Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija
|
|
- Παναγιωτάκης Βιτάλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4.
2 1. Koordinatni sustav u ravnini Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem ishodištu O koordinate 0 i jediničnoj točki E koordinate 1 uspostavili smo vezu između točaka pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Pravac na kojem je uveden koordinatni sustav nazvali smo brojevnim pravcem. Svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan broj pa kažemo da točka brojevnog pravca ima jednu koordinatu koju nazivamo apscisom točke. slika 1 Na slici 1 nacrtana je mreža paralela i meridijana. Pomoću nje moguće je svakom mjestu (položaju) na površini Zemlje pridružiti uređeni par realnih brojeva: geografsku širinu i geografsku duljinu koji u potpunosti određuju položaj točke na Zemlji. Koordinatni sustav u ravnini Neka je x brojevni pravac određen ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je y drugi brojevni pravac čije je ishodište ista točka O. Njegovu jediničnu točku označimo s F. Neka je pravac y okomit na pravac x i to tako da točka F bude iznad točke O. Uobičajeno je da su jedinične dužine na brojevnim pravcima sukladne, tj. da su im duljine jednake. Tako smo konstruirali pravokutni koordinatni sustav u 144
3 ravnini (slika ) koji ćemo označavati s xoy. Koordinatni sustav definiran pomoću ishodišta O i jediničnih dužina OE i OF obilježavamo (O, OE, OF ). Brojevne pravce x i y nazivamo koordinatnim osima. Pravac x prva je koordinatna os, x-os ili os apscisa. Pravac y druga je koordinatna os, y-os ili os ordinata. Točku O nazivamo ishodištem koordinatnog sustava u ravnini. slika slika 3 Točkom T koordinatne ravnine xoy povucimo pravce usporedne s koordinatnim osima. Sjecište T 1 (a) pravca usporednog s osi ordinata i osi apscisa predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os apscisa, a sjecište T (b) pravca usporednog s osi apscisa i osi ordinata predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os ordinata. Kažemo da je a apscisa ili prva koordinata, a b ordinata ili druga koordinata točke T i pišemo T(a, b) ili T = (a, b). Uočimo da smo točki T koordinatne ravnine pridružili uređeni par realnih brojeva (a, b) (slika 3). Uređenom paru realnih brojeva (a, b) možemo pridružiti točku T koordinatne ravnine xoy. Naime, povučemo li okomicu na x-os točkom T 1 (a) i okomicu na y-os točkom T (b), sjecište tih okomica upravo je točka T kojoj je a apscisa, a b ordinata. Brojeve a i b nazivamo koordinatama točke T. Zaključimo: 1. Svakoj točki T koordinatne ravnine xoy pridružen je jedan i samo jedan uređeni par realnih brojeva (a, b).. Svakom uređenom paru realnih brojeva (a, b) pridružena je jedna i samo jedna točka koordinatne ravnine xoy. 145
4 Primjer 1 Na slici 4 nacrtan je koordinatni sustav u ravnini i u njemu točke A(4, 0), B(3, 1), C(0, ), D( 1, 3), G(, 0), H( 3, ), I(0, 4), J(3, 3). slika 4 Koordinatne osi dijele koordinatnu ravninu na četiri dijela (kvadranta) (slika 5). Neka je T(x, y) točka u ravnini. Ako je x > 0 i y > 0, onda točka T pripada prvom kvadrantu, x < 0 i y > 0, onda točka T pripada drugom kvadrantu, x < 0 i y < 0, onda točka T pripada trećem kvadrantu, x > 0 i y < 0, onda točka T pripada četvrtom kvadrantu. slika 5 146
5 . Funkcija Promatrajmo dva neprazna skupa. Postupak (preslikavanje) kojim se svakom elementu jednog skupa pridružuje po jedan element drugog skupa nazivamo funkcijom. slika 6 Na slici 6 predočena je funkcija f koja elementima skupa A pridružuju elemente skupa B, što zapisujemo ovako: f : A B. Skup čije elemente preslikavamo nazivamo domenom ili područjem definicije funkcije (oznaka: D(f )), a element tog skupa nazivamo argumentom ili nezavisnom varijablom (veličinom) funkcije f. Skup u koji preslikavamo zovemo kodomenom ili područjem vrijednosti funkcije (oznaka: K(f )), a element tog skupa nazivamo vrijednošću funkcije f ili zavisnom varijablom (veličinom). Ako funkcija f : A b elementu domene x A pridružuje element kodomene y B, to zapisujemo ovako: y = f (x). Za funkciju f sa slike 6 skup A je domena, a skup b kodomena. Važno je istaknuti dva svojstva funkcije: 1. Svi se elementi domene preslikavaju, tj. funkcija svakom elementu domene pridružuje neki element kodomene.. Elementu domene pridružen je samo jedan element kodomene, tj. ne postoji element domene koji se preslikava u dva ili više elemenata kodomene. 147
6 Funkciju možemo zadati na tri načina: 1. formulom, npr. Gpv kv ( ) =, 100. tablicom, npr. 3. grafom, npr. Primjer Elementima skupa A = {, 4, 5, 7} pridružimo njihove kvadrate. Rješenje Označimo zadanu funkciju oznakom f. Domena joj je skup A. Budući da je f : x x za ma koji x A, to je f : 4, f : 4 16, f : 5 5, f : Uočimo ovdje strelice sa zaperkom, što govori da preslikavamo element, a ne skup. Ovu funkciju možemo prikazati tablicom: slika 7 148
7 Primjer 3 Neka je A = {, 3, 4} domena funkcije f. Neka je kodomena funkcije f podskup skupa B = {x N x 10}. Neka je funkcija f zadana formulom f (x) = x + 4. To znači da za svaki element x domene vrijedi: x x + 4. Tada je: f () = + 4 = 6, f (3) = = 7 i f (5) = = 9. Elementi skupa A = {, 3, 4} = D(f ) su nezavisne veličine funkcije jer u formulu, kojom je funkcija zadana, možemo uvrstiti bilo koji element skupa A, a elementi skupa {6, 7, 9} = K(f ) B su vrijednosti te funkcije. Primjer 4 Promatrajmo neki grad. Neka je S skup svih njegovih stanovnika, a A skup svih automobila s registarskom oznakom toga grada. Neka je V 1 skup svih stanovnika toga grada koji su vlasnici automobila, a V skup svih vozača, njegovih stanovnika. Promatrajmo preslikavanje f : A V 1 koje svakom automobilu pridružuje njegovog vlasnika. To preslikavanje jest funkcija. (Zašto?) Promatrajmo sada preslikavanje g : A V koje svakom automobilu pridružuje njegova vozača. To nije funkcija jer isti automobil može voziti više vozača (doduše ne istodobno). Promotrimo još preslikavanje h : S A. Ovdje je svakom stanovniku pridružen njegov automobil. Ni to nije funkcija jer postoje građani koji nemaju automobil (elementi domene koji nemaju sliku), ali možda i oni koji imaju više od jednog automobila. 149
8 Primjer 5 Promatrajmo funkciju s : N N koja svakom prirodnom broju pridružuje njegova slijednika, tj. s : n n +1 za proizvoljni n N. Funkcija s broju 1 pridružuje broj, broju pridružuje 3, itd. To možemo zapisati ovako: s(1) =, s() = 3, s(3) = 4, s(4) = 5 itd. Ako prirodne brojeve prikažemo kao niz točaka pravca, funkciju s možemo grafički prikazati ovako: slika 8 Uočimo da i domena i kodomena mogu imati beskonačno mnogo elemenata. Primjer 6 Neka je k : Z N 0 preslikavanje koje svaki cijeli broj preslikava u njegov kvadrat. To je funkcija koju možemo predočiti grafički kao na slici 9. slika 9 Točke istaknute na horizontalnom pravcu prikazuju cijele brojeve, a točke uspravnog pravca predočuju elemente skupa N 0. Preslikavanje broja 3 u 9 možemo obilježiti i ovako: ( 3, 9). Analogno možemo zapisati i ostale uređene parove: (, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (, 4), (3, 9), (4, 16) itd. Dakle, prvom elementu uređenoga para, funkcija k pridružuje drugi element toga para. 150
9 Primjer 7 Jednog siječanjskog dana instrument za mjerenje temperature zabilježio je sljedeći graf: slika 10 Ovdje su elementima podskupa realnih brojeva [0, 4] pridruženi realni brojevi (iznosi temperatura). S grafa možemo očitati da je temperatura u 1 sati bila 10 C, a u 17 sati 7 C. Temperatura je iznosila 5.5 c u 9 sati i u 18 sati. Funkciju kojoj je kodomena skup realnih brojeva ili neki njegov podskup nazivamo realnom funkcijom. Za funkciju kažemo da je funkcija realne varijable ako joj je domena skup realnih brojeva ili neki podskup tog skupa. Funkcija f : [0, 4] R iz prethodnog primjera realna je funkcija (jer joj je kodomena skup R) realne varijable (jer joj je domena [0, 4] podskup skupa R, tj. (f ) = [0, 4] R). Realna funkcija f : A b svakom elementu domene, x (f ) R, pridružuje broj y = f (x) pa možemo promatrati uređeni par (x, y) kojem smo u koordinatnoj ravnini pridružili točku T(x, y). Skup tako dobivenih točaka predstavlja graf funkcije f; oznaka: Γ(f ) = {(x, f (x)) : x R}. Primjer 8 Zadana je funkcija F : R R formulom F( x) = 3x 5. Koje vrijednosti ona pridružuje brojevima 3, 1,,? 3 ) i C( 31, ) grafu te funkcije? Pripadaju li točke A(, 4), B( 3, 151
10 Da bismo provjerili koja od zadanih točaka pripada grafu funkcije, uvrstimo apscisu svake točke umjesto x u izraz za funkciju. Ako se dobiveni broj podudara s ordinatom točke, točka leži na grafu funkcije. F()= 3 5 =7, rezultat nije 4, pa točka A ne pripada grafu. F( 3) = 3 ( 3) 5 =, rezultat je jednak ordinati točke B, pa B pripada grafu. F( 3)=3 ( 3) 5=4. I točka C pripada grafu funkcije F. Linearna funkcija Neka su k i l realni brojevi. Funkciju f : R R zadanu formulom f (x) = kx + l nazivamo linearnom funkcijom. Graf linearne funkcije jest pravac. (Naziv funkcije temelji se na latinskoj riječi linea, čije je značenje crta, pravac.) Primjer 9 1 Zadana je linearna funkcija f(x)= x 3. a) Izračunajmo f ( ), f (0) i f (4). b) Nacrtajmo graf funkcije. c) Za koliko se vrijednost funkcije promijenila ako je veličina x narasla s x 1 = na x = 10? Rješenje a) f ( ) = 1 ( ) 3= 1 3= 4, f (0)= 1 0 3=0 3= 3, f (4)= 1 4 3= 3= 1. b) c) Kako je f ( ) = 1 3=, 15 slika 11 a f (10) = =, vrijednost funkcije se povećala za 4.
11 Neka su (x 1, y 1 ) i (x 1, y ).različite točke grafa linearne funkcije f(x) = kx + l. Za njihove koordinate vrijedi: kx1+ l= y1 kx + l= y. Oduzmimo prvu jedakosti od druge: Ako je x x, slijedi: 1 kx + l kx1 l= y y1 k( x x ) = y y 1 1 y k = x y. x 1 1 Dobiveni broj nazivamo koeficijentom smjera pravca određenog točkama (x 1, y 1 ) i (x, y ). On govori o nagibu grafa linearne funkcije prema x-osi. Koeficijent smjera linearne funkcije omjer je prirasta vrijednosti funkcije i prirasta argumenta. Primjer 10 Odredi koeficijent smjera pravca određenog točkama A(, 1) i B(4, 5). Rješenje Prema posljednjoj formuli dobivamo k= 5 1 = 4 =. 4 ( ) 6 3 Uočimo: ako je x 1 = x, riječ je o pravcu okomitom na x-os koji siječe tu os u točki T(x 1, 0) (slika 1). slika 1 153
12 Budući da je koeficijent smjera realan broj, to može biti pozitivan ili negativan broj ili nula. Zato ćemo razmotriti sljedeća tri slučaja. 1. Pogledajmo graf linearne funkcije f (x) = kx + l predočen na slici 13. slika 13 Uočimo na grafu funkcije točku A(x 1, y 1 ). Pomičimo se po grafu funkcije f tako da apscise točaka budu sve veće dok ne dođemo u točku B(x, y ). Pritom je vrijednost funkcije porasla za y y 1. Prema tome, promjena argumenta x za x x 1, dovela je do promjene vrijednosti funkcije za y y 1, pa broj y y 1 nazivamo promjenom ili prirastom funkcije f. Broj y y 1 brojnik je razlomka kojeg smo nazvali koeficijentom smjera. Što je graf strmiji, to je prirast funkcije veći i koeficijent smjera je veći. Što je graf položeniji, prirast funkcije je manji, pa je i koeficijent smjera manji. Vrijedi i obrat: što je koeficijent smjera funkcije veći, za isti nazivnik brojnik mu je veći, a to znači da je prirast funkcije veći, a to povlači da je graf funkcije strmiji. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) rastuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke koje pripadaju grafu linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y > y 1, linearna je funkcija (strogo) rastuća.. Pogledajmo graf linearne funkcije na slici slika 14
13 Ako se iz točke A s apscisom x 1 pomaknemo u točku B s apscisom x takvu da je x > x 1 odnosno x x 1 > 0, vrijednost funkcije smanjuje se s y 1 na y jer je y < y 1. Zato je prirast funkcije y y 1 negativan pa je i njezin koeficijent smjera negativan. Obratno: ako je koeficijent smjera linearne funkcije negativan, uz pozitivan nazivnik, brojnik će mu biti negativan, a to znači da je prirast funkcije negativan, tj. vrijednost funkcije nije porasla, nego se smanjila. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) padajuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke grafa linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y < y 1, linearna je funkcija (strogo) padajuća. 3. Promatrajmo linearnu funkciju čiji je graf usporedan s x-osi kao na slici 15. slika 15 Krećemo li se grafom od točke s apscisom x 1 prema točki s apscisom x, vrijednost se funkcije ne mijenja, ona je konstantna. U tom je slučaju y 1 = y, odnosno y y 1 = 0 pa je koeficijent smjera jednak 0. Konstanta je, dakle, funkcija koja cijelu domenu preslikava u jedan element. y y1 Obratno, ako je k = 0, brojnik razlomka k = mora biti 0, a tada je x x1 y 1 = y, tj. funkcija niti raste niti pada. Zaključimo: Graf linearne funkcije f(x) = kx + l, k, l R, jest pravac. Ako je k > 0, funkcija raste. Ako je k = 0, graf funkcije je pravac usporedan s x-osi. Ako je k < 0, funkcija pada. 155
14 Primjer 11 Zadane su funkcije f (x) = x + 3, g(x) = 3x + 7, h(x) = x, k( x) = 3 x+ 1. Koja od njih ima najveći prirast? Koje su od zadanih funkcija rastuće? Nacrtajmo njihove grafove. Rješenje Funkcija najvećeg koeficijenta smjera ima najveći prirast, a to je funkcija f. Rastuće funkcije imaju pozitivan koeficijent smjera, a to su funkcije f i k. Da bismo mogli nacrtati graf linearne funkcije (pravac), potrebno je znati koordinate najmanje dviju točaka toga pravca. Prikladno je njihove koordinate zapisati tablično. Argument x odaberimo po volji, a vrijednosti funkcije izračunajmo po formuli kojom je funkcija zadana. Pokažimo to na primjeru funkcije f: f ( ) = ( ) + 3 = 1, f (0) = = 3, f (1) = = 5. Stavimo ove rezultate u tablicu: Iz tablice čitamo koordinate točaka grafa: (, 1), (0, 3), (1, 5). U koordinatnom sustavu nacrtajmo te točke i njima povucimo pravac (slika 16). 156 slika 16
15 Analogno postupamo kod crtanja grafova ostalih funkcija (slike 17, 18, 19): slika 17 slika 18 slika 19 Napomena: Zbog izbjegavanja eventualnih grešaka preporuča se odrediti (barem) tri točke grafa i njih nacrtati u koordinatnom sustavu. 157
16 Funkcija f (x)= k x Za realne brojeve k i l definirali smo linearnu funkciju f (x) = kx + l. Ako je k > 0 i l = 0, linearna funkcija poprima oblik f (x) = kx. Za veličine x i f (x) tada kažemo da su razmjerne (proporcionalne), a za takvu funkciju kažemo da je funkcija upravne razmjernosti (proporcionalnosti) ili, jednostavno, funkcija razmjernosti. U šestom poglavlju razmatrat ćemo primjenu upravne razmjernosti u ekonomiji i zbog tih primjena ograničili smo se na slučaj k > 0. Primjer 1 Pješak žustrim korakom prepješači 4 km za jedan sat. Prikažimo prevaljeni put pješaka kao funkciju proteklog vremena. Rješenje Za dvostruko više vremena pješak će prevaliti dvostruko dulji put. Utrostruči li se vrijeme, utrostručit će se i prevaljeni put. Tablicom to možemo iskazati ovako: Ovdje je x proteklo vrijeme (koje može biti zadano kao bilo koji realni broj), a f (x) je prevaljeni put kojeg računamo po formuli: f (x) = 4 x. Iz tablice se vidi kako se povećanjem broja x povećava i f (x) (i to četverostruko). Nacrtajmo graf ove funkcije: slika 0 Iz grafa čitamo da je funkcija rastuća, tj. povećanjem argumenta vrijednost se funkcije povećava. 158
17 Općenito, za svaku linearnu funkciju f (x) = kx, k > 0, povećanjem broja x, povećava se i f (x). Pritom realni broj k > 0 nazivamo koeficijentom razmjernosti (proporcionalnosti). Za dvije veličine kažemo da su upravno razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje povećanje (smanjenje) druge. Za dvije veličine kažemo da su obrnuto razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje smanjenje (povećanje) druge. Ovisnost obrnuto razmjernih veličina prikazuje funkcija obrnute razmjernosti f( x) = k, x gdje je k pozitivan realan broj. Ovdje su x i f (x) obrnuto razmjerne veličine, a k koeficijent obrnute razmjernosti. Napomenimo da za obrnuto razmjerne veličine vrijedi: x f (x) = k, tj. umnožak obrnuto razmjernih veličina konstantan je broj. Primjer 13 Obalu jezera duljine 4 km pješak u kondiciji prevali za 1 sat, šetaču je potrebno dva sata, a skupini djece, čiju pozornost privuku usputne zanimljivosti, neće biti dovoljno ni 4 sata. Prikažimo ovisnost vremena potrebnog za obilazak jezera o brzini gibanja. Rješenje Očigledno je da manja brzina zahtijeva veće vrijeme, a povećanjem brzine potrebno se vrijeme smanjuje. Prikažimo ovisnost vremena o brzini gibanja. Neka je x brzina, tada sljedeća tablica daje vrijednosti za potrebno vrijeme f (x): Ovdje se radi o funkciji f ( x) = 4, x > 0. Prema gornjoj tablici nacrtajmo njezin graf: x 159
18 slika 1 I graf pokazuje kako funkcija pada: povećanjem jedne veličine brzine x, smanjuje se druga veličina vrijeme f (x). I primjenu obrnute razmjernosti detaljnije razmatramo u šestom poglavlju. Nacrtajmo graf funkcije f( x) = 1, pri čemu veličina x nema neko određeno značenje. x Zbog toga domenu ove funkcije čine svi realni brojevi, osim nule, jer dijeljenje s nulom nije definirano. Napravimo najprije tablični prikaz te funkcije, a zatim nacrtajmo graf: 160 slika
19 Zadaci Koordinatni sustav u ravnini 1. U koordinatnom sustavu prikaži točke: A(3, 1), B(, 4), C( 5, 3), D(4, ), E(0, 4), F(3, 0), G( 4, 0), H(0, 5).. Odredi koordinate točaka na slici. 3. Kojem kvadrantu pripadaju točke: A(4, 5), B(3, 5), C( 3, 3), D( 4, 6)? 4. Nađi ortogonalne projekcije točaka A(1, 5), B(5, 3), C(, ), D( 4, 3) a) na x-os, b) na y-os. 5. Odredi točke simetrične točkama A( 1, 4), B( 3, 0), C(, 5), D( 4, 1), E(0, 4) a) s obzirom na x-os, b) s obzirom na y-os. Nacrtaj. 6. Zadane su točke A(1, 4), B(, 0), C(5, 5), D( 3, 1), E(0, 4), F(0, 1). Nađi svakoj od njih centralnosimetričnu točku s obzirom na ishodište. Nacrtaj. 7. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s x-osi. Koje koordinate ima točka B(5, y) ako i ona pripada tom pravcu? 8. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s y-osi. Koje koordinate ima točka B(x, 7) ako i ona pripada tom pravcu? 9. Odredi nepoznatu koordinatu točaka A( 1, y), B(x, ), C(x, 4) ako one pripadaju: a) simetrali neparnih kvadranata, b) simetrali parnih kvadranata. 10. Neka je A(, 1) rubna točka dužine AB. Odredi točku B iz prvog kvadranta ako je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na x-os 4, a na y-osi. Koje bi koordinate imala točka B da pripada a) drugom, b) trećem, c) četvrtom kvadrantu? 161
20 11. Trokutu s vrhovima A(4, 1), B(3, 5), C(0, 3) odredi simetričan trokut s obzirom na a) x-os, b) y-os. Funkcija 1. Funkcija f pridružuje elementima skupa suprotne brojeve, a funkcija g elementima skupa S = 3, 1, 3,, pridružuje recipročne brojeve. Prikaži funkcije f i g tablicom. 13. Zadan je skup S = {x N : x < 7} i funkcija f koja svakom parnom broju iz skupa S pridružuje upola manji broj, a svaki neparni udvostručuje. Nacrtaj graf te funkcije. 14. Zadan je skup S = {x z : 3 x 4} i funkcija f koja svakom negativnom broju iz skupa S pridružuje suprotni broj, a svakom nenegativnom pridružuje 1. Nacrtaj graf te funkcije. 15. Graf prikazuje srednje mjesečne temperature zraka u Ogulinu Prikaži ovu funkciju tablicom. 16. U tablici su navedene količine oborina u Slavonskom Brodu 005. Prikaži funkciju grafički. 17. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 1 i 13 njegov kvadrat. a) Izračunaj f (4), f (5) i f (1). b) Odredi domenu funkcije f. c) Zapiši funkciju jednadžbom. d) Prikaži funkciju tablicom. e) Prikaži funkciju grafički. 16
21 18. Funkcija f pridružuje svakom prirodnom broju zbroj njegovih znamenaka. a) Izračunaj f (47), f (547), f (111). b) Kojim brojevima manjim od 1000 funkcija pridružuje broj 4? 19. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 6 i 6 njegovu dvostruku vrijednost. a) Izračunaj f ( 4), f (4), f (0). b) Nacrtaj graf funkcije. 0. Nacrtaj graf funkcije f koja svakom prirodnom broju pridružuje ostatak dijeljenja s 5. Odredi područje vrijednosti te funkcije. 1. Prikaži tablicom funkciju f (x) = 3x 1 u intervalu od do s korakom 1, tj. povećavajući vrijednost veličini x za 1.. Odredi linearnu funkciju f (x) = kx + l iz njezina tabličnog prikaza: a) b) c) d) 3. Dopuni tablice linearnih funkcija: a) b) c) d) 4. Zadana je funkcija sa R R. Prikaži je tablicom ako je: a) f : x 4x na intervalu od 1 do 5 s korakom, b) g : x 4x 1 na intervalu od 1 do 3 s korakom 1, c) h : x x 1 na intervalu od 8 do 8 s korakom
22 5. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + l ako je zadano: a) k = 3, l = 1, b) k =, l = 3, c) k = 1, l = 0. Nacrtaj graf dobivene funkcije i odredi sjecište grafa s osi ordinata. 6. Nacrtaj graf funkcije: a) f (x) = x +, b) f (x) = x + 1, c) f (x) = 3x + 4, d) f (x) = 3x +, e) f (x) = 4x +, f ) f( x) = 3 x Napiši linearnu funkciju f (x) = x + l ako njezin graf sadrži točku: a) T(, 3), b) T(4, 1), c) T(1, 1 ). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 8. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + 4 ako njezin graf sadrži točku: a) T(1, 3), b) T(4, 8), c) T( 1, 0). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 9. Odredi sjecišta grafa funkcije s osi apscisa: a) f (x) = x + 4, b) f (x) = x 4, c) f (x) = 3 x + 6, d) f (x) = x Odredi koja od sljedećih funkcije raste, a koja pada: a) f1( x) = 1 x 1, b) f ( x) = 3 x 7, 4 c) f3 ( x) = 3 x 7, 5 d) f ( x) = x, e) f ( x) = Automobil je startno mjesto napustio brzinom 10 m/s, a nakon toga je povećavao brzinu 3 m/s. Napiši izraz za brzinu automobila kao funkciju vremena. Nacrtaj graf funkcije. 3. Biciklist vozi brzinom 1 m/s i smanjuje brzinu za m/s svake dvije sekunde. Napiši izraz za brzinu biciklista i nacrtaj graf funkcije. 33. Nacrtaj graf funkcije: a) f( x) =, b) f( x) = 10. x x 164
23 Rješenja. A( 3, 4), B(1, 3), C(0, 4), D(3, 0), E(, ), F(0, 3), G(, 4). 3. A IV. kvadranta, B I. kvadranta, C II. kvadranta, D III. kvadranta. 4. a) A (1, 0), B (5, 0), C (, 0), D ( 4, 0), b) A (0, 5), B (0, 3), C (0, ), D (0, 3). 5. a) A ( 1, 4), B ( 3, 0), C (, 5), D ( 4, 1), E (0, 4), b) A (1, 4), B (3, 0), C (, 5), D (4, 1), E (0, 4). 6. A ( 1, 4), B (, 0), C ( 5, 5), D (3, 1), E (0, 4), F (0, 1). 7. B(5, 3). 8. B(, 7). 9. a) A( 1, 1), B(, ), C(4, 4), b) A( 1, 1), B(, ), C( 4, 4). Napomena: Simetrala je parnih kvadranata pravac y = x, a neparnih pravac y = x. 10. B(6, 1). a) B II (, 1), b) B III (, 3), c) B IV (6, 3). 11. a) A (4, 1), B (3, 5), C (0, 3), b) A ( 4, 1), B ( 3, 5), C (0, 3)
24 a) f (4) = 16, f (5) nije definirano, f (1) = 144, b) D = {, 4, 6, 8, 10, 1}, c) f (x) = x. 18. f (47) = 11, f (547) = 16, f (111) = 5, x {4, 13, 31, 11, 11, 11, 0,, 0, 301, 310, 130, 103, 40, 400}. 19. f ( 4) = 8, f (4) = 8, f (0) = a) f (x) = x 1, b) f (x) = 3x + 9, c) f (x) = 0.5x + 1, d) f (x) = 1 3 x a) b) c) d) 166
25 4. a) b) c) 5. a) f (x) = 3x 1, sjecište je točka (0, 1), b) f (x) = x + 3, sjecište je točka (0, 3), c) f (x) = 1 x, sjecište je točka (0, 0). 6. a) b) c) 167
26 d) e) f ) 7. a) f (x) = 3 x 6, b) f (x) = 3 x 7, c) f (x) = 3 x. 8. a) f (x) = 7x + 4, b) f (x) = 3x + 4, c) f (x) = 4x a), b) 4, c) 4, d) f 3 i f 4 rastu, f 1 i f padaju, f 5 niti raste niti pada. 31. f (x) = 3x f (x) = x a) b) 168
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5. Dio treci) Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja: Osnovni trigonometrijski identiteti) Tvrdnja:
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Trigonometrijske. funkcije realnog broja
1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.