4 Elementarne funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 Elementarne funkcije"

Transcript

1 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom n tog stupnja. Brojevi a n, a n,..., a, a 0 nazivaju se koeficijenti polinoma, a specijalno se a n zove vodeći koeficijent, a a 0 slodobni koeficijent. Teorem. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s: f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0, g(x) = b m x m + b m x m b x + b 0, su jednaki ako i samo ako je m = n i a i = b i, i = 0,,..., n. Svaki broj α, realan ili kompleksan, za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f. Specijalno, ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = c, c R \ {0} i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je paralelan s x osi. Ako je f(x) = 0, x R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov stupanj ne definiramo). Teorem. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 je nul polinom ako i samo ako su svi koeficijenti a i = 0, i = 0,,..., n. Slika : Graf konstante

2 Specijalno, ako je n = onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = kx + l, k 0 i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni koeficijent odsječak na y osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: l. Linearna k funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0. Graf linearne funkcije je pravac y = kx + l (a) k > (b) k < 0 Slika : Graf linearne funkcije Specijalno, ako je n = onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = ax + bx + c, a 0 i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj D = b 4ac. Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli: x, = b ± D. a

3 Ako je D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednostruke nultočke), D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku nultočku), D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke. Tjeme kvadratne funkcije je točka T (x 0, y 0 ) = T ( b 4ac b, ). a 4a Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y osi. Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo rastuća na intervalu (x 0, + ). Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo padajuća na intervalu (x 0, + ). 3

4 Slika 3: Graf kvadratne funkcije (a) a > 0, D < 0, (b) a > 0, D = 0, (c) a > 0, D > 0, (d) a < 0, D > 0, (e) a < 0, D = 0, (f) a < 0, D < 0, Zbrajanje i množenje polinoma: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). Množenje polinoma skalarom: (λf)(x) = λf(x). 4

5 Zadaci Zadatak. Odredite zbroj polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x + x b) f(x) = x 3 + 5x x + 7; g(x) = 3x 3 x + 5x 3 c) f(x) = x 5 3x 4 + 5x x + ; g(x) = x 5 + 3x 4 5x + x d) f(x) = 3x 3 x + ; g(x) = x 6 3x x. Zadatak. Odredite razliku polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x 3x + 5 b) f(x) = 3x 3 4x + ; g(x) = 3x 3 x x + 3 c) f(x) = x 5 3x 3 + x; g(x) = x 4 3x 3 + x + x d) f(x) = x 6 3x ; g(x) = 3x 5 x 4 3x +. Zadatak 3. Za zadane polinome f(x) i g(x) odredite linearnu kombinaciju (af +bg), gdje je a) f(x) = x 3 3x + x ; g(x) = x 6 + 5x 3x + ; a = 3; b = b) f(x) = 4x 3 3x x + ; g(x) = 3x 4 x x + 5; a = ; b = 3 c) f(x) = x 3 x + 4x ; g(x) = 3x 3 3x + 6x + ; a = 3; b = d) f(x) = x 4 3x 3 + 5x x + ; g(x) = 3x 4 5x 3 + 8x 3x + 5; a = 5; b = e) f(x) = 3x 5 x + x ; g(x) = x 4 + x 3 x + x ; a = ; b = Zadatak 4. Odredite produkt zadanih polinoma f(x) i g(x): a) f(x) = 3x x + ; g(x) = x b) f(x) = x 3 x + ; g(x) = x 5 + x 3 + x c) f(x) = x 3 + x + x + ; g(x) = x 3 x + x d) f(x) = x 4 x x ; g(x) = x 3 + x + e) f(x) = x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + ; g(x) = x + Zadatak 5. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma: a) f(x) = (x x + ) 000 (x x + ) 0 b) f(x) = (x x + 3) 987 (x 6x + 5) 987 c) f(x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540 d) f(x) = (x + 3x + ) 00 (x 3x + ) 00 5

6 Zadatak 6. Dokažite da ne postoji polinom f s cjelobrojnim koeficijentima takav da je f() f(7) prost broj. Zadatak 7. Razvijte polinom f(x) po potencijama zadanog polinoma prvog stupnja: a) f(x) = x 3 3x + ; (x ) b) f(x) = x 3 + 3x + ; (x + ) c) f(x) = x 4 5x 3 + 5x + x + ; (x ) d) f(x) = x 5 + x 4 x + x + ; (x + ) Zadatak 8. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma odredite f(x) ako je: a) f(x + 3) = x + x + b) f(x ) = 8x x c) f(x + ) = 4x + x + 3 d) f( x + ) = x x + 3 e) f(x ) = x 3 6x + x 5 Zadatak 9. Odredite polinom drugog stupnja ako je: a) f() = 6; f() = ; f( ) = 8 b) f() = 4; f() = 3; f(0) = 9 c) f() = ; f( ) = 8; f(0) = Zadatak 0. Odredite realne brojeve a i b tako da polinom f(x) = x 4 + x 3 + ax + x + b bude kvadrat nekog polinoma. Zadatak. Polinom f(x) = x 4 6x 3 + 7x + 6x + kvadrat je nekog polinoma. Odredite kojeg. Zadatak. Za polinom f(x) = x+3 odredite sve linearne polinome g(x) takve da vrijedi (f g)(x) = (g f)(x). Za takve polinome kažemo da komutiraju. Zadatak 3. Uz koje je uvjete polinom drugog stupnja kvadrat nekog polinoma prvog stupnja. 6

7 4.. Djeljivost polinoma Za polinom f(x) kažemo da je djeljiv polinomom g(x) 0 ako postoji polinom h(x), st(h) > 0, takav da je f(x) = g(x) h(x). Teorem. Za svaka dva polinoma f, g 0 postoje jedinstveni polinomi q i r takvi da vrijedi f = g q + r. Pri tome je uvijek st(r) < st(g). Ako je za polinome f i g pripadni polinom r 0, onda se polinom q zove nepotpuni kvocijent polinoma f i g, a polinom r ostatak pri dijeljenju polinoma f sa g. Ako je r = 0, onda se q zove kvocijent polinoma f i g i piše se q = f g. Polinom f djeljiv je polinomom g ako i samo ako je ostatak r nul-polinom. Zadatak 4. Podijelite zadane polinome f(x) i g(x): a) f(x) = x 3 + x + x + ; g(x) = 3x x + b) f(x) = x 5 x 4 + x 3 x 4x + ; g(x) = x x + c) f(x) = x 3 + x + x + ; g(x) = x + d) f(x) = 6x 4 x 3 x + ; g(x) = x 3 e) f(x) = x 4 3x 3 + x + x 5; g(x) = x + x 3 f) f(x) = x 4 7x 3 + 5x 8x + 3; g(x) = x 3x g) f(x) = 6x 5 + 9x 4 5x 3 + 6x + 3x 4; g(x) = 3x 3 x + 4 Zadatak 5. Odredite realne brojeve a i b tako da ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) = x 4 3x ax + b polinomom g(x) = x + bude 3, a polinomom h(x) = x bude 3. Zadatak 6. Ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) polinomom (x ) je, a polinomom (x 3) je 0. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) polinomom g(x) = x 5x + 6. Zadatak 7. Ako polinom f(x) pri dijeljenju polinomom (x a) daje ostatak r, a polinomom (x b) ostatak r, koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) polinomom g(x) = (x a)(x b). Zadatak 8. Pokažite da je polinom f(x) = x 5 + x 4 x 3 + 4x + x 6 djeljiv bez ostatka polinomom g(x) = (x ) (x + ) (x + 3). Zadatak 9. Odredite realne brojeve a i b tako da polinom f(x) = x 3 + ax 5x + b bude djeljiv polinomom g(x) = x x. 7

8 Zadatak 0. Polinom f(x) = x 3 + ax 3x + b pri dijeljenju sa (x ) daje ostatak 6, a pri dijeljenju sa (x + ) ostatak 0 (djeljiv je polinomom (x + )). Odredite a i b, a zatim i ostatak pri dijeljenju f(x) s g(x) = (x )(x + ). Zadatak. Odredite sve prirodne brojeve n za koje je polinom f(x) = (x + ) n + (x ) n djeljiv s polinomom g(x) = x. 4.. Hornerov algoritam Neka je f(x) = a n x n +a n x n +...+a x+a 0, a n 0, polinom n-tog stupnja i g(x) = x x 0, x 0 R, linearan polinom. Prema teoremu o djeljivosti polinoma postoje jedinstveni polinomi q(x) i r(x) oblika: q(x) = b n x n + b n x n b x + b 0, r(x) = r, takvi da je f(x) = q(x) g(x) + r(x). Iz ove jednakosti slijedi Hornerov algoritam koji služi za izračunavanje koeficijenata b n,..., b 0 polinoma q(x) i ostatka r(x) = r: a n a n a n... a a 0 x 0 a n }{{} b n x 0 b n + a n }{{} b n x 0 b n + a n... x 0 b + a x }{{}}{{} 0 b 0 + a }{{ 0 } b n 3 b 0 r Napomena. Hornerov algoritam pogodan je za izračunavanje vrijednosti polinoma f(x) za x = α. Naime, iz f(x) = q(x)(x α) + r za x = α dobivamo f(α) = r, tj. ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) polinomom g(x) = x α jednak je vrijednosti polinoma f za x = α. Zadatak. Pomoću Hornerovog algoritma odredite kvocijent q(x) i ostatak r(x) za zadane polinome: a) f(x) = x 4 3x 3 + x x + g(x) = x b) f(x) = 3x 3 + x g(x) = x + c) f(x) = 4x 3 + x + g(x) = x d) f(x) = 3x 5 5x 3 + 4x g(x) = x + 3 e) f(x) = x 5 3x + 7x + g(x) = x + 8

9 Zadatak 3. Primjenom Hornerovog algoritma izračunajte vrijednost polinoma f(x) za x = x 0 : a) f(x) = 3x 3 x + x + 5 x 0 = b) f(x) = 4x 4 + x + x 0 = c) f(x) = x 5 3x 3 + x + x 0 = d) f(x) = x 4 + 6x 3 8x + 9x 5 x 0 = 5 e) f(x) = x 4 x + 5 x 0 = 3 Zadatak 4. Primjenom Hornerovog algoritma razvijte polinom f(x) po potencijama polinoma (x a), ako je: a) f(x) = x 3 x + 3x + 5 a = b) f(x) = x 4 + 3x 3 4x + 6x 5 a = c) f(x) = x 5 3x 3 + 6x 8x 4 a = 3 d) f(x) = x 7 + x 5 x 3 + x + a = e) f(x) = 3x 3 x + 4x + 4 a = Zadatak 5. Primjenom Hornerovog algoritma odredite koeficijente A, B, C, D, E u ovim rastavima: a) x 3 x + (x ) 5 = A (x ) + B 5 (x ) + C 4 (x ) + D 3 (x ) + E (x ) b) x 4 x + 3 (x + ) 5 = A (x + ) + B 5 (x + ) + C 4 (x + ) + D 3 (x + ) + E (x + ) Zadatak 6. Za koje a, b R je polinom f(x) = x 4 + ax 3 + x + bx + 4 djeljiv polinomom g(x) = x + x? Zadatak 7. Za koje a, b R je polinom f(x) = ax 4 + bx 3 + djeljiv polinomom g(x) = (x )? Zadatak 8. Odredite a R takav da ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) = x 4 3x 3 + x + a polinomom g(x) = x bude jednak 4. Zadatak 9. Odredite sve k Z sa svojstvom da je k k + k Z. 9

10 4..3 Euklidov algoritam Polinom h(x) naziva se zajednička mjera ili zajednički djelitelj (divizor) polinoma f(x) i g(x) ako su i f i g djeljivi njime. Za zajedničku mjeru h polinoma f i g kažemo da je najveća zajednička mjera od f i g ako je h djeljiv sa svakom zajedničkom mjerom od f i g. NZM polinoma f i g nije jednoznačno određena, jer ako je polinom h(x) zajednička mjera od f i g, tada je to i polinom a h(x), a R\{0}. Po dogovoru se uzima da je NZM polinoma f i g normirani polinom (u tom je slučaju NZM jednoznačno određena) i označava se sa M(f, g). Teorem 3. Za svaka dva polinoma f(x) 0 i g(x) 0 postoji jednoznačno određena zajednička mjera M(f, g). Ako je za polinome f(x) i g(x) M(f, g) =, onda kažemo da su oni relativno prosti polinomi. Algoritam: Neka su f i g dva polinoma, st f st g. Uzastopnom primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom dobivamo sljedeći niz jednakosti f = gq + r g = r q + r r = r q 3 + r 3. r k = r k q k + r k r k = r k q k+. Tada je M(f, g) normirani polinom koji se dobije iz r k. Zadatak 30. Pomoću Euklidovog algoritma odredite NZM zadanih polinoma f i g: 0

11 a) f(x) = x 4 + x 3 3x 4x g(x) = x 3 + x x b) f(x) = x 3 + x x 5 g(x) = x 3 5x 8x + 5 c) f(x) = 3x 5 + x 3 6x x + g(x) = x 4 3x 3 + x 7x + 6 d) f(x) = x 4 + x 3 x + x + g(x) = x 3 + x + e) f(x) = x 4 5x + 4 g(x) = x 4 + 5x + 4 f) f(x) = x 3 + 4x + 5x + g(x) = x 3 7x + 6 Zadatak 3. Skratite razlomke, ako je moguće: a) b) c) x 3 5x + 9x 9 x x + 3 4x 3 + 3x + x 3 3x + 3x x 3 + x 4x 4 x 3 x + 4x Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo s C[x], dok skup svih polinoma f : R R označavamo s R[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0. Ako je α realan broj onda kažemo da se radi o realnoj nultočki, a ako je kompleksan broj, kažemo da se radi o kompleksnoj nultočki. Napomena. Umjesto nultočke koristi se i izraz korijen polinoma. Teorem 4. (Bezaut) Broj α je nultočka polinoma f akko je f djeljiv linearnim polinomom g(x) = x α. Definicija. Ako je polinom f djeljiv polinomom g(x) = (x α) k, k N, a nije djeljiv polinomom h(x) = (x α) k+, tj. ako vrijedi f(x) = (x α) k q(x), q(α) 0 onda kažemo da je x = α k-struka nultočka polinoma f ili da je kratnost (višestrukost) nultočke x = α jednaka k, Teorem 5. (Osnovni teorem algebre) Svaki polinom iz C[x] koji je barem prvog stupnja ima barem jednu nultočku.

12 Teorem 6. Svaki polinom f n-tog stupnja može se na jedinstven način prikazati u obliku produkta n linearnih polinoma. Teorem 7. Svaki polinom f stupnja n ima točno n nultočaka, ako svaku od njih brojimo onoliko puta kolika je njezina kratnost. Za svaki polinom f stupnja n vrijedi: f(x) = a n (x x ) (x x ) (x x n ) gdje su x, x,..., x n nultočke tog polinoma. Primjer. Za polinom f(x) = x(x ) (x + 3) 3 je x = 0 jednostruka nultočka (nultočka prvog stupnja), x = dvostruka nultočka (nultočka drugog stupnja), x 3 = 3 trostruka nultočka (nultočka trećeg stupnja). Ako polinom ima samo realne nultočke i zapisan je u faktoriziranom obliku, onda njegov graf siječe x os u nultočkama neparnog stupnja, dok samo dodiruje x os u nultočkama parnog stupnja. Slika 4: Graf polinoma f(x) = x(x ) (x + 3) Zadatak 3. Odredite kratnost nultočke: a) x = 3 za f(x) = 3x 4 9x 3 x + 4x 3 b) x = za f(x) = x 5 + 5x 4 + 6x 3 4x 8x c) x = za f(x) = 4x3 + 8x + 5x + d) x = za f(x) = x 4 8x 3 + 5x + x Zadatak 33. Odredite polinom četvrtog stupnja kojemu su nultočke i, a je dvostruki korijen. Zadatak 34. x = je trostruka nultočka polinoma f(x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d. Podijelimo li f sa g(x) = x + 3 dobit ćemo ostatak. Odredite polinom f.

13 Zadatak 35. Odredite a i b tako da x bude dvostruka nultočka polinoma f, ako je zadano: a) x =, f(x) = x 4 + x 3 + ax + (a + b)x + b) x = 3, f(x) = 4x 4 + ax 3 4x + bx + 6 Zadatak 36. Odredite zajedničke nultočke polinoma: a) f(x) = x 4 + x 3 + x + x + ; g(x) = x 3 x + x b) f(x) = x 4 + 6x 3 + 7x + 4x + ; g(x) = x 3 x 3x 0 Zadatak 37. Dokažite da je polinom f djeljiv polinomom g ako je a) f(x) = x n c n, g(x) = x c, n N, c 0 b) f(x) = x n c n, g(x) = x + c, n = k, k N, c 0 Zadatak 38. Brojevi i su nultočke polinoma f(x), a slobodni član jednak je 4. Nađite ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) polinomom g(x) = x 3 3x + x. Zadatak 39. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = x 4, c) f(x) = x 6, d) f(x) = x 3, e) f(x) = x 5, f) f(x) = x 7, g) f(x) = x, h) f(x) = x 3. Zadatak 40. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = (x + )(x )(x + 3)(x /), b) f(x) = (3 x)(x + 7)(x 4), c) f(x) = 3(x ) (x )(x + 4) 3, d) f(x) = ( x) 3 (x ) (x + 4) 3 (x + 7) 4. 3

14 4. Racionalne funkcije Funkcija f : R D f R zadana formulom f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, gdje su P n i Q m polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija. Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj. D f = {x R : Q m (x) 0}. Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem polinoma brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinomnog dijela i prave racionalne funkcije. Slika 5: Graf racionalne funkcije (a) f(x) = x (b) f(x) = x (c) f(x) = x x +x+ (d) f(x) = x 3x+5 (x+)(x )(x 3) Zadatak 4. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke: 4

15 a) x x b) x + x 3x c) 5x + 4 x + x d) 3x + 8 x 4x e) x + x 3 + x f) x 3 x g) x 4 h) x 5 x 3 8 i) x 9x 6 x 3 + x 6x j) x + 3 (x + )(x + ) k) x + (x ) 3 l) x + 3 (x ) (x + )(x + 3) Zadatak 4. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) =, b) f(x) =, c) f(x) =, d) f(x) =, e) f(x) = +, x x 3 x+ x x f) f(x) = x. 5

16 4.3 Iracionalne funkcije Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : R D f R zadane formulom f(x) = x q, q Q. Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji. Primjer. a) Domena funkcije f(x) = x = x je D f = [0, + ). b) Domena funkcije g(x) = x 3 = 3 x je D g = R. c) Domena funkcije h(x) = x = x je D h = (0, + ). Slika 6: Graf funkcije f(x) = x Zadatak 43. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x +, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = x /, d) f(x) = x

17 4.4 Eksponencijalna funkcija Funkcija f : R (0, + ) zadana formulom f(x) = a x, a > 0, a naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent. Eksponencijalna funkcija: prima samo pozitivne vrijednosti, tj. a x > 0, x R, strogo je rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, vrijednost eksponencijalne funkcije u nuli je jednaka jedan, tj. f(0) = a 0 =, je bijekcija. Vrijede sljedeća svojstva: f(x + x ) = f(x ) f(x ), tj. a x +x = a x a x, f(x x ) = f(x ), tj. f(x ) ax x = ax a x (a x ) x = a x x, (ab) x = a x b x, ( a b )x = ax b x. Slika 7: Graf eksponencijalne funkcije (a) a > 4 4 (b) 0 < a < 7

18 Zadatak 44. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = ( )x, d) f(x) = ( 3 )x, e) f(x) = x+, f) f(x) = 3 x, g) f(x) = x, h) f(x) = x, i) f(x) = e x +, j) f(x) = ( )x 3. Zadatak 45. Riješite jednadžbu ( ) x 0.5 x ( ) x 8 x =. 3 Zadatak 46. Riješite sljedeće nejednadžbe: a) x < 4, b) ( )x 8, c) 3 x 9, d) 4x > Logaritamska funkcija Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: log a (čitamo: logaritam po bazi a), a > 0, a. Dakle, log a : (0, + ) R, log a x = y a y = x. Uočimo da vrijedi a log a x = x, tj. logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati bazu da se dobije broj x. Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam s bazom e (oznaka: ln). Logaritamska funkcija: definirana je samo za pozitivne realne brojeve, a poprima sve realne vrijednosti, je strogo rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, je bijekcija, ima nultočku x 0 =, tj. log a = 0. Vrijede sljedeća svojstva: f(x x ) = f(x ) + f(x ), tj. log a (x x ) = log a x + log a x, f( x x ) = f(x ) f(x ), tj. log a ( x x ) = log a x log a x, log a x k = k log a x, k R, log a r x = r log a x, r R \ {0}, 8

19 Slika 8: Graf logaritamske funkcije (a) a > (b) 0 < a < veza između logaritama različitih baza: log a x = log b x log b a log b a log a x = log b x. Zadatak 47. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = log x b) f(x) = log 3 x, c) f(x) = log 3 x, d) f(x) = log / x, e) f(x) = log /3 x, f) f(x) = ln x, g) f(x) = log /3 x + 4, h) f(x) = log x, i) f(x) = log x, j) f(x) = log( x). Zadatak 48. Riješite sljedeće jednadžbe: a) log /3 x =, b) log 4 x = 0, c) log x 6 = 4, d) log x 0.5 =. Zadatak 49. Izračunajte: a) ( 5 )log 5 0, b) log 4 7, c) ( 0.) log 0.04 log 5, d) 5 log / 8 log3 9, e) log 8 ( log 5 4 ), f) log 3 log ( log 5 8 ), g) log 8 log 4 3 log log

20 4.6 Trigonometrijske funkcije Promotrimo jediničnu kružnicu (r = ) sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava. Neka je dan brojevni pravac koji je tangenta na tu kružnicu u točki (, 0) te neka ishodište koordinatnog sustava na pravcu padne u tu točku. Brojevni pravac predstavlja skup realnih brojeva (točkama na brojevnom pravcu u. kvadrantu su pridruženi pozitivni realni brojevi, a u 4. kvadrantu negativni). Promotrimo tzv. eksponencijalno preslikavanje točaka brojevnog pravca na jediničnu kružnicu (vidi Sliku 9. a)): pravac namatamo na kružnicu tako da se pozitivna realna os namata u pozitivnom smjeru, a negativna realna os u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu). Na svaku točku kružnice padne beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca. Jediničnu kružnicu na koju su eksponencijalnim preslikavanjem naneseni realni brojevi nazivamo trigonometrijska kružnica. Na taj način se svakom realnom broju x pridružila odgovarajuća točka T (x) na jediničnoj kružnici. Apscisu točke T (x) označimo s cos x, a ordinatu sa sin x. Na taj način definirali smo dvije funkcije koje ovise o x. Funkciju koja realnom broju x pridružuje apscisu točke T (x) nazivamo kosinus i pišemo x cos x. Uočite da je za svaki x R, cos x [, ]. Analogno, funkciju koja realnom broju x pridružuje ordinatu točke T (x) nazivamo sinus i pišemo x sin x. Također je sin x [, ], za svaki x R. Budući da za svaki x R točka T (x) pripada trigonometrijskoj kružnici vrijedi (Pitagorin poučak!): sin x + cos x = što nazivamo osnovni trigonometrijski identitet. Pomoću funkcija sin i cos definiraju se i funkcije tangens i kotangens formulama: tg x = sin x cos x, za cos x 0, i ctg x = cos x sin x za sin x 0. Primjer 3. Treba odrediti prirodno područje definicije funkcije tg. Funkcija tg, prema prethodnoj definiciji, ne prima vrijednost realnog broja u onim točkama u kojima funkcija cos ima nultočke. To su svi oni x koji namatanjem brojevnog pravca na trigonometrijsku kružnicu padnu u točke (0, ) ili (0, ). Dakle, funkcija tg nije definirana za x = π + kπ (k Z). Zadatak 50. Odredite prirodno područje definicije funkcije ctg. Često puta je korisno zamijeniti domenu trigonometrijskih funkcija (skup R) sa skupom svih kutova. To je lako učiniti tako da kutu α pridružimo njegovu mjeru x u radijanima. 0

21 Slika 9: Definiranje trigonometrijskih funkcija (a) (b) Tada pod sinusom kuta α podrazumijevamo sinus njegove mjere x u radijanima. Slično se definira kosinus, tangens i kotangens kuta α. Sa Slike 4.6 b). vidi se da vrijedi sin α = tg α = duljina suprotne katete T T, cos α = duljina hipotenuze OT duljina susjedne katete OT, duljina hipotenuze OT duljina suprotne katete T T duljina susjedne katete OT, ctg α = duljina susjedne katete OT duljina suprotne katete T T. Za neki realni broj x (odnosno kut α) zbog sličnosti trokuta na Slici 9. b). vidi se da je tangensu kuta α jednak ordinati točke B u kojoj drugi krak kuta α siječe pravac x =. Analogno značenje ima kotangens realnog broja x, odnosno kuta α. Navedimo sada neka osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija. a) Funkcija x sin x Funkcija sin : R [, ] je neparna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. a). b) Funkcija x cos x Funkcija cos : R [, ] je parna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. b). Iz Slike 9. možemo naslutiti vezu koja postoji između funkcija sin i cos: sin x = cos(x π ), cos x = sin(x + π ) c) Funkcija x tg x

22 Slika 0: Trigonometrijske funkcije sin i cos Π Π Π Π 3Π Π 5Π (a) Π Π Π Π 3Π Π 5Π (b) Funkcija x tg x neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. a). d) Funkcija x ctg x Funkcija x ctg x neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. b).

23 Slika : Trigonometrijske funkcije tg i ctg Π Π Π Π 3Π (a) Π Π Π Π 3Π (b) Postoje mnoge trigonometrijske relacije i izrazi koji povezuju trigonometrijske funkcije, spomenimo neke. Teorem 8. Adicijski teoremi: sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tgx ± tgy tg(x ± y) = tgx tgy ctgx ctgy ctg(x ± y) = ctgy ± ctgx. Teorem 9. Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta: 3

24 sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x tg (x) = tgx tg x ctg (x) = ctg x ctgx. Teorem 0. Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta: sin ( x ) = cos x cos ( x ) = + cos x tg ( x ) = cos x sin x ctg ( x ) = + cos x sin x Teorem. Transformacija umnoška u zbroj: sin x cos y = [ ] sin(x + y) + sin(x y) cos x sin y = [ ] sin(x + y) sin(x y) cos x cos y = [ ] cos(x + y) + cos(x y) sin x sin y = [ ] cos(x y) cos(x + y). Zadaci Zadatak 5. Izračunajte: a) cos 05, b) sin 75, c) cos 5, d) sin 30. Zadatak 5. Ako je sin x = 3, π < x < π izračunajte cos x i tg ( x ). Zadatak 53. Dokažite da za sve α, β R vrijedi: a) sin α + sin β = sin α + β b) sin α sin β = cos α + β c) cos α + cos β = cos α + β d) cos α cos β = sin α + β cos α β, sin α β, cos α β, sin α β. Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak. Zadatak 54. Dokažite sljedeće trigonometrijske identitete: a) b) sin 3x + sin 5x cos 3x + cos 5x = tg 4x, cos x + sin x = tg x + tg x, 4

25 c) tg x + ctg x = sin x, d) 4 sin x cos x 8 sin 3 x cos x = sin 4x, e) sin 4 x 6 sin x cos x + cos 4 x = cos 4x. Zadatak 55. Riješite sljedeće jednadžbe: a) sin x =, b) cos x =, c) tg x =, d) ctg x = 3. Zadatak 56. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x, c) f(x) = sin(x π 6 ), d) f(x) = cos(x π 4 ), e) f(x) = sin(x π 3 ), f) f(x) = 3 cos(x + π 3 ). Zadatak 57. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = tg x b) f(x) = ctg x, c) f(x) = tg (x π ), d) f(x) = ctg x

26 4.7 Ciklometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne trigonometrijskim. To su funkcije: arkus sinus (arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg). a) Funkcija x arcsin x. Budući da funkcija sin : R [, ] nije injekcija jer je primjerice sin 0 = sin π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Sin : [ π, π ] [, ] formulom Sin (x) := sin x Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [ π, π ], što simbolički pišemo: Sin = sin [ π, π ]. Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus): arcsin : [, ] [ π, π ]. Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac y = x (Slika.a). Primijetimo da je arcsin α kut (ili luk) čiji je sinus jednak α. Tako je primjerice b) Funkcija x arccos x. arcsin 0 = 0 jer je sin 0 = 0, arcsin = π jer je sin π =. Budući da funkcija cos : R [, ] nije injekcija jer je primjerice cos 0 = cos π =, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Cos : [0, π] [, ], Cos = cos [0,π], koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus): arccos : [, ] [0, π]. Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na pravac y = x (Slika.b). Primijetimo da je arccos α kut (ili luk) čiji je kosinus jednak α. Tako je primjerice lat.: arcus=luk arccos = 0 jer je cos 0 =, 6

27 Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos (a) (b) c) Funkcija x arctg x. arccos 0 = π jer je cos π = 0. Budući da funkcija tg:r R nije injekcija jer je primjerice tg 0 = tg π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ( Tg : π, π ) R, Tg = tg ( π, π ), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens): ( arctg : R π, π ). Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.a). Primijetimo da je arctg α kut (ili luk) čiji je tangens jednak α. Tako je primjerice arctg 0 = 0 jer je tg 0 = 0, 7

28 Slika 3: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg (a) (b) d) Funkcija x arcctg x. arctg = π 4 jer je tg π 4 =. Budući da funkcija ctg:r R nije injekcija jer je primjerice ctg ( π nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ) = ctg π = 0, ona Ctg : (0, π) R, Ctg = ctg (0,π), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens): arcctg : R (0, π). Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.b). Primijetimo da je arcctg α kut (ili luk) čiji je kotangens jednak α. Tako je primjerice arcctg 0 = π jer je ctg π = 0, arcctg = π 4 jer je ctg π 4 =. 8

29 Zadatak 58. Pokažite da vrijedi: a) tg ( arcctg x) = x, x 0 b) ctg ( arctg x) = x, x 0 c) arctg ( ctg x) = π x, d) arcctg ( tg x) = π x, e) sin(arccos x) = x, f) cos(arcsin x) = x, g) cos(arctg x) = +x, h) sin(arctg x) = x +x, i) sin( arctg x) = x +x, j) cos( arctg x) = x +x. Zadatak 59. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = arcsin(x 3) b) f(x) = arccos x + 4, c) f(x) = arctg x, d) f(x) = arcctg (x + ). 9

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske. funkcije realnog broja

Trigonometrijske. funkcije realnog broja 1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα