גלים ואופטיקה סיכום הרצאות של ד"ר נדב כ"ץ בשנת לימודים 2012

Transcript

1 גלים ואופטיקה אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ סיכום הרצאות של ד"ר נדב כ"ץ בשנת לימודים ביולי 202

2 תוכן עניינים מבוא 3. מבנה הקורס גלים חד מימדיים 4 2. משוואת הגלים במיתר מתנדנד הפתרון של דלאמבר ³ Ð Ñ ÖØ Â Ò Ð ÊÓÒ גלים אורכיים במערך קפיצים בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים אנרגיה בגל רוחבי מיתר פתרונות סינוסיאלים נעים עירור ועכבה עירור עכבה החזרה והעברה אנרגיה גלים "חסומים" עומדים דיספרסיה נפיצה התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי גלי קול 5 3. מבוא לגלי קול בגז אפקט דופלר החד מימדי בתווך מקרה א': מערכת ייחוס של המקור נייח ותווך נייח והצופה נע מקרה ב': מקור נע וצופה ותווך נייחים מקרה ג': צופה נע ומקור נע בתווך נייח דופלר יחסותי גלי אור גלי פני שטח במים פתרון אנליטי גבולות גלי מים קפילריות מתח פנים אנרגיה טסונמי הסלינקי המצייץ 22 6 משוואת התוף על צלעות מקבילות ל:. y על הצלעות המקבילות לx : לסיכום: עבור תוף מלבני תוף עגול מוליך גלים גלים מישוריים חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית

3 תוכן עניינים תוכן עניינים 8 משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית עקרון פרמה מיראז' פריזמה Ê Ý 8.4 עיקוב קרניים ÌÖ Ò 8.4. מהלך חופשי עדשה דקה מילון מטריצות דמות דמות בעדשה מקרים ותגובות בהירות Ö ØÒ קאוסטיקות Ù Ø 8.7. קאוסטיקה בספל קפה טרנספורם ראדון +טומוגרפיה ממוחשבת התאבכות התאבכות שני גלים התאבכות גלים מישוריים מקורות נקודתיים מקור דיפול עקיפה המשוואה הפארא אקסיאלית עקרון הויגנס פרנל עקיפה בתלת מימד בעיית המסך חצי מישור חריצים תכונות דיפרקציה של עדשה תורת הדיפרקציה של קירכהוף זומרפלד דימות Ñ Ò קוהרנטי ולא קוהרנטי גלים אלקטרומגנטיים 57. בריק עוצמת אור בחומר הנחות ראשונות לשבירה עתידית קיטוב יחסי פרנל בהחזרה והעברה מקטב לינארי שבירה כפולה עוצמת השדה והאימפדנס השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה איזוטרופי /0/20 תוספת? 63 2

4 פרק מבוא ההגדרה הקלאסית של גל היא: הגדרה.0. גל: הפרעה המתקדמת בתווך. אבל אנו מכירים גלים שלא מתקדמים כגון נדנוד של קפיץ, וכמו כן אנו מכירים גלים אשר אינם דורשים תווך כגון גלים אלקטרומגנטים, אז עם מה נשארנו? הפרעה.. מבנה הקורס אתר הקורס הוא בÑÓÓ Ð מבנה הקורס הוא:. גלים בחומר, מימד. נשתמש בהנחה של תנודות קטנות Èדוגמה :.. דוגמאות לגלים: א"מ רדיו, מיקרו, אופטי, Ü, גאמא. קול. כבידה. מים מוזלים, מתח פנים וגלי עומק. קוונטים. סייסמים וצונאמי. 3

5 פרק 2 גלים חד מימדיים 2. משוואת הגלים במיתר מתנדנד ρ מסה ליחידת אורך, T מתיחות. αx+ x αx x x+ x משוואת הגלים במקרה זה מחוק שני של ניוטון: F = ma ρ x 2 ψ = T sinαx+ x T sinαx t2 sinα tanα = ψ x ρ x 2 ψ t 2 = [ ψ x x+ x אבל בקירוב של זוויות קטנות אנו יודעים כי: ] ψ T x x 2 ψx,t x 0 t 2 = T 2 ψ ρ x 2.v 2 = T ρ כלומר קיבלנו: כמו כן, המהירות מוגדרת ע"י ψ = v 2 ψ //20 משוואה מסדר שני אשר למדנו לפתור במת"פ. 2.2 הפתרון של דלאמבר ³ Ð Ñ ÖØ Â Ò Ð ÊÓÒ תנאי התחלה נתונים: ψx,0 = f x ψ x,0 = gx t הפתרון הכללי במקרה זה הוא: ψx,t = F x vt+gx+vt 4

6 2.3. גלים אורכיים במערך קפיצים בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים פרק 2. גלים חד מימדיים הפתרון לפי דלאמבר הוא: ψx,t = f x vt+f x+vt 2 + 2v ˆ x+vt x vt gqdq 2.3 גלים אורכיים במערך קפיצים בגבול של מרווחים אינפיניטיסימלים נביט במערך הקפיצים הנתון בציון הנ"ל כאשר K הוא קבוע הקפיץ, אשר מסתו m ו U j היא ההסחה אורכית מנקודת שיווי משקל. K K m m m U j h U j h U j+ מחוק שני של ניוטון נקבל: m 2 U j t 2 = KU j+ U j +KU j U j נגדיר ליחידת אורך N L = Nh מייצגת את כמות המסות בתוכה, h זה אורך קפיץ בודד M = N m וכמו כן:.K = K N ולכן נציב ונקבל: 2 U j t 2 = K L 2 } M {{} v 2 Uj+ 2U j +U j h 2 v 2 2 U j h 0 x 2 ההשאפה של 0 h היא יוצאת קירוב נומרי לנגזרת ה אנרגיה בגל רוחבי מיתר האנרגיה הקינטית נתונה ע"י: E kin = 2 ˆ 2 ψx,t ρdx t }{{} מהירות התנודה המקומית v האנרגיה הפוטנציאלית נתונה ע"י: בהנחה שהשינויים ב T זניחים ביחס לשינוי בx E pot = ˆ T ds dx = ˆ [ T + ψ x ] /2 2 dx Ì ÝÐÓÖ 2 T ˆ 2 ψ dx x +ε /2 הקירוב טיילור של: = + 2ε ולכן האנרגיה הכוללת: 5

7 2.5. פתרונות סינוסיאלים נעים פרק 2. גלים חד מימדיים E tot = E kin +E pot = 2 ˆ [ ρ 2 ψ +T t ] 2 ψ dx x 2.5 פתרונות סינוסיאלים נעים ψx,t = Acoskx±ωt+ϕ ולכן: { 2 ψ x 2 = k 2 ψ 2 ψ t 2 = ω 2 ψ ω = vk נקרא יחס הדיספרסיה k תדירות מרחבית, ω תדירות זמנית. נציב במשוואת הגלים ונקבל: 2 ψ t 2 = ψ v2 2 x 2 06//20 ψ ± x,t = Acoskx±ωt+ϕ ± פתרונות ספציפיים של משוואת הגלים: { 2 ψ x 2 = k 2 ψ 2 ψ t = ω 2 ψ נציב במשוואת הגלים } {{} ω = vk יפתור אם"ם ψx λ = 2π k x איור 2.: גרף ψ כפונקציה של מיקום בזמן קבוע = 0 t 6

8 פרק 2. גלים חד מימדיים 2.6. עירור ועכבה ψt t T = 2π ω איור 2.2: גרף ψ כפונקציה של זמן בנקודה קבועה = 0 x v = λ T נשים לב כי הפאזה של שני האיורים צריכה להיות זהה עד כדי סימן מינוס. הערה 2.5. כמו שלמדנו בחשמל, אפשר לרשום את הפתרון: ãe ikx±ωt כאשר הפאזה נמצאת בקבוע המרוכב Ã. 2.6 עירור ועכבה 2.6. עירור נניח כי בנקודה = 0 x מופעל כוח מחזורי: F = F 0 e iωt מכיוון שאנו מניחים מתיחות T קבועה, משוואת שקול הכוחות: ψ F 0 e iωt = T sinαx = 0 T tanαx = 0 = T x x=0 ננחש בפתרון עמיד סינוציאלי, כלומר: ψx,t = Ãeikx ωt הערה 2.6. נשים לב כי בפתרון שנחשנו, בתלות בזמן אין תדרים אחרים מהמעורר. בנקודה = 0 :x F 0 e iωt = T ψ = x x=0 iktãeik 0 ωt à = F 0 ikt = F 0 v iω T כלומר:

9 פרק 2. גלים חד מימדיים 2.7. החזרה והעברה ψ = F 0 v e ikx ωt iω T ולכן קיבלנו כי: וזה פותר את משוואת המערכת לערור מונוכרומטי בנקודה = 0 x עכבה ψ t כוח מופעל z = F = מהירות בנקודה ψ v = F 0 x=0 T t e ikx ωt x=0 v = F 0 e iωt T נציב פתרון ב = 0 x: ולכן נקבל: z = T v }{{} = ρv = Tρ T=ρv 2 08// החזרה והעברה ψ i = Ãeikx ωt z ψ t = Ce ik2x ωt z 2 ψ r = Be ikx ωt איור 2.3: החזרה והעברה של גל תנאי השפה בנקודת המעבר בין z ל z: 2. רציפות ב ψ ψ = { ψ i +ψ r x < 0 ψ t x > 0 ψ x 2. רציפות ב מתנאי הרציפות בψ נקבל: Ã+ B = C T x ψ i +ψ r = T x ψ t ÃT e iωt ik BT e iωt ik = CT e iωt ik 2 ÃT ω v B T ω = v C T ω v 2 ומתנאי הרציפות בנגזרת לx נקבל:

10 2.7. החזרה והעברה פרק 2. גלים חד מימדיים כיוון ש: ω = v k, ω = v 2 k 2 z à B = z 2 C z = T נקבל: וכיוון ש v r = B à = z z 2 z +z 2 ומחיבור המשוואות על שני התנאים נקבל: t = C à = 2z z +z 2 t הוא מקדם העברה, וr שינוי בפזה מקרי קצה הם כאשר 2 z נקבל = 0,t.r = ואילו כאשר 0 2 z נקבל: =,r.t = אנרגיה אנרגיה של אוסילטור הרמוני. נניח גל מהצורה.Ãeikx ωt נקבל שהאנרגיה ליחידת אורך היא: à 2 ρω2 הגדרה 2.7. שטף האנרגיה של Ãeikx ωt היא מהירות כפול אנרגיה ליחידת אורך, דהיינו: 2 ρω2 à 2 v = 2 z ω 2 à 2 2 z ω 2 à 2 כלומר השטף הנכנס שלנו במערכת הקודמת הוא: מהו השטף היוצא? סכום השטפים של הגל העובר והגל המוחזר. כלומר: 2 z ω 2 B z 2ω 2 C 2 = 2 ω2 à 2 z z z z 2z 2 =... אלגברה = 2 2 z +z 2 z ω 2 à ונקבל : 2 Cà ואת: Bà נציב אנרגיה מוחזרת = z אנרגיה פוגעת z B 2 à 2 }{{} R z z 2 = z +z 2 2 z 2 C אנרגיה מועברת T = 2 = אנרגיה פוגעת z à 2 = 4z z 2 z +z 2 2 מקובל להגדיר r 2 :R = שימור אנרגיה: R+T = 9

11 פרק 2. גלים חד מימדיים 2.8. גלים "חסומים" עומדים 2.8 גלים "חסומים" עומדים z 2 = 0 z l z 2 = איור 2 2.4: נקודות אחיזה של מיתר נערר את המערכת הנ"ל בתדר יחיד. { ψ0,t = 0 ψl,t = 0 ψ = e iωt Ae ikx +Be ikx { A = B ψ = e iωt A2i sinkx kl = n π k = nπ l תנאי השפה שלנו: k = nπ הסינוס במשוואה הראשונה יתאפס. ולכן נקבל הגבלות על התדרים האפשריים כך שהם l כיוון שרק עבור ω n = nvπ l 3//20 חייבים להיות: d dx px dψ +qxψ = λωxψ dx הערה 2.8. תורת שטורם ליואויל: ובהינתן תנאי שפה אזי: יש לנו מרחב פתרונות יכול להיות דיסקרטי או רציף. פונקציות אורתונורמליות מהוות בסיס שלכם לכל ערור אפשרי: ψx,t = n a n ψ n xe iωnt כאשר: n ω תדרים עצמיים ÑÓ אופני התנודה "מודים" ψ n a מקדמי הפיתוח לא תלוי זמן n במפורש עבור משוואת הגלים החד ממדית: 2 ψ t 2 = ψ תנאי שפה+ 2 v2 x ¾º½µ 2 נבצע הפרדת משתנים: ψx,t = e iωnt ψ n x ייתכן כי n הוא משתנה רציף ולא בהכרח דיסקרטי 2 ψ t 2 2 ψ x 2 = ω 2 nψ n e iωnt = d2 ψ n dx 2 e iωnt ½¼

12 פרק 2. גלים חד מימדיים 2.9. דיספרסיה נפיצה ωnψ 2 n e iωnt = v 2d2 ψ n dx 2 e iωnt נציב במשוואה ¾º½µ ונקבל: d 2 ψ n dx 2 = ω2 v 2ψ n = k 2 ψ n הערה נשים לב כי הפתרונות עבור המשוואה להעיל הן: e ikx, e ikx 2.9 דיספרסיה נפיצה 5//20 עד עכשיו ראינו דיספרסיה לינארית:.ωk = vk אבל האם זה חייב להשאר כך? התשובה היא כמובן לא. בעבר ראינו את הדוגמה הבאה: K K m m m U j a U j a U j+ m 2 U j t 2 = T a U j+ +U j 2U j.v 2 2 U j x 2 והגענו לביטוי: כאשר עשינו קירוב של 0 a קיבלנו למעשה כי החלק הימני הוא: נרצה לדון במקרה ש 0 a. ננחש באופן מושכל הנו מניחים גלים מונוכרומטים, אם נכשל נאלץ לשנות את הנחה זו: mω 2 = T a A k e ikx ωt = A k e ikja ωt e ika +e ika 2 = T a ω 2 = 4T ma sin2 e ika 2 e ika 2 ka 2 2 = 4T a sin2 ולאחר מעט אלגברה נקבל כי: ka 2 ולכן: ωk π a π a k איור 2.5: גרף ω כפונקציה של k התחום המסומן נקרא איזור ברילוואן הראשון, האיזור היחידי של התדרים החוקיים. ½½

13 2.9. דיספרסיה נפיצה פרק 2. גלים חד מימדיים נשים לב כי בגבול בו 0 k נקבל: ω 2 = 4T ma k2 a 2 4 T ρ k2 v 2 k 2 כאשר ρ = m a צפיפות. כלומר חזרנו לגבול v k ω = π a אז הגביש המדובר או במקרה שלנו, נשים לב שלמערכת יש תדרים אשר היא תומכת בהם, אם נחרוג מ המסות לא יאפשרו לנו לדגום זאת, וזה יראה כאילו זה תדר נמוך יותר. כיוון שאנו דוגמים דיסקרטית ולא קיצף, לכן בתדירות כפולה לדוגמה, אנו נמדוד את אותן נקודות דיסקרטיות, והן ינועו באותו אופן. Èדוגמה : 2.9. בגביש עם נתונים: נקבל כי: T = 5 N /m m kg a 0 0 m ω max 2π = ν max = Hz הערה נשים לב כי כאן הT שלנו הוא למעשה ביחידות N m/ לכן הנוסחא תהא ללא a במכנה. ωk k איור 2.6: דיספרסיות שונות בכתום דיספרסיה נורמלית. בכחול דיספרסיה אנומלית. באדום לינארית. כאשר אנו מדברים על גליםמונוכרומטים הדיספרסיה לא באמת מעניינת אותנו. אבל כאשר אנו מדברים עלגלים בתדרים שונים העסק משתבש. 2

14 2.0. התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי Èדוגמה : שני גלים בעלי תדר קרוב: פרק 2. גלים חד מימדיים ψ x,t = ae ikx ωt ψ 2 x,t = ae ik2x ω2t נרצה לבחון את: ψ = ψ +ψ 2 δk = k 2 k, k = k δk 2, k 2 = k + δk 2 k = k+k2 2 נגדיר: δωולכן = ω 2 ω, ω = ω δω 2, ω 2 = ω + δω 2 ω = ω+ω2 נקבל: 2 ובאופן דומה: ψ = ae ikx ωt[ e i δk 2 x+δωt 2 +e i δk 2 x δωt 2 ] δkx = e ikx ωt 2acos 2 δωt 2 v g = δω δk כמו כן נסמן ψx x איור 2.7: סופרפוזיציה של תדרים קרובים ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»Ï Ú Ô Ø אם נסתכל בספקטרום נקבל שני תדרים, ω. ω, התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי הערה 2.0. חומר נוסף זמין ב: מה יקרה אם ניקח גביש, ונכה בו עם פטיש ובכך נעורר בו כמה תדרים בו"ז? נשתמש התור פורייה ונקבל: ψx,y = ˆ ak = 2π ake ikx ωkt dk ˆ ψx,0e ikx dx ak = A e k k 0 2 2σ k 2 v k 2π 3 נתון תנאי התחלה :ψx,0 למעשה זוהי הכללה של כלל דלאמבר. נקח תנאי התחלה בבסיס k:

15 2.0. התקדמות חבילת גלים בתווך דיספרסיבי פרק 2. גלים חד מימדיים כלומר תחום רציף של תדרים עם אנרגיות נתונות לפי גאוסיאן ברוחב 2σ k עם מקסימום ב k. 0 נקבל: ψx,0 = A σ k 2π ˆ 2 e k k 0 2σ k 2 e ikx Ae ik0x dk }{{} = σ k 2π k =k k 0 ˆ e k 2 2σ k 2 +ik x dk הערה זהות אינטגרלית חשובה: ˆ π e ξq2 +ηq dq = ξ e η 2 4ξ ולכן נקבל: ψx,0 = Ae x 2 2σxe 2 ik0x σ x = σ k כאשר הערה = k σ. x σ אי ודאות של פורייה. עבור גאוסיאן אי הודאות מינימלית. ωk ωk 0 + ω k k k 0 + k0 2 נחשב את השפעת הדיספרסיה. נפתח ωk בטור טיילור: 2 ω k 2 k k 0 2 = ω 0 +v g k k 0 +βk k 0 2 k0 ψx,t = ˆ A e k k 0 2 2σ k 2 e i[kx ω0+vgk k0+βk k02 t] σ k 2π ψx,t = A σ k 2 +iβt eikx ω0t e 2σk 2 אלגברה: k k = k k 0 לסדר איברים לאינטגרל גאוסיאני x vgt2 4 2σ k 2 +iβt לפתור לפי נוסחא אם = 0 β אזי מדובר בחבילת גלים שאינה משנה את רוחבה ונעה במהירות v. g אם 0 β הגל ישנה את רוחבו בד"כ יתרחב כלומר הגאוסיאן יגדל, והאמליפטודה תרד 4

16 פרק 3 גלי קול 3. מבוא לגלי קול בגז גלי קול הם גלים אורכיים אין, Ö Ò אין שום מתיחות שתאפשר גלים רוחביים. שיווי משקל: P 0 לחץ. V 0 נפח יחידה. ρ 0 צפיפות. נבצע סטייה קטנה לכל איבר ונקבל: P = P 0 +p V = V 0 +v ρ = ρ 0 +ρ d s := ρ d ρ 0, δ := v V 0 נגדיר סטיה יחסית: הערה 3.. בגלי קול טיפוסיים: 0 3 s ונגדיר אמפליטודת לחץ לגל הקול: p m N/m 2 שזה 0 0 יותר קטן מלחץ אטמוספרי עדיין שומעים את זה ב 000Hz תרגיל: רצוי לקרוא לשיעור הבא: לקרוא אדיאבטי אנטרופיה לא משתנה ואיזוטרמי בשיעור הזה אמרנו כי: p m 0 0 Atm 20//20 ρ 0 V 0 = ρv = ρ 0 V 0 +s+δ }{{} = B := dp dv/v = V dp dv = כיוון ש s = δ בקירוב:.δ,s מודולוס האלסטי: נדרוש שמעבר גלי הקול הוא תהליך אדיאבטי 5

17 פרק 3. גלי קול 3.. מבוא לגלי קול בגז הערה 3..2 תהליך אדיאבטי תמיד מקיים: PV γ = const כאשר γ הוא מספר חסר מימדים שהוא היחס בין נגזור את הביטוי נגזרת שלמה: קיבולחוםבלחץקבוע := γ קיבול חום בנפח קבוע V γ dp +γpv γ dv = 0 V dp dv = γp = B a כאשר a הוא מציין אדיאבטי במקרה שלנו: B a = p v/v 0 או: p = B a δ = B a s δ = v V 0 ± η x x = η x x = s P x P x+ x = [ P x P x + P ] x x x = P x x x כוחות: 2 η. מחוק שני של ניוטון נקבל: המסה היא: ρ 0 x והתאוצה היא: t 2 p x x = ρ 0 x 2 η t 2 ½

18 פרק 3. גלי קול 3.2. אפקט דופלר החד מימדי בתווך p = B a δ = B a h x נזכור כי: p x = B aδ 2 η = B a x x 2 = ρ 2 η 0 t 2 [ Ba ρ 0 ] [ ] γp = ρ 0 נשים לב כי: כוח = נפח שטח 2 מהירות= 22//20 מסה 3.2 אפקט דופלר החד מימדי בתווך יש לנו 3 מערכות יחוס המקור הצופה והתווך מקרה א': מערכת ייחוס של המקור נייח ותווך נייח והצופה נע בהינתן גל אשר נע ימיני ומקורו נייח והתווך נייח, נניח כי הצופה שלנו נע שמאלה, הצופה שלנו יקבל את המקסימות של הגל בתדירות מסויימת. הצופה שלנו נע במהירות U ob ואילו הגל נע במהירות v. ברגע = 0 t הצופה היה בנקודת מקסימום של הגל, ואחרי τ הוא היה שוב בנקודת מקסימום כלומר: U ob τ +vτ = λ f = τ = v +U ob λ לכן התדר שהצופה ימדוד הוא: = v + U ob = f 0 + U ob λ v v מקרה ב': מקור נע וצופה ותווך נייחים f = τ 0 ונע במהירות U. s לכן האורך גל החדר ישי: נניח כי המקור היוצר גל בתדירות f = v λ = λ = λ U s τ 0 v = v λ U s τ 0 λ הצופה יראה גל באורך גל λ, שנע במהירות v כמובן. ולכן הצופה ימדוד: = f 0 Usτ0 λ Us v + U ob f v = f 0 Us v מקרה ג': צופה נע ומקור נע בתווך נייח אותו אופן חישוב... הערה 3.2. שימו לב למינוסים! כאשר המקור והצופה מתקרבים זה לזה, התדר צריך לעלות. ½

19 3.2. אפקט דופלר החד מימדי בתווך פרק 3. גלי קול 3.2. דופלר יחסותי גלי אור במקרה זה קיימת רק מהירות יחסית בין הצופה למקור אין תווך/אחר. נניח v r ביניהם. במערכת המקור נתון גל במחזור τ. 0 במערכת הצופה זמן המחזור מתארך בגלל טרנספורמציית לורנץ של הזמן: τ = τ 0 τ = τ 0 v2 r c 2 המרחק במערכת הצופה שינוע המקור עד המקסימום הבא היא: v r τ = v r τ 0 v2 r c 2 והזמן שיקח במערכ במערכת הצופה למקסימום להגיע אליו הוא: + v2 r c 2 v r τ 0 c vr c 2 כך שסה"כ הזמן בין מקסימות זמן המחזור שימדוד הצופה הוא: v r + v rc = c v rc τ 0 v2 r c 2 v rc f 0 = + v rc f 0 ולכן התדר שימדוד הצופה יהיה: וזהו הדופלר יחסותי לאור. הערה שוב, צריך לשים לב למינוסים תדר עולה אם מתקרבים, ויורד אם מתרחקים. vr בעזרת טור טיילור משחזרים את הביטוי הקלאסי. c הערה בגבור 8

20 פרק 4 גלי פני שטח במים בשלב הראשון נדון במקרה ש: נזניח מתח פנים כלומר, אורכי גל גדולים יש מעט עקמומיות. תאוצה g עומק h ηx,t 0 h איור 4.: גלי מים ηx,t = acoskx ωt אנליזת מימדים במקרה של גלי מים עמוקים h לא משפיע:.ωk = gk פתרון אנליטי נניח כי מים בתחום הזה נוזל לא דחיס 0 = u כאשר u זה זרימה של מים. כמו כן, נניח אמפליטודות נמוכות. נניח גם שהזרימה אינה מערבלותית: = 0 u. ולכן ניתן לההגדיר פונקציית עזר מתמטית: φ = u פוטנציאל מהירות. u x = φ x, u z = φ z מכך ש = 0 u נקבל כי: 2 φ x φ z 2 = 0 u z z= h = φ z = 0 z= h אין מקורות, משוואת לפלאס בקרקעית יש לנו תנאי שפה: ½

21 4.. גלי מים קפילריות מתח פנים פרק 4. גלי פני שטח במים η t = φ z=ηx,t z φ t +gη = 0 z=ηx,t z=ηx,t אין זרימה בקרקעית. מהירות על השפה: ηx,t z = משוואת ברנולי אומרת כי: הערה לא נוכיח את משוואת ברנולי למעשה ליאניריזציה נגדיר לחץ 0 על פני המשטח ייחוס + הנחת מהירויות נמוכות נציב את את η ונפתור עבור φ: φ = ω +h acoshkz k sinhkh sinkx ωt }{{} ברנולי ω 2 k = gktanhkh 27// גבולות נרצה לבחון את הביטוי שקיבלנו בגבולות שונים וחשובים. LT 2 L /2 מים עמוקים.h > /2λ במקרה זה.tanh.ω gk מימדים: = T V v ph = ω k = g ומהירות k גלים במים עמוקים נקראים "גלי גרביטציה". מהירות הפאזה במקרה זה היא:.v g v ph כלומר: v g = ω k = 2 g k החבורה היא: v ph = v h = gh במקרה זה נקבל דיספרסיה לינארית:.ω gh k h < λ 20 מים רדודים ביניים. λ 20 < h < λ 2 במצב זה נהיה חייבים להשתמש בtanh. 4. גלי מים קפילריות מתח פנים g. כאשר γ הוא מתח הפנים m/ N ו ρ צפיפות המים. עבור k מסויים: g + γρ k2 נקבל כי הדיספרסיה המלאה היא: ω 2 = g + γk2 ktanhkh ρ 4.2 אנרגיה אנרגיה ליחידת שטח ממוצע על מחזור: E pot = ˆη h E kin = ρgzdz ˆη h ˆ0 h ρgzdz = 2 ρgη2 t = 4 ρg a2 }{{} אמפליטודה 2 ρ vx 2 = עבודה קשה= +v2 z dx 4 ρga2 והאנרגיה הקינטית שלנו היא: 20

22 פרק 4. גלי פני שטח במים 4.3. טסונמי.v x = φ x, v z = φ כאשר: z ולכן: E tot = 2 ρga2 את הפיתוחים הנ"ל ביצענו עבור גלי ÖÝ כלומר גלים המקיימים את הדיפרסיה: gktanhkh ω 2 = במידה ונוסיף קפילריות נקבל: E tot = 2 ρ g + γ ρ k2 a 2 29// טסונמי טסונמי, נוצר מרעידת אדמה בעומק האוקיינוס 4,000m h = כתוצאה מתזוזה של לוחות טקטונים באורכי עשרות אם לא מאות קילומטרים. לכן אורך הגל הוא: λ. TS = 500km כלומר אנו נמצאים בקירוב של מים רדודים. לכן נקבל כי: = ω. gh k ולכן נקבל כי המהירות שלנו במקרה זה היא: v ph = v g = gh 700 km /h האמפליטודה של הגל בעת שהוא נוצר היא קטנה, לצורך העניין כ: 0.m. אבל כאשר הגל מגיע לחוף שאורכו בסדר גודל של קילומטר נזכיר, כי אורך הגל הוא כ 500 קילומטר ולכן כאשר הוא מגיע לחוף, הגל נבלם, אבל כל הזמן זורמת עוד אנרגיה, לכן האמפילטודה מתחילה לעלות כל הזמן מגיעה עוד אנרגיה ואנו נקבל כי האמפליטודה החדשה תהא: a s a d /4 hd h s נשאלה שאלה בכיתה: למה בכלל יש עוד מים, הרי גל זו התקדמות של הפרעה ולא של חומר. התשובה היא שבחוף החוקים משתנים ומים כן מתחילים לזרום. 2

23 פרק 5 הסלינקי המצייץ ωk = c k + a2 c 2k2 k c α ω c k נתונה דיספרסיה של סלינקי גל רוחבי: גבולות: k c α ω αk2.k c α תופעת הציוץ בסלינקי נגרמה בגלל נקישה מקומית, כלומר מספר גל יחסית גבוה, ניקח את הגבול v ph k = αk כלומר, תדרים גבוהים נעים מהר מהתדרים הנמוכים, בגלל זה הציוץ נשמע קודם בתדר גבוה ואז בתדר נמוך. נקח תנאי התחלה של נקישה: ψx,0 = Aexp x2 2σ 2 ψ t x,0 = 0 ˆ ψx,t ãke ikx ωkt dk ˆ ãk ψx,0e ikx dx כאשר: ψ = עד כדי פקטור 2π אחרי שנציב את הω ונפתור את האינטגרל + תנאי ההתחלה נקבל: Aσ ψx,t = 2 σ 2 +2iαt exp x 2 2σ 2 +2iαt 4σ σ 4 +4α 2 t 2 exp /4 σ 2 x 2 2σ 4 +4α 2 t 2 φt = 2 arctan 2αt σ 2 נקח חלק ממשי: σ 4 +4α 2 t 2 +φt x 2 αt cos 04/2/20 22

24 פרק 6 משוואת התוף נרצה לחשב כח על מלבן x y ±T y x ψ x± x 2,y על צלעות מקבילות ל: y :x± x 2 בנקודה: T y 2 ψx,y,t x 2 x פתוח מסדר ראשן טיילור ב x נותן בקירוב: T x 2 ψx,y,t y 2 y על הצלעות המקבילות לx : באופן דומה: ρ x y 2 ψ t 2 = F 2 ψ = T x y x ψ y לסיכום: נקבל כי משוואת התוף היא: 2 ψx,y,t t 2 = c 2 2 ψx,y,t = c. נשים לב למימדי T ו T ρ. הוא כוח ליחידת אורך, ואילו ρ מסה ליחידת שטח T כאשר ρ 23

25 פרק 6. משוואת התוף הערה 6.0. פתרון עם תנאי התחלה בשיטה הספקרטלית:. זיהוי אופני תנודה עצמיים של המערכת 2. רישום הפתרון הכללי עבור ψx,y,t כצירוף לינארי של אופני התנודה וקביעת המקדמים לפי תנאי התחלה. 3. קידום בזמן על סמך התדרים העצמיים כלומר: ψx,y,t = j ã j ψ j x,ye iωjt עבור תוף מלבני תנאי שפה: ψx,y,t x,y C = 0 כאשר C היא השפה של המלבן. וכמובן שבשטח המלבן מקיים את משוואת התוף. ψ0,y,t = 0 ψl x,y,t = 0 ψx,0,t = 0 ψx,l y,t = 0 ψx,y,t = X xy ye iωt לכל x l x,0 y l y 0 ולכל.t פתרון ננסה הפרדת משתנים: ω2 c 2 XY = 2 XY d 2 X dx 2 X }{{} k 2 x + d 2 Y dy 2 Y }{{} k 2 y נציב במשוואת התוף ונקבל: וזו נקראת משוואת הלהולץ 0 = U. 2 U +k 2 = ω2 c 2 מהפרדת משתנים, כל שבר רכיב במשוואה הנ"ל חייב להיות קבוע. נקרא להם כפי שמסומן במשוואה. כלומר קיבלנו 2 משוואות מהצורה: { ω 2 = c 2 k d 2 X dx +kxx 2 x 2 +ky 2 = 0 2 d 2 Y dy +k 2 2 y Y = 0 Xx = Asin k x n x Y y = Bsin k y m y k x n = πn, k y m = πm l x l y עבור תנאי השפה הcos נופל ¾

26 פרק 6. משוואת התוף 6.. תוף עגול ψ nm x,y = A nm sin k x n x sin k y m y ונקבל: nπ 2 2 mπ ω nm = c k x n2 +k y m2 = c + = c k l x l y k = kx,k y k = k 2 x +k 2 6 כאשר: ψx,y,t = m =,..., n =,..., ולכן הפתרון הכללי של משוואת התוף המלבני היא: A nm sin k x sin n x k y m y e iωnmt ניוון: עבור k ים שונים אותו ω. k Èדוגמה : תוף ריבועי כמו שראינו בהרצאה, תוף עם 3 מלבנים של אמפליטודה, אופקיים ואנכיים 06/2/20 6. תוף עגול כלומר עם האילוץ: ψl,θ,t = 0 בקואורדינטות גליליות 2 ψ 2 t 2 = ψ c2 r 2 + ψ r r + 2 ψ r 2 θ 2 נפתור ע"י הפרדת משתנים: ψr,θ,t = RrΘθe iωt d 2 Θ dθ +n2 θ = 0 Θ = Ae ±inθ מציבים ומקבלים: משוואה זוויתית: המחזוריות ב θ θ +2π של n Θ שלם המשוואה הרדיאלית: r 2 d 2 R dr 2 +r dr dr + k 2 r 2 n 2 R = 0 נגדיר :z = kr z 2d2 R dz 2 +zdr dz + z 2 n 2 R = 0 וזוהי משוואת בסל. ¾

27 6.2. מוליך גלים פרק 6. משוואת התוף 6.2 מוליך גלים.k m y = mπ l y חסום במימד y ופתוח לאינסוף בx. sin k y m y כאשר הפרדת משתנים פתרון בŷ : פתרון בx ˆ: e ikxx כאשר: ω m k x = c πm l y 2 +k 2 x 26

28 פרק 7 גלים מישוריים במקרה של גלים מישוריים אין שפה. r = x,y ψ r,t = Aexpik x x+k y y ωt = Aexp i k r ωt נסמן y k = k x,k ונקבל: אלו הם המצבים העצמיים של העדר שפה בעזרת טרנספורם פורייה דו מימדי נקבל: ψ r,t = 2π 2 a k exp i k r ωkt dk x dk y הערה 7.0. בשעת קבלה אנשים שאלו על טרנספורם דו מימדי, נדב משלים: /2/202 ψ r,t = 2π 2 a k e ikxx+kyy ωt dk x dk y כאשר a k הוא תנאי התחלה. בתווך לא הומוגני, נניח c r מהירות הגל תלויה במקום. אנחנו מדברים על דיספרסיה לינארית אבל תלויה במקום. משוואת הגלים הרלוונטית היא: 2 ψ הפרדת משתנים לזמן r 2 t 2 = c2 ψ ψ r,t = ψ j re iωjt 2 2 ωj ψ j + ψ j = 0 c r ψ r,t = ψ j re iωjt = Aexpiω j J r t 27 ואילו עבור המיקום, נקבל את המשוואה: נרצה לראות מה קורה בגבול j ω

29 7.. חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית פרק 7. גלים מישוריים נציב במשוואה ונקבל: 2 2 J J + i 2 J = x y ω j c 2 r הערה הJ הנ"ל נקראת יקוניאן או משהו בסגנון הערה מעניין אותנו המקרה של j ω בגלל שאנחנו רוצים לדבר עם אורך גל מאוד קטן. לא מעניין אותנו גלים באורך של חדר. אם נרצה להתעסק בגלים של באורך של תת מיקרונים, לא נרצה להתייחס למודולציות הקטנות שהם עושים, אלא לתנועת הקרניים. 2 2 J J + = x y c 2 r ונקבל: i ω j בקירוב, נזניח את J 2 זוהי משוואת איקונל. מה קורה עם משוואות איקונל בתווך הומוגני? כלומר?c r = r נתחיל מפתרון המלא של משוואת הגלים ללא קירוב: ψ r,t = Aexp i k r ωt+ϕ J = ω j k x x+k y y +ϕ = c kx k x+ k y +t 0 k במקרה זה: J r = c xcosθ+ysinθ אם נציג: k x = kcosθ ו: k y = ksinθ נקבל: נציב המשוואת האיקונל ונקבל כי זה אכן פותר אותה. למה זה טוב? מכאן נוכל לקבל את חוק סנל הישן והטוב. 7. חוק סנל עבור המשוואה האיקונלית בהינתן תווך המשתנה ב 0 = x מ C ל C אנו מדברים בדו מימד. נשים לב כי זה המערכת איזוטרופית עבור > 0 x ועבור < 0 x אבל לא בניהם. האיקונל שלנו יהיה: J r = { c xcosθ +ysinθ x < 0 c xcosθ +ysinθ x 0 צריך לתפור ב 0 = x לכל,y בפרט = 0 :y [ ] [ ] c xcosθ+ysinθ = x 0 c xcosθ +ysinθ x + 0 c sinθ = c sinθ 3/2/20 וזהו חוק סנל. 28

30 פרק 8 משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית תזכורת 8.0. בשיעור הקודם למדנו את משוואת אייקונל ÓÒ Ð לפעמים נראה בספרות S rמשוואת המילטון יעקובי 2 J J + = x y c 2 r J = c xcosθ+ysinθ ωj r 0 +δ r = ωj r 0 +ω J δ r+o δr 2 בתווך הומוגני: גלים מישוריים נרצה לעקוב אחרי מהלך הקרניים. מה הקשר לאיקונל? נקרב בעזרת טיילור: ω r 0 +δ r,t = Aexp i k r0 δ r ωt+ϕ 0 +o δr 2 נקבל: כאשר הגדרנו: kr 0 = ω J : ψ r,t = Ae iωj r t מתכונתי למספר הגל 0 k r המקומי. כלומר, הגרדיאנט של J האיקונל.ω = c r הצבה במשוואת איקונל תניב: k r המטרה שלנו היא למצוא משוואה שתתאר את מסלול הקרניים בהינתן תנאי התחלה ו.c r נגדיר xs,ys rs = בתור מסלול הקרן כאשר הפרמטר s הוא "אורך הקשת" ¾

31 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית y s x ds dy dx d rs ds dx d r 2 ds = + ds = dx ds, dy ds 2 dx dx2 +dy = 2 = ds ds ולכן: כדי לקבל את rs נדרוש ש:. k rs לקרן יהיה זהה לוקטור יחידה בכיוון המשיק d r ds k rs = J J r = c rs J k rs r= rs d r c rs ds = J r= rs ולכן: J =? הערה נזכור כי ממשוואת האיקונל: 2 2 J J + = x y c 2 rs ולכן: J J = x 2 2 J + = y c rs d ds c rs d rs ds = d J ds r }{{} = r= rs ¼ נגזור לפי S ונקבל: כלל השרשרת d r ds J r= rs

32 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית 8.. עקרון פרמה d r ds = c rs J כעת נציב: d ds c rs d rs = c rs ds d ds J J r= rs = c rs [ J ] 2 2 c rs d rs = ds c 2 c r rs r= rs c rs 2 }{{} = r= rs איקונל נקבל: c 2 r r= rs כלומר, נקבל: Èדוגמה : אם c r = c אז: d 2 rx ds 2 = 0 rs = r 0 +ês n r = c c r כלומר, תנועה בקו ישר. בהקשר של גלי אור מקובל לרשום: כאשר c מייצג את מהירות האור בריק. ואז אם נציב את n r נקבל משהו קצת יותר סימפטי: d n rs d rs = n ds ds r= rs 8. עקרון פרמה עקרון פרמה קובע כי זמן מעבר האור הגל, לאורך מסלול הקרן הינו אקסטרימום כמעט תמיד מינימום במקרה של מעבר בין שני מקדמי שבירה, נקבל כי האורך המינימלי יקבע בעזרת חוק סנל. נגדיר דרך אופטית: l = ˆτ J [rτ] }{{} פונקציונל τ 0 n rτds = ˆτ τ 0 ds c rτ או בסימון מלא בזמן: ds 2 ds = dτ + dy 2dτ dτ כאשר: נגדיר לגרנז'יאן נדב סיים ללמד אותנו תרמית, אז הוא התחיל אנליטית... L r, r = ds dτ dy dτ c r ½ r = c r

33 8.2. מיראז' פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית כלומר: d ds c rs ˆτ J [rτ] = L r, r dτ τ 0 d rs ds אם נשתמש במשוואות אויילר לגרנז' על הפונקציונל הנ"ל נקבל: = c 2 c r rs r= rs 8.2 מיראז' כאשר אנחנו נוסעים בקיץ על כביש ארוך שטוח וחם, אנחנו רואים אשליה של שלולית מים על הכביש, כלומר אנחנו רואים השתקפות של השמים. נשים לב שמתרמודינמיקה, עביר גז אידיאלי אנו יודעים כי כיוון שהכביש חם, הצפיפות יורדת כפונקציה של הטמרפטורה nz = n 0 +αz כיוון שהאוויר חם יותר, ולכן דליל יותר, מקדם השבירה יורד. נסמן את מסלול הקרן ב zx נשים לב שהקרן שמגיעה מהשמיים בכלל לא פוגעת בכביש, אלא מבצעת פיתול נציב במשוואת הקרניים: +ż 2 d +αz = α dx +ż 2ż עבור 2 ż ונניח כי: αz נקבל: rx = zxẑ +xˆx = d 2 zx dx 2 d n rs d rs ds ds α α 2 x2 +tanθ 0 x+x 0 ẑ +xˆx תזכורת 8.2. בשיעור הקודם פתחנו את המשוואה: = n r r= rs כאשר: 8/2/20 n r = c Ú ÙÑ c r כמו כן, הסבר על הפיתוח שעשינו בסוף השיעור הקודם: d ds = d +ż dx n 0 d +αz dz = n 0 α +ż 2 dx +ż 2 dx עבור αz וזוויות קטנות נקבל: 2 ż. במקרה זה נזניח את ż 2 ביחס ל, ונזנית את αz ביחס ל ואז נקבל: d 2 dx 2z = α ¾

34 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית 8.3. פריזמה zx = α 2 x2 +tanθ 0 x+z 0 ẑ ומכאן נובע התנועה הפרבולית: r = zẑ +xˆx ולכן מתקבל המיראז'. 8.3 פריזמה נרצה למצוא את הקשר בין θ 0 ל θ. 2 או בזום: 33

35 8.4. עיקוב קרניים ÌÖ Ò Ê Ý פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית מחוק סנל: θ 0 n0 = arcsin sinθ 0 n מגיאומטרית משולשים: θ = θ 0 α θ n = arcsin sinθ n 2 θ 2 = θ α ושוב: כעת נניח: = 2.n = n.n 0 = n [ ] δ = θ 0 θ 2 = θ 0 arcsin nsin arcsin n sinθ 0 α α sinx arcsinx x בזויות קטנות: δ = θ 0 α n n θ 0 α = n α כלומר: x2 כלומר, תחת קירוב זוויות קטנות קשר לינארי בין כניסה ליציאה. = θ 2 Ê Ý 8.4 עיקוב קרניים ÌÖ Ò A B x C D θ 34 בקירוב פאראקיאלי מטריצות.ABCD

36 8.4. עיקוב קרניים ÌÖ Ò Ê Ý פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית קירוב לינארי למעבר קרניים דרך אלמנט אופטי 8.4. מהלך חופשי כלומר, אין שינוי בn. θ 2 = θ,x 2 = x +d θ נשים לב כי יש כאן קירוב זוויות קטנות, השינוי בx הוא tanθ S d = d עדשה דקה התכונה הבולטת של עדשה היא מיקוד קרניים מקבילות לנקודה במרחק f, נקרא לה אורך מוקד. כמו כן, העדשה יוצרת דמות. נחפש איברי ABCD אשר מקיימים את הדרישות הנ"ל. נשים לב כי קרן העוברת דרך הראשית, לא נשברת וממשיכה. לכן זה גורר כי = D. כמו כן, העדשה דקה, לכן = A כיוון שלא משנה באיזה x אנו עוברים, אנחנו נצא מאותו אחד כי זו עדשה דקה, ו = 0 B כיוון שהזווית לא משפיעה על הx אשר ממנו אנו יוצאים, כיוון שהעדשה דקה. נשאר להבין מה קורה עם c, מתוך השיקול של מיקוד, ומשיקולים טריגונומטרים, נקבל כ: C. = f/ לכן, קיבלנו כי: L f = 0 f x2 θ 2 = L f x θ וכאמור מתקיים: 35

37 8.4. עיקוב קרניים ÌÖ Ò Ê Ý פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית S L = L S = האם L f ו S d קומוטטיביות? d 0 d/f d 0 = /f /f 0 d d = /f 0 /f d /f 20/2/20 36

38 8.4. עיקוב קרניים ÌÖ Ò Ê Ý פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית מילון מטריצות תיאור ABCD הערות d d מרחק מהלך חופשי בתווך בעל מקדם קבוע 0 0 n מקדם התחלתי 0 n שבירה ממישור חלק /n 2 n 2 מקדם סופי 0 העברה לפי חוק סנל. שבירה במעבר קמור\קעור החזרה ממראה מישורית n n 2 R n 2 n n R רדיוס עקמומיות העדשה. כאשר > 0 R קמור כלומר מרכז העקמומיות לאחר המעבר n מקדם התחלתי. n 2 מקדם סופי. הערה: לא מדובר בעדשה אלא רק במעבר אחד בין מקדמי שבירה צריך להפוך כיוון התקדמות הציר האופטי R רדיוס המראה בתמונה המרחק בין C לP אם > 0 R קעור. וגם צריך להפוך כיוון התקדמות 0 2 /R החזרה ממראה כדורית אורך כללי l הערה: בתוך העדשה ייתכן כי קורות אוסילציות ולא רק עיקום. למעשה בקירוב זהו פוטנציאל הרמוני. Al cos Al Asin Al Al Asin cos n = n 0 A עדשת 2 x2 ÊÁÆ 37

39 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית 8.5. דמות הערה Ä Ò 8.4. : ÊÁÆ Ö ÒØ ÁÒ Üµ התמונה שצויירה בכיתה: d וזה מקור שמה ds n d r ds וגם מתקיים: n = 8.5 דמות בהקשר של עדשה הזכרנו את המונח "דמות" באנגלית נקרא לזה. Ñ Ò אם נניח עצם מול מראה כל נקודה בו קורנת לכל ה הכיוונים הדמות היא המקום אשר נראה כאילו העצם נמצא גם שם. כלומר אם יש לנו צופה המתבונן דרך מראה הוא יראה את העצם כמתואר בציור: 8.5. דמות בעדשה הציור מהשיעור: 38

40 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית.8.6 בהירות Ö ØÒ אם יש לנו אובייקט בקודה נתונה כלשהי, הדמות שלו תווצר בנקודה בה כל הקרניים יפגשו. נשים לב כי למעשה המערכת שלנו נראית כך: S v L f S u לכן: v 0 u 0 = /f 0 v u 0 /f u = /f v/f u+ uv /f /f u /f המטרה שלנו היא למצוא את v בהנתן u וf. u+v uv ומכך נדרוש אי תלות ב θ כל הקרניים מ x מסויים צריכות להגיע לאותו x 2 לכן נדרש כי: = 0 f נקבל: u + v = f מהו x 2 של הדמות? מדמיון משולשים נקבל: x 2 = v u x מקרים ותגובות.x 2 ולכן 0 v f נקבל כי u. v נקבל כי > 0 u > f.2 א x 2 = x ; v = 2f u = 2f x 2,v u = f.3 אותו סימן כמו.x x 2 ואז: v < 0 u < f.4 מצבים 3 נקראים דמות ממשית, ואילו מצב 4 נקרא דמות מדומה הערה 8.5. עדשה מפזרת המשמעות היא פשוא f שלילי. 8.6 בהירות Ö ØÒ נשים לב כי אם מתחלים ב = i n ומסיימים ב = f n ועוברים דרך מערכת אופטית מורכבת ככל שתהיה תמיד נקבל = detm וזו תקרא הבהירות שלנו. הערה 8.6. תמיד כדאי לבדוק את הדטרמיננטה אם אנו מחשבים את המטריצה של מערכת אופטית אשר מתחילה ומסיימת באוויר. אם היא שונה מ כנראה שיש טעות חישוב. הערה נשאלה שאלה מה קורה עם החזרות, הרי אם הדטרמיננה היא זה אומר שכל הקרן עברה התשובה היא שביקרוב משוואות הקרניים אנחנו כלל לא מדברים על החזרות, ובמקרה זה נצטרך לחזור למשוואות יותר כלליות. 39

41 .8.7 קאוסטיקות Ù Ø פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית 8.7 קאוסטיקות Ù Ø מיקוד מסדר ראשון, בניגוד למוקד פוקוס מושלם עבורו כל הסדרים ממקדים. קרניים מקבילות יותאות ממקור X ופוגעות במראה שיש לה פרופיל x f אנו נקבל מיקוד חלקי. דוגמה כזו אנו רואים בבריכה עקב העקמומיות השונה של המים. נרצה לחשב מה תהיה α הזוית של הקרן המוחזרת נקבל: y f x = tanαx X tanθ = df dx = f x x=x זוהי משוואת הישר של הקרן המוחזרת α+2θ = π 2 משיקולים גיאומטריים: π tanα = tan 2 2θ = tan2 θ = f X 2 2tanθ 2f X 27/2/20 ¼

42 פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית.8.7 קאוסטיקות Ù Ø נציבבמשוואת הישר, נכפיל ב X 2f ונעביר אגפים ונקבל: 2f Xy f X+ f X 2 x X = 0 משוואה כנ"ל ניתן לכתוב כ: = 0 x,y;x F. לו היה לנו מוקד מושלם אזי המוקד x,y לא היה תלוי ב. X כלומר, נגזרות מתאפסות בכל סדר אינסוף תנאים לא קורה בדר"כ. קאוסטיקה דרישה הרבה יותר חלשה ונפוצה, דורשת רק את ההתאפסות רק של נגזרת ראשונה: d dx F x,y;x = 0 2f Xy f X f Xx X f X 2 = 0 נגזור ונקבל תנאי נוסף: x = X f X f X y = f x+ f X 2 2f X נחלץ את x ו y : 8.7. קאוסטיקה בספל קפה מראה צילינדרית f. X = l 2 x 2 נציב במשוואת הקאוסטיקה. נחשב את הנגזרות: f = f = x l2 x 2 x 2 l 2 x 2 3 /2 f X = lsinφ, X = lcosφ הזווית φ היא הזווית בין הרדיוס המגיע לנקודת הפגיעה לבין הציר הניצב לקרן f X = cotφ f X = lsin 3 φ x = lcos 3 φ y = lsinφ + 2 cos2φ הצבה בנוסחת הקאוסטיקה תניב: 4

43 8.8. טרנספורם ראדון +טומוגרפיה ממוחשבת פרק 8. משוואת הקרניים אופטיקה גיאומטרית צורה זו נקראת נפרואידה 8.8 טרנספורם ראדון +טומוגרפיה ממוחשבת אנו שולחים קרן לצורך העניין X ומקבלים פלט תלת מימדי של עצם לצורך העניין. sf x := Gf x,0 = Gf x,f y = px = ˆ gx,ye i2πfxx dxdy = f x,ydy gx,ye i2πfxx+fyy dxdy ˆ ˆ gx,ydy e i2πfxx dx = טרנספורם פורייה: f y = ky 2π ו: f x = kx 2π ˆ pxe i2πfxx dx משפט 8.8. ÓÙÖ Ö חיתוך פורייה ËÐ Ì ÓÖ Ñ החתך במישור פורייה של y f y = 0 Gf X,f הינו טרנפורם פורייה של ההיטל px לכן על מנת להשיג מודל של התמונה, יש לדגום את ההטל בהרבה זוויות שונות. נתבונן בבעיה עבור פונקציה עם סימטריה צילנדרית לכן מספיקה דגימה אחת על מנת לקבל שחזור מלא gr,z = ˆ 2π 2 Gk y,zj 0 k y rdk y כאשר z, Gk y הוא טרנספורם פורייה החד מימדי לאורך ציר y ו J 0 פונקציית בסל מסדר 0. 42

44 פרק 9 התאבכות הפרשי עוצמה בגל הנובעים מקשר פאזה מוגדר בין רכיביו. העוצמה ÁÒØ Ò ØÝ של גל ניתנת ע"י: Ir = ψr,t 2 τ.τ = 2π ω כאשר:.τ 2π ω ממוצע על זמן τ נניח גל מונוכרומטי או קרוב למונוכרומטי בתדר ω. אם הגל מונוכרומטי, אזי 9. התאבכות שני גלים נתבונן במקרה של התאבכות של שני גלים ψ 0 ו: ψ. ψ = ψ 0 +ψ כאשר: ψ 0 = A 0 expiφ 0 r iωt ψ = A expiφ r iωt I j = ψ j 2 τ נגדיר I r = ψ 2 τ = [A expiφ r iωt+a 0 expiφ 0 r iωt] c.c. τ = φ = φ 0 r φ r I 0 +I + I 0 I cos φ r כאשר: 0/0/202 נקבל = 0 I אם I 0 = I וגם φ = π נקבל: = 0 2I I = 2I 9.. התאבכות גלים מישוריים במקרה של שני גלים מישוריים נקבל כי ה ψ הכללי שלנו הוא: ψ = A 0 exp ik 0 r iωt +A exp ik r iωt במקרה זה אנו דנים במקרה בו התדירויות ω שוות. ω ω. = וכמו כן k 0 = k בתווך לא דיספרסיבי, איזוטרופי פשוט. φ = φ 0 φ = k0 k r = k r

45 פרק 9. התאבכות 9.2. מקורות נקודתיים נעשה פירוק ל r : r = r ê+ r I r = I 0 +I +2 I 0 I cos kr ואז נקבל:. 2π k כלומר, קיבלנו גל עומד עם מחזור מרחבי נניח I = I 0 = I ו: k = 2 k 0 k 0 = k. ונקבל: I r = 2I +2I cos 2k 0 r במקרה של שינוי בפאזה, נקבל כי התמונת התאבכות רק זזה במרחב, כמו כן, אם k 0 = k זהים בגודל ובכיוון והשינוי בפאזה הוא π אזי נקבל התאפסות העוצמה בכל המרחב. 9.2 מקורות נקודתיים במקרה של מקור נקודתי כלומר נקודה הפולטת גלים לכל הכיוונים נקבל כי משוואת הגלים היא: ψ 2D = α rexpikr ωt כאשר הr הוא רדיאלי ו k. = ω c/ משימור אנרגיה נקבל כי: α 2 2πr = const ψ 2D = a kr expikr iωt a α r = כאשר kr ונקבל: kr נרשום: נבחין כי הפונקציה הנ"ל נכונה לשדה רחוק במקרה של 0 r זה מתבדר. במקרה של תלת מימד: ψ 3D αr 2 4πr 2 = const ψ 3D = a kr expikr iωt ψ = ψ 2D x l /2 2 +y 2,t ψ 2D x+ l /2 2 +y 2,t ושוב נדרש כי.kr 9.2. מקור דיפול 03/0/202 מינוס בגלל שזו פאזה הפוכה כאמור, דיפול. = a exp ik x k x l /2 2 +y 2 iωt +a exp ik x+ l /2 2 +y 2 k x+ l /2 2 +y 2 iωt iπ l /2 2 +y 2 הגורם iπ הוא בגלל המינוס של הדיפול. איבר ההתאבכות נשלט ע"י הפרש הפאזה: φ = k k l /2 2 +y 2 k x+ l /2 2 +y 2 π φ = klx +π = π klsinθ x2 +y2 עבור r l נפתח בסדר ראשות בl ונקבל:

46 פרק 9. התאבכות 9.2. מקורות נקודתיים k x l /2 2 +y 2 I r = 2 a 2 kr k x+ l /2 2 kr +cos φ = 4 a 2 kr cos2 וכמו כן, עבור l r נקבל גם כי: ואז מהצבה בעוצמת השדה נקבל: φ 2 נציב את. φ וגם נבצע קירוב, עבור דיפול אטומי.l 0 0 m וכמו כן:.kl λ = 2π k 0 6 m ולכן נקבל כי: I 2D r = a 2 k 2 l 2 sin 2 θ kr = 4 a 2 π kr cos2 2 kl 2 sinθ לאחר פיתוח לטור של :cos הערה 9.2. אבל בגלל ה π 2 זה הופך לסינוס, ואז קירוב לסדר ראשון באמת יניב את המבוקש. במקרה של פאזה לא מנוגדת, כלומר פאזה שונה מπ : עדיין נבחר r l בעיקר בשביל נוחות החישוב φ = k x l /2 2 +y 2 x+ l /2 2 +y 2 δφ במקרה הזה, נדון במקרה הכללי יותר, δφ כבר לא חייב להיות π. ניקח = 0 δφ בשביל הנוחות. תנאי התאבכות בונה: x l /2 2 +y 2 x+ l /2 2 +y 2 = φ! = 2πj k k = λ j זה היה עבור דיפול. מה קורה כאשר >?kl במקרה של 2 מקורות רחוקים שווי פאזה = 0 δφ

47 9.2. מקורות נקודתיים פרק 9. התאבכות שני מקורות > kl נמדוד על מסך הנמצא ב: y = d ונסתכל קרוב לראשית של x כלומר: x d אזי: I max = 4 a2 kd.sinθ = tanθ = x d כאשר kl I d = I max cos 2 2d x I x = λd l x איור 9.: גרף של I כפונקציה של x כאשר y = d 46

48 פרק 0 עקיפה 2 ψ = c 2 2 ψ t 2 0. המשוואה הפארא אקסיאלית טיפול בגלים מתקדמים. שימוש נפוץ באור. נניח שאפשר להגדיר "ציר אופטי" לאורך y כלומר כל הקרניים נעות פחות או יותר בכיוון ציר y. נמדוד לכל נקודה את הזווית θ בין הקרן לŷ. ואז ה k sinθ,cosθ k = הסיבה של המינוס היא שאנו מודדים את θ מהקרן אל ציר y. ולכן גל מישורי יהיה מהצורה: ψx,y,t = A 0 expikycosθ ikxsinθ iωt ψx,y,t = Ax,yexpiky iωt כאשר.ω = ck עבור :θ π Ax,y = a 0 exp i /2kθ 2 y ikθx λ Ax,y y Ax,y 2 A y 2 k A y כאשר: וגם עבור הנגזרת השניה נקבל: נציב את Aexpiky iωt ψ = במשוואת הגלים נזכור כי A תלוי גם הוא ב,x,y נקבל: 2 Ax,y x 2 זניח 2 Ax,y + y 2 +2ik Ax,y y ולכן נקבל: 2ik Ax,y y = 2 Ax,y 08/0/20 וזה נקרא משוואת הגלים הפארא אקסיאלית. x 2

49 פרק 0. עקיפה 0.2. עקרון הויגנס פרנל 0.2 עקרון הויגנס פרנל Ax,y y=0 משוואת הגלים הפארא אקסיאלית היא מסדר ראשון בy. מספיק רק תנאי התחלה Ax,0 = כדי לפתור אותה. נפתור בעזרת פורייה: 2ik Ãq,y y Ax,y = 2π Ax,y = 2π ˆ Ãq,yexpiqxdq נציב בזאת במשוואה הפארא אקסיאלית. נקבל: q = q 2 2 Ãq,y Ãq,y = Ãq,0exp 2k y ˆ כאשר Ãq,0 טרנספום פורייה של תנאי ההתחלה. נציב בטרנספום ונקבל: Ãq,0exp i q2 2k y expiqxdq יש לנו כאן פורייה הפוך של מכפלה, כלומר קונוולוציה של פורייה הפוך. ואמרנו כי: Ax,0 = 2π 2π ˆ ˆ Ãq,0expiqxdq exp iq2 2k y +iqx dq ולכן: = k ikx 2 2π y exp 2y iπ 4 exp הוא: iq2 ופורייה הפוך של 2k y exp αs 2 +βs ds = π α exp β2 4α נזכור כי: Ax,y = Ax,0 k 2π y exp ik x2 2y iπ 4 ונקבל: קונבולוציה. בשיעור הבא נראה כי למעשה קיבלנו את עקרון הויגנס פרנל: כל נקודה על חזית הגל מהווה מקור נקודתי 0/0/202 להמשך התבנית העקיפה ψx,y,t = ψx,0,0 U 2D x,y,t = U 2D x,y,t = k 2πy exp [ ik ˆ ψx,0,0u 2D x x,y,tdx y + x2 iπ4 ] 2y iωt כאשר:

50 פרק 0. עקיפה 0.2. עקרון הויגנס פרנל הגדרה 0.2. עיקרון הויגנס פרנל: כל חזית גל מתנהגת כאוסף של מקורות נקודתיים. נראה כי U 2D אכן מייצג מקור כדורי נזכר בגל מתשפט: k ψ 2D = 2πr exp ikr iωt iπ 4 כאשר:.r = x 2 +y 2 בקירוב הפארא אקסיאלי נקבל כי y :x r = y + x2 y 2 y + x2 2y ψ 2D U 2D ולכן בגבול הפארא אקסיאלי: A r,z = ik 2πz ψ r,z,t = 0.2. עקיפה בתלת מימד פיתוח זהה אמפליטודה ב = 0 :z A r,0 כאשר x,y : r = A R,0 ik exp r R 2z 2 d 2 R ψ R,0,0 U 3D r R,zt d 2 R U 3D r,z,t = ik 2πz exp ik z + r2 iωt 2z בעיית המסך חצי מישור גל מישורי אינסופי פוגע במשך החוסם חצי ממנו המסך הוא חצי מישור תנאי ההתחלה שלנו הוא { A x 0 ψx,0,0 = 0 x > 0 הסך נמצא על ציר הx ψx,y,t = exp iky iωt iπ ˆ0 k 4 2πy exp ikx x 2 dx 2y k = η נקבל: נחליף משתנה: x x 2πy ψx,y,t = Aexp iky iπ4 iωt k G 2y x Gs = ˆ exp iη 2 dη π s

51 פרק 0. עקיפה 0.3. חריצים s exp iπ 4 + i 2 πs exp is 2 Gs = s 2 exp iπ 4 s π s ונקבל כי: 2 πs exp is 2 Ix,y = AG k 2y x 2 מסקנה יש אור באיזור ה"המוצל", למשל עבור x λy השדה הרחוק, x חיובי Ix,y A 2 λy 4π 2 x 2 מסקנה בצד ה"מואר" יש תנודות די חזקות בעוצמה שדועכת לאט. מסקנה על = 0 x, העוצמה תמיד לכל y A 2 4 הערה ניתן למצוא גם פתרון מלא בלי קירוב פרנל וכו' של זומרפלד. [ ] U 2D x x k,y,t = 2πy exp ik y + x x i 2 π4 2y iωt 0.3 חריצים נפתח את הסוגריים באקספוננט ונקבל: = U 2D x,y,texp i k y x x+ ik 2y x 2 כאשר U 2D הוא קבוע על אינטגרל הקונבולוציה שעושים על משתנה המפתח x. 50

52 פרק 0. עקיפה 0.3. חריצים Èדוגמה : 0.3. עבור מבפתח ברוחב 2W. האיבר השני באקספוננט הנ"ל ההוא עם ה x 2 זניח אם:.W λy כלומר:, k 2y x 2 k 2y W2 π ואז במקרה כזה נקבל קירוב נוסף פראונהופר: ψx,y,t = U 2D x,y,t = ψ r,z,t = U 3D r,z,t ˆ ˆ ψx,0,0exp i k y x x dx k התמרת פורייה ביחס למשתנה yx k ונקבל: בשלושה מימדים קירוב פראונהופר: 2z R2 max π ψ R,0,0 exp i k R r z d 2 R 5

53 פרק 0. עקיפה ψx,y,t = AU 2D x,y,t ψx,0,0 = ˆW W { A x W 0 x > W exp ikx sin y x dx = 2AU 2D x,y,t Ix = I 0 sin 2 kw d x kw d x 2 = I 0 sinc 2 kw d x I 0 = A 2 2kω 2 πd 0.3. חריצים : החריץ ב 2D : Èדוגמה kw y x k y x עבור y = d נקבל: כאשר: Ix I 0 2W λd x איור 0.: העוצמה במרחב ה"פיק" ב 0 נמצא בגובה ψ r,z,t = AU 3D r,z,t = AU 3D r,z,t ˆW W ˆW ˆh W h exp i k ˆh z x x dx ב"גבעה" הראשונה יש לנו כ 90% מההספק. ב 3D מפתח מלבני ומעגלי: מלבני: exp i k { R r ψ R,0,0 dy dx A x W, y h = z אחרת 0 h כאשר,y R = x. exp i k kwd khd z y y dy I = I 0 sinc sinc 2 x 2 y.i 0 = 4K2 W 2 h 2 π 2 d כאשר: A 2 2 דיסקה מפתח מעגלי: ψ R,0,0 = A 0 R R 0 R > R 0 52 ˆR 0 ˆ2π ψ r,z,t = AU 3D r,z,t R exp i kz ˆR 0 k Rrcosθ dθdr }{{} = 2πAU 3D r,z,t RJ 0 z R r dr = 0 0 מרוכבות 0 J kr0 r

54 0.4. תכונות דיפרקציה של עדשה פרק 0. עקיפה I disc = I 0 Jinc 2 kr0 d r I 0 = A 2 k 2 R 4 0 d 2 I : Èדוגמה r 0 = 0.6 λd R 0 איור 0.2: העוצמה במרחב r למה צריך רמקולי טוויטר במערכות סאונד? הבעיה היא לא שהרמקולים הגדולים לא יכולים ליצור את התדרים, אלא שיש להם מפתח זוויותי. r, 0 = 0.6 λd ולכן נקבל כי המפתח הזוויותי θ ביחס R 0 כאשר λ R 0 קירוב פראונהופר נהיה רלוונטי ו: לציר הניצב למרכז הרמקול נקבל כי: r0 θ = atan 0.6 λ d r 0 Èדוגמה : רמקול בקוטר 0 ס"מ, הצליל דו הכי גבוה בפסנתר הוא λ. = 8cm 486Hz ולכן. θ = 55 ולכן יש לחלק את התדרים כך שהתדרים הגבוהים ילכו לטוויטרים. למה צריך בכלל את הרמקולים הגודלים? בגלל שיש תדר מינימלי אותו רמקול יכול לייצר. והטוויטרים לא יכולים לייצר את הצלילים הנמוכים. 5/0/ תכונות דיפרקציה של עדשה נחשב בקירוב העדשה הדקה. כלומר גל עובר את העדשה עם. φx,y φ = k n x,y+k 0 x,y כאשר 0 זה העובי המקסימלי של העדשה במרכז העדשה ו x,y זה העובי בנקודה ספציפית. ולכן: x,y }{{} = 0 x2 +y 2 2 R R 2 קירוב טיילור f := n R R 2 ניתן להגדיר: הערה 0.4. את נוסחה זו אנו מכירים מהתיכון. 53

55 פרק 0. עקיפה 0.5. תורת הדיפרקציה של קירכהוף זומרפלד t l x,y = expikn 0 exp i k x 2 +y 2 2f פונקציית העברה של עדשה דקה. כעת נשתמש ב t l כדי לחשב תמונה של מקור אור x,y At A העומדת ליד צמצם עדשה עם מפתח כלשהו x,y P כל מה שמעבר אליו נזרק. החישוב יבוצע באופן הבא:. נכפיל ב x,y P נקצוץ אור מחוץ לצמצם.2 נכפיל t l 3. נקדם למרחק f לפי פרנל. מיד לאחר העדשה, נקבל כי: 7/0/202 At A x,y P x,ye i k 2fx 2 +y 2 הערה הורדנו את 0 expikn מכיוון שהוא קבוע שלא תלוי במיקום, מדובר רק בפאזה כלללית של כל הקרניים. P x,y = { x 2 +y 2 R x 2 +y 2 > R 2 0 ומתקיים: נרצה לחשב כעקיפת פרנל למרחק f. כלומר נבצע קונבולוציה עם U 3D U 3D r,z,t = ik 2πz exp ik z + r2 iωt 2z תזכורת ikexp ik 2f x 2 +y 2 2πz At A x,y P x,y exp i k f xx +yy dx dy נקבל: נבחין כי האינטגרל הוא טרנספורם פורייה של מכפלת פונקציית הצמצם והגל הנכנס.At A הערה הנחנו כי העצם הוא על העדשה ממש צמוד והעדשה היא דקה.. λ 2 הערה גבול הדיפרקציה מקסימום רזולוציה היא 0.5 תורת הדיפרקציה של קירכהוף זומרפלד ψ pw = e iqxx+qyy+qzz iωt = e i k = 2π λ, q2 x +q 2 y +q 2 z = k 2 q q xx+q yy+k x 2 y k 2 +q2 k 2 z iωt הערה 0.5. אנו יוצאים מהנחה שגלים נעים בכיוון ציר ה z החיובי. ÔÐ Ò Û Ú pw

56 0.5. תורת הדיפרקציה של קירכהוף זומרפלד פרק 0. עקיפה Aq x,q y,z,t = 2π 2 נבצע טרנספורם פורייה דו מימדי בx,y : ψx,y,z,texp iq x x+q y ydxdy וכמובן קיים טרנספורם הפוך כדי לחלץ את פונקציית הגל. משוואת הלמהולץ אחרי הפרדת הזמן נקבל: 2 ψ +k 2 ψ = 0 הערה זו משוואה בשלושה מימדים, לכן אנו לא עושים שום קירוב פאראקסייאלי. ממשוואת המלמהולץ, ובעזרת הטרנספום ההפוך נקבל: 2 A q 2 z 2 +k2 x k 2 + q2 y k 2 Aq x,q y,z,t = 0 זוהי משוואה דיפרנציאלית אשר הפתרון שלה הוא כמובן: Aq x,q y,z = exp [ ik ] q 2 x k 2 + q2 y k 2 z Aq X,q y,0 q y, q x k k הערה קירוב פרנל אומר כי: ולכן נקבל: e ikz i 2 qx +q2 y 2k z וזו הייתה פונקצייה הקידום של פרנל. אבל הפתרון להעיל הוא מלא יותר ולא מניח את הקירוב של פרנל. שאלה של פיינמן מלפני שנים רבות: נניח שיש לנו אטום שפולט אור באורך גל 662 ננומטר אלפי פעמים גודל האטום מה היה קורה אם היינו לוקחים את הגל, הופכים אותו ושולחים אותו חזרה. האם היינו יכולים לפקס אותה עד לרזולוציה אטומית? התשובה היא לא. מכיוון שמתי שהאור מתחיל להתכנס לגדלים הקטנים מאורך הגל הוא צריך גם את המקור??? עבור q 2 x + q 2 y > k 2 נקבל דעיכה אקספוננציאלית בz. בספרים היה כתוב שזה לא נכון במשך שנים עד שאהרון לואיס ההוא שהרצה ברעיונות יסוד הצליח לאסוף את הקרניים האלה. הגלים הנ"ל נקראים Û Ú. Ú Ò ÒØ הם אינם נושאים אנרגיה לשדה הרחוק דימות Ñ Ò קוהרנטי ולא קוהרנטי נתבונן בגוף נקודתי הפולט אור הפוגע בעדשה נמצא במרחק z 0 ומההעדשה, ומתמקד במרחק z, i הם לא על אותו הציר אלא בסטייה קלה נפתור באופן הבא:. לקדם גל עד העדשה מרחק z 0 2. להכפיל בפונקציית העברה מרחבית של עדשה 3. לקדם עד ל z. i 55

57 0.5. תורת הדיפרקציה של קירכהוף זומרפלד פרק 0. עקיפה ψx,y,z i = לא נעשה זאת כאן, הקרבה אלגברה. ניתן לקרוא בפרק 5+4 של. ÓÓ Ñ Ò התמונה שנקבל היא לא תהא נקודתית, אלא תמונת התאבכות. פונקציית הגל היא: hx,y,x,y ψx,y, z 0 dx dy gx,y,x,y }{{} κδx±mx,y ±y עד כדי דיפרקציה הנחת הדימות: M,K נקבעים על ידי תנאי הדמות ואורך הגל. אבל הקירוב של הדימות הוא לא טוב, מכיוון שהוא מתעלם לחלוטין מדיפרקציה. אחרי ביצוע החישוב המלא שתואר לעיל נקבל כי: hx,y,x,y = λ 2 z i z 0 [ P x,y e ik x z + x 0 z x + y i z + y 0 z y ] dx dy hx,y,x,y = λ 2 z i z 0 P x,y e ik z i [x Mx x +y My y ] dx dy :M = zi z 0 אם נגדיר: דוגמה לפונקציית הצמצם ברדיוס R: 0 { P x,y x 2 +y 2 < R0 2 = אחרת 0 עוצמת האור, קוהרנטי: I = ψ 2 2 = hx x,y y ψx,y, z 0 dx dy = dx dy dudvhx x,y y h x u,y v ψx,y, z 0 ψ u,v, z 0 הצבה בנוסחאות לעיל לאור קוהרנטי. הערה אור לא קוהרנטי אומר שאין קשר פאזה בין נקודות שונות, מכך נובע ש: ψx,y, z 0 ψ u,v, z 0 = κix,y δx u,y v Ix,y,z i = κ hx x,y y 2 Ix,y, z 0 dx dy

58 פרק גלים אלקטרומגנטיים. בריק נזכיר את משוואות מקסוול בריק כאשר בריק H B : E = 0 Ù H = 0 ÆÓ Ñ Ò Ø ÑÓÒÓÔÓÐ E H = µ 0 t Ö Ý H E = ε 0 t ÑÔ Ö Ü Ý Å ÜÛ ÐÐ ε F/m µ 0 4π 0 7 N/A 2 E = µ 0 H t היעד הבא הוא משוואת גלים. מה היעד הבא? נעשה רוטור על משוואת פאראדיי ונקבל:, ונציב את משוואות גאוס ואמפר מקסוול: S = נשתמש בזהות S 2 S 2 E c 2 2 E t 2 = 0.c = ε0µ 0 כאשר m/s מניפולציה דומה תיתן משוואה זהה עבור H. אם נתעלם מהוקטוריות, ונתייחס לגודלו של השדה כסקלר אזי זו משוואת גלים רגילה, וכל הפיתוחים שעשינו עד כה תקפים לשדה החשמלי וגם המגנטי... עוצמת אור נגדיר תחילה את שדה שטף האנרגיה שדה פוינטינג: S = E H, ונגדיר את העוצמה: I S. B 2 E ו כאשר הממוצע הוא על "זמן ארוך". זה נגזר מתוך חישוב על צפיפות האנרגיה לפי 2 57

59 פרק. גלים אלקטרומגנטיים.2. בחומר.2 בחומר משוואות מקסוול, ללא מטענים וזרמים חופשיים: D = 0 B = 0 E = B t H = D t D ε 0 E + P ε0 +χ e E B µ 0 H + M 2 E v 2 2 E t 2 = 0.2. הנחות ראשונות לשבירה עתידית. לינאריות והעדר נפיצה χ קבוע ולא תלוי תדר 2. הומוגניות χ לא תלוי ב r.3 איזוטרופיות אין כיוון מועדף E P.4 החומר אינו מגנטי 0 = = M גזירה והצבה זהים למה שעשינו בריק יובילו למשוואה כאשר.v = c n, n = ε r אפשר בקואורדינטות קרטזיות לקבל פיתרון נפרד לכל רכיב. הפיתרון בכיוון k עבור גל מישורי עם תדר אחד: E r,t = E 0 exp i k r iωt, ואז נפתור את הבעיה. ו k E0 v.ω = נרצה למצוא את כאשר יש דיספרסיה לינארית ולכן k נעבור להצגת פורייה תדר/זמן: H = iωε 0 ε r E E = iωµ 0 H עבור גל מישורי, i k : k H = ωε0 ε r E k E = ωµ0 H H = H 0 exp k H 0 = ωµ 0 ניתן לראות ש K E, H, ניצבים זה לזה וכמובן K S. עבור H, נקבל: i k r iωt ωε0 ε r k E 0 = E 0 58

60 פרק. גלים אלקטרומגנטיים.3. קיטוב.3 קיטוב הקיטוב מוגדר לפי כיוון השדה החשמלי. נניח ציר אופטי k ẑ. E 0 E 0x E 0y = E 0xˆx+E 0y ŷ = E 0x e iφx = E 0y e iφy נעבור רגע להצגה ממשית: E x = E 0x coskz ωt+φ x E y = E 0y coskz ωt+φ y 2 2 Ex Ey Ex E y + 2 cosφ = sin 2 φ E 0x E 0y E 0x E 0y קצת אלגברה על הצגה זו, ונקבל: tanα = 2 E 0x E 0y cosφ E 0x 2 + E 0y 2 כאשר φ. = φ x φ y נקבל אליפסה עם צירים ראשיים על xˆ ו ŷ, כאשר הזוית בין x ל x ˆ היא α. כאשר 2 2. Ex Ey E 0x + E 0y = 0 α נקבל =.3. יחסי פרנל בהחזרה והעברה נניח מעבר מתווך n לזה ב n, 2 ונניח זווית פגיעה θ, i ונשאל מהן θ. r θ, t עבור = 0 i θ, נקבל בעיה חד מימדית בה הקיטוב לא משנה, ואפשר להשתמש בכל מה שעשינו במיתר. במקרה הכללי, נגדיר מישור פגיעה כמישור שיוצרות הקרניים. איך פותרים: רושמים שדה חשמלי ומגנטי עם רכיבי קיטוב במקביל ובניצב למישור הפגיעה ודורשים ש D H, E, B, עוברים ברציפות. כמו כן, לפי סנל.n sinθ i = n 2 sinθ t וכן θ i = θ r עבור קיטוב S ניצב למישור הפגיעה, מקדמי ההחזרה וההעברה הם: r s = n cosθ i n 2 cosθ t n cosθ i +n 2 cosθ t 2n cosθ i t s = n cosθ +n 2 cosθ 2 עבור קיטוב P מקביל למישור הפגיעה: r p = n cosθ t n 2 cosθ i n cosθ t +n 2 cosθ i 2n cosθ i t p = n cosθ t +n 2 cosθ i 29/0/202 E0x E 0 = E 0y עבור גל המתקדם בכיוון ẑ+: 59

61 פרק. גלים אלקטרומגנטיים.4. שבירה כפולה 0 E או מנורמל. 0 0 =,y ממשי. בציר E E 0x כאשר E 0 = 0y E0x. קיטוב לינארי. בציר : x 0 מעכשיו הכיתוב יוצג: ÒÓÖÑ Ð Þ E 0 = E 0 בשביל הנוחות, קיטוב ב 45: cosα E. ובאופן כללי עבור קיטוב לינארי sinα 0x 2 + E 0y 2 2 ואז = 2, ושמאלי Ä È 2. קיטוב מעגלי: ימני Ê È בורגשמאלי אם הגל מתקדם אלינו, לאורך ציר z i. אזהרה: יש 2 קונוונציות לשמות אלו שתלויות במיקום הצופה שרירותי, עניין של 2 בורג ימני... i הגדרה. 0 E0x = 0 0 E 0y E0x מקטב לינארי לאורך הצירים: cosθ sinθ ובזווית כלשהי נעבוד בבסיס אחר ואז נחזור. נגדיר מטריצת סיבוב: = Rθ אזי פעולתו sinθ cosθ של אלמנט אופרטור קיטוב T θ הינו R θtrθ T θ T. θ = הנו האופרטור T אחרי שסובב בזווית θ. אופרטור נוסף 0 D η = 0 e iη כאשר יש חומר שמקטב אור אחרת בצירים שונים..4 שבירה כפולה עבור קיטוב S ניצב למישור מתקבל שבירה לפי חוק סנל על sinθ i = n z sinθ o n. z אנו מניחים שהקרן הגיעה מ =,n ובזוית,θ i מחוק סנל היא תצא בזווית.ÓÖ Ò ÖÝ θ o עבור קיטוב P מקביל למישור nθ e = n y cosθ e +n x sinθ e ואז חוק סנל כבר אינו ניתן לפתרון אנליטי פשוט עבור קיטוב זה: sinθ i = nθ e sinθ e.5 עוצמת השדה והאימפדנס. E0 כאמור כבר אמרנו כי: H 0 נדון בגל מישורי בתווך איזוטרופי והומוגני, נרצה לבחון את היחס E 0 = ωµ 0 H 0 k = µ 0c n = µ0 = η אימפדנס= ε 0 n }{{}}{{} 377Ω מקדם שבירה לא אותה η ממטריצת ג'ונס אמרנו שעוצמת האור הגל היא השדה בריבוע, אבל נרצה להפוך את זה להספק ליחידת שטח, לכן ההגדרה הנכונה היא: I = E2 0 2η ¼

62 פרק. גלים אלקטרומגנטיים.6. השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה איזוטרופי עבור אמפליטודה ממשית של השדה, אם אנחנו עובדים בהצגה מרוכבת, חסר פקטור 2, כלומר עבור Ẽ0 מרוכב: 2 Ẽ0 I = η 2 פקטור 4 כי השדה בריבוע.2.5cm במרחק 00W :.5. מהי אמפליטודת השדה של נורת להט Èדוגמה הנצילות האנרגתית 2.5% כלומר רק 2.5% הופכים לאור, כל היתר הופך לחום. הספק = עוצמה = 2.5W יחידת שטח 4π cm W /cm 2 E 0 = 2ηI 4.9 V /cm.6 השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה איזוטרופי נרצה לדבר על מערכת ברוחב z לוחית דיאלקטרית אשר מלאה באלקטרונים בעלי פוטנציא הרמוני כלשהו הנגרם מהמולקולות אשר בהם הם יושבים. בהינתן גל מישורי המתקדם בכיוון z, שדה E s נרצה לבחון את השדה לאחר המערכת E f = E s + E a. E s = E 0ˆxe ikz iωt E f = E 0ˆxe ikz iωt n z c נרצה למצוא את E f : כאשר אנחנו מניחים כי זה יגיב כמו מקדם שבירה n. למעשה יש לנו הזזת פאזה הנגרמת מהמעבר בחומר הדיאלקטרי בעובי z. אם = n נבחין כי זה מתאפס, ונשאר עם מעבר נקי. נבצע קירוב טיילור ונקבל: E } 0ˆxe {{ ikz iωt n +iω ze } 0 e ikz iωt } c {{} E s E a נניח שישנו אלקטרון בתווך הדיאלקטרי שאחוז בפוטנציאל הרמוני: d 2 x m e dt 2 +ω2 0x = F q e E 0 e iωt x = x 0 e iωt x 0 = x = q e E 0 m e ω 2 0 ω2 q e E 0 m e ω 2 0 ω2 e iωt ½ כלומר: הפתרון למשוואה הנ"ל היא: ואלו הן התנודות במצב עמיד.

63 .6. השורשים המיקרוסקופיים של מקדם השבירה איזוטרופי פרק. גלים אלקטרומגנטיים הערה.6. ה ω 0 האופייני הוא עמוק בתוך האולטרה סגול, באזור ה.00nm כעת יש לנו מישור של אלקטורנים שכולם מתנדנדים מעלה ומטה. ברור שנוצר מכך שדה אלקטרומגנטי. איזה שדה זה יוצר? נלמד בחשנ"ל לכן בינתיים נאלץ להאמין למרצה. התוצאה היא: E a = σq [ ] eˆx q e E 0 iω 2ε 0 c mω0 2 ω2 eikz iωt לכן המקדם השבירה n המאקרוסקופי יתקבל ע"י התאמה בין התבנית המאקרוסקופית ל E a לבין התבנית המיקרו שקיבלנו עתה ונקבל: n z = σq 2 e 2ε 0 mω 2 0 ω2 כאשר N היא הצפיפות הנפחית המתקבלת ע"י: n = + Nq 2 e 2ε 0 m e ω 2 0 ω2 N = σ z. היא הצפיפות משטחית מספרית כלומר m/ 2 σ אנו מניחים כי z קטן מאורך הגל, לכן אין חשיבות במיקרו עבור z. מה קורה כאשר ω ω 0 הרי ב ω 0 הדבר הנ"ל מתבדר. נבחין כי גלי רדיו למשל כמעט ואינם מרגישים חומרים מכיוון ש ω שלהם מאוד קטן. אבל מה קורה כאשר אנחנו שואפים לרזוננס? קרוב לרזוננס, צריך להוסיף איבר דיסיפציה כלומר, זה יפול למתחת ל ואז ישאף אסימפטוטית ל. 62