ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ. [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ. [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια)"

Transcript

1 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ κ Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΜΕΑ: Δρ. Α. ΑΝΔΡΕΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια) Διδάσκων: Δρ. Α. Π. Λερός Τμήμα Μηχανικών: Ειδικότητα (Τ-Η) Φεβρουάριος 29

2 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ (SYSTEMS AND EXPERIMENTS) Τι είναι σύστημα? Πειράματα (Experiments) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (THE MODEL CONCEPT) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (SIMULATION) ΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (REASONS FOR SIMULATION) ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (DANGERS OF SIMULATION) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (BUILDING MODELS)....7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (ANALYZING MODELS)....8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (SENSITIVITY ANALYSIS)....9 ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΒΑΣΕΙ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL-BASED DIAGNOSIS).... ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL VERIFICATION AND VALIDATION).... ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (KINDS OF MATHEMATICAL MODELS) OCTAVE-MATLAB ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ (OCTAVE-MATLAB QUICK REFERENCE) ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ OCTAVE ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΠΙΝΑΚΕΣ (VECTORS - MATRICES) ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ & ΑΥΞΗΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ (ARITHMETIC & INCREMENT OPERATORS) ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟΙ & BOOLEAN ΤΕΛΕΣΤΕΣ (COMPARISON AND BOOLEAN OPERATORS) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΣΤΟ OCTAVE MATLAB ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ, ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (STATEMENTS, DEFINING FUNCTIONS) ΒΑΣΙΚΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ (BASIC MATRIX MANIPULATIONS) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (EQUATIONS, ODES, DAES, QUADRATURE) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SIGNAL PROCESSING) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΩΝ (IMAGE PROCESSING) ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ (POLYNOMIALS, STATISTICS) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ (PLOTTING FUNCTIONS) ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) OCTAVE ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) - MATLAB ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB (SCALARS, VECTORS AND MATRICES) ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SINUSOIDS IN OCTAVE - MATLAB) ΣΗΜΑΤΑ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SIGNALS IN OCTAVE - MATLAB) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ (DISCRETE SIGNALS) ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SAMPLING SIGNALS) ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΟΡΥΒΟΥ (MODELING NOISE) ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (MODULATION AND DEMODULATION) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FINITE DIFFERENCE) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ / ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (FILTERING/CONVOLUTION AND CASCADED LTI SYSTEMS) ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ FIR ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ (DISCRETE-TIME CONVOLUTION AND FIR FILTERING) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LINEAR TIME-INVARIANT (LTI) SYSTEMS) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (CASCADED LTI SYSTEMS) ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER & ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES ANALYSIS & APPROXIMATION) 6 7. ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (PERIODIC FUNCTION) ΣΕΙΡΕΣ FOURIER: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (FOURIER SERIES: ANALYSIS EQUATION)...63

3 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES APPROXIMATION) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ: ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ-ΧΡΟΝΟΥ FOURIER SERIES (FREQUENCY RESPONSE: DISCRETE-TIME FOURIER SERIES (DTFS)) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY RESPONSE) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB FFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB FFT COMMANDS) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB IFFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB IFFT COMMANDS) DFT ΣΑΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ FOURIER TRANSFORM (DFT AS APPROXIMATION TO FT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ (FREQUENCY RESPONSE OF FIR FILTERS) DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΞΟΔΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (FREQUENCY RESPONSE OF FILTER OUTPUT) ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ OCTAVE - MATLAB (SPECTRAL ANALYSIS IN OCTAVE - MATLAB) 87. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (STATISTICAL SIGNAL PROCESSING) DISCRETE FOURIER TRANSFORM (DFT) FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) SPECTRAL ANALYSIS WITH THE FFT ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (INTRODUCTION TO QUEUING SYSTEMS) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ (QUEUING SYSTEMS) Η ΟΥΡΑ Μ/Μ/ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΟΥΡΕΣ Μ/Μ/....4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ... ADDENDUM (ΠΡΟΣΘΗΚΗ).... PRACTICE SET A: ALGEBRA AND ARITHMETIC PRACTICE SET Β: CALCULUS, GRAPHICS, AND LINEAR ALGEBRA DIGITAL SIGNAL AND IMAGE PROCESSING USING MATLAB...25

4 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από 37. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) Οι Η/Υ έχουν επιφέρει επανάσταση στις επιστήμες και τη μηχανική (sciences and engineering). Με τη χρήση τους μπορούμε να κατασκευάσουμε πολύπλοκα μηχανικά σχέδια όπως για τα διαστημόπλοια space shuttles. Μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιότητες του σύμπαντος όπως ήταν πριν κλάσματα δευτερολέπτου μετά τη μεγάλη έκρηξη (big bang). Οι φιλοδοξίες μας όλο και αυξάνονται. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ακόμη περισσότερο πολύπλοκα σχέδια όπως καλύτερα διαστημόπλοια, αυτοκίνητα, ιατρικά μηχανήματα, κινητά συστήματα επικοινωνίας, κλπ. Θέλουμε να κατανοήσουμε καλύτερα τις πτυχές τη φύση μας. Αυτά είναι μερικά παραδείγματα μοντελοποίησης και προσομοίωσης με Η/Υ συστημάτων. Περισσότερο ισχυρά εργαλεία και ιδέες χρειάζονται να μας βοηθήσουν να αντεπεξέλθουμε αυτή την όλο και αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Αυτή η ενότητα δίνει μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες για το τι είναι σύστημα, μοντέλο και προσομοίωση (system, model, and simulation).. Συστήματα και Πειράματα (Systems and Experiments).. Τι είναι σύστημα? Έχουμε ήδη αναφέρει μερικά συστήματα όπως το σύμπαν, το διαστημόπλοιο κλπ. Ένα σύστημα μπορεί να είναι οτιδήποτε. Περιέχει υποσυστήματα τα οποία τα ίδια είναι συστήματα. Ένας πιθανός ορισμός μπορεί να είναι: Ένα σύστημα είναι ένα αντικείμενο ή συλλογή αντικειμένων τις ιδιότητες των οποίων θέλουμε να μελετήσουμε. (A system is an object or collection of objects whose properties we want to study). Η επιθυμία μας να μελετήσουμε επιλεγμένες ιδιότητες αντικειμένων είναι κεντρική στον ορισμό. Η πτυχή της μελέτης είναι λεπτή παρά το γεγονός ότι είναι υποκειμενική. Η επιλογή και ορισμός τι αποτελεί ή συνθέτει ένα σύστημα είναι κάπως αυθαίρετη και πρέπει να βοηθηθεί με τη χρήση του συστήματος. Για ποιους λόγους μελετάμε το σύστημα? Υπάρχουν πολλές απαντήσεις στο ερώτημα αυτό αλλά μπορούμε να δώσουμε δυο κύρια κίνητρα: Μελέτησε ένα σύστημα για να το κατανοήσεις και μετά να το κατασκευάσεις. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς μηχανικού (engineering point of view). Ικανοποίηση ανθρώπινης περιέργειας, δηλ. για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς φύσης (natural science viewpoint). Έτσι σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό ένα σύστημα μπορεί να απαντάται φυσικά, πχ., το σύμπαν, ή μπορεί να είναι τεχνητό όπως το διαστημόπλοιο, ή ένα μείγμα και από τα δυο. Για παράδειγμα το σπίτι στο Σχ. με το ζεστό νερό από τον ηλιακό θερμοσίφωνα είναι τεχνητό διότι κατασκευάστηκε από τον άνθρωπο. Εάν επίσης συμπεριλάβουμε τον ήλιο και τα σύννεφα στο σύστημα τότε είναι συνδυασμός από φυσικά και τεχνητά μέρη.

5 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Σχ. : Σπίτι με ηλιακό θερμοσίφωνα Αν και ακόμη το σύστημα απαντάται φυσικά ο ορισμός του είναι πάντοτε πολύ επιλεκτικός. Αυτό γίνεται πολύ προφανές από τον ακόλουθο ορισμό για το εκκρεμές σύμφωνα με τον Ross Ashby [Ashby-56]: Η πρώτη μας τάση είναι να δείξουμε το εκκρεμές και να πούμε το σύστημα είναι εκείνο το πράγμα». Αυτή η μέθοδος όμως έχει βασικά μειονεκτήματα: κάθε υλικό-αντικείμενο περιέχει όχι λιγότερο από άπειρες μεταβλητές, και έτσι, πιθανά συστήματα. Το πραγματικό εκκρεμές, για παράδειγμα, δεν έχει μόνο μήκος και θέση, έχει επίσης μάζα, θερμοκρασία, ηλεκτρική αγωγιμότητα, κρυσταλλική δομή, χημικές ακαθαρσίες, μερική ραδιοδραστηριότητα, ταχύτητα, ισχύ αντανάκλασης, ελαστική αντοχή, υγρή στρώση επιφάνειας, βακτηριακή μόλυνση, οπτική απορρόφηση, ελαστικότητα, μορφή, ειδική βαρύτητα, και άλλα. Οποιαδήποτε εισήγηση ότι πρέπει να μελετήσουμε όλα τα γεγονότα είναι εξωπραγματική, και στην ουσία η προσπάθεια δεν γίνεται ποτέ. Τι είναι αναγκαίο είναι ότι πρέπει να επιλέξουμε και να μελετήσουμε τα γεγονότα τα οποία είναι σχετικά με μερικά κύρια ενδιαφέροντα τα οποία είναι ήδη δεδομένα εξ αρχής. Ακόμη και αν το σύστημα είναι εντελώς τεχνητό όπως το σύστημα κινητής τηλεφωνίας που δεικνύεται στο Σχ. 2 (που περιέχει έναν κεντρικό επεξεργαστή και τοπικούς επεξεργαστές για τις εισερχόμενες κλήσεις) θα πρέπει να είμαστε πολύ επιλεκτικοί στον ορισμό του ανάλογα με τι πτυχές θα θέλαμε προς το παρόν να μελετήσουμε. Σχ. 2: Σύστημα κινητής τηλεφωνίας Μια σπουδαία ιδιότητα των συστημάτων είναι ότι αυτά πρέπει να είναι παρατηρήσιμα (observable). Μερικά συστήματα, αλλά όχι μεγάλα φυσικά συστήματα όπως το σύμπαν, είναι επίσης ελεγχόμενα (controllable) με την έννοια ότι μπορούμε να επηρεάσουμε τη συμπεριφορά τους μέσω εισόδων (inputs), δηλαδή:

6 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από 37 Οι είσοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές του περιβάλλοντος που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Οι είσοδοι μπορεί να είναι καν επίσης μπορεί να μην είναι ελεγχόμενοι από εμάς. Οι έξοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές που προσδιορίζονται από το σύστημα και μπορεί να επηρεάσουν το γύρο περιβάλλον. Σε πολλά συστήματα οι ίδιες μεταβλητές δρουν και τα δυο σαν είσοδοι και έξοδοι. Μιλάμε για μη αιτιατή συμπεριφορά εάν οι σχέσεις ή οι επηρεασμοί μεταξύ των μεταβλητών δεν έχουν κάποια αιτιατή κατεύθυνση, που είναι η περίπτωση για σχέσεις οι οποίες περιγράφονται με εξισώσεις. Για παράδειγμα, σε ένα μηχανολογικό σύστημα οι δυνάμεις από το περιβάλλον επηρεάζουν τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, αλλά από την άλλη πλευρά η μετατόπιση του αντικειμένου επηρεάζει τις δυνάμεις μεταξύ του αντικειμένου και του περιβάλλοντος. Τι είναι είσοδος και τι έξοδος σε αυτή την περίπτωση είναι πρωτίστως η επιλογή από κάποιον παρατηρητή, οδηγούμενος από το τι είναι ενδιαφέρον να μελετήσει, έναντι κάποιας ιδιότητας του συστήματος...2 Πειράματα (Experiments) Το παρατηρήσιμο (observability) είναι σπουδαία ιδιότητα για τη μελέτη του συστήματος σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε για το τι είναι σύστημα. Θα πρέπει το λιγότερο να είμαστε σε θέση να παρατηρούμε μερικές εξόδους από ένα σύστημα. Μπορούμε να μάθουμε ακόμη περισσότερα εάν είναι δυνατόν να ασκήσουμε ελεγχόμενες εισόδους στο σύστημα. Αυτή η διαδικασία καλείται πείραμα (experimentation), δηλαδή: Ένα πείραμα είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφοριών από ένα σύστημα με την εξάσκηση των εισόδων του. (An experiment is the process of extracting information from a system by exercising its inputs). Για να κάνουμε ένα πείραμα σε ένα σύστημα θα πρέπει να είναι και τα δυο ελεγχόμενο και παρατηρήσιμο. Εφαρμόζουμε ένα σύνολο από εξωτερικές συνθήκες στις εισόδους που έχουμε πρόσβαση και παρατηρούμε την απόκριση ή αντίδραση του συστήματος μετρώντας τις εξόδους επίσης που έχουμε πρόσβαση. Ένα από τα μειονεκτήματα της πειραματικής μεθόδου είναι ότι για ένα μεγάλο αριθμό συστημάτων σε πολλές εισόδους δεν είναι δυνατόν η πρόσβασή τους και επίσης αυτές δεν είναι ελεγχόμενες. Αυτά τα συστήματα λειτουργούν κάτω από τον επηρεασμό εισόδων χωρίς πρόσβαση σε αυτές, και μερικές φορές ονομάζονται είσοδοι διαταραχών. Παρομοίως, συχνά υπάρχει και η περίπτωση ότι πολλές πραγματικά χρήσιμες έξοδοι δεν είναι προσβάσιμες για μετρήσεις, και μερικές φορές αυτές ονομάζονται εσωτερικές καταστάσεις του συστήματος. Υπάρχουν επίσης αρκετά πρακτικά προβλήματα που σχετίζονται με την εκτέλεση ενός πειράματος: Το πείραμα μπορεί να είναι οικονομικά πολύ ακριβό: η διακρίβωση της ανθεκτικότητας των πλοίων με το να κατασκευάσουμε πλοία και μετά αφήνοντας αυτά να συγκρουσθούν είναι μια πολύ ακριβή μέθοδος για απόκτηση πληροφοριών. Το πείραμα μπορεί να είναι πολύ επικίνδυνο: η εκπαίδευση χειριστών πυρηνικών εργοστασίων για διαχείριση επικίνδυνων καταστάσεων με το να αφήνουμε τον πυρηνικό αντιδραστήρα να εισέρχεται σε επικίνδυνες καταστάσεις δεν είναι αξιοσύστατο. Το σύστημα που χρειάζεται για πειράματα μπορεί να μην υπάρχει ακόμη: αυτό είναι τυπικό για συστήματα που πρόκειται να σχεδιαστούν ή να κατασκευαστούν.

7 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 Οι ελλείψεις της πειραματικής μεθόδου μας οδηγούν στην έννοια του μοντέλου. Εάν αναπτύξουμε ένα μοντέλο ενός συστήματος, αυτό το μοντέλο μπορεί να εξεταστεί και ίσως να απαντήσει σε αρκετές ερωτήσεις σχετικά με το πραγματικό σύστημα εάν το μοντέλο είναι αρκετά πραγματικό..2 Η έννοια του Μοντέλου (The Model Concept) Με δεδομένους τους προηγούμενους ορισμούς περί συστήματος και πειράματος μπορούμε τώρα να προσπαθήσουμε να ορίσουμε την έννοια του μοντέλου: Το μοντέλο ενός συστήματος είναι οτιδήποτε που ένα πείραμα μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό για να απαντήσει σε ερωτήσεις για το σύστημα. (A model of a system is anything an "experiment" can be applied to in order to answer questions about that system). Αυτό σημαίνει ότι ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει απαντήσεις για ένα σύστημα χωρίς να κάνουμε πειράματα στο πραγματικό σύστημα. Αντί αυτού εκτελούμε απλοποιημένα πειράματα στο μοντέλο, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα απλοποιημένο σύστημα το οποίο αντανακλά ιδιότητες του πραγματικού συστήματος. Στην πιο απλή περίπτωση ένα μοντέλο μπορεί ακριβώς να είναι ένα τμήμα πληροφορίας η οποία χρησιμοποιείται να απαντήσει σε ερωτήματα για το σύστημα. Δεδομένου του ορισμού, οποιοδήποτε μοντέλο επίσης πληροί τις προϋποθέσεις ενός συστήματος. Τα μοντέλα, όπως ακριβώς τα συστήματα, είναι ιεραρχικά στη φύση. Μπορούμε να περικόψουμε ένα τμήμα ενός μοντέλου, το οποίο γίνεται νέο μοντέλο που είναι βάσιμο για ένα υποσύνολο των πειραμάτων για τα οποία το αρχικό μοντέλο ήταν βάσιμο. Ένα μοντέλο πάντοτε σχετίζεται με το σύστημα το οποίο μοντελοποιεί και τα πειράματα τα οποία μπορεί να υποστεί. Η έκφραση όπως «ένα μοντέλο ενός συστήματος δεν είναι βάσιμο» είναι ασήμαντη χωρίς την αναφορά του σχετικού συστήματος και των πειραμάτων. Ένα μοντέλο ενός συστήματος μπορεί να είναι βάσιμο για ένα πείραμα στο μοντέλο και μη βάσιμο για κάποιο άλλο πείραμα. Ο όρος επαλήθευση του μοντέλου πάντοτε αναφέρεται σε ένα πείραμα ή σε μια κλάση από πειράματα για εκτέλεση. Ομιλούμε για διαφορετικά είδη μοντέλων ανάλογα το πως το μοντέλο αντιπροσωπεύεται: Διανοητικό μοντέλο (Mental model) μια έκφραση σαν την «ένα άτομο είναι αξιόπιστο» μας βοηθά να απαντήσουμε σε ερωτήσεις για εκείνου του ατόμου τη συμπεριφορά σε διάφορες καταστάσεις. Λεκτικό μοντέλο (Verbal model) αυτό το είδος του μοντέλου περιγράφεται με λέξεις. Για παράδειγμα, η φράση «Περισσότερα ατυχήματα θα συμβούν εάν το όριο της ταχύτητας αυξηθεί» είναι ένα παράδειγμα λεκτικού μοντέλου. Τα έμπειρα συστήματα είναι μια τεχνολογία για την τυποποίηση λεκτικών μοντέλων. Φυσικό μοντέλο (Verbal model) αυτό είναι ένα φυσικό αντικείμενο το οποίο μιμείται μερικές ιδιότητες ενός πραγματικού συστήματος, για να απαντήσει σε ερωτήσεις γύρο από το σύστημα. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια σχεδίων από τεχνουργήματα όπως κτίρια, αεροπλάνα, κλπ., συνήθως κατασκευάζουμε μικρά φυσικά μοντέλα με την ίδια μορφή και εμφάνιση όπως τα πραγματικά αντικείμενα προς μελέτη σχετικά με τις αεροδυναμικές ιδιότητες και αισθητική. Μαθηματικό μοντέλο (Mathematical model) μια περιγραφή ενός συστήματος όπου οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών του συστήματος εκφράζονται με μαθηματικούς τύπους. Οι μεταβλητές μπορεί να είναι μετρήσιμες ποσότητες όπως μέγεθος, μήκος, βάρος, θερμοκρασία, επίπεδο ανεργίας, ροή

8 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 πληροφορίας, bit rate, κλπ. Οι περισσότεροι νόμοι της φύσης είναι μαθηματικά μοντέλα με αυτή την έννοια. Για παράδειγμα, ο νόμος του Ohm περιγράφει τη σχέση μεταξύ ρεύματος και τάσης για την αντίσταση, οι νόμοι του Newton περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ ταχύτητας, επιτάχυνσης, μάζας, δύναμης, κλπ. Τα είδη μοντέλων που εμείς θα ασχοληθούμε είναι μαθηματικά μοντέλα που αντιπροσωπεύονται με διάφορους τρόπους, πχ., σαν εξισώσεις, συναρτήσεις, προγράμματα υπολογιστών, κλπ. Τεχνουργήματα που αντιπροσωπεύονται με μαθηματικά μοντέλα σε έναν υπολογιστή συχνά αποκαλούνται εικονικά πρότυπα (virtual prototypes). Η διαδικασία κατασκευής και εξέτασης τέτοιων μοντέλων ονομάζεται εικονική προτυποποίηση. Μερικές φορές ο όρος φυσική μοντελοποίηση (physical modeling) χρησιμοποιείται επίσης για τη διαδικασία κατασκευής μαθηματικών μοντέλων φυσικών συστημάτων στον υπολογιστή εάν η δομική και συνθετική διαδικασία είναι ίδια με εκείνη για την κατασκευή φυσικών συστημάτων..3 Προσομοίωση (Simulation) Στην προηγούμενη ενότητα αναφέραμε τη δυνατότητα εκτέλεσης «πειραμάτων» στα μοντέλα αντί στα πραγματικά συστήματα που αντιστοιχούν στα μοντέλα. Αυτή είναι πράγματι μια από τις κύριες χρήσεις των μοντέλων, και δεικνύεται με τον όρο προσομοίωση (simulation), από το Λατινικό simulare, το οποίο σημαίνει προσποίηση. Ορίζουμε την προσομοίωση ως εξής: Προσομοίωση είναι ένα πείραμα που εκτελείται σε ένα μοντέλο. (A simulation is an experiment performed on a model). Σε αναλογία με τον προηγούμενο ορισμό του μοντέλου, αυτός ο ορισμός δεν απαιτεί το μοντέλο να αντιπροσωπευθεί σε μορφή μαθηματική ή πρόγραμμα υπολογιστή. Αλλά, στη συνέχεια της ενότητας εμείς θα συγκεντρωθούμε σε μαθηματικά μοντέλα, πρωτίστως εκείνα τα οποία έχουν τη μορφή που είναι αντιπροσωπευτική σε υπολογιστές. Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα από τέτοια πειράματα ή προσομοιώσεις: Προσομοίωση μιας βιομηχανικής διεργασίας όπως σιδήρου ή χαρτιού, για την εκμάθηση της συμπεριφοράς κάτω από διαφορετικές λειτουργικές συνθήκες για τη βελτίωση της διεργασίας. Προσομοίωση συμπεριφοράς οχήματος, πχ., ενός αυτοκινήτου ή αεροπλάνου, για το σκοπό παροχής πραγματικής εκπαίδευσης χειριστή. Προσομοίωση ενός απλοποιημένου μοντέλου από packet-switched δικτύου υπολογιστών, για την εκμάθηση για τη συμπεριφορά κάτω από διαφορετικά φορτία για την αύξηση της απόδοσης. Είναι σπουδαίο να διευκρινιστεί ότι η περιγραφή των μερών των πειραμάτων και του μοντέλου μιας προσομοίωσης είναι εννοιολογικά ξεχωριστές οντότητες. Από την άλλη πλευρά, αυτές οι δυο πτυχές της προσομοίωσης ανήκουν μαζί αν και είναι ξεχωριστές. Για παράδειγμα, ένα μοντέλο είναι βάσιμο μόνο για κάποια κλάση πειραμάτων. Μπορεί όμως να είναι χρήσιμο να οριστεί ένα πλαίσιο πειραμάτων που σχετίζονται με αυτό το μοντέλο, τα οποία ορίζουν τις συνθήκες που χρήζουν να ικανοποιούνται για βάσιμα πειράματα. Εάν το μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύεται σε εκτελέσιμη μορφή σε έναν υπολογιστή, τότε οι προσομοιώσεις μπορεί να γίνουν με αριθμητικά πειράματα, ή σε μη αριθμητικές περιπτώσεις με υπολογίσιμα πειράματα. Αυτός είναι ο πιο απλός και ασφαλής τρόπος εκτέλεσης πειραμάτων, με το επιπρόσθετο πλεονέκτημα ότι στην ουσία όλες οι μεταβλητές του μοντέλου είναι παρατηρήσιμες και ελεγχόμενες. Αλλά, η αξία των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης είναι εντελώς

9 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από 37 εξαρτώμενη στο πόσο καλά το μοντέλο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα σχετικά με τις ερωτήσεις που πρέπει να απαντηθούν από την προσομοίωση. Εκτός από τα πειράματα, η προσομοίωση είναι η μόνη τεχνική η οποία είναι γενικά εφαρμόσιμη για ανάλυση της συμπεριφοράς αυθαίρετων συστημάτων. Αναλυτικές τεχνικές είναι καλύτερες από τις προσομοιώσεις, αλλά συνήθως εφαρμόζονται μόνο κάτω από ένα σύνολο από απλοποιημένες συνθήκες, οι οποίες συχνά δεν μπορεί να δικαιολογηθούν. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι ασυνήθιστο να γίνει συνδυασμός αναλυτικών τεχνικών και προσομοίωσης, πχ., η προσομοίωση να χρησιμοποιηθεί όχι μόνη της αλλά με αναλυτικές ή ημιαναλυτικές τεχνικές..4 Λόγοι για Προσομοίωση (Reasons for Simulation) Υπάρχουν αρκετοί καλοί λόγοι για να κάνουμε προσομοιώσεις αντί να κάνουμε πειράματα σε πραγματικά συστήματα: Τα πειράματα είναι πολύ ακριβά, πολύ επικίνδυνα, ή το σύστημα για να διερευνηθεί δεν υπάρχει ακόμη. Υπάρχουν κύριες δυσκολίες για πειραματισμό με πραγματικά συστήματα, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Η κλίμακα χρόνου των δυναμικών συστημάτων δεν είναι συμβατή με εκείνη του πειράματος. Για παράδειγμα, απαιτείται εκατομμύρια χρόνια για να δούμε μικρές αλλαγές στην εξέλιξη του σύμπαντος, ενώ παρόμοιες αλλαγές μπορεί γρήγορα να παρατηρηθούν σε μια προσομοίωση με υπολογιστές του σύμπαντος. Οι μεταβλητές μπορεί να μην είναι προσβάσιμες. Στην προσομοίωση όλες οι μεταβλητές μπορεί να μελετηθούν και να ελεγχθούν, ακόμη και εκείνες που δεν είναι προσβάσιμες στο πραγματικό σύστημα. Εύκολη μεταχείριση των μοντέλων. Χρησιμοποιώντας προσομοίωση, είναι εύκολη η μεταχείριση των μεταβλητών του συστήματος, ακόμη και πέρα από το φυσικό εύρος κάποιου ιδιαίτερου συστήματος. Για παράδειγμα, η μάζα ενός σώματος σε μια προσομοίωση με υπολογιστή μπορεί να αυξηθεί από 4 σε 5 Kg με ένα πάτημα ενός πλήκτρου, ενώ αυτή η αλλαγή ίσως να είναι δύσκολη να πραγματοποιηθεί στο φυσικό σύστημα. Καταστολή διαταραχών. Σε μια προσομοίωση ενός μοντέλου είναι δυνατόν να κατασταλούν οι διαταραχές οι οποίες μπορεί να είναι αναπόφευκτες σε μετρήσεις στο πραγματικό σύστημα. Αυτό μπορεί να μας επιτρέψει να διαχωρίζουμε ειδικές επιδράσεις και έτσι να αποκτούμε καλύτερη κατανόηση από αυτές τις επιδράσεις. Καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων. Συχνά, οι προσομοιώσεις γίνονται λόγω που επιτρέπουν την καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων όπως μικρές μη γραμμικότητες ή άλλες λεπτομέρειες μερικών μερών ενός συστήματος, οι οποίες μπορεί να μα βοηθήσουν να κατανοήσουμε καλύτερα τις πρωταρχικές επιδράσεις..5 Κίνδυνοι της Προσομοίωσης (Dangers of Simulation) Η ευκολία των προσομοιώσεων είναι επίσης το πιο σοβαρό τους μειονέκτημα: είναι αρκετά εύκολο για τον χρήστη να ξεχάσει τους περιορισμούς και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η προσομοίωση είναι βάσιμη, και έτσι να διεξάγει λάθος συμπεράσματα από την προσομοίωση. Για να μειωθούν αυτοί οι κίνδυνοι, πρέπει πάντοτε να προσπαθούμε να συγκρίνουμε το λιγότερο μερικά αποτελέσματα από την προσομοίωση ενός μοντέλου με εκείνα από το πραγματικό σύστημα. Επίσης υποβοηθάει να γνωρίζουμε τις παρακάτω συνήθεις πηγές από προβλήματα όταν χρησιμοποιούμε προσομοιώσεις: Να ερωτευτείς το μοντέλο (Falling in love with a model Pygmalion effect). Είναι εύκολο να ενθουσιαστείς με το μοντέλο και να ξεχάσεις το πλαίσιο το πειραματικό, δηλ., ότι το μοντέλο δεν είναι ο πραγματικός κόσμος αλλά μόνο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα κάτω από μερικές συνθήκες. Εισάγοντας πραγματικότητα στους περιορισμούς ενός μοντέλου. Ένα παράδειγμα είναι η διαμόρφωση των κοινωνιών μας με βάση τις τρέχουσες

10 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 μοντέρνες οικονομικές θεωρίες που έχουν μια απλοποιημένη άποψη της πραγματικότητας, και αγνοούν πολλές σπουδαίες πτυχές όπως τις ανθρώπινες συμπεριφορές, τις κοινωνίες, και τη φύση. Ξεχνώντας το επίπεδο ακρίβειας του μοντέλου. Όλα τα μοντέλα έχουν υποθέσεις απλοποίησης και πρέπει να τις γνωρίζουμε για να ερμηνεύσουμε σωστά τα αποτελέσματα. Για αυτές τις αιτίες, ενώ οι αναλυτικές τεχνικές είναι γενικά περισσότερο περιοριστικές λόγω που έχουν πολύ μικρότερο πεδίο εφαρμογών, τέτοιες τεχνικές είναι περισσότερο ισχυρές όταν μπορούν να εφαρμοστούν. Ένα αποτέλεσμα από την προσομοίωση είναι βάσιμο μόνο για ένα ειδικό σύνολο από δεδομένα στην είσοδό τους. Χρειάζονται πολλές προσομοιώσεις για να αποκτηθεί κατανόηση ενός συστήματος. Έτσι, εάν αναλυτικές τεχνικές είναι εφαρμόσιμες αυτές θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αντί για προσομοίωση ή σαν συμπλήρωμα..6 Κατασκευή Μοντέλου (Building Models) Υπάρχουν στην ουσία δυο κύριες πηγές από σχετικά με συστήματα γενικές γνώσεις που χρειάζονται για τη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων συστημάτων: Η συγκεντρωτική γενική εμπειρία σε σχετικά πεδία επιστημών και τεχνολογίας η οποία βρίσκεται στη βιβλιογραφία και διατέθηκε από ειδικούς σε αυτές τις περιοχές. Αυτό περιλαμβάνει τους φυσικούς νόμους, δηλ. νόμοι του Newton για μηχανολογικά συστήματα, νόμοι του Kirchhoff για ηλεκτρολογικά συστήματα, προσεγγιστικές σχέσεις για μη τεχνικά συστήματα που βασίζονται στις οικονομικές ή κοινωνικές θεωρίες, κλπ. Το ίδιο το σύστημα, δηλ., παρατηρήσεις από και πειράματα σε ένα σύστημα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε. Επιπρόσθετα στην παραπάνω γνώση συστημάτων, υπάρχει επίσης γνώση γύρω από μηχανισμούς για τη μεταχείριση και χρήση γεγονότων στη κατασκευή μοντέλων για συγκεκριμένες εφαρμογές και πεδία, καθώς και γενικοί μηχανισμοί για τη μεταχείριση των γεγονότων και μοντέλων, δηλ.: Εμπειρίες εφαρμογών (Application expertise) κατανόηση της περιοχής εφαρμογών και τεχνικών για χρήση όλων των γεγονότων σχετικά με τη μοντελοποίηση της συγκεκριμένης εφαρμογής. Λογισμικό και μηχανική γνώσης (Software and knowledge engineering) γενική γνώση γύρω από το ορισμό, μεταχείριση, χρήση, και αντιπροσώπευση μοντέλων και λογισμικό, δηλ. object orientation, component system techniques, expert system technology, κλπ. Ποια είναι τότε μια κατάλληλη διαδικασία ανάλυσης και σύνθεσης για να χρησιμοποιηθεί στην εφαρμογή αυτών των πηγών πληροφοριών για την κατασκευή μοντέλων συστημάτων? Γενικά πρώτα προσπαθούμε να αναγνωρίσουμε τα κύρια μέρη ενός συστήματος και το είδος αλληλεπίδρασης αυτών των μερών. Κάθε μέρος διασπάται σε μικρότερα μέρη (subcomponents - υπομέρη) μέχρις ότου το καθένα να ταιριάζει την περιγραφή ενός υπάρχοντος μοντέλου από κάποια βιβλιοθήκη μοντέλων, ή να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους νόμους τους φυσικούς ή άλλες σχέσεις για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά του. Μετά εκφράζουμε τις αλληλεπιδράσεις τους και δημιουργούμε μαθηματικές τυποποιήσεις για αυτές τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ αυτών των μερών του μοντέλου. Μερικά μέρη μπορεί να έχουν άγνωστες ή μερικώς γνωστές παραμέτρους και συντελεστές. Αυτές συχνά μπορεί να βρεθούν με το ταίριασμα πειραματικά μετρήσιμων δεδομένων από το πραγματικό σύστημα με το μαθηματικό μοντέλο χρησιμοποιώντας τεχνικές ταυτοποίησης συστημάτων (system identification), οι οποίες σε απλές περιπτώσεις καταλήγουν σε βασικές τεχνικές όπως ταίριασμα

11 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 συναρτήσεων και ανάλυση παλινδρόμησης (curve fitting and regression analysis). Αλλά, προηγμένες εκδόσεις για ταυτοποίηση συστημάτων μπορούν ακόμη να προσδιορίσουν τη μορφή των μαθηματικών μοντέλων επιλεγμένες από ένα σύνολο από βασικές δομές μοντέλων..7 Ανάλυση Μοντέλου (Analyzing Models) Η προσομοίωση είναι μια από τις κοινές τεχνικές για τη χρήση μοντέλων για απαντήσεις σε ερωτήσεις γύρω από τα συστήματα. Αλλά, επίσης υπάρχουν άλλες μέθοδοι για ανάλυση μοντέλων όπως ανάλυση ευαισθησίας και διάγνωση βάσει μοντέλων (sensitivity analysis and model based diagnosis), ή αναλυτικές μαθηματικές τεχνικές στις περιοριστικές περιπτώσεις όπου λύσεις μπορεί να βρεθούν σε κλειστή αναλυτική μορφή..8 Ανάλυση Ευαισθησίας Μοντέλου (Sensitivity Analysis) Η ανάλυση ευαισθησίας πραγματεύεται την ερώτηση πόσο ευαίσθητη είναι η συμπεριφορά του μοντέλου σε αλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου. Αυτή είναι μια πολύ κοινή ερώτηση στη σχεδίαση και ανάλυση συστημάτων. Για παράδειγμα, ακόμη και σε καλά προσδιορισμένα πεδία εφαρμογών όπως ηλεκτρολογικά συστήματα, οι τιμές των αντιστάσεων σε κυκλώματα τυπικά είναι γνωστές μόνο με ακρίβεια 5 % με %. Εάν υπάρχει πολύ μεγάλη ευαισθησία στα αποτελέσματα προσομοιώσεων σε παραμέτρους του μοντέλου, πρέπει να είμαστε καχύποπτοι για το εάν είναι βάσιμο το μοντέλο. Σε τέτοιες περιπτώσεις μικρές τυχαίες μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες τυχαίες μεταβολές στη συμπεριφορά. Από την άλλη πλευρά, εάν η προσομοιωμένη συμπεριφορά δεν είναι πολύ ευαίσθητη σε μικρές μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου, υπάρχει η εκδοχή ότι το μοντέλο με ικανοποιητική ακρίβεια αντανακλά τη συμπεριφορά του πραγματικού συστήματος. Τέτοια ευρωστία στη συμπεριφορά είναι μια επιθυμητή ιδιότητα όταν σχεδιάζουμε νέα προϊόντα, λόγω που διαφορετικά ίσως να γίνει ακριβή η βιομηχανική τους παραγωγή διότι κάποιες ανοχές θα πρέπει να διατηρηθούν πολύ μικρές. Ωστόσο, υπάρχει επίσης ένας αριθμός από παραδείγματα πραγματικών συστημάτων τα οποία είναι πολύ ευαίσθητα σε μεταβολές συγκεκριμένων παραμέτρων του μοντέλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις αυτή η ευαισθησία θα πρέπει να αντανακλάται στα μοντέλα αυτών των συστημάτων..9 Διάγνωση Βάσει Μοντέλου (Model-Based Diagnosis) Η διάγνωση βάσει μοντέλου είναι μια τεχνική που λίγο πολύ σχετίζεται με την ανάλυση ευαισθησίας. Θέλουμε να βρούμε τα αίτια από κάποια συμπεριφορά ενός συστήματος αναλύοντας ένα μοντέλο από αυτό το σύστημα. Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε βρούμε τα αίτια από προβληματικές και λανθασμένες συμπεριφορές. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα αυτοκίνητο, το οποίο είναι πολύπλοκο σύστημα αποτελούμενο από πολλά αλληλεπιδρόμενα μέρη όπως μια μηχανή, ένα σύστημα ανάφλεξης, ένα σύστημα κιβώτιο ταχυτήτων, ανάρτηση (συσπανσιόν), τροχούς, κλπ. Κάτω από ένα σύνολο από καλά-ορισμένες λειτουργικές συνθήκες το καθένα από αυτά τα μέρη μπορεί να θεωρηθεί ότι εκθέτει μια σωστή συμπεριφορά εάν κάποιες ποσότητες είναι εντός συγκεκριμένων διαστημάτων τιμών. Μια μετρήσιμη ή υπολογίσιμη τιμή εκτός τέτοιου διαστήματος μπορεί να δεικνύει κάποιο λάθος σε αυτό το μέρος, ή σε κάποιο άλλο που επηρεάζει αυτό. Αυτό το είδος ανάλυσης ονομάζεται διάγνωση βάσει μοντέλου.. Επικύρωση και Επαλήθευση Μοντέλου (Model Verification and Validation) Έχουμε προηγουμένως αναφέρει τους κινδύνους της προσομοίωσης, δηλ. Όταν ένα μοντέλο δεν είναι βάσιμο για ένα σύστημα όσον αφορά την επιδιωκόμενη

12 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 προσομοίωση. Πως μπορούμε να επικυρώσουμε ότι το μοντέλο είναι καλό και αξιόπιστο μοντέλο, δηλ., ότι είναι βάσιμο για την επιδιωκόμενη χρήση του? Αυτό μπορεί να είναι πολύ δύσκολο και μερικές φορές μπορούμε να ελπίζουμε μόνο να πάρουμε μερικές απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα. Ωστόσο, οι παρακάτω τεχνικές είναι χρήσιμες το λιγότερο μερικώς να επικυρώνουν ότι το μοντέλο είναι βάσιμο: Με κριτική επανεξέτασε τις υποθέσεις και απλοποιήσεις πίσω από το μοντέλο, συμπεριλαμβανομένων των διαθέσιμων πληροφοριών γύρω από το πεδίο εγκυρότητας όσο αφορά αυτές τις υποθέσεις. Σύγκρινε απλοποιημένες παραλλαγές του μοντέλου με αναλυτικές λύσεις για ειδικές περιπτώσεις. Σύγκρινε τα πειραματικά αποτελέσματα για περιπτώσεις όταν είναι δυνατόν. Διεξήγαγε ανάλυση ευαισθησίας του μοντέλου. Εάν τα αποτελέσματα προσομοίωσης είναι σχετικά μη ευαίσθητα σε μικρές παραλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου, έχουμε ισχυρότερη πεποίθηση να πιστεύουμε ότι το μοντέλο είναι βάσιμο. Διεξήγαγε εσωτερικό έλεγχο συνέπειας του μοντέλου, δηλ., έλεγξε τις διαστάσεις ή τις μονάδες ότι είναι συγκρίσιμες με όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, στην εξίσωση του Newton F = m a, η μονάδα [N] στην αριστερή πλευρά είναι συνεπής με [kg*m*s^-2] στη δεξιά πλευρά. Στην τελευταία περίπτωση είναι δυνατόν εργαλεία αυτόματα να επαληθεύουν ότι οι διαστάσεις είναι συνεπείς εάν οι ιδιότητες των μονάδων είναι διαθέσιμες για τις ποσότητες του μοντέλου. Αυτή η λειτουργικότητα όμως δεν είναι ακόμη διαθέσιμη τα περισσότερα σημερινά εργαλεία προσομοίωσης.. Είδη Μαθηματικών Μοντέλων (Kinds of Mathematical Models) Διαφορετικά είδη μαθηματικών μοντέλων μπορεί να χαρακτηριστούν από διαφορετικές ιδιότητες που αντανακλούν τη συμπεριφορά των συστημάτων που μοντελοποιούν. Μια σπουδαία πτυχή είναι εάν το μοντέλο ενσωματώνει δυναμικές χρονικά εξαρτώμενες ιδιότητες ή είναι στατικό. Μια άλλη διαχωριστική γραμμή είναι ανάμεσα σε μοντέλα που εξελίσσονται συνεχώς στο χρόνο, και αυτά τα οποία αλλάζουν σε διακριτά σημεία στο χρόνο. Μια τρίτη διαχωριστική γραμμή είναι μεταξύ ποσοτικών και ποιοτικών μοντέλων. Μερικά μοντέλα περιγράφουν φυσικές κατανομές ποσοτήτων, όπως μάζα, ενώ άλλα μοντέλα είναι συγκεντρωτικά με την έννοια ότι η φυσικά κατανεμημένη ποσότητα προσεγγίζεται με το να είναι συγκεντρωτικά μαζί και αντιπροσωπεύεται με μια μεταβλητή, όπως ένα σημείο μάζας. Μερικά φαινόμενα στη φύση περιγράφονται με ευκολία από στοχαστικές διεργασίες και κατανομές πιθανοτήτων, όπως θορυβώδεις ραδιοεκπομπές ή ατομικού επιπέδου κβαντική φυσική. Τέτοια μοντέλα μπορεί να ονομαστούν στοχαστικά ή πιθανοτήτων μοντέλα όπου η συμπεριφορά μπορεί να αντιπροσωπευτεί μόνο με στατιστικές έννοιες, ενώ τα ντετερμινιστικά μοντέλα επιτρέπουν τη συμπεριφορά να αντιπροσωπευτεί χωρίς αβεβαιότητα. Ωστόσο, ακόμη και τα στοχαστικά μοντέλα μπορούν να προσομοιωθούν με ντετερμινιστικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές λόγω που οι τυχαίες αριθμητικές ακολουθίες που συχνά χρησιμοποιούνται να αντιπροσωπεύουν στοχαστικές μεταβλητές μπορούν να παραχθούν ξανά δεδομένου της ίδιας τιμής γεννήτριας (seed value). Το ίδιο φαινόμενο μπορεί συχνά να μοντελοποιηθεί σαν να είναι στοχαστικό ή ντετερμινιστικό ανάλογα το επίπεδο λεπτομερειών στο οποίο μελετάται. Μερικές πτυχές σε ένα επίπεδο είναι αφηρημένες ή κατά μέσο όρο αποκρυμμένες στο επόμενο υψηλότερο επίπεδο. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη μοντελοποίηση από αέρια σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομερειών αρχίζοντας από το επίπεδο

13 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από 37 κβαντομηχανικής στοιχειώδους επίπεδο σωματιδίων ή μορίων, όπου οι θέσεις των σωματιδίων περιγράφονται με κατανομές πιθανοτήτων: Στοιχειώδεις σωματίδια (Elementary particles - orbitals) στοχαστικά μοντέλα. Άτομα (ιδανικό μοντέλο αερίων - ideal gas model) ντετερμινιστικά μοντέλα. Ομάδες ατόμων (στατιστική μηχανική - statistical mechanics) στοχαστικά μοντέλα. Όγκοι αερίων (πίεση και θερμοκρασία - pressure and temperature) ντετερμινιστικά μοντέλα. Πραγματικά αέρια - Real gases (αναταραχή - turbulence) στοχαστικά μοντέλα. Ιδανική μίξη - Ideal mixer (συγκεντρώσεις - concentrations) ντετερμινιστικά μοντέλα. Έχει ενδιαφέρον να επισημανθούν τα είδη των αλλαγών των μοντέλων μεταξύ στοχαστικών και ντετερμινιστικών που γίνονται ανάλογα με τι πτυχές θέλουμε να μελετήσουμε. Λεπτομερή στοχαστικά μοντέλα μπορεί κατά μέσο όρο να συμπτυχθούν σαν ντετερμινιστικά όταν προσεγγίζονται στο επόμενο υψηλότερο μακροσκοπικό επίπεδο στην ιεραρχία. Από την άλλη πλευρά, στοχαστικά μοντέλα όπως αναταραχής μπορεί να εισαχθούν σε μακροσκοπικά επίπεδα σαν αποτέλεσμα χαοτικών φαινομένων εξαιτίας αλληλεπιδράσεων μεταξύ ντετερμινιστικών μερών.

14 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από Octave-Matlab Γρήγορη Αναφορά (Octave-Matlab Quick Reference) 2. Εκκίνηση Τερματισμός Octave Μετά την εγκατάσταση της εφαρμογής Octave το εικονίδιό της είναι το εξής: Με την εκκίνησή του εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο ανάλογα με την έκδοση που έχει εγκατασταθεί: Για να γίνει έναρξη εργασιών στο Octave απλά στην προτροπή > του παραπάνω παραθύρου γράφουμε τις διάφορες εντολές με τα ορίσματά τους και στη συνέχεια πατώντας το "ENTER αυτές εκτελούνται και στο παράθυρο εμφανίζονται τα αποτελέσματά τους. Έτσι η σειριακή εισαγωγή διαφόρων κατάλληλων εντολών και η εκτέλεσή τους απαρτίζουν το πρόγραμμα στο Octave το οποίο χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση (προσομοίωση) κάποιου συγκεκριμένου προβλήματος. Για βοήθεια χρήσης και σύνταξης των διαθέσιμων εντολών στο Octave εισάγουμε την εντολή help. Ο τερματισμός του Octave γίνεται με την εισαγωγή της εντολής exit. Επίσης παράλληλα με την εγκατάσταση του Octave εγκαθίσταται και η εφαρμογή SciTE (βλ. παρακάτω εικόνα). Την ενεργοποιούμε κανονικά όπως κάθε πρόγραμμα ή την 'καλούμε' μέσα από το Octave με την εντολή edit. Στην SciTE γράφουμε τις διάφορες εντολές όπως θα τις γράφαμε και στο Octave. Αποθηκεύουμε το αρχείο που δημιουργήσαμε με την κατάληξη.m (π.χ. example.m, αυτό το αρχείο ονομάζεται m-file). Επιστρέφουμε στο Octave και όλες αυτές οι εντολές του m-file μπορούν να εκτελεστούν από το Octave εισάγοντας σαν εντολή μόνο το όνομα του αρχείου μας (χωρίς την προέκταση.m).

15 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Ακόμη η εφαρμογή SciTE μπορεί να διαχωριστεί σε δυο τμήματα που ρυθμίζονται από το View/Output. Στο αριστερό τμήμα εισάγουμε τις εντολές Octave. Όταν ενεργοποιήσουμε το Tools/Go αυτές οι εντολές του m-file εκτελούνται (εκτός της εφαρμογής Octave) και βλέπουμε τα αποτελέσματά τους στο δεξιό τμήμα της. Για το MATLAB η εκκίνησή του γίνεται με διπλό κλικ στο εικονίδιό του και ο τερματισμός του είτε κάνοντας κλικ στο πάνω-δεξιά κουτάκι με την ένδειξη "x" ή κάνοντας κλικ στο πάνω-αριστερά εικονίδιο της εφαρμογής και μετά επιλέγοντας close/exit όπως συνήθως γίνεται σε κάθε εφαρμογή που τρέχει στα Windows XP. Οι εντολές που τρέχουν στο Octave ή στο SciTE επίσης τρέχουν και στο MATLAB. Έτσι το Octave και με τον editor SciTE θεωρούνται κλώνοι του MATLAB. Το MATLAB όμως έχει περισσότερες εντολές και μερικές από αυτές συντάσσονται διαφορετικά από ότι στο Octave SciTE. Έτσι μερικές εντολές του MATLAB δεν τρέχουν καν στο Octave SciTE. Επίσης το MATLAB παρέχει διάφορα toolboxes. Αυτά είναι ένα σύνολο ομαδοποιημένων MATLAB εντολών και γραφικών δυνατοτήτων για την εύκολη επίλυση διαφόρων προβλημάτων σε αρκετούς επιστημονικούς τομείς. Τέλος το MATLAB παρέχει και την εφαρμογή Simulink με πλήθος εικονικών αντικειμένων που εύκολα χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση προσομοιώσεων σε γραφικό περιβάλλον διαφόρων προβλημάτων. Προγραμματιστικά όμως το Octave - SciTE έχουν αρκετές δυνατότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατάλληλα για την κατασκευή εξίσου ικανοποιητικών προσομοιώσεων επίλυσης διαφόρων προβλημάτων. 2.2 Διανύσματα - Πίνακες (Vectors - Matrices) στο Octave - Matlab Τετραγωνικές αγκύλες καθορίζουν ονομαζόμενους με γράμματα πίνακες. Τα κόμματα διαχωρίζουν τα στοιχεία του πίνακα στην ίδια γραμμή. Τα ελληνικά ερωτηματικά (semicolons) διαχωρίζουν τις γραμμές. Τα κόμματα μπορεί να αντικατασταθούν με κενά (spaces) και τα semicolons μπορεί να αντικατασταθούν με μια ή περισσότερες νέες γραμμές. Τα στοιχεία ενός πίνακα μπορεί να είναι αυθαίρετες εκφράσεις, με την προϋπόθεση όλες οι διαστάσεις να συμφωνούν. Ισχύουν τα εξής: [x, y,... ] εισάγεται ένα διάνυσμα γραμμής (row vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [x; y;... ] εισάγεται ένα διάνυσμα στήλης (column vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [w, x; y, z] εισάγεται ένας 2x2 πίνακας (matrix) με στοιχεία στην πρώτη γραμμή w, x και στοιχεία στη δεύτερη γραμμή y, z.

16 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από Αριθμητικοί & Αυξητικοί Τελεστές (Arithmetic & Increment Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. x + y Πρόσθεση (Addition) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x - y Αφαίρεση (Subtraction) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x * y Πολλαπλασιασμός αριθμών ή συμβατών πινάκων (matrix multiplication) x.* y Στοιχείο προς στοιχείο πολλαπλασιασμός (element by element multiplication) x / y Δεξιά διαίρεση (right division, conceptually equivalent to (inverse (y') * x')') x./ y Στοιχείο προς στοιχείο δεξιά διαίρεση (element by element right division) x \ y Αριστερή διαίρεση (left division, conceptually equivalent to inverse (x) * y) x.\ y Στοιχείο προς στοιχείο αριστερή διαίρεση (element by element left division) x ^ y Τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) x.^ y Στοιχείο προς στοιχείο τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) - x Αντίθεση (negation) + x unary plus (a no-op) x ' complex conjugate transpose x.' Μετάθεση (transpose) ++ x (-- x) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return new value x ++ (x --) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return old value 2.4 Συγκριτικοί & Boolean Τελεστές (Comparison and Boolean Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. Αυτοί οι τελεστές δουλεύουν βάσει στοιχείο-προς-στοιχείο, αξιολογώντας πάντοτε και τα δυο ορίσματα. x < y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από y x!= y Αληθές εάν x δεν είναι ίσο του y x <= y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από ή ίσο του y x & y Αληθές εάν και τα δύο x και y είναι αληθή x == y Αληθές εάν x είναι ίσο του y x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα από τα δύο x ή y είναι αληθή x >= y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x && y Αληθές εάν και τα δύο x και y από ή ίσο του y είναι αληθή x > y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα του y από τα δύο x ή y είναι αληθή 2.5 Γραμμική Άλγεβρα (Linear Algebra) στο Octave Matlab Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. det (a) Υπολογισμός της ορίζουσας (determinant) ενός nxn πίνακα norm (a, p) Υπολογισμός του p- μέτρου (p-norm) ενός πίνακα

17 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 eig (a) expm (a) inverse (a) Υπολογισμός των ιδιοτιμών (eigenvalues) και ιδιοδιανυσμάτων (eigenvectors) ενός nxn πίνακα Υπολογισμός το εκθετικό (exponential) ενός nxn πίνακα Αντίστροφο του nxn πίνακα a pinv (a) rank (a) Ψευδο-αντίστροφο του πίνακα a Τάξη (rank) του πίνακα a 2.6 Εκφράσεις, Ορισμός Συναρτήσεων (Statements, Defining Functions) Οι εκφράσεις για τις αλγοριθμικές δομές ελέγχου στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. for identifier = expr stmt-list endfor while (condition) stmt-list endwhile break continue return if (συνθήκη) if-body [else elsebody] endif if (συνθήκη) if-body [elseif (συνθήκη) elseif-body] endif Εκτέλεσε μια φορά το stmt-list για κάθε στήλη του expr (Execute stmt-list once for each column of expr). The variable identifier is set to the value of the current column during each iteration. Εκτέλεσε stmt-list εφόσον η συνθήκη είναι αληθής (Execute stmt-list while condition is true). Έξοδος από το άμεσα εσωτερικό βρόγχο (innermost loop) Πήγαινε στην αρχή του άμεσα εσωτερικό βρόγχου (go to beginning of innermost loop) Επιστροφή στη συνάρτηση (return to calling function) Εκτέλεσε if-body if condition is true, εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Εκτέλεσε if-body εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το elseif-body που αντιστοιχεί στην πρώτη elseif συνθήκη που είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Σε μια if έκφραση μπορεί να υπάρχουν οποιοσδήποτε αριθμός από elseif. 2.7 Βασικοί Χειρισμοί Πινάκων (Basic Matrix Manipulations) Οι βασικοί χειρισμοί για τους πίνακες στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. rows (a) Αριθμός γραμμών του a (return number of rows of a) columns (a) Αριθμός στηλών του a return number of columns of a all (a) Έλεγχος για μη μηδενικά στοιχεία (check if all elements of a nonzero) any (a) Έλεγχος για οποιοδήποτε μη μηδενικό (check if any elements of a nonzero) find (a) Επιστρέφει τους δείκτες των μη-μηδενικών στοιχείων (return indices of nonzero elements) sort (a) Βάζει σε τάξη τα στοιχεία κάθε στήλης του a (order elements in each column of a) sum (a) Προσθέτει τα στοιχεία στις στήλες του a (sum elements in columns of a) prod (a) Πολλαπλασιασμός των στοιχείων στις στήλες του a (product of elements in columns of a) min (args) Βρίσκει ελάχιστες τιμές (find minimum values) του args max (args) Βρίσκει μέγιστες τιμές (find maximum values) του args rem (x, y) Βρίσκει το υπόλοιπο της διαίρεσης of x/y (find remainder of

18 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 x/y) reshape (a, m, n) Αναδιαμορφώνει a σε mxn πίνακα (reformat a to be m by n) diag (v, k) Δημιουργεί διαγώνιους πίνακες (create diagonal matrices) linspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με ίση απόσταση στοιχείων (create vector of linearly-spaced elements) logspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με λογαριθμική-κλίμακα στοιχεία (create vector of log-spaced elements) eye (n, m) Δημιουργεί nxm μοναδιαίο πίνακα (create n by m identity matrix) ones (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές ένα (create n by m matrix of ones) zeros (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές μηδέν (create n by m matrix of zeros) Δημιουργεί nxm πίνακα με τυχαίες τιμές από ομοιόμορφη rand (n, m) κατανομή (create n by m matrix of random values from uniform distribution) 2.8 Διαφορικές Διαφορών Εξισώσεις (Equations, ODEs, DAEs, Quadrature) *fsolve *lsode *dassl *quad perror (nm, code) Επίλυση μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (solve nonlinear algebraic equations) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (integrate nonlinear ODEs (uses the Livermore Solver for ODEs)) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές DAEs (integrate nonlinear DAEs) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές συναρτήσεις (integrate nonlinear functions) Για συναρτήσεις που επιστρέφουν αριθμητικούς κώδικες (numeric codes), εκτυπώνει μηνύματα σφαλμάτων για τη συνάρτηση και τον κώδικα (functions that return numeric codes, print error message for named function and given error code) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.9 Επεξεργασία Σημάτων (Signal Processing) fft (a) ifft (a) freqz (args) filter (a, b, x) conv (a, b) hamming (n) hanning (n) Επεξεργασία Σημάτων (Signal & Image Processing) Fast Fourier Transform Αντίστροφο (inverse) FFT FIR filter frequency response (Finite Impulse Response απόκριση συχνότητας) filter by transfer function (φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς) convolve two vectors (συνέλιξη δυο διανυσμάτων) return Hamming window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hamming) return Hanning window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hanning) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο.

19 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) colormap (map) Θέτει το τρέχον σύνολο χρωμάτων (set the current colormap) gray2ind (i, n) Μετατρέπει (convert) gray scale to Octave image image (img, zoom) Εμφανίζει (display) an Octave image matrix imagesc (img, zoom) Εμφανίζει (display) scaled matrix as image imshow (img, map) Εμφανίζει (display) Octave image imshow (i, n) Εμφανίζει (display) gray scale image imshow (r, g, b) Εμφανίζει (display) RGB image ind2gray (img, map) Μετατρέπει (convert) Octave image to gray scale ind2rgb (img, map) Μετατρέπει (convert) indexed image to RGB loadimage (file) Φορτώνει (load) an image file rgb2ind (r, g, b) Μετατρέπει (convert) RGB to Octave image saveimage (file, img, fmt, map) Αποθηκεύει (save) a matrix to file * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2. Πολυώνυμα, Στατιστικά (Polynomials, Statistics) compan (p) companion matrix residue (a, b) partial fraction expansion of ratio a/b conv (a, b) convolution (συνέλιξη) corrcoef (x, y) correlation coefficient deconv (a, b) deconvolve two vectors cov (x, y) covariance poly (a) create polynomial from a matrix mean (a) mean value polyderiv (p) derivative of polynomial median (a) median value polyreduce (p) integral of polynomial std (a) standard deviation polyval (p, x) value of polynomial at x var (a) variance polyvalm (p, x) value of polynomial at x cor (x, y) Compute correlation roots (p) polynomial roots autocor (x, h) Autocorrelation * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.2 Συναρτήσεις Διαγραμμάτων (Plotting Functions) plot (args) 2D plot with linear axes axis (limits) set axis ranges plot3 (args) 3D plot with linear axes xlabel (string) set x-axis label line (args) 2D or 3D line ylabel (string) set y-axis label patch (args) 2D patch zlabel (string) set z-axis label semilogx (args) 2D plot with logarithmic text (x, y, str) x-axis add text to a plot semilogy (args) 2D plot with logarithmic set label in plot legend (string) y-axis key loglog (args) 2D plot with logarithmic grid [on off] axes set grid state bar (args) plot bar charts hold [on off] set hold state

20 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 stairs (x, y) plot stair steps ishold return if hold is on, otherwise stem (x, it y) plot a stem graph mesh (x, y, z) plot 3D surface hist (y, x) create mesh plot histograms meshgrid (x, y) coordinate matrices contour (x, y, z) contour plot title (string) set plot title * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.3 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) Octave function [ret-list] function-name [(arg-list) ] function-body endfunction ret-list may be a single identifier or a comma-separated list of identifiers delimited by square-brackets. arg-list is a comma-separated list of identifiers and may be empty. Παράδειγμα: > function xdot = f (x, t) > r =.25; k =.4; a =.5; b =.6; c =.9; d =.8; > xdot() = r*x()*( - x()/k) - a*x()*x(2)/( + b*x()); > xdot(2) = c*a*x()*x(2)/( + b*x()) - d*x(2); > endfunction 2.4 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) - Matlab Μια Matlab συνάρτηση πρέπει να περιέχει την εντολή: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) για να οριστεί η συνάρτηση functionname με M εισόδους και L εξόδους. Συνήθως είναι καλό να περιλαμβάνονται μερικά σχόλια στην αρχή της συνάρτησης τα οποία περιγράφουν το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και ποιοι οι έξοδοι. Ένα σχόλιο δεικνύεται με "%" στην αρχή της γραμμής. Επίσης, εάν δεν θυμούμαστε το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και έξοδοι, μπορούμε να δώσουμε την εντολή help functionname και το Matlab θα δείξει στην οθόνη τα σχόλια που εισήχθησαν στην αρχή της συνάρτησης. Μετά τα σχόλια έρχεται η εντολή της συνάρτησης: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) Μια απλή Matlab συνάρτηση χρησιμοποιώντας τη δομή που περιγράφτηκε παραπάνω φαίνεται παρακάτω. Δεν είναι υποχρεωτικό να οριστούν οι εσωτερικές μεταβλητές στα αρχικά σχόλια αλλά είναι καλό αυτές να ορίζονται. % Create a sinusoid x with frequency f and phase offset phi % x = cos(2*pi*f*time + phi); plot x for one cycle. % Inputs: scalar: f = frequency; phi = phase offset % Output: vector: x = sinusoid of length (one cycle); % Internal variables: scalar: T = /f = period of x;

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Έναρξη Τερματισμός του MatLab

Έναρξη Τερματισμός του MatLab Σύντομος Οδηγός MATLAB Β. Χ. Μούσας 1/6 Έναρξη Τερματισμός του MatLab Η έναρξη της λειτουργίας του MatLab εξαρτάται από το λειτουργικό σύστημα. Στα συστήματα UNIX πληκτρολογούμε στη προτροπή του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Δρ. Βασίλειος Δαλάκας Καλώς ήρθατε στο εργαστήριο Σημάτων και Συστημάτων με το λογισμικό Octave (Οκτάβα). Οι σημειώσεις αυτές έχουν βασιστεί στις σημειώσεις του εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Το πρόγραμμα Origin Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Δημιουργία γραφικής παράστασης συνάρτησης Για να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση από μια συνάρτηση επιλέξτε File-New-Graph To Origin

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στις έννοιες: - Στοιχειώδης Προγραμματισμός - Προγραμματισμός με Συνθήκες - Προγραμματισμός με Βρόγχους

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Πίνακες Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Πίνακες Πολλές φορές θέλουμε να κρατήσουμε στην μνήμη πολλά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Ανάλυση - Προσομοίωση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ 1 Προσομοίωση Η προσομοίωση είναι μέθοδος μελέτης ενός συστήματος και εξοικείωσης με τα χαρακτηριστικά του με

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Τομέας Υπολογιστικών Τεχνικών & Συστημάτων Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Ιωάννης Γεωργουδάκης - Πάρις Μαστοροκώστας Σεπτέμβριος 2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y)

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y) Λογικά Διανύσματα Τα λογικά διανύσματα του Matlab είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της tan(x) στο διάστημα από -3π/2 μέχρι 3π/2. >>x

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διάλεξη 1 Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διαφάνειες: Skaros, MadAGu Παρουσίαση: MadAGu Άδεια: Creative Commons 3.0 Αριθμητικοί Τελεστές- Αριθμητικές Πράξεις 2 Internal use only Αριθμητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S.

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Σημειώσεις για το μάθημα Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Παπάνα Αγγελική E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Τμήμα Τυποποίησης και

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Αποκατάσταση εικόνας Αφαίρεση Θορύβου Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Αποκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος ΜΑΘΗΜΑ 2ο Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος 1. Κατανόηση του προβλήματος με τη σχετική επιστήμη (όπως οικονομία, διοίκηση, γενικές επιστήμες) π.χ το πρόβλημα της κατανάλωσης κάποιας περιοχής σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 11 Υπολογισμός συντελεστών κινητικής και στατικής τριβής

Άσκηση 11 Υπολογισμός συντελεστών κινητικής και στατικής τριβής Άσκηση 11 Υπολογισμός συντελεστών κινητικής και στατικής τριβής Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι: Να υπολογιστεί ο συντελεστής κινητικής τριβής μ κ. Να υπολογιστεί ο συντελεστής στατικής τριβής

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

9. Ανάλυση κυρίων συνιστωσών *Principal Component Analysis)

9. Ανάλυση κυρίων συνιστωσών *Principal Component Analysis) 1 9. Ανάλυση κυρίων συνιστωσών *Principal Component Analysis) Προαπαιτούμενα: MULTISPEC και η πολυφασματική εικόνα του φακέλου \Multispec_tutorial_Files\Images and Files \ salamina_multispectral.tiff Σκοπός:

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Νέο υλικό. www.cs.uoi.gr/~develeg. Matlab2.pdf - Παρουσίαση μαθήματος 2. Matlab-reference.pdf Σημειώσεις matlab στα ελληνικά (13 σελίδες).

Νέο υλικό. www.cs.uoi.gr/~develeg. Matlab2.pdf - Παρουσίαση μαθήματος 2. Matlab-reference.pdf Σημειώσεις matlab στα ελληνικά (13 σελίδες). Matlab Μάθημα Νέο υλικό www.cs.uoi.gr/~develeg Matlab.pdf - Παρουσίαση μαθήματος. Matlab-reference.pdf Σημειώσεις matlab στα ελληνικά (3 σελίδες). Επαναληπτικές δομές Όταν εκτελείται μια πράξη σε ένα διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

M files RCL Κυκλώματα

M files RCL Κυκλώματα M files RCL Κυκλώματα Στο MATLAB γράφουμε τις δικές μας εντολές και προγράμματα μέσω αρχείων που καλούνται m-files. Έχουν το επίθεμα.m π.χ compute.m Υπάρχουν δύο είδη m-files: τα αρχεία script (script

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Βυζαντινός Ρεπαντής Κολλέγιο Αθηνών 2010

Βυζαντινός Ρεπαντής Κολλέγιο Αθηνών 2010 Βυζαντινός Ρεπαντής Κολλέγιο Αθηνών 2010 Δημιουργία ενός απλού παιχνιδιού με το Gamemaker (μετάφραση από το http://www.stuffucanuse.com/downloads/gamemaker-introductionlessons/free_game_downloads_gamemaker.htm)

Διαβάστε περισσότερα

3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων

3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων Αφαίρεση και Αρθρωσιμότητα 3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων Πώς συνεργάζονται τα αντικείμενα που δημιουργούμε Αφαίρεση (abstraction) είναι η δυνατότητα να αγνοούμε τις λεπτομέρειες και να εστιάζουμε την προσοχή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL...11 1.1 Εισαγωγή στο Excel...11 1.2 Tα βασικά του Excel...12 1.3 Εισαγωγή κειμένου...14 1.4 Απλές μαθηματικές πράξεις στο Excel...16 1.5 ιάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής ver. 0.2 10/2012 Εισαγωγή στο Simulink Το SIMULINK είναι ένα λογισµικό πακέτο που επιτρέπει τη µοντελοποίηση, προσοµοίωση οίωση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10. Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων Τι πρέπει να προσέξουμε Επαρκής ψηφιοποίηση στο χρόνο (Nyquist) Αναδίπλωση (aliasing)

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Σημασιολογικού Ιστού

Εργαστήριο Σημασιολογικού Ιστού Εργαστήριο Σημασιολογικού Ιστού Ενότητα 8: Εισαγωγή στη SPARQL Βασική Χρήση Μ.Στεφανιδάκης 3-5-2015. Η γλώσσα ερωτημάτων SPARQL Ερωτήσεις (και ενημερώσεις) σε σετ δεδομένων RDF Και σε δεδομένα άλλης μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Ανοδικές Μέθοδοι Συντακτικής Ανάλυσης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Μεταγλωττιστές. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Ανοδικές Μέθοδοι Συντακτικής Ανάλυσης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μεταγλωττιστές Ανοδικές Μέθοδοι Συντακτικής Ανάλυσης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2011-2012 Ανοδική Κατασκευή Συντακτικού Δέντρου κατασκευή δέντρου

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές Βιομηχανικοί Ελεγκτές Σημειώσεις Εργαστηρίου Έλεγχος Στάθμης Δοχείου με P.I.D. Ελεγκτή Περιεχόμενα 1. Τρόπος Εισαγωγής στο πρόγραμμα εξομοίωσης. 2. Τρόπος λειτουργίας εξομοιωτή. 3. Αναγνώριση ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Μεταβλητές - Δομές Δεδομένων - Eίσοδος δεδομένων - Έξοδος: Μορφοποίηση - Συναρτήσεις. Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ

Διάλεξη 2. Μεταβλητές - Δομές Δεδομένων - Eίσοδος δεδομένων - Έξοδος: Μορφοποίηση - Συναρτήσεις. Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διάλεξη 2 Μεταβλητές - Δομές Δεδομένων - Eίσοδος δεδομένων - Έξοδος: Μορφοποίηση - Συναρτήσεις Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διαφάνειες: Skaros, MadAGu Παρουσίαση: MadAGu Άδεια: Creative Commons 3.0 2 Internal

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel 11.1. Πολλαπλά φύλλα εργασίας Στο προηγούμενο κεφάλαιο δημιουργήσαμε ένα φύλλο εργασίας με τον προϋπολογισμό δαπανών του προσωπικού που θα συμμετάσχει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρική Πληροφορική. Δρ. Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Τ. Ε. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι

Ιατρική Πληροφορική. Δρ. Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Τ. Ε. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Ιατρική Πληροφορική Δρ. Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Τ. Ε. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio103/ https://eclass.teiath.gr/courses/tio100/

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση εικόνων DSLR με το πρόγραμμα IRIS

Ανάλυση εικόνων DSLR με το πρόγραμμα IRIS Δεκέμβριος 2014: Θεματικός Μήνας Μεταβλητών Άστρων Μαραβέλιας Γρηγόρης Ανάλυση εικόνων DSLR με το πρόγραμμα IRIS v1.0 Πηγές Το υλικό προέρχεται από τις ακόλουθες πηγές (τις οποίες μπορείτε να συμβουλευτείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Εντολές. 2.2. Σχόλια. 2.3. Τύποι Δεδομένων

2.1. Εντολές. 2.2. Σχόλια. 2.3. Τύποι Δεδομένων 2 Βασικές Εντολές 2.1. Εντολές Οι στην Java ακολουθούν το πρότυπο της γλώσσας C. Έτσι, κάθε εντολή που γράφουμε στη Java θα πρέπει να τελειώνει με το ερωτηματικό (;). Όπως και η C έτσι και η Java επιτρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Σκοπός Να αναπτύξουν ένα πρόγραμμα όπου θα επαναλάβουν τα βήματα ανάπτυξης μιας παραθυρικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΞΟΡΥΞΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ Δ.Π.Μ.Σ: «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» 2008

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο SPSS. ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας

Εισαγωγή στο SPSS. ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας Εισαγωγή στο SPSS ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας Στόχος του μαθήματος Τα τέσσερα παράθυρα του SPSS Η διαχείριση των αρχείων δεδομένων Βασικά στοιχεία ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ. Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ενότητα 4: Δειγματοληψία και Κβάντιση Εικόνας Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Υπολογιστικών Συστημάτων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1

Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές. Γ. Θεοδώρου 1 Υπολογιστική Στατιστική Φυσική και Εφαρμογές Γ. Θεοδώρου 1 Περιεχόμενο 1. Γενικά Εισαγωγή στα MATLAB και Octave. 2. Προσομοιώσεις Monte Carlo, Τυχαίες μεταβλητές, κατανομές, πυκνότητα πιθανότητας, Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης της MySQL

Οδηγίες Χρήσης της MySQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΕ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Οδηγίες Χρήσης της MySQL Διδάσκων: Γιάννης Θεοδωρίδης Συντάκτης Κειμένου: Βαγγέλης Κατσικάρος Νοέμβριος 2007 1 Περιεχόμενα Εισαγωγή...2

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ι. Δυναμική Διαχείριση Μνήμης. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Προγραμματισμός Ι. Δυναμική Διαχείριση Μνήμης. Δημήτρης Μιχαήλ. Ακ. Έτος 2011-2012. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Προγραμματισμός Ι Δυναμική Διαχείριση Μνήμης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2011-2012 Ανάγκη για Δυναμική Μνήμη Στατική Μνήμη Μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙΔΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Παράδοση: Πέμπτη 10 Απριλίου 2008, 24:00 (μεσάνυχτα)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων. Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend

Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων. Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΟΥ EXTEND Το Extend είναι ένα λογισμικό εικονικής προσομοίωσης που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απλοί ή στοιχειώδης Τ.Δ. Ακέραιος τύπος Πραγματικός τύπος Λογικός τύπος Χαρακτήρας Σύνθετοι Τ.Δ. Αλφαριθμητικός 1. Ακέραιος (integer) Εύρος: -32768 έως 32767 Δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εργαστηριακές Ασκήσεις στα Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών

ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εργαστηριακές Ασκήσεις στα Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ο : Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών ArcMap (2/2) Μέρος 1: (συνέχεια από τα προηγούμενα) Κάνουμε κλικ το εικονίδιο Add Data στην γραμμή εργαλείων standard και επιλέγουμε το αρχείο/τα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε.

Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε. 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 485 Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COACH 5 ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΩΝ Τ.Ε.Ε. Μπουλταδάκης Στέλιος Εκπαιδευτικός

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά Συστήματα

Υπολογιστικά Συστήματα Υπολογιστικά Συστήματα Ενότητα 6: Ασκήσεις στη Visual Basic for Applications (VBA) Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα