ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4) Οι ασκήσεις - 4 αναφέρονται στο Κεφάλαιο 4: ιανυσµατικοί Χώροι. Εδώ συναντάµε µερικές θεµελιώδεις έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας όπως είναι ο διανυσµατικός χώρος, η γραµµική ανεξαρτησία, η βάση και η διάσταση. Άσκηση (9 µονάδες) Εξετάστε ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του είναι υπόχωροι του και δικαιολογείστε την απάντησή σας. U ( x, y, z) x+ 5y+ z. { }. V {( x, y, z) x + 5y+ z }. W {( x, y, z) x 5y z } Το U δεν είναι υπόχωρος του γιατί δεν περιέχει το (,,).. Το V δεν είναι υπόχωρος. Πράγµατι, έχουµε για παράδειγµα (,, ) V αφού ( ), αλλά (,, ) (,,) V αφού ( ) Τα W είναι υπόχωρος του. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας το κριτήριο στο πάνω µέρος της σελίδας 65 έχουµε : για κάθε kl, και / / / (,, ),(,, ) x yz x y z W, και k x y z l x y z kx lx ky ly kz lz / / / / / / (,, ) + (,, ) ( +, +, + ) / / / 5( kx lx ) ( ky ly ) ( kz lz ) k x y z l x y z / / / (5 + + ) + (5 + + ) +. / / / Άρα kxyz (,, ) + lx (, y, z) W. Άσκηση ( µονάδες) Έστω a. Θεωρούµε τα στοιχεία u (,,), v (,,), w (, a,) του.. Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα uvw,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα.. Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες το (,,) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα uvw,,. Υπόδειξη: Για το. βλ Παράδειγµα 4. του βιβλίου.

2 . Έστω λ u+ µ v+ νw, λ, µ, ν. Ζητάµε τα a για τα οποία η σχέση αυτή αληθεύει µόνο για λ µ ν. Έχουµε λ u+ µ v+ νw λ (,,) + µ (,,) + ν(, a,) (,,) λ + µ + ν λ + µ + νa λ + µ + ν. Ζητάµε τα a για τα οποία το σύστηµα έχει µοναδική λύση τη µηδενική. Ο επαυξηµένος πίνακας α του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ ΓΓ, Γ Γ Γ, Γ ΓΓ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν a. Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν a ( a) ν Βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι µοναδική αν και µόνο αν a.. Ζητάµε τα a για τα οποία υπάρχουν λ, µν, τέτοια ώστε λ u+ µ v+ νw (,,). Όπως πριν παίρνουµε το σύστηµα λ + µ + ν λ + µ + νa λ + µ + ν. Ζητάµε τα a για τα οποία το σύστηµα έχει λύση. Ο επαυξηµένος πίνακας a του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ Γ, Γ Γ Γ, Γ Γ Γ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν a. Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν a ( a) ν. Παρατηρούµε ότι το σύστηµα αυτό έχει λύση για κάθε a. Σηµείωση: Παρατηρούµε ότι (,,) u v. Άσκηση (5 µονάδες). Έστω V ο υπόχωρος του 4 που παράγεται από τα διανύσµατα (,,,),(,,,),(,,,),(,,,). i) Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του V. ii) Να βρεθεί ένα µη µηδενικό διάνυσµα που είναι κάθετο σε κάθε διάνυσµα του V.

3 . Να βρεθεί ένας ορθογώνιος πίνακας µε η γραµµή τη,. Υπόδειξη: Για το. βλ. Παράδειγµα 4... i) Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δοσµένα διανύσµατα. Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή. Άρα µια βάση του V είναι το σύνολο (,,,),(,,,),(,,,) που αποτελείται από τις µη µηδενικές { } γραµµές του τελευταίου πίνακα. Έχουµε dimv. Σηµείωση. Είναι λάθος να πούµε ότι µια βάση του V είναι το (,,,),(,,,),(,,,) που αποτελείται από τα τρία πρώτα από { } τα δοσµένα διανύσµατα της εκφώνησης µιας και οι τρεις πρώτες γραµµές της κλιµακωτής µορφής είναι µη µηδενικές. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στους παραπάνω στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς είχαµε εναλλαγή γραµµών. 4 ii) Έστω ( xyxw,,, ). Το διάνυσµα αυτό είναι κάθετο σε κάθε διάνυσµα του V αν και µόνο αν είναι κάθετο σε κάθε διάνυσµα ενός συνόλου γεννητόρων του V. Ως τέτοιο σύνολο ας πάρουµε τη βάση (,,,),(,,,),(,,,) που είδαµε πριν. Το εσωτερικό γινόµενο του { } ( x, yzw,, ) µε καθένα από τα διανύσµατα της βάσης είναι αντίστοιχα x + yy, zz, + w. Συνεπώς πρέπει να βρούµε µια µη µηδενική λύση του συστήµατος x+ y y z z+ w. Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε ( x, y, z, w) ( w, w, w, w), w. Άρα ένα διάνυσµα κάθετο σε κάθε διάνυσµα του V είναι για παράδειγµα το (,,,).. Έστω A. Για να είναι ορθογώνιος θα πρέπει x y x T 5 AA Iή. Από το γινόµενο πινάκων x y y 5 έχουµε

4 4 x y + + x x x y. Οπότε θα πρέπει + + x y + x y () Από την ( ) x + y y + y y ± () 5 Οπότε από την () έχουµε x 5 Έχουµε λοιπόν πίνακες τον A και τον A Άσκηση 4 ( µονάδες) Έστω [ x] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ.. Αποδείξτε ότι το σύνολο B {, x, ( x ), ( x ) } [ x].. Να παρασταθεί το είναι µια βάση του x σαν γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης Β.. Επειδή dim [ x ] 4, αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο Β είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Έστω abcd,,,. Τότε ( ) ( ) ( ) ax + bx + cx + d ( ) ( ) ( ) a x x + x + b x x+ + c x + d + ( + ) + ( + ) + ( + + ) ax a b x a b c x a b c d a a + b a b+ c a+ b c+ d. Το σύστηµα είναι τριγωνικό και εύκολα βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι η µοναδική. Σηµείωση. Ένας άλλος τρόπος επίλυσης είναι να θέσουµε x στη σχέση ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d οπότε d. Τότε παίρνουµε ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) ax ( ) + bx ( ) + c, οπότε θέτοντας πάλι x παίρνουµε c, κοκ. 4

5 . Έστω x ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d. Όπως πριν, το ισοδύναµο a a + b σύστηµα είναι το a b+ c a+ b c+ d. Λύνοντάς το βρίσκουµε a, b, c, d. Στις ασκήσεις 5 και 6 αναφερόµαστε στο Κεφάλαιο 5: Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Άσκηση 5 ( µονάδες) Εξετάστε ποιες από τις επόµενες απεικονίσεις είναι γραµµικές και δικαιολογείστε την απάντησή σας.. f :, f( x, y) ( x+, y, yx) g:, g( x, y, z) (xy + 4 z) +y) h:, h( x, y) ( x+ y, x e (, ), e (,) βάση t (, ), t (,. Στο χώρο θεωρούµε τη κανονική βάση και τη νέα ). Να βρεθεί ο αντίστοιχος πίνακας αλλαγής βάσης, καθώς και οι νέες συντεταγµένες του σηµείου (x,y) στη βάση t, t. Υπόδειξη: Για το. βλ. σελίδα 97. v x, y, v x, y ) Έστω ( ) ( ) f ( v) f ( x, y) ( x+, y, yx) f ( v) f ( x, y) ( x+, y, yx) f ( v+ v) f (( x, y) + ( x, y) ) f ( x+ x, y+ y) ( x+ x+, ( y+ y), ( y+ y) ( x+ x) ) (,, ) (,, ) ( ) ( ) x y y x x y y x f v f v Αφού λοιπόν f v + v f v + f v η f δεν είναι γραµµική ( ) ( ) ( ) Έστω v ( x, y, z), v ( x, y, z) ( ) (,, ) ( + 4 ) ( ) (,, ) ( + 4 ) ( + ) (,, ) + (,, ) +, +, + ( ( x+ x) ( y+ y) + 4( z+ z) ) ( x y+ 4z) + ( x y+ 4z) g( v) + g( v) ( λ ) ( λ(,, ) ) ( λ, λ, λ ) ( λx λy + 4λz) λ g( v ) gv gx y z x y z gv gx y z x y z ( ) ( ) g v v g x y z x y z g x x y y z z g v g x y z g x y z 5

6 Αφού λοιπόν g v v g v g v ( + ) ( ) + ( ) και g( λv ) λg( v ) η g είναι γραµµική Έστω v ( x, y), v ( x, y) ( ) (,, ) ( +, + ) ( ) (,, ) ( +, + ) ( ) (,, ) (,, ),, ( ( x+ x) + ( y+ y), x+ x+ ( y+ y) ) (, ) (, ) ( ) ( λ ) ( λ(, ) ) ( λ, λ ) ( λx + λy, λx + λy) λh( v ) hv hx y z x y x y hv hx y z x y x y ( ) ( ) h v + v h x y z + x y z h x + x y + y z + z x + y x + y + x + y x + y h v + h v ( ) h v h x y h x y Αφού λοιπόν h v v h v h v ( + ) ( ) + ( ) και h( λv ) λh( v ) η h είναι γραµµική. ) Πρώτα γράφουµε τα στοιχεία της νέας βάσης σαν γραµµικούς συνδυασµούς των στοιχείων της παλαιάς. Έχουµε t, e + e ( ) ( ) (,). t e + e Ορίζεται ο πίνακας Α: A. Παίρνουµε τον ανάστροφό του T P A. Αυτός είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης. Βρίσκω τον αντίστροφό του(πχ µε τη µέθοδο Gauss ή µε αυτή της σελίδας 5), P. Οπότε οι νέες συντεταγµένες του σηµείου ( x, y) θα είναι: P x y x x y y. x+ y Άσκηση 6 ( µονάδες) Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f :, f x, y, z x+ y z, y+ z, x+ y z. ( ) (. Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του πυρήνα της f.. Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση της εικόνας της f. ) 6

7 Έχουµε f ( xyz,, ) ( x+ y z, y+ z, x+ yz) x(,,) + y(,,) + z(,, ) Άρα η εικόνα παράγεται από τα διανύσµατα ( ) ( ) ( ),,,,,,,,. Για να βρούµε τη διάστασή της εικόνας (Imf) θα πάρουµε τον πίνακα µε γραµµές τα διανύσµατα αυτά και εφαρµόζοντας στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών να βρούµε τα γραµµικώς ανεξάρτητα. Τα γραµµικώς ανεξάρτητα αυτά διανύσµατα θα µας δώσουν τη βάση του Im f (εικόνας). A Γ Γ +Γ, Γ ( ) Γ +Γ Γ ( ) Γ +Γ Άρα dim Im Οπότε µια βάση της εικόνας της f f είναι Im f {(,, ),(,, ) } Από τον τύπο σελ 9 dim dim( Im f ) dim( Kerf ) dim( ker f ) + έχουµε ότι διότι η διάσταση του χώρου είναι Για να βρούµε µια βάση του ker f πρέπει να βρούµε τη λύση του οµογενούς συστήµατος x+ y z y + z x + y z Από την η y z αν z t τότε y t και από την η x t Άρα µια βάση της ker f {( t, t, t) } t(,,) ker f (,,) Οι επόµενες ασκήσεις αναφέρονται στο Κεφάλαιο 6: Χαρακτηριστικά Μεγέθη. Οι έννοιες της ιδιοτιµής, του ιδιοδιανύσµατος και της διαγωνοποίησης πινάκων είναι θεµελιώδεις και έχουν πολλές εφαρµογές. Άσκηση 7 (8 µονάδες) ίνονται οι πίνακες A και B. είξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και εκτελέστε την διαγωνοποίησή του. 7

8 . είξτε ότι ο πίνακας Β δεν διαγωνοποιείται.. Να υπολογιστεί ο A και µε βάση το αποτέλεσµα αυτό να υπολογίστε το 4 I + A+ A A. Σύµφωνα µε τη θεωρία και τα παραδείγµατα της παραγράφου 6. σελ 5 έχουµε:. Για τον Α τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ + λi A ( λ+ )( λ ) + ( λ+ )( λ ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµές και -. (Σηµείωση: Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, θα µπορούσαµε να πούµε άµεσα ότι οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία). Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος x ( I A) x x x και το x παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ, µ. Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος x ( I A) x x x x και το x παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή - έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ, µ. Η ορίζουσα του πίνακα είναι διαφορετική από το µηδέν (-/) οπότε οι στήλες του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα (δείτε σελίδα 8, ιδιότητα 4). Η διαγωνοποίηση του A επιτυγχάνεται µε τους πίνακες,, P D P όπου P AP D.. Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ λi B ( λ)( λ ) + ( λ ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµή διπλή. Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος x ( I B) x x x και το x παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή - έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται δεν διαγωνοποιείται γιατί η διάσταση του ιδιοχώρου της διπλής ιδιοτιµής είναι.. Έχουµε ότι (σελ 5) A PDP A PD P 8

9 ( ) k όπου D οπότε για άρτιο D I και για περιττό Συνεπώς Για άρτιο A PIP I Για περιττό A PDP A Οπότε 4 I + A+ A A A+ I D D + + I Σηµείωση Για τον υπολογισµό του A µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τον εξής συλλογισµό. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι το λ. Από το Θεώρηµα των Cayley- Hamilto έχουµε A I, δηλαδή A. Άσκηση 8 (4 µονάδες) ίνεται ο συµµετρικός πίνακας A. 5. Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του Α. T. Να βρεθεί ορθογώνιος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος. Υπόδειξη: Για το. βλ Παράδειγµα 6... Σύµφωνα µε τη θεωρία της παραγράφου 6. σελ τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ λ λi A λ ( λ 5) (( λ) )( λ 5) λ λ 5 ( λ 6λ+ 9 4)( λ 5) ( λ 6λ+ 5)( λ 5) ( λ5) ( λ) Οπότε έχουµε δύο ιδιοτιµές την λ και τη διπλή λ 5. Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος x ( I A) x x 5x x x+ x x x x x x x 4x 4x Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής u u µ u 9

10 Για λ 5τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 5 x ( I A) x 5 x x x x+ x x x x x+ x x αυθαί ρετο x x Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή ο ιδιοχώρος x παράγεται από τα x x x + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της x ιδιοτιµής είναι τα,.. Ο πίνακας A είναι συµµετρικός, σύµφωνα µε το Φασµατικό Θεώρηµα σελ. 7 είναι ορθοκανονικά όµοιος µε πραγµατικό διαγώνιο πίνακα. Θα ακολουθήσουµε την διαδικασία του παραδείγµατος 6. σελίδα 7-8 στο οποίο θα εφαρµόσουµε τη διαδικασία ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt σελ Από το ερώτηµα έχουµε ότι η, η, η. Σύµφωνα µε το θεώρηµα 4.4 σελ. 78 έχουµε ότι η ξ (), () η ξ + + ξ ξ + + οπότε η ξ ξ η ξ η ξ ξ η ξ ξ ξ η ξ ( ) + +, + +, + + οπότε η ξ η ξ ξ η ξ ξ η. ξ ξ ξ ξ Συµπεραίνουµε ότι ξ η, ξ η, ξ η Επίσης ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ,, Ο πίνακας P έχει ως στήλες τα διανύσµατα ξ, ξ, ξ ξ ξ ξ.

11 5 T Άρα P, P και D 5 ώστε T P AP D. Άσκηση 9 ( µονάδες επί πλέον) H άσκηση που ακολουθεί είναι προαιρετική και µπορεί να λυθεί στον υπολογιστή σας µε τη βοήθεια του MATLAB ή του προγράµµατος «κλώνου» του Octave. Η λύση της άσκησης µπορεί να γίνει µε τις ίδιες εντολές και στα δύο προγράµµατα. Το MATLAB είναι εµπορικό προϊόν και δεν διατίθεται δωρεάν. Η Octave διατίθεται δωρεάν και µπορεί να κατέβει από το και στο lik Dowloads ή απευθείας από το Από εκεί µπορείτε να οδηγηθείτε εύκολα στην ιστοσελίδα από όπου µπορείτε να την κατεβάσετε. Η έκδοση που θα πρέπει να κατεβάσετε είναι biary για widows και το αρχείο octave-..5a-ist.exe µε µέγεθος περίπου 7.5 ΜΒ. Η εγκατάσταση γίνεται απλά µε διπλό πάτηµα του αρχείου. Μπορείτε να συµβουλευθείτε το Κεφάλαιο 7 του βιβλίου της Γραµµικής Άλγεβρας. Επίσης, στην ιστοσελίδα της θεµατικής µας ενότητας θα αναρτηθεί υλικό σχετικό µε το MATLAB. Βοήθεια για τη χρήση µίας εντολής, π.χ. της iv( ) µπορεί να βρεθεί µε τη χρήση της εντολής help iv Στην περίπτωση που χρησιµοποιήσετε MATLAB η µεταφορά των εντολών σας αλλά και των αποτελεσµάτων σε κειµενογράφο γίνεται εύκολα µε αντιγραφή και επικόλληση. Για το Octave, που δεν είναι φτιαγµένο ειδικά για Microsoft Widows, προτείνουµε την εξής διαδικασία: ηµιουργείστε ένα φάκελο στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή σας µε όνοµα της επιλογής σας π.χ. workplace. Αν ο σκληρός σας δίσκος είναι ο C: εκτελέστε στην octave την εντολή cd c:\workplace Μετά την εκτέλεση της εντολής diary amefile.txt ότι πληκτρολογείτε και ότι εµφανίζεται στην Octave γράφεται στο αρχείο amefile.txt. Φυσικά µπορείτε να διαλέξετε ότι όνοµα αρχείου θέλετε αλλά καλό είναι να βάλετε την επέκταση txt ώστε το αρχείο να µπορεί να ανοιχτεί µε έναν editor όπως το otepad. Για να σταµατήσει η καταγραφή των εντολών και των αποτελεσµάτων εκτελέστε την εντολή: diary off Στη άσκηση που ακολουθεί θα παραδώσετε ως λύση τόσο τις εντολές που πληκτρολογήσατε όσο και τα αποτελέσµατα που σας επέστρεψε το πρόγραµµα. οπου χρειάζεται συµπληρώστε τα σχόλιά σας. Ορίστε στο MATLAB ή στην Octave τον πίνακα 4 6 A 5 6 5

12 . Με τη χρήση της συνάρτησης poly( ) να βρεθούν οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του πίνακα. Στη συνέχεια, µε τη χρήση της εντολής roots( ) να υπολογιστούν οι ρίζες του δηλαδή, οι ιδιοτιµές του πίνακα.. Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα µε τη χρήση της συνάρτησης eig( ). Τι συµπέρασµα εξάγεται ως προς την διαγωνοποίηση του πίνακα;. Με βάση τα αποτελέσµατα της eig( ) και τη χρήση της εντολής iv( ) που επιστρέφει τον αντίστροφο πίνακα, να υπολογιστεί ο πίνακας B ΑP D P. Είναι το αποτέλεσµα το αναµενόµενο; Στο MATLAB ή στην Octave ορίζω τον πίνακα της άσκησης πληκτρολογώντας την ακόλουθη εντολή. Προσοχή, τόσο MATLAB όσο και το Octave είναι case sesitive και η µεταβλητή a είναι διαφορετική από τη µεταβλητή Α. Επίσης δεν πληκτρολογούµε την προτροπή >> που εµφανίζει το περιβάλλον. >> a[4 6 ;- -5 ;- -6-5] Το περιβάλλον µας επιστρέφει a Με τη χρήση της poly( ) µας δίνονται οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου που στην περίπτωσή µας είναι το px ( ) x+ 6x + x >> ppoly(a) p 6 - Η roots( ) µας επιστρέφει τις ρίζες του που είναι οι ιδιοτιµές του. >> roots(p) as Η εντολή eig( ) µπορεί να υπολογίζει τόσο τις ιδιοτιµές αλλά και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα. Πληκτρολογώ την εντολή στην ακόλουθη µορφή: >> [p,d]eig(a) p d

13 -5 - Ο πίνακας d είναι διαγώνιος µε διαγώνια στοιχεία την ιδιοτιµές του πίνακα. Ο πίνακας p περιέχει µία βάση του ιδιοχώρου. Κάθε στήλη του αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή της αντίστοιχης στήλης του d. Ο πίνακας έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές µε ιδιοδιανύσµατα γραµµικώς ανεξάρτητα, οπότε διαγωνοποιείται. Η ορίζουσα του πίνακα p είναι διαφορετική από το µηδέν οπότε οι στήλες του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα (δείτε σελίδα 8, ιδιότητα 4). Η det( ) υπολογίζει την ορίζουσα ενός πίνακα. >> det(p) as Παρατήρηση: Η eig( ) υπολογίζει τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα µε προσεγγιστικές µεθόδους. Για αυτό το λόγο µπορούµε να πάρουµε ως αποτελέσµατα τιµές που προσεγγίζουν τις τιµές που υπολογίζουµε µε το χέρι.. Ως b φυσικά είναι ο µηδενικός πίνακας ή λόγω σφαλµάτων της προσέγγισης και της αριθµητικής του υπολογιστή, ένας πίνακας τα στοιχεία του οποίου που προσεγγίζουν µε µεγάλη ακρίβεια τα στοιχεία του µηδενικού πίνακα. >> ba-p*d*iv(p) b