ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο του είναι ίσο µε τη µονάδα. Η ευθεία η εφοδιασµένη µε τα στοιχεία αυτά, ονοµάζεται άξονας µε αρχή το Ο και συµβολίζεται ( Ο, i) ή x x. Η ηµιευθεία Ο x που περιέχει το µοναδιαίο διάνυσµα, ονοµάζεται θετικός ηµιάξονας, ενώ η ηµιευθεία Ο x ονοµάζεται αρνητικός ηµιάξονας. Τετµηµένη σηµείου Θεωρούµε άξονα ( Ο, i) και σηµείο Μ αυτού (σχ. 22). Έτσι ορίζεται το διάνυσµα ΟΜ, το οποίο είναι συγγραµµικό του i, εποµένως υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός x, ώστε να ισχύει: ΟΜ= xi (1) Ο µοναδικός αυτός πραγµατικός αριθµός, ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και συµβολίζεται Μ ( x) ή x Μ Αντίστροφα, σε κάθε πραγµατικό αριθµό x, αντιστοιχεί σηµείο Μ του άξονα. Πράγµατι για δεδοµένο πραγµατικό αριθµό x, από τη σχέση (1) ορίζεται διάνυσµα ΟΜ συγγραµµικό του i. Επειδή τα διανύσµατα ΟΜ, i έχουν κοινή αρχή Ο, συνεπάγεται ότι περιέχονται στον ίδιο φορέα, άρα το Μ είναι σηµείο του άξονα x x Μ x. και συµβολίζεται ( ) Ακόµη γίνεται φανερό ότι αν x είναι η τετµηµένη του σηµείου Μ, ισχύει: ( ΟΜ ) = x ιότι από την σχέση ΟΜ= xi, έχουµε ΟΜ = xi ή ΟΜ = x i και επειδή i = 1, προκύπτει ΟΜ = x.

2 Καρτεσιανό επίπεδο Σε δεδοµένο επίπεδο, θεωρούµε δύο κάθετους άξονες x x, (σχ. 23) µε κοινή αρχή το σηµείο Ο και έστω i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών αντίστοιχα. Το επίπεδο που είναι εφοδιασµένο µε τα στοιχεία αυτά, λέµε ότι αποτελεί ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων ή ένα καρτεσιανό επίπεδο και Ο, i, j ή απλούστερα Ο x. Στην το συµβολίζουµε ( ) περίπτωση που τα µοναδιαία των αξόνων εκφράζουν την ίδια µονάδα µήκους, τότε λέµε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Συντεταγµένες σηµείου Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο x (σχ. 24) και σηµείο Μ του επιπέδου αυτού. Από το σηµείο Μ θεωρούµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και έστω Μ 1, Μ 2 τα σηµεία τοµής των παραλλήλων αυτών µε τους άξονες x x, αντίστοιχα. Στο σηµείο Μ 1 του άξονα x x αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός x που ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Μ και στο σηµείο Μ 2 του άξονα αντιστοιχεί ο πραγµατικός αριθµός που ονοµάζεται τεταγµένη του σηµείου Μ. Το διατεταγµένο x, στο οποίο αντιστοιχεί το Μ, ζευγάρι ( ) αποτελεί τις συντεταγµένες του Μ. Αντίστροφα, σε κάθε ζευγάρι ( x, ) αντιστοιχεί µοναδικό σηµείο Μ του καρτεσιανού επιπέδου Ο x, που καθορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο: Στην τετµηµένη χ αντιστοιχεί το σηµείο Μ 1 του άξονα x x και στην τεταγµένη το σηµείο Μ 2 του άξονα. Από το Μ 1 θεωρούµε παράλληλη προς τον άξονα (σχ. 24) και από το Μ 2 παράλληλη προς τον x x. Η τοµή των παραλλήλων αυτών ευθειών, είναι το σηµείο Μ που αντιστοιχεί στο ζευγάρι ( x, ). Υπάρχει λοιπόν και µεταξύ των σηµείων του καρτεσιανού επιπέδου και των στοιχείων του RR x αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία, αφού σε κάθε σηµείο Μ του x, που είναι οι καρτεσιανού επιπέδου, αντιστοιχεί ένα διατεταγµένο ζευγάρι ( ) συντεταγµένες του σηµείου και αντίστροφα. Το σηµείο Μ που έχει συντεταγµένες Μ x,. ( x, ) συµβολίζεται ( )

3 Συντεταγµένες διανύσµατος Θεωρούµε καρτεσιανό επίπεδο Ο x και ένα διάνυσµα α του επιπέδου αυτού (σχ. 25). Είναι γνωστό ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Α του επιπέδου, ώστε: ΟΑ=α Έστω Α 1, Α 2 οι προβολές του Α στους άξονες x x, αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι ισχύει: ΟΑ=ΟΑ 1 +ΟΑ 2 (1) x, οι συντεταγµένες του σηµείου Α, ισχύουν οι σχέσεις: ΟΑ 1 =χ i, ΟΑ2 =ψ j (2) Όπου i, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x x, αντίστοιχα. Εποµένως η σχέση (1) έχει τη µορφή: α= xi + j (3) Τα διανύσµατα που δίνονται από τις σχέσεις (2), αποτελούν τις συνιστώσες του διανύσµατος α στις διευθύνσεις των αξόνων. Οι πραγµατικοί αριθµοί x, που εκφράζουν το διάνυσµα α σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων διανυσµάτων i, j ονοµάζονται συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς τα i, j. Μάλιστα απ αυτές, ο πραγµατικός αριθµός x ονοµάζεται τετµηµένη ενώ ο πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται τεταγµένη του διανύσµατος. Επειδή τα διανύσµατα i, j δεν είναι συγγραµµικά, οι πραγµατικοί αριθµοί x, είναι µοναδικοί. Εποµένως: Κάθε διάνυσµα, γράφεται κατά µοναδικό τρόπο σαν γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων. Αν είναι ( ) Από τα όσα έχουµε διατυπώσει, γίνεται φανερό ότι οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος σε καρτεσιανό επίπεδο Ο x µε µοναδιαία i, j είναι: 1. Οι συντεταγµένες του πέρατος, όταν τα διάνυσµα έχει αρχή την αρχή των αξόνων. 2. Οι πραγµατικοί αριθµοί που εκφράζουν το διάνυσµα (σχέση 3) σαν γραµµικό συνδυασµό των µοναδιαίων.

4 Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= ( x 1, 1), β= ( x 2,2) σε καρτεσιανό επίπεδο ( Ο, i, j). Τότε ισχύουν οι σχέσεις: α= x1i + 1 j (1) β=x2i + 2j (2) Από τις σχέσεις αυτές, µπορούµε να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένες όλων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων αυτών. Έτσι λοιπόν έχουµε: 1. Συντεταγµένες του α+ β Οι συντεταγµένες του αθροίσµατος δύο διανυσµάτων, είναι το άθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των διανυσµάτων αυτών. ηλαδή ισχύει: α +β= x, + x, = x + x, + ( ) ( ) ( ) Συντεταγµένες του λα * Θεωρούµε λ R. Από την ισότητα (1), µπορούµε να έχουµε: λα=λ x1i +λ 1 j Εποµένως: Οι συντεταγµένες του γινοµένου πραγµατικού αριθµού λ επί διάνυσµα α, είναι το γινόµενο του λ επί τις αντίστοιχες συντεταγµένες του διανύσµατος. Αυτό σηµαίνει ότι: λα=λ x, = λ x, λ ( ) ( ) Συντεταγµένες του λα+µ β Ο προσδιορισµός των συντεταγµένων του διανύσµατος λα+µ β, επιτυγχάνεται από τον συνδυασµό των δύο προηγουµένων περιπτώσεων. Έτσι λοιπόν έχουµε: λα+µ β=λ x, +µ x, = λ x, λ + µ x, µ άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) λα+µ β= λx +µ x, λ +µ ( )

5 Συντεταγµένες διανύσµατος από τα άκρα του Θεωρούµε διάνυσµα α= ( x, ) τα σηµεία ( x, ), Β( x, ) του καρτεσιανού επιπέδου (, i, j) Α 1 1 του ίδιου επιπέδου ώστε: α=αβ Επειδή είναι: α=αο+οβ ή α=οβ ΟΑ Μπορούµε να έχουµε ότι: α= = = ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x x, ) Ο και έστω Εποµένως όταν είναι γνωστές οι συντεταγµένες των άκρων ενός διανύσµατος, οι συντεταγµένες του διανύσµατος προσδιορίζονται αφαιρώντας από τις συντεταγµένες του τέλους, τις αντίστοιχες συντεταγµένες της αρχής. Απόσταση δύο σηµείων Σε καρτεσιανό επίπεδο σηµεία Α( x, ), Β( x, ) Ο x θεωρούµε το διάνυσµα α= ( x, ) 1 1 ώστε: α=αβ Στο καρτεσιανό επίπεδο και από το Πυθαγόρειο θεώρηµα, µπορούµε να έχουµε: 2 ( ΑΒ ) = ( x x ) + ( ) ΑΒ = + ή ( ΑΒ ) = ( x2 x1) + ( 2 1) Επειδή ΑΒ = ( ΑΒ ) προκύπτει: ΑΒ = + ( x x ) ( ) και τα εδοµένου ότι x = x2 x1 και = 2 1 όπου x, οι συντεταγµένες του διανύσµατος α, έχουµε: α = x +

6 Συντεταγµένες µέσου τµήµατος θεωρούµε τα σηµεία ( x, ), Β( x, ) Α σε καρτεσιανό επίπεδο Οχψ και 1 1 έστω Μ το µέσον του τµήµατος ΑΒ Επειδή 1 ΟΜ= ( ΟΑ+ΟΒ ) έχουµε τελικά: 2 x + x + x =, = Παράλληλα διανύσµατα Θεωρούµε τα διανύσµατα: α= x,, β= x,, β 0 ( ) ( ) 1 1 του καρτεσιανού επιπέδου Οχψ. Αν υποθέσουµε ότι τα διανύσµατα αυτά είναι παράλληλα, τότε και µόνον τότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε να ισχύει: α=λβ Από τη συνθήκη αυτή, προκύπτει: x1 1 0 x = Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση, ισχύει και όταν β= 0 διότι στην περίπτωση αυτή, είναι x2 = 2 = 0. Άρα τελικά για οποιαδήποτε διανύσµατα α, β ισχύει η ισοδυναµία: x1 1 α // β = 0 x Η ορίζουσα των συντεταγµένων των α, β συµβολίζεται det (,β) α.

7 Συντελεστής διευθύνσεως Θεωρούµε διάνυσµα α 0 σε δεδοµένο σύστηµα αναφοράς Ο x (σχ. 28) και έστω ΟΑ=α. Η γωνία φ που σχηµατίζει το διάνυσµα α µε τον θετικό ηµιάξονα Ο x, είναι το µέρος του επιπέδου που καλύπτει ο θετικός ηµιάξονας Ο x, στρεφόµενος περί το Ο µε τη θετική φορά, έως ότου ταυτισθεί µε την ηµιευθεία ΟΑ. Από τον ορισµό που εδόθη, προκύπτει ότι αν φ είναι το µέτρο αυτής της γωνίας, ισχύει: 0 φ< 2 π Την εφαπτοµένη αυτής της γωνίας, ονοµάζουµε συντελεστή διευθύνσεως του διανύσµατος και συµβολίζουµε µε λ, εφόσον βέβαια α // ηλαδή έχουµε: λ=εφφ= x αφού οι συντεταγµένες του σηµείου Α είναι ( x, ). Από τον ορισµό που δώσαµε, γίνεται φανερό ότι: 1. α // x x 2. α // 3. α // β λ=0. Όπου λ ο συντελεστής διευθύνσεως Ο συντελεστής διευθύνσεως δεν ορίζεται. λ 1 =λ 2. όπου λ 1, λ 2 οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσµάτων.

8 Θέσεις δύο διανυσµάτων Από τα όσα έχουν διατυπωθεί, γίνεται φανερό ότι δύο διανύσµατα του χώρου, µπορούν να θεωρηθούν συνεπίπεδα. Πράγµατι, αν α, β είναι δύο διανύσµατα, β µπορούµε να θεωρήσουµε ότι περιέχονται στο ίδιο επίπεδο, αφού από σηµείο Ο έχουµε: α ΟΑ=α, ΟΒ = β Α q Αν τα α, β Ο δεν είναι συγγραµµικά, τότε οι Β ευθείες ΟΑ, ΟΒ ορίζουν επίπεδο q που τα περιέχει σχ. 29 (σχ. 29). Αν όµως είναι συγγραµµικά ή ένα από αυτά είναι το µηδενικό διάνυσµα, τότε περιέχονται στην ίδια ευθεία, άρα στο ίδιο επίπεδο. Πρόταση: Ένα διάνυσµα γ περιέχεται στο επίπεδο των µη συγγραµµικών διανυσµάτων α, β αν και µόνον αν υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ Θέσεις τριών διανυσµάτων Θεωρούµε τρία µη µηδενικά διανύσµατα α, β, γ. Τα δύο από αυτά, τα α, β περιέχονται στο ίδιο επίπεδο. Το τρίτο διάνυσµα γ, µπορεί να περιέχεται στο επίπεδο αυτών ή να µη περιέχεται. Αν περιέχεται στο επίπεδο των α, β τότε υπάρχουν κ, λ R : γ=κα+λβ Αν δεν περιέχεται, τότε δεν µπορεί να ισχύει µία τέτοια σχέση.