Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija"

Transcript

1 Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4.

2 1. Koordinatni sustav u ravnini Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem ishodištu O koordinate 0 i jediničnoj točki E koordinate 1 uspostavili smo vezu između točaka pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Pravac na kojem je uveden koordinatni sustav nazvali smo brojevnim pravcem. Svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan broj pa kažemo da točka brojevnog pravca ima jednu koordinatu koju nazivamo apscisom točke. slika 1 Na slici 1 nacrtana je mreža paralela i meridijana. Pomoću nje moguće je svakom mjestu (položaju) na površini Zemlje pridružiti uređeni par realnih brojeva: geografsku širinu i geografsku duljinu koji u potpunosti određuju položaj točke na Zemlji. Koordinatni sustav u ravnini Neka je x brojevni pravac određen ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je y drugi brojevni pravac čije je ishodište ista točka O. Njegovu jediničnu točku označimo s F. Neka je pravac y okomit na pravac x i to tako da točka F bude iznad točke O. Uobičajeno je da su jedinične dužine na brojevnim pravcima sukladne, tj. da su im duljine jednake. Tako smo konstruirali pravokutni koordinatni sustav u 144

3 ravnini (slika ) koji ćemo označavati s xoy. Koordinatni sustav definiran pomoću ishodišta O i jediničnih dužina OE i OF obilježavamo (O, OE, OF ). Brojevne pravce x i y nazivamo koordinatnim osima. Pravac x prva je koordinatna os, x-os ili os apscisa. Pravac y druga je koordinatna os, y-os ili os ordinata. Točku O nazivamo ishodištem koordinatnog sustava u ravnini. slika slika 3 Točkom T koordinatne ravnine xoy povucimo pravce usporedne s koordinatnim osima. Sjecište T 1 (a) pravca usporednog s osi ordinata i osi apscisa predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os apscisa, a sjecište T (b) pravca usporednog s osi apscisa i osi ordinata predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os ordinata. Kažemo da je a apscisa ili prva koordinata, a b ordinata ili druga koordinata točke T i pišemo T(a, b) ili T = (a, b). Uočimo da smo točki T koordinatne ravnine pridružili uređeni par realnih brojeva (a, b) (slika 3). Uređenom paru realnih brojeva (a, b) možemo pridružiti točku T koordinatne ravnine xoy. Naime, povučemo li okomicu na x-os točkom T 1 (a) i okomicu na y-os točkom T (b), sjecište tih okomica upravo je točka T kojoj je a apscisa, a b ordinata. Brojeve a i b nazivamo koordinatama točke T. Zaključimo: 1. Svakoj točki T koordinatne ravnine xoy pridružen je jedan i samo jedan uređeni par realnih brojeva (a, b).. Svakom uređenom paru realnih brojeva (a, b) pridružena je jedna i samo jedna točka koordinatne ravnine xoy. 145

4 Primjer 1 Na slici 4 nacrtan je koordinatni sustav u ravnini i u njemu točke A(4, 0), B(3, 1), C(0, ), D( 1, 3), G(, 0), H( 3, ), I(0, 4), J(3, 3). slika 4 Koordinatne osi dijele koordinatnu ravninu na četiri dijela (kvadranta) (slika 5). Neka je T(x, y) točka u ravnini. Ako je x > 0 i y > 0, onda točka T pripada prvom kvadrantu, x < 0 i y > 0, onda točka T pripada drugom kvadrantu, x < 0 i y < 0, onda točka T pripada trećem kvadrantu, x > 0 i y < 0, onda točka T pripada četvrtom kvadrantu. slika 5 146

5 . Funkcija Promatrajmo dva neprazna skupa. Postupak (preslikavanje) kojim se svakom elementu jednog skupa pridružuje po jedan element drugog skupa nazivamo funkcijom. slika 6 Na slici 6 predočena je funkcija f koja elementima skupa A pridružuju elemente skupa B, što zapisujemo ovako: f : A B. Skup čije elemente preslikavamo nazivamo domenom ili područjem definicije funkcije (oznaka: D(f )), a element tog skupa nazivamo argumentom ili nezavisnom varijablom (veličinom) funkcije f. Skup u koji preslikavamo zovemo kodomenom ili područjem vrijednosti funkcije (oznaka: K(f )), a element tog skupa nazivamo vrijednošću funkcije f ili zavisnom varijablom (veličinom). Ako funkcija f : A b elementu domene x A pridružuje element kodomene y B, to zapisujemo ovako: y = f (x). Za funkciju f sa slike 6 skup A je domena, a skup b kodomena. Važno je istaknuti dva svojstva funkcije: 1. Svi se elementi domene preslikavaju, tj. funkcija svakom elementu domene pridružuje neki element kodomene.. Elementu domene pridružen je samo jedan element kodomene, tj. ne postoji element domene koji se preslikava u dva ili više elemenata kodomene. 147

6 Funkciju možemo zadati na tri načina: 1. formulom, npr. Gpv kv ( ) =, 100. tablicom, npr. 3. grafom, npr. Primjer Elementima skupa A = {, 4, 5, 7} pridružimo njihove kvadrate. Rješenje Označimo zadanu funkciju oznakom f. Domena joj je skup A. Budući da je f : x x za ma koji x A, to je f : 4, f : 4 16, f : 5 5, f : Uočimo ovdje strelice sa zaperkom, što govori da preslikavamo element, a ne skup. Ovu funkciju možemo prikazati tablicom: slika 7 148

7 Primjer 3 Neka je A = {, 3, 4} domena funkcije f. Neka je kodomena funkcije f podskup skupa B = {x N x 10}. Neka je funkcija f zadana formulom f (x) = x + 4. To znači da za svaki element x domene vrijedi: x x + 4. Tada je: f () = + 4 = 6, f (3) = = 7 i f (5) = = 9. Elementi skupa A = {, 3, 4} = D(f ) su nezavisne veličine funkcije jer u formulu, kojom je funkcija zadana, možemo uvrstiti bilo koji element skupa A, a elementi skupa {6, 7, 9} = K(f ) B su vrijednosti te funkcije. Primjer 4 Promatrajmo neki grad. Neka je S skup svih njegovih stanovnika, a A skup svih automobila s registarskom oznakom toga grada. Neka je V 1 skup svih stanovnika toga grada koji su vlasnici automobila, a V skup svih vozača, njegovih stanovnika. Promatrajmo preslikavanje f : A V 1 koje svakom automobilu pridružuje njegovog vlasnika. To preslikavanje jest funkcija. (Zašto?) Promatrajmo sada preslikavanje g : A V koje svakom automobilu pridružuje njegova vozača. To nije funkcija jer isti automobil može voziti više vozača (doduše ne istodobno). Promotrimo još preslikavanje h : S A. Ovdje je svakom stanovniku pridružen njegov automobil. Ni to nije funkcija jer postoje građani koji nemaju automobil (elementi domene koji nemaju sliku), ali možda i oni koji imaju više od jednog automobila. 149

8 Primjer 5 Promatrajmo funkciju s : N N koja svakom prirodnom broju pridružuje njegova slijednika, tj. s : n n +1 za proizvoljni n N. Funkcija s broju 1 pridružuje broj, broju pridružuje 3, itd. To možemo zapisati ovako: s(1) =, s() = 3, s(3) = 4, s(4) = 5 itd. Ako prirodne brojeve prikažemo kao niz točaka pravca, funkciju s možemo grafički prikazati ovako: slika 8 Uočimo da i domena i kodomena mogu imati beskonačno mnogo elemenata. Primjer 6 Neka je k : Z N 0 preslikavanje koje svaki cijeli broj preslikava u njegov kvadrat. To je funkcija koju možemo predočiti grafički kao na slici 9. slika 9 Točke istaknute na horizontalnom pravcu prikazuju cijele brojeve, a točke uspravnog pravca predočuju elemente skupa N 0. Preslikavanje broja 3 u 9 možemo obilježiti i ovako: ( 3, 9). Analogno možemo zapisati i ostale uređene parove: (, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (, 4), (3, 9), (4, 16) itd. Dakle, prvom elementu uređenoga para, funkcija k pridružuje drugi element toga para. 150

9 Primjer 7 Jednog siječanjskog dana instrument za mjerenje temperature zabilježio je sljedeći graf: slika 10 Ovdje su elementima podskupa realnih brojeva [0, 4] pridruženi realni brojevi (iznosi temperatura). S grafa možemo očitati da je temperatura u 1 sati bila 10 C, a u 17 sati 7 C. Temperatura je iznosila 5.5 c u 9 sati i u 18 sati. Funkciju kojoj je kodomena skup realnih brojeva ili neki njegov podskup nazivamo realnom funkcijom. Za funkciju kažemo da je funkcija realne varijable ako joj je domena skup realnih brojeva ili neki podskup tog skupa. Funkcija f : [0, 4] R iz prethodnog primjera realna je funkcija (jer joj je kodomena skup R) realne varijable (jer joj je domena [0, 4] podskup skupa R, tj. (f ) = [0, 4] R). Realna funkcija f : A b svakom elementu domene, x (f ) R, pridružuje broj y = f (x) pa možemo promatrati uređeni par (x, y) kojem smo u koordinatnoj ravnini pridružili točku T(x, y). Skup tako dobivenih točaka predstavlja graf funkcije f; oznaka: Γ(f ) = {(x, f (x)) : x R}. Primjer 8 Zadana je funkcija F : R R formulom F( x) = 3x 5. Koje vrijednosti ona pridružuje brojevima 3, 1,,? 3 ) i C( 31, ) grafu te funkcije? Pripadaju li točke A(, 4), B( 3, 151

10 Da bismo provjerili koja od zadanih točaka pripada grafu funkcije, uvrstimo apscisu svake točke umjesto x u izraz za funkciju. Ako se dobiveni broj podudara s ordinatom točke, točka leži na grafu funkcije. F()= 3 5 =7, rezultat nije 4, pa točka A ne pripada grafu. F( 3) = 3 ( 3) 5 =, rezultat je jednak ordinati točke B, pa B pripada grafu. F( 3)=3 ( 3) 5=4. I točka C pripada grafu funkcije F. Linearna funkcija Neka su k i l realni brojevi. Funkciju f : R R zadanu formulom f (x) = kx + l nazivamo linearnom funkcijom. Graf linearne funkcije jest pravac. (Naziv funkcije temelji se na latinskoj riječi linea, čije je značenje crta, pravac.) Primjer 9 1 Zadana je linearna funkcija f(x)= x 3. a) Izračunajmo f ( ), f (0) i f (4). b) Nacrtajmo graf funkcije. c) Za koliko se vrijednost funkcije promijenila ako je veličina x narasla s x 1 = na x = 10? Rješenje a) f ( ) = 1 ( ) 3= 1 3= 4, f (0)= 1 0 3=0 3= 3, f (4)= 1 4 3= 3= 1. b) c) Kako je f ( ) = 1 3=, 15 slika 11 a f (10) = =, vrijednost funkcije se povećala za 4.

11 Neka su (x 1, y 1 ) i (x 1, y ).različite točke grafa linearne funkcije f(x) = kx + l. Za njihove koordinate vrijedi: kx1+ l= y1 kx + l= y. Oduzmimo prvu jedakosti od druge: Ako je x x, slijedi: 1 kx + l kx1 l= y y1 k( x x ) = y y 1 1 y k = x y. x 1 1 Dobiveni broj nazivamo koeficijentom smjera pravca određenog točkama (x 1, y 1 ) i (x, y ). On govori o nagibu grafa linearne funkcije prema x-osi. Koeficijent smjera linearne funkcije omjer je prirasta vrijednosti funkcije i prirasta argumenta. Primjer 10 Odredi koeficijent smjera pravca određenog točkama A(, 1) i B(4, 5). Rješenje Prema posljednjoj formuli dobivamo k= 5 1 = 4 =. 4 ( ) 6 3 Uočimo: ako je x 1 = x, riječ je o pravcu okomitom na x-os koji siječe tu os u točki T(x 1, 0) (slika 1). slika 1 153

12 Budući da je koeficijent smjera realan broj, to može biti pozitivan ili negativan broj ili nula. Zato ćemo razmotriti sljedeća tri slučaja. 1. Pogledajmo graf linearne funkcije f (x) = kx + l predočen na slici 13. slika 13 Uočimo na grafu funkcije točku A(x 1, y 1 ). Pomičimo se po grafu funkcije f tako da apscise točaka budu sve veće dok ne dođemo u točku B(x, y ). Pritom je vrijednost funkcije porasla za y y 1. Prema tome, promjena argumenta x za x x 1, dovela je do promjene vrijednosti funkcije za y y 1, pa broj y y 1 nazivamo promjenom ili prirastom funkcije f. Broj y y 1 brojnik je razlomka kojeg smo nazvali koeficijentom smjera. Što je graf strmiji, to je prirast funkcije veći i koeficijent smjera je veći. Što je graf položeniji, prirast funkcije je manji, pa je i koeficijent smjera manji. Vrijedi i obrat: što je koeficijent smjera funkcije veći, za isti nazivnik brojnik mu je veći, a to znači da je prirast funkcije veći, a to povlači da je graf funkcije strmiji. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) rastuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke koje pripadaju grafu linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y > y 1, linearna je funkcija (strogo) rastuća.. Pogledajmo graf linearne funkcije na slici slika 14

13 Ako se iz točke A s apscisom x 1 pomaknemo u točku B s apscisom x takvu da je x > x 1 odnosno x x 1 > 0, vrijednost funkcije smanjuje se s y 1 na y jer je y < y 1. Zato je prirast funkcije y y 1 negativan pa je i njezin koeficijent smjera negativan. Obratno: ako je koeficijent smjera linearne funkcije negativan, uz pozitivan nazivnik, brojnik će mu biti negativan, a to znači da je prirast funkcije negativan, tj. vrijednost funkcije nije porasla, nego se smanjila. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) padajuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke grafa linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y < y 1, linearna je funkcija (strogo) padajuća. 3. Promatrajmo linearnu funkciju čiji je graf usporedan s x-osi kao na slici 15. slika 15 Krećemo li se grafom od točke s apscisom x 1 prema točki s apscisom x, vrijednost se funkcije ne mijenja, ona je konstantna. U tom je slučaju y 1 = y, odnosno y y 1 = 0 pa je koeficijent smjera jednak 0. Konstanta je, dakle, funkcija koja cijelu domenu preslikava u jedan element. y y1 Obratno, ako je k = 0, brojnik razlomka k = mora biti 0, a tada je x x1 y 1 = y, tj. funkcija niti raste niti pada. Zaključimo: Graf linearne funkcije f(x) = kx + l, k, l R, jest pravac. Ako je k > 0, funkcija raste. Ako je k = 0, graf funkcije je pravac usporedan s x-osi. Ako je k < 0, funkcija pada. 155

14 Primjer 11 Zadane su funkcije f (x) = x + 3, g(x) = 3x + 7, h(x) = x, k( x) = 3 x+ 1. Koja od njih ima najveći prirast? Koje su od zadanih funkcija rastuće? Nacrtajmo njihove grafove. Rješenje Funkcija najvećeg koeficijenta smjera ima najveći prirast, a to je funkcija f. Rastuće funkcije imaju pozitivan koeficijent smjera, a to su funkcije f i k. Da bismo mogli nacrtati graf linearne funkcije (pravac), potrebno je znati koordinate najmanje dviju točaka toga pravca. Prikladno je njihove koordinate zapisati tablično. Argument x odaberimo po volji, a vrijednosti funkcije izračunajmo po formuli kojom je funkcija zadana. Pokažimo to na primjeru funkcije f: f ( ) = ( ) + 3 = 1, f (0) = = 3, f (1) = = 5. Stavimo ove rezultate u tablicu: Iz tablice čitamo koordinate točaka grafa: (, 1), (0, 3), (1, 5). U koordinatnom sustavu nacrtajmo te točke i njima povucimo pravac (slika 16). 156 slika 16

15 Analogno postupamo kod crtanja grafova ostalih funkcija (slike 17, 18, 19): slika 17 slika 18 slika 19 Napomena: Zbog izbjegavanja eventualnih grešaka preporuča se odrediti (barem) tri točke grafa i njih nacrtati u koordinatnom sustavu. 157

16 Funkcija f (x)= k x Za realne brojeve k i l definirali smo linearnu funkciju f (x) = kx + l. Ako je k > 0 i l = 0, linearna funkcija poprima oblik f (x) = kx. Za veličine x i f (x) tada kažemo da su razmjerne (proporcionalne), a za takvu funkciju kažemo da je funkcija upravne razmjernosti (proporcionalnosti) ili, jednostavno, funkcija razmjernosti. U šestom poglavlju razmatrat ćemo primjenu upravne razmjernosti u ekonomiji i zbog tih primjena ograničili smo se na slučaj k > 0. Primjer 1 Pješak žustrim korakom prepješači 4 km za jedan sat. Prikažimo prevaljeni put pješaka kao funkciju proteklog vremena. Rješenje Za dvostruko više vremena pješak će prevaliti dvostruko dulji put. Utrostruči li se vrijeme, utrostručit će se i prevaljeni put. Tablicom to možemo iskazati ovako: Ovdje je x proteklo vrijeme (koje može biti zadano kao bilo koji realni broj), a f (x) je prevaljeni put kojeg računamo po formuli: f (x) = 4 x. Iz tablice se vidi kako se povećanjem broja x povećava i f (x) (i to četverostruko). Nacrtajmo graf ove funkcije: slika 0 Iz grafa čitamo da je funkcija rastuća, tj. povećanjem argumenta vrijednost se funkcije povećava. 158

17 Općenito, za svaku linearnu funkciju f (x) = kx, k > 0, povećanjem broja x, povećava se i f (x). Pritom realni broj k > 0 nazivamo koeficijentom razmjernosti (proporcionalnosti). Za dvije veličine kažemo da su upravno razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje povećanje (smanjenje) druge. Za dvije veličine kažemo da su obrnuto razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje smanjenje (povećanje) druge. Ovisnost obrnuto razmjernih veličina prikazuje funkcija obrnute razmjernosti f( x) = k, x gdje je k pozitivan realan broj. Ovdje su x i f (x) obrnuto razmjerne veličine, a k koeficijent obrnute razmjernosti. Napomenimo da za obrnuto razmjerne veličine vrijedi: x f (x) = k, tj. umnožak obrnuto razmjernih veličina konstantan je broj. Primjer 13 Obalu jezera duljine 4 km pješak u kondiciji prevali za 1 sat, šetaču je potrebno dva sata, a skupini djece, čiju pozornost privuku usputne zanimljivosti, neće biti dovoljno ni 4 sata. Prikažimo ovisnost vremena potrebnog za obilazak jezera o brzini gibanja. Rješenje Očigledno je da manja brzina zahtijeva veće vrijeme, a povećanjem brzine potrebno se vrijeme smanjuje. Prikažimo ovisnost vremena o brzini gibanja. Neka je x brzina, tada sljedeća tablica daje vrijednosti za potrebno vrijeme f (x): Ovdje se radi o funkciji f ( x) = 4, x > 0. Prema gornjoj tablici nacrtajmo njezin graf: x 159

18 slika 1 I graf pokazuje kako funkcija pada: povećanjem jedne veličine brzine x, smanjuje se druga veličina vrijeme f (x). I primjenu obrnute razmjernosti detaljnije razmatramo u šestom poglavlju. Nacrtajmo graf funkcije f( x) = 1, pri čemu veličina x nema neko određeno značenje. x Zbog toga domenu ove funkcije čine svi realni brojevi, osim nule, jer dijeljenje s nulom nije definirano. Napravimo najprije tablični prikaz te funkcije, a zatim nacrtajmo graf: 160 slika

19 Zadaci Koordinatni sustav u ravnini 1. U koordinatnom sustavu prikaži točke: A(3, 1), B(, 4), C( 5, 3), D(4, ), E(0, 4), F(3, 0), G( 4, 0), H(0, 5).. Odredi koordinate točaka na slici. 3. Kojem kvadrantu pripadaju točke: A(4, 5), B(3, 5), C( 3, 3), D( 4, 6)? 4. Nađi ortogonalne projekcije točaka A(1, 5), B(5, 3), C(, ), D( 4, 3) a) na x-os, b) na y-os. 5. Odredi točke simetrične točkama A( 1, 4), B( 3, 0), C(, 5), D( 4, 1), E(0, 4) a) s obzirom na x-os, b) s obzirom na y-os. Nacrtaj. 6. Zadane su točke A(1, 4), B(, 0), C(5, 5), D( 3, 1), E(0, 4), F(0, 1). Nađi svakoj od njih centralnosimetričnu točku s obzirom na ishodište. Nacrtaj. 7. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s x-osi. Koje koordinate ima točka B(5, y) ako i ona pripada tom pravcu? 8. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s y-osi. Koje koordinate ima točka B(x, 7) ako i ona pripada tom pravcu? 9. Odredi nepoznatu koordinatu točaka A( 1, y), B(x, ), C(x, 4) ako one pripadaju: a) simetrali neparnih kvadranata, b) simetrali parnih kvadranata. 10. Neka je A(, 1) rubna točka dužine AB. Odredi točku B iz prvog kvadranta ako je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na x-os 4, a na y-osi. Koje bi koordinate imala točka B da pripada a) drugom, b) trećem, c) četvrtom kvadrantu? 161

20 11. Trokutu s vrhovima A(4, 1), B(3, 5), C(0, 3) odredi simetričan trokut s obzirom na a) x-os, b) y-os. Funkcija 1. Funkcija f pridružuje elementima skupa suprotne brojeve, a funkcija g elementima skupa S = 3, 1, 3,, pridružuje recipročne brojeve. Prikaži funkcije f i g tablicom. 13. Zadan je skup S = {x N : x < 7} i funkcija f koja svakom parnom broju iz skupa S pridružuje upola manji broj, a svaki neparni udvostručuje. Nacrtaj graf te funkcije. 14. Zadan je skup S = {x z : 3 x 4} i funkcija f koja svakom negativnom broju iz skupa S pridružuje suprotni broj, a svakom nenegativnom pridružuje 1. Nacrtaj graf te funkcije. 15. Graf prikazuje srednje mjesečne temperature zraka u Ogulinu Prikaži ovu funkciju tablicom. 16. U tablici su navedene količine oborina u Slavonskom Brodu 005. Prikaži funkciju grafički. 17. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 1 i 13 njegov kvadrat. a) Izračunaj f (4), f (5) i f (1). b) Odredi domenu funkcije f. c) Zapiši funkciju jednadžbom. d) Prikaži funkciju tablicom. e) Prikaži funkciju grafički. 16

21 18. Funkcija f pridružuje svakom prirodnom broju zbroj njegovih znamenaka. a) Izračunaj f (47), f (547), f (111). b) Kojim brojevima manjim od 1000 funkcija pridružuje broj 4? 19. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 6 i 6 njegovu dvostruku vrijednost. a) Izračunaj f ( 4), f (4), f (0). b) Nacrtaj graf funkcije. 0. Nacrtaj graf funkcije f koja svakom prirodnom broju pridružuje ostatak dijeljenja s 5. Odredi područje vrijednosti te funkcije. 1. Prikaži tablicom funkciju f (x) = 3x 1 u intervalu od do s korakom 1, tj. povećavajući vrijednost veličini x za 1.. Odredi linearnu funkciju f (x) = kx + l iz njezina tabličnog prikaza: a) b) c) d) 3. Dopuni tablice linearnih funkcija: a) b) c) d) 4. Zadana je funkcija sa R R. Prikaži je tablicom ako je: a) f : x 4x na intervalu od 1 do 5 s korakom, b) g : x 4x 1 na intervalu od 1 do 3 s korakom 1, c) h : x x 1 na intervalu od 8 do 8 s korakom

22 5. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + l ako je zadano: a) k = 3, l = 1, b) k =, l = 3, c) k = 1, l = 0. Nacrtaj graf dobivene funkcije i odredi sjecište grafa s osi ordinata. 6. Nacrtaj graf funkcije: a) f (x) = x +, b) f (x) = x + 1, c) f (x) = 3x + 4, d) f (x) = 3x +, e) f (x) = 4x +, f ) f( x) = 3 x Napiši linearnu funkciju f (x) = x + l ako njezin graf sadrži točku: a) T(, 3), b) T(4, 1), c) T(1, 1 ). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 8. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + 4 ako njezin graf sadrži točku: a) T(1, 3), b) T(4, 8), c) T( 1, 0). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 9. Odredi sjecišta grafa funkcije s osi apscisa: a) f (x) = x + 4, b) f (x) = x 4, c) f (x) = 3 x + 6, d) f (x) = x Odredi koja od sljedećih funkcije raste, a koja pada: a) f1( x) = 1 x 1, b) f ( x) = 3 x 7, 4 c) f3 ( x) = 3 x 7, 5 d) f ( x) = x, e) f ( x) = Automobil je startno mjesto napustio brzinom 10 m/s, a nakon toga je povećavao brzinu 3 m/s. Napiši izraz za brzinu automobila kao funkciju vremena. Nacrtaj graf funkcije. 3. Biciklist vozi brzinom 1 m/s i smanjuje brzinu za m/s svake dvije sekunde. Napiši izraz za brzinu biciklista i nacrtaj graf funkcije. 33. Nacrtaj graf funkcije: a) f( x) =, b) f( x) = 10. x x 164

23 Rješenja. A( 3, 4), B(1, 3), C(0, 4), D(3, 0), E(, ), F(0, 3), G(, 4). 3. A IV. kvadranta, B I. kvadranta, C II. kvadranta, D III. kvadranta. 4. a) A (1, 0), B (5, 0), C (, 0), D ( 4, 0), b) A (0, 5), B (0, 3), C (0, ), D (0, 3). 5. a) A ( 1, 4), B ( 3, 0), C (, 5), D ( 4, 1), E (0, 4), b) A (1, 4), B (3, 0), C (, 5), D (4, 1), E (0, 4). 6. A ( 1, 4), B (, 0), C ( 5, 5), D (3, 1), E (0, 4), F (0, 1). 7. B(5, 3). 8. B(, 7). 9. a) A( 1, 1), B(, ), C(4, 4), b) A( 1, 1), B(, ), C( 4, 4). Napomena: Simetrala je parnih kvadranata pravac y = x, a neparnih pravac y = x. 10. B(6, 1). a) B II (, 1), b) B III (, 3), c) B IV (6, 3). 11. a) A (4, 1), B (3, 5), C (0, 3), b) A ( 4, 1), B ( 3, 5), C (0, 3)

24 a) f (4) = 16, f (5) nije definirano, f (1) = 144, b) D = {, 4, 6, 8, 10, 1}, c) f (x) = x. 18. f (47) = 11, f (547) = 16, f (111) = 5, x {4, 13, 31, 11, 11, 11, 0,, 0, 301, 310, 130, 103, 40, 400}. 19. f ( 4) = 8, f (4) = 8, f (0) = a) f (x) = x 1, b) f (x) = 3x + 9, c) f (x) = 0.5x + 1, d) f (x) = 1 3 x a) b) c) d) 166

25 4. a) b) c) 5. a) f (x) = 3x 1, sjecište je točka (0, 1), b) f (x) = x + 3, sjecište je točka (0, 3), c) f (x) = 1 x, sjecište je točka (0, 0). 6. a) b) c) 167

26 d) e) f ) 7. a) f (x) = 3 x 6, b) f (x) = 3 x 7, c) f (x) = 3 x. 8. a) f (x) = 7x + 4, b) f (x) = 3x + 4, c) f (x) = 4x a), b) 4, c) 4, d) f 3 i f 4 rastu, f 1 i f padaju, f 5 niti raste niti pada. 31. f (x) = 3x f (x) = x a) b) 168

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske. funkcije realnog broja

Trigonometrijske. funkcije realnog broja 1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα