Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ"

Transcript

1 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

2 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x). a f(x)dx (1) Ο υπολογισµός του I(f) ϑα γίνει από τον τύπο I(f) n a i f(x i ). () i=0 Η f(x) προσεγγίζεται µε ένα πολυώνυµο παρεµβολής f(x) p n (x). (3) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου 010 / 64

3 Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Υποθέτουµε ότι τα σηµεία x i, i = 0(1)n ισαπέχουν, δηλ. ( θ p n (x) = f x i = x 0 + h, ) ( θ f 0 + i = 0(1)n ) ( θ f n ) n f 0 (4) Για x 0 = a, x n = b έχουµε x = x 0 + θh θ = x x 0 h I(f) = b a f(x)dx xn x 0 p n (x)dx (5) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

4 Κλειστοί τύποι Εχουµε για x = x 0 θ = 0, x = x n θ = n και dx = hdθ. n [ ( θ ) ( θ ) ( ] θ I n (f) h f 0 + f 0 + f ) n f 0 dθ. (6) 1 n 0 Πολυώνυµο παρεµβολής p 1 (x) κανόνας του Τραπεζίου Για n = 1 η (6) παράγει Τελικά I 1 (f) = x1 x 0 f(x)dx h 1 0 I 1 (f) = [ ( θ f x1 ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας του Τραπεζίου. ] ) ) f 0 dθ = h (f 0 θ + θ 1 f 0 x 0 f(x)dx h (f 0 + f 1 ), (7) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64 0.

5 Πολυώνυµο παρεµβολής p 1 (x) y y = f(x) y = p 1 (x) f 1 f 0 a = x 0 x 1 = b x ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

6 Παράδειγµα I = 1 0 dx 1 + x, x 0 = 0, x 1 = 1, h = 1 0, f(x) = x T 1 (f) = 1 [ ] = = 0.75 I = 1 0 dx 1 + x = ln(1 + x) 1 0 = ln E = I T 1 (f) = = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

7 y a = x 0 x 1 x b = x 3 x Βελτίωση της προσέγγισης Το διάστηµα [a, b] διαιρείται σε n ίσα υποδιαστήµατα µήκους h = b a. n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

8 Βελτίωση της προσέγγισης Τα x i ορίζονται από τον τύπο x i = a + ih, i = 0(1)n I(f) h I(f) = = b a x1 f(x)dx = x 0 f(x)dx + xn x 0 x f(x)dx x 1 f(x)dx + + xn x n 1 f(x)dx [ ] f(x 0 ) + f(x 1 ) + h [ ] f(x 1 ) + f(x ) + + h [ ] f(x n ) + f(x n 1 ) [ I(f) = T n (f) h n 1 f 0 + f i + f n ], (8) i=1 ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

9 Σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου Στην πράξη ξεκινούµε µε n = 1 και διπλασιάζουµε το n, δηλ. n =, 4, 8, 16,..., οπότε υπολογίζονται οι ποσότητες T 1, T, T 4, T 8 κ.τ.λ. Αν T n T n < ɛ τότε διακόπτονται οι υπολογισµοί. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

10 Παράδειγµα Να εφαρµοστεί σε δύο υποδιαστήµατα ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου στο ολοκλήρωµα του προηγούµενου παραδείγµατος. Λύση Από την (8) και για n = έχουµε T (f) = h [f 0 + f 1 + f ] όπου x 0 = 0, x 1 = x 0 + 1h = 0 + h = b a = 1 0 = 1 και x = 1. Αρα T (f) = 1 [ / + 1 ] = 1 4 και το αριθµητικό σφάλµα είναι [ ] = E T = I(f) T (f) 0.015, ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

11 Πολυώνυµο παρεµβολής p (x) κανόνας του Simpson Για n = η (6) παράγει I(f) = b f(x)dx x a x 0 p (x)dx, όπου και x 0 = a, x 1 = a + h, x = b, h = b a I(f) = h x x 0 0 p (x)dx [ f 0 + ( θ 1 ) f 0 + ( θ ) f 0 ] dθ (9) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

12 [ θ(θ 1) I(f) h f 0 + θ f 0 + f 0 ]dθ 0 [ ( ] = h f 0 θ + θ f θ ) 6 θ f0 4 0 = h [f 0 + f ] 3 f 0 [ = h f 0 + f 1 f ] 3 (f 0 f 1 + f ). Τελικά I(f) h 3 [f 0 + 4f 1 + f, ] (10) ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας του Simpson. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

13 Παράδειγµα Να εφαρµοστεί ο κανόνας του Simpson στο ολοκλήρωµα του προηγούµενου παραδείγµατος. Λύση Z 1 Εχουµε κσι η (10) δίνει h = b a = 1 0 I(f) = 0 dx 1 + x = 1, x0 = 0, x1 = x0 + h = = 1, x = 1 S (f) = h 1 3 [f0 + 4f1 + f] = 3 h i = Αρα αριθµητικό σφάλµα E S = I(f) S (f) = log = = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

14 Σύνθετος κανόνας του Simpson Αν n είναι άρτιος τότε h = b a n και x i = x 0 + ih, i = 0(1)n I(f) = Z xn Z x Z x4 Z xn f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx x 0 x 0 x x n I(f) h 3 [f0 + 4f1 + f] + h 3 [f + 4f3 + f4] + + h [fn + 4fn 1 + fn] 3 ή I(f) h [f0 + 4f1 + f + 4f3 + f4 + + fn + 4fn 1 + fn], (11) 3 I(f) S n(f) = h (n/) 1 X 3 [f0 + ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Simpson. i=1 f i + 4 n/ X i=1 f i 1 + f n], (1) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

15 Η γεωµετρική ερµηνεία του σύνθετου κανόνα του Simpson y y = p (x) y = f(x) x 0 x x 3 x 4 x 1 x ο οποίος είναι ο σύνθετος κανόνας του Simpson. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

16 Πολυώνυµο παρεµβολής p 3 (x) Κανόνας των 3/8 Για n = 3 από την (6) έχουµε I(f) = τελικά = h = h = h x3 x [ f(x)dx [ f 0 + ( θ 1 ) f 0 + ( θ ) ( θ f ) 3 f 0 ] [ θ(θ 1) f 0 + θ f 0 + θ(θ 1)(θ ) f f 0 ]dθ 0 6 ( ) ( ] f 0 θ + θ f θ θ f θ θ3 + θ ) 3 f0 I(f) = x3 ο οποίος είναι γνωστός ως ο κανόνας των 3 8. dθ x 0 f(x)dx 3h 8 (f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 ), (13) 0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

17 Σύνθετος κανόνας των 3/8 Αν n = 3k δηλ. πολλαπλάσιο του 3 τότε ο σύνθετος κανόνας των 3 8 είναι ο I(f) 3h 8 [f 0+3f 1 +3f +f 3 +3f 4 +3f 5 +f 6 + +f n 3 +3f n +3f n 1 +f n ]. (14) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

18 Σφάλµα αποκοπής στην Αριθµητική Ολοκλήρωση όπου E n (f) = 1 (n + 1)! b a E n (f) = b a [f(x) p n (x)]dx (15) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n )f (n+1) (ξ 1 (x))dx (16) ξ 1 [x 0, x n ], x 0 = a, x i = x 0 + ih, i = 0(1)n, Αλλά h = b a, x n = b, x = x 0 + θh. n x x i = (θ i)h, dx = hdθ άρα E n (f) = hn+ (n + 1)! n 0 θ(θ 1)(θ ) (θ n)f (n+1) (ξ (θ))dθ. (17) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

19 Σφάλµα στον κανόνα Τραπεζίου Για n = 1 η (17) δίνει E T 1(f) = I(f) T 1 (f) = h3! 1 0 θ(θ 1)f () (ξ 1 (θ))dθ. Λόγω όµως του Θεωρήµατος Μέσης τιµής για Ολοκληρώµατα b f(x)g(x)dx = f(η) b a a g(x)dx, (αν g(x) 0 ή αν g(x) 0) άρα ή E T 1(f) = h3 f () (ξ) E T 1(f) = h3 f () (ξ) θ(θ 1)dθ, ξ (x 0, x 1 ) τοπικό σφάλµα αποκοπής (18) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

20 Παρατηρήσεις 1 Αν h = b a δεν είναι αρκετά µικρό τότε ο κανόνας του τραπεζίου δεν παράγει ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Αν max f () (ξ) M τότε a<ξ<b E T 1(f) h3 M 1. (19) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

21 Σφάλµα στον σύνθετο τύπο του Τραπεζίου ή E T n(f) = = Z b + f(x)dx T n(f) = Z xn a x Z 0 x1 f(x)dx h x 0 (f0 + f1) Z xn f(x)dx T n(f) + f(x)dx h x n 1 (fn 1 + fn) Z x x 1 f(x)dx h (f1 + f) + E T n(f) = h3 1 f (ξ 1) h3 1 f (ξ ) h3 1 f (ξ n). Λόγω, όµως, του Θεωρήµατος Ενδιάµεσης Τιµής Αλλά hn = b a συνεπώς E T n(f) = h3 1 [nf (ξ)], ξ [a, b]. En(f) T (b a)h = f (ξ), ξ [a, b] ολικό σφάλµα αποκοπής (0) 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

22 Ταχύτητα σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του Τραπεζίου Από την (0) έχουµε En(f) T (b a)h M. (1) 1 Ο τύπος (1) δηλώνει ότι αν f(x) C [a, b], τότε ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου έχει ταχύτητα σύγκλισης O(h ). Επίσης, επειδή η δεύτερη παράγωγος κάθε σταθεράς και κάθε πολυωνύµου πρώτου ϐαθµού είναι µηδέν, τότε, λόγω της (1), το απόλυτο ολικό σφάλµα αποκοπής είναι µηδέν και ο τύπος του Τραπεζίου για σταθερές και γραµµικά πολυώνυµα ϑα παράγει ακριβή αποτελέσµατα. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου 010 / 64

23 Παράδειγµα ίνεται το ολοκλήρωµα του οποίου η ακριβής τιµή είναι. I(f) = Z π 0 sinx dx, Ο ακόλουθος πίνακας εµφανίζει τις τιµές του T n(f), που είναι οι προσεγγίσεις του I(f) µε το σύνθετο κανόνα του Τραπεζίου. Να σηµειωθεί ότι σε κάθε νέα γραµµή, ο αριθµός των υποδιαστηµάτων n διπλασιάζεται και συνεπώς το µέγεθος του υποδιαστήµατος υποδιπλασιάζεται. Η στήλη Λόγος εµφανίζει τον λόγο των διαδοχικών σφαλµάτων, δηλαδή τον παράγοντα µε τον οποίο ελαττώνεται το σφάλµα όταν διπλασιάζεται το n. Επίσης, ας σηµειωθεί ότι ο λόγος του σφάλµατος στην τελευταία στήλη προσεγγίζει το λόγο h (h/) = 4. Αυτό είναι αναµενόµενο για µια ακολουθία συγκλίνουσα µε ταχύτητα σύγκλισης O(h ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

24 Σφάλµα και ταχύτητα σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του Τραπεζίου n h T n (f) En T = I(f) T n (f) Λόγος 1 π π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

25 Σφάλµα στον κανόνα του Simpson Για n = η (17) δίνει E S (f) = I(f) S (f) = h4 3! 0 θ(θ 1)(θ )f (3) (ξ 1 (θ))dθ. () Τώρα όµως δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Μέσης τιµής για ολοκληρώµατα γιατί η ποσότητα θ(θ 1)(θ ) αλλάζει πρόσηµο στο θ = 1. Ακολουθώντας διαφορετική πορεία είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι E S (f) = h5 90 f (4) (ξ), ξ [a, b]. (3) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

26 Το ολικό σφάλµα αποκοπής του σύνθετου τύπου του Simpson Το ολικό σφάλµα αποκοπής του σύνθετου κανόνα του Simpson ϐρίσκεται ακολουθώντας ανάλογη πορεία όπως του σύνθετου κανόνα του Τραπεζίου. Ετσι εύκολα αποδεικνύεται ότι En(f) S = h4 (b a) f (4) (ξ), ξ [a, b] (4) 180 Ο κανόνας του Simpson είναι ακριβής για όλα τα πολυώνυµα ϐαθµού 3. Αυτό το αποτέλεσµα δεν ήταν αναµενόµενο, γιατί ϑα περίµενε κανείς να είναι ακριβής για πολυώνυµα ϐαθµού το πολύ, αφού το πολυώνυµο παρεµβολής για την εύρεση του κανόνα του Simpson είναι ϐαθµού. Επίσης, µε την προϋπόθεση ότι f(x) C 4 [a, b] ο σύνθετος κανόνας του Simpson έχει ταχύτητα σύγκλισης O(h 4 ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

27 Παράδειγµα ίνεται το ολοκλήρωµα του οποίου η ακριβής τιµή είναι. I(f) = Z π 0 sinx dx, Ο ακόλουθος πίνακας εµφανίζει τις τιµές του S n(f), που είναι οι προσεγγίσεις του I(f) µε τον σύνθετο κανόνα του Simpson. Να σηµειωθεί ότι σε κάθε νέα γραµµή, ο αριθµός των υποδιαστηµάτων n διπλασιάζεται και συνεπώς το µέγεθος του υποδιαστήµατος υποδιπλασιάζεται. n h S n(f) En S = I(f) S n(f) Λόγος π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

28 Αριθµητική επαλήθευση της ταχύτητας σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του Simpson n h S n (f) En S = I(f) S n (f) Λόγος π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ Η στήλη Λόγος εµφανίζει τον λόγο των διαδοχικών σφαλµάτων, δηλαδή τον παράγοντα µε τον οποίο ελαττώνεται το σφάλµα όταν διπλασιάζεται το n. Επίσης, να σηµειωθεί ότι ο λόγος του σφάλµατος στην τελευταία στήλη προσεγγίζει το λόγο h 4 (h/) 4 = 16. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

29 Ταχύτητα σύγκλισης Για την αριθµητική επαλήθευση της ταχύτητας σύγκλισης ενός σύνθετου κανόνα όταν δεν γνωρίζουµε την ακριβή τιµή του ολοκληρώµατος εργαζόµαστε ως εξής: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε προσεγγίσει την τιµή ενός ορισµένου ολοκληρωµάτος I(f) χρησιµοποιώντας τον σύνθετο κανόνα του τραπεζίου. Εστω ότι τα T n(f), T n(f) και T 4n(f) συµβολίζουν τις προσεγγίσεις που λαµβάνονται εφαρµόζοντας τον σύνθετο κανόνα του τραπεζίου και χρησιµοποιώντας αντίστοιχα υποδιαστήµατα µε h, h/, και h/4. ίνεται ο λόγος T n(f) T n(f) T n(f) T 4n(f). Αφού ο σύνθετος κανόνας του τραπεζίου έχει ϑεωρητικά ταχύτητα σύγκλισης O(h ), ϑα πρέπει να αναµένουµε ότι E n 4E n για αρκετά µικρό h, όπου E n(f) = I(f) T n(f). Για τον ανωτέρω λόγο έχουµε T n(f) T n(f) T n(f) T = Tn(f) I(f) (Tn(f) I(f)) 4n(f) T n(f) I(f) (T 4n(f) I(f)) για αρκετά µικρό h. E n(f) + E n(f) E n(f) + E 4n(f) 4En + E n E n En = 4 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

30 Παράδειγµα 1 ίνεται το ορισµένο ολοκλήρωµα I(f) = x 3 dx. Να επαληθευτεί αριθµητικά ότι η ταχύτητα σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του τραπεζίου είναι O(h ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

31 Αριθµητική επαλήθευση της ταχύτητας σύγκλισης του σύνθετου κανόνα του Τραπεζίου Ο ακόλουθος πίνακας εµφανίζει τις προσεγγιστικές τιµές του σύνθετου κανόνα του τραπεζίου στο I(f) για διάφορες τιµές του n. Παρατηρήστε ότι ο λόγος n h T n(f) T n(f) T n (f) T n (f) T 4n (f) / / / / / / / T n(f) T n(f) T n(f) T 4n(f) προσεγγίζει το 4 όσο το h µειώνεται, επαληθεύοντας έτσι αριθµητικά ότι η ταχύτητα σύγκλισης είναι O(h ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

32 Παρατήρηση Από την (4) συµπεραίνεται ότι ο κανόνας του Simpson δεν ϑα έχει την αναµενόµενη ταχύτητα σύγκλισης αν δεν ισχύει η f(x) C 4 [a, b]. Παράδειγµα Να χρησιµοποιηθεί ο σύνθετος κανόνας του Simpson για την προσέγγιση του ολοκληρώµατος Λύση I = Z 1 0 x dx = 3. Η στήλη Λόγος στον ακόλουθο πίνακα δείχνει ότι η σύγκλιση δεν είναι η αναµενόµενη 16 αλλά περίπου.8, λόγω της ασυνέχειας όλων των παραγώγων της x στο 0. n Σφάλµα Λόγος.860e e e e e 4.83 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

33 Χρήση σφάλµατος αποκοπής Είναι δυνατόν να επιλεγεί το πλήθος των σηµείων σε ένα σύνθετο κανόνα ολοκλήρωσης έτσι ώστε να επιτευχθεί επιθυµητή ακρίβεια στην προσέγγιση της τιµής του ολοκληρώµατος. Αν απαιτηθεί E T n(f) < ɛ, τότε το h πρέπει να εκλεγεί έτσι ώστε h < [ 1ɛ (b a)m ] 1, M = max x [a, b] f (x), h = b a. n ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

34 Ανοικτοί τύποι Αριθµητικής Ολοκλήρωσης Οι ανοικτοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης δεν συµπεριλαµβάνουν τα άκρα του ορισµένου ολοκληρώµατος στα σηµεία παρεµβολής. Πιο συγκεκριµένα έχουµε I(f) = b a f(x)dx xn+1 x 1 p n (x) dx (5) όπου a = x 0 h, x i = x 0 + ih, i = 0, 1,,..., n, b = x n+1 = x n + h και h = b a n+. Η (5) µε αντικατάσταση του p n (x) γίνεται I(f) h n+1 1 [ f 0 + ( θ 1 ) ( θ f 0 + ) ( θ f n ) n f 0 ] dθ. (6) Για διάφορες τιµές του n η (6) παράγει τους ανοικτούς τύπους αριθµητικής ολοκλήρωσης. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

35 Κανόνας του µέσου Για n = 0 η (6) δίνει I(f) = x1 x 1 f(x)dx h 1 1 f 0 dθ = hf 0. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

36 Γεωµετρική ερµηνεία του κανόνα του µέσου y y = p 1 (x) y = f(x) x 1 a x 1 b x1 x ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

37 Κανόνας του µέσου a + b Για x 0 = a, b, ο κανόνας του µέσου δίνει x 0 = a, h = b a I(f) (b a)f(a) x 0 = b I(f) (b a)f(b) x 0 = a + b I(f) (b a)f( a + b ) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

38 Κανόνας του µέσου Για n = 1 η (6) δίνει Z x I(f) = f(x)dx x 1 Z θ h f f 0 # dθ = h f 0θ + θ f0! 1 = 3h (f0 + f1), σφάλµα EA 1 (f) = 3h3 4 f (ξ) (7) Για n = η (6) δίνει I(f) = Z x3 f(x)dx x 1 Z 3 θ h f θ f 0 + f 0 #dθ = 4h (f0 f1 + f), (8) 3 ο οποίος είναι γνωστός ως ο τύπος του Milne µε σφάλµα E A (f) = 14h5 45 f (4) (ξ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

39 Ορισµός Ενας τύπος αριθµητικής ολοκλήρωσης έχει ακρίβεια ϐαθµού n αν παράγει ακριβή αποτελέσµατα για όλα τα πολυώνυµα ϐαθµού n και δεν είναι ακριβής για πολυώνυµο ϐαθµού n + 1. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

40 Οι τύποι των Newton-Cotes Οι τύποι που µελετήθηκαν ονοµάζονται τύποι των Newton-Cotes και είναι δυνατόν να αποδειχθεί το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα Αν I n (f) είναι ένας τύπος αριθµητικής ολοκλήρωσης Newton-Cotes (κλειστός ή ανοικτός) µε n + 1 σηµεία παρεµβολής, τότε (α) Αν το n είναι άρτιο και f(x) C n+ [a, b], τότε υπάρχει µια σταθερά c και ένα ξ [a, b] τέτοιο ώστε I(f) = I n (f) c(b a) n+3 f (n+) (ξ). Ο ϐαθµός ακριβείας του I n (f) είναι n + 1. (ϐ) Αν το n είναι περιττό και f(x) C n+1 [a, b], τότε υπάρχει µια σταθερά c και ένα ξ [a, b] τέτοιο ώστε I(f) = I n (f) c (b a) n+ f (n+1) (ξ ). Ο ϐαθµός ακριβείας του I n (f) είναι n. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

41 Παρατηρήσεις 1. Αµφότεροι οι τύποι για n = και n = 3 έχουν ϐαθµό ακριβείας 3. Συνεπώς, οι τύποι των Newton-Cotes µε άρτιο n είναι καλύτεροι αφού παράγουν αποτελέσµατα µε ίδια ακρίβεια αλλά µε λιγότερους υπολογισµούς της τιµής µιας συνάρτησης.. Για δεδοµένο n, έχουµε c < c και κατά συνέπεια οι κλειστοί τύποι παράγουν γενικά καλύτερα αποτελέσµατα από τους ανοικτούς. Οι ανοικτοί τύποι χρησιµοποιούνται κυρίως για την αριθµητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

42 Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών Εστω ότι I(f) = b a f(x)dx w 0 f 0 + w 1 f 1 + w n f n (9) όπου x i = x 0 + ih, i = 0(1)n. Οι συντελεστές w 0, w 1,..., w n προσιδορίζονται έτσι ώστε ο ανωτέρω τύπος αριθµητικής ολοκλήρωσης να είναι ακριβής (δηλαδή τα δύο µέλη του είναι ίσα) για όλα τα πολυώνυµα µε όσο το δυνατόν µεγαλύτερου ϐαθµού. Αν f(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m, τότε E n (f) = 0 για κάθε πολυώνυµο ϐαθµού m. E n (f) = xn x 0 f(x) n w i f i (30) i=0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

43 ...Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών ή E n (f) = E n (a 0 + a 1 x + + a m x m ) = xn x 0 (a 0 + a 1 x + + a m x m )dx [ xn = a 0 1 dx x 0 n i=0 ] [ n xn w i 1 + a 1 x dx i=0 [ xn + a m x m dx x 0 n i=0 w i x m i ] x 0 w i (a 0 + a 1 x i + + a i x m i ) ] n w i x i + + = a 0 E n (1) + a 1 E n (x) + + a m E n (x m ). (31) i=0 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

44 ...Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών Συνεπώς E n(f) = 0 για κάθε πολυώνυµο ϐαθµού m αν και µόνο αν E n(x k ) = 0, k = 0(1)m. (3) Για n = 0 b a f(x)dx w 0f(x 0 ) Απαιτούµε ο παραπάνω τύπος να είναι ακριβής για f(x) = 1, οπότε αντικαθιστώντας έχουµε A = x 0 = a, x 1 = b, x 1 = x 0 + h. Z x1 x 0 f(x)dx = B = w 0f(x 0) = w 0 1 Z x1 x 0 1 dx = x 1 x 0 = h Απαιτώντας A = B λαµβάνουµε συνεπώς Z x1 w 0 = h I(f) = x 0 f(x)dx hf(x 0), που είναι ο κανόνας του ορθογωνίου. (33) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

45 Για n = 1 I(f) = x 1 x 0 f(x)dx w 0 f 0 + w 1 f 1 Είναι x 0 = a, x 1 = b = x 0 + h Απαιτούµε ο παραπάνω τύπος να είναι ακριβής για f(x) = 1 και f(x) = x. Για f(x) = 1 έχουµε x1 x1 A = f(x)dx = 1 dx = x 1 x 0 = h x 0 x 0 B = w 0 f(x 0 ) + w 1 f(x 1 ) = w 0 + w 1. Απαιτώντας A = B προκύπτει w 0 + w 1 = h. (34) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

46 Για f(x) = x έχουµε A = x1 x 0 f(x)dx = x1 x 0 xdx = x x 1 = x x 0 1 x 0 ή και A = h(x 0 + x 1 ) B = w 0 f(x 0 ) + w 1 f(x 1 ) = w 0 x 0 + w 1 x 1. Απαιτώντας A = B προκύπτει w 0 x 0 + w 1 x 1 = h(x 0 + x 1 ). (35) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

47 Λύνοντας το σύστηµα (34) και(35) ϐρίσκουµε w 0 = w 1 = h. Αρα x1 x 0 f(x)dx h [f(x 0) + f(x 1 )] (36) ο οποίος είναι ο κανόνας του τραπεζίου και είναι ακριβής για πολυώνυµα πρώτου ϐαθµού. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

48 Τοπικό σφάλµα Προκειµένου να ϐρούµε το σφάλµα έχουµε Z x1 x 0 f(x)dx = h [f(x0) + f(x1)] + Af () (ξ), (37) όπου A σταθερά που ϑα προσδιοριστεί και ξ (x 0, x 1). Το τοπικό σφάλµα έχει την έκφραση Af () (ξ) καθόσον ο τύπος (36) είναι ακριβής για πρώτου ϐαθµού πολυώνυµα. Η σταθερά A ϑα προσδιοριστεί από την απαίτηση ο τύπος να ισχύει για f(x) = x, δηλαδή Z x1 x 0 x dx = h (x 0 + x 1 ) + A ή ή ή x 3 1 x h(x 1 + x 0x 1x 0 ) 3 = h (x 0 + x 1 ) + A h(x 0 + x 1 ) = A A = h3 1 όπως αναµενόταν (ϐλ. τοπικό σφάλµα αποκοπής του Τραπεζίου) (38) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

49 Ολοκλήρωση κατά Romberg Ξεκινώντας µε τον κανόνα του Τραπεζίου για h 1 = b a [ ] b f(x)dx = h m 1 (b a) f(a) + f(b) + f(x i ) h f (ξ), (39) 1 a (b a) όπου a < ξ < b, h = m, x i = a + ih, i = 0(1)m, τον εφαρµόζουµε διαδοχικά για h 1 = h, h = h 1, h 3 = h, h 4 = h 3,, h 4 = h n 1 i=1 ή γενικά για. h k = b a, k = 1(1)n k 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

50 ...Ολοκλήρωση κατά Romberg Τα αποτελέσµατα των διαδοχικών εφαρµογών του σύνθετου τύπου του Τραπεζίου για h k, k = 1(1)n συµβολίζονται µε T(f, h), T f, h!, T f, h 4!,, T f,! h n 1 R 11 R 1 R 31 R n1 Οι προσεγγίσεις R k1, k = 1,, συγκλίνουν πολύ αργά. Για το λόγο αυτό επιταχύνονται µε τη µέθοδο του Richardson. Είναι δυνατόν να δειχτεί ότι ο σύνθετος κανόνας του Τραπεζίου µπορεί να γραφτεί ως εξής I = Z b a f(x)dx = R k 1,1 + c 1h k 1 + c h 4 k c mh m k 1 + O(h m+ k 1 ). (40) Θέτοντας στον ανωτέρω τύπο όπου k 1 το k έχουµε I = R k,1 + c 1h k + c h 4 k + + c mh m k + O(h m+ k ) (41) ή ϑέτοντας όπου h k το h k 1 στον τελευταίο τύπο λαµβάνουµε I = R k,1 + c1h k ch4 k cm hm m k 1 + O(h m+ k 1 ). (4) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

51 ...Ολοκλήρωση κατά Romberg Απαλείφοντας τον όρο h k 1 από τον πρώτο και τον τελευταίο τύπο προκύπτει ή I = 4Rk1 Rk 1,1 3 4Rk1 Rk 1,1 + c h 4 k 1 + c 3h 6 k c mh m k 1 + O(h m+ k 1 ). (43) I = + O(hk) 4 (σύνθετος τύπος του Simpson). (44) 3 Από τον παραπάνω τύπο ορίζουµε τις ποσότητες: R k = 4Rk1 Rk 1,1 Για τις ποσότητες αυτές έχουµε (ϐλ. (43) ) και για k = k 1 3, k =, 3,, n. (45) I = R k + c h 4 k + c 3 h 6 k + c mh m k + O(h m+ k ) (46) I = R k 1, 1 + c h 4 k 1 + c 3 h 6 k c mh m k 1 + O(h m+ k 1 ). (47) Θέτοντας όπου h k το h k 1 στην (46) λαµβάνουµε: I = R k, + c h 4 k h 6 c k h m c k 1 m + O(hm+ m k 1 ). (48) ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

52 ...Ολοκλήρωση κατά Romberg Απαλείφοντας τον όρο hk 1 4 από τις (47) και (48) λαµβάνουµε I = 16R k R k 1, 15 + O(h 6 k), (49) οπότε ορίζονται κατ ανάλογο τρόπο οι ποσότητες Γενικά, λοιπόν έχουµε R k3 = 16R k R k 1,, k = 3, 4,, n. (50) 15 R ij = 4j 1 R i, j 1 R i 1, j 1, 4 j 1 i =, 3, 4,, n, j =, 3,, i (51) 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

53 ...Ολοκλήρωση κατά Romberg Γενικά, λοιπόν έχουµε R ij = 4j 1 R i, j 1 R i 1, j 1, 4 j 1 i =, 3, 4,, n, j =, 3,, i (5) 1 οπότε σχηµατίζεται ο πίνακας R 11 R 1 R R 31 R 3 R 33 R 41 R 4 R 43 R R n1 R n R n3 R n4 R nn ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

54 Παράδειγµα Να ϐρεθεί προσεγγιστική τιµή για το I = 1 0 Λύση dx µε τη µέθοδο Romberg. 1+x R ij = 4j 1 R i, j 1 R i 1, j 1, 4 j 1 i =, 3,, n, j =, 3,, i 1 Εφαρµόζοντας τον σύνθετο τύπο του τραπεζίου υπολογίζονται οι ποσότητες οπότε R 11 = 0.75, R 1 = , R 31 = = = = ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

55 Ολοκλήρωση του Gauss Να ϐρεθεί τύπος Αριθµητικής Ολοκλήρωσης της µορφής I(f) = 1 1 f(x)dx n w j f(x j ), (53) j=1 ο οποίος να είναι ακριβής για πολυώνυµα όσο το δυνατόν µεγαλύτερου ϐαθµού µε την υπόθεση ότι οι κόµβοι δεν ισαπέχουν και ότι ϑα επιλεγούν κατάλληλα έτσι ώστε ο τύπος b n f(x)dx w j f(x j ) a να είναι ακριβής για πολυώνυµα όσο το δυνατόν µεγαλύτερου ϐαθµού. j=1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

56 Για n = f(x)dx w 1f(x 1 ) και ο τύπος έχει τους δύο αγνώστους w 1 και x 1. Για τον προσδιορισµό τους απαιτείται ο τύπος (53) να είναι ακριβής για τα f(x) = 1 και f(x) = x. Για f(x) = 1 έχουµε Z 1 1dx = w 1 1, άρα w 1 =. 1 Για f(x) = x έχουµε Z 1 xdx = w 1x 1 ή 0 = w 1x 1 άρα x 1 = 0 1 οπότε Z 1 f(x)dx f(0) 1 τύπος του µέσου ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

57 Για n = 1 1 f(x)dx w 1f(x 1 ) + w f(x ) και ο τύπος έχει τώρα τους τέσσερις αγνώστους w 1, w, x 1 καιx. Για τον προσδιορισµό τους απαιτείται ο τύπος να είναι ακριβής για τα f(x) = 1, x, x, x 3. Ετσι προκύπτει το σύστηµα w 1 + w = w 1x 1 + w x = 0 Η λύση του σύστήµατος είναι w 1x 1 + w x = 3 w 1x w x 3 = 0. άρα w 1 = w = 1, Z 1 1 f(x)dx f 3 3 x 1 = 3, x = 3 3 3! + f 3 3! ο τύπος αυτός είναι ακριβής, λόγω της κατασκευής του, για πολυώνυµα ϐαθµού 3. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

58 Παρατήρηση Ο τύπος Αριθµητικής Ολοκλήρωσης ( 1 f(x)dx f 1 ) ( ) f 3 3 (54) ο οποίος, λόγω της κατασκευής του, είναι ακριβής για πολυώνυµα ϐαθµού 3. Για f(x) = x 4 ο τύπος (54) δεν δίνει ακριβή αποτελέσµατα. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

59 Παράδειγµα Να χρησιµοποιηθεί ο τύπος (54) για την προσέγγιση του 1 1 e x dx. Λύση Ο τύπος (54) για το ανωτέρω ολοκλήρωµα δίνει I e 3/3 + 3/3 e , ενώ η ακριβής τιµή του είναι I = 1 1 e x dx = e e Παρατηρήστε ότι το σφάλµα είναι , το οποίο είναι πολύ µικρό για µόνο δύο σηµεία (x 1, x ). ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

60 Η περίπτωση n > Ο τύπος (53) έχει τους n αγνώστους x 1, x,..., x n, w 1,..., w n. Για τον προσδιορισµό τους απαιτείται ο κανόνας αριθµητικής ολοκλήρωσης να είναι ακριβής για τα n µονώνυµα f(x) = 1, x, x,..., x n 1. Αυτό σηµαίνει ότι I(f) = I n(f) για όλα τα πολυώνυµα ϐαθµού n 1, το οποίο καταλήγει στο ακόλουθο σύστηµα n µη γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους = w 1 + w w n 0 = w 1x 1 + w x w nx n 3 = w 1x 1 + w x w nx n 0 = w 1x w x w nx 3 n.... n 1 = w 1x n 1 + w x n w nx n n 0 = w 1x n w x n w nx n 1 n. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

61 Η περίπτωση n > Η επίλυση του ανωτέρω συστήµατος είναι αρκετά δύσκολη. Ευτυχώς όµως η λύση του υπάρχει και υπολογίζεται από τις ϐιβλιοθήκες µαθηµατικού λογισµικού (IMSL, NAG). Οι τύποι του Gauss Οι τύποι που παράγονται από την (53) όπως περιγράφτηκε ανωτέρω καλούνται τύποι του Gauss. Στην περίπτωση που επιθυµείται η προσέγγιση ενός ορισµένου ολοκληρώµατος στο διάστηµα [a, b] αντί του [ 1, 1], τότε αυτό µπορεί να επιτευχθεί πολύ εύκολα µε αλλαγή µεταβλητής. Ας υποθέσουµε ότι τότε εισάγοντας τη µεταβλητή I(f) = b a f(x) dx x = a + b + t(b a), 1 t 1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

62 το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται στο ακόλουθο I(f) = b a 1 ( ) a + b + t(b a) f 1 dt όπου τώρα µπορεί να εφαρµοστεί ο τύπος του Gauss I(f) = 1 1 f(x)dx n w j f(x j ). j=1 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

63 Παράδειγµα Να χρησιµοποιηθεί ο τύπος του Gauss για την προσέγγιση του I = R 1 0 Λύση x dx = 3. Τα αποτελέσµατα εµφανίζονται στον ακόλουθο πίνακα, όπου n είναι το πλήθος των σηµείων. Η στήλη Λόγος δείχνει ότι το σφάλµα συµπεριφέρεται ως εξής I I n ch 3 (55) για κάποιο c. Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα µε αυτά του πίνακα, ο οποίος δίνει τα αποτελέσµατα από την εφαρµογή του κανόνα του Simpson, η πειραµατική ταχύτητα σύγκλισης είναι µόνο h 3/ η οποία είναι πολύ αργή σε σχέση µε την (55). n h I I n Λόγος 1-7.Ε Ε Ε Ε Ε Ε Πίνακασ: Εφαρµογή του τύπου του Gauss στο 1 0 x dx ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

64 Παρατήρηση Οι τύποι του Gauss δεν είναι εύκολο να εφαρµοστούν όπως είναι οι κανόνες του Τραπεζίου και του Simpson. Ωστόσο, η αύξηση στην ταχύτητα σύγκλισης είναι τόσο γρήγορη ώστε η χρήση τους καθίσταται αναµφισβήτητη. ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο Β (Περιττοί) : Επίκ. 9. Καθηγητής Αριθµητική Φ.Τζαφέρης Ολοκλήρωση (ΕΚΠΑ) 5 Μαΐου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 96 Αριθµητική Ολοκλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 36 Αριθµητική Παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ Καθηγητής ΦΤζαφέρης ΕΚΠΑ 3 Μαρτίου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)

Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) 3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης

Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών και Αρχές Τηλεπισκόπησης Ενότητα: Αριθµητικές Μέθοδοι Επίλυσης Εξισώσεων, Αριθµητική Ολοκλήρωση Γεώργιος Σκιάνης Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Σελίδα 2 1. Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα. 69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 115 ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή 1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes

Αριθμητική Ανάλυση. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Αριθμητική Ανάλυση Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 017 Τελευταία ενημέρωση: 15 Ιουνίου 017 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Τµηµα Επιστηµης και Τεχνολογιας Υλικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Σηµειώσεις ιαλέξεων και Εργαστηρίων Μ. Γραµµατικακης Γ. Κοπιδακης Ν. Παπαδακης

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση :

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : ίνεται η εξίσωση : ν v 1... = 0, v Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : Με την βοήθεια του λογισµικού mathcad, κατασκευάζω τις συναρτήσεις f ν ()=

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Παρουσιάζονται οι μέθοδοι του παραλληλογράμμου,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα