FIZIKA I PRAKTIKUM. Skripta za internu upotrebu. Autori: Suada Sulejmanović. Kerim Hrvat. Senad Hatibović

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FIZIKA I PRAKTIKUM. Skripta za internu upotrebu. Autori: Suada Sulejmanović. Kerim Hrvat. Senad Hatibović"

Transcript

1 FIZIKA I PRAKTIKUM Skripta za internu upotrebu Autori: Suada Sulejmanović Kerim Hrvat Senad Hatibović

2 Sadržaj. Laboratorijska vježba... MJERENJE DUŽINE I ZAPREMINE.... Laboratorijska vježba... GUSTINA ČVRSTIH TIJELA I TEČNOSTI Laboratorijska vježba... 9 VISKOZNOST I POVRŠINSKI NAPON Laboratorijska vježba... 9 ODREĐIVANJE UBRZANJA ZEMLJINE TEŽE Laboratorijska vježba...36 OSNOVNA KALORIMETRIJSKA MJERENJA Laboratorijska vježba... 4 GASNI PROCESI Laboratorijska vježba PROMJENA AGREGATNIH STANJA Laboratorijska vježba... 5 PROVJERA OHMOVOG ZAKONA Laboratorijska vježba... 6 MJERENJE ELEKTRIČNOG OTPORA Laboratorijska vježba NAIZMJENIČNA STRUJA Bibliografija... 90

3 . Laboratorijska vježba MJERENJE DUŽINE I ZAPREMINE Teorijski uvod Mjerenje dužine Dužina je jedna od osnovnih veličina Međunarodnog sistema jedinica i za nju je usvojena jedinica metar ( m). Metar je rastojanje koje svjetlost u vakuumu pređe za vremenski interval od: T s Pri mjerenju dužine vršimo upoređivanje ispitivane dužine sa dužinom koja je uzeta za jedinicu. Uređaji za mjerenje dužine su obično urađeni u obliku štapova ili traka, koji su baždareni u metrima ili dijelovima metra, u zavisnosti od toga kolika je preciznost potrebna pri mjerenju. Pri baždarenju uređaja za mjerenje dužine kao najmanji dijelovi se obično nanose milimetri ili polovine milimetara, jer bi sitnija podjela bila teška, pa i nemoguća za očitavanje. Međutim, često je potrebno izvršiti i znatno preciznija mjerenja dužine, pa su u tom smislu pronađene metode i izrađeni odgovarajući instrumenti kojima se to može postići. Neke od tih instrumenata, kao što su nonius i mikrometarski zavrtanj, upoznaćemo detaljnije na ovoj vježbi. ZADACI:. Odrediti zapreminu i gustinu zadanog tijela mjerenjem njegovih dimenzija noniusom i mase upotrebom digitalne vage.. Odrediti zapreminu i gustinu date žice mjerenjem njenog prečnika pomoću mikrometarskog zavrtnja, dužine pomoću noniusa i mase upotrebom digitalne vage. Dobijeni rezultat za gustinu uporediti sa tabličnim vrijednostima, te odrediti vrstu materijala od kojeg je napravljena žica.

4 PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: odrediti zapreminu i gustinu zadanog tijela mjerenjem njegovih dimenzija noniusom. Pribor: - geometrijski pravilno tijelo, - nonius, - digitalna vaga. Linijski nonius Jedna od metoda tačnijeg mjerenja dužine sastoji se u tome da se osnovnom mjerilu, koje je baždareno u jedinicama za dužinu, doda jedan pomični dio, na koji je nanesen tačno određen broj podjeljaka. Takav pomični dio naziva se nonius (NONIUS, 54), ili vernier (VERNIER, 63). Dodavanjem pomičnog dijela dobiva se znatno precizniji uređaj za mjerenje dužine nego što je osnovno mjerilo. Shematski prikaz takvog uređaja dat je na slici.. Slika. Princip rada ovakvog uređaja sastoji se u sljedećem: na nonius se nanesu podjeljci nešto manji od podjeljaka na osnovnom mjerilu i to na principu da N podjeljaka noniusa odgovara (N-) podjeljaka na osnovnom mjerilu, što se može utvrditi kada se nulti zarez noniusa podudari sa nultim zarezom osnovnog mjerila (slika.). Ako označimo sa x dužinu jednog podjeljka na noniusu, a sa y dužinu jednog podjeljka na osnovnom mjerilu, tada je: N x N y.. na osnovu čega slijedi da je dužina jednog podjeljka na noniusu određena izrazom:

5 x y Razlika dužine najmanjeg podjeljka osnovnog mjerila i dužine najmanjeg podjeljka noniusa: y N. y y x.. N naziva se tačnost čitanja ili preciznost noniusa. Na osnovu posljednjeg izraza slijedi da je tačnost čitanja ili preciznost noniusa određena količnikom dužine najmanjeg podjeljka osnovnog mjerila i ukupnog broja podjeljaka na noniusu. Predmet čiju dužinu mjerimo, postavljamo tako da mu se početak podudara sa nultim zarezom noniusa (slika.). Slika. Sa crteža se vidi da kraj predmeta pada između k-tog i (k+)-og zareza osnovnog mjerila, odnosno da je dužina predmeta: L l l k y l, gdje je l dio dužine predmeta koji se može izraziti cijelim brojem k podjeljaka osnovnog mjerila, a l dio dužine predmeta za koji je predmet duži od cijelog broja k podjeljaka osnovnog mjerila. Taj dio dužine određuje se pomoću noniusa. Pošto se podjeljci na noniusu po veličini razlikuju od podjeljaka osnovnog mjerila, to će se na noniusu jedan zarez podudariti sa nekim od zareza na osnovnom mjerilu. Ako, kao na crtežu (slika.) taj zarez označimo sa n, tada će se on podudariti sa zarezom k+n na osnovnom mjerilu. Prema tome je: l n y n x n y x n x. 3

6 Ako uvažimo relaciju. imaćemo: pa će ukupna dužina predmeta biti: y l n, N y L l l k y n..3. N Ovom relacijom izraženo je pravilo određivanja dužine pomoću noniusa: dužina predmeta jednaka je cijelom broju podjeljaka skale osnovnog mjerila, koji prethode nultom zarezu noniusa, uvećanom za produkt broja zareza noniusa koji se podudara sa nekim od zareza osnovnog mjerila i preciznosti noniusa. Preciznost noniusa pri tome, prema relaciji., definisana je količnikom: y N dužina najmanjeg podjeljka osnovnog mjerila. ukupan broj podjeljaka noniusa.4. Dužina y najmanjeg podjeljka osnovnog mjerila može biti različita, ali je najčešće mm. Ukupan broj N podjeljaka kod noniusa može biti različit, što uslovljava i različitu preciznost tih noniusa. Kao primjer očitajmo dužinu predmeta prikazanog na slici.. U tu svrhu pretpostavimo da je osnovno mjerilo baždareno u milimetrima, koji su na crtežu prikazani uvećano. Tada je: y mm N 0 y x 0,mm N pa sa uređaja očitavamo: k 3 n 5 y L k y n 3,5 mm. N 4

7 Uređaj sa noniusom koji ćemo koristiti na vježbi, prikazan je crtežom na slici.3. Slika.3 Na osnovnom mjerilu izrađena su dva kraka k i k. Slični kraci k i k izrađeni su i na noniusu. Ravne strane krakova k i k, kao i krakova k i k, priljubiće se jedna uz drugu kada se podudare nulti zarezi osnovnog mjerila i noniusa. Kada se mjeri dužina L nekog predmeta, tada se taj predmet stavlja između krakova k i k, tako da ga lagano pritisnu, kao što je prikazano na sl..3. Slika.4 Slika.5 Kraci k i k izrađeni su tako da se lako mogu uvući u šupljine na predmetu i na taj način odrediti dimenzije tih šupljina (kao npr. promjere cijevi) (slika.4). Instrumenti za mjerenje dužine izrađuju se i tako da imaju samo krake k i k (slika.5). 5

8 U tom slučaju se pomoću istih krakova određuju i promjeri šupljina, samo treba voditi računa da se kod izvođenja takvog mjerenja očitanoj vrijednosti doda vrijednost od cm (na račun debljine krakova po 5 mm na svaki od njih). Uzani lenjir (slika.3), koji je u vezi sa noniusom, služi za mjerenje dubine predmeta L.. Zadatak: Odrediti zapreminu i gustinu date žice mjerenjem njenog prečnika pomoću mikrometarskog zavrtnja, dužine pomoću noniusa i mase upotrebom digitalne vage. Dobijeni rezultat za gustinu uporediti sa tabličnim vrijednostima, te odrediti vrstu materijala od kojeg je napravljena žica. Pribor: - tijelo čije dimenzije mjerimo, - mikrometarski zavrtanj, - nonius - digitalna vaga. Mikrometarski zavrtanj Mikrometarski zavrtanj (slika.6) je također uređaj koji se koristi za precizno mjerenje dužina. Slika.6 On se, slično kao i nonius, sastoji od osnovnog i pomičnog mjerila, samo što pomični dio kod ovog uređaja ne klizi, nego se pomjera pomoću zavrtnja. Ovdje je iskorišteno svojstvo zavrtnja da on, pri okretanju u matici, napreduje za dužinu koja je proporcionalna uglu zakretanja. Dužina za koju se zavrtanj pomakne pri punom obrtu od 360 naziva se hod zavrtnja (slika.7). 6

9 Mjerenje dužine pomoću zavrtnja svodi se na mjerenje broja okretaja zavrtnja. U tu svrhu koriste se precizno izrađeni zavrtnji, kod kojih je veličina hoda tačno određena i iznosi 0,5 do mm. Bitni dijelovi mikrometarskog zavrtnja su zavrtanj Z i matica M. Matica je kod našeg uređaja nepokretna. Napredovanje zavrtnja u matici očitava se na skali S do ivice bubnja B. Skala S je obično izdijeljena na milimetre ili polovine milimetara, dok je bubanj Slika.7 izdijeljen na veći broj podjeljaka, koji ćemo označiti sa N. Od veličine hoda zavrtnja i ukupnog broja podjeljaka n na bubnju zavisi preciznost zavrtnja. Pošto punom obrtu zavrtnja odgovara napredovanje jednako hodu zavrtnja, imaćemo: odnosno: N podjeljaka bubnja ˆ h mm, podjeljak što predstavlja preciznost zavrtnja. bubnja h ˆ mm,.5. N Na vježbi se koristi instrument, kod koga je: h 0,5 mm, tako da je njegova preciznost: N 50, h N 00 mm. Nasuprot zavrtnja postavljen je nakovanj K. Kad je zavrtanj potpuno zavinut u matici, on blago dotiče nakovanj i pri tome je ivica bubnja na nuli skale S, a nulti zarez na bubnju je na istom pravcu kao i crta koja je paralelno osi zavrtnja ucrtana normalno na zareze skale S. Tijelo čije dimenzije određujemo, postavljamo između nakovnja K i kraja zavrtnja, koji uvijamo sve dok ne postignemo lagan dodir. Tada čitamo na skali S broj cijelih milimetara k i odredimo na bubnju zarez n, koji je u produžetku sa crtom koja je povučena paralelno osi zavrtnja, a normalno na zareze skale S. Ovaj broj n je broj stotih dijelova milimetra. 7

10 Dužina predmeta koji mjerimo biće data izrazom: L k n (mm) Da bi pritisak, koji vršimo pri mjerenju, bio lagan i uvijek isti, zavrtanj treba okretati samo pomoću glave G zavijene u mikrometarski zavrtanj pomoću malog zavrtnja z. Čim vrh zavrtnja dodirne predmet, glava se sa malim trenjem okreće oko bubnja, što sprečava jači pritisak. Da trenje ne bi bilo prejako, između glave i zavrtnja je postavljen komad sukna. IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - Izmjeriti odgovarajuće dimenzije tijela. Iste dimenzije treba mjeriti na različitim mjestima. - Unijeti podatke u Tabelu.. - Iz dobijenih podataka izračunati srednje vrijednosti. - Izračunati zapreminu tijela. - Izmjeriti masu tijela pomoću digitalne vage. - Koristeći se dodatkom o greškama, izračunati standardne devijacije odgovarajućih veličina, te izračunati standardnu devijaciju za zapreminu po formuli: V ( SH) L ( H L) S ( SL) H - Relativnu grešku računati po relaciji: m d m d L L 8

11 Tabela. Broj mjerenja Srednje vrijednosti Standardna devijacija m V L i (mm) L L (mm) S i (mm) S S (mm) H i (mm) H H (mm) i L S H S S L V S V L S V S S m. Zadatak: - Izmjeriti dužinu žice pomoću noniusa. - Izmjeriti masu žice pomoću digitalne vage. - Izmjeriti prečnik žice pomoću mikrometarskog zavrtnja. - Unijeti podatke u Tabelu.. - Izračunati: - apsolutne greške, - standardnu devijaciju, - relativnu grešku u odnosu na srednju apsolutnu grešku, - relativnu grešku u odnosu na standardnu devijaciju. S S H S i S H i 9

12 Tabela. Broj mjerenja d mm mm i d s d i d s d i mm d d d s d m L d V L V 4 m V m d L m d L % 5 s d i Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 0

13 . Laboratorijska vježba GUSTINA ČVRSTIH TIJELA I TEČNOSTI Teorijski uvod Kod homogenih tijela, tj. kod tijela kod kojih je masa ravnomjerno raspoređena, gustina tijela je određena količnikom mase i zapremine: m.. V Gustina je materijalna konstanta, tj. veličina karakteristična za vrstu materijala od koje je tijelo građeno, a naziva se još i zapreminska masa jer predstavlja masu jedinice zapremine datog tijela. Masa tijela je međunarodnim dogovorom svrstana u osnovne veličine Međunarodnog sistema, a za njenu mjernu jedinicu uzet je kilogram: m kg. Masu jednog kilograma ima valjak izrađen od platine i iridijuma, čiji prečnik baze i visina iznose 39 mm. Teg koji odgovara ovoj definiciji naziva se standardni kilogram ili kilogram etalon (slika.). Slika. Jedinica za gustinu u Međunarodnom sistemu je: kg 3 m m.. V U slučaju nehomogenih tijela izrazom. određena je samo srednja gustina. Zato se u slučaju nehomogenih tijela gustina definiše diferencijalnim količnikom: dm.3. dv Na ovoj vježbi određivaće se gustina homogenih supstanci, tj. koristiće se izraz..

14 Za određivanje gustine često se koristi činjenica da na tijela potopljena u fluid djeluje sila potiska ili Arhimedova sila. Ova sila ima smjer suprotan sili teže, tj. nastoji da istisne tijelo iz fluida. Zato tijela potopljena u fluid izgledaju prividno lakša. Ako je težina tijela u ravnoteži sa silom potiska tijelo će lebdjeti, odnosno plivati u fluidu. Napadna tačka sile potiska je u težištu zapremine tijela, dok je napadna tačka sile teže u težištu tijela. Težište zapremine i težište tijela podudaraće se samo u slučaju kad je masa tijela homogeno raspoređena unutar zapremine. Da bismo izveli izraz za silu potiska, pretpostavimo da je tijelo geometrijski pravilnog oblika potopljeno u fluid (slika.). Slika. Bočne sile se u tom slučaju poništavaju, pa je sila potiska rezultanta sila pritisaka: F p F F S p..4. p Pošto je: gdje je gustina fluida, sila potiska je: p p ρ g h, F p ρ g h S ρ g V m g..5. U posljednjem izrazu V je zapremina istisnutog fluida (koja je jednaka zapremini uronjenog dijela tijela), a m je masa istisnutog fluida. Prema tome, na osnovu izraza.5., slijedi da je sila potiska F p jednaka težini istisnutog fluida.

15 ZADACI:. Odrediti gustinu tečnosti pomoću piknometra.. Odrediti gustinu čvrstog tijela pomoću piknometra. 3. Odrediti gustinu čvrstog tijela pomoću digitalne vage. PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti gustinu tečnosti pomoću piknometra. Pribor: - vaga, - piknometar, - voda, - ispitivana tečnost. Piknometar je staklena bočica tačno određene zapremine. Prikazan je na slici.3. Slika.3 Kroz stakleni zatvarač piknometra prolazi uzani kanal. Kada je zatvarač u svom ležištu, a piknometar napunjen nekom tečnošću do vrha kanala, on sadrži za datu temperaturu tačno određenu zapreminu tečnosti. Zapremina piknometra se može odrediti npr. pomoću vode, čiju gustinu označimo sa ρ. Prazan piknometar, zajedno sa čepom, je potrebno staviti na vagu i izvršiti tariranje vage. Zatim piknometar treba ispuniti vodom, začepiti i izvana osušiti. Tada će zapremina piknometra odgovarati zapremini vode, te će vrijediti: gdje je m masa, a ρ gustina vode. m V,.6. 3

16 Kada u piknometar ulijemo ispitivanu tečnost, zapremina tečnosti će biti jednaka zapremini piknometra: V m x..7. x Na osnovu toga, gustinu tečnosti ρ x ćemo odrediti po opštem obrascu: gdje je m x masa ispitivane tečnosti. m x ρx..8. m. Zadatak: Odrediti gustinu čvrstog tijela pomoću piknometra. Pribor: - vaga, - piknometar, - voda, - usitnjeno čvrsto tijelo. Čvrsta tijela čija se gustina određuje pomoću piknometra trebaju biti u zrnastom stanju i nerastvorljiva u vodi ili drugoj tečnosti pomoću koje se vrši mjerenje, te ne smiju upijati vodu ili tečnost u kojoj se vrši mjerenje. Za mjerenje se najčešće koristi destilovana voda, gustine ρ. Za određivanje gustine ρ t čvrstog tijela potrebno je izvršiti sljedeća mjerenja mase: - m masa usitnjenog tijela, - m masa piknometra sa vodom i tijela pored njega, - m 3 masa piknometra sa vodom i tijela u njemu. Pri mjerenju mase m cjelokupna zapremina piknometra je ispunjena vodom, dok je pri mjerenju mase m 3 zapremina vode u piknometru umanjena za onu zapreminu koju tijelo u njemu zauzima. Kod oba mjerenja (m i m 3 ) mase praznog piknometra i usitnjenog tijela ostaju iste, a mijenja se samo masa vode. Zapremina V usitnjenog tijela je prema tome određena izrazom: 4

17 V m m ρ 3. Prema tome, gustina čvrstog tijela će biti: m m kg ρ t ρ 3 V m m m Zadatak: Odrediti gustinu čvrstog tijela pomoću digitalne vage. Pribor: - digitalna vaga, - menzura, - voda, - dato čvrsto tijelo. Za određivanje gustine čvrstog tijela pomoću digitalne vage potrebno je izvršiti dva mjerenja mase: - m - masa tijela u vazduhu, - m p masa tijela u vodi, koja odgovara prividnom povećanju težine posude sa vodom. Da bismo direktno odredili prividnu masu, potrebno je posudu sa vodom postaviti na vagu, a zatim izvršiti tariranje vage. Ukoliko masu m p podijelimo sa gustinom vode ρ, dobit ćemo volumen koji odgovara zapremini ispitivanog čvrstog tijela 3 m p V..0. S druge strane, također vrijedi da je volumen ispitivanog tijela: tijela: m x... V Povezivanjem relacija.0. i.., moguće je odrediti gustinu ispitivanog m x... m p 5

18 IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - Staviti suh piknometar na vagu i izvršiti tariranje vage. - U piknometar uliti vodu, posušiti ga, izvagati i unijeti masu m u Tabelu.. - Uliti ispitivanu tečnost u piknometar, posušiti ga i unijeti masu m x u Tabelu.. - Izračunati gustinu tečnosti prema relaciji.8. - Izračunati: - srednju vrijednost gustine tečnosti, - relativnu grešku prema relaciji: mx m m m m - Apsolutnu grešku prema relaciji:. - Rezultat mjerenja predstaviti u obliku:. Tabela. x s x 000 m kg3 Broj mjerenja m (g) (g) m x xs x 6

19 . Zadatak: - Izvagati usitnjeno tijelo i unijeti njegovu masu m u Tabelu.. - U piknometar uliti vodu, posušiti ga kada istekne višak vode iz njega i izvagati ga zajedno sa usitnjenim tijelom. Unijeti masu m u Tabelu.. - Ubaciti u piknometar usitnjeno tijelo, posušiti piknometar sa vodom i tijelom u njemu i ponovno izvagati. Masu m 3 unijeti u Tabelu.. - Izračunati gustinu po relaciji.9. Tabela. 000 m kg3 Broj Mjerenja m ( ) m ( ) ( ) g g m m m ( ) 3 g 3 g t 3. Zadatak: - Izvagati u vazduhu tijelo čiju gustinu određujemo. Masu m unijeti u Tabelu.3. - Uliti vodu u posudu i tarirati vagu. - Izvagati prividnu masu m p tijela u vodi. Tijelo mora biti potpuno potopljeno u vodu. - Izračunati gustinu tečnosti prema relaciji.. - Izračunati relativnu grešku pomoću relacije: mx m m m gdje je m x =m p. - Predstaviti rezultat mjerenja u obliku: x x x 7

20 Tabela.3 Broj mjerenja m (g) (g) xs kg 3 m m p x Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 8

21 3. Laboratorijska vježba VISKOZNOST I POVRŠINSKI NAPON Teorijski uvod U idealnoj tečnosti nema trenja. Unutarnje trenje ili viskoznost se može zamisliti kao sila trenja kojom se jedan sloj fluida u kretanju tare o drugi. Pri laminarnom strujanju, sila trenja F između dva sloja tečnosti na rastojanju dx, sa razlikom brzina dv, data je Newtonovim zakonom viskoznosti: dv F η S, 3.. dx dv gdje je S dodirna površina slojeva. U ovom izrazu predstavlja gradijent brzine dx (relativni porast brzine u pravcu od jednog sloja ka drugom), a η dinamički koeficijent viskoznosti ili dinamičku viskoznost. Dinamička viskoznost zavisi od parametara koji karakterišu unutrašnje stanje datog fluida, a u prvom redu od temperature. Kod tečnosti viskoznost opada sa temperaturom, dok kod gasova raste. U međunarodnom sistemu, jedinica za dinamičku viskoznost je paskalsekunda. F v S x N N η s Pa s 3.. m m m s m Paskalsekunda je dinamička viskoznost homogenog fluida koji laminarno struji, u kome između dva ravna paralelna sloja sa razlikom u brzini od jednog metra u sekundi, na rastojanju od jednog metra, nastaje napon smicanja od jednog paskala. N Pa s m kgm s s m s kg sm kgm s Za određivanje viskoznosti tečnosti pogodno je koristiti Hagen- Poisseuilleov zakon za strujanje viskozne tečnosti kroz cijev radijusa R i dužine l, uslijed stalne razlike pritisaka na krajevima p=p -p : 9

22 4 π R p p η l Q Q je zapreminski protok, tj. zapremina fluida koja u jedinici vremena prođe kroz poprečni presjek cijevi: Iz (3.3) je dinamička viskoznost: ΔV Q Δt η 4 π R p p Q l Površinski napon Pojava da se površinski sloj tečnosti ponaša kao tanka, zategnuta membrana, koja se opire povećanju svoje površine, naziva se površinski napon. Veličina koja karakterizira površinski napon se zove koeficijent površinskog napona i brojno je jednaka radu koji treba izvršiti da se površina tečnosti poveća za jedinicu: A S Posmatrajmo ram od žice ABCD (slika 3. ) sa lahko pokretnom žicom EF, dužine l koja može da klizi duž strana AB i DC. Ako umočimo ram u sapunicu i izvadimo ga dobije se tanka opna te tečnosti EBCF. Odmah će se primijetiti da se žica EF kreće prema BC, tj. da se površina opne smanjuje uslijed djelovanja sila površinskog napona. Ako se žica pomjeri za h utrošeni rad protiv sila površinskog napona je: A F h Slika 3. 0

23 Prema definiciji 3.6. za koeficijent površinskog napona rad sile površinskog napona: gdje je: A S l h, 3.8. S l h promjena površine opne s obje strane. Izjednačavanjem jednačina 3.7. i 3.8. dobivamo: F l 3.9. odnosno, koeficijent površinskog napona je: F F σ, 3.0. l l F pri čemu je sila koja djeluje sa jedne strane opne. Koeficijent površinskog napona je, prema 3.0., brojno jednak sili koja djeluje na jedinicu dužine granične linije površine tečnosti. Ova sila je usmjerena normalno na svaki element dužine granične linije i i tangencijalna je na površinu tečnosti. Koeficijent površinskog napona izražava se u m N. ZADACI:. Odrediti koeficijent viskoznosti date tečnosti pomoću Ostwaldovog viskozimetra.. Odrediti koeficijent viskoznosti date tečnosti pomoću Stokesovog viskozimetra. 3. Odrediti koeficijent površinskog napona tečnosti pomoću stalagmometra. PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti dinamičku viskoznost date tečnosti pomoću Ostwaldovog viskozimetra. Pribor:

24 - Ostwaldov viskozimetar, - voda, - ispitivana tečnost, - štoperica. Metoda je relativna. Ispitivana tečnost se upoređuje sa tečnošću čiji koeficijent viskoznosti znamo. Slika 3. viskoznost je: Ostwaldov viskozimetar je staklena cijev U oblika (slika 3..), proširena na nekim mjestima, na čiji je jedan kraj postavljena gumena pumpica. Cijev je na jednom mjestu sužena u kapilaru. U otvoreni kraj viskozimetra najprije sipamo jednu tečnost, npr. tečnost poznatog koeficijenta viskoznosti η, gustine ρ. Zatim pomoću pumpice uvlačimo usutu tečnost kroz kapilaru sve dok joj nivo ne pređe zarez. Ostavimo pumpicu i pričekamo da se nivo tečnosti spusti tačno na zarez i u tom trenutku uključimo štopericu. Izmjerićemo vrijeme t za koje se tečnost spusti od zareza do zareza. Nakon toga prvu tečnost vraćamo u bočicu, a u viskozimetar sipamo istu količinu ispitivane tečnosti gustine ρ, čiji koeficijent viskoznosti η određujemo, pa na isti način kao u prethodnom slučaju izmjerimo odgovarajuće vrijeme t. Prema Hagen-Poisseuilleovom zakonu dinamička 4 π r Δp η 8 l Q 4 π r ρ g h t 8 l V Za poznatu tečnost je: a za nepoznatu: 4 π r ρ g h t η, l V 4 π r ρ g h t η l V Dijeljenjem 3.. sa 3.. slijedi:

25 η η ρ t ρ t, pa je dinamička viskoznost (koeficijent viskoznosti) nepoznate tečnosti: η ρ t η 3.3. ρ t Najčešće kao poznatu tečnost koristimo vodu za koju je:, Zadatak: Odrediti koeficijent viskoznosti date tečnosti pomoću Stokesovog viskozimetra. Pribor: - Stokesov viskozimetar, - kuglice, - ispitivana tečnost, - mjerilo dužine, - štoperica. 3 3 kg 3 m Pas Stokesov metod mjerenja koeficijenta viskoznosti Stokesov metod mjerenja koeficijenta viskoznosti tečnosti je apsolutni metod. Za određivanje koeficijenta viskoznosti ovom metodom koristi se Stokesov viskozimetar (slika 3.3.), koji predstavlja staklenu cijev ispunjenu tečnošću čiji se koeficijent viskoznosti određuje. Na vrh staklene cijevi postavlja se lijevak kojim se ograničava kretanje kuglice u pravcu ose staklene cijevi. Vrijeme kretanja kuglice se mjeri hronometrom od trenutka kada se uoči da je brzina kretanja kuglice postala konstantna. Put koji kuglica pređe za određeno vrijeme Slika 3.3 3

26 krećući se kroz ispitivanu tečnost se može izmjeriti pomoću metra. Obzirom da koeficijent viskoznosti ovisi o temperaturi tečnosti, obavezno je i mjerenje temperature pomoću termometra. Na kuglicu poluprečnika r, koja slobodno pada kroz homogenu tečnost koeficijenta viskoznosti η, djeluju sila teže, sila potiska i Stokesova sila. Obzirom da brzina kretanja kuglice ubrzo postane stalna, vektorska jednačina kretanja kuglice je: U skalarnom obliku je: Odakle je Stokesova sila otpora: G F p F ot G F p F F ot G 3.6. ot F p Korištenjem relacija za težinu, silu potiska, Stokesovu silu i zapreminu sferne kuglice G g V, F p g V, t F ot 6 r v, 4 3 V r 3 gdje je ρ gustina kuglice, ρ t gustina tečnosti, v brzina kuglice, a r njen poluprečnik, dobija se sljedeći izraz za koeficijent viskoznosti:, r g t v Ako za vrijeme t kuglica pri svom ravnomjernom kretanju kroz tečnost pređe put L, njena brzina je: L v. t Korištenjem ove relacije za brzinu i uvođenjem prečnika kuglice: 4

27 d koji se direktno mjeri, konačan izraz za koeficijent viskoznosti ispitivane tečnosti postaje: r d g t t L 3. Zadatak: Odrediti koeficijent površinskog napona tečnosti pomoću stalagmometra. Pribor: - stalagmometar, - voda, - ispitivana tečnost, Stalagmometar se upotrebljava za određivanje koeficijenta površinskog napona nepoznate tečnosti, upoređujući ga sa koeficijentom površinskog napona vode ili neke druge tečnosti. U našem zadatku koristi se voda kao tečnost čiji je koeficijent površinskog napona poznat. Stalagmometar predstavlja jednu staklenu pipetu iz koje tečnost može da izlazi u kapljicama (slika 3.4). Na pipetu je nataknuto gumeno crijevo sa pumpicom. Kapljica se drži na vrhu pipete uslijed površinskog napona i otkida se onda kada njena težina postane jednaka sili površinskog napona. Težina kapljice se može izračunati iz određene zapremine na stalagmometru označene između dva zareza, broja kapi i gustine date tečnosti. Ako u zapremini V (zapremina između zareza i ) stalagmometra ima n kapljica prve tečnosti, u našem slučaju vode i ako je ρ njena gustina, težina kapljice vode je: Slika 3.4 G V g n 3.9. Sila površinskog napona koja drži kapljicu vode na vrhu pipete jednaka je: F 3.0. r Pošto se kapljica otkida nakon što njena težina postane jednaka sili površinskog napona, dobiva se za koeficijent površinskog napona vode: 5

28 Vg. 3.. rn Težina kapljice druge tečnosti, čiji je koeficijent površinskog napona nepoznat, gdje je n broj kapljica tečnosti u zapremini V, ρ njena gustina, iznosi: G V g n 3.. Sila površinskog napona je: te je F r, 3.3. V g Upoređivanjem relacija 3.. i 3.4 dobiva se r n n n, 3.5. odnosno za koeficijent površinskog napona nepoznate tečnosti n N. n m 3.6. Ako znamo vrijednosti gustine za vodu ρ i za ispitivanu tečnost ρ, koeficijent površinskog napona vode i broj kapi n i n, koje se sadrže u istoj zapremini, pomoću jednačine (3.6) možemo izračunati koeficijent površinskog napona nepoznate tečnosti. 6

29 IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - U otvoreni kraj viskozimetra nasuti vodu. - Pomoću pumpice uvući vodu kroz kapilaru, sve dok joj nivo ne pređe zarez. Uključiti štopericu kada se nivo vode spusti tačno na zarez. - Izmjeriti vrijeme t i unijeti u tabelu Isto ponoviti za datu tečnost i podatak t unijeti u tabelu Prema relaciji 3.3. izračunati dinamičku viskoznost date tečnosti. - Izračunati relativnu grešku. Tabela 3. x t C Broj mjerenja t (s) t x (s) x(pas) xs Napomena: Pri sipanju tečnosti u viskozimetar treba voditi računa o tome da količina tečnosti ne bude prevelika, tj. da joj nivo bude ispod donjeg kraja kapilare. Također količina tečnosti ne smije biti premala da prilikom dizanja tečnosti u kapilaru ne ulazi vazduh. U viskozimetar treba usuti istu količinu poznate i nepoznate tečnosti.. Zadatak: - Očitati temperaturu na termometru i unijeti je u tabelu Izmjeriti prečnik kuglice i unijeti u tabelu Pustiti kuglicu kroz lijevak i izmjeriti vrijeme za koje kuglica pređe put između dva zareza. Podatke unijeti u tabelu Izračunati koeficijent viskoznosti prema relaciji

30 Tabela 3. t C kuglica ulja Broj mjerenja d (mm) L (cm) t (s) (Pas) xs 3. Zadatak: - Stalagmometar uronimo u posudu sa vodom i pomoću pumpice u njega uvučemo izvjesnu količinu vode, tako da nivo vode bude iznad gornjeg zareza. - Stalagmometar izvadimo iz vode i pustimo da voda istječe u kapljicama. - Kada nivo vode u stalagmometru dođe do zareza, počinjemo brojanje kapljica i brojimo ih dok se nivo vode ne spusti do zareza, a zatim broj kapljica n unosimo u tabelu Isto ponovimo sa tečnosti čiji površinski napon određujemo. - Prema 3.6. izračunamo koeficijent površinskog napona za datu tečnost. - Izračunati srednju vrijednost koeficijenta površinskog napona. xs vode vode Broj mjerenja n n x x x N m Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 8

31 4. Laboratorijska vježba ODREĐIVANJE UBRZANJA ZEMLJINE TEŽE Teorijski uvod Svako tijelo na Zemlji ima težinu, što znači da prepušteno samo sebi pada ubrzano po putanji, koja je u prosjeku okomita na Zemljinu površinu. Sila otpora sredine može deformirati pravolinijsku putanju tijela koju zapažamo pri padanju tijela u evakuiranoj cijevi. Kada bi Zemlja bila inercijalni referentni sistem, tj. kad ne bi rotirala oko svoje ose gravitaciona sila bila bi jednaka sili Zemljine teže. Ovo vrijedi samo na polovima Zemlje (polovi se nalaze na osi rotacije). Na ostalim geografskim širinama sila teže je manja od gravitacione sile zbog centrifugalnog efekta, koji je posljedica neinercijalnosti sistema referencije vezanih za tačke na površini Zemlje. Ubrzanje sile teže na polovima iznosi: a na ekvatoru: m g p 9,83 s m g e 9,78. s Zbog male razlike u vrijednostima, uzima se da je ubrzanje Zemljine teže jednako u svim tačkama Zemljine površine i dogovorno je njegova standardna vrijednost: m g 9,8. s ZADACI:. Odrediti ubrzanje Zemljine teže pomoću matematičkog klatna računskom metodom.. Odrediti ubrzanje Zemljine teže pomoću matematičkog klatna grafičkom metodom. 9

32 PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti ubrzanje Zemljine teže pomoću matematičkog klatna računskom metodom. Pribor: - matematičko klatno, - štoperica, - metarsko mjerilo. Slika 4. Pod klatnom se općenito podrazumijeva svako tijelo koje se nalazi u položaju stabilne ravnoteže. Matematičko klatno je zamišljeno idealno klatno koje bi trebalo da se sastoji od materijalne tačke obješene o neistegljiv konac bez težine. Praktično matematičko klatno se može dobiti ako tijelo malih dimenzija (metalnu kuglicu ili pločicu) objesimo o dugačak i tanak konac (slika 4.). Rastojanje OA od tačke vješanja O do težišta tijela A je dužina klatna koju označavamo sa l. Kad je klatno u ravnoteži, težina tijela je u ravnoteži sa silom zatezanja konca i klatno visi vertikalno. Ako klatno izvedemo iz ravnotežnog položaja. ravnoteža se poremeti i javiće se sila F (komponenta sile težine) koja teži da klatno vrati u ravnotežni položaj. Pod djelovanjem sile, oslobođeno klatno počinje da osciluje oko ravnotežnog položaja. Označimo sa B trenutni položaj klatna izvedenog iz ravnotežnog položaja. a sa x normalno rastojanje tijela od ravnotežnog položaja klatna. Ugao za koji smo klatno izveli iz ravnotežnog položaja označimo sa φ. Težinu klatna predstavljamo vertikalnim vektorom intenziteta m g, (g-ubrzanje sile teže). Kako se klatno ne može kretati u pravcu sile težine razložićemo tu silu na komponente. Komponenta F je u pravcu konca, dok je komponenta F normalna na F. Sila F je neaktivna jer vrši samo zatezanje konca. Sila F predstavlja aktivnu komponentu pod čijim djelovanjem klatno osciluje oko ravnotežnog položaja. Prema slici 4. je F m g sin 4.. U slučaju da je ugao φ malen, luk AB koji predstavlja elongaciju klatna može se zamijeniti normalom x. 30

33 Kako je imaćemo: pa je: gdje je F x sin, 4.. l x m g, 4.3. l F k x, 4.4. m g k l Relacija 4.4. ukazuje da je sila koja djeluje na kretanje klatna proporcionalna elongaciji. Znamo da takvo kretanje mora da bude prosto harmonijsko. Poznato je da je period (vrijeme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija) kod prostog harmonijskog kretanja: m T, 4.6. k što u slučaju matematičkog klatna primjenom izraza (4.5) daje: T l 4.7. g Kvadriranjem ovog izraza dobije se 4 T g l 4.8. Dakle, T je linearna funkcija dužine klatna l. 3

34 . Zadatak: Odrediti ubrzanje Zemljine teže pomoću matematičkog klatna grafičkom metodom. Grafički prikazana ova zavisnost predstavlja pravac koji prolazi kroz ishodište (slika 4.). Slika 4. tj.: Nagib ovog pravca određen je faktorom koji množi l u posljednjem izrazu, 4 tg 4.9. g Odavde je 4 g 4.0. tg 3

35 IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - Izvršiti zadani broj mjerenja na datoj dužini. - Izmjereno vrijeme unijeti u Tabelu 4. i odrediti period oscilacija. - Period T i kvadrat perioda T unijeti u Tabelu Izračunati vrijednost ubrzanja Zemljine teže g. - Relativnu grešku izračunati pomoću relacije: Uzeti da je L T L T 0,s T i L 0, 05cm. n - Odrediti apsolutnu grešku pomoću izraza: gdje je g, gs srednja vrijednost ubrzanja Zemljine teže. - Rezultat mjerenja predstaviti u obliku: Tabela 4. Dužina klatna je g s g g s g L ( ) cm, upisati broj oscilacija n t t T (s) T ( s ) n Broj mjerenja (s) T T s s 33

36 . Zadatak: - Ponoviti mjerenja za 6 različitih dužina. Za svaku dužinu načiniti 3 mjerenja. - Podatke unijeti u Tabelu 4. i izračunati srednju vrijednost za T. - Formirati Tabelu 4.3 unošenjem vrijednosti L i T iz Tabele Nacrtati grafikon na osnovu podataka iz Tabele Iz grafikona izračunati ubrzanje Zemljine teže pomoću relacije 4.0. Tabela 4. Broj mjerenja L ( m ) t ( s) t T ( ) s n T (s) L ( m ) t ( s) t T ( ) s n T (s).. 3. T s T s Broj mjerenja L 3( m ) t ( s) t3 3 T ( ) 3 s n T 3 (s) L 4 ( m ) t ( s) t 4 ( ) 4 T4 s n T 4 (s).. 3. T s 3 4 T s 34

37 Broj mjerenja t5 L 5 ( m) t 5 ( s) T5 ( s) n t6 T 5 (s) L 6 ( m) t 6 ( s) T6 ( s) n T (s).. 3. T s 5 6 T s Tabela 4.3 L (m) T ( s ) g= Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 35

38 5. Laboratorijska vježba OSNOVNA KALORIMETRIJSKA MJERENJA Teorijski uvod Ako se tijelu mase m dovodi količina toplote Q tada se temperatura tijela promijeni za t (C). Pri tome je Q m c t, 5.. gdje je c faktor proporcionalnosti koji se naziva specifični toplotni kapacitet. Specifični toplotni kapacitet je ona količina toplote koju treba dovesti jednom kilogramu neke supstance da bi mu se temperatura povisila za Kelvin. Jedinica za specifični toplotni kapacitet je: J kg K. Uređaj za mjerenje specifičnog toplotnog kapaciteta naziva se kalorimetar. Kao kalorimetar može da posluži jedna Dewarova posuda u kojoj se nalazi metalna posuda sa termometrom T i miješalicom M koji ulaze kroz otvore na poklopcu posude (slika 5..). Dewarova posuda služi kao zaštita od spoljašnjeg zagrijavanja ili hlađenja. Proizvod mase i specifične toplote (m c) nekog tijela naziva se toplotni kapacitet tijela. Brojno je jednak onoj količini toplote koju treba dovesti tijelu mase m i specifičnog toplotnog kapaciteta c da bi mu se temperatura povisila za kelvin. Slika 5. ZADACI:. Odrediti toplotni kapacitet kalorimetarske posude metodom miješanja.. Odrediti specifičnu toplotu čvrstog tijela pomoću kalorimetra. 36

39 PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti toplotni kapacitet kalorimetarske posude metodom miješanja. Pribor: - kalorimetrijska posuda sa termometrom i miješalicom, - rešo, - termometar, - posuda za zagrijavanje vode.. Zadatak: Odrediti specifičnu toplotu čvrstog tijela pomoću kalorimetra. Pribor: - kalorimetrijska posuda sa termometrom i miješalicom, - tijelo, - rešo, - termometar, - posuda za zagrijavanje. U kalorimetru se nalazi voda mase m, specifičnog toplotnog kapaciteta c i temperature t. U kalorimetar se stavlja zagrijano tijelo m, specifičnog toplotnog kapaciteta c i temperature t. Količina toplote koju otpusti zagrijano tijelo jednaka je količini toplote koju primi voda, zajedno sa kalorimetarskom posudom: m t t m c t t Kt c t, 5.. gdje je t temperatura smjese, a K toplotni kapacitet kalorimetarske posude. Da bi se odredio toplotni kapacitet kalorimetarske posude uzima se određena količina vode mase m, koju je potrebno zagrijati do temperature t. Kada se topla voda ulije u kalorimetarsku posudu u kojoj je prethodno nasuta voda mase m, specifične toplote c =4,868 kj/(kg K), ona odaje toplotu posudi toplotnog kapaciteta K i hladnoj vodi. Metodom miješanja se ostvaruje razmjena energije sve do uspostavljanja toplotne ravnoteže sistema na temperaturi t. Rješavajući jednačinu 5.. po K, dobija se izraz za toplotni kapacitet kalorimetarske posude: m ( t t) K c m t t 37

40 Iz relacije 5.., za traženi specifični toplotni kapacitet dobijamo formulu: mc K t t m t t J c kgk Izvaže se kalorimetarska posuda sa termometrom i miješalicom, pa se nalije izvjesna količina vode i ponovo izvaže. Razlika tih mjerenja daje masu m vode u kalorimetru. Tijelo čiji se specifični toplotni kapacitet određuje se zagrije u posebnoj posudi sa vodom do temperature t. Zatim se očita temperatura t vode u kalorimetru i to neposredno prije stavljanja tijela. Nakon stavljanja tijela u kalorimetar, kalorimetar treba brzo poklopiti. Temperatura najprije raste, zatim ostaje izvjesno vrijeme stalna, pa zatim opada. Maksimalna temperatura koja se opaža predstavlja temperaturu mješavine t. Specifični toplotni kapacitet čvrstog tijela se računa prema formuli 5.4. IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - U posudu uliti vodu i zagrijavati je na rešou. - Izmjeriti masu m kalorimetarske posude sa termometrom i mješalicom. - U kalorimetarsku posudu uliti hladnu vodu i izmjeriti masu M kalorimetarske posude sa vodom. - Masu hladne vode izračunati po obrascu: m M m. - Očitati temperaturu hladne vode t. - Očitati temperaturu tople vode t. - Toplu vodu uliti u kalorimetarsku posudu kroz otvor na poklopcu posude. - Miješati vodu u kalorimetru i pratiti porast temperature na termometru, te upisati maksimalnu vrijednost temperature mješavine t. - Izmjeriti masu M kalorimetarske posude sa mješavinom tople i hladne vode. - Masu tople vode izračunati po obrascu: 38

41 m M M - Podatke unijeti u Tabelu Ponoviti postupak još dva puta. - Izračunati srednje vrijednosti mjerenih veličina. - Izračunati toplotni kapacitet kalorimetarske posude prema relaciji 5.3. Tabela 5. Broj mjerenja.. 3. m kg kg m t C t C C K s J t K K. Zadatak: - U posudu uliti vodu i zagrijavati je na rešou. - Izmjeriti masu m kalorimetarske posude sa termometrom i mješalicom. - Izmjeriti masu m čvrstog tijela čija se specifična toplota određuje. - U kalorimetarsku posudu uliti hladnu vodu i izmjeriti masu M kalorimetarske posude sa vodom. - Masu hladne vode izračunati po obrascu: m M m. - Očitati temperaturu hladne vode t. - Kada se voda u posudi na rešou zagrije do neke veće temperature, staviti tijelo u vodu i sačekati da se temperature tijela i tople vode izjednače. - Očitati temperaturu tople vode t u trenutku vađenja tijela iz posude. - Izvaditi tijelo iz tople vode i brzo spustiti u kalorimetar. - Miješati vodu u kalorimetru i pratiti porast temperature na termometru, te upisati maksimalnu vrijednost temperature mješavine t. - Podatke unijeti u Tabelu Ponoviti postupak još dva puta. - Izračunati srednje vrijednosti mjerenih veličina. 39

42 - Izračunati toplotni kapacitet kalorimetarske posude prema relaciji Uporediti izračunatu vrijednost za c sa vrijednostima u priloženoj tabeli, te procijeniti od čega je dato tijelo napravljeno. Tabela 5. Broj Mjerenja.. 3. m kg kg m C t t C C c J t K K c J kgk Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 40

43 6. Laboratorijska vježba GASNI PROCESI Teorijski uvod Pod nazivom idealni gas podrazumijeva se gas kod kojeg je međudjelovanje čestica tako slabo da se može zanemariti. Stanje gasa karakterišu tri veličine: pritisak, zapremina i temperatura. Promjena stanja gasa naziva se gasni proces. Ako je jedna od tih veličina konstantna, takav gasni proces nazivamo izoproces. Razlikujemo tri vrste izoprocesa:. Izotermni za koji vrijedi Boyle-Mariotteov zakon: p V p0 V0 const., t const Izobarni za koji vrijedi Gay-Lussacov zakon: V t V 0 ( t), p const., 6.. gdje je V 0 zapremina gasa na 0 C, t je temperatura izražena u C, je termički koeficijent širenja gasova, jednak za sve gasove i ima vrijednost: K 0,00366 K. 73 To znači da svi idealni gasovi pri povećanju temperature za C povećavaju svoju zapreminu za /73 dio zapremine koju gas ima na 0 C, ako se gas zagrijava pri konstantnom pritisku. 3. Izohorni proces za koji vrijedi Gay-Lusacov zakon ili Charlesov zakon: p t p0 t, V const., 6.3. gdje je p 0 pritisak gasa na 0 C, a p t pritisak istog gasa na temperaturi t C. Koeficijent α se zove termički koeficijent pritiska i ima istu vrijednost /73, kao i koeficijent širenja gasova. To znači da se zagrijavanjem gasa za C pri stalnoj zapremini njegov pritisak poveća za /73 dio pritiska koji je gas imao na 0 C. Svi idealni gasovi imaju isti termički koeficijent pritiska. 4

44 ZADACI:. Odrediti termički koeficijent pritiska gasa pomoću Jollyjevog gasnog termometra. PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti termički koeficijent pritiska gasa pomoću Jollyjevog gasnog termometra. Pribor: - stakleni balon, - posuda sa vodom, - rešo, - Jollyjev gasni termometar, - sobni termometar, - sobni barometar. Određivanje termičkog koeficijenta pritiska gasa pomoću Jollyjevog gasnog termometra Za određivanje termičkog koeficijenta pritiska gasa ćemo koristiti Jollyjev gasni termometar (slika 6.). Stakleni balončić C spojen je sa otvorenim manometrom, čiji su kraci spojeni gumenim crijevom tako da otvoreni krak možemo dizati i spuštati. Kod izohornih promjena moramo dizanjem i spuštanjem otvorenog kraja manometra podešavati da zapremina bude stalna, tj. da u zatvorenom kraku manometra stakleni šiljak S uvijek dodiruje meniskus žive. Kada je gas na proizvoljnoj temperaturi t, nivoi žive nisu općenito na istoj visini, nego je npr. nivo žive u otvorenom kraku za h mm iznad nivoa u zatvorenom kraku. Tada je p p g h, 6.4. gdje je g h hidrostatički pritisak stuba žive koji odgovara visini h. Slika 6. Balon C se stavi u posudu sa vodom koja je na sobnoj temperaturi i u koju je uronjen termometar. Na opisani način izmjerimo vrijednost pritiska p u balonu na temperaturi t koju pokazuje termometar, zatim zagrijavamo vodu u koju je potopljen balon C. Kada se temperatura vode povisi za C, zaustavi se 4

45 grijanje, voda se pažljivo miješa miješalicom i nakon dvije do tri minute, kada se temperatura povisi za još C, očita se temperatura t i pritisak p. Isti postupak se ponavlja za sljedeće više temperature sve dok se ne ispuni tablica. Temperatura ne smije preći 65 C. Dobiveni podaci se unose u tabelu 6.. IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: - Postaviti stakleni balon u posudu s vodom na rešo i očitati sobnu temperatutu t i upisati je u Tabelu Zabilježiti nivo žive h. - Uključiti grijanje vode i sačekati da se temperatura povisi za C, nakon toga ugasiti rešo, miješati dok se temperatura ne povisi za još C, očitati nivo žive h i upisati u Tabelu Postupak iz prethodnog koraka ponoviti još pet puta. - Nacrtati graf zavisnosti p(t). - Iskoristiti numeričke podatke za koeficijent pravca i slobodni član da se odrede vrijednost pritiska na 0 C i termički koeficijent. - Izračunati relativnu grešku u odnosu na tabličnu vrijednost tab Tabela K p m kg3 a Broj mjerenja t( C) h (mm) p( 0 Pa) % 43

46 Slika 6. Iz dobivenih podataka se crta grafikon zavisnosti pritiska od temperature. Dobivene tačke treba da leže na pravoj, što potvrđuje linearnost Gay-Lussacovog zakona. Ako sve tačke ne leže na pravoj, pravu treba povući tako da odstupanja od svih tačaka treba da budu približno ista (slika 6.). Da bismo odredili termički koeficijent pritiska gasa povucimo dobivenu pravu na grafikonu do presjeka sa ordinatnom osom. Odsječak OA na ordinatnoj osi daje vrijednost pritiska na temperaturi 0 C koji smo označili s p 0. Zatim za neku vrijednost temperature t (iz intervala u kojem smo vršili mjerenja) povucimo ordinatu BC. Vrijednost ordinate BC daje vrijednost pritiska p t na temperaturi t. Iz jednačine 6.3. slijedi da je: p t p p t Uvrštavanjem vrijednosti p t, p 0 i t u formulu 6.5. izračunavamo termički koeficijent pritiska gasa. 0 Datum ovjere Bodovi Potpis asistenta 44

47 7. Laboratorijska vježba PROMJENA AGREGATNIH STANJA Teorijski uvod Fazni prelazi Ako se neko kristalno čvrsto tijelo zagrijava, njegova se temperatura povećava. Ako pri ravnomjernom zagrijavanju predstavljamo temperaturu tijela kao funkciju vremena, tada se dobiva grafikon predstavljen na slici 7.. Slika 7. Desno od tačke A temperatura tijela ne raste iako se i dalje dovodi toplota. U tački A primjećujemo da tijelo počinje da se topi i sve dok se tijelo potpuno ne istopi, temperatura mu je ista i pored zagrijavanja tj. dovođenja toplote. Temperatura na kojoj tijelo prelazi iz čvrstog u tečno agregatno stanje naziva se temperatura topljenja na datom pritisku. Temperatura topljenja koja je data u tabelama za razne materijale odnosi se na normalni atmosferski pritisak (p=035 Pa). Iz prethodnog razmatranja može se zaključiti da tijelu koje je zagrijano do temperature topljenja treba dovesti izvjesnu količinu toplote da bi prešlo iz čvrstog u tečno agregatno stanje pri istoj temperaturi. Količina toplote koju treba dovesti masi od kg supstance, koja je zagrijana do temperature topljenja da bi prešla u tečno stanje iste temperature, naziva se toplota topljenja za datu supstancu. Pri topljenju molekule vrše rad na savlađivanju molekularnih sila. Kad se primljena toplota troši samo na vršenje toga rada temperatura se ne povećava. Ako se istopljeno tijelo zagrijava, temperatura mu se poveća do izvjesne vrijednosti (tačka C na slici 7.), kada počinje da ključa tj. isparavanje se vrši i u unutrašnjosti 45

48 tečnosti. I pored toga što se stalno dovodi toplota, temperatura tečnosti se ne mijenja. Iz toga zaključujemo da je tečnosti koja je zagrijana do temperature ključanja ( ) potrebno dovesti izvjesnu količinu toplote da bi prešla u paru iste temperature. Količina toplote koju treba dovesti jednom kilogramu tečnosti, koja je zagrijana do temperature ključanja, da bi prešla u paru iste temperature zovemo toplota isparavanja. Kada se para kondenzuje, tj. prelazi u tečno stanje, tada se oslobađa ista količina toplote kolika se vezuje pri isparavanju. ZADACI:. Odrediti toplotu topljenja leda.. Odrediti toplotu isparavanja vode. PRIBOR I MJERENJE. Zadatak: Odrediti toplotu topljenja leda. Pribor: - vodeni kalorimetar, - Voda, - led, - termometar, - vaga.. Zadatak: Odrediti toplotu isparavanja vode. Pribor: - vodeni kalorimetar, - voda, - termometar, - vaga, - rešo, - vatrostalna posuda za vodu. 46

49 IZVOĐENJE MJERENJA. Zadatak: Toplota topljenja se određuje pomoću kalorimetra. Kao kalorimetar se može upotrijebiti Dewarova posuda sa termometrom T i miješalicom M koji ulaze kroz otvore na poklopcu posude (slika 7.). Dewarova posuda služi kao zaštita od spoljašnjeg zagrijavanja ili hlađenja. Ako se tijelu mase m pri razmjeni toplote sa okolinom povećava, odnosno smanjuje temperatura za t, tada je tijelo primilo odnosno otpustilo količinu toplote Q m c t 7.. gdje je c specifični toplotni kapacitet tijela. Da bismo odredili toplotu topljenja leda izvjesnu količinu leda mase m na 0 C spustimo u kalorimetar u kome se Slika 7. nalazi voda mase m i temperature t. Miješamo dok se led ne istopi i dok termometar ne pokaže stalnu temperaturu, tj. temperaturu mješavine t. Pri tome je količina toplote koja je potrebna da se led istopi i zagrije do temperature mješavine oduzeta od vode i kalorimetarske posude sa termometrom i miješalicom. Obilježimo toplotni kapacitet kalorimetra sa K a toplotu topljenja sa q. Sa c obilježimo specifični toplotni kapacitet vode. Pod pretpostavkom da nema razmjene toplote sa okolinom, količina toplote potrebna da se led istopi i količina toplote da se voda nastala topljenjem leda zagrije do temperature mješavine jednaka je količini toplote koju otpusti voda u kalorimetru zajedno sa kalorimetarskom posudom, pa je odakle je: m q c m t 0) c m ( t t) K ( t ), 7.. ( t q t c m K t t m c t

50 Masu vode u kalorimetru dobivamo kao razliku mase prazne posude i posude sa vodom. Masu leda najlakše određujemo mjerenjem mase kalorimetarske posude poslije završenog rada. Razlika ukupne mase koju smo ustanovili na kraju i mase prije stavljanja leda predstavlja masu leda. Pri radu treba obratiti pažnju da led ne bude vlažan (suši se pomoću filter papira) i da ne bude ohlađen ispod 0 C. To ćemo obezbijediti ako led vadimo iz mješavine leda i vode. Masu mjerimo u kilogramima. - Izmjeriti masu m praznog kalorimetra sa priborom. - Uliti u kalorimetar određenu količinu vode i izmjeriti masu M. - Izračunati masu vode u kalorimetru po relaciji m M m. - Očitati temperaturu vode t u kalorimetru. - Ubaciti u kalorimetar određenu količinu leda. - Miješati dok se ne ustali temperatura mješavine t. - Izmjeriti masu kalorimetra sa vodom i ledom u njemu M. - Izračunati masu leda po relaciji: m M M - Kompletan postupak ponoviti još dva puta. - Dobivene podatke unijeti u Tabelu Izračunati toplotu topljenja leda prema relaciji Izračunati relativnu grešku u odnosu na tabličnu vrijednost. Tabela 7.. Broj mjerenja.. 3. J c 486, kg K J K 5 K m ( kg ) m ( kg) ( ) J t C t( C) q t kg q ts 48

51 . Zadatak: Kako se pri kondenzovanju oslobađa ista količina toplote kolika se vezuje pri isparavanju to mjerenjem te količine toplote dobivamo istovremeno i vrijednost toplote isparavanja. Balon A sa vodom kroz koji prolazi cijev B zagrijava se na rešou dok iz cijevi ne pođe para. Zatim se kraj cijevi dobro obriše od kapljica vode i spusti kroz poklopac na kalorimetru u posudu kalorimetra u kojoj su termometar i miješalica kojom sada stalno miješamo (slika 7.3). Pri tome količinu toplote koja se oslobađa kondenzovanjem vodene pare i njenim hlađenjem do zajedničke temperature mješavine prima voda u kalorimetarskoj posudi i sama posuda sa miješalicom i termometrom. Pod pretpostavkom da nema razmjene toplote sa okolinom, količina toplote oslobođena kondenzovanjem vodene pare + količina toplote oslobođena njenim hlađenjem = količina toplote koju prima voda + količina toplote koju prima kalorimetarska posuda sa miješalicom i termometrom. Obilježimo masu kondenzovane vodene pare sa m, njenu početnu temperaturu, tj. temperaturu kondenzovanja sa t, toplotu kondenzovanja, tj. količinu toplote koja se oslobodi pri kondenzovanju kg vodene pare sa q, masu vode u kalorimetru sa m, njenu početnu temperaturu sa t, temperaturu mješavine sa t, a toplotni Slika 7.3 kapacitet kalorimetarske posude sa K. Tada je: odakle je m q c m t t) c m ( t t ) K ( t ), 7.4. ( t q t c m K t t c ( t t) m Masu kondenzovane vodene pare nalazimo kao višak u masi vode u kalorimetarskoj posudi nakon završenog rada. Prije nego što cijev B dovedemo u vezu sa kalorimetrom, pričekamo da voda u balonu ključa 5 do 6 minuta i sa vrha cijevi obrišemo kapi kondenzovane vodene pare da bi iz cijevi izlazila samo vodena para. Tek tada dovedemo cijev u vezu sa kalorimetrom. U slučaju da iz cijevi kaplju kapljice vode u kalorimetar, toplota oslobođena njihovim kondenzovanjem nije predata vodi u kalorimetru. Cijev B je stoga malo nagnuta da onaj mali dio vodene 49

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Masa i gustina. zadaci

Masa i gustina. zadaci Masa i gustina zadaci 1.)Vaga je u ravnote i dok je na jednom njenom tasu telo, a na drugom su tegovi od: 10 g, 2 g, 500 mg i 200 mg.kolika je masa ovog tela? 2.)Na jednom tasu vage se nal azi telo i teg

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici

3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3. Sile koje se izučavaju u mehanici 3.3.1. Gravitaciona sila Prema Opštem zakonu gravitacije, dvije čestice masa m 1 i m 2 se međusobno privlače silom koja je proporcionalna proizvodu masa dvije čestice

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split DINAMIKA Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split Ova knjižica prvenstveno je namijenjena učenicima Srednje tehničke prometne škole Split. U knjižici su korišteni zadaci

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Fizička mehanika i termofizika, junski rok

Fizička mehanika i termofizika, junski rok Fizička mehanika i termofizika, junski rok 5.7.2001. 1. Po strmoj ravni, nagibnog ugla α, kotrlja se bez klizanja masivni šuplji cilindar, mase M i poluprečnika R. Po unutrašnjosti cilindra se kreće pas.

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje Termodinamika

Zadatci za vježbanje Termodinamika Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina

Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina Pun spremnik benzina sadrži 60 litara. Ako je napunjen pri temperaturi 5 C i ostavljen na suncu tako da se temperatura povisi

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Elementi mehanike fluida

Elementi mehanike fluida Glava 6 Elementi mehanike fluida Slobodno se može reći da smo mi, kao i druga živa biá na Zemlji, u neprekidnom kontaktu sa raznim vrtama fluida. Mi se krećemo kroz fluid i udišemo ga (vazduh), plivamo

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16.

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16. LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA za generaciju 015/16. SPISAK LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE 1. VEŽBA - a) Određivanje ubrzanja Zemljine teže pomoću matematičkog klatna b) Određivanje Jungovog modula

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE Ime i prezime: Broj indeksa: UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka sa radom pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku opisa

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14.

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14. LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE za generaciju 03/4. UNIVERZITET U NIŠU UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka rada pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike

1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike 1 Osnovne postavke klasične nerelativističke mehanike Osnovni model koji koristimo u mehanici je materijalna tačka (ili čestica. Jednostavno rečeno, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj pridružujemo

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα