ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ. [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια)

Transcript

1 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ κ Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΜΕΑ: Δρ. Α. ΑΝΔΡΕΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια) Διδάσκων: Δρ. Α. Π. Λερός Τμήμα Μηχανικών: Ειδικότητα (Τ-Η) Φεβρουάριος 29

2 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ (SYSTEMS AND EXPERIMENTS) Τι είναι σύστημα? Πειράματα (Experiments) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (THE MODEL CONCEPT) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (SIMULATION) ΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (REASONS FOR SIMULATION) ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (DANGERS OF SIMULATION) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (BUILDING MODELS)....7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (ANALYZING MODELS)....8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (SENSITIVITY ANALYSIS)....9 ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΒΑΣΕΙ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL-BASED DIAGNOSIS).... ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL VERIFICATION AND VALIDATION).... ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (KINDS OF MATHEMATICAL MODELS) OCTAVE-MATLAB ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ (OCTAVE-MATLAB QUICK REFERENCE) ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ OCTAVE ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΠΙΝΑΚΕΣ (VECTORS - MATRICES) ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ & ΑΥΞΗΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ (ARITHMETIC & INCREMENT OPERATORS) ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟΙ & BOOLEAN ΤΕΛΕΣΤΕΣ (COMPARISON AND BOOLEAN OPERATORS) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΣΤΟ OCTAVE MATLAB ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ, ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (STATEMENTS, DEFINING FUNCTIONS) ΒΑΣΙΚΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ (BASIC MATRIX MANIPULATIONS) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (EQUATIONS, ODES, DAES, QUADRATURE) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SIGNAL PROCESSING) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΩΝ (IMAGE PROCESSING) ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ (POLYNOMIALS, STATISTICS) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ (PLOTTING FUNCTIONS) ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) OCTAVE ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) - MATLAB ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB (SCALARS, VECTORS AND MATRICES) ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SINUSOIDS IN OCTAVE - MATLAB) ΣΗΜΑΤΑ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SIGNALS IN OCTAVE - MATLAB) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ (DISCRETE SIGNALS) ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SAMPLING SIGNALS) ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΟΡΥΒΟΥ (MODELING NOISE) ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (MODULATION AND DEMODULATION) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FINITE DIFFERENCE) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ / ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (FILTERING/CONVOLUTION AND CASCADED LTI SYSTEMS) ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ FIR ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ (DISCRETE-TIME CONVOLUTION AND FIR FILTERING) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LINEAR TIME-INVARIANT (LTI) SYSTEMS) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (CASCADED LTI SYSTEMS) ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER & ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES ANALYSIS & APPROXIMATION) 6 7. ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (PERIODIC FUNCTION) ΣΕΙΡΕΣ FOURIER: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (FOURIER SERIES: ANALYSIS EQUATION)...63

3 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES APPROXIMATION) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ: ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ-ΧΡΟΝΟΥ FOURIER SERIES (FREQUENCY RESPONSE: DISCRETE-TIME FOURIER SERIES (DTFS)) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY RESPONSE) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB FFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB FFT COMMANDS) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB IFFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB IFFT COMMANDS) DFT ΣΑΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ FOURIER TRANSFORM (DFT AS APPROXIMATION TO FT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ (FREQUENCY RESPONSE OF FIR FILTERS) DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΞΟΔΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (FREQUENCY RESPONSE OF FILTER OUTPUT) ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ OCTAVE - MATLAB (SPECTRAL ANALYSIS IN OCTAVE - MATLAB) 87. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (STATISTICAL SIGNAL PROCESSING) DISCRETE FOURIER TRANSFORM (DFT) FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) SPECTRAL ANALYSIS WITH THE FFT ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (INTRODUCTION TO QUEUING SYSTEMS) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ (QUEUING SYSTEMS) Η ΟΥΡΑ Μ/Μ/ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΟΥΡΕΣ Μ/Μ/....4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ... ADDENDUM (ΠΡΟΣΘΗΚΗ).... PRACTICE SET A: ALGEBRA AND ARITHMETIC PRACTICE SET Β: CALCULUS, GRAPHICS, AND LINEAR ALGEBRA DIGITAL SIGNAL AND IMAGE PROCESSING USING MATLAB...25

4 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από 37. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) Οι Η/Υ έχουν επιφέρει επανάσταση στις επιστήμες και τη μηχανική (sciences and engineering). Με τη χρήση τους μπορούμε να κατασκευάσουμε πολύπλοκα μηχανικά σχέδια όπως για τα διαστημόπλοια space shuttles. Μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιότητες του σύμπαντος όπως ήταν πριν κλάσματα δευτερολέπτου μετά τη μεγάλη έκρηξη (big bang). Οι φιλοδοξίες μας όλο και αυξάνονται. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ακόμη περισσότερο πολύπλοκα σχέδια όπως καλύτερα διαστημόπλοια, αυτοκίνητα, ιατρικά μηχανήματα, κινητά συστήματα επικοινωνίας, κλπ. Θέλουμε να κατανοήσουμε καλύτερα τις πτυχές τη φύση μας. Αυτά είναι μερικά παραδείγματα μοντελοποίησης και προσομοίωσης με Η/Υ συστημάτων. Περισσότερο ισχυρά εργαλεία και ιδέες χρειάζονται να μας βοηθήσουν να αντεπεξέλθουμε αυτή την όλο και αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Αυτή η ενότητα δίνει μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες για το τι είναι σύστημα, μοντέλο και προσομοίωση (system, model, and simulation).. Συστήματα και Πειράματα (Systems and Experiments).. Τι είναι σύστημα? Έχουμε ήδη αναφέρει μερικά συστήματα όπως το σύμπαν, το διαστημόπλοιο κλπ. Ένα σύστημα μπορεί να είναι οτιδήποτε. Περιέχει υποσυστήματα τα οποία τα ίδια είναι συστήματα. Ένας πιθανός ορισμός μπορεί να είναι: Ένα σύστημα είναι ένα αντικείμενο ή συλλογή αντικειμένων τις ιδιότητες των οποίων θέλουμε να μελετήσουμε. (A system is an object or collection of objects whose properties we want to study). Η επιθυμία μας να μελετήσουμε επιλεγμένες ιδιότητες αντικειμένων είναι κεντρική στον ορισμό. Η πτυχή της μελέτης είναι λεπτή παρά το γεγονός ότι είναι υποκειμενική. Η επιλογή και ορισμός τι αποτελεί ή συνθέτει ένα σύστημα είναι κάπως αυθαίρετη και πρέπει να βοηθηθεί με τη χρήση του συστήματος. Για ποιους λόγους μελετάμε το σύστημα? Υπάρχουν πολλές απαντήσεις στο ερώτημα αυτό αλλά μπορούμε να δώσουμε δυο κύρια κίνητρα: Μελέτησε ένα σύστημα για να το κατανοήσεις και μετά να το κατασκευάσεις. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς μηχανικού (engineering point of view). Ικανοποίηση ανθρώπινης περιέργειας, δηλ. για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς φύσης (natural science viewpoint). Έτσι σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό ένα σύστημα μπορεί να απαντάται φυσικά, πχ., το σύμπαν, ή μπορεί να είναι τεχνητό όπως το διαστημόπλοιο, ή ένα μείγμα και από τα δυο. Για παράδειγμα το σπίτι στο Σχ. με το ζεστό νερό από τον ηλιακό θερμοσίφωνα είναι τεχνητό διότι κατασκευάστηκε από τον άνθρωπο. Εάν επίσης συμπεριλάβουμε τον ήλιο και τα σύννεφα στο σύστημα τότε είναι συνδυασμός από φυσικά και τεχνητά μέρη.

5 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Σχ. : Σπίτι με ηλιακό θερμοσίφωνα Αν και ακόμη το σύστημα απαντάται φυσικά ο ορισμός του είναι πάντοτε πολύ επιλεκτικός. Αυτό γίνεται πολύ προφανές από τον ακόλουθο ορισμό για το εκκρεμές σύμφωνα με τον Ross Ashby [Ashby-56]: Η πρώτη μας τάση είναι να δείξουμε το εκκρεμές και να πούμε το σύστημα είναι εκείνο το πράγμα». Αυτή η μέθοδος όμως έχει βασικά μειονεκτήματα: κάθε υλικό-αντικείμενο περιέχει όχι λιγότερο από άπειρες μεταβλητές, και έτσι, πιθανά συστήματα. Το πραγματικό εκκρεμές, για παράδειγμα, δεν έχει μόνο μήκος και θέση, έχει επίσης μάζα, θερμοκρασία, ηλεκτρική αγωγιμότητα, κρυσταλλική δομή, χημικές ακαθαρσίες, μερική ραδιοδραστηριότητα, ταχύτητα, ισχύ αντανάκλασης, ελαστική αντοχή, υγρή στρώση επιφάνειας, βακτηριακή μόλυνση, οπτική απορρόφηση, ελαστικότητα, μορφή, ειδική βαρύτητα, και άλλα. Οποιαδήποτε εισήγηση ότι πρέπει να μελετήσουμε όλα τα γεγονότα είναι εξωπραγματική, και στην ουσία η προσπάθεια δεν γίνεται ποτέ. Τι είναι αναγκαίο είναι ότι πρέπει να επιλέξουμε και να μελετήσουμε τα γεγονότα τα οποία είναι σχετικά με μερικά κύρια ενδιαφέροντα τα οποία είναι ήδη δεδομένα εξ αρχής. Ακόμη και αν το σύστημα είναι εντελώς τεχνητό όπως το σύστημα κινητής τηλεφωνίας που δεικνύεται στο Σχ. 2 (που περιέχει έναν κεντρικό επεξεργαστή και τοπικούς επεξεργαστές για τις εισερχόμενες κλήσεις) θα πρέπει να είμαστε πολύ επιλεκτικοί στον ορισμό του ανάλογα με τι πτυχές θα θέλαμε προς το παρόν να μελετήσουμε. Σχ. 2: Σύστημα κινητής τηλεφωνίας Μια σπουδαία ιδιότητα των συστημάτων είναι ότι αυτά πρέπει να είναι παρατηρήσιμα (observable). Μερικά συστήματα, αλλά όχι μεγάλα φυσικά συστήματα όπως το σύμπαν, είναι επίσης ελεγχόμενα (controllable) με την έννοια ότι μπορούμε να επηρεάσουμε τη συμπεριφορά τους μέσω εισόδων (inputs), δηλαδή:

6 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από 37 Οι είσοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές του περιβάλλοντος που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Οι είσοδοι μπορεί να είναι καν επίσης μπορεί να μην είναι ελεγχόμενοι από εμάς. Οι έξοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές που προσδιορίζονται από το σύστημα και μπορεί να επηρεάσουν το γύρο περιβάλλον. Σε πολλά συστήματα οι ίδιες μεταβλητές δρουν και τα δυο σαν είσοδοι και έξοδοι. Μιλάμε για μη αιτιατή συμπεριφορά εάν οι σχέσεις ή οι επηρεασμοί μεταξύ των μεταβλητών δεν έχουν κάποια αιτιατή κατεύθυνση, που είναι η περίπτωση για σχέσεις οι οποίες περιγράφονται με εξισώσεις. Για παράδειγμα, σε ένα μηχανολογικό σύστημα οι δυνάμεις από το περιβάλλον επηρεάζουν τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, αλλά από την άλλη πλευρά η μετατόπιση του αντικειμένου επηρεάζει τις δυνάμεις μεταξύ του αντικειμένου και του περιβάλλοντος. Τι είναι είσοδος και τι έξοδος σε αυτή την περίπτωση είναι πρωτίστως η επιλογή από κάποιον παρατηρητή, οδηγούμενος από το τι είναι ενδιαφέρον να μελετήσει, έναντι κάποιας ιδιότητας του συστήματος...2 Πειράματα (Experiments) Το παρατηρήσιμο (observability) είναι σπουδαία ιδιότητα για τη μελέτη του συστήματος σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε για το τι είναι σύστημα. Θα πρέπει το λιγότερο να είμαστε σε θέση να παρατηρούμε μερικές εξόδους από ένα σύστημα. Μπορούμε να μάθουμε ακόμη περισσότερα εάν είναι δυνατόν να ασκήσουμε ελεγχόμενες εισόδους στο σύστημα. Αυτή η διαδικασία καλείται πείραμα (experimentation), δηλαδή: Ένα πείραμα είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφοριών από ένα σύστημα με την εξάσκηση των εισόδων του. (An experiment is the process of extracting information from a system by exercising its inputs). Για να κάνουμε ένα πείραμα σε ένα σύστημα θα πρέπει να είναι και τα δυο ελεγχόμενο και παρατηρήσιμο. Εφαρμόζουμε ένα σύνολο από εξωτερικές συνθήκες στις εισόδους που έχουμε πρόσβαση και παρατηρούμε την απόκριση ή αντίδραση του συστήματος μετρώντας τις εξόδους επίσης που έχουμε πρόσβαση. Ένα από τα μειονεκτήματα της πειραματικής μεθόδου είναι ότι για ένα μεγάλο αριθμό συστημάτων σε πολλές εισόδους δεν είναι δυνατόν η πρόσβασή τους και επίσης αυτές δεν είναι ελεγχόμενες. Αυτά τα συστήματα λειτουργούν κάτω από τον επηρεασμό εισόδων χωρίς πρόσβαση σε αυτές, και μερικές φορές ονομάζονται είσοδοι διαταραχών. Παρομοίως, συχνά υπάρχει και η περίπτωση ότι πολλές πραγματικά χρήσιμες έξοδοι δεν είναι προσβάσιμες για μετρήσεις, και μερικές φορές αυτές ονομάζονται εσωτερικές καταστάσεις του συστήματος. Υπάρχουν επίσης αρκετά πρακτικά προβλήματα που σχετίζονται με την εκτέλεση ενός πειράματος: Το πείραμα μπορεί να είναι οικονομικά πολύ ακριβό: η διακρίβωση της ανθεκτικότητας των πλοίων με το να κατασκευάσουμε πλοία και μετά αφήνοντας αυτά να συγκρουσθούν είναι μια πολύ ακριβή μέθοδος για απόκτηση πληροφοριών. Το πείραμα μπορεί να είναι πολύ επικίνδυνο: η εκπαίδευση χειριστών πυρηνικών εργοστασίων για διαχείριση επικίνδυνων καταστάσεων με το να αφήνουμε τον πυρηνικό αντιδραστήρα να εισέρχεται σε επικίνδυνες καταστάσεις δεν είναι αξιοσύστατο. Το σύστημα που χρειάζεται για πειράματα μπορεί να μην υπάρχει ακόμη: αυτό είναι τυπικό για συστήματα που πρόκειται να σχεδιαστούν ή να κατασκευαστούν.

7 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 Οι ελλείψεις της πειραματικής μεθόδου μας οδηγούν στην έννοια του μοντέλου. Εάν αναπτύξουμε ένα μοντέλο ενός συστήματος, αυτό το μοντέλο μπορεί να εξεταστεί και ίσως να απαντήσει σε αρκετές ερωτήσεις σχετικά με το πραγματικό σύστημα εάν το μοντέλο είναι αρκετά πραγματικό..2 Η έννοια του Μοντέλου (The Model Concept) Με δεδομένους τους προηγούμενους ορισμούς περί συστήματος και πειράματος μπορούμε τώρα να προσπαθήσουμε να ορίσουμε την έννοια του μοντέλου: Το μοντέλο ενός συστήματος είναι οτιδήποτε που ένα πείραμα μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό για να απαντήσει σε ερωτήσεις για το σύστημα. (A model of a system is anything an "experiment" can be applied to in order to answer questions about that system). Αυτό σημαίνει ότι ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει απαντήσεις για ένα σύστημα χωρίς να κάνουμε πειράματα στο πραγματικό σύστημα. Αντί αυτού εκτελούμε απλοποιημένα πειράματα στο μοντέλο, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα απλοποιημένο σύστημα το οποίο αντανακλά ιδιότητες του πραγματικού συστήματος. Στην πιο απλή περίπτωση ένα μοντέλο μπορεί ακριβώς να είναι ένα τμήμα πληροφορίας η οποία χρησιμοποιείται να απαντήσει σε ερωτήματα για το σύστημα. Δεδομένου του ορισμού, οποιοδήποτε μοντέλο επίσης πληροί τις προϋποθέσεις ενός συστήματος. Τα μοντέλα, όπως ακριβώς τα συστήματα, είναι ιεραρχικά στη φύση. Μπορούμε να περικόψουμε ένα τμήμα ενός μοντέλου, το οποίο γίνεται νέο μοντέλο που είναι βάσιμο για ένα υποσύνολο των πειραμάτων για τα οποία το αρχικό μοντέλο ήταν βάσιμο. Ένα μοντέλο πάντοτε σχετίζεται με το σύστημα το οποίο μοντελοποιεί και τα πειράματα τα οποία μπορεί να υποστεί. Η έκφραση όπως «ένα μοντέλο ενός συστήματος δεν είναι βάσιμο» είναι ασήμαντη χωρίς την αναφορά του σχετικού συστήματος και των πειραμάτων. Ένα μοντέλο ενός συστήματος μπορεί να είναι βάσιμο για ένα πείραμα στο μοντέλο και μη βάσιμο για κάποιο άλλο πείραμα. Ο όρος επαλήθευση του μοντέλου πάντοτε αναφέρεται σε ένα πείραμα ή σε μια κλάση από πειράματα για εκτέλεση. Ομιλούμε για διαφορετικά είδη μοντέλων ανάλογα το πως το μοντέλο αντιπροσωπεύεται: Διανοητικό μοντέλο (Mental model) μια έκφραση σαν την «ένα άτομο είναι αξιόπιστο» μας βοηθά να απαντήσουμε σε ερωτήσεις για εκείνου του ατόμου τη συμπεριφορά σε διάφορες καταστάσεις. Λεκτικό μοντέλο (Verbal model) αυτό το είδος του μοντέλου περιγράφεται με λέξεις. Για παράδειγμα, η φράση «Περισσότερα ατυχήματα θα συμβούν εάν το όριο της ταχύτητας αυξηθεί» είναι ένα παράδειγμα λεκτικού μοντέλου. Τα έμπειρα συστήματα είναι μια τεχνολογία για την τυποποίηση λεκτικών μοντέλων. Φυσικό μοντέλο (Verbal model) αυτό είναι ένα φυσικό αντικείμενο το οποίο μιμείται μερικές ιδιότητες ενός πραγματικού συστήματος, για να απαντήσει σε ερωτήσεις γύρο από το σύστημα. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια σχεδίων από τεχνουργήματα όπως κτίρια, αεροπλάνα, κλπ., συνήθως κατασκευάζουμε μικρά φυσικά μοντέλα με την ίδια μορφή και εμφάνιση όπως τα πραγματικά αντικείμενα προς μελέτη σχετικά με τις αεροδυναμικές ιδιότητες και αισθητική. Μαθηματικό μοντέλο (Mathematical model) μια περιγραφή ενός συστήματος όπου οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών του συστήματος εκφράζονται με μαθηματικούς τύπους. Οι μεταβλητές μπορεί να είναι μετρήσιμες ποσότητες όπως μέγεθος, μήκος, βάρος, θερμοκρασία, επίπεδο ανεργίας, ροή

8 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 πληροφορίας, bit rate, κλπ. Οι περισσότεροι νόμοι της φύσης είναι μαθηματικά μοντέλα με αυτή την έννοια. Για παράδειγμα, ο νόμος του Ohm περιγράφει τη σχέση μεταξύ ρεύματος και τάσης για την αντίσταση, οι νόμοι του Newton περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ ταχύτητας, επιτάχυνσης, μάζας, δύναμης, κλπ. Τα είδη μοντέλων που εμείς θα ασχοληθούμε είναι μαθηματικά μοντέλα που αντιπροσωπεύονται με διάφορους τρόπους, πχ., σαν εξισώσεις, συναρτήσεις, προγράμματα υπολογιστών, κλπ. Τεχνουργήματα που αντιπροσωπεύονται με μαθηματικά μοντέλα σε έναν υπολογιστή συχνά αποκαλούνται εικονικά πρότυπα (virtual prototypes). Η διαδικασία κατασκευής και εξέτασης τέτοιων μοντέλων ονομάζεται εικονική προτυποποίηση. Μερικές φορές ο όρος φυσική μοντελοποίηση (physical modeling) χρησιμοποιείται επίσης για τη διαδικασία κατασκευής μαθηματικών μοντέλων φυσικών συστημάτων στον υπολογιστή εάν η δομική και συνθετική διαδικασία είναι ίδια με εκείνη για την κατασκευή φυσικών συστημάτων..3 Προσομοίωση (Simulation) Στην προηγούμενη ενότητα αναφέραμε τη δυνατότητα εκτέλεσης «πειραμάτων» στα μοντέλα αντί στα πραγματικά συστήματα που αντιστοιχούν στα μοντέλα. Αυτή είναι πράγματι μια από τις κύριες χρήσεις των μοντέλων, και δεικνύεται με τον όρο προσομοίωση (simulation), από το Λατινικό simulare, το οποίο σημαίνει προσποίηση. Ορίζουμε την προσομοίωση ως εξής: Προσομοίωση είναι ένα πείραμα που εκτελείται σε ένα μοντέλο. (A simulation is an experiment performed on a model). Σε αναλογία με τον προηγούμενο ορισμό του μοντέλου, αυτός ο ορισμός δεν απαιτεί το μοντέλο να αντιπροσωπευθεί σε μορφή μαθηματική ή πρόγραμμα υπολογιστή. Αλλά, στη συνέχεια της ενότητας εμείς θα συγκεντρωθούμε σε μαθηματικά μοντέλα, πρωτίστως εκείνα τα οποία έχουν τη μορφή που είναι αντιπροσωπευτική σε υπολογιστές. Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα από τέτοια πειράματα ή προσομοιώσεις: Προσομοίωση μιας βιομηχανικής διεργασίας όπως σιδήρου ή χαρτιού, για την εκμάθηση της συμπεριφοράς κάτω από διαφορετικές λειτουργικές συνθήκες για τη βελτίωση της διεργασίας. Προσομοίωση συμπεριφοράς οχήματος, πχ., ενός αυτοκινήτου ή αεροπλάνου, για το σκοπό παροχής πραγματικής εκπαίδευσης χειριστή. Προσομοίωση ενός απλοποιημένου μοντέλου από packet-switched δικτύου υπολογιστών, για την εκμάθηση για τη συμπεριφορά κάτω από διαφορετικά φορτία για την αύξηση της απόδοσης. Είναι σπουδαίο να διευκρινιστεί ότι η περιγραφή των μερών των πειραμάτων και του μοντέλου μιας προσομοίωσης είναι εννοιολογικά ξεχωριστές οντότητες. Από την άλλη πλευρά, αυτές οι δυο πτυχές της προσομοίωσης ανήκουν μαζί αν και είναι ξεχωριστές. Για παράδειγμα, ένα μοντέλο είναι βάσιμο μόνο για κάποια κλάση πειραμάτων. Μπορεί όμως να είναι χρήσιμο να οριστεί ένα πλαίσιο πειραμάτων που σχετίζονται με αυτό το μοντέλο, τα οποία ορίζουν τις συνθήκες που χρήζουν να ικανοποιούνται για βάσιμα πειράματα. Εάν το μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύεται σε εκτελέσιμη μορφή σε έναν υπολογιστή, τότε οι προσομοιώσεις μπορεί να γίνουν με αριθμητικά πειράματα, ή σε μη αριθμητικές περιπτώσεις με υπολογίσιμα πειράματα. Αυτός είναι ο πιο απλός και ασφαλής τρόπος εκτέλεσης πειραμάτων, με το επιπρόσθετο πλεονέκτημα ότι στην ουσία όλες οι μεταβλητές του μοντέλου είναι παρατηρήσιμες και ελεγχόμενες. Αλλά, η αξία των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης είναι εντελώς

9 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από 37 εξαρτώμενη στο πόσο καλά το μοντέλο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα σχετικά με τις ερωτήσεις που πρέπει να απαντηθούν από την προσομοίωση. Εκτός από τα πειράματα, η προσομοίωση είναι η μόνη τεχνική η οποία είναι γενικά εφαρμόσιμη για ανάλυση της συμπεριφοράς αυθαίρετων συστημάτων. Αναλυτικές τεχνικές είναι καλύτερες από τις προσομοιώσεις, αλλά συνήθως εφαρμόζονται μόνο κάτω από ένα σύνολο από απλοποιημένες συνθήκες, οι οποίες συχνά δεν μπορεί να δικαιολογηθούν. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι ασυνήθιστο να γίνει συνδυασμός αναλυτικών τεχνικών και προσομοίωσης, πχ., η προσομοίωση να χρησιμοποιηθεί όχι μόνη της αλλά με αναλυτικές ή ημιαναλυτικές τεχνικές..4 Λόγοι για Προσομοίωση (Reasons for Simulation) Υπάρχουν αρκετοί καλοί λόγοι για να κάνουμε προσομοιώσεις αντί να κάνουμε πειράματα σε πραγματικά συστήματα: Τα πειράματα είναι πολύ ακριβά, πολύ επικίνδυνα, ή το σύστημα για να διερευνηθεί δεν υπάρχει ακόμη. Υπάρχουν κύριες δυσκολίες για πειραματισμό με πραγματικά συστήματα, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Η κλίμακα χρόνου των δυναμικών συστημάτων δεν είναι συμβατή με εκείνη του πειράματος. Για παράδειγμα, απαιτείται εκατομμύρια χρόνια για να δούμε μικρές αλλαγές στην εξέλιξη του σύμπαντος, ενώ παρόμοιες αλλαγές μπορεί γρήγορα να παρατηρηθούν σε μια προσομοίωση με υπολογιστές του σύμπαντος. Οι μεταβλητές μπορεί να μην είναι προσβάσιμες. Στην προσομοίωση όλες οι μεταβλητές μπορεί να μελετηθούν και να ελεγχθούν, ακόμη και εκείνες που δεν είναι προσβάσιμες στο πραγματικό σύστημα. Εύκολη μεταχείριση των μοντέλων. Χρησιμοποιώντας προσομοίωση, είναι εύκολη η μεταχείριση των μεταβλητών του συστήματος, ακόμη και πέρα από το φυσικό εύρος κάποιου ιδιαίτερου συστήματος. Για παράδειγμα, η μάζα ενός σώματος σε μια προσομοίωση με υπολογιστή μπορεί να αυξηθεί από 4 σε 5 Kg με ένα πάτημα ενός πλήκτρου, ενώ αυτή η αλλαγή ίσως να είναι δύσκολη να πραγματοποιηθεί στο φυσικό σύστημα. Καταστολή διαταραχών. Σε μια προσομοίωση ενός μοντέλου είναι δυνατόν να κατασταλούν οι διαταραχές οι οποίες μπορεί να είναι αναπόφευκτες σε μετρήσεις στο πραγματικό σύστημα. Αυτό μπορεί να μας επιτρέψει να διαχωρίζουμε ειδικές επιδράσεις και έτσι να αποκτούμε καλύτερη κατανόηση από αυτές τις επιδράσεις. Καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων. Συχνά, οι προσομοιώσεις γίνονται λόγω που επιτρέπουν την καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων όπως μικρές μη γραμμικότητες ή άλλες λεπτομέρειες μερικών μερών ενός συστήματος, οι οποίες μπορεί να μα βοηθήσουν να κατανοήσουμε καλύτερα τις πρωταρχικές επιδράσεις..5 Κίνδυνοι της Προσομοίωσης (Dangers of Simulation) Η ευκολία των προσομοιώσεων είναι επίσης το πιο σοβαρό τους μειονέκτημα: είναι αρκετά εύκολο για τον χρήστη να ξεχάσει τους περιορισμούς και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η προσομοίωση είναι βάσιμη, και έτσι να διεξάγει λάθος συμπεράσματα από την προσομοίωση. Για να μειωθούν αυτοί οι κίνδυνοι, πρέπει πάντοτε να προσπαθούμε να συγκρίνουμε το λιγότερο μερικά αποτελέσματα από την προσομοίωση ενός μοντέλου με εκείνα από το πραγματικό σύστημα. Επίσης υποβοηθάει να γνωρίζουμε τις παρακάτω συνήθεις πηγές από προβλήματα όταν χρησιμοποιούμε προσομοιώσεις: Να ερωτευτείς το μοντέλο (Falling in love with a model Pygmalion effect). Είναι εύκολο να ενθουσιαστείς με το μοντέλο και να ξεχάσεις το πλαίσιο το πειραματικό, δηλ., ότι το μοντέλο δεν είναι ο πραγματικός κόσμος αλλά μόνο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα κάτω από μερικές συνθήκες. Εισάγοντας πραγματικότητα στους περιορισμούς ενός μοντέλου. Ένα παράδειγμα είναι η διαμόρφωση των κοινωνιών μας με βάση τις τρέχουσες

10 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 μοντέρνες οικονομικές θεωρίες που έχουν μια απλοποιημένη άποψη της πραγματικότητας, και αγνοούν πολλές σπουδαίες πτυχές όπως τις ανθρώπινες συμπεριφορές, τις κοινωνίες, και τη φύση. Ξεχνώντας το επίπεδο ακρίβειας του μοντέλου. Όλα τα μοντέλα έχουν υποθέσεις απλοποίησης και πρέπει να τις γνωρίζουμε για να ερμηνεύσουμε σωστά τα αποτελέσματα. Για αυτές τις αιτίες, ενώ οι αναλυτικές τεχνικές είναι γενικά περισσότερο περιοριστικές λόγω που έχουν πολύ μικρότερο πεδίο εφαρμογών, τέτοιες τεχνικές είναι περισσότερο ισχυρές όταν μπορούν να εφαρμοστούν. Ένα αποτέλεσμα από την προσομοίωση είναι βάσιμο μόνο για ένα ειδικό σύνολο από δεδομένα στην είσοδό τους. Χρειάζονται πολλές προσομοιώσεις για να αποκτηθεί κατανόηση ενός συστήματος. Έτσι, εάν αναλυτικές τεχνικές είναι εφαρμόσιμες αυτές θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αντί για προσομοίωση ή σαν συμπλήρωμα..6 Κατασκευή Μοντέλου (Building Models) Υπάρχουν στην ουσία δυο κύριες πηγές από σχετικά με συστήματα γενικές γνώσεις που χρειάζονται για τη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων συστημάτων: Η συγκεντρωτική γενική εμπειρία σε σχετικά πεδία επιστημών και τεχνολογίας η οποία βρίσκεται στη βιβλιογραφία και διατέθηκε από ειδικούς σε αυτές τις περιοχές. Αυτό περιλαμβάνει τους φυσικούς νόμους, δηλ. νόμοι του Newton για μηχανολογικά συστήματα, νόμοι του Kirchhoff για ηλεκτρολογικά συστήματα, προσεγγιστικές σχέσεις για μη τεχνικά συστήματα που βασίζονται στις οικονομικές ή κοινωνικές θεωρίες, κλπ. Το ίδιο το σύστημα, δηλ., παρατηρήσεις από και πειράματα σε ένα σύστημα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε. Επιπρόσθετα στην παραπάνω γνώση συστημάτων, υπάρχει επίσης γνώση γύρω από μηχανισμούς για τη μεταχείριση και χρήση γεγονότων στη κατασκευή μοντέλων για συγκεκριμένες εφαρμογές και πεδία, καθώς και γενικοί μηχανισμοί για τη μεταχείριση των γεγονότων και μοντέλων, δηλ.: Εμπειρίες εφαρμογών (Application expertise) κατανόηση της περιοχής εφαρμογών και τεχνικών για χρήση όλων των γεγονότων σχετικά με τη μοντελοποίηση της συγκεκριμένης εφαρμογής. Λογισμικό και μηχανική γνώσης (Software and knowledge engineering) γενική γνώση γύρω από το ορισμό, μεταχείριση, χρήση, και αντιπροσώπευση μοντέλων και λογισμικό, δηλ. object orientation, component system techniques, expert system technology, κλπ. Ποια είναι τότε μια κατάλληλη διαδικασία ανάλυσης και σύνθεσης για να χρησιμοποιηθεί στην εφαρμογή αυτών των πηγών πληροφοριών για την κατασκευή μοντέλων συστημάτων? Γενικά πρώτα προσπαθούμε να αναγνωρίσουμε τα κύρια μέρη ενός συστήματος και το είδος αλληλεπίδρασης αυτών των μερών. Κάθε μέρος διασπάται σε μικρότερα μέρη (subcomponents - υπομέρη) μέχρις ότου το καθένα να ταιριάζει την περιγραφή ενός υπάρχοντος μοντέλου από κάποια βιβλιοθήκη μοντέλων, ή να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους νόμους τους φυσικούς ή άλλες σχέσεις για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά του. Μετά εκφράζουμε τις αλληλεπιδράσεις τους και δημιουργούμε μαθηματικές τυποποιήσεις για αυτές τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ αυτών των μερών του μοντέλου. Μερικά μέρη μπορεί να έχουν άγνωστες ή μερικώς γνωστές παραμέτρους και συντελεστές. Αυτές συχνά μπορεί να βρεθούν με το ταίριασμα πειραματικά μετρήσιμων δεδομένων από το πραγματικό σύστημα με το μαθηματικό μοντέλο χρησιμοποιώντας τεχνικές ταυτοποίησης συστημάτων (system identification), οι οποίες σε απλές περιπτώσεις καταλήγουν σε βασικές τεχνικές όπως ταίριασμα

11 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 συναρτήσεων και ανάλυση παλινδρόμησης (curve fitting and regression analysis). Αλλά, προηγμένες εκδόσεις για ταυτοποίηση συστημάτων μπορούν ακόμη να προσδιορίσουν τη μορφή των μαθηματικών μοντέλων επιλεγμένες από ένα σύνολο από βασικές δομές μοντέλων..7 Ανάλυση Μοντέλου (Analyzing Models) Η προσομοίωση είναι μια από τις κοινές τεχνικές για τη χρήση μοντέλων για απαντήσεις σε ερωτήσεις γύρω από τα συστήματα. Αλλά, επίσης υπάρχουν άλλες μέθοδοι για ανάλυση μοντέλων όπως ανάλυση ευαισθησίας και διάγνωση βάσει μοντέλων (sensitivity analysis and model based diagnosis), ή αναλυτικές μαθηματικές τεχνικές στις περιοριστικές περιπτώσεις όπου λύσεις μπορεί να βρεθούν σε κλειστή αναλυτική μορφή..8 Ανάλυση Ευαισθησίας Μοντέλου (Sensitivity Analysis) Η ανάλυση ευαισθησίας πραγματεύεται την ερώτηση πόσο ευαίσθητη είναι η συμπεριφορά του μοντέλου σε αλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου. Αυτή είναι μια πολύ κοινή ερώτηση στη σχεδίαση και ανάλυση συστημάτων. Για παράδειγμα, ακόμη και σε καλά προσδιορισμένα πεδία εφαρμογών όπως ηλεκτρολογικά συστήματα, οι τιμές των αντιστάσεων σε κυκλώματα τυπικά είναι γνωστές μόνο με ακρίβεια 5 % με %. Εάν υπάρχει πολύ μεγάλη ευαισθησία στα αποτελέσματα προσομοιώσεων σε παραμέτρους του μοντέλου, πρέπει να είμαστε καχύποπτοι για το εάν είναι βάσιμο το μοντέλο. Σε τέτοιες περιπτώσεις μικρές τυχαίες μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες τυχαίες μεταβολές στη συμπεριφορά. Από την άλλη πλευρά, εάν η προσομοιωμένη συμπεριφορά δεν είναι πολύ ευαίσθητη σε μικρές μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου, υπάρχει η εκδοχή ότι το μοντέλο με ικανοποιητική ακρίβεια αντανακλά τη συμπεριφορά του πραγματικού συστήματος. Τέτοια ευρωστία στη συμπεριφορά είναι μια επιθυμητή ιδιότητα όταν σχεδιάζουμε νέα προϊόντα, λόγω που διαφορετικά ίσως να γίνει ακριβή η βιομηχανική τους παραγωγή διότι κάποιες ανοχές θα πρέπει να διατηρηθούν πολύ μικρές. Ωστόσο, υπάρχει επίσης ένας αριθμός από παραδείγματα πραγματικών συστημάτων τα οποία είναι πολύ ευαίσθητα σε μεταβολές συγκεκριμένων παραμέτρων του μοντέλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις αυτή η ευαισθησία θα πρέπει να αντανακλάται στα μοντέλα αυτών των συστημάτων..9 Διάγνωση Βάσει Μοντέλου (Model-Based Diagnosis) Η διάγνωση βάσει μοντέλου είναι μια τεχνική που λίγο πολύ σχετίζεται με την ανάλυση ευαισθησίας. Θέλουμε να βρούμε τα αίτια από κάποια συμπεριφορά ενός συστήματος αναλύοντας ένα μοντέλο από αυτό το σύστημα. Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε βρούμε τα αίτια από προβληματικές και λανθασμένες συμπεριφορές. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα αυτοκίνητο, το οποίο είναι πολύπλοκο σύστημα αποτελούμενο από πολλά αλληλεπιδρόμενα μέρη όπως μια μηχανή, ένα σύστημα ανάφλεξης, ένα σύστημα κιβώτιο ταχυτήτων, ανάρτηση (συσπανσιόν), τροχούς, κλπ. Κάτω από ένα σύνολο από καλά-ορισμένες λειτουργικές συνθήκες το καθένα από αυτά τα μέρη μπορεί να θεωρηθεί ότι εκθέτει μια σωστή συμπεριφορά εάν κάποιες ποσότητες είναι εντός συγκεκριμένων διαστημάτων τιμών. Μια μετρήσιμη ή υπολογίσιμη τιμή εκτός τέτοιου διαστήματος μπορεί να δεικνύει κάποιο λάθος σε αυτό το μέρος, ή σε κάποιο άλλο που επηρεάζει αυτό. Αυτό το είδος ανάλυσης ονομάζεται διάγνωση βάσει μοντέλου.. Επικύρωση και Επαλήθευση Μοντέλου (Model Verification and Validation) Έχουμε προηγουμένως αναφέρει τους κινδύνους της προσομοίωσης, δηλ. Όταν ένα μοντέλο δεν είναι βάσιμο για ένα σύστημα όσον αφορά την επιδιωκόμενη

12 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 προσομοίωση. Πως μπορούμε να επικυρώσουμε ότι το μοντέλο είναι καλό και αξιόπιστο μοντέλο, δηλ., ότι είναι βάσιμο για την επιδιωκόμενη χρήση του? Αυτό μπορεί να είναι πολύ δύσκολο και μερικές φορές μπορούμε να ελπίζουμε μόνο να πάρουμε μερικές απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα. Ωστόσο, οι παρακάτω τεχνικές είναι χρήσιμες το λιγότερο μερικώς να επικυρώνουν ότι το μοντέλο είναι βάσιμο: Με κριτική επανεξέτασε τις υποθέσεις και απλοποιήσεις πίσω από το μοντέλο, συμπεριλαμβανομένων των διαθέσιμων πληροφοριών γύρω από το πεδίο εγκυρότητας όσο αφορά αυτές τις υποθέσεις. Σύγκρινε απλοποιημένες παραλλαγές του μοντέλου με αναλυτικές λύσεις για ειδικές περιπτώσεις. Σύγκρινε τα πειραματικά αποτελέσματα για περιπτώσεις όταν είναι δυνατόν. Διεξήγαγε ανάλυση ευαισθησίας του μοντέλου. Εάν τα αποτελέσματα προσομοίωσης είναι σχετικά μη ευαίσθητα σε μικρές παραλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου, έχουμε ισχυρότερη πεποίθηση να πιστεύουμε ότι το μοντέλο είναι βάσιμο. Διεξήγαγε εσωτερικό έλεγχο συνέπειας του μοντέλου, δηλ., έλεγξε τις διαστάσεις ή τις μονάδες ότι είναι συγκρίσιμες με όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, στην εξίσωση του Newton F = m a, η μονάδα [N] στην αριστερή πλευρά είναι συνεπής με [kg*m*s^-2] στη δεξιά πλευρά. Στην τελευταία περίπτωση είναι δυνατόν εργαλεία αυτόματα να επαληθεύουν ότι οι διαστάσεις είναι συνεπείς εάν οι ιδιότητες των μονάδων είναι διαθέσιμες για τις ποσότητες του μοντέλου. Αυτή η λειτουργικότητα όμως δεν είναι ακόμη διαθέσιμη τα περισσότερα σημερινά εργαλεία προσομοίωσης.. Είδη Μαθηματικών Μοντέλων (Kinds of Mathematical Models) Διαφορετικά είδη μαθηματικών μοντέλων μπορεί να χαρακτηριστούν από διαφορετικές ιδιότητες που αντανακλούν τη συμπεριφορά των συστημάτων που μοντελοποιούν. Μια σπουδαία πτυχή είναι εάν το μοντέλο ενσωματώνει δυναμικές χρονικά εξαρτώμενες ιδιότητες ή είναι στατικό. Μια άλλη διαχωριστική γραμμή είναι ανάμεσα σε μοντέλα που εξελίσσονται συνεχώς στο χρόνο, και αυτά τα οποία αλλάζουν σε διακριτά σημεία στο χρόνο. Μια τρίτη διαχωριστική γραμμή είναι μεταξύ ποσοτικών και ποιοτικών μοντέλων. Μερικά μοντέλα περιγράφουν φυσικές κατανομές ποσοτήτων, όπως μάζα, ενώ άλλα μοντέλα είναι συγκεντρωτικά με την έννοια ότι η φυσικά κατανεμημένη ποσότητα προσεγγίζεται με το να είναι συγκεντρωτικά μαζί και αντιπροσωπεύεται με μια μεταβλητή, όπως ένα σημείο μάζας. Μερικά φαινόμενα στη φύση περιγράφονται με ευκολία από στοχαστικές διεργασίες και κατανομές πιθανοτήτων, όπως θορυβώδεις ραδιοεκπομπές ή ατομικού επιπέδου κβαντική φυσική. Τέτοια μοντέλα μπορεί να ονομαστούν στοχαστικά ή πιθανοτήτων μοντέλα όπου η συμπεριφορά μπορεί να αντιπροσωπευτεί μόνο με στατιστικές έννοιες, ενώ τα ντετερμινιστικά μοντέλα επιτρέπουν τη συμπεριφορά να αντιπροσωπευτεί χωρίς αβεβαιότητα. Ωστόσο, ακόμη και τα στοχαστικά μοντέλα μπορούν να προσομοιωθούν με ντετερμινιστικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές λόγω που οι τυχαίες αριθμητικές ακολουθίες που συχνά χρησιμοποιούνται να αντιπροσωπεύουν στοχαστικές μεταβλητές μπορούν να παραχθούν ξανά δεδομένου της ίδιας τιμής γεννήτριας (seed value). Το ίδιο φαινόμενο μπορεί συχνά να μοντελοποιηθεί σαν να είναι στοχαστικό ή ντετερμινιστικό ανάλογα το επίπεδο λεπτομερειών στο οποίο μελετάται. Μερικές πτυχές σε ένα επίπεδο είναι αφηρημένες ή κατά μέσο όρο αποκρυμμένες στο επόμενο υψηλότερο επίπεδο. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη μοντελοποίηση από αέρια σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομερειών αρχίζοντας από το επίπεδο

13 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από 37 κβαντομηχανικής στοιχειώδους επίπεδο σωματιδίων ή μορίων, όπου οι θέσεις των σωματιδίων περιγράφονται με κατανομές πιθανοτήτων: Στοιχειώδεις σωματίδια (Elementary particles - orbitals) στοχαστικά μοντέλα. Άτομα (ιδανικό μοντέλο αερίων - ideal gas model) ντετερμινιστικά μοντέλα. Ομάδες ατόμων (στατιστική μηχανική - statistical mechanics) στοχαστικά μοντέλα. Όγκοι αερίων (πίεση και θερμοκρασία - pressure and temperature) ντετερμινιστικά μοντέλα. Πραγματικά αέρια - Real gases (αναταραχή - turbulence) στοχαστικά μοντέλα. Ιδανική μίξη - Ideal mixer (συγκεντρώσεις - concentrations) ντετερμινιστικά μοντέλα. Έχει ενδιαφέρον να επισημανθούν τα είδη των αλλαγών των μοντέλων μεταξύ στοχαστικών και ντετερμινιστικών που γίνονται ανάλογα με τι πτυχές θέλουμε να μελετήσουμε. Λεπτομερή στοχαστικά μοντέλα μπορεί κατά μέσο όρο να συμπτυχθούν σαν ντετερμινιστικά όταν προσεγγίζονται στο επόμενο υψηλότερο μακροσκοπικό επίπεδο στην ιεραρχία. Από την άλλη πλευρά, στοχαστικά μοντέλα όπως αναταραχής μπορεί να εισαχθούν σε μακροσκοπικά επίπεδα σαν αποτέλεσμα χαοτικών φαινομένων εξαιτίας αλληλεπιδράσεων μεταξύ ντετερμινιστικών μερών.

14 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από Octave-Matlab Γρήγορη Αναφορά (Octave-Matlab Quick Reference) 2. Εκκίνηση Τερματισμός Octave Μετά την εγκατάσταση της εφαρμογής Octave το εικονίδιό της είναι το εξής: Με την εκκίνησή του εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο ανάλογα με την έκδοση που έχει εγκατασταθεί: Για να γίνει έναρξη εργασιών στο Octave απλά στην προτροπή > του παραπάνω παραθύρου γράφουμε τις διάφορες εντολές με τα ορίσματά τους και στη συνέχεια πατώντας το "ENTER αυτές εκτελούνται και στο παράθυρο εμφανίζονται τα αποτελέσματά τους. Έτσι η σειριακή εισαγωγή διαφόρων κατάλληλων εντολών και η εκτέλεσή τους απαρτίζουν το πρόγραμμα στο Octave το οποίο χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση (προσομοίωση) κάποιου συγκεκριμένου προβλήματος. Για βοήθεια χρήσης και σύνταξης των διαθέσιμων εντολών στο Octave εισάγουμε την εντολή help. Ο τερματισμός του Octave γίνεται με την εισαγωγή της εντολής exit. Επίσης παράλληλα με την εγκατάσταση του Octave εγκαθίσταται και η εφαρμογή SciTE (βλ. παρακάτω εικόνα). Την ενεργοποιούμε κανονικά όπως κάθε πρόγραμμα ή την 'καλούμε' μέσα από το Octave με την εντολή edit. Στην SciTE γράφουμε τις διάφορες εντολές όπως θα τις γράφαμε και στο Octave. Αποθηκεύουμε το αρχείο που δημιουργήσαμε με την κατάληξη.m (π.χ. example.m, αυτό το αρχείο ονομάζεται m-file). Επιστρέφουμε στο Octave και όλες αυτές οι εντολές του m-file μπορούν να εκτελεστούν από το Octave εισάγοντας σαν εντολή μόνο το όνομα του αρχείου μας (χωρίς την προέκταση.m).

15 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Ακόμη η εφαρμογή SciTE μπορεί να διαχωριστεί σε δυο τμήματα που ρυθμίζονται από το View/Output. Στο αριστερό τμήμα εισάγουμε τις εντολές Octave. Όταν ενεργοποιήσουμε το Tools/Go αυτές οι εντολές του m-file εκτελούνται (εκτός της εφαρμογής Octave) και βλέπουμε τα αποτελέσματά τους στο δεξιό τμήμα της. Για το MATLAB η εκκίνησή του γίνεται με διπλό κλικ στο εικονίδιό του και ο τερματισμός του είτε κάνοντας κλικ στο πάνω-δεξιά κουτάκι με την ένδειξη "x" ή κάνοντας κλικ στο πάνω-αριστερά εικονίδιο της εφαρμογής και μετά επιλέγοντας close/exit όπως συνήθως γίνεται σε κάθε εφαρμογή που τρέχει στα Windows XP. Οι εντολές που τρέχουν στο Octave ή στο SciTE επίσης τρέχουν και στο MATLAB. Έτσι το Octave και με τον editor SciTE θεωρούνται κλώνοι του MATLAB. Το MATLAB όμως έχει περισσότερες εντολές και μερικές από αυτές συντάσσονται διαφορετικά από ότι στο Octave SciTE. Έτσι μερικές εντολές του MATLAB δεν τρέχουν καν στο Octave SciTE. Επίσης το MATLAB παρέχει διάφορα toolboxes. Αυτά είναι ένα σύνολο ομαδοποιημένων MATLAB εντολών και γραφικών δυνατοτήτων για την εύκολη επίλυση διαφόρων προβλημάτων σε αρκετούς επιστημονικούς τομείς. Τέλος το MATLAB παρέχει και την εφαρμογή Simulink με πλήθος εικονικών αντικειμένων που εύκολα χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση προσομοιώσεων σε γραφικό περιβάλλον διαφόρων προβλημάτων. Προγραμματιστικά όμως το Octave - SciTE έχουν αρκετές δυνατότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατάλληλα για την κατασκευή εξίσου ικανοποιητικών προσομοιώσεων επίλυσης διαφόρων προβλημάτων. 2.2 Διανύσματα - Πίνακες (Vectors - Matrices) στο Octave - Matlab Τετραγωνικές αγκύλες καθορίζουν ονομαζόμενους με γράμματα πίνακες. Τα κόμματα διαχωρίζουν τα στοιχεία του πίνακα στην ίδια γραμμή. Τα ελληνικά ερωτηματικά (semicolons) διαχωρίζουν τις γραμμές. Τα κόμματα μπορεί να αντικατασταθούν με κενά (spaces) και τα semicolons μπορεί να αντικατασταθούν με μια ή περισσότερες νέες γραμμές. Τα στοιχεία ενός πίνακα μπορεί να είναι αυθαίρετες εκφράσεις, με την προϋπόθεση όλες οι διαστάσεις να συμφωνούν. Ισχύουν τα εξής: [x, y,... ] εισάγεται ένα διάνυσμα γραμμής (row vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [x; y;... ] εισάγεται ένα διάνυσμα στήλης (column vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [w, x; y, z] εισάγεται ένας 2x2 πίνακας (matrix) με στοιχεία στην πρώτη γραμμή w, x και στοιχεία στη δεύτερη γραμμή y, z.

16 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από Αριθμητικοί & Αυξητικοί Τελεστές (Arithmetic & Increment Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. x + y Πρόσθεση (Addition) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x - y Αφαίρεση (Subtraction) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x * y Πολλαπλασιασμός αριθμών ή συμβατών πινάκων (matrix multiplication) x.* y Στοιχείο προς στοιχείο πολλαπλασιασμός (element by element multiplication) x / y Δεξιά διαίρεση (right division, conceptually equivalent to (inverse (y') * x')') x./ y Στοιχείο προς στοιχείο δεξιά διαίρεση (element by element right division) x \ y Αριστερή διαίρεση (left division, conceptually equivalent to inverse (x) * y) x.\ y Στοιχείο προς στοιχείο αριστερή διαίρεση (element by element left division) x ^ y Τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) x.^ y Στοιχείο προς στοιχείο τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) - x Αντίθεση (negation) + x unary plus (a no-op) x ' complex conjugate transpose x.' Μετάθεση (transpose) ++ x (-- x) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return new value x ++ (x --) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return old value 2.4 Συγκριτικοί & Boolean Τελεστές (Comparison and Boolean Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. Αυτοί οι τελεστές δουλεύουν βάσει στοιχείο-προς-στοιχείο, αξιολογώντας πάντοτε και τα δυο ορίσματα. x < y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από y x!= y Αληθές εάν x δεν είναι ίσο του y x <= y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από ή ίσο του y x & y Αληθές εάν και τα δύο x και y είναι αληθή x == y Αληθές εάν x είναι ίσο του y x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα από τα δύο x ή y είναι αληθή x >= y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x && y Αληθές εάν και τα δύο x και y από ή ίσο του y είναι αληθή x > y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα του y από τα δύο x ή y είναι αληθή 2.5 Γραμμική Άλγεβρα (Linear Algebra) στο Octave Matlab Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. det (a) Υπολογισμός της ορίζουσας (determinant) ενός nxn πίνακα norm (a, p) Υπολογισμός του p- μέτρου (p-norm) ενός πίνακα

17 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 eig (a) expm (a) inverse (a) Υπολογισμός των ιδιοτιμών (eigenvalues) και ιδιοδιανυσμάτων (eigenvectors) ενός nxn πίνακα Υπολογισμός το εκθετικό (exponential) ενός nxn πίνακα Αντίστροφο του nxn πίνακα a pinv (a) rank (a) Ψευδο-αντίστροφο του πίνακα a Τάξη (rank) του πίνακα a 2.6 Εκφράσεις, Ορισμός Συναρτήσεων (Statements, Defining Functions) Οι εκφράσεις για τις αλγοριθμικές δομές ελέγχου στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. for identifier = expr stmt-list endfor while (condition) stmt-list endwhile break continue return if (συνθήκη) if-body [else elsebody] endif if (συνθήκη) if-body [elseif (συνθήκη) elseif-body] endif Εκτέλεσε μια φορά το stmt-list για κάθε στήλη του expr (Execute stmt-list once for each column of expr). The variable identifier is set to the value of the current column during each iteration. Εκτέλεσε stmt-list εφόσον η συνθήκη είναι αληθής (Execute stmt-list while condition is true). Έξοδος από το άμεσα εσωτερικό βρόγχο (innermost loop) Πήγαινε στην αρχή του άμεσα εσωτερικό βρόγχου (go to beginning of innermost loop) Επιστροφή στη συνάρτηση (return to calling function) Εκτέλεσε if-body if condition is true, εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Εκτέλεσε if-body εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το elseif-body που αντιστοιχεί στην πρώτη elseif συνθήκη που είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Σε μια if έκφραση μπορεί να υπάρχουν οποιοσδήποτε αριθμός από elseif. 2.7 Βασικοί Χειρισμοί Πινάκων (Basic Matrix Manipulations) Οι βασικοί χειρισμοί για τους πίνακες στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. rows (a) Αριθμός γραμμών του a (return number of rows of a) columns (a) Αριθμός στηλών του a return number of columns of a all (a) Έλεγχος για μη μηδενικά στοιχεία (check if all elements of a nonzero) any (a) Έλεγχος για οποιοδήποτε μη μηδενικό (check if any elements of a nonzero) find (a) Επιστρέφει τους δείκτες των μη-μηδενικών στοιχείων (return indices of nonzero elements) sort (a) Βάζει σε τάξη τα στοιχεία κάθε στήλης του a (order elements in each column of a) sum (a) Προσθέτει τα στοιχεία στις στήλες του a (sum elements in columns of a) prod (a) Πολλαπλασιασμός των στοιχείων στις στήλες του a (product of elements in columns of a) min (args) Βρίσκει ελάχιστες τιμές (find minimum values) του args max (args) Βρίσκει μέγιστες τιμές (find maximum values) του args rem (x, y) Βρίσκει το υπόλοιπο της διαίρεσης of x/y (find remainder of

18 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 x/y) reshape (a, m, n) Αναδιαμορφώνει a σε mxn πίνακα (reformat a to be m by n) diag (v, k) Δημιουργεί διαγώνιους πίνακες (create diagonal matrices) linspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με ίση απόσταση στοιχείων (create vector of linearly-spaced elements) logspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με λογαριθμική-κλίμακα στοιχεία (create vector of log-spaced elements) eye (n, m) Δημιουργεί nxm μοναδιαίο πίνακα (create n by m identity matrix) ones (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές ένα (create n by m matrix of ones) zeros (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές μηδέν (create n by m matrix of zeros) Δημιουργεί nxm πίνακα με τυχαίες τιμές από ομοιόμορφη rand (n, m) κατανομή (create n by m matrix of random values from uniform distribution) 2.8 Διαφορικές Διαφορών Εξισώσεις (Equations, ODEs, DAEs, Quadrature) *fsolve *lsode *dassl *quad perror (nm, code) Επίλυση μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (solve nonlinear algebraic equations) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (integrate nonlinear ODEs (uses the Livermore Solver for ODEs)) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές DAEs (integrate nonlinear DAEs) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές συναρτήσεις (integrate nonlinear functions) Για συναρτήσεις που επιστρέφουν αριθμητικούς κώδικες (numeric codes), εκτυπώνει μηνύματα σφαλμάτων για τη συνάρτηση και τον κώδικα (functions that return numeric codes, print error message for named function and given error code) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.9 Επεξεργασία Σημάτων (Signal Processing) fft (a) ifft (a) freqz (args) filter (a, b, x) conv (a, b) hamming (n) hanning (n) Επεξεργασία Σημάτων (Signal & Image Processing) Fast Fourier Transform Αντίστροφο (inverse) FFT FIR filter frequency response (Finite Impulse Response απόκριση συχνότητας) filter by transfer function (φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς) convolve two vectors (συνέλιξη δυο διανυσμάτων) return Hamming window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hamming) return Hanning window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hanning) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο.

19 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) colormap (map) Θέτει το τρέχον σύνολο χρωμάτων (set the current colormap) gray2ind (i, n) Μετατρέπει (convert) gray scale to Octave image image (img, zoom) Εμφανίζει (display) an Octave image matrix imagesc (img, zoom) Εμφανίζει (display) scaled matrix as image imshow (img, map) Εμφανίζει (display) Octave image imshow (i, n) Εμφανίζει (display) gray scale image imshow (r, g, b) Εμφανίζει (display) RGB image ind2gray (img, map) Μετατρέπει (convert) Octave image to gray scale ind2rgb (img, map) Μετατρέπει (convert) indexed image to RGB loadimage (file) Φορτώνει (load) an image file rgb2ind (r, g, b) Μετατρέπει (convert) RGB to Octave image saveimage (file, img, fmt, map) Αποθηκεύει (save) a matrix to file * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2. Πολυώνυμα, Στατιστικά (Polynomials, Statistics) compan (p) companion matrix residue (a, b) partial fraction expansion of ratio a/b conv (a, b) convolution (συνέλιξη) corrcoef (x, y) correlation coefficient deconv (a, b) deconvolve two vectors cov (x, y) covariance poly (a) create polynomial from a matrix mean (a) mean value polyderiv (p) derivative of polynomial median (a) median value polyreduce (p) integral of polynomial std (a) standard deviation polyval (p, x) value of polynomial at x var (a) variance polyvalm (p, x) value of polynomial at x cor (x, y) Compute correlation roots (p) polynomial roots autocor (x, h) Autocorrelation * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.2 Συναρτήσεις Διαγραμμάτων (Plotting Functions) plot (args) 2D plot with linear axes axis (limits) set axis ranges plot3 (args) 3D plot with linear axes xlabel (string) set x-axis label line (args) 2D or 3D line ylabel (string) set y-axis label patch (args) 2D patch zlabel (string) set z-axis label semilogx (args) 2D plot with logarithmic text (x, y, str) x-axis add text to a plot semilogy (args) 2D plot with logarithmic set label in plot legend (string) y-axis key loglog (args) 2D plot with logarithmic grid [on off] axes set grid state bar (args) plot bar charts hold [on off] set hold state

20 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 stairs (x, y) plot stair steps ishold return if hold is on, otherwise stem (x, it y) plot a stem graph mesh (x, y, z) plot 3D surface hist (y, x) create mesh plot histograms meshgrid (x, y) coordinate matrices contour (x, y, z) contour plot title (string) set plot title * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.3 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) Octave function [ret-list] function-name [(arg-list) ] function-body endfunction ret-list may be a single identifier or a comma-separated list of identifiers delimited by square-brackets. arg-list is a comma-separated list of identifiers and may be empty. Παράδειγμα: > function xdot = f (x, t) > r =.25; k =.4; a =.5; b =.6; c =.9; d =.8; > xdot() = r*x()*( - x()/k) - a*x()*x(2)/( + b*x()); > xdot(2) = c*a*x()*x(2)/( + b*x()) - d*x(2); > endfunction 2.4 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) - Matlab Μια Matlab συνάρτηση πρέπει να περιέχει την εντολή: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) για να οριστεί η συνάρτηση functionname με M εισόδους και L εξόδους. Συνήθως είναι καλό να περιλαμβάνονται μερικά σχόλια στην αρχή της συνάρτησης τα οποία περιγράφουν το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και ποιοι οι έξοδοι. Ένα σχόλιο δεικνύεται με "%" στην αρχή της γραμμής. Επίσης, εάν δεν θυμούμαστε το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και έξοδοι, μπορούμε να δώσουμε την εντολή help functionname και το Matlab θα δείξει στην οθόνη τα σχόλια που εισήχθησαν στην αρχή της συνάρτησης. Μετά τα σχόλια έρχεται η εντολή της συνάρτησης: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) Μια απλή Matlab συνάρτηση χρησιμοποιώντας τη δομή που περιγράφτηκε παραπάνω φαίνεται παρακάτω. Δεν είναι υποχρεωτικό να οριστούν οι εσωτερικές μεταβλητές στα αρχικά σχόλια αλλά είναι καλό αυτές να ορίζονται. % Create a sinusoid x with frequency f and phase offset phi % x = cos(2*pi*f*time + phi); plot x for one cycle. % Inputs: scalar: f = frequency; phi = phase offset % Output: vector: x = sinusoid of length (one cycle); % Internal variables: scalar: T = /f = period of x;