ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται από εσωτερικό γινόµενο. Υπενθυµίζουµε ότι Ορισµός 6.. Εστω Χ ένας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση (.,.): X X R καλείται εσωτερικό γινόµενο στο Χ, αν ισχύουν: (x +, z) = (x,) + (x, z) για κάθε x,,z X (λ x, ) = λ (x, ) για κάθε x, X, λ R (x, ) = (, x) για κάθε x, X (x, x) > 0 για κάθε x, X-{0}. Eνας πραγµατικός διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης, στον οποίο έχει ορισθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, καλείται ευκλείδειος χώρος. Αν ισχύει (x, ) = 0, θα λέµε ότι τα x, είναι κάθετα µεταξύ τους κάθετα, ή ορθογώνια. Η ποσότητα x = ( x, x ) καλείται νόρµα του στοιχείου x και η ποσότητα d( x, ) = x καλείται απόσταση µεταξύ των στοιχείων x και. Παραδείγµατα: () Στο διανυσµατικό χώρο Cab [, ] των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστηµα [α,b], η απεικόνιση: είναι ένα εσωτερικό γινόµενο. b ( f, g) = f( x) g( x) dx (2) Στο διανυσµατικό χώρο R = {x=(x,,x ): x R}, η απεικόνιση: a 85

2 ( x, ) = = x είναι ένα εσωτερικό γινόµενο. Ορισµός 6..2 Εστω Χ ένας ευκλείδιος διανυσµατικός χώρος µε νόρµα., x X και έστω Υ ένα υποσύνολo του X. Ένα στοιχείο Y για το οποίο ισχύει: x- x-z, για κάθε z Y, καλείται βέλτιστη προσέγγιση του Χ από το Υ. Θεώρηµα 6.. Εστω Χ ένας ευκλείδιος διανυσµατικός χώρος µε νόρµα., x X και Υ ένας υπόχωρος του X. Ένα στοιχείο Y είναι βέλτιστη προσέγγιση του x από το, αν και µόνον αν ισχύει: για κάθε z Y, ( x z, ) = 0. (6.) Aν λοιπόν ο υπόχωρος Υ είναι πεπερασµένης διάστασης και {s,,s } είναι µία βάση του, τότε κάθε στοιχείο z του Υ µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης ως εξής: z = z s, = οπότε η σχέση (6.) ικανοποιείται αν και µόνον αν: ( x s, ) = 0, =,...,, Συνεπώς, αν = s, όπου είναι άγνωστοι συντελεστές, έχουµε: = ( x, s ) ( x, s ) ( s, s) ( s, s2) ( s, s) ( s2, s) ( s2, s2) ( s2, s) 2 = 2. (6.2) ( s, s ) ( s, s ) ( s, s ) ( x, s ) 86

3 Το παραπάνω είναι ένα γραµµικό σύστηµα ως προς,,, το οποίο λύνεται µονοσήµαντα, αφού το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα έχει µόνο την τετριµµένη µηδενική λύση. Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων καλείται πίνακας του Gram. Eίναι σαφές από τα παραπάνω, ότι αν η βάση {s,,s } είναι ορθοκανονική, δηλαδή αν τα στοιχεία της βάσης είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία, τότε θα ισχύει, = ( s, s) =, δηλαδή ο πίνακας του Gram είναι ο µοναδιαίος, άρα 0, παίρνουµε άµεσα ότι: = ( x, s ), συνεπώς η βέλτιστη προσέγγιση του στοιχείου x είναι η: =. = ( x, s ) s Παράδειγµα 6. Να προσδιορισθεί το πολυώνυµο 2 ου βαθµού, το οποίο είναι η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = ηµ(πx) στο διάστηµα [-,], στο χώρο των πολυωνύµων 2 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου (βλέπε σελ. 8 παράδειγµα ). Υπολογίστε το σφάλµα της βέλτιστης προσέγγισης. Λύση Θεωρούµε τη βάση {x, =0,,2} του χώρου των πολυωνύµων 2 ου βαθµού, τότε εφόσον για, = 0,,2 έχουµε: ++ x το σύστηµα (6.2) γίνεται: ( ) + + ( s, s) = x x dx= = , άρα = 0, 2 = 3/π, 3 = 0, oπότε: 2 0 2/3 0, 0 2/3 0 2 = 2/ π 2/3 0 2/ = x. π 87

4 Για το σφάλµα έχουµε: 2 3 f = ηµ ( π x) x dx = π /2 6.2 Πολυώνυµα ελαχίστων τετραγώνων ίνονται τα σηµεία (x, f ), =,, και θέλουµε να προσδιορίσουµε ένα πολυώνυµο βαθµού της µορφής = αt + b, έτσι ώστε το άθροισµα των τετραγώνων: = ( ) 2 E( ab, ) = f ( at+ b) Αναγκαία συνθήκη για να ισχύει αυτό είναι: δηλαδή: = ελάχιστο. Eab (, ) Eab (, ) = 0, = 0, a b a + t b = f = =. 2 t a + t b = tf = = = Η ορίζουσα των συντελεστών του παραπάνω συστήµατος είναι πάντα διάφορη του µηδενός, οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Το πολυώνυµο που προκύπτει καλείται πολυώνυµο ου βαθµού ελαχίστων τετραγώνων και χρησιµοποιείται ευρέως στη στατιστική για τη συσχέτιση µεταξύ δύο ποσοτήτων. Οµοίως, αν θέλουµε να προσδιορίσουµε ένα m πολυώνυµο a0 + a x amx βαθµού m, ώστε το άθροισµα των τετραγώνων να είναι ελάχιστο, καλούµαστε να λύσουµε ένα σύστηµα ( m+ ) ( m+ ) της µορφής: 88

5 2 m a0 + t a + t a t am = f = = = = 2 3 m+ t a0 + t a + t a2...+ t am = t f = = = = = m m+ m+ 2 2m m t a0 + t a + t a2...+ t am = t f = = = = =. Παράδειγµα 6.2 Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t F Λύση: Προφανώς έχουµε = σηµεία, 2 t = 26.83, = t f = =.02 t = 4.7, =, άρα λύνουµε το σύστηµα: f = 4.8, = a b = a b =.02 και βρίσκουµε α = , b = Αρα η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων έχει τη µορφή = t Σχήµα 6: H ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων. 8

6 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Προσδιορίστε τη βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = 2 e x + από ένα πολυώνυµο 3 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο διάστηµα [-,]. 2. Προσδιορίστε τη βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης f(x) = e x +συν(πx) από ένα πολυώνυµο 4 ου βαθµού, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο του χώρου των συνεχών συναρτήσεων στο διάστηµα [,4]. 3. Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t F Aπάντ: = x. 4. Υπολογίστε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων που προσεγγίζει τα σηµεία: t F Aπάντ: = x. 0