ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ. [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ. [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια)"

Transcript

1 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ κ Ηλεκτρονικών Υπολογιστών ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΜΕΑ: Δρ. Α. ΑΝΔΡΕΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ [OCTAVE/MATLAB DIGITAL SIGNAL PROCESSING QUEUES] (Θεωρία και Εργαστήρια) Διδάσκων: Δρ. Α. Π. Λερός Τμήμα Μηχανικών: Ειδικότητα (Τ-Η) Φεβρουάριος 29

2 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ (SYSTEMS AND EXPERIMENTS) Τι είναι σύστημα? Πειράματα (Experiments) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (THE MODEL CONCEPT) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (SIMULATION) ΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ (REASONS FOR SIMULATION) ΚΙΝΔΥΝΟΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (DANGERS OF SIMULATION) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (BUILDING MODELS)....7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (ANALYZING MODELS)....8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (SENSITIVITY ANALYSIS)....9 ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΒΑΣΕΙ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL-BASED DIAGNOSIS).... ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (MODEL VERIFICATION AND VALIDATION).... ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (KINDS OF MATHEMATICAL MODELS) OCTAVE-MATLAB ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ (OCTAVE-MATLAB QUICK REFERENCE) ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ OCTAVE ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΠΙΝΑΚΕΣ (VECTORS - MATRICES) ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ & ΑΥΞΗΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ (ARITHMETIC & INCREMENT OPERATORS) ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟΙ & BOOLEAN ΤΕΛΕΣΤΕΣ (COMPARISON AND BOOLEAN OPERATORS) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΣΤΟ OCTAVE MATLAB ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ, ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (STATEMENTS, DEFINING FUNCTIONS) ΒΑΣΙΚΟΙ ΧΕΙΡΙΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ (BASIC MATRIX MANIPULATIONS) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (EQUATIONS, ODES, DAES, QUADRATURE) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SIGNAL PROCESSING) ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΩΝ (IMAGE PROCESSING) ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ (POLYNOMIALS, STATISTICS) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ (PLOTTING FUNCTIONS) ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) OCTAVE ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (DEFINING FUNCTIONS) - MATLAB ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΟ OCTAVE - MATLAB (SCALARS, VECTORS AND MATRICES) ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SINUSOIDS IN OCTAVE - MATLAB) ΣΗΜΑΤΑ ΣΤΟ OCTAVE-MATLAB (SIGNALS IN OCTAVE - MATLAB) ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ (DISCRETE SIGNALS) ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ (SAMPLING SIGNALS) ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΟΡΥΒΟΥ (MODELING NOISE) ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (MODULATION AND DEMODULATION) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FINITE DIFFERENCE) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ (LINEAR ALGEBRA) ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ / ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (FILTERING/CONVOLUTION AND CASCADED LTI SYSTEMS) ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΑΙ FIR ΦΙΛΤΡΑΡΙΣΜΑ (DISCRETE-TIME CONVOLUTION AND FIR FILTERING) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LINEAR TIME-INVARIANT (LTI) SYSTEMS) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ (CASCADED LTI SYSTEMS) ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER & ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES ANALYSIS & APPROXIMATION) 6 7. ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (PERIODIC FUNCTION) ΣΕΙΡΕΣ FOURIER: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (FOURIER SERIES: ANALYSIS EQUATION)...63

3 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (FOURIER SERIES APPROXIMATION) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ: ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ-ΧΡΟΝΟΥ FOURIER SERIES (FREQUENCY RESPONSE: DISCRETE-TIME FOURIER SERIES (DTFS)) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY RESPONSE) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB FFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB FFT COMMANDS) OCTAVE ΚΑΙ MATLAB IFFT ΕΝΤΟΛΕΣ (OCTAVE AND MATLAB IFFT COMMANDS) DFT ΣΑΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ FOURIER TRANSFORM (DFT AS APPROXIMATION TO FT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ (FREQUENCY RESPONSE OF FIR FILTERS) DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM (DTFT) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΞΟΔΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ (FREQUENCY RESPONSE OF FILTER OUTPUT) ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ OCTAVE - MATLAB (SPECTRAL ANALYSIS IN OCTAVE - MATLAB) 87. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (STATISTICAL SIGNAL PROCESSING) DISCRETE FOURIER TRANSFORM (DFT) FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) SPECTRAL ANALYSIS WITH THE FFT ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ (INTRODUCTION TO QUEUING SYSTEMS) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ (QUEUING SYSTEMS) Η ΟΥΡΑ Μ/Μ/ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΟΥΡΕΣ Μ/Μ/....4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ... ADDENDUM (ΠΡΟΣΘΗΚΗ).... PRACTICE SET A: ALGEBRA AND ARITHMETIC PRACTICE SET Β: CALCULUS, GRAPHICS, AND LINEAR ALGEBRA DIGITAL SIGNAL AND IMAGE PROCESSING USING MATLAB...25

4 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από 37. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ Η/Υ (INTRODUCTION TO COMPUTER SIMULATION) Οι Η/Υ έχουν επιφέρει επανάσταση στις επιστήμες και τη μηχανική (sciences and engineering). Με τη χρήση τους μπορούμε να κατασκευάσουμε πολύπλοκα μηχανικά σχέδια όπως για τα διαστημόπλοια space shuttles. Μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιότητες του σύμπαντος όπως ήταν πριν κλάσματα δευτερολέπτου μετά τη μεγάλη έκρηξη (big bang). Οι φιλοδοξίες μας όλο και αυξάνονται. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ακόμη περισσότερο πολύπλοκα σχέδια όπως καλύτερα διαστημόπλοια, αυτοκίνητα, ιατρικά μηχανήματα, κινητά συστήματα επικοινωνίας, κλπ. Θέλουμε να κατανοήσουμε καλύτερα τις πτυχές τη φύση μας. Αυτά είναι μερικά παραδείγματα μοντελοποίησης και προσομοίωσης με Η/Υ συστημάτων. Περισσότερο ισχυρά εργαλεία και ιδέες χρειάζονται να μας βοηθήσουν να αντεπεξέλθουμε αυτή την όλο και αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Αυτή η ενότητα δίνει μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες για το τι είναι σύστημα, μοντέλο και προσομοίωση (system, model, and simulation).. Συστήματα και Πειράματα (Systems and Experiments).. Τι είναι σύστημα? Έχουμε ήδη αναφέρει μερικά συστήματα όπως το σύμπαν, το διαστημόπλοιο κλπ. Ένα σύστημα μπορεί να είναι οτιδήποτε. Περιέχει υποσυστήματα τα οποία τα ίδια είναι συστήματα. Ένας πιθανός ορισμός μπορεί να είναι: Ένα σύστημα είναι ένα αντικείμενο ή συλλογή αντικειμένων τις ιδιότητες των οποίων θέλουμε να μελετήσουμε. (A system is an object or collection of objects whose properties we want to study). Η επιθυμία μας να μελετήσουμε επιλεγμένες ιδιότητες αντικειμένων είναι κεντρική στον ορισμό. Η πτυχή της μελέτης είναι λεπτή παρά το γεγονός ότι είναι υποκειμενική. Η επιλογή και ορισμός τι αποτελεί ή συνθέτει ένα σύστημα είναι κάπως αυθαίρετη και πρέπει να βοηθηθεί με τη χρήση του συστήματος. Για ποιους λόγους μελετάμε το σύστημα? Υπάρχουν πολλές απαντήσεις στο ερώτημα αυτό αλλά μπορούμε να δώσουμε δυο κύρια κίνητρα: Μελέτησε ένα σύστημα για να το κατανοήσεις και μετά να το κατασκευάσεις. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς μηχανικού (engineering point of view). Ικανοποίηση ανθρώπινης περιέργειας, δηλ. για να κατανοήσουμε καλύτερα τη φύση. Αυτή είναι η άποψη από πλευράς φύσης (natural science viewpoint). Έτσι σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό ένα σύστημα μπορεί να απαντάται φυσικά, πχ., το σύμπαν, ή μπορεί να είναι τεχνητό όπως το διαστημόπλοιο, ή ένα μείγμα και από τα δυο. Για παράδειγμα το σπίτι στο Σχ. με το ζεστό νερό από τον ηλιακό θερμοσίφωνα είναι τεχνητό διότι κατασκευάστηκε από τον άνθρωπο. Εάν επίσης συμπεριλάβουμε τον ήλιο και τα σύννεφα στο σύστημα τότε είναι συνδυασμός από φυσικά και τεχνητά μέρη.

5 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Σχ. : Σπίτι με ηλιακό θερμοσίφωνα Αν και ακόμη το σύστημα απαντάται φυσικά ο ορισμός του είναι πάντοτε πολύ επιλεκτικός. Αυτό γίνεται πολύ προφανές από τον ακόλουθο ορισμό για το εκκρεμές σύμφωνα με τον Ross Ashby [Ashby-56]: Η πρώτη μας τάση είναι να δείξουμε το εκκρεμές και να πούμε το σύστημα είναι εκείνο το πράγμα». Αυτή η μέθοδος όμως έχει βασικά μειονεκτήματα: κάθε υλικό-αντικείμενο περιέχει όχι λιγότερο από άπειρες μεταβλητές, και έτσι, πιθανά συστήματα. Το πραγματικό εκκρεμές, για παράδειγμα, δεν έχει μόνο μήκος και θέση, έχει επίσης μάζα, θερμοκρασία, ηλεκτρική αγωγιμότητα, κρυσταλλική δομή, χημικές ακαθαρσίες, μερική ραδιοδραστηριότητα, ταχύτητα, ισχύ αντανάκλασης, ελαστική αντοχή, υγρή στρώση επιφάνειας, βακτηριακή μόλυνση, οπτική απορρόφηση, ελαστικότητα, μορφή, ειδική βαρύτητα, και άλλα. Οποιαδήποτε εισήγηση ότι πρέπει να μελετήσουμε όλα τα γεγονότα είναι εξωπραγματική, και στην ουσία η προσπάθεια δεν γίνεται ποτέ. Τι είναι αναγκαίο είναι ότι πρέπει να επιλέξουμε και να μελετήσουμε τα γεγονότα τα οποία είναι σχετικά με μερικά κύρια ενδιαφέροντα τα οποία είναι ήδη δεδομένα εξ αρχής. Ακόμη και αν το σύστημα είναι εντελώς τεχνητό όπως το σύστημα κινητής τηλεφωνίας που δεικνύεται στο Σχ. 2 (που περιέχει έναν κεντρικό επεξεργαστή και τοπικούς επεξεργαστές για τις εισερχόμενες κλήσεις) θα πρέπει να είμαστε πολύ επιλεκτικοί στον ορισμό του ανάλογα με τι πτυχές θα θέλαμε προς το παρόν να μελετήσουμε. Σχ. 2: Σύστημα κινητής τηλεφωνίας Μια σπουδαία ιδιότητα των συστημάτων είναι ότι αυτά πρέπει να είναι παρατηρήσιμα (observable). Μερικά συστήματα, αλλά όχι μεγάλα φυσικά συστήματα όπως το σύμπαν, είναι επίσης ελεγχόμενα (controllable) με την έννοια ότι μπορούμε να επηρεάσουμε τη συμπεριφορά τους μέσω εισόδων (inputs), δηλαδή:

6 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από 37 Οι είσοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές του περιβάλλοντος που επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Οι είσοδοι μπορεί να είναι καν επίσης μπορεί να μην είναι ελεγχόμενοι από εμάς. Οι έξοδοι ενός συστήματος είναι μεταβλητές που προσδιορίζονται από το σύστημα και μπορεί να επηρεάσουν το γύρο περιβάλλον. Σε πολλά συστήματα οι ίδιες μεταβλητές δρουν και τα δυο σαν είσοδοι και έξοδοι. Μιλάμε για μη αιτιατή συμπεριφορά εάν οι σχέσεις ή οι επηρεασμοί μεταξύ των μεταβλητών δεν έχουν κάποια αιτιατή κατεύθυνση, που είναι η περίπτωση για σχέσεις οι οποίες περιγράφονται με εξισώσεις. Για παράδειγμα, σε ένα μηχανολογικό σύστημα οι δυνάμεις από το περιβάλλον επηρεάζουν τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, αλλά από την άλλη πλευρά η μετατόπιση του αντικειμένου επηρεάζει τις δυνάμεις μεταξύ του αντικειμένου και του περιβάλλοντος. Τι είναι είσοδος και τι έξοδος σε αυτή την περίπτωση είναι πρωτίστως η επιλογή από κάποιον παρατηρητή, οδηγούμενος από το τι είναι ενδιαφέρον να μελετήσει, έναντι κάποιας ιδιότητας του συστήματος...2 Πειράματα (Experiments) Το παρατηρήσιμο (observability) είναι σπουδαία ιδιότητα για τη μελέτη του συστήματος σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε για το τι είναι σύστημα. Θα πρέπει το λιγότερο να είμαστε σε θέση να παρατηρούμε μερικές εξόδους από ένα σύστημα. Μπορούμε να μάθουμε ακόμη περισσότερα εάν είναι δυνατόν να ασκήσουμε ελεγχόμενες εισόδους στο σύστημα. Αυτή η διαδικασία καλείται πείραμα (experimentation), δηλαδή: Ένα πείραμα είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφοριών από ένα σύστημα με την εξάσκηση των εισόδων του. (An experiment is the process of extracting information from a system by exercising its inputs). Για να κάνουμε ένα πείραμα σε ένα σύστημα θα πρέπει να είναι και τα δυο ελεγχόμενο και παρατηρήσιμο. Εφαρμόζουμε ένα σύνολο από εξωτερικές συνθήκες στις εισόδους που έχουμε πρόσβαση και παρατηρούμε την απόκριση ή αντίδραση του συστήματος μετρώντας τις εξόδους επίσης που έχουμε πρόσβαση. Ένα από τα μειονεκτήματα της πειραματικής μεθόδου είναι ότι για ένα μεγάλο αριθμό συστημάτων σε πολλές εισόδους δεν είναι δυνατόν η πρόσβασή τους και επίσης αυτές δεν είναι ελεγχόμενες. Αυτά τα συστήματα λειτουργούν κάτω από τον επηρεασμό εισόδων χωρίς πρόσβαση σε αυτές, και μερικές φορές ονομάζονται είσοδοι διαταραχών. Παρομοίως, συχνά υπάρχει και η περίπτωση ότι πολλές πραγματικά χρήσιμες έξοδοι δεν είναι προσβάσιμες για μετρήσεις, και μερικές φορές αυτές ονομάζονται εσωτερικές καταστάσεις του συστήματος. Υπάρχουν επίσης αρκετά πρακτικά προβλήματα που σχετίζονται με την εκτέλεση ενός πειράματος: Το πείραμα μπορεί να είναι οικονομικά πολύ ακριβό: η διακρίβωση της ανθεκτικότητας των πλοίων με το να κατασκευάσουμε πλοία και μετά αφήνοντας αυτά να συγκρουσθούν είναι μια πολύ ακριβή μέθοδος για απόκτηση πληροφοριών. Το πείραμα μπορεί να είναι πολύ επικίνδυνο: η εκπαίδευση χειριστών πυρηνικών εργοστασίων για διαχείριση επικίνδυνων καταστάσεων με το να αφήνουμε τον πυρηνικό αντιδραστήρα να εισέρχεται σε επικίνδυνες καταστάσεις δεν είναι αξιοσύστατο. Το σύστημα που χρειάζεται για πειράματα μπορεί να μην υπάρχει ακόμη: αυτό είναι τυπικό για συστήματα που πρόκειται να σχεδιαστούν ή να κατασκευαστούν.

7 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 Οι ελλείψεις της πειραματικής μεθόδου μας οδηγούν στην έννοια του μοντέλου. Εάν αναπτύξουμε ένα μοντέλο ενός συστήματος, αυτό το μοντέλο μπορεί να εξεταστεί και ίσως να απαντήσει σε αρκετές ερωτήσεις σχετικά με το πραγματικό σύστημα εάν το μοντέλο είναι αρκετά πραγματικό..2 Η έννοια του Μοντέλου (The Model Concept) Με δεδομένους τους προηγούμενους ορισμούς περί συστήματος και πειράματος μπορούμε τώρα να προσπαθήσουμε να ορίσουμε την έννοια του μοντέλου: Το μοντέλο ενός συστήματος είναι οτιδήποτε που ένα πείραμα μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό για να απαντήσει σε ερωτήσεις για το σύστημα. (A model of a system is anything an "experiment" can be applied to in order to answer questions about that system). Αυτό σημαίνει ότι ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει απαντήσεις για ένα σύστημα χωρίς να κάνουμε πειράματα στο πραγματικό σύστημα. Αντί αυτού εκτελούμε απλοποιημένα πειράματα στο μοντέλο, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα απλοποιημένο σύστημα το οποίο αντανακλά ιδιότητες του πραγματικού συστήματος. Στην πιο απλή περίπτωση ένα μοντέλο μπορεί ακριβώς να είναι ένα τμήμα πληροφορίας η οποία χρησιμοποιείται να απαντήσει σε ερωτήματα για το σύστημα. Δεδομένου του ορισμού, οποιοδήποτε μοντέλο επίσης πληροί τις προϋποθέσεις ενός συστήματος. Τα μοντέλα, όπως ακριβώς τα συστήματα, είναι ιεραρχικά στη φύση. Μπορούμε να περικόψουμε ένα τμήμα ενός μοντέλου, το οποίο γίνεται νέο μοντέλο που είναι βάσιμο για ένα υποσύνολο των πειραμάτων για τα οποία το αρχικό μοντέλο ήταν βάσιμο. Ένα μοντέλο πάντοτε σχετίζεται με το σύστημα το οποίο μοντελοποιεί και τα πειράματα τα οποία μπορεί να υποστεί. Η έκφραση όπως «ένα μοντέλο ενός συστήματος δεν είναι βάσιμο» είναι ασήμαντη χωρίς την αναφορά του σχετικού συστήματος και των πειραμάτων. Ένα μοντέλο ενός συστήματος μπορεί να είναι βάσιμο για ένα πείραμα στο μοντέλο και μη βάσιμο για κάποιο άλλο πείραμα. Ο όρος επαλήθευση του μοντέλου πάντοτε αναφέρεται σε ένα πείραμα ή σε μια κλάση από πειράματα για εκτέλεση. Ομιλούμε για διαφορετικά είδη μοντέλων ανάλογα το πως το μοντέλο αντιπροσωπεύεται: Διανοητικό μοντέλο (Mental model) μια έκφραση σαν την «ένα άτομο είναι αξιόπιστο» μας βοηθά να απαντήσουμε σε ερωτήσεις για εκείνου του ατόμου τη συμπεριφορά σε διάφορες καταστάσεις. Λεκτικό μοντέλο (Verbal model) αυτό το είδος του μοντέλου περιγράφεται με λέξεις. Για παράδειγμα, η φράση «Περισσότερα ατυχήματα θα συμβούν εάν το όριο της ταχύτητας αυξηθεί» είναι ένα παράδειγμα λεκτικού μοντέλου. Τα έμπειρα συστήματα είναι μια τεχνολογία για την τυποποίηση λεκτικών μοντέλων. Φυσικό μοντέλο (Verbal model) αυτό είναι ένα φυσικό αντικείμενο το οποίο μιμείται μερικές ιδιότητες ενός πραγματικού συστήματος, για να απαντήσει σε ερωτήσεις γύρο από το σύστημα. Για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια σχεδίων από τεχνουργήματα όπως κτίρια, αεροπλάνα, κλπ., συνήθως κατασκευάζουμε μικρά φυσικά μοντέλα με την ίδια μορφή και εμφάνιση όπως τα πραγματικά αντικείμενα προς μελέτη σχετικά με τις αεροδυναμικές ιδιότητες και αισθητική. Μαθηματικό μοντέλο (Mathematical model) μια περιγραφή ενός συστήματος όπου οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών του συστήματος εκφράζονται με μαθηματικούς τύπους. Οι μεταβλητές μπορεί να είναι μετρήσιμες ποσότητες όπως μέγεθος, μήκος, βάρος, θερμοκρασία, επίπεδο ανεργίας, ροή

8 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 πληροφορίας, bit rate, κλπ. Οι περισσότεροι νόμοι της φύσης είναι μαθηματικά μοντέλα με αυτή την έννοια. Για παράδειγμα, ο νόμος του Ohm περιγράφει τη σχέση μεταξύ ρεύματος και τάσης για την αντίσταση, οι νόμοι του Newton περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ ταχύτητας, επιτάχυνσης, μάζας, δύναμης, κλπ. Τα είδη μοντέλων που εμείς θα ασχοληθούμε είναι μαθηματικά μοντέλα που αντιπροσωπεύονται με διάφορους τρόπους, πχ., σαν εξισώσεις, συναρτήσεις, προγράμματα υπολογιστών, κλπ. Τεχνουργήματα που αντιπροσωπεύονται με μαθηματικά μοντέλα σε έναν υπολογιστή συχνά αποκαλούνται εικονικά πρότυπα (virtual prototypes). Η διαδικασία κατασκευής και εξέτασης τέτοιων μοντέλων ονομάζεται εικονική προτυποποίηση. Μερικές φορές ο όρος φυσική μοντελοποίηση (physical modeling) χρησιμοποιείται επίσης για τη διαδικασία κατασκευής μαθηματικών μοντέλων φυσικών συστημάτων στον υπολογιστή εάν η δομική και συνθετική διαδικασία είναι ίδια με εκείνη για την κατασκευή φυσικών συστημάτων..3 Προσομοίωση (Simulation) Στην προηγούμενη ενότητα αναφέραμε τη δυνατότητα εκτέλεσης «πειραμάτων» στα μοντέλα αντί στα πραγματικά συστήματα που αντιστοιχούν στα μοντέλα. Αυτή είναι πράγματι μια από τις κύριες χρήσεις των μοντέλων, και δεικνύεται με τον όρο προσομοίωση (simulation), από το Λατινικό simulare, το οποίο σημαίνει προσποίηση. Ορίζουμε την προσομοίωση ως εξής: Προσομοίωση είναι ένα πείραμα που εκτελείται σε ένα μοντέλο. (A simulation is an experiment performed on a model). Σε αναλογία με τον προηγούμενο ορισμό του μοντέλου, αυτός ο ορισμός δεν απαιτεί το μοντέλο να αντιπροσωπευθεί σε μορφή μαθηματική ή πρόγραμμα υπολογιστή. Αλλά, στη συνέχεια της ενότητας εμείς θα συγκεντρωθούμε σε μαθηματικά μοντέλα, πρωτίστως εκείνα τα οποία έχουν τη μορφή που είναι αντιπροσωπευτική σε υπολογιστές. Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα από τέτοια πειράματα ή προσομοιώσεις: Προσομοίωση μιας βιομηχανικής διεργασίας όπως σιδήρου ή χαρτιού, για την εκμάθηση της συμπεριφοράς κάτω από διαφορετικές λειτουργικές συνθήκες για τη βελτίωση της διεργασίας. Προσομοίωση συμπεριφοράς οχήματος, πχ., ενός αυτοκινήτου ή αεροπλάνου, για το σκοπό παροχής πραγματικής εκπαίδευσης χειριστή. Προσομοίωση ενός απλοποιημένου μοντέλου από packet-switched δικτύου υπολογιστών, για την εκμάθηση για τη συμπεριφορά κάτω από διαφορετικά φορτία για την αύξηση της απόδοσης. Είναι σπουδαίο να διευκρινιστεί ότι η περιγραφή των μερών των πειραμάτων και του μοντέλου μιας προσομοίωσης είναι εννοιολογικά ξεχωριστές οντότητες. Από την άλλη πλευρά, αυτές οι δυο πτυχές της προσομοίωσης ανήκουν μαζί αν και είναι ξεχωριστές. Για παράδειγμα, ένα μοντέλο είναι βάσιμο μόνο για κάποια κλάση πειραμάτων. Μπορεί όμως να είναι χρήσιμο να οριστεί ένα πλαίσιο πειραμάτων που σχετίζονται με αυτό το μοντέλο, τα οποία ορίζουν τις συνθήκες που χρήζουν να ικανοποιούνται για βάσιμα πειράματα. Εάν το μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύεται σε εκτελέσιμη μορφή σε έναν υπολογιστή, τότε οι προσομοιώσεις μπορεί να γίνουν με αριθμητικά πειράματα, ή σε μη αριθμητικές περιπτώσεις με υπολογίσιμα πειράματα. Αυτός είναι ο πιο απλός και ασφαλής τρόπος εκτέλεσης πειραμάτων, με το επιπρόσθετο πλεονέκτημα ότι στην ουσία όλες οι μεταβλητές του μοντέλου είναι παρατηρήσιμες και ελεγχόμενες. Αλλά, η αξία των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης είναι εντελώς

9 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από 37 εξαρτώμενη στο πόσο καλά το μοντέλο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα σχετικά με τις ερωτήσεις που πρέπει να απαντηθούν από την προσομοίωση. Εκτός από τα πειράματα, η προσομοίωση είναι η μόνη τεχνική η οποία είναι γενικά εφαρμόσιμη για ανάλυση της συμπεριφοράς αυθαίρετων συστημάτων. Αναλυτικές τεχνικές είναι καλύτερες από τις προσομοιώσεις, αλλά συνήθως εφαρμόζονται μόνο κάτω από ένα σύνολο από απλοποιημένες συνθήκες, οι οποίες συχνά δεν μπορεί να δικαιολογηθούν. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι ασυνήθιστο να γίνει συνδυασμός αναλυτικών τεχνικών και προσομοίωσης, πχ., η προσομοίωση να χρησιμοποιηθεί όχι μόνη της αλλά με αναλυτικές ή ημιαναλυτικές τεχνικές..4 Λόγοι για Προσομοίωση (Reasons for Simulation) Υπάρχουν αρκετοί καλοί λόγοι για να κάνουμε προσομοιώσεις αντί να κάνουμε πειράματα σε πραγματικά συστήματα: Τα πειράματα είναι πολύ ακριβά, πολύ επικίνδυνα, ή το σύστημα για να διερευνηθεί δεν υπάρχει ακόμη. Υπάρχουν κύριες δυσκολίες για πειραματισμό με πραγματικά συστήματα, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Η κλίμακα χρόνου των δυναμικών συστημάτων δεν είναι συμβατή με εκείνη του πειράματος. Για παράδειγμα, απαιτείται εκατομμύρια χρόνια για να δούμε μικρές αλλαγές στην εξέλιξη του σύμπαντος, ενώ παρόμοιες αλλαγές μπορεί γρήγορα να παρατηρηθούν σε μια προσομοίωση με υπολογιστές του σύμπαντος. Οι μεταβλητές μπορεί να μην είναι προσβάσιμες. Στην προσομοίωση όλες οι μεταβλητές μπορεί να μελετηθούν και να ελεγχθούν, ακόμη και εκείνες που δεν είναι προσβάσιμες στο πραγματικό σύστημα. Εύκολη μεταχείριση των μοντέλων. Χρησιμοποιώντας προσομοίωση, είναι εύκολη η μεταχείριση των μεταβλητών του συστήματος, ακόμη και πέρα από το φυσικό εύρος κάποιου ιδιαίτερου συστήματος. Για παράδειγμα, η μάζα ενός σώματος σε μια προσομοίωση με υπολογιστή μπορεί να αυξηθεί από 4 σε 5 Kg με ένα πάτημα ενός πλήκτρου, ενώ αυτή η αλλαγή ίσως να είναι δύσκολη να πραγματοποιηθεί στο φυσικό σύστημα. Καταστολή διαταραχών. Σε μια προσομοίωση ενός μοντέλου είναι δυνατόν να κατασταλούν οι διαταραχές οι οποίες μπορεί να είναι αναπόφευκτες σε μετρήσεις στο πραγματικό σύστημα. Αυτό μπορεί να μας επιτρέψει να διαχωρίζουμε ειδικές επιδράσεις και έτσι να αποκτούμε καλύτερη κατανόηση από αυτές τις επιδράσεις. Καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων. Συχνά, οι προσομοιώσεις γίνονται λόγω που επιτρέπουν την καταστολή δευτέρου-βαθμού επιδράσεων όπως μικρές μη γραμμικότητες ή άλλες λεπτομέρειες μερικών μερών ενός συστήματος, οι οποίες μπορεί να μα βοηθήσουν να κατανοήσουμε καλύτερα τις πρωταρχικές επιδράσεις..5 Κίνδυνοι της Προσομοίωσης (Dangers of Simulation) Η ευκολία των προσομοιώσεων είναι επίσης το πιο σοβαρό τους μειονέκτημα: είναι αρκετά εύκολο για τον χρήστη να ξεχάσει τους περιορισμούς και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η προσομοίωση είναι βάσιμη, και έτσι να διεξάγει λάθος συμπεράσματα από την προσομοίωση. Για να μειωθούν αυτοί οι κίνδυνοι, πρέπει πάντοτε να προσπαθούμε να συγκρίνουμε το λιγότερο μερικά αποτελέσματα από την προσομοίωση ενός μοντέλου με εκείνα από το πραγματικό σύστημα. Επίσης υποβοηθάει να γνωρίζουμε τις παρακάτω συνήθεις πηγές από προβλήματα όταν χρησιμοποιούμε προσομοιώσεις: Να ερωτευτείς το μοντέλο (Falling in love with a model Pygmalion effect). Είναι εύκολο να ενθουσιαστείς με το μοντέλο και να ξεχάσεις το πλαίσιο το πειραματικό, δηλ., ότι το μοντέλο δεν είναι ο πραγματικός κόσμος αλλά μόνο αντιπροσωπεύει το πραγματικό σύστημα κάτω από μερικές συνθήκες. Εισάγοντας πραγματικότητα στους περιορισμούς ενός μοντέλου. Ένα παράδειγμα είναι η διαμόρφωση των κοινωνιών μας με βάση τις τρέχουσες

10 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 μοντέρνες οικονομικές θεωρίες που έχουν μια απλοποιημένη άποψη της πραγματικότητας, και αγνοούν πολλές σπουδαίες πτυχές όπως τις ανθρώπινες συμπεριφορές, τις κοινωνίες, και τη φύση. Ξεχνώντας το επίπεδο ακρίβειας του μοντέλου. Όλα τα μοντέλα έχουν υποθέσεις απλοποίησης και πρέπει να τις γνωρίζουμε για να ερμηνεύσουμε σωστά τα αποτελέσματα. Για αυτές τις αιτίες, ενώ οι αναλυτικές τεχνικές είναι γενικά περισσότερο περιοριστικές λόγω που έχουν πολύ μικρότερο πεδίο εφαρμογών, τέτοιες τεχνικές είναι περισσότερο ισχυρές όταν μπορούν να εφαρμοστούν. Ένα αποτέλεσμα από την προσομοίωση είναι βάσιμο μόνο για ένα ειδικό σύνολο από δεδομένα στην είσοδό τους. Χρειάζονται πολλές προσομοιώσεις για να αποκτηθεί κατανόηση ενός συστήματος. Έτσι, εάν αναλυτικές τεχνικές είναι εφαρμόσιμες αυτές θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν αντί για προσομοίωση ή σαν συμπλήρωμα..6 Κατασκευή Μοντέλου (Building Models) Υπάρχουν στην ουσία δυο κύριες πηγές από σχετικά με συστήματα γενικές γνώσεις που χρειάζονται για τη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων συστημάτων: Η συγκεντρωτική γενική εμπειρία σε σχετικά πεδία επιστημών και τεχνολογίας η οποία βρίσκεται στη βιβλιογραφία και διατέθηκε από ειδικούς σε αυτές τις περιοχές. Αυτό περιλαμβάνει τους φυσικούς νόμους, δηλ. νόμοι του Newton για μηχανολογικά συστήματα, νόμοι του Kirchhoff για ηλεκτρολογικά συστήματα, προσεγγιστικές σχέσεις για μη τεχνικά συστήματα που βασίζονται στις οικονομικές ή κοινωνικές θεωρίες, κλπ. Το ίδιο το σύστημα, δηλ., παρατηρήσεις από και πειράματα σε ένα σύστημα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε. Επιπρόσθετα στην παραπάνω γνώση συστημάτων, υπάρχει επίσης γνώση γύρω από μηχανισμούς για τη μεταχείριση και χρήση γεγονότων στη κατασκευή μοντέλων για συγκεκριμένες εφαρμογές και πεδία, καθώς και γενικοί μηχανισμοί για τη μεταχείριση των γεγονότων και μοντέλων, δηλ.: Εμπειρίες εφαρμογών (Application expertise) κατανόηση της περιοχής εφαρμογών και τεχνικών για χρήση όλων των γεγονότων σχετικά με τη μοντελοποίηση της συγκεκριμένης εφαρμογής. Λογισμικό και μηχανική γνώσης (Software and knowledge engineering) γενική γνώση γύρω από το ορισμό, μεταχείριση, χρήση, και αντιπροσώπευση μοντέλων και λογισμικό, δηλ. object orientation, component system techniques, expert system technology, κλπ. Ποια είναι τότε μια κατάλληλη διαδικασία ανάλυσης και σύνθεσης για να χρησιμοποιηθεί στην εφαρμογή αυτών των πηγών πληροφοριών για την κατασκευή μοντέλων συστημάτων? Γενικά πρώτα προσπαθούμε να αναγνωρίσουμε τα κύρια μέρη ενός συστήματος και το είδος αλληλεπίδρασης αυτών των μερών. Κάθε μέρος διασπάται σε μικρότερα μέρη (subcomponents - υπομέρη) μέχρις ότου το καθένα να ταιριάζει την περιγραφή ενός υπάρχοντος μοντέλου από κάποια βιβλιοθήκη μοντέλων, ή να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους νόμους τους φυσικούς ή άλλες σχέσεις για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά του. Μετά εκφράζουμε τις αλληλεπιδράσεις τους και δημιουργούμε μαθηματικές τυποποιήσεις για αυτές τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ αυτών των μερών του μοντέλου. Μερικά μέρη μπορεί να έχουν άγνωστες ή μερικώς γνωστές παραμέτρους και συντελεστές. Αυτές συχνά μπορεί να βρεθούν με το ταίριασμα πειραματικά μετρήσιμων δεδομένων από το πραγματικό σύστημα με το μαθηματικό μοντέλο χρησιμοποιώντας τεχνικές ταυτοποίησης συστημάτων (system identification), οι οποίες σε απλές περιπτώσεις καταλήγουν σε βασικές τεχνικές όπως ταίριασμα

11 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. από 37 συναρτήσεων και ανάλυση παλινδρόμησης (curve fitting and regression analysis). Αλλά, προηγμένες εκδόσεις για ταυτοποίηση συστημάτων μπορούν ακόμη να προσδιορίσουν τη μορφή των μαθηματικών μοντέλων επιλεγμένες από ένα σύνολο από βασικές δομές μοντέλων..7 Ανάλυση Μοντέλου (Analyzing Models) Η προσομοίωση είναι μια από τις κοινές τεχνικές για τη χρήση μοντέλων για απαντήσεις σε ερωτήσεις γύρω από τα συστήματα. Αλλά, επίσης υπάρχουν άλλες μέθοδοι για ανάλυση μοντέλων όπως ανάλυση ευαισθησίας και διάγνωση βάσει μοντέλων (sensitivity analysis and model based diagnosis), ή αναλυτικές μαθηματικές τεχνικές στις περιοριστικές περιπτώσεις όπου λύσεις μπορεί να βρεθούν σε κλειστή αναλυτική μορφή..8 Ανάλυση Ευαισθησίας Μοντέλου (Sensitivity Analysis) Η ανάλυση ευαισθησίας πραγματεύεται την ερώτηση πόσο ευαίσθητη είναι η συμπεριφορά του μοντέλου σε αλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου. Αυτή είναι μια πολύ κοινή ερώτηση στη σχεδίαση και ανάλυση συστημάτων. Για παράδειγμα, ακόμη και σε καλά προσδιορισμένα πεδία εφαρμογών όπως ηλεκτρολογικά συστήματα, οι τιμές των αντιστάσεων σε κυκλώματα τυπικά είναι γνωστές μόνο με ακρίβεια 5 % με %. Εάν υπάρχει πολύ μεγάλη ευαισθησία στα αποτελέσματα προσομοιώσεων σε παραμέτρους του μοντέλου, πρέπει να είμαστε καχύποπτοι για το εάν είναι βάσιμο το μοντέλο. Σε τέτοιες περιπτώσεις μικρές τυχαίες μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες τυχαίες μεταβολές στη συμπεριφορά. Από την άλλη πλευρά, εάν η προσομοιωμένη συμπεριφορά δεν είναι πολύ ευαίσθητη σε μικρές μεταβολές στις παραμέτρους του μοντέλου, υπάρχει η εκδοχή ότι το μοντέλο με ικανοποιητική ακρίβεια αντανακλά τη συμπεριφορά του πραγματικού συστήματος. Τέτοια ευρωστία στη συμπεριφορά είναι μια επιθυμητή ιδιότητα όταν σχεδιάζουμε νέα προϊόντα, λόγω που διαφορετικά ίσως να γίνει ακριβή η βιομηχανική τους παραγωγή διότι κάποιες ανοχές θα πρέπει να διατηρηθούν πολύ μικρές. Ωστόσο, υπάρχει επίσης ένας αριθμός από παραδείγματα πραγματικών συστημάτων τα οποία είναι πολύ ευαίσθητα σε μεταβολές συγκεκριμένων παραμέτρων του μοντέλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις αυτή η ευαισθησία θα πρέπει να αντανακλάται στα μοντέλα αυτών των συστημάτων..9 Διάγνωση Βάσει Μοντέλου (Model-Based Diagnosis) Η διάγνωση βάσει μοντέλου είναι μια τεχνική που λίγο πολύ σχετίζεται με την ανάλυση ευαισθησίας. Θέλουμε να βρούμε τα αίτια από κάποια συμπεριφορά ενός συστήματος αναλύοντας ένα μοντέλο από αυτό το σύστημα. Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε βρούμε τα αίτια από προβληματικές και λανθασμένες συμπεριφορές. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα αυτοκίνητο, το οποίο είναι πολύπλοκο σύστημα αποτελούμενο από πολλά αλληλεπιδρόμενα μέρη όπως μια μηχανή, ένα σύστημα ανάφλεξης, ένα σύστημα κιβώτιο ταχυτήτων, ανάρτηση (συσπανσιόν), τροχούς, κλπ. Κάτω από ένα σύνολο από καλά-ορισμένες λειτουργικές συνθήκες το καθένα από αυτά τα μέρη μπορεί να θεωρηθεί ότι εκθέτει μια σωστή συμπεριφορά εάν κάποιες ποσότητες είναι εντός συγκεκριμένων διαστημάτων τιμών. Μια μετρήσιμη ή υπολογίσιμη τιμή εκτός τέτοιου διαστήματος μπορεί να δεικνύει κάποιο λάθος σε αυτό το μέρος, ή σε κάποιο άλλο που επηρεάζει αυτό. Αυτό το είδος ανάλυσης ονομάζεται διάγνωση βάσει μοντέλου.. Επικύρωση και Επαλήθευση Μοντέλου (Model Verification and Validation) Έχουμε προηγουμένως αναφέρει τους κινδύνους της προσομοίωσης, δηλ. Όταν ένα μοντέλο δεν είναι βάσιμο για ένα σύστημα όσον αφορά την επιδιωκόμενη

12 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 προσομοίωση. Πως μπορούμε να επικυρώσουμε ότι το μοντέλο είναι καλό και αξιόπιστο μοντέλο, δηλ., ότι είναι βάσιμο για την επιδιωκόμενη χρήση του? Αυτό μπορεί να είναι πολύ δύσκολο και μερικές φορές μπορούμε να ελπίζουμε μόνο να πάρουμε μερικές απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα. Ωστόσο, οι παρακάτω τεχνικές είναι χρήσιμες το λιγότερο μερικώς να επικυρώνουν ότι το μοντέλο είναι βάσιμο: Με κριτική επανεξέτασε τις υποθέσεις και απλοποιήσεις πίσω από το μοντέλο, συμπεριλαμβανομένων των διαθέσιμων πληροφοριών γύρω από το πεδίο εγκυρότητας όσο αφορά αυτές τις υποθέσεις. Σύγκρινε απλοποιημένες παραλλαγές του μοντέλου με αναλυτικές λύσεις για ειδικές περιπτώσεις. Σύγκρινε τα πειραματικά αποτελέσματα για περιπτώσεις όταν είναι δυνατόν. Διεξήγαγε ανάλυση ευαισθησίας του μοντέλου. Εάν τα αποτελέσματα προσομοίωσης είναι σχετικά μη ευαίσθητα σε μικρές παραλλαγές στις παραμέτρους του μοντέλου, έχουμε ισχυρότερη πεποίθηση να πιστεύουμε ότι το μοντέλο είναι βάσιμο. Διεξήγαγε εσωτερικό έλεγχο συνέπειας του μοντέλου, δηλ., έλεγξε τις διαστάσεις ή τις μονάδες ότι είναι συγκρίσιμες με όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, στην εξίσωση του Newton F = m a, η μονάδα [N] στην αριστερή πλευρά είναι συνεπής με [kg*m*s^-2] στη δεξιά πλευρά. Στην τελευταία περίπτωση είναι δυνατόν εργαλεία αυτόματα να επαληθεύουν ότι οι διαστάσεις είναι συνεπείς εάν οι ιδιότητες των μονάδων είναι διαθέσιμες για τις ποσότητες του μοντέλου. Αυτή η λειτουργικότητα όμως δεν είναι ακόμη διαθέσιμη τα περισσότερα σημερινά εργαλεία προσομοίωσης.. Είδη Μαθηματικών Μοντέλων (Kinds of Mathematical Models) Διαφορετικά είδη μαθηματικών μοντέλων μπορεί να χαρακτηριστούν από διαφορετικές ιδιότητες που αντανακλούν τη συμπεριφορά των συστημάτων που μοντελοποιούν. Μια σπουδαία πτυχή είναι εάν το μοντέλο ενσωματώνει δυναμικές χρονικά εξαρτώμενες ιδιότητες ή είναι στατικό. Μια άλλη διαχωριστική γραμμή είναι ανάμεσα σε μοντέλα που εξελίσσονται συνεχώς στο χρόνο, και αυτά τα οποία αλλάζουν σε διακριτά σημεία στο χρόνο. Μια τρίτη διαχωριστική γραμμή είναι μεταξύ ποσοτικών και ποιοτικών μοντέλων. Μερικά μοντέλα περιγράφουν φυσικές κατανομές ποσοτήτων, όπως μάζα, ενώ άλλα μοντέλα είναι συγκεντρωτικά με την έννοια ότι η φυσικά κατανεμημένη ποσότητα προσεγγίζεται με το να είναι συγκεντρωτικά μαζί και αντιπροσωπεύεται με μια μεταβλητή, όπως ένα σημείο μάζας. Μερικά φαινόμενα στη φύση περιγράφονται με ευκολία από στοχαστικές διεργασίες και κατανομές πιθανοτήτων, όπως θορυβώδεις ραδιοεκπομπές ή ατομικού επιπέδου κβαντική φυσική. Τέτοια μοντέλα μπορεί να ονομαστούν στοχαστικά ή πιθανοτήτων μοντέλα όπου η συμπεριφορά μπορεί να αντιπροσωπευτεί μόνο με στατιστικές έννοιες, ενώ τα ντετερμινιστικά μοντέλα επιτρέπουν τη συμπεριφορά να αντιπροσωπευτεί χωρίς αβεβαιότητα. Ωστόσο, ακόμη και τα στοχαστικά μοντέλα μπορούν να προσομοιωθούν με ντετερμινιστικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές λόγω που οι τυχαίες αριθμητικές ακολουθίες που συχνά χρησιμοποιούνται να αντιπροσωπεύουν στοχαστικές μεταβλητές μπορούν να παραχθούν ξανά δεδομένου της ίδιας τιμής γεννήτριας (seed value). Το ίδιο φαινόμενο μπορεί συχνά να μοντελοποιηθεί σαν να είναι στοχαστικό ή ντετερμινιστικό ανάλογα το επίπεδο λεπτομερειών στο οποίο μελετάται. Μερικές πτυχές σε ένα επίπεδο είναι αφηρημένες ή κατά μέσο όρο αποκρυμμένες στο επόμενο υψηλότερο επίπεδο. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη μοντελοποίηση από αέρια σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομερειών αρχίζοντας από το επίπεδο

13 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 3 από 37 κβαντομηχανικής στοιχειώδους επίπεδο σωματιδίων ή μορίων, όπου οι θέσεις των σωματιδίων περιγράφονται με κατανομές πιθανοτήτων: Στοιχειώδεις σωματίδια (Elementary particles - orbitals) στοχαστικά μοντέλα. Άτομα (ιδανικό μοντέλο αερίων - ideal gas model) ντετερμινιστικά μοντέλα. Ομάδες ατόμων (στατιστική μηχανική - statistical mechanics) στοχαστικά μοντέλα. Όγκοι αερίων (πίεση και θερμοκρασία - pressure and temperature) ντετερμινιστικά μοντέλα. Πραγματικά αέρια - Real gases (αναταραχή - turbulence) στοχαστικά μοντέλα. Ιδανική μίξη - Ideal mixer (συγκεντρώσεις - concentrations) ντετερμινιστικά μοντέλα. Έχει ενδιαφέρον να επισημανθούν τα είδη των αλλαγών των μοντέλων μεταξύ στοχαστικών και ντετερμινιστικών που γίνονται ανάλογα με τι πτυχές θέλουμε να μελετήσουμε. Λεπτομερή στοχαστικά μοντέλα μπορεί κατά μέσο όρο να συμπτυχθούν σαν ντετερμινιστικά όταν προσεγγίζονται στο επόμενο υψηλότερο μακροσκοπικό επίπεδο στην ιεραρχία. Από την άλλη πλευρά, στοχαστικά μοντέλα όπως αναταραχής μπορεί να εισαχθούν σε μακροσκοπικά επίπεδα σαν αποτέλεσμα χαοτικών φαινομένων εξαιτίας αλληλεπιδράσεων μεταξύ ντετερμινιστικών μερών.

14 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 4 από Octave-Matlab Γρήγορη Αναφορά (Octave-Matlab Quick Reference) 2. Εκκίνηση Τερματισμός Octave Μετά την εγκατάσταση της εφαρμογής Octave το εικονίδιό της είναι το εξής: Με την εκκίνησή του εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο ανάλογα με την έκδοση που έχει εγκατασταθεί: Για να γίνει έναρξη εργασιών στο Octave απλά στην προτροπή > του παραπάνω παραθύρου γράφουμε τις διάφορες εντολές με τα ορίσματά τους και στη συνέχεια πατώντας το "ENTER αυτές εκτελούνται και στο παράθυρο εμφανίζονται τα αποτελέσματά τους. Έτσι η σειριακή εισαγωγή διαφόρων κατάλληλων εντολών και η εκτέλεσή τους απαρτίζουν το πρόγραμμα στο Octave το οποίο χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση (προσομοίωση) κάποιου συγκεκριμένου προβλήματος. Για βοήθεια χρήσης και σύνταξης των διαθέσιμων εντολών στο Octave εισάγουμε την εντολή help. Ο τερματισμός του Octave γίνεται με την εισαγωγή της εντολής exit. Επίσης παράλληλα με την εγκατάσταση του Octave εγκαθίσταται και η εφαρμογή SciTE (βλ. παρακάτω εικόνα). Την ενεργοποιούμε κανονικά όπως κάθε πρόγραμμα ή την 'καλούμε' μέσα από το Octave με την εντολή edit. Στην SciTE γράφουμε τις διάφορες εντολές όπως θα τις γράφαμε και στο Octave. Αποθηκεύουμε το αρχείο που δημιουργήσαμε με την κατάληξη.m (π.χ. example.m, αυτό το αρχείο ονομάζεται m-file). Επιστρέφουμε στο Octave και όλες αυτές οι εντολές του m-file μπορούν να εκτελεστούν από το Octave εισάγοντας σαν εντολή μόνο το όνομα του αρχείου μας (χωρίς την προέκταση.m).

15 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 5 από 37 Ακόμη η εφαρμογή SciTE μπορεί να διαχωριστεί σε δυο τμήματα που ρυθμίζονται από το View/Output. Στο αριστερό τμήμα εισάγουμε τις εντολές Octave. Όταν ενεργοποιήσουμε το Tools/Go αυτές οι εντολές του m-file εκτελούνται (εκτός της εφαρμογής Octave) και βλέπουμε τα αποτελέσματά τους στο δεξιό τμήμα της. Για το MATLAB η εκκίνησή του γίνεται με διπλό κλικ στο εικονίδιό του και ο τερματισμός του είτε κάνοντας κλικ στο πάνω-δεξιά κουτάκι με την ένδειξη "x" ή κάνοντας κλικ στο πάνω-αριστερά εικονίδιο της εφαρμογής και μετά επιλέγοντας close/exit όπως συνήθως γίνεται σε κάθε εφαρμογή που τρέχει στα Windows XP. Οι εντολές που τρέχουν στο Octave ή στο SciTE επίσης τρέχουν και στο MATLAB. Έτσι το Octave και με τον editor SciTE θεωρούνται κλώνοι του MATLAB. Το MATLAB όμως έχει περισσότερες εντολές και μερικές από αυτές συντάσσονται διαφορετικά από ότι στο Octave SciTE. Έτσι μερικές εντολές του MATLAB δεν τρέχουν καν στο Octave SciTE. Επίσης το MATLAB παρέχει διάφορα toolboxes. Αυτά είναι ένα σύνολο ομαδοποιημένων MATLAB εντολών και γραφικών δυνατοτήτων για την εύκολη επίλυση διαφόρων προβλημάτων σε αρκετούς επιστημονικούς τομείς. Τέλος το MATLAB παρέχει και την εφαρμογή Simulink με πλήθος εικονικών αντικειμένων που εύκολα χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση προσομοιώσεων σε γραφικό περιβάλλον διαφόρων προβλημάτων. Προγραμματιστικά όμως το Octave - SciTE έχουν αρκετές δυνατότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατάλληλα για την κατασκευή εξίσου ικανοποιητικών προσομοιώσεων επίλυσης διαφόρων προβλημάτων. 2.2 Διανύσματα - Πίνακες (Vectors - Matrices) στο Octave - Matlab Τετραγωνικές αγκύλες καθορίζουν ονομαζόμενους με γράμματα πίνακες. Τα κόμματα διαχωρίζουν τα στοιχεία του πίνακα στην ίδια γραμμή. Τα ελληνικά ερωτηματικά (semicolons) διαχωρίζουν τις γραμμές. Τα κόμματα μπορεί να αντικατασταθούν με κενά (spaces) και τα semicolons μπορεί να αντικατασταθούν με μια ή περισσότερες νέες γραμμές. Τα στοιχεία ενός πίνακα μπορεί να είναι αυθαίρετες εκφράσεις, με την προϋπόθεση όλες οι διαστάσεις να συμφωνούν. Ισχύουν τα εξής: [x, y,... ] εισάγεται ένα διάνυσμα γραμμής (row vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [x; y;... ] εισάγεται ένα διάνυσμα στήλης (column vector) με στοιχεία x, y, κλπ. [w, x; y, z] εισάγεται ένας 2x2 πίνακας (matrix) με στοιχεία στην πρώτη γραμμή w, x και στοιχεία στη δεύτερη γραμμή y, z.

16 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 6 από Αριθμητικοί & Αυξητικοί Τελεστές (Arithmetic & Increment Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. x + y Πρόσθεση (Addition) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x - y Αφαίρεση (Subtraction) των αριθμών ή συμβατών διανυσμάτων x και y x * y Πολλαπλασιασμός αριθμών ή συμβατών πινάκων (matrix multiplication) x.* y Στοιχείο προς στοιχείο πολλαπλασιασμός (element by element multiplication) x / y Δεξιά διαίρεση (right division, conceptually equivalent to (inverse (y') * x')') x./ y Στοιχείο προς στοιχείο δεξιά διαίρεση (element by element right division) x \ y Αριστερή διαίρεση (left division, conceptually equivalent to inverse (x) * y) x.\ y Στοιχείο προς στοιχείο αριστερή διαίρεση (element by element left division) x ^ y Τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) x.^ y Στοιχείο προς στοιχείο τελεστής ύψωσης σε δύναμη (power operator) - x Αντίθεση (negation) + x unary plus (a no-op) x ' complex conjugate transpose x.' Μετάθεση (transpose) ++ x (-- x) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return new value x ++ (x --) Αύξηση (Μείωση) - increment (decrement), return old value 2.4 Συγκριτικοί & Boolean Τελεστές (Comparison and Boolean Operators) Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. Αυτοί οι τελεστές δουλεύουν βάσει στοιχείο-προς-στοιχείο, αξιολογώντας πάντοτε και τα δυο ορίσματα. x < y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από y x!= y Αληθές εάν x δεν είναι ίσο του y x <= y Αληθές εάν x είναι μικρότερο από ή ίσο του y x & y Αληθές εάν και τα δύο x και y είναι αληθή x == y Αληθές εάν x είναι ίσο του y x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα από τα δύο x ή y είναι αληθή x >= y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x && y Αληθές εάν και τα δύο x και y από ή ίσο του y είναι αληθή x > y Αληθές εάν x είναι μεγαλύτερο x y Αληθές εάν το λιγότερο ένα του y από τα δύο x ή y είναι αληθή 2.5 Γραμμική Άλγεβρα (Linear Algebra) στο Octave Matlab Οι τελεστές στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. det (a) Υπολογισμός της ορίζουσας (determinant) ενός nxn πίνακα norm (a, p) Υπολογισμός του p- μέτρου (p-norm) ενός πίνακα

17 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 7 από 37 eig (a) expm (a) inverse (a) Υπολογισμός των ιδιοτιμών (eigenvalues) και ιδιοδιανυσμάτων (eigenvectors) ενός nxn πίνακα Υπολογισμός το εκθετικό (exponential) ενός nxn πίνακα Αντίστροφο του nxn πίνακα a pinv (a) rank (a) Ψευδο-αντίστροφο του πίνακα a Τάξη (rank) του πίνακα a 2.6 Εκφράσεις, Ορισμός Συναρτήσεων (Statements, Defining Functions) Οι εκφράσεις για τις αλγοριθμικές δομές ελέγχου στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. for identifier = expr stmt-list endfor while (condition) stmt-list endwhile break continue return if (συνθήκη) if-body [else elsebody] endif if (συνθήκη) if-body [elseif (συνθήκη) elseif-body] endif Εκτέλεσε μια φορά το stmt-list για κάθε στήλη του expr (Execute stmt-list once for each column of expr). The variable identifier is set to the value of the current column during each iteration. Εκτέλεσε stmt-list εφόσον η συνθήκη είναι αληθής (Execute stmt-list while condition is true). Έξοδος από το άμεσα εσωτερικό βρόγχο (innermost loop) Πήγαινε στην αρχή του άμεσα εσωτερικό βρόγχου (go to beginning of innermost loop) Επιστροφή στη συνάρτηση (return to calling function) Εκτέλεσε if-body if condition is true, εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Εκτέλεσε if-body εάν συνθήκη είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το elseif-body που αντιστοιχεί στην πρώτη elseif συνθήκη που είναι αληθής, αλλιώς εκτέλεσε το else-body. Σε μια if έκφραση μπορεί να υπάρχουν οποιοσδήποτε αριθμός από elseif. 2.7 Βασικοί Χειρισμοί Πινάκων (Basic Matrix Manipulations) Οι βασικοί χειρισμοί για τους πίνακες στον επόμενο πίνακα είναι ίδιοι και στο Octave και στο Matlab. rows (a) Αριθμός γραμμών του a (return number of rows of a) columns (a) Αριθμός στηλών του a return number of columns of a all (a) Έλεγχος για μη μηδενικά στοιχεία (check if all elements of a nonzero) any (a) Έλεγχος για οποιοδήποτε μη μηδενικό (check if any elements of a nonzero) find (a) Επιστρέφει τους δείκτες των μη-μηδενικών στοιχείων (return indices of nonzero elements) sort (a) Βάζει σε τάξη τα στοιχεία κάθε στήλης του a (order elements in each column of a) sum (a) Προσθέτει τα στοιχεία στις στήλες του a (sum elements in columns of a) prod (a) Πολλαπλασιασμός των στοιχείων στις στήλες του a (product of elements in columns of a) min (args) Βρίσκει ελάχιστες τιμές (find minimum values) του args max (args) Βρίσκει μέγιστες τιμές (find maximum values) του args rem (x, y) Βρίσκει το υπόλοιπο της διαίρεσης of x/y (find remainder of

18 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 8 από 37 x/y) reshape (a, m, n) Αναδιαμορφώνει a σε mxn πίνακα (reformat a to be m by n) diag (v, k) Δημιουργεί διαγώνιους πίνακες (create diagonal matrices) linspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με ίση απόσταση στοιχείων (create vector of linearly-spaced elements) logspace (b, l, n) Δημιουργεί διάνυσμα με λογαριθμική-κλίμακα στοιχεία (create vector of log-spaced elements) eye (n, m) Δημιουργεί nxm μοναδιαίο πίνακα (create n by m identity matrix) ones (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές ένα (create n by m matrix of ones) zeros (n, m) Δημιουργεί nxm πίνακα με τιμές μηδέν (create n by m matrix of zeros) Δημιουργεί nxm πίνακα με τυχαίες τιμές από ομοιόμορφη rand (n, m) κατανομή (create n by m matrix of random values from uniform distribution) 2.8 Διαφορικές Διαφορών Εξισώσεις (Equations, ODEs, DAEs, Quadrature) *fsolve *lsode *dassl *quad perror (nm, code) Επίλυση μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (solve nonlinear algebraic equations) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (integrate nonlinear ODEs (uses the Livermore Solver for ODEs)) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές DAEs (integrate nonlinear DAEs) Ολοκληρώνει μη-γραμμικές συναρτήσεις (integrate nonlinear functions) Για συναρτήσεις που επιστρέφουν αριθμητικούς κώδικες (numeric codes), εκτυπώνει μηνύματα σφαλμάτων για τη συνάρτηση και τον κώδικα (functions that return numeric codes, print error message for named function and given error code) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.9 Επεξεργασία Σημάτων (Signal Processing) fft (a) ifft (a) freqz (args) filter (a, b, x) conv (a, b) hamming (n) hanning (n) Επεξεργασία Σημάτων (Signal & Image Processing) Fast Fourier Transform Αντίστροφο (inverse) FFT FIR filter frequency response (Finite Impulse Response απόκριση συχνότητας) filter by transfer function (φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς) convolve two vectors (συνέλιξη δυο διανυσμάτων) return Hamming window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hamming) return Hanning window coefficients (επιστρέφει συντελεστές Hanning) * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο.

19 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 9 από Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) Επεξεργασία Εικόνων (Image Processing) colormap (map) Θέτει το τρέχον σύνολο χρωμάτων (set the current colormap) gray2ind (i, n) Μετατρέπει (convert) gray scale to Octave image image (img, zoom) Εμφανίζει (display) an Octave image matrix imagesc (img, zoom) Εμφανίζει (display) scaled matrix as image imshow (img, map) Εμφανίζει (display) Octave image imshow (i, n) Εμφανίζει (display) gray scale image imshow (r, g, b) Εμφανίζει (display) RGB image ind2gray (img, map) Μετατρέπει (convert) Octave image to gray scale ind2rgb (img, map) Μετατρέπει (convert) indexed image to RGB loadimage (file) Φορτώνει (load) an image file rgb2ind (r, g, b) Μετατρέπει (convert) RGB to Octave image saveimage (file, img, fmt, map) Αποθηκεύει (save) a matrix to file * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2. Πολυώνυμα, Στατιστικά (Polynomials, Statistics) compan (p) companion matrix residue (a, b) partial fraction expansion of ratio a/b conv (a, b) convolution (συνέλιξη) corrcoef (x, y) correlation coefficient deconv (a, b) deconvolve two vectors cov (x, y) covariance poly (a) create polynomial from a matrix mean (a) mean value polyderiv (p) derivative of polynomial median (a) median value polyreduce (p) integral of polynomial std (a) standard deviation polyval (p, x) value of polynomial at x var (a) variance polyvalm (p, x) value of polynomial at x cor (x, y) Compute correlation roots (p) polynomial roots autocor (x, h) Autocorrelation * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.2 Συναρτήσεις Διαγραμμάτων (Plotting Functions) plot (args) 2D plot with linear axes axis (limits) set axis ranges plot3 (args) 3D plot with linear axes xlabel (string) set x-axis label line (args) 2D or 3D line ylabel (string) set y-axis label patch (args) 2D patch zlabel (string) set z-axis label semilogx (args) 2D plot with logarithmic text (x, y, str) x-axis add text to a plot semilogy (args) 2D plot with logarithmic set label in plot legend (string) y-axis key loglog (args) 2D plot with logarithmic grid [on off] axes set grid state bar (args) plot bar charts hold [on off] set hold state

20 Εισαγωγή στην Προσομοίωση με Η/Υ (Introduction to Simulation with PC) Σελ. 2 από 37 stairs (x, y) plot stair steps ishold return if hold is on, otherwise stem (x, it y) plot a stem graph mesh (x, y, z) plot 3D surface hist (y, x) create mesh plot histograms meshgrid (x, y) coordinate matrices contour (x, y, z) contour plot title (string) set plot title * Βλέπετε το on-line ή το printed εγχειρίδιο (manual) για την πλήρη λίστα των ορισμάτων και τρόπο σύνταξης και χρήσης για αυτές τις Octave συναρτήσεις. Για το Matlab ισχύει το ίδιο. 2.3 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) Octave function [ret-list] function-name [(arg-list) ] function-body endfunction ret-list may be a single identifier or a comma-separated list of identifiers delimited by square-brackets. arg-list is a comma-separated list of identifiers and may be empty. Παράδειγμα: > function xdot = f (x, t) > r =.25; k =.4; a =.5; b =.6; c =.9; d =.8; > xdot() = r*x()*( - x()/k) - a*x()*x(2)/( + b*x()); > xdot(2) = c*a*x()*x(2)/( + b*x()) - d*x(2); > endfunction 2.4 Ορισμός Συναρτήσεων (Defining Functions) - Matlab Μια Matlab συνάρτηση πρέπει να περιέχει την εντολή: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) για να οριστεί η συνάρτηση functionname με M εισόδους και L εξόδους. Συνήθως είναι καλό να περιλαμβάνονται μερικά σχόλια στην αρχή της συνάρτησης τα οποία περιγράφουν το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και ποιοι οι έξοδοι. Ένα σχόλιο δεικνύεται με "%" στην αρχή της γραμμής. Επίσης, εάν δεν θυμούμαστε το σκοπό της συνάρτησης και ποιοι είναι οι είσοδοι και έξοδοι, μπορούμε να δώσουμε την εντολή help functionname και το Matlab θα δείξει στην οθόνη τα σχόλια που εισήχθησαν στην αρχή της συνάρτησης. Μετά τα σχόλια έρχεται η εντολή της συνάρτησης: function [output,...,outputl] = functionname(input,..., inputm) Μια απλή Matlab συνάρτηση χρησιμοποιώντας τη δομή που περιγράφτηκε παραπάνω φαίνεται παρακάτω. Δεν είναι υποχρεωτικό να οριστούν οι εσωτερικές μεταβλητές στα αρχικά σχόλια αλλά είναι καλό αυτές να ορίζονται. % Create a sinusoid x with frequency f and phase offset phi % x = cos(2*pi*f*time + phi); plot x for one cycle. % Inputs: scalar: f = frequency; phi = phase offset % Output: vector: x = sinusoid of length (one cycle); % Internal variables: scalar: T = /f = period of x;

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής

Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Έναρξη Τερματισμός του MatLab

Έναρξη Τερματισμός του MatLab Σύντομος Οδηγός MATLAB Β. Χ. Μούσας 1/6 Έναρξη Τερματισμός του MatLab Η έναρξη της λειτουργίας του MatLab εξαρτάται από το λειτουργικό σύστημα. Στα συστήματα UNIX πληκτρολογούμε στη προτροπή του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB

Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Εισαγωγή στο GNU Octave/MATLAB Δρ. Βασίλειος Δαλάκας Καλώς ήρθατε στο εργαστήριο Σημάτων και Συστημάτων με το λογισμικό Octave (Οκτάβα). Οι σημειώσεις αυτές έχουν βασιστεί στις σημειώσεις του εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή γή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Κολοβού Αθανασία Ε.Τ.Ε.Π.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Κολοβού Αθανασία Ε.Τ.Ε.Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB Κολοβού Αθανασία Ε.Τ.Ε.Π. http://users.uoa.gr/~akolovou/ MATRIX LABORATORY Μαθηματικό λογισμικό πακέτο Everything is a matrix Εύκολο να ορίσουμε τους πίνακες >> A = [6 3; 5 0] A = 6

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 3: Προγραμματισμός σε JAVA I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στις έννοιες: - Στοιχειώδης Προγραμματισμός - Προγραμματισμός με Συνθήκες - Προγραμματισμός με Βρόγχους

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 1ο Τι είναι το SPSS; Statistical Package for the Social Sciences Λογισμικό για διαχείριση και στατιστική ανάλυση δεδομένων σε γραφικό περιβάλλον http://en.wikipedia.org/wiki/spss

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στο Sage.

1. Εισαγωγή στο Sage. 1. Εισαγωγή στο Sage. 1.1 Το μαθηματικό λογισμικό Sage Το Sage (System for Algebra and Geometry Experimentation) είναι ένα ελεύθερο (δωρεάν) λογισμικό μαθηματικών ανοιχτού κώδικα που υποστηρίζει αριθμητικούς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Κεφάλαιο 3 Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Ενα µεγάλο µέρος της ανάλυσης δεδοµένων απαιτεί διάφορους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Αυτό το κεφάλαιο εισαγάγει τον αναγνώστη στις διάφορες δυνατότητες που έχει

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Το πρόγραμμα Origin Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Δημιουργία γραφικής παράστασης συνάρτησης Για να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση από μια συνάρτηση επιλέξτε File-New-Graph To Origin

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα

Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Ψηφιακά Φίλτρα. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Ψηφιακά Φίλτρα Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Συνέλιξη Convolution) Με το άθροισμα της συνέλιξης μπορούμε να βρούμε την απόκριση ενός συστήματος διακριτού χρόνου για είσοδο xn), αν γνωρίζουμε την κρουστική του

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Γρήγορες προσθέσεις αριθμών Γρήγορες συγκρίσεις αριθμών Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σχετικά γρήγορη μετάδοση και πρόσληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Εισαγωγή στη Python Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος σε Πραγματικό Χρόνο 2009 10 ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασία Σήματος σε Πραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήρια Text Mining & Sentiment Analysis με Rapid Miner

Εργαστήρια Text Mining & Sentiment Analysis με Rapid Miner 10. Text Mining Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τις δυνατότητες text mining του Rapid Miner πρέπει να εγκαταστήσουμε το Text Mining Extension. Πηγαίνουμε Help Updates and Extensions (Marketplace)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Προσομοίωση είναι η μίμηση της λειτουργίας ενός πραγματικού συστήματος και η παρακολούθηση της εξέλιξης του μέσα στο χρόνο.

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Προσομοίωση είναι η μίμηση της λειτουργίας ενός πραγματικού συστήματος και η παρακολούθηση της εξέλιξης του μέσα στο χρόνο. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Προσομοίωση είναι η μίμηση της λειτουργίας ενός πραγματικού συστήματος και η παρακολούθηση της εξέλιξης του μέσα στο χρόνο. δημιουργία μοντέλου προσομοίωσης ( - χρήση μαθηματικών, λογικών και

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ Α Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Εισαγωγή Ένα μεγάλο κομμάτι των γραφικών αφορά βασίζονται-

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΜΕΡΟΣ Α Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του μαθήματος

Παρουσίαση του μαθήματος Παρουσίαση του μαθήματος Εργαστήριο 1 Ενότητες Μαθήματος 1. Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΙΚΟΝΑ Τι είναι ψηφιακή εικόνα. Τι σημαίνει Επεξεργασία εικόνας. Ανάλυση εικόνας σε συχνότητα ( Μετασχηματισμός Fourier σε εικόνα)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Πίνακες Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Πίνακες Πολλές φορές θέλουμε να κρατήσουμε στην μνήμη πολλά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων

Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων ΕΜΠ - ΣΧΟΛΗ ΑΤΜ Ακ. Έτος 2004-2005 Β.Βεσκούκης, Δ.Παραδείσης, Δ.Αργιαλάς, Δ.Δεληκαράογλου, Β.Καραθανάση, Β.Μασσίνας Γενικά στοιχεία για το μάθημα Εισάγεται στα πλαίσια της

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα

Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα Ελεγχος, Αξιοπιστία και Διασφάλιση Ποιότητας Λογισµικού Πολυπλοκότητα Τµήµα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τει Δυτικής Ελλάδας Μεσολόγγι Δρ. Α. Στεφανή Διάλεξη 5 2 Εγκυροποίηση Λογισµικού Εγκυροποίηση Λογισµικού

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για

Λογισμικά για Στατιστική Ανάλυση. Minitab, R (ελεύθερο λογισμικό), Sas, S-Plus, Stata, StatGraphics, Mathematica (εξειδικευμένο λογισμικό για ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 1ο Τι είναι το SPSS; Statistical Package for the Social Sciences Λογισμικό για διαχείριση και στατιστική ανάλυση δεδομένων σε γραφικό περιβάλλον http://en.wikipedia.org/wiki/spss

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 25/10/07 Αριθμητική στο δυαδικό σύστημα (γενικά) Συμπληρωματικά για δυαδικό σύστημα Η πρόσθεση στηρίζεται στους κανόνες: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 20 Οκτωβρίου, 2005 Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2005Ηλίας Κυριακίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Πατώντας το πλήκτρο Enter ή το κουμπί Enter από την γραμμή τύπων εκτελείται η μαθηματική πράξη και παρουσιάζει το αποτέλεσμα του κελιού.

Πατώντας το πλήκτρο Enter ή το κουμπί Enter από την γραμμή τύπων εκτελείται η μαθηματική πράξη και παρουσιάζει το αποτέλεσμα του κελιού. ΜΑΘΗΜΑ 4 ΣΤΟΧΟΙ: 1. Δημιουργία Μαθηματικών Τύπων 2. Τελεστές (Operators) 3. Τιμές (Value) 4. Τιμές Σφάλματος 5. Συναρτήσεις 6. Συνάρτηση Sum 7. Συνάρτηση Max 8. Συνάρτηση Min 9. Συνάρτηση Average 10. Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός μεταβλητών και εισαγωγή δεδομένων

Καθορισμός μεταβλητών και εισαγωγή δεδομένων Καθορισμός μεταβλητών και εισαγωγή δεδομένων Καθορισμός μεταβλητών (variables) Το πρώτο βήμα κατά την εισαγωγή των δεδομένων είναι η δημιουργία των μεταβλητών. Ανοίγοντας το στατιστικό πρόγραμμα SPSS 12

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Ανάλυση - Προσομοίωση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟ BIZAGI ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ 1 Προσομοίωση Η προσομοίωση είναι μέθοδος μελέτης ενός συστήματος και εξοικείωσης με τα χαρακτηριστικά του με

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διάλεξη 1 Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διαφάνειες: Skaros, MadAGu Παρουσίαση: MadAGu Άδεια: Creative Commons 3.0 Αριθμητικοί Τελεστές- Αριθμητικές Πράξεις 2 Internal use only Αριθμητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Τομέας Υπολογιστικών Τεχνικών & Συστημάτων Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Ιωάννης Γεωργουδάκης - Πάρις Μαστοροκώστας Σεπτέμβριος 2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΥ 130 : Ψηφιακή σχεδίαση Βόλος 2015 1 Εισαγωγή Το Multisim είναι ένα ολοκληρωμένο περιβάλλον προσομοίωσης της συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

2014 Παρίσης Κ., Καθηγητής

2014 Παρίσης Κ., Καθηγητής Είναι μια προέκταση του Matlab με την δυνατότητα μοντελοποίησης, προσομοίωσης και ανάλυσης συστημάτων μέσω ενός γραφικού περιβάλλοντος χρήστη (GUI). Η κατασκευή ενός μοντέλου είναι πολύ απλή και γρήγορη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧ Οικονομετρικά Πρότυπα Διαφάνεια 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-150. Προγραμματισμός

ΗΥ-150. Προγραμματισμός ΗΥ-150 Εντολές Ελέγχου Ροής Σειριακή εκτέλεση εντολών Όλα τα προγράμματα «γράφονται» χρησιμοποιώντας 3 είδη εντολών: Σειριακές εντολές (sequential built in C) Εντολές απόφασης (if, if/else, switch) Περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ

Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ Μηχανουργική Τεχνολογία ΙΙ Χαρακτηριστικά διεργασιών - Παραμετροποίηση-Μοντελοποίηση Associate Prof. John Kechagias Mechanical Engineer, Ph.D. Παραμετροποίηση - Μοντελοποίηση Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y)

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y) Λογικά Διανύσματα Τα λογικά διανύσματα του Matlab είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της tan(x) στο διάστημα από -3π/2 μέχρι 3π/2. >>x

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL 8.1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PACAL Πως προέκυψε η γλώσσα προγραμματισμού Pascal και ποια είναι τα γενικά της χαρακτηριστικά; Σχεδιάστηκε από τον Ελβετό επιστήμονα της Πληροφορικής Nicklaus Wirth to

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 3: Διακριτός και Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (DTF & FFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop. Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 403 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Βοηθοί Διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Αποκατάσταση εικόνας Αφαίρεση Θορύβου Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Αποκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Εισαγωγή στην Προσομοίωση

Κεφάλαιο 5: Εισαγωγή στην Προσομοίωση Κεφάλαιο 5: Εισαγωγή στην Προσομοίωση Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής Προσομοίωση Τεχνικές χρήσης υπολογιστών για τη «μίμηση» των λειτουργιών διαφόρων ειδών

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος Σκοπός του μαθήματος Στο μάθημα αυτό γίνεται εφαρμογή, με τη βοήθεια του υπολογιστή και τη χρήση του στατιστικού προγράμματος S.P.S.S., της στατιστικής θεωρίας που αναπτύχθηκε στα μαθήματα «Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #2

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Ακαδημαϊκό έτος 2001-2002 ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ #2 «Προγραμματισμός Η/Υ» - Τετράδιο Εργαστηρίου #2 2 Γενικά Στο Εργαστήριο αυτό θα αναλύσουμε τη χρήση της βασικής εντολής ελέγχου ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 9 με Μετασχηματισμούς Κεφ. 5 (εκτός 5.7.4 και 5.3 μόνο από διάλεξη) Ένα ΓΧΑ σύστημα καθορίζεται πλήρως από Κρουστική απόκριση (impulse response)

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Συστημάτων

Προσομοίωση Συστημάτων Προσομοίωση Συστημάτων Προσομοίωση και μοντέλα συστημάτων Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Γενικός ορισμός συστήματος Ένα σύνολο στοιχείων/οντοτήτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S.

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Σημειώσεις για το μάθημα Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Παπάνα Αγγελική E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Τμήμα Τυποποίησης και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 4: Time and Frequency Analysis Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Για την περιγραφή ενός συστήματος κρίσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Σχηματίζοντας Γραφικές Παραστάσεις για Ημίτονο και Συνημίτονο και Ελέγχοντας Περιορισμούς σε Συστάδες Καρτών Τόμπολας

Σχηματίζοντας Γραφικές Παραστάσεις για Ημίτονο και Συνημίτονο και Ελέγχοντας Περιορισμούς σε Συστάδες Καρτών Τόμπολας ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Σχηματίζοντας Γραφικές Παραστάσεις για Ημίτονο και Συνημίτονο και Ελέγχοντας Περιορισμούς σε Συστάδες Καρτών Τόμπολας Εισαγωγή Ημερομηνία Ανάρτησης: 16/02/2017 Ημερομηνία Παράδοσης: 06/03/2017,

Διαβάστε περισσότερα

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος ΜΑΘΗΜΑ 2ο Βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος 1. Κατανόηση του προβλήματος με τη σχετική επιστήμη (όπως οικονομία, διοίκηση, γενικές επιστήμες) π.χ το πρόβλημα της κατανάλωσης κάποιας περιοχής σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό 5 ο Εργαστήριο Λογικοί Τελεστές, Δομές Ελέγχου Λογικοί Τελεστές > μεγαλύτερο = μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό Οι λογικοί τελεστές χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Δεδομένων

Μετασχηματισμός Δεδομένων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 2ο Μετασχηματισμός Δεδομένων a. από τα Data demo.sav επιλέγουμε τη στήλη Income b. δημιουργούμε νέο Data Set μόνο με αυτήν τη στήλη c. Click Transform d. Compute Variable e. Επιλέγω

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Τύπων. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 1: Α. Οργάνωση μαθήματος. Β. Στοιχεία Προγραμματισμού -Προγραμματιστικές Δομές, Πρόγραμμα, Γλώσσες.

Πληροφορική. Ενότητα 1: Α. Οργάνωση μαθήματος. Β. Στοιχεία Προγραμματισμού -Προγραμματιστικές Δομές, Πρόγραμμα, Γλώσσες. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πληροφορική Ενότητα 1: Α. Οργάνωση μαθήματος. Β. Στοιχεία Προγραμματισμού -Προγραμματιστικές Δομές, Πρόγραμμα, Γλώσσες. Κωνσταντίνος Καρατζάς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εντολές επιλογής Εντολές επανάληψης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εντολές επιλογής Εντολές επανάληψης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εντολές επιλογής Εντολές επανάληψης Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναπτύξαμε προγράμματα, τα οποία ήταν πολύ απλά και οι εντολές των οποίων εκτελούνται η μία μετά την άλλη. Αυτή η σειριακή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμός Δεδομένων

Μετασχηματισμός Δεδομένων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 2ο Μετασχηματισμός Δεδομένων a. από τα Data demo.sav επιλέγουμε τη στήλη Income b. δημιουργούμε νέο Data Set μόνο με αυτήν τη στήλη c. Click Transform d. Compute Variable e. Επιλέγω

Διαβάστε περισσότερα

Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας

Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας Νικόλαος Καραμπετάκης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. http://anemos.web.auth.gr/mathematica/index.htm http://anadrasis.web.auth.gr/n.karampetakis.htm

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα