Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα Κεφάλαια έχουµε ορίσει την έννοια του πίνακα, η οποία οργανώνει µε εποπτικό τρόπο αρκετές πληροφορίες, και έχουµε αναπτύξει την ϑεωρία των γραµµικών απεικονίσεων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την σχέση µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K και πινάκων µε στοιχεία από το K Θα δούµε ιδιαίτερα ότι σ αυτό το πλαίσιο η ϑεωρία πινάκων και γραµ- µικών απεικονίσεων είναι ουσιαστικά ισοδύναµη Η χρήση των γραµµικών απεικονίσεων είναι περισσότερο κατάλληλη για εξαγωγή ϑεωρητικών αποτελεσµάτων, και η χρήση πινάκων είναι περισσότερο κατάλληλη για υπολογισµούς και προσφέρει ικανοποιητικότερη εποπτεία 71 Βασικές Ιδιότητες Πινάκων Στην παρούσα ενότητα, αφού υπενθυµίσουµε την έννοια ενός πίνακα, ϑα µελετήσουµε ϐασικές ιδιότητες πινάκων Από τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε ένα σώµα K Υπενθυµίζουµε ότι αν m, n N είναι δύο ϕυσικοί αριθµοί, τότε ένας m n πίνακας A µε στοιχεία από το σώµα K, είναι µια διάταξη m n αριθµών από 161

4 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ το σώµα K της µορφής : a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Στήλες Για κάθε j = 1, 2,, n, η j-στήλη του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : a 1j a 2j A j := a ij a mj Ετσι ο m n πίνακας A αποτελείται από n στήλες A 1, A 2,, A n κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο m αριθµούς Γραµµές Για κάθε i = 1, 2,, m, η j-γραµµή του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : A i := ( a i1 a i2 a ij a in ) Ετσι ο m n πίνακας A αποτελείται από m γραµµες A 1, A 2,, A m κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο n αριθµούς Παρατηρούµε ότι το στοιχείο a ij του πίνακα A ϐρίσκεται στην τοµή της i- γραµµής µε την j-στήλη Ετσι ορίζουµε το στοιχείο a ij να είναι το στοιχείο του πίνακα στην ij-ϑέση Συµβολισµός 711 Χάριν συντοµίας ένας m n πίνακας A όπως παραπάνω ϑα συµβολίζεται ως εξής : A = (a ij ) Συµβολίζουµε µε M m n (K) το σύνολο των m n-πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K: M m n (K) = { A = (a ij ) a ij K, i = 1, 2, m, j = 1, 2,, n } Υπενθυµίζουµε ότι στο σύνολο M m n (K) έχουµε ορίσει τις ακόλουθες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού :

5 71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πρόσθεση: Αν A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K), τότε A + B είναι ο m n-πίνακας (a ij + b ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n b 11 b 1j b 1n a 21 a 2j a 2n b 21 b 2j b 2n A+B = a i1 a ij a in + b i1 b ij b in a m1 a mj a mn b m1 b mj b mn a 11 + b 11 a 1j + b ij a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2j + b 2j a 2n + b 2n = a i1 + b i1 a ij + b ij a in + b in a m1 + b m1 a mj + b mj a mn + b mn 2 Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: Αν A = (a ij ) M m n (K), και k K, τότε k A είναι ο m n-πίνακας (ka ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n ka 11 ka 1j ka 1n a 21 a 2j a 2n ka 21 ka 2j ka 2n k A = k a i1 a ij a in = ka i1 ka ij ka in a m1 a mj a mn ka m1 ka mj ka mn Πρόταση 711 Το σύνολο M m n (K) των m n-πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K Το µηδενικό διάνυσµα του M m n (K) είναι ο m n-πίνακας 0 όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα µε 0: =

6 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Το αντίθετο διάνυσµα του m n-πίνακα A = (a ij ) είναι ο m n-πίνακας A = ( a ij ): a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Βλέπε το Πόρισµα ;; Θεωρούµε τους m n το πλήθος πίνακες E ij, 1 i m, 1 j n, όπου ο πίνακας E ij έχει στην (i, j)-ϑέση 1 και παντού αλλού 0 ηλαδή : E ij = όπου το 1 εµφανίζεται στην τοµή της j-στήλης µε την i-γραµµή Πρόταση 712 Το σύνολο των m n πινάκων B := {E ij 1 i m, 1 j n} είναι µια ϐάση του διανυσµατυικού χώρου M m n (K) Εποµένως dim K M m n (K) = m n Οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις πινάκων ϑα είναι πολύ σηµαντικές για τα επόµενα : Ορισµός 713 Εστω K ένα σώµα και έστω n, m 1

7 71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ο χώρος στηλών µε m στοιχεία από το σώµα K ορίζεται να είναι το σύνολο M m 1 (K) και συµβολίζεται µε Σ m (K): Σ m (K) := { x 1 x 2 x i x m x i K, 1 i m} 2 Ο χώρος γραµµών µε n στοιχεία από το σώµα K ορίζεται να είναι το σύνολο M 1 n (K) και συµβολίζεται µε Γ n (K): Γ n (K) := ( x 1 x 2 x j x n ) xj K, 1 j n} Η επόµενη παρατήρηση προκύπτει άµεσα από τους ορισµούς : Παρατήρηση Ο χώρος στηλών Σ m (K)είναι ισόµορφος µε τον διανυσµατικό χώρο K m µέσω του ισοµορφισµού f : K m Σ m (K), x = (x 1, x 2,, x m ) f ( x 1 x 2 x j x n ) 2 Ο χώρος γραµµών Γ n (K) είναι ισόµορφος µε τον διανυσµατικό χώρο K n µέσω του ισοµορφισµού g : K n Γ n (K), ( x1 x 2 x j x n ) g (x1, x 2,, x n ) ιαµέσου των ισοµορφισµών f και g συνήθως ταυτίζουµε τους διανυσµατικούς χώρους Σ m (K) και Γ n (K) µε τους διανυσµατικούς χώρους K m και K n αντίστοιχα Θα δούµε τώρα ότι σε µερικές περιπτώσεις µπορούµε να ορίσουµε µια άλλη σηµαντική πράξη µεταξύ πινάκων η οποία καλείται πολλαπλασιασµός ή γινόµενο πινάκων Πολλαπλασιασµός Πινάκων: Εστω A M m n (K) και B M n r (K) Τότε ορίζουµε το γινόµενο του m n πίνακα A µε τον n r πίνακα B να είναι ο m r πίνακας A B του οποίοι το στοιχείο στην (i, j)-ϑέση είναι : c ij := a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = n a ik b kj k=1

8 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Ενας εύκολος τρόπος αποµνηµόνευσης του γινοµένου πινάκων είναι ο εξής Το στοιχείο c ij στην (i, j)-ϑέση, όπου 1 i m και 1 j r, του πίνακα A B προκύπτει από τον ακόλουθο «πολλαπλασιασµό» της i-γραµµής A i του πίνακα A µε την j-στήλη B j του πίνακα B: c ij := A i B j = ( ) a i1 a i2 a ij a in = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj b 1j b 2j b ij b nj = Παρατήρηση 715 Το γινόµενο A B δύο πινάκων ορίζεται αν-ν ο αριθµός των στηλών του A είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του B Ετσι αν A M m n (K) και B M k r (K), τότε το γινόµενο A B ορίζεται αν-ν n = k Παρόµοια το γινόµενο B A ορίζεται αν-ν r = m Εποµένως τα γινόµενα πινάκων A B και B A ορίζονται αν-ν m = n = r = k, δηλαδη αν-ν οι πίνακες A και B είναι τετραγωνικοί ίδιας τάξης Υπενθυµίζουµε ότι το σύµβολο του Kronecker δ ij ορίζεται ως εξής : { } 1 : αν i = j δ ij = 0 : αν i j Παράδειγµα 712 Για κάθε i, j = 1, 2,, n, ϑεωρούµε τους τετραγωνικούς πίνακες E ij = (δ ij ) M n n (K) Τότε : Παράδειγµα 713 E ij E kr = δ jk E ir Πρόχειρη οκιµασία Παρατήρηση 716 Αν A και B είναι δύο πίνακες έτσι ώστε τα γινόµενα A B και B A ορίζονται, τότε δεν είναι απαραίτητο να ισχύει ότι : A B = B A Για παράδειγµα έστω οι 2 2 πίνακες πραγµαικών αριθµών : Τότε : A = A B = ( ( ), B = ) ( ( ) ) = B A

9 71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 167 Η ακόλουθη πρόταση περιγράφει τις ϐασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων και πως αυτή συµπεριφέρεται ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό πινάκων Πρόταση 717 Εστω A, B και C τρείς πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K, και k K 1 Αν τα γινόµενα πινάκων A B και B C ορίζονται, τότε ορίζονται και τα γινόµενα πινάκων A (B C) και (A B) C και µάλιστα : A (B C) = (A B) C 2 Αν τα γινόµενα πινάκων A B και A C ορίζονται, τότε ορίζεται και το γινόµενο πινάκων A (B + C) και µάλιστα : A (B + C) = A B + A C 3 Αν τα γινόµενα πινάκων A C και B C ορίζονται, τότε ορίζεται και το γινόµενο πινάκων (A + B) C και µάλιστα : (A + B) C = A C + B C 4 Αν το γινόµενο πινάκων A B ορίζεται, τότε ορίζονται και τα γινόµενα πινάκων (ka) B, και A (kb) και µάλιστα : k(a B) = (ka) B = A (kb) Υπενθυµίζουµε ότι, n 1, ο µοναδιαίος n n πίνακας µε στοιχεία από το K είναι ο πίνακας : I n = Η επόµενη πρόταση περιγράφει σηµαντικές ιδιότητες του µοναδιαίου πίνακα

10 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Πρόταση 718 Εστω A M m n (K) και και B M n k (K), δύο πίνακες Τότε : A I n = A και I n B = B Ιδιαίτερα C I n = C = I n C, για κάθε τετραγωνικό n n πίνακα C M n n (K) Ορισµός 719 Ενας πίνακας A M n n (K) καλείται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας B M n n (K), έτσι ώστε να ισχύει : A B = I n = B A Τότε ο πίνακας B καλείται αντίστροφος του A και συµβολίζεται µε A 1 Πρόταση Εστω A M n n (K) ένας αντιστρέψιµος πίνακας Τότε ο αντίστροφος του είναι µοναδικός και είναι επίσης αντιστρέψιµος µε αντίστροφο τον πίνακα A: (A 1 ) 1 = A 2 Εστω A, B M n n (K) δύο αντιστρέψιµοι πίνακες Τότε ο πίνακας A B είναι αντιστρέψιµος και ισχυει : (A B) 1 = B 1 A 1 Πρόχειρη οκιµασία ( ) a b Εστω A = M c d 2 2 (K) Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος αν-ν ad bc 0 Αν αυτό ισχύει να δείξετε ότι : A 1 = ( d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Συµβολισµός 714 Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός n n πίνακας Τότε ορίζεται το γινόµενο A A, και εποµένως, σύφωνα µε την Πρόταση 717, ορίζονται και το γινόµενο A A A A (k ϕορές, k 1), ο οποίος συµβολίζεται µε A k Προφανώς ϑα έχουµε A k A r = A k+r Πρόχειρη οκιµασία )

11 71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 169 Να δείξετε ότι αν A = ( λ 1 0 λ ), τότε : ( A n λ n nλ = n 1 0 λ n ) Πρόχειρη οκιµασία Να δείξετε ότι αν A είναι ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας, τότε για κάθε k 1 ο πίνακας A k είναι αντιστρέψιµος Ποιός είναι ο αντίστροφος του A k ; Θα δούµε τώρα µια κατασκευή η οποία, δοθέντος ενός m n πίνακα, µας ορίζει έναν n m πίνακα Ορισµός 7111 Εστω a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = (a ij ) = a i1 a i2 a ij a in M m n (K) a m1 a m2 a mj a mn ένας m n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Ο ανάστροφος του A ορίζεται να είναι ο n m πίνακας t A του οποίου οι γραµµές είναι οι στήλες του πίνακα A και οι στήλες του είναι οι γραµµές του πίνακα A: a 11 a 21 a i1 a m1 a 12 a 22 a i2 a m2 t A := (a ji ) = a 1j a j2 a ji a mj M n m (K) a 1n a n2 a in a nm Η επόµενη πρόταση περιγράφει τις κυριότερες ιδιότητες της µετάβασης από έναν πίνακα στον ανάστροφο του Πρόταση 7112 Εστω A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K) δύο m n πίνακες και C = (c ij ) M n r (K) ένας n r πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Τότε για κάθε στοιχείο k mbk, ισχύουν τα εξής : 1 t (A + B) = t A + t B

12 170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ 2 t (ka) = k t A 3 t (A C) = t = t C ta 4 t ( t A) = A 5 Αν D = (d ij ) M n n (K) είναι ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας, τότε και ο ανάστροφος του t D είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : ( t D) 1 = t (D 1 ) Η παραπάνω πρόταση έχει την ακόλουθη άµεση συνέπεια : Πόρισµα 7113 Η απεικόνιση φ : M m n (K) M n m (K), A φ(a) = t A είναι ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφη την απεικόνιση ψ : M n m (K) M m n (K), A φ(a) = t A Επιπλέον αν m = n (οπότε οι εµπλεκόµενοι πίνακες είναι τετραγωνικοί και φ = ψ), τότε η απεικόνιση φ στέλνει αντιστρέψιµους πίνακες σε αντιστρέψιµους πίνακες και ισχύει : φ 2 = Id Mn n (K) 72 Ο Πίνακας µιας Γραµµικής Απεικόνισης Στην παρούσα ενότητα ϑα αντιστοιχίσουµε σε κάθε γραµµική απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης έναν πίνακα ο οποίος εµπεριέχει όλες τις ιδιότητες της γραµµικής απεικόνισης Επιπρόσθετα ϑα δείξουµε ότι αυτή η αντιστοιχία είναι 1-1 και επί Από τώρα και στο εξής ϑεωρούµε δύο διανυσµατικούς χώρους E και F υπεράνω του σώµατος K, και µια γραµµική απεικόνιση Επιπρόσθετα υποθέτουµε ότι : f : E F 1 dim K E = n και έστω B E = { e 1, e 2,, e n } µια ϐάση του E 2 dim K F = m και έστω B F = { ε 1, ε 2,, ε m } µια ϐάση του F

13 72 Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 171 Θεωρούµε τις εικόνες f( e i ), 1 i n, των διανυσµάτων της ϐάσης B E δια- µέσου της απεικόνισης f Επειδή τα διανύσµατα f( e i ), 1 i n ανήκουν στον διανυσµατικό χώρο F και το σύνολο B F = { ε 1, ε 2,, ε m } µια ϐάση του F, έπεται ότι κάθε ένα από τα f( e i ) ϑα γράφεται µοναδικά ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης B F Εποµένως ϑα έχουµε τις ακόλουθες σχέσεις : f( e 1 ) = a 11 ɛ 1 + a 21 ɛ a i1 ɛ i + + a m1 ɛ m f( e 2 ) = a 12 ɛ 1 + a 22 ɛ a i2 ɛ i + a m2 ɛ m f( e j ) = a 1j ɛ 1 + a 2j ɛ a ij ɛ i + + a mj ɛ m f( e n ) = a 1n ɛ 1 + a 2n ɛ a in ɛ i + + a mn ɛ m Οι παραπάνω σχέσεις γράφονται συνεπτυγµένα ως εξής : j = 1, 2,, m : f( e j ) = m a ij ɛ i i=1 ( ) Ορισµός 721 Ο πίνακας της f : E F ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F αντίστοιχα, ορίζεται να είναι ο m n πίνακας στοιχείων του K: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n M BE,B F (f) := a i1 a i2 a ij a in ( ) a m1 a m2 a mj a mn Αν E = F και επιλέξουµε B := B E = B F, τότε ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F καλείται ο πίνακας της f ως προς την ϐάση B και συµβολίζεται ως M B (f) Παρατήρηση j = 1, 2,, m, η j-στήλη του πίνακα M BE,B F (f) αποτελείται από τους συντελεστές του διανύσµατος f( e j ) όταν αυτό εκφρασθεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης B F του F 2 Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε για να σχηµατίσουµε τον πίνακα µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F ως προς τις ϐάσεις B E = {} και B F των E και F αντίστοιχα, είναι ο εξής : εφαρµόζουµε την f σε κάθε διάνυσµα

14 172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ e j της ϐάσης B E και ακολούθως εκφράζουµε το διάνυσµα f( e j ) ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της ϐάσης B F του F τότε οι συνιστώσες του f( e j ) αποτελούν την j-στήλη του πίνακα M BE,B F (f) 3 Ο Πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F είναι τετραγωνικός αν-ν dim K E = dim K F 4 Οπως είναι ϕανερό από τον ορισµό ο πίνακας της f εξαρτάται από τις ϐάσεις τις οποίες επιλέγουµε Για παράδειγµα έστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, και έστω B 1, B 2 δύο ϐάσεις του E Τότε µπορούµε να σχηµατίσουµε τους πίνακες M B1,B 2 (f), M B2,B 1 (f), M B1,B 1 (f), και M B2,B 2 (f) Γενικά οι παραπάνω πίνακες είναι διαφορετικοί Παράδειγµα 721 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K E = n, και έστω k K Θεωρούµε την γραµµική απεικόνιση (οµοθεσία µε λόγο k): f k : E E, x f k ( x) = k x Αν B είναι µια τυχούσα ϐάση του E, τότε : k k 0 M B,B (f k ) = 0 0 k Θέτοντας k = 0, έχουµε ότι f 0 = 0 είναι η µηδενική γραµµική απεικόνιση, και άρα ο πίνακας της µηδενικής γραµµικής απεικόνισης 0 : E E ως προς τυχούσα ϐάση B του E είναι ο µηδενικός n n πίνακας Επιλέγοντας k = 1, έχουµε ότι f 1 = Id E είναι η ταυτοτική γραµµική απεικόνιση, και άρα ο πίνακας της ταυτοτικής γραµµικής απεικόνισης Id E : E E ως προς τυχούσα ϐάση B του E είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n Παράδειγµα 722 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x, x + y, 0) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} B 2 := { ε 1 = (1, 1, 0), ε 2 = (0, 1, 1), ε 3 = (1, 1, 1)} Τότε : M B1,B 1 (f) = , M B1,B 2 =

15 72 Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 173 Πραγµατικά : M B2,B 2 (f) = , M B2,B 1 = Παράδειγµα 723 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2, (x, y, z) f(x, y, z) = (2x + y, y z) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις των R 3 και R 2 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 1), e 2 = ( 1, 1, 0), e 3 = (0, 1, 2)} B 2 := { ε 1 = (1, 0), ε 2 = (0, 1)} Τότε : Πραγµατικά : M B1,B 2 (f) = ( ) Το ακόλουθο ϐασικό ϑεώρηµα αναλύει την σχέση µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων και είναι ϑεµελιώδες στην Γραµµική Άλγεβρα Θεώρηµα 723 Εστω E και F δύο διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K και έστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση Υποθέτουµε ότι dim K E = n και dim K F = m, και σταθεροποιούµε µια ϐάση B E του E και B F µια ϐάση του F Θεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο Hom K (E, F) των γραµµικών απεικονίσεων f : E F, και τον διανυσµατικό χώρο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Τότε η απεικόνιση M η οποία στέλνει την γραµµική απεικόνιση f στον πίνακα της M BE,B F (f) ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F αντίστοιχα, είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων : M : Hom K (E, F) = M m n (K), f M(f) := M BE,B F (f) Η ακόλουθη πρόταση µας δίνει πως από πίνακες µεταβαίνουµε σε γραµ- µικές απεικονίσεις, χωρίς να γνωρίζουµε εκ των προτέρων ότι µας έχουν δοθεί κάποιοι συγκεκριµένοι διανυσµατικοί χώροι Πρόταση 724 Εστω A = (a ij ) M m n (K) ένας m n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Τότε η απεικόνιση : f A : Σ n (K) Σ m (K)

16 174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ η οποία ορίζεται ως εξής f A ( X) := A X, δηλαδή : x 1 a 11 a 12 a 1j a 1n x 2 a 21 a 22 a 2j a 2n X = f A x i a i1 a i2 a ij a in x n a m1 a m2 a mj a mn είναι µια γραµµική απεικόνιση και ο πίνακας της ως προς τις κανονικές ϐάσεις B Σn(K) και B Σn(K) των διανυσµατικών χώρων Σ n (K) και Σ m (K) είναι ο A: M BΣn(K),B Σn(K) (f A ) = A x 1 x 2 x i x n Ασκηση 724 Να δείξετε ότι η απεικόνιση : G : M m n (K) Hom K (Σ n (K), Σ m (K), A G(A) := f A είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων Παράδειγµα 725 Θα δείξουµε τώρα ότι ο ισοµορφισµός του Θεωρήµατος 723 στέλνει την σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων στο γινόµενο των πινάκων τους ως προς κάποιες επιλεγµένες ϐάσεις των χώρων Θεώρηµα 725 Εστω E, F και G τρεις διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K και έστω f g E F G δύο γραµµικές απεικονίσεις Υποθέτουµε ότι dim K E = n, dim K F = m, και dim K G = r, και σταθεροποιούµε µια ϐάση B E του E, µια ϐάση B F του F, και µια ϐάση B G του G Τότε ο πίνακας της σύνθεσης g f : E G ως προς τις ϐάσεις B E και B G των E και G είναι το γινόµενο των πινάκων των γραµµικών απεικονίσεων f και g ως προς τι ϐάσεις B E και B F, και B F και B G αντίστοιχα : M BE,B G (g f) = M BF,B G (g) M BE,B F (f)

17 73 ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ Αλλαγή Βάσης και Συνιστωσών Στην παρούσα ενότητα ϑα δούµε έναν τρόπο ο οποίος µας επιτρέπει να πε- ϱάσουµε από µια ϐάση ενός διανυσµατικού χώρου σε µια άλλη ϐάση του ίδιου χώρου Επίσης ϑα δούµε πως αλλάζουν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος όταν αλλάξουµε ϐάση, και πως αλλάζει ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης όταν αλλάξουµε ϐάσεις στους διανυσµατικούς χώρους στους οποίους είναι ορισµένη η γραµµική απεικόνιση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Εστω ότι dim K E = n και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο τυχούσες ϐάσεις του E Τότε κάθε διάνυσµα της ϐάσης B γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµ- µικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσεις B: ε 1 = a 11 e 1 + a 21 e a n1 e n ε 2 = a 12 e 1 + a 22 e a n2 e n ε n = a 1n e 1 + a 2n e a nn e n ή περισσοτερο αναλυτικά : j = 1, 2,, n : ε j = n a ij e i i=1 Ορισµός 731 Ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B ορί- Ϲεται να είναι ο τετραγωνικός n n πίνακας : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M B,B := a n1 a n2 a nn Παρόµοια κάθε διάνυσµα της ϐάσης B γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσεις B : e 1 = b 11 ε 1 + b 21 ε b n1 ε n

18 176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ή περισσοτερο αναλυτικά : e 2 = b 12 ε 1 + b 22 ε b n2 ε n e n = b 1n ε 1 + b 2n ε b nn ε n i = 1, 2,, n : e j = n b ki ε k Ορισµός 732 Ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B ορί- Ϲεται να είναι ο τετραγωνικός n n πίνακας : b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n M B,B := b n1 b n2 b nn k=1 Παράδειγµα 731 Εστω οι ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B = { e 1 = (2, 0, 0), e 2 = ( 3, 1, 0), e 3 = (0, 2, 1 2 } B = { ε 1 = (1, 1, 0), ε 2 = (1, 0, 1), ε 3 = (0, 1, 2} Τότε ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B είναι ο εξής : M B,B = Πρόχειρη οκιµασία Να ϐρεθεί ο πίνακας µετάβασης M B,B για τις ϐάσεις του παραπάνω παραδείγµατος Παράδειγµα 732 Θεωρούµε την κανονική ϐάση B = { e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),, e n = (0, 0,, 1)} του διανυσµατικού χώρου K n Θεωρούµε επίσης µια διαφορετική τυχούσα ϐάση B = { ε 1 = (a 11, a 21,, a n1 ), ε 2 = (a 12, a 22,, a n2 ),, ε n = (a 1n, a 2n,, a nn )}

19 73 ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ 177 του K n Τότε ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση την κανονική ϐάση B στην τυχούσα ϐάση B είναι ο n n που προκύπτει αν µετατρέψουµε τα διανύσµατα ε i σε στήλες : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M B,B := a n1 a n2 a nn Είναι εύλογο να αναρωτηθούµε τι σχέση έχουν οι πίνακες µετάβασης µεταξύ δύο ϐάσεων ενός διανυσµατικού χώρου Την απάντηση την δίνει το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα 733 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K, και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο τυχούσες ϐάσεις του E Τότε ο πίνακας µετάβασης M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφος του είναι ο πίνακας µετάβασης M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B: M B,B = M 1 B,B Εστω, όπως και πριν, E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο ϐάσεις του E Τότε κάθε διάνυσµα x E γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων των ϐάσεων B και B : x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = x = x 1 ε 1 + x 2 ε x n ε n = n x i e i i=1 n x i ε i i=1

20 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Θεωρούµε τα διανύσµατα στήλες : x 1 x 2 X = x i x n X = x 1 x 2 x i x n (71) τα οποία καλούνται τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του x ως προς τις ϐάσεις B και B Η επόµενη πρόταση περιγράφει πως αλλάζουν οι συνιστώσες του διανύσµατος x ως προς τις ϐάσεις B και B Πρόταση 734 Ισχύοουν οι ακόλουθες σχέσεις : X = M B,B X = M 1 B,B X και X = MB,B X = M 1 B,B X Περισσότερο αναλυτικά : k = 1, 2, n : x k = n n a ki x i x k = b ki x i i=1 i=1 όπου : M B,B = (a ij ) και M B,B = (b ij ) 74 Ισοδύναµοι και Οµοιοι Πίνακες Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε πως αλλάζει ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης όταν αλλάξουµε ϐάσεις Από τώρα και στο εξής υποθέτουµε ότι µας έχουν δοθεί τα ακόλουθα : 1 E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K E = n, και έστω B E και B E δύο ϐάσεις του : B E := { e 1, e 2,, e n }, B E := { e 1, e 2,, e n} 2 F είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K F = m, και έστω B F και B F δύο ϐάσεις του : B F := { ε 1, ε 2,, ε m }, B F := { ε 1, ε 2,, ε m},

21 74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ f : E F είναι µια γραµµική απεικόνιση Συµβολίζουµε µε : 4 A = M BE,B F (f) τον πίνακα της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F: A = (a ij ) := M BE,B F M m n (K) 5 A = M B E,B (f) τον πίνακα της f ως προς τις ϐάσεις B F E και B F των E και F: A = (a ij) := M B E,B M m n(k) F 6 P = M BE,B E τον πίνακα µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E : P = (p ij ) := M BE,B E M n n(k) Τότε από το Θεώρηµα 733 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E είναι ο P 1, δηλαδή : P 1 = M B E,B E 7 Q = M BF,B F τον πίνακα µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F : Q = (q ij ) := M BF,B F M m m(k) Τότε από το Θεώρηµα 733 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F είναι ο Q 1, δηλαδή : Q 1 = M B F,B F Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι A = Q 1 A P χρειαζόµαστε κάποια προεργασία Γι αυτό το σκοπό Εστω x E ένα τυχόν διάνυσµα του E, το οποίο το εκφράζουµε ως γραµ- µικό συνδυασµό των διανυσµάτων των ϐάσεων B E και B E : x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = n x i e i (72) i=1 n x i e i (73) Συµβολίζουµε µε X και X τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του x ως προς τις ϐάσεις B E και B E όπως στην σχέση?? Τότε από την Πρόταση 734, έχουµε τις σχέσεις : i=1 X = P X, X = P 1 X (74)

22 180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Εφαρµόζουµε την γραµµική απεικόνιση f στο διάνυσµα x και έστω y = f( x) Εν συνεχεία εκφράζουµε το y ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων των ϐάσεων B F και B F : f( x) = y = y 1 ε 1 + y 2 ε y n ε m = f( x) = y = y 1 ε 1 + y 2 ε y n ε n = m x i ε i (75) i=1 m x i ε i (76) i=1 Συµβολίζουµε µε Y και Y τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του y = f( x) ως προς τις ϐάσεις B F και B F όπως στην σχέση?? Τότε από την Πρόταση 734, έχουµε τις σχέσεις : Y = Q Y, Y = Q 1 Y (77) Λήµµα 741 Τα διάνυσµατα-στήλες X και Y των συνιστωσών των διανυσµάτων x και y = f( x) ως προς τις ϐάσεις B E και B F τν E και F αντίστοιχα, συνδέονται µε τον ακόλουθο τύπο : Y = A X (78) ή περισσότερο αναλυτικά : m i = 1, 2,, m : y i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n = a ij x j (79) j=1 Θεώρηµα 742 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών υπεράνω ενός σώµατος K Επιλέγουµε δύο τυχούσες ϐάσεις B E και B E του E, και δύο τυχούσες ϐάσεις B F και B F του F Εστω A ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F και έστω A ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F Τέλος έστω P ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E του E, και έστω Q ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F του F Τότε ισχύει ο ακόλουθος τύπος : A = Q 1 A P

23 74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 181 Το Θεώρηµα 742 µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 743 Εστω A, A M m n (K) δύο m n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Οι πίνακες A και A καλούνται ισοδύναµοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας P M n n (K) και ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας Q M m m (K), έτσι ώστε : A = Q 1 A P Θεώρηµα 744 ύο πίνακες A, A M m n (K) είναι ισοδύναµοι αν-ν είναι πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F, όπου dim K E = n και dim K F = m, ως προς διαφορετικές ϐάσεις των E και F Υποθέτουµε τώρα ότι E = F και ϑέτουµε B E = B F και B E = B F, στα παραπάνω δεδοµένα Εποµένως έχουµε µια γραµµική απεικόνιση f : E E και δύο ϐάσεις του E: B E := { e 1, e 2,, e n }, B E := { e 1, e 2,, e n} Οπως προηγουµένως, έστω A = M B,B (f) ο πίνακας της f στην ϐάση B και A = M B,B (f) ο πίνακας της f στην ϐάση B Επίσης έστω P = M B,B ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B Τότε, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 733, ο πίνακας µετάβασης Q = M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B είναι Q = P 1 Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 742, ϑα έχουµε A = P 1 A P Αυτή η σχέση τετραγωνικών πινάκων µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 745 Εστω A, A M m n (K) δύο τετραγωνικοί n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Οι πίνακες A και A καλούνται όµοιοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας P M n n (K)έτσι ώστε : A = P 1 A P Η παρπάνω ανάλυση µας οδηγεί στο ακόλουθο ϐασικό Θεώρηµα, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήµατος 744 Θεώρηµα 746 ύο τετραγωνικοί πίνακες A, A M n n (K) είναι όµοιοι αν-ν είναι πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης f : E E, όπου dim K E = n, ως προς διαφορετικές ϐάσεις του E

24 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Παράδειγµα 741 Εστω f : R 3 R 3 η γραµµική απεικόνιση η οποία ορίζεται ως εξής : f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x, x + y, 0) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} όπως στο Παράδειγµα 722 B 2 := { e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (0, 1, 1), e 3 = (1, 1, 1)} Στο σύνολο M m n (K) ορίζουµε µια σχέση ως εξής : A, B M m n (K) : A B οι πίνακες A, B είναι ισοδύναµοι δηλαδή : A B αν-ν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P M n n (K) και ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας Q M m m (K), έτσι ώστε : B = Q 1 A P Πρόταση 747 Η σχέση m n είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων Περιοριζόµενοι σε τετραγωνικούς n n πίνακες έχουµε ανάλογα τον ακόλουθο ορισµό και την ακόλουθη πρόταση Στο σύνολο M n n (K) ορίζουµε µια σχέση n n ως εξής : A, B M m n (K) : A n n B οι πίνακες A, B είναι όµοιοι δηλαδή : A n n B αν-ν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P M n n (K) έτσι ώστε : B = P 1 A P Πρόταση 748 Η σχέση οµοιότητας n n είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M n n (K) των n n πινάκων

25 74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 183 Σύµφωνα µε τις Προτάσεις 747 και 748 η σχέση m n διαµερίζει το σύνολο M m n (K) σε κλάσεις ισοδυναµίας (ισοδύναµων πινάκων), και η σχέση n n διαµερίζει το σύνολο M n n (K) σε κλάσεις ισοδυναµίας (όµοιων πινάκων) ύο από τους ϐασικότερους σκοπούς της Γραµµικής Άλγεβρας είναι : (α) η εύρεση των πλέον απλών αντιπροσώπων σε κάθε κλάση ισοδυναµίας ή οµοιότητας, και (β) η εύρεση ιδιοτήτων πινάκων οι οποίες ισχύουν για κάθε πίνακα ο οποίος ανήκει σε µια δεδοµένη κλάση ισοδυναµίας η οµοιότητας Στα επόµενα Κεφάλαια ϑα δούµε κάποιες από αυτές τις ιδιότητες

26 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ

27 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

28 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Γραμμική Άλγεβρα Ι» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους, C, διανύσματα στο χώρο (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 16: Θεώρημα Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 16: Θεώρημα Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Θεώρημα Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα