Επίλυση δικτύων διανοµής

Transcript

1 Επίλυση δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων

2 ιατύπωση του προβλήµατος εδοµένου ενός δικτύου αγωγών οποιασδήποτε διάταξης µε: γνωστά γεωµετρικά χαρακτηριστικά κλάδων (µήκος L, εσωτερική διάµετρος D, συντελεστής απωλειών, π.χ. k s ) γνωστά τοπογραφικά υψόµετρα z, και γνωστές παροχές εξόδου c κόµβων γνωστά ενεργειακά υψόµετρα h 0 σηµείων τροφοδοσίας (π.χ. δεξαµενών) ζητείται ο υπολογισµός: των ενεργειακών υψοµέτρων h σε όλους τους κόµβους ή, ισοδύναµα, των παροχών Q σε όλους τους κλάδους h 0 h 0 γνωστό Q? h? Θεµελιώδης παραδοχή: Οι καταναλώσεις του δικτύου ανάγονται σε παροχές εξόδου κόµβων Πρακτικό ζητούµενο: Οέλεγχοςτωνπιέσεων στους κόµβους και των ταχυτήτων στους κλάδους L, D, k s γνωστά z, c γνωστά ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής

3 Θεµελιώδεις έννοιες θεωρίας γράφων Γράφος (graph) είναι µια µαθηµατική οντότητα που ορίζεται από ένα σύνολο n σηµείων (κόµβοι) και ένα σύνολο m διατεταγµένων ζευγών αυτών, που ονοµάζονται κλάδοι, τόξα ή ακµές. ιγράφος ή διευθετηµένος γράφος (digraph, directed graph) είναι ένας γράφος, οι κλάδοι του οποίου έχουν προσανατολισµένη φορά. ίκτυο (network) ονοµάζεται ο γράφος, στα στοιχεία του οποίου αντιστοιχούν ορισµένες ιδιότητες (µαθηµατικός-εννοιολογικός ορισµός). Βρόχος (loop) ονοµάζεται κάθε κλειστή διαδροµή, δηλαδή ένα σύνολο διαδοχικών κλάδων που ξεκινούν και καταλήγουν στον ίδιο κόµβο. Κ Κ Σε ένα δίκτυο n κόµβων, m κλάδων και r βρόχων ισχύει η θεµελιώδης εξίσωση: m n + r Σταακτινωτάδίκτυα, εξίσωση απλοποιείται (r 0) 6 και γράφεται m n Κ 3 Κ3 Στο παράδειγµατουσχήµατος: πλήθος κλάδων m 6, πλήθος κόµβων n, πλήθος βρόχων r. 4 Επαληθεύεται η θεµελιώδης εξίσωση: 6 + Κ4 ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 3

4 Περιγραφή της τοπολογίας δικτύων Η τοπολογία ενός γράφου που αποτελείται από n κόµβους και m προσανατολισµένους κλάδους περιγράφεται αλγεβρικά από δύο τύπους µητρώων: το n n µητρώο γειτνίασης (adjacency matrix), µε στοιχεία a ij αν υπάρχει κλάδος κατά τη φορά i j, και a ij 0 διαφορετικά το n m µητρώο πρόσπτωσης (incidence matrix), µε στοιχεία a ik αν ο κλάδος k ξεκινά από τον κόµβο i, a ik αν ο κλάδος k καταλήγει στον κόµβο i, και a ik 0 διαφορετικά Μητρώο γειτνίασης ( ) Μητρώο πρόσπτωσης ( 6) K K K3 K4 K K K K K K Κ 6 Κ K K K K K Κ 4 Κ3 Κ4 Μηδενικό άθροισµα ανά στήλη ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 4

5 Μοντέλο δικτύου: Προκαταρκτικές εργασίες Σε ένα βροχωτό δίκτυο, η φορά της ροής είναι άγνωστη, και µάλιστα αναστρέφεται ανάλογα µε τις συνθήκες φόρτισης. Πριν την επίλυση, ορίζονται τυχαίες φορές στους κλάδους. Ηεισερχόµενη παροχή στον κόµβο θεωρείται θετική, και η εξερχόµενη αρνητική (µε βάση τον συµβατικό ορισµό τουµητρώου πρόσπτωσης). Οι ενεργειακές απώλειες στους κλάδους ακολουθούν τη φορά της αντίστοιχης παροχής. Συµβατικά, θεωρείται πως κάθε βρόχος διαγράφεται µε δεξιόστροφη φορά. Ανστοδίκτυουπάρχουνn 0 > σηµεία τροφοδοσίας µε γνωστό ενεργειακό υψόµετρο, τότε θεωρούνται n 0 επιπλέον ιδεατοί βρόχοι, τοποθετώντας ιδεατούς κλάδους µηδενικής παροχής που συνδέουν τα σηµεία τροφοδοσίας ανά δύο (δεν υπολογίζονται στην αρίθµηση). Ηθεµελιώδης εξίσωση γράφεται: m n + r n 0 Q 3 Q c Q 34 Q 6 6 Q 6 c Q 64 3 Ιδεατός κλάδος c 4 c 6 Q 4 Στοδίκτυοτουσχήµατος: m 8 κλάδοι, n 7 κόµβοι, r 3 βρόχοι ( + ιδεατός), n 0 δεξαµενές. Ισχύει: c Q 7 ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής

6 Εξισώσεις συνέχειας κόµβων εδοµένου ότι κατά µήκος των κλάδων δεν υπάρχουν εισροές ή εκροές νερού, σε κάθε κόµβο ισχύει η εξίσωση συνέχειας (εξίσωση διατήρησης µάζας). Θεωρώντας τα στοιχεία του n m µητρώου πρόσπτωσης, για κάθε κόµβο i του δικτύου (i,,... n) η εξίσωση συνέχειας διατυπώνεται ως: m j a ij Q ij c i y i όπου y i η παροχή εισόδου (εφόσον εισάγεται νερό στο δίκτυο) και c i ηπαροχή εξόδου ( φόρτιση, κατανάλωση) του κόµβου i. Το σύστηµα των εξισώσεων συνέχειας γράφεται στην µητρωική µορφή: A Q c y όπου Q το m διάστατο διάνυσµα των παροχών των κλάδων, Α το n m µητρώο πρόσπτωσης, και c, y τα n διάστατα διανύσµατα των παροχών εξόδου (γνωστές) και εισόδου (άγνωστες), αντίστοιχα, των κόµβων. εδοµένου ότι στο δίκτυο η συνολική προσφορά ισούται µε τη συνολική ζήτηση q, το άθροισµα των παροχών εισόδου (τροφοδοσία δεξαµενών) ισούται µετοάθροισµα των παροχών εξόδου στους κόµβους, δηλαδή: n j n y i c i j ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 6

7 ιατύπωση εξισώσεων συνέχειας παραδείγµατος Γράφουµε τις εξισώσεις συνέχειας για τους 7 κόµβους του δικτύου: c c 4 Κόµβος : Q y Κόµβος : Q Q 3 Q 6 c Κόµβος 3: Q 3 Q 34 c 3 Κόµβος 4: Q 34 + Q 4 + Q 64 c 4 Κόµβος : Q 6 + Q 7 Q 4 c Κόµβος 6: Q 6 Q 64 Q 6 c 6 Κόµβος 7: Q 7 y 7 Το συνολικό ισοζύγιο προσφοράςζήτησης γράφεται: y + y 7 c + c 3 + c 4 + c + c 6 Q 3 Q Q 6 6 Q 6 Q 34 Q 64 3 c c 6 7 Q 4 c y Q 0 y 7 Q 7 Σύστηµα 8 εξισώσεων (οι 7 γραµµικά ανεξάρτητες) µε 0 αγνώστους ( παροχές Q ij και εισροές y i ) Οι τρεις επιπλέον γραµµικά ανεξάρτητες σχέσεις που απαιτούνται για την επίλυση του προβλήµατος προκύπτουν µετηδιαµόρφωση των εξισώσεων διατήρησης ενέργειας στους βρόχους του δικτύου. ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 7

8 Εξισώσεις διατήρησης ενέργειας βρόχων Σε κάθε κλάδο (i, j) ισχύει η γενική σχέση γραµµικών ενεργειακών απωλειών: h ij h i h j κ ij Q λ ij Οι τιµές των κ ij και λ διαφοροποιούνται ανάλογα µε την σχέση που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό των απωλειών. κατά Darcy-Weisbach: κ ij 8 f ij L ij / π gd ij, λ κατά Hazen-Williams: κ ij 0.67 L ij / c ij.8 D ij 4.704, λ.8 Ηεφαρµογή της σχέσης Darcy-Weisbach (πιο ακριβής), προϋποθέτει την εκτίµηση του συντελεστή απωλειών f, που είναι συνάρτηση της παροχής Q ij. Για απλούστευση, θεωρείται ότι οι τυπικές τοπικές απώλειες ενσωµατώνονται στις γραµµικές, µε τεχνητή επαύξηση του συντελεστή τραχύτητας των κλάδων. Στα εξειδικευµένα υπολογιστικά µοντέλα, οι µη τυπικές τοπικές απώλειες λαµβάνονται ρητά υπόψη, µέσω προσεγγιστικών σχέσεων της µορφής: h Τij α ij Q ij + β ij Q ij + γ ij όπου α, β, γ συντελεστές που περιγράφουν την υδραυλική λειτουργία αντλιών, δικλείδων, ρυθµιστών πίεσης, κλπ. Ηγενικήεξίσωση διατήρησης ενέργειας στους βρόχους διατυπώνεται ως: h ij κ ij Q ijλ + h Τij 0 ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 8

9 ιατύπωση εξισώσεων ενέργειας παραδείγµατος Κατά µήκος του ιδεατού βρόχου, οι απώλειες ενέργειαςείναιγνωστέςκαιίσεςµετηνδιαφορά στάθµης h 0 µεταξύ των σηµείων δεδοµένου ενεργειακού υψοµέτρου (δεξαµενές). Στοδίκτυοτουπαραδείγµατος, οι τρεις εξισώσεις διατήρησης ενέργειας στους βρόχους γράφονται: Βρόχος : h + h 6 + h 6 + h 7 + h 7 0 Βρόχος : h 3 + h 34 + h 46 + h 6 0 Βρόχος 3: h 64 + h 4 + h 6 0 Οι εξισώσεις αναδιατυπώνονται ως: κ Q λ + κ 6 Q λ 6 + κ 6 Q 6λ κ 7 Q 7λ + h 0 0 κ 3 Q 3λ + κ 34 Q 34λ κ 64 Q 64λ κ 6 Q 6λ 0 κ 64 Q 64λ κ 4 Q 4λ κ 6 Q 6λ 0 Q 3 c Q 34 Q 64 Q 6 6 Q 6 Q 3 c h 0 γνωστό c 4 c 6 Q 4 7 c Q 7 Το σύστηµα που προκύπτει είναι µη γραµµικό ως προς τις παροχές Q ij, και επιλύεται µόνο µε αριθµητικές µεθόδους. Η µη γραµµικότητα οφείλεται στους όρους Q ijλ αλλά και στα κ ij, που είναι συνάρτηση των Q ij (γραµµικές απώλειες κατά Darcy-Weisbach). ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 9

10 Τεχνικές επίλυσης Οιτεχνικέςεπίλυσηςείναιεπαναληπτικές, καθώς ορίζουν αυθαίρετες αρχικές τιµές στις µεταβλητές του προβλήµατος και επιδιώκουν την σταδιακή µείωση του σφάλµατος µέχρι να επέλθει σύγκλιση. Ανάλογα µε τιςµεταβλητές που χρησιµοποιούνται οι µέθοδοι διακρίνονται σε: τεχνικές επίλυσης των Q-εξισώσεων (δίνονται αρχικές τιµές στις παροχές των κλάδων και διορθώνονται οι εξισώσεις διατήρησης ενέργειας στους βρόχους) τεχνικές επίλυσης των Η-εξισώσεων (δίνονται αρχικές τιµές στα ενεργειακά υψόµετρα των κόµβων και διορθώνονται οι εξισώσεις συνέχειας στους κόµβους) Ανάλογα µε τηµεθοδολογία επίλυσης των εξισώσεων οι µέθοδοι διακρίνονται σε: τεχνικές διόρθωσης ανά εξίσωση (µέθοδος Cross) τεχνικές επίλυσης µηγραµµικών συστηµάτων (µέθοδος Newton-Raphson) τεχνικές επίλυσης γραµµικοποιηµένων συστηµάτων, µεδιόρθωση. Παρόµοιες αρχές µε τα δίκτυα ύδρευσης ισχύουν στα ηλεκτρικά κυκλώµατα, όπου η ένταση του ρεύµατος αντιστοιχεί στην παροχή και η πτώση τάσης στις ενεργειακές απώλειες ενός αγωγού. Πριν την εξέλιξη των υπολογιστών, αλλά και µέχρι τα µέσα της δεκαετίας του 970, τα µοντέλα ηλεκτρικών αναλόγων αποτέλεσαν µια πρόσφορη µέθοδο προσοµοίωσης δικτύων. ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 0

11 Μέθοδος γραµµικοποίησης Η-εξισώσεων Βήµα : Έστω µια εκτίµηση των ενεργειακών υψοµέτρων στους κόµβους από την προηγούµενη δοκιµή (στην πρώτη δοκιµή, ηεκτίµηση είναι αυθαίρετη). Βήµα : Με γνωστά τα ενεργειακά υψόµετρα των κόµβων, υπολογίζονται οι ενεργειακές απώλειες και, συναρτήσει αυτών, οι παροχές των κλάδων. Βήµα 3: Με βάση τις εκτιµήσεις των παροχών, υπολογίζεται το σφάλµατων εξισώσεων συνέχειας (πρώτος έλεγχος σύγκλισης). Βήµα 4: Αναδιατυπώνονται οι εξισώσεις συνέχειας, ως ένα γραµµικοποιηµένο σύστηµα µε αγνώστους τα ενεργειακά υψόµετρα. Βήµα : Από την επίλυση του συστήµατος, προκύπτει µια βελτιωµένη εκτίµηση των ενεργειακών υψοµέτρων. Βήµα 6: Ελέγχεται η σχετική απόκλιση µεταξύ των δύο τελευταίων εκτιµήσεων των ενεργειακών υψοµέτρων (δεύτερος έλεγχος σύγκλισης). Ηγραµµικοποίηση ως τεχνική επίλυσης µηγραµµικών συστηµάτων:. ίνεται ένα σύστηµα µηγραµµικών εξισώσεων, της µορφής f(x) b.. Αν x ητρέχουσαεκτίµηση των x i, τότε το σφάλµασύγκλισηςείναιe f(x ) b 3. Το σύστηµα αναδιατυπώνεται στην ισοδύναµη γραµµικοποιηµένη µορφή g(x) x b. 4. Η νέα εκτίµηση προκύπτει µε επίλυση του συστήµατος, δηλαδή x [k + ] g(x ) b ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής

12 Εξήγηση της µεθόδου: Βήµατα και Για την αρχικοποίηση της διαδικασίας, ορίζονται αυθαίρετες τιµές αρχικών ενεργειακών υψοµέτρων h i [0], που πρέπει είναι διαφορετικές για κάθε κόµβο i. Έστω ότι στην αρχή της k δοκιµής, είναι διαθέσιµη µια επίκαιρη εκτίµηση h i. Υπολογίζονται οι απώλειες ενέργειας σε κάθε κλάδο, δηλαδή h ij h i h j. Η σχέση υπολογισµού διατυπώνεται στη µητρωική µορφή h Α Τ h, όπου Α Τ το ανάστροφο του µητρώου πρόσπτωσης. Από την εξίσωση ενεργειακών απωλειών Q f( h) υπολογίζονται οι παροχές στους κλάδους (ενδιάµεση εκτίµηση). c c 6 Q ij άγνωστα c 4 c 6 h i γνωστά Για λόγους ευστάθειας, ως τελική εκτιµήτρια της παροχής κάθε κλάδου λαµβάνεται ένας γραµµικός συνδυασµός της επίκαιρης και της προηγούµενης τιµής, δηλαδή Q ij φ f( h ij )+( φ) Q [k ] ij όπου φ 0.60 (τυπική τιµή, που εξασφαλίζει ταχεία και ευσταθή σύγκλιση). 7 c ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής

13 Εξήγηση της µεθόδου: Βήµα 3 Με γνωστές τις παροχές στους κλάδους, υπολογίζεται το σφάλµα των εξισώσεων συνέχειας στους κόµβους, µέσω της µητρωικής σχέσης: c AQ c + y όπου Α το µητρώο πρόσπτωσης και c το διάνυσµατωνπαροχώνεξόδουτωνκόµβων (αγνοούνται οι κόµβοι στους οποίους η εισροή y i είναι άγνωστη, π.χ. δεξαµενές). Τα e i είναι προφανώς µη µηδενικά, αφού οι παροχές των κλάδων έχουν εκτιµηθεί µε βάση εσφαλµέναενεργειακάυψόµετρα. Ησύγκλισηελέγχεταιµε βάση δύο µέτρα σφάλµατος: c c 6 Q ij γνωστά το µέγιστο απόλυτο σφάλµα παροχών εξόδου, δηλαδή η ποσότητα: ε c max { c i, i,, n} το σφάλµα συνολικής παροχής δικτύου, δηλαδή η ποσότητα: ε q c i c 4 c 6 Έλεγχος εξισώσεων συνέχειας 7 c ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 3

14 Εξήγηση της µεθόδου: Βήµα 4 Η γενικευµένη σχέση ενεργειακών απωλειών γράφεται στην γραµµικοποιηµένη µορφή: h ij h i h j κ ij Q ij λ Q ij Επιλύοντας ως προς τη παροχή προκύπτει: Q ij κ ij (Q ij ) Q ij λ (h i h j ) r ij (h i h j ) όπου r ij η γραµµικοποιηµένη αντίσταση του αγωγού, που είναι συνάρτηση της Q ij. Αποδεικνύεται ότι οι εξισώσεις συνέχειας µπορούν να διατυπωθούν συναρτήσει των ενεργειακών υψοµέτρων, µετηνµορφή του γραµµικοποιηµένου συστήµατος: Bh c y όπου Β n n µητρώο συντελεστών µε: b ij n j i a ij r ij a ij r ij αν i j (διαγώνια στοιχεία) αν i j (µη διαγώνια στοιχεία) c c 6 Q ij γνωστά c 4 c 6 ιατύπωση εξισώσεων συνέχειας ως προς τα h i Αφού Β Β(r), µε r r(q) και Q Q(h), ισχύει Β Β(h). Το µητρώο Β είναι συµµετρικό και µη αναστρέψιµο (οι εξισώσεις συνέχειας δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητες). 7 c ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 4

15 Εξήγηση της µεθόδου: Βήµατα και 6 Με βάση την επίκαιρη παροχή Q ij, προκύπτει η γραµµικοποιηµένη αντίσταση r ij κάθε κλάδου. Υπολογίζονται τα στοιχεία b ij του µητρώου Β, που στο στάδιο αυτό θεωρούνται γνωστά και ανεξάρτητα των ενεργειακών υψοµέτρων. Με απαλοιφή των n 0 γραµµικά εξαρτηµένων εξισώσεων συνέχειας από το αριστερό µέλος, το πρόβληµα διατυπώνεται στην µορφή: Β h [k + ] c Β * h * όπου h * το διάνυσµα των γνωστών ενεργειακών υψοµέτρων (n 0 στάθµες δεξαµενών), και h [k + ] το διάνυσµατωνn n 0 άγνωστων υψοµέτρων. Με επίλυση του συστήµατος, λαµβάνεται η νέα εκτίµηση των ενεργειακών υψοµέτρων h [k + ]. Υπολογίζεται η το σφάλµασύγκλισης υψοµέτρων, δηλαδή η ποσότητα: ε h max { h i [k +] h i, i,, n} c c 6 Q ij γνωστά c 4 c 6 h i γνωστά h i [k + ] άγνωστα Η διαδικασία τερµατίζεται όταν τα τρία µέτρα σύγκλισης γίνουν µικρότερα από κάποια ανοχή, πιο συγκεκριµένα ε q < 0.0 L/s, ε c < 0.0 L/s και ε h < 0.0 m. 7 c ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής

16 Επισηµάνσεις Στη µέθοδο γραµµικοποίησης των Η-εξισώσεων ισχύουν πάντοτε οι εξισώσεις ενέργειας στους βρόχους και διορθώνονται οι εξισώσεις συνέχειας στους κόµβους. Σε κάθε επανάληψη, απαιτείται η επίλυση του γραµµικού (στην πραγµατικότητα γραµµικοποιηµένου) συστήµατος: Β h [k + ] c Β * h * που προϋποθέτει την αντιστροφή του µητρώου Β. Χαρακτηριστικά του µητρώου Β είναι η ισχυρή διαγώνιος και το µεγάλο πλήθος µηδενικών (αραιό µητρώο). Για την επίλυση ( αντιστροφή του Β ) εφαρµόζονται εξειδικευµένες αριθµητικές τεχνικές, κατάλληλες για πολύ µεγάλα συστήµατα, όπως η µέθοδος Gauss-Seidel µεχαλάρωση. Εξαιτίας του προβλήµατος αντιστροφής, εκτός από την εξωτερική επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισµό τωνενεργειακώνυψοµέτρων, υλοποιείται και µια εσωτερική επαναληπτική διαδικασία για την επίλυση του γραµµικού συστήµατος (για την οποία ωστόσο ορίζονται λιγότερα αυστηρά κριτήρια σύγκλισης). Ιδιαίτερα κρίσιµος, τόσο όσον αφορά την ακρίβεια όσο και την ταχύτητα σύγκλισης, είναι ο καθορισµός των αρχικών ενεργειακών υψοµέτρων h [0] i. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιούνται ειδικοί ευρετικοί αλγόριθµοι που ορίζουν αυθαίρετες πλην όµως συµβατές, µε βάση τα χαρακτηριστικά του εκάστοτε µοντέλου δικτύου, τιµές. ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 6

17 Προσάρτηµα: Επίλυση συστήµατος µε τηνµέθοδο Gauss- Seidel µε χαλάρωση Συµβολίζοντας µε u i τους γνωστούς όρους (δεξί µέλος) των n n n 0 γραµµικά ανεξάρτητων εξισώσεων και επιλύοντας ως προς την µεταβλητή h προκύπτει: h * (u b h [0] b 3 h [0] 3 b n h n [0] ) / b Για επιτάχυνση της σύγκλισης, ητιµήh * διορθώνεται µε βάση τη σχέση: h [] h [0] + ω (h * h [0] ) όπου ω > συντελεστής χαλάρωσης (για δίκτυα συστήνεται η τιµή ω.8). Στις επόµενες εξισώσεις, χρησιµοποιείται η νέα τιµή h [], οπότε: h * (u b h [] b 3 h [0] 3 b n h n [0] ) / b Αφού υπολογιστεί το διάνυσµα h [] (h [], h [],..., h n [] ), η διαδικασία διόρθωσης επαναλαµβάνεται. Στην k επανάληψη, το ενεργειακό υψόµετρο i υπολογίζεται ως : h i* (u i b i h b ii h i b ii + h [k ] i + b in h ] n [k ) / b ii Στις θέσεις των πρώτων i όρων τίθενται οι διορθωµένες τιµές των h i Στις υπόλοιπες θέσεις τίθενται οι εκτιµήσεις του βήµατος k ιορθώνεται µεεφαρµογή της σχέσης: h i h i [k ] + ω (h * h [k ] ) ΤΥΠΙΚΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ Ενότητα.3: Επίλυση δικτύων διανοµής 7