y) τα σηµεία ( x,y ), ( x, y ) του καρτεσιανού επιπέδου (, i, j) του ίδιου επιπέδου ώστε: α= Επειδή είναι: α=ο+ο ή α=ο Ο Μπορούµε να έχουµε ότι: α= = = ( x, y) ( x, y ) ( x,y ) ( x x, y y ) Ο και έστω Εποµένως όταν είναι γνωστές οι συντεταγµένες των άκρων ενός διανύσµατος, οι συντεταγµένες του διανύσµατος προσδιορίζονται αφαιρώντας από τις συντεταγµένες του τέλους, τις αντίστοιχες συντεταγµένες της αρχής. πόσταση δύο σηµείων Σε καρτεσιανό επίπεδο σηµεία ( x,y ), ( x, y ) Ο xy θεωρούµε το διάνυσµα α= ( x, y) ώστε: α= Στο καρτεσιανό επίπεδο και από το Πυθαγόρειο θεώρηµα, µπορούµε να έχουµε: 2 ( ) = ( x x ) + ( y y ) 2 2 = + ή ( ) = ( x2 x1) + ( y2 y1) Επειδή = ( ) προκύπτει: 2 2 = + ( x x ) ( y y ) και τα εδοµένου ότι x = x2 x1 και y = y2 y1 όπου x,y οι συντεταγµένες του διανύσµατος α, έχουµε: 2 2 α = x + y

17 Συντεταγµένες µέσου τµήµατος θεωρούµε τα σηµεία ( x,y ), ( x, y ) σε καρτεσιανό επίπεδο Οχψ και έστω Μ το µέσον του τµήµατος Επειδή 1 ΟΜ= ( Ο+Ο ) έχουµε τελικά: 2 x + x y + y x =, y= Παράλληλα διανύσµατα Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= x, y, β= x, y, β 0 ( ) ( ) του καρτεσιανού επιπέδου Οχψ. ν υποθέσουµε ότι τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα, τότε και µόνον τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε να ισχύει: α=λβ πό τη συνθήκη αυτή, προκύπτει: x1 y1 0 x y = 2 2 Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση, ισχύει και όταν β= 0 διότι στην περίπτωση αυτή, είναι x2 = y2 = 0. Άρα τελικά για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β ισχύει η ισοδυναµία: x1 y1 α // β = 0 x y 2 2 Η ορίζουσα των συντεταγµένων των α, β συµβολίζεται det (,β) α.

18 Συντελεστής διευθύνσεως Θεωρούµε διάνυσµα α 0 σε δεδοµένο σύστηµα αναφοράς Ο xy (σχ. 28) και έστω Ο=α. Η γωνία φ που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον θετικό ηµιάξονα Ο x, είναι το µέρος του επιπέδου που καλύπτει ο θετικός ηµιάξονας Ο x, στρεφόµενος περί το Ο µε τη θετική φορά, έως ότου ταυτισθεί µε την ηµιευθεία Ο. πό τον ορισµό που εδόθη, προκύπτει ότι αν φ είναι το µέτρο αυτής της γωνίας, ισχύει: 0 φ< 2 π Την εφαπτοµένη αυτής της γωνίας, ονοµάζουµε συντελεστή διευθύνσεως του διανύσµατος και συµβολίζουµε µε λ, εφόσον βέβαια α // y y ηλαδή έχουµε: y λ=εφφ= x αφού οι συντεταγµένες του σηµείου είναι ( x,y ). πό τον ορισµό που δώσαµε, γίνεται φανερό ότι: 1. α // x x 2. α // y y 3. α // β λ=0. Όπου λ ο συντελεστής διευθύνσεως Ο συντελεστής διευθύνσεως δεν ορίζεται. λ 1 =λ 2. όπου λ 1, λ 2 οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσµάτων.

19 Θέσεις δύο διανυσµάτων πό τα όσα έχουν διατυπωθεί, γίνεται φανερό ότι δύο διανύσµατα του χώρου, µπορούν να θεωρηθούν συνεπίπεδα. Πράγµατι, αν α, β είναι δύο διανύσµατα, β µπορούµε να θεωρήσουµε ότι περιέχονται στο ίδιο επίπεδο, αφού από σηµείο Ο έχουµε: α Ο=α, Ο = β q ν τα α, β Ο δεν είναι συγγραµµικά, τότε οι ευθείες Ο, Ο ορίζουν επίπεδο q που τα περιέχει σχ. 29 (σχ. 29). ν όµως είναι συγγραµµικά ή ένα από αυτά είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε περιέχονται στην ίδια ευθεία, άρα στο ίδιο επίπεδο. Πρόταση: Ένα διάνυσµα γ περιέχεται στο επίπεδο των µη συγγραµµικών διανυσµάτων α, β αν και µόνον αν υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ Θέσεις τριών διανυσµάτων Θεωρούµε τρία µη µηδενικά διανύσµατα α, β, γ. Τα δύο από αυτά, τα α, β περιέχονται στο ίδιο επίπεδο. Το τρίτο διάνυσµα γ, µπορεί να περιέχεται στο επίπεδο αυτών ή να µη περιέχεται. ν περιέχεται στο επίπεδο των α, β τότε υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ ν δεν περιέχεται, τότε δεν µπορεί να ισχύει µία τέτοια σχέση.

20 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Ορισµός Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα εσωτερικό γινόµενο αυτών, που συµβολίζουµε αριθµό: α β= α β συν α,β ( ) α, β. Ονοµάζουµε α β, τον πραγµατικό ν ένα από τα διανύσµατα αυτά είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε ορίζουµε ότι το εσωτερικό γινόµενο αυτών, είναι µηδέν. Σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων διανύσµατα α= x, y, β= x,y ισχύει: ( ) ( ) Ο xy για οποιαδήποτε x x + y y = α β συν α,β ( ) α β=x x + y y ή α ηλαδή το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων, µπορούµε να πούµε ότι είναι: Το άθροισµα των γινοµένων αυτών. των αντίστοιχων συντεταγµένων Ιδιότητες εσωτερικού γινοµένου Άµεση συνέπεια του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου, είναι οι επόµενες προτάσεις που αποτελούν τις ιδιότητες αυτού. Έτσι για οποιαδήποτε διανύσµατα:

21 1. ντιµεταθετική. Που σηµαίνει ότι: α β=β α 2. Προσεταιριστική ως προς το γινόµενο αριθµού επί διάνυσµα. ηλαδή για κάθε λ R ισχύει: ( λα ) β= α ( λ β) =λ ( α β) 3. Επιµεριστική ως προς το άθροισµα. ηλαδή έχουµε: α β+ γ =α β+ α γ ( ) 4. Εσωτερικό τετράγωνο Το εσωτερικό γινόµενο ενός διανύσµατος επί τον εαυτό του, το συµβολίζουµε: 2 α α=α και είναι: 2 α α = α ηλαδή ισχύει: 2 2 α = α Συνηµίτονο γωνίας διανυσµάτων Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα: α= x, y, β= x,y ( ) ( ) σε ορθοκανονικό σύστηµα Ο xy. πό τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου, επειδή α β 0 µπορούµε να έχουµε: συν α = x1x2+ y1y2 (,β) x + y x + y

22 Κάθετα διανύσµατα ύο µη µηδενικά διανύσµατα α, β ενός επιπέδου, λέµε ότι είναι κάθετα και συµβολίζουµε α β, όταν οι φορείς που τα περιέχουν είναι κάθετες ευθείες. Πρόταση: ν α= ( x, y ), β= ( x,y ) είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα ενός ορθοκανονικού συστήµατος Ο xy, ισχύει η ισοδυναµία: α β α β=0 Συνέπεια της πρότασης αυτής, εφ όσον κανένα από τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλο σε κάποιο άξονα, είναι και οι ισοδυναµίες: 1. α β x x + y y = 0 2. α β λ 1 λ 2 = 1 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα Ο β α σχ. 39 Θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β (σχ. 39). Με αρχή σηµείο Ο, θεωρούµε: Ο=α και Ο= β ν είναι η προβολή του στην ευθεία Ο, το διάνυσµα Ο ονοµάζεται προβολή του β πάνω στο α και συµβολίζεται: Ο =προβ α β Πρόταση: Για οποιαδήποτε µη µηδενικά διανύσµατα α, β α β= α προβ α β ισχύει:

23 Προσδιορισµός της προβολής διανύσµατος σε διάνυσµα Επειδή Είναι γνωστό ότι ισχύει: προβ β// α α έχουµε: α β= α προβ α β β=λ προβ α α (2) µε συνέπεια από την (1) να προκύπτει: α β= λ α α=λα (1) ( ) 2 Άρα: α β λ= α 2 Εποµένως τελικά η (2) έχει τη µορφή: β= α β προβ α α 2 α Προσοχή: Στο εσωτερικό γινόµενο δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, µε συνέπεια να µη µπορούµε να κάνουµε απλοποιήσεις στις παραπάνω σχέσεις.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ .5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α, και συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό : α = ( α συν α ) αν α και α = αν α = ή =. Ιδιότητες α = α Αν α τότε Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 5 ΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΩΡΙ αθµωτά ή µονόµετρα µεγέθη : ίναι τα µεγέθη τα οποία προσδιορίζονται πλήρως αν δοθεί µόνο το µέτρο τους και η µονάδα µέτρησης πχ η θερµοκρασία, η µάζα, το µήκος κλπ ιανυσµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις 1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο Αριστείδης Δοκουμετζίδης Ύλη Διανύσματα Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα Διαφορικές εξισώσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μία φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρίσταται

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εμφανίζονται πολλά μεγέθη, όπως μετατοπίσεις, ταχύτητες, ροπές, δυνάμεις, τα οποία για να προσδιοριστούν πλήρως δεν αρκεί μόνο να είναι γνωστό το μέτρο τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα